%\documentclass{book} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{book} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hmargin={0.75cm,1cm},vmargin={0.5cm,1.25cm},twoside}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 
\settasks{
% the next two should be set to the same value so labels are aligned to the
% left
%label-width = 1em ,
%item-indent = 1em ,
%before-skip = 0pt%-\parskip , % undo paragraph skip
%after-skip =0pt% -\parskip , % undo paragraph skip
after-item-skip = -2pt%-\parskip % undo paragraph skip
}

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
language=Python,
backgroundcolor=\color{gray!30},   
commentstyle=\color{Plum},
keywordstyle=\color{blue},
numberstyle=\tiny\color{black},
stringstyle=\color{ForestGreen},
basicstyle=\ttfamily\color{black},
breakatwhitespace=false,         
breaklines=true,                 
captionpos=b,                    
keepspaces=true,                 
numbers=none,                   
numbersep=5pt,                  
showspaces=false,                
showstringspaces=false,
showtabs=false,                  
tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
language=bash,
backgroundcolor=\color{black},   
commentstyle=\color{white},
keywordstyle=\color{magenta},
numberstyle=\tiny\color{black},
stringstyle=\color{white},
basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
breakatwhitespace=false,         
breaklines=true,                 
captionpos=b,                    
keepspaces=true,                
numbers=left,                    
numbersep=5pt,                  
showspaces=false,                
showstringspaces=false,
showtabs=false,                  
tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown} \footnotesize}{}

\newenvironment{sujet}{}{}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \noindent Exemples.\vspace{-0.1cm}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\noindent {\color{BlueViolet}Remarques.\vspace{-0.1cm}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{Gray}}{}


%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
\begin{lrbox}{\selvestebox}%
\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
{\end{minipage}\end{lrbox}%
\begin{center}
\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} {\noindent\color{Black}EXERCICE \theExercice.} \addtocounter{Exercice}{1} \color{Black}}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\noindent\color{Brown}Exercice \theExercicecorrection. \footnotesize}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\textbf{\color{Orange}Définition \theDefinition.} \addtocounter{Definition}{1} \color{Orange} }{}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}{\textbf{\color{purple}Théorème \theTheoreme.}\addtocounter{Theoreme}{1}\color{purple}}{}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}{\textbf{\color{purple}Proposition \theProposition.} \addtocounter{Proposition}{1}\color{purple}}{}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\noindent{\textbf{\color{PineGreen} Démonstration}.} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{PineGreen}}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
\ifs
\begin{Form}
\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
\end{Form}
\xspace
\else
#2
\fi
\addtocounter{Trous}{1}
}

%Un bug apparu en faisant la mise à jour de pi: les listes tasks ne se colorie plus et restent noir malgrer les commande. La solution est ce truc:
\ExplSyntaxOn\makeatletter
%patch needed to get a around a problem in the l3-drivers
\AtBeginDocument{
\cs_set_protected_nopar:Npn \color_ensure_current:
{\set@color}
}
\ExplSyntaxOff\makeatother 

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{}% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\footnotesize \thepage ]{\footnotesize \thepage }
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour abrege
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}\exclure{culturegenerale}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure {exercicecorrection}

%Pour les exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour les correction d'exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques}  \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\small

\subsection*{Triangles.}

\subsubsection{Vocabulaire.}

\begin{definition}
	Les triangles sont les polygones à trois côtés.
\end{definition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Un polygone est une ligne polygonale (formée de segments) fermée.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\subsubsection{Classification des triangles.}

\begin{lecon}
	Les triangles peuvent être dit: 
	\begin{itemize}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item {\color{purple}scalène} si les longueurs des côtés sont toutes distinctes (ni isocèle ni équilatère);
		\item {\emph{\color{purple}isocèle en}} si deux côtés ont la même longueur;
		\item {\emph{\color{purple}rectangle en}} si deux côtés sont perpendiculaires;
		\item {\emph{\color{purple}isocèle-rectangle en}} si deux côtés sont perpendiculaires et ont la même longueur;
		\item {\emph{\color{purple}équilatéral}} si les trois côtés ont la même longueur.
	\end{itemize}
\end{lecon}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\item L'expression \og triangle quelconque \fg{} est utilisée pour parler d'un triangle choisi au hasard et qui peut donc être n'importe quel triangle y compris ceux ci-dessus. Ce n'est généralement pas dans ce sens que les élèves l'utilise.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\subsubsection{Droites remarquables du triangle.}

\begin{notabene}	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
		\def\xA{0};
		\def\yA{0};
		\def\xB{6};
		\def\yB{1};
		\def\xC{3};
		\def\yC{5};
		\coordinate (A) at (\xA,\yA);
		\coordinate (B) at (\xB,\yB);
		\coordinate (C) at (\xC,\yC);
		\coordinate (I) at ({(\xA +\xB)/2},{\yA +\yB)/2});
		\coordinate (J) at ({(\xC +\xB)/2},{\yC +\yB)/2});
		\coordinate (K) at ({(\xA +\xC)/2},{\yA +\yC)/2});
		\draw (A)node[above left]{$A$};
		\draw (B)node[below]{$B$};
		\draw (C)node[above right]{$C$};
		%\draw (I)node[above right]{$I$};;
		%\draw (J)node[above right]{$J$};
		%\draw (K)node[below right]{$K$};
		\draw (A)--(B)--(C)--(A);
		\draw[red, thick][samples=100,domain=-5:1] plot({\x +\xB},{-\x *(\xA-\xC)/(\yA-\yC)+ \yB});
		\draw[orange, thick][samples=100,domain=-0.25:1.25] plot({(\x *(\xA-(\xC +\xB)/2) +(\xC +\xB)/2},{\x *(\yA-(\yC +\yB)/2)+(\yC +\yB)/2});
		\draw[samples=100,domain=-0.1:0.1] plot({\xC+0.24*(\xB -\xC)+\x} ,{\yC+0.24*(\yB -\yC)+\x *(\xB-\xC)/(\yC-\yB)});
		\draw[samples=100,domain=-0.1:0.1] plot({\xC+0.26*(\xB -\xC)+\x} ,{\yC+0.26*(\yB -\yC)+\x *(\xB-\xC)/(\yC-\yB)});
		\draw[samples=100,domain=-0.1:0.1] plot({\xC+0.74*(\xB -\xC)+\x} ,{\yC+0.74*(\yB -\yC)+\x *(\xB-\xC)/(\yC-\yB)});
		\draw[samples=100,domain=-0.1:0.1] plot({\xC+0.76*(\xB -\xC)+\x} ,{\yC+0.76*(\yB -\yC)+\x *(\xB-\xC)/(\yC-\yB)});
		\draw (6,3)node[right]{$\color{orange}\mathscr{D}_2$};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=-0.8:0.3] plot({(\x +(\xA +\xB)/2},{-\x *(\xB -\xA)/(\yB-\yA)+(\yA +\yB)/2});
		\draw[samples=100,domain=-0.02:0.02] plot({\xA+0.24*(\xB -\xA)+\x} ,{\yA+0.24*(\yB -\yA)+\x *(\xB-\xA)/(\yA-\yB)});
		\draw[samples=100,domain=-0.02:0.02] plot({\xA+0.26*(\xB -\xA)+\x} ,{\yA+0.26*(\yB -\yA)+\x *(\xB-\xA)/(\yA-\yB)});
		\draw[samples=100,domain=-0.02:0.02] plot({\xA+0.25*(\xB -\xA)+\x} ,{\yA+0.25*(\yB -\yA)+\x *(\xB-\xA)/(\yA-\yB)});
		\draw[samples=100,domain=-0.02:0.02] plot({\xA+0.74*(\xB -\xA)+\x} ,{\yA+0.74*(\yB -\yA)+\x *(\xB-\xA)/(\yA-\yB)});
		\draw[samples=100,domain=-0.02:0.02] plot({\xA+0.75*(\xB -\xA)+\x} ,{\yA+0.75*(\yB -\yA)+\x *(\xB-\xA)/(\yA-\yB)});
		\draw[samples=100,domain=-0.02:0.02] plot({\xA+0.76*(\xB -\xA)+\x} ,{\yA+0.76*(\yB -\yA)+\x *(\xB-\xA)/(\yA-\yB)});
		\draw[gray] ({\xA+0.5*(\xB -\xA)-0.05} ,{\yA+0.5*(\yB -\yA)-0.05 *(\xB-\xA)/(\yA-\yB)})--({\xA+0.55*(\xB -\xA)-0.05} ,{\yA+0.55*(\yB -\yA)-0.05 *(\xB-\xA)/(\yA-\yB)}) -- ({\xA+0.55*(\xB -\xA)} ,{\yA+0.55*(\yB -\yA)});
		\draw (2,-1)node[below right]{$\color{blue}\mathscr{D}_1$};
		\draw (1,3)node{$\color{red}\mathscr{D}_3$};
		\draw[gray](1.85,3.1)--(2.15,2.95)--(2.3,3.25);
		\draw[OliveGreen] (\xC,\yC)--(3.2,0);
		\draw (5,-0.75)node{$\color{OliveGreen}\mathscr{D}_4$};
	\end{tikzpicture}
\end{notabene}

\begin{definition}
	On considère un triangle $ABC$ comme ci-dessous.
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
		\def\xA{0};
		\def\yA{0};
		\def\xB{6};
		\def\yB{0};
		\def\xC{2};
		\def\yC{4};
		\coordinate (A) at (\xA,\yA);
		\coordinate (B) at (\xB,\yB);
		\coordinate (C) at (\xC,\yC);
		\draw (A)--(B)--(C)--(A);
		\draw[red,thick] (2,-1)--(2,4);
		\draw[gray] (1.6,0)--(1.6,0.4)--(2,0.4);
		\draw[red](3,4) node{$\mathscr{D}_3$};
		\draw[orange, thick][samples=100,domain=-0.25:1.25] plot({\x*(\xB+\xC)/2},{\x*(\yB+\yC)/2});
		\draw[orange](5.25,2.5) node{$\mathscr{D}_2$};
		\draw[gray] ({(\xB+(\xB+\xC)/2)/2},{(\yB+(\yB+\yC)/2)/2}) node{\footnotesize$\parallel$};
		\draw[gray] ({(\xC+(\xB+\xC)/2)/2},{(\yC+(\yB+\yC)/2)/2}) node{\footnotesize$\parallel$};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=-0.25:1.25] plot({(\xA+\xC)/2+\x*3},{(\yA+\yC)/2+\x*(-2)});
		\draw[gray] ({(\xA+\xC)/4},{(\yA+\yC)/4}) node{$\circ$};
		\draw[gray] ({3*(\xA+\xC)/4},{3*(\yA+\yC)/4}) node{$\circ$};
		\draw[blue](0,2.75) node{$\mathscr{D}_1$};
		\def\sq{0.1};
		\draw[gray] ({(\xA+\xC)/2+\sq*3},{(\yA+\yC)/2+\sq*(-2)}) --({(\xA+\xC)/2+\sq*3+\sq*2},{(\yA+\yC)/2+\sq*(-2)+\sq*3}) --({(\xA+\xC)/2+\sq*3+\sq*2-\sq*3},{(\yA+\yC)/2+\sq*(-2)+\sq*3-\sq*(-2)});
		%\draw[OliveGreen, thick][samples=100,domain=-0.25:1.5] plot({6+\x*(2-6)},{0+\x*(3/2-0)});
		\draw[OliveGreen, thick][samples=100,domain=-0.5:2.5] plot({-\x+6},{\x*tan(atan(3/4)/2)});
		\draw[OliveGreen](7,0.25) node{$\mathscr{D}_4$};
		\draw[OliveGreen][samples=100,domain={180-0.5*atan(3/4)}:180] plot({1.7*cos(\x)+6},{1.7*sin(\x)});
		\draw[OliveGreen][samples=100,domain={180-0.5*atan(3/4)}:180] plot({1.6*cos(\x)+6},{1.6*sin(\x)});
		\draw[OliveGreen][samples=100,domain={180-atan(3/4)}:{180-0.5*atan(3/4)}] plot({1.65*cos(\x)+6},{1.65*sin(\x)});
		\draw[OliveGreen][samples=100,domain={180-atan(3/4)}:{180-0.5*atan(3/4)}] plot({1.55*cos(\x)+6},{1.55*sin(\x)});
		\draw (A)node[above left]{$A$};
		\draw (B)node[below]{$B$};
		\draw (C)node[above right]{$C$};
	\end{tikzpicture}
	
	$\color{blue}\mathscr{D}_1$ est appelée la \emph{\color{purple}médiatrice du côté $[AC]$}. $\color{orange}\mathscr{D}_2$ est appelée la \emph{\color{purple}médiane issue de $A$}. $\color{red}\mathscr{D}_3$ est appelée la \emph{\color{purple}hauteur issue de $C$}.	$\color{OliveGreen}\mathscr{D}_4$ est appelée la \emph{\color{purple}bissectrice de $\widehat{ABC}$}. 	
\end{definition}

\begin{definition}
	Les médiatrices d'un triangle se coupent en un même point qui est appelé le \emph{\color{purple}centre du cercle circonscrit au triangle}. Les médianes d'un triangle se coupet en un même point qui est appelé le \emph{\color{purple}centre de gravité} du triangle. Les hauteurs d'un triangle se coupent en un même point  appelé l'\emph{\color{purple}orthocentre} du triangle. Les bissectrices se coupent en un même point appelé le \emph{\color{purple}centre du cercle inscrit dans le triangle}.	
\end{definition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Cette définition contient des résultats qu'il faudrait démontrer mais nous ne le ferons pas.
		\item Un autre résultat surprenant: les points ci-dessus sont tous alignés. La droite qui les contient tous est appelée droite d'Euler du triangle (confer exercice ci-après).
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exercice}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Quel est l'orthocentre d'un triangle rectangle.
		\item Soit $ABC$ un triangle non rectangle, $H$ son orthocentre, $G$ son cente de gravité, $O$ le centre du cercle circonscrit $\mathcal{C}$, $A'$ le milieu de $[BC]$ et $D$ le symétrique de $A$ par rapport à $O$.
		\begin{enumerate}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Montrez que $BHCD$ est un parallélogramme. Déduisez-en le milieu de $[HD]$.%Que pouvez-vous en déduire?
			\item Que pouvez-vous dire de la droite $(AA')$ pour le triangle $AHD$? Que pouvez-vous en déduire pour $G$.
			\item Déduisez de la question précédente que $G$ appartient à la droite $(OH)$ et que $OG=\frac{1}{3}OH$.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Le sommet de l'angle droit.
		\item 
		\begin{enumerate}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item $(BH)\perp (AC)$ par $H$ est l'orthocentre de $ABC$. $[AD]$ est le diamètre de $\mathcal{C}$ et $C\in \mathcal{C}$ donc $ADC$ est rectangle en $C$ et donc $(DC)\perp (AC)$. Ainsi $(BH) \parallel (DC)$.
			
			En raisonnant de même: $(CH) \parallel (DB)$.
			
			$A'$ étant le milieu de la diagonale $[BC]$ du parallélogramme $BHCD$ , $A'$ est le milieu de $[HD]$.
			\item Puisque $A'$ est le milieu de $[HD]$ donc $(AA')$ est la mediane issue de $A$ dans $ADH$. Puisque $[AA']$ est la médiane de $ABC$ issue de $A$, $G \in [AA']$ et $AG=\frac{2}{3}AA'$. Donc $G$ est aussi le centre de gravité de $ADH$.
			\item Par construction $O$ est le milieu de $[AD]$ donc $[OH]$ est une mediane de $ADH$. $G$étant le cente de gravité de $ADH$, $OH=\frac{1}{3}OH$.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	On se propose de démontrer que, pour tout triangle, le symétrique de l'orthocentre par rapport à un côté appartient au cercle circonscrit au triangle.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item On suppose que $ABC$ est rectangle en $A$. Quel est son orthocentre? Quels sont les symétriques de cet ortocentre par rapport à $(BC)$, $(CA)$ et $(AB)$? Montrez qu'ils appartiennent au cercle circonscrit à $ABC$?
		\item On suppose que $ABC$ n'est pas rectangle. On désigne par $H$ son orthocentre, $O$ le centre de son cercle circonscrit $\mathcal{C}$, $A'$ le milieu de $[BC]$, $D$ le symétrique de $A$ par rapport à $O$, $K$ et $P$ les symétriques respectifs de $H$ et $O$ par rapport à $(BC)$.
		\begin{enumerate}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Montrez que $HBDC$ est un parallélogramme. Déduisez-en que $A'$ est le milieu de $[HD]$ puis que $OA'=\frac{1}{2}AH$.
			\item Montrez que $OP=AH$ et que $OPHA$ est un parallélogramme. Déduisez-en que $HP=AO$.
			\item Quel est le symétrique de $K$ par rapport à $(BC)$? Déduisez-en que $HP=OK$.
			\item Concluez que $K$ appartient à $\mathcal{C}$.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	On considère un triangle $ABC$. Soit $(Bx)$ la bissectrice de $\widehat{ABC}$ et $(yy')$ la perpendiculaire en $B$ à $(Bx)$. On projette orthogonalement  $A$ en $P$ et $Q$ sur $(Bx)$ et $(yy')$ respectivement . On désigne par $B'$ et $C'$ les milieux respectifs de $[AC]$ et $[AB]$.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Quelle est la nature du quadrilatère $APBQ$? Déduisez-en que $C'$ et le milieu de $[PQ]$.
		\item Montrez que $(C'P)$ est parallèle à $(BC)$.
		\item Montrez que $P$, $Q$, $C'$ et $B'$ sont alignés.
		\item Trouvez deux autres points analogues à $P$ et $Q$, situés sur $(B'C')$.
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Tracez un segment $[AB]$ de longueur $5\ \mathrm{cm}$ et les cercles de centres $A$ et $B$ de $4\ \mathrm{cm}$ de rayon. On note $I$ et $J$ les points d'intersections de cercles. Que représente la droite  $(IJ)$ pour la segment $[AB]$?
\end{exercice}

\subsubsection{Aire du triangle.}

\begin{proposition}
	L'aire d'un triangle $ABC$ rectangle en $C$ est $\mathscr{A}(ABC)=\frac{AC \times BC}{2}$.
\end{proposition}

\begin{preuve}
	Cela découle du fait qu'un triangle rectangle est un demi rectangle:
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\coordinate (B) at (0,0);
			\coordinate (A) at (3,2);
			\coordinate (C) at (3,0);
			\coordinate (D) at (0,2);
			\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
			\draw [dashed] (A) -- (D) -- (B);
			\def\code{0.2};
			\draw [cm={cos(90) ,-sin(90) ,sin(90) ,cos(90) ,(0,0)}]  ({-\code},{0}) -- ({0-\code},{0+\code}) -- (0,{0+\code});
			\draw [cm={cos(0) ,-sin(-0) ,sin(-0) ,cos(-0) ,(3,0)}]  ({-\code},{0}) -- ({0-\code},{0+\code}) -- (0,{0+\code});
			\draw [cm={cos(180) ,-sin(180) ,sin(180) ,cos(180) ,(0,2)}]  ({-\code},{0}) -- ({0-\code},{0+\code}) -- (0,{0+\code});
			\draw (A) node [above right] {$A$};
			\draw (B) node [below left] {$B$};
			\draw (C) node [below right] {$C$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
\end{preuve}

\begin{proposition}
	Aire du triangle: $\frac{1}{2} \times {\color{red}AB}\times {\color{blue}CH}$.
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\coordinate (A) at (0,0);
			\coordinate (B) at (3,0);
			\coordinate (C) at (2,2);
			\coordinate (H) at (2,0);
			\draw (A) node[below left]{$A$};
			\draw (B) node[below right]{$B$};
			\draw (C) node[above right]{$C$};
			\draw (H) node[below left]{$H$};
			\draw (A)--(C)--(B);
			\draw[thick,red] (A)--(B);
			\draw[thick,blue] (C)--(H);
			\draw[gray] (1.75,0)--(1.75,0.25)--(2,0.25);
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	$H$ est appelé le \emph{\color{purple}pied} de la hauteur issue de $C$ et est le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$.
\end{proposition}

\begin{preuve}
	Supposons que tous les angles du triangle sont aigus, c'est-à-dire inférieur à $90\degres$.
	
	$ACH$ est rectangle en $H$ donc $\mathscr{A}(ACH)=\frac{AH \times HC}{2}$ et $BCH$ est rectangle en $H$ donc $\mathscr{A}(BCH)=\frac{BH \times HC}{2}$ donc $\mathscr{A}(ABC)=\mathscr{A}(ACH)+\mathscr{A}(BCH)=\frac{AH \times HC}{2}+\frac{BH\times HC}{2}=\frac{AH \times HC +BH \times HC}{2}=\frac{(AH+BH)HC}{2}$. Or $H\in [AB]$ donc $AH+BH=AB$ et par conséquent $\mathscr{A}(ABC)=\frac{AB \times HC}{2}$.
	
	La démonstration doit être adaptée si un angle est obtus.
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\coordinate (A) at (0,0);
			\coordinate (B) at (1,0);
			\coordinate (C) at (2,2);
			\coordinate (H) at (2,0);
			\draw (A) node[below left]{$A$};
			\draw (B) node[below right]{$B$};
			\draw (C) node[above right]{$C$};
			\draw (H) node[below left]{$H$};
			\draw (A)--(C)--(B);
			\draw[thick,red] (A)--(B);
			\draw[thick,blue] (C)--(H);
			\draw[gray] (1.75,0)--(1.75,0.25)--(2,0.25);
			\draw [dashed] (B) -- (H);
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
\end{preuve}

\subsubsection{Exercice de géométrie classique.}

\begin{exercice}
	On considère un triangle $ABC$ isocèle en $A$ et les carrés $ABDE$ et $ACGF$ extérieurs au triangle.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Construisez une figure.
		\item Démontrez que $(FE)$ et $(BC)$ sont parallèles.
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item ~
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\coordinate (B) at (-3,0);
			\coordinate (C) at (3,0);
			\coordinate (A) at (0,4);
			\draw (A)--(B)--(C)--(A);
			\coordinate (D) at (-7,3);
			\coordinate (E) at (-4,7);
			\draw (B)--(D)--(E)--(A);
			\coordinate (G) at (7,3);
			\coordinate (F) at (4,7);
			\draw (C)--(G)--(F)--(A);
			\draw (E)--(F);
			\coordinate (H) at (0,0);
			\coordinate (M) at (0,7);
			\draw (H)--(M);
			\draw[gray] (0.5,0)--(0.5,0.5)--(0,0.5);
			\draw (A) node[right]{$A$};			
			\draw (B) node[below]{$B$};
			\draw (C) node[below]{$C$};
			\draw (D) node[left]{$D$};
			\draw (E) node[above]{$E$};
			\draw (F) node[above]{$F$};
			\draw (G) node[right]{$G$};
			\draw (H) node[below]{$H$};
			\draw (M) node[above right]{$M$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		\item Soit $H$ le pied de la hauteur issue de $A$. Puisque $ABC$ est isocèle en $A$, $(AH)$ est aussi la médiatrice de $[BC]$.
		
		\objectif{Démontrons que $[BC]$ est la médiatrice de $[EF]$.}
		
		Notons $M$ le point d'intersection de $(AH)$ et de $(EF)$.
		$\widehat{HAM}$ est plat ce qui équivaut successivement à
		\begin{align*}
		180 &= \widehat{HAB} +\widehat{BAE}+ \widehat{EAM}\\
		180 &= \widehat{HAB} +90+ \widehat{EAM}\\
		90 - \widehat{HAB} &= \widehat{EAM} \quad (E_1)
		\end{align*}
		De même nous établirions que
		\begin{align*}
		90 - \widehat{HAC} &= \widehat{FAM} \quad (E_2)
		\end{align*}
		Puisque $ABC$ est isocèle en $A$, $\widehat{HAC}=\widehat{HAB}$ et nous déduisons de $(E_1)$ et $(E_2)$ que $\widehat{EAM}=\widehat{FAM}$. Autrement dit $(AM)$ est la bissectrice de $\widehat{EAF}$. Puisque $AE=AF$ ($AEF$ est isocèle en $A$) la bissectrice de $\widehat{EAF}$ est aussi la médiatrice de $[EF]$. Nous en déduisons que $(AH) \perp (BC)$ et $(AH) \perp (EF)$ donc 
		
		\begin{conclusion}			
			$(BC) \parallel (EF)$.
		\end{conclusion}		
	\end{enumerate}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Trois personnes sont placées aux trois points $A$, $B$ et $C$ par géolocalisation GPS nous obtenons les distances qui les séparent comme ci-dessous.
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\def\xa{0};
			\def\ya{0};
			\def\xb{13};
			\def\yb{0};
			\def\xc{2};
			\def\yc{4};
			\coordinate (A) at ({\xa},{\ya});
			\draw (A) node{$\bullet$};
			\draw (A) node[below left]{$A$};
			\coordinate (B) at ({\xb},{\yb});
			\draw (B) node{$\bullet$};
			\draw (B) node[below right]{$B$};
			\coordinate (C) at ({\xc},{\yc});
			\draw (C) node{$\bullet$};
			\draw (C) node[above right]{$C$};
			\draw (A) -- (B) node[midway,below,sloped] {$13\ \mathrm{km}$};
			\draw (B) -- (C) node[midway,above,sloped] {$12\ \mathrm{km}$};
			\draw (C) -- (A) node[midway,above,sloped] {$5\ \mathrm{km}$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Sur l'appareil GPS le triangle semble rectangle est-ce le cas?
		\item 		
		\begin{enumerate}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Les trois personnes situées en $A$, $B$ et $C$ respectivement, souhaitent se rejoindre. En quel point doivent-elles se retrouver pour que toutes les trois parcourent la même distance?
			\item Pour se retrouver en ce point quelle direction les personnes situées en $A$ et $B$ doivent-elles suivre? Quelle distance chacune des personnes doit-elle parcourir?
		\end{enumerate}		
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item  Si $ABC$ est rectangle ce ne peut être qu'en $C$ puisque $AB$ est le plus grand côté. Or $AB^2=13^2=169$ et $AC^2+CB^2=5^2 + 12^2=169$ donc, d'après le théorème de Pythagore $ABC$ est rectangle en $C$.
		
		\begin{conclusion}
			Célia a raison.
		\end{conclusion}		
		\item Pour que les trois parcourent la même distance elles doivent se retrouver au centre du cercle circonscrit à $ABC$.
		\item Le triangle étant rectangle en $C$ le centre du cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse.
		
		\begin{conclusion}	
			Amélie et Bintou doivent se diriger l'une vers l'autre.			
		\end{conclusion}		
	\end{enumerate}
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Exercices de géométrie repérée.}

\begin{exercice}
	Dans un repère orthonormé, on donne les points: $E(3;-2),\ F(-2;-3),\ G(-3;2)$.
	Quelle est la nature du triangle $EFG$?	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	{\color{orange}Dessinons le triangle afin de conjecturer la nature de $EFG$.
		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
		\def\xY{-4};
		\def\yY{-4};
		\def\xZ{4};
		\def\yZ{4};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
		\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
		\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
		\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \pgfmathparse{\x }\pgfmathresult};
		\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathresult};
		\coordinate (E) at (3,-2);
		\coordinate (F) at (-2,-3);
		\coordinate (G) at (-3,2);
		\draw (E) node {$\bullet$};
		\draw (F)node {$\bullet$};
		\draw (G)node {$\bullet$};
		\draw (E)node[below]{$E$};
		\draw (F)node[below right]{$F$};
		\draw (G)node[right]{$G$};
		\draw (E)--(F)--(G)--(E);
		\end{tikzpicture}
				
		Il semble que $EFG$ soit isocèle rectangle en $F$.}
	
	\begin{enumerate}[*]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item \objectif{Démontrons que $EFG$ est isocèle en $F$.}
		
		Le repère étant orthonormé:
		\begin{align*}
		EF &= \sqrt{(x_E-x_F)^2+(y_E-y_F)^2}\\
		&= \sqrt{[3-(-2)]^2+[-2-(-3)]^2}\\
		&= \sqrt{26}
		\end{align*}
		et		
		\begin{align*}
		FG &= \sqrt{(x_F-x_G)^2+(y_F-y_G)^2}\\
		&= \sqrt{[-2-(-3)]^2+(-3-2)^2}\\
		&= \sqrt{26}
		\end{align*}
		Donc: $EF=FG$. Autrement dit
		
		\begin{conclusion}
			$EFG$ est isocèle en $F$.
		\end{conclusion}
		\item \objectif{Démontrons que $EFG$ est de plus rectangle en $F$.}
		
		Le repère étant orthonormé:
		\begin{align*}
		EG &= \sqrt{(x_E-x_G)^2+(y_E-y_G)^2}\\
		&= \sqrt{[3-(-3)]^2+(-2-2)^2}\\
		&= \sqrt{52}
		\end{align*}
		Nous avons:
				
		\begin{tabular}{m{5cm}|m{5cm}}
			$\begin{aligned}
			EG^2 &= \sqrt{52}^2\\
			&= 52
			\end{aligned}$
			&
			$\begin{aligned}
			EF^2+FG^2 &= \sqrt{26}^2+\sqrt{26}^2\\	
			&= 52
			\end{aligned}$
			\\ 
		\end{tabular}
		
		et donc: $EG^2=EF^2+FG^2$. Nous en déduisons, d'après le théorème de Pythagore, que 
		
		\begin{conclusion}
			$EFG$ est rectangle en $F$.
		\end{conclusion}		
	\end{enumerate}	
	\begin{conclusion}
		Nous avons démontré que $EFG$ est isocèle rectangle en $F$.
	\end{conclusion}
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Dans un repère orthonormé du plan sont donnés les points 	$A(4;2)$, $B(6;-4)$ et $C(0,-2)$.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Démontrez que le triangle $ABC$ est isocèle.
		\item On note $H$ le pied de la hauteur issue de $B$. Calculez la longueur $AH$, puis la longueur $BH$.
		\item Calculez l'aire de $ABC$.
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item \objectif{Démontrons que $ABC$ est isocèle en $B$}.
		
		{\color{orange}Pour cela il suffit de démontrer que $AB=BC$.}
		
		\medskip
		Le repère étant orthonormé:
		\begin{align*}
		AB &= \sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}\\
		&= \sqrt{(4-6)^2+(2-(-4))^2}\\
		&=\sqrt{40}\\
		&= 2\sqrt{10}\\
		\end{align*}
		et
		\begin{align*}
		BC &= \sqrt{(x_B-x_C)^2+(y_B-y_C)^2}\\
		&= \sqrt{(6-0)^2+(-4-(-2))^2}\\
		&= \sqrt{40}\\
		&= 2\sqrt{10}\\
		\end{align*}		
		Donc: $AB=BC$ et 
		
		\begin{conclusion}				
			$ABC$ est isocèle en $B$.
		\end{conclusion}		
		\item \underline{Déterminons la longueur $AH$}.
		
		{\color{orange}$H$ n'est pas que le pied de la hauteur issue de $B$. En effet,} $ABC$ est isocèle en $B$, donc la hauteur issue de $B$ se confond avec la médiane issue de $B$ {\color{orange}(par symétrie)}. Ainsi $H$ est aussi le milieu de $[AC]$. Donc: $AH=HC=\frac{AC}{2}$.
		
		Calculons la longueur $AC$.
		\begin{align*}
		AC &= \sqrt{(x_A-x_C)^2+(y_A-y_C)^2}\\
		&= \sqrt{(4-0)^2+(2-(-2))^2}\\
		&=\sqrt{32}\\
		&= 4\sqrt{2}\\
		\end{align*}		
		Finalement: 
		
		\begin{conclusion}
			$AH=HC=2\sqrt{2}$.
		\end{conclusion}		
		
		\medskip
		\objectif{Déterminons la longueur $BH$}.
		
		$(BH)$ étant une hauteur de $ABC$, le triangle $ABH$ est rectangle en $H$. Nous en déduisons, d'après le théorème de Pythagore que: $AH^2+HB^2=AB^2$. Cette dernière égalité équivaut successivement à
		\begin{align*}
		\sqrt{32}^2+HB^2 &= \sqrt{40}^2\\
		32+HB^2 &= 40\\
		32+HB^2-32 &= 40-32\\
		HB^2 &= 8\\
		\intertext{et $HB$ étant une longueur donc positive}
		HB &= \sqrt{8}\\
		&= 2\sqrt{2}
		\end{align*}
		Et donc 
				
		\begin{conclusion}	
			$BH=2\sqrt2$.
		\end{conclusion}
	\end{enumerate}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Dans un repère orthonormé $(O,I,J)$ on donne les points: $A(4;3),\ B(-1;0) \text{ et } K(3,-1)$. Montrez que $K$ appartient à la médiatrice de $[AB]$.
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	$K$ appartient à la médiatrice de $[AB]$ si et seulement si $AK=KB$.
	
	\objectif{Démontrons que $AK=KB$.}
	
	Le repère est orthonormé donc:
	\begin{align*}
	AK &= \sqrt{(x_A-x_K)^2+(y_A-y_K)^2}\\
	&= \sqrt{(4-3)^2+[3-(-1)]^2}\\
	&= \sqrt{17}
	\end{align*}
	et	
	\begin{align*}
	KB &= \sqrt{(x_K-x_B)^2+(y_K-y_B)^2}\\
	&= \sqrt{[3-(-1)]^2+(-1-0)^2}\\
	&= \sqrt{17}
	\end{align*}
	donc: $AK=KB$.
	
	Et par conséquent 
	
	\begin{conclusion}
		$K$ appartient à la médiatrice de $[AB]$.
	\end{conclusion}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Dans le repère orthonormé $(O;I,J)$ d'unité $1\ \mathrm{cm}$, on considère les points suivants: $A(6;0)$, $B(0;4)$ et $C(1;-1)$.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Faire une figure.
		\item Prouver que le triangle $ABC$ est rectangle.
		\item On appelle $K$ le milieu du segment $[AB]$.
		\begin{enumerate}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Calculer les coordonnées de $K$.
			\item Prouver que $K$ appartient à la médiatrice de $[OC]$.
		\end{enumerate}		
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\end{document}

\section{Modèles.}

\setlength{\parskip}{0pt}
\setlength{\itemsep}{0pt}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}

\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick,black] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick,black] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\draw (O) node {$\bullet$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\draw (I) node {$\bullet$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	\draw (J) node {$\bullet$};
	%Graduations
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
\end{tikzpicture}

\end{center}

\subsection{Rectangle en coin.}

\begin{tikzpicture}
\def\xangledroit{0};
\def\yangledroit{0};
\def\longueurangledroit{0.5};
\draw[fill=green!30,rotate around={{20}:({\xangledroit},{\yangledroit})}] ({\xangledroit},{\yangledroit}) rectangle ({\xangledroit+\longueurangledroit},{\yangledroit+\longueurangledroit});
\end{tikzpicture}

ou bien avec matrice rotation plus translation ici 45 degres et translation de vecteur (1,1).
\begin{tikzpicture}
\def\code{0.2};
\draw [cm={cos(-45) ,-sin(-45) ,sin(-45) ,cos(-45) ,(1,1)}]  ({-\code},{0}) -- ({0-\code},{0+\code}) -- (0,{0+\code});
\end{tikzpicture}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}

\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
\end{tikzpicture}

\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}

\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
\end{tikzpicture}

\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
\begin{minipage}{5cm}
	\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
		emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
	\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
	\end{lstlisting}
\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
\hline
\begin{minipage}{8cm}
	\LinesNumbered
	\SetKw{entrer}{entrer}
	\SetKw{prend}{prend la valeur}
	\SetKw{afficher}{afficher}
	\begin{algorithm}[H]
		\SetAlgoLined
		\DontPrintSemicolon
		\entrer pi
		0\;
		\Tq{1}{
			2\;
			\eSi{3}{
				4\;
				5\;
			}{
				6\;
			}
		}
		
		\Pour{7}{
			\Si{8}{
				9\;
			}
		}
	\end{algorithm}
\end{minipage}
\\
\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
\\
\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
\\
\hline
Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
\\
\hline
Série $P$ &&&&&& 
\\
\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
\hline
\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
\\
\cline{2-9}
& Sécurité &&&&&&&&&
\\
\hline
&  &&&&&&&&&
\\
\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}

\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
\end{tikzpicture}

\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
\item Épreuve de Bernoulli.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
	\item Expérience: lancer un dé.
	\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
	\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
\end{enumerate}

\item Schéma de Bernoulli.

L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.

\item Loi binomiale.

$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.

\end{enumerate}

\subsection{Engrenages.}
\newcommand{\roue}[4]{% #1 = rayon, #2 = nombre de dents, #3 = X centre, #4 = Y centre
\foreach \i in {1,2,...,#2}
{
	\pgfmathparse{360*(\i-1)/#2}\let\angle\pgfmathresult
	
	\begin{scope}[shift={(#3,#4)}]
		\pgfmathparse{#1*cos(90+360/(#2*4))}\let\Ax\pgfmathresult 
		\pgfmathparse{#1*sin(90+360/(#2*4))}\let\Ay\pgfmathresult
		
		\pgfmathparse{#1*cos(90-360/(#2*4))}\let\Bx\pgfmathresult
		\pgfmathparse{#1*sin(90-360/(#2*4))}\let\By\pgfmathresult
		
		\pgfmathparse{4*#1*cos(90+360/(#2*8))/3}\let\Cx\pgfmathresult
		\pgfmathparse{4*#1*sin(90+360/(#2*8))/3}\let\Cy\pgfmathresult
		
		\pgfmathparse{4*#1*cos(90-360/(#2*8))/3}\let\Dx\pgfmathresult
		\pgfmathparse{4*#1*sin(90-360/(#2*8))/3}\let\Dy\pgfmathresult
		
		\pgfmathparse{90-360/(#2*4)}\let\a\pgfmathresult
		\pgfmathparse{90-1.5*360/(#2*2)}\let\b\pgfmathresult
		
		\draw[rotate=\angle] (\Ax,\Ay) to[bend left=15] (\Cx,\Cy) -- (\Dx,\Dy) to[bend left=15] (\Bx,\By) arc (\a:\b:#1cm); 
	\end{scope}
}
}

\begin{tikzpicture}
\roue{3}{20}{0}{0}
\roue{3}{16}{7.4}{2}
\end{tikzpicture}