%\documentclass{book} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{book} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hmargin={0.75cm,1cm},vmargin={0.5cm,1.25cm},twoside}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 
\settasks{
	% the next two should be set to the same value so labels are aligned to the
	% left
	%label-width = 1em ,
	%item-indent = 1em ,
	%before-skip = 0pt%-\parskip , % undo paragraph skip
	%after-skip =0pt% -\parskip , % undo paragraph skip
	after-item-skip = -2pt%-\parskip % undo paragraph skip
}

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown} \footnotesize}{}

\newenvironment{sujet}{}{}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \noindent Exemples.\vspace{-0.1cm}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\noindent {\color{BlueViolet}Remarques.\vspace{-0.1cm}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{Gray}}{}


%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} {\noindent\color{Black}EXERCICE \theExercice.} \addtocounter{Exercice}{1} \color{Black}}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\noindent\color{Brown}Exercice \theExercicecorrection. \footnotesize}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\textbf{\color{Orange}Définition \theDefinition.} \addtocounter{Definition}{1} \color{Orange} }{}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}{\textbf{\color{purple}Théorème \theTheoreme.}\addtocounter{Theoreme}{1}\color{purple}}{}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}{\textbf{\color{purple}Proposition \theProposition.} \addtocounter{Proposition}{1}\color{purple}}{}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\noindent{\textbf{\color{PineGreen} Démonstration}.} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{PineGreen}}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%Un bug apparu en faisant la mise à jour de pi: les listes tasks ne se colorie plus et restent noir malgrer les commande. La solution est ce truc:
\ExplSyntaxOn\makeatletter
%patch needed to get a around a problem in the l3-drivers
\AtBeginDocument{
 \cs_set_protected_nopar:Npn \color_ensure_current:
   {\set@color}
 }
\ExplSyntaxOff\makeatother 

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{}% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\footnotesize \thepage ]{\footnotesize \thepage }
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour abrege
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}\exclure{culturegenerale}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene}

%Pour les exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour les correction d'exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques}  \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\small 

\subsection*{Géométrie repéré.}

\begin{correction}

\subsubsection{De la géométrie euclidienne classique à la géométrie repérée.}
	
Au collège vous avez étudié la géométrie et l'arithmétique telles que les Grecs les ont inventées et développées.

Une grande partie de ces connaissances sont présentées dans un ouvrage de référence: les \emph{Éléments} de géométrie d'\emph{\color{purple}Euclide} (téléchargeable en \href{http://unemainlavelautre.net/2ieme_2019/2ieme_geometrie_01_geometrie_reperee_01_livre_euclide_elements.pdf}{pdf} et en \href{http://unemainlavelautre.net/2ieme_2019/2ieme_geometrie_01_geometrie_reperee_01_livre_euclide_elements.epub}{epub}). Nous savons très peu de choses d'Euclide il a vraisemblablement vécu vers 300 avant Jésus Christ dans la grande cité grecque de l'époque qu'était Alexandrie dans l'Égypte ptolémaïque.

Ce livre fut le livre d'apprentissage des mathématiques dans tous l'occident jusqu'au XVII\ieme{} siècle. Tous les grands mathématiciens jusqu'à cette époque découvrirent les mathématiques en étudiant cet ouvrages.

Au delà des résultats qui y sont exposés et que vous connaissez bien pour les avoir étudiés au collège (parallélisme, angles alternes, somme des angles d'un triangle, triangles semblables, identités remarquables, angles inscrit, tangente, proportion, théorème de Thalès, nombres premiers, PGCD, aire et volumes usuels) ce qui assura la pérennité des \emph{Éléments} c'est la volonté de l'auteur de démontrer ces résultats. Son influence fut considérable dans le développement de la logique et de l'axiomatique (résultats qui ne peuvent être démontrés et doivent donc être admis) des mathématiques. Nous retrouverons dans nos cours cette volonté d'admettre un minimum d'axiomes et de démontrer si possible tous les résultats que nous rencontrerons.

Malheureusement les élèves ne retiennent bien souvent qu'une collection de résultats sans percevoir la cohérence de l'ensemble.

Il nous restent quelques résultats de cet ouvrage à étudier. En classe de seconde nous verrons l'irrationalité de $\sqrt{2}$ et le fait qu'il y a une infinité de nombres premiers. 

Pendant près de deux mille ans ce fut l'ouvrage de référence.

\medskip
Dans la géométrie euclidienne le nombre est un outil de la géométrie: il représente une longueur, une aire ou un volume. Les mathématiques prirent un virage décisif lorsqu'un mathématicien eut l'idée de ramener l'étude la géométrie à des calculs sur les nombres de façon systématique.

\begin{notabene}
	
	Comment repérer la position d'un point dans le plan? 
	
	Construction des repères en dimensions 1 puis deux à la main et au tableau pour introduire la définition qui suivra.
	
\end{notabene}

Cette nouvelle façon de traiter la géométrie qui fut vite utilisée par Fermat est appelée \emph{\color{purple}géométrie analytique}. Le titre de cette leçon, \emph{Géométrie repérée}, doit être compris comme une paraphrase de cette expression.

L'idée d'associer systématiquement la position d'un objet géométrique à un couple de nombres est due à René Descartes ($XVII^{\text{ième}}$). Il fut un grand mathématicien mais la postérité a surtout retenu le philosophe dont les méthodes de réflexion exposées dans son \emph{Discours de la méthode} (\href{http://unemainlavelautre.net/2ieme_2019/2ieme_geometrie_01_geometrie_reperee_02_livre_descartes_discours_de_la_methode.pdf}{pdf}, \href{http://unemainlavelautre.net/2ieme_2019/2ieme_geometrie_01_geometrie_reperee_02_livre_descartes_discours_de_la_methode.epub}{epub)} sont inspirées de celles des mathématiques.

\begin{center}
	
	\includegraphics[scale=0.12]{2ieme_analyse_01_001_rene_descartes.jpg}
	
\end{center}

Les principes de réflexion suivants notamment sont bien connus:

\medskip
\og Le premier était de ne recevoir jamais aucune chose pour vraie, que je ne la connusse évidemment être telle: c’est-à-dire, d’éviter soigneusement la précipitation et la prévention; et de ne comprendre rien de plus en mes jugements, que ce qui se présenterait si clairement et si distinctement à mon esprit, que je n’eusse aucune occasion de le mettre en doute.

\medskip
Le second, de diviser chacune des difficultés que j’examinerais, en autant de pour celles qu’il se pourrait, et qu’il serait requis pour les mieux résoudre.

\medskip
Le troisième, de conduire par ordre mes pensées, en commençant par les objets les plus simples et les plus aisés à connaître, pour monter peu à peu, comme par degrés, jusques à la connaissance des plus composés; et supposant même de l’ordre entre ceux qui ne se précèdent point naturellement les uns les autres.

\medskip
Et le dernier, de faire partout des dénombrements si entiers, et des revues si générales, que je fusse assuré de ne rien omettre.\fg 

\medskip
C'est pour rendre hommage à ce grand mathématicien qu'on parle de \emph{\color{purple}repère cartésien} (par opposition à d'autre système de coordonnées).

Pour vous occuper au prochain confinement (ou cyclone, ou en remplacement de la dernière série américaine).

\begin{enumerate}[$\bullet$]
	\item \emph{Éléments}. L'ouvrage d'\emph{Euclide}, auxquels tous les grands mathématiciens se sont frottés dont je vous recommande la lecture pour la démarche logique et pour s'amuser à retrouver les résultats de géométrie que vous connaissez déjà mais formulés de façon inhabituelle: \href{http://unemainlavelautre.net/2ieme_2019/2ieme_geometrie_01_geometrie_reperee_01_livre_euclide_elements.pdf}{pdf} et en \href{http://unemainlavelautre.net/2ieme_2019/2ieme_geometrie_01_geometrie_reperee_01_livre_euclide_elements.epub}{epub}.
	
	\item \emph{Discours de la méthode} de \emph{Descartes}. Celui-ci est plus un ouvrage de philosophie mais il est fondateur (en prévision de la terminale peut être): \href{http://unemainlavelautre.net/2ieme_2019/2ieme_geometrie_01_geometrie_reperee_02_livre_descartes_discours_de_la_methode.pdf}{pdf}, \href{http://unemainlavelautre.net/2ieme_2019/2ieme_geometrie_01_geometrie_reperee_02_livre_descartes_discours_de_la_methode.epub}{epub}.
	
\end{enumerate}
	
\end{correction}

\begin{lecon}
	Nous utiliserons cette année vos connaissances antérieures de géométrie. Notamment sur les 
	\begin{itemize}
		\item quadrilatères, (\href{http://unemainlavelautre.net/2ieme_2019/2ieme_geometrie_02_quadrilateres_sujet.pdf}{pdf}) (\href{http://unemainlavelautre.net/2ieme_2019/2ieme_geometrie_02_quadrilateres.pdf}{pdf correction}),
		\item triangles, (\href{http://unemainlavelautre.net/2ieme_2019/2ieme_geometrie_03_triangles_sujet.pdf}{pdf}) (\href{http://unemainlavelautre.net/2ieme_2019/2ieme_geometrie_03_triangles.pdf}{pdf correction}),
		\item cercles, (\href{http://unemainlavelautre.net/2ieme_2019/2ieme_geometrie_04_cercles_sujet.pdf}{pdf}) (\href{http://unemainlavelautre.net/2ieme_2019/2ieme_geometrie_04_cercles.pdf}{pdf correction}).
	\end{itemize}
\end{lecon}

\subsubsection{Repère d'une droite.}

\begin{definition}
	Soit $\mathscr{D}$ une droite du plan. On appelle \emph{\color{purple}repère de la droite} $\mathscr{D}$ tout couple $(O,I)$ de deux points distincts de $\mathscr{D}$.
\end{definition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item L'ordre dans un couple compte: $(O,I)$ et $(I,O)$ sont deux repères distincts.
		\item Pour la droite $(AB)$ les repères naturels sont $(A,B)$ et $(B,A)$.
		\item Les unités de longueur n'ont pas beaucoup d'intérêt en mathématique. Un calcul qu'il concerne des centimètres ou des année-lumières est toujours le même pour les mathématiciens. Les unités sont issues de choix historiques arbitraires qui n'ont pas leur place en mathématique. En choisissant un repère sur une droite nous choisissons pour unité la longueur $OI$: $OI=1$.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{definition}
	Soient $\mathscr{D}$ une droite, $(O,I)$ un repère de $\mathscr{D}$ et $M\in\mathscr{D}$. On appelle \emph{\color{purple}abscisse du point} $M$ la longueur $AM$ si $M\in[OI)$ et son opposé sinon.
\end{definition}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item On a dessiné ci-dessous une droite $\mathscr{D}$ munie d'un repère $(O,I)$.
		
		\begin{tikzpicture}
			\draw (0,0) -- (8,0);
			\coordinate (O) at (3,0);
			\coordinate (I) at (4,0);
			\draw (O) node {\tiny$|$};
			\draw (I) node {\tiny$|$};
			\draw (I) node [above] {$I$};
			\draw (O) node [above] {$O$};
			\coordinate (A) at (1,0);
			\coordinate (B) at (6,0);
			\draw (A) node {\tiny$|$};
			\draw (B) node {\tiny$|$};
			\draw (A) node [above] {$A$};
			\draw (B) node [above] {$B$};
			\draw (8,0) node [below left] {$\mathscr{D}$};
		\end{tikzpicture}
		
		L'abscisse de $A$ dans le repère $(O,I)$ est $-2$ et celle de $B$ est $3$.
		\item On considère une droite $\mathscr{D}$ et divers points sur celle-ci.
		
		\begin{tikzpicture}
			\coordinate (debut) at (0,0);
			\coordinate (fin) at (8,0);
			\draw (debut) -- (fin);
			\draw (fin) node [below left] {$\mathscr{D}$};
			\foreach \x in {1,2,...,7} {\draw ({\x},{-0.1}) -- ({\x},{0});}
			\coordinate (A) at (2,0);
			\draw (A) node [above] {$A$};
			\coordinate (B) at (4,0);
			\draw (B) node [above] {$B$};
			\coordinate (C) at (7,0);
			\draw (C) node [above] {$C$};
		\end{tikzpicture}
		
		Dans le repère $(A,B)$ l'abscisse de $B$ est $1$. Dans le repère $(C,B)$ l'abscisse de $A$ est $\frac{2}{3}$. Dans le repère $(B,A)$ l'abscisse de $C$ est $-1,5$.
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\item Sans être une notation internationale, l'usage est bien établi de noter de façon générique $x_A$ l'abscisse du point $A$. De même $x_M$ désigne l'abscisse de $M$, et cetera.
	\end{enumerate}
\end{remarques}


\subsubsection{Repère du plan.}

\begin{lecon}
	Un repère est une façon de donner des indication numériques sur la position d'un objet géométrique dans le plan.	
\end{lecon}

\begin{definition}
	Nous appellerons \emph{\color{purple}repère cartésien du plan} la donnée, dans cet ordre, de trois points $O$, $I$ et $J$ du plan euclidien non alignés et distincts deux à deux. Nous le noterons $(O,I,J)$.	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Le repère $(O,I,J)$ est dit \emph{\color{purple}orthogonal} lorsque le triangle $OIJ$ est rectangle en $O$.
		\item Le repère $(O,I,J)$ est dit \emph{\color{purple}orthonormal}, ou \emph{\color{purple}orthonormé}, lorsque le triangle $OIJ$ est isocèle rectangle en $O$.
	\end{enumerate}	
\end{definition}

\begin{exemples}	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\foreach \u in {-2,-1,...,2} \draw[gray!60] (\u,-2)--(\u,3);
			\foreach \v in {-2,-1,...,3} \draw[gray!60] (-2,\v)--(2,\v);
			\draw[ ->,very thick] (-2, 0) -- (2, 0) node[right]{};
			\draw[ ->,very thick] (0, -2) -- (0, 3) node[above]{};
			\coordinate (O) at (0,0);
			\coordinate (I) at (1,0);
			\coordinate (J) at (0,1);
			\coordinate (A) at (1,2);
			\draw[blue] (O) node{$\bullet$};
			\draw[blue] (O) node[below left]{$O$};
			\draw[blue] (I) node{$\bullet$};
			\draw[blue] (I) node[below left]{$I$};
			\draw[blue] (J) node{$\bullet$};
			\draw[blue] (J) node[left]{$J$};
			\draw (A) node{$\bullet$};
			\draw (A) node[above right]{$A(1,2)$};
		\end{tikzpicture}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.4,yscale=0.5]
			\foreach \u in {-2,-1,...,2} \draw[gray!60] (\u,-2)--(\u,3);
			\foreach \v in {-2,-1,...,3} \draw[gray!60] (-2,\v)--(2,\v);
			\draw[ ->,very thick] (-2, 0) -- (2, 0) node[right]{};
			\draw[ ->,very thick] (0, -2) -- (0, 3) node[above]{};
			\coordinate (O) at (0,0);
			\coordinate (I) at (1,0);
			\coordinate (J) at (0,1);
			\coordinate (A) at (1,2);
			\draw[blue] (O) node{$\bullet$};
			\draw[blue] (O) node[below left]{$O$};
			\draw[blue] (I) node{$\bullet$};
			\draw[blue] (I) node[below left]{$I$};
			\draw[
			blue] (J) node{$\bullet$};
			\draw[blue] (J) node[left]{$J$};
			\draw (A) node{$\bullet$};
			\draw (A) node[above right]{$A(1,2)$};
		\end{tikzpicture}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\foreach \u in {-2,-1,...,2} \draw[gray!60] ({\u+0.5},-2)--({\u-0.5},3);
			\foreach \v in {-2,-1,...,3} \draw[gray!60] (-2.5,\v)--(2.5,\v);
			\draw[ ->,very thick] (-2.5, 0) -- (2.5, 0) node[right]{};
			\draw[ ->,very thick] (0.5, -2) -- (-0.5, 3) node[above]{};
			\coordinate (O) at (0.1,0);
			\coordinate (I) at (1.1,0);
			\coordinate (J) at ({-0.15},1);
			\coordinate (A) at ({0.7},2);
			\draw[blue] (O) node{$\bullet$};
			\draw[blue] (O) node[below left]{$O$};
			\draw[blue] (I) node{$\bullet$};
			\draw[blue] (I) node[below left]{$I$};
			\draw[blue] (J) node{$\bullet$};
			\draw[blue] (J) node[left]{$J$};
			\draw (A) node{$\bullet$};
			\draw (A) node[above right]{$A(1,2)$};
		\end{tikzpicture}		
	\end{center}	
\end{exemples}

\begin{remarques}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}		
		\item On pourrait ajouter un nouveau point $K$ et considérer le repère $(O,I,J,K)$ pour passer d'un espace à deux dimensions à un espace à trois dimensions. Ce qui sera fait en terminale.
		\item Nous appellerons \emph{\color{purple}axe des abscisses} \emph{i.e.} la droite $(OI)$ orientée de $O$ vers $I$ muni de graduations correspondant à $OI=1$. De même pour  l'\emph{\color{purple}axe des ordonnées}.
		\item Il existe d'autres méthodes de repérage des points: le repérage avec les coordonnées polaires qui est plus adapté pour décrire des trajectoires circulaires.
	\end{enumerate}	
\end{remarques}

\begin{definition}
	Soient $(O,I,J)$ un repère orthogonal, $M$ un point du plan. On appelle coordonnées de $M$ le couple de nombres réels $(a,b)$ où $a$ est l'abscisse du projeté orthogonal de $M$ sur $(OI)$dans le repère $(O,I)$ et $b$ est l'abscisse du projeté orthogonal de $M$ sur $(OJ)$dans le repère $(O,J)$.
\end{definition}

\begin{remarques}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}		
		\item Dans un couple de coordonnées la première coordonnée est (toujours) l'\emph{\color{purple}abscisse} et la seconde l'\emph{\color{purple}ordonnée}.
		\item L'usage est bien établi de noter de façon générique $y_A$ l'ordonnée du point $A$. De même $y_M$ désigne l'ordonnée de $M$.
		\item Dans un repère qui ne serait pas orthogonal il faudrait utiliser des projections parallèlement aux axes.
	\end{enumerate}	
\end{remarques}

\subsubsection{Distance entre points du plan.}

\begin{definition}	
	Dans un repère $(O,I,J)$ \underline{orthonormé} sont placés deux points $A$ et $B$ dont les coordonnées sont respectivement $(x_A;y_A)$ et $(x_B;y_B)$. La distance (euclidienne affine) de $A$ à $B$ est définie par
	$AB=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}$.
	
\end{definition}

\begin{remarques}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}		
		\item Cette formule permet de calculer (les distances donc) les longueurs en géométrie repérée. Elle sera donc utiliser avec des résultats utilisant les longueurs: théorème de Thalès, théorème de Pythagore, calculs d'aires.		
		\item Cette définition n'est valable que pour les repères orthonormés. Ce peut être un indice dans les exercices.		
		\item Cette formule généralise la distance vue avec la valeur absolue: pour $A$ et $B$ des points de la droite numérique, $AB=|x_A-x_B|=\sqrt{(x_A-x_B)^2}$. Elle se généralise en trois dimensions comme vous le verrez en terminale: $AB=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2+(z_A-z_B)^2}$.		
		\item Cette formule est également appelée formule de la \emph{\color{purple}moyenne géométrique}.		
		\item Cette formule est ici introduite comme une définition cependant il est possible de faire le lien avec la géométrie classique et les distance sur les axes gradués grâce au théorème de Pythagore:		
		\begin{center}			
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
				\def\xY{-0.5};
				\def\yY{-0.5};
				\def\xZ{14.5};
				\def\yZ{8.5};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
				\coordinate (O) at (0,0);
				\draw (O) node {$\bullet$};
				\draw (O) node[below left] {$O$};
				\coordinate (I) at (1,0);
				\draw (I) node {$\bullet$};
				\draw (I) node[below right] {$I$};
				\coordinate (J) at (0,1);
				\draw (J) node {$\bullet$};
				\draw (J) node[above left] {$J$};
				\coordinate (A) at (3,2);
				\draw (A) node {$\bullet$};
				\draw (A) node[below left] {$A$};
				\coordinate (A1) at (3,0);
				\draw (A1) node {\tiny \color{orange} $\bullet$};
				\draw (A1) node[below] {\color{orange} $x_A$};
				\coordinate (A2) at (0,2);
				\draw (A2) node {\tiny \color{orange} $\bullet$};
				\draw (A2) node[left] {\color{orange} $y_A$};
				\coordinate (B) at (10,6);
				\draw (B) node {$\bullet$};
				\draw (B) node[above right] {$B$};
				\coordinate (B1) at (10,0);
				\draw (B1) node {\tiny \color{OliveGreen} $\bullet$};
				\draw (B1) node[below] {\color{OliveGreen} $x_B$};
				\coordinate (B2) at (0,6);
				\draw (B2) node {\tiny \color{OliveGreen} $\bullet$};
				\draw (B2) node[left] {\color{OliveGreen} $y_B$};
				\draw[thick,Emerald] (9.5,2) -- (9.5,2.5) -- (10,2.5);
				\fill[Emerald!40] (9.5,2) -- (9.5,2.5) -- (10,2.5) -- (10,2) -- cycle;
				\coordinate (H) at (10,2);
				\draw (H) node {$\bullet$};
				\draw (H) node[below right] {$H$};
				\draw[thick,OliveGreen] (9.5,2) -- (9.5,2.5) -- (10,2.5);
				\fill[OliveGreen!40] (9.5,2) -- (9.5,2.5) -- (10,2.5);
				\draw[very thick,blue] (A) -- (B);
				\draw[>=latex,thick,red,dashed,<->] (A) -- (H) node[midway,below,fill=white] {$x_B-x_A$};
				\draw[>=latex,thick,red,dashed,<->] (B) -- (H) node[midway,right,fill=white] {$y_B-y_A$};
			\end{tikzpicture}			
		\end{center}		
	\end{enumerate}	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Si $K(-1;3)$ et $L(7,13)$ dans un repère orthonormal du plan alors:
		\begin{align*}
			KL &= \sqrt{(xL-x_K)^2+(y_L-y_K)^2}\\
			&= \sqrt{\left( 7-(-1)\right)^2+(13-3)^2}\\
			&= \sqrt{136}\\
			&= 2\sqrt{34}
		\end{align*}
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\subsubsection{Exercices.}

\begin{exercice}
	Dans le repère $(O,I,J)$ ci-dessous	
	\begin{center}		
		\begin{tikzpicture}
			[xscale=0.4,yscale=0.4]
			\def\xY{-9.2};
			\def\yY{-7.2};
			\def\xZ{11.2};
			\def\yZ{8.2};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			%\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			%\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			%\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
			\draw (3,0) node {$\bullet$};
			\draw (3,0) node[below right] {$I$};
			\draw (0,2) node {$\bullet$};
			\draw (0,2) node[above left] {$J$};
			\draw (0,0) node {$\bullet$};
			\draw (0,0) node[below left] {$O$};
			\draw (-6,2) node {$\bullet$};
			\draw (-6,2) node[above right] {$A$};
			\draw (-3,-4) node {$\bullet$};
			\draw (-3,-4) node[above right] {$B$};
			\draw (3,4) node {$\bullet$};
			\draw (3,4) node[above right] {$C$};
			\draw (6,5) node {$\bullet$};
			\draw (6,5) node[above right] {$D$};
			\draw (9,-6) node {$\bullet$};
			\draw (9,-6) node[above right] {$E$};
		\end{tikzpicture}		
	\end{center}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item déterminez les coordonnées des points $A$, $B$, $C$, $D$ et $E$;
		\item placez les points
		\begin{tasks}(3)
			\task $F(1;-2)$,
			\task $G(-1;3)$,
			\task $H\left( \frac{2}{3};0\right)$.
		\end{tasks}
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{notabene}		
		Ajouter une explication graphique de la lecture du premier point en distinguant bien abscisse et ordonnées.		
	\end{notabene}	
	\begin{enumerate}
		\item {\color{orange}Il faut être vigilant: ici le repère n'est pas orthonormé mais simplement orthogonal. Une unité sur l'axe des abscisses correspond à $3$ carreaux et une unité sur l'axe des ordonnées correspond à $2$ carreaux.}
		
		\begin{conclusion}			
			$A(-2;1)$, $B(-1;-2)$, $C(1;2)$, $D(2;2,5)$ et $E(3;-3)$.			
		\end{conclusion}		
		\item ~
		
		\begin{center}			
			\begin{tikzpicture}
				[xscale=0.4,yscale=0.4]
				\def\xY{-9.2};
				\def\yY{-7.2};
				\def\xZ{11.2};
				\def\yZ{8.2};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				%\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				%\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				%\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
				\draw (3,0) node {$\bullet$};
				\draw (3,0) node[below right] {$I$};
				\draw (0,2) node {$\bullet$};
				\draw (0,2) node[above left] {$J$};
				\draw (0,0) node {$\bullet$};
				\draw (0,0) node[below left] {$O$};
				\draw (-6,2) node {$\bullet$};
				\draw (-6,2) node[above right] {$A$};
				\draw (-3,-4) node {$\bullet$};
				\draw (-3,-4) node[above right] {$B$};
				\draw (3,4) node {$\bullet$};
				\draw (3,4) node[above right] {$C$};
				\draw (6,5) node {$\bullet$};
				\draw (6,5) node[above right] {$D$};
				\draw (9,-6) node {$\bullet$};
				\draw (9,-6) node[above right] {$E$};
				\draw (3,-6) node {$\bullet$};
				\draw (3,-6) node[above right] {$F$};
				\draw (-3,6) node {$\bullet$};
				\draw (-3,6) node[above right] {$G$};
				\draw (2,0) node {$\bullet$};
				\draw (2,0) node[above right] {$H$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}		
	\end{enumerate}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	\begin{notabene}
		
		\begin{itemize}
			\item Les questions sont de l'application des coordonnées et lecture d'un programme scratch.
			\item La question 4 fait intervenir des multiples.
			\item La question 5 permet d'évoquer les translation et donc les vecteurs.
		\end{itemize}
		
	\end{notabene}	
	L'affichage sur un moniteur (écran) est constitué de pixels, \emph{i.e.} de tout petits carrés illuminés d'une seule couleur à la fois. Il est possible de repérer chaque pixel par ses coordonnées.	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.2]
			\def\xY{0};
			\def\yY{0};
			\def\xZ{10};
			\def\yZ{10};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,thick,black] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[below left]{};
			\draw[ ->,thick,black] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[below left]{};
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {1,4}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \x};
			\foreach \y in {1,6}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize \y};
			\fill[color=gray , opacity=0.75] (0.5,0.5)--(1.5,0.5)--(1.5,1.5)--(0.5,1.5)-- cycle;
			\fill[color=red , opacity=0.75] (3.5,5.5)--(4.5,5.5)--(4.5,6.5)--(3.5,6.5)-- cycle;
		\end{tikzpicture}
	\end{center}	
	Lors de la création d'un jeu vidéo l'affichage d'un personnage sera centré sur un pixel.
	
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{>{\centering\arraybackslash}X}}
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			Afin de déplacer le personnage (ici le lutin sous Scratch) vers la droite ou vers la gauche le programme suivant est créé. Le lutin apparaît au pixel de coordonnées $(0,0)$.			
			\begin{enumerate}
				\setlength{\parskip}{0pt}
				\setlength{\itemsep}{0pt}
				\item Donnez les abscisses et ordonnées du lutin si l'utilisateur appuie sur la touche \og bas \fg{}.				
				\item Donnez les abscisses et ordonnées du lutin si l'utilisateur appuie successivement sur la touche \og bas \fg{}, la touche \og gauche \fg{}, la touche \og bas \fg{} et à nouveau la touche \og bas \fg{}.				
				\item Proposez un enchaînement de touches sur lesquelles appuyer afin que le lutin se retrouve au point de coordonnées $(-90,30)$.				
				\item Expliquez pourquoi il est impossible que le lutin se retrouve au point de coordonnées $(25,-60)$.				
				\item Quelle transformation du plan est appliquée au lutin lorsqu'une instruction \begin{scratch}[scale=0.75] \blockmove{ajouter \ovalnum{} à ...} \end{scratch} est réalisée?				
			\end{enumerate}
		\end{minipage}
		&		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			\begin{scratch}[scale=0.75]
				\blockinit{quand \greenflag est cliqué}
				\blockmove{s'orienter à \ovalnum{90}}
				\blockinfloop{répéter indéfiniment}
				{
					\blockif{si \boolsensing{touche \selectmenu{flèche droite} pressée?} alors}
					{
						\blockmove{ajouter \ovalnum{10} à x}					
					}
					\blockif{si \boolsensing{touche \selectmenu{flèche gauche} pressée?} alors}
					{
						\blockmove{ajouter \ovalnum{-10} à x}					
					}
					\blockif{si \boolsensing{touche \selectmenu{flèche haut} pressée?} alors}
					{
						\blockmove{ajouter \ovalnum{10} à y}					
					}
					\blockif{si \boolsensing{touche \selectmenu{flèche bas} pressée?} alors}
					{
						\blockmove{ajouter \ovalnum{-10} à y}
					}
				}
			\end{scratch}
		\end{minipage}
	\end{tabularx}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	{\color{orange}En algorithmique , pour l'instant , les réponses sont relativement peu argumentées. l'essentiel est de lire est comprendre le fonctionnement et le rôle de l'algorithme.}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}		
		\item Si l'utilisateur appuie sur la touche bas le lutin voit ses coordonnées modifiées (donc il se déplace) la variable $y$ qui représente son ordonnée est diminuée de $10$ donc ses nouvelles coordonnées sont $(0;-10)$.		
		\item Puisqu'on appuie $3$ fois sur \og bas \fg{} et $1$ fois sur \og gauche\fg{} ses nouvelles coordonnées (en partant de l'origine du repère) sont $(-30;-10)$.		
		\item $-90=9 \times (-10)$ donc il a fallu se déplacer $9$ fois vers la gauche. Puisque $30 = 3 \times 10$ il a fallu se déplacer $3$ fois vers le haut.		
		\item $25$ n'est pas un multiple de $10$ il est donc impossible qu'un déplacement conduise à cette position.		
		\item Le lutin n'est tourné (rotation), il n'est pas retourné (symétrie axiale), il n'est ni agrandi ni réduit par conséquent il s'agit d'une translation.		
	\end{enumerate}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Tracez un repère orthonormé $(O,I,J)$ ($1\ \mathrm{cm}$ ou un carreau pour unité) puis placez les points: $A(1;3)$, $B(-3;1)$ et $C(3,-3)$.
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
			\def\xY{-4.5};
			\def\yY{-4.5};
			\def\xZ{4.5};
			\def\yZ{4.5};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
			\coordinate (A) at (1,3);
			\coordinate (B) at (-3,1);
			\coordinate (C) at (3,-3);
			\coordinate (O) at (0,0);
			\coordinate (I) at (1,0);
			\coordinate (J) at (0,1);
			\draw (A) node{$\bullet$};
			\draw (B) node{$\bullet$};
			\draw (C) node{$\bullet$};
			\draw (O) node{$\bullet$};
			\draw (I) node{$\bullet$};
			\draw (J) node{$\bullet$};
			\draw (A) node[above right]{$A$};
			\draw (B) node[above right]{$B$};
			\draw (C) node[above right]{$C$};
			\draw (O) node[below left]{$O$};
			\draw (I) node[below right]{$I$};
			\draw (J) node[above left]{$J$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	\begin{notabene}		
		Point méthodologique: s'il est écrit \og démontrez\fg{}, vous ne pouvez vous contenter d'une lecture graphique.
		
		De plus si le dessin n'est pas demandé il est inutile de perdre du temps à le faire en évaluation à moins bien sûr que ce soit pour vous, pour conjecturer une propriété. Dans ce cas il ne faut perdre de temps.		
	\end{notabene}	
	Les points $N(1;1)$, $P(-2;-1)$ et $Q(3;-2)$ sont placés dans un repère orthonormé du plan. Démontrez que le triangle $NPQ$ est isocèle en $N$.	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	{\color{orange}$NPQ$ est isocèle en $N$ si et seulement si $NP=NQ$.}
	
	\objectif{Calculons $NP$ et $NQ$.}
	
	Le repère est orthonormé donc
	\begin{align*}
		NP &= \sqrt{(x_N-x_P)^2+(y_N-y_P)^2}\\
		&= \sqrt{(1-(-2))^2+(1-(-1))^2}\\
		&=\sqrt{13}
	\end{align*}
	et 
	\begin{align*}
		NQ &\color{orange}= \sqrt{(x_N-x_Q)^2+(y_N-y_Q)^2}\\
		&\color{orange}= \sqrt{(1-3)^2+(1-(-2))^2}\\
		&=\sqrt{13}
	\end{align*}	
	Donc $NP=NQ$ et 
	
	\begin{conclusion}		
		$NPQ$ est isocèle en $N$.		
	\end{conclusion}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Le plan étant muni d'un repère orthonormé $(O,I,J)$, les points $K(-1;7)$, $L(-1;4)$ et $M(3;4)$ sont choisis. Démontrez que le triangle $KLM$ est rectangle en $L$.	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\objectif{Démontrons que $KLM$ est rectangle en $L$.}
	
	{\color{orange}Nous allons utiliser la réciproque du théorème de Pythagore, en calculant les longueurs des différents côtés.}
	
	Puisque le repère est orthonormé	
	\begin{align*}
		KL &= \sqrt{(x_K-x_L)^2+ (y_K-y_L)^2}\\
		&= \sqrt{(-1-(-1))^2 + ((7-4)^2)^2}\\
		&= 3
	\end{align*}	
	De même	
	\begin{align*}
		LM &= 4\\
		MK &= 5
	\end{align*}
	Comme \[ \left\{ \begin{array}{l} KL^2 + LM^2 =3^2+4^2=25\\
		MK^2 = 5^2 = 25 \end{array} \right. \] par transitivité: $KL^2+LM^2=MK^2$.
	
	Par conséquent, d'après le théorème de Pythagore, 
	
	\begin{conclusion}		
		$KLM$ est rectangle en $L$.		
	\end{conclusion}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Dans un repère orthonormé on considère les points $I(4;-50)$ et $M(25;13)$ démontrez que $M$ appartient au cercle de centre $I$ et de rayon $21\sqrt{10}$.
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Rédigez une fonction Python ou en Scratch qui détermine la longueur $AB$ en fonction des coordonnées des points $A$ et $B$ dans un repère orthonormé.	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	Voici une fonction en Python qui calcul la longueur $AB$ lorsque $A(x;y)$ et $B(u;v)$.
	\begin{center}
		\begin{minipage}{8cm}
			\lstset{emph={dis}, emphstyle=\color{red},
				emph={[2]x,y,u,v}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
			\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
				from math import *
				def dis(x,y,u,v):
				print("AB=",sqrt((x-u)**2+(y-v)**2))
			\end{lstlisting}
		\end{minipage}
	\end{center}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Dans un repère orthonormé, on donne les points: $E(3;-2),\ F(-2;-3),\ G(-3;2)$.
	Quelle est la nature du triangle $EFG$?
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	{\color{orange}Dessinons le triangle afin de conjecturer la nature de $EFG$.
		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\def\xY{-4};
			\def\yY{-4};
			\def\xZ{4};
			\def\yZ{4};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \pgfmathparse{\x }\pgfmathresult};
			\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathresult};
			\coordinate (E) at (3,-2);
			\coordinate (F) at (-2,-3);
			\coordinate (G) at (-3,2);
			\draw (E) node {$\bullet$};
			\draw (F)node {$\bullet$};
			\draw (G)node {$\bullet$};
			\draw (E)node[below]{$E$};
			\draw (F)node[below right]{$F$};
			\draw (G)node[right]{$G$};
			\draw (E)--(F)--(G)--(E);
		\end{tikzpicture}
		
	Il semble que $EFG$ soit isocèle rectangle en $F$.}	
	\begin{enumerate}[*]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item \objectif{Démontrons que $EFG$ est isocèle en $F$.}
		
		Le repère étant orthonormé:
		\begin{align*}
			EF &= \sqrt{(x_E-x_F)^2+(y_E-y_F)^2}\\
			&= \sqrt{[3-(-2)]^2+[-2-(-3)]^2}\\
			&= \sqrt{26}
		\end{align*}		
		et		
		\begin{align*}
			FG &= \sqrt{(x_F-x_G)^2+(y_F-y_G)^2}\\
			&= \sqrt{[-2-(-3)]^2+(-3-2)^2}\\
			&= \sqrt{26}
		\end{align*}		
		Donc: $EF=FG$. Autrement dit
		
		\begin{conclusion}			
			$EFG$ est isocèle en $F$.			
		\end{conclusion}		
		\item \objectif{Démontrons que $EFG$ est de plus rectangle en $F$.}
		
		Le repère étant orthonormé:
		\begin{align*}
			EG &= \sqrt{(x_E-x_G)^2+(y_E-y_G)^2}\\
			&= \sqrt{[3-(-3)]^2+(-2-2)^2}\\
			&= \sqrt{52}
		\end{align*}
		
		Nous avons:
		
		\begin{tabular}{m{5cm}|m{5cm}}
			$\begin{aligned}
				EG^2 &= \sqrt{52}^2\\
				&= 52
			\end{aligned}$
			&
			$\begin{aligned}
				EF^2+FG^2 &= \sqrt{26}^2+\sqrt{26}^2\\	
				&= 52
			\end{aligned}$
			\\ 
		\end{tabular}
				
		et donc: $EG^2=EF^2+FG^2$.
		
		Nous en déduisons, d'après le théorème de Pythagore, que 
		
		\begin{conclusion}			
			$EFG$ est rectangle en $F$.			
		\end{conclusion}		
	\end{enumerate}	
	\begin{conclusion}		
		Nous avons démontré que $EFG$ est isocèle rectangle en $F$.		
	\end{conclusion}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Dans un repère orthonormé du plan sont donnés les points 	$A(4;2)$, $B(6;-4)$ et $C(0,-2)$.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Démontrez que le triangle $ABC$ est isocèle.
		\item On note $H$ le pied de la hauteur issue de $B$. Calculez la longueur $AH$, puis la longueur $BH$.
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item \objectif{Démontrons que $ABC$ est isocèle en $B$}.
		
		{\color{orange}Pour cela il suffit de démontrer que $AB=BC$.}
		
		\medskip
		Le repère étant orthonormé:
		\begin{align*}
			AB &= \sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}\\
			&= \sqrt{(4-6)^2+(2-(-4))^2}\\
			&=\sqrt{40}\\
			&= 2\sqrt{10}\\
		\end{align*}
		et
		\begin{align*}
			BC &= \sqrt{(x_B-x_C)^2+(y_B-y_C)^2}\\
			&= \sqrt{(6-0)^2+(-4-(-2))^2}\\
			&= \sqrt{40}\\
			&= 2\sqrt{10}\\
		\end{align*}
		
		Donc: $AB=BC$ et 
		
		\begin{conclusion}			
			$ABC$ est isocèle en $B$.			
		\end{conclusion}		
		\item \underline{Déterminons la longueur $AH$}.
		
		{\color{orange}$H$ n'est pas que le pied de la hauteur issue de $B$. En effet,} $ABC$ est isocèle en $B$, donc la hauteur issue de $B$ se confond avec la médiane issue de $B$ {\color{orange}(par symétrie)}. Ainsi $H$ est aussi le milieu de $[AC]$. Donc:
		\[ AH=HC=\frac{AC}{2} \]
		
		Calculons la longueur $AC$.
		\begin{align*}
			AC &= \sqrt{(x_A-x_C)^2+(y_A-y_C)^2}\\
			&= \sqrt{(4-0)^2+(2-(-2))^2}\\
			&=\sqrt{32}\\
			&= 4\sqrt{2}\\
		\end{align*}		
		Finalement: 
		
		\begin{conclusion}			
			$AH=HC=2\sqrt{2}$.			
		\end{conclusion}		
		\medskip
		\objectif{Déterminons la longueur $BH$}.
		
		$(BH)$ étant une hauteur de $ABC$, le triangle $ABH$ est rectangle en $H$. Nous en déduisons, d'après le théorème de Pythagore que \[ AH^2+HB^2=AB^2 \]
		Cette dernière égalité équivaut successivement à
		\begin{align*}
			\sqrt{32}^2+HB^2 &= \sqrt{40}^2\\
			32+HB^2 &= 40\\
			32+HB^2-32 &= 40-32\\
			HB^2 &= 8\\
			\intertext{et $HB$ étant une longueur donc positive}
			HB &= \sqrt{8}\\
			&= 2\sqrt{2}
		\end{align*}		
		Et donc 
		
		\begin{conclusion}			
			$BH=2\sqrt2$.			
		\end{conclusion}		
	\end{enumerate}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Dans un repère orthonormé $(O,I,J)$ on donne les points: $$A(4;3),\ B(-1;0) \text{ et } K(3,-1)$$
	Montrez que $K$ appartient à la médiatrice de $[AB]$.	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	$K$ appartient à la médiatrice de $[AB]$ si et seulement si $AK=KB$.
	
	\objectif{Démontrons que $AK=KB$.}
	
	Le repère est orthonormé donc:	
	\begin{align*}
		AK &= \sqrt{(x_A-x_K)^2+(y_A-y_K)^2}\\
		&= \sqrt{(4-3)^2+[3-(-1)]^2}\\
		&= \sqrt{17}
	\end{align*}	
	et	
	\begin{align*}
		KB &= \sqrt{(x_K-x_B)^2+(y_K-y_B)^2}\\
		&= \sqrt{[3-(-1)]^2+(-1-0)^2}\\
		&= \sqrt{17}
	\end{align*}	
	donc: $AK=KB$.
	
	Et par conséquent 
	
	\begin{conclusion}		
		$K$ appartient à la médiatrice de $[AB]$.		
	\end{conclusion}	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Coordonnées du milieu d'un segment.}

\begin{lecon}	
	Nous allons généraliser un résultat vu avec la valeur absolue.
	
	\begin{tikzpicture}
		\draw [>=latex, ->] (-3,0) -- (5,0);
		\draw (0,0) node{$|$};
		\draw (0,-0.5) node {$0$};
		\draw (0,0.5) node {$O$};
		\draw (1,0) node{$|$};
		\draw (1,-0.5) node {$1$};
		\draw (3,0) node{$|$};
		\draw (3,-0.5) node {$3$};
		\draw (3,0.5) node {$B$};
		\draw (-1,0) node{$|$};
		\draw (-1,-0.5) node {$-1$};
		\draw (-1,0.5) node {$A$};
		\draw (1,-0.5) node {$1$};
		\draw (1,0.5) node {$M$};
	\end{tikzpicture}
	
	L'abscisse du milieu, $M$, de $[AB]$ est $x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}$.	
\end{lecon}

\begin{proposition}
	Dans un repère (quelconque) $\left(O,I,J\right)$ sont placés deux points $A$ et $B$ dont les coordonnées sont respectivement $(x_A;y_A)$ et $(x_B;y_B)$.
	Les coordonnées du milieu $M$ de $[AB]$ sont $x_M= \frac{x_A+x_B}{2}$ et $y_M= \frac{y_A+y_B}{2}$.	
\end{proposition}

\subsubsection{Exercices}

\begin{exercice}
	Soient $R(2;5)$ et $S(-256;-1002)$ deux points du plan qu'on a muni d'un repère $(O,I,J)$. Déterminez précisément le point d'intersection du segment $[RS]$ et de sa médiatrice.
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	Le point d'intersection de $[RS]$ et de sa médiatrice est le milieu $M$ de $[RS]$.
	
	\objectif{Déterminons les coordonnées de $M$.}
	
	Puisque $M$ est le milieu de $[RS]$:
	\begin{align*}
		x_M &= \frac{x_R+x_S}{2}\\
		&= \frac{2+(-256)}{2}\\
		&= -127
	\end{align*}
	et	
	\begin{align*}
		y_M &= \frac{y_R+y_S}{2}\\
		&= \frac{5+(-1002)}{2}\\
		&= -\frac{997}{2}
	\end{align*}
	\begin{conclusion}
		$M \left( -157; -\frac{997}{2} \right)$.
	\end{conclusion}
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Soient $A(6;5)$ et $S(2;3)$ deux points d'un repère $(O,I,J)$. Déterminez les coordonnées du point $A'$ symétrique de $A$ par rapport à $S$.
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	{\color{orange}$A'$ est le symétrique de $A$ par rapport à $S$ si et seulement si $S$ est le milieu de $[AA']$.}
	
	\objectif{Déterminons les coordonnées de $A'$.}
	
	Puisque $S$ est milieu de $[AA']$ nous devons avoir:
	\begin{align*}
		x_S &= \frac{x_A+x_{A'}}{2}\\
		\intertext{ce qui équivaut successivement à:}
		2 &= \frac{6+x_{A'}}{2}\\
		2 {\color{orange} \times 2} &= \frac{6+x_{A'}}{2}  {\color{orange} \times 2}\\
		4 &= 6+x_{A'}\\
		4 {\color{orange}-6} &= 6+x_{A'} {\color{orange}-6}\\
		-2 &= x_{A'}
	\end{align*}	
	De même, en travaillant avec les ordonnées, nous obtenons $y_{A'}=1$.
	
	Enfin:
	
	\begin{conclusion}
		$A'(-2;1)$.		
	\end{conclusion}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Rédigez un programme en Python qui donne les coordonnées du milieu d'un segment dont les coordonnées des extrémités sont connues.	
\end{exercice}

\begin{exercice}	
	On munit le plan d'un repère  orthonormé $(O;I,J)$. On construit un triangle $PAT$ dont les sommets ont pour coordonnées respectives $(-2;4)$, $(0;-1)$ et $(5;-2)$. Le point $E$ est le milieu du segment $[AT]$. La parallèle à $(TP)$ passant par $E$ coupe $(PA)$ en $F$. Quelles sont les coordonnées de $F$?	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Considérons un parallélogramme $ABCD$ dans un plan muni d'un repère. Sachant que $A(-1;7)$, $B(-20;100)$, $C(3;107)$ et $D(22;y_D)$, déterminez l'ordonnée $y_D$ du point $D$.	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\objectif{Déterminons l'ordonnée de $D$.}
	
	Notons $M$ le milieu de $[AC]$.
	
	Nous avons	
	\begin{align*}
		y_M &= \frac{y_A+y_C}{2}\\
		&= \frac{7+3}{2}\\
		&= 5
	\end{align*}	
	Et puisque $M$ est aussi le milieu de $[BD]$.	
	\begin{align*}
		y_M &= \frac{y_B+y_D}{2}\\
		5&= \frac{-20+y_D}{2}\\
		5 {\color{orange} \times 2} &= \frac{-20+y_D}{2} {\color{orange} \times 2} \\
		10 &= \frac{(-20+y_D) \times {\color{orange}2}}{{\color{orange} 2 \times 1}}  \\
		10 &= -20+y_D \\
		10 {\color{orange}+20} &= -20+y_D {\color{orange}+20} \\
		30 &= y_D
	\end{align*}	
	\begin{conclusion}		
		$y_D=30$.		
	\end{conclusion}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}	
	Dans le repère orthonormé $(O;I,J)$ d'unité $1\ \mathrm{cm}$, on considère les points suivants: $A(6;0)$, $B(0;4)$ et $C(1;-1)$.	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Faire une figure.
		\item Prouver que le triangle $ABC$ est rectangle.
		\item On appelle $K$ le milieu du segment $[AB]$.		
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Calculer les coordonnées de $K$.
			\item Prouver que $K$ appartient à la médiatrice de $[OC]$.
		\end{enumerate}		
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item 		
		\item $AB=\sqrt{52}$, $BC=\sqrt{26}$ et $AC=\sqrt{26}$. D'après la réciproque du théorème de Pythagore $ABC$ est rectangle en $C$.		
		\item 		
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item $K(3;2)$.			
			\item $KO=OC=\sqrt{13}$.			
		\end{enumerate}		
	\end{enumerate}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Représentez les points proposés dans un repère orthonormé $(O,I,J)$. Conjecturez la nature du quadrilatère ainsi construit puis démontrez cette conjecture.	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $M(-1;3),\ N(3;2),\ P(3,-2),\ Q(-2,-1)$.		
		\begin{notabene}
			
			Ce n'est pas même un parallélogramme.
			
		\end{notabene}		
		\item $A(1;3),\ B(5;1),\ C(3,-1),\ D(-1;1)$.		
		\begin{notabene}
			
			C'est un parallélogramme.
			
		\end{notabene}		
		\item $E(3;1),\ F(2;3),\ G(-4;0),\ H(-3,-2)$.		
		\begin{notabene}
			
			C'est un rectangle.
			
		\end{notabene}		
		\item $P(-3;4),\ Q(-2;1),\ R(1;0),\ S(0;3)$.		
		\begin{notabene}
			
			C'est un losange.
			
		\end{notabene}		
		\item $U(1;3),\ V(3,-1),\ W(-1,-3),\ S(-3;1)$.		
		\begin{notabene}
			
			C'est un carré.
			
		\end{notabene}		
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Conjecturons le résultat en dessinant la situation.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
				\def\xY{-4};
				\def\yY{-4};
				\def\xZ{4};
				\def\yZ{4};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
				\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
				\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
				\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
				\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \pgfmathparse{\x }\pgfmathresult};
				\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathresult};
				\coordinate (M) at (-1,3);
				\coordinate (N) at (3,2);
				\coordinate (P) at (3,-2);
				\coordinate (Q) at (-2,-1);
				\draw (M) node {$\bullet$};
				\draw (N)node {$\bullet$};
				\draw (P)node {$\bullet$};
				\draw (Q)node {$\bullet$};
				\draw (M)node[above]{$M$};
				\draw (N)node[below right]{$N$};
				\draw (P)node[right]{$P$};
				\draw (Q)node[left]{$Q$};
				\draw[thick,blue] (M)--(N)--(P)--(Q)--(M);
			\end{tikzpicture}
		\end{center}		
		Le quadrilatère ne semble pas même être un parallélogramme.		
		\item \objectif{$ABCD$ semble être un parallélogramme démontrons-le.}
		
		Notons $M$ le milieu de $[AC]$. Nous avons
				
		\begin{tabularx}{\linewidth}{X|X}
			$\begin{aligned}
				x_M &= \frac{x_A+x_C}{2}\\
				&= \frac{1+3}{2}\\
				&= 2
			\end{aligned}$
			&
			$\begin{aligned}
				y_M &= \frac{y_A+y_C}{2}\\
				&= \frac{3+(-1)}{2}\\
				&= 1
			\end{aligned}$
		\end{tabularx}
		
		Donc: $M(2;1)$.
		
		\medskip		
		Notons $N$ le milieu de $[BD]$. Nous avons
		
		\begin{tabularx}{\linewidth}{X|X}
			$\begin{aligned}
				x_N &= \frac{x_B+x_D}{2}\\
				&= \frac{5+(-1)}{2}\\
				&= 2
			\end{aligned}$
			&
			$\begin{aligned}
				y_N &= \frac{y_B+y_D}{2}\\
				&= \frac{1+1}{2}\\
				&= 1
			\end{aligned}$
		\end{tabularx}
		
		Donc: $N(2;1)$
		
		Par conséquent: $M=N$.
		
		Les diagonales de $ABCD$ se coupant en leur milieu nous pouvons affirmer que
		
		\begin{conclusion}			
			$ABCD$ est un parallélogramme.			
		\end{conclusion}		
		\item \objectif{Démontrons que $EFGH$ est un rectangle.}
		
		Démontrons tout d'abord que $EFGH$ est un parallélogramme.
		
		Notons $I$ le milieu de $[EG]$. Nous avons
		
		\begin{tabularx}{\linewidth}{X|X}
			$\begin{aligned}
				x_I &= \frac{x_E+x_G}{2}\\
				&= \frac{3+(-4)}{2}\\
				&= -\frac{1}{2}
			\end{aligned}$
			&
			$\begin{aligned}
				y_I &= \frac{y_E+y_G}{2}\\
				&= \frac{1+0}{2}\\
				&= \frac{1}{2}
			\end{aligned}$
		\end{tabularx}
		
		Donc: $I\left( -\frac{1}{2}; \frac{1}{2} \right)$.
		
		\medskip		
		Notons $J$ le milieu de $[FH]$. Nous avons
		
		\begin{tabularx}{\linewidth}{X|X}
			$\begin{aligned}
				x_J &= \frac{x_F+x_H}{2}\\
				&= \frac{2+(-3)}{2}\\
				&= -\frac{1}{2}
			\end{aligned}$
			&
			$\begin{aligned}
				y_J &= \frac{y_F+y_H}{2}\\
				&= \frac{3+(-2)}{2}\\
				&= \frac{1}{2}
			\end{aligned}$
		\end{tabularx}
		
		Donc: $J\left( -\frac{1}{2} ; \frac{1}{2} \right)$.
		
		Ainsi: $I=J$. Autrement dit les diagonales de $EFGH$ se coupent en leur milieu et donc $EFGH$ est un parallélogramme.
		
		\medskip
		Démontrons que le parallélogramme $EFGH$ est un rectangle.
		
		{\color{orange}Il suffit de montrer que, par exemple, ses diagonales sont de même longueur.}
		
		$(O,I,J)$ étant orthonormé:
		
		\begin{align*}
			EG &= \sqrt{(x_E-x_G)^2+(y_E-y_G)^2}\\
			&= \sqrt{[3-(-4)]^2+(1-0)^2}\\
			&= \sqrt{50}\\
			&= 5\sqrt{2}
		\end{align*}		
		et		
		\begin{align*}
			FH &= \sqrt{(x_F-x_H)^2+(y_F-y_H)^2}\\
			&= \sqrt{[2-(-3)]^2+[3-(-2)]^2}\\
			&= \sqrt{50}\\
			&= 5\sqrt{2}
		\end{align*}		
		Donc: $EG=FH$. $EFGH$ est donc un parallélogramme dont les diagonales ont même longueur. Autrement dit:
		
		\begin{conclusion}			
			$EFGH$ est un rectangle.			
		\end{conclusion}		
		\item \objectif{Démontrons que $PQRS$ est un losange.}
		
		Démontrons tout d'abord que $PQRS$ est un parallélogramme.
		
		Notons $I$ le milieu de $[PR]$. Nous avons
		
		\begin{tabularx}{\linewidth}{X|X}
			$\begin{aligned}
				x_I &= \frac{x_P+x_R}{2}\\
				&= \frac{-3+1}{2}\\
				&= -1
			\end{aligned}$
			&
			$\begin{aligned}
				y_I &= \frac{y_P+y_R}{2}\\
				&= \frac{4+0}{2}\\
				&= 2
			\end{aligned}$
		\end{tabularx}
		
		Donc: $I\left( -1;2 \right)$.
		
		\medskip		
		Notons $J$ le milieu de $[QS]$. Nous avons
		
		\begin{tabularx}{\linewidth}{X|X}
			$\begin{aligned}
				x_J &= \frac{x_Q+x_S}{2}\\
				&= \frac{-2+0}{2}\\
				&= -1
			\end{aligned}$
			&
			$\begin{aligned}
				y_J &= \frac{y_Q+y_S}{2}\\
				&= \frac{1+3}{2}\\
				&= 2
			\end{aligned}$
		\end{tabularx}
		
		Donc: $J\left( -1 ; 2 \right)$.
		
		Ainsi: $I=J$. Autrement dit les diagonales de $PQRS$ se coupent en leur milieu et donc $PQRS$ est un parallélogramme.
		
		\medskip
		Démontrons que le parallélogramme $PQRS$ est un losange.
		
		{\color{orange}Il suffit de montrer que, par exemple, que deux côtés consécutifs sont de même longueur.}
		
		$(O,I,J)$ étant orthonormé:		
		\begin{align*}
			PQ &= \sqrt{(x_P-x_Q)^2+(y_P-y_Q)^2}\\
			&= \sqrt{[-3-(-2))^2+(4-1)^2}\\
			&= \sqrt{10}
		\end{align*}		
		et		
		\begin{align*}
			QR &= \sqrt{(x_Q-x_R)^2+(y_Q-y_R)^2}\\
			&= \sqrt{(-2-1)^2+(1-0)^2}\\
			&= \sqrt{10}
		\end{align*}		
		Donc: $PQ=QR$. $PQRS$ est donc un parallélogramme dont deux côtés consécutifs ont même longueur. Autrement dit:
		
		\begin{conclusion}			
			$PQRS$ est un losange.			
		\end{conclusion}		
		\item \objectif{Démontrons que $UVWS$ est un carré.}
		
		Démontrons tout d'abord que $UVWS$ est un parallélogramme.
		
		Notons $I$ le milieu de $[UW]$. Nous avons
		
		\begin{tabularx}{\linewidth}{X|X}
			$\begin{aligned}
				x_I &= \frac{x_U+x_W}{2}\\
				&= \frac{1+(-1)}{2}\\
				&= 0
			\end{aligned}$
			&
			$\begin{aligned}
				y_I &= \frac{y_U+y_W}{2}\\
				&= \frac{3+(-3)}{2}\\
				&= 0
			\end{aligned}$
		\end{tabularx}
		
		Donc: $I\left( 0;0 \right)$.
		
		\medskip		
		Notons $J$ le milieu de $[VS]$. Nous avons
		
		\begin{tabularx}{\linewidth}{X|X}
			$\begin{aligned}
				x_J &= \frac{x_V+x_S}{2}\\
				&= \frac{3+(-3)}{2}\\
				&= 0
			\end{aligned}$
			&
			$\begin{aligned}
				y_J &= \frac{y_V+y_S}{2}\\
				&= \frac{-1+1}{2}\\
				&= 0
			\end{aligned}$
		\end{tabularx}
		
		Donc: $J\left( 0 \right)$.
		
		Ainsi: $I=J$. Autrement dit les diagonales de $PQRS$ se coupent en leur milieu et donc $PQRS$ est un parallélogramme.
		
		\medskip
		Démontrons que le parallélogramme $UVWS$ est un losange.
		
		{\color{orange}Il suffit de montrer que, par exemple, que deux côtés consécutifs sont de même longueur.}
		
		$(O,I,J)$ étant orthonormé:		
		\begin{align*}
			UV &= \sqrt{(x_U-x_V)^2+(y_U-y_V)^2}\\
			&= \sqrt{(1-3)^2+[3-(-1)]^2}\\
			&= \sqrt{8}\\
			&= 2\sqrt{2}
		\end{align*}		
		et		
		\begin{align*}
			VW &= \sqrt{(x_V-x_W)^2+(y_V-y_W)^2}\\
			&= \sqrt{[3-(-1)]^2+[-1-(-3)]^2}\\
			&= \sqrt{8}\\
			&= 2\sqrt{2}
		\end{align*}		
		Donc: $UV=VW$. $UVWS$ est donc un parallélogramme dont deux côtés consécutifs ont même longueur. Autrement dit c'est un losange.
		
		\medskip
		Démontrons que le losange $UVWS$ est un carré.
		
		{\color{orange}Il suffit par exemple de démontrer que $UVWS$ a des diagonales de même longueur.}
		
		$(O,I,J)$ étant orthonormé:		
		\begin{align*}
			UW &= \sqrt{(x_U-x_W)^2+(y_U-y_W)^2}\\
			&= \sqrt{[1-(-1)]^2 + [3-(-3)]^2}\\
			&= \sqrt{85}
		\end{align*}		
		et		
		\begin{align*}
			VS &= \sqrt{(x_V-x_S)^2+(y_V-y_S)^2}\\
			&= \sqrt{[3-(-3)]^2+(-1-1)^2}\\
			&= \sqrt{85}
		\end{align*}		
		Donc: $UW=VS$. $UVWS$ est donc un losange dont les diagonales ont même longueur. Autrement dit:
		
		\begin{conclusion}				
			$UVWS$ est un carré.			
		\end{conclusion}		
	\end{enumerate}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Résolvez le problème suivant en utilisant un repère judicieusement choisi.
	Soit $ABCD$ un parallélogramme. On note $I$ le milieu de $[AD]$ et $E$ l'image de $B$ par la symétrie de centre $I$.
	Montrez que $D$ est le milieu de $[CE]$.
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Résolvez le problème suivant en utilisant un repère judicieusement choisi.
	Soit $ABCD$ un rectangle tel que $BC=5$ et $DC=8$. Soient $M \in[AB]$ tel que $AM=3$ et $I \in [AD]$ tel que $AJ=3$.
	Déterminez la nature du triangle $MJC$.
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Soient $OAB$ un triangle, $A'$ et $B'$ les symétriques respectifs de $O$ par apport à $A$ et $B$. 
	On note $I$ et $J$ les milieux respectifs de $[AB]$ et $[A'B']$.
	On se place dans le repère $(O,A,B)$.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Donnez, en justifiant, les coordonnées des points $I$, $A'$, $B'$ et $J$.
		\item Les points $O$, $I$ et $J$ sont-ils alignés?
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}	
	On considère dans un repère orthonormé $A(-2 ;2)$, $B(3;7)$ et $C(10;8)$.	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Démontrez que $H(4;5)$ est le projeté orthogonal de $B$ sur $(AC)$.		
		\item Comment appelle-t-on $(HB)$ pour le triangle $ABC$?		
		\item Calculez la distance $d(B;(AC))$ de $B$ à $(AC)$.		
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item 		
		\begin{enumerate}[*]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item $\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 12 \\ 6 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AH} \begin{pmatrix} 6 \\ 3\end{pmatrix}$.
			
			$\overrightarrow{AC} =2 \overrightarrow{AH}$ donc $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AH}$ sont colinéaires et donc $A$, $C$ et $H$ sont alignés.
			
			On a bien $H \in (AC)$.			
			\item $AH^2=45$, $AB^2=50$ et $HB^2=5$ donc $AHB$ est rectangle en $H$.
			
			On a bien $(BH) \perp (AC)$.			
		\end{enumerate}		
		\begin{conclusion}			
			$H$ est le projeté orthogonal de $B$ sur $(AC)$.			
		\end{conclusion}		
		\item $(HB)$ passe par le sommet $B$ et est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet donc
				
		\begin{conclusion}			
			$(HB)$ est la hauteur de $ABC$ issue de $B$.			
		\end{conclusion}		
		\item Puisque $H$ est le projeté orthogonal de $B$ sur $(AC)$: $d\left( B;(AC) \right)=BH$ et donc
		
		\begin{conclusion}			
			$BH=\sqrt{5}$.			
		\end{conclusion}		
	\end{enumerate}	
\end{exercicecorrection}

\end{document}

\section{Modèles.}

\setlength{\parskip}{0pt}
\setlength{\itemsep}{0pt}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick,black] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick,black] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\draw (O) node {$\bullet$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\draw (I) node {$\bullet$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	\draw (J) node {$\bullet$};
	%Graduations
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Rectangle en coin.}

\begin{tikzpicture}
	\def\xangledroit{0};
	\def\yangledroit{0};
	\def\longueurangledroit{0.5};
	\draw[fill=green!30,rotate around={{20}:({\xangledroit},{\yangledroit})}] ({\xangledroit},{\yangledroit}) rectangle ({\xangledroit+\longueurangledroit},{\yangledroit+\longueurangledroit});
\end{tikzpicture}

ou bien avec matrice rotation plus translation ici 45 degres et translation de vecteur (1,1).
\begin{tikzpicture}
		\def\code{0.2};
		\draw [cm={cos(-45) ,-sin(-45) ,sin(-45) ,cos(-45) ,(1,1)}]  ({-\code},{0}) -- ({0-\code},{0+\code}) -- (0,{0+\code});
\end{tikzpicture}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}

\subsection{Engrenages.}
\newcommand{\roue}[4]{% #1 = rayon, #2 = nombre de dents, #3 = X centre, #4 = Y centre
\foreach \i in {1,2,...,#2}
{
\pgfmathparse{360*(\i-1)/#2}\let\angle\pgfmathresult

\begin{scope}[shift={(#3,#4)}]
\pgfmathparse{#1*cos(90+360/(#2*4))}\let\Ax\pgfmathresult 
\pgfmathparse{#1*sin(90+360/(#2*4))}\let\Ay\pgfmathresult

\pgfmathparse{#1*cos(90-360/(#2*4))}\let\Bx\pgfmathresult
\pgfmathparse{#1*sin(90-360/(#2*4))}\let\By\pgfmathresult

\pgfmathparse{4*#1*cos(90+360/(#2*8))/3}\let\Cx\pgfmathresult
\pgfmathparse{4*#1*sin(90+360/(#2*8))/3}\let\Cy\pgfmathresult

\pgfmathparse{4*#1*cos(90-360/(#2*8))/3}\let\Dx\pgfmathresult
\pgfmathparse{4*#1*sin(90-360/(#2*8))/3}\let\Dy\pgfmathresult

\pgfmathparse{90-360/(#2*4)}\let\a\pgfmathresult
\pgfmathparse{90-1.5*360/(#2*2)}\let\b\pgfmathresult

\draw[rotate=\angle] (\Ax,\Ay) to[bend left=15] (\Cx,\Cy) -- (\Dx,\Dy) to[bend left=15] (\Bx,\By) arc (\a:\b:#1cm); 
\end{scope}
}
}

\begin{tikzpicture}
\roue{3}{20}{0}{0}
\roue{3}{16}{7.4}{2}
\end{tikzpicture}