%\documentclass{book} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{book} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hmargin={0.75cm,1cm},vmargin={0.5cm,1.25cm},twoside}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 
	\settasks{
		% the next two should be set to the same value so labels are aligned to the
		% left
		%label-width = 1em ,
		%item-indent = 1em ,
		%before-skip = 0pt%-\parskip , % undo paragraph skip
		%after-skip =0pt% -\parskip , % undo paragraph skip
		after-item-skip = -2pt%-\parskip % undo paragraph skip
	}
	
	\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket
	
	\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
	\opset{decimalsepsymbol={,}}
	
	\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
	%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
	%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|
	
	\usepackage{fancyhdr}
	
	%######Algo
	
	\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
		%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
		%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
		%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
		\lstdefinestyle{pythonstyle}{
			language=Python,
			backgroundcolor=\color{gray!30},   
			commentstyle=\color{Plum},
			keywordstyle=\color{blue},
			numberstyle=\tiny\color{black},
			stringstyle=\color{ForestGreen},
			basicstyle=\ttfamily\color{black},
			breakatwhitespace=false,         
			breaklines=true,                 
			captionpos=b,                    
			keepspaces=true,                 
			numbers=none,                   
			numbersep=5pt,                  
			showspaces=false,                
			showstringspaces=false,
			showtabs=false,                  
			tabsize=1
		}
		\lstset{style=pythonstyle}
		
		\lstdefinestyle{bashstyle}{
			language=bash,
			backgroundcolor=\color{black},   
			commentstyle=\color{white},
			keywordstyle=\color{magenta},
			numberstyle=\tiny\color{black},
			stringstyle=\color{white},
			basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
			breakatwhitespace=false,         
			breaklines=true,                 
			captionpos=b,                    
			keepspaces=true,                
			numbers=left,                    
			numbersep=5pt,                  
			showspaces=false,                
			showstringspaces=false,
			showtabs=false,                  
			tabsize=1
		}
		%\lstset{style=bashstyle}
		
		\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode
		
		\usepackage{scratch3}
		
		%############### Formule developpée molécule chimie
		
		\usepackage{chemfig}
		
		%#####################
		% Commande et environnement #
		%#####################
		
		\theoremstyle{plain}
		
		%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
		\usepackage{titlesec}
		\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
		\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
		\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
		\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}
		
		\renewcommand{\thesection}{{}}
		\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
		\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}
		
		\newenvironment{correction}{\color{Brown} \footnotesize}{}
		
		\newenvironment{sujet}{}{}
		
		%environnement bareme
		\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}
		
		%environnement détais du barème
		\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}
		
		%environnement notabene
		\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}
		
		%environnement exemples
		\newenvironment{exemples}{\color{blue} \noindent Exemples.\vspace{-0.1cm}}{}
		
		%environnement remarques
		\newenvironment{remarques}{\noindent {\color{BlueViolet}Remarques.\vspace{-0.1cm}}\color{BlueViolet}}{}
		
		\newenvironment{lecon}{\color{Gray}}{}
		
		
		%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
		\newsavebox{\selvestebox}
		\newenvironment{colbox}[1]
		{\newcommand\colboxcolor{#1}%
			\begin{lrbox}{\selvestebox}%
				\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
				{\end{minipage}\end{lrbox}%
			\begin{center}
				\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
		\end{center}}
		
		%environnement exercice
		\newcounter{Exercice}
		\setcounter{Exercice}{1}
		\newcounter{Exercicecorrection}
		\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} {\noindent\color{Black}EXERCICE \theExercice.} \addtocounter{Exercice}{1} \color{Black}}
		
		%environnement exercicecorrection
		\newenvironment{exercicecorrection}{\noindent\color{Brown}Exercice \theExercicecorrection. \footnotesize}
		
		%environnement definition
		\newcounter{Definition}
		\setcounter{Definition}{1}
		\newenvironment{definition}{\textbf{\color{Orange}Définition \theDefinition.} \addtocounter{Definition}{1} \color{Orange} }{}
		
		%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
		\newcounter{Theoreme}
		\setcounter{Theoreme}{1}
		\newenvironment{theoreme}{\textbf{\color{purple}Théorème \theTheoreme.}\addtocounter{Theoreme}{1}\color{purple}}{}
		
		%environnement proposition
		\newcounter{Proposition}
		\setcounter{Proposition}{1}
		\newenvironment{proposition}{\textbf{\color{purple}Proposition \theProposition.} \addtocounter{Proposition}{1}\color{purple}}{}
		
		%environnement démonstration
		\newcounter{Demonstration}
		\setcounter{Demonstration}{1}
		\newenvironment{preuve}{\noindent{\textbf{\color{PineGreen} Démonstration}.} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{PineGreen}}
		
		%environnement conclusion encadré et coloré
		\newenvironment{conclusion}
		{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
					{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }
		
		%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
		\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}}
		
		%########################
		%Test conditionnel pour l'affichage    #
		%########################
		\newif\ifs
		%\strue%affiche la boite à trous
		\sfalse%affiche la réponse
		
		%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
		\newcounter{Trous}
		\setcounter{Trous}{1}
		\newcommand{\trous}[2][3cm]{
			\ifs
			\begin{Form}
				\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
			\end{Form}
			\xspace
			\else
			#2
			\fi
			\addtocounter{Trous}{1}
		}
		
		%Un bug apparu en faisant la mise à jour de pi: les listes tasks ne se colorie plus et restent noir malgrer les commande. La solution est ce truc:
		\ExplSyntaxOn\makeatletter
		%patch needed to get a around a problem in the l3-drivers
		\AtBeginDocument{
			\cs_set_protected_nopar:Npn \color_ensure_current:
			{\set@color}
		}
		\ExplSyntaxOff\makeatother 
		
		%#########################
		%en tête puis pied de page
		%#########################
		
		\pagestyle{empty}
		\pagestyle{fancy} 
		\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
		\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
		\chead[\small ]{}% l left, c center, r right
		\rhead[]{}
		\lfoot[]{}
		\cfoot[\footnotesize \thepage ]{\footnotesize \thepage }
		\rfoot[]{}
		
		%############################
		%les environnements qu'on affiche ou pas  #
		%############################
		
		\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
		
		%Pour abrege
		%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}\exclure{culturegenerale}
		
		%Pour cours intégrale
		\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene}
		
		%Pour les exercices uniquement.
		%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}
		
		%Pour les correction d'exercices uniquement.
		%\exclure{exemples} \exclure{remarques}  \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}
		
		%Pour devoir surveillé sujet
		%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}
		
		%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}
	
\small 

\subsection*{Inclusions des ensembles de nombres classiques.}

\begin{lecon}
	
	À cette étape de votre scolarité les nombres ont de multiples formes: nombres entiers, écritures décimales, fractionnaires, écritures scientifiques.
	
	Faisons un peu de ménage dans cet embrouillamini. 
	
\end{lecon}

\subsubsection{Une petite histoire des nombres.}

\begin{notabene}
	
	Vous connaissez déjà des nombres. Certains sont plus naturels que d'autres: $0$, $1$,... D'autres moins. Quels nombres connaissez-vous?
	
\end{notabene}

\begin{lecon}	
	Les premiers nombres servaient à dénombrer, c'est-à-dire à compter les objets: $1$, $2$, $3$, et ainsi de suite. Si cela nous paraît naturel, que l'on songe à l'effort de conceptualisation qu'il fallut faire pour considérer qu'il y avait quelque chose de commun entre $3$ souris et $3$ éléphants. 
	
	Le nombre est un objet qui ne se préoccupe pas de ce qu'on observe. Il n'est associé à aucune sorte particulière d'objets à aucune unité de mesure.
	
	\medskip
	Il fallut faire des partages et les fractions firent leur apparition. Mais dans un premier temps il s'agissait de méthodes de calcul et non de nombres. Ainsi dans l'antiquité grecque les fractions étaient considérées comme des ratios c'est-à-dire des rapports entre des longueurs et non comme des nombres; il s'agissait d'un lien ente deux nombres et non d'un unique nombre. Mais les Grecs furent embêtés par un nombre qui n'existait pas: $\sqrt{2}$. En effet, s'il est possible de dessiner cette longueur, il est impossible de l'exprimer dans un ratio avec les nombres entiers (nombres incommensurables).
	
	Pour les Grecs il n'y avait pas d'unité officielle de mesure. L'important n'était pas le nombre mais les rapports de grandeurs. D'où l'importance du théorème de Thalès il fallait un outil forcément géométrique pour reproduire des rapports de longueurs.
		
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\draw (0,0) -- (2,0)--(2,6) -- cycle;
			\draw (1,0) -- (1,3);
			\draw (1,2) node {$\bullet$};
			\draw (2,4) node {$\bullet$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\medskip
	Il fallut très longtemps pour que l'absence d'objet put être considérée comme un nombre. Les nombres sont nés pour la comptabilité et la géométrie (au sens littéral de mesure de la Terre) domaines qui s'intéresse à ce qui est, et non à ce qui n'est pas. Inventé dès le VII\ieme{} siècle en Inde le zéro n'apparaît en Europe qu'au X\ieme{} siècle.
	
	\medskip
	Si conceptuellement l'acceptation du zéro fut difficile, son utilisation combinée à celles des chiffres arabes pour écrire les nombres fit florès.
	
	Il existait des systèmes décimaux depuis le III\ieme{} siècle avant Jésus-Christ mais l'écriture était lourde. Si $\alpha$ avait représenté le nombre $1$ et $ \beta$ le nombre $10$ voici comment les égyptiens auraient écrit $43$: $\beta\beta\beta\beta \alpha\alpha\alpha$. 
	
	Grâce à l'emploi du zéro positionnel nous avons notre système d'écriture: sans les zéros qui le suivent nous ne pourrions pas savoir que le $1$ dans l'écriture $100$ représente une centaine.
	
	Le zéro positionnel permet de manipuler avec une grande aisance les fractions dont le dénominateur est une puissance de $10$; ce que les élèves appellent \og les chiffres après la virgule \fg{}.
	
	\medskip
	Les nombres négatifs ne furent acceptés qu'au XVIII\ieme{} siècle. Ils furent découvert et utilisés bien avant mais leur acceptation en tant que nombre nécessitait de dépasser un grand nombre de paradoxes.
	
	\medskip
	Nous avons donc, au terme de cette évolution, trois écritures des nombres: les nombres entiers, les nombres fractionnaires et les nombres avec une écriture décimale (auxquelles ont pourrait rajouter l'écriture scientifique ou l'écriture ingénieur mais ce sont des écritures qui servent essentiellement pour les valeurs approchées). À ces trois principales écritures se rajoute le signe puisque à chaque nombre positif lui correspond son opposé en négatif. 
\end{lecon}

\subsubsection{Comparer des nombres.}

\begin{lecon}	
	Puisqu'il y a différentes écriture, il y a un risque qu'un nombre puisse avoir plusieurs écritures et que nous soyons incapables de nous en rendre compte. Il faut être capable de distinguer les nombres; en mathématique nous dirons comparer.
	
	Comparer deux nombres $a$ et $b$ c'est dire laquelle des trois possibilités suivantes, qui s'excluent mutuellement, est vraie: $a=b$, $a<b$ et enfin $a>b$. Ceci revient à chercher le signe de la différence $a-b$.
\end{lecon}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $a=3$, $b=1000$, 
		\item $a=17$ et $b=16,80$.
		\item $a=34,07$ et $b=34,7$.
		\item $a=4,3$ et $b=\frac{2}{10}$.
		\item $a=5$ et $b=\frac{1}{3}$.
	\end{enumerate}	
\end{exemples}

\begin{lecon}	
	Les écritures décimales ne sont pas forcément finies. Ainsi $\frac{1}{3}$ a une écriture décimale infinie: $\frac{1}{3}=0,333\dots$.
	
	Remarquons que nous ne pouvons pas utiliser les écritures décimales infinies sans un certain risque puisque: $0,333\dots +0,333\dots  0,333\dots =1$. Pourtant nous serions tentés de dire que $0,999\dots <1$.
	
	\begin{notabene}
		
		Attention cette assertion est fausse. En profiter pour introduire le vocabulaire assertion ou proposition.
		
	\end{notabene}
	
	Nous voyons avec ce dernier exemple que si nous devions retenir une seule méthode générale pour comparer les nombres ce serait de faire la différence de leur écriture fractionnaire.
	
	\medskip
	Les grecs de l'antiquité qui manipulaient uniquement des fractions furent néanmoins confrontés à une difficulté: $\sqrt{2}$. C'est bien un nombre puisque c'est une longueur mais ce n'est pas une fraction (ce qui sera démontré dans la leçon traitant des multiples et diviseurs).
	
	Autrement dit tous les nombres ne peuvent pas s'écrire sous forme de fractions.
	
	Il a fallut commencer à penser à ranger les nombres pour y voir clair et repérer ceux qui manquaient.
\end{lecon}

\subsubsection{Le dévissage de l'ensemble des nombres (les matriochka).}

\begin{proposition}
	$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$ mais $\mathbb{Z} \not\subset \mathbb{N}$.
\end{proposition}

\begin{preuve}
	Il y a deux choses à démontrer.
	\begin{enumerate}[*]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$ par construction puisque nous avons jouter des éléments à $\mathbb{N}$ pour obtenir $\mathbb{Z}$.		
		\item Pour montrer que $\mathbb{Z} \not\subset \mathbb{N}$ il suffit de montrer qu'il existe (au moins) un nombre entier relatif qui n'est pas un entier naturel. $-1$ n'est pas égale à $0$ car sinon $1=0$ et n'est pas égale à un entier naturel strictement supérieur à $0$ car sinon $1+(-1)$ ne serait pas nul.		
	\end{enumerate}	
\end{preuve}

\begin{proposition}
	Soit $p \in \mathbb{Z}$. Si $p^2$ est pair alors $p$ est pair.
\end{proposition}

\begin{preuve}
	Il s'agit de la contraposée de l'affirmation: \og si $p\in\mathbb{Z}$ est impair alors $p^2$ est impair\fg{}.
\end{preuve}

\begin{proposition}
	$\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$.	
\end{proposition}

\begin{preuve}	
	\objectif{Démontrons en raisonnant par l'absurde que $\sqrt{2}$ est irrationnel.}
	
	Supposons que $\sqrt{2}$ est un nombre rationnel.
	
	{\color{orange}Il faut interpréter ceci en utilisant la définition du nombre rationnel.}
	
	Il existe donc des entiers naturels $p$ et $q$ avec $q$ non nul tels que: $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$.
	
	Montrons que $p$ et $q$ sont des nombres pairs.
	
	\begin{enumerate}[*]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Donc, en multipliant par $q$ de part et d'autre dans l'égalité: $q\sqrt{2}=p$.
		{\color{orange}Nous allons nous ramener à l'arithmétique en utilisant des entiers naturels.}
		\begin{align*}
			\left( q\sqrt{2} \right)^2 &= p^2 \\
			\intertext{nous en déduisons successivement:}
			\left( \sqrt{2} \right)^2 q^2  &= p^2\\
			2q^2 &= p^2
		\end{align*}
		Donc $p^2$ est pair et, d'après le lemme $p$ est donc pair.
		\item Puisque $p$ est pair il existe $k$ tel que $p=2k$. Nous pouvons donc écrire:
		\begin{align*}
			2q^2 &= (2k)^2\\
			2q^2 &= 4k^2\\
			q^2 &= 2k^2
		\end{align*}		
		Donc $q^2$ est pair et d'après le lemme $q$ aussi est pair.
	\end{enumerate}		
	
	\medskip
	{\color{orange}Nous avons obtenus ici une incohérence.}
	
	Si $p$ et $q$ sont pairs c'est qu'ils ont un diviseur commun: $2$. La fraction $\frac{p}{q}$ n'est pas irréductible ce qui contredit notre hypothèse.
	
	\begin{conclusion}
		Nous avons démontré, en raisonnant par l'absurde, que nécessairement, $\sqrt{2}$ est irrationnel.
	\end{conclusion}	
\end{preuve}

\begin{proposition}
	$\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$ mais $\mathbb{Q} \not\subset \mathbb{Z}$.
\end{proposition}

\begin{preuve}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Soit $n\in\mathbb{Z}$. $n=\frac{n}{1}$ donc $n$ peut s'écrire comme un rationnel et donc $n\in \mathbb{Q}$.
						
		Ceci étant vrai quelque soit le nombre $n$ choisi: $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$.
		\item $\frac{1}{3} \in \mathbb{Q}$ mais $\frac{1}{3} \not\in \mathbb{Z}$. En effet $0 < \frac{1}{3} <1$.		
	\end{enumerate}	
\end{preuve}

\begin{remarques}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Il est possible de reconnaître un nombre rationnel par son développement décimal infini. En effet celui-ci est nécessairement périodique (à partir d'un certain rang. Par exemples: $0,333\dots$, $-12,343434 \dots$ et $3,000\dots$ sont des nombre rationnels.
	\end{enumerate}	
\end{remarques}

\begin{proposition}
	$\mathbb{Z} \subset \mathbb{D}$ et $\mathbb{D} \subset \mathbb{Q}$, mais $\mathbb{D} \not\subset \mathbb{Z}$ et $\mathbb{Q} \not\subset \mathbb{D}$.	
\end{proposition}

\begin{proposition}
		$\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ mais $\mathbb{R} \not\subset \mathbb{Q}$.
\end{proposition}

\begin{preuve}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item L'inclusion découle du fait que $\mathbb{R}$ est construit à partir de $\mathbb{Q}$ en ajoutant d'autres nombre.		
		\item $\sqrt{2} \in\mathbb{R}$ mais $\sqrt{2} \not\in \mathbb{Q}$. L'irrationalité de $\sqrt{2}$ sera pour l'instant admise.		
	\end{enumerate}	
\end{preuve}

\begin{remarques}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Les nombres qui ne sont pas réels sont appelés des \emph{\color{purple}nombres irrationnels}.		
		\item Il est possible de reconnaître un nombre irrationnel à son développement décimal infini: celui-ci ne comporte aucune périodicité (aucune répétition jusqu'à l'infini d'une série de chiffres). Par exemple $\pi$ et $\sqrt{2}$ ont des développements décimaux infinis sans aucune répétition.
		
		Ces pour cette raison que les nombres irrationnels ne sont jamais présenté par leur écriture décimale mais par des lettres ou des symboles. Certains sont célèbres: $\pi$ (pi), $\varphi$ (nombre d'or), $\gamma$ (constante d'Euler), $e$ (constante de Neper), $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, ...		
	\end{enumerate}	
\end{remarques}

\begin{lecon}
	Nous pouvons résumer les inclusions entre les ensembles classiques étudiés avec un diagramme de Venn qui schématise la chaîne d'inclusion: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.75,yscale=0.75]
			\def\an{2};
			\def\bn{1};
			\draw[black, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\an*cos(\x)},{\bn*sin(\x)});
			\draw [black] ({-\an+1},{0}) node {$\mathbb{N}$};
			\draw [black] ({0.5},{0}) node {$0$, $1$, $2$, $\dots$};
			\def\az{3};
			\def\deltanz{0.75};
			\def\bz{2};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\az*cos(\x)+\deltanz},{\bz*sin(\x)});
			\draw [blue] ({\az-0.5+\deltanz},{0}) node {$\mathbb{Z}$};
			\draw [blue] ({\az-1},{\bz-1}) node {$-3$};
			\draw [blue] ({\az-1},{-\bz+1}) node {$-10^3$};
			\def\ad{4};
			\def\deltazd{1.5};
			\def\bd{3};
			\draw[Green, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\ad*cos(\x)+\deltazd},{\bd*sin(\x)});
			\draw [Green] ({\ad-0.5+\deltazd},{0}) node {$\mathbb{D}$};
			\draw [Green] ({\ad-1},{\bd-1}) node {$-0,013$};
			\draw [Green] ({\ad-0.4},{-\bd+1.3}) node {$\dfrac{2386}{100}$};
			\def\aq{5};
			\def\deltadq{2.25};
			\def\bq{4};
			\draw[red, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\aq*cos(\x)+\deltadq},{\bq*sin(\x)});
			\draw [red] ({\aq-0.5+\deltadq},{0}) node {$\mathbb{Q}$};
			\draw [red] ({\aq-0.5},{\bq-1}) node {$-\dfrac{1}{3}$};
			\draw [red] ({\aq-0.5},{-\bq+1}) node {$\dfrac{1}{7}$};
			\def\ar{6};
			\def\deltaqr{3};
			\def\br{5};
			\draw[orange, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\ar*cos(\x)+\deltaqr},{\br*sin(\x)});
			\draw [orange] ({\ar-0.5+\deltaqr},{0}) node {$\mathbb{R}$};
			\draw [orange] ({\ar-0.5},{\br-1}) node {$\sqrt{2}$};
			\draw [orange] ({\ar-0.5},{-\br+1}) node {$\pi$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}	
\end{lecon}

\begin{lecon}
	Il existe une multitude d'ensembles de nombres classiques. On distingue notamment les nombres algébriques et transcendants. 
	
	Il existe de plus gros ensembles de nombres que $\mathbb{R}$ ainsi $\mathbb{C}$, l'ensemble des nombres complexes qui permet d'ajouter les solutions des équations polynomiales sans solutions dans $\mathbb{R}$ comme $x^2+1=0$.
	
	Il existe aussi de nombreux sous-ensembles des entiers. Par exemple l'ensemble des nombres premiers que vous connaissez déjà mais aussi les nombres triangulaires, les nombres parfaits, ...	
\end{lecon}

\subsubsection{Exercices.}

\begin{exercice}
	Déterminez sans justification le plus petit ensemble classique auquel appartient le nombre proposé.	
	\begin{tasks}(3)
		\task $\sqrt{17}$.
		\task $-\np{34509786}$.
		\task $-0,0223$.
		\task $34,45218\dots$.
		\task $\dfrac{345}{100}$.
		\task $\dfrac{24}{7}$.
		\task $\dfrac{34}{2^3 \times 5^2}$.
		\task $\dfrac{\frac{1}{3}}{14}$.
		\task $3,234 \times 10^{45}$.
		\task $\pi+3$.
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Déterminez sans justification le plus petit ensemble classique auquel appartient le nombre proposé.	
	\begin{tasks}(3
4)
		\task $-\dfrac{12}{3}$.
		\task $-\np{23,7237237}\dots$.
		\task $\dfrac{76987}{10}$.
		\task $\pi$.
		\task $\sqrt{3}^2$.
		\task $0,987654321\times 10^9$.
		\task $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
		\task $\dfrac{2}{250}$.
		\task $3+\sqrt{2}$.
		\task $\dfrac{1}{5}$.
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\end{document}

\section{Modèles.}

\setlength{\parskip}{0pt}
\setlength{\itemsep}{0pt}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}

\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick,black] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick,black] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\draw (O) node {$\bullet$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\draw (I) node {$\bullet$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	\draw (J) node {$\bullet$};
	%Graduations
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
\end{tikzpicture}

\end{center}

\subsection{Rectangle en coin.}

\begin{tikzpicture}
\def\xangledroit{0};
\def\yangledroit{0};
\def\longueurangledroit{0.5};
\draw[fill=green!30,rotate around={{20}:({\xangledroit},{\yangledroit})}] ({\xangledroit},{\yangledroit}) rectangle ({\xangledroit+\longueurangledroit},{\yangledroit+\longueurangledroit});
\end{tikzpicture}

ou bien avec matrice rotation plus translation ici 45 degres et translation de vecteur (1,1).
\begin{tikzpicture}
\def\code{0.2};
\draw [cm={cos(-45) ,-sin(-45) ,sin(-45) ,cos(-45) ,(1,1)}]  ({-\code},{0}) -- ({0-\code},{0+\code}) -- (0,{0+\code});
\end{tikzpicture}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}

\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
\end{tikzpicture}

\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}

\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
\end{tikzpicture}

\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
\begin{minipage}{5cm}
	\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
		emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
	\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
	\end{lstlisting}
\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
\hline
\begin{minipage}{8cm}
	\LinesNumbered
	\SetKw{entrer}{entrer}
	\SetKw{prend}{prend la valeur}
	\SetKw{afficher}{afficher}
	\begin{algorithm}[H]
		\SetAlgoLined
		\DontPrintSemicolon
		\entrer pi
		0\;
		\Tq{1}{
			2\;
			\eSi{3}{
				4\;
				5\;
			}{
				6\;
			}
		}
		
		\Pour{7}{
			\Si{8}{
				9\;
			}
		}
	\end{algorithm}
\end{minipage}
\\
\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
\\
\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
\\
\hline
Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
\\
\hline
Série $P$ &&&&&& 
\\
\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
\hline
\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
\\
\cline{2-9}
& Sécurité &&&&&&&&&
\\
\hline
&  &&&&&&&&&
\\
\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}

\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
\end{tikzpicture}

\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
\item Épreuve de Bernoulli.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
	\item Expérience: lancer un dé.
	\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
	\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
\end{enumerate}

\item Schéma de Bernoulli.

L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.

\item Loi binomiale.

$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.

\end{enumerate}

\subsection{Engrenages.}
\newcommand{\roue}[4]{% #1 = rayon, #2 = nombre de dents, #3 = X centre, #4 = Y centre
\foreach \i in {1,2,...,#2}
{
	\pgfmathparse{360*(\i-1)/#2}\let\angle\pgfmathresult
	
	\begin{scope}[shift={(#3,#4)}]
		\pgfmathparse{#1*cos(90+360/(#2*4))}\let\Ax\pgfmathresult 
		\pgfmathparse{#1*sin(90+360/(#2*4))}\let\Ay\pgfmathresult
		
		\pgfmathparse{#1*cos(90-360/(#2*4))}\let\Bx\pgfmathresult
		\pgfmathparse{#1*sin(90-360/(#2*4))}\let\By\pgfmathresult
		
		\pgfmathparse{4*#1*cos(90+360/(#2*8))/3}\let\Cx\pgfmathresult
		\pgfmathparse{4*#1*sin(90+360/(#2*8))/3}\let\Cy\pgfmathresult
		
		\pgfmathparse{4*#1*cos(90-360/(#2*8))/3}\let\Dx\pgfmathresult
		\pgfmathparse{4*#1*sin(90-360/(#2*8))/3}\let\Dy\pgfmathresult
		
		\pgfmathparse{90-360/(#2*4)}\let\a\pgfmathresult
		\pgfmathparse{90-1.5*360/(#2*2)}\let\b\pgfmathresult
		
		\draw[rotate=\angle] (\Ax,\Ay) to[bend left=15] (\Cx,\Cy) -- (\Dx,\Dy) to[bend left=15] (\Bx,\By) arc (\a:\b:#1cm); 
	\end{scope}
}
}

\begin{tikzpicture}
\roue{3}{20}{0}{0}
\roue{3}{16}{7.4}{2}
\end{tikzpicture}