%\documentclass{book} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{book} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hmargin={0.75cm,1cm},vmargin={0.5cm,1.25cm},twoside}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 
\settasks{
	% the next two should be set to the same value so labels are aligned to the
	% left
	%label-width = 1em ,
	%item-indent = 1em ,
	%before-skip = 0pt%-\parskip , % undo paragraph skip
	%after-skip =0pt% -\parskip , % undo paragraph skip
	after-item-skip = -2pt%-\parskip % undo paragraph skip
}

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown} \footnotesize}{}

\newenvironment{sujet}{}{}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \noindent Exemples.\vspace{-0.1cm}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\noindent {\color{BlueViolet}Remarques.\vspace{-0.1cm}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{Gray}}{}


%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} {\noindent\color{Black}EXERCICE \theExercice.} \addtocounter{Exercice}{1} \color{Black}}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\noindent\color{Brown}Exercice \theExercicecorrection. \footnotesize}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\textbf{\color{Orange}Définition \theDefinition.} \addtocounter{Definition}{1} \color{Orange} }{}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}{\textbf{\color{purple}Théorème \theTheoreme.}\addtocounter{Theoreme}{1}\color{purple}}{}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}{\textbf{\color{purple}Proposition \theProposition.} \addtocounter{Proposition}{1}\color{purple}}{}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\noindent{\textbf{\color{PineGreen} Démonstration}.} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{PineGreen}}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%Un bug apparu en faisant la mise à jour de pi: les listes tasks ne se colorie plus et restent noir malgrer les commande. La solution est ce truc:
\ExplSyntaxOn\makeatletter
%patch needed to get a around a problem in the l3-drivers
\AtBeginDocument{
 \cs_set_protected_nopar:Npn \color_ensure_current:
   {\set@color}
 }
\ExplSyntaxOff\makeatother 

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{}% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\footnotesize \thepage ]{\footnotesize \thepage }
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour abrege
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}\exclure{culturegenerale}

%Pour cours intégrale
%\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene}

%Pour les exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour les correction d'exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques}  \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\small 

\subsection*{Les rationnels.}

\begin{lecon}
	Dans cette partie nous parlons de l'ensemble des nombres rationnels mais aussi des opérations sur ces ensembles ce qui est l'occasion de rappels.
\end{lecon}

\subsubsection{Ensembles.}

\begin{lecon}
	Dans cette leçon nous parlerons d'ensembles. L'ensemble est un objet mathématique à part entière. Ce mot ne signifie pas ici que l'on considère simultanément plusieurs objets mais que l'on considère l'objet formé d'une collection d'objets. Nous nous contenterons de cette définition intuitive.
\end{lecon}

\begin{definition}
	Les objets formant un ensemble $E$ sont appelés des \emph{\color{purple}éléments} de l'ensemble. Si $e$ est un élément de $E$ alors on note $e{\color{purple}\in}E$.
\end{definition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\item Cette dernière phrase nécessite de s'appliquer dans l'écriture manuscrite.
		\item Si $f$ n'est pas un élément de $E$ nous noterons: $f {\color{purple}\notin} E$.
		\item Nous verrons plus tard des opérations ensemblistes, $\cap$ et $\cup$, qui permettent d'effectuer des calculs avec les objets que sont les ensembles.
		\item Si nous allons ici rencontrer des ensembles particuliers, une présentation possible d'un ensemble consiste à énumérer ses éléments en les écrivant entre accolades.
		\item Il arrive qu'un ensemble $F$ soit une partie d'un plus grand ensemble $E$ (autrement dit tous les éléments de $F$ sont aussi des éléments de $E$), dans ce cas on dit que $F$ est \emph{\color{purple}inclus dans} $E$ et on note $\color{purple}F \subset E$.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
	\setlength{\itemsep}{0pt}
	\setlength{\parskip}{0pt}
		\item $\{ a; 1; P \}$ est un ensemble contenant $3$ éléments. Si on note $E$ cet ensemble alors: $a \in E$, $1\in E$ et $P\in E$.
		\item Une droite est un ensemble, infini de points.
		\item Le segment $[AB]$ est un ensemble infini de points inclus dans l'ensemble infini de points qu'est la droite $(AB)$: $[AB]\subset (AB)$.
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\subsubsection{Les fractions.}

\begin{definition}
	Une \emph{\color{purple}fraction} est un nombre qui peut s'écrire comme le quotient d'un entier (relatif) par un autre entier (relatif non nul). Autrement dit si $a\in \mathbb{Z}$ et $b \in\mathbb{N}^*$ alors $\frac{a}{b}$ est une nombre appelé fraction.
\end{definition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Au lycée et ultérieurement seule la notation fractionnaire est utilisée pour la division. L'obélus ($\div$) n'étant plus utilisé que pour les quotients de fractions.
		\item Lorsqu'un nombre, dans son écriture décimale, n'a que des zéros à partir d'un certain nombre de décimales alors on dit que c'est un \emph{\color{purple}nombre décimal}. Ainsi: $\np{2315,895643}= \np{2315,895643000}\dots$ est un nombre décimal.
		
		Tous les nombres décimaux peuvent s'écrire sous forme de fraction: $\np{2315,895643}=\frac{\np{2315895643}}{\np{1000000}}$.
		
		\begin{notabene}
		Il ne faut pas confondre écriture décimale et nombre décimal.
		
		En particulier tous les entiers (relatifs) sont des nombres décimaux.
		\end{notabene}
		
		\item Il existe des nombres qui ne peuvent pas s'écrire sous forme de fractions: l'irrationalité de $\pi$ est admise mais celle de $\sqrt{2}$ sera démontrée dans une prochaine leçon.
		
		\item Rappelons une règle de priorité opératoire: dans une écriture fractionnaire la division correspondant à la barre de fraction est la dernière opération effectuée.
		
		\item La manipulation des fractions nécessite de connaître les règles d'addition (réduire au même dénominateur), \marginpar{\color{red}$\heartsuit$} \[ \frac{\color{blue}a} {\color{BurntOrange}b} + \frac{\color{Mulberry}x}{\color{ForestGreen}y} = \frac{{\color{blue}a} {\color{ForestGreen}y} + {\color{Mulberry}x} {\color{BurntOrange}b}}{{\color{BurntOrange}b} {\color{ForestGreen}y}} \] \marginpar{\color{red}$\heartsuit$} de multiplication, \[ \color{purple} \frac{\color{blue}a}{\color{BurntOrange}b}\cdot \frac{\color{Mulberry}x}{\color{ForestGreen}y}=\frac{{\color{blue}a} {\color{Mulberry}x}}{{\color{BurntOrange}b} {\color{ForestGreen}y}} \] \marginpar{\color{red}$\heartsuit$} et de division \[ \color{purple} \frac{ \frac{\color{blue}a} {\color{BurntOrange}b} }{ \frac{\color{Mulberry}x} {\color{ForestGreen}y}} = \frac{\color{blue}a} {\color{BurntOrange}b} \cdot \frac{\color{ForestGreen}y} {\color{Mulberry}x}. \] 
		
		Rappelons encore que pour simplifier une fraction il faut qu'il y ait un facteur commun au numérateur et au dénominateur: \marginpar{\color{red}$\heartsuit$} \[ \frac{a\cdot {\color{blue}x}}{b\cdot {\color{blue}x}}=\frac{a}{b} \]
		
		\item Une astuce d'écriture qui nous sera souvent utile \marginpar{\color{red}$\heartsuit$} \[ \frac{a}{b}=\frac{1}{b}\cdot a \]
		
		\item Rappelons enfin qu'il est impossible de diviser par $0$. 
		
		\begin{correction}
			
			\begin{preuve}
				
				Raisonnons par l'absurde: supposons qu'il existe un nombre $q$ tel que $\frac{3}{0}=q$ (nous supposons que l'on peut diviser $3$ par $0$). Donc $3=0\times q$. Ce qui est impossible car $0\times q=0$ ($0$ est une valeur absorbante). Nous avons donc démontré par l'absurde qu'il est impossible de diviser $3$ par $0$.
				
			\end{preuve}
			
		\end{correction}
		
		\item Les règles de priorités pour l'instant se limitent à:
		
		\begin{enumerate}[\text{Priorité} 1]
			\item Les calculs entre parenthèses ou crochets. S'il y a des parenthèses emboîtées les plus emboîtées sont prioritaires. La barre de fraction joue le même rôle que des parenthèses autour des numérateurs et dénominateurs.
			\item Les multiplications et division ($\div$) en allant de gauche à droite.
			\item Les additions et soustractions en allant de gauche à droite.
		\end{enumerate}	
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\subsubsection{Les nombres rationnels.}

\begin{definition}	
	L'ensemble des \emph{\color{purple}nombres rationnels}, qu'on note $\color{purple}\mathbb{Q}$ est l'ensemble des nombres qui peuvent s'écrire sous forme d'une fraction.
\end{definition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\item Un entier est un nombre rationnel. Par exemple: $-13=\frac{-13}{1}$.
		\item Les nombres décimaux peuvent s'écrire comme des fractions donc ce sont des nombres rationnels. Ainsi: $0,1=\frac{1}{10}$.
		\item Il existe des nombres qui ne sont pas décimaux et qui sont rationnels. Ainsi $\frac{1}{3}$ est un nombre rationnel mais son écriture décimale est infinie donc ce n'est un nombre décimal.
	
		\begin{notabene}
			
			Faire une division à la main pour faire apparaître la période dans l'écriture décimale.
	
		\end{notabene}
	
		\item Tous les nombres ne sont pas rationnels.
		\item Lorsqu'un nombre rationnel a une écriture décimale infinie on préfère son écriture fractionnaire.
	
		\begin{notabene}
			Les écritures décimale infinies ne sont pas toujours uniques: $\np{0,999}\dots=1$.
		
		\end{notabene}
		
		\item Un nombre rationnel admet une écriture fractionnaire canonique (unique) appelée la \emph{\color{purple}forme irréductible} qui est obtenue lorsque le PGCD des numérateur et dénominateur est $1$ (ils n'ont pas de facteur commun). \emph{confer infra}.
	
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{proposition}
	
	Lorsqu'un nombre a une écriture décimale infinie périodique c'est un nombre rationnel.
	
\end{proposition}

\medskip
Remarques:
\begin{enumerate}
	\item Ce résultat est admis.
	\item On dit que l'écriture est périodique lorsqu'une série de chiffre se reproduit indéfiniment.
\end{enumerate}

\medskip
{\color{RoyalBlue}
Exemples.
\begin{enumerate}
	\item $0,333\dots$ est rationnel.
	\item $45,78242424\dots$ est rationnel.
\end{enumerate}
}

\begin{notabene}
	
	Faire au tableau un schéma des inclusions successives avec les ensembles usuels vus jusque là.
	
\end{notabene}

\subsection{Forme irréductible d'une fraction.}

\subsubsection{Nombres premiers.}

Un entier naturel est dit \emph{\color{purple}premier} si et seulement il a exactement deux diviseurs distincts positifs.

\medskip
{\color{RoyalBlue}
Exemples.
\begin{enumerate}
	\item $12$ n'est pas un nombre premier puisqu'il est divisible par $2$ et $3$.
	\item Les premiers nombres premiers sont $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$.
	\item $1$ n'est pas un nombre premier car il n'a qu'un seul diviseur: lui-même.
\end{enumerate}
}

\begin{notabene}
	
	Les nombres premiers jouent un rôle fondamental dans de nombreux domaines notamment en cryptographie.
	
\end{notabene}

\subsubsection{Décomposition en facteurs premiers.}

\begin{theoreme}{ - théorème fondamental de l'arithmétique}
	
	Tout entier naturel supérieur ou égale à $2$ admet une décomposition en facteurs premiers unique à l'ordre des facteurs près.
	
\end{theoreme}

\medskip
{\color{RoyalBlue}
	Exemples.
	\begin{enumerate}
		\item $12=2 \times 2 \times 3$ et $2$ et $3$ sont bien des nombres premiers.
		\item $16=2\times 2 \times 2 \times 2 =2^4$.
		\item $36= 2 \times 2 \times 3 \times 3=2^2 \times 3^2$.
	\end{enumerate}
}

\medskip
Remarques.
\begin{enumerate}
	
	\item Pour que l'écriture de la décomposition soit unique la convention est d'écrire une seule fois chaque facteur premier à la puissance convenable et d'écrire les facteurs dans l'ordre croissant. On n'écrira pas $3 \times 2 \times 3$ mais $2 \times 3^2$.
	
	\item D'après ce théorème tous les résultats sur les nombre entiers naturels peuvent se ramener à des résultats sur les nombres premiers.
	
\end{enumerate}

\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}
	
	Déterminez la décomposition en facteurs premiers de $180$.
		
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}Pour cette question nous pouvons nous contenter d'exhiber la réponse. Regardons le travail à faire au brouillon.
		
	Nous divisons autant de fois que possible par les nombres premiers en allant du plus petit au plus grand.
		
	\begin{enumerate}[\text{Étape } 1 $\bullet$]
		\item $180$ est divisible par $2$ donc:
		
		\[ \begin{array}{r|l}
		180 & 2\\
		90 &
		\end{array} \]
		
		\item $90$ est divisible par $2$ donc:
			
		\[ \begin{array}{r|l}
		180 & 2\\
		90 & 2\\
		45 &
		\end{array} \]
		
		\item $45$ n'est pas divisible par $2$, nous essayons donc avec le nombre premier suivant $3$. $45$ est bien divisible par $3$ puisque $4+5=9$ donc:
		
		\[ \begin{array}{r|l}
		180 & 2\\
		90 & 2\\
		45 & 3 \\
		15 & 
		\end{array} \]
		
	\end{enumerate}
			
	En procédant ainsi de proche en proche nous obtenons finalement
		
	\[ \begin{array}{r|l}
	180 & 2\\
	90 & 2\\
	45 & 3\\
	15 & 3 \\
	5 & 5 \\
	1 &
	\end{array} \]
	
	Ainsi: $180= 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5$.
	
	Finalement nous écrirons uniquement
	}

	\begin{conclusion}
		
		$180=2^2\times 3^2 \times 5$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Forme irréductible d'une fraction.}

Le nombre $\frac{1}{2}$ peut encore s'écrire $\frac{2}{4}$. L'écriture fractionnaire d'un nombre n'est pas unique. Ceci pouvant produire de la confusion les mathématiciens ont retenu une écriture fractionnaire qui est unique: \emph{\color{purple}la forme irréductible d'une fraction}.

\begin{proposition}{}
	
	Tout nombre rationnel s'écrit de façon unique comme une fraction dont le numérateur et le dénominateur non pas d'autre commun diviseur que $1$ (ou $-1$).
	
\end{proposition}

\medskip
{\color{RoyalBlue}
	Exemples.
	\begin{enumerate}
		\item $\frac{1}{3}$ est une forme irréductible.
		
		\item $\frac{14}{21}$ n'est pas une forme irréductible puisque $14$ et $21$ admettent $7$ pour diviseur commun: $\frac{14}{21}=\frac{2 \times {\color{orange}7}}{3 \times {\color{orange}7}}=\frac{2}{3}$.
		
		\item En toute rigueur la forme irréductible de l'entier $5$ devrait s'écrire $\frac{5}{1}$ cependant l'usage veut que nous usions de l'écriture la plus simple: $5$.
		
	\end{enumerate}
}

\medskip
Remarques.
\begin{enumerate}
	\item Des nombres entiers qui n'ont pas de diviseur commun autre que $1$ ou $-1$ sont dits \emph{\color{purple}premiers entre eux}.
	\item Pour trouver la forme irréductible d'une fraction il faut recherche le plus grand facteur commun au numérateur et au dénominateur qu'on appelle le P.G.C.D. (plus grand commun diviseur). Le P.G.C.D. s'obtient grâce à l'algorithme d'Euclide.
	\item Dans la pratique pour trouver la forme irréductible nous utiliserons des décompositions en facteurs premiers.
\end{enumerate}

\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}
	
	Donnez la forme irréductible du nombre rationnel $\displaystyle \frac{120}{300}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$\frac{120}{300}=\frac{2}{5}$.
	
\end{exercicecorrection}

\subsection{Exercices.}

\begin{exercice}{\color{red} $\varheartsuit$}
	
	\begin{notabene}
		
		Faire à la main pour apprendre mise au même dénominateur. Puis faire deux vérifications à la calculatrice: en faisant un calcul en ligne puis un calcul avec les écritures fractionnaires.
		
		Remarque: les calculs à la main sont désormais exigés notamment en STMG.
	
	\end{notabene}
	
	Évaluez les quantités suivantes en donnant le résultat sous forme de fraction irréductibles.:

	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
	
	\begin{minipage}{\linewidth}
		\begin{enumerate}
			\item $\displaystyle A=\frac{1}{3}+\frac{2}{7}$
			\item $\displaystyle B=\frac{1}{7}-\frac{4}{11}$
		\end{enumerate}
	\end{minipage}
	
	&
	
	\begin{minipage}{\linewidth}
		\begin{enumerate}
		\setcounter{enumi}{2}
			\item $\displaystyle C=\frac{-5}{3}+\frac{2}{7}$
			\item $\displaystyle D=\frac{3}{-7}-\frac{-2}{3}$
		\end{enumerate}
	\end{minipage}
	
	\\ \end{tabularx}

\end{exercice}

\begin{correction}
\begin{exercicecorrection}

	{\color{orange}Nous pouvons vérifier les résultats à la calculatrice.}
	
	\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{align*}
		A &= \frac{1}{3}+\frac{2}{7}\\
		A &= \frac{1\times 7}{3\times 7} +\frac{2\times 3}{7\times 3}\\
		A&= \frac{7}{21}+\frac{6}{21}\\
		A &= \frac{13}{21}
	\end{align*}
	
	\item 
	
	\begin{align*}
		B &= \frac{1}{7}-\frac{4}{11}\\
		B &= \frac{1\times 11}{7\times 11}-\frac{4\times 7}{11\times 7}\\
		B &= \frac{11}{77}-\frac{28}{77}\\
		B &= -\frac{17}{77}
	\end{align*}
	
	\item
	
	\begin{align*}
		C &= \frac{-5}{3}+\frac{2}{7}\\
		C &= \frac{-5\times 7}{3\times 7}+\frac{2\times 3}{7\times 3}\\
		C &= \frac{-35}{21}+\frac{6}{21}\\
		C &= \frac{-29}{21}
	\end{align*}
	
	\item 
	
	\begin{align*}
		D &= \frac{3}{-7}-\frac{-2}{3}\\
		D &= \frac{3\times 3}{-7\times 3}-\frac{-2\times (-7)}{3\times (-7)}\\
		D &= \frac{9}{-27}-\frac{14}{-27}\\
		D &= \frac{-5}{-27}\\
		D &= \frac{5}{27}
	\end{align*}
	
	\end{enumerate}

\end{exercicecorrection}
\end{correction}

Nous dirons qu'un calcul est un {\color{purple}quotient si la dernière opération effectuée en respectant les priorités opératoires est une division}.

\begin{exercice}{\color{red} $\varheartsuit$}
	
	\begin{notabene}
		
		Il faut savoir faire ces calculs à la calculatrice.
		
	\end{notabene}
	
	Évaluez les quantités suivantes en donnant le résultat sous forme d'une fraction irréductible:

	\begin{tabular}{m{5cm}m{5cm}}
	\begin{enumerate}
		\item $\displaystyle A=-\frac{-4}{7-3}$
		\item $\displaystyle B=\frac{2}{3}\times \frac{6}{7}$
		\item $\displaystyle C=\frac{-2}{4}\times \left( -\frac{3}{-6}\right)$
	\end{enumerate}
&
	\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{3}
		\item $\displaystyle D=\frac{\frac{4}{5}}{\frac{6}{7}}$
		\item $\displaystyle E=\frac{3}{\frac{5}{4}}$
		\item $\displaystyle F=\frac{\frac{1}{2}\times \frac{3}{5}}{\frac{1}{7}}\times \frac{1}{2}$
	\end{enumerate}
	\\ \end{tabular}

\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}

	\begin{enumerate}
		\item 
		\begin{align*}
			A &= -\frac{-4}{4}\\
			&= -(-1)\\
			&= 1
		\end{align*}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			B &= \frac{2 \times 6}{3 \times 7}\\
			&= \frac{12}{21}\\
			&= \frac{{\color{orange}3} \times 2 \times 2}{{\color{orange}3} \times 7}\\
			&= \frac{4}{7}
		\end{align*}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			C &= \frac{-2}{4} \times \frac{-3}{-6}\\
			&= \frac{-2 \times (-3)}{4 \times (-6)}\\
			&= \frac{6}{-24}\\
			&= - \frac{6}{24}\\
			&= - \frac{{\color{orange}6} \times 1}{{\color{orange}6} \times 2 \times 2}\\
			&= -\frac{1}{4}
		\end{align*}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			D &= \frac{4}{5} \times \frac{7}{6} \\
			&= \frac{4 \times 7}{5 \times 6}\\
			&= \frac{28}{30}\\
			&= \frac{ {\color{orange}2} \times 2 \times 7}{ {\color{orange}2 } \times 3 \times 5}\\
			&= \frac{14}{15}
		\end{align*}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			E &= \frac{\frac{3}{1}}{\frac{5}{4}}\\
			&= \frac{3}{1} \cdot \frac{4}{5}\\
			&= \frac{3 \times 2 \times 2}{5}\\
			&= \frac{12}{5}
		\end{align*}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			F &= \frac{\frac{1 \times 3}{2 \times 5}}{\frac{1}{7}} \times \frac{1}{2}\\
			&= \frac{\frac{3}{10}}{\frac{1}{7}} \times \frac{1}{2}\\
			&= \frac{3}{10} \times \frac{7}{1} \times \frac{1}{2}\\
			&= \frac{3 \times 7 \times 1}{10 \times 1 \times 2}\\
			&= \frac{3 \times 7}{2 \times 2 \times 5} \\
			&= \frac{21}{20}
		\end{align*}
		
	\end{enumerate}

\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
		
	Calculez et donnez le résultat sous forme de fraction irréductible.
	
	\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
		
		\begin{enumerate}
			\item $\displaystyle A=\frac{-3}{2}+\frac{1}{5}$.
			
			\item $\displaystyle B=\frac{2}{6}\times \frac{3}{7}$.
			
			\item $\displaystyle C=\frac{35}{49}+\frac{56}{37}$.
			
		\end{enumerate}
		
		&
		
		\begin{enumerate}
			
			\setcounter{enumi}{3}
			
			\item $\displaystyle D=\frac{256}{47}\times \frac{245}{650}$.
			
			\item $\displaystyle E=\frac{\frac{4}{6}+\frac{17}{3}}{56}+\frac{9}{13}$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{tabularx}
	
\end{exercice}

\begin{correction}

\subsection{Ce qu'il faut retenir.}

\begin{enumerate}
	\item Vocabulaire et notation: fraction, nombre décimal, écriture décimale, nombre rationnel, ensemble des nombres rationnels, $\mathbb{Q}$.
	
	\item Additionner des fractions: mise au même dénominateur.
	
	\item Multiplication et division de fractions.
	
	\item Savoir faire ces calculs avec la calculatrice.
	
	\item Pour les élèves souhaitant s'orienter vers les classes scientifiques les techniques calculatoires doivent être connues.
	
\end{enumerate}

\end{correction}

\newpage
~

\end{document}

\section{Modèles.}

\setlength{\parskip}{0pt}
\setlength{\itemsep}{0pt}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick,black] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick,black] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\draw (O) node {$\bullet$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\draw (I) node {$\bullet$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	\draw (J) node {$\bullet$};
	%Graduations
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Rectangle en coin.}

\begin{tikzpicture}
	\def\xangledroit{0};
	\def\yangledroit{0};
	\def\longueurangledroit{0.5};
	\draw[fill=green!30,rotate around={{20}:({\xangledroit},{\yangledroit})}] ({\xangledroit},{\yangledroit}) rectangle ({\xangledroit+\longueurangledroit},{\yangledroit+\longueurangledroit});
\end{tikzpicture}

ou bien avec matrice rotation plus translation ici 45 degres et translation de vecteur (1,1).
\begin{tikzpicture}
		\def\code{0.2};
		\draw [cm={cos(-45) ,-sin(-45) ,sin(-45) ,cos(-45) ,(1,1)}]  ({-\code},{0}) -- ({0-\code},{0+\code}) -- (0,{0+\code});
\end{tikzpicture}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}

\subsection{Engrenages.}
\newcommand{\roue}[4]{% #1 = rayon, #2 = nombre de dents, #3 = X centre, #4 = Y centre
\foreach \i in {1,2,...,#2}
{
\pgfmathparse{360*(\i-1)/#2}\let\angle\pgfmathresult

\begin{scope}[shift={(#3,#4)}]
\pgfmathparse{#1*cos(90+360/(#2*4))}\let\Ax\pgfmathresult 
\pgfmathparse{#1*sin(90+360/(#2*4))}\let\Ay\pgfmathresult

\pgfmathparse{#1*cos(90-360/(#2*4))}\let\Bx\pgfmathresult
\pgfmathparse{#1*sin(90-360/(#2*4))}\let\By\pgfmathresult

\pgfmathparse{4*#1*cos(90+360/(#2*8))/3}\let\Cx\pgfmathresult
\pgfmathparse{4*#1*sin(90+360/(#2*8))/3}\let\Cy\pgfmathresult

\pgfmathparse{4*#1*cos(90-360/(#2*8))/3}\let\Dx\pgfmathresult
\pgfmathparse{4*#1*sin(90-360/(#2*8))/3}\let\Dy\pgfmathresult

\pgfmathparse{90-360/(#2*4)}\let\a\pgfmathresult
\pgfmathparse{90-1.5*360/(#2*2)}\let\b\pgfmathresult

\draw[rotate=\angle] (\Ax,\Ay) to[bend left=15] (\Cx,\Cy) -- (\Dx,\Dy) to[bend left=15] (\Bx,\By) arc (\a:\b:#1cm); 
\end{scope}
}
}

\begin{tikzpicture}
\roue{3}{20}{0}{0}
\roue{3}{16}{7.4}{2}
\end{tikzpicture}