%\documentclass{book} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{book} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hmargin={0.75cm,1cm},vmargin={0.5cm,1.25cm},twoside}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 
	\settasks{
		% the next two should be set to the same value so labels are aligned to the
		% left
		%label-width = 1em ,
		%item-indent = 1em ,
		%before-skip = 0pt%-\parskip , % undo paragraph skip
		%after-skip =0pt% -\parskip , % undo paragraph skip
		after-item-skip = -2pt%-\parskip % undo paragraph skip
	}

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown} \footnotesize}{}

\newenvironment{sujet}{}{}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \noindent Exemples.\vspace{-0.1cm}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\noindent {\color{BlueViolet}Remarques.\vspace{-0.1cm}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{Gray}}{}


%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} {\noindent\color{Black}EXERCICE \theExercice.} \addtocounter{Exercice}{1} \color{Black}}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\noindent\color{Brown}Exercice \theExercicecorrection. \footnotesize}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\textbf{\color{Orange}Définition \theDefinition.} \addtocounter{Definition}{1} \color{Orange} }{}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}{\textbf{\color{purple}Théorème \theTheoreme.}\addtocounter{Theoreme}{1}\color{purple}}{}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}{\textbf{\color{purple}Proposition \theProposition.} \addtocounter{Proposition}{1}\color{purple}}{}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\noindent{\textbf{\color{PineGreen} Démonstration}.} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{PineGreen}}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{}% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\footnotesize \thepage ]{\footnotesize \thepage }
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour abrege
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}\exclure{culturegenerale}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene}

%Pour les exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour les correction d'exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

%\settasks{style=enumerate}
\ExplSyntaxOn\makeatletter
%patch needed to get a around a problem in the l3-drivers
\AtBeginDocument{
 \cs_set_protected_nopar:Npn \color_ensure_current:
   {\set@color}
 }
\ExplSyntaxOff\makeatother 

\begin{document}
	
\small 

\subsection*{Les entiers.}

\begin{lecon}
	Dans cette partie nous parlons des ensembles d'entiers mais aussi des opérations sur ces ensembles ce qui est l'occasion de rappels.
\end{lecon}

\subsubsection{Ensembles.}

\begin{lecon}
	Dans cette leçon nous parlerons d'ensembles. L'ensemble est un objet mathématique à part entière. Ce mot ne signifie pas ici que l'on considère simultanément plusieurs objets mais que l'on considère l'objet formé d'une collection d'objets. Nous nous contenterons de cette définition intuitive.
\end{lecon}

\begin{definition}
	Les objets formant un ensemble $E$ sont appelés des \emph{\color{purple}éléments} de l'ensemble. Si $e$ est un élément de $E$ alors on note $e{\color{purple}\in}E$.
\end{definition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\item Remarquons que cette dernière phrase nécessite de s'appliquer dans l'écriture manuscrite.
		\item Si $f$ n'est pas un élément de $E$ nous noterons: $f {\color{purple}\notin} E$.
		\item Nous verrons plus tard des opérations ensemblistes, $\cap$ et $\cup$, qui permettent d'effectuer des calculs avec les objets que sont les ensembles.
		\item Si nous allons ici rencontrer des ensembles particuliers, une présentation possible d'un ensemble consiste à énumérer ses éléments écrits ente accolades.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exemples}
	\setlength{\itemsep}{0pt}
	\setlength{\parskip}{0pt}
	\begin{enumerate}
		\item $\{ a; 1; P \}$ est un ensemble contenant $3$ éléments. Si on note $E$ cet ensemble alors: $a \in E$, $1\in E$ et $P\in E$.
		\item Une droite est un ensemble, infini de points.
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\subsubsection{Entiers naturels: $\mathbb{N}$.}

\begin{definition}
	Les \emph{\color{purple}entiers naturels} sont les nombres qui servent à dénombrer, à compter.
	L'ensemble de tous les entiers naturels est: ${\color{purple}\mathbb{N}}=\{ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \dots \}$.
\end{definition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\setlength{\parskip}{0pt}
	\item $\mathbb{N}$ possède un plus petit élément, on dit \emph{\color{purple}un minimum}, qui est $0$.	
	\item ~
	
	\begin{center}
	\begin{tabular}{m{3cm}m{4cm}}
	\begin{center}
	\includegraphics[scale=0.25]{2ieme_ensembles_01_entiers_01_illustration_leopold_kronecker.jpg}
	\end{center}
	&
	\textbf{Leopold Kronecker} ($XIX^{\text{ième}}$): \og Dieu a fait les nombres entiers, tout le reste est l'œuvre de l'homme.\fg
	\\ \end{tabular}
	\end{center}
	\item La notation $\mathbb{N}$ représente la première lettre de \og naturel\fg{}.
	\item En fait l'ensemble des nombres entiers naturels se construit logiquement.
	\item Les entiers naturels sont donc des nombres positifs (ce qui signifie éventuellement $0$). En anticipant sur les diverses écritures de nombres déjà rencontrées par les élèves nous pouvons dire que les entiers naturels sont des nombres positifs: dont une écriture décimale comporte une partie décimale nulle (écriture décimale) ou dont une écriture fractionnaire comporte $1$ au dénominateur.
	\item Parmi les mathématiciens qui ont marqué l'étude de l'ensemble des entiers naturels:
	
	\begin{center}
	\begin{tabular}{cm{0.5cm}c}
	\includegraphics[scale=0.3]{2ieme_ensembles_01_entiers_02_illustration_giuseppe-peano.jpg}
	&&
	\includegraphics[scale=0.15]{2ieme_ensembles_01_entiers_03_hermann_gunther_grassmann.jpg}
	\\
	Giuseppe Peano.
	&&
	Hermann Günther Grassmann.
	\\
	\end{tabular}
	\end{center}
	\item L'écriture manuelle du $\mathbb{N}$ diffère un peu: AJOUTR photo
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
				\setlength{\itemsep}{0pt}
				\setlength{\parskip}{0pt}
		\item $4$ est un entier naturel, ce que nous noterons: $4 \in \mathbb{N}$.
		\item $-1$, $0,1$, $\frac{1}{3}$, $\sqrt{2}$ ne sont pas des nombres entiers naturels. Encore un conte-exemple: $\pi \notin \mathbb{N}$. Ainsi $\mathbb{N}$ ne contient pas tous les nombres il en manque énormément.
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{exercice}
	Démontrez que $\frac{1}{7}$ n'est pas un entier naturel.
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Démontrez que $0,3$ n'est pas un entier naturel.
\end{exercice}

\begin{definition}
	L'ensemble des entiers naturels est muni de deux opérations: l'\emph{\color{purple}addition} notée $\color{purple}+$ et la \emph{\color{purple}multiplication} notée $\color{purple}\times$. Le résultat d'une addition est appelé une \emph{\color{purple}somme} et celui d'une multiplication un \emph{\color{purple}produit}.
\end{definition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\setlength{\parskip}{0pt}
		\item $0$ est appelé le \emph{\color{purple}neutre pour l'addition} car: quel que soit $n \in \mathbb{N}$, $n+0=0+n=n$.
		\item $0$ est appelé le \emph{\color{purple}neutre pour la multiplication} car: quel que soit $n \in \mathbb{N}$, $n\times 1=1 \times n=n$.
		\item L'addition et la multiplication sont connues depuis les plus petites classes: tables pythagoriciennes des deux opérations pour les entiers naturels de $0$ à $10$. Rappelons qu'il est difficile de faire des mathématiques sans une bonne maîtrise de ces compétences élémentaires.
		\item La soustraction et la division sont d'autres opérations bien connues pour modéliser respectivement un retrait et un partage équitable. Nous n'en parlons pas pour l'instant mais nous les introduirons ultérieurement d'une autre façon.
		\item On dit que le zéro est absorbant: quel que soit $n \in \mathbb{N}$, $n \times 0= 0 \times n=0$.
		\item L'addition et la multiplication, contrairement à la division et à la soustraction, sont commutatives: $n+m =m+n$ et $ n \times m =m \times n$.
		\item Les addition et multiplications sont des opérations internes à $\mathbb{N}$: une somme ou un produit d'entiers naturels est encore un entier naturel.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\subsubsection{Entiers relatifs: $\mathbb{Z}$.}

\begin{lecon}
	En essayant de résoudre l'équation $1+x=0$ d'inconnue $x$ nous voyons que les entiers naturels sont insuffisants pour résoudre certains problèmes. On créa donc (une tâche qui fut fort longue) de nouveaux nombres dits négatifs.
\end{lecon}

\begin{definition}
	Soit $n \in \mathbb{N}$. On appelle \emph{\color{purple}opposé} de $n$, et on note $-n$, le nombre tel que $n+(-n)=0$.
\end{definition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\setlength{\parskip}{0pt}
		\item Pour $n\in \mathbb{N}$ et $m \in\mathbb{N}$, par habitude historique et pour simplifier l'écriture des calculs, plutôt que d'écrire $n+(-m)$, nous écrirons $n-m$. Ainsi le résultat d'une soustraction, appelé traditionnellement \emph{\color{purple}différence}, pourra aussi être nommé somme.
		\item De $0+(-0)=0$ nous déduisons que $0=-0$. $0$ est son propre opposé. Nous retiendrons que $0$ est à la fois positif et négatif.
		\item Si vous avez pu écrire $+3$ pour désigner le nombre $3$ lors de la découverte des nombres relatifs c'est une écriture qui n'a pas d'autre intérêt que pédagogique. Nous n'écrirons jamais $+(+3)$ ou $-(+3)$.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{proposition}
	Quel que soit $n \in \mathbb{Z}$, $-(-n)=n$.
\end{proposition}

\begin{preuve}
	Soit $n \in \mathbb{Z}$. $-n+n=n+(-n)=0$ donc $n$ est l'opposé de $-n$. Autrement dit $-(-n)=n$.
\end{preuve}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\setlength{\parskip}{0pt}
	\item Ainsi le passage à l'opposé est une involution: l'opposé de l'opposé d'un nombre c'est ce nombre.
	\item Ce résultat est intéressant pour simplifier les écritures et explique pourquoi vous ne verrez quasiment jamais écrit $-(-3)$. Si cela se produisait vous devriez simplifier.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{definition}
	Les \emph{\color{purple}entiers (relatifs)} sont les entiers naturels et leurs opposés. L'ensemble de tous les entiers est: ${\color{purple}\mathbb{Z}}=\{ \dots ,\ -3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \dots \}$.
\end{definition}

\begin{exercice}
	L'affirmation: \fg Tous les nombres sont des entiers \fg ~est-elle vraie ou fausse?
\end{exercice}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
	\setlength{\itemsep}{0pt}
	\setlength{\parskip}{0pt}
	\item Une \emph{\color{purple}écriture décimale infinie} d'un entier ne comporte que des zéros dans la partie décimale. Ainsi: $3=3,000\dots$
	\item On retrouve que les entiers sont des nombres admettant une écriture fractionnaire dont le dénominateur est $1$.
	\item Il existe des nombres qui ne sont pas des entiers. Par exemple $\frac{1}{2}$ n'est pas un entier.
	\item La notation $\mathbb{Z}$ (de l'allemand \og zahlen\fg{} signifiant nombres) fut popularisée par Nicolas Bourbaki.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\subsubsection{Des sous-ensembles de l'ensemble des entiers.}

\begin{definition}
	Soient $a \in \mathbb{Z}$ et $b \in \mathbb{Z}$ tels que $a\leqslant b$. On note $\color{purple}\llbracket a,b\rrbracket$ l'ensemble des entiers allant de $a$ à $b$.
\end{definition}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\item $\llbracket -2,1 \rrbracket = \{ -2; -1; 0; 1\}$.
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\item On peut présenter un ensemble en disant le type d'objets qu'il contient puis la propriété commune vérifiée par tous les objets qu'il contient (le tout étant entre accolade): $\llbracket a, b \rrbracket=\{ n\in \mathbb{Z}\ | \ a\leqslant n \leqslant b \}$.
		\item De même on peut décrire nombre d'objets géométriques comme des lieux de points: dans le plan euclidien, la médiatrice de $[AB]$ est l'ensemble des points équidistants de $A$ et de $B$.%C'est me semble-t-il la définition de rectiligne dans Euclide.
		\item C'est une notation apparue en probabilité et qui se retrouve dorénavant dans diverses branches.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\subsubsection{Additionner des entiers relatifs.}

\begin{lecon}
	Nous admettrons sans plus nous étendre la notion d'ordre sur l'ensemble des entiers. Notamment:
	\begin{itemize}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\setlength{\parskip}{0pt}
		\item les nombres positifs sont les nombres supérieurs (ou égaux) à $0$.
		\item les nombres strictement positifs sont les nombres strictement supérieurs à $0$.
		\item les nombres négatifs sont les nombres inférieurs (ou égaux) à $0$.
		\item les nombres strictement négatifs sont les nombres strictement inférieurs à $0$.
	\end{itemize}
	Ce lien qui peut sembler anodin entre signes et inégalités ($n\geqslant 0$ par exemple) porte de nombreux fruits.
	
	\smallskip
	On peut distinguer diverses situations (somme de nombres négatifs, somme d'un nombre négatif et d'un nombre positif, soustraction de deux nombres négatifs ou positifs) essayons de réduire toutes ces situations à quelques cas.
\end{lecon}

\begin{definition}
	Soit $n \in \mathbb{Z}$. On appelle \emph{\color{purple}valeur absolue} de $n$ l'entier, positif, noté $|n|$ qui  est égale à $n$ si $n$ est positif et son opposé sinon.
\end{definition}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\setlength{\parskip}{0pt}
		\item Reprenons la définition pour $|-3|$. Donc dans ce cas $n=-3$ or $n$ n'est pas positif donc $|-3|$ égale l'opposé de $-3$: $|-3|=3$.
		\item De même on comprend vite que $|-10|=10$, $|4|=4$, $|0|=0$, ...
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{proposition}
	Soient $a\in \mathbb{N}$ et $b \in \mathbb{N}$. $-a+(-b)=-(a+b)$. Si $a\leqslant b$, alors $a+(-b)= -(b-a)$. Si $a\geqslant b$, alors $a+(-b)= a-b$.
\end{proposition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
	\setlength{\itemsep}{0pt}
	\setlength{\parskip}{0pt}
	\item La proposition ne parle pas du cas de la somme de deux entiers naturels qui est déjà connu. La proposition explique dans l'ordre, comment additionner deux nombres négatifs, puis un nombre positif et un nombre négatifs en distinguant selon que l'un ou l'autre a une plus grande valeur absolue.
	
	\item $\color{magenta} dague$ Dorénavant il ne faut plus voir de soustraction mais l'addition d'un opposé: $a-b=a+(-b)$. Cette façon de voir est fondamentale pour les manipulations algébriques. Elle permet notamment la commutativité: $a+(-b)=-b+a$ et donc des simplifications.
	\item Les méthodes souvent rencontrées au collège associant les additions de nombres relatifs à des translations sur la droite numérique restent pertinentes: $+2$ signifie se déplacer vers la droite de deux unités tandis que $-3$ signifie se déplacer vers la gauche de trois.
	\item Une addition de deux nombres relatifs est du signe de celui qui a la plus grande valeur absolue.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
	\setlength{\itemsep}{0pt}
	\setlength{\parskip}{0pt}
	\item $-2+(-6)=-(2+6)=-8$.
	\item $-7-28=-7+(-28)=-(7+28)=-35$.
	\item Comme $2\leqslant 5$, $2+(-5)=-(5-2)=-3$.
	\item $4-13=4+(-13)$. Comme $4 \leqslant 13$, $4+(-13)=-(13-4)$.
	\item $16+(-5)=16-5=11$.
	\item $-5+8=8+(-5)=8-5=3$.
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{exercice}
	Évaluez les sommes suivantes:
	\begin{tasks}(5)
		\task $13-5$.
		\task $-13+(-11)$.
		\task $17+(-6)$.
		\task $28+(-35)$.
		\task $-12+24$
		\task $-11+2$.
		\task $-3+2$.
		\task $-8-7$.
		\task $-(-3)+4$.
		\task $14-25$.
		\task $-4+12$.
		\task $-4+(-11)$.
		\task $13-5$.
		\task $-37+(-24)$.
		\task $39+(-12)$.
		\task $34+(-47)$.
		\task $-39+102$
		\task $-77+23$.
		\task $-19+5$.
		\task $-26-67$.
		\task $-(-45)+54$.
		\task $12-36$.
		\task $-8+23$.
		\task $-8+(-234)$.
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{tasks}(2)
		\task $13-5=8$.
		\task $-13+(-11)=-(13+11)=-24$.
		\task $17+(-6)=17-6=11$.
		\task $28+(-35)=-(35-28)$.
		\task $-12+24=24-12=12$
		\task $-11+2=2+(-11)=-(11-2)=-9$.
		\task $-3+2=2+(-3)=-(3-1)=-1$.
		\task $-8-7=-(8+7)=-15$.
		\task $-(-3)+4=3+4=7$.
		\task $14-25=14+(-25)=-(25-14)$.
		\task $-4+12=12-4=8$.
		\task $-4+(-11)=-(4+11)=-15$.
		\task 
	\end{tasks}
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Signe d'un produit.}

\begin{proposition}
	Soient $a\in\mathbb{N}$ et $b \in \mathbb{N}$. $(-a) \times b= -( a \times b)= -a \times b$, $a \times (-b)=-(a \times b)$ et $-a \times (-b)=a \times b$.
\end{proposition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
	\setlength{\itemsep}{0pt}
	\setlength{\parskip}{0pt}
	\item Le produit de deux nombres de même signe est positif.
	
	Le produit de deux nombres de signes contraires est négatif.
	\item Il est également possible de se représenter les choses comme suit.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\coordinate (A) at (0,0);
			\coordinate (B) at (3,0);
			\coordinate (C) at (4.5,0.5);	
			\node[draw,rectangle] (A) at (A) {$x$};
			\node[draw,rectangle] (B) at (B) {$ {\color{orange}-2 \times} x$};
			\draw[>=latex,->] (A)--(B)node[midway, above]{$\color{orange}-2 \times$};
			\draw node (C) at (C) {\footnotesize Multiplier par un nombre négatif change le signe};	
			\coordinate (A1) at ({1+5},0);
			\coordinate (B1) at ({4+5},0);
			\coordinate (C1) at ({4.5},-0.5);	
			\node[draw,rectangle] (A1) at (A1) {$x$};
			\node[draw,rectangle] (B1) at (B1) {$ {\color{orange} 3 \times }x$};
			\draw[>=latex,->] (A1)--(B1)node[midway, above]{${\color{orange} 3 \times} $};
			\draw node (C1) at (C1) {\footnotesize Multiplier par un nombre positif ne change pas le signe};	
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
	\setlength{\itemsep}{0pt}
	\setlength{\parskip}{0pt}
	\item $-2 \times (-7)=14$.
	\item $3 \times (-5)=-(3 \times 15)=-15$
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{exercice}
	Évaluer les produits suivants
	\begin{tasks}(5)
	\task $5 \times (-7)$.
	\task $-8 \times 3$.
	\task $(-9)\times (-4)$.
	\task $-(-5) \times 8$.
	\task $-8 \times 9$.
	\task $-5 \times (-11)$.
	\task $(-6) \times (-8)$.
	\task $-3 \times 14$.
	\task $4 \times (-11)$.
	\task $-6 \times (-7)$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\subsubsection{Priorités opératoires.}

\begin{lecon}
	Les règles de priorités, pour l'instant, se limitent à:	
	\begin{enumerate}[\text{Priorité} 1]
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\item Les calculs entre parenthèses ou crochets. S'il y a des parenthèses emboîtées les plus emboîtées sont prioritaires.
		\item Les multiplications en allant de gauche à droite.
		\item Les additions et soustractions en allant de gauche à droite.
	\end{enumerate}
\end{lecon}

\begin{exercice}
	Évaluez les quantités suivantes:
	\begin{tasks}(2)
		\task $A=4\times (-1)$.
		\task $B=-1\times (-1)$.
		\task $C=3\times [-2(3-5)]$.
		\task $D=(3-5\times (-2))(-1+(-4)\times 2)$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{tasks}(4)
	\task $A=-4$
	\task $B=1$
	\task $C=12$
	\task $D=-117$
	\end{tasks}
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Nommer le résultat d'un calcul.}

\begin{lecon}
	Nous avons dit un peu plus haut qu'un calcul est une {\color{purple}somme} (respectivement une {\color{purple}différence}, respectivement un {\color{purple}produit}) si la dernière opération effectuée en respectant les priorités opératoires est une addition (respectivement une soustraction, respectivement une multiplication).
	
	À moins de devoir distinguer somme et différence, les résultats d'une addition et d'une soustraction seront très souvent indifféremment appelés des sommes.
\end{lecon}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
	\setlength{\itemsep}{0pt}
	\setlength{\parskip}{0pt}
	\item $(-3+5) \times 8=2 \times 8=16$. La dernière opération effectuée est un produit donc $(-3+5) \times 8$ est un produit.
	\item $3 \times (2+1)-3=3 \times 3-3=9-3=6$. La dernière opération effectuée est une soustraction donc $3 \times (2+1)-3$ est une somme (les différences seront le plus souvent confondues avec les sommes).
	\item $2\times(-2) +4\times (3-1)$ et $3-(4-2)\times (5-2)$ sont des sommes.
	\item $(3-1)\times (-6-1)$ est un produit.
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{exercice}	
	Indiquez si les calculs suivants sont des sommes ou des produits et effectuez les calculs à la main.
	\begin{tasks}(3)
		\task $A=5+2-5\times 3$.
		\task $B=(3+2)\times 5$.
		\task $C=(3+2)+(2-5)(3+1)$.
		\task $D=(2+5)(1-3)$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{tasks}(2)
		\task \objectif{Calculons $A$.}
		
		\begin{align*}
			A &= 5+2-{\color{orange}5 \times 3}\\
			&= {\color{OrangeRed}5+2}-15\\
			&= 7-15 \\
			&= -8
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Il s'agit d'une somme.
			
		\end{conclusion}
		
		\task \objectif{Calculons $B$.}
		
		\begin{align*}
			B &= {\color{orange}(3+2)} \times 5\\
			&= 5 \times 5 \\
			&= 25
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Il s'agit d'un produit.
			
		\end{conclusion}
		
		\task \objectif{Calculons $C$.}
		
		\begin{align*}
			C &= {\color{orange}(3+2)} + {\color{WildStrawberry}(2-5)} {\color{PineGreen}(3+1)}\\
			&= 5+ {\color{BrickRed}(-3) \times 4}\\
			&= 5+(-12) \\
			&= -7
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Il s'agit d'une somme.
			
		\end{conclusion}
		
		
		\task \objectif{Calculons $D$.}
		
		\begin{align*}
			D &= {\color{orange}(2+5)} {\color{WildStrawberry}(1-3)} \\
			&= 7 \times (-2)
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Il s'agit d'un produit.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{tasks}
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Exercices.}


\begin{exercice}	
	Sans calculatrice, évaluez les quantités suivantes en détaillant si besoin est puis précisez la nature du calcul (somme ou produit).
	\begin{tasks}(3)
		\task $A=4\times (-7)$.
		\task $B=-3 \times (-4)$.
		\task $C=2 \times [-3(5-7)]$.
		\task $D=-13+(-5)$.
		\task $E=-12-7$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Calculez en ligne en détaillant puis déduisez-en la nature du calcul (somme ou produit).
	\begin{tasks}(2)
		\task $A=-2\times ( -4+2)-\left[ 3-2 \times (5-3) \right]$.
		\task $B=-3\times 2-4+3-7+8$.
		\task $C=[(-5+7)+6]-5$.
		\task $D=[(3-2)\times (4-1)] (5-7)$.
		\task $E= -3 \times (-2) \times (-1) \times 4$.
		\task $F= -4 \times (2-5) \times (3+1)$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{tasks}(2)
		\task 
		
		\begin{align*}
			A &= -2 \times (-2)-[3-2 \times 2]\\
			&= 4-[3-4]\\
			&= 4-[-1]\\
			&= 5
		\end{align*}
		
		\task 
		
		\begin{align*}
			B &= -6-4-3-7+8\\
			&= -12
		\end{align*}
		
		\task 
		
		\begin{align*}
			C &= [ 2+6]-5\\
			&= 8-5\\
			&= 3
		\end{align*}
		
		\task 
		
		\begin{align*}
			D &= [1 \times 3] \times (-2)\\
			&= 3 \times (-2)\\
			&= -6
		\end{align*}
		
		\task 
		
		\begin{align*}
			E &= 6 \times (-1) \times 4\\
			&= -6 \times 4 \\
			&= -24
		\end{align*}
		
		\task 
		
		\begin{align*}
			F &= -4 \times (-3) \times 4\\
			&= 12 \times 4\\
			&= 48
		\end{align*}
		
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Recopiez et complétez les phrases
	\begin{tasks}
		\task L'ensemble $\{ 0;1;2; \dots \}$ est appelé l'ensemble \makebox[2cm]{\dotfill} et est noté \makebox[2cm]{\dotfill}
		\task L'ensemble $\{ \dots ; -2;-1;0;1;2; \dots \}$ est appelé l'ensemble \makebox[2cm]{\dotfill} et est noté \makebox[2cm]{\dotfill}
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Recopiez en complétant par $\in$ ou $\notin$.
	\begin{tasks}(4)
	\task $2,1 \dots \mathbb{Z}$.
	\task $10^3 \dots \mathbb{Z}$.
	\task $-4 \dots \mathbb{Z}$.
	\task $-17 \dots \mathbb{N}$.
	\task $\frac{1}{3} \dots \mathbb{Z}$.
	\task $\frac{12}{3} \dots \mathbb{N}$.
	\task $3-4 \dots \mathbb{N}$.
	\task $0 \dots \mathbb{Z}$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Dites s'il s'agit d'une somme, ou d'un produit puis calculez en ligne en détaillant l'expression $F= -3 \times (2-1)-\left[ 2-2 \times (4-2) \right]$.
\end{exercice}
\begin{correction}

\subsubsection{Ce qu'il faut retenir.}

\begin{enumerate}
	\setlength{\itemsep}{0pt}
	\setlength{\parskip}{0pt}
	\item Vocabulaire et notation: ensemble, notation des ensembles avec accolades, élément, $\in$, $\notin$, entiers naturels, $\mathbb{N}$, entiers relatifs, $\mathbb{Z}$, neutre, opposé, absorbant, $\llbracket a,b\rrbracket$.
	\item Les méthodes: sommer des nombres relatifs, multiplier des nombres relatifs, identifier des sommes ou des produits, respecter les priorités opératoires.
\end{enumerate}

\end{correction}

\end{document}

\section{Modèles.}

\setlength{\parskip}{0pt}
\setlength{\itemsep}{0pt}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		\def\xY{-0.5};
		\def\yY{-0.5};
		\def\xZ{8.5};
		\def\yZ{7};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
		\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
		\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
		\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
		\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
		-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
		-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
		-- (2,0) 
		--(-0.5,0)
		-- cycle;
		\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		%extremites du graphique
		\def\xcoinbasgauche{-2};
		\def\xcoinhautdroit{4};
		\def\ycoinbasgauche{-4};
		\def\ycoinhautdroit{4};
		%Les deux grilles
		\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
		\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
		%Les deux axes
		\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
		%repere orthonorme
		\coordinate (O) at ({0},{0});
		\draw (O) node[below left] {$O$};
		\draw (O) node {$\bullet$};
		\coordinate (I) at ({1},{0});
		\draw (I) node[below left] {$I$};
		\draw (I) node {$\bullet$};
		\coordinate (J) at ({0},{1});
		\draw (J) node[below left] {$J$};
		\draw (J) node {$\bullet$};
		%Graduations
		\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		%fonction
		\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
		%Points
		\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
		%Tangentes horizontales
		\def\longueurtangente{0.7};
		\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
		%Ligne définie par des points
		\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Rectangle en coin.}

\begin{tikzpicture}
	\def\xangledroit{0};
	\def\yangledroit{0};
	\def\longueurangledroit{0.5};
	\draw[fill=green!30,rotate around={{20}:({\xangledroit},{\yangledroit})}] ({\xangledroit},{\yangledroit}) rectangle ({\xangledroit+\longueurangledroit},{\yangledroit+\longueurangledroit});
\end{tikzpicture}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
		\def\longueur{5};
		\def\hauteur{3};
		\def\profondeur{2};
		\def\angledefuite{30};
		\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
		\def\xA{0};
		\def\yA{0};
		%Création des points du bas.
		\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
		\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
		\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
		\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
		%Création des points du haut
		\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
		\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
		\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
		\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
		%Nom des points du bas dans le sens direct
		\draw (A) node [below left] {$A$};
		\draw (B) node [below right] {$B$};
		\draw (C) node [below right] {$C$};
		\draw (D) node [above left] {$D$};
		\draw (E) node [above left] {$E$};
		\draw (F) node [above] {$F$};
		\draw (G) node [above right] {$G$};
		\draw (H) node [above left] {$H$};
		%Les arêtes du bas
		\draw [] (A) -- (B);
		\draw [] (B) -- (C);
		\draw [dashed] (C) -- (D);
		\draw [dashed] (D) -- (A);
		%Les arêtes verticales
		\draw [] (A) -- (E);
		\draw [] (B) -- (F);
		\draw [] (C) -- (G);
		\draw [dashed] (D) -- (H);
		%Les arête du haut
		\draw [] (E) -- (F);
		\draw [] (F) -- (G);
		\draw [] (G) -- (H);
		\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
	\coordinate (A) at (0,0);
	\coordinate (B) at (5,-1);
	\coordinate (F) at (6,0);
	\coordinate (C) at (7,1);
	\coordinate (D) at (2,2);
	\coordinate (O) at (3.5,0.5);
	\coordinate (S) at (3.5,6);
	\coordinate (J) at (3.5,3.5);
	\coordinate (K) at (3,4.666);
	\draw (A) node {$\bullet$};
	\draw (B)node {$\bullet$};
	\draw (F)node {$\bullet$};
	\draw (C)node {$\bullet$};
	\draw (D)node {$\bullet$};
	\draw (O)node {$\bullet$};
	\draw (S)node {$\bullet$};
	\draw (J)node {$\bullet$};
	\draw (K)node {$\bullet$};
	\draw (A)node[below]{$A$};
	\draw (B)node[below right]{$B$};
	\draw (F)node[right]{$F$};
	\draw (C)node[right]{$C$};
	\draw (D)node[above right]{$D$};
	\draw (O)node[above right]{$O$};
	\draw (S)node[above]{$S$};
	\draw (J)node[above right]{$J$};
	\draw (K)node[below right]{$K$};
	\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
	\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
	\draw[blue, thick](A)--(S);
	\draw[blue, thick](B)--(S);
	\draw[blue, thick](C)--(S);
	\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
	\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
	\draw[blue, thick](F)--(S);
	\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
	\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
	\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
	\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
	\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
	\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
	\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		%Écarts entre entre racine et premier niveau
		\def\xA{2};
		%Nombre de nœuds du premiers niveau
		\def\noA{2};
		%Nombre de nœuds du deuxième niveau
		\def\noB{6};
		%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
		\def\noBe{3};
		%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
		\def\xB{2+\xA};
		\def\yB{1};
		%Racine
		\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
		%Pour ne pas écrire les mots above et below
		\def\posA{above};
		\def\posB{below};
		%Position des nœuds du premier niveau
		%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
		\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
			nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
			nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
		}{
			\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
			\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
			\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
		};
		%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
		\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
			nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
			nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
			nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
			nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
			nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
			nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
		}{
			\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
			\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
			\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
		};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		%Écarts entre entre racine et premier niveau
		\def\xA{2};
		%Nombre de nœuds du premiers niveau
		\def\noA{3};
		%Nombre de nœuds du deuxième niveau
		\def\noB{6};
		%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
		\def\noBe{2};
		%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
		\def\xB{2+\xA};
		\def\yB{1};
		%Nombre de nœuds du troisième niveau
		\def\noC{12};
		%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
		\def\noCe{2};
		%Écarts entre nœuds du troisième niveau
		\def\xC{2+\xB};
		\def\yC{1};
		%Racine
		\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
		%Pour ne pas écrire les mots above et below
		\def\posA{above};
		\def\posB{below};
		%Position des nœuds du premier niveau
		%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
		\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
			nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
			nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
			nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
		}{
			\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
			\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
			\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
		};
		%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
		\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
			nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
			nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
			nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
			nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
			nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
			nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
		}{
			\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
			\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
			\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
		};
		
		%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
		\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
			nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
			nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
			nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
			nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
			nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
			nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
			nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
			nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
			nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
			nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
			nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
			nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
		}{
			\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
			\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
			\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
		};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		\coordinate (A1) at (4,3);
		\coordinate (A2) at (4,1);
		\coordinate (A3) at (4,-1);
		\coordinate (A4) at (4,-3);
		\coordinate (B1) at (2,2);
		\coordinate (B2) at (2,-2);
		\coordinate (C1) at (0,0);
		\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
		\draw node (A12) at (A2) {$2$};
		\draw node (A13) at (A3) {$3$};
		\draw node (A14) at (A4) {$4$};
		\draw node (B11) at (B1) {$1$};
		\draw node (B12) at (B2) {$2$};
		\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
		\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
		\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
		\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
		\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
		%Création des nœuds
		\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
		\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
		\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
		\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
		%Branches entre les nœuds
		\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
		\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
		\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
		{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,d,+,}%
		\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
	{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
	\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
	\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
	\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
	\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
			def fonction(variable1):
			variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
	sudo apt update
	sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (AA) at (-9,6.5);
		\node (AA) at (AA) {};
		\coordinate (BB) at (9,6.5);
		\node (BB) at (BB) {};
		\coordinate (CC) at (9,-6.5);
		\node (CC) at (CC) {};
		\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
		\node (DD) at (DD) {};
		\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}