%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill \small {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/2ieme.html}{Évolutions.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} 

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Évolutions.}

\begin{notabene}
	
	Ajouter les résultats de comparaisons de nombre dans cette leçon (dans le programme): $a>b$, $a-b>0$, $\frac{a}{b}>1$.
	
	Sous forme de proposition. Intro pour les inéquation et l'étude du signe.
	
\end{notabene}

\begin{correction}
	
	Un commerçant vous offre une réduction de $300$ euros. Est-ce intéressant?
	
	La réponse dépend de la valeur de ce qui est vendu. Pour un appartement c'est peu mais pour un téléphone c'est très intéressant.
	
	Le montant de la réduction doit est comparé par rapport au prix initial. Qui dit rapport dit proportionnalité, dit division.
	
\end{correction}

\subsection{Taux d'évolution.}

\begin{lecon}
	
	Les variations d'une valeur, de $V_D$ (valeur de Départ) jusqu'à $V_A$ (valeur d'Arrivée), peuvent se calculer soit avec la \emph{\color{purple}variation absolue} \[ \color{purple} V_A-V_D \] soit avec la \emph{\color{purple}variation relative} \[ t=\frac{V_A-V_D}{V_D} \]
	
\end{lecon}

\begin{definition}
	
	Lorsque la variation relative est exprimée en pourcentage nous parlerons de \emph{\color{purple}taux d'évolution} (ou taux de croissance ou encore pourcentage d’évolution) \[ \color{purple} t = \frac{V_A-V_D}{V_D}\times 100\ \]
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item La variation absolue est dans la même unité que la valeur. La variation relative n'a pas d'unité: on la donne souvent en écriture décimale ou sous forme de pourcentage (taux).
		\item Le taux d'évolution (comme la variation absolue) est négatif s'il s'agit d'une baisse, et positif s'il s'agit d'une hausse.
		\item Les économistes distinguent parfois le taux de diminution et le taux d'augmentation. Ces deux taux sont alors positifs.
		\item La variation relative se donne avec 4 décimales et le taux avec 2 décimales sauf indications contraires dans les exercices.
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	Le montant de la redevance audiovisuel en France métropolitaine était de $114,49$ euros en 2001 et de $123$ euros en 2011. Calculez la variation absolue et le taux d'évolution de cette taxe de 2001 à 2011.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\objectif{Calculons la variation absolue $V(2001,2011)$.}
	
	\begin{align*}
		V(2001,2011) &= V_A-V_D\\
		&= 123-114,49\\
		&= 8,51
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		La redevance a augmenté de $8,51\ \text{\euro}$.
		
	\end{conclusion}
	
	\medskip
	\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}
	\objectif{Calculons le taux d'évolution $t_{1\shortrightarrow 11}$.}
	\begin{align*}
		t_{1\shortrightarrow 11} &= \frac{V_A-V_D}{V_D} \times 100 \\
		&= \frac{123-114,49}{114,49}\times 100\\
		&\approx 7,432
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		La redevance a augmenté de $7,43\ \%$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Football}
	
	Lors de soldes un commerçant baisse le prix d'un article de $90$ à $60$ euros. Quel est le taux d'évolution appliqué à cet article.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{notabene}
		
		Faire remarquer le signe dans la conclusion et parler des taux d'augmentation et de diminution.
		
	\end{notabene}
	
	\objectif{Calculons le taux d'évolution $t$.}
	\begin{align*}
		t &= \frac{V_A-V_D}{V_D} \times 100 \\
		&= \frac{60-90}{90}\times 100\\
		&\approx -33,333
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		Le prix a baissé de $33,33\ \%$.
		
	\end{conclusion}
	
	\medskip
	Remarque. {\color{orange}La phrase de conclusion pour un calcul de taux d'évolution s'exprime avec un taux d'augmentation ou un taux de diminution et est donc toujours un nombre positif.}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		1 point pour formule littérale
		1 point pour formule numérique
		1 point pour résultat
		1 point pour conclusion
		1 point pour présentation
		
		Et tout deux fois pour chaque question.
		
	\end{notabene}
	
	Calculez la variation absolue et le taux d'évolution du nombre d'élève choisissant l'option mathématique en terminale ES entre 2014 et 2017 d'après le tableau suivant:
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|m{1.6cm}|c|c|c|c|c|}
			\hline
			Année & 2013 & 2014 & 2015 & 2016 & 2017
			\\
			\hline
			Nombre d'élèves & 27 & 29 & 24 & 33 & 21
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item 
		
		\begin{align*}
			V_A-V_D &= 21-29\\
			&= -8
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Entre 2014 et 2017 le nombre d'élèves a diminué de $6$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			t_g &= \frac{V_A-V_D}{V_D} \times 100\\
			&= \frac{21-29}{29} \times 100\\
			&\approx -27,5862
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Le nombre d'élève a diminué de $27,59\ \%$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\subsection{Coefficient multiplicateur.}

\begin{lecon}
	
	\og Un employeur annonce que les salaires seront augmentés de $5\ \%$. Quel sera le nouveau salaire d'un employé qui touchait $\np{1600}\ \text{\euro}$.\fg{}
	
	\begin{enumerate}[$\cdot$]
		\item Le montant de l'augmentation correspond à $5\ \%$ du salaire initial: \[ \frac{5}{100} \times \np{1600}=80\ \text{\euro} \]
		\item Donc le nouveau salaire est \[ \np{1600}+80= \np{1680}\ \text{\euro} \]
	\end{enumerate}
	
	Nous allons apprendre un nouveau raisonnement pour répondre à cette question. Le nouvel outil qui est utilisé, le coefficient multiplicateur, devient indispensable pour les raisonnements complexes (taux d'évolutions successifs vus plus loin), ou pour créer des algorithmes.
	
\end{lecon}

\begin{definition}
	
	Le \emph{\color{purple}coefficient multiplicateur} est le nombre par lequel il faut multiplier la valeur de départ pour obtenir la valeur d'arrivée: \[ \color{purple} V_D\times CM=V_A \]
	
\end{definition}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	Si l'année dernière vos vacances vous avaient coûté $1200\ \text{\euro }$ et que leur coût a doublé cette année, combien allez-vous dépenser cette année? Quel est le coefficient multiplicateur correspondant à cette évolution?
	
\end{exercice}

\begin{proposition}
	
	Pour calculer le coefficient multiplicateur nous pourrons utiliser l'une des formules suivantes:
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{m{3cm}cm{3cm}}
			
			\[ \color{purple} CM=\frac{V_A}{V_D} \] 
			
			&
			
			ou
			
			&
			
			\[ \color{purple} CM=1+\frac{t}{100} \] 
			
			
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
\end{proposition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item La première formule montre que le coefficient multiplicateur est un nombre sans unité (comme les taux d'évolution qu'il va remplacer).
		\item Dans la formule $t$ est exprimé en pourcentage et peut être positif ou négatif.
		\item $CM$ est inférieur à $1$ s'il s'agit d'une diminution et supérieur à $1$ s'il s'agit d'une hausse.
		\item Nous mélangerons parfois la seconde formule et la définition en écrivant \[ \color{purple}V_D \times \left(1+\frac{t}{100} \right) =V_A \]
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{}
	
	Dans la pièce \emph{Le Cid} de Corneille, nous pouvons lire ces vers: 
	
	\medskip
	\og Nous partîmes cinq cents, mais par un prompt renfort,
	
	Nous nous vîmes trois milles en arrivant au port.\fg{}
	
	\medskip
	Calculez le coefficient multiplicateur correspondant à cette évolution.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\marginpar{}
	\objectif{Calculons le coefficient multiplicateur $CM$.}
	
	{\color{orange}Nous connaissons les valeurs de départ et d'arrivée nous utiliserons donc la première formule de la proposition.}
	
	\medskip
	Par définition
	
	\begin{align*}
		CM &= \frac{V_A}{V_D}\\
		&= \frac{\np{3000}}{500}\\
		&= 6
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		Le coefficient multiplicateur correspondant à cette évolution est: $CM=6$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Football}
	
	Le P.I.B. (produit intérieur brut) d'un pays est passé de $196$ milliards de dollars à $204$.
	
	Calculez le coefficient multiplicateur correspondant à cette évolution. Vous arrondirez le résultat à $10^{-4}$ près par excès.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	Calculez les coefficients multiplicateurs correspondant à:
	
	\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
		
		\begin{enumerate}[$\cdot$]
			\item une hausse de $20\ \%$,
			\item une baisse de $20\ \%$,
		\end{enumerate}
		
		&
		
		\begin{enumerate}[$\cdot$]
			\item une hausse de $100\ \%$,
			\item une hausse de $200\ \%$.
		\end{enumerate}
		
	\end{tabularx}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}Il s'agit, à partir du taux d'évolution de retrouver le coefficient multiplicateur, nous utiliserons donc la seconde formule de la proposition.}
	
	\begin{enumerate}[$\cdot$]
		\item \marginpar{\color{red}$\heartsuit$}
		\objectif{Calculons le coefficient multiplicateur correspondant à une hausse de $20\ \%$.}
		
		D'après le cours
		\begin{align*}
			CM &= 1+\frac{t}{100}\\
			&= 1+\frac{20}{100}\\
			&= 1,20
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$CM=1,2$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Calculons le coefficient multiplicateur correspondant à une baisse de $20\ \%$.}
		
		D'après le cours
		\begin{align*}
			CM &= 1+\frac{t}{100}\\
			\intertext{\color{orange}Comme il s'agit d'une baisse le taux d'évolution est négatif:}
			&= 1+\frac{-20}{100}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$CM=0,8$.
			
		\end{conclusion}
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	Si un salaire de $\np{1800}\ \text{\euro}$ augmente de $5\ \%$ quel est alors le nouveau salaire?
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}
	\objectif{Déterminons le nouveau salaire $V_A$.}
	
	Le coefficient multiplicateur correspondant à une hausse de $5\ \%$ est
	\begin{align*}
		CM &= 1+\frac{t}{100}\\
		&= 1+ \frac{5}{100}\\
		&= 1,05
	\end{align*}
	
	Donc le nouveau salaire est
	\begin{align*}
		V_A &= V_D \times CM\\
		&= \np{1600} \times 1,05\\
		&= 1680
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		Le nouveau salaire est de $\np{180}\ \text{\euro}$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		page 15 1ieme esl hachette declic 2011
		
	\end{notabene}
	
	Le chiffre d'affaires du marché de l'e-commerce (ventes par internet) en France s'élevait à 4,4 milliards d'euros début 2008 et a enregistré une croissance de $27,3\ \%$ au cours de l'année.
	
	Calculez le chiffre d'affaires de l'e-commerce, au dixième de milliard d'euro près, au début de l'année 2009.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{align*}
		V_A &= 1,273 \times 4,4\\
		&= 5,6012 \\
		&\approx 5,6
	\end{align*}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Football}
	
	Le chiffre d'affaires du groupe Carrefour en 2016 s'élevait à $85,59$ milliards d'euros et a enregistré une croissance de $3\ \%$ au cours de l'année 2017.
	
	Calculez le chiffre d'affaires de Carrefour en 2017, au centième de milliard d'euro près.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{align*}
		V_A &= 1,03 \times 85,59\\
		&= 88,1577\\
		&\approx 88,16
	\end{align*}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{proposition}{}
	
	Pour retrouver le taux d'évolution (en pourcentage) à partir du coefficient multiplicateur nous utiliserons: \[ \color{purple} t= 100\times (CM-1) \]
	
\end{proposition}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	À la suite d'une surproduction, le prix de vente d'un légume a été divisé par 3. Calculez le taux d'évolution du prix du légume.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\objectif{Calculons le taux d'évolution.}
	
	{\color{orange}A priori il faut essayé d'utiliser la formule $\frac{V_A-V_D}{V_D}\times 100$. Nous ne pouvons utiliser la formule car nous ne connaissons ni $V_D$ ni $V_A$.}
	
	\medskip
	D'après le cours
	\begin{align*}
		t &= 100 \times (CM-1)\\
		\intertext{\color{orange}Diviser par $3$ c'est multiplier par $\frac{1}{3}$ donc}
		t &= 100 \times \left( \frac{1}{3}-1 \right)\\
		&\approx -66,666
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		Le prix de vente a baissé de $66,67\ \%$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Football}
	
	Sachant que la valorisation de mon portefeuille d'actions entre le mois de juillet et le mois d'août a été multipliée par $0,975$, déterminez le taux d'évolution de mes biens mobiliers entre le mois d'août et le mois de juillet.
	
\end{exercice}

\subsection{Évolutions successives.}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	Cherchez l'erreur.
	
	\href{http://unemainlavelautre.net/2ieme_2019/2ieme_econometrie_02_evolutions_01_video.flv}{Vidéo 1.}
	
	\href{http://unemainlavelautre.net/2ieme_2019/2ieme_econometrie_02_evolutions_02_video.mp4}{Vidéo 2.}
	
\end{exercice}

\begin{lecon}
	
	On considère une grandeur $V$ (chiffre d'affaires, nombre de clients, valeur en euros, $\dots$) qui varie en prenant trois valeurs différentes:
	\begin{itemize}
		\item $V_D$ la valeur de départ,
		\item $V_I$ la valeur intermédiaire,
		\item $V_A$ la valeur d'arrivée.
	\end{itemize}
	
	Les valeurs $V_D$, $V_I$ et $V_A$ sont inconnues, seuls les taux d'évolutions (et donc les coefficients multiplicateurs) entre ces valeurs sont connus. Nous souhaitons trouver le \emph{\color{purple}taux d'évolution global} entre $V_D$ et $V_A$.
	
	\begin{center}
		\tikzstyle{noeud}=[rounded corners=3pt,fill=gray!35, text centered,text width=1.2cm]
		\begin{tikzpicture}
		\node[noeud](A)at(0,0){$V_D=?$};
		\node[noeud](B)at(3,0){$V_I=?$};
		\node[noeud](C)at(6,0){$V_A=?$};
		\node(D)at(1.5,-1.5){$\times CM_1$};
		\node(D)at(4.5,-1.5){$\times CM_2$};
		\node(D)at(3,1.5){$\times CMg=?$};
		\draw[->,>=latex](A)to[bend right=-30](C);
		\draw[->,>=latex](B)to[bend right=60](C);
		\draw[->,>=latex](A)to[bend right=60](B);
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{lecon}

\begin{proposition}{}
	
	Le \emph{\color{purple}coefficient multiplicateur de l'évolution global} est le produit des coefficients multiplicateurs intermédiaires: \[ \color{purple} CM_g = CM_1\times CM_2 \]
	
\end{proposition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Il n'y pas de formule simple avec les taux d'évolution.
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	Un article augmente de $10\%$ puis baisse de $20\%$. Quel est le taux d'évolution global de cet article en pourcentage?
	
\end{exercice}

\begin{notabene}
	Analyse du sujet. On parle d'évolutions. Il yen a deux. On cherche taux global et on connaît les taux successifs intermédiaires donc on utilise le résultat du cours. 
	
\end{notabene}

\begin{exercicecorrection}
	
	\objectif{Calculons le taux d'évolution global.}
	
	{\color{orange}Déterminons les coefficients multiplicateurs intermédiaires.}
	
	\medskip
	Première évolution hausse de $10\%$.
	
	Coefficient multiplicateur:
	\begin{align*}
		CM_1 &= 1+\frac{t}{100}\\
		&= 1+\frac{10}{100}\\
		&= 1,10
	\end{align*}
	
	\medskip
	Seconde évolution baisse de $20\%$.
	
	Coefficient multiplicateur: \[ CM_2 = 1+\frac{-20}{100}= 0,80 \]
	
	\medskip
	{\color{orange}Déterminons le coefficient multiplicateur global grâce à la précédente proposition.}
	
	\medskip
	Donc le coefficient multiplicateur global des deux évolutions est:
	
	\begin{align*}
		CM_g&= CM_1\times CM_2\\
		&= 1,10\times 0,8\\
		&=0,88
	\end{align*}
	
	\medskip
	{\color{orange}Traduisons ce coefficient multiplicateur en taux.}
	
	\medskip
	Donc le taux d'évolution global est:
	
	\begin{align*}
		t_g &= 100 \times (CM_g-1)\\
		&= 100\times (0,88-1)\\
		&= -12
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		L'évolution globale est une baisse de $12\ \%$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\medskip
Le résultat concernant les coefficients multiplicateurs se généralise à plus que deux évolutions.

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	Le contrat de travail d'un employé prévoit une augmentation salariale annuelle de $2,5\%$ pendant dix ans. Quel est le taux d'évolution du salaire en dix ans?
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{align*}
		CM_g &= CM_a^{10}\\
		&= 1,025^{10}\\
		\intertext{Donc:}
		t_g &= 100 (CM_g-1)\\
		&\approx 28,01
	\end{align*}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		1ieme esl hachette declic 2011 page 23 exercice 41
		
	\end{notabene}
	
	En France, en 2010, le montant de la T.V.A. sur les biens manufacturés est égale à $19,6\ \%$ du prix hors taxes.
	
	\begin{enumerate}
		\item Est-il plus avantageux pour l'acheteur que le vendeur lui propose une réduction de $15\ \%$ sur le prix H.T. ou sur le prix T.T.C.?
		\item Un véhicule coûte $\np{34698}\ \text{\euro}$ H.T. Le vendeur propose à un client $8\ \%$ de remise sur le prix T.T.C.
		
		Quel est le prix payé par ce client?
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{align*}
			CM_g &= CM_1 \times CM_2\\
			&= 1,196 \times 0,85
		\end{align*}
		
		Mais du fait de la commutativité du produit nous avons aussi $CM_g = CM_2 \times CM_1$.
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			V_A &= V_D \times CM_g\\
			&= 34698 \times 1,196 \times 0,92\\
			&= 38178,90336
		\end{align*}
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\subsection{Évolution réciproque.}


\begin{proposition}{}
	
	Pour retrouver la valeur de départ lors d'une évolution nous utiliserons: \[ \color{purple} V_D=\frac{V_A}{CM} \]
	
\end{proposition}

\begin{remarques}

	\begin{enumerate}
		\item Autrement dit $V_D=\frac{1}{CM}\times V_A$. On dit alors que $\color{purple}\frac{1}{CM}$ est le \emph{\color{purple}coefficient multiplicateur réciproque}.
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	Un ordinateur est proposé en promotion à $600$ euros après avoir baissé de $12\ \%$. Quel était son prix avant la promotion?
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\objectif{Retrouvons la valeur de départ $V_D$.}
	
	Il y a eu une baisse de $12\ \%$ et donc un coefficient multiplicateur qu fut appliqué été de 
	\begin{align*}
		CM &= 1+\frac{t}{100}\\
		&= 1+\frac{-12}{100}\\
		&= 0,88
	\end{align*}
	
	Donc la valeur de départ était
	\begin{align*}
		V_D &= \frac{1}{CM} \times V_A\\
		&= \frac{1}{0,88} \times 600\\
		&\approx 681,81
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		Le prix initial de l'ordinateur était de $681,81\ \text{\euro}$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	Un article augmente de $20\ \%$. Quel taux dois-je lui appliquer pour qu'il retrouve sa valeur initiale?
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\objectif{Calculons le taux réciproque.}
	
	Il y a eu une augmentation de $20\ \%$ ce qui correspond au coefficient multiplicateur:
	\begin{align*}
		CM &= 1+\frac{t}{100}\\
		&= 1+\frac{20}{100}\\
		&= 1,20
	\end{align*}
	
	D'où le coefficient multiplicateur réciproque
	\begin{align*}
		CM_r &= \frac{1}{CM}\\
		&= \frac{1}{1,20}\\
		&\approx 0,83333
	\end{align*}
	
	Et le taux réciproque est donc (en pourcentage)
	\begin{align*}
		t_r &= 100\times (CM_r-1)\\
		&\approx 100 \times (0,8333-1)\\
		&\approx -16,67
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		Pour qu'il retrouve sa valeur initiale il faut lui appliquer une baisse de $16,67\ \%$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}	
		
		Exercice 4 page 15 manuel 1ieme esl hachette declic 2011
		
		15 minutes à vue de nez.
		
	\end{notabene}
	
	\begin{sujet}
		
		En France la consommation de yaourts, par an et par personne, a baissé de $22,7\ \%$ entre 1998 et 2008, pour atteindre $51,5\ \mathrm{kg}$.
		
		Calculez la consommation annuelle par personne en 1998.
		
	\end{sujet}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$V_D\approx 66,6\ \mathrm{kg}$.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Football}
	
	Le montant total des dons effectués par les Français a augmenté de $4\ \%$ entre 2014 et 2015 pour atteindre $4,5$ milliards d'euros.
	
	Quel était le montant des dons en 2014.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$V_D \approx 4,3$.
	
\end{exercicecorrection}

\subsection{Exercices.}

\begin{exercice}{\Football}	
	
	\begin{notabene}
		
		1ieme esl hachette declic 2011 page 23 exercice 39.
		
	\end{notabene}
	
	Étude du marché solaire thermique dans 21 pays de l'Union européenne.
	
	\medskip
	\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{6}{X|}}
		\hline
		Sur l'année & 2004 & 2005 & 2006 & 2007 & 2008 & 2009
		\\
		\hline
		Croissance par rapport à l'année précédente en pourcentage ($\%$) & 11 & 25 & 47 & -9 & 60 & -10
		\\
		\hline
	\end{tabularx}
	
	\medskip
	Calculez le taux d'évolution global pour ces six années.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{align*}
		CM_g &\approx 2,6727246\\
		t_g &\approx 167,27
	\end{align*}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Laserbeam}
	
	\emph{L’accord de Kyoto (1997)}
	
	\medskip
	Le principal gaz à effet de serre (GES) est le dioxyde de carbone, noté $\mathrm{CO}_2$.
	
	En 2011, la France a émis $486$ mégatonnes de GES en équivalent $\mathrm{CO}_2$ contre $559$ mégatonnes en 1990.
	
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		Dans l’accord de Kyoto, la France s’est engagée à réduire ses GES de $8\ \%$ entre 1990 et 2012.
		
		Peut-on dire qu’en 2011 la France respectait déjà cet engagement? Justifier la réponse.
		
		\item 
		
		Sachant que les émissions de 2011 ont marqué une baisse de $5,6\ \%$ par rapport à 2010, calculer le nombre de mégatonnes en équivalent $\mathrm{CO}_2$ émises par la France en 2010. Arrondir le résultat à $0,1$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\objectif{Déterminons le taux d'évolution, $t$, des GES entre 1998 et 2011.}
		
		\begin{align*}
			t &= \frac{V_A-V_D}{V_D} \times 100 \\
			\intertext{Or $V_D=559$ et $V_A=486$ donc:}
			t &= \frac{486-559}{559} \times 100\\
			&\approx -13,06
		\end{align*}
		
		Les émissions de GES ont diminué de $13,06\ \%$ entre 1998 et 2011 donc
		
		\begin{conclusion}
			
			la France respectait ses engagements dès 2011.
			
		\end{conclusion}
		
		\item 
		
		\objectif{Calculons la quantité, $V_D$, de GES en 2010.}
		
		\begin{align*}
			V_D &= \frac{V_A}{CM}\\
			\intertext{Or le coefficient multiplicateur correspondant à une baisse de $5,6\ \%$ est}
			CM &= 1+\frac{t}{100}\\
			&= 1+\frac{-5,6}{100}\\
			&= 0,944\\
			\intertext{donc}
			V_D &= \frac{486}{0,944}\\
			&\approx 514,83
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			La France a émis $514,8$ mégatonnes de GES en 2010.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		Annales brevet 1997 nathan 3ieme.
		
		exercice 3 page 19;
		
	\end{notabene}
	
	Voici la liste des notes sur vingt, obtenues par Luc et Julie aux six devoirs de mathématiques du dernier trimestre:
	
	\begin{center}
		
		\noindent
		\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}m{2.5cm}|}
			\hline
			Devoir & $n\degres 1$ & $n\degres 2$ & $n\degres 3$ & $n\degres 4$ & $n\degres 5$ & $n\degres 6$ & Moyenne
			\\
			\hline
			Note de Luc & $12$ & $5$ & $18$ & $11$ & $19$ & $a$ &
			\\
			\hline
			Note de Julie & $20$ & $15$ & $4$ & $9$ & $x$ & $y$ & $12,5$
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
		
	\end{center}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Calculez la moyenne de Luc, si la note $a$ obtenue au sixième devoir est $13$.
			
			\item Une meilleure note au devoir $n\degres 6$ aurait-elle permis à Luc d'obtenir une moyenne de $15$?
			 
		\end{enumerate}
		
		\item La note obtenue par Julie au devoir $n\degres 6$ a augmenté de $25\ \%$ par rapport à celle qu'elle a obtenue au devoir $n\degres 5$.
		
		\begin{enumerate}
			\item Exprimez $y$ en fonction de $x$.
			
			\item Calculez $x$ et $y$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}