%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill \small {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/2ieme.html}{Proportion.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
\exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Proportion et pourcentage.}

\subsection{Calculer une proportion.}

\begin{notabene}
	
	Les rappels dans cs paragraphes seront en particulier utiles pour les cours de physique.
	
	rappelons d'ailleurs que les mathématiques seront de plus en plus théorique. Les applications des mathématiques se retrouvant dans les sciences expérimentales notamment en sciences physiques.
	
\end{notabene}

\begin{notabene}
	
	\url{https://pi.ac3j.fr/ratio-cycle-4/} et \url{https://ent2d.ac-bordeaux.fr/disciplines/mathematiques/wp-content/uploads/sites/3/2019/01/Ratios_au-cycle-4.pdf}.
	
\end{notabene}

\subsubsection{Proportion.}

\begin{notabene}
	
	Proportion, ratio proportionnalité.
	
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	Une proportion est un nombre qui représente un ratio c'est-à-dire un rapport de deux grandeurs de même nature.
	
	\medskip
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering\arraybackslash}X}}
		Proportion & Ratio & Proportionnalité
		\\
		$\dfrac{2}{3}$ ou $\dfrac{4}{6}$ & $2:3$ ou $4:6$ & \begin{tabular}{|c|c|}
			\hline
			$3$ & $6$
			\\
			\hline
			$2$ & $4$
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		\\
	\end{tabularx}
	
	\begin{notabene}
		
		Le ration est la façon dont on voyait les choses dans l'antiquité grecque: on aurait dit $2$ est à $3$ ce que $4$ est à $6$.
		
	\end{notabene}
	
	\medskip
	Le tableau de proportionnalité regroupe des grandeurs qui sont dans un même ratio.
	
	La proportion est le coefficient multiplicateur qui permet de passer de la première à la deuxième ligne du tableau de proportionnalité: $\frac{2}{3} \times 6=4$.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item \og Trois élèves sur cinq choisissent la spécialité mathématiques.\fg{} Nous traduirons cela en disant que la proportion d'élèves choisissant la spécialité mathématique est $\frac{3}{5}$.
		
		\item Dans une classe de $24$ élèves il y a $2$ filles. La proportion de filles dans la classe est de $p=\frac{2}{24}= \frac{1}{12}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsubsection{Appliquer une proportion.}

\begin{notabene}
	
	Appliquer une proportion c'est multiplier.
	
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	Appliquer une proportion c'est multiplier une grandeur par la proportion. Ainsi les deux tiers de $6$ s'obtiennent en faisant: $\frac{2}{3} \times 6= 4$.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Si un tiers des élèves d'une classe de $33$ élèves font régulièrement leur travail, alors le nombre d'élèves qui travaillent régulièrement est $\frac{1}{3} \times 33=11$.
		
		\item Si la proportion de mangeurs de choucroute à la Réunion est de $1$ millième, alors, comme il y a $\np{856000}$ habitants à la Réunion, le nombre de mangeurs de choucroute est: $\frac{1}{1000} \times \np{856000}= 856$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{\Bouquet}
	
	\begin{notabene}
		
		Brevet 97
		
	\end{notabene}
	
	On appelle \og téléviseur $16/9$ \fg{} un téléviseur dont la longueur de l'écran est égale aux $\dfrac{16}{9}$ de sa largeur.
	
	Pour un tel téléviseur, calculer le longueur de l'écran lorsque la largeur est $41,4\ \mathrm{cm}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$\frac{16}{9} \times 41,4\ \mathrm{cm} = 73,6\ \mathrm{cm}$.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Bouquet}
	
	\begin{notabene}
		
		Brevet 97
		
	\end{notabene}
	
	Pour $\np{1080}$ francs, le père de Pierre a acheté $4$ cravates et $3$ chemises.
	
	Sachant que le prix d'une cravate est les $\dfrac{3}{5}$ de celui d'une chemise: quels sont les prix d'une cravate et d'une chemise?
		
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	Notons $x$ le prix d'une chemise. Le prix d'une cravate est de $\frac{3}{5} \times x$ donc on a: 
	
	\begin{align*}
		4 \times \frac{3}{5} \times x + 3 \times x &= 1080\\
		\frac{27}{15} \times x &= 1080\\
		{\color{orange}\frac{15}{27} \times }\frac{27}{15} x &= {\color{orange}\frac{15}{27} \times } 1080\\
		x &= 600
	\end{align*}
	
	Donc 
	
	\begin{conclusion}
		
		une chemise coût $600$ francs.
		
	\end{conclusion}
	
	\medskip
	Comme $\frac{3}{5} \times 600=360$
	
	\begin{conclusion}
		
		une cravate coût $360$ francs.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Représentation graphique d'une situation de proportionnalité.}

\begin{notabene}
	
	Proportion et fonction affine.
	
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	Pour le tableau de proportionnalité suivant
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
			\hline
			$x$ & $3$ & $6$ & $9$
			\\
			\hline
			$y$ & $2$ & $4$ & $6$
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
	\begin{notabene}
		
		Commencer à introduire ou rappeler le vocabulaire: tableau de valeur.
		
	\end{notabene}
	
	nous pouvons considérer que la première ligne correspond à des abscisses et la seconde à des ordonnées. Les points dans le cas d'une proportionnalité sont alignés avec l'origine du repère.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.8,yscale=0.8]
		\def\xY{-0.5};
		\def\yY{-0.5};
		\def\xZ{9.5};
		\def\yZ{6.5};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
		\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
		\foreach \x in {1, 2, ..., 9}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\foreach \y in {1,2,3,...,6}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=-0.5:9.5] plot(\x,{2/3*\x});
		\draw[blue] (4.5,2) node[fill=white] {$y=\frac{2}{3}x$};
		\draw[red, dashed] (3,0) -- (3,2) -- (0,2);
		\draw[red] (3,2) node {$\times$};
		\draw[red, dashed] (6,0) -- (6,4) -- (0,4);
		\draw[red] (6,4) node {$\times$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Ici les abscisses, $x$, et ordonnées, $y$, des points de la droite sont liées par l'équation $y=\frac{2}{3} x$.
	
	Nous dirons aussi que la droite est la courbe représentative d'une fonction linéaire dont le coefficient directeur est $\frac{2}{3}$.
	
\end{lecon}

\subsection{Les pourcentages.}

\begin{lecon}
	
	Pour se représenter facilement les proportions il est traditionnel d'exprimer la proportion sous forme d'une expression fractionnaire dont le dénominateur est $100$ le numérateur est alors appelé un pourcentage.
	
	Autrement dit un pourcentage est nombre exprimé non pas en unités mais en centièmes.
	
	Pour obtenir un pourcentage il suffit de multiplier la proportion par $100$.
	
	L'usage du pourcentage étant socialement répandu il peut sembler plus simple de l'utiliser. Mathématiquement, le pourcentage n'a pas davantage par rapport à une fraction ou une écriture décimale.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\frac{2}{5}= \frac{40}{100}$ donc une proportion de $\frac{2}{5}$ correspond à $40\ \%$.
		
		\item $34,78\ \%=\frac{34,78}{100}=0,3478$.
		
		\item Si lors d'une élection $234$ citoyens sur un total de $650$ votent pour le candidat Dugenou, alors $\frac{234}{650} \times 100= 36$ donc $36\ \%$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{\Bouquet}
	
	\begin{notabene}
		
		Brevet 97
		
	\end{notabene}
	
	Dans deux classes de 24 élèves chacun, on demande aux collégiens combien de temps ils passent dans l'autobus pour se rendre au collège (tous prennent l'autobus).
	
	\begin{enumerate}
		\item Sachant que tous les élèves ont répondu, reproduire et compléter le tableau ci-dessous présentant les résultats de cette enquête:
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
				\hline
				Temps $t$ en $\mathrm{min}$ & $0 \leqslant t <15$ & $15 \leqslant t <30$ & $30 \leqslant t <45$ & $t \geqslant 45$
				\\
				\hline
				Effectif & $6$ & $24$ &  & $3$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
		\item Quel est l'effectif d'élèves passant au moins $30$ minutes dans l'autobus pour se rendre au collège?
		
		\item En déduire le pourcentage d'élèves passant au moins une demi-heur dans l'autobus pour se rendre au collège.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Bouquet}
	
	\begin{notabene}
		
		Brevet 97
		
	\end{notabene}
	
	Le tableau ci-dessous indique, en 1982, le bilan des accidents corporel de la circulation dans un pays. Compléter le tableau. Chaque résultat pour les pourcentages sera arrondi au dixième près.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|m{2cm}|m{2cm}|m{2cm}|m{2cm}|m{2cm}|}
			\hline& Nombre des tués & Nombre de blessés légers & Nombre de blessés graves & Nombre total d'accidentés
			\\
			\hline
			Effectifs & $\np{12500}$ & $\np{321000}$ & $\np{84500}$ & $\np{418000}$
			\\
			\hline
			Pourcentages &&&&
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
\end{exercice}

\subsection{Les études de populations.}

\subsubsection{Proportion d'une sous-population dans une population.}

\begin{notabene}
	
	À l'oral pour faciliter l'apprentissage confondre effectif et cardinal. Notamment "effectif sur effectif total".
	
	
	Les populations sous populations, cardinal(notation à réfléchir car valeur absolue pose problème pour les élèves peut être croisillon), pas de résultat spécifique pour retrouver la population de départ et mais des résolutions d'équations linéaires.
	
	Introduction naïve de la notation d'inclusion avec l'idée de population et de sous-population. L'introduction formelle est gardée pour la leçon sur les ensembles de nombres.
	
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	Nous allons préciser les proportions intervenant dans le domaine des statistiques.
	
	\medskip
	En statistique une \emph{\color{purple}population} est un ensemble de trucs (des hommes, des animaux, des objets, ...) tous de même nature et que nous souhaitons étudier."Les trucs étudiés sont appelés des individus.
	
	Le plus souvent il s'agira de collecter des données sur un \emph{\color{purple}caractère} (un aspect des individus: taille, poids, couleur, ...) des individus de la population. L'ensemble des données constituant alors une \emph{\color{purple}série statistique}.
	
	\medskip
	Si dans une première population de $12$ individus il y a $10$ filles et dans une seconde population de $24$ individus il y en a $12$, dans quelle population y a-t-il le plus de filles? La question est trop imprécise et deux réponses sont possibles:
	
	\begin{itemize}
		\item il y a plus de filles dans la seconde population que dans la seconde,
		
		\item il y a plus de filles dans la première population par rapport au nombre d'élèves de la classe.
		
	\end{itemize}
	
	Dans le second cas nous comparons des proportions.
	
\end{lecon}


\begin{definition}
	
	
	Soient $E$ une population d'individus et $A$ une sous-population de la population $E$.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:360] plot({0.5+1.5*cos(\x)},{1*sin(\x)})node[fill=white]{$A$};
		\draw[red, thick][samples=100,domain=0:360] plot({3*cos(\x)},{2*sin(\x)})node[fill=white]{$E$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Notons $\#A$ et $\#E$ les effectifs des populations respectivement $A$ et $E$.
	
	\medskip
	Nous appellerons \emph{\color{purple}proportion de la sous-population $A$ dans la population $E$} \[ P_E(A)=\frac{\#A}{\#E}. \]
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Lors de tests sur un échantillon de $1240$ personnes, on observe que $356$ sont séro-positives. Donc la proportion, en pourcentage, de la population qui peut être estimée séro-positive est de $\frac{356}{1240} \times 100\approx 28,71$ (en arrondissant au centième).
		
		\item 
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item On retrouve la formulation habituelle: $\frac{\text{effectif}}{\text{effectif total}}$.
		
		\item Il est bien sur possible d'exprimer cette proportion en pourcentage.
		
		\item La proportion d'une sous-population dans une population est un nombre compris entre $0$ et $1$.
		
		Le pourcentage d'une sous-population dans une population est un nombre compris entre $0$ et $100$.
		
		\item En statistique $E$ est appelée la population de référence.
		
		\item En mathématiques pures plutôt que de parler de population nous parlerons d'\emph{\color{purple}ensemble fini}. Le terme \emph{\color{purple}cardinal} est préféré à effectif.
		
		\item La notation mathématique pour indiquer que $A$ est une sous-population de $E$ est: $\color{purple}A\subset E$. Dans ce cas on dit que $A$ est \emph{\color{purple}inclus} dans $E$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene} 
		
		Page 29 du livre intervalle 2019.
		
	\end{notabene}
	
	Dans une classe de première de 35 élèves, 9 élèves font du ski.
	
	Calculez le pourcentage d'élèves de la classe qui font du ski arrondi à $10^{-2}$ près.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	Notons $E$ l'ensemble des élèves de la classe et $A$ l'ensemble de ceux qui font du ski.
	
	\medskip
	\objectif{Calculons $p_E(A)$.}
	
	Par définition la proportion est de \[ P_E(A) = \frac{\#A}{\#E} .\] Or $\#A=9$ et $\#E=35$ donc: 
	
	\begin{align*}
		P_E(A) &= \frac{9}{35}\\
		&\approx 0,2571
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		$25,71\ \%$ des élèves font du ski.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Bouquet}
	
	\begin{notabene}
		
		1ieme stmg hachette mathematiques 2012 page 11 exercice 3
		
	\end{notabene}
	
	Une salle de spectacle contient $\np{9000}$ places assises et $\np{21000}$ places debout.
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculez le pourcentage de places assises.
		
		\item Déterminez le pourcentage de places debout.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item \objectif{Calculons la proportion, $P_E(A)$, de places assises.}
		
		Notons $A$ l'ensemble des places assises et $E$ l'ensemble de toutes les places.
		
		Nous avons $\#A=9000$ (le nombre de places assises) et $\#E=9000+21000=30000$ (le nombre total, assis ou debout, de places).
		
		Donc le pourcentage de places assises est:
		\begin{align*}
			P_E(A) &= \frac{\#A}{\#E}\\
			&= \frac{9000}{30000}\\
			&= 0,3
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$30\ \%$ des places sont des places assises.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Calculons la proportion, $p_E(B)$, de places debout.}
		
		Notons $B$ l'ensemble des places debout. 
		
		Nous avons $\#B=21000$.
		
		\medskip
		Le pourcentage de places debout est:
		\begin{align*}
			P_E(B) &= \frac{\#B}{\#E}\\
			&= \frac{21000}{30000}\\
			&= 0,7
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$70\ \%$ des places sont des places debout.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Divers calculs avec les pourcentages d'une sous-population dans une population.}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	\begin{notabene}
		
		Page 29 du livre intervalle.
		
	\end{notabene}
	
	\begin{enumerate}
		\item Dans un petit port, les cinq-sixièmes des 720 habitants vivent de la pêche. Combien d'habitants vivent de la pêche?
		\item Dans un village voisin, 697 habitants vivent de l'agriculture, ce qui représente $82\%$ de la population. Combien y a-t-il d'habitants dans ce village?
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item {\color{orange}Il s'agit d'appliquer une proportion.}
		
		\medskip		
		\objectif{Calculons le nombre d'habitants $n$ qui vivent de la pêche.}
		
		\begin{align*}
			n &= \frac{5}{6} \times 720 
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$n=600$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item Notons $A$ l'ensemble des habitants vivant de l'agriculture et $E$ celui des habitant du village.
		
		\objectif{Calculons $\#E$.}
		
		\begin{align*}
			P_E(A) &= \frac{\#A}{\#E}\\
			\intertext{Nous en déduisons successivement:}
			P_E(A) {\color{orange}\times \#E} &= \frac{\#A}{\#E} {\color{orange}\times \#E}\\
			P_E(A) \times  \#E &= \#A \\
			\frac{P_E(A)\cdot \#E}{\color{orange}P_E(A)} &= \frac{\#A}{\color{orange}P_E(A)},\ \text{car } P_E(A)>0\\
			\#E &= \frac{\#A}{P_E(A)}\\
			&= \frac{697}{82}\\
			&\approx \np{163085}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Il y a $\np{163085}$ candidats à l'examen du bac.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Bouquet}
		
	\begin{notabene}
		
		Brevet 97
		
	\end{notabene}
	
	Un marchand a des crayons bleus, des crayons rouges et crayons verts. Les crayons bleus représentent $53\ \%$ de la totalité des crayons.
	
	Les crayons rouges représentent les  $\dfrac{3}{10}$ de la totalité des crayons.
	
	\begin{enumerate}
		\item Les crayons verts représentent un pourcentage de la totalité des crayons. Quel est ce pourcentage?
		
		\item En tout le marchand a $300$ crayons. Combien a-t-il de crayons bleus?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item La proportion des crayons bleus est $\frac{53}{100}=0,53$ et la proportion des crayons rouges  est $\frac{3}{10}=0,3$ donc la proportion de crayons verts est
		
		\begin{align*}
			P_v &= 1-0,53-0,3\\
			&= 0,17
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$17\ \%$ des crayons sont verts.
			
		\end{conclusion}
		
		\item Le nombre de crayons bleu est
		
		\begin{align*}
			n_b &= \frac{53}{100} \times 300
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$n_b=159$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Bouquet}
	
	\begin{notabene}
		
		1ieme stmg hachette mathematiques 2012 page 11 exercice 1
		
	\end{notabene}
	
	\begin{enumerate}
		\item Une année le taux de réussite au baccalauréat technologique est de $79,7\ \%$, ce qui représente $\np{129979}$ candidats reçus.
		
		Calculez le nombre de candidats à cet examen.
		
		\item Dans un lycée le taux de réussite est de $95\ \%$, et il y a eu $12$ refusés.
		
		Calculez le nombre de candidats dans ce lycée.
	\end{enumerate}		
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item Notons: $A$ l'ensemble des candidats reçus et $E$ celui de tous le candidats.
		
		{\color{orange}Nous utiliserons parfois dans la suite la notation moderne du cardinal qui est calquée sur de la valeur absolue: $\#A=A|$.}
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $|E|$.}
		
		\begin{align*}
			P_E(A) &= \frac{|A|}{|E|}\\
			\intertext{équivaut successivement à:}
			0,797 &= \frac{129979}{|E|}\\
			0,797 |E| &= 129979\\
			|E| &= \frac{129979}{0,797}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$|E|\approx 163085$.
			
			
		\end{conclusion}
		
		\item Notons: $A$ l'ensemble des lycéens recalés et $E$ celui des candidats à l'examen.
		
		\objectif{Calculons $\#E$.}
		
		\begin{align*}
			P_E(A) &= \frac{\#A}{\#E} \\
			\intertext{Nous en déduisons successivement:}
			5 &= \frac{12}{\#E}, \quad \text{car } 100-95=5\\
			5 \times \#E &= 12\\
			\#E &= \frac{12}{5}\\
			\#E &= 240
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Il y a $240$ candidats dans ce lycée.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Bouquet}
	
	\begin{notabene}
		
		1ieme stmg hachette mathematiques 2012 page 11 exercice 2
		
	\end{notabene}
	
	Le salaire brut mensuel de Sophie est de $\np{13200}\ \text{\euro}$. Les cotisations salariales représentent $23\ \%$ du salaire brut.
	
	Calculez le salaire hors cotisations salariales.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}Nous allons ici raisonner comme pour des populations ce qui en fait pas le cas. Il s'agit d'une situation de proportionnalité mais pas de proportion.}
	
	\medskip
	Notons: $\#A$ le salaire hors cotisation salariale, $P_E(A)=1-0,23=0,77$ et $\#E=13200$ le salaire brut.
	
	\medskip
	\objectif{Déterminons $\#A$.}
	
	\begin{align*}
		p_E(A) &= \frac{\#A}{\#E}\\
		\intertext{équivaut successivement à:}
		0,77 &= \frac{\#A}{13200}\\
		0,77 \times 13200 &= \#A\\
		10164 &= \#A
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		Le salaire hors cotisation salariales est  de $\np{10164}\ \text{\euro}$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}


\subsubsection{Ensembles et sous-ensembles.}

\begin{notabene}
	
	Réunion, intersection, inclusion, proportions de la réunion, 
	
\end{notabene}

\begin{definition}
	
	Nous dirons que $A$ est un \emph{\color{purple}sous-ensemble} de $E$, ou une\emph{\color{purple}partie} de $E$ si tous les éléments qui appartiennent à $A$ appartiennent aussi à $E$. 
	
	Dans ce cas nous noterons: $\color{purple}A \subset E$.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.6,yscale=0.6]
		%Ellipse E
		\def\xE{0};
		\def\yE{0};
		\def\rEa{4};
		\def\rEb{2.5};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\rEa*cos(\x)+\xE},{\rEb*sin(\x)+\yE});
		\fill [color=blue, opacity=0.1][samples=100,domain=0:360] plot({\rEa*cos(\x)+\xE},{\rEb*sin(\x)+\yE});
		\draw [blue] ({\xE-0.8*\rEa},{\yE-0.8*\rEb}) node {$E$};
		%Ellipse A
		\def\xA{-1};
		\def\yA{0};
		\def\rAa{2};
		\def\rAb{1.5};
		\draw[red, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\rAa*cos(\x)+\xA},{\rAb*sin(\x)+\yA});
		\fill [color=red, opacity=0.1][samples=100,domain=0:360] plot({\rAa*cos(\x)+\xA},{\rAb*sin(\x)+\yA});
		\draw [red] ({\xA-0.8*\rAa},{\yA+\rAb}) node {$A$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item $A\subset B$ se lit \og {\color{purple}$A$ est inclus dans $B$}\fg{}.
		
		\item La représentation typique illustrant deux sous-ensembles $A$ et $B$ de l'ensemble $E$ consiste au diagramme de Venn suivant.
		
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.6,yscale=0.6]
			%Ellipse E
			\def\xE{0};
			\def\yE{0};
			\def\rEa{4};
			\def\rEb{2.5};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\rEa*cos(\x)+\xE},{\rEb*sin(\x)+\yE});
			\fill [color=blue, opacity=0.1][samples=100,domain=0:360] plot({\rEa*cos(\x)+\xE},{\rEb*sin(\x)+\yE});
			\draw [blue] ({\xE-0.8*\rEa},{\yE-0.8*\rEb}) node {$E$};
			%Ellipse A
			\def\xA{-1};
			\def\yA{0};
			\def\rAa{2};
			\def\rAb{1.5};
			\draw[red, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\rAa*cos(\x)+\xA},{\rAb*sin(\x)+\yA});
			\fill [color=red, opacity=0.1][samples=100,domain=0:360] plot({\rAa*cos(\x)+\xA},{\rAb*sin(\x)+\yA});
			\draw [red] ({\xA-0.8*\rAa},{\yA+\rAb}) node {$A$};
			%Ellipse B
			\def\xB{1};
			\def\yB{0};
			\def\rBa{2};
			\def\rBb{1.5};
			\draw[Green, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\rBa*cos(\x)+\xB},{\rBb*sin(\x)+\yB});
			\fill [color=Green, opacity=0.1][samples=100,domain=0:360] plot({\rBa*cos(\x)+\xB},{\rBb*sin(\x)+\yB});
			\draw [Green] ({\xB+0.8*\rBa},{\yB+\rBb}) node {$B$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		Cette schématisation permet de comprendre les diverses situation que nous rencontrerons.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Un sondage dans un lycée donne:
		
		\noindent
		\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{}
			& Pratiquent un sport & Ne pratiquent pas de sport & Total 
			\\
			\hline
			Fumeurs & $40$ & $120$ & $160$
			\\
			\hline
			Non fumeurs & $430$ & $210$ & $640$
			\\
			\hline
			Total & $470$ & $330$ & $800$
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
		
		L'ensemble des élèves fumeurs est inclus dans l'ensemble des lycéens. L'ensemble des élèves fumeurs contient $160$ éléments.
				
		L'ensemble des élèves non fumeurs et qui ne pratiquent pas de sport est inclus dans l'ensemble des élèves non fumeurs. Le cardinal de l'ensemble des élèves non fumeurs et qui ne pratiquent pas de sport est $210$.
		
		\item L'ensemble des Réunionnais est inclus dans l'ensemble des Français.
		
		\item Plus généralement en reprenant la terminologie des statistiques: une sous-population est incluse dans une population.
		
		\item $\{ 3;a \} \subset \{ 3;b;4;a \}$ mais $\{ 3;a \} \not\subset \{ 3;b;4 \}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{definition}
	
	L'ensemble des éléments communs à $A$ et $B$, c'est-à-dire l'ensemble des éléments qui appartiennent à $A$ \underline{et} $B$, est appelé l'\emph{\color{purple}intersection de} $A$ et $B$ et est noté $\color{purple}A \cap B$.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.6,yscale=0.6]
		%Ellipse E
		\def\xE{0};
		\def\yE{0};
		\def\rEa{4};
		\def\rEb{2.5};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\rEa*cos(\x)+\xE},{\rEb*sin(\x)+\yE});
		\fill [color=blue, opacity=0.1][samples=100,domain=0:360] plot({\rEa*cos(\x)+\xE},{\rEb*sin(\x)+\yE});
		\draw [blue] ({\xE-0.8*\rEa},{\yE-0.8*\rEb}) node {$E$};
		%Ellipse A
		\def\xA{-1};
		\def\yA{0};
		\def\rAa{2};
		\def\rAb{1.5};
		\draw[red, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\rAa*cos(\x)+\xA},{\rAb*sin(\x)+\yA});
		\fill [color=red, opacity=0.1][samples=100,domain=0:360] plot({\rAa*cos(\x)+\xA},{\rAb*sin(\x)+\yA});
		\draw [red] ({\xA-0.8*\rAa},{\yA+\rAb}) node {$A$};
		%Ellipse B
		\def\xB{1};
		\def\yB{0};
		\def\rBa{2};
		\def\rBb{1.5};
		\draw[Green, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\rBa*cos(\x)+\xB},{\rBb*sin(\x)+\yB});
		\fill [color=Green, opacity=0.1][samples=100,domain=0:360] plot({\rBa*cos(\x)+\xB},{\rBb*sin(\x)+\yB});
		\draw [Green] ({\xB+0.8*\rBa},{\yB+\rBb}) node {$B$};
		%Hachures
		\def\angle{60};
		\fill[pattern=north west lines, pattern color=black] plot [domain={-\angle}:{\angle}] ({\rAa*cos(\x)+\xA},{\rAb*sin(\x)+\yA}) -- plot [domain={180-\angle}:{180+\angle}] ({\rBa*cos(\x)+\xB},{\rBb*sin(\x)+\yB}) -- cycle;
		\draw (0,0) node[fill=white] {\footnotesize $A \cap B$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item $A\cap B$ se lit \og {\color{purple}$A$ inter $B$}\fg{}.
		
	\end{enumerate}

\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Reprenons l'exemple ci-dessus:
		
		\noindent
		\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{}
			& Pratiquent un sport & Ne pratiquent pas de sport & Total 
			\\
			\hline
			Fumeurs & $40$ & $120$ & $160$
			\\
			\hline
			Non fumeurs & $430$ & $210$ & $640$
			\\
			\hline
			Total & $470$ & $330$ & $800$
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
		
		L'intersection de l'ensemble des fumeurs et de l'ensemble des non sportifs est un ensemble qui contient $120$ éléments.
		
		\item L'intersection entre l'ensemble des élèves de premières et l'ensemble des élèves du lycée étudiant l'allemand est l'ensemble formé des élèves de première qui étudient l'allemand.
		
		\item L'intersection entre l'ensemble des nombres pairs et celui des nombres impairs ne contient aucun élément. Nous dirons qu'il s'agit de \emph{\color{purple}l'ensemble vide} et nous le noterons $\emptyset$.
		
		\item L'intersection ente l'ensemble des nombres positifs et négatifs est un ensemble qui ne contient que $0$: $\{ 0\}$.
		
		\item $\{ 1;2;a;b \} \cap \{ 2;3;b;z \}= \{ 2; b\}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{definition}
	
	L'ensemble de tous les éléments qu'ils soient pris dans $A$ \underline{ou} dans $B$ est appelé la \emph{\color{purple}réunion de} $A$ et $B$ et est notée $\color{purple}A \cup B$.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.6,yscale=0.6]
		%Ellipse E
		\def\xE{0};
		\def\yE{0};
		\def\rEa{4};
		\def\rEb{2.5};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\rEa*cos(\x)+\xE},{\rEb*sin(\x)+\yE});
		\fill [color=blue, opacity=0.1][samples=100,domain=0:360] plot({\rEa*cos(\x)+\xE},{\rEb*sin(\x)+\yE});
		\draw [blue] ({\xE-0.8*\rEa},{\yE-0.8*\rEb}) node {$E$};
		%Ellipse A
		\def\xA{-1};
		\def\yA{0};
		\def\rAa{2};
		\def\rAb{1.5};
		\draw[red, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\rAa*cos(\x)+\xA},{\rAb*sin(\x)+\yA});
		\fill [color=red, opacity=0.1][samples=100,domain=0:360] plot({\rAa*cos(\x)+\xA},{\rAb*sin(\x)+\yA});
		\draw [red] ({\xA-0.8*\rAa},{\yA+\rAb}) node {$A$};
		%Ellipse B
		\def\xB{1};
		\def\yB{0};
		\def\rBa{2};
		\def\rBb{1.5};
		\draw[Green, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\rBa*cos(\x)+\xB},{\rBb*sin(\x)+\yB});
		\fill [color=Green, opacity=0.1][samples=100,domain=0:360] plot({\rBa*cos(\x)+\xB},{\rBb*sin(\x)+\yB});
		\draw [Green] ({\xB+0.8*\rBa},{\yB+\rBb}) node {$B$};
		%Hachures
		\def\angle{60};
		\fill[pattern=north west lines, pattern color=black] plot [domain={0}:{360}] ({\rAa*cos(\x)+\xA},{\rAb*sin(\x)+\yA}) -- plot [domain={0}:{360}] ({\rBa*cos(\x)+\xB},{\rBb*sin(\x)+\yB}) -- cycle;
		\draw (0,0) node[fill=white] {\footnotesize $A \cup B$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item $A\cup B$ se lit \og {\color{purple}$A$ union $B$}\fg{}.
		
	\end{enumerate}

\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Reprenons l'exemple ci-dessus:
		
		\noindent
		\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{}
			& Pratiquent un sport & Ne pratiquent pas de sport & Total 
			\\
			\hline
			Fumeurs & $40$ & $120$ & $160$
			\\
			\hline
			Non fumeurs & $430$ & $210$ & $640$
			\\
			\hline
			Total & $470$ & $330$ & $800$
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
		
		La réunion de l'ensemble des élèves sportifs ou non fumeur contient: $40+430+210=680$ élèves.
		
		\item La réunion des élèves qui étudient l'anglais, l'allemand, l'espagnol ou le chinois est l'ensemble de tous les élèves du lycée.
		
		\item La réunion de  l'ensemble des nombres pairs et celui des nombres impairs contient tous les nombres entiers.
		
		\item $\{ 1;2;a;b \} \cup \{ 2;3;b;z \}= \{ 1;2;a; b; 3; z \}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{definition}
		
	\emph{\color{purple}Le complémentaire de} $A$ dans $E$ est formé de tous les éléments de $E$ qui ne sont pas dans  $A$. On le note $\color{purple}\overline{A}$ ou encore $\color{purple} E\setminus A$.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.6,yscale=0.6]
		%Ellipse E
		\def\xE{0};
		\def\yE{0};
		\def\rEa{4};
		\def\rEb{2.5};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\rEa*cos(\x)+\xE},{\rEb*sin(\x)+\yE});
		\fill [color=blue, opacity=0.1][samples=100,domain=0:360] plot({\rEa*cos(\x)+\xE},{\rEb*sin(\x)+\yE});
		\draw [blue] ({\xE-0.8*\rEa},{\yE-0.8*\rEb}) node {$E$};
		%Hachures
		\fill[pattern=north west lines, pattern color=black] plot [domain={0}:{360}] ({\rEa*cos(\x)+\xE},{\rEb*sin(\x)+\yE});
		%Ellipse A blanche
		\def\xA{-1};
		\def\yA{0};
		\def\rAa{2};
		\def\rAb{1.5};
		%\draw[red, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\rAa*cos(\x)+\xA},{\rAb*sin(\x)+\yA});
		\fill [color=white][samples=100,domain=0:360] plot({\rAa*cos(\x)+\xA},{\rAb*sin(\x)+\yA});
		\draw [red] ({\xA-0.8*\rAa},{\yA+\rAb}) node {$A$};
		%Ellipse A colorée
		\def\xA{-1};
		\def\yA{0};
		\def\rAa{2};
		\def\rAb{1.5};
		\draw[red, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\rAa*cos(\x)+\xA},{\rAb*sin(\x)+\yA});
		\fill [color=red, opacity=0.1][samples=100,domain=0:360] plot({\rAa*cos(\x)+\xA},{\rAb*sin(\x)+\yA});
		\draw [red] ({\xA-0.8*\rAa},{\yA+\rAb}) node {$A$};
		%Ellipse B
		\def\xB{1};
		\def\yB{0};
		\def\rBa{2};
		\def\rBb{1.5};
		\draw ({2*\xB},0) node[fill=white] {\footnotesize $\overline{A}$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\overline{A}$ se lit \og {\color{purple}le complémentaire de $A$} \fg{}.
		
		\item $E \setminus A$ se lit \og {\color{purple}le complémentaire de $A$ dans $E$}\fg{} ou encore \og {\color{purple}$E$ privé de $A$} \fg{}.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Reprenons l'exemple ci-dessus:
		
		\noindent
		\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{}
			& Pratiquent un sport & Ne pratiquent pas de sport & Total 
			\\
			\hline
			Fumeurs & $40$ & $120$ & $160$
			\\
			\hline
			Non fumeurs & $430$ & $210$ & $640$
			\\
			\hline
			Total & $470$ & $330$ & $800$
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
		
		Le complémentaire de l'ensemble des élèves fumeurs est l'ensemble des élèves non fumeurs.
		
		Le complémentaire de l'ensemble des élèves fumeurs et sportifs est la réunion de l'ensemble des élèves non sportifs  et non fumeurs. Il a donc pour cardinal: $430+210+120=760$.
		
		\item Le complémentaire de l'ensemble des nombres pair (dans l'ensemble des nombres entiers) est l'ensemble des nombres impairs.
		
		\item Le complémentaire de l'ensemble des filles de la classe est l'ensemble des garçons de la classe.
		
		\item Le complémentaire de $\{ 1;2;a;b \}$ dans $\{ 1;2;3;a;b;c \}$ est $\{ 3;c \}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	\begin{notabene}
		0ieme stmg nathan galee 2013 ex E9 page 92
	\end{notabene}
	
	Le tableau suivant donne le mode de transport des $\np{1292}$ salariés d'une entreprise pour se rendre à leur travail. On note:
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item $A$ l'ensemble des employés qui utilisent les transports en commun.
		
		\item $B$ l'ensemble des employés qui viennent à pied.
		
		\item $C$ l'ensemble des employés qui utilisent leur voiture.
		
		\item $H$ l'ensemble des hommes.
		
	\end{enumerate}
	
	\begin{center}
		\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|*{3}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\cline{2-3} \multicolumn{1}{c|}{}
			& $H$ & $\overline{H}$
			\\
			\hline
			$A$ & $210$ & $380$
			\\
			\hline
			$B$ & $52$ & $80$
			\\
			\hline
			$C$ & $450$ & $120$
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
	\end{center}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Recopiez ce tableau en indiquant le pourcentage d'employés plutôt que le nombre d'employés.
		
		\item Expliquez ce qu'est l'ensemble $\overline{H}$.
		
		\item Calculez la proportion d'hommes dans l'entreprise.
		
		\item Expliquez ce qu'est $A \cap H$ puis calculez le pourcentage d'employés dans cet ensemble.
		
		\item Expliquez ce qu'est $C \cap \overline{H}$ puis calculez le pourcentage d'employés dans cet ensemble.
		
		\item Expliquez ce qu'est $\overline{C}$ puis calculez le pourcentage d'employés dans cet ensemble.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}


\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item {\color{orange}En arrondissant au centième:}
		
		
		\begin{center}
			\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|*{3}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
				\cline{2-3} \multicolumn{1}{c|}{}
				& $H$ & $\overline{H}$
				\\
				\hline
				$A$ & $16,25$ & $29,41$
				\\
				\hline
				$B$ & $4,02$ & $6,19$
				\\
				\hline
				$C$ & $34,83$ & $9,29$
				\\
				\hline
			\end{tabularx}
		\end{center}
		
		\item $\overline{H}$ est l'ensemble des femmes {\color{orange}(ceux qui ne sont pas hommes)}.
		
		\item La proportion d'hommes dans l'entreprise est de:
		
		\begin{align*}
			P(H) &= \frac{210+52+450}{1292}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$P(H) \approx 0,5511$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		{\color{orange}Nous sommes dans un cas particulier: la population a été séparée en sous-population disjointe (sans individus en commun) par le tableau. Dans ce cas on peut additionner les proportions. $P(H)\approx 16,25+4,02+34,83$.}
		
		\item $A \cap H$ est l'ensemble {\color{orange}des personnes qui utilisent les transports en commun \underline{et} qui sont des hommes, autrement dit c'est} l'ensemble des hommes qui prennent des transports en commun.
		 
		\begin{align*}
			P(A \cap H) &= \frac{210}{1292}\\
			&\approx 0,1625
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$16,25\ \%$ des employés sont des hommes qui prennent les transports en commun.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		{\color{orange}On retrouve bien la première case du tableau.}
		
		\item $C \cap \overline{H}$ est l'ensemble des employés qui utilisent leur voiture et qui ne sont pas des hommes. Autrement dit: ce sont les femmes qui ne utilisent leur voiture.
		
		\begin{align*}
			P(C \cap \overline{H}) &= \frac{120}{1292}\\
			&\approx 0,0929
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$9,29\ \%$ des employés sont des femmes qui prennent leur voiture.
			
		\end{conclusion}
		
		\item $\overline{C}$ est l'ensemble des employés qui n'utilisent pas leur voiture.
		
		\begin{align*}
			P(\overline{C}) &= \frac{210+52+380+80}{1292}\\
			&\approx 0,5588
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$55,88\ \%$ des employés n'utilisent pas leur voiture.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		{\color{orange}Là encore nous aurions pu additionner les pourcentages: $16,25+4,02+29,41+6,19$.}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{notabene}
	Proposition la proportion d'un événement et de son complémentaire égale $1$.
	
	Proposition proporttion de deux événements disjoints.
	
	Proposition proportion d'une réunion.
	
\end{notabene}

\begin{proposition}{}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $E$ un ensemble,
		
		\item $A$ et $B$ deux sous-ensembles de $E$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	\begin{enumerate}[(i)]
		
		\item $P \left( \overline{A} \right) = 1-P(A)$.
		
		\item Si $A$ et $B$ sont quelconques, alors $P(A\cup B) + P(A\cap B) = P(A)+ P(B)$.
		
		\item Si $A$ et $B$ sont \emph{\color{purple}disjoints} alors $P(A\cup B)= P(A) + P(B)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{notabene}
	
	A minima montrer l'idée de la démonstration sur un schéma.
	
\end{notabene}

\begin{preuve}{\Coffeecup}
	
	Remarquons que le (iii) se déduit du (ii).
	
	
	\medskip
	Pour démontrer le (i) et le (ii) nous raisonnerons sur le diagramme de Venn.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.6,yscale=0.6]
		%Ellipse E
		\def\xE{0};
		\def\yE{0};
		\def\rEa{4};
		\def\rEb{2.5};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\rEa*cos(\x)+\xE},{\rEb*sin(\x)+\yE});
		\fill [color=blue, opacity=0.1][samples=100,domain=0:360] plot({\rEa*cos(\x)+\xE},{\rEb*sin(\x)+\yE});
		\draw [blue] ({\xE-0.8*\rEa},{\yE-0.8*\rEb}) node {$E$};
		%Ellipse A
		\def\xA{-1};
		\def\yA{0};
		\def\rAa{2};
		\def\rAb{1.5};
		\draw[red, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\rAa*cos(\x)+\xA},{\rAb*sin(\x)+\yA});
		\fill [color=red, opacity=0.1][samples=100,domain=0:360] plot({\rAa*cos(\x)+\xA},{\rAb*sin(\x)+\yA});
		\draw [red] ({\xA-0.8*\rAa},{\yA+\rAb}) node {$A$};
		%Ellipse B
		\def\xB{1};
		\def\yB{0};
		\def\rBa{2};
		\def\rBb{1.5};
		\draw[Green, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\rBa*cos(\x)+\xB},{\rBb*sin(\x)+\yB});
		\fill [color=Green, opacity=0.1][samples=100,domain=0:360] plot({\rBa*cos(\x)+\xB},{\rBb*sin(\x)+\yB});
		\draw [Green] ({\xB+0.8*\rBa},{\yB+\rBb}) node {$B$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item 
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\begin{notabene}
	
	Faire un exemple et un exercice avec un tableau double entrée mais cette fois-ci des pourcentage et on autorise ou pas les additions de proportions d'après la proposition précédente.
	
	
\end{notabene}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		1Ieme STMG foucher sigma 2012 page 29 exercices 16
		
	\end{notabene}
	
	Un institut de sondage a interrogé $800$ personnes des la manière suivante:
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item $25\ \%$ des personnes interrogées habitent en zone rurale, les autres en zone urbaine;
		
		\item $60\ \%$ des personnes interrogées ont été consultées par téléphone, les autres personnes ayant été interrogées en \og face à face\fg{} par un enquêteur;
		
		\item $55\ \%$ des personnes habitant en zone urbaine ont été consultées par téléphone.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	\begin{enumerate}
		\item Reproduisez et complétez le tableau d'effectifs suivant:
				
		\begin{center}
			\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|*{4}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
				\cline{2-4} 
				\multicolumn{1}{c|}{}& Habitant en zone rurale & Habitant en zone urbaine & Total
				\\
				\hline
				Personnes interrogées par téléphone & & & 
				\\
				\hline
				Personnes interrogées en \og face à face \fg{} & &&
				\\
				\hline
				Total & $200$ & & $800$
				\\
				\hline
			\end{tabularx}
		\end{center}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			
			\item Calculez la proportion de personnes habitant en zone urbaine parmi celles qui ont été consultées par téléphone: donner le résultat sous la forme d'un nombre décimal, puis sous la forme d'un pourcentage.
			
			\item Calculez la proportion de personnes habitant en zone urbaine parmi celles interrogées en \og face à face \fg{}: donner le résultat sous la forme d'un nombre décimal arrondi à $10^{-4}$ près, puis sous la forme d'un pourcentage.
			
			\item L'ordre des proportions (ou fréquences) obtenues en (a) et en (b) est-il le même que celui des effectifs des sous-populations correspondantes?
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item ~
		
		\begin{center}
			\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|*{4}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
				\cline{2-4} 
				\multicolumn{1}{c|}{}& Habitant en zone rurale & Habitant en zone urbaine & Total
				\\
				\hline
				Personnes interrogées par téléphone & $150$ & $330$ & $480$
				\\
				\hline
				Personnes interrogées en \og face à face \fg{} & $50$ & $270$ & $320$
				\\
				\hline
				Total & $200$ & $600$ & $800$
				\\
				\hline
			\end{tabularx}
		\end{center}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item $\frac{330}{480}=0,6875$.
			
			\item $\frac{270}{320}=0,84375$.
			
			\item Non.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		1Ieme STMG foucher sigma 2012 page 32 exercices 22
		
	\end{notabene}
	
	Un restaurant sert $600$ couverts par service, en proposant un menu à $16$ euros et un menu à $24$ euros. Pour l'inauguration de son restaurant, le gérant offre à chacun de ses clients soit un café, soit un apéritif.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item $60\ \%$ des clients ont choisi un café, les autres un apéritif.
		
		\item La moitié des clients ont choisi un menu à $24$ euros.
		
		\item Parmi ceux qui choisissent le menu à $24$ euros, $75\ \%$ ont choisi un café.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	\begin{enumerate}
		\item Complétez après l'avoir reproduit le tableau suivant:
		
		\begin{center}
		\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|*{4}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\cline{2-4} 
			\multicolumn{1}{c|}{}& Menu à $16\ \text{\euro}$ & Menu à $24\ \text{\euro}$ & Total
			\\
			\hline
			Clients ayant choisi un café & & & $360$
			\\
			\hline
			Clients ayant choisi un apéritif &  & & 
			\\
			\hline
			Total & & & $600$
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
		\end{center}
		
		\item On note $A$ la sous-population des clients ayant choisi un menu à $16$ euros et $B$ la sous-population des clients ayant choisi un apéritif.
		
		\begin{enumerate}
			\item Définissez par une phrase les sous-populations $A \cap B$ et $A\cup B$.
		\end{enumerate}
		
		\emph{Dans ce qui suit les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.}
		
		\begin{enumerate}
			\setcounter{enumii}{1}
			\item Calculez les proportions (ou fréquences) respectives, notées $P(A)$, $P(B)$, $P(A\cap B)$ et $P(A \cup B)$, des sous-populations $A$, $B$, $A \cap B$ et $A \cup B$ dans la population des $600$ couverts.
			
			\item Calculez $P(A)+P(B)-P(A \cap B)$. Que remarquez-vous?
			
			\item On note $C$ la sous-population des clients ayant choisi un café. On note $P(C)$ la proportion de la sous-population $C$ dans la population des $600$ couverts.
			
			Les deux sous-populations $A$ et $B$ sont-elles disjointes?
			
			Même question pour les deux sous-populations $B$ et $C$.
			
			Calculez $P(B)+ P(C)$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item ~
		
		\begin{center}
			\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|*{4}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
				\cline{2-4} 
				\multicolumn{1}{c|}{}& Menu à $16\ \text{\euro}$ & Menu à $24\ \text{\euro}$ & Total
				\\
				\hline
				Clients ayant choisi un café & $135$ & $225$ & $360$
				\\
				\hline
				Clients ayant choisi un apéritif & $165$ & $75$ & $240$
				\\
				\hline
				Total & $300$ & $300$ & $600$
				\\
				\hline
			\end{tabularx}
		\end{center}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item $A \cap B$: client ayant choisi un menu à $16\ \text{\euro}$ et un apéritif.
			
			$A \cup B$: client ayant choisi un menu à $16\ \text{\euro}$ ou un apéritif.
			
			\item 
			
			\begin{align*}
				P(A) &= \frac{300}{600}\\
				&= 0,5\\
				P(B) &= \frac{240}{600}\\
				&= 0,4\\
				P(A \cap B) &= \frac{135}{600}\\
				&= 0,225\\
				P(A \cup B) &= \frac{165+135+225}{600}\\
				&= 0,875
			\end{align*}
			
			\item $P(A)+P(B)-P(A \cap B)= P(A\cup B)$.
			
			\item $A$ et $B$ ne sont pas disjointes car il y a des éléments dans l'intersection: les clients qui prennent un café et menu à $16\ \text{\euro}$.
			
			$B$ et $C$ sont disjointes puisque les clients sont tenus de choisir soit un café soit un apéritif.
			
			$P(B)+P(C)=P(B \cup C)$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		1Ieme STMG foucher sigma 2012 page 32 exercices  23 
		
	\end{notabene}
	
	Un magasin vend deux types de téléphones mobiles: des modèles $m_1$ et des modèles $m_2$.
	
	Ce magasin propose deux types de forfait mensuel: un forfait $1$ et un forfait $2$.
	
	Le service commercial effectue une enquête sur un échantillon de $\np{2000}$ clients ayant acheté dans ce magasin un téléphone et un seul, et ayant opté pour un seul des forfaits proposés.
	
	Sur les $\np{2000}$ clients interrogés, $\np{1200}$ ont acheté le modèle $m_1$ et $960$ ont choisi le forfait $F_1$.
	
	Parmi les clients ayant acheté le modèle $m_1$, $32\ \%$ ont pris le forfait $F_1$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Complétez après l'avoir reproduit, le tableau d'effectifs suivant:
		
		\begin{center}
		\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|*{4}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\cline{2-4} 
			\multicolumn{1}{c|}{}& Modèle $m_1$ & Modèle $m_2$ & Total
			\\
			\hline
			Forfait $1$ & & & $960$
			\\
			\hline
			Forfait $2$ &&&
			\\
			\hline
			Total & $\np{1200}$ & & $\np{2000}$
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
		\end{center}
		
		\item On note $F_1$ la sous-population des clients interrogés ayant choisi le forfait $1$ et $M_2$ la sous-population ayant choisi le modèle $m_2$.
		
		\begin{enumerate}
			\item Calculez, sous la forme d'un nombre décimal, la proportion $P(F_1)$ de clients interrogés qui ont choisi le forfait $1$.
			
			\item Calculez, sous la forme d'un nombre décimal, la proportion $P(M_2)$ de clients ayant choisi le modèle $m_2$.
			
			\item Définissez par une phrase en français les sous-populations $F_1 \cap M_2$ et $F_1 \cup M_2$.
			
			\item Calculez, sous la forme d'un nombre décimal, la proportion $P(F_1 \cap M_2)$ de clients qui appartiennent à la sous-population $F_1 \cap M_2$ parmi les clients interrogés.
			
			\item Déduisez de ce qui précède la proportion $P(F_1 \cup M_2)$ de clients qui appartiennent à la sous-population $F_1 \cup M_2$ parmi le clients interrogés: sous la forme d'un nombre décimal puis sous la forme d'un pourcentage.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item ~
		
		\begin{center}
			\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|*{4}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
				\cline{2-4} 
				\multicolumn{1}{c|}{}& Modèle $m_1$ & Modèle $m_2$ & Total
				\\
				\hline
				Forfait $1$ & $384$ & $576$ & $960$
				\\
				\hline
				Forfait $2$ & $816$ & $224$ & $1040$
				\\
				\hline
				Total & $\np{1200}$ & $800$ & $\np{2000}$
				\\
				\hline
			\end{tabularx}
		\end{center}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item $P(F_1)=\frac{960}{2000}= 0,48$.
			
			\item $P(M_2)=\frac{800}{2000}=0,4$.
			
			\item $F_1 \cap M_2$ ensemble des personnes ayant choisi le forfait 1 et le modèle 2.
			
			$F_1 \cap M_2$ ensemble des personnes ayant choisi le forfait 1 ou le modèle 2.
			
			\item $P(F_1 \cap M_2) = \frac{576}{2000}=0,288$.
			
			\item $P(F_1 \cap M_2) + P(F_1 \cup M_2) = P(F_1) + P(M_2)$ donc $P(F_1 \cup m_2)= 0,48+0,4-0,288=0,592.$
			
		\end{enumerate}
			
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{notabene}
\begin{exercice}{\Football}
	
		Exercice à ajouter 
		
		1Ieme STMG foucher sigma 2012 page 30 exercices  19 : somme de proportion avec des sous-populations disjointes.
		
\end{exercice}
\end{notabene}

\subsubsection{Proportion de proportion.}

\begin{proposition}{}
	
	Soient $E$ une population d'individus, $F$ une sous-population de $E$ et $A$ une sous-population de $F$.
	
	\begin{center}		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:360] plot({0.5+1.5*cos(\x)},{1*sin(\x)})node[fill=white]{$A$};
		\draw[red, thick][samples=100,domain=0:360] plot({3*cos(\x)},{2*sin(\x)})node[fill=white]{$F$};
		\draw[OliveGreen, thick][samples=100,domain=0:360] plot({4.5*cos(\x)},{3*sin(\x)})node[fill=white]{$E$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\medskip
	\[ \color{purple} P_E(A)= P_E(F) \times P_F(A). \]
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{\Coffeecup}
	
	Par définition: $p_E(F)= \frac{\#F}{\#E}$ et $p_F(A)=\frac{\#A}{\#F}$.
	
	Donc:
	\begin{align*}
		p_E(F) \times p_F(A) &= \frac{\#F}{\#E} \times \frac{\#A}{\#F}\\
		&= \frac{\#F \times \#A}{\#E \times \#F}\\
		&= \frac{\#A}{\#E}\\
		&= p_E(A)
	\end{align*}
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		
		
		\item Nous avons des inclusions successives: $A \subset F \subset E$.
		
		\item {\color{purple}Pour déterminer une proportion de proportion on fait le produit des proportions}.
		
		\item Les proportions fonctionnent de façon multiplicative. Vous retrouverez cette idée en classe de première en parlant de \emph{\color{purple}principe multiplicatif}.
		
		%\item Le pourcentage de la sous-population $A$ dans la population $E$ est le produit des pourcentages de la sous-population $A$ dans la sous -population $F$ par le pourcentage de la sous-population $F$ dans la population $E$.
		
		\item Cette proposition peut être vue comme l'application d'une proportion ($\frac{p_F(A)}{100}$) à un pourcentage ($p_E(F)$).
		
		\item Dans cette proposition il y a deux populations de références: $E$ et $F$.
		
		\item Ce résultat n'utilise pas les effectifs des populations mais seulement les proportions. Nous utiliserons ce résultat lorsque les seules informations sont des proportions.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $18\ \%$ des amateurs de jeux vidéos n'ont pas le bac. Parmi ceux-ci $7\ \%$ n'ont pas le brevet des collèges.
		
		Comme: $\frac{7}{100} \times \frac{18}{100}= \frac{126}{1000}=\frac{12,6}{100}$ on peut dire que $12,6\ \%$ des joueurs de jeux vidéos n'ont pas le brevet des collèges.
		
		\item $\frac{4}{3}$ de $\frac{9}{10}$ est donc $\frac{4}{3} \times \frac{9}{10}= \frac{2}{15}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	Un serveur de films en streaming est composé de $30\ \%$ de films d'action et, parmi ces films d'action, $60\ \%$ sont des films avec Bruce Willis.
	
	Quelle est la proportion de films avec Bruce Willis  sur le serveur?
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	Notons $E$ l'ensemble des films proposé, $F$ l'ensemble des films d'actions et $A$ l'ensemble des films avec Bruce Willis.
	
	{\color{orange}Nous avons bien la situation des inclusions successives: $A$ est une sous-population de $F$ qui est elle-même une sous-population de $E$.}
	
	\medskip
	\objectif{Calculons $P_E(A)$.}
	
	Nous savons que $P_E(F)=30$ et $P_F(A)=60$ donc
	
	\begin{align*}
		P_E(A) &= P_E(F) \times P_F(A)\\
		&= \frac{30}{100} \times \frac{60}{100}\\
		&= 0,18
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		$18\ \%$ des films du serveur sont des films de Bruce Willis.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Bouquet}
	
	Dans une classe $45\ \%$ des élèves sont des garçons et $\frac{1}{3}$ des garçons portent des lunettes.
	
	Il y a $3$ garçons à lunettes dans la classe.
	
	\begin{enumerate}
		\item Combien y a-t-il d'élèves dans cette classe?
		
		\item Combien y a-t-il de filles dans cette classe?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{notabene}
		
		Intervertir les notations $F$ et $G$ pour que ça cole avec fille et garçons.
		
	\end{notabene}
	
	Notons $E$ l'ensemble des élèves, $F$ l'ensemble des garçons et $A$ l'ensemble des garçons à lunettes.
	
	\begin{enumerate}
		\item \objectif{Calculons $\#E$.}
		
		D'après l'énoncé $P_F(A)=\frac{1}{3}$ et $P_E(F)=\frac{45}{100}$ donc le pourcentage de garçons à lunettes dans la classe est 
		
		\begin{align*}
			P_E(A) &= P_E(F) \times P_F(A)\\
			&= \frac{45}{100} \times \frac{1}{3}\\
			&= 0,15
		\end{align*}
		
		Mais on peut aussi écrire que:
		\begin{align*}
			P_E(A) &= \frac{\#A}{\#E}\\
			\intertext{Nous en déduisons successivement:}
			15 &= \frac{3}{\#E} \\
			15 {\color{orange} \times \#E} &= \frac{3}{\#E} {\color{orange} \times \#E}\\
			15 \times \#E &= 3\\
			\frac{0,15 \#E}{\color{orange}0,15} &= \frac{3}{\color{orange}0,15}\\
			\#E &= 20
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Il y a vingt élèves dans la classe.
			
		\end{conclusion}
		
		\item Notons $G$ l'ensemble ds filles de la classe.
		
		\medskip
		\objectif{Calculons le nombre, $|G|$, de filles dans la classe.}
		
		{\color{orange}Il s'agit simplement de calculer un pourcentage d'une quantité, c'est-à-dire d'appliquer une proportion.}
		
		Le nombre de garçons dans la classe est:
		
		\begin{align*}
			\#F &= \frac{P_E(F)}{100} \times \#E\\
			&= \frac{45}{100} \times 20\\
			&= 9
		\end{align*}
		
		Donc: $\#G=20-9$.
		
		\begin{conclusion}
			
			Il y a $11$ filles dans la classe.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Bouquet}
	
	Dans une société les cadres représentent $40\ \%$ des salariés et les cadres supérieurs représentent un $20\ \%$ des cadres.
	
	Quelle est la proportion de cadres supérieurs par rapport aux salariés de cette société?
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	Notons $E$ l'ensemble des salariés, $F$ l'ensemble des cadres et $A$ l'ensemble des cadres supérieurs.
	
	{\color{orange}Nous avons bien la situation des inclusions successives: $A \subset F \subset E$.}
	
	\medskip
	\objectif{Calculons $p_E(A)$.}
	
	Nous savons que $p_E(F)=0,4$ et $p_F(A)=\frac{1}{5}$ donc
	
	\begin{align*}
		P_E(A) &= P_E(F) \times P_F(A)\\
		&= 0,4 \times \frac{1}{5}
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		$P_E(A)=0,08$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Bouquet}
	
	Une société de téléphonie propose trois mode d'abonnement différents:
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item forfait $A$: moins de $2\ \mathrm{h}$ de communication;
		\item forfait $B$: moins de $4\ \mathrm{h}$ de communication;
		\item forfait $C$: temps de communication illimité.
	\end{enumerate}
	
	La part de clients ayant souscrit le forfait $A$ est de $0,35$ et les clients ayant choisi le forfait $B$ représentent la moitié de la clientèle. 
	
	De plus $80\ \%$ des clients ayant choisi le forfait $C$ ont également choisi l'internet illimité.
	
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la part de clients ayant choisi le forfait illimité? Exprimez ce résultat en pourcentage.
		
		\item Quelle est la part des clients  qui ont choisi un forfait $C$ mais sans l'internet illimité. 
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item Notons $E$ l'ensemble de tous les clients.
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $P_E(C)$.}
		
		Nous savons que \[ P_E(A) + P_E(B) + P_E(C) =1. \quad {\color{blue}(1)} \]
		
		{\color{orange}En exprimant les proportions en pourcentages nous aurions que le total doit être de $100\ \%=\frac{100}{100} =1$.}
		
		$\color{blue}(1)$ est successivement équivalente à
		
		\begin{align*}
			0,35+\frac{1}{2}+P_E(C) &= 1\\
			0,85+P_E(C) &= 1\\
			0,85+P_E(C) {\color{orange}-0,85} &= 1 {\color{orange}-0,85} \\
			P_E(C) &= 0,15
		\end{align*}
		
		Finalement
		
		\begin{conclusion}
			
			$15\ \%$ des clients ont choisi le forfait $C$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item Notons $D$ l'ensemble des clients ayant choisi le forfait $C$ mais qui n'ont pas choisi l'internet illimité.
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $P_E(D)$.}
		
		Nous identifions la situation de populations emboîtées: $D \subset C \subset E$. Donc, d'après la leçon:
		
		\begin{align*}
			P_E(D) &= P_E(C) \times P_C(D)\\
			&= 15 \times \left( 100-80\right)\\
			&= 3
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$3\ \%$ des clients ont un forfait $C$ sans internet illimité.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}


\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		1Ieme STMG foucher sigma 2012 page 32 exercice 26
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\subsection{Exercices.}

\begin{exercice}{\Laserbeam}
	
	\begin{notabene}
		2ieme hatier variations 2019 exo 103 page 296
	\end{notabene}
	
	Une entreprise est composée de trois services: Administratif, Logistique et Transport. $45\ \%$ des employés travaillent au sein du service Administratif et $23\ \%$ au sein du service Logistique. Une enquête effectuée sur le temps de trajet quotidien entre le domicile des employés et l'entreprise a montré que:
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item $54,2\ \%$ des employés résident à moins de $30\ \mathrm{min}$ de l'entreprise;
		
		\item $60\ \%$ des employés du service Logistique résident à moins de $30\ \mathrm{min}$ de l'entreprise;
		
		\item $9,6\ \%$ des employés travaillent au sein du service Transport et résident à $30\ \mathrm{min}$  ou plus de l'entreprise.
		
	\end{enumerate}
	
	\begin{enumerate}
		\item Recopiez et complétez le tableau ci-dessous à l'aide des pourcentages donnés dans l'énoncé.
		
		\noindent
		\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\hline 
			& Service Administratif & Service Logistique & Service Transport & Total
			\\
			\hline
			Résidant à moins de $30\ \mathrm{min}$ & &&&
			\\
			\hline
			Résidant à $30\ \mathrm{min}$ ou plus &&&&
			\\
			\hline
			Total &&&& $100$
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
		
		\item Détermine, au sein du service Administratif, puis au sein du service Transport, la proportion (en $\%$) des employés qui résident à moins de $30\ \mathrm{min}$ de l'entreprise.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Quel service a la plus forte proportion d'employés qui résident à moins de $30\ \mathrm{min}$ de l'entreprise?
			
			\item Quel service a la plus forte proportion d'employés qui résident à $30\ \mathrm{min}$ ou plus de l'entreprise?
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Laserbeam}
	
	\begin{notabene}
		
		Brevet 97 page 141 et suivantes.
		
	\end{notabene}
	
	L'or pur ne peut être utilisé seul en bijouterie à cause de sa malléabilité. Il est donc mélangé à d'autres métaux, comme l'argent ou le cuivre, qui le rendent plus dur. On obtient ainsi l'or jaune (mélange d'or pur et d'argent) et l'or rose (mélange d'or pur et de cuivre).
	
	La valeur de l'or jaune ou de l'or rose est estimée en fonction de la quantité d'or pur qu'il contient. Cette valeur est de $1$ carat lorsque le lingot d'or jaune ou rose contient $\dfrac{1}{24}$ d'or pur. Par exemple, si la valeur d'un lingot d'or jaune ou rose est de $8$ carats, cela signifie que ce lingot contient $\dfrac{8}{24}$ d'or pur.
	
	Un cours récent des métaux indique:
	
	\begin{itemize}
		\item le gramme d'or pur: $75\ \mathrm{F}$.
		\item le gramme d'argent: $25\ \mathrm{F}$.
		\item le gramme de cuivre: $0,5\ \mathrm{F}$.
	\end{itemize}
	
	\begin{enumerate}
		\item Le lingot d'or jaune à $18$ carats pèse $50\ \mathrm{g}$.
		
		\begin{enumerate}
			\item Quelle fraction d'or pur contient ce lingot d'or jaune?
			
			\item Quelle est la masse d'or pur contenu dans ce lingot?
			
			\item Quelle est la masse d'argent contenu dans ce lingot?
			
			\item Quel est le prix de ce lingot?
			
		\end{enumerate}
		
		\item Un autre lingot d'or jaune a une masse de $24\ \mathrm{g}$.
		
		On désigne par $x$ la masse (exprimée en $\mathrm{g}$) d'or contenue dans ce lingot.
		
		\begin{enumerate}
			\item Montrez que le prix $y$ (exprimé en $\mathrm{F}$) de ce lingot en fonction de la masse $x$ d'or pur qu'il contient est: $y=50x+600$.
			
			\item Représentez graphiquement, pour $x$ compris entre $0$ et $24$, l'application affine $f$ définie par $f(x)=50x+600$.
			
			Unités:
			\begin{enumerate}[$\bullet$]
				\item sur l'axe des abscisses $1\ \mathrm{cm}$ pour $2\ \mathrm{g}$;
				
				\item sur l'axe des ordonnées $1\ \mathrm{cm}$ pour $100\ \mathrm{F}$.
			\end{enumerate}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}

\end{exercice}

\setcounter{Exercice}{\theExercice-1}
\begin{exercice}{\Laserbeam}

\begin{notabene}

Brevet 97 page 141 et suivantes.

\end{notabene}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}
		\item Un lingot d'or rose a une masse de $24\ \mathrm{g}$.
		
		On désigne par $x$ la masse (exprimée en $\mathrm{g}$) d'or pur contenue dans ce lingot.
		
		\begin{enumerate}
			\item Montrer que le prix $y$ (exprimé en $\mathrm{F}$) de ce lingot en fonction de la masse $x$ d'or pur qu'il contient est: $y=74,5x+12$.
			
			\item Dans le même repère que précédemment, représentez graphiquement, pour $x$ compris entre $0$ et $24$, l'application affine définie par $g(x)=74,5x+12$.
			
		\end{enumerate}
				
		\item Un lingot d'or jaune et un lingot d'or rose pèsent chacun $24\ \mathrm{g}$.
		
		Utilisez le graphique précédent pour répondre aux questions suivantes.
		
		\begin{enumerate}
			\item Si ces lingots contiennent chacun $4\ \mathrm{g}$ d'or pur, quelle est la différence de prix entre eux?
			
			\item Si ces lingots valent $\np{1200}\ \mathrm{F}$ chacun, quelle est la différence d'or pur qu'ils contiennent?
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Annales brevet 1997 nathan 3ieme.
		
		exercice 1 page 85
		
	\end{notabene}
	
	
	Un cube a une arêtes de $8\ \mathrm{cm}$. Un cône de révolution a une base de $8\ \mathrm{cm}$ de diamètre et une hauteur de $8\ \mathrm{cm}$.
	
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.5]{2ieme_econometrie_01_proportion_01_exercice.png}
	\end{center}
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculez le volume du cube.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Calculez la valeur exacte du volume du cône.
			
			\item Quel est le volume du cône arrondi au  $\mathrm{cm}^3$ ?
			
		\end{enumerate}
		
		\item On place le cône à l'intérieur du cube. Occupe-t-il plus de $30\ \%$ du volume du cube? Justifiez votre réponse.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Radioactivity}
	
	\begin{notabene}
		
		Capes 2023
		
	\end{notabene}
	
	Vrai ou faux?
	
	Armelle et Boris ne suivent pas les mêmes enseignements. La semaine $1$, Armelle a réussi $50\ \%$ des exercices qu'elle a traités et Boris $90\ \%$ des exercices qu'il a traités.La semaine $é$, Armelle a réussi $20\ \%$ des exercices qu'elle a traités et Boris $40\ \%$ des exercices qu'il a traités.
	
	Sur l'ensemble de la quinzaine, Boris a nécessairement réussi un plus grand pourcentage d'exercices traités qu'Armelle.
	
\end{exercice}
\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}