%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
%\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{RoyalBlue}}{}

\newenvironment{remarques}{\color{Black!80}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. #1} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}
	
}{~\newline}

\newenvironment{exerciceapplication}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Application.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

\newenvironment{concours}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Concours.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

\newenvironment{recherche}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill { \color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Recherche.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration #1} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 
	
}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/2ieme.html}{Approximer un réel par balayage.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{details}
\exclure{bareme}
\exclure{notabene}
%\exclure{exercicecorrection}\exclure{correction}
%\exclure{preuve}\exclure{corollaire}\exclure{proposition}\exclure{theoreme}\exclure{culturegenerale}\exclure{remarques}\exclure{exemples}\exclure{definition}\exclure{lecon}
%\exclure{sujet}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Approximer un réel par balayage.}

\begin{notabene}
	
	Introduction exemple très important pour mettre en place la compréhension de la leçon.
	
	Mettre en évidence la correspondance point de la droite nombre: le point au dessus, le nombre en dessous.
	
	Comment trouver tous les points à 2 centimètre d'un autre? Cercle, disque.
	
	Comment trouver tous les points d'une droite qui sont à 2 centimètres d'un point de la droite? Cercle, segment.
	
	Si on gradue et qu'on associe à chaque point un nombre du coup que devient la recherche? Recherche d'un encadrement. Recherche d'un intervalle.
	
	Lien avec la distance? Que serait la distance pour les nombres associés au points.
	
\end{notabene}

\subsection{Distance entre nombres.}

\subsubsection{Valeur absolue.}

\begin{definition}
	
	Soit $x$ un réel.
	
	\medskip
	Nous appellerons \emph{valeur absolue de $x$} et nous noterons $|x|$ le réel définie par \[  |x| = \left\{ \begin{array}{cl} x & \text{si } x\geqslant 0 \\ -x & \text{si } x<0 \end{array} \right. \]
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\medskip
	Exemples.
	\begin{enumerate}
		\item $|2|=2$.
		\item $|-2|=2$.
		\item $|0|=0$.
		\item $|3-4|=1$.
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\medskip
	Remarques.
	\begin{enumerate}
		\item Une valeur approchée d'une nombre est un nombre positif.
		
		\item La valeur absolue est un outil commode pour noter la longueur séparant deux points de la droite numérique:
		
		\begin{tikzpicture}
			\draw [>=latex, ->] (-3,0) -- (5,0);
			\draw (0,0) node{$|$};
			\draw (0,-0.5) node {$0$};
			\draw (0,0.5) node {$O$};
			\draw (1,0) node{$|$};
			\draw (1,-0.5) node {$1$};
			\draw (3,0) node{$|$};
			\draw (3,-0.5) node {$3$};
			\draw (3,0.5) node {$B$};
			\draw (-1,0) node{$|$};
			\draw (-1,-0.5) node {$-1$};
			\draw (-1,0.5) node {$A$};
		\end{tikzpicture}
		
		Ici: $AB= | -1-3|=4$.
		
		\item La valeur absolue permet de calculer la distance entre les nombres: $d(2;7)= |2-7|=5$.
		
		\item La valeur absolue coïncide avec la distance euclidienne sur l'axe des abscisses: Si $A(2;0)$ et $B(7;0)$ alors $AB=\sqrt{(2-7)^2+(0-0)^2}=\sqrt{25}=5=|2-7|$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{}
	
	Exercices 154 et 155 page 71.
	
\end{exercice}

\subsubsection{Les approximations de réels.}

\begin{lecon}
	
	Les seuls nombres dont nous puissions donner une écriture décimale facilement sont précisément les nombres décimaux. Et encore. Songez à un nombre décimal ayant un million de chiffres non nuls après la virgule. Il est malaisé de l'écrire.
	
	Pour les nombres rationnels nous (mathématiciens) préférons souvent l'écriture en fraction irréductible.
	
	Pour les nombres irrationnels nous avons des notations qui nous dispensent d'essayer d'écrire les nombres: $\pi$, $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt[3]{2}$, ...
	
	\medskip
	Tout cela satisfait les mathématiciens mais pas les ingénieurs, les physiciens, chimistes, statisticiens et autres utilisateurs de l'outil mathématique.
	
	Il faut être capable de donner \emph{\color{purple}une valeur approché}, donc un nombre décimal, de tous ces nombres rationnels ou irrationnels
	
	\medskip
	La recherche d'une valeur approchée d'un nombre est contraire au désir de vérité absolue propre aux mathématiques. C'est pourquoi si nous acceptons, contraints et forcés, de ne pas avoir des valeurs exactes il faut que du moins nous limitions notre erreur.
	
\end{lecon}

\subsubsection{Valeur approchée.}

\begin{notabene}
	
	\medskip
	Exemples.
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Pour donner une valeur approchée de $0,561$ considérons le point $C$ d'abscisse $0,561$.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=3.5]
			\foreach \x in { -10, -9,...,20} \draw[line width=0.005cm] ({\x/10},{-0.05}) -- ({\x/10},{0.05});
			\foreach \x in { -1,0,1} \draw[line width=0.05cm] ({\x+0.5},{-0.08}) -- ({\x+0.5},{0.08});
			\foreach \x in { -1,0,1,2} \draw[line width=0.05cm] ({\x},{-0.1}) -- ({\x},{0.1});
			\draw[ ->,very thick] (-1.1, 0) -- (2.2, 0) node[right]{};
			\foreach \x in {-1,0,1,2} \draw ({\x},{-0.2}) node {$\x$};
			\def\nombre{0.561};
			\draw[red] ({\nombre},{0}) node {\large $\bullet$};
			\draw[red] ({\nombre},{-0.2}) node {$C$};
			\draw[magenta][samples=100,domain=0:360] plot({1.2*cos(\x)+\nombre},{1.2*sin(\x)});
			\draw [magenta,>=latex, <->] ({\nombre},{0}) -- ({1.2*cos(120)+\nombre},{1.2*sin(120)}) node [midway, above, sloped] {$1,2$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item {\color{magenta}Valeurs approchées à $1$ près}.
			
			Le cercle magenta a un rayon de $1$ et est centré sur le point d'abscisse $0,561$.
			
			Toutes les abscisses des points de l'axe gradué, situés à l'intérieur du cercle, sont des valeurs approchées à $1$ unité près de $0,561$.
			
			Ainsi: $0$, $-0,2$, $0,5$, $1$, $0,56$, $1,2$ et bien sûr, $0,561$ lui-même, sont des valeurs approchées de $0,561$ à une unité près.
			
			\item {\color{green}Valeurs approchées à $0,2$ près}.
			
			Le cercle vert a un rayon de $0,2$ et est centré sur le point d'abscisse $0,561$.
			
			Ainsi: $0,4$, $0,5$, $0,6$ et $0,7$ sont des valeurs approchées de $0,561$ à $0,2$ près.
		\end{enumerate}
		
		Nous distinguerons parfois les \emph{\color{purple}valeurs approchées par excès} (en prenant trop) et \emph{\color{purple}les valeurs approchées par défaut} (en prenant insuffisamment): $0,6$, $0,7$, $1,2$ sont des valeurs approchées par excès de $0,561$ à un près tandis que $-0,2$, $0$ et $0,56$ sont des valeurs approchées par défaut à $1$ près.
		
		Nous prendrons également l'habitude d'exprimer les distance non pas avec les cercles mais avec les valeurs absolues. Pour dire que $0,6$ est une valeur approchées de $0,561$ à $0,2$ près nous écrirons: $|0,6-0,561|\leqslant 0,2$.
		
		\item 
		
	\end{enumerate}
	
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	$14$ est une valeur approchée de $\np{20000000}$ mais c'est sans intérêt tant cette approximation est grossière. Nous voyons bien sur cet exemple qu'il est vain de parler de valeur approchée si nous ne sommes pas capable de limiter, de quantifier, l'erreur commise.
	
	\medskip
	Nous ne pouvons pas donner exactement l'erreur commise car, sinon, nous connaîtrions la valeur exacte. Nous indiquons l'erreur maximale que nous commettons sous forme d'écart, de distance maximale, entre notre valeur approchée et la valeur exacte.
	
	Pour parler de la distance entre les nombres nous utiliserons donc la valeur absolue.
	
\end{lecon}

\begin{definition}
	
	Soient $x \in \mathbb{R}$, $r\in\mathbb{R}_+^*$ et $v \in \mathbb{D}$.
	
	\medskip
	Nous dirons qu'un nombre décimal $v$ est \emph{\color{purple}une valeur approchée d'un nombre $x$ à $r$ près} si la distance entre $v$ et $x$ est inférieure à $r$. Autrement dit si: \[ |x-v|\leqslant r. \]
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\medskip
	Remarques.
	\begin{enumerate}
		\item Pour se représenter la situation nous raisonnons géométriquement:
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\draw[ ->,very thick] (-3, 0) -- (3, 0) node[right]{};
				\draw (0,0) node {$\times$};
				\draw (0,-0.5) node {$x$};
				\draw [magenta] (-2,0) node {$\times$};
				\draw [magenta] (2,0) node {$\times$};
				\draw [>=latex, <->, magenta] (-2,0.5) -- (0,0.5) node [midway, above, sloped] {$r$};
				\draw [>=latex, <->, magenta] (0,0.5) -- (2,0.5) node [midway, above, sloped] {$r$};
				\draw [RoyalBlue] (-1,0) node {$\times$};
				\draw [RoyalBlue] (-1,-0.5) node {$v$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item Nous voyons clairement sur le précédent schéma que $\color{purple}v \in [x-r;x+r]$. $r$ peut être appelé le \emph{\color{purple}rayon de l'intervalle} (par analogie avec le disque) et $2r$ est alors le diamètre ou l'\emph{\color{purple}amplitude} de l'intervalle.
		
		\item Si la valeur approchée $v$ est inférieure à la valeur exacte $x$ nous dirons que $v$ est \emph{\color{purple}une valeur approchée par défaut}.
		
		De même si $x\leqslant v$ nous dirons que $v$ est \emph{\color{purple}une valeur approchée par excès}.
		
		\item Un procédé simple pour obtenir une valeur approchée à $10^{-n}$, avec $n \in \mathbb{N}$, consiste à arrêter son écriture décimale au $n$-ième chiffre après la virgule. Ce procédé est appelé \emph{\color{purple}troncature}. Tronquer $1,23456$ à $10^{-4}$ donne $1,2345$. Tronquer $-1,23456$ à $10^{-3}$ donne $-1,234$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	Exemples.
	\begin{enumerate}
		\item Valeurs approchées de $3$ à $10$ près.
		
		\item Valeurs approchées de $12,6$ à $0,1$ près.
		
		\item Valeurs approchées de $-0,5$ à $1$ près.
		
		\item Puisque $1,9 \in [2-0,5;2+0;5]$ nous pouvons dire que $1,9$ est une valeur approchée de $2$ à $0,5$ près.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Déterminer quelques valeurs approchées.
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Exercices 146 à 153 page 71 du manuel Indice.
	
\end{exercice}

\begin{definition}
	
	Soient $x \in \mathbb{R}$, $n \in \mathbb{Z}$ et $v \in \mathbb{D}$.
	
	\medskip
	Nous dirons que $v$ est \emph{\color{purple}une valeur arrondie de $v$ à $10^{n}$ près} si $v$ est une valeur approchée de $x$ à $\frac{1}{2}\times 10^n$ près et si $v\times 10^{-n}$ est un entier.
	
\end{definition}

\subsection{Approximation de $\frac{1}{3}$.}

\begin{notabene}
	
	En procédant à la division euclidienne nous voyons le procédé algorithmique et on en déduit les valeurs approchées.
	
	Quel procédé algorithmique pour construire l'écriture décimale?
	
\end{notabene}

\subsection{Approximation de $\sqrt{2}$.}

\begin{notabene}
	
	En raisonnant comme précédemment nous cherchons un algorithme pour obtenir une écriture décimale.
	
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	La \emph{\color{purple}méthode de recherche par balayage} consiste à chercher une solution dans un intervalle en testant les valeurs les unes à la suite des autres. Si la méthode ne donne pas exactement la réponse il faut recommencer mais sur un intervalle de plus petite amplitude.
	
	\begin{notabene}
		
		À ajouter à la leçon. Exemple à la calculatrice: racines de $(x-2)(3x+7) = 3x^2+x-14$. Avec le tableau de valeurs nous nous rapprochons de la racine.
		
	\end{notabene}
	
\end{lecon}

\begin{exercice}{}
	
	Notre objectif est d'obtenir une valeur approchée de $\sqrt{2}$. Rappelons que $\sqrt{2}$ est, par définition, l'unique nombre positif tel que $\sqrt{2}^2=2$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Nous savons que la fonction carré est strictement croissante sur $\mathbb{R}_+$. Par conséquents images et antécédents sont rangés dans le même ordre.
		
		\begin{enumerate}
			\item Recopiez et complétez le tableau de valeur suivant:
			
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
					\hline
					$x$ & $0$ & $1$ & $2$
					\\
					\hline
					$x^2$ & &&
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{center}
			
			\item Déduisez-en des valeurs approchées par excès et par défaut de $\sqrt{2}$ à $1$ près.
			
		\end{enumerate}
		
		\item En complétant le tableau de valeurs suivant, déduisez-en un des valeurs approchées par défaut et par excès de $\sqrt{2}$ à $10^{-1}$ près.
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
				\hline
				$x$ & $0$ & $0,1$ & $0,2$ & $\dots$
				\\
				\hline
				$x^2$ & && & 
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		\item Le programme suivant écrit en Python permet d'obtenir un encadrement de $\sqrt{2}$ avec une amplitude de $0,001$ à l'aide d'un algorithme par balayage:
		
		\begin{center}
			\begin{minipage}{9cm}
				\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
					emph={[2]valeur,pas}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
valeur=1
pas=0.001
while valeur*valeur<2:
  valeur=valeur+pas
print(valeur-pas,"<sqrt(2)<",valeur)
\end{lstlisting}
			\end{minipage}
		\end{center}
		
		\begin{enumerate}
			\item Exécutez le programme. En quoi les valeurs renvoyées sont-elles surprenantes? Comment pouvez-vous les expliquer?
			
			\item Modifiez le programme afin d'obtenir un encadrement de $\sqrt{2}$ d'amplitude un millionième. Que se passe-t-il pour un encadrement d'amplitude un dix-millionième?
			
			\item Modifiez le programme en créant une variable compteur qui va être incrémentée à chaque passage dans la boucle \verb|while|.
			
			\item Vérifiez que pour un encadrement d'amplitude $0,0001$ il faut $\np{4143}$ itérations et que pour un encadrement d'amplitude au dix-millionième il en faut $\np{4142136}$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\setcounter{Exercice}{4}
\begin{exercice}{ Suite.}
		
	\begin{enumerate}
		
		\setcounter{enumi}{3}
		
		\item Un élève décide d'améliorer le programme de la façon suivante: pour obtenir un encadrement au dix-millionième de $\sqrt{2}$, il lance le programme avec \verb|valeur=1| et \verb|pas=0.1|.
		
		Puis il le relance avec pour \verb|valeur| la borne inférieure de l'encadrement qu'elle vient d'obtenir, en initialisant \verb|pas| à \verb|0.01|.
		
		Puis elle réitère ce procédé jusqu'à un pas de $\np{0,000000001}$
		
		\begin{enumerate}
			\item Testez sa méthode et donnez un encadrement de $\sqrt{2}$ au milliardième.
			
			\item Vérifiez que cette méthode nécessite moins de $70$ passages dans la boucle \verb|while|, et donnez le nombre exacte de passages.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
	\begin{notabene}
		
		Prolongement: insérer les modification de l'élève dans le programme initial.
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Évidemment:
			
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
					\hline
					$x$ & $0$ & $1$ & $2$
					\\
					\hline
					$x^2$ & $0$ & $1$ & $4$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{center}
			
			\item Pour que $x^2=2$ il faudra choisir $x$ entre $1$ et $2$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$1$ (respectivement $2$) est un valeur approchée par défaut (resp. excès) de $\sqrt{2}$ à $1$ près.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
		\item Comme précédemment:
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
				\hline
				$x$ & $1$ & $1,1$ & $1,2$ &  $1,3$ & $1,4$ & $1,5$
				\\
				\hline
				$x^2$ & $1$ & $1,21$ & $1,44$ & $1,69$ & $1,96$ & $2,25$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		
		\begin{conclusion}
			
			$1,4$ (respectivement $1,5$) est un valeur approchée par défaut (resp. excès) de $\sqrt{2}$ à $0,1$ près.
			
		\end{conclusion}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item L'encadrement obtenu n'est pas correcte mathématiquement. Cela s'explique par le fait que dans ce cas Python travail avec des valeurs approchées.
			
			\item Les deux valeurs approchées par excès et défauts sont confondus. Nous somme delà de la capacité de précision de Python.
			
			\item ~
			
			\begin{center}
				\begin{minipage}{9cm}
					\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
						emph={[2]valeur,pas,compteur}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
valeur=1
pas=0.0001
compteur=0
while valeur*valeur<2:
  valeur=valeur+pas
  compteur=compteur+1
print(valeur-pas,"<sqrt(2)<",valeur)
print(compteur)
\end{lstlisting}
				\end{minipage}
			\end{center}
			
			\item 
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
	\end{enumerate}

\end{exercicecorrection}

\begin{notabene}
	
\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
def approx(n):
  a=1
  b=2
  p=0
  while b-a>10**(-n):
  
		k=0
		while (a+k*10**(-p))**2<=2:
		k=k+1
		b=a+k*10**(-p)
		a=a+(k-1)*10**(-p)
		p=p+1
		return(a,b)
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\end{notabene}

\begin{exercice}{}
	
	Exercice 210 page 78 du manuel Indice.
	
\end{exercice}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			\def\xY{-0.5};
			\def\yY{-0.5};
			\def\xZ{8.5};
			\def\yZ{7};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
			\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
			\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
				-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
				-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
				-- (2,0) 
				--(-0.5,0)
				-- cycle;
			\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (5,-1);
		\coordinate (F) at (6,0);
		\coordinate (C) at (7,1);
		\coordinate (D) at (2,2);
		\coordinate (O) at (3.5,0.5);
		\coordinate (S) at (3.5,6);
		\coordinate (J) at (3.5,3.5);
		\coordinate (K) at (3,4.666);
		\draw (A) node {$\bullet$};
		\draw (B)node {$\bullet$};
		\draw (F)node {$\bullet$};
		\draw (C)node {$\bullet$};
		\draw (D)node {$\bullet$};
		\draw (O)node {$\bullet$};
		\draw (S)node {$\bullet$};
		\draw (J)node {$\bullet$};
		\draw (K)node {$\bullet$};
		\draw (A)node[below]{$A$};
		\draw (B)node[below right]{$B$};
		\draw (F)node[right]{$F$};
		\draw (C)node[right]{$C$};
		\draw (D)node[above right]{$D$};
		\draw (O)node[above right]{$O$};
		\draw (S)node[above]{$S$};
		\draw (J)node[above right]{$J$};
		\draw (K)node[below right]{$K$};
		\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
		\draw[blue, thick](A)--(S);
		\draw[blue, thick](B)--(S);
		\draw[blue, thick](C)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
		\draw[blue, thick](F)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
		\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
		\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
		\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
	\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}
		
\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, above] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		\coordinate (A1) at (4,3);
		\coordinate (A2) at (4,1);
		\coordinate (A3) at (4,-1);
		\coordinate (A4) at (4,-3);
		\coordinate (B1) at (2,2);
		\coordinate (B2) at (2,-2);
		\coordinate (C1) at (0,0);
		\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
		\draw node (A12) at (A2) {$2$};
		\draw node (A13) at (A3) {$3$};
		\draw node (A14) at (A4) {$4$};
		\draw node (B11) at (B1) {$1$};
		\draw node (B12) at (B2) {$2$};
		\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
		\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
		\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
		\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
		\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}
	
	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
		{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,d,+,}%
		\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

\subsection{Tab2.}

		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
		{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
		\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
		\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
		\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
		\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
		\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
					}{
					6\;
					}
				}
				
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
					}
				}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


	\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
		\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
		\\
		\hline
		Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
		\\
		\hline
		Série $P$ &&&&&& 
		\\
		\hline
	\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}