%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
%\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{RoyalBlue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{Black}\underline{Remarques.}}\color{Black}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill \small {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. #1} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

\newenvironment{exerciceapplication}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill \small {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Application.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} }{ \end{colbox} }

\newenvironment{concours}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \small \color{blue} \medskip \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Concours.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} }{\medskip}

\newenvironment{recherche}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \small \color{blue} \medskip \hfill { \color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Recherche.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} }{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/2ieme.html}{Diviseurs et multiples.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{details}
\exclure{bareme}
\exclure{notabene}
%\exclure{exercicecorrection}\exclure{correction}\exclure{preuve}\exclure{exemples}%papi
%\exclure{remarques}\exclure{corollaire}\exclure{lemme}\exclure{proposition}\exclure{theoreme}\exclure{culturegenerale}\exclure{definition}\exclure{lecon}
%\exclure{sujet}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}


\section{Diviseurs et multiples.}

\subsection{Division euclidienne.}

\begin{definition}
	
	Soient $\color{Blue}a$ et $\color{Orange}b$ des nombres entiers naturels (donc choisis dans $\mathbb{N}$) avec ${\color{Orange}b} \ne 0$.
	
	\medskip
	Effectuer la division euclidienne de $\color{Blue}a$ par $\color{Orange}b$, c'est trouver le nombre \emph{\color{purple}quotient} $\color{PineGreen}q$ (dans $\mathbb{Z}$) et le \emph{\color{purple}reste} $\color{red}r$ (dans $\mathbb{N}$) tels que \[ \left\{ \begin{array}{l} {\color{Blue}a}={\color{orange}b}{\color{PineGreen}q}+{\color{red}r} \\ 0 \leqslant {\color{red}r} <{\color{Orange}b} \end{array} \right. \]
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\medskip
	Exemples.
	
	\begin{enumerate}
		\item Division euclidienne de $652$ par $24$
		
		\noindent
		\begin{tabularx}{\linewidth}{X|X}
			
			\begin{minipage}{\linewidth}
				
				\begin{center}
					
					Opération posée (potence).
					
					\medskip			
					\opidiv[operandstyle.1=\color{Blue}, operandstyle.2=\color{Orange}, remainderstyle= \color{red}, resultstyle= \color{PineGreen}, displayintermediary=all, voperation=top]{652}{24}
					
				\end{center}
				
			\end{minipage}
			
			&
			
			\begin{minipage}{\linewidth}
				
				\begin{center}
					
					Division euclidienne.
					
					\medskip
					
					$ \left\{ \begin{array}{l} {\color{Blue}652} = {\color{Orange}24} \times {\color{PineGreen}27} + {\color{red}4} \\ 0\leqslant {\color{red}4} < {\color{Orange}24} \end{array} \right.$
					
				\end{center}
				
			\end{minipage}
			
		\end{tabularx}
		
		\item Division euclidienne de $237$ par $12$		
		
		\noindent
		\begin{tabularx}{\linewidth}{X|X}
			
			\begin{minipage}{\linewidth}
				
				\begin{center}
					
					\opidiv[operandstyle.1=\color{Blue}, operandstyle.2=\color{Orange}, remainderstyle= \color{red}, resultstyle= \color{PineGreen}, displayintermediary=all, voperation=top]{237}{12}
					
				\end{center}
				
			\end{minipage}
			
			&
			
			\begin{minipage}{\linewidth}
				
				\begin{center}
					
					$ \left\{ \begin{array}{l} {\color{Blue}237} = {\color{Orange}12} \times {\color{PineGreen}19} + {\color{red}9} \\ 0\leqslant {\color{red}9} < {\color{Orange}12} \end{array} \right.$
					
				\end{center}
				
			\end{minipage}
			
		\end{tabularx}
		
	\end{enumerate}		
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Cette définition peut se généraliser au cas d'entiers relatifs. Il est aussi possible de procéder à la division euclidienne de $x^2-2x+1$ par $x-1$, mais ce n'est pas au programme.
		
		\item $\color{Blue}a$ est appelé le \emph{\color{purple}dividende} et $\color{orange}b$ le \emph{\color{purple}diviseur}.
		
		\item Avec Python 3 le quotient (au sens de la division euclidienne) de $17$ et $3$ s'obtient avec l'instruction
		
		\begin{center}
			\begin{minipage}{2cm}
				\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
					emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
				\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
				17//3
				\end{lstlisting}
			\end{minipage}
		\end{center}
		
		et le reste s'obtient en faisant
		
		\begin{center}
			\begin{minipage}{5cm}
				\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
					emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
				\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
				17%3
				\end{lstlisting}
			\end{minipage}
		\end{center}
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{}
	
	Procédez à la division euclidienne de 
	
	\noindent 
	\begin{tabular}{m{5cm}|m{5cm}}
		
		\begin{enumerate}
			
			\item $356$ par $5$,
			
			\item $827$ par $30$,
			
			\item $232$ par $7$,
			
			\item $1204$ par $13$,
			
			\item $324$ par $2$.
			
		\end{enumerate}
		
		&
		\begin{enumerate}
			\setcounter{enumi}{5}
			
			\item $17$ par $170$,
			
			\item $121$ par $11$,
			
			\item $625$ par $25$,
			
			\item $97$ par $7$,
			
			\item $244$ par $3$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{tabular}
	
\end{exercice}


\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item ~
		
		\noindent
		\begin{tabularx}{\linewidth}{X|X}
			
			\begin{minipage}{\linewidth}
				
				\begin{center}
					
					{\color{orange}
						\opidiv[displayintermediary=all, voperation=top]{356}{5}
					}
					
				\end{center}
				
			\end{minipage}
			
			&
			
			\begin{minipage}{\linewidth}
				
				\begin{center}
					
					$ \left\{ \begin{array}{l} 356 = 5 \times 71 + 1 \\ 0\leqslant 1 < 5 \end{array} \right.$
					
				\end{center}
				
			\end{minipage}
			
		\end{tabularx}
		
		\item ~
		
		\noindent
		\begin{tabularx}{\linewidth}{X|X}
			
			\begin{minipage}{\linewidth}
				
				\begin{center}
					
					{\color{orange}
						\opidiv[displayintermediary=all, voperation=top]{827}{30}
					}
					
				\end{center}
				
			\end{minipage}
			
			&
			
			\begin{minipage}{\linewidth}
				
				\begin{center}
					
					$ \left\{ \begin{array}{l} 827 = 30 \times 27 + 17 \\ 0\leqslant 17 < 30 \end{array} \right.$
					
				\end{center}
				
			\end{minipage}
			
		\end{tabularx}
		\item ~
		
		\noindent
		\begin{tabularx}{\linewidth}{X|X}
			
			\begin{minipage}{\linewidth}
				
				\begin{center}
					
					{\color{orange}
						\opidiv[displayintermediary=all, voperation=top]{232}{7}
					}
					
				\end{center}
				
			\end{minipage}
			
			&
			
			\begin{minipage}{\linewidth}
				
				\begin{center}
					
					$ \left\{ \begin{array}{l} 232 = 7 \times 33 + 1 \\ 0\leqslant 1 < 33 \end{array} \right.$
					
				\end{center}
				
			\end{minipage}
			
		\end{tabularx}
		\item ~
		
		\noindent
		\begin{tabularx}{\linewidth}{X|X}
			
			\begin{minipage}{\linewidth}
				
				\begin{center}
					
					{\color{orange}
						\opidiv[displayintermediary=all, voperation=top]{1204}{13}
					}
					
				\end{center}
				
			\end{minipage}
			
			&
			
			\begin{minipage}{\linewidth}
				
				\begin{center}
					
					$ \left\{ \begin{array}{l} 1204 = 13 \times 92 + 8 \\ 0\leqslant 8 < 13 \end{array} \right.$
					
				\end{center}
				
			\end{minipage}
			
		\end{tabularx}
		\item ~
		
		\noindent
		\begin{tabularx}{\linewidth}{X|X}
			
			\begin{minipage}{\linewidth}
				
				\begin{center}
					
					{\color{orange}
						\opidiv[displayintermediary=all, voperation=top]{324}{2}
					}
					
				\end{center}
				
			\end{minipage}
			
			&
			
			\begin{minipage}{\linewidth}
				
				\begin{center}
					
					$ \left\{ \begin{array}{l} 324 = 2 \times 162 + 0 \\ 0\leqslant 0 < 2 \end{array} \right.$
					
				\end{center}
				
			\end{minipage}
			
		\end{tabularx}
		
		\item ~
		
		\noindent
		\begin{tabularx}{\linewidth}{X|X}
			
			\begin{minipage}{\linewidth}
				
				\begin{center}
					
					{\color{orange}
						\opidiv[displayintermediary=all, voperation=top]{17}{170}
					}
					
				\end{center}
				
			\end{minipage}
			
			&
			
			\begin{minipage}{\linewidth}
				
				\begin{center}
					
					$ \left\{ \begin{array}{l} 17 = 170 \times 0 + 17 \\ 0\leqslant 17 < 170 \end{array} \right.$
					
				\end{center}
				
			\end{minipage}
			
		\end{tabularx}
		
		\item ~
		
		\noindent
		\begin{tabularx}{\linewidth}{X|X}
			
			\begin{minipage}{\linewidth}
				
				\begin{center}
					
					{\color{orange}
						\opidiv[displayintermediary=all, voperation=top]{121}{11}
					}
					
				\end{center}
				
			\end{minipage}
			
			&
			
			\begin{minipage}{\linewidth}
				
				\begin{center}
					
					$ \left\{ \begin{array}{l} 121 = 11 \times 11 + 0 \\ 0\leqslant 0 < 11 \end{array} \right.$
					
				\end{center}
				
			\end{minipage}
			
		\end{tabularx}
		\item ~
		
		\noindent
		\begin{tabularx}{\linewidth}{X|X}
			
			\begin{minipage}{\linewidth}
				
				\begin{center}
					
					{\color{orange}
						\opidiv[displayintermediary=all, voperation=top]{625}{25}
					}
					
				\end{center}
				
			\end{minipage}
			
			&
			
			\begin{minipage}{\linewidth}
				
				\begin{center}
					
					$ \left\{ \begin{array}{l} 625 = 25 \times 25 + 0 \\ 0\leqslant 0 < 25 \end{array} \right.$
					
				\end{center}
				
			\end{minipage}
			
		\end{tabularx}
		\item ~
		
		\noindent
		\begin{tabularx}{\linewidth}{X|X}
			
			\begin{minipage}{\linewidth}
				
				\begin{center}
					
					{\color{orange}
						\opidiv[displayintermediary=all, voperation=top]{97}{7}
					}
					
				\end{center}
				
			\end{minipage}
			
			&
			
			\begin{minipage}{\linewidth}
				
				\begin{center}
					
					$ \left\{ \begin{array}{l} 97 = 7 \times 13 + 6 \\ 0\leqslant 6 < 7 \end{array} \right.$
					
				\end{center}
				
			\end{minipage}
			
		\end{tabularx}
		\item ~
		
		\noindent
		\begin{tabularx}{\linewidth}{X|X}
			
			\begin{minipage}{\linewidth}
				
				\begin{center}
					
					{\color{orange}
						\opidiv[displayintermediary=all, voperation=top]{244}{3}
					}
					
				\end{center}
				
			\end{minipage}
			
			&
			
			\begin{minipage}{\linewidth}
				
				\begin{center}
					
					$ \left\{ \begin{array}{l} 244 = 3 \times 81 + 1 \\ 0\leqslant 1 < 3 \end{array} \right.$
					
				\end{center}
				
			\end{minipage}
			
		\end{tabularx}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\subsection{Diviseur et multiple.}

\subsubsection{Définition.}

\begin{definition}
	
	Soient $a$ et $b$ des nombres entiers naturels (donc choisis dans $\mathbb{N}$) avec $b \ne 0$.
	
	\medskip
	Nous dirons que \emph{\color{purple}$b$ est un diviseur de $a$}, et nous noterons $b|a$, lorsque le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ est zéro.
	
	\medskip
	Autrement dit $b$ est un diviseur de $a$ s'il est possible de trouver un nombre entier naturel $q$ tel que $a=b \times q$.
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Dans les exercices nous utiliserons très souvent la deuxième interprétation du diviseur.
		
		\item Si $b$ est un diviseur de $a$ alors nous dirons que \emph{\color{purple}$a$ est un multiple de $b$}. Autrement dit $a$ est le résultat d'une multiplication par $b$.
		
		\item Un nombre \emph{\color{purple}pair} est un nombre entier multiple de $2$. Autrement dit un nombre est pair s'il est divisible par $2$. Un entier qui n'est pas pair est dit \emph{\color{purple}impair}.
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $12$ n'est pas un diviseur de $237$ puisque le reste de la division euclidienne de $237$ par $2$ n'est pas nul (c'est $9$).
		
		\item $3$ est un diviseur de $21$ puisque $21=3 \times 7$ (et $7$ est bien un entier).
		
		\item $2,5$ n'est pas un diviseur de $5$ bien que $5=2,5\times 2$ car $2,5$ n'est pas un entier. 
		
		\item Multiples de $3$: $0$, $3$, $6$, $9$, $\dots$ (table de multiplication par $3$).
		
		\item $12$ est un nombre pair puisque $12=2 \times 6$.
		
		\item $13$ n'est pas un nombre pair puisque le reste de la division euclidienne de $13$ par $2$ n'est pas $1$: $13=2 \times 6+1$.	
		
		\item $6,2$ n'est pas pair puisque ce n'est pas même un nombre entier.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}


\subsubsection{Déterminer des diviseurs simples d'un entier.}

\begin{lecon}
	Rappels: critères de divisibilité.
	
	\begin{tabular}{|m{2cm}|m{8cm}|}
		\hline
		divisible par & critère 
		\\
		\hline
		$2$ & le chiffre des unités est parmi $0$, $2$, $4$, $6$ et $8$.
		\\
		\hline
		$3$ & la somme des chiffres du nombre est divisible par $3$.
		\\
		\hline
		$5$ & le chiffre des unités est $0$ ou $5$.
		\\
		\hline 
		$9$ & la somme des chiffres du nombre est divisible par $9$.
		\\
		\hline 
		$10$ & le chiffre des unités est $0$.
		\\
		\hline 
	\end{tabular}
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	Les diviseurs de $660$ parmi $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ et $9$ sont: $2$, $3$, $4$, $5$ et $6$.
	
	{\color{orange}
		
		En effet:
		
		$660$ est divisible par $2$ puisqu'il se termine par $0$.
		
		$660$ est divisible par $3$ car la somme de ses chiffres l'est: $6+6+0=12$.
		
		$660$ est divisible par $2$ et $660=330$ or $330$ aussi divisible par $2$. Finalement $660$ est divisible par $4$.
		
		$660$ est divisible par $5$ puisqu'il se termine par $0$.
		
		$660$ est divisible par $6$ puisqu'il est divisible par $2$ et par $3$ et donc par $2 \times 3=6$.
		
		$660$ n'est pas divisible par $9$ car si $660=3 \times 220$, $220$ n'est pas divisible par $3$.}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{}
	
	Déterminez les diviseurs parmi $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ et $10$ des nombres suivants.
	
	\noindent \begin{tabular}{m{5cm}|m{5cm}}
		
		\begin{enumerate}
			
			\item $204$,
			
			\item $855$,
			
			\item $168$,
			
			\item $264$,
			
			\item $90$,
			
		\end{enumerate}
		
		&
		\begin{enumerate}
			\setcounter{enumi}{5}
			
			\item $189$,
			
			\item $332$,
			
			\item $84$,
			
			\item $306$,
			
			\item $165$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{tabular}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item $2,\ 3,\ 4,\ 6$
		
		\item $3,\ 5$.
		
		\item $2\, 3,\ 4,\ 6$
		
		\item $2\, 3,\ 4,\ 6$
		
		\item $2,\ 3,\ 5,\ 6,\ 10$.
		
		\item $3$,
		
		\item $2,\ 4$,
		
		\item $2,\ 3,\ 4,\ 6$,
		
		\item $2,\ 3,\ 6$,
		
		\item $3,\ 5$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Créez une fonction Python qui, à partir de deux entiers naturels $a$ et $n$, renvoie la liste des $n$ premiers multiples de $a$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Créez une fonction Python qui, à partir de deux entiers $a$ et $b$, vérifie si l'un est multiple de l'autre en renvoyant $0$ (faux en informatique) ou $1$ (vrai en informatique).
	
\end{exercice}

\subsubsection{Déterminer tous les diviseurs (positifs) d'un entier.}

\begin{notabene}
	
	Ajouter la méthode naturelle: pour trouver les diviseurs de $n$ tester tous les entiers plus petits que $\sqrt{n}$. Peut être un petit raisonnement par l'absurde pour justifier le $\sqrt{n}$.
	
\end{notabene}

\begin{correction}
	
	La difficulté pour déterminer tous les diviseurs d'un entier est de s'assurer de travailler de façon exhaustive: il ne faut en laisser aucun de côté.
	
	Rechercher des diviseurs revient à se poser la question des façon d'écrire un entier comme produit d'autre entiers. Dès lors qu'il s'agit de décomposer en facteurs un nombre nous pensons au nombres premiers et au résultat fondamental de l'arithmétique: la décomposition en facteurs premiers de tout entier naturel.
	
\end{correction}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Les diviseurs de $6$. $6=2 \times 3$ donc $1$, $2$, $3$ et $6$ sont des diviseurs de $6$
		
		\item Les diviseurs de $12$.
		
		\begin{notabene}
			
			Représentation sous forme d'un arbre à partir de l'écriture $2 \times 2 \times 3$.
			
			Puis représentation sous forme d'un arbre à partir de l'écriture $2^2 \times 3$.
			
		\end{notabene}
		
		\item Les diviseurs de $72$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Déterminez tous les diviseurs.
		
		87 page 68 indice 2019
		
	\end{notabene}
	
	Exercice 87 page 68 du manuel Indice 2019.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Déterminez le nombre de diviseurs.
		
		86 et 88 page 68 Indice 2019.
		
	\end{notabene}
	
	Exercices 86 et 88 page 68 du manuel Indice 2019.
	
\end{exercice}

\begin{notabene}
	
	Changer en exercice pour l'ajouter.
	
	\emph{Sujet de C.R.P.E. 2015}
	
	Un fleuriste reçoit $12$ tulipes et $18$ roses pour faire des bouquets. Il souhaite utiliser toutes ses fleurs et composer des bouquets identiques (même nombre de roses et même nombre de tulipes). Quelles sont ses différentes possibilités?
	
\end{notabene}

\subsubsection{Démontrer un résultat général avec multiple ou diviseur.}

\begin{proposition}{}
	
	Soit $n \in \mathbb{Z}$.
	
	\medskip
	\begin{enumerate}[(i)]
		
		\item $n$ est pair si et seulement si il est possible de trouver un entier $q$ tel que $n=2 \times q$.
		
		\item $n$ est impair si et seulement si il est possible de trouver un entier $q$ tel que $n=2 \times q+1$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	Découle directement de la précédente définition.
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Dès qu'il s'agit de démontrer un résultat concernant tous les nombres paires ou du moins une partie d'entre eux nous utiliserons cette façon d'écrire un nombre pair. Et de même pour les nombres impairs
		
		\item De même $n$ est un multiple de $3$ ou $n$ est divisible par $3$) s'il peut s'écrire sous la forme $n=3 \times q$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{}
	
	Démontrez que le produit d'un nombre pair par un entier naturel est un nombre pair.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}L'énoncé dont nous devons démontrer la véracité est une \emph{\color{purple}propriété universelle}: il est valable pour de nombreuses valeurs. Il s'agit de démontrer que, quelque soit le nombre pair choisi et quelque soit l'entier naturel choisi leur produit est pair. Pour que notre démonstration soit générale il ne faut pas choisir des valeurs particulières c'est pourquoi nous utiliserons des lettres pour désigner ces nombres.}
	
	\medskip
	Soient $p$ un nombre pair et $m$ un nombre pris dans $\mathbb{N}$.
	
	\medskip
	{\color{orange}Le terme \og Soient \fg{} signifie que les nombres $p$ et $m$ sont fixés (bien que nous n'ayons pas choisi de valeur particulière), ce ne sont pas des variables.}
	
	\medskip
	{\color{orange}Notre objectif est de vérifier que le produit $pm$ est pair.
		
		\color{orange}Nous utilisons une caractérisation des nombres pairs que nous retrouverons très souvent.}
	
	Puisque $p$ est pair, il existe un entier naturel $n$ tel que: $p=2n$ et donc:
	
	\begin{align*}
		{\color{red}p}m &= {\color{red}(2n)}m\\
		&= 2(nm)
	\end{align*}
	
	Puisque $nm$ est un entier, $2(nm)$ est un nombre pair. Autrement dit $pm$ est un nombre pair.
	
	Nous avons démontré que
	
	\begin{conclusion}
		
		quelque soit le nombre pair $p$ et quelque soit l'entier $m$, $pm$ est (toujours) un nombre pair.
		
	\end{conclusion}	
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Démontrez que la somme de deux multiples de $7$ est un multiple de $7$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	Soient $m$ et $n$ deux multiples de $7$.
	
	\medskip
	\objectif{Démontrons que $m+n$ est un multiple de $7$.}
	
	Dire que $m$ est un multiple de $7$ équivaut à dire qu'il peut s'écrire $m=7p$ où $p$ est un entier.
	
	De même, il existe un entier $q$ tel que $n=7q$.
	
	Ainsi:
	\begin{align*}
		m+n &= 7p +7q\\
		&= 7(p+q)
	\end{align*}
	
	Autrement dit $m+n$ est un multiple de $7$.
	
	\begin{conclusion}
		
		Nous avons démontré que quelque soient $m$ et $n$ des multiples de $7$, $m+n$ est aussi un multiple de $7$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}
	
	Démontrez que le produit d'un entier naturel divisible par $3$ et d'un entier naturel divisible par $7$ est divisible par $21$.
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}
	
	Soient $m$ un multiple de $3$ et $n$ un multiple de $7$.
	
	\medskip
	\objectif{Démontrons que $mn$ est un multiple de $21$.}
	
	{\color{orange}Autrement dit il faut démontrer qu'il est possible d'écrire $mn$ sous la forme: $mn=21 \times ?$.}
	
	\medskip
	Dire que $m$ est un multiple de $3$ équivaut à dire qu'il peut s'écrire $m=3p$ où $p$ est un entier.
	
	Dire que $n$ est un multiple de $7$ équivaut à dire qu'il peut s'écrire $m=7q$ où $q$ est un entier.
	
	Ainsi:
	\begin{align*}
		mn &= 3p 7q\\
		&= 21(pq)
	\end{align*}
	
	Autrement dit $mn$ est un multiple de $21$.
	
	\begin{conclusion}
		
		Nous avons démontré que quelque soient $m$ et $n$ des multiples respectivement de $3$ et $7$, $mn$ est un multiple de $21$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}


\begin{exerciceapplication}
	
	Démontrez que la somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de $3$.
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}L'astuce dans cet exercice consiste à remarquer que trois entiers consécutifs peuvent s'écrire $n$, $n+1$ et $n+2$.}
	
	\medskip
	Soit $n \in \mathbb{Z}$.
	
	\medskip
	\objectif{Démontrons que $n+(n+1)+(n+2)$ est un multiple de $3$.}
	
	\begin{align*}
		n+(n+1)+(n+2) &= 3n+3\\
		&{\color{orange} {\color{red}3} n + {\color{red}3} \times 1}\\
		&= {\color{red}3}(n+1) 
	\end{align*}
	
	Ainsi $n+(n+1)+(n+2)$ est un multiple de $3$.
	
	\begin{conclusion}
		
		Nous avons démontré que la somme de trois entiers consécutif est un multiple de $3$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Démontrez que la somme d'un nombre pair et d'un nombre impair est un nombre impair.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	Soient $n \in \mathbb{Z}$ un nombre pair et $m \in \mathbb{Z}$ un nombre impair.
	
	\medskip
	\objectif{Démontrons que $n+m$ est impair.}
	
	Puisque $n$ est pair il existe un nombre $p\in \mathbb{Z}$ tel que: $n=2p$.
	
	Puisque $m$ est pair il existe un nombre $q\in \mathbb{Z}$ tel que: $m=2q+1$.
	
	\begin{align*}
		n+m &= 2p+ 2q+1\\
		&= 2(p+q)+1
	\end{align*}
	
	Ainsi $n+m$ est un nombre impair.
	
	\begin{conclusion}
		
		Nous avons démontré que la somme d'un nombre pair et d'un nombre impair est un nombre impair.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{proposition}{}
	
	Le carré d'un nombre impair est un nombre impair.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	Soit $m$ un nombre impair.
	
	\medskip
	\objectif{Démontrons que $m^2$ est impair.}
	
	Puisque $m$ est impair il peut s'écrire $m=2n+1$ où $n$ est un entier naturel.
	
	Donc:
	
	\begin{align*}
		m^2 &= (2n+1)^2\\
		&= (2n+1)(2n+1)\\
		&{\color{orange}= 2n \times 2n +2n \times 1+ 1 \times 2n + 1 \times 1}\\
		&= (2n)^2 + 2n +2n +1\\
		&= 4n^2 +4n+ 1\\
		\intertext{\color{orange}Pour s'assurer que ce nombre est bien un nombre impair il faut montrer qu'il est possible de l'écrire sous la forme $2p+1$.}
		m^2 &= {\color{red}2 \times } 2 n^2 + {\color{red}2 \times }2 n +1\\
		&= {\color{red}2}(2n^2+2n) +1
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		Nous avons démontré que quelque soit le nombre impair $m$, $m^2$ est aussi un nombre impair.
		
	\end{conclusion}
	
\end{preuve}




\begin{exercice}{}
	
	Démontrez que le cube d'un nombre impair est un nombre impair.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}Ce résultat peut être justifié par les résultats obtenus dans les exercices précédents.}
	
	\medskip
	Soit $n \in \mathbb{Z}$ un nombre impair.
	
	\medskip
	\objectif{Démontrons que $n^3$ est impair.}
	
	Puisque $n$ est impair il existe un nombre $q\in \mathbb{Z}$ tel que: $n=2q+1$.
	
	\begin{align*}
		n^3&= (2q+1)^3\\
		&= (2q+1)(2q+1)(2q+1)\\
		&= \left[ 2q \times 2q +2q \times 1 + 1 \times 2q +1 \times 1 \right] (2q+1)\\
		&= \left[ 4q^2 +4q +1 \right](2q+1)\\
		&= 4q^2 \times 2q + 4q^2 \times 1 +4q \times 2q + 4q \times 1 +1 \times 2q +1 \times 1\\
		&= 8q^3+4q^2+8q^2+4q+2q+1\\
		&= 8q^3+12q^2+6q+1\\
		&= 2 \left[ 4q^3 +6q^2 3q\right] +1
	\end{align*}
	
	Ainsi $n^3$ est un nombre impair.
	
	\begin{conclusion}
		
		Le cube d'un nombre impaire est forcément un nombre impair.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Démontrez que l'ensemble des multiples de $6$ est inclus dans l'ensemble des multiples de $3$.
	
\end{exercice}

\subsection{Raisonnement par l'absurde.}

\subsubsection{Une invention grecque.}

\begin{notabene}
	
	Le raisonnement par l'absurde comme outil de raisonnement expérimental: si le modèle choisi est vrai alors telle expérience donnera tel résultat. Si ce n'est pas le cas nous en déduisons que notre modèle n'est pas correcte.
	
	Le raisonnement par l'absurde dans le questionnement socratique.
	
	
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	
	Le raisonnement par l'absurde consiste à supposer vrai un énoncé que l'on sait faux et, à force de raisonnements, montrer que cette supposition conduit à une incohérence. Le procédé rhétorique similaire est appelé \emph{reductio ad absurdum}.
	
\end{lecon}

\subsubsection{Démontrer par l'absurde que: $\frac{1}{3} \notin \mathbb{D}$.}



\subsubsection{Démontrer par l'absurde que: $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$.}

\begin{lemme}{}
	
	Soit $p \in \mathbb{Z}$.
	
	\medskip
	Si $p^2$ est pair alors $p$ est pair.
	
\end{lemme}

\begin{preuve}
	
	Il s'agit de la contraposée de l'affirmation: \og si $p\in\mathbb{Z}$ est impair alors $p^2$ est impair\fg{}.
	
\end{preuve}

\begin{proposition}{}
	
	Démontrez en raisonnant par l'absurde que $\sqrt{2}$ n'est pas un nombre rationnel.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}
	
	\objectif{Démontrons en raisonnant par l'absurde que $\sqrt{2}$ est irrationnel.}
	
	Supposons que $\sqrt{2}$ est un nombre rationnel.
	
	{\color{orange}Il faut interpréter ceci en utilisant la définition du nombre rationnel.}
	
	Il existe donc des entiers naturels $p$ et $q$ avec $q$ non nul tels que: $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$.
	
	Montrons que $p$ et $q$ sont des nombres pairs.
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item Donc, en multipliant par $q$ de part et d'autre dans l'égalité: $q\sqrt{2}=p$.
		
		{\color{orange}Nous allons nous ramener à l'arithmétique en utilisant des entiers naturels.}
		
		\begin{align*}
			\left( q\sqrt{2} \right)^2 &= p^2 \\
			\intertext{nous en déduisons successivement:}
			\left( \sqrt{2} \right)^2 q^2  &= p^2\\
			2q^2 &= p^2
		\end{align*}
		
		Donc $p^2$ est pair et, d'après le lemme $p$ est donc pair.
		
		\item Puisque $p$ est pair il existe $k$ tel que $p=2k$. Nous pouvons donc écrire:
		
		\begin{align*}
			2q^2 &= (2k)^2\\
			2q^2 &= 4k^2\\
			q^2 &= 2k^2
		\end{align*}
		
		Donc $q^2$ est pair et d'après le lemme $q$ aussi est pair.
		
	\end{enumerate}		
	
	\medskip
	{\color{orange}Nous avons obtenus ici une incohérence.}
	
	Si $p$ et $q$ sont pairs c'est qu'ils ont un diviseur commun: $2$. La fraction $\frac{p}{q}$ n'est pas irréductible ce qui contredit notre hypothèse.
	
	\begin{conclusion}
		
		
		Nous avons démontré, en raisonnant par l'absurde, que nécessairement, $\sqrt{2}$ est irrationnel.
		
	\end{conclusion}
	
\end{preuve}

\subsubsection{Exercices.}

\begin{notabene}
	
	Intervertir les deux exercices suivants.
	
\end{notabene}

\begin{exercice}{}
	
	Sachant que $\sqrt{2}$ est un nombre irrationnel, démontrez en raisonnant par l'absurde que:
	
	\begin{enumerate}
		\item $5 \sqrt{2}$ est un nombre irrationnel.
		
		\item $3+\sqrt{2}$ est un nombre irrationnel.
		
		\item $\sqrt{\sqrt{2}}$ est un nombre irrationnel.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item \objectif{Démontrons en raisonnant par l'absurde l'irrationalité de $5 \sqrt{2}$.}
		
		Supposons que $5\sqrt{2}$ soit rationnel et démontrons que cela conduit à une contradiction.
		
		Dire que $5 \sqrt{2}$ est rationnel signifie qu'il existe un entier $a$ et un entier $b$ non nul tel que:
		
		\begin{align*}
			5 \sqrt{2} &= \frac{a}{b}\\
			\intertext{Ce qui équivaut successivement à:}
			\frac{5\sqrt{2}}{\color{orange}5} &= \frac{\frac{a}{b}}{\color{orange}5}\\
			\sqrt{2} &= \frac{\frac{a}{b}}{\frac{5}{\color{orange}1}}\\
			\sqrt{2} &= \frac{a}{b} \cdot \frac{1}{5}\\
			\sqrt{2} &= \frac{a}{5b}
		\end{align*}
		
		$5b$ étant un entier $\frac{a}{5b}$ est une fraction et donc $\sqrt{2}$ serait un rationnel.
		
		C'est impossible puisque nous avons déjà démontré que $\sqrt{2}$ est irrationnel.
		
		\begin{conclusion}
			
			Nous avons démontré par l'absurde que $5 \sqrt{2}$ est irrationnel.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Démontrons en raisonnant par l'absurde que $3+ \sqrt{2}$ est un nombre irrationnel.}
		
		Supposons que $3+\sqrt{2}$ est rationnel et vérifions que cela conduit à une contradiction.
		
		Dire que $3+ \sqrt{2}$ est rationnel signifie qu'il existe un entier $a$ et un entier $b$ non nul tel que:
		
		\begin{align*}
			3 + \sqrt{2} &= \frac{a}{b}\\
			\intertext{Ce qui équivaut successivement à:}
			3 + \sqrt{2} {\color{orange}-3} &= \frac{a}{b} {\color{orange}-3} \\
			\sqrt{2} &= \frac{a}{b} -3\\
			\sqrt{2} &= \frac{a}{b} - \frac{3}{\color{orange}1}\\
			\sqrt{2} &= \frac{a}{b} - \frac{3{\color{orange}\times b}}{1{\color{orange} \times b}} \\
			\sqrt{2} &= \frac{a}{b} - \frac{3 b}{ b}\\
			\sqrt{2} &= \frac{a-3b}{b} 
		\end{align*}
		
		$a-3b$ étant un entier $\frac{a-3b}{b}$ est une fraction et donc $\sqrt{2}$ serait un rationnel.
		
		C'est impossible puisque nous avons déjà démontré que $\sqrt{2}$ est irrationnel.
		
		\begin{conclusion}
			
			Nous avons démontré par l'absurde que $3+ \sqrt{2}$ est irrationnel.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Démontrons en raisonnant par l'absurde que $\sqrt{\sqrt{2}}$ est un nombre irrationnel.}
		
		Supposons que $\sqrt{\sqrt{2}}$ est rationnel et vérifions que cela conduit à une contradiction.
		
		Dire que $\sqrt{ \sqrt{2}}$ est rationnel signifie qu'il existe un entier $a$ et un entier $b$ non nul tel que:
		
		\begin{align*}
			\sqrt{\sqrt{2}} &= \frac{a}{b}\\
			\intertext{Donc en élevant au carré nous obtiendrons successivement:}
			\left( \sqrt{\sqrt{2}} \right)^2 &= \left( \frac{a}{b} \right)^2\\
			\sqrt{2} &= \frac{a^2}{b^2}
		\end{align*}
		
		$a^2$ et $b^2$ étant des entiers $\frac{a^2}{b^2}$ est une fraction et donc $\sqrt{2}$ serait un rationnel.
		
		C'est impossible puisque nous avons déjà démontré que $\sqrt{2}$ est irrationnel.
		
		\begin{conclusion}
			
			Nous avons démontré par l'absurde que $\sqrt{\sqrt{2}}$ est irrationnel.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\subsection{Exercices.}

\begin{exercice}{}
	
	Une crèche dispose de $60$ dalles carrées en mousse. Le personnel souhaite les placer de façon à former un rectangle.
	
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les dimensions possibles de ce rectangle?
		
		\item Quel est celui qui a le plus grand périmètre?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{correction}
	
	\begin{exercicecorrection}
		
		\begin{enumerate}
			\item {\color{orange}Nous recherchons des rectangles dont l'aire vaut exactement $60$, dont les longueurs des côtés sont des entiers.}
			
			\medskip
			\objectif{Déterminons tous les diviseurs de $60$.}
			
			$60=2^2 \times 3 \times 5$.
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
				%Écarts entre entre racine et premier niveau
				\def\xA{2};
				%Nombre de nœuds du premiers niveau
				\def\noA{3};
				%Nombre de nœuds du deuxième niveau
				\def\noB{6};
				%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
				\def\noBe{2};
				%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
				\def\xB{2+\xA};
				\def\yB{1};
				%Nombre de nœuds du troisième niveau
				\def\noC{12};
				%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
				\def\noCe{2};
				%Écarts entre nœuds du troisième niveau
				\def\xC{2+\xB};
				\def\yC{1};
				%Racine
				\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
				%Position des nœuds du premier niveau
				%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
				\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation in {
					nA1/A1/1/$2^0$/,
					nA2/A2/2/$2^1$/,
					nA3/A3/3/$2^2$/
				}{
					\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
					\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
					\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, above] {\ponderation};
				};
				%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
				\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation in {
					nA1/nB1/B1/1/$3^0$/,
					nA1/nB2/B2/2/$3^1$/,
					nA2/nB3/B3/3/$3^0$/,
					nA2/nB4/B4/4/$3^1$/,
					nA3/nB5/B5/5/$3^0$/,
					nA3/nB6/B6/6/$3^1$/
				}{
					\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
					\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
					\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, above] {\ponderation};
				};
				
				%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
				\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation in {
					nB1/nC1/C1/1/$5^0$/,
					nB1/nC2/C2/2/$5^0$/,
					nB2/nC3/C3/3/$5^1$/,
					nB2/nC4/C4/4/$5^1$/,
					nB3/nC5/C5/5/$5^0$/,
					nB3/nC6/C6/6/$5^0$/,
					nB4/nC7/C7/7/$5^1$/,
					nB4/nC8/C8/8/$5^1$/,
					nB5/nC9/C9/9/$5^0$/,
					nB5/nC10/C10/10/$5^0$/,
					nB6/nC11/C11/11/$5^1$/,
					nB6/nC12/C12/12/$5^1$/
				}{
					\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
					\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
					\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, above] {\ponderation};
				};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{exercicecorrection}
	
\end{correction}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		%2ieme_lelivrescolaire_fr_2nde_2019 page 29 exercice 126
	\end{notabene}
	
	Lors d'un tournoi il y a $80$ hommes et $60$ femmes inscrits. L'organisation veut constituer un maximum d'équipes mixtes contenant toutes le même nombre d'hommes que de femmes. Combien d'équipes peuvent-elles être constituées?
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		%%2ieme_bordas_indice_2de_maths_2019 page 67 exercice 68
	\end{notabene}
	
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les valeurs possibles du reste de la division euclidienne d'un entier par $3$?
		\item Justifier que tout entier naturel $a$ peut s'écrire, soit $a=3q$, soit $a=3q+1$, soit $a=3q+2$, avec $q$ un entier naturel.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		%2ieme_bordas_indice_2de_maths_2019 page 55
	\end{notabene}
	
	Déterminez un nombre entier compris entre $600$ et $800$, qui est pair, divisible par $11$ et multiple de $3$ et de $5$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		%2ieme_bordas_indice_2de_maths_2019 page 55
	\end{notabene}
	
	Montrez que le produit de deux nombres consécutifs est un nombre pair.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		%2ieme_bordas_indice_2de_maths_2019 page 65 exercice 28
	\end{notabene}
	
	Soient les nombres $a=4p$ et $b=5q$ avec $p$ et $q$ des entiers.
	
	\begin{enumerate}
		\item Justifiez que $a$ est pair?
		\item $b$ peut-il être pair?
		\item Soit $c=ab$. Montrer que $c$ est un multiple de $10$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	En utilisant la méthode du crible d'Ératosthène nous allons retrouver tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à $100$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Écrivez la liste des entiers naturels de $2$ jusqu'à $100$.
		
		\item Hormis $2$ aucun multiple de $2$ n'est un nombre premier. Entourez $2$ et barrez ses autres multiples.
		
		\item Hormis $3$ aucun multiple de $3$ n'est un nombre premier. Entourez $3$ et barrez ses autres multiples.
		
		\item $4$ étant barré entourez $5$. Hormis $5$ aucun multiple de $5$ n'est un nombre premier. Barrez les multiples $5$ autres que $5$.
		
		\item Poursuivez ainsi jusqu'à ce que tous les nombres soient barrés ou entourés.
		
		\item Donnez la liste des nombres premiers.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme didier mathx seonde 2019 24 page 117
		
	\end{notabene}
	
	\begin{enumerate}
		\item On a mesuré une durée de $\np{92647}$ secondes.
		
		\begin{enumerate}
			\item Combien d'heures entières sont contenues dans $\np{92647}$ secondes? Combien de secondes reste-t-il à exprimer en minutes et secondes?
			
			\item Écrire $\np{92647}$ secondes en heures, minutes, secondes.
			
		\end{enumerate}
		
		\item Écrire en Python un algorithme qui convertit un nombre $n$ de secondes en heures, minutes et secondes.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 65 page 53 de manuel Déclic: carré parfait et diviseurs.
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 76 page 54 de manuel Déclic: parité et calculs.
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		%2ieme_bordas_indice_2de_maths_2019 page 55
	\end{notabene}
	
	\begin{enumerate}
		\item Soit $n$ un entier naturel non nul et $p=(n+1)(n+3)$. Montrez que $p$ n'est pas premier.
		
		\item Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égale à $2$ et $q=(n-1)(n^2+7)$. Pour quelles valeurs de $n$  l'entier $q$ est-il premier?
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Exercice 55 page 51 du manuel Déclic.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Discutez de la véracité des propositions suivantes.
	
	\begin{enumerate}
		\item Tout nombre entier strictement positif a un nombre pair de diviseurs.
		
		\item Il y a plus de nombres premiers entre $20$ et $30$ qu'entre $40$ et $50$.
		
		\item Un diviseur d'un nombre premier et forcément premier.
		
		\item Si le carré d'un entier $a$ est un diviseur de l'entier naturel $n$, alors $a$ est un diviseur de $\sqrt{n}$.
		
		\item Si l'entier $a$ est un diviseur de l'entier $b$ et s'il est aussi un diviseur de l'entier $c$, alors $a^2$ est un diviseur du produit $bc$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Discutez de la véracité des propositions suivantes.
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Si $a$ est un diviseur $n$ alors il existe un diviseur $b$ de $n$ tel que $ab=n$. Un entier a donc toujours un nombre pair de diviseurs. %$2^2 \times 3^2$
		
		\item Puisque $25=3 \times 7+ 4$ le quotient de la division euclidienne de $25$ par $3$ est $7$.
		
		\item Si un entier naturel $n$ est premier, alors $n+1$ n'est pas premier.
		
		\item Si un entier naturel $n$ n'est pas premier, alors $n+1$ est premier.
		
		\item Le quotient de deux nombres rationnels non nul est un nombre rationnel.
		
		\item La somme de deux nombre irrationnels est un nombre irrationnel.
		
		\item Le produit de deux nombres irrationnels est un nombre irrationnel.
		
		\item Le carré d'un nombre irrationnel est un nombre irrationnel.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		%2ieme_didier_math_x_2de_2019 exercice 32 page 118.
		
	\end{notabene}
	
	Un distributeur de billets délivre des billets de $10\ \text{\euro}$, $20\ \text{\euro}$ et $50\ \text{\euro}$. Nous souhaitons le programmer pour qu'il délivre le moins de billets possible à chaque demande d'un utilisateur.
	
	\begin{enumerate}
		\item Un utilisateur veut retirer $720\ \text{\euro}$. Quels billets le distributeur devra-t-il délivrer? Et s'il demande $460\ \text{\euro}$?
		
		\item Expliquez en langage naturel comment déterminer le nombre de billets de chaque type pour une demande d'un montant $S$ en \text{\euro}, où $S$ est un multiple de $10$ non nul.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		%2ieme_didier_math_x_2de_2019 exercice 54 page 121.
		
	\end{notabene}
	
	La figure ci-dessous est formée de trois carrés de côtés respectifs $3\ \mathrm{cm}$, $4\ \mathrm{cm}$ et $5\ \mathrm{cm}$.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (3,0);
		\coordinate (C) at (7,0);
		\coordinate (D) at (12,0);
		\coordinate (F) at (12,5);
		\coordinate (P) at (3,{5*3/12});
		\coordinate (Q) at (7,{5*7/12});
		\fill[gray!40] (B)--(C)--(Q)--(P)--(B);
		\draw (0,3)--(A)--(B)--(C)--(D)--(F);
		\draw (F)--(7,5) node[midway,above]{$5$};
		\draw (3,4)--(7,4) node[midway,above]{$4$};
		\draw (3,3)--(0,3) node[midway,above]{$3$};
		\draw (3,0)--(3,4);
		\draw (7,0)--(7,5);
		\draw (A)--(F);
		\draw (P) node[above left]{$P$};
		\draw (Q) node[above right]{$Q$};
		\draw (A) node[below]{$A$};
		\draw (B) node[below]{$B$};
		\draw (C) node[below]{$C$};
		\draw (D) node[below]{$D$};
		\draw (F) node[above right]{$F$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Nous admettrons que l'aire de la partie colorée est $\mathscr{A}= \frac{1}{2} \left( BP+CQ \right) \times BC$ (aire d'un trapèze).
	
	Les résultats seront donnés sous forme irréductible.
	
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide des triangles $ACQ$ et $ADF$ calculez $CQ$.
		
		\item À l'aide des triangles $ABP$ et $ACQ$ calculez $BP$.
		
		\item Calculez l'aire $\mathscr{A}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item \objectif{Calculons $CQ$.}
		
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
			\item {\color{orange}Configuration de Thalès.}
			
			Les points $A$, $C$, $D$ d'une part et $A$, $Q$, $F$ d'autre part sont alignés dans cet ordre.
			
			\item {\color{orange}Hypothèse d'utilisation du théorème de Thalès.}
			
			Puisque les quadrilatères sont des carrés $(CQ) \parallel (DF)$
		\end{enumerate}
		
		Des deux points précédents nous déduisons d'après le théorème de Thalès que \[ \frac{CQ}{DF} = \frac{AC}{AD}. \]
		
		Nous en déduisons successivement:
		\begin{align*}
			\frac{CQ}{5} &= \frac{3+4}{3+4+5}\\
			\frac{CQ}{5} &= \frac{7}{12}\\
			\frac{CQ}{5} {\color{orange} \times 5} &= \frac{7}{12} {\color{orange} \times 5}\\
			CQ &= \frac{35}{12}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\displaystyle CQ = \frac{35}{12}\ \mathrm{cm}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item En procédant de même:
		
		\begin{conclusion}
			
			$\displaystyle BP= \frac{5}{4}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Calculons $\mathscr{A}$.}
		
		Il s'agit d'un trapèze donc
		
		\begin{align*}
			\mathscr{A} &= \frac{1}{2} (BP+CQ) \times BC\\
			&= \frac{1}{2} \left(\frac{5}{4}+ \frac{35}{12} \right) \times 4\\
			&= \frac{25}{3}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\displaystyle \mathscr{A}= \frac{25}{3}\ \mathrm{cm}^2$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		CEDIC mathématiques 6e page 70.
		
	\end{notabene}
	
	Un entier naturel de trois chiffres commence par $3$ et se termine par $4$. Le chiffre des dizaines est effacé: $3 \dots 4$.
	
	Peut-on trouver ce nombre si l'on sait qu'il est divisible par $9$? $3$? $4$? $2$? $5$?
	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	
	\begin{notabene}
		
		%2ieme_bordas_indice_2de_maths_2019 $\sqrt{3} page 79 exercice 214
		
	\end{notabene}
	
	Nous allons démontrer en raisonnant par l'absurde que $\sqrt{3}$ est un nombre irrationnel.
	
	Nous supposons donc que $\sqrt{3}$ est un nombre rationnel, c'est-à-dire qu'il s'écrit $\sqrt{3}=\frac{p}{q}$, avec $p$ et $q$ des entiers naturels premiers entre eux et $q$ non nuls.
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrez que $p^2=3qq^2$.
		
		\item Nous allons dans cette question démontrer que si $3$ est un diviseur de $p^2$ alors il est aussi diviseur de $p$. Pour cela nous en raisonnerons à nouveau par l'absurde.
		
		\begin{enumerate}
			\item Supposons que $3$ n'est pas un diviseur de $p$. Montrez qu'alors le nombre $p$ peut s'écrire, soit sous la forme $3k+1$ soit sous la forme $3k+2$, avec $k$ entier.
			
			\item Si $p=3k+1$ montrez que cela abouti à une contradiction.
			
			\item Faites de même si $p=3k+2$.
			
			\item Concluez.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Déduisez-en qu'il existe un entier naturel $a$ tel que $q^2=3a^2$.
			
			\item En utilisant le résultat de la question 2. montrez qu'alors $3$ est un diviseur de $q$.
			
			\item Concluez quand à l'irrationalité de $\sqrt{3}$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Un entier est appelé un carré parfait s'il est le carré d'un autre entier.
	
	Démontrez l'équivalence suivante pour tout entier naturel $n$: \og $\sqrt{n}$ est un entier si et seulement si $n$ est un carré parfait\fg{}.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	
	\begin{notabene}
		
		CEDIC mathématiques 6e page 58.
		
	\end{notabene}
	
	À la fin du trimestre le professeur fait des moyennes. Ses élèves avaient $12$ notes. Les moyennes sont inscrites sur le cahier de notes arrondies au $\frac{1}{2}$ point supérieur. le professeur ne veut pas faire de divisions (surtout s'il a beaucoup d'élèves) et il n'a pas de machine: il se fabrique alors une table de multiplication par $12$
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{c|c}
			\hline
			1 & 12 \\ \hline
			2 & 24 \\ \hline
			3 & 36 \\ \hline
			$\dots$ & $\dots$ \\ \hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
	Complète cette table.
	
	Dis comment le professeur peut faire pour trouver alors les moyennes de:
	\begin{itemize}
		\item France qui a $193$ points,
		\item Georges qui a $157$ points,
		\item Laurence qui a $106$ points,
		\item Lucien qui a $52$ points.
	\end{itemize}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		CEDIC mathématiques 6e page 58.
		
	\end{notabene}
	
	\includegraphics[scale=0.5]{2ieme_arithmetique_01_diviseur_multiple_premier_01_exercice_organigramme.png}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	
	\begin{notabene}
		
		CRPE 2018 sujet 1
		
	\end{notabene}
	
	\begin{sujet}
		
		Une voiture est filmée lors d'une prise de vue cinématographique. Elle est équipée de roues \textbf{à cinq rayons} ayant un diamètre total de $54\ \mathrm{cm}$. L'une de ces roues est représentée ci-dessous:
		
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		Calculer la circonférence de cette roue en $\mathrm{cm}$ (arrondie au millimètre).
		
		\item 
		
		La voiture roule à $110\ \mathrm{km}.\mathrm{h}^{-1}$.
		
		
		\begin{enumerate}
			\item 
			
			Calculer le nombre de tours par seconde que fait la roue (au tour près).
			
			\item 
			
			La caméra utilisée a une vitesse de défilement de $24$ images par seconde.
			
			Combien de tours aura fait le pneu de la voiture entre deux images?
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		À quelle vitesse, en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$, devrait rouler la voiture pour que, regardant le film, on ait l'impression que les roues ne tournent pas?
		
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{correction}
	
	\begin{exercicecorrection}
		
		\begin{enumerate}
			\item 
			
			\objectif{Calculons la circonférence, $c$, de la roue.}
			
			Si $r$ désigne le rayon de la roue et $d$ son diamètre alors
			
			\begin{align*}
				c &= 2\pi r\\
				&= 2 \pi \frac{d}{2}\\
				&= 2 \pi \times \frac{54}{2}\ \mathrm{cm}\\
				&= 54 \pi\ \mathrm{cm}\\
				&\approx 169,64\ \mathrm{cm}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				La circonférence de la roue est de $169,4\ \mathrm{cm}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				La voiture roule à $110\ \mathrm{km}$.
				
			\end{sujet}
			
			\begin{enumerate}
				\item 
				
				\objectif{Déterminons le nombre de tour par seconde.}
				
				Exprimons la vitesse, $v$ du véhicule, en mètre par seconde.
				
				\begin{align*}
					v &= 110\ \mathrm{km}/\mathrm{h}\\
					&= 110\ \frac{1\ \mathrm{km}}{1\ \mathrm{h}}\\
					&= 110\ \frac{1000\ \mathrm{m}}{60\times 60\ \mathrm{s}}\\
					&= 110\cdot \frac{1000}{60\times 60}\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\\
					&= \frac{275}{9}\ \mathrm{m}/\mathrm{s}\\
					&\approx 30,556 \mathrm{m}/\mathrm{s}
				\end{align*}
				
				Par conséquent en $1\ \mathrm{s}$ le nombre de tours effectué par la roue est
				
				\begin{align*}
					\frac{v}{c} &\approx \frac{30,556\ \mathrm{m}/\mathrm{s}}{169,4\ \mathrm{cm}}\\
					&\approx \frac{30,556\ \mathrm{m}/\mathrm{s}}{\color{orange}169,4\times 1\ \mathrm{cm}}\\
					&\approx \frac{30,556\ \mathrm{m}/\mathrm{s}}{\color{orange}169,4\times 0,01\ \mathrm{m}}\\
					&\approx \frac{30,556}{169,4 \times 0,01}\ \frac{\mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-1}}{\mathrm{m}}\\
					&\approx 18,037\ \mathrm{s}^{-1}
				\end{align*}
				
				{\color{orange} Nous pourrions aussi bien utiliser l'unité de fréquence le hertz: $\mathrm{Hz}$.}
				
				\begin{conclusion}
					
					La roue fait $18$ tours par seconde.
					
				\end{conclusion}
				
				\item 
				
				\objectif{Déterminons le nombre de tours de roue,$N_t$, par image.}
				
				\begin{align*}
					N_t &= \frac{18}{24}\\
					&= \frac{3}{4}\\
					&= 0,75
				\end{align*}
				
				\begin{conclusion}
					
					Entre deux images le pneu aura fait les $\frac{3}{4}$ d'un tour.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{enumerate}
			
			\item 
			
			\objectif{Déterminons, par exemple, la vitesse $v_1$ pour qu'entre deux images la roue ait fait un tour.}
			
			Autrement dit la roue fait $24$ tours par seconde, ce qui correspond à une vitesse de:
			
			\begin{align*}
				v_1 &= \frac{24 \times c}{1\ \mathrm{s}}\\
				&\approx \frac{24 \times 169,4\ \mathrm{cm}}{1\ \mathrm{s}}\\
				&\approx \frac{24\times 169,4}{1} \ \frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}\\
				&\approx 4065,6\ \frac{1\ \mathrm{cm}}{1\ \mathrm{s}}\\
				&\approx 4065,6\ \frac{\numprint{0,00001}\ \mathrm{km}}{\frac{1}{60\times 60}\ \mathrm{h}}\\
				&\approx 4065,6 \times 60\times 60 \times \numprint{0,00001}\ \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\\
				&\approx \numprint{146,3616}\ \mathrm{km}/\mathrm{h}
			\end{align*}
			
			Du fait de la forme de la roue qui a $5$ rayons il suffit que la roue effectue de un quatre cinquième d'un tour pour que nous ayons l'impression d'immobilité.
			
			Ainsi les vitesses
			\begin{align*}
				v_{\frac{1}{5}} &\approx 29,27\ \mathrm{km}/\mathrm{h}\\
				v_{\frac{2}{5}} &\approx 58,54\ \mathrm{km}/\mathrm{h}\\
				v_{\frac{3}{5}} &\approx 87,82\ \mathrm{km}/\mathrm{h}\\
				v_{\frac{4}{5}} &\approx 117,01\ \mathrm{km}/\mathrm{h}
			\end{align*}
			
			conviennent également (en se limitant aux vitesses autorisées par le code de la route).
			
			\begin{conclusion}
				
				Pour avoir l'impression que les roues ne tournent pas il faudrait que le véhicule roule à une vitesse multiple de $29,27\ \mathrm{km}/\mathrm{h}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
	\end{exercicecorrection}
\end{correction}

\begin{exercice}{}
	
	Dites si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses en justifiant.
	
	\begin{enumerate}
		\item Affirmation: \og $117$ est un nombre premier. \fg{}
		
		\item Affirmation: \og Pour n'importe quel nombre entier $n$, $(n+2)^2-(n-2)^2$ est un multiple de $8$.\fg{}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{correction}
	
	\begin{exercicecorrection}
		
		
		\begin{enumerate}
			\item
			
			$1+1+7=9$ et $9$ est divisible par $3$, donc $117$ est divisible par $3$.
			
			\begin{conclusion}
				
				L' affirmation 1 est fausse.
				
			\end{conclusion}
			
			\item 
			
			\begin{align*}
				(n+2)^2- (n-2)^2 &= [ (n+2)-(n-2) ] \times [(n+2)+(n-2)]\\
				&= 4[2n]\\
				&= 8n
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				L'affirmation 2.(a) est vraie.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{exercicecorrection}
	
\end{correction}

\begin{exercice}
	
	Démontrez que $\frac{1}{3}$ n'est pas un nombre décimal en raisonnant par l'absurde.
	
	\emph{Indication. Dire qu'une nombre est décimal cela signifie que nous pouvons l'écrire $\frac{a}{10^n}$ avec $a \in \mathbb{Z}$ et $n \in \mathbb{N}$.}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Reprendre l'exercice qui détalle des exemples avant de passer au ca général. %exercice 51 page 120 du 2ieme_didier_math_x_2de_2019
		
	\end{notabene}
	
	Démontrez que l'ensemble des nombres premiers est infini en raisonnant par l'absurde. 
	
	\emph{Indication. Considérez le produit de tous les nombres premiers augmenté de $1$.}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Écriture décimale périodique et rationalité.
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme hachette Barbazo 2019 88 page 45
		
	\end{notabene}
	
	\begin{enumerate}
		\item Écriture décimale.
		
		Le nombre $\frac{1}{3}=0,333 \dots$ n'est pas un nombre décimal mais on peut écrire son développement décimal illimité sous la forme $\frac{1}{3}=0,\overline{3}$.
		
		\begin{enumerate}
			\item Posez la division euclidienne de $14$ par $11$ et de $\np{1427}$ par $333$.
			\item Qu'observez-vous?
			\item Écrivez le développement décimal illimité de chacun des quotients $\frac{14}{11}$ et $\frac{\np{1427}}{333}$.
			\item 
			
			\begin{enumerate}
				\item Quelles valeurs peuvent prendre les restes dans une division par $11$?
				
				Comment alors pouvez-vous expliquer cette périodicité dans la partie décimale de $\frac{\np{14}}{11}$?
				
				\item Quelles valeurs peuvent prendre les restes dans une division par $333$?
				
				Comment alors pouvez-vous expliquer cette périodicité dans la partie décimale de $\frac{\np{1427}}{333}$?
				
				\item De manière plus générale, que pouvez-vous dire du développement décimal d'un nombre rationnel?
				
			\end{enumerate}
			
		\end{enumerate}
		
		\item Nous savons à partir de l'écriture fractionnaire d'un nombre rationnel déterminer son développement décimal. Dans cette partie, nous chercherons sur des exemples, une écriture fractionnaire d'un nombre rationnel écrit sous la forme d'un développement décimal périodique.
		
		\begin{enumerate}
			\item Considérons le nombre $x=1,\overline{8}$.
			
			Calculez $10x-x$ et concluez.
			
			\item Adaptez la méthode afin de déterminer une écriture fractionnaire de $y=1,\overline{58}$ puis de $z=4,23\overline{569}$.
			
			\item Montrez que $0,\overline{9}=1$.
			
			Le résultat de cette question est surprenant: le développement décimal illimité de certains nombres n'est pas forcément unique.
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Algorithme d'Euclide pour déterminer le P.G.C.D. de deux entiers naturels.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	
	\begin{notabene}
		%%2ieme_bordas_indice_2de_maths_2019 page 66 exo 63, 64 et 65
	\end{notabene}
	
	Écriture décimale et divisibilité
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		%2ieme_bordas_indice_2de_maths_2019 $\sqrt{3} page 79 exercice 214
		
	\end{notabene}
	
	Polynôme d'Euler.
	
\end{exercice}


\end{document}


\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}