%\documentclass{book} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{book} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hmargin={0.75cm,1cm},vmargin={0.5cm,1.25cm},twoside}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 
\settasks{
	% the next two should be set to the same value so labels are aligned to the
	% left
	%label-width = 1em ,
	%item-indent = 1em ,
	%before-skip = 0pt%-\parskip , % undo paragraph skip
	%after-skip =0pt% -\parskip , % undo paragraph skip
	after-item-skip = -2pt%-\parskip % undo paragraph skip
}

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown} \footnotesize}{}

\newenvironment{sujet}{}{}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \noindent Exemples.\vspace{-0.1cm}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\noindent {\color{BlueViolet}Remarques.\vspace{-0.1cm}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{Gray}}{}


%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} {\noindent\color{Black}EXERCICE \theExercice.} \addtocounter{Exercice}{1} \color{Black}}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\noindent\color{Brown}Exercice \theExercicecorrection. \footnotesize}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\textbf{\color{Orange}Définition \theDefinition.} \addtocounter{Definition}{1} \color{Orange} }{}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}{\textbf{\color{purple}Théorème \theTheoreme.}\addtocounter{Theoreme}{1}\color{purple}}{}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}{\textbf{\color{purple}Proposition \theProposition.} \addtocounter{Proposition}{1}\color{purple}}{}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\noindent{\textbf{\color{PineGreen} Démonstration}.} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{PineGreen}}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%Un bug apparu en faisant la mise à jour de pi: les listes tasks ne se colorie plus et restent noir malgrer les commande. La solution est ce truc:
\ExplSyntaxOn\makeatletter
%patch needed to get a around a problem in the l3-drivers
\AtBeginDocument{
 \cs_set_protected_nopar:Npn \color_ensure_current:
   {\set@color}
 }
\ExplSyntaxOff\makeatother 

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{}% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\footnotesize \thepage ]{\footnotesize \thepage }
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour abrege
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}\exclure{culturegenerale}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene}

%Pour les exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour les correction d'exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques}  \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\small

\subsection*{Forme développée.}

\subsubsection{Identifier une fonction polynomiale de degré deux.}

\begin{definition}
	On appelle \emph{\color{purple}fonction polynomiale de degré 2} toute fonction $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ pour laquelle il existe des réels $a$, $b$ et $c$ ($a$ étant non nul) tels que: $\forall x\in\mathbb{R},\ f(x)={\color{purple}ax^2+bx+c}$.
\end{definition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Notation: dans la suite de cette leçon $a$, $b$ et $c$ désigneront trois nombres réels avec $a\ne 0$.
		\item La présentation de l'expression algébrique donnée dans la définition d'une fonction polynomiale de degré 2 est appelée la \emph{\color{purple} forme développée}. Elle correspond à l'expression développée, ordonnée et réduite du polynôme.
		\item Les nombres $a$, $b$ et $c$ sont appelés des \emph{\color{purple}coefficients}.
		\item $a$ est appelé le \emph{\color{purple} coefficient dominant}.
		\item $c$ est appelé le \emph{\color{purple}terme constant}. {\color{orange}Il joue le même rôle que l'ordonnée à l'origine des fonctions affines.}
		\item Les expressions $aX^2$, $bX$ et $c$ sont appelées des monômes.
		\item L'écriture sous forme développée (réduite et ordonnée suivant les puissances décroissantes de $x$) est unique: c'est le principe d'identification des coefficients. {\color{orange}Autrement dit deux polynômes sont égaux si et seulement si ils ont la même expression développée, réduite et ordonnée.}		
		\begin{notabene}			
			On utilisera ce principe pour trouver d'autre écriture des fonctions polynomiales de degré 2. Faire un exemple de deux fonctions polynomiales degré 2 dont on identifie les coefficients terme à terme. Cela permet notamment de trouver des formules entre les coefficients dans les différentes formules.	
		\end{notabene}		
		\item {\color{orange}Nous utiliserons la forme développée pour identifier la fonction trinôme.}
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exercice}	
	Montrez que les fonctions suivantes (sauf une) sont bien des fonctions polynomiales de degré 2.
	\begin{tasks}(2)
		\task $f(x)= 3x^2-2x+4$.
		\task $h(x)=2x+13$.
		\task $k(x)=x^2$.		
		\task $m(x)=3(x-1)^2-2$.
		\task $g(x)= 8x-7-3x^2$.
		\task $j(x)=8x^2-3x+5x+2x^2-7$.
		\task $l(x)=-2(x-1)(x+3)$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{tasks}(1)
		\task $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)= 3x^2-2x+4$ donc $f$ est polynomiale de degré 2 avec $a=3$, $b=-2$ et $c=4$.
		\task $h(x)=2x+13$ n'est pas une fonction polynomiale de degré 2 car $a=0$. {\color{orange}Les fonctions affines ne sont pas des fonctions polynomiales du second degré.}
		\task $k(x)=x^2$ est une fonction polynomiale de degré 2 avec $a=1$, $b=0$ et $c=0$.
		\task $m(x)=3(x-1)^2-2$ qui est bien définie sur $\mathbb{R}$ n'est, a priori, pas une fonction polynomiale de degré 2.
		
		$m$ est une fonction polynomiale de degré 2 si et seulement si elle admet une écriture sous forme développée, réduite, avec un coefficient dominant non nul. 
		
		\objectif{Déterminons la forme, développée, réduite et ordonnée de $m$.}
		
		Soit $x$ un quelconque réel.
		\begin{align*}
			m(x) &= 3(x-1)^2-2\\
			&= 3(x^2-2x+1)-2\\
			&= 3x^2-6x+1\\
		\end{align*}	
		\begin{conclusion}	
			$\forall x\in \mathbb{R},\ m(x)=3x^2-6x+1$.	
		\end{conclusion}
		
		Donc $m$ est une fonction polynomiale de degré 2 (forme développée avec $a=3$, $b=-6$, $c=1$ et $a\ne0$).
		\task $g(x)= 8x-7-3x^2$ est une fonction polynomiale de degré 2 avec $a=-3$, $b=8$ et $c=-7$. {\color{orange}Il y a bien les trois monômes mais pas dans l'ordre.}
		\task {\color{orange} $j(x)=8x^2-3x+5x+2x^2-7$ n'est \emph{a priori} pas une fonction polynomiale de degré 2 mais si l'on réduit cette expression (on regroupe les termes de même puissance que $x$) alors on voit que c'est le cas.} $j$ est polynomiale de degré 2 avec $a=10$, $b=2$ et $c=-7$.
		\task {\color{orange}$l(x)=-2(x-1)(x+3)$ n'est \emph{a priori} pas une fonction polynomiale de degré 2. Cependant en développant, réduisant, puis ordonnant:} $k$ est une fonction polynomiale de degré 2 avec $a=-2$, $b=-4$ et $c=6$.
	\end{tasks}
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}	
	Identifiez parmi les fonctions définies par les expressions suivantes, quelque soit $x$ dans $\mathbb{R}$, les fonctions polynomiales de degré deux. Vous démontrerez que c'en sont effectivement.
	\begin{tasks}(2)
		\task $f_1(x)=3x^2-4x+1$
		\task $f_2(x)=x^2-2x+3$
		\task $f_3(x)=-x^2+4$
		\task $f_4(x)=x(3x-1)$
		\task $f_5(x)=2x-4$
		\task $f_6(x)=\frac{x^2}{2}+3x-1$
		\task $f_7(x)=2(x-1)^2+1$
		\task $f_8(x)=\frac{2}{x^2}4x-5$
		\task $f_9(x)=2x^2-3x-6x+\np{8680}$
		\task $f_{10}(x)=2x^2-6x^4+8$
		\task $f_{11}(x)=2x^2-6\sqrt{x}+3$
		\task $f_{12}(x)=(x+2)(x-6)$
		\task $f_{13}(x)=(3x+4)^2-(2x-1)^2$
		\task $f_{14}(x)=2(x-4)^2+12$
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{tasks}(2)
		\task Oui. $a=3$, $b=-4$ et $c=1$.
		\task Oui. $a=1$, $b=-2$ et $c=3$.
		\task Oui. $a=-1$, $b=0$ et $c=4$.
		\task Oui. $a=3$, $b=-1$ et $c=0$.
		\task Non. Fonction affine: $a=2$, $b=-4$.
		\task Oui. $a=\frac{1}{2}$, $b=3$ et $c=-1$.
		\task Oui. $a=2$, $b=-4$ et $c=3$.
		\task Non. Homographie.
	\end{tasks}
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Courbe représentative.}

\begin{lecon}
	Pour pouvoir décrire la courbe représentative de la fonction polynomiale de degré deux nous utiliserons le vocabulaire suivant.
\end{lecon}

\begin{definition}
	La courbe représentative d'une fonction polynomiale de degré deux est appelée une \emph{\color{purple}parabole}.
	
	Si le coefficient dominant $a$ est strictement positif ($a>0$) alors nous dirons que la \emph{\color{purple}parabole est orientée vers le haut}.
	
	Si le coefficient dominant $a$ est strictement négatif ($a<0$) alors nous dirons que la \emph{\color{purple}parabole est orientée vers le bas}.
\end{definition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item {\color{orange}Nous retiendrons que le coefficient dominant $a$ indique l'orientation de la parabole.}
		\item Autrement dit à l'infini la fonction prend le signe de son coefficient dominant. Ou encore la parabole est orientée vers le haut si les branches se prolongent à l'infini vers le haut.
		\item Il y a de nombreux exemples de modélisation avec la parabole en physique: voir \href{http://www.mathcurve.com/courbes2d/parabole/parabole.shtml}{ici} ou \href{http://www.mathcurve.com/surfaces/paraboloidrevolution/paraboloidrevolution.shtml}{ici}.
		\item Le point le plus haut ou le plus bas de la parabole est appelé \emph{\color{purple}le sommet} de la parabole.
		\item La parabole présente un axe de symétrie vertical passant par son sommet (nous y reviendrons en étudiant les variations de la fonction).
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\subsection*{Forme canonique.}

\subsubsection{Trouver la forme canonique.}

\begin{exercice}
	\emph{Recopiez en complétant par des nombres le raisonnement suivant:}
	
	Si $f$ désigne la fonction polynomiale de degré deux définie par $f(x)=3x^2-12x+22$ pour tout $x\in\mathbb{R}$, alors en essayant de faire apparaître une identité remarquable nous obtenons successivement	
	\begin{align*}
	f(x) &= 3(x^2-\dots x)+22\\
	&= 3(x^2-2\times x \times \dots)+22\\
	&= 3(x^2-2\times x \times \dots +2^2 -\dots)+22\\
	&= 3(x^2-2\times x \times \dots +2^2)+3 \times \dots+22\\
	&=3(x-2)^2+\dots
	\end{align*}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{align*}
		f(x) &= 3(x^2-4x)+22\\
		&= 3(x^2-2\times x \times 2)+22\\
		&= 3(x^2-2\times x \times 2 +2^2 -2^2)+22\\
		&= 3(x^2-2\times x \times 2 +2^2)+3 \times (-2^2)+22\\
		&=3(x-2)^2+10
	\end{align*}	
	{\color{orange}Cette démarche est celle employée pour déterminer la forme canonique (voir ci-dessous) à partir de la forme développée. Elle est à connaître pour les élèves qui souhaitent poursuivre en filière scientifique.}
\end{exercicecorrection}

\begin{proposition}
	Soit $f:\left\{ \begin{array}{rcl}
	\mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}\\
	 x & \mapsto & ax^2+bx+c\\
	\end{array} \right.$ une fonction polynomiale de degré deux. Il est toujours possible de trouver des nombres réels $\alpha$ et $\beta$ tels que pour tout $x\in\mathbb{R}$: $f(x)={\color{purple}a(x-\alpha)^2+\beta}$.
\end{proposition}

\begin{preuve}
	Démonstration à la Gauss: il suffit de choisir $\alpha =\frac{-b}{2a}$ et $\beta =c-\frac{b^2}{2a}$ et de vérifier que cela fonctionne en substituant.
	
	Démonstration plus naturelle: on part de la forme développée et on essaie de factoriser en faisant apparaître une identité remarquable.
	\begin{align*}
		f(x) &= ax^2+bx+c\\
		&= a\left( x^2+\frac{b}{a}x \right) +c\\
		&= a\left[ x^2+2\times x \times  \left( \frac{1}{2}\times \frac{b}{a} \right) \right]+c\\
		\intertext{Ici on truande pour faire apparaître une identité remarquable en ajoutant et en soustrayant la même quantité:}
		f(x) &= a\left[ x^2+2\times x \times \left( \frac{b}{2a}\right) +\left( \frac{b}{2a}\right) ^2 -\left( \frac{b}{2a}\right) ^2\right]+c\\
		&= a\left[ x^2+2\times x \times  \left( \frac{b}{2a}\right) +\left( \frac{b}{2a}\right) ^2 \right]-a\left( \frac{b}{2a}\right) ^2+c\\
		&= a\left[ x^2+2\times x \times \left( \frac{b}{2a}\right) +\left( \frac{b}{2a}\right) ^2 \right]-a\left( \frac{b}{2a}\right) ^2+c\\
		&= a\left[ x+ \frac{b}{2a}\right]^2- \frac{b^2}{4a}+c\\
		&= a\left( x- \frac{-b}{2a}\right)^2- \frac{b^2}{4a}+c\\
		&= a(x-\alpha )^2+\beta	
	\end{align*}
	avec $\alpha =\frac{-b}{2a}$ et $\beta =c-\frac{b^2}{4a}$.
\end{preuve}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Cette expression algébrique d'une fonction polynomiale de degré 2 est appelée la \emph{\color{purple} forme canonique}.
		\item La réciproque de cette proposition (la forme canonique est l'expression d'une fonction polynomiale de degré 2) est immédiate en développant. Elle permet d'ailleurs de trouver les valeurs de $a$, $b$ et $c$ en fonction de $\alpha$ et $\beta$.
		
		\objectif{Développons, réduisons et ordonnons la forme canonique.}		
		\begin{align*}
			a(x-\alpha)^2+\beta &= a[x^2-2\times x \times \alpha +\alpha ^2 ]+\beta\\
			&= ax^2-2a\alpha x+a\alpha ^2+\beta\\
			&= ax^2+(-2a\alpha)x+(a\alpha^2+\beta)
		\end{align*}		
		\begin{conclusion}		
			La forme canonique est une fonction polynomiale de degré deux.		
		\end{conclusion}
		
		Dorénavant lorsque vous rencontrerez la forme canonique d'un trinôme vous pourrez affirmer sans démonstration qu'il s'agit d'une fonction polynomiale de degré 2.
		\item La formule $\color{purple}\alpha =-\frac{b}{2a}$ est à connaître car très pratique dans les exercices (et $\color{purple}\beta =f(\alpha )$). $f(\alpha)$ se calcule en utilisant la forme développée de $f$.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exercice}
	Donnez les formes canoniques de la fonction polynomiale $f$ définie sur $\mathbb{R}$ dans les cas suivants en procédant, si nécessaire, à une factorisation. Puis précisez les valeurs de $a$, $\alpha$ et $\beta$.
	\begin{tasks}(3)
		\task $f(x)=2x^2-12x+19$
		\task $f(x)= x^2+1$
		\task $f(x)= x^2-2x+1$
		\task $f(x)=-7x^2-14x+3$
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{tasks}(1)
		\task \objectif{Écrivons $f$ sous forme canonique.}
		\begin{align*}
			f(x)&=2x^2-12x+19\\
			&= 2(x^2-6x)+19\\
			&= 2(x^2-2\times x \times 3)+19\\
			&= 2(x^2-2\times x \times 3 +3^2 -3^2)+19\\
			&= 2(x^2-2 \times x \times 3 +3^2)+2 \times (-3^2)+19\\
			&= 2(x-3)^2+1
		\end{align*}
		\begin{conclusion}
			$a=2$, $\alpha=3$ et $\beta=1$.
		\end{conclusion}	
		\task \objectif{Écrivons $f$ sous forme canonique.}
		\begin{align*}
			f(x)&= x^2+1\\
			&= 1(x-0)^2+1
		\end{align*}	
		{\color{orange}Quand $b=0$ le trinôme est déjà sous forme factorisée.}
		
		\begin{conclusion}
			$a=1$, $\alpha=0$ et $\beta=1$.	
		\end{conclusion}	
		\task \objectif{Écrivons $f$ sous forme canonique.}
		\begin{align*}
			f(x)&= x^2-2x+1\\
			&= (x^2-2\times x \times 1)+1\\
			&= (x^2 -2\times x\times 1 +1^2-1^2)+1\\
			&= (x^2 -2\times x \times1 +1^2 ) -1^2+1\\
			&= (x-1)^2
		\end{align*}	
		{\color{orange}On pouvait aussi remarquer immédiatement une identité remarquable.}
		
		\begin{conclusion}	
			$a=1$, $\alpha=1$ et $\beta=0$.	
		\end{conclusion}		
		\task \objectif{Écrivons $f$ sous forme canonique.}	
		\begin{align*}
			f(x) &=-7x^2+4x+3\\
			&= -7(x^2+2x)+3\\
			&= -7(x^2+2\times x \times 1)+3\\
			&= -7(x^2 +2\times x \times 1 +1^2-1^2) +3\\
			&= -7(x^2+2\times x \times 1 +1^2 )-7\times(-1^2)+3\\
			&= -7(x+1)^2+10
		\end{align*}	
		\begin{conclusion}	
			$a=-7$, $\alpha=-1$ et $\beta=10$.	
		\end{conclusion}
	\end{tasks}
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Donnez la forme canonique de la fonction \[ \begin{array}{crcl}
	f: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\
	& x & \mapsto & -2x^2-4x-14 \end{array} \]
	en utilisant les formules pour $\alpha$ et $\beta$.
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	$f$ est une fonction polynomiale de degré 2 avec $a=-2$, $b=-4$ et $c=-14$ donc elle admet une forme canonique.
	
	\objectif{Déterminons les coefficients de la forme canonique.}
	
	$\alpha =\frac{-b}{2a}=\frac{-(-4)}{2\times(-2)}=-1$ et $\beta = f(\alpha)$.
	\begin{align*}
		\intertext{\color{orange}Pour calculer $f(\alpha)$ on utilise la forme développée}
		&{\color{orange}= -2\alpha^2-4\times \alpha-14}\\
		&{\color{orange}= -2\times (-1)^2-4\times (-1) -14}\\
		&= -12
	\end{align*}	
	D'où
	\begin{align*}
		f(x) &= a(x-\alpha)^2+\beta\\
		&= -2(x-(-1))^2+(-12)
	\end{align*}
	\begin{conclusion}
		Quelque soit $x$ réel $f(x)=-2(x+1)^2-12$.	
	\end{conclusion}
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}%\href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=64805&ordre=1}{Exercice 41 page 159 (Sesamath).} Déterminer la forme canonique.
	Mettre sous forme canonique chacune des fonctions polynômes du second degré ci-dessous.	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $f(x)=(3x-6)^2-1$
		\item $g(x)=(-2x-4)^2+5$
		\item $h(x)=(4x+6)^2+3$
		\item $l(x)=(-3x+7)^2-2$
		\item $m(x)=2(3x-12)^2+4$
		\item $n(x)=\dfrac{1}{4}(-2x+8)^2-7$
		\item $p(x)=-\dfrac{1}{3}(3x-5)^2+6$
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\subsubsection{Variations de fonctions polynomiales de degré deux.}

\begin{exercice}%\href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=64787&ordre=1}{Exercice 23 page 157 (Sesamath).} Démontrer le sens de variation d'une fonction polynomiale de degré 2.
	On étudie le sens de variation sur $]  -\infty ; 3 ]$ de la fonction $f$ définie par  $ f(x)=(x-3)^2-5$. Recopier et compléter en justifiant chaque étape.
	
	Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a<b\leqslant 3$.
	
	$a-3 \ldots b-3 \ldots 0$
	
	$(a-3)^2 \ldots (b-3)^2 $
	
	$(a-3)^2-5 \ldots (b-3)^2-5 $
	
	$f(a) \ldots f(b)$
	
	Donc $f$ est \ldots sur \ldots 
\end{exercice}

\begin{proposition}
	Soit $\begin{array}{crcl}
	f:&\mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}\\
	& x & \mapsto & a(x-\alpha )^2+\beta \\
	\end{array}$. Si $a>0$, alors le tableau de variation de $f$ est:
	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.8,espcl=1.6]{$x$/0.8, Variations \\ de $f$/1.6}{ $-\infty$ , $\alpha$ , $+\infty$ }
	\tkzTabVar{ +/ $+\infty$ ,-/ $\beta$, +/ $+\infty$}
	\end{tikzpicture}
	\end{center}
\end{proposition}

\begin{preuve}
	Montrons que $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty \ ;\ \alpha [$.\newline
	Soient $x<y$ deux nombres choisis dans $]-\infty \ ;\ \alpha [$.\newline
	Montrons donc que $f(y)-f(x)<0$.\newline
	Pour déterminer le signe d'une quantité il faut essayer de la factoriser.
	{\begin{align*}
	f(y)-f(x) &= a(y-\alpha)^2+\beta -[a(x-\alpha)^2+\beta ]\\
	&=a(y-\alpha)^2 -a(x-\alpha)^2\\
	\intertext{On factorise par $a$:}
	f(y)-f(x) &= a[(y-\alpha)^2 -(x-\alpha)^2]\\
	\intertext{On reconnaît une identité remarquable qui permet de factoriser:}
	f(y)-f(x) &= a\left( [(y-\alpha)-(x-\alpha)]\times [(y-\alpha)+(x-\alpha)] \right)\\
	&= a\left( [y-x]\times [y+x-2\alpha ] \right)\\
	\end{align*} }
	Par hypothèse $a>0$ et $y-x>0$ donc $f(y)-f(x)$ est du même signe que $y+x-2\alpha$. Or $x$ et $y$ appartiennent à $]-\infty \ ;\ \alpha [$, donc: $$\left\{\begin{array}{l} x-\alpha <0\\ y-\alpha <0\\ \end{array}\right.$$ et donc $x+y-2\alpha <0$.
	
	Ainsi $f(y)-f(x)<0$. Donc $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty \ ;\ \alpha [$.
\end{preuve}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item On déduit du tableau de variation que, si $a>0$, les fonctions polynomiales de degré 2 admettent un minimum absolu égal à $\beta$ qui est atteint pour $x=\alpha$.
		\item Si $a<0$, alors les variations de $f$ sont contraires.
		\item Les fonctions polynomiales de degré 2 admettent toujours un extremum. Si $a<0$, alors $\beta$ est un maximum.
		\item L'axe de symétrie de la parabole a pour équation $x=\alpha$.		
		\begin{notabene}		
		On a pas encore vu les équations de droites.		
		\end{notabene}		
		\item On peut retrouver la forme canonique à partir de la forme développée grâce aux formules: \[ \color{purple} \alpha =\frac{-b}{2a} \quad \text{et} \quad \beta =f(\alpha ) \]
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exercice}
	Donnez les tableaux de variation sur l'intervalle $I$ des fonctions définies par leur expression algébrique et précisez leurs éventuels extrema.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Pour tout $x$ de $I=\mathbb{R}$, $f(x)= -3(x+4)^2-7$.
		\item Quelque soit $x$ choisi dans $I=[-5\ ;\ 5]$, $g(x)=-8x+4x^2+7$.
		\item $I=] -\infty \ ;\ 4]$ et: $\forall x\in I,\ h(x)=(x+3)^2-(x-5)^2$.
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item \objectif{Déterminons le tableau de variation de $f$.}
		
		$f$ est une fonction polynomiale de degré 2 donnée sous forme canonique avec $a=-3$, $\alpha=-4$ et $\beta =-7$.
		
		Comme $a<0$ la parabole est orientée vers le bas.	
		\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.8 , espcl=1.6]{$x$/0.8, Variations \\ de $f$/1.6}{ $-\infty$ , $-4$ , $+\infty$ }
		\tkzTabVar{ -/  ,+/ $-7$, -/ }
		\end{tikzpicture}
		\end{center}		
		\begin{conclusion}		
			D'après le tableau $f$ admet un maximum absolu égale à $-7$ obtenu pour $x=-4$.		
		\end{conclusion}		
		\item La fonction $g$ est polynomiale de degré 2 donnée sous forme développée. 
		
		\objectif{Recherchons la forme canonique de $g$.}		
	
		\[ \alpha=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-8)}{2\times 4}=1 \]
		et
		\[\beta =g(\alpha )=g(1)=3 \]
		
		\begin{conclusion}		
			Donc pour tout $x\in\mathbb{R}$: $g(x)=4(x-1)^2+3$.		
		\end{conclusion}
		
		\objectif{Tableau de variation.}
		
		Comme $a>0$ la parabole est orientée vers le haut et		
		\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.8 , espcl=1.6]{$x$/0.8, Variations \\ de $g$/1.6}{ $-5$ , $1$ , $5$ }
		\tkzTabVar{ +/ $147$  ,-/ $3$, +/ $67$ }
		\end{tikzpicture}
		\end{center}		
		{\color{orange}car $g(-5)=147$ et $g(5)=67$.}
		
		D'après le tableau
		
		\begin{conclusion}		
			$g$ admet un minimum absolu égale à $-7$ obtenu pour $x=-4$ et $g$ admet un maximum absolu égale à $147$ qui est atteint pour $x=-5$.		
		\end{conclusion}		
		\item {\color{orange}$h$ n'est \emph{a priori} pas une fonction polynomiale de degré deux puisque n'est donnée ni sous forme développée ni sous forme canonique.} 
			
		\objectif{Identifions la nature de $h$.}
		
		En développant on obtient, pour tout $x\in I$: $h(x)= 16x+36$. 
		
		\begin{conclusion}		
			$h$ est une fonction affine.		
		\end{conclusion}
		
		\objectif{Tableau de variation.}
		
		 $h$ est une fonction affine dont le  coefficient directeur est $a=16>0$ donc:
		
		\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.8 , espcl=1.6]{$x$/0.8, Variations \\ de $h$/1.6}{ $-\infty$  , $4$ }
		\tkzTabVar{ -/   , +/ $100$ }
		\end{tikzpicture}
		\end{center}
		car $h(4)=100$.
		
		\begin{conclusion}		
			$h$ admet un maximum absolu égale à $100$ qui est atteint pour $x=4$.
		\end{conclusion}	
	\end{enumerate}
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}%\href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/index.php?ouvrage=ms2_2014&page_gauche=157}{Exercice 32 page 158 (Sesamath).} Associer tableau de variation et forme canonique.
	 Déterminer les variations de la fonction polynôme du second degré $h$ qui vérifie:
 	\begin{tasks}(3) 
		\task $h(3)=6$
		\task $h(6)=2$
		\task $h(9)=6$
	\end{tasks}
\end{exercice}

\subsubsection{Sommet de la parabole.}

\begin{exercice}
	Soit $f: \left\{ \begin{array}{rcl} \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}\\ x & \mapsto & -2(x+1)^2+7\end{array} \right.$
	
	Complétez le raisonnement suivant par des signes d'inégalités puis expliquez ce qui a été démontré.
	
	Soit $x\in\mathbb{R}$.
	
	\begin{align*}
	\intertext{Comme la fonction carrée est positive}
	(x+1)^2 &\dots 0\\
	\intertext{d'où}
	-2(x+1)^2 &\dots 0\\
	\intertext{Et donc}
	-2(x+1)^2 +7 &\dots 7\\
	\intertext{Autrement dit}
	f(x) &\dots 7
	\end{align*}	
	De plus $f(\dots)=7$ donc $f$ admet un $\dots$ égale à $\dots$ qui est atteint pour $x=\dots$.
\end{exercice}

\begin{proposition}
	Si $f$ est une fonction polynomiale de degré 2 dont la forme canonique est $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ pour tout $x\in \mathbb{R}$, alors le sommet $S$ de la parabole a pour coordonnées $\color{purple}S(\alpha ;\beta)$.
\end{proposition}

\begin{preuve}

\end{preuve}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Autrement dit: une fonction polynomiale de degré 2 admet un extremum égale à $\beta$ qui est atteint en $x=\alpha$.
		\item Vous n'aurez plus à le redémontrer. La valeur $\beta$ est le maximum si $a<0$ et le minimum sinon.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exercice}
	Déterminez les éventuels extrema des fonctions suivantes sur l'ensemble $I$.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $f(x)=-2(x+1)^2-6$, $I=\mathbb{R}$.
		\item $g(x)=3x^2-12x+17$, $I=\mathbb{R}$.
		\item $h(x)=-(x-4)^2+2$, $I=[0;10]$.
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}%\href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/index.php?ouvrage=ms2_2014&page_gauche=157}{Exercices 25 à 31 page 157 (Sesamath).} 
	Déterminer les sens de variation. Il est possible de généré aléatoirement des données dans ces exercices.
	\begin{tasks}
		\task Démontrer que la fonction $g$, définie sur $\mathbb{R}$ par\\$g(x)=2(x+4)^2-5$ est croissante sur $[-4;+\infty[$.
		\task  Sur quel intervalle la fonction $h$, définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=-2(x-3)^2+6$ est-elle croissante?
		\task Démontrer que la fonction $m$, définie sur $\mathbb{R}$ par $m(x)=3(x-4)^2+2$ est croissante sur $[4;+\infty[$.
		\task Sur quel intervalle la fonction $p$, définie sur $\mathbb{R}$ par $p(x)=-2(x+3)^2-4$ est-elle décroissante?
		\task  On considère la fonction $f$, définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=4(x-7)^2+1$. Quel est son sens de variation sur ${\mathcal I}=[0;7]$?
		\task On considère la fonction $g$, définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=-2(x+1)^2-3$. Quel est son sens de variation sur ${\mathcal I}=[-1;0]$?
		\task On considère la fonction $h$, définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=3(x+2)^2+1$. Quel est son sens de variation sur ${\mathcal I}=[-3;-2]$?
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercice}%\href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=64804&ordre=1}{Exercice 40 page 159 (Sesamath).} Déterminer le tableau de variation.
	Dresser les tableaux de variations des fonctions.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
    	\item $k(x)=\dfrac{1}{4}\left(-2x-\dfrac{4}{7}\right)^2-7$
   		\item $f(x)=-2\left(\dfrac{2}{3}x-1\right)^2-\dfrac{2}{5}$
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	
	\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}	
	\begin{minipage}{\linewidth}	
	Trouvez la forme canonique de $f$ sachant que quelque soit $x\in\mathbb{R}$ \[ f(x)=2(x-\trous[0.8cm]{(-2)})^2+\trous[0.8cm]{(-3)}. \]	
	\end{minipage}	
	&	
	\begin{minipage}{\linewidth}	
		\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
		\def\xY{-5};
		\def\yY{-4};
		\def\xZ{2};
		\def\yZ{5};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
		\draw[ ->,very thick,black] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,very thick,black] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
		\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
		\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \x};
		\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[right,fill=white]{\footnotesize  \y};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=-4:0] plot(\x,{2*(\x +2)^2-3});	
		\end{tikzpicture}
		\end{center}	
	\end{minipage}	
	\end{tabularx}
\end{exercice}

\begin{exercice}%\href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/index.php?ouvrage=ms2_2014&page_gauche=159}{Exercices 34, 35 et 36 page 158 (Sesamath).} Associer forme canonique et courbe représentative.
	Associer chaque courbe à la bonne fonction dans chacun des cas.
  \begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
  \item $f(x)=-2(x+1)^2+4$ et $g(x)=3(x-2)^2+1$.
  \begin{center}
  \begin{tikzpicture}[xscale=0.8, yscale=0.42] 
   \draw[xstep=0.5] (-4,-3) grid (4,7);
   %\axeX{-4}{4}{-2,2}
   %\axeY{-3}{7}{-2,2, 4, 6} 
   %\origine
	\draw[ ->,very thick,black] (-4, 0) -- (4, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, very thick,black] (0, -3) -- (0, 7) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	%Graduations
	\foreach \x in {-2,2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {-2,2,4,6} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
   \draw[color=red, smooth, samples=200, domain=-2.871:0.871] plot (\x,-2*\x*\x-4*\x+2);
   \draw[color=violet, smooth, samples=200, domain=0.586:3.414] plot (\x,3*\x*\x-12*\x+13);
  \end{tikzpicture}
  \end{center}
  \item $f(x)=2(x-1)^2+3$ et $g(x)=4(x-1)^2+3$.
  \begin{center} \begin{tikzpicture}[xscale=0.8, yscale=0.24]
   \draw[xstep=0.5, ystep=2] (-3,-2) grid (5,16);
   %\axeX{-3}{5}{-2,-1,1,2,3,4}
   %\axeY{-2}{16}{4,8,12} 
   %\origine
	\draw[ ->,very thick,black] (-3, 0) -- (5, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, very thick,black] (0, -2) -- (0, 16) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	%Graduations
	\foreach \x in {-2,-1,1,2,3,4} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {4,8,12} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
   \draw[color=violet, smooth, samples=200, domain=-1.55:3.55, line cap=butt] plot (\x,2*\x*\x-4*\x+5);
   \draw[color=Green, smooth, samples=200, domain=-0.803:2.803, line cap=butt] plot (\x,4*\x*\x-8*\x+7);
  \end{tikzpicture}
  \end{center}
  \item $f(x)=2(x-2)^2-3$ et $g(x)=2(x-3)^2-2$.
  \begin{center} 
   \begin{tikzpicture}[xscale=0.8, yscale=0.42]
   \draw[xstep=0.5] (-2,-4) grid (6,6);
	\draw[ ->,very thick,black] (-2, 0) -- (6, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very  thick,black] (0, -4) -- (0, 6) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	%Graduations
	\foreach \x in {-2,-1,1,2,3,4} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {-4,-2,2,4,6} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
   \draw[color=violet, smooth, samples=200, domain=-0.121:4.121] plot (\x,2*\x*\x-8*\x+5);
   \draw[color=Green, smooth, samples=200, domain=1:5] plot (\x,2*\x*\x-12*\x+16);
   \foreach \x in {-1,1,2,3, 4, 5} {\draw (\x,0) node {\footnotesize $+$};\draw (\x,0) node[below] {\footnotesize $\x$};}
   \foreach \y in {-3,-2,-1,1,2,3, 4, 5} {\draw (0,\y) node {\footnotesize $+$};\draw (0,\y) node[left] {\footnotesize $\y$};}
  \end{tikzpicture}
  \end{center}
 \end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}%\href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/index.php?ouvrage=ms2_2014&page_gauche=159}{Exercices 34, 35 et 36 page 158 (Sesamath).} Associer forme canonique et courbe représentative.
	\`A partir des représentations graphiques des trinômes $f$ et $g$ définis sur $\mathbb{R}$, dresser leurs tableaux de variations.  
  \begin{center}\begin{tikzpicture}[xscale=0.8, yscale=0.42]
   \draw[xstep=0.5] (-2,-4) grid (6,6);
   %\axeX{-2}{6}{1,2, 4}
   %\axeY{-4}{6}{-2,2, 4}
   %\origine
	\draw[ ->,very thick,black] (-2, 0) -- (6, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, very thick,black] (0, -4) -- (0, 6) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	%Graduations
	\foreach \x in {1,2,4} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {-2,2,4} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
   \draw[color=orange, smooth, samples=200, domain=-0.54:6] plot (\x,-0.4*\x*\x+2.4*\x-2.6);
   \draw[color=Green, smooth, samples=200, domain=1.15:6] plot (\x,0.5*\x*\x-4.0*\x+10);
   \draw[color=orange] (5.5,-3) node {{\boldmath ${\cal C}_f$}};
   \draw[color=Green] (5.5,4) node {{\boldmath ${\cal C}_g$}};
  \end{tikzpicture}
  \end{center}
\end{exercice}

\begin{exercice}%\href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/index.php?ouvrage=ms2_2014&page_gauche=159}{Exercices 34, 35 et 36 page 158 (Sesamath).} Associer forme canonique et courbe représentative.
	Elsa utilise un logiciel pour représenter deux trinômes dans le même repère. Elle sait que: 
	
	$f(x)=3x^2+24x+\ldots$  et $g(x)=-x^2-\ldots x-18$.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
	\item \`A partir des représentations graphiques, compléter les expressions des deux fonctions.
	
	
	\begin{center}  \begin{tikzpicture}[ xscale=0.8, yscale=0.42] 
	\draw[xstep=0.5] (-7,-5) grid (2,2);
	%\axeX{-7}{2}{-2, -4,  -6} 
	%\axeY{-5}{2}{-2, -4} 
	%\origine
	\draw[ ->,very thick,black] (-7, 0) -- (2, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very  thick,black] (0, -5) -- (0, 2) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	%Graduations
	\foreach \x in {-6,-4,-2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {-4,-2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[color=orange, smooth, samples=200, domain=-5.29:-2.71] plot (\x,3*\x*\x+24*\x+45);
	\draw[color=violet, smooth, samples=200, domain=-5.748:-2.252] plot (\x,-\x*\x-8*\x-18);
	\end{tikzpicture}
	\end{center}
	\item Déterminer graphiquement les coordonnées des extrema en précisant pour chacun si c'est un minimum ou un maximum.
	\item Dresser les tableaux de variations des deux fonctions. 
	\item Quelle propriété est commune aux deux paraboles?
	\item Résoudre graphiquement $f(x)=g(x)$.
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\subsection*{Forme factorisée.}

\begin{definition}
	Soient $a$, $b$ et $c$ des réels avec $a\ne 0$, et $f:\left\{ \begin{array}{rcl}
	\mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}\\
	x & \mapsto & ax^2+bx+c
	\end{array} \right.$. \emph{\color{purple}La forme factorisée} de la fonction polynomiale de degré 2 $f$ est l'écriture (lorsque cela est possible) de son expression algébrique avec la présentation suivante $f(x)=\color{purple} a(x-x_1)(x-x_2)$ où $x_1$ et $x_2$ sont des nombres réels.
\end{definition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Toute fonction de la forme $x\mapsto a(x-x_1)(x-x_2)$ est une fonction polynomiale de degré 2. {\color{orange}Dorénavant lorsque vous rencontrerez la forme factorisée d'un trinôme vous pourrez affirmer sans démonstration qu'il s'agit d'une fonction polynomiale de degré 2.}		
		\item Les nombres $x_1$ et $x_2$ sont appelés les \emph{\color{purple}zéros} de la fonction ou les \emph{\color{purple}racines} du trinôme.		
		\item {\color{orange}La forme factorisée est particulièrement adaptée pour rechercher les solutions des équations du second degré ou pour étudier le signe des fonctions polynomiales de degré deux.}
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exercice}
	Soit $f(x)=-2(x-3)(x+1)$ une fonction définie pour tout $x$ réel.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Montrez que $f$ est une fonction polynomiale de degré 2 dont vous préciserez les coefficients.
		\item Calculez $f(3)$ et $f(-1)$.
		\item Étudiez le signe de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Donnez les tableaux de signes de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $I$ lorsque:
	\begin{tasks}(2)
		\task $f(x)=2(x+10)(x-15)$ et $I=\mathbb{R}$.
		\task $f(x)=-(x-3)(x-8)$ et $I=[0;10]$.
		\task $f(x)=-2(x+1)(x+1)$ et  $I=\mathbb{R}$.
		\task $f(x)=7\left( x-\frac{3}{2} \right) \left( x-\frac{8}{3} \right)$ et $I=]-10;20[$.
		\task $f(x)=-5(x+1)(x-12)$ et $I=[0;15]$.
		\task $f(x)=\sqrt{2}(x-\pi)(x-\mathrm{e})$ et $I=\mathbb{R}$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{tasks}
	\task \objectif{Déterminons le signe de $f$.}
		
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $2$ /0.8, $x+10$ /0.8, $x-15$ /0.8, $f(x)$ /0.8}
	{$-\infty$ ,$-10$, $15$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,t,+,t,+,}%
	\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}%
	\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,}%
	\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}%
	\end{tikzpicture}	
	\task \objectif{Déterminons le signe de $f$.}
		
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $-1$ /0.8, $x-3$ /0.8, $x-8$ /0.8, $f(x)$ /0.8}
	{$0$ ,$3$, $8$, $10$}
	\tkzTabLine{,-,t,-,t,-,}%
	\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}%
	\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,}%
	\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}%
	\end{tikzpicture}	
	\task \objectif{Déterminons le signe de $f$.}
		
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $-2$ /0.8, $x+1$ /0.8, $x+1$ /0.8, $f(x)$ /0.8}
	{$-\infty$ ,$-1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,-,t,-,}%
	\tkzTabLine{,-,z,+,}%
	\tkzTabLine{,-,z,+,}%
	\tkzTabLine{,-,z,-,}%
	\end{tikzpicture}	
	\item \objectif{Déterminons le signe de $f$.}
		
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $7$ /0.8, $x-\frac{3}{2}$ /0.8, $x-\frac{8}{3}$ /0.8, $f(x)$ /0.8}
	{$-10$ ,$\frac{3}{2}$, $\frac{8}{3}$, $20$}
	\tkzTabLine{d,+,t,+,t,+,d}%
	\tkzTabLine{d,-,z,+,t,+,d}%
	\tkzTabLine{d,-,t,-,z,+,d}%
	\tkzTabLine{d,+,z,-,z,+,d}%
	\end{tikzpicture}	
	\task \objectif{Déterminons le signe de $f$.}
	
	{\color{orange}La difficulté réside dans le fait que l'une des racines est extérieure à l'ensemble de définition.}
	
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $-5$ /0.8, $x+1$ /0.8, $x-12$ /0.8, $f(x)$ /0.8}
	{$0$ ,$12$, $15$}
	\tkzTabLine{,-,t,-,}%
	\tkzTabLine{,+,t,+,}%
	\tkzTabLine{,-,z,+,}%
	\tkzTabLine{,+,z,-,}%
	\end{tikzpicture}	
	\task \objectif{Déterminons le signe de $f$.}
		
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $-1$ /0.8, $x-\pi$ /0.8, $x-\mathrm{e}$ /0.8, $f(x)$ /0.8}
	{$-\infty$ ,$\mathrm{e}$, $\pi$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,-,t,-,t,-,}%
	\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,}%
	\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}%
	\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}%
	\end{tikzpicture}
	
	\medskip
	$\color{purple}\mathrm{e}$ qui est appelé le \emph{\color{purple}nombre d'Euler} ou la \emph{\color{purple}constante de Néper} vaut approximativement $2,71828$. Il est préprogrammé sur la calculatrice.	
	\end{tasks}
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Trouver la forme factorisée à partir de la forme canonique.}

\begin{exercice}
	Soit $f$ une fonction trinôme définie sur $\mathbb{R}$ dont la forme canonique est $f(x)=(x-2)^2-49$.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item 
		\begin{enumerate}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Factorisez $f(x)$.
			\item Déterminez les racines de $f$.
			\item Étudiez le signe de $f$.
		\end{enumerate}
		\item Essayez de répondre aux mêmes questions pour $g(x)=(x-2)^2+49$ et $h(x)=(x-2)^2$
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item 
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}		\item \objectif{Factorisons $f(x)$.}
		
		\begin{align*}
		f(x) &= (x-2)^2-49\\
		&= (x-2)^2-7^2\\
		&= \left[ (x-2)-7 \right] \times \left[ (x-2)+7\right]\\
		&= (x-2-7)(x-2+7)
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
		
		$f(x)=(x-9)(x+5)$

		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Déterminons les racines de $f$.}
		
		\begin{notabene}
		
		Les élèves ont compris cette question comme une application de la définition de racine donnée en remarque. Il fallait donc extraire de la forme factorisée les racines. Ils ont raison su point de vue de la cohérence.
		
		\end{notabene}
		
		{\color{orange}Rechercher les racines c'est chercher les valeurs de $x$ qui annulent $f$. Or $f$ étant une fonction polynomiale de degré deux il faut se ramener à une équation produit. Nous utiliserons donc la forme factorisée de $f$.}
		
		\medskip
		D'après la question précédente
		\begin{align*}
		f(x)=0 &\Leftrightarrow (x-9)(x+5)=0\\
		&= x-9=0 \text{ ou }x+5=0\\
		&\Leftrightarrow x=9 \text{ ou }x=-5
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
		
		L'ensemble des racines de $f$ est $\mathcal{S}= \left\{ -5;9 \right\}$.
		
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Étudions le signe de $f$.}
		
		{\color{orange}Là encore la forme factorisée se prête aisément à la construction du tableau de signe.}
		
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $x-9$ /0.8, $x+4$ /0.8, $f(x)$ /0.8}
	{$-\infty$ ,$-5$, $9$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,}%
	\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}%
	\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}%
	\end{tikzpicture}		
		
		
		\end{enumerate}
	
	\item Pour $g$ il n'est pas possible de factoriser et la fonction n'admet pas de zéro. $g$ est clairement strictement positive.
	
	$h$ est déjà factorisée et elle admet une racine à savoir $2$. $h$ est strictement positive sauf en $2$ ou elle s'annule.
	\end{enumerate}
\end{exercicecorrection}

\begin{remarques}
	Le précédent exercice illustre les faits suivants.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Il n'est pas toujours possible de factoriser une fonction polynomiale de degré deux. $X^2+1$ n'est typiquement pas factorisable dans $\mathbb{R}$.
		\item Une fonction polynomiale de degré deux peut avoir $0$, ou $1$ ou $2$ racines.
		\item La méthode employée dans l'exercice précédent sera généralisée et formalisée en classe de première.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\subsubsection{Interprétation graphique.}

\begin{lecon}
	Trouver la forme factorisée d'une fonction trinôme revient à chercher ses racines. Or dire que $x_0$ est une racine du trinôme $f$ revient à dire que $f(x_0)=0$. Graphiquement cela signifie que la parabole représentant $f$ coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse $x_0$.
	
	\medskip
	Nous voyons graphiquement que trois situations vont se présentées:
	
	\begin{tabular}{m{3.5cm}m{3.5cm}m{3.5cm}}
		\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.38]
		\def\xA{-2};
		\def\yA{-3.5};
		\def\xB{4};
		\def\yB{3.5};
		\coordinate (A) at (\xA,\yA);
		\coordinate (B) at (\xB,\yB);
		\draw[ ->,thick] (\xA, 0) -- (\xB, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,thick] (0, \yA) -- (0, \yB) node[above]{$y$};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=-2:4] plot(\x,{0.5*(\x +1)*(\x -3)});
		\draw[red, thick][samples=100,domain=-2:4] plot(\x,{-0.5*(\x +1)*(\x -3)});
		\draw[blue] (3,3) node{$a>0$};
		\draw[red] (3,-3) node{$a<0$};
		\draw (-1,0) node{$\bullet$};
		\draw (3,0) node{$\bullet$};
		\draw (-2,0.4) node{$x_1$};
		\draw (2,0.4) node{$x_2$};
		\end{tikzpicture}
		\end{center}
	&
		\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.38]
		\def\xA{-2};
		\def\yA{-3.5};
		\def\xB{4};
		\def\yB{3.5};
		\coordinate (A) at (\xA,\yA);
		\coordinate (B) at (\xB,\yB);
		\draw[ ->,thick] (\xA, 0) -- (\xB, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,thick] (0, \yA) -- (0, \yB) node[above]{$y$};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=-1:3] plot(\x,{0.5*(\x +1)*(\x -3)+2});
		\draw[red, thick][samples=100,domain=-1:3] plot(\x,{-0.5*(\x +1)*(\x -3)-2});
		\draw[blue] (3,3) node{$a>0$};
		\draw[red] (3,-3) node{$a<0$};
		\draw (1,0) node{$\bullet$};
		\draw (1,0) node[above]{$x_0$};
		\end{tikzpicture}
		\end{center}
	&
		\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.38]
		\def\xA{-2};
		\def\yA{-3.5};
		\def\xB{4};
		\def\yB{3.5};
		\coordinate (A) at (\xA,\yA);
		\coordinate (B) at (\xB,\yB);
		\draw[ ->,thick] (\xA, 0) -- (\xB, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,thick] (0, \yA) -- (0, \yB) node[above]{$y$};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=-1:3] plot(\x,{0.5*(\x +1)*(\x -3)+2.5});
		\draw[red, thick][samples=100,domain=-1:3] plot(\x,{-0.5*(\x +1)*(\x -3)-2.5});
		\draw[blue] (3,3) node{$a>0$};
		\draw[red] (3,-3) node{$a<0$};
		\end{tikzpicture}
		\end{center}
	\\
	\end{tabular}
	
	\medskip
	Ainsi l'équation $f(x)=0$ aura donc 2 ou 1 ou aucune solutions.
	
	À chacune des courbes ci-dessus est associée un tableau de signe distinct.
\end{lecon}

\begin{notabene}

ex 60 page 93 hachette mathématiques: plein de courbes à identifier présentation géogébra.

\end{notabene}

\subsection*{Exercices.}

\begin{exercice}
	
	\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
	
	\begin{minipage}{\linewidth}
	
	Un exercice très classique: l'enclos.
	
	On souhaite réaliser un enclos de forme rectangulaire avec une clôture de $100\ \mathrm{m}$ l'un des côtés de l'enclos étant formé d'un mur de pierre.
	
	On désigne par $x$ les longueurs des deux côtés 
	perpendiculaires au mur.
	
	L'objectif est de rendre la surface délimitée par l'enclos maximale.
	
	\end{minipage}
	
	&
	
	\begin{minipage}{\linewidth}
	
	\begin{tikzpicture}
		\def\AB{3};
			\coordinate (A) at (0,0);
			\coordinate (B) at ({\AB},0);
			\coordinate (C) at ({\AB},{-0.5*(10-2*\AB)});
			\coordinate (D) at (0,{-0.5*(10-2*\AB)});
			\coordinate (E) at (-1,0);
			\coordinate (F) at ({\AB +1},0);
			\coordinate (G) at (-0.5,0);
			\coordinate (H) at (-0.5,{-0.5*(10-2*\AB)});
			\draw (A)node[below left]{$A$};
			\draw (B)node[below right]{$B$};
			\draw (C)node[below]{$C$};
			\draw (D)node[below]{$D$};
			\draw[blue, thick](A)--(D)--(C)--(B);
			\draw[black,very thick] (E)--(F);
			\foreach \x in {0,0.25,...,\AB} \draw({\x},0.25)node{\color{black} /};
			\draw[>=latex,<->](G)--(H)node[midway,left]{$x$};
	\end{tikzpicture}	
	\end{minipage}	
	\end{tabularx}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Exprimez en fonction de $x$ la longueur du troisième côté de l'enclos.
		\item Exprimez en fonction de $x$ l'aire $f(x)$ de la surface délimitée par l'enclos et le mur.
		\item Résolvez l'inéquation $f(x)\ge 0$. Déduisez-en les seules valeurs de $x$ susceptibles de nous intéresser.
		\item Démontrez que pour tout $x\in[0;100]$, $f(x)=\np{1250}-2(x-25)^2$.
		\item Pour quelles valeurs de $x$ la fonction $f$ atteint-elle sont maximum?
		\item Donnez alors le dimensions de la surface délimité.
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}

	\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
	
	\begin{minipage}{\linewidth}
	
	Les fonction indiquées sont définies sur $\mathbb{R}$. 
	
	Attribuez sa courbe à chacune d'elle.
	
		\begin{enumerate}[]
		\item $f_1:x\mapsto -x^2$
		\item $f_2:x\mapsto \frac{1}{2}x^2$
		\item $f_3:x \mapsto 2x^2$
		\item $f_4:x\mapsto x(4-x)$ 
		\end{enumerate}
	
	\end{minipage}
	
	&
	
	\begin{minipage}{\linewidth}
	
		\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
		\def\xY{-3};
		\def\yY{-2};
		\def\xZ{5};
		\def\yZ{4.5};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		\draw[step=0.5cm, gray, thin] (Y) grid (Z);
		\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
		\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
		\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \x};
		\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \y};
		\draw[green, very thin][samples=100,domain=-3:3] plot(\x,{0.5*\x *\x})node[above]{$\mathcal{C}_1$};
		\draw[blue, thin][samples=100,domain=-1.5:1.5] plot(\x,{2*\x *\x})node[above]{$\mathcal{C}_2$};
		\draw[violet, thick][samples=100,domain=-1.4:1.4] plot(\x,{-\x *\x})node[below]{$\mathcal{C}_3$};
		\draw[orange, very thick][samples=100,domain=-0.45:4.45] plot(\x,{\x *(4-\x)})node[below]{$\mathcal{C}_4$};
		\end{tikzpicture}
		\end{center}	
	\end{minipage}	
	\end{tabularx}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	
	\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
	
	\begin{minipage}{\linewidth}
	
	Les fonctions indiquées sont définies sur $\mathbb{R}$.
	
	Attribuez sa courbe à chacune d'elles.
	
		\begin{enumerate}[]
		\item $f_1:x\mapsto x^2+2x-2$
		\item $f_2:x\mapsto -\frac{1}{2}(x-2)^2+2$
		\item $f_3: x \mapsto (x-1)^2-2$
		\item $f_4: x\mapsto -\frac{1}{2}x^2-2x+1$
		\end{enumerate}
	
	\end{minipage}
	
	&
	
	\begin{minipage}{\linewidth}
	
		\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.4]
		\def\xY{-6};
		\def\yY{-4};
		\def\xZ{6};
		\def\yZ{5};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		\draw[step=1cm, gray, thin] (Y) grid (Z);
		\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
		\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
		\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \x};
		\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[above left,fill=white]{\footnotesize  \y};
		\draw[green, very thin][samples=100,domain=-3.82:1.82] plot(\x,{\x *\x +2*\x -2})node[above]{$\mathcal{C}_1$};
		\draw[blue, thin][samples=100,domain=-1.65:3.65] plot(\x,{(\x-1)*(\x-1)-2})node[above]{$\mathcal{C}_2$};
		\draw[violet, thick][samples=100,domain=-5.5:1.5] plot(\x,{-0.5*\x *\x-2*\x})node[below]{$\mathcal{C}_3$};
		\draw[orange, very thick][samples=100,domain=-1.5:5.5] plot(\x,{-0.5*(\x-2)*(\x-2)+2})node[below]{$\mathcal{C}_4$};
		\end{tikzpicture}
		\end{center}
	
	\end{minipage}
	\end{tabularx}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$f_1$ est une fonction polynomiale de degré deux donnée sous forme factorisée. $a=1>0$ donc la parabole est orientée vers le haut. $c=-2$ donc la parabole coupe l'axe des ordonnées à l'ordonné $-2$. La courbe représentative de $f_1$ est donc $\mathcal{C}_1$.
	
	$f_2$ est une fonction polynomiale de degré deux donnée sous forme canonique. $a=-\frac{1}{2}$ donc la parabole est orientée vers le bas. $\alpha=2$ et $\beta=2$ donc le sommet de la parabole a pour coordonnées $(2;2)$. La courbe représentative de $f_2$ est $\mathcal{C}_4$.
	
	$f_3$ est une fonction polynomiale de degré deux donnée sous forme canonique. $a=1$ donc la parabole est orientée vers le haut. $\alpha=1$ et $\beta=-2$ donc le sommet de la parabole a pour coordonnées $(1;-2)$. La courbe représentative de $f_3$ est $\mathcal{C}_2$.
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	\begin{notabene}	
	Parler de la démarche de recherche: pour démontrer l'inégalité on refait l programme de calcul y ayant conduit.	
	\end{notabene}
	Démontrez que $(\sqrt{3}+\sqrt{4})^2+1<(\sqrt{3}+\sqrt{4}+1)^2+1$.
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Les fonctions considérées ici sont définies sur $\mathbb{R}$. Pour chacune d'elles, dressez son tableau de variation.
	\begin{tasks}(2)
		\task $f(x)=5-2(x+1)^2$.
		\task $g(x)=2(1-3x)(1-x)$.
		\task $u(t)=\frac{1}{4}-t^2$.
		\task $v(t)=\frac{1}{3}(1-t^2)$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{tasks}
		\task \objectif{Dressons le tableau de variation de $f$.}
		
		$f(x)=-2(x+1)^2+5$ est une fonction polynomiale de degré $2$ donnée sous forme canonique avec $a=-2$, $\alpha =-1$ et $\beta= 5$.
		
		$a=-2<0$ donc la parabole est orientée vers le bas.
		
		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $f(x)$ /1.6}
		{$-\infty$ ,$-1$, $+\infty$}
		\tkzTabVar {-/ , + / $5$ , - /  }
		\end{tikzpicture}
		
		\task {\color{orange}$g$ n'est pas une fonction dont nous pouvons donner le tableau de variation. Développons son expression pour essayer de l'identifier.}
		\begin{align*}
		g(x) &= 2(1-3x)(1-x) \\
		&= 2\left[ 1\times 1+ 1\times (-x) +(-3x)\times 1 +(-3x)\times (-x) \right]\\
		&= 2 \left[ 1-x-3x+3x^2 \right]\\
		&= 2(1-4x+3x^2)\\
		&= 2\times 1+2\times(-4x)+2\times 3x^2\\
		&= 6x^2-8x+2
		\end{align*}		
		Ainsi $g$ est une fonction polynomiale de degré deux {\color{orange} dont nous avons la forme développée. Or pour trouver le tableau de variation il nous faut le forme canonique donc}
		
		\objectif{Déterminons la forme canonique de $g$.}
		
		 $g$ est une fonction polynomiale de degré deux avec $a=6$, $b=-8$ et $c=2$. 
		\begin{enumerate}
		 	\item $\alpha = -\frac{b}{2a}=-\frac{-8}{2\times 6}=\frac{2}{3}$.
		 	\item $\beta =g(\alpha)= g\left( \frac{2}{3} \right)=-\frac{2}{3}$.
		 \end{enumerate}
		\begin{conclusion}
			La forme canonique de $g$ est $g(x)=6\left( x- \frac{2}{3} \right)^2 -\frac{2}{3}$.
		\end{conclusion}
		
		\objectif{Dressons le tableau de variation de $g$.}
		
		$g$ est une fonction polynomiale de degré eux donnée sous forme canonique avec: $a=6$, $\alpha= \frac{2}{3}$ et $\beta =-\frac{2}{3}$.
		
		$a=6>0$ donc la parabole est orientée vers le haut.
		
		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $g(x)$ /1.6}
		{$-\infty$ ,$\frac{2}{3}$, $+\infty$}
		\tkzTabVar {+/ , - / $-\frac{2}{3}$ , + /  }
		\end{tikzpicture}
		\task \objectif{Dressons le tableau de variation de $u$.}
		
		$u(t)=-t^2+\frac{1}{4} {\color{orange}=-1\times (t-0)^2+\frac{1}{4} }$
		
		$u$ est une fonction polynomiale de degré deux donnée sous forme canonique avec $a=-1$, $\alpha= 0$ et $\beta=\frac{1}{4}$.
		
		$a=-1<0$ donc la parabole est orientée vers le bas.
		
		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$t$ /0.8, $u(t)$ /1.6}
		{$-\infty$ ,$0$, $+\infty$}
		\tkzTabVar {-/ , + / $\frac{1}{4}$ , - /  }
		\end{tikzpicture}
		\task \objectif{Déterminons le tableau de variation de $v$.}
		
		$v(t)=\frac{1}{3}(1-t^2)=\frac{1}{3} \times 1 +\frac{1}{3} \times (-t^2)=-\frac{1}{3}t^2+\frac{1}{3} {\color{orange}-\frac{1}{3}(t-0)^2+\frac{1}{3}}$.
		
		$v$ est une fonction polynomiale de degré deux donnée sous forme canonique avec $a=-\frac{1}{3}$, $\alpha= 0$ et $\beta=\frac{1}{3}$.
		
		$a=-\frac{1}{3}<0$ donc la parabole est orientée vers le bas.
		
		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$t$ /0.8, $v(t)$ /1.6}
		{$-\infty$ ,$0$, $+\infty$}
		\tkzTabVar {-/ , + / $\frac{1}{3}$ , - /  }
		\end{tikzpicture}
	\end{tasks}
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Une entreprise fabrique un article haut de gamme. Le coût de production mensuel en euros en fonction du nombre $x$ d'articles fabriqués est: $C(x)=x^3-300x^2+\np{25000}x$. L'entreprise peut fabriquer au maximum $300$ articles par mois et nous supposerons qu'elle les vend tous.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Le coût mensuel moyen de production d'un article lorsqu'on en produit $x$ (non nul) est $C_m(x)=\frac{C(x)}{x}$.
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Vérifiez que $C_m(x)=(x-150)^2+\np{2500}$.
			\item Démontrez que le minimum de la fonction $C_m$ est $\np{2500}$. Pour quelle production est-il atteint?
		\end{enumerate}
		\item Chaque article est vendu $\np{8900}\ \text{\euro}$.
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Déterminez le bénéfice mensuel $B(x)$ en fonction du nombre $x$ d'articles fabriqués et vendus.
			\item Le bénéfice mensuel moyen sur un article lorsqu'on en produit $x$ (non nul) est $B_m(x)=\frac{B(x)}{x}$.
			
			Vérifiez que $B_m(x)=\np{6400}-(x-150)^2$.
			\item Démontrez que $B_m(x)=-(x-230)(x-70)$.
			\item Déduisez-en les productions pour lesquelles $B_m(x)\ge 0$.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item 		
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item En développant $(x-150)^2+2500$ et en simplifiant $C_m(x)=\frac{x(x^2-300x+25000)}{x}=x^2-300x+25000$.
			\item Avec la forme canonique obtenue à la question précédente nous dressons l tableau de variation et lisons le minimum.			
		\end{enumerate}		
		\item 		
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item $B_m(x)=\frac{B(x)}{x}=\frac{8900x-(x^3-300x^2+25000x)}{x}=-x^2 +300x-16100$. Et en recherchant la forme canonique de cette dernière expression nous obtenons le résultat souhaité.
			\item Nous développons $-(x-230)(x-70)$ et nous retrouvons bien l'expression développée de la question précédente.
			\item Il faut dresser le tableau de signe est identifier les parties de l'ensemble de définition pour lesquelles $B_m$ est positive.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
	\item 
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item {\color{orange}Pour démontrer que $A=B$ nous allons procédé en deux temps: d'abord démontré que $A=C$ puis que $B=C$.}
		
		\medskip
		\objectif{Déterminons l'expression algébrique de $C_m(x)$.}
		
		Soit $x\in]0;300]$.
		
		\begin{align*}
		C_m(x) &= \frac{C(x)}{x}\\
		&= \frac{x^3-300x^2+\np{25000}x}{x}\\
		&= \frac{x^3}{x} - \frac{300x^2}{x}+\frac{\np{25000}x}{x}\\
		&= x^2-300x+\np{25000}
		\end{align*}
		
		Nous remarquons que $C_m$ est une fonction polynomiale de degré deux donnée sous forme développée.
		
		\medskip
		Vérifions que la forme canonique proposée par l'énoncé est effectivement celle de $C_m$.
		
		Soit $x\in]0;300]$.
		
		\begin{align*}
		(x-150)^2+\np{2500} &= x^2-2\times x \times150 +150^2+\np{2500}\\
		&= x^2-300x+150^2+\np{2500}\\
		&= x^2-300x+\np{25000}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}		
			Quelque soit $x\in]0;300]$, $C_m(x)=(x-150)^2+\np{2500}$.	
		\end{conclusion}		
		\item \objectif{Déterminons le minimum de $C_m$.}
		
		Pour cela construisons le tableau de variation de $C_m$ sur $[0;300]$.
		
		D'après la question précédente $C_m$ est une fonction polynomiale de degré deux donnée sous forme canonique avec: $a=1$, $\alpha=150$ et $\beta =\np{2500}$.
		
		$a=1>0$ donc la parabole est orientée vers le haut.
			
		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_m(x)$ /1.6}
		{$0$ ,$150$, $300$}
		\tkzTabVar {D+/ , - / $\np{2500}$ , + / $\np{25000}$ / }
		\end{tikzpicture}
			
		\medskip
		D'après le tableau de variation nous pouvons affirmer que
		
		\begin{conclusion}		
			$C_m$ admet un minimum qui est $\np{2500}\ \text{\euro}$, et ce minimum est atteint pour une production de $150$ articles.		
		\end{conclusion}		
		\end{enumerate}	
	\item 
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item \objectif{Déterminons le bénéfice moyen.}
		
		Soit $x\in ]0;300]$.
		
		Par définition du bénéfice $B(x)=R(x)-C(x)$, $R(x)$ désignant la recette pour $x$ articles.
		
		Chaque article étant vendu $\np{8900}\ \text{\euro}$, par proportionnalité: $R(x)=\np{8900}x$.
		
		D'où
		\begin{align*}
		B(x) &= \np{8900}x-\left[ x^3-300x^2+\np{25000}x \right]\\
		&= \np{8900}x-x^3+300x^2-\np{25000}x\\
		&=-x^3+300x^2-\np{25000}x+\np{8900}x\\
		&= -x^3+300x^2-\np{16100}x
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}		
			Quelque soit $x\in [0;300]$, $B(x)=-x^3+300x^2-\np{16100}x$.
		\end{conclusion}
		\item \objectif{Vérifions que $B_m(x)=\np{6400}-(x-150)^2$.}
		
		Déterminons une expression de $B_m$.
		
		Soit $x\in ]0;300]$.
		
		\begin{align*}
		B_m(x) &= \frac{B(x)}{x}\\
		&= \frac{-x^3+300x^2-\np{16100}x}{x}\\
		&= -\frac{x^3}{x}+\frac{300x^2}{x}-\frac{\np{16100}x}{x}\\
		&= -x^2+300x-\np{16100}
		\end{align*}
		
		$B_m$ est une fonction polynomiale de degré deux présentée ici sous forme développée avec $a=-1$, $b=300$ et $c=-\np{16100}$. Déterminons sa forme canonique.
		
			\begin{enumerate}
			\item $\alpha =-\frac{b}{2a}=-\frac{300}{2\times (-1)}=150$.
			\item $\beta =f(\alpha)=f(150)=\np{6400}$.
			\end{enumerate}
		
		Donc
		
		\begin{conclusion}		
			quelque soit $x\in ]0;300]$, $B_m(x)=-(x-150)^2+\np{6400}$.	
		\end{conclusion}		
		\item \objectif{Démontrons que $B_m(x)=-(x-230)(x-70)$.}
		
		Soit $x\in ]0;300]$.		
		\begin{align*}
			-(x-230)(x-70) &= -\left[ x\times x+x\times (-70)+(-230)\times x +(-230)\times (-70) \right] \\
			&= -[x^2-70x-230x+\np{16100}]\\
			&= -[x^2-300x+\np{16100}]\\
			&= -x^2+300x-\np{16100}\\
			\intertext{Nous reconnaissons la forme développée de $B_m$ trouvée à la question précédente donc}
			-(x-230)(x-70) &= B_m(x)
		\end{align*}		
		\begin{conclusion}		
			Quelque soit $x\in ]0;300]$, $B_m(x)=-(x-230)(x-70)$.		
		\end{conclusion}		
		\item \objectif{Étudions le signe de $B_m$.}
		
		{\color{orange}Pour étudier le signe d'une fonction nous utilisons sa forme factorisée.}
		
		D'après la question précédente si $x\in]0;300]$ alors $B_m(x)= -(x-230)(x-70)$.
		\begin{enumerate}
			\item $f(x)=x-230$ est une fonction affine avec $a=1$ et $b=-230$.
			
			Le coefficient directeur de $f$ est $a=1>0$ et $f$ s'annule en $-\frac{b}{a}=-\frac{-230}{1}=230$.
			\item $g(x)=x-70$ est une fonction affine avec $a=1$ et $b=-70$.
			
			Le coefficient directeur de $g$ est $a=1>0$ et $g$ s'annule en $-\frac{b}{a}=-\frac{-70}{1}=70$.
		\end{enumerate}		
		Donc
			
		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $-1$ /0.8, $x-230$ /0.8, $x-70$ /0.8, $B_m(x)$ /0.8}
		{$0$ ,$70$, $230$, $300$}
		\tkzTabLine{,-,t,-,t,-,}%
		\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,}%
		\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}%
		\tkzTabLine{d,-,z,+,z,-,}%
		\end{tikzpicture}
		
		\begin{conclusion}		
			Nous en déduisons que pour que l'entreprise réalise un bénéfice moyen (positif) il faut produire entre $70$ et $230$ articles.	
		\end{conclusion}	
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Une entreprise fabrique un produit. Pour une période donnée, le coût total de production, en euros, est donné en fonction du nombre $q$ d'articles fabriqués par: $C(q)=2q^2+10q +900, \text{ avec } 0<q<80$. Tous les articles sont vendus. En euros, la recette total est $R(q)=120q$ et le bénéfice total est $B(q)=R(q)-C(q)$.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Démontrez que $B$ est une fonction polynomiale de degré 2 dont vous préciserez les coefficients.
		\item Démontrez que, quelque soit $q\in ]0;80[$, $B(q)=-2\left( q-\frac{55}{2} \right)^2+\frac{1225}{2}$.
		\item Démontrez que, quelque soit $q\in ]0;80[$, $B(q)=-2\left( q-10 \right)(q-45)$.
		\item La production est rentable lorsque $B(q)>0$. Déterminez les quantités pour lesquelles la production est rentable.
		\item Déterminez les bénéfices maximum et minimum.
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Une entreprise fabrique des poutres métalliques qu'elle vend $2,3$ milliers d'euros la tonne. Les coûts de production s'expriment en fonction du tonnage $x$ produit ($x\ge 0$) par: $C(x)=0,4x^2-4,1x+0,8$.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Exprimez en milliers d'euros, le prix de vente $P(x)$ en fonction de $x$.		
		\item Le bénéfice $B(x)$ est la différence entre le prix de vente et les coûts de production.
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Exprimez $B(x)$ en fonction de $x$.
			\item Déduisez-en le tableau de variation de la fonction bénéfice et le bénéfice maximal espéré.
			\item Évaluez graphiquement, sur votre calculatrice, le tonnage à produire afin de réaliser un bénéfice positif.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Le propriétaire d'un cinéma de $\np{1000}$ places estime, pour ses calculs, qu'il vend $300$ billets à $7\ \text{\euro}$ par séance. Il a constaté qu'à chaque fois qu'il diminue le prix du billet de $0,1\ \text{\euro}$, il vend $10$ billets de plus. Il engage une campagne de promotion.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Il décide de vendre le billet $5\ \text{\euro}$.
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Combien y aura-t-il de spectateurs pour une séance?
			\item Quelle est alors la recette pour une séance?
		\end{enumerate}
		\item À quel prix devrait-il vendre le billet pour remplir la salle? Quel est votre commentaire?
		\item Le propriétaire envisage de proposer $x$ réductions de $0,1\ \text{\euro}$
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Quel est alors le prix d'un billet en fonction de $x$?
			\item Exprimez en fonction de $x$ le recette, notée $r(x)$, pour une séance et vérifiez que $r(x)=-x^2+40x+\np{2100}$.
			\item Donnez le tableau de variation de la fonction $r$ sur l'intervalle $[0;70]$.
			\item Déduisez-en la recette maximale, le prix du billet et le nombre de spectateurs de cette séance.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Soit $f$ un trinôme dont les racines sont $4$ et $5$. Donnez la forme développée de $f$ sachant que $f(2)=6$.
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	{\color{orange}Exploitons une par une les informations données par l'énoncé.}
	
	Si $f$ est trinôme dont les racines sont $4$ et $5$ alors il existe un nombre $a$ réel tel que $f(x)=a(x-4)(x-5)$.
	
	De plus 
	\begin{align*}
	f(2)=6 &\Leftrightarrow a(2-4)(2-5)=6\\
	&\Leftrightarrow -6a=6\\
	&\Leftrightarrow \frac{-6a}{-6}=\frac{6}{-6}\\
	&\Leftrightarrow a=-1
	\end{align*}	
	Ainsi la forme factorisée de $f$ est \[ f(x)=-(x-4)(x-5) \]
	
	Développons cette expression.	
	\begin{align*}
	-(x-4)(x-5) &= -\left[ x\times x +x\times (-5) +(-4) \times x+(-4)\times (-5) \right]\\
	&= -[ x^2-5x-4x+20 ]\\
	&= -(x^2-9x+20)\\
	&= -x^2+9x-20
	\end{align*}	
	\begin{conclusion}	
		La forme développée de $f$ est $f(x)=-x^2+9x-20$.	
	\end{conclusion}
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}

\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\begin{minipage}{\linewidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	\def\xC{5};
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (8,0);
		\coordinate (C) at (8,\xC);
		\coordinate (D) at (0,\xC);
		\coordinate (O) at (4,{\xC /2});
		\draw (A)node[below]{$A$};
		\draw (B)node[below]{$B$};
		\draw (C)node[above]{$C$};
		\draw (D)node[above]{$D$};
		\draw (O)node[above right]{$O$};
		\draw (O)node{$\bullet$};
		\draw[blue, thick](A)--(B)--(C)--(D)--(A);
		\fill[color=green] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
		\draw[fill=yellow] (O) circle ({\xC/2});	
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{\linewidth}
Le drapeau rectangulaire $ABCD$ a pour centre $O$, une longueur fixe $AB=8$ et une largeur $AD$ variable; le cercle de centre $O$ est tangent à deux cotés du rectangle.

Comment fixer la largeur$ AD$ pour que la partie verte et la partie jaune aient la même aire?
\end{minipage}
\end{tabularx}
\end{exercice}

\begin{correction}
	{\color{orange}Il est possible d'aborder le problème de différentes façons.}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item \objectif{Conjectures.}
		
		Avec un logiciel de géométrie dynamique il est possible de représenter la situation et de trouver une valeur approchée du résultat.	
		\item \objectif{Résolution algébrique.}		
		\begin{itemize}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Choix d'une variable. La longueur $AD$ qui est variable et dont nous cherchons une valeur particulière semble tout indiquée comme variable $x$.
			\item Valeurs possibles pour $x$.
			
			$x\in [0;8]$ car au-delà de $8$ l'aire du cercle ne changerait plus.			
			\item Mise en équation.
			
			L'aire du cercle est $\pi\left( \frac{x}{2}\right)^2=\frac{\pi}{4}x$.
			
			L'aire du rectangle dont nous avons ôté le cercle: $8x-\frac{\pi}{4}x$.
			
			Dire que les aires sont égalent signifie que $x$ est solution de l'équation: $(E):\ \frac{\pi}{4}=8x-\frac{\pi}{4}x$.
			\item Résolution de l'équation.
			
			il est possible a nouveau de conjecturer le résultat en recherchant avec la calculatrice des résolutions graphiques.
			
		\end{itemize}	
	\end{enumerate}	
\end{correction}

\begin{exercice}
	Lorsqu'un projectile est lancé verticalement de bas en haut avec une vitesse initiale de $245\ \mathrm{m}.\mathrm{s}^{-1}$, la distance $d$ (en mètres) le séparant du point de départ et sa vitesse $v$ (en $\mathrm{m}.\mathrm{s}^{-1}$) à un instant $t$ (en secondes) compté à partir de l'instant du départ, sont donnés par\[ d(t)=245t-\frac{1}{2}\times 9,8 t^2 \quad v(t)=245-9,8t \]

	Déterminez
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item L'instant auquel le projectile est à son point culminant.
		\item L'instant auquel il repasse au point de départ.
		\item La hauteur du point culminant.
		\item La vitesse du projectile au point culminant.
		\item La vitesse du projectile au moment où il repasse au point de départ.
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{enumerate}
		\item \objectif{Déterminons à quel instant il atteint le point culminant.}
		
		Le point culminant correspond à un maximum de $d$.
		Or $d$ est une fonction polynomiale de degré deux dont on connaît la forme développée: $a=-\frac{1}{2} \times 9,8$, $b=245$ et $c=0$.
		
		Déterminons la forme canonique de $d$.
		\begin{enumerate}
			\item $\alpha=-\frac{b}{2a}=-\frac{245}{2\times \left(-\frac{1}{2} \times 9,8 \right)}=25$.
			\item $\beta =d(\alpha)=\np{3062,5}$
		\end{enumerate}
		
		Donc: $d(t)=-\frac{1}{2}\times 9,8 \left( t-25 \right) ^2+\np{3062,5}$.
		
		Puisque $a=-\frac{1}{2}\times 9,8<0$ la parabole est orientée vers le haut et donc	
		\begin{center}		
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$t$ /0.8, $d(t)$ /1.6}
			{$0$ ,$25$, $+\infty$}
			\tkzTabVar {-/ $0$, + / $\np{3062,5}$ , - /  / }
			\end{tikzpicture}		
		\end{center}	
		Par lecture du tableau de variation:
		
		\begin{conclusion}	
			L'objet est à son point culminant à l'instant $t=25 \ \mathrm{s}$.	
		\end{conclusion}	
		\item \objectif{Déterminons l'instant ou il repasse au point de départ.}
		
		Dire que le projectile repasse au point de départ signifie que $d(t)=0$. résolvons cette équation.
		
		\begin{align*}
			d(t)=0 &\Leftrightarrow 245t-\frac{1}{2}\times 9,8t^2=0\\
			&\Leftrightarrow t\left(245-\frac{1}{2}\times 9,8t \right)=0\\
			&\Leftrightarrow t=0 \text{ ou }  245-\frac{1}{2}\times 9,8t =0\\
			&\Leftrightarrow t=0 \text{ ou } t=50
		\end{align*}	
		L'instant $t=0$ correspond au départ donc
			
		\begin{conclusion}	
			le projectile repasse au point de départ au bout de $50\ \mathrm{s}$.	
		\end{conclusion}	
		\item D'après la démonstration apportée à la question 1
			
		\begin{conclusion}	
			la hauteur du point culminant est $\np{3062,5}\ \mathrm{m}$.	
		\end{conclusion}	
		\item La vitesse du projectile au point culminant est
		
		\begin{conclusion}
			$v(25)=0\ \mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-1}$.	
		\end{conclusion}	
		\item La vitesse du projectile au moment où il repasse au point de départ est 	
		\begin{conclusion}	
			$v(50)=-245\ \mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-1}$.	
		\end{conclusion}	
	\end{enumerate}
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Un arrêté d'application du code de la route fixe la distance de freinage jusqu'à l'arrêt pour une voiture automobile en fonction de la vitesse par la formule \[ d=0,75v^2+2,5v \] $v$ étant la vitesse exprimée en myriamètres par heure (i myriamètre représente $10$ kilomètres). Quelle doit être la vitesse d'une voiture  pour qu'elle s'arrête sur une distance $50$ mètres? Étudiez les variations de la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par \[ v\mapsto 0,75v^2+2,5v \]
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Nous souhaitons résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation $x^2=-2x+3$ sur $\mathbb{R}$.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item En représentant graphiquement les fonctions $f(x)=x^2$ et $g(x)=-2x+3$ avec la calculatrice conjecturez le nombre de solutions de l'équation.
		\item Donnez la forme canonique de la fonction trinôme $h(x)=x^2+2x-3$.
		
		\emph{Rappel $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=h(\alpha)$}.		
		\item Donnez la forme factorisée de $h$.
		\item Résoudre l'équation $x^2+2x-3=0$ et conclure.
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Le nombre d'or $\varphi$ est l'unique solution positive de l'équation $x^2=x+1$. 
	
	\textbf{Partie A: valeur exacte du nombre d'or.}
	
	Nous noterons $f:x\mapsto x^2-x-1$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Déterminez la forme canonique de $f$.
		\item Déduisez-en, si possible , la forme factorisée de $f$.
		\item Déterminez les racines de $f$. En particulier donnez une valeur exacte de $\varphi$.
	\end{enumerate}
	\textbf{Partie B: valeurs approchées du nombre d'or.}
	
	Nous souhaitons déterminer un encadrement à $10^{-3}$ près du nombre d'or.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Tracez sur la calculatrice la courbe représentative de la fonction $f$ définie ans la partie A.
		
		Donnez un encadrement entre deux entiers consécutifs du nombre d'or.
		\item Grâce au tableau de valeurs de la calculatrice avec des pas successivement de $0,1$, $0,01$ puis $0,001$, déterminez un encadrement du nombre $\varphi$ entre deux nombres dont la différence est inférieure ou égale à $0,001$.
		\end{enumerate}
		
		\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
		
		\begin{enumerate}
		\setcounter{enumi}{2}
		\item 
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Programmez dans votre calculatrice l'algorithme.		
			\item Analysez l'algorithme en 
			\begin{itemize}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
				\item donnant le tableau de fonctionnement pour deux boucles du tant que,
				\item précisant le rôle des différentes variables.
				\item indiquant le rôle de cet algorithme.
			\end{itemize}
			\item Comment modifier le précédent algorithme pour obtenir une valeur approchée à $10^{-5}$ de $\varphi$?
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}	
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{\linewidth}
	\begin{center}
	\begin{tabular}{|m{5cm}|}
	\hline
	\textbf{Variables}: $a$, $b$, $m$\\
	\textbf{Traitement:}\\
	$a$ prend la valeur $1$\\
	$b$ prend la valeur $2$\\
	Tant que $b-a>0,001$, faire\\
	\begin{tabular}{m{0.3cm}|m{4cm}}
	&$m$ prend la valeur $\displaystyle \frac{a+b}{2}$\\
	&Si $m^2-m-1>0$, alors\\
		\begin{tabular}{m{0.3cm}|m{3cm}}
		&$b$ prend la valeur $m$\\
		\end{tabular}\\
	&Sinon \\
		\begin{tabular}{m{0.3cm}|m{3cm}}
		&$a$ prend la valeur $m$ \\
		\end{tabular}\\
	&Fin si\\
	\end{tabular} \\
	Fin Tant que\\
	Afficher $a$\\
	Afficher $b$\\
	\hline	
	\end{tabular}
	\end{center}
\end{minipage}
\end{tabularx}
\end{exercice}

\end{document}

\section{Modèles.}

\setlength{\parskip}{0pt}
\setlength{\itemsep}{0pt}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick,black] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick,black] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\draw (O) node {$\bullet$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\draw (I) node {$\bullet$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	\draw (J) node {$\bullet$};
	%Graduations
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Rectangle en coin.}

\begin{tikzpicture}
	\def\xangledroit{0};
	\def\yangledroit{0};
	\def\longueurangledroit{0.5};
	\draw[fill=green!30,rotate around={{20}:({\xangledroit},{\yangledroit})}] ({\xangledroit},{\yangledroit}) rectangle ({\xangledroit+\longueurangledroit},{\yangledroit+\longueurangledroit});
\end{tikzpicture}

ou bien avec matrice rotation plus translation ici 45 degres et translation de vecteur (1,1).
\begin{tikzpicture}
		\def\code{0.2};
		\draw [cm={cos(-45) ,-sin(-45) ,sin(-45) ,cos(-45) ,(1,1)}]  ({-\code},{0}) -- ({0-\code},{0+\code}) -- (0,{0+\code});
\end{tikzpicture}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}

\subsection{Engrenages.}
\newcommand{\roue}[4]{% #1 = rayon, #2 = nombre de dents, #3 = X centre, #4 = Y centre
\foreach \i in {1,2,...,#2}
{
\pgfmathparse{360*(\i-1)/#2}\let\angle\pgfmathresult

\begin{scope}[shift={(#3,#4)}]
\pgfmathparse{#1*cos(90+360/(#2*4))}\let\Ax\pgfmathresult 
\pgfmathparse{#1*sin(90+360/(#2*4))}\let\Ay\pgfmathresult

\pgfmathparse{#1*cos(90-360/(#2*4))}\let\Bx\pgfmathresult
\pgfmathparse{#1*sin(90-360/(#2*4))}\let\By\pgfmathresult

\pgfmathparse{4*#1*cos(90+360/(#2*8))/3}\let\Cx\pgfmathresult
\pgfmathparse{4*#1*sin(90+360/(#2*8))/3}\let\Cy\pgfmathresult

\pgfmathparse{4*#1*cos(90-360/(#2*8))/3}\let\Dx\pgfmathresult
\pgfmathparse{4*#1*sin(90-360/(#2*8))/3}\let\Dy\pgfmathresult

\pgfmathparse{90-360/(#2*4)}\let\a\pgfmathresult
\pgfmathparse{90-1.5*360/(#2*2)}\let\b\pgfmathresult

\draw[rotate=\angle] (\Ax,\Ay) to[bend left=15] (\Cx,\Cy) -- (\Dx,\Dy) to[bend left=15] (\Bx,\By) arc (\a:\b:#1cm); 
\end{scope}
}
}

\begin{tikzpicture}
\roue{3}{20}{0}{0}
\roue{3}{16}{7.4}{2}
\end{tikzpicture}