%\documentclass{book} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{book} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hmargin={0.75cm,1cm},vmargin={0.5cm,1.25cm},twoside}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 
\settasks{
	% the next two should be set to the same value so labels are aligned to the
	% left
	%label-width = 1em ,
	%item-indent = 1em ,
	%before-skip = 0pt%-\parskip , % undo paragraph skip
	%after-skip =0pt% -\parskip , % undo paragraph skip
	after-item-skip = -2pt%-\parskip % undo paragraph skip
}

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown} \footnotesize}{}

\newenvironment{sujet}{}{}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \noindent Exemples.\vspace{-0.1cm}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\noindent {\color{BlueViolet}Remarques.\vspace{-0.1cm}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{Gray}}{}


%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} {\noindent\color{Black}EXERCICE \theExercice.} \addtocounter{Exercice}{1} \color{Black}}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\noindent\color{Brown}Exercice \theExercicecorrection. \footnotesize}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\textbf{\color{Orange}Définition \theDefinition.} \addtocounter{Definition}{1} \color{Orange} }{}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}{\textbf{\color{purple}Théorème \theTheoreme.}\addtocounter{Theoreme}{1}\color{purple}}{}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}{\textbf{\color{purple}Proposition \theProposition.} \addtocounter{Proposition}{1}\color{purple}}{}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\noindent{\textbf{\color{PineGreen} Démonstration}.} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{PineGreen}}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%Un bug apparu en faisant la mise à jour de pi: les listes tasks ne se colorie plus et restent noir malgrer les commande. La solution est ce truc:
\ExplSyntaxOn\makeatletter
%patch needed to get a around a problem in the l3-drivers
\AtBeginDocument{
 \cs_set_protected_nopar:Npn \color_ensure_current:
   {\set@color}
 }
\ExplSyntaxOff\makeatother 

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{}% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\footnotesize \thepage ]{\footnotesize \thepage }
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour abrege
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}\exclure{culturegenerale}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene}

%Pour les exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour les correction d'exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques}  \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\small

\subsection*{Valeur absolue.}

\subsubsection{Définition et propriétés algébriques.}

\begin{definition}
	Soit $x$ un réel. On appelle \emph{\color{purple}valeur absolue de $x$} le plus grand des deux nombres $x$ et $-x$. On note $|x|:=\max\{x,-x\}$.
\end{definition}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $|3|=3$ car $3\geqslant -3$ et donc $\max\{ 3,-3\}=3$.
		\item $|-3|=3$ car $-3\leqslant 3$ et donc $\max\{ -3,3\}=3$.
		\item $|0|=0$.
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Le plus souvent la valeur absolue est une entrave qui nous empêche d'avancer dans nos travaux c'est pourquoi nous essaierons le plus souvent d'obtenir des écriture sans valeur absolue.
		\item Autrement dit il faut prendre la \og version positive \fg{} du nombre, par exemple $|-3|=3$, $|5|=5$, $|0|=0$.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exercice}
	Donnez la valeur absolue de chacun des nombres suivants.
	\begin{tasks}(4)
		\task $-1$.
		\task $\frac{2}{3}$.
		\task $3,25$.
		\task $-0,06$.
		\task $-\frac{1}{7}$.
		\task $10^3$.
		\task $-\sqrt{2}$.
		\task $\sqrt{27}$.
		\task $-\frac{2}{3}$.
		\task $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
		\task $-\frac{1}{\sqrt{3}}$.
		\task $10^{-2}$.
		\task $\sqrt{2}-1$.
		\task $2-\sqrt{5}$.
		\task $\sqrt{13}-\sqrt{7}$.
		\task $\sqrt{2}-\sqrt{5}$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{proposition}
	Soit $x$ un nombre réel.
	\begin{enumerate}[(i)]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $|x|\geqslant 0$.
		\item Si $x$ est positif alors $|x|=x$.
		\item Si $x$ est négatif alors $|x|=-x$. 
		\item $|x|=0$ si et seulement si $x=0$. 
		\item $|x|=|-x|$. 
		\item $|xy|=|x|\times |y|$. 
		\item $|x|^2=|x^2|=x^2$. 
		\item $\sqrt{x^2}=|x|$. 
		\item $|x+y|\leqslant |x|+|y|$. 
		\item $|x-y|\leqslant |x|+|y|$. 
		\item $\left||x|-|y|\right|\leqslant |x+y|$.
	\end{enumerate}
\end{proposition}

\begin{preuve}
	\begin{enumerate}[*]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $x$ et $-x$ sont opposés et le plus grand est le positif donc $|x|$ désigne un nopmbre positif.
		\item Si $x$ est positif le maximum de $x$ et de $-x$ est $x$ car les nombres positifs sont supérieurs aux négatifs.
		\item De même, si $x$ est négatif, alors $-x$ est positif et est donc plus grand que $x$.
		\item $|x|=0\Leftrightarrow \max\{ x,-x\}=0 \Leftrightarrow x=0 \text{ ou } -x=0 \Leftrightarrow x=0$.
		\item $|x|=\max\{x,-x\}=\max\{-(-x),-x\}=\max\{-x,-(-x)\}=|-x|$.
		\item Si $x$ est positif et $y$ est négatif alors $|xy|=-xy$ et $|x| \times |y|=x \times (-y)=-xy$. On raisonne semblablement dans les autres cas.
		\item En application du point précédent: $|x|^2=|x^2|$. $x^2$ est positif donc $|x^2|=x^2$, d'après un point précédent.
		\item D'après le point précédent en appliquant la fonction racine carrée.
		\item 
		\item Découle du précédent appliqué à $x$ et $-y$.
		\item En appliquant l'inégalité triangulaire à $-x$ et $x+y$ on obtient $|x+y|\geqslant |y|-|x|$. On montre de même $|x+y|\geqslant |x|-|y|$. D'où $|x+y|\geqslant | |x|-|y||$.
	\end{enumerate}
\end{preuve}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item La valeur absolue permet de définir une distance $d$ sur $\mathbb{R}$: $d(x,y)=|x-y|$. Au collège la valeur absolue est souvent définie à partir de la distance entre les points associés aux nombres sur la droite numérique.
		\item $|x+y|\leqslant |x|+|y|$. est appelée l'inégalité triangulaire.
		\item $\left||x|-|y|\right|\leqslant |x+y|$ est appelée l'inégalité triangulaire inversée.
		\item Le résultat sur les produits fonctionne évidemment sur les quotients: $\left| \frac{x}{y} \right|=\frac{|x|}{|y|}$.
		\item On a aussi: $|x|=|y|\Leftrightarrow x=y\text{ ou }x=-y$.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exercice}
	Calculez $||7|-|-3|-|-7\times 3||-|-2|$.
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Calculez en détaillant.	
	\begin{tasks}(3)
		\task $A=|4|$.
		\task $B=|-1|$.
		\task $C=|0|$.
		\task $D=|-5|$.
		\task $E=|25+75|$.
		\task $F=|49-27|$.
		\task $G=|2-25|$.
		\task $H=|-23-18|$.
		\task $I=|-4(3-12)|$.
		\task $J=|3-2 \times 3^2|$.
		\task $K=6|4-11|-45$.
		\task $L=|28-12|^2$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\subsubsection{Interprétation géométrique: distance.}

\begin{lecon}
	
	La valeur absolue $|x|$ que vous avez déjà rencontrée au collège vous fut présentée comme la distance, sur la droite numérique, entre $0$ et $x$. Cette idée se généralise et permet de considérer la distance entre deux nombres.
	
	Un écart est une différence (soustraction). Une distance est un nombre positif. Donc pour avoir la distance qui sépare deux nombre on prend la valeur absolue de leur différence. Ainsi la distance (sur la droite numérique) qui sépare $2$ et $7$ n'est pas $2-7$ mais $|2-7|$.
	
	La valeur absolue est un outil commode pour noter la longueur séparant deux points de la droite numérique:
	
	\begin{tikzpicture}
		\draw [>=latex, ->] (-3,0) -- (5,0);
		\draw (0,0) node{$|$};
		\draw (0,-0.5) node {$0$};
		\draw (0,0.5) node {$O$};
		\draw (1,0) node{$|$};
		\draw (1,-0.5) node {$1$};
		\draw (3,0) node{$|$};
		\draw (3,-0.5) node {$3$};
		\draw (3,0.5) node {$B$};
		\draw (-1,0) node{$|$};
		\draw (-1,-0.5) node {$-1$};
		\draw (-1,0.5) node {$A$};
	\end{tikzpicture}
	
	Ici: $AB=d(A,B)= |x_A-x_B|=| -1-3|=4$.	
\end{lecon}

\begin{exercice}
	Placez sur la droite numérique les points proposés.
	
	\begin{tikzpicture}
		\draw [>=latex, ->] (-6,0) -- (6,0);
		\draw (0,0) node{$|$};
		\draw (0,-0.5) node {$0$};
		\draw (0,0.5) node {$O$};
		\draw (1,0) node{$|$};
		\draw (1,-0.5) node {$1$};
		\draw (1,0.5) node {$I$};
		\draw (3,0) node{$|$};
		\foreach \abs in {-5,-4,-3,-2,-1,2,3,4,5}{\draw ({\abs},0) node{$|$};}
	\end{tikzpicture}	
	\begin{tasks}(3)
		\task $A$ tel que $AO=4$.
		\task $B$ tel que $OB=2$.
		\task $C$ tel que $CO=-2$.
		\task $D$ tel que $DO=1$.
		\task $E$ tel que $OE=3$.
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	On considère la droite numérique:
	
	\begin{tikzpicture}
		\draw [>=latex, ->] (-6,0) -- (6,0);
		\draw (0,-0.5) node {$0$};
		\draw (1,-0.5) node {$1$};
		\foreach \abs in {-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}{\draw ({\abs},0) node{$|$};}
		\foreach \abs/\nom in {-5/A,-4/B,-3/C,-2/D,-1/E,0/O,1/I,2/F,3/G,4/H,5/K}{\draw ({\abs},0.5) node{$\nom$};}
		\draw [<->](-2,-1) --(3,-1) node [midway,below] {$3-(-2)=5$}; 
	\end{tikzpicture}
	
	Exemple: la distance entre $D$ et $G$ est $5$, $DG=5$.
	
	Lisez les distances proposées.
	\begin{tasks}(4)
		\task $FH$.
		\task $IK$.
		\task $HI$.
		\task $DK$.
		\task $BE$.
		\task $AI$.
		\task $EF$.
		\task $CH$.
		\task $FB$.
		\task $OB$.
		\task $BH$.
		\task $HA$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Déterminons les nombres de $\mathbb{R}$ vérifiant l'équation.
	\begin{tasks}(3)
		\task $|x|=7$.
		\task $|x|=\frac{2}{3}$.
		\task $|x|=\pi$.
		\task $|x-1|=1$.
		\task $|x-2|=3$.
		\task $|x+1|=1$.
		\task $|x-1|=0$.
		\task $|x+\sqrt{2}|=1$.
		\task $|x+5|=3$.
		\task $|x-5|+3=0$.
		\task $|2x-3|-1=0$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\subsubsection{Encadrements et intervalles.}

\begin{proposition}
	Soit $a$ un réel positif. Pour tout réel $x$, $|x|<a$ si et seulement si $-a<x<a$.
\end{proposition}

\begin{preuve}
	$|x|<a \Leftrightarrow \max\{x,-x\}<a \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x<a \\-x<a \end{array} \right.  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x<a \\x>-a \end{array} \right.  \Leftrightarrow -a<x<a$
\end{preuve}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item C'est une traduction de l'inégalité avec la valeur absolue que nous utiliserons souvent pour se débarrasser de la valeur absolue.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{lecon}	
	Faisons de la géométrie sur la droite numérique en nous demandant comment trouver l'abscisse du milieu d'un segment $[AB]$.
	
	\begin{tikzpicture}
		\draw [>=latex, ->] (-3,0) -- (5,0);
		\draw (0,0) node{$|$};
		\draw (0,-0.5) node {$0$};
		\draw (0,0.5) node {$O$};
		\draw (1,0) node{$|$};
		\draw (1,-0.5) node {$1$};
		\draw (1,0.5) node {$M$};
		\draw (3,0) node{$|$};
		\draw (3,-0.5) node {$3$};
		\draw (3,0.5) node {$B$};
		\draw (-1,0) node{$|$};
		\draw (-1,-0.5) node {$-1$};
		\draw (-1,0.5) node {$A$};
	\end{tikzpicture}
	
	Intuitivement, en tâtonnant, nous voyons que le milieu $M$ sera le point d'abscisse $x_M=1$. Comment l'obtenir par le calcul à partir des abscisses $x_A$ et $x_B$ des point $A$ et $B$? En faisant la moyenne des abscisses: $x_M=\frac{x_A+x_B}{2}$.
\end{lecon}

\begin{definition}
	Soient $a$ et $b$ des réels avec $a<b$. Nous appellerons \emph{\color{purple}centre de l'intervalle $[a,b]$} le nombre $c=\dfrac{a+b}{2}$ et \emph{\color{purple}rayon de l'intervalle $[a,b]$} le nombre $\dfrac{b-a}{2}$.
\end{definition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\item Autrement dit le centre de l'intervalle est le milieu du segment délimité par les points d'abscisses $a$ et $b$.
	\end{enumerate}	
\end{remarques}

\begin{proposition}
	Soient $a$ et $b$ des réels avec $a<b$. Si $x \in [a,b]$ (ou $a\leqslant x \leqslant b)$ alors $\left| x-\frac{a+b}{2} \right| \leqslant \frac{b-a}{2}$.
\end{proposition}

\begin{exercice}
	Déterminez les nombres $a$ et $\varepsilon$ tels que la relation donnée soit équivalente à $|x-a|\leqslant \varepsilon$.
	\begin{tasks}(3)
		\task $x\in[1;3]$.
		\task $x \in [-1;4]$.
		\task $x \in[-6,-2]$.
		\task $x \in \left[ \frac{3}{2},\frac{7}{2} \right]$.
		\task $x \in\left[ \frac{1}{2}, \frac{3}{4} \right]$.
		\task $x \in \left[ -\frac{1}{2},\frac{5}{4} \right]$.
		\task $x \in [3,2;7,8]$.
		\task $x \in [-1,4;2,6]$.
		\task $x \in[-4,6;2,1]$.
		\task $x \in [2,4 \times 10^{-4},5,5 \times 10^{-3}]$.
		\task $x \in [-3,8 \times 10^{-1}, 2,4 \times 10^{-2}]$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Déterminez les nombres $a$ et $b$ tels que la relation donnée soit équivalente à $x \in[a,b]$.
	\begin{tasks}(3)
		\task $2 \leqslant x-3 \leqslant 7$.
		\task $5 \leqslant 2x-1\leqslant 9$.
		\task $-3\leqslant -x+2\leqslant 4$.
		\task $-4\leqslant -3x+1\leqslant 5$.
		\task $-0,08\leqslant 2x-1\leqslant 2,04$.
		\task $0,24 \leqslant -4x+1 \leqslant 3,48$.
		\task $3 \leqslant 0,1x-1 \leqslant 5$.
		\task $-1 \leqslant -0,2x+3 \leqslant 3$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{proposition}
	Soient $a$ un réel et $\varepsilon$ un réel positif. Pour tout réel $x$, l'inégalité $|x-a|\leqslant\varepsilon$ signifie que $x$ est un élément de l'ensemble $[a-\varepsilon,a+\varepsilon]$.
\end{proposition}

\begin{preuve}
	$|x-a|<\varepsilon \Leftrightarrow -\varepsilon<x-a<\varepsilon \Leftrightarrow a-\varepsilon <x <a+\varepsilon \Leftrightarrow x \in ]a-\varepsilon,a+\varepsilon$.
\end{preuve}

\begin{exercice}
	Dessinez sur une droite numérique l'intervalle fermé dont on donne le centre et le rayon.
	
	Exemple: l'intervalle de centre $-1$ et de rayon $2$ est représenté par
	
	\begin{tikzpicture}
		\draw [>=latex, ->] (-6,0) -- (6,0);
		\draw (0,-0.5) node {$0$};
		\draw (1,-0.5) node {$1$};
		\foreach \abs in {-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}{\draw ({\abs},0) node{$|$};}
		\foreach \abs/\nom in {0/O,1/I}{\draw ({\abs},0.5) node{$\nom$};}
		\draw [red, thick](-3,0) --(1,0); 
		\draw [red] (-3,0) node{$[$};
		\draw [red] (1,0) node{$]$};
	\end{tikzpicture}	
	\begin{tasks}(3)
		\task Centre $1$ et rayon $5$.
		\task Centre $3$ et rayon $2$.
		\task Centre $-4$ et rayon $2$.
		\task Centre $-1$ et rayon $4$.
		\task Centre $3$ et rayon $3$.
		\task Centre $1$ et rayon $-3$.
		\task Centre $0$ et rayon $2$.
		\task Centre $-3$ et rayon $5$.
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Déterminez le centre, $c$, de l'intervalle proposé.	
	\begin{tasks}(3)
		\task $[4;6]$.
		\task $[3;227]$.
		\task $[-8;12]$.
		\task $[-139;-53]$.
		\task $[-28;5]$.
		\task $\left[4; \dfrac{1}{3} \right]$.
		\task $\left[ -\dfrac{2}{7}; -\dfrac{9}{14} \right]$.
		\task $\left[-\dfrac{2}{3}; \dfrac{5}{13} \right]$.
		\task $\left[\sqrt{17}; -\dfrac{1}{3} \right]$.
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Dessinez sur la droite numérique l'ensemble des points d'abscisses $x$.
	
	Exemple: si $x$ vérifie $|2-x|\leqslant 3$ alors 	
	
	\begin{tikzpicture}
		\draw [>=latex, ->] (-6,0) -- (6,0);
		\draw (0,-0.5) node {$0$};
		\draw (1,-0.5) node {$1$};
		\draw[red] (2,-0.5) node {$2$};
		\foreach \abs in {-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}{\draw ({\abs},0) node{$|$};}
		\foreach \abs/\nom in {0/O,1/I}{\draw ({\abs},0.5) node{$\nom$};}
		\draw [red, thick](-1,0) --(5,0); 
		\draw [red] (-1,0) node{$[$};
		\draw [red] (5,0) node{$]$};
	\end{tikzpicture}	
	\begin{tasks}(3)
		\task $|3-x|\leqslant 1$.
		\task $|1-x|\leqslant 4$.
		\task $|4-x|\leqslant 2$.
		\task $|x|\leqslant 4$.
		\task $|x-5|\leqslant 2$.
		\task $|x-3|\leqslant 2$.
		\task $|x+3|\leqslant 2$.
		\task $|x+1|\leqslant 4$.
		\task $|x+4|\leqslant 1$.
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Résolvez les inéquations suivantes (en raisonnant géométriquement). Il faut donc donner l'ensemble des solutions.	
	\begin{tasks}(3)
		\task $|4-x|\leqslant 3$.
		\task $|-134-x|\leqslant 5$.
		\task $|10^2-x|\leqslant -3$.
		\task $\left|\dfrac{3}{7}-x \right| \leqslant \dfrac{2}{11}$.
		\task $\left| x -10^3 \right| \leqslant \dfrac{10^3}{2}$.
		\task $\left| x +234 \right| \leqslant 29,5$.
		\task $\left| x +\sqrt{7} \right| \leqslant -12$.
		\task $\left| -x -27 \right| \leqslant 14$.
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Résolvez dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes.
	\begin{tasks}(3)
		\task $|x|\leqslant 3$.
		\task $|x|\geqslant 1$.
		\task $|x|<\frac{1}{2}$.
		\task $|2-x|\leqslant \frac{2}{3}$.
		\task $|1-x|\geqslant \sqrt{2}$.
		\task $|2x-1|\leqslant 1$.
		\task $|3-2x|\leqslant \frac{1}{3}$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\subsubsection{Fonction valeur absolue.}

\begin{definition}
	On appelle \emph{\color{purple}fonction valeur absolue} la fonction définie sur $\mathbb{R}$ et à valeurs dans $\mathbb{R}$ (et même $\mathbb{R}_+$) qui à tout nombre réel $x$ associe sa valeur absolue $|x|$.
\end{definition}


\begin{proposition}
	Tableau de signe de la fonction valeur absolue:	
	\begin{center}		
		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit{$x$ /.8 , $x^2$ /.8}{$-\infty$ , $0$, $+\infty$};
		\tkzTabLine{,+,0,+,}
		\end{tikzpicture}		
	\end{center}
\end{proposition}

\begin{preuve}
	Découle de la proposition énumérant des propriétés algébriques de la valeur absolue.
\end{preuve}

\begin{proposition}
	Tableau de variations de la fonction valeur absolue:	
	\begin{center}		
		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit{$x$/0.8,$x^2$/1.6}{$-\infty$ , $0$, $+\infty$}
		\tkzTabVar{+/,-/$0$,+/}
		\end{tikzpicture}		
	\end{center}	
\end{proposition}

\begin{preuve}
	Si $x$ est positif $|x|=x$. Autrement dit sur $\mathbb{R}_+$ valeur absolue se confond avec la fonction identité qui est strictement croissante.
	
	Si $x$ est négatif $|x|=-x$. Autrement dit sur $\mathbb{R}_-$ valeur absolue se confond avec la fonction $x \mapsto -x$ qui est strictement décroissante.
\end{preuve}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Les tableaux de variation et de signe nous donne des informations sur la représentation graphique de la valeur absolue mais surtout: $\left\{ \begin{array}{l} x, \text{ si } x\geqslant 0 \\ -x, \text{ si } x<0 \end{array} \right.$ Autrement dit c'est une fonction affine par morceaux: sur $\mathbb{R}_-^*$ c'est la fonction $x \mapsto -x$, sur $\mathbb{R}_+$ c'est la fonction identité $x \mapsto x$. Voici donc la représentation graphique de la fonction valeur absolue.
		\begin{center}			
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
				%extremites du graphique
				\def\xcoinbasgauche{-3};
				\def\xcoinhautdroit{3};
				\def\ycoinbasgauche{-0.1};
				\def\ycoinhautdroit{3};
				%Les deux grilles
				\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
				\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
				%Les deux axes
				\draw[ ->,thick,black] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->, thick,black] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y=|x|$};
				%repere orthonorme
				\coordinate (O) at ({0},{0});
				\draw (O) node[below left] {$O$};
				\draw (O) node {$\bullet$};
				\coordinate (I) at ({1},{0});
				%\draw (I) node[below left] {$I$};
				%\draw (I) node {$\bullet$};
				\coordinate (J) at ({0},{1});
				%\draw (J) node[below left] {$J$};
				%\draw (J) node {$\bullet$};
				%Graduations
				\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {1,2,3} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				%fonction
				\draw[orange, thick][samples=100,domain=-3:3] plot({\x},{sqrt(\x*\x)});
				\foreach \a in {-2,0,2} {\draw ({\a},{sqrt(\a*\a)}) node {\color{red}$\times$};}
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{proposition}
	La fonction valeur absolue est paire.
\end{proposition}

\begin{preuve}
	\begin{enumerate}[*]
		\item Valeur absolue est définie sur $\mathbb{R}$ qui est symétrique par rapport à $0$.
		\item $|-x|=|x|$ pour tout $x\in\mathbb{R}$.
	\end{enumerate}
	Des deux points précédents nous déduisons que valeur absolue est paire.
\end{preuve}

\subsubsection{Exercices.}

\begin{exercice}
	Résolvez graphiquement.
	\begin{tasks}
		\task $x$ est équidistant de $0$ et de $1$.
		\task $x$ est plus près de $0$ que de $1$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Résolvez les équations suivantes (en raisonnant géométriquement). Il faut donc donner l'ensemble des solutions.	
	\begin{tasks}(2)
		\task $|8-x|= 5$.
		\task $|-56-x|= 10$.
		\task $|3 \times 10^2-x|= -5 \times 10^{234}$.
		\task $\left|\dfrac{9}{5}-x \right| = \dfrac{8}{3}$.
		\task $\left| x -278 \right| = 200$.
		\task $\left| x +15 \right| = 18,1$.
		\task $\left| x +3\sqrt{2} \right| = -12$.
		\task $\left| -x -11 \right| = 200$.
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Résolvez les inéquations suivantes (en raisonnant géométriquement). Il faut donc donner l'ensemble des solutions.	
	\begin{tasks}(2)
		\task $|12-x|\geqslant 25$.
		\task $|-1-x|\geqslant 7$.
		\task $|10^{12}-x|\geqslant 3 \times 10^{12}$.
		\task $\left|\dfrac{12}{11}-x \right| \geqslant \dfrac{1}{11}$.
		\task $\left| x -34 \right| \geqslant \dfrac{1}{2}$.
		\task $\left| x +2456,4 \right| \geqslant 12,34$.
		\task $\left| x +\pi \right| \geqslant 12$.
		\task $\left| -x -56 \right| \geqslant 4$.
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Tracez la courbe représentative de la fonction valeur absolue, $x \mapsto |x|$, sur $[-4;4]$.	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Résolvez.
	\begin{tasks}(4)
		\task $|x|=7$.
		\task $|x|=-4$.
		\task $|x-4|=1$.
		\task $|1-2x|=3$.
		\task $|x-5|<2$.
		\task $|x+1|\geqslant 1$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Écrivez à l'aide de valeurs absolues puis en termes de distance, les inégalités suivantes.
	\begin{tasks}(2)
		\task $1\leqslant x\leqslant 6$.
		\task $-5<x<-3$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Soient $x$ et $y$ deux nombres réels tels que: $|x|<1$ et $|y|<1$.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Montrez que $|xy|<1$ et en déduire $1+xy>0$.
		\item Effectuez $(1-x)(1-y)$ et $(1+x)(1+y)$.
		\item Montrez que $\left| \frac{x+y}{1+xy} \right|<1$.
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	En distinguant quatre cas suivant le signe de $x$ et $y$, représentez dans le plan muni d'un repère l'ensemble des points $M$  dont les coordonnées $x$ et $y$ vérifient $|x|+|y|=1$.
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Démontrez que si $|x-1|<10^{-2}$, alors $|x^2-1|<3 \times 10^{-2}$.
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Soient $x$ et $y$ deux réels. On pose $z=\frac{x+y}{2}$. Comparez $d(x,y)$ et $d(y,z)$. Montrez que $z$ est compris entre $x$ et $y$.
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Démontrez que si $|x-2|<0,01$, alors $\left| \frac{1}{x}-\frac{1}{2} \right|<3 \times 10^{-3}$.
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Déterminez les nombres $a$ et $b$ tels que la relation donnée soit équivalente à $x \in]a,b[$.
	\begin{tasks}(3)
		\task $|x-3|<1$.
		\task $\left| x-\frac{1}{2} \right|<\frac{5}{2}$.
		\task $|x+1|<2$.
		\task $|-x+1|<\frac{1}{2}$.
		\task $|-x-5|<3$.
		\task $|2x-3|<1$.
		\task $|3x-4|<\frac{1}{2}$.
		\task $|4x-1|<5$.
		\task $\left| \frac{x}{3}-2\right| <1$.
		\task $\left| 3-\frac{x}{2} \right|<\frac{1}{2}$.
		\task $\left| \frac{x}{4}-\frac{1}{3} \right|<\frac{1}{6}$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Une droite $(d)$ est munie d'un repère $(O;\vec{i})$. $A$ et $B$ sont les points de $(d)$ d'abscisses respectives $-4$ et $2$, $M$ un point d'abscisse $x$. Déterminez l'ensemble des points $M$ dans chacun des cas suivants.
	\begin{tasks}
		\task $|x-2|+|x+4|=6$.
		\task $|x-2|+|x+4|=4$.
		\task $|x-2|+|x+4|=8$.
		\task $|x+4|\leqslant|x-2|$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		Exercices 146 à 153 page 71 du manuel Indice.
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{E}
	\begin{notabene}
		Inégalité triangulaire et autres joyeusetés
	\end{notabene}
	
	
\end{exercice}

\end{document}

\section{Modèles.}

\setlength{\parskip}{0pt}
\setlength{\itemsep}{0pt}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick,black] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick,black] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\draw (O) node {$\bullet$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\draw (I) node {$\bullet$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	\draw (J) node {$\bullet$};
	%Graduations
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Rectangle en coin.}

\begin{tikzpicture}
	\def\xangledroit{0};
	\def\yangledroit{0};
	\def\longueurangledroit{0.5};
	\draw[fill=green!30,rotate around={{20}:({\xangledroit},{\yangledroit})}] ({\xangledroit},{\yangledroit}) rectangle ({\xangledroit+\longueurangledroit},{\yangledroit+\longueurangledroit});
\end{tikzpicture}

ou bien avec matrice rotation plus translation ici 45 degres et translation de vecteur (1,1).
\begin{tikzpicture}
		\def\code{0.2};
		\draw [cm={cos(-45) ,-sin(-45) ,sin(-45) ,cos(-45) ,(1,1)}]  ({-\code},{0}) -- ({0-\code},{0+\code}) -- (0,{0+\code});
\end{tikzpicture}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}

\subsection{Engrenages.}
\newcommand{\roue}[4]{% #1 = rayon, #2 = nombre de dents, #3 = X centre, #4 = Y centre
\foreach \i in {1,2,...,#2}
{
\pgfmathparse{360*(\i-1)/#2}\let\angle\pgfmathresult

\begin{scope}[shift={(#3,#4)}]
\pgfmathparse{#1*cos(90+360/(#2*4))}\let\Ax\pgfmathresult 
\pgfmathparse{#1*sin(90+360/(#2*4))}\let\Ay\pgfmathresult

\pgfmathparse{#1*cos(90-360/(#2*4))}\let\Bx\pgfmathresult
\pgfmathparse{#1*sin(90-360/(#2*4))}\let\By\pgfmathresult

\pgfmathparse{4*#1*cos(90+360/(#2*8))/3}\let\Cx\pgfmathresult
\pgfmathparse{4*#1*sin(90+360/(#2*8))/3}\let\Cy\pgfmathresult

\pgfmathparse{4*#1*cos(90-360/(#2*8))/3}\let\Dx\pgfmathresult
\pgfmathparse{4*#1*sin(90-360/(#2*8))/3}\let\Dy\pgfmathresult

\pgfmathparse{90-360/(#2*4)}\let\a\pgfmathresult
\pgfmathparse{90-1.5*360/(#2*2)}\let\b\pgfmathresult

\draw[rotate=\angle] (\Ax,\Ay) to[bend left=15] (\Cx,\Cy) -- (\Dx,\Dy) to[bend left=15] (\Bx,\By) arc (\a:\b:#1cm); 
\end{scope}
}
}

\begin{tikzpicture}
\roue{3}{20}{0}{0}
\roue{3}{16}{7.4}{2}
\end{tikzpicture}