%\documentclass{book} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{book} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hmargin={0.75cm,1cm},vmargin={0.5cm,1.25cm},twoside}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 
\settasks{
	% the next two should be set to the same value so labels are aligned to the
	% left
	%label-width = 1em ,
	%item-indent = 1em ,
	%before-skip = 0pt%-\parskip , % undo paragraph skip
	%after-skip =0pt% -\parskip , % undo paragraph skip
	after-item-skip = -2pt%-\parskip % undo paragraph skip
}

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown} \footnotesize}{}

\newenvironment{sujet}{}{}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \noindent Exemples.\vspace{-0.1cm}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\noindent {\color{BlueViolet}Remarques.\vspace{-0.1cm}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{Gray}}{}


%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} {\noindent\color{Black}EXERCICE \theExercice.} \addtocounter{Exercice}{1} \color{Black}}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\noindent\color{Brown}Exercice \theExercicecorrection. \footnotesize}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\textbf{\color{Orange}Définition \theDefinition.} \addtocounter{Definition}{1} \color{Orange} }{}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}{\textbf{\color{purple}Théorème \theTheoreme.}\addtocounter{Theoreme}{1}\color{purple}}{}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}{\textbf{\color{purple}Proposition \theProposition.} \addtocounter{Proposition}{1}\color{purple}}{}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\noindent{\textbf{\color{PineGreen} Démonstration}.} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{PineGreen}}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%Un bug apparu en faisant la mise à jour de pi: les listes tasks ne se colorie plus et restent noir malgrer les commande. La solution est ce truc:
\ExplSyntaxOn\makeatletter
%patch needed to get a around a problem in the l3-drivers
\AtBeginDocument{
 \cs_set_protected_nopar:Npn \color_ensure_current:
   {\set@color}
 }
\ExplSyntaxOff\makeatother 

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{}% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\footnotesize \thepage ]{\footnotesize \thepage }
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour abrege
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}\exclure{culturegenerale}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene}

%Pour les exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour les correction d'exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques}  \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\small 

\subsection*{Fonctions de référence.}

\begin{notabene}
	En première lecture pour les élèves juste les résultats vus dans la leçon généralités sur les fonctions. Les démonstrations avec la leçon monotonie ou signe.
\end{notabene}

\subsubsection{Fonction identité.}

\begin{lecon}
	Les informations concernant la fonction identité relèvent de l'étude des fonctions affines. Il faut donc se référer à leçon idoine.
\end{lecon}

\subsubsection{Fonction carré.}

\begin{lecon}
	Soit $x$ un nombre réel. Le \emph{\color{purple}carré de $x$}, qu'on note $x^2$, est le nombre réel $x\times x$.
\end{lecon}

\begin{definition}
	La fonction carrée est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ et à valeurs dans $\mathbb{R}$ qui à chaque réel $x$ associe son carré $x^2$. Autrement dit: $\left\{ \begin{array}{ccl}
	\mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\
	x & \mapsto & x^2 
	\end{array} \right.$
\end{definition}

\begin{lecon}
	Avec la puissance de calcul des ordinateurs on peut obtenir une représentation graphique de la courbe représentative de la fonction carré qui est appelée une \emph{\color{purple}parabole} (ici pour $x\in[-2\ ;\ 2]$).
	\begin{center}	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
		\def\xY{-2};
		\def\yY{-1};
		\def\xZ{2};
		\def\yZ{5};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		%\draw[step=0.1cm,lightgray!60, very thin] (Y) grid (Z);
		%\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
		\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
		\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y=x^2$};
		\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
		\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \x};
		\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \y};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=-2:2] plot(\x,{(\x)^2});	
	\end{tikzpicture}
	\end{center}
\end{lecon}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Cette représentation graphique que nous n'avons pas démontrée pour l'instant doit être apprise par cœur car cela résume l'ensemble des connaissances que vous devez avoir concernant la fonction carré. Ce graphique permet de conjecturer un certain nombre d'éléments de la fonction carrée: un axe de symétrie, le signe (toujours positif), les variations,$\dots$
		\item La parabole présente une symétrie axiale dont l'axe est l'axe des ordonnées nous en reparlerons à propos de la parité.
		\item Commençons à justifier ce tracé en donnant un tableau de valeurs minimaliste et donc les coordonnées de points de la courbe.
		
		\begin{center}
			\begin{minipage}{0.4\linewidth}$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
			\hline
			x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2
			\\
			\hline
			x^2 & 4 & 1 & 0 & 1 & 4
			\\
			\hline
		\end{array}$\end{minipage} \quad 
		\begin{minipage}{0.4\linewidth}
	\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
		\def\xY{-2};
		\def\yY{-1};
		\def\xZ{2};
		\def\yZ{5};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		%\draw[step=0.1cm,lightgray!60, very thin] (Y) grid (Z);
		%\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
		\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
		\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y=x^2$};
		\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
		\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \x};
		\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \y};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=-2:2] plot(\x,{(\x)^2});
		\foreach \a in {-2,-1,...,2} {\draw ({\a},{\a*\a}) node {\color{red}$\times$};}	
	\end{tikzpicture}
	\end{minipage}
	\end{center}
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{proposition}
	Tableau de signe de la fonction carré:	
	\begin{center}		
		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit{$x$ /.8 , $x^2$ /.8}{$-\infty$ , $0$, $+\infty$};
		\tkzTabLine{,+,0,+,}
		\end{tikzpicture}		
	\end{center}	
\end{proposition}

\begin{preuve}	
	\objectif{Montrons que la fonction carré est positive (ou nulle).}
	
	Soit $x\in\mathbb{R}$.
	
	Le produit  de deux nombres de même signe est un nombre positif donc: $x^2=x\times x\ge 0$.
	
	\objectif{Recherchons les valeurs de $x$ pour lesquelles $x^2$ égale 0.}
	
	$x^2=0 \Leftrightarrow x\times x=0$ est une équation produit. Donc $x^2=0$ équivaut à $x=0$ ou $x=0$. Autrement dit $x^2=0$ si et seulement si $x=0$.	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Nous retrouvons comme avec le tableau de valeurs que $\mathscr{C}_f$ passe par l'origine du repère. Nous pouvons ajouter que c'est le seul point de contact avec l'axe des abscisses et que le reste de $\mathscr{C}_f$ est situé strictement au-dessus de l'axe des abscisses.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{proposition}
	Tableau de variations de la fonction carrée:	
	\begin{center}		
		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit{$x$/0.8,$x^2$/1.6}{$-\infty$ , $0$, $+\infty$}
		\tkzTabVar{+/,-/$0$,+/}
		\end{tikzpicture}		
	\end{center}	
\end{proposition}

\begin{preuve}	
	\objectif{Montrons que la fonction carrée est strictement croissante sur $[0\ ;\ +\infty [$.}
		
	Soient $x_1$ et $x_2$ deux nombres quelconques dans $[0\ ;\ +\infty [$ tels que: $x_1<x_2$.
	
	D'une part:
	
	$$x_1^2\le x_2\times x_1\text{, car } x_1\ge 0$$
	
	et d'autre part:
	
	$$x_1x_2<  x_2^2\text{, car } x_2 x_2>x_1\ge 0$$
	
	On en déduit: 
	
	$$x_1^2\le x_1x_2<x_2^2$$
	
	et donc $x_1^2 <x_2^2$.
	
	\begin{conclusion}		
		Nous avons démontrés que la fonction carrée est strictement croissante sur $\mathbb{R}_+$.		
	\end{conclusion}
	
	\medskip
	\objectif{Montrons que la fonction carrée est strictement décroissante sur $]-\infty \ ;\ 0]$.}
	
	Soient $x_1$ et $x_2$ deux nombres quelconques dans $]-\infty \ ;\ 0]$ tels que: $x_1<x_2$.
	
	D'une part:
	
	$$x_1^2\trous[0.5cm]{> }x_2\times x_1\text{, car } x_1\trous[1cm]{x_1<x_2 \le 0}$$
	
	et d'autre part:
	
	$$x_1x_2\trous[0.5cm]{\ge } x_2^2\text{, car } x_2 \trous[1cm]{x_2\le 0}$$
	
	On en déduit: 
	
	$$x_2^2\le \trous[2cm]{x_1x_2}<x_1^2$$
	
	et donc $x_2^2 \trous[0.5cm]{<}x_1^2$.
	
	\begin{conclusion}		
		Nous avons démontrés que la fonction carrée est strictement décroissante sur $\mathbb{R}_-$.		
	\end{conclusion}	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Autrement dit: la fonction carrée est strictement décroissante sur $]-\infty \ ;\ 0]$ et strictement croissante sur $[0\ ;\ +\infty [$.
		\item La fonction carrée n'est pas une fonction affine.
		
		\begin{preuve}
			
			{\color{orange}Nous avions vu qu'une fonction est affine si et seulement si son taux d'accroissement est constant (quelles que soient les valeurs choisies pour $x_1$ et $x_2$.
				
				Nous allons démontrer que le taux d'accroissement n'est pas constant.}
			
			\medskip
			\objectif{Déterminons deux taux d'accroissements distincts pour la fonction carrée.}
			
			\begin{enumerate}[\text{Cas }1:]
				\item Si $x_1=0$ et $x_2=1$ alors le taux d'accroissement de la fonction carrée entre $x_1$ et $x_2$ est: $$\tau=\frac{x_1^2-x_2^2}{x_1-x_2}=1$$
				\item Si $x_1=0$ et $x_2=-1$ alors le taux d'accroissement de la fonction carrée entre $x_1$ et $x_2$ est: $$\tau=\frac{x_1^2-x_2^2}{x_1-x_2}=-1$$
			\end{enumerate}
			
			\begin{conclusion}
				
				Le taux d'accroissement n'est donc pas constant et la fonction carrée n'est pas une fonction affine.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{preuve}
		\item Nous pouvons être sûrs qu'entre les points de coordonnées $(-2;4)$ et $(-1;1)$ la courbe ne fait que descendre et ne remonte pas (inutile de calculer toutes les valeurs intermédiaires).
		\begin{center}
		\begin{minipage}{0.4\linewidth}
	\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
		\def\xY{-2};
		\def\yY{-1};
		\def\xZ{2};
		\def\yZ{5};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		%\draw[step=0.1cm,lightgray!60, very thin] (Y) grid (Z);
		%\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
		\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
		\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y=x^2$};
		\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
		\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \x};
		\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \y};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=-1:2] plot(\x,{(\x)^2});
		\draw[blue, thick] (-2,4) -- (-1.5,4.8) -- (-1,1);
		\foreach \a in {-2,-1,...,2} {\draw ({\a},{\a*\a}) node {\color{Green}$\times$};}
		\draw [very thick,red] (-2,5) -- (2,-1);
		\draw [very thick,red] (2,5) -- (-2,-1);
	\end{tikzpicture}
	\end{minipage} \quad 
		\begin{minipage}{0.4\linewidth}
	\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
		\def\xY{-2};
		\def\yY{-1};
		\def\xZ{2};
		\def\yZ{5};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		%\draw[step=0.1cm,lightgray!60, very thin] (Y) grid (Z);
		%\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
		\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
		\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y=x^2$};
		\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
		\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \x};
		\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \y};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=-2:2] plot(\x,{(\x)^2});
		\foreach \a in {-2,-1,...,2} {\draw ({\a},{\a*\a}) node {\color{Green}$\times$};}		\end{tikzpicture}
	\end{minipage}
	\end{center}
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exercice}	
	Dans chaque cas comparez les nombres $A$ et $B$ sans utiliser la calculatrice.	
	\begin{tasks}(3)
		\task $A=\left( \frac{3}{4} \right) ^2$ et $B=\left( \frac{4}{3} \right)^2$,
		\task $A=1,001^2$ et $B=1,0099^2$,
		\task $A=-2,3^2$ et $B=(-2,3)^2$.
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{tasks}
		\task \objectif{Comparons $A$ et $B$.}
		
		{\color{orange}Nous allons utiliser le fait qu'une fonction croissante conserve l'ordre.}
		
		La fonction carrée est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
		
		Or $\frac{3}{4}<1<\frac{4}{3}$ et $\frac{3}{4}$ et $\frac{4}{3}$ sont dans $[0;+\infty[$ donc 
		
		\begin{conclusion}			
			\[ \left( \frac{3}{4} \right)^2 < \left( \frac{4}{3} \right)^2 \]			
		\end{conclusion}		
		\task \objectif{Comparons $A$ et $B$.}
		
		\medskip
		La fonction carrée est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
		
		Or $1,001<1,0099$ et $1,001$ et $1,0099$ sont dans $[0;+\infty[$ donc 
		
		\begin{conclusion}			
			\[ 1,001^2 < 1,0099^2 \]			
		\end{conclusion}		
		\task \objectif{Comparons $A$ et $B$.}
		
		{\color{orange}$-2,3^2$ n'est pas une image par la fonction carrée. La précédente méthode ne fonctionnera donc pas.}
		
		Clairement: $-2,3^2<0<(-2,3)^2$
		
		\begin{conclusion}			
			\[ -2,3^2<(-2,3)^2 \]			
		\end{conclusion}		
	\end{tasks}
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Encadrez $x^2$, puis $3x^2$, le plus précisément possible, dans les cas suivants:
	\begin{tasks}(3)
		\task $1\le x \le 4$,
		\task $-2\le x <-0,5$,
		\task $-2 \le x < 3$,
		\task $-10\le x \le 10$.
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	{\color{orange}Pour avoir un résultat très précis il faut raisonner algébriquement. Sinon une résolution graphique convient. Cette dernière est même parfois plus simple et efficace.}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Recopiez et complétez sans justification les phrases suivantes.	
	\begin{tasks}
		\task Si $x\le -7$, alors $x^2\dots$
		\task Si $x\ge 5\sqrt{2}$, alors $x^2\dots$
		\task Si $-7\le x \le 5\sqrt{2}$, alors $\dots \le x^2 \le \dots$
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Prouvez que les propositions suivantes sont fausses.	
	\begin{tasks}
		\task Si $x\le 1$, alors $x^2\le 1$.
		\task Si $x>-\sqrt{10}$, alors $x^2<10$.
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\begin{exercice}	
	Résolvez graphiquement les inéquations
	\begin{tasks}(3)
		\task $x^2\le 5$.
		\task $x^2>5$.
		\task $x$ est négatif et $x^2\le 5$.
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\subsubsection{Fonction inverse.}

\begin{definition}	
	La \emph{\color{purple}fonction inverse} est définie sur $\mathbb{R}\setminus \{ 0 \}$ (tous les nombres sauf $0$) par $x \mapsto \frac{1}{x}$.
\end{definition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item La courbe représentative de la fonction inverse est appelée une \emph{\color{purple}hyperbole}.
		\item L'hyperbole présente une symétrie centrale dont le centre est l'origine du repère nous en reparlerons à propos de la parité.
		\item L'ensemble $\mathbb{R} \setminus \{ 0 \}$ peut aussi être noté $]-\infty ; 0[ \cup ]0 ; +\infty [$ ou $\mathbb{R}^*$.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{proposition}	
	Tableau de signe de la fonction inverse.
	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $\frac{1}{x}$ /0.8}
	{$-\infty$ ,$0$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,-,d,+,}%
	\end{tikzpicture}
	\end{center}
\end{proposition}

\begin{preuve}
	Si $x>0$, alors $frac{1}{x}>0 \Leftrightarrow 1>0$ et cette dernière assertion est vraie. De même si $x<0$ alors $\frac{1}{x}\geqslant 0 \Leftrightarrow 1\leqslant 0$ et cette dernière assertion est fausse. Le cas $x=0$ est exclus car la fonction n'est pas définie en $0$.
\end{preuve}

\begin{proposition}
	Tableau de variation de la fonction inverse.
	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $\frac{1}{x}$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$0$, $+\infty$}
	\tkzTabVar {+/ , -D+ / , - /  }
	\end{tikzpicture}
	\end{center}
\end{proposition}

\begin{preuve}
	Nous allons démontrer trois choses: la fonction inverse est strictement décroissante sur $\mathbb{R}_-^*$, sur $\mathbb{R}_+^*$, mais pas sur $\mathbb{R}$.	
	\begin{enumerate}[*]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Soient $x_1,x_2 \in \mathbb{R}_-^*$ tels que $x_1<x_2$.
		Donc		
		\begin{align*}
			\frac{x_1}{x_2} &> \frac{x_2}{x_2} \quad \text{car }x_2<0\\
			\frac{x_1}{x_2} &> 1\\
			\frac{1}{x_1} \times \frac{x_1}{x_2} &< \frac{1}{x_1} \times 1 \quad \text{car } \frac{1}{x_1}<0\\
			\frac{1}{x_2} &< \frac{1}{x_1}
		\end{align*}		
		Donc 
		
		\begin{conclusion}			
			la fonction inverse est strictement décroissante sur $\mathbb{R}_-^*$.			
		\end{conclusion}		
		\item Idem pour $\mathbb{R}_+^*$.		
		\item $-2<2$ et pourtant $-\frac{1}{2}< \frac{1}{2}$ donc la fonction inverse n'est pas décroissante sur $\mathbb{R}$.
	\end{enumerate}	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Aux tableaux de signes et variations adjoignons un succinct tableau de valeurs: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
			\hline
			x & -2 & -1 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 & 2
			\\
			\hline
			\frac{1}{x} & -\frac{1}{2} & -1 & -2 & 2 & 1 & \frac{1}{2}
			\\
			\hline
		\end{array}\] et nous pouvons donner l'allure de la représentation graphique de la fonction inverse sur $[-2;2]$.
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\def\xY{-2};
			\def\yY{-2};
			\def\xZ{2};
			\def\yZ{2};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y=\frac{1}{x}$};
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \x};
			\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize \y};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0.5:2] plot(\x,{1/\x});
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=-2:-0.5] plot(\x,{1/\x});
			\foreach \a in {-2,-1,-0.5,0.5, 1,2} {\draw ({\a},{1/\a}) node {\color{red}$\times$};}
			%\draw[blue] (3,2.5) node[fill=white] {$x \mapsto \frac{1}{x}$};		
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\subsubsection{Fonction racine carrée.}

\begin{definition}	
	La \emph{\color{purple}fonction racine carrée} est définie sur $[0; +\infty[$ (tous les nombres positifs) comme la fonction qui a tout $x\in\mathbb{R}_+$ associe l'unique nombre $a$ positif tel que $a^2=x$.
\end{definition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Il s'agit d'une définition implicite nous ne connaissons pas la valeur de $a$ et qui plus son existence est affirmée sans être justifiée.
		\item La fonction racine carrée étant définie sur $\mathbb{R}_+$ sa représentation graphique sera tout entière à droite de l'axe des ordonnées.
		\item Pour des propriétés algébriques voyez la leçon sur la racine carrée.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{proposition}
	Tableau de signe de la fonction racine carrée.	
	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $\sqrt{x}$ /0.8}
	{$0$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{z,+,}%
	\end{tikzpicture}
	\end{center}
\end{proposition}

\begin{preuve}
	C'est une conséquence directe de la définition de la racine carrée d'un nombre positif.
\end{preuve}

\begin{proposition}
	La fonction racine carrée est strictement croissante (sur $\mathbb{R}_+$).
\end{proposition}

\begin{preuve}	
	\objectif{Supposons $a<b$ et démontrons que $\sqrt{a} < \sqrt{b}$.}
	
	{\color{orange}Nous allons en fait démontrer que $\sqrt{b}-\sqrt{a}>0$.}
	
	Puisque $a<b$: \[ b-a>0.\]	
	Or, $a$ et $b$ étant positifs,	
	\begin{align*}
		b-a &= \sqrt{b}^2-\sqrt{a}^2\\
		&= \left( \sqrt{b}-\sqrt{a} \right)\left( \sqrt{b}+\sqrt{a} \right)
	\end{align*}	
	donc	
	\begin{align*}
		\left( \sqrt{b}-\sqrt{a} \right)\left( \sqrt{b}+\sqrt{a} \right) &> 0\\
		\intertext{Et comme $\left( \sqrt{b}+\sqrt{a} \right)>0$:}
		\frac{\left( \sqrt{b}-\sqrt{a} \right)\left( \sqrt{b}+\sqrt{a} \right)}{\color{orange}\left( \sqrt{b}+\sqrt{a} \right)} &> \frac{0}{\color{orange}\left( \sqrt{b}+\sqrt{a} \right)}\\
		\sqrt{b}-\sqrt{a} &> 0
	\end{align*}	
	\begin{conclusion}		
		Ainsi dès que $a<b$ forcément $\sqrt{a}< \sqrt{b}$.		
	\end{conclusion}
\end{preuve}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Nous n'avons pas dressé le tableau de variation car la fonction racine carrée est strictement monotone et il est donc plus simple de le dire en français.
		\item Ce résultat constitue une nouvelle façon de transformer une inéquation. Lorsque nous verrons $x^2+x^4<8+x^2$ alors nous pourrons affirmer que $\sqrt{x^2+x^4}<\sqrt{8+x^2}$.
		\item Ajoutons aux précédentes informations un tableau de valeurs: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|}
			\hline
			x & 0 & 1 & 4 & 9
			\\
			\hline
			\sqrt{x} & 0 & 1 & 2 & 3
			\\
			\hline
		\end{array}\]
		et nous pouvons donner l'allure de la représentation graphique de la fonction racine carrée:
		\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
		\def\xY{-0.5};
		\def\yY{-0.5};
		\def\xZ{9.5};
		\def\yZ{4.5};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
		\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
		\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
		\foreach \x in {1,2,...,8}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \x};
		\foreach \y in {1,2,...,4}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize \y};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:9.5] plot(\x,{sqrt(\x)});
		%\draw[blue] (3,4) node[fill=white] {$x \mapsto \sqrt{x}$};
		\foreach \a in {0,1,4,9} {\draw ({\a},{sqrt(\a)}) node {\color{red}$\times$};}
		\end{tikzpicture}
		\end{center}
		\item La courbe représentative de la fonction racine carrée est une branche de parabole.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\subsubsection{Fonction cube.}

\begin{definition}	
	La \emph{\color{purple}fonction cube} est définie sur $\mathbb{R}$ par $x\mapsto x^3$.	
\end{definition}

\begin{proposition}	
	Tableau de signe de la fonction cube.
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $x^3$ /0.8}
		{$-\infty$, $0$, $+\infty$}
		\tkzTabLine{,-,z,+,}%
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
\end{proposition}

\begin{preuve}
	Avec un tableau de signe en remarquant $x^3=xx^2$.
\end{preuve}

\begin{proposition}
	La fonction cube est strictement croissante (sur $\mathbb{R}$).
\end{proposition}

\begin{preuve}
	\begin{enumerate}[*]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item \objectif{Démontrons que la fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}_+$.}
		
		{\color{orange}Nous allons utiliser une identité remarquable qui vous est encore inconnue: \[ a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2). \]}
		
		Soient $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ tels que $x_1 < x_2$.
		
		\objectif{Démontrons que $x_1^3 < x_2^3$.}
		
		Ou plutôt, ce qui revient au même démontrons que $x_2^3-x_1^3>0$.
		
		Pour étudier le signe d'une expression il vaut mieux qu'elle soit factorisée: $x_2^3-x_1^3 = (x_2-x_1)(x_1^2+x_1x_2 + x_2^3)$.
		
		D'une part, par hypothèse, \[ x_2-x_1>0. \]
		
		D'autre part, puisque $0 \leqslant x_1<x_2$: $x_1\geqslant 0$, $x_1x_2\geqslant 0$ et $x_2^2>0$ donc \[ x_1^2+x_1x_2+x_2^2>0. \]
		
		Donc: \[ (x_2-x_1)(x_1^2+x_1x_2 + x_2^3)>0. \]
		
		Ainsi, si $0\leqslant x_1<x_2$ alors $x_1^3<x_2^3$.
		
		Autrement dit
		
		\begin{conclusion}			
			la fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}_+$.			
		\end{conclusion}		
		\item La fonction cube étant impaire nous en déduisons par symétrie, que la fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}_-$.		
		\item Il reste à s'assurer que si $x_1\leqslant 0\leqslant x_2$ nous avons toujours conservation de l'ordre.
	\end{enumerate}	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Ajoutons aux précédentes informations un tableau de valeurs: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|}
			\hline
			x & -1 & 0 & 1 
			\\
			\hline
			\sqrt{x} & -1 & 0 & 1 			\\
			\hline
		\end{array}\]
		et nous pouvons donner l'allure de la représentation graphique de la fonction cube:		
		\begin{center}				
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\def\xY{-2};
			\def\yY{-4.5};
			\def\xZ{2};
			\def\yZ{4.5};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y=x^3$};
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \x};
			\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize \y};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=-1.6:1.6] plot(\x,{\x*\x*\x});
			%\draw[blue] (3,4) node[fill=white] {$x^3$};
			\foreach \a in {-1,0,1} {\draw ({\a},{\a*\a*\a}) node {\color{red}$\times$};}	
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\subsubsection{Fonction valeur absolue.}

\begin{lecon}
	Confer la leçon correspondante.
\end{lecon}

\subsubsection{Exercices.}

\begin{exercice}
	
	Associez, sans aucune justification, chaque fonction à sa courbe représentative.
	
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
		$ \displaystyle f_1:x\mapsto \frac{1}{x} $,
		&
		$\displaystyle f_2: x\mapsto x $,
		\\
		$\displaystyle f_3:  x\mapsto \sqrt{x} $ ,
		&
		$\displaystyle f_4:x\mapsto x^2 $.
		\\
	\end{tabularx}

	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\def\xY{-0.5};
			\def\yY{-0.5};
			\def\xZ{8.5};
			\def\yZ{4.5};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {1,2,...,8}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \x};
			\foreach \y in {1,2,...,4}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize \y};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:8] plot(\x,{sqrt(\x)});	
			\end{tikzpicture}
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\def\xY{-4};
			\def\yY{-4};
			\def\xZ{4};
			\def\yZ{4};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {-3,-2,...,3}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \x};
			\foreach \y in {-3,-2,...,3}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize \y};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0.25:4] plot(\x,{1/\x});
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=-4:-0.25] plot(\x,{1/\x});	
			\end{tikzpicture}
			
		\end{minipage}
		
	\end{tabularx}
	
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\def\xY{-3};
			\def\yY{-1};
			\def\xZ{3};
			\def\yZ{9};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {-2,-1,...,2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \x};
			\foreach \y in {0,...,8}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize \y};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=-3:3] plot(\x,{\x *\x});
			\end{tikzpicture}
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\def\xY{-5};
			\def\yY{-5};
			\def\xZ{5};
			\def\yZ{5};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {-3,-2,...,3}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \x};
			\foreach \y in {-3,-2,...,3}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize \y};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=-4:4] plot(\x,{\x});
			\end{tikzpicture}
			
		\end{minipage}
		
	\end{tabularx}

\end{exercice}

\subsubsection{Positions relatives de fonctions de références.}

\begin{lecon}
	Nous allons discuter de la position relative des courbes d'équations $y=x$, $y=x^2$, $y=x^3$ pour $x \geqslant 0$.
\end{lecon}

\end{document}

\section{Modèles.}

\setlength{\parskip}{0pt}
\setlength{\itemsep}{0pt}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick,black] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick,black] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\draw (O) node {$\bullet$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\draw (I) node {$\bullet$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	\draw (J) node {$\bullet$};
	%Graduations
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Rectangle en coin.}

\begin{tikzpicture}
	\def\xangledroit{0};
	\def\yangledroit{0};
	\def\longueurangledroit{0.5};
	\draw[fill=green!30,rotate around={{20}:({\xangledroit},{\yangledroit})}] ({\xangledroit},{\yangledroit}) rectangle ({\xangledroit+\longueurangledroit},{\yangledroit+\longueurangledroit});
\end{tikzpicture}

ou bien avec matrice rotation plus translation ici 45 degres et translation de vecteur (1,1).
\begin{tikzpicture}
		\def\code{0.2};
		\draw [cm={cos(-45) ,-sin(-45) ,sin(-45) ,cos(-45) ,(1,1)}]  ({-\code},{0}) -- ({0-\code},{0+\code}) -- (0,{0+\code});
\end{tikzpicture}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}

\subsection{Engrenages.}
\newcommand{\roue}[4]{% #1 = rayon, #2 = nombre de dents, #3 = X centre, #4 = Y centre
\foreach \i in {1,2,...,#2}
{
\pgfmathparse{360*(\i-1)/#2}\let\angle\pgfmathresult

\begin{scope}[shift={(#3,#4)}]
\pgfmathparse{#1*cos(90+360/(#2*4))}\let\Ax\pgfmathresult 
\pgfmathparse{#1*sin(90+360/(#2*4))}\let\Ay\pgfmathresult

\pgfmathparse{#1*cos(90-360/(#2*4))}\let\Bx\pgfmathresult
\pgfmathparse{#1*sin(90-360/(#2*4))}\let\By\pgfmathresult

\pgfmathparse{4*#1*cos(90+360/(#2*8))/3}\let\Cx\pgfmathresult
\pgfmathparse{4*#1*sin(90+360/(#2*8))/3}\let\Cy\pgfmathresult

\pgfmathparse{4*#1*cos(90-360/(#2*8))/3}\let\Dx\pgfmathresult
\pgfmathparse{4*#1*sin(90-360/(#2*8))/3}\let\Dy\pgfmathresult

\pgfmathparse{90-360/(#2*4)}\let\a\pgfmathresult
\pgfmathparse{90-1.5*360/(#2*2)}\let\b\pgfmathresult

\draw[rotate=\angle] (\Ax,\Ay) to[bend left=15] (\Cx,\Cy) -- (\Dx,\Dy) to[bend left=15] (\Bx,\By) arc (\a:\b:#1cm); 
\end{scope}
}
}

\begin{tikzpicture}
\roue{3}{20}{0}{0}
\roue{3}{16}{7.4}{2}
\end{tikzpicture}