<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">%\documentclass{book} %DÃ‰SACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{book} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace aprÃ¨s la virgule dans l'Ã©criture dÃ©cimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%Ã©criture des nombres avec des espaces et en Ã©criture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractÃ©ristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hmargin={0.75cm,1cm},vmargin={0.5cm,1.25cm},twoside}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amÃ©lioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour crÃ©er des liens Ã&nbsp; l'intÃ©rieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiÃ©e par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent Ãªtre vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de tÃ©lÃ©phone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cÅ“ur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%Ã©numÃ©ration avec des lettres
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 
\settasks{
	% the next two should be set to the same value so labels are aligned to the
	% left
	%label-width = 1em ,
	%item-indent = 1em ,
	%before-skip = 0pt%-\parskip , % undo paragraph skip
	%after-skip =0pt% -\parskip , % undo paragraph skip
	after-item-skip = -2pt%-\parskip % undo paragraph skip
}

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour Ã©crire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer Ã&nbsp; tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractÃ¨re accentuÃ© (option lourdingue Ã&nbsp; rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extÃ©rieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de dÃ©finir une prÃ©sentation personnalisÃ© par un ensemble de configuration enregistrÃ© dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpÃ©e molÃ©cule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redÃ©finir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown} \footnotesize}{}

\newenvironment{sujet}{}{}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement dÃ©tais du barÃ¨me
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \noindent Exemples.\vspace{-0.1cm}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\noindent {\color{BlueViolet}Remarques.\vspace{-0.1cm}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{Gray}}{}


%Pour redÃ©finir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} {\noindent\color{Black}EXERCICE \theExercice.} \addtocounter{Exercice}{1} \color{Black}}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\noindent\color{Brown}Exercice \theExercicecorrection. \footnotesize}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\textbf{\color{Orange}DÃ©finition \theDefinition.} \addtocounter{Definition}{1} \color{Orange} }{}

%environnement thÃ©orÃ¨me il est possible d'ajouter un titre de thÃ©orÃ¨me en mettant entre accolade le titre aprÃ¨s le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}{\textbf{\color{purple}ThÃ©orÃ¨me \theTheoreme.}\addtocounter{Theoreme}{1}\color{purple}}{}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}{\textbf{\color{purple}Proposition \theProposition.} \addtocounter{Proposition}{1}\color{purple}}{}

%environnement dÃ©monstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\noindent{\textbf{\color{PineGreen} DÃ©monstration}.} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{PineGreen}}

%environnement conclusion encadrÃ© et colorÃ©
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'Ã©crire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite Ã&nbsp; trous
\sfalse%affiche la rÃ©ponse

%Pour faire une case Ã&nbsp; trou complÃ©table sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%Un bug apparu en faisant la mise Ã&nbsp; jour de pi: les listes tasks ne se colorie plus et restent noir malgrer les commande. La solution est ce truc:
\ExplSyntaxOn\makeatletter
%patch needed to get a around a problem in the l3-drivers
\AtBeginDocument{
 \cs_set_protected_nopar:Npn \color_ensure_current:
   {\set@color}
 }
\ExplSyntaxOff\makeatother 

%#########################
%en tÃªte puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{}% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\footnotesize \thepage ]{\footnotesize \thepage }
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour abrege
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}\exclure{culturegenerale}

%Pour cours intÃ©grale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene}

%Pour les exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour les correction d'exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillÃ© sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillÃ© correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillÃ© intÃ©grale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numÃ©rotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %Ã€ mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement dÃ©commenter.
%\pagenumbering{arabic} %Ã€ copier dÃ©commentÃ© 

\begin{document}

\small 

\subsection*{21 Monotonie des fonctions.}

\subsubsection{Variation et courbe reprÃ©sentative.}

\begin{notabene}
	
	PrÃ©senter sur la courbe reprÃ©sentative de la fonction cube la notion de croissance. Et en fait dire qu'il ne s'agit pas de la fonction cube et zoomer et se rendre compte qu'il y a d'autre variation.	
	
\end{notabene}

	\begin{notabene}
		
		Ã€ aire avec GÃ©ogÃ©bra szoomer Ã&nbsp; la roulette jusqu'Ã&nbsp; obtenir l'intervalle $[-0,002;0,002]$ puis tirer Ã&nbsp; la souris sur l'axe de ordonnÃ©es pour continuer Ã&nbsp; zooer sur l'axe des ordonnÃ©es.
		
	\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	\noindent \begin{tabular}{m{4cm}m{5cm}}
		Lorsque nous voyons que la courbe reprÃ©sentative d'une fonction $f$ monte cela traduit le fait que la quantitÃ© $f(x)$ augmente Ã&nbsp; mesure que $x$ augmente. Ci-contre le bÃ©nÃ©fice augmente Ã&nbsp; mesure que la quantitÃ© produite augmente.
		&amp;
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			\def\xY{0};
			\def\yY{0};
			\def\xZ{7};
			\def\yZ{6};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ -&gt;,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0);
			\draw ({\xZ-1},-0.25) node {QuantitÃ© produite (tonne)};
			\draw[ -&gt;,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ);
			\draw (2,{\yZ-0.25}) node {BÃ©nÃ©fice (milliers d'euros)};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(sqrt(4*\x+0.5)});
			\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathscr{C}_f$};
		\end{tikzpicture}
	\end{tabular}	
	
	La situation n'est pas toujours aussi simple: il peut y avoir des changement de sens de variation comme pour le sinus ci-dessous.
		
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		\def\xY{-4};
		\def\yY{-1};
		\def\xZ{4};
		\def\yZ{1};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
		\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
		\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\draw[ -&gt;,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0);
		\draw[ -&gt;,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ);
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=-4:4] plot(\x,{sin(360/(2*3.1416)*\x)});
		\draw[blue] (1.75,-0.5) node[fill=white] {$\mathscr{C}_{\sin}$};
	\end{tikzpicture}
	
	\noindent\begin{tabular}{m{5cm}m{4cm}}
		Regardons ce qui se passe dans une situation purement mathÃ©matique.Nous allons essayer comme d'habitude d'Ã©tudier le gÃ©omÃ©trique (la courbe monte) en en donnant une interprÃ©tation avec des coordonnÃ©es.
		
		On a dessinÃ© ci-contre la courbe reprÃ©sentative de la fonction $f:x \mapsto (x-0,001)^2(x+0,001)$.
		
		Nous voyons que la courbe monte. Cela traduit bien le fait que les $f(x)$ augmente Ã&nbsp; mesure que les $x$ augmentent.
		&amp;
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=0.5]
			\def\xY{-2};
			\def\yY{-8};
			\def\xZ{2};
			\def\yZ{8};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ -&gt;,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ -&gt;,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y=f(x)$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=-2:2] plot(\x,{(\x-0.001)*(\x-0.001)*(\x+0.001)});
			\draw[blue] (1.25,6) node[fill=white] {$\mathscr{C}_f$};
		\end{tikzpicture}
	\end{tabular}
	
	\noindent \begin{tabular}{m{5cm}m{4cm}}
		Par exemple si les $x$ passent d'une valeur $x_1$ Ã&nbsp; une plus grande valeur $x_2$ on constate qu'on est passÃ© d'une image $f(x_1)$ Ã&nbsp; une plus grande image $f(x_2)$.
		&amp;
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=0.5]
			\def\xY{-2};
			\def\yY{-8};
			\def\xZ{2};
			\def\yZ{8};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ -&gt;,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ -&gt;,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y=f(x)$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=-2:2] plot(\x,{(\x-0.001)*(\x-0.001)*(\x+0.001)});
			\draw[blue] (1.25,6) node[fill=white] {$\mathscr{C}_f$};
			\draw [red, dashed] (-1.5,0) -- (-1.5,{(-1.5-0.001)*(-1.5-0.001)*(-1.5+0.001)});
			\draw [red] (-1.5,0.5) node {$x_1$};
			\draw [violet, dashed] (0,{(-1.5-0.001)*(-1.5-0.001)*(-1.5+0.001)}) -- (-1.5,{(-1.5-0.001)*(-1.5-0.001)*(-1.5+0.001)});
			\draw [violet] (0.5,{(-1.5-0.001)*(-1.5-0.001)*(-1.5+0.001)}) node {$f(x_1)$};
			\draw [red, dashed] (1.2,0) -- (1.2,{(1.2-0.001)*(1.2-0.001)*(1.2+0.001)});
			\draw [red] (1.2,-0.5) node {$x_2$};
			\draw [violet, dashed] (0,{(1.2-0.001)*(1.2-0.001)*(1.2+0.001)}) -- (1.2,{(1.2-0.001)*(1.2-0.001)*(1.2+0.001)});
			\draw [violet] (-0.5,{(1.2-0.001)*(1.2-0.001)*(1.2+0.001)}) node {$f(x_2)$};
			\draw [red, very thick, &gt;=latex,-&gt;] (-1,-0.5) -- (0.9,-0.5);
			\draw [violet, very thick, &gt;=latex,-&gt;] (0.5,{(-1.5-0.001)*(-1.5-0.001)*(-1.5+0.001)+0.5}) -- (0.5,{(1.2-0.001)*(1.2-0.001)*(1.2+0.001)-0.5});
		\end{tikzpicture}
	\end{tabular}
	
	
	\noindent \begin{tabular}{m{5cm}m{4cm}}
		Alors que si la courbe descend, lorsque les $x$ augment les images $g(x)$ diminuent:
		&amp;
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=0.5]
			\def\xY{-2};
			\def\yY{-8};
			\def\xZ{2};
			\def\yZ{8};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ -&gt;,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ -&gt;,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y=g(x)$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=-2:2] plot(\x,{-(\x-0.001)*(\x-0.001)*(\x+0.001)});
			\draw[blue] (1.25,-6) node[fill=white] {$\mathscr{C}_g$};
			\draw [red, dashed] (-1.5,0) -- (-1.5,{-(-1.5-0.001)*(-1.5-0.001)*(-1.5+0.001)});
			\draw [red] (-1.5,-0.5) node {$x_1$};
			\draw [violet, dashed] (0,{-(-1.5-0.001)*(-1.5-0.001)*(-1.5+0.001)}) -- (-1.5,{-(-1.5-0.001)*(-1.5-0.001)*(-1.5+0.001)});
			\draw [violet] (0.5,{-(-1.5-0.001)*(-1.5-0.001)*(-1.5+0.001)}) node {$g(x_1)$};
			\draw [red, dashed] (1.2,0) -- (1.2,{-(1.2-0.001)*(1.2-0.001)*(1.2+0.001)});
			\draw [red] (1.2,0.5) node {$x_2$};
			\draw [violet, dashed] (0,{-(1.2-0.001)*(1.2-0.001)*(1.2+0.001)}) -- (1.2,{-(1.2-0.001)*(1.2-0.001)*(1.2+0.001)});
			\draw [violet] (-0.5,{-(1.2-0.001)*(1.2-0.001)*(1.2+0.001)}) node {$g(x_2)$};
			\draw [red, very thick, &gt;=latex,-&gt;] (-1,0.5) -- (0.9,0.5);
			\draw [violet, very thick, &gt;=latex,-&gt;] (0.5,{-(-1.5-0.001)*(-1.5-0.001)*(-1.5+0.001)-0.5}) -- (0.5,{-(1.2-0.001)*(1.2-0.001)*(1.2+0.001)+0.5});
		\end{tikzpicture}
	\end{tabular}
	
	
	\noindent \begin{tabular}{m{5cm}m{4cm}}
		Pourquoi aller regarder ce qui ce passe pour les $x$ et les $f(x)$? Pourquoi ne pas se contenter de la reprÃ©sentation graphique pour dire si Ã§a augmente ou diminue?
		
		Parce que nous ne pouvons nous fier Ã&nbsp; nos sens. Agrandissons la courbe reprÃ©sentative au voisinage de $0$ en nous plaÃ§ant sur $[-2 \times 10^{-9},2 \times 10^9]$.
		
		Nous avons besoin d'un outil qui ne peut se tromper: une dÃ©finition analytique des variations d'une fonction.
		&amp;
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=0.5]
			\def\xY{-2};
			\def\yY{-8};
			\def\xZ{2};
			\def\yZ{8};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ -&gt;,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ -&gt;,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y=f(x)$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=-1.8:2] plot(\x,{(\x-1)*(\x-1)*(\x+1)});
			\draw[blue] (1.25,6) node[fill=white] {$\mathscr{C}_f$};
		\end{tikzpicture}
	\end{tabular}
	
	
\end{lecon}

\subsubsection{DÃ©crire la variation en franÃ§ais.}

\begin{lecon}
	
	Les \emph{\color{purple}fonctions monotones} sont les fonctions dont le sens de variation ne change pas. Graphiquement: la courbe ne fait que monter ou que descendre.
	
	\medskip
	\noindent \begin{tabular}{m{2.8cm}|m{2.8cm}|m{2.8cm}|m{2.8cm}}
		Fonction \emph{\color{purple}croissante}.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.25]
				\def\xY{-3};
				\def\yY{-6};
				\def\xZ{3};
				\def\yZ{4};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
				\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
				\draw[ -&gt;,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ -&gt;,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw[blue, thick](-3,-5)--(-1,1)--(1,1)--(3,3);
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		&amp;
		
		Fonction \emph{\color{purple}strictement croissante}.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.25]
				\def\xY{-3};
				\def\yY{-3};
				\def\xZ{3};
				\def\yZ{6};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
				\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
				\draw[ -&gt;,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ -&gt;,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw[blue, thick][samples=50,domain=-3:3] plot(\x,{0.1*((\x+4) ^2-4)});
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		&amp;
		
		Fonction \emph{\color{purple}dÃ©croissante}.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.25]
				\def\xY{-3};
				\def\yY{-4};
				\def\xZ{3};
				\def\yZ{5};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
				\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
				\draw[ -&gt;,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ -&gt;,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw[blue, thick](-3,4)--(-1,4)--(1,1)--(3,-4);
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		&amp;
		
		Fonction \emph{\color{purple}strictement dÃ©croissante}.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.25]
				\def\xY{-3};
				\def\yY{-6};
				\def\xZ{3};
				\def\yZ{1};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
				\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
				\draw[ -&gt;,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ -&gt;,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw[blue, thick][samples=50,domain=-3:3] plot(\x,{-0.1*((\x+4) ^2-4)});
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\\ \hline 
	\end{tabular}
	
\end{lecon}

\begin{lecon}
	
	Une fonction n'est pas monotone lorsqu'elle est tantÃ´t croissante tantÃ´t dÃ©croissante. Dans ce cas il faut prÃ©ciser sur quelles parties du domaine de dÃ©finition elle est croissante ou dÃ©croissante.
	
	\begin{notabene}
		
		Lorsque $x$ augmente de $-3$ Ã&nbsp; $-2$, $f(x)$ diminue de $5$ Ã&nbsp; $1$. Ce que nous traduirons en disant:
		
	\end{notabene}
	
	\noindent \begin{tabular}{m{4cm}m{0.5cm}m{7cm}}
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
				\def\xY{-3};
				\def\yY{-1.5};
				\def\xZ{3.2};
				\def\yZ{5.5};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
				\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
				\draw[ -&gt;,thick,black] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ -&gt;,thick, black] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw node[below left](0,0){\small $O$};
				\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize $I$};
				\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  $J$};
				\draw[blue, thick](-3,5)--(-2,1)--(-1,1)--(0,3);
				\draw[blue, thick][samples=50,domain=0:2] plot(\x,{-\x^2+3});
				\draw[blue, thick][samples=50,domain=2:3] plot(\x,{(\x-2) ^2-1});
				\draw(1.5,4)node[fill=white]{\color{blue}$\mathcal{C}_f$};
				\draw[blue] (3,0) node{$\bullet$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		&amp;&amp;
		
		Nous dirons que:\newline
		$f$ est strictement dÃ©croissante sur $]-\infty;-2]$,\newline
		$f$ est constante sur $[-2;-1]$,\newline
		$f$ est strictement croissante sur $[-1;0]$,\newline
		$f$ est strictement dÃ©croissante sur $[0;2]$,\newline
		$f$ est strictement croissante sur $[2;3]$.
		
		\smallskip
		La courbe fait Ã©galement apparaÃ®tre des \emph{\color{purple}sommets} (points haut ou bas de la courbe).
		
		\smallskip 
		Nous dirons que, par exemple, \emph{\color{purple}$f$ admet un minimum (absolu) Ã©gale Ã&nbsp; $-1$ qui est atteint pour $x=2$}.
		
		\smallskip
		Ou encore que \emph{\color{purple}$f$ admet un maximum local sur $]-2;3[$ qui est Ã©gale Ã&nbsp; $3$ et qui est atteint en $x=0$}.
		\\ \end{tabular}
		
\end{lecon}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Avec un moyen informatique on obtient la courbe reprÃ©sentative de $h:x \mapsto -x^3+18x^2-99x+162$.
		
		\noindent\begin{tabular}{m{6cm}m{6cm}}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
			%extremites du graphique
			\def\xcoinbasgauche{0};
			\def\xcoinhautdroit{10};
			\def\ycoinbasgauche{-2};
			\def\ycoinhautdroit{4};
			%Les deux grilles
			%\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
			%Les deux axes
			\draw[ -&gt;,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ -&gt;, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
			%repere orthonorme
			\coordinate (O) at ({0},{0});
			\draw (O) node[below left] {$O$};
			%\draw (O) node {$\bullet$};
			%\coordinate (I) at ({1},{0});
			%\draw (I) node[below left] {$I$};
			%\draw (I) node {$\bullet$};
			\coordinate (J) at ({0},{1});
			%\draw (J) node[below left] {$J$};
			%\draw (J) node {$\bullet$};
			%Graduations
			\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{10*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			%fonction
			\draw[orange, thick][samples=100,domain=1.4:9.9] plot({\x},{(-\x*\x*\x+18*\x*\x-32*3*\x+150)/10});
			\draw[orange] (4.5,1.25) node {$\mathscr{C}_h$};
		\end{tikzpicture}
		&amp;
		DÃ©crivons les variations de $h$. $h$ est strictement dÃ©croissantes sur $]-\infty,4]$ et sur $[8,+\infty[$. $h$ est strictement croissante sur $[4;8]$.
		
		DÃ©crivons les extrema. $f$ n'admet aucun maximum ou minimum (absolu). $f$ admet un minimum local sur $]-\infty , 8[$ Ã©gale Ã&nbsp; $-10$ qui est atteint en $4$; $f$ admet un maximum local sur $]4,+\infty[$ Ã©gale Ã&nbsp; $13$ qui est atteint en $8$.
		\end{tabular}
		\item Description de la variation des fonctions de rÃ©fÃ©rence: carrÃ©, cube, racine carrÃ©e, inverse.
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Ici l'adjectif local utilisÃ© pour parler d'un extremum n'est pas nÃ©cessairement pertinente. En effet il n'y a un extremum local que s'il existe un intervalle ouvert sur lequel la fonction admet un extremum. Si bien qu'un maximum absolu obtenu au borne du domaine de dÃ©finition n'est pas un maximum local. On parle plutÃ´t d'\emph{\color{purple}extremum relatif Ã&nbsp; un intervalle} (une partie du domaine de dÃ©finition). J'ai choisi de parler d'extremum local car cette notion apparaÃ®t dans le programme de premiÃ¨re.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exercice}
	Avec la calculatrice affichez la courbe reprÃ©sentative de la fonction $f$ puis dÃ©crivez la variation de $f$ et enfin prÃ©cisez les extrema de $f$ sur $\mathbb{R}$ dans les cas suivants.
	\begin{tasks}(2)
		\task $f:x \mapsto \frac{1}{2}x^2-2x-1$.
		\task $f:x \mapsto x^3+\frac{3}{2}x^2-60x+55$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\subsubsection{Un schÃ©ma pour dÃ©crire les variations d'une fonction.}

\begin{lecon}
	
	Les longues phrases n'Ã©tant pas du goÃ»t des matheux nous prÃ©fÃ©rerons un schÃ©ma. Nous schÃ©matiserons la courbe reprÃ©sentative de la fonction par un \emph{\color{purple}tableau de variation}.
	
		\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
			\def\xY{-3};
			\def\yY{-1.5};
			\def\xZ{3};
			\def\yZ{5.5};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[step=0.1cm,lightgray!60, very thin] (Y) grid (Z);
			\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
			\draw[ -&gt;,very thick,violet] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ -&gt;,very thick,orange] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw node[below left](0,0){\small $O$};
			\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize $I$};
			\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  $J$};
			\draw[black, thick](-3,5)--(-2,1)--(-1,1)--(0,3);
			\draw[black, thick][samples=50,domain=0:2] plot(\x,{-\x^2+3});
			\draw[black, thick][samples=50,domain=2:3] plot(\x,{(\x-2) ^2-1});
			\draw(1.5,4)node[fill=white]{\color{black}$\mathcal{C}_f$};
		\end{tikzpicture}
		{\color{black}\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
			\tkzTabInit[lgt=2, deltacl=0.5, espcl=1.6, color, colorV=violet!50, colorL=violet!50, colorC=orange!50, colorT=orange!50]{$x$ /1, $f$ /2}
			{$-\infty$, $-2$, $-1$, $0$, $2$, $3$}
			\tkzTabVar{+/ /, -/ $1$ / , -/ $1$, + / $3$, -/ $-1$, +/ $0$ /}
		\end{tikzpicture}}
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Une courbe correspondant Ã&nbsp; une fonction monotone.		
		\item Une courbe correspondant Ã&nbsp; une fonction non monotone.
		\item 
		Dressons le tableau de variation de la fonction $x \mapsto 0,06(x-2)(x-3)(x+5)$ sur $[-10;10]$ d'aprÃ¨s la calculatrice.
		\item Proposer une reprÃ©sentation graphique de la fonction $f$ Ã&nbsp; partir de son tableau de variation.
		
		\begin{tikzpicture}[yscale=0.78]
			\tkzTabInit[color,lgt=1.3,espcl=2.85, lw=0.3mm]
			{ $x$ / 1,  $f$ / 2}{ $0$,$2$, $4$, $+\infty$}
			\tkzTabVar{+/2,-/-1,+/4,-/}
		\end{tikzpicture}
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Dans un tableau de variation apparaissent bien sÃ»r les variations mais aussi les \emph{\color{purple}extremum} (\emph{\color{purple}minimum} ou \emph{\color{purple}maximum}, \emph{\color{purple}absolu} ou \emph{\color{purple}local}).
		\item Les valeurs dans un tableau de variation sont toutes exactes. Pas de valeur approchÃ©e. Comme d'habitude si on ne possÃ¨de pas la valeur exacte on utilise une lettre pour dÃ©signer ce nombre.
		\item Il est possible de dÃ©crire la variation de la fonction Ã&nbsp; partir du tableau de variation sans connaÃ®tre la courbe reprÃ©sentative.
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}


\begin{exercice}		
	ComplÃ©ter le tableau de variation proposÃ© Ã&nbsp; partir de la reprÃ©sentation graphique.
	
	\noindent\begin{tikzpicture}[yscale=0.78]
			\tkzTabInit[color,lgt=1.3,espcl=1.5, lw=0.3mm]			
			{ $x$ / 1,  $f$ / 2}{ $-4$,$\dots$,$\ldots$,$\ldots$}
			\tkzTabVar[color=white]{+/$\ldots$,-/$\ldots$,+/1, -/$-1{,}5$}
		\end{tikzpicture} \hfill
	\begin{tikzpicture}[scale=0.70]
			%extremites du graphique
			\def\xcoinbasgauche{-4};
			\def\xcoinhautdroit{4};
			\def\ycoinbasgauche{-1.75};
			\def\ycoinhautdroit{2};
			%Les deux grilles
			\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
			%Les deux axes
			\draw[ -&gt;,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ -&gt;, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
			%repere orthonorme
			\coordinate (O) at ({0},{0});
			\draw (O) node[below left] {$O$};
			\draw (O) node {$\bullet$};
			\coordinate (I) at ({1},{0});
			\draw (I) node[below left] {$I$};
			\draw (I) node {$\bullet$};
			\coordinate (J) at ({0},{1});
			\draw (J) node[below left] {$J$};
			\draw (J) node {$\bullet$};
			\draw[smooth, very thick, color=purple] plot coordinates{(-4,2)(-1,-1.5)(1,1)(4,-1.5)};
			\draw [purple] (-4,2) node {$\bullet$};
			\draw [purple] (4,-1.5) node {$\bullet$};
		\end{tikzpicture}	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Voici le tableau de variation d'une fonction $f$.
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
			\tkzTabInit[color,lgt=1.3,espcl=1.85,lw=0.3mm]{ $x$ / 1, $f$ / 2}
			{ $-\infty$ , $-2$ , $1$ , $3$,  $5$}
			\tkzTabVar[color=white]{ +/ , -/ $2$ , +/ $3$ , -/ $-2$ , +/ $4$}
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\begin{tasks}
		\task Quel est l'ensemble de dÃ©finition de la fonction $f$ ?
		\task DÃ©crivez par des phrases le sens de variation de la fonction $f$.
		\task PrÃ©ciser les extrema Ã©ventuels de la fonction $f$ et pour quelle(s) valeur(s) ils sont atteints.
		\task Tracer deux courbes diffÃ©rentes susceptibles de reprÃ©senter graphiquement la fonction $f$.% dans un repÃ¨re.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	On donne le tableau de variation d'une fonction $g$.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
			\tkzTabInit[color,lgt=1.3,espcl=2.46, lw=0.3mm]{ $x$ / 1, $g$ / 2}
			{ $-4$ , $-1$ , $2$ , $5$}
			\tkzTabVar[color=white]{ +/ $2$ , -/ $-3$ , +/ $3$ , -/ $-1$}
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\begin{tasks}
		\task Quel est l'ensemble de dÃ©finition de $g$?
		\task DÃ©crivez par des phrases les variations de $g$.
		\task Tracez dans un repÃ¨re une courbe pouvant reprÃ©senter $g$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Soit $f$ une fonction dÃ©finie sur l'intervalle $[-2;7]$. On sait que:
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $f$ est strictement croissante sur $[-2;5]$ et sur $[6;7]$;
		\item $f$ est strictement dÃ©croissante sur $[5;6]$;
		\item $f(-2)=f(6)=-1$ et $f(5)=f(7)=1$.
	\end{enumerate}
	
	Construisez le tableau de variation de $f$ puis tracez dans un repÃ¨re une courbe pouvant reprÃ©senter $f$.
\end{exercice}

\subsubsection{Une vraie dÃ©finition.}

\begin{lecon}
	Comme nous l'avons remarquÃ© en introduction nous ne pouvons nous fier Ã&nbsp; nos yeux, Ã&nbsp; la calculatrice ou Ã&nbsp; notre intuition pour connaÃ®tre la variation d'une fonction. Il nous faut une dÃ©finition de cette notion qui ne permet aucune ambiguÃ¯tÃ©. Voici celle qui a Ã©tÃ© retenue.
\end{lecon}

\begin{definition}	
	Soient $f$ une fonction dÃ©finie sur un ensemble $\mathscr{D}_f$, un ensemble $E$ tel que $E \subset \mathscr{D}_f$. Nous dirons que $f$ est \emph{\color{purple}croissante sur} $E$ lorsque, quels que soient $x_1$ et $x_2$ choisis dans $E$, si $x_1&lt;x_2$ alors, forcÃ©ment, $f(x_1)\leqslant f(x_2)$.
\end{definition}

\begin{notabene}
	Avec les Ã©lÃ¨ves Ã©crire les trois autres dÃ©finition pour qu'ils mÃ©morisent la dÃ©finition et voit ce qui peut changer ou pas.
\end{notabene}

\begin{remarques}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Nous pouvons dÃ©finir de mÃªme:
		
		\begin{enumerate}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item $f$ est \emph{strictement croissante} ssi dÃ¨s lors que $\alpha &lt;  \beta$ alors forcÃ©ment $f(\alpha)&lt;f(\beta)$.
			\item $f$ est \emph{strictement dÃ©croissante} ssi dÃ¨s lors que $\alpha &lt;  \beta$ alors forcÃ©ment $f(\alpha)&gt; f(\beta)$.
			\item $f$ est \emph{dÃ©croissante} ssi dÃ¨s lors que $\alpha &lt;  \beta$ alors forcÃ©ment $f(\alpha)\geqslant f(\beta)$.
		\end{enumerate}
		\item Nous retiendrons que \emph{\color{purple}les fonctions croissantes conservent l'ordre tandis que les fonctions dÃ©croissantes ne conservent pas l'ordre}.
		\item C'est une dÃ©finition complexe. Il faut comprendre l'idÃ©e correspondante: dire que $f$ est \emph{\color{purple}croissante} c'est dire que \emph{\color{purple}quand les $x$ augmentent les $f(x)$ augmentent aussi}. Il faut commencer Ã&nbsp; se familiariser avec l'aspect technique.
		\item Une fonction qui est croissante ou dÃ©croissante sur tout son ensemble de dÃ©finition est dite \emph{\color{purple}monotone}. Il existe des fonctions qui ne sont pas monotone comme la fonction carrÃ©.		
		\item La monotonie de trouver de nouvelles inÃ©quations mais pas d'Ã©quivalences. Ainsi, la fonction racine carrÃ©e Ã©tant croissante, de $x^2+1\leqslant x^2+4$, nous pouvons dÃ©duire: $\sqrt{x^2+1}\leqslant \sqrt{x^2+4}$.
		\item DÃ©montrer qu'une fonction n'est pas monotone sur un ensemble revient Ã&nbsp; montrer qu'une proposition universelle (quel que soit, pour tout) est fausse: il suffi d'exhiber un contre-exemple.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Regarder le paragraphe suivant pour des exemples graphiques de fonctions avec divers sens de variation. Vous connaissez au moins l'allure des courbes reprÃ©sentatives des fonctions de rÃ©fÃ©rence et vous pouvez donc conjecturer leur monotonie.		
		\item Nous avons dÃ©jÃ&nbsp; Ã©tabli et nous reverrons que la monotonie d'une fonction affine est liÃ©e au signe de son coefficient dominant.		
		\item Nous avons dÃ©montrÃ© dans la leÃ§on sur racine carrÃ©e que c'est une fonction strictement croissante.
		\item \objectif{DÃ©montrons que la fonction cube n'est pas dÃ©croissante sur $\mathbb{R}$.}
		
		$1&lt;2$ et pourtant $1^3&lt;2^3$ car $1^3=1$ et $2^3=8$.
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{exercice}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item DÃ©montrez que $(x+1)(x-2)&gt;0$ pour tout $x \in ]2,+\infty[$.
		\item DÃ©duisez-en que, pour $x \in ]2,+\infty[$, $x^2-x&gt;2$.
		\item DÃ©duisez-en, finalement que $\sqrt{x^2-x}&gt;\sqrt{2}$ pour tout $x \in ]2,+\infty[$.
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\subsubsection{Extrema.}

\begin{lecon}
	LÃ&nbsp; encore nous allons donner une dÃ©finition mathÃ©matique formelle de la plus grande ou de la plus petite valeur qui soit exempte d'ambiguÃ¯tÃ©.
\end{lecon}

\begin{definition}
	Soient $f$ une fonction et un ensemble $E \subset \mathscr{D}_f \subset \mathbb{R}$. On dit que \emph{\color{purple}$f$ admet un maximum sur $E$} si et seulement si il existe $x_0\in E$ tel que, quel que soit $x \in E$, $f(x)\leqslant f(x_0)$. Dans ce cas $f(x_0)$ est appelÃ© \emph{\color{purple}le maximum de $f$ sur $E$}.
\end{definition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Nous avons une dÃ©finition semblable pour le minimum. \emph{\color{purple}$f$ admet un minimum sur $E$} ssi il existe $x_0\in E$ tel que: $\forall x \in E,\ f(x)\geqslant f(x_0)$. Dans ce cas $f(x_0)$ est appelÃ© \emph{\color{purple}le minimum de $f$ sur $E$}.
		\item Le terme gÃ©nÃ©rique pour parler du maximum ou du minimum est \emph{\color{purple}extremum}. Il est surtout utiliser pour poser des questions sans donner la rÃ©ponse aux Ã©lÃ¨ves.
		\item La dÃ©finition fait intervenir l'existence d'un nombre ce qui n'est jamais simple Ã&nbsp; Ã©tablir. Montrer qu'il y a un maximum ou un minimum peut Ãªtre trÃ¨s difficile.
		\item Le plus souvent au lycÃ©e pour dÃ©montrer l'existence d'un maximum ou d'un minimum nous utiliserons le tableau de variation.
		\item Pour montrer qu'une fonction n'a pas de maximum il faut montrer qu'il y a toujours une image plus grande que n'importe quel maximum putatif. Deux cas: inverse sur $\mathbb{R}_-$ et cube sur $\mathbb{R}_+$.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\item La fonction carrÃ© n'admet pas de minimum sur $]0;2]$ mais admet un maximum en $2$ Ã©gale Ã&nbsp; $4$. La fonction carrÃ© est croissante sur $]0,2]$ donc sont minimum ne pourrait Ãªtre qu'en $0$ mais $0$ ne fait pas partie de l'ensemble de dÃ©finition.
		\item La fonction cube n'admet ni minimum ni maximum.
		\item \objectif{Montrons que la fonction $g: x \mapsto -2(x+1)^2+3$ admet un maximum sur $\mathbb{R}$ en $-1$.}
		
		Soit $x \in\mathbb{R}$.
		\begin{align*}
			(x+1)^2 &amp;\geqslant 0\\
			-2(x+1)^2 &amp;\leqslant -2 \times 0 \text{, car -2&lt;0}\\
			-2(x+1)^2 &amp;\leqslant 0\\
			-2(x+1)^2+3 &amp;\leqslant 0+3\\
			g(x) &amp;\leqslant 3
		\end{align*}
		De plus $g(-1)=3$.
		
		\begin{conclusion}
			$g$ admet, sur $\mathbb{R}$, un maximum Ã©gale Ã&nbsp; $3$ qui est atteint en $-1$.
		\end{conclusion}
		\item La fonction inverse est minorÃ©e, par $0$, sur $\mathbb{R}_+$ (elle ne prend pas de valeur plus petite que $0$) mais elle n'admet pas de minimum car la valeur $0$ n'est jamais atteinte.
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{exercice}
	Montrez que $f:x \mapsto 7(x-15)^2-9$ admet un minimum sur $\mathbb{R}$.
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Soit $f$ la fonction dÃ©finie par $f(x)= \frac{9-x^2}{1+x^2}$ sur $\mathbb{R}$.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item 
		\begin{enumerate}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item RÃ©solvez algÃ©briquement l'Ã©quation $f(x)=-1$.
			\item Montrez que pour tout rÃ©el $x$, $f(x) \geqslant -1$. \emph{Pour comparer deux nombres on peut chercher le signe de leur diffÃ©rence.}
			\item $-1$ est-il le minimum de $f$ sur $\mathbb{R}$?
		\end{enumerate}
		\item En utilisant la calculatrice tracez la courbe de $f$ dans un repÃ¨re bien choisi.
		\item Conjecturez le maximum de $f$ sur $[-5;5]$ et en quelle valeur il est atteint.
		\item DÃ©montrez que tous les rÃ©els ont une image infÃ©rieure ou Ã©gale Ã&nbsp; $9$ et validez la conjecture prÃ©cÃ©dente.
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\subsubsection{Variation des fonctions affines.}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Montrons que la fonction affine dÃ©finie sur $\mathbb{R}$ par: $\forall x\in \mathbb{R},\ f(x)=2x+1$ est strictement croissante {\color{orange}conjecture Ã©tablie avec une calculatrice}.
		
		{\color{orange}Il faut dÃ©montrer que quelque soient les nombres $\alpha$ et $\beta$ choisis avec $\alpha &lt; \beta$ on a forcÃ©ment $f(\alpha)&lt;f(\beta)$.}
		
		\medskip
		Soient $\alpha$ et $\beta$ deux nombres rÃ©els tels que $\alpha&lt; \beta$. {\color{orange}Il faut garder des lettres et ne pas remplacer par des valeurs numÃ©riques pour que le rÃ©sultat reste gÃ©nÃ©ral, vrai quelque soit les nombres choisis.} DÃ©montrons qu'alors nÃ©cessairement $f(\alpha)&lt;f(\beta$.
		
		\medskip
		{\color{orange}Le raisonnement consiste Ã&nbsp; partir de l'inÃ©galitÃ© $\alpha &lt; \beta$ et de reconstruire la fonction $f$ de par et d'autre d faÃ§on Ã&nbsp; faire apparaÃ®tre $f(\alpha)$ et $f(\beta)$. Pour cela nous ferons les Ã©tapes correspondant aux prioritÃ©s opÃ©ratoires.}
		
		L'inÃ©galitÃ© $\alpha &lt; \beta$ est successivement Ã©quivalente Ã&nbsp; 		
		\begin{align*}
			2\alpha  &amp;&lt; 2\beta, \text{ {\color{orange}le sens est conservÃ©} car $2&gt;0$.}\\
			2\alpha+1 &amp;&lt; 2\beta+1\\
			f(\alpha) &amp;&lt; f(\beta)
		\end{align*}
		
		\medskip
		Nous avons dÃ©montrÃ© que si $\alpha&lt;\beta$ alors $f(\alpha)&lt;f(\beta)$. {\color{orange}Les images et les antÃ©cÃ©dents sont rangÃ©s dans le mÃªme ordre.}
		
		Ceci Ã©tant vrai quelque soit les $\alpha$ et $\beta$ choisis nous pouvons affirmer que la fonction $f$ est strictement croissante.
		
		\begin{notabene}
			
			Sur quelques autre exemples non dÃ©taillÃ©s faire deviner la rÃ¨gle gÃ©nÃ©rale.
			
		\end{notabene}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{proposition}
	Soient $a$ et $b$ deux nombres rÃ©els, $f$ la fonction affine dÃ©finie par: $f(x)= ax+b$ quelque soient $x\in\mathbb{R}$.
	\begin{enumerate}[(i)]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Si $a&gt;0$, alors $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.		
		\item Si $a=0$, alors $f$ est constante sur $\mathbb{R}$.
		\item Si $a&lt;0$ alors $f$ est strictement dÃ©croissante sur $\mathbb{R}$.
	\end{enumerate}
\end{proposition}

\begin{preuve}	
	Si $a=0$ la fonction est Ã©videmment constante.
	
	DÃ©montrons l'un des deux cas restants l'autre se traitant de la mÃªme faÃ§on. Supposons par exemple que $a&lt;0$. 
	
	Il faut dÃ©montrer que $f$ est strictement dÃ©croissante. {\color{orange}D'aprÃ¨s la dÃ©finition de la monotonie, il faut donc montrer que quels que soient les nombres rÃ©els $\alpha$ et $\beta$ si $\alpha &lt; \beta$ alors $f(\alpha)&gt;f(\beta)$.}
	
	Soient $\alpha$ et $\beta$ deux nombres rÃ©els tels que $\alpha&lt;\beta$. Cette inÃ©galitÃ© est successivement Ã©quivalente Ã&nbsp;:
	\begin{align*}
		a\alpha &amp;&gt;ax\beta \text{ car $a&lt;0$} \\
		a\alpha+b &amp;&gt; a\beta+b \\
		f(\alpha) &amp;&gt; f(\beta)
	\end{align*}
	On a donc dÃ©montrer que si $\alpha &lt; \beta$ alors $f(\alpha)&gt;f(\beta)$. Autrement dit $f$ est strictement dÃ©croissante.
\end{preuve}

\begin{exemples}	
	\begin{enumerate}		
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Ã‰tudions les variations de la fonction $h$, dÃ©finie par $h(x)=-12x+3$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
		
		$h$ est une fonction affine avec $a=-12$ et $b=3$. Comme $a&lt;0$, $h$ est strictement dÃ©croissante sur $\mathbb{R}$.
		\item Nous ne pouvons rien dire pour $x\mapsto 2x^2-3x+1$ car ce n'est pas une fonction affine.
	\end{enumerate}	
\end{exemples}

\begin{lecon}
	La connaissance des variations de la fonction affine permet de retrouver les tableaux de signes en raisonnant Ã&nbsp; partir de la courbe reprÃ©sentative.	
\end{lecon}

\begin{exemples}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item \objectif{Ã‰tudions par exemple le signe de $f:x\mapsto -2x+4$.}
		\begin{enumerate}[*]
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item $f$ est une fonction affine avec $a=-2$ et $b=4$.
			\item {\color{orange}le coefficient directeur est strictement nÃ©gatif}, $a&lt;0$ donc $f$ est strictement dÃ©croissante.
			
			{\color{orange}Ceci se traduit graphiquement par une droite qui descend. Quelque chose comme:
				
				\begin{center}
					\begin{tikzpicture}[xscale=0.25,yscale=0.25]
						\def\xY{-2.5};
						\def\yY{-4.5};
						\def\xZ{15.5};
						\def\yZ{5.5};
						\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
						\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
						%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
						%\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
						%\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
						%\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
						%\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
						\draw[ -&gt;,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
						\draw[ -&gt;,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
						\draw[blue, thick][samples=100,domain=-2:15] plot(\x,{-0.5*\x+4});
					\end{tikzpicture}
				\end{center}
				
				Nous voyons sur ce schÃ©ma que la fonction prend d'abord des valeurs positives puis des valeurs nÃ©gatives. Autrement dit nous pouvons dÃ©jÃ&nbsp; complÃ©ter le tableau de signe de la faÃ§on suivante:
				
				\begin{center}
					\begin{tikzpicture}
						\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f$ /0.8}
						{$-\infty$ ,$?$, $+\infty$}
						\tkzTabLine{,+,z,-,}%
					\end{tikzpicture}
				\end{center}
				
				Il nous reste Ã&nbsp; trouver pour quelle valeur de $x$, $f$ s'annule.
			} 
			
			\item $f$ s'annule en $-\frac{b}{a}=-\frac{4}{-2}=2$. {\color{orange}Ce rÃ©sultat a Ã©tÃ© Ã©tabli plus tÃ´t dans cette leÃ§on.}	
		\end{enumerate}		
		Nous en dÃ©duisons le tableau de signe de $f$.		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f$ /0.8}
				{$-\infty$ ,$2$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,+,z,-,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
	\end{enumerate}	
\end{exemples}

\subsubsection{DÃ©monstrations pour les fonctions de rÃ©fÃ©rence.}

\begin{lecon}
	
	La faÃ§on la plus simple de retenir les rÃ©sultats de cette partie consiste Ã&nbsp; connaÃ®tre par cÅ“ur les allures des courbes reprÃ©sentatives des fonctions de rÃ©fÃ©rence.
	
\end{lecon}

\begin{proposition}
	Tableau de variations de la fonction carrÃ©e:
	
	\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit{$x$/0.8,$x \mapsto x^2$/1.6}{$-\infty$ , $0$, $+\infty$}
		\tkzTabVar{+/,-/$0$,+/}
	\end{tikzpicture}
\end{proposition}

\begin{preuve}	
	\objectif{Montrons que la fonction carrÃ©e est strictement croissante sur $[0\ ;\ +\infty [$.}
	
	Soient $x_1$ et $x_2$ deux nombres quelconques dans $[0\ ;\ +\infty [$ tels que: $x_1&lt;x_2$.
	
	D'une part:
	
	$$x_1^2\le x_2\times x_1\text{, car } x_1\ge 0$$
	
	et d'autre part:
	
	$$x_1x_2&lt;  x_2^2\text{, car } x_2 x_2&gt;x_1\ge 0$$
	
	On en dÃ©duit: 
	
	$$x_1^2\le x_1x_2&lt;x_2^2$$
	
	et donc $x_1^2 &lt;x_2^2$.
	
	\begin{conclusion}
		
		Nous avons dÃ©montrÃ©s que la fonction carrÃ©e est strictement croissante sur $\mathbb{R}_+$.
		
	\end{conclusion}
	
	\medskip
	\objectif{Montrons que la fonction carrÃ©e est strictement dÃ©croissante sur $]-\infty \ ;\ 0]$.}
	
	Soient $x_1$ et $x_2$ deux nombres quelconques dans $]-\infty \ ;\ 0]$ tels que: $x_1&lt;x_2$.
	
	D'une part:
	
	$$x_1^2\trous[0.5cm]{&gt; }x_2\times x_1\text{, car } x_1\trous[1cm]{x_1&lt;x_2 \le 0}$$
	
	et d'autre part:
	
	$$x_1x_2\trous[0.5cm]{\ge } x_2^2\text{, car } x_2 \trous[1cm]{x_2\le 0}$$
	
	On en dÃ©duit: 
	
	$$x_2^2\le \trous[2cm]{x_1x_2}&lt;x_1^2$$
	
	et donc $x_2^2 \trous[0.5cm]{&lt;}x_1^2$.
	
	\begin{conclusion}
		
		Nous avons dÃ©montrÃ©s que la fonction carrÃ©e est strictement dÃ©croissante sur $\mathbb{R}_-$.
		
	\end{conclusion}
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Autrement dit: la fonction carrÃ©e est strictement dÃ©croissante sur $]-\infty \ ;\ 0]$ et strictement croissante sur $[0\ ;\ +\infty [$.
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item \objectif{Montrons que $\left( \frac{4}{12} \right)^2 &lt; \left( \frac{9}{24}\right)^2$.}
		Puisque $\frac{4}{12}=\frac{8}{24}$ nous voyons que $\frac{4}{12}&lt;\frac{9}{24}$.
		La fonction carrÃ© Ã©tant strictement croissante sur $\mathbb{R}_+$:
		 
		\begin{conclusion}
			$\left( \frac{4}{12} \right)^2&lt; \left( \frac{9}{24} \right)^2$.
		\end{conclusion}
		\item \objectif{Montrons que si $x\leqslant -6$ alors $x^2 \geqslant 36$.}
		Soit $x$ un rÃ©el tel que $x\leqslant -6$.
		
		La fonction carrÃ© Ã©tant dÃ©croissante sur $\mathbb{R}_-$: $x^2 \geqslant 36$.
		
		\begin{conclusion}
			Quelque soit $x\in\mathbb{R}$ tel que $x \leqslant -6$, $x^2\geqslant 36$.
		\end{conclusion}
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{exercice}
	Dans chaque cas comparez les nombres $A$ et $B$ sans utiliser la calculatrice.
	\begin{tasks}(3)
		\task $A=\left( \frac{3}{4} \right) ^2$ et $B=\left( \frac{4}{3} \right)^2$,
		\task $A=1,009^2$ et $B=1,0029^2$,
		\task $A=-2,3^2$ et $B=(-2,3)^2$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{tasks}
		\task \objectif{Comparons $A$ et $B$.}
		
		{\color{orange}Nous allons utiliser le fait qu'une fonction croissante conserve l'ordre.}
		
		\medskip
		La fonction carrÃ©e est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
		
		Or $\frac{3}{4}&lt;1&lt;\frac{4}{3}$ et $\frac{3}{4}$ et $\frac{4}{3}$ sont dans $[0;+\infty[$ donc 
		
		\begin{conclusion}
			
			\[ \left( \frac{3}{4} \right)^2 &lt; \left( \frac{4}{3} \right)^2 \]
			
		\end{conclusion}
		
		\task \objectif{Comparons $A$ et $B$.}
		
		\medskip
		La fonction carrÃ©e est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
	
		Or $1,0029&lt;1,009$ et $1,0029$ et $1,009$ sont dans $[0;+\infty[$ donc 
		
		\begin{conclusion}
			
			\[ 1,0029^2 &lt; 1,009^2 \]
			
		\end{conclusion}
		
		\task \objectif{Comparons $A$ et $B$.}
		
		{\color{orange}$-2,3^2$ n'est pas une image par la fonction carrÃ©e. La prÃ©cÃ©dente mÃ©thode ne fonctionnera donc pas.}
		
		\medskip
		Clairement: $-2,3^2&lt;0&lt;(-2,3)^2$
		
		\begin{conclusion}
			
			\[ -2,3^2&lt;(-2,3)^2 \]
			
		\end{conclusion}
	\end{tasks}
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}	
	Encadrez $x^2$, puis $3x^2$, le plus prÃ©cisÃ©ment possible, dans les cas suivants:
	\begin{tasks}(3)
		\task $1\le x \le 4$,
		\task $-2\le x &lt;-0,5$,
		\task $4&lt; x &lt;11$,
		\task $-\frac{13}{5}&lt;x&lt;-\frac{1}{7}$.
		\task $-2 \le x &lt; 3$,
		\task $-10\le x \le 10$.
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	{\color{orange}Pour avoir un rÃ©sultat trÃ¨s prÃ©cis il faut raisonner algÃ©briquement (en raisonnant par disjonction des cas pour les deux derniers). Sinon une rÃ©solution graphique convient. Cette derniÃ¨re est ici plus simple et efficace.}
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	DÃ©montrez que la fonction $f:x \mapsto 4x^2+3x-12$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}_+$.	
\end{exercice}

\begin{proposition}
	Tableau de variation de la fonction inverse:
	
	\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $x \mapsto \frac{1}{x}$ /1.6}
		{$-\infty$ ,$0$, $+\infty$}
		\tkzTabVar {+/ , -D+ / , - /  }
	\end{tikzpicture}
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	Nous allons dÃ©montrer trois choses: la fonction inverse est strictement dÃ©croissante sur $\mathbb{R}_-^*$, sur $\mathbb{R}_+^*$, mais pas sur $\mathbb{R}$.
	
	\begin{enumerate}[*]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Soient $x_1,x_2 \in \mathbb{R}_-^*$ tels que $x_1&lt;x_2$.
		
		Donc
		
		\begin{align*}
			\frac{x_1}{x_2} &amp;&gt; \frac{x_2}{x_2} \quad \text{car }x_2&lt;0\\
			\frac{x_1}{x_2} &amp;&gt; 1\\
			\frac{1}{x_1} \times \frac{x_1}{x_2} &amp;&lt; \frac{1}{x_1} \times 1 \quad \text{car } \frac{1}{x_1}&lt;0\\
			\frac{1}{x_2} &amp;&lt; \frac{1}{x_1}
		\end{align*}
		
		Donc 
		
		\begin{conclusion}
			
			la fonction inverse est strictement dÃ©croissante sur $\mathbb{R}_-^*$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item Idem pour $\mathbb{R}_+^*$.
		
		\item $-2&lt;2$ et pourtant $-\frac{1}{2}&lt; \frac{1}{2}$ donc la fonction inverse n'est pas dÃ©croissante sur $\mathbb{R}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\begin{lecon}
	
	Nous avons dÃ©jÃ&nbsp; remarquÃ© qu'il n'est pas possible d'obtenir des identitÃ©s remarquables, des Ã©galitÃ©s, liant la somme et la racine carrÃ©. Cependant nous pouvons obtenir une inÃ©galitÃ©.
	
\end{lecon}

\begin{proposition}
	Soient $a\in [0;+\infty[$ et $b\in [0;+\infty[$. Si $a &lt;b$ alors $\sqrt{a} &lt; \sqrt{b}$.
\end{proposition}

\begin{preuve}
	
	\objectif{Supposons $a&lt;b$ et dÃ©montrons que $\sqrt{a} &lt; \sqrt{b}$.}
	
	{\color{orange}Nous allons en fait dÃ©montrer que $\sqrt{b}-\sqrt{a}&gt;0$.}
	
	\medskip
	Puisque $a&lt;b$: \[ b-a&gt;0.\]
	
	Or, $a$ et $b$ Ã©tant positifs,
	
	\begin{align*}
		b-a &amp;= \sqrt{b}^2-\sqrt{a}^2\\
		&amp;= \left( \sqrt{b}-\sqrt{a} \right)\left( \sqrt{b}+\sqrt{a} \right)
	\end{align*}
	
	donc
	
	\begin{align*}
		\left( \sqrt{b}-\sqrt{a} \right)\left( \sqrt{b}+\sqrt{a} \right) &amp;&gt; 0\\
		\intertext{Et comme $\left( \sqrt{b}+\sqrt{a} \right)&gt;0$:}
		\frac{\left( \sqrt{b}-\sqrt{a} \right)\left( \sqrt{b}+\sqrt{a} \right)}{\color{orange}\left( \sqrt{b}+\sqrt{a} \right)} &amp;&gt; \frac{0}{\color{orange}\left( \sqrt{b}+\sqrt{a} \right)}\\
		\sqrt{b}-\sqrt{a} &amp;&gt; 0
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		Ainsi dÃ¨s que $a&lt;b$ forcÃ©ment $\sqrt{a}&lt; \sqrt{b}$.
		
	\end{conclusion}
\end{preuve}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Nous verrons que ce rÃ©sultat Ã©tablit que la fonction racine carrÃ©e est strictement croissante (sa courbe reprÃ©sentative ne cesse de monter).		
		\item Ce rÃ©sultat constitue une nouvelle faÃ§on de transformer une inÃ©quation. Lorsque nous verrons $x^2+x^4&lt;8+x^2$ alors nous pourrons affirmer que $\sqrt{x^2+x^4}&lt;\sqrt{8+x^2}$.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{proposition}
	Tableau de variations de la fonction racine carrÃ©e:

	\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $x \mapsto \sqrt{x}$ /1.6}
		{$0$, $+\infty$}
		\tkzTabVar {- / $0$, + /  }
	\end{tikzpicture}
\end{proposition}

\begin{preuve}
	Ce rÃ©sultat a Ã©tÃ© Ã©tabli dans le lemme.	
\end{preuve}


\begin{proposition}
	Tableau de variations de la fonction cube:
	
	\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $x \mapsto x^3$ /1.6}
		{$-\infty$, $+\infty$}
		\tkzTabVar {- / , + /  }
	\end{tikzpicture}	
\end{proposition}

\begin{preuve}
	\begin{enumerate}[*]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item \objectif{DÃ©montrons que la fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}_+$.}
		
		{\color{orange}Nous allons utiliser une identitÃ© remarquable qui vous est encore inconnue: \[ a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2). \]}
		
		\medskip
		Soient $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ tels que $x_1 &lt; x_2$.
		
		\objectif{DÃ©montrons que $x_1^3 &lt; x_2^3$.}
		
		Ou plutÃ´t, ce qui revient au mÃªme dÃ©montrons que $x_2^3-x_1^3&gt;0$.
		
		Pour Ã©tudier le signe d'une expression il vaut mieux qu'elle soit factorisÃ©e: $x_2^3-x_1^3 = (x_2-x_1)(x_1^2+x_1x_2 + x_2^3)$.
		
		D'une part, par hypothÃ¨se, \[ x_2-x_1&gt;0. \]
		
		D'autre part, puisque $0 \leqslant x_1&lt;x_2$: $x_1\geqslant 0$, $x_1x_2\geqslant 0$ et $x_2^2&gt;0$ donc \[ x_1^2+x_1x_2+x_2^2&gt;0. \]
		
		Donc: \[ (x_2-x_1)(x_1^2+x_1x_2 + x_2^3)&gt;0. \]
		
		Ainsi, si $0\leqslant x_1&lt;x_2$ alors $x_1^3&lt;x_2^3$.
		
		Autrement dit
		
		\begin{conclusion}
			
			la fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}_+$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item La fonction cube Ã©tant impaire nous en dÃ©duisons par symÃ©trie, que la fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}_-$.
		
		\item Il reste Ã&nbsp; s'assurer que si $x_1\leqslant 0\leqslant x_2$ nous avons toujours conservation de l'ordre.
	\end{enumerate}	
\end{preuve}

\subsubsection{Exercices.}

\begin{exercice}	
	 ComplÃ©ter le tableau de variation proposÃ© Ã&nbsp; partir de la reprÃ©sentation graphique.
	
		\noindent\begin{tikzpicture}[yscale=0.78]
			\tkzTabInit[color,lgt=1.3,espcl=1.8, lw=0.3mm]
			{ $x$ / 1,  $f$ / 2}{ $-4$,\textcolor{white}{$-1$},4}
			\tkzTabVar{+/2,-/\textcolor{white}{$-1{,}5$},+/2}
		\end{tikzpicture} \hfill
		\begin{tikzpicture}[scale=0.70]
			%extremites du graphique
			\def\xcoinbasgauche{-4};
			\def\xcoinhautdroit{4};
			\def\ycoinbasgauche{-1.75};
			\def\ycoinhautdroit{2};
			%Les deux grilles
			\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
			%Les deux axes
			\draw[ -&gt;,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ -&gt;, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
			%repere orthonorme
			\coordinate (O) at ({0},{0});
			\draw (O) node[below left] {$O$};
			\coordinate (I) at ({1},{0});
			\draw (I) node[below left] {$I$};
			\coordinate (J) at ({0},{1});
			\draw (J) node[below left] {$J$};
			\draw[smooth, very thick, color=purple] plot coordinates{(-4,2)(-3,0)(-1,-1.5)(3,0)(4,2)};
			\draw [purple] (-4,2) node {$\bullet$};
			\draw [purple] (4,2) node {$\bullet$};
		\end{tikzpicture}	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	ComplÃ©ter le tableau de variation proposÃ© Ã&nbsp; partir de la reprÃ©sentation graphique.
	
	\noindent \begin{tikzpicture}[yscale=0.78]
			\tkzTabInit[color,lgt=1.3,espcl=1.5, lw=0.3mm]			
			{ $x$ / 1,  $f$ / 2}{ $-3$,,$\ldots$}
			\tkzTabVar[color=white]{}
		\end{tikzpicture} \hfill
		\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
			%extremites du graphique
			\def\xcoinbasgauche{-4};
			\def\xcoinhautdroit{4};
			\def\ycoinbasgauche{-2.5};
			\def\ycoinhautdroit{2};
			%Les deux grilles
			\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
			%Les deux axes
			\draw[ -&gt;,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ -&gt;, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
			%repere orthonorme
			\coordinate (O) at ({0},{0});
			\draw (O) node[below left] {$O$};
			\draw (O) node {$\bullet$};
			\coordinate (I) at ({1},{0});
			\draw (I) node[below left] {$I$};
			\draw (I) node {$\bullet$};
			\coordinate (J) at ({0},{1});
			\draw (J) node[below left] {$J$};
			\draw (J) node {$\bullet$};
			\draw[smooth, very thick, color=purple] plot coordinates{(-3,2)(-2,0)(0,-1)(4,-1.5)};
			\draw [purple] (-3,2) node {$\bullet$};
			%\draw [purple] (4,-1.5) node {$\bullet$};
		\end{tikzpicture}	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Un vÃ©hicule commence son trajet au niveau de la mer Ã&nbsp; 7h00. Il grimpe jusqu'Ã&nbsp; un sommet d'une montagne Ã&nbsp; une altitude de $824\ \mathrm{m}$. Il atteint ce sommet Ã&nbsp; 9h00 puis descend sur l'autre flanc de la montage jusqu'Ã&nbsp; une vallÃ©e situÃ©e Ã&nbsp; une altitude de $522\ \mathrm{m}$. Son arrivÃ©e Ã&nbsp; lieu Ã&nbsp; 10h00.
	
	On note $f$ la fonction qui au temps Ã©coulÃ© depuis le dÃ©part du vÃ©hicule associe l'altitude du vÃ©hicule. Proposez un tableau de variation pour $f$.
\end{exercice}

\begin{exercice}
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
			\tkzTabInit[color,lgt=1.3,espcl=2.46, lw=0.3mm]{ $x$ / 1, $f$ / 2}
			{ $-2$ , $0$ , $3$ , $4$}
			\tkzTabVar[color=white]{ -/ $-1$ , +/ $\dfrac{5}{2}$ , -/ $-1$ , +/ $6$}
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Comparer si possible les nombres suivants.
	\begin{tasks}(3)
		\task $f(-2)$ et $f(-1)$
		\task $f\left(\dfrac{1}{3}\right)$ et $f\left(\dfrac{3}{2}\right)$
		\task  $f(-1)$ et $f(1)$
		\task $f(3,6)$ et $f(3,7)$
		\task $f\left(\dfrac{7}{2}\right)$ et $f(4)$
		\task $f(1)$ et $f(3,5)$
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	DÃ©terminez si les assertions suivantes sont vraies ou fausses.
	Soit $f$ une fonction dÃ©finie sur $\mathbb{R}$.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Si $f$ n'est pas croissante sur $\mathbb{R}$ alors $f$ est dÃ©croissante sur $\mathbb{R}$.
		\item Si la fonction $f$ est croissante sur $[-5;5]$ alors elle est croissante sur $[0;1]$.
		\item Si $f$ est croissante sur $[-5;0]$ et dÃ©croissante sur $[0;5]$ alors $f$ est constante sur $[-5;5]$.
		\item Si $f(1)\geqslant f(6)$ alors $f$ est dÃ©croissante sur $[1;6]$.
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Tracez une courbe pouvant reprÃ©senter graphiquement la fonction $g$ dont le tableau de variation est donnÃ©. 
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
			\tkzTabInit[color,lgt=1.3,espcl=1.85,lw=0.3mm]{ $x$ / 1, $g$ / 2}
			{ $-5$ , $0$ , $1$, $2$}
			\tkzTabVar[color=white]{ -/ $2$ , +/ $5$ , -/ $-4$ , +/ $-1$}
		\end{tikzpicture}
	\end{center}	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Voici le tableau de variations d'une fonction $f$.
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
			\tkzTabInit[color,lgt=1.3,espcl=1.85,lw=0.3mm]{ $x$ / 1, $f$ / 2}
			{ $-4$ , $-1$ , $2$, $5$}
			\tkzTabVar[color=white]{ +/ $2$ , -/ $-3$ , +/ $3$ , -/ $-1$}
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\begin{tasks}
		\task Quel est l'ensemble de dÃ©finition de la fonction $f$ ?
		\task DÃ©crivez par des phrases le sens de variation de la fonction $f$.
		\task PrÃ©ciser les extrema Ã©ventuels de la fonction $f$ et pour quelle(s) valeur(s) ils sont atteints.
		\task Tracer une courbe pouvant reprÃ©senter graphiquement la fonction $f$.% dans un repÃ¨re.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Voici le tableau de variations d'une fonction $f$.
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
			\tkzTabInit[color,lgt=1.3,espcl=1.85,lw=0.3mm]{ $x$ / 1, $f$ / 2}
			{ $-1$ , $0$ , $2$, $+\infty$}
			\tkzTabVar[color=white]{ -/ $-2$ , +/ $0$ , -/ $-3$ , +/}
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\begin{tasks}
		\task Quel est l'ensemble de dÃ©finition de la fonction $f$?
		\task DÃ©crivez par des phrases le sens de variation de la fonction $f$.
		\task PrÃ©ciser les extrema Ã©ventuels de la fonction $f$ et pour quelle(s) valeur(s) ils sont atteints.
		\task Tracez une courbe pouvant reprÃ©senter graphiquement la fonction $f$.% dans un repÃ¨re.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	On considÃ¨re une fonction $f$ dont le tableau de variation est donnÃ© ci-dessous.
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
			\tkzTabInit[color,lgt=1.3,espcl=1.85,lw=0.3mm]{ $x$ / 1, $f$ / 2}
			{ $-4$ , $1$ , $5$}
			\tkzTabVar[color=white]{ +/ $0$ , -/ $-2$ , +/ $3$}
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item DÃ©crivez par des phrases les variations de $f$.
		\item Comparez les nombres:
		\begin{tasks}(2)
			\task $f(2)$ et $f(4)$.
			\task $f(-3)$ et $f(0)$.
		\end{tasks}
		\item Expliquez pourquoi on ne peut comparer $f(0)$ et $f(2)$.
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	On considÃ¨re trois demi-cercles tels que reprÃ©sentÃ©s ci-dessous.
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\def\rayon{2};
			\coordinate (A) at (-5,0);
			\coordinate (B) at (5,0);
			\draw[black, thick][samples=100,domain=0:180] plot({5*cos(\x)},{5*sin(\x)});
			\fill[color=orange , opacity=0.25] (A) -- plot [domain=0:180] ({\rayon*cos(\x)+-5+\rayon},{\rayon*sin(\x)})-- (B) -- cycle;
			\draw[orange, thick][samples=100,domain=0:180] plot({\rayon*cos(\x)+-5+\rayon},{\rayon*sin(\x)});
			\fill[color=Green , opacity=0.25] (A) -- plot [domain=0:180] ({(10-2*\rayon)/2*cos(\x)+5-(10-2*\rayon)/2},{(10-2*\rayon)/2*sin(\x)}) -- (B) -- cycle;
			\draw[Green, thick][samples=100,domain=0:180] plot({(10-2*\rayon)/2*cos(\x)+5-(10-2*\rayon)/2},{(10-2*\rayon)/2*sin(\x)});
			\draw[black] (-5,0) -- (5,0);
			\draw [black,&gt;=latex,&lt;-&gt;] (-5,-1) -- ({-5+2*\rayon},-1) node[midway,below] {$x$};
			\draw [black,&gt;=latex,&lt;-&gt;] (-5,-2) -- (5,-2) node[midway,below] {$10$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Conjecturez l'Ã©volution de l'aire du demi-disque orange et celle du demi-disque vert lorsque $x$ augmente.
		\item ~
		
		\noindent\begin{tabular}{m{5cm}m{5cm}}
			Soient $f$ (respectivement $g$, resp. $h$) la fonction dÃ©finie sur $]0;10[$ qui Ã&nbsp; $x$ associe l'aire du demi-disque orange (resp. du demi-disque vert, de la partie colorÃ©e).
	
			On a tracÃ© ci-contre les courbes reprÃ©sentatives des fonctions $f$, $g$ et $h$.
			\begin{enumerate}
				\item Associez Ã&nbsp; $f$, $g$ et $h$ leurs courbes reprÃ©sentatives.
				\item Avec la prÃ©cision permise par le graphique dÃ©crivez les variations de $h$.
			\end{enumerate}
			&amp;
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.1]
				%extremites du graphique
				\def\xcoinbasgauche{0};
				\def\xcoinhautdroit{10.2};
				\def\ycoinbasgauche{0};
				\def\ycoinhautdroit{42};
				%Les deux grilles
				%\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
				\draw[xstep=2cm, ystep=10cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
				%Les deux axes
				\draw[ -&gt;,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ -&gt;, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
				%repere orthonorme
				\coordinate (O) at ({0},{0});
				\draw (O) node[below left] {$O$};
				%Graduations
				\foreach \x in {2,10} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {10} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				%fonction
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:10] plot({\x},{3.1416*\x/2*\x/2/2});
				\draw[red, thick][samples=100,domain=0:10] plot({\x},{3.1416*(10-2*\x/2)*(10-2*\x/2)/4/2});
				\draw[black, thick][samples=100,domain=0:10] plot({\x},{3.1416*\x/2*\x/2/2+3.1416*(10-2*\x/2)*(10-2*\x/2)/4/2});
				\draw (5,25) node {\color{black}$\mathscr{C}_1$};
				\draw (2,7) node {\color{blue}$\mathscr{C}_1$};
				\draw (8,7) node {\color{red}$\mathscr{C}_3$};
				\end{tikzpicture}
		\end{tabular}
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Conjecturez la variation de $f$ sur $I$ dans les cas suivants.
	\begin{tasks}(1)
		\task $f:x \mapsto 0,1x^4-0,8x^2-1$ et $I=[-4;4]$.
		\task $f:x \mapsto x^3-0,8x^2+1$ et $I=[-2;3]$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Montrez que la fonction $f:x \mapsto x^3+\sqrt{x}$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}_+$.
\end{exercice}

\begin{exercice}
	La fonction $f$ est dÃ©finie, sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac{2x}{x^2+1}$.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Conjecturez l'existence d'un maximum en prÃ©cisant sa valeur et la valeur pour laquelle il est atteint.
		\item DÃ©montrez que, pour tout rÃ©el $x$, $f(x)\leqslant 1$.
		\item DÃ©montrez que $1$ est le maximum de $f$.
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	On reprÃ©sentÃ©e une fonction dÃ©finie sur $[0;4]$.
	
	\noindent\begin{tabular}{m{5cm}m{7cm}}
	\begin{tikzpicture}[xscale=0.8,yscale=0.8]
		%extremites du graphique
		\def\xcoinbasgauche{0};
		\def\xcoinhautdroit{4.5};
		\def\ycoinbasgauche{0};
		\def\ycoinhautdroit{3.5};
		%Les deux grilles
		%\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
		\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
		%Les deux axes
		\draw[ -&gt;,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ -&gt;, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
		%repere orthonorme
		\coordinate (O) at ({0},{0});
		\draw (O) node[below left] {$O$};
		\draw (O) node {$\bullet$};
		\coordinate (I) at ({1},{0});
		%\draw (I) node[below left] {$I$};
		%\draw (I) node {$\bullet$};
		\coordinate (J) at ({0},{1});
		%\draw (J) node[below left] {$J$};
		%\draw (J) node {$\bullet$};
		%Graduations
		\foreach \x in {1, 2, 3, 4} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\foreach \y in {1,2,3} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		%fonction
		\draw[orange, very thick][samples=100,domain=0:1] plot({\x},{-(\x-2)*(\x-2)+4});
		\draw[orange, very thick][samples=100,domain=3:4] plot({\x},{-(\x-2)*(\x-2)+4});
		\draw [orange,very thick] (1,3) -- (3,3);
		\draw (4,0) node {$\bullet$};
		\draw (1,3) node {$\bullet$};
		\draw (3,3) node {$\bullet$};
		\draw (3.5,2.75) node {$\mathscr{C}_f$};
		%Ligne dÃ©finie par des points
		%\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	&amp;
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item RÃ©solvez graphiquement l'Ã©quation $f(x)=3$.
		\item DÃ©crivez par des phrases en franÃ§ais les variations de $f$ sur son domaine de dÃ©finition.
		\item La fonction $f$ admet-elle un maximum sur $[0;4]$? Si oui, combien vaut-il et pour quelles valeurs de $x$ est-il atteint?
	\end{enumerate}
	\end{tabular}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Une fonction $f$ dÃ©finie sur l'intervalle $[-6;8]$, vÃ©rifie:
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $f$ est croissante sur les intervalles $[-6,-2]$ et $[4;8]$;
		\item $f$ est dÃ©croissante sur $[-2;4]$;
		\item $f(-2)=4$;
		\item le minimum de $f$ sur $[-6;8]$ est Ã©gale Ã&nbsp; $-3$ et est atteint pour $x=4$.
	\end{enumerate}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Dressez le tableau de variation de $f$ avec les donnÃ©es ci-dessus.
		\item Le nombre $2$ a au moins deux antÃ©cÃ©dents par $f$: $-4$ et $8$. De plus la courbe reprÃ©sentative de $f$ dans un repÃ¨re passe par les points $A(-6,-2)$ et $B(6,-2)$ et qu'elle coupe l'axe des ordonnÃ©es au point $C$ d'ordonnÃ©e $3$. ComplÃ©tez le tableau de variation avec toutes les informations supplÃ©mentaires concernant $f$ et sa courbe reprÃ©sentative.
		\item Tracez une courbe satisfaisant Ã&nbsp; toutes les conditions concernant $f$ et prÃ©cisez les coordonnÃ©es de $C$.
		\item 
		\begin{enumerate}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Quel est le nombre d'antÃ©cÃ©dents de $2$?
			\item En combien de points la courbe tracÃ©e coupe-t-elle l'axe des abscisses? Traduisez ce rÃ©sultat en termes d'antÃ©cÃ©dents.
		\end{enumerate}
		\item Pouvez-vous imaginer plusieurs courbes satisfaisant toutes les conditions sur $f$?
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Voici des informations concernant une fonction $f$ dÃ©finie sur l'intervalle $[-1;5]$.
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt} 
		\item  $f(-1)=f(5)=0$ 
		\item $f(2)=3$ \hfill \item $f(4)=-2$
		\item $f$ est croissante sur $[-1;2]$ et sur $[4;5]$;
		\item $f$ est dÃ©croissante sur $[2;4]$.
	\end{enumerate}
	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Dresser le tableau de variations de $f$.
		\item Tracer deux courbes diffÃ©rentes susceptibles de reprÃ©senter graphiquement la fonction $f$.% dans un repÃ¨re.
		\item PrÃ©ciser les extremums Ã©ventuels de la fonction $f$ et pour quelle(s) valeur(s) ils sont atteints.
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Pour chaque tableau de variations ci-dessous, dÃ©terminez si la fonction reprÃ©sentÃ©e admet:
	\begin{itemize}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item un maximum et/ou un minimum;
		\item  absolu et/ou  local.
	\end{itemize}
	  
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item ~
		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.82]
		\tkzTabInit[lgt=1.3,espcl=3.7, color, lw=0.3mm]{ $x$ / 1, $f(x)$ / 2}
		{ $-\infty$ , $0$ , $9$}
		\tkzTabVar{ +/ , -/ $+8$ , +/ }
		\end{tikzpicture}
		
		\item ~
		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.82]
		\tkzTabInit[lgt=1.3,espcl=2.46, lw=0.3mm]{ $x$ / 1, $g(x)$ / 2}
		{ $-\infty$ , $-3$ , 5, $+\infty$}
		\tkzTabVar{ +/  , -/ $-10$ ,+/$8$, -/ }
		\end{tikzpicture}
		
		\item ~
		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.82]
		\tkzTabInit[lgt=1.3,espcl=2.46, lw=0.3mm]{ $x$ / 1, $h(x)$ / 2}
		{ $-\infty$ , $-2$ ,7, $+10$}
		\tkzTabVar{ -/  , +/ $0$ , -/$-30$, +/ $7$}
		\end{tikzpicture}
		
		\item ~
		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.82]
		\tkzTabInit[lgt=1.3,espcl=3.7, lw=0.3mm]{ $x$ / 1, $m(x)$ / 2}
		{ $-\infty$ , $15$ , $+\infty$}
		\tkzTabVar{ -/  , +/ $25$ , -/ }
		\end{tikzpicture}
		
		\item ~
		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.82]
		\tkzTabInit[lgt=1.3,espcl=7.4, lw=0.3mm]{ $x$ / 1, $p(x)$ / 2}
		{ $1$ ,  $+\infty$}
		\tkzTabVar{ -/ $-5$ ,  +/ }
		\end{tikzpicture}
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	En utilisant les tableaux de variation, de valeurs et de signe de la fonction $f$ donnÃ©e ci-dessous, dessinez avec soin, dans un repÃ¨re, une courbe reprÃ©sentative cohÃ©rente avec ces trois tableaux.

	\noindent \begin{tabular}{m{8cm}m{4cm}}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-6$ ,$-1$, $3$, $5$}
	\tkzTabVar {-/ $-5$, + / $1$ , - / $-4$, + / $6$ / }
	\end{tikzpicture}
	&amp;
	$\begin{array}{|c|c|c|c|}
		\hline
		x &amp; -4 &amp; 1 &amp; 4
		\\
		\hline
		f(x) &amp; -3 &amp; 0,5 &amp; 5
		\\
		\hline
	\end{array}$
	\end{tabular}
	
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f(x)$ /0.8}
 	{$-6$ ,$-2$, $2$, $\np{3,5}$, $5$}
	\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,z,+,}%
	\end{tikzpicture}
\end{exercice}

\begin{exercice}	
	\href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/index.php?ouvrage=ms2_2014&amp;page_gauche=121}{Exercices 7 page 121 jusqu'Ã&nbsp; 12 page 122}: passer de la courbe au tableau de variation et rÃ©ciproquement.
\end{exercice}

\begin{exercice}
	~
	\noindent
	\begin{tabular}{m{6.5cm}m{0.5cm}m{4cm}}
	
	Soit $ABCD$ le carrÃ© de cÃ´tÃ© 5 reprÃ©sentÃ© ci-contre.\newline
	$M$, $N$, $P$ et $Q$ sont des points mobiles respectivement sur les segments $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$ et $[DA]$ de telle sorte que les longueurs $AM$, $AQ$, $CN$ et $CP$ restent Ã©gales.\newline 
	On a donc: $AM=AQ=CN=CP$.\newline
	Le problÃ¨me a pour objectif d'Ã©tudier l'aire (variable) du quadrilatÃ¨re $MNPQ$.
	
	&amp;&amp;
	
	\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
			\def\x{2};
			\coordinate (A) at (0,0);
			\coordinate (B) at (0,5);
			\coordinate (C) at (5,5);
			\coordinate (D) at (5,0);
			\coordinate (M) at (0,\x);
			\coordinate (N) at ({5-\x},5);
			\coordinate (P) at (5,{5-\x});
			\coordinate (Q) at ({\x},0);
			\draw (A)node[below left]{$A$};
			\draw (B)node[above left]{$B$};
			\draw (C)node[above right]{$C$};
			\draw (D)node[below right]{$D$};
			\draw (M)node[left]{$M$};
			\draw (N)node[above]{$N$};
			\draw (P)node[right]{$P$};
			\draw (Q)node[below]{$Q$};
			\draw[blue, thick](A)--(B)--(C)--(D)--(A);
			\fill[color=red , opacity=0.5] (M)--(N)--(P)--(Q)--cycle;	
			\draw[red](M)--(N)--(P)--(Q)--(M);
	\end{tikzpicture}
	
	\end{center}
	\\ \end{tabular}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Choix d'une variable.
		
		\begin{enumerate}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Ã€ quelle(s) variable(s) peut-on associer l'aire de $MNPQ$? 
			\begin{notabene}
			(Autrement dit l'aire est une fonction de quelle variable?)
			\end{notabene}
			\item On note $x=AQ$. Quelles sont les valeurs que peut prendre $x$?
		\end{enumerate}
		
		\item DÃ©termination de l'aire par un calcul.
			
		\begin{enumerate}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Exprimez en fonction de $x$ l'aire de chacun des triangles $AMQ$ et $BMN$.
			\item DÃ©duisez-en que l'aire du quadrilatÃ¨re $MNPQ$ se calcule avec la formule $10x-2x^2$.
			\item PrÃ©cisez, avec les notations fonctionnelles, la fonction $f$ que l'on a construit.
		\end{enumerate}
		
		\item DÃ©couverte des variations de la fonction $f$.
		
		\begin{enumerate}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Recopiez et complÃ©tez le tableau de valeurs ci-dessous pour $f(x)=10x-2x^2$.
			
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
			\hline
			$x$ &amp; 0 &amp; 0,5 &amp; 1 &amp; 1,5 &amp; 2 &amp; 2,5 &amp; 3 &amp; 3,5 &amp; 4 &amp; 4,5 &amp; 5\\ \hline
			$f(x)$ &amp; &amp;&amp;&amp;&amp;&amp;&amp;&amp;&amp;&amp;&amp; \\ \hline
			\end{tabular}						
			\item Une autre faÃ§on de voir les choses est de tracer la courbe reprÃ©sentative de $f$ avec la calculatrice.
					
			Qu'apporte de plus cette mÃ©thode par rapport Ã&nbsp; la prÃ©cÃ©dente?	
			\item Comment varie $f(x)$ lorsque $x$ augmente?
			\item Tracez le tableau de variation de la fonction $f$ sur son ensemble de dÃ©finition.	
			\item Comment obtenir une aire maximale pour $MNPQ$?
		\end{enumerate}		
		\item Les rÃ©sultats ont-ils Ã©tÃ© dÃ©montrÃ©s ou conjecturÃ©s?
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item 
		\begin{enumerate}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item 
			\item 
		\end{enumerate}
		\item 
		\begin{enumerate}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item 
			\item 
			\item 
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item 
				
				\begin{center}
					\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
						\hline
						\rowcolor{violet!50}$x$ &amp; 0 &amp; $0,5$ &amp; 1 &amp; $1,5$ &amp; 2 &amp; $2,5$ &amp; 3 &amp; $3,5$ &amp; 4 &amp; $4,5$ &amp; 5\\ \hline
						\rowcolor{orange!50}$f(x)$ &amp; 0 &amp; $4,5$ &amp; 8 &amp; $10,5$ &amp; 12 &amp; $12,5$ &amp; 12 &amp; $10,5$ &amp; 8 &amp; $4,5$ &amp; 0 \\ \hline
					\end{tabular}
				\end{center}
			
			\item 
				
				~
				
				\begin{center}
					\href{http://unemainlavelautre.net/2ieme/2ieme_analyse_04_monotonie_01.ggb}{\includegraphics[scale=0.8]{2ieme_analyse_04_monotonie_01.png}} \newline
					\emph{\small Cliquez sur l'image pour obtenir la version dynamique.}
				\end{center}
			
			\item 
				
				\begin{itemize}
					\item lorsque $x$ augmente passant de $0$ Ã&nbsp; $2,5$ l'aire $MNPQ$ augmente elle aussi passant de $0$ Ã&nbsp; $12,5$;
					\item lorsque $x$ augmente encore passant de $2,5$ Ã&nbsp; $5$ l'aire de $MNPQ$ au contraire diminue passant progressivement de $12,5$ Ã&nbsp; $0$.
				\end{itemize} 
			
			\item 
				
				~
				\begin{center}
					\begin{tikzpicture}
					\tkzTabInit[lgt=2, deltacl=0.5, espcl=2, color, colorV=violet!50, colorL=violet!50, colorC=orange!50, colorT=orange!50]{$x$ /1, $f$ /2} {$0$, $2.5$ , $5$}
					\tkzTabVar{-/ $0$ / , +/ $12.5$ / , -/ $0$ /}
					\end{tikzpicture}
				\end{center}	
			\item 
		\end{enumerate}		
		\item 
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	On considÃ¨re le triangle $ABC$ rectangle en $A$ avec $AB=8$ et $AC=6$. Un point $R$ est mobile sur le segment $[AB]$. On place les points $M$ et $S$ sur les segments $[BC]$ et $[AC]$ de telle sorte que $ASMR$ soit un rectangle.
	
	\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\def\x{2};
			\coordinate (A) at (0,0);
			\coordinate (B) at (8,0);
			\coordinate (C) at (0,6);
			\coordinate (R) at (\x,0);
			\coordinate (M) at (\x,{-0.75*\x+6});
			\coordinate (S) at (0,{-0.75*\x+6});
			\draw (A)node[below left]{$A$};
			\draw (B)node[below right]{$B$};
			\draw (C)node[above left]{$C$};
			\draw (S)node[left]{$S$};
			\draw (M)node[above right]{$M$};
			\draw (R)node[below]{$R$};
			\draw[blue, thick](A)--(B)--(C)--(A);
			\draw[orange, thick](A)--(R)--(M)--(S)--(A);
			\fill[color=orange , opacity=0.5] (A)--(R)--(M)--(S)--cycle;	
	\end{tikzpicture}	
	\end{center}
	
	On considÃ¨re la fonction $f$ qui Ã&nbsp; la longueur $AR$ associe l'aire du rectangle $ASMR$.
	
	On cherche ici Ã&nbsp; rendre l'aire du rectangle maximale.
	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Dessinez Ã&nbsp; l'aide d'un logiciel de gÃ©omÃ©trie dynamique la figure. On s'assurera de la rÃ©ussite de la construction de la faÃ§on suivante: lorsqu'on dÃ©place le point $R$ sur le segment $[AB]$, le quadrilatÃ¨re $ASMR$ reste un rectangle.
		\item Dessinez le polygone (avec la commande correspondante dans geogebra) $ASMR$ et remarquez que l'aire du rectangle est alors indiquÃ©e dans la colonne algÃ¨bre.
		\item En dÃ©plaÃ§ant le point $R$ conjecturez l'aire maximale du rectangle $ASMR$.
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Ã€ l'occasion d'un festival pyrotechnique, un artificier prÃ©pare le lancement de fusÃ©es Ã&nbsp; partir d'une plateforme situÃ©e Ã&nbsp; $8$ mÃ¨tres de hauteur. Il dispose de deux types de fusÃ©es notÃ©es $A$ et $B$.
	
	\textbf{Partie A: fusÃ©es de type $A$.}
	
	\noindent\begin{tabular}{m{9cm}m{4cm}}
	Le hauteur $h$, en mÃ¨tres, atteinte par les fusÃ©es de type $A$ en fonction de leur temps de vol $t$, en dixiÃ¨mes de seconde, est modÃ©lisÃ©e par la courbe ci-contre.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item PrÃ©cisez les lÃ©gendes et unitÃ©s pour chaque axe du graphique.
		\item Avec la prÃ©cision permise par le graphique rÃ©pondez aux questions suivantes.
		\begin{enumerate}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Ã€ quelle hauteur une fusÃ©e arrive-t-elle au bout de $15$ dixiÃ¨mes de seconde?
			\item Ã€ quels temps de vol la hauteur d'une fusÃ©e est-elle Ã©gale Ã&nbsp; $40\ \mathrm{m}$?
			\item Quelle est la hauteur maximale atteinte par une fusÃ©e?
			\item Au bout de combien de temps retombe-t-elle au sol?
			\item DÃ©crivez en franÃ§ais la variation de la hauteur et tracez le tableau correspondant.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
	&amp;
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=0.1,yscale=0.05]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{0};
	\def\xcoinhautdroit{30};
	\def\ycoinbasgauche{0};
	\def\ycoinhautdroit{90};
	%Les deux grilles
	%\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=5cm, ystep=20cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ -&gt;,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$t$};
	\draw[ -&gt;, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$h$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\draw (O) node {$\bullet$};
	%Graduations
	\foreach \x in {5, 10, ...,25} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {20,40,...,80} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=0:24.8] plot({\x},{-(sqrt(72)/12*\x-sqrt(72)/12*12)^2+80});
	\end{tikzpicture}
	\end{tabular}
	
	\textbf{Partie B: fusÃ©es du type $B$.}
	
	Pour les fusÃ©es du type $B$, la hauteur, en mÃ¨tres, en fonction du temps de vol, en dixiÃ¨mes de seconde, est modÃ©lisÃ© par la fonction $g$ dÃ©finie par $g(t)=-0,5(t-10)^2+58$ pour tout $t$ appartenant Ã&nbsp; l'intervalle $[0;20]$.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Calculez l'image de $6$ par $g$. Que reprÃ©sente le rÃ©sultat?
		\item Donnez le tableau de valeur de $g$ pour $t$ allant de $0$ Ã&nbsp; $20$ avec un pas de $2$.
		\item DÃ©duisez-en au bout de quels temps de vol la hauteur d'une fusÃ©e est de $40\ \mathrm{m}$.
		\item L'artificier souhaite faire exploser ses fusÃ©es de type $B$ lorsqu'elles seront Ã&nbsp; la hauteur maximale.
		\begin{enumerate}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item DÃ©terminez le temps de vol qu'il doit programmer avant l'explosion.
			\item Quelle est alors la hauteur maximale atteinte?
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}	
	%Exercices 34 page 258 Ã&nbsp; 51 page 259 du manuel Indice. Tableaux de variation, description des variations, comparaison d'images. Pris: 37, 38, 39, 41, 44, 45, 46, 48
	
	%Exercices 52 page 259 Ã&nbsp; 60 page 261 du manuel Indice. Extrema.
	
\end{exercice}

\newpage ~
\end{document}

\section{ModÃ¨les.}

\setlength{\parskip}{0pt}
\setlength{\itemsep}{0pt}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ -&gt;,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ -&gt;,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour Ã©valuer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a Ã&nbsp; la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ -&gt;,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ -&gt;, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\draw (O) node {$\bullet$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\draw (I) node {$\bullet$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	\draw (J) node {$\bullet$};
	%Graduations
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][&gt;=latex, &lt;-&gt;] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne dÃ©finie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Rectangle en coin.}

\begin{tikzpicture}
	\def\xangledroit{0};
	\def\yangledroit{0};
	\def\longueurangledroit{0.5};
	\draw[fill=green!30,rotate around={{20}:({\xangledroit},{\yangledroit})}] ({\xangledroit},{\yangledroit}) rectangle ({\xangledroit+\longueurangledroit},{\yangledroit+\longueurangledroit});
\end{tikzpicture}

\subsection{PavÃ© droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%CrÃ©ation des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%CrÃ©ation des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arÃªtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arÃªtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arÃªte du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Ã‰carts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nÅ“uds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nÅ“uds du deuxiÃ¨me niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nÅ“uds par embranchement du deuxiÃ¨me niveau
	\def\noBe{3};
	%Ã‰carts entre nÅ“uds du deuxiÃ¨me niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas Ã©crire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nÅ“uds du premier niveau
	%Dessin des nÅ“uds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nÅ“uds, dessin des nÅ“uds et des branches du deuxiÃ¨me niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Ã‰carts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nÅ“uds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nÅ“uds du deuxiÃ¨me niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nÅ“uds par embranchement du deuxiÃ¨me niveau
	\def\noBe{2};
	%Ã‰carts entre nÅ“uds du deuxiÃ¨me niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nÅ“uds du troisiÃ¨me niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nÅ“uds par embranchement du troisiÃ¨me niveau
	\def\noCe{2};
	%Ã‰carts entre nÅ“uds du troisiÃ¨me niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas Ã©crire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nÅ“uds du premier niveau
	%Dessin des nÅ“uds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nÅ“uds, dessin des nÅ“uds et des branches du deuxiÃ¨me niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nÅ“uds, dessin des nÅ“uds et des branches du troisiÃ¨me niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%CrÃ©ation des nÅ“uds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nÅ“uds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenÃªtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et aprÃ¨s le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{&gt;{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affichÃ© sur la face &amp; 1 &amp; 2 &amp; 3 &amp; 4 &amp; 5 &amp; 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}&amp; Moyenne &amp; Minimum &amp; Quartile 1 &amp; MÃ©diane &amp;	Quartile 3 &amp; Maximum
	\\
	\hline
	SÃ©rie $T$ &amp;	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&amp;	67&amp;	70&amp;	72&amp;	74&amp; 78
	\\
	\hline
	SÃ©rie $P$ &amp;&amp;&amp;&amp;&amp;&amp; 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} &amp; \multicolumn{8}{c|}{CritÃ¨res} &amp; \multirow{2}*{Note globale} &amp; \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	&amp; SÃ©curitÃ© &amp;&amp;&amp;&amp;&amp;&amp;&amp;&amp;&amp;
	\\
	\hline
	&amp;  &amp;&amp;&amp;&amp;&amp;&amp;&amp;&amp;&amp;
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Ã‰preuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item ExpÃ©rience: lancer un dÃ©.
		\item SuccÃ¨s: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item ProbabilitÃ© de succÃ¨s: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item SchÃ©ma de Bernoulli.
	
	L'Ã©preuve de Bernoulli prÃ©cÃ©demment dÃ©crite est rÃ©pÃ©tÃ©e Ã&nbsp; l'identique et de faÃ§on indÃ©pendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancÃ©s, donc compte le nombre de succÃ¨s donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}</pre></body></html>