%\documentclass{book} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{book} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hmargin={0.75cm,1cm},vmargin={0.5cm,1.25cm},twoside}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 
\settasks{
	% the next two should be set to the same value so labels are aligned to the
	% left
	%label-width = 1em ,
	%item-indent = 1em ,
	%before-skip = 0pt%-\parskip , % undo paragraph skip
	%after-skip =0pt% -\parskip , % undo paragraph skip
	after-item-skip = -2pt%-\parskip % undo paragraph skip
}

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown} \footnotesize}{}

\newenvironment{sujet}{}{}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \noindent Exemples.\vspace{-0.1cm}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\noindent {\color{BlueViolet}Remarques.\vspace{-0.1cm}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{Gray}}{}


%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} {\noindent\color{Black}EXERCICE \theExercice.} \addtocounter{Exercice}{1} \color{Black}}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\noindent\color{Brown}Exercice \theExercicecorrection. \footnotesize}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\textbf{\color{Orange}Définition \theDefinition.} \addtocounter{Definition}{1} \color{Orange} }{}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}{\textbf{\color{purple}Théorème \theTheoreme.}\addtocounter{Theoreme}{1}\color{purple}}{}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}{\textbf{\color{purple}Proposition \theProposition.} \addtocounter{Proposition}{1}\color{purple}}{}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\noindent{\textbf{\color{PineGreen} Démonstration}.} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{PineGreen}}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%Un bug apparu en faisant la mise à jour de pi: les listes tasks ne se colorie plus et restent noir malgrer les commande. La solution est ce truc:
\ExplSyntaxOn\makeatletter
%patch needed to get a around a problem in the l3-drivers
\AtBeginDocument{
 \cs_set_protected_nopar:Npn \color_ensure_current:
   {\set@color}
 }
\ExplSyntaxOff\makeatother 

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{}% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\footnotesize \thepage ]{\footnotesize \thepage }
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour abrege
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}\exclure{culturegenerale}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{exercicecorrection}

%Pour les exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour les correction d'exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques}  \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\small 

\subsection*{Tableau de signe.}

\begin{notabene}	
	Typiquement il faut déterminer le signe de la fonction bénéfice.	
\end{notabene}

\begin{notabene}
	Normalement le tableau de signe a déjà été vu lors de la présentation des fonctions de référence dans l'introduction de la notion de fonction. Cette leçon n'est pas indispensable. C'est éventuellement une occasion de révision.
\end{notabene}

\subsubsection{Analyse ou géométrie.}

\begin{lecon}
	L'analyse (les fonctions) et la géométrie (courbe représentative) se nourrissent mutuellement. Cette leçon du point de vu géométrique cherche à répondre à la question: la courbe représentative de la fonction $f$ est-elle au dessus ou au dessous de l'axe des abscisses? Du point de vu analytique la question est: quelle est le signe de $f(x)$?
	
	Nous verrons également un prolongement de ces questions: conjecturer par lecture graphique la résolution d'équations et d'inéquations.
\end{lecon}

\subsubsection{Signe d'un nombre.}

\begin{lecon}
	Le signe d'un nombre $x$ prend trois valeurs différentes:
	\begin{itemize}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item \emph{\color{purple}strictement positif} si $x>0$,
		\item \emph{\color{purple}strictement négative} si $x<0$,
		\item \emph{\color{purple}nul} si $x=0$.
	\end{itemize}
\end{lecon}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\item Il y a trois signes différents et non pas deux comme le croient nombre d'élèves.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\subsubsection{Signe d'une fonction.}

\begin{definition}
	Soient $E$ un ensemble de  nombres réels, $f:E\rightarrow \mathbb{R}$ une application. On appelle \emph{\color{purple}signe de $f$} la donnée du signe de $f(x)$ pour chaque $x \in E$.
\end{definition}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $f:x \mapsto 2x+3$. Pour $x=-1$, $f(x)=1>0$. Pour $x=-3$, $f(x)=-3<0$. Pour $x=-\frac{3}{2}$. Les signes de ces trois images par la fonction $f$ ne suffisent pas: il faut donner le signe de toutes les images.
		\item La fonction carrée est strictement positive sur $\mathbb{R}^*$ et nulle en $0$.
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Le signe d'une fonction doit être donné pour toutes les valeurs de $x$ et pas uniquement pour quelques-unes. Il y a, en général, une infinité de valeurs possibles pour $x$, nous décrirons donc le signe d'une fonction par intervalles de l'ensemble de définition: \og sur tel intervalle la fonction est strictement positive\fg{}.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\subsubsection{Tableau de signe.}

\begin{lecon}
	Plutôt que de partir stricto sensu de la géométrie nous allons faire de la lecture graphique et donc conjecturer des résultats.
	
	Le \emph{\color{purple}tableau de signe} d'une fonction est une schématisation de sa courbe représentative qui indique le signe de $f(x)$ en fonction de la valeur de $x$.
	
	Le tableau de signe indique donc les plus grands intervalles des valeurs prisent par $x$, pour lesquelles:
	\begin{itemize}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item la fonction $f$ est \emph{\color{purple}strictement positive},
		\item la fonction $f$ est \emph{\color{purple}strictement négative},
		\item la fonction $f$ est \emph{\color{purple}nulle}.
	\end{itemize}
		
	\begin{center}	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
	\def\xY{-3};
	\def\yY{-3.5};
	\def\xZ{3};
	\def\yZ{3.5};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	%\draw[step=0.1cm,lightgray!60, very thin] (Y) grid (Z);
	\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
	\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
	\draw[ ->,very thick,violet] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick,orange] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw node[below left](0,0){\small $O$};
	\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize $I$};
	\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  $J$};
	\draw[red, thick](-3,{5-2})--(-2.5,0);
	\draw[black, thick](-2.5,0)--(-2,{1-2})--(-1.5,{2-2})--(-1,{1-2})--(-0.5,{2-2});
	\draw[red, thick](-0.5,{2-2})--(0,{3-2});
	\draw[red, thick][samples=50,domain=0:1] plot(\x,{-\x^2+3-2});
	\draw[black, thick][samples=50,domain=1:2] plot(\x,{-\x^2+3-2});
	\draw[black, thick][samples=50,domain=2:3] plot(\x,{(\x-2) ^2-1-2});
	\draw(1.5,2)node[fill=white]{\color{black}$\mathcal{C}_f$};
	\draw (-3,3) node{$\bullet$};
	\end{tikzpicture}	
	\end{center}	
	
	{\color{orange}Graphiquement les points de la courbe au-dessus de l'axe des abscisses correspondent à des valeurs positives de la fonction.}
	
	Nous décrirons cette situation en disant, par exemple:\newline
	$f$ est strictement positive sur $[-3;-2,5[$,\newline
	$f$ est strictement négative sur $]-2,5;-1,5[$,\newline
	$f$ s'annule en chaque valeur de $\{ -2,5; -1,5; -0,5; 1 \}$.
	
	Nous résumerons tout ceci dans le tableau de signe:
			
	\begin{tikzpicture}	
		\tkzTabInit[lgt=2, deltacl=0.5, espcl=1.6, color, colorV=violet!50, colorL=violet!50, colorC=orange!50, colorT=orange!50]{$x$ /1, $f(x)$ /1}
		{$-3$, $\np{-2,5}$, $\np{-1,5}$, $\np{-0,5}$, $1$, $+\infty$}
		\tkzTabLine{,{\color{red}+},z,-,z,-,z,{\color{red}+},z,-,}%
	\end{tikzpicture}
\end{lecon}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item On attend de l'élève qu'il soit capable de décrire à l'oral le signe: \og la fonction est strictement positive sur l'intervalle \fg{} et cetera.
		\item Remarquez le décalage des inscriptions des signes sur la ligne du dessous et des nombres sur la première ligne. le signe est indiqué au milieu en dessous de l'intervalle qui est concerné.
		\item Il est encore possible d'interpréter ces résultats en termes d'inéquations:
		\begin{itemize}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item $f(x) >0$ si et seulement si $x\in [-3;-2,5[ \cup ]-0,5;1[$,
			\item $f(x)<0$ si et seulement si $x\in ]-2,5 ; -1,5 [ \cup ]-1,5;-0,5[\cup ]1;3]$,
			\item $f(x)=0$ si et seulement si  $x\in \{ -2,5;-1,5; -0,5;1 \}$
		\end{itemize}
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\item 
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\subsubsection{Conjecturer graphiquement le signe d'une fonction.}

\begin{exercice}
	Dresser les tableaux de signes  des fonctions représentées ci-dessous.
		
	\begin{tabular}{m{4cm}m{8cm}}			
		\begin{tikzpicture}[scale=1]
			\draw[ xstep=0.25] (-1.75,-3) grid (1.75,7);
			%\axeX{-1.75}{1.75}{1}
			%\axeY{-3}{7}{2,-2, 4, 6}
			%\origine
			\def\xY{-1.75};
			\def\yY{-3};
			\def\xZ{1.75};
			\def\yZ{7};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[xstep=0.25cm, ystep=0.25cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
			\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[ color=red] plot[domain=-0.914:1.636, smooth, samples=100, variable=\x] (\x,2+7*\x*\x*\x*\x-8*\x*\x*\x-5*\x*\x+2*\x);
			\draw (-1.5, 6.5) node[color=red, fill=white] {{\boldmath $\mathcal{C}_h$}};
		\end{tikzpicture}
		&			
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			%\draw (-3.5,-2) grid (3.5,2);
			%\axeX{-3.5}{3.5}{1}
			%\axeY{-2}{2}{1}
			%\origine
			\def\xY{-3.5};
			\def\yY{-2};
			\def\xZ{3.5};
			\def\yZ{2};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
			\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[ color=red] plot[domain=-3.076:3.5, smooth, samples=100, variable=\x] (\x,-0.25*\x*\x+0.125*\x+0.75);
			\draw (-3.25, 1.75) node[color=red,fill=white] {{\boldmath $\mathcal{C}_f$}};
		\end{tikzpicture}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.75, yscale={3/8}]
			%\draw[ ystep=1, xstep=0.5] (-3.5,-9) grid (3.5,2);
			%\axeX{-3.5}{3.5}{1}
			%\axeY{-9}{2}{1}
			%\origine
			\def\xY{-3.5};
			\def\yY{-9};
			\def\xZ{3.5};
			\def\yZ{2};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[xstep=0.5cm, ystep=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
			\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[ color=red] plot[domain=-1.237:3.237, smooth, samples=100, variable=\x] (\x,-6+2*\x*\x-4*\x);
			\draw (-3.25, 1.5) node[color=red, fill=white] {{\boldmath $\mathcal{C}_g$}};
		\end{tikzpicture}
			
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\draw (-3.5,-3.5) grid (3.5,2.5);
			%\axeX{-3.5}{3.5}{1}
			%\axeY{-3.5}{2.5}{1}
			%\origine
			\def\xY{-3.5};
			\def\yY{-3.5};
			\def\xZ{5.5};
			\def\yZ{2.5};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[xstep=0.5cm, ystep=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
			\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[ color=red] plot[domain=-2.974:2.309, smooth, samples=100, variable=\x] (\x,(0.6*\x*\x*\x+0.6*\x*\x-2.85*\x-1.5);
			\draw (-3.25, 2.25) node[color=red, fill=white] {{\boldmath $\mathcal{C}_m$}};
		\end{tikzpicture}			
	\end{tabular}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f$ /0.8}
		{$-\infty$ ,$\np{-1,5}$, $2$, $+\infty$}
		\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}%
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $g$ /0.8}
		{$-\infty$ ,$\np{-1}$, $3$, $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}%
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $h$ /0.8}
		{$-\infty$ ,$\np{0,6}$, $\np{1,4}$, $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}%
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $m$ /0.8}
		{$-\infty$ ,$\np{-2,5}$, $\np{-0,5}$, $2$, $+\infty$}
		\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,z,+,}%
		\end{tikzpicture}
	\end{center}		
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}	
	À partir de chaque représentation graphique déterminez les valeurs pour lesquelles la fonction n'est pas définie, la fonction est nulle puis établissez le tableau de signes de cette fonction.
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.45, yscale=0.11]
			\def\xY{-1};
			\def\yY{-14};
			\def\xZ{7};
			\def\yZ{14};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[xstep=0.5cm, ystep=2cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
			\foreach \x in {1}	\draw[very thick](\x,0.8)--(\x,-0.8) node[below]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {2}	\draw[very thick](0.2,\y)--(-0.2,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y/2 }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[very thick, color=red] plot[domain=-4:-0.094, smooth, samples=100, variable=\x] (\x+3,1+1.5/\x);
			\draw[very thick, color=red] plot[domain=0.115:4, smooth, samples=100, variable=\x] (\x+3,1+1.5/\x);
			\draw(6.5, 12.5) node[color=red, fill=white] {{\boldmath $\mathcal{C}_m$}};
		\end{tikzpicture}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.45, yscale=0.11]
			\def\xY{-4};
			\def\yY{-14};
			\def\xZ{4};
			\def\yZ{14};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[xstep=0.5cm, ystep=2cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
			\foreach \x in {1}	\draw[very thick](\x,0.8)--(\x,-0.8) node[below]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {2}	\draw[very thick](0.2,\y)--(-0.2,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y/2 }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[very thick, color=red] plot[domain=-4:-1.61, smooth, samples=300, variable=\x] (\x,{(-0.5*(\x-2.5)/(-\x-1.5))-4});
			\draw[very thick, color=red] plot[domain=-1.379:4, smooth, samples=300, variable=\x] (\x,{-0.5*(\x-2.5)/(-\x-1.5)+2});
			\draw (3.5, 12.5)  node[color=red, fill=white] {{\boldmath $\mathcal{C}_g$}};
		\end{tikzpicture}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.45, yscale=0.11]
			\def\xY{-4};
			\def\yY{-14};
			\def\xZ{4};
			\def\yZ{14};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[xstep=0.5cm, ystep=2cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
			\foreach \x in {1}	\draw[very thick](\x,0.8)--(\x,-0.8) node[below]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {2}	\draw[very thick](0.2,\y)--(-0.2,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y/2 }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[very thick, color=red] plot[domain=-4:-2.045, smooth, samples=200, variable=\x] (\x,{((\x-1)*(\x+1)/(\x*\x-4))-2.65});
			\draw[very thick, color=red] plot[domain=-1.954:1.956, smooth, samples=200, variable=\x] (\x,{((\x-1)*(\x+1)/(\x*\x-4))+1.5});
			\draw[very thick, color=red] plot[domain=2.06:4, smooth, samples=200, variable=\x] (\x,{(\x-1)*(\x+1)/(\x*\x-4)+0.62});
			\draw (3.5, 12.5)  node[color=red, fill=white] {{\boldmath $\mathcal{C}_h$}};
		\end{tikzpicture}			
	\end{center}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	{\color{orange}Une valeur de $x$ pour laquelle la fonction n'est pas définie est une valeur pour laquelle il n'y a pas d'image.}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $f$ n'est pas définie pour $x=3$.				
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f$ /0.8}
			{$-\infty$ ,$\np{2,5}$,$3$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,+,z,-,d,+,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}		
		\item $g$ n'est pas définie pour $x=-1,5$.		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $g$ /0.8}
			{$-\infty$ ,$-2$, $\np{-1,5}$, $\np{-0,75}$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,z,+,d,-,z,+,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}		
		\item $h$ n'est pas définie pour $x=-2$ ou $x=2$.		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $h$ /0.8}
			{$-\infty$ ,$\np{-2,4}$, $\np{-2}$, $\np{-1,6}$, $\np{1,6}$, $2$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,z,+,d,-,z,+,z,-,d,+,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}		
	\end{enumerate}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Un artisan fabrique des vases qu'il met en vente. On suppose que tous les vases fabriqués sont vendus. L'artisan veut faire une étude sur la production d'un nombre de vases compris entre $0$ et $60$. Il estime que le bénéfice occasionné par la production puis la vente de $n$ vases est modélisé par la fonction $B$ dont l'expression est $B(n)=-n^2+60n-500$.	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Dessinez la courbe représentative de la fonction $B$ sur $[0;60]$.
		\item Par lecture graphique donnez le tableau de signe de $B$.
		\item Quel nombre de vases l'artisan doit-il fabriquer puis vendre pour réaliser un bénéfice?
		\item Quel nombre de vases l'artisan doit-il fabriquer puis vendre pour réaliser un bénéfice maximal?
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item {\color{orange}Rappelons que pour tracer une courbe représentative sur papier il faut un certains nombre de points (dont les coordonnées sont obtenues avec le tableau de valeurs de la calculatrice) et l'allure générale de la courbe représentative est obtenue avec la courbe donné par le calculatrice.
		
		Entrons la fonction.		
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=0.5]{2ieme_analyse_03_tableau_signe_01_calculatrice.png}
		\end{center}		
		Nous savons que la fonction est définie sur $[0;60]$. Pour avoir les coordonnées de quelques points de la courbe utilisons le tableau de valeur de la courbe.	
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=0.5]{2ieme_analyse_03_tableau_signe_02_calculatrice.png}
			\includegraphics[scale=0.5]{2ieme_analyse_03_tableau_signe_03_calculatrice.png}
		\end{center}		
		Et pour avoir l'allure de la courbe, en utilisant les valeurs du tableau de valeurs pour le réglage de la fenêtre:		
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=0.5]{2ieme_analyse_03_tableau_signe_04_calculatrice.png}
			\includegraphics[scale=0.5]{2ieme_analyse_03_tableau_signe_05_calculatrice.png}
		\end{center}
		
		}				
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			\def\xY{-0.5};
			\def\yY{-5.5};
			\def\xZ{7};
			\def\yZ{4.5};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{10*\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{100*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:6] plot(\x,{(-\x*10 *\x*10 +60*\x*10 -500)/100});
			\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}		
		\item ~
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $B(x)$ /0.8}
			{$0$ ,$10$, $50$, $60$}
			\tkzTabLine{,-,z,+,z,-}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}		
		\item Pour que l'artisan réalise un bénéfice il faut que $B(x)>0$. D'après le tableau de signe cela est vrai lorsque $x \in ]10;50[$.
		
		\begin{conclusion}			
			Pour que l'artisan réalise un bénéfice il doit produire de $11$ à $49$ articles.			
		\end{conclusion}		
		\item Par lecture graphique nous voyons que le maximum est de $400\ \text{\euro}$ et que pour atteindre ce bénéfice il doit produire $30$ vases.
		
		\begin{notabene}
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $B$ /1.6}
			{$0$ ,$30$, $60$}
			\tkzTabVar {-/ $-500$, + / $400$ , - / $-500$ / }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		\end{notabene}
	\end{enumerate}	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{De l'analyse vers la géométrie.}

\begin{lecon}
	Le plus souvent notre démarche en mathématique est celle contraire: à partie de l'expression algébrique déterminer si la courbe est au-dessus ou en-dessous de l'axe des abscisses.
	
	Il n'existe pas de recette magique pour l'étude (démontrée) du signe d'une fonction. Cependant vous devez connaître déjà celles-ci:
	\begin{enumerate}[\text{Étape }1]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item si la fonction fait partie des fonctions de référence (identité, carré, cube, racine carrée, inverse, valeur absolue) vous devez connaître par cœur son signe,
		\item si la fonction fait partie de la classe des fonctions affines vous devez être capable d'en déterminer le signe (résultats de cours ou résolution d'inéquations du premier degré),
		\item si la fonction est un quotient ou un produit de fonctions de références ou affines vous devez utilisez des tableaux de signe et les deux points précédents,
		\item sinon, pour l'instant il ne vous reste que la conjecture grâce à un moyen informatique (ce qui pour des maths appliquées peut s'avérer très satisfaisant).
	\end{enumerate}
	Il vous reste à consulter les leçons concernées.
\end{lecon}

\subsubsection{Position relative de deux courbes.}

\begin{notabene}
	Partir d'une représentation graphique et faire le lien avec la résolution d'inéquation.
\end{notabene}

\begin{definition}	
	Soient $I$ un intervalle, $f$ et $g$ des fonctions définies sur $I$.\emph{\color{purple}La courbe représentative $\mathscr{C}_f$}, de $f$, est dite \emph{\color{purple}au-dessus de la courbe représentative $\mathscr{C}_g$}, de $g$, \emph{\color{purple}sur $I$} si et seulement si: $f(x)\geqslant g(x)$ pour tout $x \in I$.	
\end{definition}

\begin{remarques}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item On peut faire une définition semblable pour définir le fait qu'une courbe est au-dessous d'une autre.
		\item Rappelons que la principale méthode dont vous disposez pour résoudre l'inéquation $f(x) \geqslant g(x)$ consiste à résoudre $f(x)-g(x)\geqslant 0$. Bref {\color{orange}il s'agit d'étudier le signe de la fonction $x \mapsto f(x)-g(x)$} (tableau de signe et tout et tout).		
		\item Il arrive qu'une partie seulement de $\mathscr{C}_f$ soit au-dessus de $\mathscr{C}_g$. Dans ce cas nous détaillerons sur quels intervalles c'est vrai.		
	\end{enumerate}	
\end{remarques}

\begin{exemples}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item La courbe représentative de la fonction constante égale à $3$ est au-dessus de la courbe représentative de la fonction constante égale à $-\pi$ car $-\pi \leqslant 3$.		
		\item Soit $f:x \mapsto 3x+1$ et $g:x \mapsto -7x+3$.
		
		\objectif{Étudions le signe de $f-g$.}
		
		Soit $x \in\mathbb{R}$. $f(x)-g(x)=10x-2$. $f-g$ est une fonction affine avec $a=10$ et $b=-2$ donc		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f-g$ /0.8}
				{$-\infty$ ,$\frac{1}{5}$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,-,z,+,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		Nous en déduisons que
		
		\begin{conclusion}
			$\mathscr{C}_f$ est au-dessus de $\mathscr{C}_g$ sur $\left]-\infty,\frac{1}{5} \right]$ et en-dessous sinon.
		\end{conclusion}
		
		Nous pourrions également ajouter que les courbes sont sécantes au point de coordonnées $\left( \frac{1}{5},f\left( \frac{1}{5} \right) \right)=\left( \frac{1}{5},\frac{8}{5} \right)$.
		\item Démontrez que $-2x^2+2x+4=-2(x+1)(x-2)$ puis déduisez-en la position relative de $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ où $f(x)=x^2-6x+1$ et $g(x)=3x^2-8x-3$. % $-2(x-1)(x+2)=-2x^2+2x+4$ %Exemple avec second degré et factorisation.		
	\end{enumerate}	
\end{exemples}

\begin{lecon}	
	Dans cette partie nous parlerons des courbes d'équations $y=f(x)$ plutôt que des courbes représentatives des fonctions ce qui est équivalent.
\end{lecon}

\begin{proposition}
	La courbe d'équation $y=x$ est au-dessus de la courbe d'équation $y=x^2$ sur $[0;1]$ et au-dessous sinon.	
\end{proposition}

\begin{preuve}
	$x^2-x=x(x-1)$ d'où le tableau de signe et le résultat.	
\end{preuve}

\begin{proposition}
	La courbe d'équation $y=x$ est au-dessus de la courbe d'équation $y=x^3$ sur $]-\infty,-1 ] \cup [0;1]$ et au-dessous sinon.	
\end{proposition}

\begin{preuve}
	$x^3-x=x(x-1)(x+1)$ d'où le tableau de signe et le résultat.	
\end{preuve}

\begin{proposition}
	La courbe d'équation $y=x^2$ est au-dessus de la courbe d'équation $y=x^3$ sur $[0;1]$ et au-dessous sinon.	
\end{proposition}

\begin{preuve}
	$x^3-x^2=x^2(x-1)$ d'où le tableau de signe et le résultat.	
\end{preuve}

\begin{remarques}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item On remarque que sur $[0;1]$, $x\geqslant x^2 \geqslant x^3$ et sur $[1,+\infty[$, $x \leqslant x^2 \leqslant x^3$. On peut d'ailleurs conjecturer une généralisation de ce résultat à d'autres puissances ...
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exercice}
	Soient $f:x \mapsto x+1$ et $g: x \mapsto x^2-2x-9$ des fonctions définies sur $\mathbb{R}$.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Exprimez $g(x)-f(x)$ en fonction de $x$.		
		\item Démontrez que, pour tout $x\in\mathbb{R}$, $x^2-3x-10=(x+2)(x-5)$.		
		\item Étudiez le signe de $g(x)-f(x)$.		
		\item Donnez l'ensemble des solutions de l'inéquation $g(x)-f(x)$.		
		\item Décrivez la position relative des courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$.			
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\subsubsection{Conjecturer graphiquement la résolution d'équation et d'inéquations.}

\begin{notabene}	
	Exemples simples.	
	Affiner la précision: le schéma à la main, la représentation graphique de la calculatrice, le tableau de valeurs aussi précis que souhaité. Avantage du tableau de valeur donne un encadrement et donc indique quelle est l'erreur commise contrairement à la seule lecture graphique.	
\end{notabene}

\begin{exemples}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Résoudre l'équation $-2x+3=1$.		
		\item Résoudre l'équation $x^2=4$.		
		\item Résoudre l'équation $x^3=1$.		
	\end{enumerate}	
\end{exemples}

\begin{lecon}	
	Résoudre une équation (problème du domaine de l'algèbre) peut être interpréter comme la recherche d'antécédents par une fonction (problème du domaine de l'analyse). Avec l'informatique il est très rapide et facile d'obtenir la courbe représentative d'une fonction et donc de faire une lecture graphique. Cependant ce n'est pas une démonstration, nous ne pouvons que conjecturer.
\end{lecon}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item ~
		
		{\color{WildStrawberry}
		\noindent \begin{tabular}{m{5.5cm}m{5.5cm}}
		Pour conjecturer les solutions de l'équation $x^2+2x-7=3$ nous introduisons la fonction \[ f: \left\{ \begin{array}{ccl}  \mathbb{R}&\rightarrow & \mathbb{R}\\ x &\mapsto & x^2+2x-7\\ \end{array} \right. \] puis traçons sa courbe représentative $\mathcal{C}_f$ avec un logiciel:
		&		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.2]
				\def\xY{-6};
				\def\yY{-9};
				\def\xZ{6};
				\def\yZ{8};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
				\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
				\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \pgfmathparse{\x }\pgfmathresult};
				\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=-5:3] plot(\x,{\x*\x+2*\x-7});
				\draw[blue] (3,-4) node[fill=white] {$\mathcal{C}_f$};		
			\end{tikzpicture}
		\end{center}		
		\\ \end{tabular}
	
	Résoudre l'équation équivaut donc à rechercher les antécédents de $3$ par la fonction $f$.} 
	
	Les solutions de l'équation $f(x)=3$ sont les abscisses des points de la courbe d'ordonnée 3.
	
	{\color{WildStrawberry}Concrètement pour les trouver il faut suivre les étapes suivantes.
	
	\noindent \begin{tabular}{m{3.7cm}|m{3.7cm}|m{3.7cm}}
		\hline
		\color{orange}$1$&\color{orange}$2$&\color{orange}$3$\\ \hline
		&&\\
		Dessinez l'ordonnée $3$. & Identifiez les points d'intersections. & Lire les abscisses correspondantes.\\
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
				\def\xY{-6};
				\def\yY{-9};
				\def\xZ{6};
				\def\yZ{8};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
				\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw node[below left](0,0){\small $0$};
				\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize \pgfmathparse{\x }\pgfmathresult};
				\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=-5:3] plot(\x,{\x*\x+2*\x-7});
				\draw[blue] (3,-4) node[fill=white] {$\mathcal{C}_f$};	
				\draw[red, thick,dashed][samples=100,domain=-6:6] plot(\x,{3});
			\end{tikzpicture}
		\end{center}		
		&		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
				\def\xY{-6};
				\def\yY{-9};
				\def\xZ{6};
				\def\yZ{8};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
				\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw node[below left](0,0){\small $0$};
				\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize \pgfmathparse{\x }\pgfmathresult};
				\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=-5:3] plot(\x,{\x*\x+2*\x-7});
				\draw[blue] (3,-4) node[fill=white] {$\mathcal{C}_f$};	
				\draw[red, thick,dashed][samples=100,domain=-6:6] plot(\x,{3});
				\draw[violet] (-4.31662479,3) node {\Large $\times$};
				\draw[violet] (2.31662479,3) node {\Large $\times$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		&		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
				\def\xY{-6};
				\def\yY{-9};
				\def\xZ{6};
				\def\yZ{8};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
				\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw node[below left](0,0){\small $0$};
				\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize \pgfmathparse{\x }\pgfmathresult};
				\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=-5:3] plot(\x,{\x*\x+2*\x-7});
				\draw[blue] (3,-5) node[fill=white] {$\mathcal{C}_f$};	
				\draw[red, thick,dashed][samples=100,domain=-6:6] plot(\x,{3});
				\draw[violet] (-4.31662479,3) node {\Large $\times$};
				\draw[violet] (2.31662479,3) node {\Large $\times$};
				\draw[orange][thick,dashed] (-4.31662479,3)--((-4.31662479,0);
				\draw[orange][thick,dashed] (2.31662479,3)--(2.31662479,0);
				\draw[orange] (-4.31662479,0) node {\Large $\bullet$};
				\draw[orange] (2.31662479,0) node {\Large $\bullet$};
				\draw (-4.31662479,-2) node[fill=white] {$\approx -4,3$};
				\draw (2.31662479,-2) node[fill=white] {$\approx 2,3$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}		
		\\ \hline
	\end{tabular}
	
	Conclusion: 
	
	\begin{conclusion}
			l'ensemble des solutions de l'équation $x^2+2x-7=3$ est $\{ -4,3\ ;\ 2,3 \}$.
	\end{conclusion}
	}
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{remarques}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Inconvénients de la méthode: 
		\begin{itemize}
			\item comme pour toute lecture graphique les résultats sont approximatifs (insuffisant en mathématique)
			\item il s'agit d'une partie de la courbe et nous ne savons pas ce qu'il en est pour le reste de la courbe.
		\end{itemize}
	\end{enumerate}	
\end{remarques}

\begin{exercice}
	Déterminez graphiquement les solutions des équations suivantes:	
	\begin{tasks}(2)
		\task $0,5x^2-0,5x-10=-9$.		
		\task $-\dfrac{1}{4}(x^2+7x+6)=-3$.		
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{tasks}
		\task Avec  la calculatrice nous traçons les courbes représentatives des fonctions $f:x \mapsto 0,5x^2-0,5x-10$ et $g:x\mapsto -9$.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.25,yscale=0.25]
				\def\xY{-10};
				\def\yY{-10};
				\def\xZ{10};
				\def\yZ{10};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $O$};
				\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y=f(x)$};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=-5.75:6.75] plot(\x,{0.5*\x*\x-0.5*\x-10});
				\draw[blue] (2,-4) node[fill=white] {$\mathscr{C}_f$};
				\draw[red, thick][samples=100,domain=-10:10] plot(\x,{-9});
				\draw[red] (-7,-8) node[fill=white] {$\mathscr{C}_g$};
				%\foreach \a/\o in {-2/-4, -1.5/-4.5, -1/-4, -0.5/-2.5, 0/0, 0.5/3.5} \draw ({\a},{\o}) node{$\times$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		Par lecture nous pouvons conjecturer que 
		
		\begin{conclusion}
			
			l'ensemble des solutions est $\mathscr{S}= \{ -1;2 \}$.
			
		\end{conclusion}
		
		{\color{WildStrawberry}Si pouvons vérifier que $-1$ et $2$ sont effectivement des solutions en remplaçant dans l'équation rien ne garanti que nous ayons toutes les solutions: peut être le graphique ne nous montre-t-il pas tous les points d'ordonnée $-9$. Nous en restons donc à une conjecture sans pouvoir affirmer que nous avons résolu l'équation.}		
		\task Avec  la calculatrice nous traçons les courbes représentatives des fonctions $f:x \mapsto -\frac{1}{4}(x^2+7x+6)$ et $g:x\mapsto -3$.		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.25,yscale=0.25]
				\def\xY{-10};
				\def\yY{-10};
				\def\xZ{10};
				\def\yZ{10};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $O$};
				\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y=f(x)$};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=-10:3.2] plot(\x,{-0.25*(\x*\x+7*\x+6)});
				\draw[blue] (-3,4) node[fill=white] {$\mathscr{C}_f$};
				\draw[red, thick][samples=100,domain=-10:10] plot(\x,{-3});
				\draw[red] (-7,-5) node[fill=white] {$\mathscr{C}_g$};
				%\foreach \a/\o in {-2/-4, -1.5/-4.5, -1/-4, -0.5/-2.5, 0/0, 0.5/3.5} \draw ({\a},{\o}) node{$\times$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}		
	\end{tasks}	
\end{exercicecorrection}

\begin{notabene}	
	En profiter pour faire un rappel sur la résolution algébrique des équations $x^2=a$.
	
	Nature équation, si pas linéaire se ramener à équation produit nul, factorisation, facteur commun (inverse distributivité), identité remarquable seulement celle de collège).
	
\end{notabene}

\begin{exercice}{}
	
	Résolvez graphiquement ou algébriquement (selon ce qui est le plus pertinent) les équations suivantes.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $(E_1):\ -\dfrac{1}{3}x+3=1$.
		\task $(E_2):\ x^2=4$.
		\task $(E_3):\ x^2= 6$.
		\task $(E_4):\ 3x^2=48$.
		\task $(E_5):\ (x+1)(x-2)=-2$.
		\task $(E_6):\ 5x^3+x=13$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{align*}
			(E_1) &\Leftrightarrow -\frac{1}{3}x+3=1\\
			&\Leftrightarrow -\frac{1}{3}x+3 {\color{orange}-3} = 1 {\color{orange}-3}\\
			&\leftrightarrow -\frac{1}{3}x=-2\\
			&\Leftrightarrow {\color{WildStrawberry}-3 \times } \left(-\frac{1}{3} \right)x= {\color{WildStrawberry}-3 \times} (-2)\\
			&\Leftrightarrow x =6
		\end{align*}
		
		L'ensemble des solutions de l'équation $(E_1)$ est 
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{S}_1 = \left\{ 6 \right\}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item {\color{WildStrawberry}Nous remarquons une équation qui n'est pas linéaire. Nous allons donc essayer de nous ramener à une équation produit-nul.}
		
		\begin{align*}
			(E_2) &\Leftrightarrow x {\color{orange}-4} = 4 {\color{orange}-4}\\
			&\Leftrightarrow x^2-4=0\\
			\intertext{\color{WildStrawberry}Nous avons une équation égale à $0$ il faut maintenant obtenir un produit, c'est-à-dire factoriser. Nous avonc deux méthodes de factorisation qui restent du collège: facteur commun (autrement dit distributivité) et identié remarquable (uniquement $a^2-b^2$). Ici il n'y a pas de facteur commun. Par contre:}
			(E_2) &\Leftrightarrow x^2-2^2= 0\\
			&\Leftrightarrow (x-2)(x+2)=0\\
			\intertext{\color{WildStrawberry} Nous reconnaissons un produit nul donc:}
			(E_2) &\Leftrightarrow x-2=0\quad \text{ou}\quad x+2=0\\
			&\Leftrightarrow x=2 \quad \text{ou} \quad x=-2
		\end{align*}
		
		L'ensemble des solutions de $(E_2)$ est 
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{S}_2 = \{ 2;-2 \}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item De même
		
		\begin{align*}
			(E_3) &\Leftrightarrow (x-\sqrt{6})(x+\sqrt{6})=0
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{S}_3=\{ \sqrt{6} ;  -\sqrt{6} \}$.
			
		\end{conclusion}
		
		
		\item De même
		
		\begin{align*}
			(E_4) &\Leftrightarrow 3(x-4)(x+4)=0
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{S}_4=\{ 4 ;  -4 \}$.
			
		\end{conclusion}
		
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			(E_5) &\Leftrightarrow (x+1)(x-2) {\color{orange}+2}= -2 {\color{orange}+2}\\
			&\Leftrightarrow (x+1)(x-2)+2=0\\
			\intertext{\color{WildStrawberry}À ce stade nous bloquons: impossible de factoriser. E désespoire de cause esssayons de tout développer.}
			(E_5) &\Leftrightarrow x\times x+x \times (-2) + 1 \times x + 1 \times (-2)+2\\
			&\Leftrightarrow x^2-2x+x-2+2=0\\
			&\Leftrightarrow x^2-x=0\\
			\intertext{\color{WildStrawberry}Maintenant que tout est développé nous recommençons à essayer de factoriser: il y a maintenant un facteur commun.}
			&\Leftrightarrow x(x-1)=0\\
			&\Leftrightarrow x=0\quad \text{ou}\quad x-1=0
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{S}_5=\{ 0 ;  1 \}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}%Exercice 50 page 59 du manuel \href{https://www.lelivrescolaire.fr/manuels/mathematiques-2de-2019}{lelivrescolaire.fr}.	
	Dans chaque cas, on a représenté dans un repère orthonormé une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$.
	\begin{tasks}(2)
		\task 
			
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		%extremites du graphique
		\def\xcoinbasgauche{-1.5};
		\def\xcoinhautdroit{0.9};
		\def\ycoinbasgauche{-1.2};
		\def\ycoinhautdroit{2.4};
		%Les deux grilles
		\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
		\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
		%Les deux axes
		\draw[ ->,thick,black] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->, thick,black] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
		%repere orthonorme
		\coordinate (O) at ({0},{0});
		\draw (O) node[below left] {$O$};
		%Graduations
		\foreach \x in {-1, 0.5} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\foreach \y in {-1,1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		%fonction
		\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.1:0.1] plot({\x},{3*\x+2});
		\end{tikzpicture}
		\task 
			
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		%extremites du graphique
		\def\xcoinbasgauche{-1.1};
		\def\xcoinhautdroit{1.3};
		\def\ycoinbasgauche{-1.2};
		\def\ycoinhautdroit{2.2};
		%Les deux grilles
		\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
		\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
		%Les deux axes
		\draw[ ->,thick,black] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->, thick,black] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
		%repere orthonorme
		\coordinate (O) at ({0},{0});
		\draw (O) node[below left] {$O$};
		%Graduations
		\foreach \x in {-1, 0.5} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\foreach \y in {-1,1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		%fonction
		\draw[orange, thick][samples=100,domain=-0.9:1.1] plot({\x},{-\x*\x*\x+1});
		\end{tikzpicture}
		\task 
			
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		%extremites du graphique
		\def\xcoinbasgauche{-1.9};
		\def\xcoinhautdroit{1.9};
		\def\ycoinbasgauche{-1.2};
		\def\ycoinhautdroit{2.4};
		%Les deux grilles
		\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
		\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
		%Les deux axes
		\draw[ ->,thick,black] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->, thick,black] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
		%repere orthonorme
		\coordinate (O) at ({0},{0});
		\draw (O) node[below left] {$O$};
		%Graduations
		\foreach \x in {-1, 1} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\foreach \y in {-1,1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		%fonction
		\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.6:1.6] plot({\x},{\x*\x});
		\end{tikzpicture}
		\task 
			
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		%extremites du graphique
		\def\xcoinbasgauche{-1.2};
		\def\xcoinhautdroit{2.7};
		\def\ycoinbasgauche{-1.2};
		\def\ycoinhautdroit{2.4};
		%Les deux grilles
		\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
		\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
		%Les deux axes
		\draw[ ->,thick,black] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->, thick,black] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
		%repere orthonorme
		\coordinate (O) at ({0},{0});
		\draw (O) node[below left] {$O$};
		%Graduations
		\foreach \x in {-1, 1} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\foreach \y in {-1,1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		%fonction
		\draw[orange, thick][samples=100,domain=-0.6:2.3] plot({\x},{\x*\x*(\x-2)});
		\end{tikzpicture}
	\end{tasks}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Dans chaque cas précisez graphiquement le solutions des équations $f(x)=-0,5$; $f(x)=0$; $f(x)=1$; $f(x)=2$.
		\item Dans chaque cas déterminez, suivant les valeurs de $k$, le nombre de solutions de l'équation $f(x)=k$ où $k\in \mathbb{R}$.
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item $f(x)=-0,5 \Leftrightarrow x \in \{ -0,8 \}$.
			
			\item Pour tout $k \in \mathbb{R}$, $f(x)=k$ admet une unique solution.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item $f(x)=-0,5 \Leftrightarrow x \in \{ 0 \}$.
			
			\item Si $k=0$, alors $f(x)=k$ admet une unique solution sinon $f(x)=k$ admet deux solutions distinctes (et opposées).
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item $f(x)=1 \Leftrightarrow x \in \{ 0 \}$.
			
			\item Pour tout $k \in \mathbb{R}$, $f(x)=k$ admet une unique solution.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item $f(x)=2 \Leftrightarrow x \in \{ 2,3 \}$.
			
			\item Répondons à la question pour la courbe d).
			
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|m{2cm}|c|c|c|c|c|}
					\hline
					$k$ & $]-\infty;-1,2[$& $\{ 1,2 \}$ & $]-1,2; 0[$ & $\{ 0 \}$ & $]0;+\infty[$
					\\
					\hline
					Nombre de solutions de $f(x)=k$. & $1$ & $2$ & $3$ & $2$ & $1$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{center}
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}%Exercice 51 page 59 du manuel \href{https://www.lelivrescolaire.fr/manuels/mathematiques-2de-2019}{lelivrescolaire.fr}.
	On considère la hauteur $H$, en mètre, d'un type d'arbre en fonction de son âge $t$ en mois.		
	\begin{center}		
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=1]
		%extremites du graphique
		\def\xcoinbasgauche{0};
		\def\xcoinhautdroit{24};
		\def\ycoinbasgauche{0};
		\def\ycoinhautdroit{6};
		%Les deux grilles
		%\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
		\draw[xstep=1cm, ystep=0.5cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
		%Les deux axes
		\draw[ ->,thick,black] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->, thick,black] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
		%repere orthonorme
		\coordinate (O) at ({0},{0});
		\draw (O) node[below left] {$O$};
		\draw (O) node {$\bullet$};
		%Graduations
		\foreach \x in {2,10,20} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\foreach \y in {1,2,3,4,5} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		%Ligne définie par des points
		\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(0,0)(2,1.8) (4,2.5) (6,3) (12,4) (20,4.45) (21,4.5) (22,4.5) (24,4.5)};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Déterminez et interprétez $H(1)$.
		\item Ces arbres sont commercialisables dès qu'ils mesurent au moins $2\ \mathrm{m}$: traduisez cela par une inéquation et résolvez-la.
		\item À partir de quelle année ces arbres atteignent-ils leur hauteur maximale?
		\item Dès qu'ils atteignent $3,5\ \mathrm{m}$, Jean taille ses arbres à une hauteur de $3\ \mathrm{m}$. les arbres repoussent au même rythme: quelle sera la fréquence des coupes après la première?
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $H(1)=1$. Au bout d'un mois l'arbre mesure 1 mètre.		
		\item $H(t)>2$ si et seulement si $t>2,5$. Ils seront commercialisable lorsque $t \in [2,5;+\infty[$.		
		\item En année arrondie au bout de 2 ans. En mois: au bout de $19$ mois.		
		\item Tous les $2,5$ mois.
	\end{enumerate}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item {\color{WildStrawberry}Pour conjecturer les solutions de l'inéquation $x^2+2x-7\le 3$ nous introduisons encore la fonction $\begin{array}{crcl} f: & \mathbb{R}&\rightarrow & \mathbb{R}\\ & x &\mapsto & x^2+2x-7\\ \end{array}$ puis traçons sa courbe représentative $\mathcal{C}_f$ avec un logiciel.}
		
		Les solutions de l'inéquation $f(x)\le 3$ sont les abscisses des points de la courbe d'ordonnée plus petite ou égale à 3.
		
		{\color{WildStrawberry}Les étapes de la recherche sont les suivantes:
		
		\noindent \begin{tabular}{m{3.7cm}|m{3.7cm}|m{3.7cm}}
			\hline
			\color{orange}$1$&\color{orange}$2$&\color{orange}$3$\\ \hline
			&&\\
			Dessinez l'ordonnée $3$. & Identifiez les points de la courbe dont l'ordonnée est plus petite que 3. & Lire les abscisses correspondantes.\\
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
					\def\xY{-6};
					\def\yY{-9};
					\def\xZ{6};
					\def\yZ{8};
					\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
					\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
					\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
					\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
					\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
					\draw node[below left](0,0){\small $0$};
					\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize \pgfmathparse{\x }\pgfmathresult};
					\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
					\draw[blue, thick][samples=100,domain=-5:3] plot(\x,{\x*\x+2*\x-7});
					\draw[blue] (4,-5) node[fill=white] {$\mathcal{C}_f$};	
					\draw[red, thick,dashed][samples=100,domain=-6:6] plot(\x,{3});
					\draw[violet] (-4.31662479,3) node {\Large $\times$};
					\draw[violet] (2.31662479,3) node {\Large $\times$};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			&			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
					\def\xY{-6};
					\def\yY{-9};
					\def\xZ{6};
					\def\yZ{8};
					\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
					\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
					\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
					\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
					\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
					\draw node[below left](0,0){\small $0$};
					\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize \pgfmathparse{\x }\pgfmathresult};
					\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
					\draw[blue, thick][samples=100,domain=-5:3] plot(\x,{\x*\x+2*\x-7});
					\draw[blue] (4,-5) node[fill=white] {$\mathcal{C}_f$};	
					\draw[red, thick,dashed][samples=100,domain=-6:6] plot(\x,{3});
					\draw[green] (-4.31662479,3) node {\Large $\times$};
					\draw[green] (2.31662479,3) node {\Large $\times$};
					\draw[green, thick][samples=100,domain=-4.31662479:2.31662479] plot(\x,{\x*\x+2*\x-7});
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			&			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
					\def\xY{-6};
					\def\yY{-9};
					\def\xZ{6};
					\def\yZ{8};
					\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
					\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
					\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
					\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
					\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
					\draw node[below left](0,0){\small $0$};
					\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize \pgfmathparse{\x }\pgfmathresult};
					\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
					\draw[blue, thick][samples=100,domain=-5:3] plot(\x,{\x*\x+2*\x-7});
					\draw[blue] (4,-5) node[fill=white] {$\mathcal{C}_f$};	
					\draw[red, thick,dashed][samples=100,domain=-6:6] plot(\x,{3});
					\draw[green] (-4.31662479,3) node {\Large $\times$};
					\draw[green] (2.31662479,3) node {\Large $\times$};
					\draw[green, thick][samples=100,domain=-4.31662479:2.31662479] plot(\x,{\x*\x+2*\x-7});
					\draw[orange][thick,dashed] (-4.31662479,3)--((-4.31662479,0);
					\draw[orange][thick,dashed] (2.31662479,3)--(2.31662479,0);
					\draw[orange] (-4.31662479,0) node {$\left[ \right.$};
					\draw[orange] (2.31662479,0) node {$\left. \right]$};
					\draw[orange] (-4.31662479,0)--(2.31662479,0);
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\\ \hline
		\end{tabular}
		
		Enfin donnez les solutions sous forme d'ensemble: 
		
		\begin{conclusion}
			l'ensemble des solutions de l'inéquation $x^2+2x-7\le 3$ est $[-4,3\ ;\ 2,3]$.
		\end{conclusion}
		
		Remarquons enfin que si l'inégalité avait été stricte ($x^2+2x-7< 3$) l'ensemble des solutions eut été ouvert ($]-4,3\ ;\ 2,3[$).}
	\end{enumerate}	
\end{exemples}

\begin{exercice}
	On a dessiné ci-dessous la courbe représentative de la fonction $f$.
		
	\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
		%extremites du graphique
		\def\xcoinbasgauche{-6};
		\def\xcoinhautdroit{6};
		\def\ycoinbasgauche{-4};
		\def\ycoinhautdroit{4};
		%Les deux grilles
		%\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
		\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
		%Les deux axes
		\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
		%repere orthonorme
		\coordinate (O) at ({0},{0});
		\draw (O) node[below left] {$O$};
		\draw (O) node {$\bullet$};
		\coordinate (I) at ({1},{0});
		\draw (I) node[below left] {$I$};
		\draw (I) node {$\bullet$};
		\coordinate (J) at ({0},{1});
		\draw (J) node[below left] {$J$};
		\draw (J) node {$\bullet$};
		%Ligne définie par des points
		\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-6,2)(-4,0)(-2,-3)(0,-3)(2,2)(4,-1)(6,4)};
	\end{tikzpicture}
	
	Résolvez les inéquations:
	\begin{tasks}(4)
		\task $f(x)\leqslant -3$.
		\task $f(x)> 1$.
		\task $f(x)< 0$.
		\task $f(x)\leqslant -1$.
		\task $f(x)\leqslant -4$.
		\task $f(x)> 2$.
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\begin{exercice}%\href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=64495&ordre=1}{Exercice 31 page 104 du manuel Sesamath}: résolution d'inéquations.
	Voici la courbe représentative d'une fonction $h$ définie sur $[-5;5]$. 
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.40] 
		%extremites du graphique
		\def\xcoinbasgauche{-5};
		\def\xcoinhautdroit{5};
		\def\ycoinbasgauche{-4};
		\def\ycoinhautdroit{5};
		%Les deux grilles
		%\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
		\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
		%Les deux axes
		\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
		%repere orthonorme
		\coordinate (O) at ({0},{0});
		\draw (O) node[below left] {$O$};
		\draw (O) node {$\bullet$};
		\draw[very thick,orange,smooth] plot coordinates{(-5,-3)(-3,-2)(0,2)(1,2.5)(2,4)(3,1)(4,3)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
	
	Estimer les solutions des inéquations.
	\begin{tasks}(4)
		\task $h(x)\geqslant 0$
		\task $h(x)<-4$
		\task $h(x)<-2$
		\task $h(x)>3$
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item ~
		
		{\color{WildStrawberry}
		\noindent \begin{tabular}{m{5.5cm}m{5.5cm}}
			Pour conjecturer les solutions de l'inéquation $x^2+2x-7\le 0,1(x + 2)^3 - 0.3(x + 2)^2$ nous introduisons encore les fonctions \newline 
			$\begin{array}{crcl} f: & \mathbb{R}&\rightarrow & \mathbb{R}\\ & x &\mapsto & x^2+2x-7\\ \end{array}$ et \newline 
			$\begin{array}{crcl} g: & \mathbb{R}&\rightarrow & \mathbb{R}\\ & x &\mapsto & 0,1(x + 2)^3 - 0.3(x + 2)^2\\ \end{array}$ \newline 
			puis traçons leurs courbes représentatives $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ avec un logiciel.
			&			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[scale=0.4]
					\def\xY{-6};
					\def\yY{-9};
					\def\xZ{6};
					\def\yZ{8};
					\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
					\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
					\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
					\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
					\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
					\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
					\draw node[below left](0,0){\small $0$};
					\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize \pgfmathparse{\x }\pgfmathresult};
					\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
					\draw[blue, thick][samples=100,domain=-5:3] plot(\x,{\x*\x+2*\x-7});
					\draw[blue] (3,-4) node[fill=white] {$\mathcal{C}_f$};		
					\draw[red, thick][samples=100,domain=-5.68:3.556] plot(\x,{0.1*(\x+2)*(\x+2)*(\x+2)-0.3*(\x+2)*(\x+2)});
					\draw[red] (-4,-7) node[fill=white] {$\mathcal{C}_g$};		
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\\ \end{tabular}
		}
		Les solutions de l'inéquation $f(x)\le g(x)$ sont les abscisses des points de la courbe $\mathcal{C}_f$ situés en dessous de ceux de la courbe $\mathcal{C}_g$.
		
		{\color{WildStrawberry}Les étapes de la recherche sont les suivantes:
		
		\noindent \begin{tabular}{m{5.5cm}|m{5.5cm}}
			\hline
			\color{orange}$1$&\color{orange}$2$\\ \hline
			&\\
			Identifiez les points de  $\mathcal{C}_f$ situés en dessous de ceux de $\mathcal{C}_g$. & Lire les abscisses correspondantes.\\			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[scale=0.4]
					\def\xY{-6};
					\def\yY{-9};
					\def\xZ{6};
					\def\yZ{8};
					\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
					\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
					\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
					\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
					\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
					\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
					\draw node[below left](0,0){\small $0$};
					\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize \pgfmathparse{\x }\pgfmathresult};
					\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
					\draw[blue, thick][samples=100,domain=-5:3] plot(\x,{\x*\x+2*\x-7});
					\draw[blue] (3,-4) node[fill=white] {$\mathcal{C}_f$};		
					\draw[red, thick][samples=100,domain=-5.68:3.556] plot(\x,{0.1*(\x+2)*(\x+2)*(\x+2)-0.3*(\x+2)*(\x+2)});
					\draw[red] (-4,-7) node[fill=white] {$\mathcal{C}_g$};		
					\draw[green, thick][samples=100,domain=-3.608986:2.1660281] plot(\x,{\x*\x+2*\x-7});
					\draw (-3.608986,{-3.608986*(-3.608986)+2*(-3.608986)-7}) node{\color{green} $\bullet$};
					\draw (2.1660281,{2.1660281*(2.1660281)+2*(2.1660281)-7}) node{\color{green} $\bullet$};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			&			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[scale=0.4]
					\def\xY{-6};
					\def\yY{-9};
					\def\xZ{6};
					\def\yZ{8};
					\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
					\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
					\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
					\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
					\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
					\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
					\draw node[below left](0,0){\small $0$};
					\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize \pgfmathparse{\x }\pgfmathresult};
					\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
					\draw[blue, thick][samples=100,domain=-5:3] plot(\x,{\x*\x+2*\x-7});
					\draw[blue] (3,-4) node[fill=white] {$\mathcal{C}_f$};		
					\draw[red, thick][samples=100,domain=-5.68:3.556] plot(\x,{0.1*(\x+2)*(\x+2)*(\x+2)-0.3*(\x+2)*(\x+2)});
					\draw[red] (-4,-7) node[fill=white] {$\mathcal{C}_g$};		
					\draw[green, thick][samples=100,domain=-3.608986:2.1660281] plot(\x,{\x*\x+2*\x-7});
					\draw (-3.608986,{-3.608986*(-3.608986)+2*(-3.608986)-7}) node{\color{green} $\bullet$};
					\draw (2.1660281,{2.1660281*(2.1660281)+2*(2.1660281)-7}) node{\color{green} $\bullet$};
					\draw[violet,dashed,thick] (-3.608986,{-3.608986*(-3.608986)+2*(-3.608986)-7})--(-3.608986,{0});
					\draw[violet,dashed,thick] (2.1660281,{2.1660281*(2.1660281)+2*(2.1660281)-7})--(2.1660281,{0});
					\draw (-3.608986,{0}) node{\color{violet} $\left[ \right.$};
					\draw (2.1660281,{0}) node{\color{violet} $\left. \right]$};
					\draw[violet,very thick] (-3.608986,{0})--(2.1660281,{0}) ;
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\\ \hline
		\end{tabular}
		
		Enfin donnez les solutions sous forme d'ensemble:}
		
		\begin{conclusion}
			l'ensemble des solutions de l'inéquation $x^2+2x-7\le 0,1(x + 2)^3 - 0.3(x + 2)^2$ est $[-3,6\ ;\ 2,2]$.
		\end{conclusion}
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{exercice}%\href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=64497&ordre=1}{Exercice 33 page 104 du manuel Sesamath}: résolution d'inéquations.
	Voici les courbes représentatives sur $[-5;5]$ de deux fonctions affines $l$ et $m$. 
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.4]	
		%extremites du graphique
		\def\xcoinbasgauche{-5};
		\def\xcoinhautdroit{5};
		\def\ycoinbasgauche{-4};
		\def\ycoinhautdroit{5};
		%Les deux grilles
		%\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
		\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
		%Les deux axes
		\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
		%repere orthonorme
		\coordinate (O) at ({0},{0});
		\draw (O) node[below left] {$O$};
		\draw (O) node {$\bullet$};
		\draw [orange,very thick] (-5,3)--(5,-4);
		\draw [PineGreen, very thick] (-5,-3)--(5,1);
		\draw[PineGreen] (-4.5,-3.5) node {{\boldmath ${\cal C}_l$}};
		\draw[orange] (-4.45,3.35) node {{\boldmath ${\cal C}_m$}};
	\end{tikzpicture}
	
	Estimer les solutions des (in)équations ci-dessous.
	\begin{tasks}(4)
		\task $l(x)=-1$
		\task $m(x)>0$
		\task $l(x)=m(x)$
		\task $l(x)<m(x)$
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercice}%\href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=64499&ordre=1}{Exercice 35 page 104 du manuel Sesamath}: résolution d'inéquations.
	Ci-dessous est représentée la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par ${f(x)=-x^2+2x+4}$.
	
	\begin{tikzpicture}[yscale=0.4]	
		%extremites du graphique
		\def\xcoinbasgauche{-1.5};
		\def\xcoinhautdroit{3.5};
		\def\ycoinbasgauche{-2};
		\def\ycoinhautdroit{6};
		%Les deux grilles
		%\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
		\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
		%Les deux axes
		\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
		%repere orthonorme
		\coordinate (O) at ({0},{0});
		\draw (O) node[below left] {$O$};
		\draw (O) node {$\bullet$};
		\draw[very thick,smooth,samples=100,domain=-1.45:3.45, line cap=butt] plot(\x,{0-(\x)^2+2*(\x)+4});	\draw[very thick,color=orange, smooth,samples=100,domain=-1.0:3.0] plot(\x,{0-(\x)^2+2*(\x)+4});	\draw[very thick,samples=100,domain=-1.5:3.5, color=LimeGreen] plot(\x,{1});
	\end{tikzpicture} 
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Décrire, en notation mathématique, l'ensemble des abscisses des points orange de la courbe. 
	 	\item De quelle inéquation  cet ensemble semble-t-il être la solution?
	\end{enumerate} 
\end{exercice}

\end{document}

\section{Modèles.}

\setlength{\parskip}{0pt}
\setlength{\itemsep}{0pt}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick,black] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick,black] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\draw (O) node {$\bullet$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\draw (I) node {$\bullet$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	\draw (J) node {$\bullet$};
	%Graduations
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Rectangle en coin.}

\begin{tikzpicture}
	\def\xangledroit{0};
	\def\yangledroit{0};
	\def\longueurangledroit{0.5};
	\draw[fill=green!30,rotate around={{20}:({\xangledroit},{\yangledroit})}] ({\xangledroit},{\yangledroit}) rectangle ({\xangledroit+\longueurangledroit},{\yangledroit+\longueurangledroit});
\end{tikzpicture}

ou bien avec matrice rotation plus translation ici 45 degres et translation de vecteur (1,1).
\begin{tikzpicture}
		\def\code{0.2};
		\draw [cm={cos(-45) ,-sin(-45) ,sin(-45) ,cos(-45) ,(1,1)}]  ({-\code},{0}) -- ({0-\code},{0+\code}) -- (0,{0+\code});
\end{tikzpicture}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}

\subsection{Engrenages.}
\newcommand{\roue}[4]{% #1 = rayon, #2 = nombre de dents, #3 = X centre, #4 = Y centre
\foreach \i in {1,2,...,#2}
{
\pgfmathparse{360*(\i-1)/#2}\let\angle\pgfmathresult

\begin{scope}[shift={(#3,#4)}]
\pgfmathparse{#1*cos(90+360/(#2*4))}\let\Ax\pgfmathresult 
\pgfmathparse{#1*sin(90+360/(#2*4))}\let\Ay\pgfmathresult

\pgfmathparse{#1*cos(90-360/(#2*4))}\let\Bx\pgfmathresult
\pgfmathparse{#1*sin(90-360/(#2*4))}\let\By\pgfmathresult

\pgfmathparse{4*#1*cos(90+360/(#2*8))/3}\let\Cx\pgfmathresult
\pgfmathparse{4*#1*sin(90+360/(#2*8))/3}\let\Cy\pgfmathresult

\pgfmathparse{4*#1*cos(90-360/(#2*8))/3}\let\Dx\pgfmathresult
\pgfmathparse{4*#1*sin(90-360/(#2*8))/3}\let\Dy\pgfmathresult

\pgfmathparse{90-360/(#2*4)}\let\a\pgfmathresult
\pgfmathparse{90-1.5*360/(#2*2)}\let\b\pgfmathresult

\draw[rotate=\angle] (\Ax,\Ay) to[bend left=15] (\Cx,\Cy) -- (\Dx,\Dy) to[bend left=15] (\Bx,\By) arc (\a:\b:#1cm); 
\end{scope}
}
}

\begin{tikzpicture}
\roue{3}{20}{0}{0}
\roue{3}{16}{7.4}{2}
\end{tikzpicture}