%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill \small {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/2ieme.html}{Signe d'une fonction.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
%\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} 

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Signe d'une fonction.}

\begin{lecon}
	
	Cette leçon relève de la conjecture puisque nous utiliserons les représentations graphiques pour établir nos résultats.
	
	Nous rappellerons plus tard les outils et méthodes (notamment la factorisation) qui permettront d'établir ces résultats.
	
\end{lecon}

\subsection{Définition.}

\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
				
		\item $\mathscr{D}_f$ un ensemble de nombre réel,
		
		\item $f:\mathscr{D}_f \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction définie sur $\mathscr{D}_f$,
		
		\item $I$ une partie de $\mathscr{D}_f$, autrement dit $I \subset \mathscr{D}_f$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous dirons que $f$ est \emph{\color{purple}strictement positive} (respectivement {\color{purple}positive}) {\color{purple}sur $I$} si et seulement si: $f(x)>0$ (resp. $f(x)\geqslant 0$) pour tout $x$ choisi dans $I$.
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{notabene}
			
			Phrase descriptive à partir d'un exemple de courbe tracé à la main.
			
		\end{notabene}
		
		\item La fonction carré est strictement positive sur $[0;1]$.
		
		\item La fonction carré est positive sur $[-1;1]$ mais n'est pas strictement positive puisque $0^2=0$.
		
		\item La fonction inverse est strictement positive sur $\mathbb{R}_+$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Nous dirons que $f$ est {\color{purple}strictement négative} (resp. {\color{purple}négative}) {\color{purple}sur $I$} si et seulement si $-f$ est strictement positive (resp. positive).
		
		\item Vous devez être capable de lire le signe d'une fonction d'après sa courbe représentative.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsection{Schématiser avec le tableau de signe.}

\begin{lecon}
	
	Le tableau de signe d'une fonction est une schématisation de sa courbe représentative qui indique le signe de $f(x)$ en fonction de la valeur de $x$.
	
	\medskip
	Le tableau de signe indique donc les plus grands intervalles des valeurs prisent par $x$, pour lesquelles:
	\begin{itemize}
		\item la fonction $f$ est \emph{\color{purple}strictement positive},
		\item la fonction $f$ est \emph{\color{purple}strictement négative},
		\item la fonction $f$ est \emph{\color{purple}nulle}.
	\end{itemize}
	
	\medskip
	{\color{orange}Graphiquement les points de la courbe au-dessus de l'axe des abscisses correspondent à des valeurs positives de la fonction.}
	
	\noindent \begin{tabular}{m{6cm}m{6cm}}
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\def\xY{-3};
			\def\yY{-3.5};
			\def\xZ{3};
			\def\yZ{3.5};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=0.1cm,lightgray!60, very thin] (Y) grid (Z);
			\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,very thick,violet] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick,orange] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw node[below left](0,0){\small $O$};
			\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize $I$};
			\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  $J$};
			\draw[red, thick](-3,{5-2})--(-2.5,0);
			\draw[black, thick](-2.5,0)--(-2,{1-2})--(-1.5,{2-2})--(-1,{1-2})--(-0.5,{2-2});
			\draw[red, thick](-0.5,{2-2})--(0,{3-2});
			\draw[red, thick][samples=50,domain=0:1] plot(\x,{-\x^2+3-2});
			\draw[black, thick][samples=50,domain=1:2] plot(\x,{-\x^2+3-2});
			\draw[black, thick][samples=50,domain=2:3] plot(\x,{(\x-2) ^2-1-2});
			\draw(1.5,2)node[fill=white]{\color{black}$\mathcal{C}_f$};
			\draw (-3,3) node{$\bullet$};
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		&
		
		Nous décrirons cette situation en disant, par exemple:\newline
		$f$ est strictement positive sur $[-3;-2,5[$,\newline
		$f$ est strictement négative sur $]-2,5;-1,5[$,\newline
		$f$ s'annule en chaque valeur de $\{ -2,5; -1,5; -0,5; 1 \}$.
		
		\\ \end{tabular}
	
	\begin{tikzpicture}	
	\tkzTabInit[lgt=2, deltacl=0.5, espcl=1.6, color, colorV=violet!50, colorL=violet!50, colorC=orange!50, colorT=orange!50]{$x$ /1, $f(x)$ /1}
	{$-3$, $\np{-2,5}$, $\np{-1,5}$, $\np{-0,5}$, $1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,{\color{red}+},z,-,z,-,z,{\color{red}+},z,-,}%
	\end{tikzpicture}
	
	\begin{notabene}
		
		Remarquez le décalage des inscriptions des signes sur la ligne du dessous et des nombres sur la première ligne.
		
	\end{notabene}
	
	Il est encore possible d'interpréter ces résultats en termes d'inégalités:
	\begin{itemize}
		\item $f(x) >0$ si et seulement si $x\in [-3;-2,5[ \cup ]-0,5;1[$,
		\item $f(x)<0$ si et seulement si $x\in ]-2,5 ; -1,5 [ \cup ]-1,5;-0,5[\cup ]1;3]$,
		\item $f(x)=0$ si et seulement si  $x\in \{ -2,5;-1,5; -0,5;1 \}$
	\end{itemize}
	
\end{lecon}

\begin{lecon}
	
	\bigskip
	Les exemples suivants basés sur des fonctions de référence sont à connaître ou, du moins, devez-vous être capable de les retrouver à partir des courbes représentatives que vous connaissez par cœur.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Tableau de signe de la fonction carré.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $x \mapsto x^2$ /0.8}
			{$-\infty$ ,$0$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,+,z,+,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item Tableau de signe de la fonction racine carrée.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $x \mapsto \sqrt{x}$ /0.8}
			{$0$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{z,+,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item Tableau de signe de la fonction cube.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $x \mapsto x^3$ /0.8}
			{$-\infty$ ,$0$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,z,+,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item Tableau de signe de la fonction inverse.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $x \mapsto \frac{1}{x}$ /0.8}
			{$-\infty$ ,$0$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,d,+,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item Tableau de signe de la fonction identité.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $x \mapsto x$ /0.8}
			{$-\infty$ ,$0$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,z,+,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item Le tableau de signe d'une fonction affine dépend du choix des coefficient directeur et ordonnée à l'origine choisis.
		
		Faisons un exemple ne nous aidant de la représentation graphique obtenue à la calculatrice.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=3.2 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $x \mapsto -2x+6$ /0.8}
			{$-\infty$ ,$3$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,+,z,-,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item Avec la calculatrice on peut conjecturer le tableau de signe $f:x \mapsto \frac{1}{10}(x^3+9x^2+11x-21)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsection{Exercices.}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		\href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=64672&ordre=1}{Exercice 15 page 140 (Sesamath) partie 1.} et \href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=64672&ordre=2}{partie2}.
		
	\end{notabene}
	
	Dresser les tableaux de signes  des fonctions représentées ci-dessous.
	
	\begin{tabular}{m{4cm}m{8cm}}
		
		\begin{tikzpicture}[scale=1]
		\draw[ xstep=0.25] (-1.75,-3) grid (1.75,7);
		%\axeX{-1.75}{1.75}{1}
		%\axeY{-3}{7}{2,-2, 4, 6}
		%\origine
		\def\xY{-1.75};
		\def\yY{-3};
		\def\xZ{1.75};
		\def\yZ{7};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
		\draw[xstep=0.25cm, ystep=0.25cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
		\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
		\draw[ color=red] plot[domain=-0.914:1.636, smooth, samples=100, variable=\x] (\x,2+7*\x*\x*\x*\x-8*\x*\x*\x-5*\x*\x+2*\x);
		\draw (-1.5, 6.5) node[color=red, fill=white] {{\boldmath $\mathcal{C}_h$}};
		\end{tikzpicture}
		&
		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
		%\draw (-3.5,-2) grid (3.5,2);
		%\axeX{-3.5}{3.5}{1}
		%\axeY{-2}{2}{1}
		%\origine
		\def\xY{-3.5};
		\def\yY{-2};
		\def\xZ{3.5};
		\def\yZ{2};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
		\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
		\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
		\draw[ color=red] plot[domain=-3.076:3.5, smooth, samples=100, variable=\x] (\x,-0.25*\x*\x+0.125*\x+0.75);
		\draw (-3.25, 1.75) node[color=red,fill=white] {{\boldmath $\mathcal{C}_f$}};
		\end{tikzpicture}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1, yscale=0.5]
		%\draw[ ystep=1, xstep=0.5] (-3.5,-9) grid (3.5,2);
		%\axeX{-3.5}{3.5}{1}
		%\axeY{-9}{2}{1}
		%\origine
		\def\xY{-3.5};
		\def\yY{-9};
		\def\xZ{3.5};
		\def\yZ{2};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
		\draw[xstep=0.5cm, ystep=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
		\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
		\draw[ color=red] plot[domain=-1.237:3.237, smooth, samples=100, variable=\x] (\x,-6+2*\x*\x-4*\x);
		\draw (-3.25, 1.5) node[color=red, fill=white] {{\boldmath $\mathcal{C}_g$}};
		\end{tikzpicture}
		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
		\draw (-3.5,-3.5) grid (3.5,2.5);
		%\axeX{-3.5}{3.5}{1}
		%\axeY{-3.5}{2.5}{1}
		%\origine
		\def\xY{-3.5};
		\def\yY{-3.5};
		\def\xZ{5.5};
		\def\yZ{2.5};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
		\draw[xstep=0.5cm, ystep=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
		\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
		\draw[ color=red] plot[domain=-2.974:2.309, smooth, samples=100, variable=\x] (\x,(0.6*\x*\x*\x+0.6*\x*\x-2.85*\x-1.5);
		\draw (-3.25, 2.25) node[color=red, fill=white] {{\boldmath $\mathcal{C}_m$}};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{tabular}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item ~
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f$ /0.8}
			{$-\infty$ ,$\np{-1,5}$, $2$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $g$ /0.8}
			{$-\infty$ ,$\np{-1}$, $3$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $h$ /0.8}
			{$-\infty$ ,$\np{0,6}$, $\np{1,4}$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $m$ /0.8}
			{$-\infty$ ,$\np{-2,5}$, $\np{-0,5}$, $2$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,z,+,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		\href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=64673&ordre=1}{Exercice 16 page 140 (Sesamath) partie 1} et \href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=64673&ordre=2}{partie 2}.
		
	\end{notabene}
	
	À partir de chaque représentation graphique:
	
	\begin{enumerate}
		\item déterminer la ou les valeur(s) pour la(les)quelle(s): 
		\begin{enumerate}
			\item la fonction n'est pas définie;
			\item la fonction est éventuellement nulle;
		\end{enumerate}
		\item établir le tableau de signes de cette fonction.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.45, yscale=0.11]
			\def\xY{-1};
			\def\yY{-14};
			\def\xZ{7};
			\def\yZ{14};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[xstep=0.5cm, ystep=2cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
			\foreach \x in {1}	\draw[very thick](\x,0.8)--(\x,-0.8) node[below]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {2}	\draw[very thick](0.2,\y)--(-0.2,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y/2 }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[very thick, color=red] plot[domain=-4:-0.094, smooth, samples=100, variable=\x] (\x+3,1+1.5/\x);
			\draw[very thick, color=red] plot[domain=0.115:4, smooth, samples=100, variable=\x] (\x+3,1+1.5/\x);
			\draw(6.5, 12.5) node[color=red, fill=white] {{\boldmath $\mathcal{C}_m$}};
			\end{tikzpicture}
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.45, yscale=0.11]
			\def\xY{-4};
			\def\yY{-14};
			\def\xZ{4};
			\def\yZ{14};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[xstep=0.5cm, ystep=2cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
			\foreach \x in {1}	\draw[very thick](\x,0.8)--(\x,-0.8) node[below]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {2}	\draw[very thick](0.2,\y)--(-0.2,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y/2 }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[very thick, color=red] plot[domain=-4:-1.61, smooth, samples=300, variable=\x] (\x,{(-0.5*(\x-2.5)/(-\x-1.5))-4});
			\draw[very thick, color=red] plot[domain=-1.379:4, smooth, samples=300, variable=\x] (\x,{-0.5*(\x-2.5)/(-\x-1.5)+2});
			\draw (3.5, 12.5)  node[color=red, fill=white] {{\boldmath $\mathcal{C}_g$}};
			\end{tikzpicture}
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.45, yscale=0.11]
			\def\xY{-4};
			\def\yY{-14};
			\def\xZ{4};
			\def\yZ{14};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[xstep=0.5cm, ystep=2cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
			\foreach \x in {1}	\draw[very thick](\x,0.8)--(\x,-0.8) node[below]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {2}	\draw[very thick](0.2,\y)--(-0.2,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y/2 }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[very thick, color=red] plot[domain=-4:-2.045, smooth, samples=200, variable=\x] (\x,{((\x-1)*(\x+1)/(\x*\x-4))-2.65});
			\draw[very thick, color=red] plot[domain=-1.954:1.956, smooth, samples=200, variable=\x] (\x,{((\x-1)*(\x+1)/(\x*\x-4))+1.5});
			\draw[very thick, color=red] plot[domain=2.06:4, smooth, samples=200, variable=\x] (\x,{(\x-1)*(\x+1)/(\x*\x-4)+0.62});
			\draw (3.5, 12.5)  node[color=red, fill=white] {{\boldmath $\mathcal{C}_h$}};
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}Une valeur de $x$ pour laquelle la fonction n'est pas définie est une valeur pour laquelle il n'y a pas d'image.}
	
	\begin{enumerate}
		\item $f$ n'est pas définie pour $x=3$.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f$ /0.8}
			{$-\infty$ ,$\np{1,5}$,$3$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,+,z,-,d,+,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item $g$ n'est pas définie pour $x=-1,5$.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $g$ /0.8}
			{$-\infty$ ,$-2$, $\np{-1,5}$, $\np{-0,75}$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,z,+,d,-,z,+,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item $h$ n'est pas définie pour $x=-2$ ou $x=2$.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $h$ /0.8}
			{$-\infty$ ,$\np{-2,4}$, $\np{-2}$, $\np{-1,6}$, $\np{1,6}$, $2$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,z,+,d,-,z,+,z,-,d,+,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Un artisan fabrique des vases qu'il met en vente. On suppose que tous les vases fabriqués sont vendus.
	
	\medskip 
	L'artisan veut faire une étude sur la production d'un nombre de vases compris entre $0$ et $60$. Il estime que le bénéfice occasionné par la production puis la vente de $x$ vases est modélisé par la fonction $B$ dont l'expression est \[ B(x)=-x^2+60x-500 \]
	
	\begin{enumerate}
		\item Dessinez la courbe représentative de la fonction $B$.
		\item Par lecture graphique donnez le tableau de signe de $B$.
		\item Quel nombre de vases l'artisan doit-il fabriquer puis vendre pour réaliser un bénéfice?
		\item Quel nombre de vases l'artisan doit-il fabriquer puis vendre pour réaliser un bénéfice maximal?
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item {\color{orange}Rappelons que pour tracer une courbe représentative sur papier il faut un certains nombre de points (dont les coordonnées sont obtenues avec le tableau de valeurs de la calculatrice) et l'allure générale de la courbe représentative est obtenue avec la courbe donné par le calculatrice.
			
			Entrons la fonction.
			
			\begin{center}
				\includegraphics[scale=0.5]{2ieme_analyse_02_fonction_signe_01_calculatrice.png}
			\end{center}
			
			Nous savons que la fonction est définie sur $[0;60]$. Pour avoir les coordonnées de quelques points de la courbe utilisons le tableau de valeur de la courbe.
			
			\begin{center}
				\includegraphics[scale=0.5]{2ieme_analyse_02_fonction_signe_02_calculatrice.png}
				\includegraphics[scale=0.5]{2ieme_analyse_02_fonction_signe_03_calculatrice.png}
			\end{center}
			
			Et pour avoir l'allure de la courbe, en utilisant les valeurs du tableau de valeurs pour le réglage de la fenêtre:
			
			\begin{center}
				\includegraphics[scale=0.5]{2ieme_analyse_02_fonction_signe_04_calculatrice.png}
				\includegraphics[scale=0.5]{2ieme_analyse_02_fonction_signe_05_calculatrice.png}
			\end{center}
			
		}
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			\def\xY{-0.5};
			\def\yY{-5.5};
			\def\xZ{7};
			\def\yZ{4.5};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{10*\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{100*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:6] plot(\x,{(-\x*10 *\x*10 +60*\x*10 -500)/100});
			\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $B(x)$ /0.8}
			{$0$ ,$10$, $50$, $60$}
			\tkzTabLine{,-,z,+,z,-}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item Pour que l'artisan réalise un bénéfice il faut que $B(x)>0$. D'après le tableau de signe cela est vrai lorsque $x \in ]10;50[$.
		
		\begin{conclusion}
			
			Pour que l'artisan réalise un bénéfice il doit produire de $11$ à $49$ articles.
			
		\end{conclusion}
		
		\item Par lecture graphique nous voyons que le maximum est de $400\ \text{\euro}$ et que pour atteindre ce bénéfice il doit produire $30$ vases.
		
		\begin{notabene}
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $B$ /1.6}
				{$0$ ,$30$, $60$}
				\tkzTabVar {-/ $-500$, + / $400$ , - / $-500$ / }
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
		\end{notabene}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Complétez les tableaux de signe sachant que la fonction $f$ est impaire.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f(x)$ /0.8}
		{$-\infty$ ,$0$, $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,?,?,}%
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Qu'en est-il si $f$ est en fait paire?
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	Si $f$ est impaire par symétrie:
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f(x)$ /0.8}
		{$-\infty$ ,$0$, $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,0,-,}%
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\medskip
	Si $f$ est paire alors:
	
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f(x)$ /0.8}
		{$-\infty$ ,$0$, $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,?,+,}%
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Nous ne pouvons pas savoir quelle est l'image de $0$.
	
\end{exercicecorrection}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}