%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill \small {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/2ieme.html}{Fonction.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} 

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Fonctions.}

\begin{notabene}
	2heme honcton: fonction de référence et ajouter une pas de référence dns les exemples. / Parité.
\end{notabene}

\subsection{Définition.}

\begin{notabene}
	
	Avec une formule de calcul.
	
	Ce n'est pas un calcul mais une infinité de calculs que nous manipulons simultanément. On parle d'analyse.
	
	Exemples des fonctions de références toutes regardées: affine croissante, affine décroissante, constante, linéaire, identité, carré, cube, inverse, cosinus, sinus.
	
	Vocabulaire image antécédents. Calcul d'antécédents sur les fonctions affines, antécédents de $0$ pour un produit de fonction affines.
	
\end{notabene}

\begin{notabene}
	
	Fonctions avec Python.
	
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	Une fonction $f$ indique des liens entre des nombres. Par exemple pour indiquer que $f$ relie le nombre $\color{blue}2$ au nombre $\color{green}3$ nous écrirons: \[ f({\color{blue}2})={\color{green}3}. \] 
	
	Nous dirons alors que $\color{blue}2$ est \emph{\color{purple}un antécédent} de $\color{green}3$ par $f$.
	
	Nous dirons aussi que $\color{green}3$ est \emph{\color{purple}l'image} de $\color{blue}2$ par $f$.
	
\end{lecon}

\begin{definition}
	
	Soit $\mathscr{D}$ un ensemble de nombres. 
	
	\medskip
	On définit une \emph{\color{purple}fonction $f$ sur $\mathscr{D}$} en associant à chaque nombre $x$ appartenant à $\mathscr{D}$ \underline{un seul} nombre $y$, noté $f(x)$.
	
	\smallskip
	Nous dirons que $f$ est une fonction de la \emph{\color{purple}variable} $x$.
	
	\smallskip
	Nous dirons que $\mathscr{D}$ est \emph{\color{purple}l'ensemble (ou domaine) de définition} de $f$.
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\begin{notabene}
		
		Faire des exemples avec des représentations sagittales, qui a la longueur d'un côté associe l'aire du rectangle, qui a un nombre de  points associe le nombre d'arêtes du graphe, .
		
	\end{notabene}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{lecon}
	
	\begin{notabene}
		
		Ne pas présenter cette notation aux "élèves l'introduire dans les exemples des fonctions de références.
		
	\end{notabene}
	
	\medskip
	Il existe une notation schématique qui regroupe toutes les informations de la définition.
	
	
	\begin{flushleft}
		\begin{tikzpicture}
		\node[rounded corners=3pt,color=purple, text centered,text width=3.5cm](A)at(0,0){\[ f:\left\{\begin{array}{rcl} \mathscr{D}&\rightarrow & \mathbb{R}\\ x &\mapsto & y\\ \end{array} \right.\]
			~
		};
		\node[rounded corners=3pt,fill=gray!35, text centered,text width=8cm](B)at(0,2){$\mathscr{D}$ est \emph{\color{purple}l'ensemble} (ou \emph{\color{purple}domaine}) \emph{\color{purple}de définition} de $f$. $\mathscr{D}$ est l'ensemble des nombres auxquels un nombre est associé par $f$. On dit que $f$ est définie sur $\mathscr{D}$.};
		\node[rounded corners=3pt,fill=gray!35, text centered,text width=5cm](C)at(-3,-2){$x$ est \emph{\color{purple}un antécédent} de $y$ par $f$. };
		\node[rounded corners=3pt,fill=gray!35, text centered,text width=5cm](D)at(4,-2){$y$ est \emph{\color{purple}l'image} de $x$ par $f$. On le note $f(x)$ et on lit \og $f$ de $x$\fg .};
		\node[rounded corners=3pt,fill=gray!35, text centered,text width=5cm](E)at(5,0){Cette présentation se lit: \og la fonction $f$, définie sur $\mathscr{D}$, à valeurs dans $\mathbb{R}$, et qui à $x$ associe $y$\fg .};
		\draw(A)--(B);
		\draw(A)--(C);
		\draw(A)--(D);
		\draw(A)--(E);
		\end{tikzpicture}
	\end{flushleft}
	
	\begin{remarques}
		
		\begin{enumerate}
			
			\item La première ligne ($\mathscr{D}$ et $\mathbb{R}$) est celle des ensembles, la seconde ($x$ et $y$) celle des variables. 
			
			\item La première colonne ($\mathscr{D}$ et $x$) correspond à l'axe des abscisses, la seconde ($\mathbb{R}$ et $y=f(x)$) à celui des ordonnées.
			
			\item Le préfixe \og anté- \fg{} signifie avant (latin).
			\item \og un\fg{} antécédent car il peut y en avoir plusieurs.
			
			\item \og l'\fg{}image car (par construction) il ne peut y en avoir qu'une.
			
		\end{enumerate}
	
	\end{remarques}

\end{lecon}

\subsection{Représenter des liens par une formule de calcul ou un procédé implicite.}

\begin{lecon}
	
	Très souvent les liens entre les nombres seront représentés par des calculs. Par exemple nous écrirons \[ f:{\color{blue}x} \mapsto {\color{green} 2x-1}, \] et nous lirons \og {\color{purple}la fonction $f$ qui à $x$ associe} $2x-1$\fg{}, pour indiquer qu'à chaque nombre $\color{blue}x$ choisi nous associerons le résultat du calcul ${\color{green} 2x-1}$.
	
	\medskip
	Ce lien que vous avez déjà rencontré au collège défini une fonction affine.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{notabene}
		
		Exemples détaillés en donnant des images des antécédents. En donnant les ensemble de définition.
		
	\end{notabene}
	
	\begin{enumerate}
		\item Les fonctions {\color{purple}affines}.
		
		\[ f:\left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}\\ x & \mapsto & {\color{purple}ax+b} \end{array} \right.\] où $a,b \in \mathbb{R}$.
		
		\item Les fonctions {\color{purple}linéaires}.
		
		\[ f:\left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}\\ x & \mapsto & {\color{purple}ax} \end{array} \right.\] où $a \in \mathbb{R}$.
		
		\item Les fonctions {\color{purple}constantes}.
		
		\[ f:\left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}\\ x & \mapsto & {\color{purple}b} \end{array} \right.\] où $b \in \mathbb{R}$.
		
		\item La fonction {\color{purple}carré}.
		
		\[ f:\left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}\\ x & \mapsto & {\color{purple}x^2} \end{array} \right.\]
		
		\item La fonction {\color{purple}cube}.
		
		\[ f:\left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}\\ x & \mapsto & {\color{purple}x^3} \end{array} \right.\]
		
		\item La fonction {\color{purple}inverse}.
		
		\[ f:\left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}* & \rightarrow & \mathbb{R}\\ x & \mapsto & {\color{purple}\frac{1}{x}} \end{array} \right.\] où $\mathbb{R}^*= ]-\infty . 0[ \cup ]0;+\infty[ = \mathbb{R} \setminus \{ O \}$.
		
		\item La fonction {\color{purple}racine carrée}.
		
		\[ f:\left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}_+ & \rightarrow & \mathbb{R}\\ x & \mapsto & {\color{purple}\sqrt{x}} \end{array} \right.\] où $\mathbb{R}_+=[0;+\infty[$.
		
		\begin{notabene}
			
			Définition avec une phrase définissant la racine carré. Pas de formule calculatoire. Nous ne connaissons pas de procédé de calcul de ces valeurs mais seulement les algorithme , des programmes qui permettent d'obtenir des valeurs approchées aussi précisent que possibles. Nous étudierons certains qui permettent d'obtenir $\sqrt{2}$.
			
		\end{notabene}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Si, pour les modélisations en sciences expérimentales (physique, chimie, biologie, géologie, économie,...), les fonctions constantes et linéaires correspondent à des modélisations spécifiques, pour l'étude mathématique, elles ne sont que des cas particuliers de fonctions affines.
		
		\item Pour la fonction racine carrée nous n'avons pas réellement une formule. Nous ne connaissons que les racines carrées des carrés parfaits ($0$, $1$, $4$, $9$, $16$, ...). L'utilisation du symbole $\sqrt{}$ n'indique pas un procédé de calcul pour obtenir ne serait-ce qu'une valeur approchée de la valeur désirée. Nous verrons des algorithmes pour obtenir des valeurs approchées.
		
		Il s'agit, hormis pour les carrés parfaits, d'un procédé de définition implicite: la racine carrée est l'antécédent positif par la fonction carrée.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsection{Tableau de valeurs.}

\begin{lecon}
	
	Il est possible de représenter les nombres reliés par une fonction en les plaçant en vis-à-vis dans un tableau.
	
	Par exemple, en utilisant la fonction affine précédente, nous voyons: \[ f({\color{blue}-1}) = {\color{green}2 \times (-1) -1} = {\color{green}-3}. \]
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
			\hline
			$\color{blue}x$ & $\color{blue}-1$ & $\color{blue}0$ &$\color{blue}1$ &$\color{blue}2$ & $\color{blue}3$
			\\
			\hline
			$\color{green}f(x)$ & $\color{green}-3$ & $\color{green}-1$ & $\color{green}1$ & $\color{green}3$ & $\color{green}5$ 
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
\end{lecon}

\begin{correction}
	
	Il est possible d'obtenir un tel tableau grâce à votre calculatrice. Appuyez sur \framebox{$f(x)$}. Entrez la formule de calcul pour $f$:
	
	\begin{center}
		
		\includegraphics[scale=0.5]{2ieme_analyse_02_fonction_equation_inequation_graphique_01.png}
		
	\end{center}
	
	Faites \framebox{2de} puis \framebox{fenêtre} (\emph{def tab}). Choisissez $-1$ comme première valeur de $x$ et un pas de $1$ (augmentation de la valeur de $x$).
	
	\begin{center}
		
		\includegraphics[scale=0.5]{2ieme_analyse_02_fonction_equation_inequation_graphique_02.png}
		
	\end{center}
	
	Enfin pour voir le tableau de valeur faites \framebox{2de} puis \framebox{graphe} (\emph{table}).
	
	\begin{center}
		
		\includegraphics[scale=0.5]{2ieme_analyse_02_fonction_equation_inequation_graphique_03.png}
		
	\end{center}
	
\end{correction}

\subsection{Représentation graphique.}

\begin{notabene}
	
	Un lien entre l'algèbre, l'analyse et la géométrie.
	
	Travailler avec les fonctions de référence. Tableau de valeurs. Faire les calculs à la main.
	
	Donner les noms des courbes qui apparaissent.
	
\end{notabene}


\begin{notabene}
	
	Modifier la définition pour que ce soit comme dans le programme: courbe d'équation $y=f(x)$.
	
\end{notabene}

\begin{definition}
	
	Soient:
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\mathscr{D}$ un ensemble de nombres,
		\item $f:\left\{ \begin{array}{ccl} \mathscr{D} & \rightarrow & \mathbb{R}\\ x & \mapsto & f(x) \end{array} \right.$ une fonction.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	La \emph{\color{purple}courbe représentative de $f$}, que nous noterons souvent $\color{purple}\mathscr{C}_f$ est l'objet géométrique formé de tous les points de coordonnées $(x;f(x))$ (dans un certain repère) lorsque $x$ prend toutes les valeurs possibles dans $\mathscr{D}$.
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item La courbe représentative (pas le dessin mais l'ensemble des couples $(x;f(x))$) est le point de vue retenu pour la définition générale d'une fonction.
		
		\item 
		Comme $f(x)$ est l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse $x$ nous dirons aussi que $\mathscr{C}_f$ est la \emph{\color{purple}courbe d'équation $y=f(x)$}.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{notabene}
		
		Tracer les courbes représentatives des fonctions de références en se limitant à la partie de l'ensemble de définition incluse dans $[-2;2]$.
		
	\end{notabene}
	
	\begin{enumerate}
		\item Fonction affine. La courbe est une \emph{\color{purple}droite} (nous le démontrerons après avoir défini proprement les droites).
		
		\item Fonction carré. La courbe est une \emph{\color{purple}parabole}.
		
		\item Fonction Cube.
		
		\item Fonction Inverse. La courbe est une \emph{\color{purple}hyperbole}.
		
		\item Fonction racine carrée. La courbe est une branche de parabole.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{}
	
	Associez, sans aucune justification, chaque fonction à sa courbe représentative.
	
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
		$ \displaystyle f_1:x\mapsto \frac{1}{x} $,
		&
		$\displaystyle f_2: x\mapsto x $,
		\\
		$\displaystyle f_3:  x\mapsto \sqrt{x} $ ,
		&
		$\displaystyle f_4:x\mapsto x^2 $.
		\\
	\end{tabularx}
	
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\def\xY{-0.5};
			\def\yY{-0.5};
			\def\xZ{8.5};
			\def\yZ{4.5};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \x};
			\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize \y};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:8] plot(\x,{sqrt(\x)});	
			\end{tikzpicture}
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\def\xY{-4};
			\def\yY{-4};
			\def\xZ{4};
			\def\yZ{4};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \x};
			\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize \y};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0.25:4] plot(\x,{1/\x});
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=-4:-0.25] plot(\x,{1/\x});	
			\end{tikzpicture}
			
		\end{minipage}
		
	\end{tabularx}
	
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\def\xY{-3};
			\def\yY{-1};
			\def\xZ{3};
			\def\yZ{9};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \x};
			\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize \y};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=-3:3] plot(\x,{\x *\x});
			\end{tikzpicture}
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\def\xY{-5};
			\def\yY{-5};
			\def\xZ{5};
			\def\yZ{5};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \x};
			\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize \y};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=-4:4] plot(\x,{\x});
			\end{tikzpicture}
			
		\end{minipage}
		
	\end{tabularx}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercices 88 page 232 du manuel Indice.
		
	\end{notabene}
	
	Soit $\mathscr{C}$ la courbe d'équation $y=2x^2-4x-1$ (\emph{i.e.} la courbe représentative de la fonction $x \mapsto 2x^2-4x-1$), où $x$ est un réel de l'intervalle $[-2;2]$.
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Les points $A(0;2)$ et $B(-1;7)$ appartiennent-ils à $\mathscr{C}$?
			
			\item Calculez l'ordonnée du point $D$ de $\mathscr{C}$ dont l'abscisse est $2$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Construisez un tableau de valeur de $y$ pour $x$ variant de $-2$ à $2$ avec un pas de $1$.
			
			\item Tracez $\mathscr{C}$ dans un repère.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{magenta}Les fonctions sont des outils assez récents mais la géométrie repérée s'intéressait aux courbe depuis longtemps. Ce sont les équations (égalités liant abscisses et ordonnées) qui étaient privilégiées. Vous pouvez comprendre $y=4x^2-2x-1$ comme $f:x \mapsto 4x^2-2x-1$}
	
	\begin{enumerate}
		\item {\color{magenta}Le point $A$ est un point de la courbe représentative de $f$, autrement dit $A \in \mathscr{C}_f$ si et seulement si $A(x_A;f(x_A))$. Autrement dit si $f(x_A)=y_A$.}
		
		\medskip
		\begin{enumerate}[*]
			\item 
			
			\begin{align*}
				f(x_A) &= f(0)\\
				&= 2 \times 0^2-4 \times 0-1\\
				&= -1
			\end{align*}
			
			Comme $f(x_A) \ne y_A$
			
			\begin{conclusion}
				
				$A \notin \mathscr{C}_f$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item De même
			
			\begin{align*}
				f(x_B) &= f(-1)\\
				&= 2 \times (-1)^2-4 \times (-1)-1\\
				&= 5
			\end{align*}
			
			puisque $f(x_B) \ne y_B$
			
			\begin{conclusion}
				
				$B \notin \mathscr{C}_f$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
		\item Puisque $D \in\mathscr{C}_f$:
		
		\begin{align*}
			y_D &= f(x_D)\\
			\intertext{Or, d'après l'énoncé, $x_D=2$ donc}
			y_D &= f(2)\\
			&= 2 \times 2^2-4 \times 2-1\\
			&= -1
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$D(2;-1)$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item D'après la calculatrice:
			
			\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
				\hline
				$x$ & $-2$ & $-1$ & $0$ & $1$ & $2$
				\\
				\hline
				$y=f(x)$ & $15$ & $5$ & $-1$ & $-3$ & $-1$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			\end{center}
			
			\item ~
			
			\begin{center}				
				\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=0.5]
				\def\xY{-2.5};
				\def\yY{-5};
				\def\xZ{2.5};
				\def\yZ{15};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $O$};
				\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y=f(x)$};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=-2:2] plot(\x,{2*\x*\x-4*\x-1});
				\draw[blue] (2,-4) node[fill=white] {$\mathscr{C}_f:\ y=2x^2-4x-1$};
				\foreach \a/\o in {-2/15, -1/5, 0/-1, 1/-3, 2/-1} \draw ({\a},{\o}) node{$\times$};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}

\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}		
		
		Exercices 89 page 232 du manuel Indice.
		
	\end{notabene}
	
	Soit $\mathscr{C}$ la courbe représentative de $f: x \mapsto 2x^2+6$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Donnez sans justification le tableau de valeur de $f$ pour $x$ variant de $-2$ à $0,5$ avec un pas de $0,5$.
		
		\item Tracez $\mathscr{C}$ dans un repère orthonormé.
		
		\item Le point $M(0,4;2,72)$ appartient-il à $\mathscr{C}$?
		
		\item Quelle est l'ordonnée du point $K$ de $\mathscr{C}$ d'abscisse $0,3$?
		
		\item Déterminez algébriquement l'abscisse de chacun des deux points de $\mathscr{C}$ d'ordonnée $0$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item Tableau de valeurs de $y$ (alias $f$).
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
				\hline
				$x$ & $-2$ & $-1,5$ & $-1$ & $-0,5$ & $0$ & $0,5$
				\\
				\hline
				$y=f(x)$ & $-4$ & $-4,5$ & $-4$ & $-2,5$ & $0$ & $3,5$ 
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item ~
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
				\def\xY{-2.5};
				\def\yY{-5};
				\def\xZ{1};
				\def\yZ{4};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $O$};
				\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y=f(x)$};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=-2:0.5] plot(\x,{2*\x*\x+6*\x});
				\draw[blue] (2,-4) node[fill=white] {$\mathscr{C}_f:\ y=2x^2+6x$};
				\foreach \a/\o in {-2/-4, -1.5/-4.5, -1/-4, -0.5/-2.5, 0/0, 0.5/3.5} \draw ({\a},{\o}) node{$\times$};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{enumerate}
		
		\item $f(0,4)=2 \times 0,4^2+6  \times 0,4= 2,72$.
		
		\begin{conclusion}
			
			$M \in \mathscr{C}_f$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item $f(0,3)=1,98$. Donc
			
			\begin{conclusion}
				
				$K(0,3;1,98)$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item Si un point $N$ est sur la courbe $\mathscr{C}_f$ alors ses coordonnées sont de la forme $(x;f(x))$.
			
			Donc dire que l'ordonnée de $N$ vaut $0$ signifie que $f(x)=0$. Nous cherchons $x$ tel que
			
			\begin{align*}
				f(x) &= 0\\
				\intertext{Ce qui équivaut succcessivement à:}
				2x^2+6x &= 0\\
				\intertext{\color{WildStrawberry}Il s'agit d'une équation qui n'est pas linéaire nous essayons de nous ramener à une équation produit-nul.}
				2x \times x +6 \times x &= 0\\
				(2x+6) \times x &= 0\\
				2x+6=0\quad &\text{ou} \quad x=0\\
				2x+6 {\color{orange}-6} =0{\color{orange}-6} \quad &\text{ou} \quad x=0\\
				2x=-\quad &\text{ou} \quad x=0\\
				\frac{2x}{\color{orange}2} = \frac{-6}{\color{orange}2} \quad &\text{ou} \quad x=0\\
				x=-3\quad &\text{ou} \quad x=0\\
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Les points d'ordonnées $0$ de $\mathscr{C}_f$ ont pour coordonnées $(-3;0)$ et $(0;0)$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{notabene}
	
	Les deux précédents exercices illustrent bien le fait que nous allons faire des aller-retours entre les différents domaines mathématiques qui s'entre-mêlent ici: algèbre, géométrie et analyse.
	
\end{notabene}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Compléter le tableau de valeur avec le graphique.
		
		\href{https://www.lelivrescolaire.fr/page/6870830}{lelivrescolaire.fr}
		
		
		Exercice 27 page 54 du manuel \href{https://www.lelivrescolaire.fr/page/6870830}{lelivrescolaire.fr}.
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	Par lecture graphique:
	
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
			\hline
			$x$ & $-2$ & $-1$ ou $2$ & $0$ & $-2$ ou $1$ & $2$
			\\
			\hline
			$f(x)$ & $-2$ & $0$ & $-1$ & $-2$ & $0$
			\\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Identifier les courbes qui ne sont pas des fonctions.
		
		\href{https://www.lelivrescolaire.fr/page/6870830}{lelivrescolaire.fr}
		
		Exercice 31 page 55 du manuel \href{https://www.lelivrescolaire.fr/page/6870830}{lelivrescolaire.fr}.
	\end{notabene}
	
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	Seules les courbes $1$, $2$ et $5$ sont des courbes représentatives de fonctions. Les autres ne respectent l'unicité de l'image associée à une valeur de départ.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Maths appliqué: lire sur la courbe des volumes.
		
		\href{https://www.lelivrescolaire.fr/page/6870830}{lelivrescolaire.fr}
		
		Exercice 35 page 56 du manuel \href{https://www.lelivrescolaire.fr/page/6870830}{lelivrescolaire.fr}.
	\end{notabene}
	
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item $\mathscr{D}_1=[0;10,5]$. $f(0)=0$ et $f(10,5)=30$.
			
			\item $\mathscr{D}_2=[0;7,3]$. $f(0)=0$ et $f(7,3)=30$.
			
			\item $\mathscr{D}_3=[0;9,7]$. $f(0)=0$ et $f(9,7)=30$.
			
		\end{enumerate}
		
		Les verres n'ont pas tous la même hauteur mais ils sont tous vides au début et leur contenance totale est la même.
		
		\item $V_1(5,5)=16$, $V_2(3,65)=3,5$, $V_3(4,85)=7$.
		
		$V_1^{-1}(\{ 15\})= \{ 5,3 \}$, $V_2^{-1}(\{ 15\})= \{ 5,8 \}$, $V_3^{-1}(\{ 15\})= \{ 7 \}$.
		
		\item $(6;17)$: pour une hauteur de $6$ les verres $1$ et $2$ contiennent tout deux $17$.
		
		$(4;4,9)$: pour une hauteur de $4$ les verres $1$ et $3$ contiennent tout deux $4,9$.
		
		$(9;26)$: pour une hauteur de $9$ les verres $1$ et $3$ contiennent tout deux $26$.
		
		$(0;0)$: pour une hauteur nulle les verres ne contiennent pas de liquide.
		
		\item C'est impossible car il n'y a pas de points qui soit un point d'intersection pour les trois courbes simultanément hormis l'origine du repère qui correspond à des verres vides.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Maths appliqué: volume de la boule.
		
		\href{https://www.lelivrescolaire.fr/page/6870830}{lelivrescolaire.fr}
		
		Exercice 41 page 57 du manuel \href{https://www.lelivrescolaire.fr/page/6870830}{lelivrescolaire.fr}.
	\end{notabene}
	
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $P(h)=1$ si et seulement si $h=\frac{4}{3}$.
		
		$V_B=\frac{4}{3} \times V_{C(1)}$.
		
		\item Il faut que $h=2$ et dans ce cas: 
		
		\begin{align*}
			h(2) &= \frac{2}{3}\\
			\intertext{ce qui équivaut successivement à:}
			\frac{V_B}{V_{C(2)}} &= \frac{2}{3}\\
			\frac{V_B}{V_{C(2)}} {\color{orange}\times V_{C(2)}} &= \frac{2}{3}{\color{orange}\times V_{C(2)}}\\
			V_B &= \frac{2}{3} V_{C(2)}
		\end{align*}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\subsection{Conjecturer des résolutions d'équation grâce aux courbes représentatives.}

\subsubsection{Équation de la forme $f(x)=a$.}

\begin{notabene}
	
	Exemples simples.
	
	Affiner la précision: le schéma à la main, la représentation graphique de la calculatrice, le tableau de valeurs aussi précis que souhaité. Avantage du tableau de valeur donne un encadrement et donc indique quelle est l'erreur commise contrairement à la seule lecture graphique.
	
\end{notabene}

\begin{exemples}
	
	\medskip
	Exemples.
	\begin{enumerate}
		\item 
		\begin{notabene}
			
			Indiquer sur les axes: images antécédents, $x$, $f(x)$ pour faciliter la lecture.
			
			Tracé à main levé des courbes de référence en respectant les propriétés que nous avons remarqué.
			
		\end{notabene}
		
		Résoudre l'équation $-2x+3=1$.
		
		\item $x^2=4$.
		
		\item $x^3=1$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{lecon}
	
	Résoudre une équation (problème du domaine de l'algèbre) peut être interpréter comme la recherche d'antécédents par une fonction (problème du domaine de l'analyse).
	
	L'inconvénient de cette méthode: ce n'est pas une démonstration et nous ne pouvons que conjecturer.
	
	L'avantage: avec l'informatique il est très rapide et facile d'obtenir la courbe représentative d'une fonction et donc de faire une lecture graphique.
	
\end{lecon}

\begin{notabene}
	
	Nous allons réinterpréter un problème de recherche d'image par une fonction.
	
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	\medskip
	\noindent \begin{tabular}{m{5.5cm}m{5.5cm}}
		Pour conjecturer les solutions de l'équation $x^2+2x-7=3$ nous introduisons la fonction \[ f: \left\{ \begin{array}{ccl}  \mathbb{R}&\rightarrow & \mathbb{R}\\ x &\mapsto & x^2+2x-7\\ \end{array} \right. \] puis traçons sa courbe représentative $\mathcal{C}_f$ avec un logiciel:
		&
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.4]
			\def\xY{-6};
			\def\yY{-9};
			\def\xZ{6};
			\def\yZ{8};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \pgfmathparse{\x }\pgfmathresult};
			\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=-5:3] plot(\x,{\x*\x+2*\x-7});
			\draw[blue] (3,-4) node[fill=white] {$\mathcal{C}_f$};		
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\\ \end{tabular}
	
	\medskip
	Résoudre l'équation équivaut donc à rechercher les antécédents de $3$ par la fonction $f$.
	
	\emph{\color{purple}Les solutions de l'équation $f(x)=3$ sont les abscisses des points de la courbe d'ordonnée 3}.
	
	\newpage
	Concrètement pour les trouver il faut suivre les étapes suivantes.
	
	\medskip
	\noindent \begin{tabular}{m{3.7cm}|m{3.7cm}|m{3.7cm}}
		\hline
		\color{orange}$1$&\color{orange}$2$&\color{orange}$3$\\ \hline
		&&\\
		Dessinez l'ordonnée $3$. & Identifiez les points d'intersections. & Lire les abscisses correspondantes.\\
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
			\def\xY{-6};
			\def\yY{-9};
			\def\xZ{6};
			\def\yZ{8};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw node[below left](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize \pgfmathparse{\x }\pgfmathresult};
			\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=-5:3] plot(\x,{\x*\x+2*\x-7});
			\draw[blue] (3,-4) node[fill=white] {$\mathcal{C}_f$};	
			\draw[red, thick,dashed][samples=100,domain=-6:6] plot(\x,{3});
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		&
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
			\def\xY{-6};
			\def\yY{-9};
			\def\xZ{6};
			\def\yZ{8};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw node[below left](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize \pgfmathparse{\x }\pgfmathresult};
			\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=-5:3] plot(\x,{\x*\x+2*\x-7});
			\draw[blue] (3,-4) node[fill=white] {$\mathcal{C}_f$};	
			\draw[red, thick,dashed][samples=100,domain=-6:6] plot(\x,{3});
			\draw[violet] (-4.31662479,3) node {\Large $\times$};
			\draw[violet] (2.31662479,3) node {\Large $\times$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		&
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
			\def\xY{-6};
			\def\yY{-9};
			\def\xZ{6};
			\def\yZ{8};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw node[below left](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize \pgfmathparse{\x }\pgfmathresult};
			\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=-5:3] plot(\x,{\x*\x+2*\x-7});
			\draw[blue] (3,-5) node[fill=white] {$\mathcal{C}_f$};	
			\draw[red, thick,dashed][samples=100,domain=-6:6] plot(\x,{3});
			\draw[violet] (-4.31662479,3) node {\Large $\times$};
			\draw[violet] (2.31662479,3) node {\Large $\times$};
			\draw[orange][thick,dashed] (-4.31662479,3)--((-4.31662479,0);
			\draw[orange][thick,dashed] (2.31662479,3)--(2.31662479,0);
			\draw[orange] (-4.31662479,0) node {\Large $\bullet$};
			\draw[orange] (2.31662479,0) node {\Large $\bullet$};
			\draw (-4.31662479,-2) node[fill=white] {$\approx -4,3$};
			\draw (2.31662479,-2) node[fill=white] {$\approx 2,3$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\\ \hline
	\end{tabular}
	
	\medskip
	Conclusion: l'ensemble des solutions de l'équation $x^2+2x-7=3$ est $\{ -4,3\ ;\ 2,3 \}$.
	
\end{lecon}

\begin{remarques}
	
	\medskip
	Remarques.
	\begin{enumerate}
		\item Inconvénients de la méthode: 
		\begin{itemize}
			\item Comme pour toute lecture graphique les résultats sont approximatifs (insuffisant en mathématique)
			\item il s'agit d'une partie de la courbe et nous ne savons pas ce qu'il en est pour le reste de la courbe.
		\end{itemize}
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{notabene}
	
	Exercices Wims.
	
\end{notabene}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		D'abord un exemple avec les valeurs exactes puis un avec des valeurs approchées.
		
	\end{notabene}
	
	Déterminez graphiquement les solutions des équations suivantes:
	
	\begin{enumerate}
		\item $0,5x^2-0,5x-10=-9$.
		
		\item $-\frac{1}{4}(x^2+7x+6)=-3$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{notabene}
		
		Profiter de cet exercice pour montrer l'utilisation de trace, calculs, intersection.
		
	\end{notabene}
	
	\begin{enumerate}
		\item Avec  la calculatrice nous traçons les courbes représentatives des fonctions $f:x \mapsto 0,5x^2-0,5x-10$ et $g:x\mapsto -9$.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.25,yscale=0.25]
			\def\xY{-10};
			\def\yY{-10};
			\def\xZ{10};
			\def\yZ{10};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $O$};
			\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y=f(x)$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=-5.75:6.75] plot(\x,{0.5*\x*\x-0.5*\x-10});
			\draw[blue] (2,-4) node[fill=white] {$\mathscr{C}_f$};
			\draw[red, thick][samples=100,domain=-10:10] plot(\x,{-9});
			\draw[red] (-7,-8) node[fill=white] {$\mathscr{C}_g$};
			%\foreach \a/\o in {-2/-4, -1.5/-4.5, -1/-4, -0.5/-2.5, 0/0, 0.5/3.5} \draw ({\a},{\o}) node{$\times$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		Par lecture nous pouvons conjecturer que 
		
		\begin{conclusion}
			
			l'ensemble des solutions est $\mathscr{S}= \{ -1;2 \}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		{\color{WildStrawberry}Si pouvons vérifier que $-1$ et $2$ sont effectivement des solutions en remplaçant dans l'équation rien ne garanti que nous ayons toutes les solutions: peut être le graphique ne nous montre-t-il pas tous les points d'ordonnée $-9$.
		
		Nous en restons donc à une conjecture sans pouvoir affirmer que nous avons résolu l'équation.}
		
		\item Avec  la calculatrice nous traçons les courbes représentatives des fonctions $f:x \mapsto -\frac{1}{4}(x^2+7x+6)$ et $g:x\mapsto -3$.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.25,yscale=0.25]
			\def\xY{-10};
			\def\yY{-10};
			\def\xZ{10};
			\def\yZ{10};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $O$};
			\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y=f(x)$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=-10:3.2] plot(\x,{-0.25*(\x*\x+7*\x+6)});
			\draw[blue] (-3,4) node[fill=white] {$\mathscr{C}_f$};
			\draw[red, thick][samples=100,domain=-10:10] plot(\x,{-3});
			\draw[red] (-7,-5) node[fill=white] {$\mathscr{C}_g$};
			%\foreach \a/\o in {-2/-4, -1.5/-4.5, -1/-4, -0.5/-2.5, 0/0, 0.5/3.5} \draw ({\a},{\o}) node{$\times$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{notabene}
	
	En profiter pour faire un rappel sur la résolution algébrique des équations $x^2=a$.
	
	Nature équation, si pas linéaire se ramener à équation produit nul, factorisation, facteur commun (inverse distributivité), identité remarquable seulement celle de collège).
	
\end{notabene}

\begin{exercice}{}
	
	Résolvez graphiquement puis algébriquement les équations suivantes.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $(E_1):\ -\frac{1}{3}x+3=1$.
		\task $(E_2):\ x^2=4$.
		\task $(E_3):\ x^2= 6$.
		\task $(E_4):\ 3x^2=48$.
		\task $(E_5):\ (x+1)(x-2)=-2$.
	\end{tasks}

\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{align*}
			(E_1) &\Leftrightarrow -\frac{1}{3}x+3=1\\
			&\Leftrightarrow -\frac{1}{3}x+3 {\color{orange}-3} = 1 {\color{orange}-3}\\
			&\leftrightarrow -\frac{1}{3}x=-2\\
			&\Leftrightarrow {\color{WildStrawberry}-3 \times } \left(-\frac{1}{3} \right)x= {\color{WildStrawberry}-3 \times} (-2)\\
			&\Leftrightarrow x =6
		\end{align*}
		
		L'ensemble des solutions de l'équation $(E_1)$ est 
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{S}_1 = \left\{ 6 \right\}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item {\color{WildStrawberry}Nous remarquons une équation qui n'est pas linéaire. Nous allons donc essayer de nous ramener à une équation produit-nul.}
		
		\begin{align*}
			(E_2) &\Leftrightarrow x {\color{orange}-4} = 4 {\color{orange}-4}\\
			&\Leftrightarrow x^2-4=0\\
			\intertext{\color{WildStrawberry}Nous avons une équation égale à $0$ il faut maintenant obtenir un produit, c'est-à-dire factoriser. Nous avonc deux méthodes de factorisation qui restent du collège: facteur commun (autrement dit distributivité) et identié remarquable (uniquement $a^2-b^2$). Ici il n'y a pas de facteur commun. Par contre:}
			(E_2) &\Leftrightarrow x^2-2^2= 0\\
			&\Leftrightarrow (x-2)(x+2)=0\\
			\intertext{\color{WildStrawberry} Nous reconnaissons un produit nul donc:}
			(E_2) &\Leftrightarrow x-2=0\quad \text{ou}\quad x+2=0\\
			&\Leftrightarrow x=2 \quad \text{ou} \quad x=-2
		\end{align*}
		
		L'ensemble des solutions de $(E_2)$ est 
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{S}_2 = \{ 2;-2 \}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item De même
		
		\begin{align*}
			(E_3) &\Leftrightarrow (x-\sqrt{6})(x+\sqrt{6})=0
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{S}_3=\{ \sqrt{6} ;  -\sqrt{6} \}$.
			
		\end{conclusion}
		
		
		\item De même
		
		\begin{align*}
		(E_4) &\Leftrightarrow 3(x-4)(x+4)=0
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{S}_4=\{ 4 ;  -4 \}$.
			
		\end{conclusion}
		
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			(E_5) &\Leftrightarrow (x+1)(x-2) {\color{orange}+2}= -2 {\color{orange}+2}\\
			&\Leftrightarrow (x+1)(x-2)+2=0\\
			\intertext{\color{WildStrawberry}À ce stade nous bloquons: impossible de factoriser. E désespoire de cause esssayons de tout développer.}
			(E_5) &\Leftrightarrow x\times x+x \times (-2) + 1 \times x + 1 \times (-2)+2\\
			&\Leftrightarrow x^2-2x+x-2+2=0\\
			&\Leftrightarrow x^2-x=0\\
			\intertext{\color{WildStrawberry}Maintenant que tout est développé nous recommençons à essayer de factoriser: il y a maintenant un facteur commun.}
			&\Leftrightarrow x(x-1)=0\\
			&\Leftrightarrow x=0\quad \text{ou}\quad x-1=0
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{S}_5=\{ 0 ;  1 \}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Application directe.
		
		\href{https://www.lelivrescolaire.fr/page/6870830}{lelivrescolaire.fr}
		
		Exercice 50 page 59 du manuel \href{https://www.lelivrescolaire.fr/page/6870830}{lelivrescolaire.fr}.
		
	\end{notabene}
	
	Exercice 50 page 59 du manuel \href{https://www.lelivrescolaire.fr/page/6870830}{lelivrescolaire.fr}.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item $f(x)=-0,5 \Leftrightarrow x \in \{ -0,8 \}$.
			
			\item Pour tout $k \in \mathbb{R}$, $f(x)=k$ admet une unique solution.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item $f(x)=-0,5 \Leftrightarrow x \in \{ 0 \}$.
			
			\item Si $k=0$, alors $f(x)=k$ admet une unique solution sinon $f(x)=k$ admet deux solutions distinctes (et opposées).
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item $f(x)=1 \Leftrightarrow x \in \{ 0 \}$.
			
			\item Pour tout $k \in \mathbb{R}$, $f(x)=k$ admet une unique solution.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item $f(x)=2 \Leftrightarrow x \in \{ 2,3 \}$.
			
			\item Répondons à la question pour la courbe d).
			
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|m{2cm}|c|c|c|c|c|}
					\hline
					$k$ & $]-\infty;-1,2[$& $\{ 1,2 \}$ & $]-1,2; 0[$ & $\{ 0 \}$ & $]0;+\infty[$
					\\
					\hline
					Nombre de solutions de $f(x)=k$. & $1$ & $2$ & $3$ & $2$ & $1$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{center}
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}

\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Sciences expérimentales.
		
		\href{https://www.lelivrescolaire.fr/page/6870830}{lelivrescolaire.fr}
		
		Exercice 51 page 59 du manuel \href{https://www.lelivrescolaire.fr/page/6870830}{lelivrescolaire.fr}.
	\end{notabene}
	
	
\end{exercice}

\begin{correction}
\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $H(1)=1$. Au bout d'un mois l'arbre mesure 1 mètre.
		
		\item $H(t)>2$ si et seulement si $t>2,5$. Ils seront commercialisable lorsque $t \in [2,5;+\infty[$.
		
		\item En année arrondie au bout de 2 ans. En mois: au bout de $19$ mois.
		
		\item Tous les $2,5$ mois.
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}
\end{correction}

\subsubsection{Équation: $f(x)= g(x)$.}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item $x=x^2$.
		
		\item $x^2=x^3$.
		
		\item $x=\sqrt{x}$.
		
		\item $x=\frac{1}{x}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{lecon}
		
	\noindent \begin{tabular}{m{5.5cm}m{5.5cm}}
		Pour conjecturer les solutions de l'équation $x^2+2x-7= 0,1(x + 2)^3 - 0.3(x + 2)^2$ nous introduisons encore les fonctions \newline 
		$f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}&\rightarrow & \mathbb{R}\\ x &\mapsto & x^2+2x-7\\ \end{array} \right.$ et \newline 
		$g: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}&\rightarrow & \mathbb{R}\\  x &\mapsto & 0,1(x + 2)^3 - 0.3(x + 2)^2\\ \end{array} \right.$ \newline 
		puis traçons leurs courbes représentatives $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ avec un logiciel.
		&
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.4]
			\def\xY{-6};
			\def\yY{-9};
			\def\xZ{6};
			\def\yZ{8};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw node[below left](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize \pgfmathparse{\x }\pgfmathresult};
			\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=-5:3] plot(\x,{\x*\x+2*\x-7});
			\draw[blue] (3,-4) node[fill=white] {$\mathscr{C}_f$};		
			\draw[red, thick][samples=100,domain=-5.68:3.556] plot(\x,{0.1*(\x+2)*(\x+2)*(\x+2)-0.3*(\x+2)*(\x+2)});
			\draw[red] (-4,-7) node[fill=white] {$\mathscr{C}_g$};		
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\\ \end{tabular}
	
	\medskip
	\emph{\color{purple}Les solutions de l'équation $f(x)\leqslant g(x)$ sont les abscisses des points d'intersection des courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$}.
	
	\medskip
	\newpage
	Les étapes de la recherche sont les suivantes:
	
	\medskip
	\noindent \begin{tabular}{m{5.5cm}|m{5.5cm}}
		\hline
		\color{orange}$1$&\color{orange}$2$\\ \hline
		&\\
		Identifiez les points d'intersection de  $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$. & Lire les abscisses correspondantes.\\
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.4]
			\def\xY{-6};
			\def\yY{-9};
			\def\xZ{6};
			\def\yZ{8};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw node[below left](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize \pgfmathparse{\x }\pgfmathresult};
			\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=-5:3] plot(\x,{\x*\x+2*\x-7});
			\draw[blue] (3,-4) node[fill=white] {$\mathscr{C}_f$};		
			\draw[red, thick][samples=100,domain=-5.68:3.556] plot(\x,{0.1*(\x+2)*(\x+2)*(\x+2)-0.3*(\x+2)*(\x+2)});
			\draw[red] (-4,-7) node[fill=white] {$\mathscr{C}_g$};		
			%\draw[green, thick][samples=100,domain=-3.608986:2.1660281] plot(\x,{\x*\x+2*\x-7});
			\draw (-3.608986,{-3.608986*(-3.608986)+2*(-3.608986)-7}) node{\color{green} $\bullet$};
			\draw (2.1660281,{2.1660281*(2.1660281)+2*(2.1660281)-7}) node{\color{green} $\bullet$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		&
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.4]
			\def\xY{-6};
			\def\yY{-9};
			\def\xZ{6};
			\def\yZ{8};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw node[below left](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize \pgfmathparse{\x }\pgfmathresult};
			\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=-5:3] plot(\x,{\x*\x+2*\x-7});
			\draw[blue] (3,-4) node[fill=white] {$\mathscr{C}_f$};		
			\draw[red, thick][samples=100,domain=-5.68:3.556] plot(\x,{0.1*(\x+2)*(\x+2)*(\x+2)-0.3*(\x+2)*(\x+2)});
			\draw[red] (-4,-7) node[fill=white] {$\mathscr{C}_g$};		
			%\draw[green, thick][samples=100,domain=-3.608986:2.1660281] plot(\x,{\x*\x+2*\x-7});
			\draw (-3.608986,{-3.608986*(-3.608986)+2*(-3.608986)-7}) node{\color{green} $\bullet$};
			\draw (2.1660281,{2.1660281*(2.1660281)+2*(2.1660281)-7}) node{\color{green} $\bullet$};
			\draw[violet,dashed,thick] (-3.608986,{-3.608986*(-3.608986)+2*(-3.608986)-7})--(-3.608986,{0});
			\draw[violet,dashed,thick] (2.1660281,{2.1660281*(2.1660281)+2*(2.1660281)-7})--(2.1660281,{0});
			\draw (-3.608986,{0}) node{\color{violet} $\bullet$};
			\draw (2.1660281,{0}) node{\color{violet} $\bullet$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\\ \hline
	\end{tabular}
	
	\medskip
	Enfin donnez les solutions sous forme d'ensemble: l'ensemble des solutions de l'inéquation $x^2+2x-7= 0,1(x + 2)^3 - 0.3(x + 2)^2$ est $\{-3,6\ ;\ 2,2\}$.
	
\end{lecon}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Application directe
		
		\href{https://www.lelivrescolaire.fr/page/6870830}{lelivrescolaire.fr}
		
		Exercice 52 page 60 du manuel \href{https://www.lelivrescolaire.fr/page/6870830}{lelivrescolaire.fr}.
	\end{notabene}
	
	Exercice 52 page 60 du manuel \href{https://www.lelivrescolaire.fr/page/6870830}{lelivrescolaire.fr}.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $f(x)=g(x) \Leftrightarrow x \in \{ -0,5 \}$.
		
		\item $f(x)=g(x) \Leftrightarrow x \in \{ 0;3 \}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Application directe
		
		\href{https://www.lelivrescolaire.fr/page/6870830}{lelivrescolaire.fr}
		
	\end{notabene}
	
	Résolvez graphiquement les équations proposées dans l'exercice 53 page 60 du manuel \href{https://www.lelivrescolaire.fr/page/6870830}{lelivrescolaire.fr}. Il vous manque un outil pour la résolution algébrique de la question 3.
	
\end{exercice}

\begin{correction}
\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item \objectif{Résolvons l'équation.}
		
		\begin{align*}
			2x+3 &= 5\\
			\intertext{équivaut successivement à:}
			2x+3 {\color{orange}-3} &= 5 {\color{orange}-3}\\
			2x &= 2\\
			\frac{2x}{\color{orange}2} &= \frac{2}{\color{orange}2}\\
			x &= 1
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions est $\mathscr{S} = \{ 1 \}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Résolvons l'équation.}
		
		\begin{align*}
			3x-2 &= -4x+\frac{1}{3}\\
			\intertext{équivaut successivement à:}
			3x+2 {\color{orange}+4x} &= -4x+\frac{1}{3} {\color{orange}+4x}\\
			7x +2 &= \frac{1}{3}\\
			7x+ {\color{orange}-2} &= \frac{1}{3} {\color{orange}-2}\\
			7x &= \frac{7}{3}\\
			{\color{orange}\frac{1}{7} \times } 7x &= {\color{orange}\frac{1}{7} \times } \frac{1}{3}\\
			x &= \frac{1}{3}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de l'équation est $\mathscr{S} = \left\{ \frac{1}{3} \right\}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Résolvons l'équation.}
		
		\begin{align*}
			9x^2 &= 6x-1\\
			\intertext{ce qui équvaut successivement à:}
			9x^2 {\color{orange}-(6x-1)} &= 6x-1 {\color{orange}-(6x-1)}\\
			9x^2-6x+1 &= 0\\
			(3x)^2-2 \times 3x \times 1 +1^2 &= 0\\
			(3x-1)^1 &= 0\\
			3x-1 &= 0\\
			3x-1 {\color{orange}+1} &= 0 {\color{orange}+1}\\
			3x & =1\\
			\frac{3x}{\color{orange}3} &= \frac{1}{\color{orange}3}\\
			x &= \frac{1}{3}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble de solution est $\mathscr{S} = \left\{ \frac{1}{3} \right\}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Résolvons l'équation.}
		
		\begin{align*}
			2x^3-x &= 3x^2-x\\
			2x^3-x {\color{orange}-(3x^2-x)} &= 3x^2-x {\color{orange}-(3x^2-x)}\\
			2x^3-x-3x^2+x &= 0\\
			2x^3-3x^2 &= 0\\
			x^2 \times 3x -x^2 \times 3 &= 0 \\
			x^2 (2x-3) &= 0\\
			x^2=0 \quad &\text{ou} \quad 2x-3=0\\
			x=0 \quad &\text{ou} \quad 2x=3\\
			x=0\quad &\text{ou} \quad x=\frac{3}{2} 
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions est $\mathscr{S} = \left\{ \frac{3}{2} ; 0 \right\}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}
\end{correction}

\subsection{Parité.}

\begin{notabene}
	
	Partir de la représentation graphique pour aller à la propriété analytique. En travaillant sur les fonctions de référence.
	
	Expliquer que ce peut être vu comme une propriété de calcul algébrique: $\frac {1}{-x}=-\frac{1}{x}$ et $(-x)^2=x^2$.
	
	
	Du coup ne pas faire la leçon qui suit la laisser à lire à la maison. Présentation de ce chapitre façon expérimentale: on constate sur les courbes représentatives des fonctions de référence qu'il y a ci ou ça. Quel lien avec la formule. La formule recèle-t-elle l'information de cette symétrie. et faire apparaître la formule pas de résultat général. Ceux qui sont intéressés peuvent regarder a leçon sur internet ou essayer eux-mêmes.
	
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	Recherchons des symétrie dans les courbes représentatives des fonctions de références: fonction carré et cube.
	
	Nous remarquons des symétries axiales ou centrales.
	
	C'est propriétés géométriques se traduisent par des propriétés algébriques (concernant la formule de calcul).
	
\end{lecon}

\subsubsection{Définition algébrique.}

\begin{definition}
	
	Soient:
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\mathscr{D}_f$ un ensemble de réels symétrique par rapport à $0$, autrement dit si $x\in \mathscr{D}_f$, alors $-x \in \mathscr{D}_f$,
		
		\item $f: \mathscr{D}_f \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction définie sur $\mathscr{D}_f$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous dirons que $f$ est \emph{\color{purple}paire} si et seulement si, quelque soit $x \in \mathscr{D}_f$, \[ f(-x)=f(x). \]
	
	Nous dirons que $f$ est \emph{\color{purple}impaire} si et seulement si, quelque soit $x \in \mathscr{D}_f$, \[ f(-x)=-f(x). \]
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item La fonction carré est paire.
		
		\item La fonction cube est impaire.
		
		\item La fonction racine carrée n'est ni paire ni impaire.
		
		\item $x \mapsto x^n$ est paire si et seulement si $n$ est pair (c'est l'origine du nom de cette propriété.
		
		\item La fonction inverse est un exemple de fonction impaire qui n'est pas (vraiment) une fonction puissance.
		
		\item La fonction racine carrée n'est ni paire ni impaire car son domaine de définition n'est pas symétrique par rapport à $0$.
		
		\item La fonction $f:\left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & 2x-3 \end{array} \right.$ n'est ni paire ni impaire (il suffit d'exhiber un contre-exemple).
		
		\item $f:\left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}^* & \rightarrow & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & x+ \frac{1}{x} \end{array} \right.$ est une fonction impaire.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsubsection{Interprétation géométrique.}

\begin{notabene}
	
	Si nous sommes partis du dessin pour trouver la définition algébrique, le fait que notre définition est algébrique est qu'il faut démontrer qu'effectivement alors il y a des symétries sur les courbes représentatives.
	
\end{notabene}

\begin{proposition}{}
	
	Soient:
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\mathscr{D}_f$ un ensemble de réels symétrique par rapport à $0$,
		
		\item $f: \mathscr{D}_f \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction (définie sur $\mathscr{D}_f$),
		
		\item $\mathscr{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal $\left( O,I,J \right)$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $f$ est paire si et seulement si sa courbe représentative, $\mathscr{C}_f$, présente une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.
		
		\item 
		$f$ est impaire si et seulement si sa courbe représentative, $\mathscr{C}_f$, présente une symétrie par rapport à l'origine du repère.
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	Pour simplifier la démonstration nous supposerons que le repère est orthonormé.
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Démontrons l'implication directe: supposons que $f$ est paire et démontrons qu'alors, forcément, $\mathscr{C}_f$ présente une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.
			
			\begin{notabene}
				
				Quels sont les outils qui vont permettre de faire du lien entre la géométrie et l'analyse? Les outils de géométrie repérée.
				
			\end{notabene}
			
			Soit $x \in \mathscr{D}_f$.
			
			Par définition de la courbe représentative: $P\left( x , f(x) \right) \in \mathscr{C}_f$ et $P'\left(-x,f(-x)\right) \in \mathscr{C}_f$.
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item Montrons que le milieu $M$ de $[PP']$ est sur l'axe des ordonnées.
				
				\begin{align*}
					x_M &= \frac{x_P+x_{P'}}{2}\\
					&= \frac{x+(-x)}{2}\\
					&= 0
				\end{align*}
				
				Donc $M$ appartient à l'axe des ordonnées.
				
				\item Montrons que que l'origine du repère appartient à la médiatrice de $[PP']$.
				 
				Le repère étant orthonormé:
				
				\begin{align*}
					OP &= \sqrt{(x_P-x_O)^2+(y_P-y_O)^2}\\
					&= \sqrt{(x-0)^2+(f(x)-0)^2}\\
					&= \sqrt{x^2+f(x)^2}
				\end{align*}
				
				De même:
				
				\begin{align*}
					OP' &= \sqrt{(x_{P'}-x_O)^2+(y_{P'}-y_O)^2}\\
					&= \sqrt{(x-0)^2+(f(-x)-0)^2}\\
					\intertext{$f$ étant paire $f(-x)=f(x)$ donc}
					OP' &= \sqrt{x^2+f(x)^2}
				\end{align*}
				
				Ainsi $OM=OM'$. Autrement dit $O$ appartient à la médiatrice de $[PP']$.
				
			\end{enumerate}
			
			Si $M$ et $O$ sont deux points distincts alors $(OM)$ est la médiatrice de $[PP']$ (sinon $P$ et $P'$ sont bien symétriques puisque appartenant à l'axe des abscisses). Mais comme $O$ et $M$ sont sur l'axe des ordonnées cela signifie que l'axe des ordonnées est la médiatrice de $[PP']$.
			
			Autrement dit: $P$ est symétrique de $P'$ par rapport à l'axe des ordonnées.
			
			\medskip
			Le raisonnement étant valable pour tous points $P$ et $P'$ nous avons démontré que la courbe toute entière est symétrique.
			
			\begin{conclusion}
				
				Si $f$ est paire alors $\mathscr{C}_f$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		Parmi les tableaux de signe suivants, déterminez ceux qui peuvent correspondent à des fonctions paires ou impaires.
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\exclure{exercicecorrection}\exclure{correction}\exclure{preuve}\exclure{exemples}%papi

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Compléter la courbe pour obtenir fonction paire ou impaire.
		
		\href{https://www.lelivrescolaire.fr/page/6870830}{lelivrescolaire.fr}
		
		Exercice 42 page 57 du manuel \href{https://www.lelivrescolaire.fr/page/6870830}{lelivrescolaire.fr}.
	\end{notabene}
	
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Avec la définition algébrique.
		
		\href{https://www.lelivrescolaire.fr/page/6870830}{lelivrescolaire.fr}
		
		Exercice 46 page 57 du manuel \href{https://www.lelivrescolaire.fr/page/6870830}{lelivrescolaire.fr}.
		
	\end{notabene}
	
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}{}
	
	{\color{WildStrawberry}Il y aura trois réponses possibles pour chaque question: pai, impair ou ni l'un ni l'autre.}
	
	\begin{enumerate}
		\item {\color{WildStrawberry}Pour démontrer qu'une propriété universelle est fausse il suffit de trouver un contre-exemple. Or la parité est une propriété universelle (\og pour tout $x\in\mathscr{D}_f$\fg{}), donc ...}
		
		$f(1)=1^1-1=0$ et $f(-1)=(-1)^3-1=-2$.
		
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
			\item $f(-1) \ne f(1)$ donc $f$ n'est pas paire.
			
			\item $f(-1) \ne -f(1)$ donc $f$ n'est pas impaire.
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			$f$ n'est ni paire, ni impaire.
			
		\end{conclusion}
		
		\item {\color{WildStrawberry}Pour démontrer qu'une propriété universelle est vraie, il faut démontrer que dans tous les cas c'est vrai.}
		
		Soit $x \in \mathscr{D}_f=\mathbb{R}$.
		
		\begin{align*}
			f(-x) &= (-x)^1+1\\
			&= x^1+1\\
			&= f(x)
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$f$ est paire.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Déterminez toutes les valeurs de $a$ et $b$ des réels pour lesquels la fonction affine $f: x \mapsto ax+b$ est impaire.
	
	Même question pour paire.
	
\end{exercice}



\subsection{Des fonctions avec Python.}

\begin{notabene}
	
	Envisager une leçon à part pour ce chapitre.
	
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	Il existe une instruction pour définir une fonction dans un programme en Python qu'il est ensuite loisible d'utiliser pour faire d'autres calculs dans le même programme.
	
	Voici comment définir la fonction $f:x\mapsto x^2-2x+1$:
	
	\begin{center}
		\begin{minipage}{5cm}
			\lstset{emph={f}, emphstyle=\color{red},
				emph={[2]x,y}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
def f(x):
    y=x**2-2*x+1
    return(y)
\end{lstlisting}
		\end{minipage}
	\end{center}
	
	Pour calculer l'image de $3$ par $f$ il suffit alors de taper dans Python (un shell ou un script): 
	
	\begin{center}
		\begin{minipage}{1cm}
			\lstset{emph={f}, emphstyle=\color{red},
				emph={[2]x,y}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
f(3)
\end{lstlisting}
		\end{minipage}
	\end{center}
	
\end{lecon}

\begin{remarques}
	
	\medskip
	Remarques.
	\begin{enumerate}
		\item Il n'y a pas d'ensemble de définition à préciser pour une fonction en Python. S'il y a des valeurs interdites un message d'erreur s'affichera.
		
		\item Les fonctions en Python permettent de nombreux calculs intermédiaires pour le calcul du $y$. Il est notamment possible d'utiliser des boucles.
		
		\item Les fonctions Python sont très utilisées car elles servent de sous-programme dans un long programme.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\medskip
	Exemples.
	\begin{enumerate}
		
		\item Fonction carré.
		
		\item Fonction cube.
		
		\item Fonction inverse.
		
		\item Fonction racine carrée.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}