%\documentclass{book} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{book} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hmargin={0.75cm,1cm},vmargin={0.5cm,1.25cm},twoside}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 
\settasks{
	% the next two should be set to the same value so labels are aligned to the
	% left
	%label-width = 1em ,
	%item-indent = 1em ,
	%before-skip = 0pt%-\parskip , % undo paragraph skip
	%after-skip =0pt% -\parskip , % undo paragraph skip
	after-item-skip = -2pt%-\parskip % undo paragraph skip
}

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown} \footnotesize}{}

\newenvironment{sujet}{}{}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \noindent Exemples.\vspace{-0.1cm}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\noindent {\color{BlueViolet}Remarques.\vspace{-0.1cm}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{Gray}}{}


%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} {\noindent\color{Black}EXERCICE \theExercice.} \addtocounter{Exercice}{1} \color{Black}}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\noindent\color{Brown}Exercice \theExercicecorrection. \footnotesize}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\textbf{\color{Orange}Définition \theDefinition.} \addtocounter{Definition}{1} \color{Orange} }{}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}{\textbf{\color{purple}Théorème \theTheoreme.}\addtocounter{Theoreme}{1}\color{purple}}{}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}{\textbf{\color{purple}Proposition \theProposition.} \addtocounter{Proposition}{1}\color{purple}}{}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\noindent{\textbf{\color{PineGreen} Démonstration}.} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{PineGreen}}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%Un bug apparu en faisant la mise à jour de pi: les listes tasks ne se colorie plus et restent noir malgrer les commande. La solution est ce truc:
\ExplSyntaxOn\makeatletter
%patch needed to get a around a problem in the l3-drivers
\AtBeginDocument{
 \cs_set_protected_nopar:Npn \color_ensure_current:
   {\set@color}
 }
\ExplSyntaxOff\makeatother 

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{}% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\footnotesize \thepage ]{\footnotesize \thepage }
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour abrege
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}\exclure{culturegenerale}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene}

%Pour les exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour les correction d'exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques}  \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\small 


\subsection*{Systèmes linéaires.}

\begin{lecon}
	Nous nous intéresserons uniquement à des systèmes simples: deux équations et deux inconnues.
\end{lecon}

\subsubsection{Intersection des droites.}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Détermination de la position relative des deux droites $d:\ y=2x+1$ et $d':\ x=3$ en précisant l'éventuel point d'intersection.
		
		D'après son équation réduite $d'$ est parallèle à l'axe des ordonnées ce qui n'est pas le cas de $d$ (d'après son équation réduite) donc $d$ et $d'$ sont sécantes en un point $P$.
		
		D'après l'équation de $d'$ l'abscisse de $P$ est $3$. Et puisque $P\in d$ ses coordonnées vérifient: $y_P=2 x_P+1$. En substituant $x_P$ par la valeur trouvée: $y_P=2\times 3+1=7$. Ainsi: $P(3;7)$.
		\item Détermination de la position relative des deux droites $d:\ y=2x+1$ et $d':\ y=-5x+3$ en précisant l'éventuel point d'intersection.
		
		Les coefficients directeurs (pentes) de $d$ et $d'$ sont distincts donc $d$ et $d'$ sont sécantes en un point $P$.
		
		Les coordonnées de $P$ vérifient simultanément les deux équations de droites: $\left\{ \begin{array}{c} y_P=2x_P+1 \\ y_P=-5x_P+3 \end{array} \right.$ On en déduit l'égalité: $2x_P+1 = -5x_P+3$ qui se résout en $x_P=\frac{2}{7}$. En substituant $x_P$ dans (par exemple) l'équation de $d$: $y_P=2 \times \frac{2}{7}+1= \frac{11}{7}$. Ainsi: $ P\left( \frac{2}{7},\frac{11}{7} \right)$.
		\item Détermination de la position relative des deux droites $d:\ 2x-y+1=0$ et $d':\ 3x+2y-1=0$ en précisant l'éventuel point d'intersection.
		
		$\vec{u} \begin{pmatrix} 1 \\2 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} -2 \\\ 3 \end{pmatrix}$ sont des vecteurs respectifs de $d$ et $d'$. $\det(\vec{u},\vec{v})= \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix}= 1 \times 3 -2 \times (-2)=7 \ne 0$ donc $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires et par conséquent $d$ et $d'$ sont sécantes en un point $P$.
		
		On pourrait déterminer les équations réduites des deux droites (ce n'est pas très compliqué) puis procéder comme dans l'exemple précédent. Nous allons procéder un peu différemment (mais sans que ce soit préférentiel).
		
		Isolons l'une des inconnues dans l'une des équations; le $y$ dans l'équation de $d$ semble tout indiqué: $y=2x+1$. Puis substituant au $y$ de l'autre équation cette expression il apparaît: $3x+2\left( 2x+1\right)-1=0$. Nous avons obtenu une équation du premier degré avec une inconnue: $x=-\frac{1}{7}$. Puis en substituant cette valeur de $x$ dans l'expression de $y$: $y=2 \times \left( -\frac{1}{7} \right)+1=\frac{5}{7}$.
	\end{enumerate}
\end{exemples}


\begin{exercice}
	Recherchez les positions relatives et les éventuels points d'intersection des droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ dont les équations dans un repère $(O,I,J)$ du plan sont:
	\begin{tasks}(2)
		\task $\mathcal{D}_1:\ y=-1x+2$ et $\mathcal{D}_2:\ y=3x-1$
		\task $\mathcal{D}_1:\ y= \frac{10}{2}x-3$ et $\mathcal{D}_2:\ y=5x-\frac{27}{9}$
		\task $\mathcal{D}_1:\ y=\pi ^2x-\sqrt{2}$ et $\mathcal{D}_2:\ y=\pi ^2 x+\frac{7}{4}$
		\task $\mathcal{D}_1:\ y= \frac{\sqrt{2}}{2} x+ 1$ et $\mathcal{D}_2:\ y=-x+\frac{\pi}{2}$
		\task $\mathcal{D}_1:\ x=\sqrt{2}$ et $\mathcal{D}_2:\ y=\sqrt{2} x-2$
		\task $\mathcal{D}_1:\ x=-\pi ^2+4$ et $\mathcal{D}_2:\ x= 4^{1000}$
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\subsubsection{Généralités.}

\begin{lecon}
	
	Un \emph{\color{purple}système d'équations} est un groupe d'équations utilisant les mêmes inconnues. Résoudre un système d'équations c'est trouver toutes les solutions qui satisfont simultanément \emph{\textbf{toutes}} les équations. 
	
	Nous résoudrons quasi uniquement des \emph{\color{purple}systèmes d'équations linéaires (ou affines) de deux équations à deux inconnues} \[ \left\{\begin{array}{c} a_1x+b_1y=c_1  \\ a_2x+b_2y=c_2 \\ \end{array}\right. \] où $x$ et $y$ sont des inconnues (ou variables) et $a_1$, $b_1$, $a_2$, $b_2$ des nombres réels fixés.
	
	Les solutions d'un tel système sont des couples (une valeur pour $x$ et une valeur pour $y$). Un tel système peut n'avoir aucune, une seule (\emph{i.e.} un couple) ou une infinité de solutions.
	
\end{lecon}

\begin{exercice}
	Par un raisonnement géométrique donnez le nombre de solutions des systèmes d'équations suivants.
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $(S_1) \left\{ \begin{array}{l}y=2x+1 \\ y=-5x+6\end{array} \right.$,
		\task $(S_2) \left\{ \begin{array}{l}y=-3x+1\\ y=-3x+\pi \end{array} \right.$,
		\task $(S_3) \left\{ \begin{array}{l}y=2x+5\\ 2y=4x+10 \end{array} \right.$
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{tasks}
		\task Sécantes au point de coordonnées $\left( \frac{5}{7} ,\frac{17}{7}\right)$. Le système a une seule solution: singleton.
		\task Strictement parallèles: $(0,1)$ est solution de la première équation mais pas de la seconde. Aucune solution: ensemble vide.
		\task En écrivant la seconde équation comme une équation réduite nous voyons que nous avons une seule équation: droites confondues. Une infinité de couples solutions: les coordonnées des points de la droite.
	\end{tasks}
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Par un raisonnement géométrique donnez le nombre de solution du système d'équations suivants.
	
	\[(S):\ \left\{ \begin{array}{l}3x+4y-1=0 \\ -2x-\frac{8}{3}y-17=0 \end{array} \right. .\]	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	$\vec{u} \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} 8/3 \\ -2 \end{pmatrix}$. $\det( \vec{u},\vec{v} )= \begin{vmatrix} -4 & 8/3 \\ 3 & -2 \end{vmatrix}= -4 \times (-2) -3 \times \frac{8}{3}=0$.
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Résolution par substitution.}

\begin{lecon}	
	Dans le cas particulier d'un système linéaire de deux équations à deux inconnues nous utiliserons la méthode par substitution.
	
	\[ \left\{\begin{array}{lr} a_1x+b_1y=c_1 & (1) \\ a_2x+b_2y=c_2 & (2)\\ \end{array}\right. \]
	
	{\color{orange}Méthode de résolution:
	\begin{enumerate}[\text{Étape }1]
		\item isoler $x$ dans la première équation $(1)$ et l'exprimer en fonction de $y$,
		\item substituer à $x$ son expression en fonction de $y$ dans l'équation $(2)$,
		\item résoudre l'équation du premier degré d'inconnue $y$ ainsi obtenue.
			\begin{itemize}
				\item si l'équation d'inconnue $y$ admet une solution en réinjectant cette valeur dans l'expression de $x$ obtenue à l'étape 2 nous obtenons la valeur de $y$,
				\item si nous ne trouvons pas de solution pour $y$ alors le système n'admet pas de solutions.
				\item si nous trouvons une infinité de valeurs ($\mathbb{R}$) pour $y$, alors une infinité de couple est solution. 
				\item conclure après avoir calculer la valeur de $y$.
			\end{itemize} 
	\end{enumerate}
	}	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item 
	\end{enumerate}	
\end{exemples}

\begin{exercice}
	Résolvez les systèmes: \[ (S_1):\  \left\{ \begin{array}{l}9x+3y=2 \\ -2x+y=1\end{array} \right.,\ (S_2):\  \left\{ \begin{array}{l}2x+8y=12\\ \frac{1}{2}x+2y=3\end{array} \right.,\ (S_3):\ \left\{ \begin{array}{l}y-3x=2\\ -6x+2y=14 \end{array} \right. \]
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\objectif{Résolvons $(S_1)$.}
	
	Notons  \[ (S_1) \left\{ \begin{array}{lc}9x+3y=2 & (E_1) \\ -2x+y=1 & (E_2) \end{array} \right. \]
	
	\begin{enumerate}[\text{Étape }1. ]
		\item {\color{orange}Isolons $y$ dans $(E_2)$.}
		
		\begin{align*}
			(E_2) &\Leftrightarrow -2x+y {\color{orange}+2x} = 1 {\color{orange} +2x}\\
			&\Leftrightarrow y=2x+1
		\end{align*}
		
		\item {\color{orange}Substituons à $y$ son expression en fonction de $x$ dans $(E_1)$.}
		
		\begin{align*}
			(E_1) &\Rightarrow 9x+3{\color{orange}(2x+1)}=2\\
			\intertext{\color{orange}Développons, ordonnons puis réduisons}
			(E_1) &\Rightarrow 9x+3\times 2x +3\times 1=2\\
			&\Rightarrow 9x+6x+3=2\\
			&\Rightarrow 15x +3=2
		\end{align*}
		
		\item Résolvons cette équation {\color{orange}linéaire de degré un en isolant l'inconnue $x$}.
		
		\begin{align*}
			15x +3=2 &\Leftrightarrow 15x+3 {\color{orange}-3} = 2 {\color{orange} -3}\\
			&\Leftrightarrow 15x =-1\\
			&\Leftrightarrow \frac{15x}{\color{orange}15} = \frac{-1}{\color{orange}15}\\
			&\Leftrightarrow x=-\frac{1}{15}
		\end{align*}
		
		\item Calculons $y$.
		
		Remplaçons $x$ par la valeur numérique trouvée précédemment.
		
		\begin{align*}
			-2\left( -\frac{1}{15} \right) +y=1 & \Leftrightarrow \frac{2}{15} + y =1 \\
			&\Leftrightarrow \frac{2}{15}+y {\color{orange} -\frac{2}{15} } =1 {\color{orange} - \frac{2}{15}}\\
			&\Leftrightarrow y=\frac{13}{15}
		\end{align*}
		
		\item {\color{orange}Nous n'avons pas raisonné par équivalence mais par implication. Nous avons que s'il y a une solution ce ne peut-être que le couple précédent. Il faudrait maintenant vérifier que ce couple est effectivement solution des deux équations.}
	\end{enumerate}
	
	\begin{conclusion}
		
		L'ensemble des solutions de $(S_1)$ est $\displaystyle \mathscr{S}=\left\{ \left( -\frac{1}{15} ; \frac{13}{15} \right) \right\}$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Une substitution simple: système échelonné.}

\begin{lecon}
	Pour mieux comprendre l'intérêt de ce procédé nous allons le voir sur un plus gros système d'équations linéaires.
	
	Nous dirons qu'un système est \emph{\color{purple}échelonné} si chaque ligne contient une inconnue de moins.
\end{lecon}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Un système échelonné: $\left\{ \begin{array}{ccccl} 2x &+& y &=& 1\\  &-& y &=& 2 \end{array} \right.$
		\item Un système qui n'est pas échelonné: $\left\{ \begin{array}{ccccl} -x &-& 7y &=& -1\\ 6x &+& 2y &=& 10 \end{array} \right.$
		\item Un système échelonné: $\left\{ \begin{array}{ccccccl} 3x &+& 4y &-& 5z &=& 6\\  && 2y &+& z &=& -11 \\ &&&& 5z &=& 2 \end{array} \right.$
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{lecon}
	La résolution se fait en procédant à des substitutions en remontant les équations du système.
\end{lecon}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Résolvons le système $\left\{ \begin{array}{ccccccl} 3x &+& 4y &-& 5z &=& 16\\  && 2y &+& z &=& 8 \\ &&&& 3z &=& 6 \end{array} \right.$
		
		On commence par la dernière équation.
		\begin{enumerate}[*]
			\item $3z=6 \Leftrightarrow z={\color{WildStrawberry}2}$.
			\item Puis on substitue dans l'équation précédente du système: $2y + {\color{WildStrawberry}2}=8 \Leftrightarrow y={\color{green}3}$.
			\item Puis on substitue dans l'équation précédente du système: $3x+4 \times {\color{green}3} -5 \times {\color{WildStrawberry}2}=14 \Leftrightarrow x=4$.
		\end{enumerate}
		Le système admet une unique solution: le triplet $(4;3;2)$.
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\subsubsection{Résolution par combinaisons linéaires.}

\begin{lecon}
	Cette méthode, qui est la plus générale (ou du moins qui se généralise le plus facilement), est aussi la plus abstraite.
\end{lecon}

\begin{proposition}
	Les règles de calculs sur les équations d'un système qui conservent les systèmes équivalents sont:
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item multiplier une équation par un nombre réel non nul,
		\item remplacer une équation par la somme des deux autres équations,
		\item échanger deux équations.
	\end{enumerate}
\end{proposition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Ces règles complètent les règles vues pour manipuler une équation.		
		\item Grâce à ces règles de calculs il est possible d'isoler les inconnues et de résoudre le système d'équations linéaires du premier degré.
		\item Les deux règles précédentes sont parfois regroupées en disant que les \emph{\color{purple}combinaisons linéaires} sur les lignes sont autorisées.		
		\item Ces règles sont aisées à programmer et permettent de rédiger un algorithme de résolution de système appelé \emph{\color{purple}méthode du pivot de Gauss} ou \emph{\color{purple}élimination de Gauss-Jordan}.
	\end{enumerate}	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item On souhaite résoudre le système avec l'algorithme du pivot de Gauss.
				
		\begin{tabular}{m{2cm}m{1cm}m{5cm}}
						&& $\left\{\begin{array}{rcrcl} 4x & - & 2y & = & 24 \\ 2x & + & 4y & = & 2 \end{array}\right.$ \\ 
		\end{tabular}
		
		{\color{orange}Transformer les équations pour avoir le coefficient de $x$ égale à $1$. On dit que $x$ est le pivot.}
		
		\medskip
		\begin{tabular}{m{2cm}m{1cm}m{5cm}}
			$\begin{array}{l} 
			\frac{1}{4}L_1 \rightarrow L_1\\ 
			\frac{1}{2}L_2 \rightarrow L_2\\
			\end{array}$
			&& $\left\{\begin{array}{rcrcl} x & - & \frac{1}{2}y & = & 6 \\ x & + & 2y & = & 1 \end{array}\right.$ \\ 
		\end{tabular}
		
		{\color{orange}On supprime le pivot de la seconde équation.}
		
		\medskip
		\begin{tabular}{m{2cm}m{1cm}m{5cm}}
			$\begin{array}{l} 
			\\ 
			L_2-L_1 \rightarrow L_2\\
			\end{array}$
			&& $\color{orange}\left\{\begin{array}{rcrcl} x & - & \frac{1}{2}y & = & 6 \\  &  & 2y + \frac{1}{2}y & = & 1-6 \end{array}\right.$ \\ 
		\end{tabular}
		
		\medskip
		\begin{tabular}{m{2cm}m{1cm}m{5cm}}
			$\begin{array}{l} 
			\\ 
			\\
			\end{array}$
			&& $\left\{\begin{array}{rcrcl} x & - & \frac{1}{2}y & = & 6 \\  &  & \frac{5}{2}y & = & -5 \end{array}\right.$ \\ 
		\end{tabular}
		
		\medskip
		\begin{tabular}{m{2cm}m{1cm}m{5cm}}
			$\begin{array}{l} 
			\\ 
			\frac{2}{5} L_2 \rightarrow L_2\\
			\end{array}$
			&& $\color{orange}\left\{\begin{array}{rcrcl} x & - & \frac{1}{2}y & = & 6 \\  &  & \frac{2}{5} \times \frac{5}{2}y & = & \frac{2}{5} \times (-5) \end{array}\right.$ \\ 
		\end{tabular}
		
		\medskip
		\begin{tabular}{m{2cm}m{1cm}m{5cm}}
			$\color{orange}\begin{array}{l} 
			\\ 
			\\
			\end{array}$
			&& $\left\{\begin{array}{rcrcl} x & - & \frac{1}{2}y & = & 6 \\  &  & y & = & -2 \end{array}\right.$ \\ 
		\end{tabular}
		
		\medskip
		\begin{tabular}{m{2cm}m{1cm}m{5cm}}
			$\begin{array}{l} 
			\frac{1}{2} L_2 +L_1 \rightarrow L_1\\ 
			\\
			\end{array}$
			&& $\color{orange}\left\{\begin{array}{rcrcl} x & - & \frac{1}{2}y+\frac{1}{2}y & = & 6+\frac{1}{2} \times(-2) \\  &  & y & = & -2 \end{array}\right.$ \\ 
		\end{tabular}
		
		\medskip
		\begin{tabular}{m{2cm}m{1cm}m{5cm}}
			$\color{orange}\begin{array}{l} 
			\\ 
			\\
			\end{array}$
			&& $\left\{\begin{array}{rcrcl} x &  &  & = & 5 \\  &  & y & = & -2 \end{array}\right.$ \\ 
		\end{tabular}
		
		L'ensemble des solutions du système est donc: $\mathscr{S}=\{ (5,-2) \}$.
		
		\item On souhaite résoudre le même système toujours avec des combinaisons linéaires mais sans suivre d'algorithme particulier.
		
		\medskip
		\begin{tabular}{m{2cm}m{1cm}m{5cm}}
			$\begin{array}{l} 
			L_1-2L_2 \rightarrow L_1\\ 
			\\
			\end{array}$
			&& $\left\{\begin{array}{rcrcl} & - & 10y & = & 20 \\ 2x & + & 4y & = & 2 \end{array}\right.$ \\ 
		\end{tabular}
		
		\medskip
		\begin{tabular}{m{2cm}m{1cm}m{5cm}}
			$\begin{array}{l} 
			-\frac{1}{10}L_1 \rightarrow L_1\\ 
			\\
			\end{array}$
			&& $\left\{\begin{array}{rcrcl} &  & y & = & -2 \\ 2x & + & 4y & = & 2 \end{array}\right.$ \\ 
		\end{tabular}
		
		\medskip
		\begin{tabular}{m{2cm}m{1cm}m{5cm}}
			$\begin{array}{l} 
			\\ 
			L_2-4L_1 \rightarrow L_2\\
			\end{array}$
			&& $\left\{\begin{array}{rcrcl} &  & y & = & -2 \\ 2x &  &  & = & 10 \end{array}\right.$ \\ 
		\end{tabular}
		
		\medskip
		\begin{tabular}{m{2cm}m{1cm}m{5cm}}
			$\begin{array}{l} 
			\\ 
			\frac{1}{2}L_2 \rightarrow L_2\\
			\end{array}$
			&& $\left\{\begin{array}{rcrcl} &  & y & = & -2 \\ x &  &  & = & 5 \end{array}\right.$ \\ 
		\end{tabular}		
	\end{enumerate}	
\end{exemples}

\begin{exercice}
	Résolvez les systèmes: \[ (S_1):\left\{\begin{array}{l} 3x+2y=2\\ x +y=1 \end{array}\right.,\ (S_2):\left\{\begin{array}{l} -x+3y=19\\ 4x-y = 1 \end{array}\right.,\ (S_3):\left\{\begin{array}{l} 5x+2y=12\\ -3x+4y =-2 \end{array}\right. \]
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\objectif{Résolvons le système $(S_1)$.}
	
	Le système $(S_1)$ équivaut successivement à:
	
	\medskip
	\begin{tabular}{m{2cm}m{1cm}m{5cm}}
		$\color{orange}\begin{array}{l} \frac{1}{3}L_1 \rightarrow L_1\\ 
		\\
		\end{array}$
	&& $\left\{\begin{array}{rcrcl} x & + & \frac{2}{3}y & = & \frac{2}{3} \\ x & + & y & = & 1 \end{array}\right.$ \\ 
	\end{tabular}
	
	{\color{orange}Nous avons utilisé la propriété $(i)$ de la proposition ci-dessus.}
	
	\medskip
	\begin{tabular}{m{2cm}m{1cm}m{5cm}}
		$\color{orange}\begin{array}{l} \\ L_2-L_1 \rightarrow L_2 \end{array}$
		&& $\left\{\begin{array}{rcrcl} x & + & \frac{2}{3}y & = & \frac{2}{3} \\  & & \frac{1}{3}  y & = & \frac{1}{3} \end{array}\right.$ \\
	\end{tabular}
	
	{\color{orange}Nous avons utilisé la propriété $(ii)$ de la proposition ci-dessus.}
		
	\medskip
	\begin{tabular}{m{2cm}m{1cm}m{5cm}}
		$\color{orange}\begin{array}{l}  \\ 3L_2 \rightarrow L_2 \end{array}$
		&& $\left\{\begin{array}{rcrcl} x & + & \frac{2}{3}y & = & \frac{2}{3} \\  & &  y & = & 1 \end{array}\right.$ \\ 
	\end{tabular}
	
	{\color{orange}Nous avons utilisé la propriété $(i)$ de la proposition ci-dessus.}
	
	\medskip
	\begin{tabular}{m{2cm}m{1cm}m{5cm}}
		$\color{orange}\begin{array}{l} L_1- \frac{2}{3}L_1 \rightarrow L_1 \\  \end{array}$
		&& $\left\{\begin{array}{rcrcl} x &  & & = & 0 \\ & & y & = & 1 \end{array}\right. $
	\end{tabular}
		
	{\color{orange}Nous avons utilisé les propriétés $(i)$ et $(ii)$ de la proposition ci-dessus combinées.}
	
	\begin{conclusion}
		
		L'ensemble des solutions de $(S_1)$ est donc: $\mathscr{S}=\{ (0,1) \}$.
		
	\end{conclusion}	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Exercices.}

\begin{exercice}%Exercice 110 et 111 page 206 du manuel Déclic.
	Résolvez les systèmes par substitution.
	\begin{tasks}(2)
		\task $\left\{ \begin{array}{ccccl} x&-&3y&=&8 \\ 2x&+&5y&=&5 \end{array} \right.$
		\task $\left\{ \begin{array}{ccccl} 3x&+&4y&=&10 \\ 5x&+&y&=&-6 \end{array} \right.$
		\task $\left\{ \begin{array}{ccccl} 8x&+&y&=&111 \\ 14x&-&9y&=&33 \end{array} \right.$
		\task $\left\{ \begin{array}{ccccl} 0,2x&+&0,7y&=&0,5 \\ x&+&2y&=&1,6 \end{array} \right.$
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}
		\task  \objectif{Résolvons le système.}
		
		\begin{align*}
			& \left\{ \begin{array}{lc} x-3y=8 & {\color{blue}(1)} \\ 2x+5y=5 & {\color{blue}(2)} \end{array} \right.
		\end{align*}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item 
			
			\begin{align*}
				 {\color{blue}(1)} &\Leftrightarrow x-3y {\color{orange}+3y} = 8 {\color{orange}+3y}\\
				 &\Leftrightarrow x=8+3y
			\end{align*}
			
			\item En substituant dans $\color{blue}(2)$:
			
			\begin{align*}
				2 {\color{orange}(8+3y)}+5y=5 &\Leftrightarrow 2 \times 8 + 2 \times 3y +5y=5\\
				&\Leftrightarrow 16+6y+5y=5\\
				&\Leftrightarrow 11y+16=5\\
				&\leftrightarrow 11y+16 {\color{orange}-16} = 5 {\color{orange}-16}\\
				&\Leftrightarrow 11y = -11\\
				&\Leftrightarrow \frac{11y}{\color{orange}11} = \frac{-11}{\color{orange}11}\\
				&\Leftrightarrow y =-1 
			\end{align*}
			
			\item En remplaçant dans $\color{blue}(1)$, $y$ par la valeur numérique trouvée:
			
			\begin{align*}
				x-3{\color{orange}(-1)}=8 &\Leftrightarrow x+3=8\\
				&\Leftrightarrow x+3 {\color{orange}-3} =8 {\color{orange}-3}\\
				&\Leftrightarrow x =5
			\end{align*}
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions du système est  $\mathscr{S} = \left\{ (5;-1) \right\}$.
			
		\end{conclusion}
		\task Une unique solution: $(-2;4)$.
		\task $(12;15)$.
		\task $\left( \frac{2}{5}; \frac{3}{5} \right)$.		
	\end{tasks}	
\end{exercicecorrection}


\begin{exercice}%Exercice 112 page 206 du manuel Déclic.
	Résolvez les systèmes en utilisant des combinaisons linéaires.
	\begin{tasks}(2)
		\task $\left\{ \begin{array}{ccccl} 3x&+&5y&=&31 \\ 5x&+&4y&=&43 \end{array} \right.$
		\task $\left\{ \begin{array}{ccccl} 8x&-&5y&=&-6 \\ 4x&+&2y&=&24 \end{array} \right.$
		\task $\left\{ \begin{array}{ccccl} 7x&+&4y&=&1 \\ 3x&+&5y&=&7 \end{array} \right.$
		\task $\left\{ \begin{array}{ccccl} -3x&+&4y&=&56 \\ 2x&+&4y&=&36 \end{array} \right.$
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{tasks}
		\task $(7;2)$.		
		\task \objectif{Résolvons le système proposé.}
		
		$\begin{array}{l}
		\left\{
		\begin{array}{lll}
		8x & -5y &= -6\\
		4x & +2y &=24 
		\end{array}
		\right.
		\\
		\\
		\left\{\begin{array}{lllr}
		8x & -5y &= -6 &\\
		8x & +4y &= 48 & L_2\leftarrow 2L_2
		\end{array}
		\right.
		\\
		\\
		\left\{\begin{array}{lllr}
		8x & -5y &= -6 &\\
		& 9y &= 54 & L_2\leftarrow L_2-L_1
		\end{array}
		\right.
		\\
		\\
		\left\{\begin{array}{lllr}
		8x & -5y &= -6 &\\
		& y &= 6 & L_2\leftarrow \frac{1}{9}L_2
		\end{array}
		\right.
		\\
		\\
		\left\{\begin{array}{lllr}
		8x & &= 24 & L_1\leftarrow L_1+5L_2 \\
		& y &= 6 & 
		\end{array}
		\right.
		\\
		\\
		\left\{\begin{array}{lllr}
		x & &= 3 & L_1\leftarrow \frac{1}{8}L_2 \\
		& y &= -6 & 
		\end{array}
		\right.
		\end{array}$
		
		\begin{conclusion}
			
			Le système admet une unique solution $\left( 3; -6 \right)$.
			
		\end{conclusion}
		\task $(-1;2)$.
		
		\task $(-4;11)$.
	\end{tasks}
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}%	Exercice 114 page 206 du manuel Déclic.
	Dans chacun des cas suivants, calculez les nombres réels $a$ et $b$ afin que le couple donné soit solution du système.
	\begin{tasks}
		\task $\left\{ \begin{array}{ccccl} 2x&-&3y&=&13 \\ 5x&+&by&=&-14 \end{array} \right.$ a pour solution $(2,a)$.
		\task $\left\{ \begin{array}{ccccl} ax&+&2y&=&1 \\ 3x&+&by&=&-1 \end{array} \right.$ a pour solution $(5,-2)$.
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{tasks}(2)
		\task $a=-3$ et $b=8$.
		\task $a=1$ et $b=8$.
	\end{tasks}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}%Exercice 115 page 206 du manuel Déclic.
	La droite $d$ passe par les points: $M(-2;6)$ et $N(2;18)$.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Pourquoi $(MN)$ admet-elle une équation réduite de la forme $y=mx+p$?
		\item Justifiez qu'on a le système:
		$\left\{ \begin{array}{ccccl} -2m&+&p&=&6 \\ 2m&+&p&=&18 \end{array} \right.$.
		\item 
		\begin{enumerate}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Résolvez le système.
			\item Le point $P(-10,-18)$ est-il sur $d$? Justifier.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{enumerate}
		\item Car $M$ et $N$ ont des abscisses distinctes.		
		\item La première équation signifie que $M$ appartient à $d$ et la seconde signifie que $N$ appartient $d$.		
		\item 		
		\begin{enumerate}
			\item $m=3$ et $p=12$.	
			\item $m \times (-10)+p= 3 \times (-10) + 12 =-18$ donc $P \in d$.			
		\end{enumerate}	
	\end{enumerate}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Exercices 111 à 123 page 197 du manuel Indice: résolution de systèmes.	
\end{exercice}





\begin{exercice}
	\emph{Problème longtemps: le vigneron (1900)}.
	
	Un vigneron qui venait d'acheter un pré disait: \og Si je vends mon vin $160\ \mathrm{F}$ la pièce, j'aurai de quoi payer mon pré et il me restera $800\ \mathrm{F}$; si je le vends $140\ \mathrm{F}$ comme on me le propose, il me manquera $300\ \mathrm{F}$.\fg{}
	
	On demande le nombre de pièces de vin et le prix du pré.
\end{exercice}

\begin{exercice}

	\begin{tabular}{m{4.5cm}m{6.5cm}}
	
	Dans un repère orthonormé $(O,I,J)$ on donne les points $A(6;0)$, et $M(2;0)$.
	
	$OABC$ est un carré.
	
	$OM=CN$ et $OMDN$ est un rectangle.
	
	Les droites $(BD)$ et $(MN)$ se coupent en $H$.
	
	Le but de l'exercice est de démontrer que le triangle $BHM$ est rectangle en $H$.
	
	&
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
		\def\xY{-1};
		\def\yY{-1};
		\def\xZ{7};
		\def\yZ{7};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
		\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
		\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
		\foreach \x in { 6}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \x};
		\foreach \y in {}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \y};
		\def\xM{2};
			\coordinate (O) at (0,0);
			\coordinate (M) at (\xM,0);
			\coordinate (N) at (0,{6-\xM});
			\coordinate (A) at (6,0);
			\coordinate (B) at (6,6);
			\coordinate (C) at (0,6);
			\coordinate (D) at (\xM,{6-\xM});
			\coordinate (I) at (1,0);
			\coordinate (J) at (0,1);
			\draw (O)node[below left]{$O$};
			\draw (M)node[below left]{$M$};
			\draw (N)node[left]{$N$};
			\draw (A)node[above right]{$A$};
			\draw (B)node[above]{$B$};
			\draw (C)node[above left]{$C$};
			\draw (D)node[above]{$D$};
			\draw (I)node[below]{$I$};
			\draw (J)node[left]{$J$};
			\draw[blue, thick](O)--(A)--(B)--(C)--(O);
			\draw[blue, thick,dashed](M)--(D)--(N);
			\draw[green, thick](M)--(B);
		\draw[red, thick][samples=100,domain=-1:2.3] plot(\x,{((\xM-6)/\xM )*\x+6-\xM});
		\def\m{\xM/(6-\xM)};
		\draw[green, thick][samples=100,domain=-1:7] plot(\x,{\m*\x+6-6*\m});
			\coordinate (H) at ({(-\xM+6*\m)/(\m-(\xM-6)/\xM)},{\m *(-\xM+6*\m)/(\m-(\xM-6)/\xM)+6-6*\m});
			\draw (H)node[right]{$H$};
	\end{tikzpicture}
	
	\\ \end{tabular}

	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Quelles sont les coordonnées des points $B$, $N$ et $D$?
		\item 
			\begin{enumerate}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Quelles sont les équations des droites $(MN)$ et $(BD)$?
			\item Déduisez-en les coordonnées de $H$.
			\end{enumerate}
		\item Démontrez que le triangle $MBH$ est rectangle.
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Soit $MNP$ un triangle quelconque. On se place dans le repère $(M,N,P)$ et on note $U$ le milieu de $[MP]$.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Placez le point $K$, symétrique du point $M$ par rapport au point $N$. Quelles sont ses coordonnées?
		\item Tracez la droite $(d)$ d'équation $y=-\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}$.
		\item Résolvez le système d'équations $\left\{ \begin{array}{ccl} y&=& -\frac{1}{4}x+ \frac{1}{2} \\ y&=& 1-x \end{array} \right.$
		\item Interprétez la solution de ce système.
		\item On note $L \left( \frac{2}{3}; \frac{1}{3 }\right)$. Montrez que la droite $(ML)$ coupe le segment $[PK]$ en son milieu.
		\item Pourquoi ce résultat était-il prévisible?
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}%Déclic page 208 exercice 125
	Dans un repère orthonormé $(O,I,J)$, on donne les points $A(-4;3)$, $B(8;1)$ et $C(1;4)$.
	
	\textbf{Partie A: médiatrices d'un triangle.}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item On note $m_1$ la médiatrice de $[BC]$. Soit $M(x,y)$ un point quelconque sur $m_1$. On rappelle que la médiatrice est constituée des points équidistants des extrémités de ce segment.
		\begin{enumerate}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Exprimer $BM^2$ et $CM^2$ en fonction de $x$ et $y$.
			\item Montrez qu'un point $M(x,y)$ appartient à la médiatrice $m_1$ de $[BC]$ si et seulement si: $7x-3y=24$.
			\item Montrez de la même manière qu'une équation cartésienne de la médiatrice $m_2$ de $[AC]$ est: $5x+y=-4$.
		\end{enumerate}
		\item 
		\begin{enumerate}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Résolvez le système: $\left\{ \begin{array}{ccccl} 7x&-&3y&=&24 \\ 5x&+&y&=&-4 \end{array} \right.$
			\item Déduisez-e, les coordonnées du centre $E$ du cercle circonscrit au triangle $ABC$.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
	\textbf{Partie B: hauteurs d'un triangle.}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Soit $h_1$ la hauteur issue de $A$ du triangle $ABC$.
		\begin{enumerate}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Démontrez que $m_1$ et $h_1$ sont parallèles.
			\item Déterminez une équation cartésienne de $h_1$.
		\end{enumerate}
		\item Soit $h_2$ la hauteur issue de $B$ du triangle $ABC$. Déterminez une équation cartésienne de $h_2$.
		\item Déterminez les coordonnées de l'orthocentre $H$ du triangle $ABC$.
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}%Déclic page 209 exerecice 130.
	Un terrain a pour longueur $50$ mètres et pour largeur $30$ mètres. Le propriétaire augmente la largeur de $x$ mètres et la longueur de $y$ mètres. Il obtient alors un terrain carré dont le périmètre est égale à $500$ mètres. Calculez $x$ et $y$.
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Soient $A(2;2)$, $B(4;4)$, $C(7;2)$ et $D(4;-2)$.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Montrez que la droite $d_1$ passant par $A$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{BC}$ et la droite $d_2$ passant par $D$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{AC}$ sont sécantes en un point $P$.
		\item Calculez les coordonnées du point $P$.
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Un magasin vend des coques de téléphone et des stylos. En septembre la recette pour la vente de $350$ coques et $700$ stylos a été de $\np{4900}\ \text{\euro}$. Le bénéfice du vendeur est de $40\ \%$ du prix pour chaque coque et $60\ \%$ du prix pour chaque stylo. Le vendeur a réalisé en septembre un bénéfice de $\np{2380}\ \text{\euro}$. À l'aide d'un système déterminez le prix d'une coque de téléphone et le prix d'un stylo.
\end{exercice}

\begin{exercice}
	À la boulangerie, Tom achète deux croissants et quatre pains au chocolat pour $6,90\ \text{\euro}$. Dans la même boulangerie, Rose paie $4,10\ \text{\euro}$ pour un pain au chocolat et trois croissants. Gaëlle veut acheter neuf croissants et sept pains au chocolat dans cette boulangerie. Combien va-t-elle devoir payer?
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Exercices 130 à 150 page 198 à 200 du manuel Indice: position relative de droites.	
\end{exercice}

\begin{exercice}%Exercices \href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=65236&ordre=1}{36} et \href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=65237&ordre=1}{37} page 235 (Sesamath). Déterminer la position relative de deux droites à partir de leurs équations.
\end{exercice}	

\begin{exercice}
	Exercice \href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=65238&ordre=1}{38} page 235 (Sesamath). Déterminer la position relative de deux droites à partir des coordonnées de deux points de l'une et de l'équation de l'autre.
\end{exercice}	

\begin{exercice}
	Exercice \href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=65243&ordre=1}{43} page 236 (Sesamath). Parallélisme et mise en équation.
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Exercices \href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=65250&ordre=1}{50} et \href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=65251&ordre=1}{51} page 236 (Sesamath). Détermination du nombre de solutions d'un système puis résolution.
\end{exercice}


\begin{exercice}	
	Exercices 124 à 129 page 198 du manuel Indice: des problèmes variés.	
\end{exercice}

\subsubsection{Partition du plan avec des droites.}

\begin{lecon}
	On parle parfois de \emph{régionnement affines du plan.}
\end{lecon}

\begin{exercice}%Déclic page 209 exerecice 131.
	\textbf{Partie A.} On considère la droite $d:\ 2x+3y=11$.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Tracez la droite $d$ dans un repère.
		\item On considère l'ensemble $E$ des points $M(x,y)$ tels que $2x+3y<11$.
		\begin{enumerate}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Montrer que l'origine du repère est dans $E$.
			\item Parmi les points suivants, quels sont ceux qui appartiennent à l'ensemble $E$? Justifiez par un calcul. $A(2;1)$, $B(1;4)$, $C(5;0)$ et $D(4;1)$.
			\item Graphiquement, où sont situés les points qui appartiennent à l'ensemble $E$?
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
	\textbf{Partie B.}Ci-dessous on a représenté deux droites: $d_1:\ x-5y+13=0$ et $d_2:\ 2x-3y+1=0$.
	
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-4};
	\def\xcoinhautdroit{6};
	\def\ycoinbasgauche{-3};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick,black] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick,black] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	%\draw (O) node[below left] {$O$};
	%\draw (O) node {$\bullet$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	%\draw (I) node[below left] {$I$};
	%\draw (I) node {$\bullet$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	%\draw (J) node[below left] {$J$};
	%\draw (J) node {$\bullet$};
	%Graduations
	\foreach \x in {1} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-4:6] plot({\x},{1/5*\x+13/5});
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=-4:5.5] plot({\x},{2/3*\x+1/3});
	\draw[orange] (-2.5,1.25) node {$d_1$};
	\draw[blue] (-3.5,-1.5) node {$d_2$};
	\fill[color=orange , opacity=0.25]
	plot [domain=-4:6] (\x,{1/5*\x+13/5})
	-- (6, 4)
	-- (-4,4) 
	-- cycle;
	\fill[color=blue , opacity=0.25]
	plot [domain=-4:5.5] (\x,{2/3*\x+1/3})
	--(6,4) 
	-- (6, -3)
	-- (-4,-3) 
	-- cycle;
	\end{tikzpicture}
	
	Décrivez l'ensemble non coloré par un système de deux inéquations à deux inconnues $x$ et $y$. (Une droite en pointillés correspond à une inégalité stricte.)
\end{exercice}

\begin{exercice}%Déclic page 209 exerecice 132.	
	On considère l'ensemble $F$ des ponts $M(x,y)$ du plan vérifiant: $\left\{\begin{array}{l} x>0 \\ x-y-1\leqslant 0 \\ 3x-5y+4>0 \end{array} \right.$.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Les points $A(1;2)$ et $B(3;2)$ appartiennent-ils à $F$?
		\item 
		\begin{enumerate}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Tracez les droites $d_1:\ x=0$, $d_2:\ x-y-1=0$ et $d_3:\ 3x-5y+4=0$.
			\item Hachurez les parties du plan qui ne vérifient pas les inéquations de l'ensemble $F$.
			\item Décrivez l'ensemble $F$.
		\end{enumerate}
		\item Combien de points à coordonnées entières sont dans l'ensemble $F$? Lesquels?
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\end{document}

\section{Modèles.}

\setlength{\parskip}{0pt}
\setlength{\itemsep}{0pt}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick,black] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick,black] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\draw (O) node {$\bullet$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\draw (I) node {$\bullet$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	\draw (J) node {$\bullet$};
	%Graduations
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Rectangle en coin.}

\begin{tikzpicture}
	\def\xangledroit{0};
	\def\yangledroit{0};
	\def\longueurangledroit{0.5};
	\draw[fill=green!30,rotate around={{20}:({\xangledroit},{\yangledroit})}] ({\xangledroit},{\yangledroit}) rectangle ({\xangledroit+\longueurangledroit},{\yangledroit+\longueurangledroit});
\end{tikzpicture}

ou bien avec matrice rotation plus translation ici 45 degres et translation de vecteur (1,1).
\begin{tikzpicture}
		\def\code{0.2};
		\draw [cm={cos(-45) ,-sin(-45) ,sin(-45) ,cos(-45) ,(1,1)}]  ({-\code},{0}) -- ({0-\code},{0+\code}) -- (0,{0+\code});
\end{tikzpicture}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}

\subsection{Engrenages.}
\newcommand{\roue}[4]{% #1 = rayon, #2 = nombre de dents, #3 = X centre, #4 = Y centre
\foreach \i in {1,2,...,#2}
{
\pgfmathparse{360*(\i-1)/#2}\let\angle\pgfmathresult

\begin{scope}[shift={(#3,#4)}]
\pgfmathparse{#1*cos(90+360/(#2*4))}\let\Ax\pgfmathresult 
\pgfmathparse{#1*sin(90+360/(#2*4))}\let\Ay\pgfmathresult

\pgfmathparse{#1*cos(90-360/(#2*4))}\let\Bx\pgfmathresult
\pgfmathparse{#1*sin(90-360/(#2*4))}\let\By\pgfmathresult

\pgfmathparse{4*#1*cos(90+360/(#2*8))/3}\let\Cx\pgfmathresult
\pgfmathparse{4*#1*sin(90+360/(#2*8))/3}\let\Cy\pgfmathresult

\pgfmathparse{4*#1*cos(90-360/(#2*8))/3}\let\Dx\pgfmathresult
\pgfmathparse{4*#1*sin(90-360/(#2*8))/3}\let\Dy\pgfmathresult

\pgfmathparse{90-360/(#2*4)}\let\a\pgfmathresult
\pgfmathparse{90-1.5*360/(#2*2)}\let\b\pgfmathresult

\draw[rotate=\angle] (\Ax,\Ay) to[bend left=15] (\Cx,\Cy) -- (\Dx,\Dy) to[bend left=15] (\Bx,\By) arc (\a:\b:#1cm); 
\end{scope}
}
}

\begin{tikzpicture}
\roue{3}{20}{0}{0}
\roue{3}{16}{7.4}{2}
\end{tikzpicture}