%\documentclass{book} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{book} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hmargin={0.75cm,1cm},vmargin={0.5cm,1.25cm},twoside}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 
	\settasks{
		% the next two should be set to the same value so labels are aligned to the
		% left
		%label-width = 1em ,
		%item-indent = 1em ,
		%before-skip = 0pt%-\parskip , % undo paragraph skip
		%after-skip =0pt% -\parskip , % undo paragraph skip
		after-item-skip = -2pt%-\parskip % undo paragraph skip
	}

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown} \footnotesize}{}

\newenvironment{sujet}{}{}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \noindent Exemples.\vspace{-0.1cm}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\noindent {\color{BlueViolet}Remarques.\vspace{-0.1cm}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{Gray}}{}


%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} {\noindent\color{Black}EXERCICE \theExercice.} \addtocounter{Exercice}{1} \color{Black}}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\noindent\color{Brown}Exercice \theExercicecorrection. \footnotesize}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\textbf{\color{Orange}Définition \theDefinition.} \addtocounter{Definition}{1} \color{Orange} }{}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}{\textbf{\color{purple}Théorème \theTheoreme.}\addtocounter{Theoreme}{1}\color{purple}}{}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}{\textbf{\color{purple}Proposition \theProposition.} \addtocounter{Proposition}{1}\color{purple}}{}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\noindent{\textbf{\color{PineGreen} Démonstration}.} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{PineGreen}}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%Un bug apparu en faisant la mise à jour de pi: les listes tasks ne se colorie plus et restent noir malgrer les commande. La solution est ce truc:
\ExplSyntaxOn\makeatletter
%patch needed to get a around a problem in the l3-drivers
\AtBeginDocument{
	\cs_set_protected_nopar:Npn \color_ensure_current:
	{\set@color}
}
\ExplSyntaxOff\makeatother 

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{}% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\footnotesize \thepage ]{\footnotesize \thepage }
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour abrege
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}\exclure{culturegenerale}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} %\exclure{exercicecorrection}

%Pour les exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour les correction d'exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques}  \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
	%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 
	
\begin{document}

\small 

\subsection*{Équation produit-nul.}

\begin{lecon}
	Sachant résoudre les équations du premier degré, nous allons étendre cette compétence à des équations plus complexes nous essaieront d'écrire les équations sous forme d'équations produit.
\end{lecon}

\subsubsection{Généralités sur les équations.}

\begin{lecon}	
	Une \emph{\color{purple}équation} est une égalité dans laquelle se trouvent des lettres (des \emph{\color{purple}inconnues} ou \emph{\color{purple}variables}) qui représentent des nombres (expression littérale).
	
	Une équation est soit vraie, soit fausse, suivant les valeurs choisies pour remplacer les lettres.
	
	Résoudre une équation c'est trouver toutes les valeurs qui rendent l'équation vraie.	
\end{lecon}

\begin{exemples}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $3x^2+2$ n'est pas une équation, c'est une expression littérale.
		\item $x=2$ est une équation (qui est dite résolue en $x$).
		\item $y=2x$ est une équation avec deux inconnues.
		\item $3x-12=0$ est une équation de degré $1$ (car l'inconnue est à la puissance $1$).	
		\item $x^2=16$ est une équation de degré $2$.		
	\end{enumerate}	
\end{exemples}

\begin{lecon}	
	Résoudre une équation c'est trouver toutes les valeurs qui rendent l'équation vraie. Une valeur qui rend une équation vraie est appelée une  \emph{\color{purple}solution} de l'équation.
	
	Il n'y a pas une unique méthode de résolution des équations. Il y a presque autant de méthodes que d'équations.
	
	Nous apprendrons certaines de ces méthodes.
	
	Pour simplifier la résolution et pour identifier à quel type d'équation nous avons à faire nous modifierons souvent l'équation de façon à obtenir une égalité à $0$.
	
	Nous supposons la méthode de résolution des équations du premier degré.
\end{lecon}
\subsubsection{Modifications autorisées sur les équations.}

\begin{theoreme}	
	On ne modifie pas les solutions d'une équation en additionnant (respectivement en soustrayant, respectivement en multipliant, respectivement en divisant) par un même nombre non nul des deux côtés de l'égalité.	
\end{theoreme}

\begin{preuve}{}
	
	Par exemple pour l'addition. En logique, pour toutes quantités $a$ et $b$, et pour toute expression $F(x)$, si $a = b$ alors $F(a) = F(b)$.
	
	En particulier lorsque $F(x)=x+c$, nous obtenons $F(a)=F(b)$ et donc $a+c=b+c$.
	
	La réciproque n'est pas évidente.
\end{preuve}

\begin{remarques}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Attention lorsque vous divisez de vérifier que vous ne divisez pas par zéro.		
		\item On ne peut multiplier par zéro sans modifier les résultats de l'équation. Le pouvoir absorbant du zéro fait disparaître l'information contenue dans l'équation.		
		\item Ce résultat constitue une boîte à outils. Il indique des transformations autorisées sur une équation pour en trouver les solutions.		
		\item Il faut beaucoup s'entraîner pour savoir quelles transformations utiliser pour résoudre telle ou telle équation.		
		\item Il est bien sûr toujours possible d'ajouter ou soustraire $0$ mais c'est sans intérêt.		
		\item Deux équations qui ont le même ensemble de solutions sont dite \emph{\color{purple}équivalents}.		
	\end{enumerate}	
\end{remarques}

\begin{exemples}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $x^3+{\color{WildStrawberry}x^2-7}=2x^3+{\color{WildStrawberry}x^2-7}$ et $x^3=2x^3$ ont le même ensemble de solutions.
	\end{enumerate}	
\end{exemples}

\subsubsection{Produit nul de réels.}

\begin{proposition}
	Soient $a$ et $b$ deux nombres réels. $ ab=0$ si et seulement si $(a=0 \text{ ou } b=0)$.
\end{proposition}

\begin{preuve}
	Raisonnons par l'absurde: supposons que $ab=0$ et que $a\ne 0$ et $b\ne 0$. Puisque $b\ne 0$: $ab=0 \Leftrightarrow \frac{ab}{b}=\frac{0}{b} \Leftrightarrow a=0$ ce qui contredit le fait que $a\ne0$.
\end{preuve}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Si $3x=0$ alors nécessairement $x=0$.
		\item Si $(x+1)a=0$ alors forcément $x+1=0$ ou $a=0$.
		\item \objectif{Résolvons l'équation $(E):\quad 2(x+2)(-3x+4)=0$.}
		
		$(E)$ équivaut à $x+2=0$ ou $-3x+4=0$.
		
		Or 
		\begin{align*}
		x+2 = 0 & \Leftrightarrow x+2-2=0-2\\
		&\Leftrightarrow x=-2
		\end{align*}		
		et
		\begin{align*}
		-3x+4=0 &\Leftrightarrow -3x+4-4=0-4\\
		&\Leftrightarrow -3x=-4\\
		&\Leftrightarrow \frac{-3x}{-3}=\frac{-4}{-3}\\
		&\Leftrightarrow x=\frac{4}{3}
		\end{align*}		
		donc $(E)$ équivaut à $x=-2$ ou $x=\frac{4}{3}$.
		
		\begin{conclusion}			
			L'ensemble des solutions de $(E)$ est $\left\{ -2 ; \frac{4}{3} \right\}$.		
		\end{conclusion}
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Il est parfois intéressant d'utiliser la négation de cette phrase: $a\cdot b\ne 0$ équivaut à \[ a\ne 0 \quad \text{et} \quad b\ne 0 \]	
		\begin{notabene}	
		Faire remarquer le lien avec les résultats trouvés avec le contraire d'une réunion ou d'une intersection en probabilité.	
		\end{notabene}	
		\item Ce résultat ne s'applique qu'aux nombres. Il n'est, par exemple, pas vrai pour des fonctions.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\subsubsection{Équation produit-nul}

\begin{lecon}
	Nous appellerons \emph{\color{purple}équation produit-nul} une équation dont l'un des membres est un produit et l'autre $0$.
\end{lecon}

\begin{exercice}
	Identifiez (sans transformer les expressions) les équations produit nul.	
	\begin{tasks}(3)
		\task $(x-1)(2x+3)=0$
		\task $x^2(x+3)=0$
		\task $4x^2+5x=0$
		\task $(2x+3)(x+6)=1$
		\task $(2x-5)(x+1)=0$
		\task $(2x-5)(x+4)-1=0$
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	3, 4 et 6 ne sont pas des équations produits car	
	\begin{enumerate}[*]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $4x^2+5x$ est une somme.		
		\item $(2x+3)(x+6)=1$ n'est pas égale à $0$.		
		\item $(2x-5)(x+4)-1$ est une différence.		
	\end{enumerate}
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Factoriser pour se ramener à des équations produit nul.}

\begin{exercice}
	Écrivez les équations suivantes sous forme d'une équation produit puis résolvez-les.
	\begin{tasks}(2)
		\task $E_1:\quad 2x^2=3x$.
		\task $E_2:\quad 12x=6x^2+6$.
		\task $E_3:\quad x^2=5$.
		\task $E_4:\quad x^2=y^2$.
		\task $E_5:\quad (2x+3)^2=(x-1)^2$.
		\task $E_6:\quad (3x+1)(x-5)=5(5-x)$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{tasks}
		\task \objectif{Écrivons l'équation sous forme d'équation produit.}
		
		{\color{orange}Nous nous ramenons à une égalité à $0$.}		
		\begin{align*}
		(E_1) &\Leftrightarrow 2x^2{\color{orange}-3x}=3x{\color{orange}-3x}\\
		&\Leftrightarrow 2x^2-3x=0\\
		\intertext{\color{orange}Il faut à présent factoriser.}
		(E_1) &\Leftrightarrow x(2x-3)=0
		\end{align*}		
		\begin{conclusion}		
		$(E_1) \Leftrightarrow x(2x-3)=0$		
		\end{conclusion}
			
		\begin{align*}
			x(2x-3)=0 &\Leftrightarrow x=0 \quad \text{ou} \quad 2x-3=0\\
			&\Leftrightarrow x=0 \quad \text{ou} \quad 2x=3\\
			&\Leftrightarrow x=0 \quad \text{ou} \quad x=\frac{2}{3}
		\end{align*}		
		\begin{conclusion}			
			L'ensemble des solutions de $E_1$ est $\mathscr{S}= \left\{ 0 ; \frac{2}{3} \right\}$.			
		\end{conclusion}
		\task 		
		\begin{align*}
			(E_2) &\Leftrightarrow 12x=6x^2+6\\
			&\Leftrightarrow 12x {\color{orange}-12x} =6x^2+6  {\color{orange}-12x}\\
			&\Leftrightarrow 0 =6x^2 -12x+6  \\
			&\Leftrightarrow 0 ={\color{WildStrawberry}6}x^2 -{\color{WildStrawberry}6} \times 2 x+ {\color{WildStrawberry}6} \times 1  \\
			&\Leftrightarrow 0 ={\color{WildStrawberry}6} ( x^2 - 2 x+  1)  \\
			&\Leftrightarrow 0 = 6 ( x^2 - 2 \times x \times 1+  1^2)  \\
			&\Leftrightarrow 0 = 6 ( x - 1)^2 
		\end{align*}
		
		\begin{align*}
			6(x-1)^2=0 &\Leftrightarrow x-1=0 \quad \text{ou} \quad x-1=0\\
			&\Leftrightarrow x=1
		\end{align*}		
		\begin{conclusion}			
			L'ensemble des solutions de $E_2$ est $\mathscr{S}= \left\{ 1 \right\}$.			
		\end{conclusion}
		\task 		
		\begin{align*}
			(E_3) &\Leftrightarrow x^2=5\\
			&\Leftrightarrow x^2 {\color{WildStrawberry}-5} = 5 {\color{WildStrawberry}-5}\\
			&\Leftrightarrow x^2-5 =0\\
			&\Leftrightarrow x^2-\sqrt{5}^2 =0\\
			&\Leftrightarrow (x-\sqrt{5}) (x+\sqrt{5})=0
		\end{align*}
		{\color{orange}Nous avons ici une démonstration algébrique d'un résultat déjà connu $x^2=25$ admet deux solutions: $5$ et $-5$.}
		
		\begin{align*}
			(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})=0 &\Leftrightarrow x-\sqrt{5}=0 \quad \text{ou} \quad x+\sqrt{5}=0\\
			&\Leftrightarrow x=\sqrt{5} \quad \text{ou} \quad x=-\sqrt{5}
		\end{align*}		
		\begin{conclusion}			
			L'ensemble des solutions de $E_3$ est $\mathscr{S}= \left\{ \sqrt{5} ; -\sqrt{5} \right\}$.			
		\end{conclusion}
		\task 		
		\begin{align*}
			(E_4) &\Leftrightarrow x^2=y^2\\
			&\Leftrightarrow x^2 {\color{WildStrawberry}-y^2} =y^2 {\color{WildStrawberry}-y^2} \\
			&\Leftrightarrow x^2-y^2=0\\
			&\Leftrightarrow (x-y)(x+y)=0
		\end{align*}
					
		\begin{align*}
			(x-y)(x+y)=0 &\Leftrightarrow x=y \quad \text{ou} \quad x=-y
		\end{align*}		
		Nous verrons plus tard que l'ensemble des solutions (qui est formé de couples $(x,y)$) peut être interprété comme les coordonnées de points formant deux droites.		
		\task 		
		\begin{align*}
			(E_5) &\Leftrightarrow (2x+3)^2=(x-1)^2\\
			&\Leftrightarrow (2x+3)^2 {\color{WildStrawberry}-(x-1)^2} = (x-1)^2 {\color{WildStrawberry}-(x-1)^2}\\
			&\Leftrightarrow (2x+3)^2-(x-1)^2=0\\
			&\Leftrightarrow [(2x+3)-(x-1)][(2x+3)+(x-1)]=0\\
			&\Leftrightarrow (2x+3-x+1)(2x+3+x-1)=0 \\
			&\Leftrightarrow (x+4)(3x+2)=0
		\end{align*}
			
		\begin{align*}
			(x+4)(3x+2)=0 &\Leftrightarrow x+4=0 \quad \text{ou} \quad 3x+2=0\\
			&\Leftrightarrow x=-4 \quad \text{ou} \quad 3x=-2\\
			&\Leftrightarrow x=-4 \quad \text{ou} \quad x=-\frac{2}{3}
		\end{align*}		
		\begin{conclusion}			
			L'ensemble des solutions de $E_5$ est $\mathscr{S}= \left\{ -4 ; -\frac{2}{3} \right\}$.			
		\end{conclusion}		
		\task 		
		\begin{align*}
			(E_6) &\Leftrightarrow (3x+1)(x-5)=5(5-x)\\
			&\Leftrightarrow (3x+1)(x-5) {\color{WildStrawberry}-5(5-x)} = 5(5-x) {\color{WildStrawberry}-5(5-x)}\\
			&\Leftrightarrow (3x+1)(x-5)-5(5-x)=0 \\
			&\Leftrightarrow (3x+1){\color{WildStrawberry}(x-5)}+5{\color{WildStrawberry}(x-5)}=0 \\
			&\Leftrightarrow [(3x+1)+5]{\color{WildStrawberry}(x-5)}=0 \\
			&\Leftrightarrow [3x+6](x-5)=0 \\
			&\Leftrightarrow 3(x+2)(x-5)=0 \\
		\end{align*}
		
		\begin{align*}
			3(x+2)(x-5)=0 &\Leftrightarrow x+2=0 \quad \text{ou} \quad x-5=0\\
			&\Leftrightarrow x=-2 \quad \text{ou} \quad x=5
		\end{align*}		
		\begin{conclusion}			
			L'ensemble des solutions de $E_6$ est $\mathscr{S}= \left\{ -2 ; 5 \right\}$.			
		\end{conclusion}		
	\end{tasks}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Résolvez dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes.
	\begin{tasks}(3)
		\task $4x=0$.
		\task $x(x-1)=0$.
		\task $(x-2)(x-3)=0$.
		\task $(x+1)(x-4)=0$.
		\task $(2x-4) ( 3x+6)=0$.
		\task $(-3x+1)(2x+7)=0$.
	\end{tasks}
\end{exercice}


\subsubsection{Exercices.}

\begin{exercice}
	Résolvez les équations suivantes.	
	\begin{tasks}(2)
		\task $x(x-2)=0$.
		\task $(x-1)(x-3)=0$.
		\task $(x-4)(x-5)=0$.
		\task $(x-10)(x-20)=0$.
		\task $(x+1)(x+2)=0$.
		\task $(x+13)(x+24)=0$.
		\task $(x+3)(x+7)=0$.
		\task $(x+17)(x+26)=0$.
		\task $3(x-3)(x+2)=0$.
		\task $-2(x+1)(x-3)=0$.
		\task $12(x-3)(x+2)=0$.
		\task $200(x-1000)(x+3000)=0$.
		\task $(3x-1)(4x-5)=0$.
		\task $(7x-1)(6x-5)=0$.
		\task $(13x-7)(25x-17)=0$.
		\task $(2x-5)(3x-8)=0$.
		\task $(3x+2)(4x-6)=0$.
		\task $(-8x+1)(9x+3)=0$.
		\task $(13x+3)(4x-12)=0$
		\task $(13x+2)(2x-3)=0$.
		\task $(-2x-3)(4x-7)=0$.
		\task $(3x-6)(4x+1)=0$.
		\task $(x-13)(x+1,2)=0$.
		\task $x(3x-1)(-7x+1)=0$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{tasks}(3)
		\task $\{ 0; 2\}$.
		\task $\{ 1; 3\}$.
		\task $\{ 4; 5\}$.
		\task $\{ 10;20 \}$.
		\task $\{ -1; -2\}$.
		\task $\{ -13;-24 \}$.
		\task $\{ -3;-7 \}$.
		\task $\{ -17;-26 \}$.
		\task $\{ 3; -2\}$.
		\task $\{ -1; 3\}$.
		\task $\{ 3; -2\}$.
		\task $\{ 1000;-3000 \}$.
		\task $\left\{ \frac{1}{3}; \frac{5}{4} \right\}$.
		\task $\left\{ \frac{1}{7}; \frac{5}{6}\right\}$.
		\task $\left\{ \frac{7}{13};\frac{17}{25} \right\}$.
		\task $\left\{ \frac{5}{2};\frac{8}{3} \right\}$.
		\task $\left\{ -\frac{2}{3};\frac{3}{2} \right\}$.
		\task $\left\{ \frac{1}{8}; -\frac{1}{3} \right\}$.
		\task $\left\{ -\frac{3}{13};3 \right\}$.
		\task $\left\{ -\frac{2}{13};\frac{3}{2} \right\}$.
		\task $\left\{ -\frac{3}{2}; \frac{7}{4} \right\}$.
		\task $\left\{ 2; -\frac{1}{4} \right\}$.
		\task $\left\{ 13; -1,2 \right\}$.
		\task $\left\{ 0; \frac{1}{3}, \frac{1}{7} \right\}$.
	\end{tasks}
\end{exercicecorrection}
	
\begin{exercice}
	Résolvez les équations suivantes.	
	\begin{tasks}(2)
		\task $4x^2=3x$
		\task $(2x-1)(x+3)=0$
		\task $3x(x-1)=5(x-1)$
		\task $2x+3=x^2+3$
		\task $(x-2)^2=0$
		\task $(2x-1)(4-x)=0$
		\task $x+(x-2)=-1$
		\task $x(x-2)=-1$
		\task $(x+1)^2-16x^2=0$
		\task $3x^3+2x^2=0$
		\task $2x^3=x^2$
		\task $16x^2=24x$
		\task $x(x+4)=-4$
		\task $(x+1)^3-(x+1)^2=0$
		\task $4x^2-2x=6(2x-1)$
		\task $(x+2)^2-3x-6=0$
		\task $9x^2-4x=2x-1$
		\task $(2x+1)^2=4x^2-1$
		\task $4(x+1)^2=2(x+1)(2x-3)$
		\task $x^4-16=0$
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{tasks}
		\task $\mathcal{S}=\left\{ 0 ; \frac{3}{4}\right\}$.
		\task $\mathcal{S}=\left\{ \frac{1}{2} ; -3\right\}$.
		\task 
		\begin{align*}
			3x(x-1)=5(x-1) &\Leftrightarrow 3x(x-1)-5(x-1)=0\\
			&\Leftrightarrow (3x-5)(x-1)=0\\
			&\Leftrightarrow 3\left( x-\frac{5}{3}\right)(x-1)
		\end{align*}
		\begin{conclusion}
			$\mathcal{S}=\left\{ \frac{5}{3} ; 1\right\}$.
		\end{conclusion}
		\task $\mathcal{S}=\left\{ 0 ; 2 \right\}$.
		\task $\mathcal{S}=\left\{ 2 \right\}$.
		\task $\mathcal{S}=\left\{ \frac{1}{2} ; 4\right\}$.		
		\task \objectif{Résolvons l'équation proposée.}
		
		{\color{orange}L'équation proposée ne fait intervenir ni carré ni plus grande puissance de $x$. C'est une équation linéaire du premier degré. L'équation produit-nul n'est pas utile. La méthode consiste à isoler l'inconnue $x$.
		
		Avant d'enlever des parenthèses nous vérifions 
		\begin{enumerate}[\text{Étape }1]
			\item qu'il n'y a d'exposant s'appliquant aux parenthèses,
			\item que les parenthèses ne sont multiplié par rien ni à droite ni à gauche,
			\item qu'il n'y a pas de signe moins devant les parenthèses.
		\end{enumerate}
		C'est bien le cas ici.}
		
		\begin{align*}
			x+(x+2) =-1 &\Leftrightarrow x+x-2 = -1\\
			&\Leftrightarrow 2x-2 {\color{OliveGreen}+2} = -1 {\color{OliveGreen}+2}\\
			&\Leftrightarrow 2x=1\\
			&\Leftrightarrow \frac{2x}{\color{OliveGreen}2} = \frac{1}{\color{OliveGreen}2}\\
			&\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}
		\end{align*}		
		\begin{conclusion}			
			L'ensemble des solution de l'équation est $\mathscr{S}=\left\{ \frac{1}{2}\right\}$.		
		\end{conclusion}		
		\task \objectif{Résolvons l'équation proposée.}
		
		{\color{orange}On se ramène à une équation nulle:}		
		\begin{align*}
			x(x+2)=-1 &\Leftrightarrow x(x+2) {\color{OliveGreen}+1} = -1 {\color{OliveGreen}+1}\\
			&\Leftrightarrow x(x+2)+1=0\\
			\intertext{\color{orange}Nous essayons maintenant de faire un produit donc de factoriser mais il n'y a ni facteur communt ni identité remarquable en désespoir de cause développons:}
			x(x+2)=-1 &\Leftrightarrow {\color{OliveGreen}x} \times x +  {\color{OliveGreen}x} \times 2 +1 =0\\
			&\Leftrightarrow x^2+2x+1=0
			\intertext{\color{orange}On recommence nos tentatives de factorisation: recherche d'un facteur commun ça ne donne rien, par contre l'identité remarquable ...}
			x(x+2)=-1 &\leftrightarrow x^2+2 \times x \times 1 =1^2\\
			&\Leftrightarrow (x+1)^2=0\\
			&\Leftrightarrow x+1=0 \quad \text{ou} \quad x+1=0\\
			&\Leftrightarrow x+1=0\\
			&\Leftrightarrow x=-1
		\end{align*}		
		\begin{conclusion}			
			L'ensemble des solutions de l'équation est $\mathscr{S}=\left\{ 1 \right\}$.			
		\end{conclusion}		
		\task $\mathcal{S}=\left\{ \frac{1}{3} ; -\frac{1}{5} \right\}$.
		\task \objectif{Résolvons l'équation.}
		
		{\color{orange}L'équation est déjà une égalité à zéro. Il y a ici des facteurs communs.}		
		\begin{align*}
			3x^3+2x^2=0 &\Leftrightarrow {\color{orange}3\times x \times {\color{OliveGreen}x} \times {\color{OliveGreen}x} +2 \times {\color{OliveGreen}x} \times {\color{OliveGreen}x} =0}\\
			&\Leftrightarrow {\color{OliveGreen}x^2} (3x+2)=0\\
			&\Leftrightarrow x=0 \quad \text{ou} \quad x=0 \quad \text{ou} \quad 3x+2=0\\
			&\Leftrightarrow x=0 \quad \text{ou} \quad 3x=-2\\
			&\Leftrightarrow x=0 \quad \text{ou} \quad x=-\frac{2}{3}
		\end{align*}		
		\begin{conclusion}			
			L'ensemble des solutions de l'équation est $\mathscr{S}=\left\{ 0;-\frac{2}{3} \right\}$.			
		\end{conclusion}		
		\task $\mathcal{S}=\left\{ \frac{1}{2} ; 0 \right\}$.
		\task $\mathcal{S}=\left\{ \frac{3}{2} ; 0 \right\}$.
		\task $\mathcal{S}=\left\{ -2 \right\}$.
		\task $\mathcal{S}=\left\{ 0;-1 \right\}$.
		\task $\mathcal{S}=\left\{ \frac{1}{2} ; 3 \right\}$.
		\task $\mathcal{S}=\left\{ -2 ; 1 \right\}$.
		\task $\mathcal{S}=\left\{ \frac{1}{3} \right\}$.
		\task $\mathcal{S}=\left\{  \frac{1}{2} \right\}$.
		\task $\mathcal{S}=\left\{  -1 \right\}$.
		\task $\mathcal{S}=\left\{ -2;2 \right\}$.
	\end{tasks}
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Résolvez dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes.	
	\begin{tasks}(2)
		\task $x^2+1=0$.
		\task $(3x-2)(5x+4)=0$.
		\task $x^2-2x=0$.
		\task $(x+1)^2=0$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\mathscr{S}= \emptyset$.
		\task $\mathscr{S}= \left\{ \frac{2}{3}; -\frac{4}{5} \right\}$.
		\task $\mathscr{S}= \left\{ 0;2 \right\}$.
		\task $\mathscr{S}= \left\{ -1 \right\}$.
	\end{tasks}		
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	
	\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}	
	\begin{minipage}{\linewidth}	
	Soit $M$ un point du segment $[AB]$. On considère les demi-disques de diamètres $[AB]$, $[AM]$ et $[MB]$ comme représentés ci-contre.	
	\end{minipage}	
	&	
	\begin{minipage}{\linewidth}	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
		\def\xM{2};
			\coordinate (A) at (0,0);
			\coordinate (B) at (8,0);
			\coordinate (M) at ({\xM},0);
			\draw (A) node[below] {$A$};
			\draw (B) node[below] {$B$};
			\draw (M) node[below] {$M$};
			\draw(A)--(B);
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:180] plot({4*cos(\x)+4},{4*sin (\x)});
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:180] plot({(\xM /2)*cos(\x)+(\xM /2)},{(\xM /2)*sin (\x)});
			\fill[color=magenta , opacity=0.5] (A)
			-- plot[domain=0:180]({4*cos(\x)+4},{4*sin (\x)})
			--(B)
			-- cycle;
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:180] plot({(8-\xM)/2*cos(\x)+\xM+(8-\xM)/2},{(8-\xM)/2*sin (\x)});
			\fill[color=violet , opacity=0.5] (A)
			-- plot[domain=0:180]({(\xM /2)*cos(\x)+(\xM /2)},{(\xM /2)*sin (\x)})
			--(M)
			-- cycle;
			\fill[color=violet , opacity=0.5] (B)
			-- plot[domain=0:180]({(8-\xM)/2*cos(\x)+\xM+(8-\xM)/2},{(8-\xM)/2*sin (\x)})
			--(M)
			-- cycle;
	\end{tikzpicture}	
	\end{minipage}	
	\\ \end{tabularx}
	
	On donne $AB=8$. Nous noterons $AM=2x$. $f(x)$ désignera l'aire de la partie colorée en violet (\emph{i.e.} les deux demi-disques de diamètres $[AM]$ et $[MB]$).	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item À quel intervalle appartient $x$?
		\item Démontrez que $f(x)=\pi (x^2-4x+8)$.
		\item Les aires des deux parties colorées peuvent-elles être égales?
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item \objectif{Déterminons l'intervalle dans lequel varie $x$.}	
		\begin{enumerate}[*]
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Puisque $2x=AM$ et que $AM$ est une longueur, nécessairement $x\ge 0$.
			\item $M\in[AB]$ et $AB=8$ donc $AM\le 8$.
			
			D'où: $\frac{AM}{2} \le \frac{8}{2}$.
			
			Autrement dit $x\le 4$.
		\end{enumerate}	
		\begin{conclusion}	
		Nous avons démontré que $x\in[0;4]$.	
		\end{conclusion}		
		\item \objectif{Démontrons que $f(x)=\pi (x^2-4x+8)$.}	
		\begin{enumerate}[*]
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Le rayon du demi-disque de diamètre $[AM]$ est $x$ (car $2x=AM$). Donc l'aire du demi-disque de diamètre $[AM]$ est \[ \mathcal{A}_1 = \frac{1}{2} \times \pi x^2 \]
			\item Le rayon du demi-disque de diamètre $[MB]$ est 
			\begin{align*}
			\frac{1}{2}MB &=\frac{1}{2} (AB-AM) & \text{ car } M\in[AB]\\
			&=\frac{1}{2} \left( 8-2x \right) & \\
			&= 4-x &
			\end{align*}		
			Donc l'aire du demi-disque de diamètre $[MB]$ est \[ \mathcal{A}_2 = \frac{1}{2} \times \pi \left( 4-x \right)^2 \]		
			\item Nous déduisons des deux points précédents
			\begin{align*}
			f(x) &= \mathcal{A}_1+\mathcal{A}_2 \\
			&= \frac{1}{2}\pi x^2+\frac{1}{2}\pi (4-x)^2\\
			\intertext{\color{orange}En factorisant:}
			f(x) &= \frac{1}{2}\pi \left[ x^2+(4-x)^2 \right]\\
			\intertext{\color{orange}En développant l'identité remarquable:}
			f(x) &= \frac{1}{2} \pi [x^2+16-8x+x^2 ]\\
			&= \frac{1}{2} \pi (2x^2-8x+16)\\
			&= \pi (x^2-4x+8)
			\end{align*}
		\end{enumerate}	
		\begin{conclusion}	
			Nous avons bien: $f(x)\pi(x^2-4x+8)$.	
		\end{conclusion}	
		\item Dire que les deux parties colorées ont la même aire se traduit par \[ \frac{1}{2}\pi4^2-f(x)=f(x)\quad (E) \]
		
		\objectif{Résolvons l'équation $(E)$.}
		
		\begin{align*}
			(E) &\Leftrightarrow 8\pi -2f(x)=0\\
			&\Leftrightarrow  8\pi -2\times \pi (x^2-4x+8)=0\\
			&\Leftrightarrow -2\pi \left[ -4+(x^2-4x+8) \right]=0 \\
			&\Leftrightarrow -2\pi \left[ -4+x^2-4x+8 \right]=0 \\
			&\Leftrightarrow -2\pi (x^2-4x+4)=0 \\
			&\Leftrightarrow -2\pi (x-2)^2=0 \\
			&\Leftrightarrow x-2=0\\
			&\Leftrightarrow x=2
		\end{align*}	
		$2\in [0;4]$, nous pouvons donc conclure.
		
		\begin{conclusion}	
			Les aires des parties colorées ne peuvent être égales que lorsque $x=2$.	
		\end{conclusion}	
	\end{enumerate}
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Soit $g$ la fonction définie par $g(x)=-2x^2+8x-8$ sur $[0;+\infty[$ et $\mathcal{C}_g$ sa courbe représentative.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Démontrez que pour tout $x \in [0;+\infty[$, $g(x)=-2(x-2)^2$
		\item Déterminez le point d'intersection de $\mathcal{C}_g$ et de l'axe des ordonnées.
		\item Déterminez s'ils existent les points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_g$ avec l'axe des abscisses.
		\item Déterminez les abscisses des points de $\mathcal{C}_g$ ayant pour ordonnée $-8$.
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item {\color{orange}Nous allons voir deux façons de démontrer le résultat.}
		
		\objectif{Démontrons que, quelque soit $x\in\mathbb{R}$, $g(x)=-2(x-2)^2$.}
		
		{\color{orange}Démonstration en factorisant.
		
		Nous devons démontrer un résultat \og pour tout $x$ \fg{} ou \og quelque soit \fg{} nous commençons par \og fixer \fg{} cette variable:}
		
		Soit $x\in\mathbb{R}$.		
		\begin{align*}
			g(x) &= -2x^2+8x-8\\
			&= -2(x^2-4x+4)\\
			&= -2 (x^2-2\times x \times 2 +2^2)\\
			&= -2(x-2)^2
		\end{align*}		
		Nous avons démontré que
		
		\begin{conclusion}		
			$\forall x\in\mathbb{R},\ g(x)=-2(x-2)^2$		
		\end{conclusion}
		
		\objectif{Démontrons que, quelque soit $x\in\mathbb{R}$, $g(x)=-2(x-2)^2$.}
		
		{\color{orange}Démonstration en développant le résultat donné dans l'énoncé.}
		
		Soit $x\in\mathbb{R}$.		
		\begin{align*}
		-2(x-2)^2 &= -2\left[ x^2-2\times x \times 2 +2^2 \right]\\
		&= -2(x^2-4x+4)\\
		&= -2\times x^2+(-2)\times (-4) x+(-2)\times 4\\
		&= -2x^2+8x-8\\
		&= g(x)
		\end{align*}		
		Nous avons démontré que
		
		\begin{conclusion}		
			$\forall x\in\mathbb{R},\ g(x)=-2(x-2)^2$		
		\end{conclusion}		
		\item {\color{orange}Le préfixe \og le \fg{} à propos du point d'intersection sous-entend qu'il est unique. Ceci découle du fait que, pour une fonction il y a unicité de l'image.
		
		Déterminer un point doit se comprendre dans le sens de trouver ses coordonnées.}
		
		\objectif{Déterminons $M(x_M;y_M)$ point d'intersection de $\mathcal{C}_g$ avec l'axe des ordonnées.}
		
		{\color{orange}Interprétons les conditions imposées à $M$ avec un point de vue d'analyse.}
		
		Dire que $M$ appartient à l'axe des ordonnées équivaut à dire que $x_M=0$.
		
		Dire que $M\in\mathcal{C}_g$ équivaut à dire que $y_M=g(x_M)$. Donc: $y_M=g(0)=-8$.
		
		\begin{conclusion}		
			Le point d'intersection de $\mathcal{C}_g$ avec l'axe des ordonnées a pour coordonnées $(0;8)$.		
		\end{conclusion}		
		\item \objectif{Déterminons les points d'intersection de $\mathcal{C}_g$ avec l'axe des abscisses.}
		
		Supposons qu'il existe un point $M(x_M;y_M)$ qui soit l'intersection de $\mathcal{C}_g$ avec l'axe des abscisses.
		
		$M$ appartient à l'axe des abscisses donc $y_M=0$.
		
		$M$ appartient à $\mathcal{C}_g$ donc $g(x_M)=0$.
		
		Résolvons cette dernière équation d'inconnue $x_M$.		
		\begin{align*}
			g(x_M)=0 &\Leftrightarrow -2(x-2)^2=0 \\
			&\Leftrightarrow x-2=0\\
			&\Leftrightarrow x=2
		\end{align*}		
		$2\in [0;+\infty [$ et $g(2)=0$ donc c'est une solution qui convient bien.
		
		\begin{conclusion}		
			L'unique point d'intersection de $\mathcal{C}_g$ avec l'axe des abscisses a pour coordonnées $(2;0)$.		
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Déterminons les abscisses des points de $\mathcal{C}_g$ d'ordonnée $-8$.}
		
		En raisonnant comme précédemment cela revient à dire que nous cherchons les nombres $x\in[0:+\infty [$ tels que: $g(x)=-8$.
		
		Résolvons cette équation.		
		\begin{align*}
			g(x)=-8 &\Leftrightarrow -2x^2+8x-8 = -8 \\
			&\Leftrightarrow -2x^2+8x=0 \\
			&\Leftrightarrow x(-2x+8)=0 \\
			&\Leftrightarrow x=0 \text{ ou } -2x+8=0
		\end{align*}		
		Or 
		\begin{align*}
			-2x+8 &\Leftrightarrow -2x+8{\color{orange}-8}=0{\color{orange}-8}\\
			&\Leftrightarrow -2x=-8\\
			&\Leftrightarrow \frac{-2x}{\color{orange}-2} = \frac{-8}{\color{orange}-2}\\
			&\Leftrightarrow x=4
		\end{align*}
		donc, comme $0$ et $4$ sont bien dans l'ensemble $[0;+\infty[$ et $g(0)=g(4)=-8$, nous pouvons conclure.
		
		\begin{conclusion}		
			Les abscisses des points de $\mathcal{C}_g$ ayant pour ordonnée $-8$ forment l'ensemble $\{ 0;4 \}$.		
		\end{conclusion}	
	\end{enumerate}
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Soit $f(x)=4x^3-24x^2+36x$ quelque soit $x$ réel. Déterminez les zéros de la fonction $f$.
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	{\color{orange}Les \emph{\color{purple}zéros d'une fonctions} sont les nombres $x$ de son ensemble de définitions telles que: $f(x)=0$. Ce sont les valeurs de $x$ qui annulent $f$.}
	
	Il faut trouver les valeurs $x$ telles que $f(x)=0$.
	
	\objectif{Résolvons l'équation $f(x)=0$ dans $\mathbb{R}$.}
	
	$f(x)=0$ équivaut successivement à
	\begin{align*}
		& 4x^3-24x^2+36x=0\\
		\intertext{\color{orange}Il s'agit d'une équation polynomiale de degré 3 nous essayons de factoriser.}
		& 4x(x^2-6x+9)=0\\
		& 4x(x^2-2\times x \times 3 +3^2)=0\\
		& 4x(x-3)^2=0 \\
		& x=0 \text{ ou } x=3
	\end{align*}	
	\begin{conclusion}	
		L'ensemble des zéros de $f$  est $\{ 0;3 \}$.	
	\end{conclusion}
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Proposez une équation ayant pour ensemble des solutions $\mathcal{S}$.	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\mathcal{S}=\left\{ 4 \right\}$
		\task $\mathcal{S}=\left\{ 2;0 \right\}$
		\task $\mathcal{S}=\left\{ \sqrt{2} ; -\sqrt{2}\right\}$
		\task $\mathcal{S}=\left\{ -2 ; \frac{2}{3} ; 4 \right\}$
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Deux nombres ont pour somme $314$. De combien augmente leur produit si on ajoute $9$ à chacun des deux?
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	{\color{orange}Ici il n'y a pas besoin de résoudre une équation, car il n'y a pas de condition à résoudre, on nous demande d'effectuer un calcul.}
	
	$x+y=314$ et on souhaite calculer $(x+9)(y+9)-xy$ et on obtient $9 \times 323$.	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
		
	\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}		
		\begin{minipage}{\linewidth}		
		Le rectangle d'or est un rectangle tel que, si on lui enlève un carré construit sur une largeur, on obtient un nouveau rectangle de même forme, c'est-à-dire dont le rapport $\frac{\text{longueur}}{\text{largeur}}$ est le même.
		
		Ce rapport est alors appelé \emph{\color{purple}nombre d'or} ou \og divine proportion\fg{}. Il est noté $\varphi$.		
		\end{minipage}		
		&		
		\begin{minipage}{\linewidth}		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\coordinate (A) at (0,0);
			\coordinate (B) at (0,3);
			\coordinate (C) at (4.8541,3);
			\coordinate (D) at (4.8541,0);
			\coordinate (E) at (3,0);
			\coordinate (F) at (3,3);
			\draw (A) node[below left]{$A$};
			\draw (B) node[above left]{$B$};
			\draw (C) node[above right]{$C$};
			\draw (D) node[below right]{$D$};
			\draw (E) node[below]{$E$};
			\draw (F) node[above]{$F$};
			\draw (0,1.5) node{\Large $\circ$};
			\draw (1.5,0) node{\Large $\circ$};
			\draw[blue] (A)--(B)--(C)--(D)--(A);
			\draw[blue] (E)--(F);
			\draw[red][samples=100,domain=0:90] plot({3*cos(\x)},{3*sin(\x)});
			\draw (0.25,0)--(0.25,0.25)--(0,0.25);
			\draw ({4.8541-0.25},0)--({4.8541-0.25},0.25)--(4.8541,0.25);
			\draw ({3+0.25},0)--({0.25+3},0.25)--(3,0.25);
		\end{tikzpicture}		
		\end{minipage}
		\\
	 \end{tabularx}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Soit $L$ la longueur de départ et $l$ la largeur de départ. Calculez le rapport $\frac{DC}{ED}$ en fonction de $L$ et $l$.		
		\item Montrez que \[ \frac{BC}{BA}=\frac{DC}{ED}\Leftrightarrow L(L-l)=	l^2. \]
		\item En déduire que le rapport $\frac{L}{l}$ est solution de l'équation \[x^2=x+1 \]
		Le nombre d'or vérifie donc la propriété \og si on l'augmente de $1$, il est égale à son carré\fg{}.
		\item Montrez que l'on a \[ x^2-x-1=\left( x- \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)  \left( x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} \right) \]
		\item En déduire la valeur exacte de $\varphi$ puis une valeur approchée à $10^{-3}$ près.
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
	
	2ieme nathan transmath 2010 exercice 81 page 58
	
	\end{notabene}

\end{exercice}

\end{document}

\section{Modèles.}

\setlength{\parskip}{0pt}
\setlength{\itemsep}{0pt}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick,black] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick,black] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\draw (O) node {$\bullet$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\draw (I) node {$\bullet$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	\draw (J) node {$\bullet$};
	%Graduations
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Rectangle en coin.}

\begin{tikzpicture}
	\def\xangledroit{0};
	\def\yangledroit{0};
	\def\longueurangledroit{0.5};
	\draw[fill=green!30,rotate around={{20}:({\xangledroit},{\yangledroit})}] ({\xangledroit},{\yangledroit}) rectangle ({\xangledroit+\longueurangledroit},{\yangledroit+\longueurangledroit});
\end{tikzpicture}

ou bien avec matrice rotation plus translation ici 45 degres et translation de vecteur (1,1).
\begin{tikzpicture}
		\def\code{0.2};
		\draw [cm={cos(-45) ,-sin(-45) ,sin(-45) ,cos(-45) ,(1,1)}]  ({-\code},{0}) -- ({0-\code},{0+\code}) -- (0,{0+\code});
\end{tikzpicture}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

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\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}

\subsection{Engrenages.}
\newcommand{\roue}[4]{% #1 = rayon, #2 = nombre de dents, #3 = X centre, #4 = Y centre
\foreach \i in {1,2,...,#2}
{
\pgfmathparse{360*(\i-1)/#2}\let\angle\pgfmathresult

\begin{scope}[shift={(#3,#4)}]
\pgfmathparse{#1*cos(90+360/(#2*4))}\let\Ax\pgfmathresult 
\pgfmathparse{#1*sin(90+360/(#2*4))}\let\Ay\pgfmathresult

\pgfmathparse{#1*cos(90-360/(#2*4))}\let\Bx\pgfmathresult
\pgfmathparse{#1*sin(90-360/(#2*4))}\let\By\pgfmathresult

\pgfmathparse{4*#1*cos(90+360/(#2*8))/3}\let\Cx\pgfmathresult
\pgfmathparse{4*#1*sin(90+360/(#2*8))/3}\let\Cy\pgfmathresult

\pgfmathparse{4*#1*cos(90-360/(#2*8))/3}\let\Dx\pgfmathresult
\pgfmathparse{4*#1*sin(90-360/(#2*8))/3}\let\Dy\pgfmathresult

\pgfmathparse{90-360/(#2*4)}\let\a\pgfmathresult
\pgfmathparse{90-1.5*360/(#2*2)}\let\b\pgfmathresult

\draw[rotate=\angle] (\Ax,\Ay) to[bend left=15] (\Cx,\Cy) -- (\Dx,\Dy) to[bend left=15] (\Bx,\By) arc (\a:\b:#1cm); 
\end{scope}
}
}

\begin{tikzpicture}
\roue{3}{20}{0}{0}
\roue{3}{16}{7.4}{2}
\end{tikzpicture}