%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill \small {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/}{titre} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{exercicecorrection}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Résoudre un système d'équations.}

\begin{notabene}
	
	Pour rendre les choses concrètes partir d'un problème de mise en équation (voir la fin) en utilisant le questionnement habituel de mise en équation: inconnues recherchées, égalités vérifiées.

\end{notabene}

\subsection{Généralités.}

\begin{lecon}
	
	Un \emph{\color{purple}système d'équations} est un groupe d'équations utilisant les mêmes inconnues. Résoudre un système d'équations c'est trouver toutes les solutions qui satisfont simultanément \emph{\textbf{toutes}} les équations. 
	
	Nous résoudrons quasi uniquement des \emph{\color{purple}systèmes d'équations linéaires (ou affines) de deux équations à deux inconnues} \[ \left\{\begin{array}{c} a_1x+b_1y=c_1  \\ a_2x+b_2y=c_2 \\ \end{array}\right. \] où $x$ et $y$ sont des inconnues (ou variables) et $a_1$, $b_1$, $a_2$, $b_2$ des nombres réels fixés.
	
	Les solutions d'un tel système sont des couples (une valeur pour $x$ et une valeur pour $y$). Un tel système peut n'avoir aucune, une seule (\emph{i.e.} un couple) ou une infinité de solutions.
	
\end{lecon}

\newpage

\subsection{L'algorithme du pivot de Gauss.}

\begin{notabene}
	
	Deux étapes échelonner puis substituer.
	
\end{notabene}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item \objectif{Résolvons $S: \left\{ \begin{array}{ccccc}
			{\color{red}2}x &+& 4y &=& 5\\
			{\color{violet}3}x &+& y &=& 8
			\end{array} \right.$}
		
		{\color{orange}Première étape: échelonner le système.}
		
		$L_1 \leftarrow {\color{violet}3} L_1$ et $L_2 \leftarrow {\color{red}2}L_2$
		
		\[ \left\{ \begin{array}{ccccc}
		6x &+& 12y &=& 15\\
		6x &+& 2y &=& 16
		\end{array} \right.\]
		
		$L_2 \leftarrow L_1-L_2$
		
		\[ \left\{ \begin{array}{ccccc}
		6x &+& 12y &=& 15\\
		 && 10y &=& -1
		\end{array} \right.\]
		
		{\color{orange}Deuxième étape: isoler le $y$.}
		
		D'après $L_2$: $y=-\frac{1}{10}$.
		
		{\color{orange}Troisième étape: procéder à la substitution.}
		
		Donc, en substituant dans $L_1$:
		
		\begin{align*}
			6x+12 \times \left( -\frac{1}{10} \right) &= 15\\
			6x &= \frac{162}{10}\\
			x &= \frac{162}{60}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{S}= \left\{ \left( \frac{162}{60} ; -\frac{1}{10} \right) \right\}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\left\{ \begin{array}{ccccc}
			2x &+& 3y &=& 2\\
			x &+& y &=& 1
		\end{array} \right.$
		\task $\left\{ \begin{array}{ccccc}
		3x &-& 3y &=& -1\\
		5x &+& 2y &=& 1
		\end{array} \right.$
		\task $\left\{ \begin{array}{ccccc}
		3x &-& 2y &=& 11\\
		-6x &+& 4y &=& 3
		\end{array} \right.$
		\task $\left\{ \begin{array}{ccccc}
		-3x &+& y &=& 1\\
		15x &-& 5y &=& -5
		\end{array} \right.$
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\newpage

\subsection{Application à la géométrie.}

\begin{notabene}
	
	Position relative de deux droites dans différentes situations.
	
\end{notabene}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item \objectif{Déterminons les points d'intersections de $\mathscr{D}_1:\ y=2x+1$ et $\mathscr{D}_2:\ y=-3x+5$.}
		
		\item \objectif{Déterminons les points d'intersections de $\mathscr{D}_1:\ x=4$ et $\mathscr{D}_2:\ y=2x+3$.}
		
		\item \objectif{Déterminons les points d'intersections de $\mathscr{D}_1:\ x=4$ et $\mathscr{D}_2:\ x=-3$.}
		
		\item \objectif{Déterminons les points d'intersection des droites $\mathscr{D}_1:\ 2x+y-1=0$ et $\mathscr{D}_2: x-y+1=0$.}
		
		Les coordonnées du point d'intersection vérifient le système:
		
		\[ \left\{ \begin{array}{ccccc}
			2x &+& y &=& 1\\
			x &-& y &=& -1
		\end{array} \right.\]
		
		\[ \left\{ \begin{array}{ccccc}
		2x &+& y &=& 1\\
		&-& 3y &=& 3
		\end{array} \right.\]
		
		Donc $y=-1$ puis en substituant $x=1$.
		
		\begin{conclusion}
			
			Le point d'intersection des droites à pour coordonnées $(1;-1)$.
			
		\end{conclusion}
	
		\item \objectif{Déterminons la position relative des droites $\mathscr{D}_1:\ 2x+3y-6=0$ et $\mathscr{D}_2: -2x+2y=1$.}
		
		$\vec{u} \begin{pmatrix} -3 \\ 2\end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \end{pmatrix}$ sont des vecteurs directeurs respectivement de $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2$.
		
		Or \[ \det(\vec{u}, \vec{v} ) = \begin{vmatrix} -3 & -2 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} = -3 \times (-2) -2 \times (-2) = 10 \ne 0\]
		
		donc $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2$ sont sécantes.
		
		\medskip
		Déterminons le point d'intersection.
		
		
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{}
	
	Déterminez les éventuels points d'intersections des droites d'équations 
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Par un raisonnement géométrique donnez le nombre de solutions des systèmes d'équations suivants.
	
	\[(S_1) \left\{ \begin{array}{l}y=2x+1 \\ y=-5x+6\end{array} \right.,\ (S_2) \left\{ \begin{array}{l}y=-3x+1\\ y=-3x+\pi \end{array} \right.,\ (S_3) \left\{ \begin{array}{l}y=2x+5\\ 2y=4x+10 \end{array} \right. .\]
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Même énoncé que le précédent mais avec des droites définies par deux points ou un point et un vecteurs directeur.
		
	\end{notabene}
	
	Par un raisonnement géométrique donnez le nombre de solution du système d'équations suivants.
	
	\[(S) \left\{ \begin{array}{l}3x+4y-1=0 \\ -2x-\frac{8}{3}y-17=0 \end{array} \right. .\]
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Recherchez les positions relatives et les éventuels points d'intersection des droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ dont les équations dans un repère $(O,I,J)$ du plan sont:
	\begin{enumerate}
		\item $\mathcal{D}_1:\ y=-1x+2$ et $\mathcal{D}_2:\ y=3x-1$
		\item $\mathcal{D}_1:\ y= \frac{10}{2}x-3$ et $\mathcal{D}_2:\ y=5x-\frac{27}{9}$
		\item $\mathcal{D}_1:\ y=\pi ^2x-\sqrt{2}$ et $\mathcal{D}_2:\ y=\pi ^2 x+\frac{7}{4}$
		\item $\mathcal{D}_1:\ y= \frac{\sqrt{2}}{2} x+ 1$ et $\mathcal{D}_2:\ y=-x+\frac{\pi}{2}$
		\item $\mathcal{D}_1:\ x=\sqrt{2}$ et $\mathcal{D}_2:\ y=\sqrt{2} x-2$
		\item $\mathcal{D}_1:\ x=-\pi ^2+4$ et $\mathcal{D}_2:\ x= 4^{1000}$
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\newpage

\subsection{Exercices.}

\subsubsection{Position relative de droites.}


\begin{exercice}
	
	Exercices 130 à 150 page 198 à 200 du manuel Indice: position relative de droites.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}

	Exercices \href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=65236&ordre=1}{36} et \href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=65237&ordre=1}{37} page 235 (Sesamath). Déterminer la position relative de deux droites à partir de leurs équations.

\end{exercice}	

\begin{exercice}{}

	Exercice \href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=65238&ordre=1}{38} page 235 (Sesamath). Déterminer la position relative de deux droites à partir des coordonnées de deux points de l'une et de l'équation de l'autre.

\end{exercice}	

\begin{exercice}{}

	Exercice \href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=65243&ordre=1}{43} page 236 (Sesamath). Parallélisme et mise en équation.

\end{exercice}

\begin{exercice}

	Exercices \href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=65250&ordre=1}{50} et \href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=65251&ordre=1}{51} page 236 (Sesamath). Détermination du nombre de solutions d'un système puis résolution.

\end{exercice}

\subsubsection{Problèmes.}

\begin{exercice}{}

\emph{Problème longtemps: le vigneron (1900)}.

Un vigneron qui venait d'acheter un pré disait: \og Si je vends mon vin $160\ \mathrm{F}$ la pièce, j'aurai de quoi payer mon pré et il me restera $800\ \mathrm{F}$; si je le vends $140\ \mathrm{F}$ comme on me le propose, il me manquera $300\ \mathrm{F}$.\fg{}

On demande le nombre de pièces de vin et le prix du pré.

\end{exercice}

\begin{exercice}{}

\begin{notabene}

Exercice 105 page 240 nathan transmath 2014: de nombreux rappels (orthogonalité, équation)

\end{notabene}

\begin{tabular}{m{4.5cm}m{6.5cm}}

Dans un repère orthonormé $(O,I,J)$ on donne les points $A(6;0)$, et $M(2;0)$.

$OABC$ est un carré.

$OM=CN$ et $OMDN$ est un rectangle.

Les droites $(BD)$ et $(MN)$ se coupent en $H$.

Le but de l'exercice est de démontrer que le triangle $BHM$ est rectangle en $H$.

&

\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
	\def\xY{-1};
	\def\yY{-1};
	\def\xZ{7};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
	\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
	\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\foreach \x in { 6}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \x};
	\foreach \y in {}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \y};
	\def\xM{2};
		\coordinate (O) at (0,0);
		\coordinate (M) at (\xM,0);
		\coordinate (N) at (0,{6-\xM});
		\coordinate (A) at (6,0);
		\coordinate (B) at (6,6);
		\coordinate (C) at (0,6);
		\coordinate (D) at (\xM,{6-\xM});
		\coordinate (I) at (1,0);
		\coordinate (J) at (0,1);
		\draw (O)node[below left]{$O$};
		\draw (M)node[below left]{$M$};
		\draw (N)node[left]{$N$};
		\draw (A)node[above right]{$A$};
		\draw (B)node[above]{$B$};
		\draw (C)node[above left]{$C$};
		\draw (D)node[above]{$D$};
		\draw (I)node[below]{$I$};
		\draw (J)node[left]{$J$};
		\draw[blue, thick](O)--(A)--(B)--(C)--(O);
		\draw[blue, thick,dashed](M)--(D)--(N);
		\draw[green, thick](M)--(B);
	\draw[red, thick][samples=100,domain=-1:2.3] plot(\x,{((\xM-6)/\xM )*\x+6-\xM});
	\def\m{\xM/(6-\xM)};
	\draw[green, thick][samples=100,domain=-1:7] plot(\x,{\m*\x+6-6*\m});
		\coordinate (H) at ({(-\xM+6*\m)/(\m-(\xM-6)/\xM)},{\m *(-\xM+6*\m)/(\m-(\xM-6)/\xM)+6-6*\m});
		\draw (H)node[right]{$H$};
\end{tikzpicture}

\\ \end{tabular}

	\begin{enumerate}
	\item Quelles sont les coordonnées des points $B$, $N$ et $D$?
	\item 
		\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les équations des droites $(MN)$ et $(BD)$?
		\item Déduisez-en les coordonnées de $H$.
		\end{enumerate}
	\item Démontrez que le triangle $MBH$ est rectangle.
	\end{enumerate}

\end{exercice}

\begin{exercice}
	
	Exercices 124 à 129 page 198 du manuel Indice: des problèmes variés.
	
\end{exercice}

\begin{notabene}
	
	
\subsubsection{À classer.}

\begin{exercice}
	
	Exercice 110 page 206 du manuel Déclic.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item \objectif{Résolvons le système.}
		
		\begin{align*}
			& \left\{ \begin{array}{lc} x-3y=8 & {\color{blue}(1)} \\ 2x+5y=5 & {\color{blue}(2)} \end{array} \right.
		\end{align*}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item 
			
			\begin{align*}
				 {\color{blue}(1)} &\Leftrightarrow x-3y {\color{orange}+3y} = 8 {\color{orange}+3y}\\
				 &\Leftrightarrow x=8+3y
			\end{align*}
			
			\item En substituant dans $\color{blue}(2)$:
			
			\begin{align*}
				2 {\color{orange}(8+3y)}+5y=5 &\Leftrightarrow 2 \times 8 + 2 \times 3y +5y=5\\
				&\Leftrightarrow 16+6y+5y=5\\
				&\Leftrightarrow 11y+16=5\\
				&\leftrightarrow 11y+16 {\color{orange}-16} = 5 {\color{orange}-16}\\
				&\Leftrightarrow 11y = -11\\
				&\Leftrightarrow \frac{11y}{\color{orange}11} = \frac{-11}{\color{orange}11}\\
				&\Leftrightarrow y =-1 
			\end{align*}
			
			\item En remplaçant dans $\color{blue}(1)$, $y$ par la valeur numérique trouvée:
			
			\begin{align*}
				x-3{\color{orange}(-1)}=8 &\Leftrightarrow x+3=8\\
				&\Leftrightarrow x+3 {\color{orange}-3} =8 {\color{orange}-3}\\
				&\Leftrightarrow x =5
			\end{align*}
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions du système est  $\mathscr{S} = \left\{ (5;-1) \right\}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item Une unique solution: $(-2;4)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}


\begin{exercice}
	
	Exercice 111 page 206 du manuel Déclic.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $(12;15)$.
		
		\item $\left( \frac{2}{5}; \frac{3}{5} \right)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	
	Exercice 112 page 206 du manuel Déclic.
	
\end{exercice}

	\begin{exercicecorrection}
		
		\begin{enumerate}
			\item $(7;2)$.
			
			\item \objectif{Résolvons le système proposé.}
			
			$\begin{array}{l}
			\left\{
			\begin{array}{lll}
			8x & -5y &= -6\\
			4x & +2y &=24 
			\end{array}
			\right.
			\\
			\\
			\left\{\begin{array}{lllr}
			8x & -5y &= -6 &\\
			8x & +4y &= 48 & L_2\leftarrow 2L_2
			\end{array}
			\right.
			\\
			\\
			\left\{\begin{array}{lllr}
			8x & -5y &= -6 &\\
			& 9y &= 54 & L_2\leftarrow L_2-L_1
			\end{array}
			\right.
			\\
			\\
			\left\{\begin{array}{lllr}
			8x & -5y &= -6 &\\
			& y &= 6 & L_2\leftarrow \frac{1}{9}L_2
			\end{array}
			\right.
			\\
			\\
			\left\{\begin{array}{lllr}
			8x & &= 24 & L_1\leftarrow L_1+5L_2 \\
			& y &= 6 & 
			\end{array}
			\right.
			\\
			\\
			\left\{\begin{array}{lllr}
			x & &= 3 & L_1\leftarrow \frac{1}{8}L_2 \\
			& y &= -6 & 
			\end{array}
			\right.
			\end{array}$
			
			\begin{conclusion}
				
				Le système admet une unique solution $\left( 3; -6 \right)$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	
	Exercice 113 page 206 du manuel Déclic.
	
\end{exercice}

	\begin{exercicecorrection}
		
		\begin{enumerate}
			\item $(-1;2)$.
			
			\item $(-4;11)$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	
	Exercice 114 page 206 du manuel Déclic.
	
\end{exercice}

	\begin{exercicecorrection}
		
		\begin{enumerate}
			\item $a=-3$ et $b=8$.
			
			\item $a=1$ et $b=8$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	
	Exercice 115 page 206 du manuel Déclic.
	
\end{exercice}

	\begin{exercicecorrection}
		
		\begin{enumerate}
			\item Car $M$ et $N$ ont des abscisses distinctes.
			
			\item La première équation signifie que $M$ appartient à $d$ et la seconde signifie que $N$ appartient $d$.
			
			\item 
			
			\begin{enumerate}
				
				\item $m=3$ et $p=12$.
				
				\item $m \times (-10)+p= 3 \times (-10) + 12 =-18$ donc $P \in d$.
				
			\end{enumerate}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{exercicecorrection}

\end{notabene}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
\def\xY{-0.5};
\def\yY{-0.5};
\def\xZ{8.5};
\def\yZ{7};
\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
-- (2,0) 
--(-0.5,0)
-- cycle;
\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}

\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
%extremites du graphique
\def\xcoinbasgauche{-2};
\def\xcoinhautdroit{4};
\def\ycoinbasgauche{-4};
\def\ycoinhautdroit{4};
%Les deux grilles
\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
%Les deux axes
\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
%repere orthonorme
\coordinate (O) at ({0},{0});
\draw (O) node[below left] {$O$};
\coordinate (I) at ({1},{0});
\draw (I) node[below left] {$I$};
\coordinate (J) at ({0},{1});
\draw (J) node[below left] {$J$};
%fonction
\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2 )});
%Points
\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
%Tangentes horizontales
\def\longueurtangente{0.7};
\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
\end{tikzpicture}

\end{center}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}

\begin{tikzpicture}
\def\longueur{5};
\def\hauteur{3};
\def\profondeur{2};
\def\angledefuite{30};
\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
\def\xA{0};
\def\yA{0};
%Création des points du bas.
\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
%Création des points du haut
\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
%Nom des points du bas dans le sens direct
\draw (A) node [below left] {$A$};
\draw (B) node [below right] {$B$};
\draw (C) node [below right] {$C$};
\draw (D) node [above left] {$D$};
\draw (E) node [above left] {$E$};
\draw (F) node [above] {$F$};
\draw (G) node [above right] {$G$};
\draw (H) node [above left] {$H$};
%Les arêtes du bas
\draw [] (A) -- (B);
\draw [] (B) -- (C);
\draw [dashed] (C) -- (D);
\draw [dashed] (D) -- (A);
%Les arêtes verticales
\draw [] (A) -- (E);
\draw [] (B) -- (F);
\draw [] (C) -- (G);
\draw [dashed] (D) -- (H);
%Les arête du haut
\draw [] (E) -- (F);
\draw [] (F) -- (G);
\draw [] (G) -- (H);
\draw [] (H) -- (E);
\end{tikzpicture}

\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
%Écarts entre entre racine et premier niveau
\def\xA{2};
%Nombre de nœuds du premiers niveau
\def\noA{2};
%Nombre de nœuds du deuxième niveau
\def\noB{6};
%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
\def\noBe{3};
%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
\def\xB{2+\xA};
\def\yB{1};
%Racine
\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
%Pour ne pas écrire les mots above et below
\def\posA{above};
\def\posB{below};
%Position des nœuds du premier niveau
%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
	nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
	nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
}{
	\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
	\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
	\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
};
%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
	nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
	nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
	nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
	nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
	nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
	nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
}{
	\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
	\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
	\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
%Écarts entre entre racine et premier niveau
\def\xA{2};
%Nombre de nœuds du premiers niveau
\def\noA{3};
%Nombre de nœuds du deuxième niveau
\def\noB{6};
%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
\def\noBe{2};
%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
\def\xB{2+\xA};
\def\yB{1};
%Nombre de nœuds du troisième niveau
\def\noC{12};
%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
\def\noCe{2};
%Écarts entre nœuds du troisième niveau
\def\xC{2+\xB};
\def\yC{1};
%Racine
\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
%Pour ne pas écrire les mots above et below
\def\posA{above};
\def\posB{below};
%Position des nœuds du premier niveau
%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
	nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
	nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
	nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
}{
	\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
	\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
	\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
};
%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
	nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
	nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
	nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
	nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
	nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
	nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
}{
	\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
	\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
	\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
};

%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
	nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
	nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
	nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
	nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
	nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
	nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
	nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
	nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
	nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
	nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
	nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
	nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
}{
	\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
	\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
	\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
\coordinate (A1) at (4,3);
\coordinate (A2) at (4,1);
\coordinate (A3) at (4,-1);
\coordinate (A4) at (4,-3);
\coordinate (B1) at (2,2);
\coordinate (B2) at (2,-2);
\coordinate (C1) at (0,0);
\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
\draw node (A12) at (A2) {$2$};
\draw node (A13) at (A3) {$3$};
\draw node (A14) at (A4) {$4$};
\draw node (B11) at (B1) {$1$};
\draw node (B12) at (B2) {$2$};
\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}

\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
%Création des nœuds
\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
%Branches entre les nœuds
\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
\end{tikzpicture}

\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,d,+,}%
\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
\begin{minipage}{5cm}
	\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
		emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
	\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
	def fonction(variable1):
	variable2=3
	\end{lstlisting}
\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
\hline
\begin{minipage}{8cm}
	\LinesNumbered
	\SetKw{entrer}{entrer}
	\SetKw{prend}{prend la valeur}
	\SetKw{afficher}{afficher}
	\begin{algorithm}[H]
		\SetAlgoLined
		\DontPrintSemicolon
		\entrer pi
		0\;
		\Tq{1}{
			2\;
			\eSi{3}{
				4\;
				5\;
			}{
				6\;
			}
		}
		
		\Pour{7}{
			\Si{8}{
				9\;
			}
		}
	\end{algorithm}
\end{minipage}
\\
\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
\\
\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
\\
\hline
Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
\\
\hline
Série $P$ &&&&&& 
\\
\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
\hline
\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
\\
\cline{2-9}
& Sécurité &&&&&&&&&
\\
\hline
&  &&&&&&&&&
\\
\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (AA) at (-9,6.5);
\node (AA) at (AA) {};
\coordinate (BB) at (9,6.5);
\node (BB) at (BB) {};
\coordinate (CC) at (9,-6.5);
\node (CC) at (CC) {};
\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
\node (DD) at (DD) {};
\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
\end{tikzpicture}

\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
\item Épreuve de Bernoulli.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
	\item Expérience: lancer un dé.
	\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
	\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
\end{enumerate}

\item Schéma de Bernoulli.

L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.

\item Loi binomiale.

$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.

\end{enumerate}