%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill \small {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/2ieme.html}{Résoudre une inéquation.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} 

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\begin{notabene}
	
	Résolution des équations linéaires. Utiliser la représentation graphique pour conjecturer l'ensemble des solutions.
	
	Et tableau de signe pour expression factorisée.
	
\end{notabene}

\section{Résoudre une inéquation.}

\subsection{Généralités sur les inéquations.}

\begin{lecon}
	
	Une {\color{purple}inéquation} est une inégalité avec des expressions littérales. Elle peut être vraie ou fausse suivant les valeurs choisies pour les inconnues qu'elle contient.
	
	Un nombre qui rend vraie une inéquation est appelé \emph{\color{purple}une solution} de l'inéquation.
	
	\emph{\color{purple}Résoudre une inéquation} c'est trouver l'ensemble de toutes les valeurs qui l'a rende vraie.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\medskip
	\begin{enumerate}
		\item $x>-2$ est une inéquation (vraiment simple).
		
		$1$ en est une solution car: $1>-2$.
		
		Par contre $-4$ n'est pas une solution puisque: $-4 \not> -2$.
		
		L'ensemble des solutions de cette inéquation nous l'avons déjà vu se note avec des intervalles: $\mathscr{S}=]-2;+\infty[$.
		
		\item $x+1\geqslant 2$ est une inéquation dont l'ensemble des solutions est $\mathscr{S} = [1;+\infty[$.
		
		\item $2x<4$ est une inéquation dont l'ensemble des solutions est: $\mathscr{S}= ]-\infty; 2[$.
		
		\item $-2x<4$ est une inéquation dont l'ensemble des solutions est: $\mathscr{S}= ]-2; \infty[$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsection{Règle de manipulation des inéquations.}

\subsubsection{Presque comme les équations.}

\begin{notabene}
	
	Pour le cas négatif pour imaginer une balance placée dans un champ de gravitation qu'on inverserai subitement: au lieu d'être orientés vers le bas les poids seraient orientés vers le haut.
	
\end{notabene}

\begin{theoreme}{}
	
	\begin{enumerate}[$(i)$]
		\item On ne modifie pas l'ensemble des solutions d'une inéquation en ajoutant ou en soustrayant le même nombre à chaque membre de celle-ci.
		
		\item On ne modifie pas l'ensemble des solutions d'une inéquation en multipliant ou en divisant par un même nombre strictement positif chaque membre de celle-ci.
		
		\item Pour ne pas modifier l'ensemble des solutions d'une inéquation en multipliant ou en divisant par un même \underline{nombre strictement négatif} des deux côtés de l'inégalité il faut changer le sens de l'inégalité.
		
	\end{enumerate}
	
\end{theoreme}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Ce sont les même règles que pour les équation hormis le cas de la multiplication ou division par un nombre strictement négatif.
		
		\item Nous pourrons donc résoudre les inéquations du premier degré comme nous le faisions pour les équations du premier degré.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $x-7\ge 12$.
		
		\item $3x\le 12$.
		
		\item $-4x\ge 32$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	Résolvez les inéquations.
	
	\begin{tabular}{m{5cm}m{0.5cm}m{5cm}}
		\begin{enumerate}
			\item $-3x+7 < x+2$
			\item $-5x-2\le 0$
			\item $-x> 9$
		\end{enumerate}
		&&
		\begin{enumerate}
			\setcounter{enumi}{3}
			\item $2x-7 < (3x-4)-x$
			\item $3x-(4+3x) > 2$
		\end{enumerate}
		\\ \end{tabular}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{align*}
		-3x+7 < x+2 & \Leftrightarrow -3x+7-x < x+2-x\\
		&\Leftrightarrow -4x+7< 2\\
		&\Leftrightarrow -4x+7 -7 < 2-7\\
		&\Leftrightarrow -4x < -5\\
		&\Leftrightarrow \frac{-4x}{-4} > \frac{-5}{-4}\\
		&\Leftrightarrow x > \frac{5}{4}
		\end{align*}
		
		L'ensemble des solutions de l'inéquation est $\mathcal{S}= \left] \frac{5}{4} ; +\infty \right[$.
		
		\item 
		
		\begin{align*}
		-5x-2 \le 0 &\Leftrightarrow -5x-2+2 \le 0+2\\
		&\Leftrightarrow -5x \le 2\\
		&\Leftrightarrow \frac{-5x}{-5} \ge \frac{2}{-5}\\
		&\Leftrightarrow x \ge -\frac{2}{5}
		\end{align*}
		
		L'ensemble des solutions de l'inéquation est $\mathcal{S}= \left[ -\frac{2}{5} ; +\infty \right[$.
		
		\item 
		
		
		\begin{align*}
		-x>9 &\Leftrightarrow \frac{-x}{-1} < \frac{9}{-1}\\
		&\Leftrightarrow x<-9
		\end{align*}
		
		L'ensemble des solutions de l'inéquation est $\mathcal{S}= \left] -\infty ; -9 \right[$.
		
		\item
		
		\begin{align*}
		2x-7<(3x-4)-x &\Leftrightarrow 2x-7<3x-4-x\\
		\Leftrightarrow 2x-7 <2x-4\\
		&\Leftrightarrow 2x-7-2x < 2x-4-2x\\
		&\Leftrightarrow -7<-4
		\end{align*}
		
		{\color{orange} Cette dernière égalité est toujours vraie, quelque soit la valeur choisie pour $x$. Donc:}
		
		L'ensemble des solutions de l'inéquation est $\mathcal{S}= \mathbb{R}$.
		
		\item 
		
		\begin{align*}
		3x-(4+3x)>2 &\Leftrightarrow 3x-4-3x>2\\
		\Leftrightarrow -4>2
		\end{align*}
		
		{\color{orange} Cette dernière égalité est toujours fausse, quelque soit la valeur choisie pour $x$. Donc:}
		
		L'ensemble des solutions de l'inéquation est $\mathcal{S}= \emptyset$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Système d'inéquations.}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	Trouvez tous les nombres $x$ qui vérifient les deux inéquations suivantes (système de deux équations à une inconnue):
	
	$\left\{ \begin{array}{l} x+7 \le 12\\ x-5 \ge -17 \\ \end{array} \right.$
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Football}
	
	Résolvez les systèmes d'inéquations.
	
	\begin{tabular}{m{5cm}m{0.5cm}m{5cm}}
		\begin{enumerate}
			\item $\left\{ \begin{array}{l} 2x-8 \le 5x+13 \\ 4x-23 \le 10+x \end{array} \right.$
			\item $\left\{ \begin{array}{l} 2x-8 \ge 5x +13 \\ 4x-23 \ge 10 + x \end{array} \right.$
		\end{enumerate}
		&&
		\begin{enumerate}
			\setcounter{enumi}{2}
			\item $\left\{ \begin{array}{l} 2x-8 \le 5x +13 \\ 4x-23 \ge 10 + x \end{array} \right.$
		\end{enumerate}
		\\ \end{tabular}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item L'ensemble des solutions de $2x-8\le 5x+13$ est $\mathcal{S}_1= [-7 ; +\infty [$.
		
		L'ensemble des solutions de $4x-23\le 10+x$ est $\mathcal{S}_2= ]-\infty ; 11]$.
		
		L'ensemble des solutions du système d'inéquation est $\mathcal{S}_1\cap \mathcal{S}_2= [-7 ; +\infty [ \cap ]-\infty ; 11] =[-7;11]$.
		
		\item L'ensemble des solutions de $2x-8\ge 5x+13$ est $\mathcal{S}_1= ]-\infty ; -7]$.
		
		L'ensemble des solutions de $4x-23\ge 10+x$ est $\mathcal{S}_2= [11; +\infty [$.
		
		L'ensemble des solutions du système d'inéquation est $\mathcal{S}_1\cap \mathcal{S}_2= ]-\infty ; -7] \cap [11; +\infty [ = \emptyset$.
		
		\item L'ensemble des solutions de $2x-8\le 5x+13$ est $\mathcal{S}_1= [-7 ; +\infty [$.
		
		L'ensemble des solutions de $4x-23\ge 10+x$ est $\mathcal{S}_2= [11; +\infty [$.
		
		L'ensemble des solutions du système d'inéquation est $\mathcal{S}_1\cap \mathcal{S}_2= [-7 ; +\infty [ \cap [11; +\infty [ = [11 ; +\infty [$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Ajouter des inégalités membre à membre.}

\begin{notabene}
	
	Faire comparaisons avec l'égalité.
	
	Chercher un lien dans une autre partie du programme car je ne vois pas l'intérêt.
	
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	IL est possible, naturellement, d'ajouter des égalités membre à membres. On peut également ajouter des inégalités qui sont dan le même sens.
	
\end{lecon}

\subsection{Étude du signe des fonctions affines.}

\begin{lecon}
	
	Les outils que nous venons d'introduire vont nous permettre de faire une étude générale du signe d'une fonction affine.
	
\end{lecon}

\begin{lecon}
	
	Nous souhaitons étudier le signe d'une fonction affine. Autrement dit il faut en donner le tableau de signe mais par une justification algébrique et non pas une simple lecture graphique. Rappelons que donner le signe d'une fonction c'est trouver pour quelles valeurs de la variable $x$ les images sont: strictement positives, strictement négatives et nulles.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	Soit $h: \left\{ \begin{array}{rcl} \mathbb{R}& \rightarrow & \mathbb{R}\\  x & \mapsto & -7x+49\end{array}\right.$
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item On cherche les valeurs de $x$ telles que
		
		\begin{align*}
		h(x)>0 \\
		\intertext{Cette inéquation équivaut successivement à:}
		-7x+49&>0\\
		-7x+49-40&>0-49\\
		-7x&>-49\\
		\frac{-7x}{-7}&<\frac{-49}{-7}\\
		x&<7\\
		x \in ]-\infty ; 7[
		\end{align*}
		
		\item En procédant comme précédemment nous obtiendrions que l'ensemble des solutions de l'équation $h(x)=0$ est $\{ 7 \}$.
		
		\item Des deux points précédents nous déduisons que $h(x)<0$ lorsque $x \in ]7; +\infty[$.
		
	\end{enumerate}
	
	Nous en déduisons finalement
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8,  $h(x)$ /0.8}
		{$-\infty$ ,$7$, $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,z,-,}
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
	\begin{notabene}
		
		Que ce serait-il passé si la formule de $h$ avait été $h(x)= 7x+49$?
		
	\end{notabene}
	
\end{exemples}

\begin{proposition}{ - Signe des fonctions affines.}
	
	Soient:	
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $a$ et $b$ deux nombres réels,
		\item $f:x \mapsto ax+b$ une fonction affine définie sur $\mathbb{R}$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Si $a>0$, alors:
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
		{$x$ / 1 ,$f$ /1 }%
		{$-\infty$ , $-\frac{b}{a}$ , $+\infty$ }%
		\tkzTabLine{ , - , z , + , }
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}
	
	Supposons $a>0$ et démontrons qu'alors le tableau de signe proposé convient.
	
	\medskip
	Recherchons pour quelles valeurs de $x$, $f(x)>0$.
	\begin{align*}
	f(x)>0 &\Leftrightarrow ax+b>0\\
	&\Leftrightarrow ax+b-b>0-b\\
	&\Leftrightarrow ax>-b\\
	\intertext{Et comme $a> 0$:}
	f(x)>0 &\Leftrightarrow \frac{ax}{a}>-\frac{b}{a}\\
	&\Leftrightarrow  x> -\frac{b}{a}\\
	&\Leftrightarrow x\in \left] -\frac{b}{a};+\infty \right[ 
	\end{align*}
	
	\medskip
	Recherchons de même pour quelles valeurs de $x$, $f(x)=0$.
	\begin{align*}
	f(x)=0 &\Leftrightarrow ax+b=0\\
	&\Leftrightarrow x=-\frac{b}{a}
	\end{align*}
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item De même si $a<0$ alors le tableau de signe est 
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
			{$x$ / 1 ,$f$ /1 }%
			{$-\infty$ , $-\frac{b}{a}$ , $+\infty$ }%
			\tkzTabLine{ , + , z , - , }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item Si $a=0$ alors $f$ est la fonction constante égale à $b$ donc elle est toujours du même signe, celui de $b$.
		
		\item Ces deux situations correspondent soit au cas d'une droite qui monte soit au cas d'une droite qui descend.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\medskip
	\begin{enumerate}
		\item {\color{red}$\varheartsuit$} Considérons la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f:x \mapsto 2x+8$.
		
		$f$ est une fonction affine avec $a=2$ et $b=8$.
		
		$a>0$ et $-\frac{b}{a} = - \frac{8}{2}=-4$ donc, d'après le cours,
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
			{$x$ / 1 ,$f$ /1 }%
			{$-\infty$ , $-4$ , $+\infty$ }%
			\tkzTabLine{ , - , z , + , }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item Considérons la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g:x \mapsto -4x+10$.
		
		$g$ est une fonction affine avec $a=-4$ et $b=10$.
		
		$a<0$ et $-\frac{b}{a} = - \frac{10}{-4}=\frac{5}{2}$ donc
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
			{$x$ / 1 ,$g$ /1 }%
			{$-\infty$ , $\frac{5}{2}$ , $+\infty$ }%
			\tkzTabLine{ , + , z , - , }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{\Football}
	
	Donnez le tableau de signe de $f$ définie sur l'intervalle $I$ dans les différents cas proposés.
	
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{enumerate}
				\item $f(x)=2x+4$, $I=\mathbb{R}$.
				\item $f(x)=5x-15$, $I=\mathbb{R}$.
				\item $f(x)=-7x+14$, $I=\mathbb{R}$.
				\item $f(x)=-13x-39$, $I=\mathbb{R}$.
				\item $f(x)=x+7$, $I=\mathbb{R}$.
				\item $f(x)=x-\pi$, $I=\mathbb{R}$.
				\item $f(x)=-x+\sqrt{2}$, $I=\mathbb{R}$.
				\item $f(x)=-x-2$, $I=\mathbb{R}$.
			\end{enumerate}
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{enumerate}
				\setcounter{enumi}{8}
				\item $f(x)=3x+7$, $I=\mathbb{R}$.
				\item $f(x)=5x-4$, $I=\mathbb{R}$.
				\item $f(x)=-4x+13$, $I=\mathbb{R}$.
				\item $f(x)=-3x-4$, $I=\mathbb{R}$.
				\item $f(x)=5x+12$, $I=]-\infty; -3[$.
				\item $f(x)=6x-8$, $I=[-12; 10]$.
				\item $f(x)=-8x+12$, $I=\left[ \frac{3}{2} ; +\infty\right[$.
				\item $f(x)=-3x-24$, $I=]-8 ;10[$.
			\end{enumerate}
			
		\end{minipage}
		
	\end{tabularx}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
			{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
			{$-\infty$ , $\np{-2}$ , $+\infty$ }%
			\tkzTabLine{ , - , z , + , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
			{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
			{$-\infty$ , $\np{3}$ , $+\infty$ }%
			\tkzTabLine{ , - , z , + , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
			{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
			{$-\infty$ , $\np{2}$ , $+\infty$ }%
			\tkzTabLine{ , + , z , - , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
			{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
			{$-\infty$ , $\np{-3}$ , $+\infty$ }%
			\tkzTabLine{ , + , z , - , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
			{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
			{$-\infty$ , $\np{-7}$ , $+\infty$ }%
			\tkzTabLine{ , - , z , + , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
			{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
			{$-\infty$ , $\pi$ , $+\infty$ }%
			\tkzTabLine{ , - , z , + , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
			{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
			{$-\infty$ , $\sqrt{2}$ , $+\infty$ }%
			\tkzTabLine{ , + , z , - , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
			{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
			{$-\infty$ , $\np{-2}$ , $+\infty$ }%
			\tkzTabLine{ , + , z , - , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
			{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
			{$-\infty$ , $-\frac{7}{3}$ , $+\infty$ }%
			\tkzTabLine{ , - , z , + , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
			{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
			{$-\infty$ , $\frac{4}{5}$ , $+\infty$ }%
			\tkzTabLine{ , - , z , + , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
			{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
			{$-\infty$ , $\frac{13}{4}$ , $+\infty$ }%
			\tkzTabLine{ , + , z , - , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
			{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
			{$-\infty$ , $-\frac{4}{3}$ , $+\infty$ }%
			\tkzTabLine{ , + , z , - , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
			{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
			{$-\infty$ , $-3$,  $-\frac{12}{5}$ }%
			\tkzTabLine{ , - , z , + , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
			{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
			{$-12$ , $\frac{4}{3}$ , $10$ }%
			\tkzTabLine{ , - , z , + , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
			{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
			{ $\frac{3}{2}$ , $+\infty$ }%
			\tkzTabLine{ z , - , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
			{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
			{$-8$ , $10$ }%
			\tkzTabLine{ d , - ,d }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\subsection{Des inéquations produit-nul.}

\begin{lecon}
	
	Nous savons depuis le collège résoudre des équations du premier degré et sinon nous essayons d'utiliser des équations produit-nul.
	
	Nous allons avoir sensiblement la même démarche pour les inéquations.
	
\end{lecon}

\begin{notabene}
	
	Exercice à faire pour mettre en évidence les difficultés de l'étude du signe d'une fonction.
	
\end{notabene}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	\begin{notabene}
		
		L'objectif de l'exercice suivant est de montrer aux élèves les difficultés de cette question.
		
		J'attends des démarches de conjectures: essais et calculatrice. Mais aussi des démarches de résolutions infructueuses faisant appel à la résolution séparée des deux équations de degré 1.
		
	\end{notabene}
	
	Essayez de résoudre, dans l'ensemble des réels, les inéquations d'inconnue $x$.
	
	\begin{align*}
	(E_1) &\quad -3x+1<0 \\
	(E_2) &\quad 2(x-3)(-7x+14)>0
	\end{align*}
	
\end{exercice}

\subsubsection{Étude du signe d'une fonction factorisée.}

\begin{lecon}
	
	\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}{\color{orange}Pour étudier le signe d'une fonction factorisée il faut étudier le signe de chaque facteur en regroupant les résultats dans un unique tableau de signe.}
	
\end{lecon}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	Étudiez le signe de la fonction $f$ définie sur $[-10;10]$ par, pour tout $x\in [-10;10]$ \[f(x)=(3x-7)x^2(-x+1) \]
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}La fonction $f$ est un produit de trois fonctions: $g(x)=3x-7$, $h(x)=x^2$ et $k(x)=-x+1$ quelque soit $x$ dans $[-10;10]$. Pour étudier le signe de $f$ nous allons donc rechercher le signe de ces trois fonctions.}
	
	\begin{enumerate}
		\item \objectif{Étudions le signe de $g(x)=3x-7$ sur $[-10;10]$.}
		
		$g$ est une fonction affine de la forme $g(x)=ax+b$ avec $a=3$ et $b=-7$. Puisque son coefficient directeur $a$ est strictement positif nous pouvons affirmer que
		
		\begin{conclusion}
			
			\begin{enumerate}[.]
				\item $g$ s'annule en $\color{blue}-\frac{b}{a}=-\frac{-7}{3}=\frac{7}{3}$.
				\item $g$ est strictement négative sur $\left[ -10 ; \frac{7}{3} \right[$.
				\item $g$ est strictement positive sur $\color{violet} \left] \frac{7}{3} ; 10 \right]$.
			\end{enumerate}
			
		\end{conclusion}
		
		\begin{notabene}
			
			Pour étudier le signe de $g$, qui est une fonction affine, il faut résoudre $g(x)>0$, $g(x)=0$ et $g(x)<0$ (en fait il suffit d'en résoudre deux parmi les trois).
			\begin{enumerate}[.]
				\item 
				\begin{align*}
				g(x)>0 & \Leftrightarrow 3x-7>0 \\
				&\Leftrightarrow 3x-7+7>0+7\\
				&\Leftrightarrow 3x>7\\
				&\Leftrightarrow \frac{3x}{3}>\frac{7}{3}\\
				&\Leftrightarrow x> \frac{7}{3}
				\end{align*}
				
				Donc $g(x)>0$ si et seulement si $\color{violet}x\in \left] \frac{7}{3},10 \right]$.
				
				\item 
				\begin{align*}
				g(x)=0 & \Leftrightarrow 3x-7=0 \\
				&\Leftrightarrow 3x-7+7=0+7\\
				&\Leftrightarrow 3x=7\\
				&\Leftrightarrow \frac{3x}{3}=\frac{7}{3}\\
				&\Leftrightarrow x= \frac{7}{3}
				\end{align*}
				
				Donc $g(x)=0$ si et seulement si ${\color{blue}x=\frac{7}{3}}\  (\in [-10,10])$.
				
				
				\item Donc $g(x)<0$ si et seulement si $x\in \left[-10,  \frac{7}{3} \right[$.
				
			\end{enumerate}
			
		\end{notabene}
		
		\item \objectif{Étudions le signe de $h(x)=x^2$ sur $[-10;10]$.}
		
		$h$ est la restriction de la fonction carrée à l'intervalle $[-10 ; 10]$, donc, d'après le cours
		
		\begin{conclusion}
			
			\begin{enumerate}[.]
				\item $h(x)>0$ si et seulement si $\color{violet}x\in [-10,0[ \cup ]0,10]$.
				\item $h(x)=0$ si et seulement si $\color{blue}x=0$.
			\end{enumerate}
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Étudions le signe de $k(x)=-x+1$ sur $[-10;10]$.}
		
		$k$ est une fonction affine de la forme $k(x)=ax+b$ avec $a=-1$ et $b=1$. Puisque son coefficient directeur $a$ est strictement négatif nous pouvons affirmer que
		
		\begin{conclusion}
			
			\begin{enumerate}[.]
				\item $k$ s'annule en $\color{blue}-\frac{b}{a}=-\frac{1}{-1}=1$.
				\item $g$ est strictement positive sur $\color{violet} \left[ -10 ; 1 \right[$.
				\item $g$ est strictement négative sur $\left] 1 ; 10 \right]$.
			\end{enumerate}
			
		\end{conclusion}
		
		\begin{notabene}
			
			De même que pour $g$:
			\begin{enumerate}[.]
				\item 
				\begin{align*}
				k(x)>0 & \Leftrightarrow -x+1>0 \\
				&\Leftrightarrow 1>x
				\end{align*}
				
				Donc $g(x)>0$ si et seulement si $\color{violet}x\in \left[ -10; 1\right[$.
				
				\item 
				\begin{align*}
				k(x)=0 & \Leftrightarrow -x+1=0 \\
				&\Leftrightarrow 1=x
				\end{align*}
				
				Donc $k(x)=0$ si et seulement si ${\color{blue}x=1}\  (\in [-10,10])$.
				
				\item Donc $k(x)<0$ si et seulement si $x\in \left] 1,  10 \right]$.
				
			\end{enumerate}
			
		\end{notabene}
		
	\end{enumerate}
	
	{\color{orange}Nous regroupons à présent le signe des trois facteurs dans un unique tableau de signe. Pour cela il faut suivre les étapes suivantes.
		
		\begin{enumerate}
			\item Les lignes: $\color{red}x$, les facteurs $\color{red}g(x)=3x-7$, $\color{red}h(x)=x^2$, $\color{red}k(x)=-x+1$, et leur produit $\color{red}f(x)$.
			\item Indiquer l'ensemble de définition de $x$: $\color{Emerald}[-10,10]$.
			\item Les {\color{blue}valeurs de $x$ qui annulent les facteurs} $g$, $h$ ou $k$ (placés dans l'ordre croissant). Ces valeurs indiquent les colonnes du tableau. Puis les {\color{black}zéros} en dessous indiquant le facteur qu'elles annulent.
			\item Puis on complète {\color{violet}les lignes de signes du tableau} grâce aux résolutions d'équations et {\color{violet}inéquations} faites précédemment.
			
			Par exemple: $g(x)>0$ si et seulement si $x\in \left] \frac{7}{3},10 \right]$, on place donc des signes $+$ après le zéro de la ligne.
			\item Il est alors possible de compléter la dernière ligne de signe en utilisant la règle sur le signe d'un produit. Par exemple, pour $x\in [-10,0[$, $3x-7$ est négatif, $x^2$ est positif et $-x+1$ est positif donc leur produit est négatif.
		\end{enumerate}
	}
	
	\medskip
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$\color{red}x$ /0.8, $\color{red}3x-7$ /0.8, $\color{red}x^2$/0.8, $\color{red}-x+1$ /0.8, $\color{red}f(x)$/0.8}
		{$\color{Emerald}-10$ ,$\color{blue}0$, $\color{blue}1$, $\color{blue}\frac{7}{3}$, $\color{Emerald}10$}
		\tkzTabLine{,-,t,-,t,-,z,{\color{violet}+},}%
		\tkzTabLine{,{\color{violet}+},z,{\color{violet}+},t,{\color{violet}+},t,{\color{violet}+},}%
		\tkzTabLine{,{\color{violet}+},t,{\color{violet}+},z,-,t,-,}%
		\tkzTabLine{,-,z,-,z,{\color{violet}+},z,-,}%
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\medskip
	{\color{orange}La rédaction adoptée ci-dessus est très détaillée nous adopterons une rédaction un peu plus légère dans la pratique.}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{remarques}
	
	Remarques.
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Pour vérifier ou conjecturer le tableau de signe il est possible de faire une lecture graphique sur la calculatrice.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	Étudiez le signe de $g:\left\{\begin{array}{ccl} [ -6; 4] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & (x+4)(-x+2) \end{array} \right. $
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\objectif{Étudions le signe de $g$.}
	
	\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item $h:x \mapsto x+4$ est une fonction affine avec $a=1$ et $b=4$. $h$ est strictement croissante car $a>0$. $h$ s'annule en $-\frac{b}{a}=-\frac{4}{1}=-4$.
		
		\item $k:x \mapsto -x+2$ est une fonction affine avec $a=-1$ et $b=2$. $k$ est strictement décroissante car $a<0$. $k$ s'annule en $-\frac{b}{a}=-\frac{2}{-1}=2$.
		
	\end{enumerate}
	
	Nous en déduisons:
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $x+4$ /0.8, $-x+2$ /0.8, $g$ /0.8}
		{$-6$ ,$-4$, $2$, $4$}
		\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}%
		\tkzTabLine{,+,t,+,z,-,}%
		\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}%
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Inéquation produit-nul.}

\begin{lecon}
	
	{\color{WildStrawberry}Résoudre une inéquation produit-nul revient à étudier le signe de la fonction associée.}
	
\end{lecon}

\begin{exercice}{}
	
	Résolvez l'inéquation $-2(x+1)(-7-x)\geqslant 0$ dans $\mathbb{R}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	Notons $f:x\mapsto -2(x+1)(-7-x)$ quelque soit $x$ réel.
	
	{\color{orange}Nous devons trouver pour quelles valeurs de $x$ $f(x)$ est positif ou nul.}
	
	\medskip
	\objectif{Étudions le signe de $f$.}
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item $-2$ est strictement négatif.
		\item $x\mapsto x+1$ est une fonction affine avec $a=1$ et $b=1$, elle s'annule en $-1$ et, son coefficient directeur étant strictement positif elle est strictement croissante.
		\item $x\mapsto -7-x$ est une fonction affine avec $a=-1$ et $b=-7$, elle s'annule en $-\frac{-7}{-1}=-7$ et, son coefficient directeur étant strictement négatif, elle est strictement décroissante.
	\end{enumerate}
	
	Nous en déduisions:
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $-2$ /0.8, $x+1$ /0.8, $-7-x$ /0.8, $f(x)$ /0.8}
		{$-\infty$, $-7$, $-1$, $+\infty$}
		\tkzTabLine{,-,t,-,t,-,}%
		\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,}%
		\tkzTabLine{,+,z,-,t,-,}%
		\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}%
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\begin{conclusion}
		
		L'ensemble des solutions de l'inéquation $-2(x+1)(-7-x)\geqslant 0$ est $\mathcal{S}= \left] -\infty; -7 \right] \cup \left[ -1 ; +\infty \right[$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme nathan hyperbole page 121 exercice 16, 17, 18 page 123 exercice 34
		
	\end{notabene}
	
	\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		\begin{enumerate}
			\item $(x-5)(-2x+6)\geqslant 0$
			\item $(3x-5)(x+4)>0$
			\item $(x+3)(-x+6)\leqslant 0$
			\item $(-x+4)(3x+2)>0$
			\item $(10x+5)(-3x+4)>0$
			\item $(x-4)(3-x)\leqslant 0$
			\item $(-2x+3)(5+x)>0$
			\item $3x(3x-5)<0$
			\item $-(x+1)^2(2x-1)\geqslant 0$
		\end{enumerate}
		&
		\begin{enumerate}
			\setcounter{enumi}{9}
			\item $-2x(x-1)(4-x)\leqslant 0$
			\item $x^2(4-x)(-2x+1)>0$
			\item $x^3(x+1)<0$
			\item $(x^2+1)(x-1)\geqslant 0$
			\item $(x-2)(4-x)<0$
			\item $\left( \frac{3}{4}-x \right) \left( x- \frac{7}{6} \right)\geqslant 0$
			\item $(x+\sqrt{3})(x-4)\geqslant 0$
			\item $(3x-7)(7-3x)\leqslant 0$
		\end{enumerate}
		\\ \end{tabularx}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	Dans tous les cas nous noterons $P(x)$ l'expression factorisée (\emph{i.e.} sous forme de produit).
	
	{\color{orange}Le corrigé ici ne détail pas l'étude du signe de chaque facteur.}
	
	\begin{enumerate}
		\item ~
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $x-5$ /0.8, $-2x+6$ /0.8, $P(x)$ /0.8}
			{$-\infty$ , $3$, $5$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,}%
			\tkzTabLine{,+,z,-,t,-,}%
			\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de l'inéquation $(x-5)(-2x+6)\geqslant 0$ est $\mathcal{S}= \left[ 3;5 \right]$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $3x-5$ /0.8, $x+4$ /0.8, $P(x)$ /0.8}
			{$-\infty$ , $-4$, $\frac{5}{3}$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,}%
			\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}%
			\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de l'inéquation $(3x-5)(x+4)> 0$ est $\mathcal{S}= \left] - \infty; 4 \right[ \cup \left] \frac{5}{3} ;+\infty \right[$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $x+3$ /0.8, $-x+6$ /0.8, $P(x)$ /0.8}
			{$-\infty$ , $-3$, $6$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}%
			\tkzTabLine{,+,t,+,z,-,}%
			\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de l'inéquation $(x+3)(-x+6)\leqslant 0$ est $\mathcal{S}= \left] - \infty; -3 \right] \cup \left[ 6; +\infty \right[$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $-x+4$ /0.8, $3x+2$ /0.8, $P(x)$ /0.8}
			{$-\infty$ , $-\frac{2}{3}$, $4$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,+,t,+,z,-,}%
			\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}%
			\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de l'inéquation $(-x+4)(3x+2)>0$ est $\mathcal{S}= \left] - \frac{2}{3}; 4 \right[$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $10x+5$ /0.8, $-3x+4$ /0.8, $P(x)$ /0.8}
			{$-\infty$ , $-\frac{1}{2}$, $\frac{4}{3}$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}%
			\tkzTabLine{,+,t,+,z,-,}%
			\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de l'inéquation $(10x+5)(-3x+4)>0$ est $\mathcal{S}= \left] - \frac{1}{2}; \frac{4}{3} \right[$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $x-4$ /0.8, $3-x$ /0.8, $P(x)$ /0.8}
			{$-\infty$ , $3$, $4$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,}%
			\tkzTabLine{,+,z,+-,t,-,}%
			\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de l'inéquation $(x-4)(3-x)\leqslant 0$ est $\mathcal{S}= \left] -\infty; 3 \right] \cup \left[ 4; +\infty \right[$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $-2x+3$ /0.8, $5+x$ /0.8, $P(x)$ /0.8}
			{$-\infty$ , $-5$, $\frac{3}{2}$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,+,t,+,z,-,}%
			\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}%
			\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de l'inéquation $(-2x+3)(5+x)> 0$ est $\mathcal{S}= \left] -5; \frac{3}{2} \right[$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $3x$ /0.8, $3x-5$ /0.8, $P(x)$ /0.8}
			{$-\infty$ , $0$, $\frac{5}{3}$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}%
			\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,}%
			\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de l'inéquation $3x(3x-5)< 0$ est $\mathcal{S}= \left] 0; \frac{5}{3} \right[$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $-1$ /0.8, $(x+1)^2$ /0.8, $2x-1$ /0.8, $P(x)$ /0.8}
			{$-\infty$ , $0$, $\frac{1}{2}$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,t,-,t,-,}%
			\tkzTabLine{,+,z,+,t,+,}%
			\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,}%
			\tkzTabLine{,+,z,+,z,-,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de l'inéquation $-(x+1)^2(2x-1) \geqslant 0$ est $\mathcal{S}=\left] -\infty ; \frac{1}{2} \right]$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $-2$ /0.8, $x$ /0.8, $x-1$ /0.8, $4-x$ /0.8, $P(x)$ /0.8}
			{$-\infty$ , $0$, $1$, $4$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,t,-,t,-,t,-,}%
			\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,t,+,}%
			\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,t,+,}%
			\tkzTabLine{,+,t,+,t,+,z,-,}%
			\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,z,+,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de l'inéquation $-2x(x-1)(4-x) \leqslant 0$ est $\mathcal{S}= \left] -\infty ; 0 \right] \cup [1;4]$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $x^2$ /0.8, $4-x$ /0.8, $-2x+1$ /0.8, $P(x)$ /0.8}
			{$-\infty$ , $0$, $\frac{1}{2}$, $4$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,+,z,+,t,+,t,+,}%
			\tkzTabLine{,+,t,+,t,+,z,-,}%
			\tkzTabLine{,+,t,+,z,-,t,-,}%
			\tkzTabLine{,+,z,+,z,-,z,+,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de l'inéquation $x^2(4-x)(-2x+1)>0$ est $\mathcal{S}= \left] -\infty ; 0 \right[ \cup \left] 0; \frac{1}{2} \right[ \cup ]4; + \infty[$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $x^3$ /0.8, $x+1$ /0.8,$P(x)$ /0.8}
			{$-\infty$ , $-1$, $0$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,}%
			\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}%
			\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de l'inéquation $x^3(x+1)<0$ est $\mathcal{S}= ]-1; 0[$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $x^2+1$ /0.8, $x-1$ /0.8,$P(x)$ /0.8}
			{$-\infty$ , $1$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,+,t,+,}%
			\tkzTabLine{,-,z,+,}%
			\tkzTabLine{,-,z,+,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de l'inéquation $(x^2+1)(x-1)\geqslant 0$ est $\mathcal{S}= [1; +\infty[$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $x-2$ /0.8, $4-x$ /0.8,$P(x)$ /0.8}
			{$-\infty$ , $2$, $4$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}%
			\tkzTabLine{,+,t,+,z,-,}%
			\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de l'inéquation $(x-2)(4-x)<0$ est $\mathcal{S}= ] -\infty ;2[ \cup ]4; +\infty[$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $\frac{3}{4} -x$ /0.8, $x-\frac{7}{6}$ /0.8,$P(x)$ /0.8}
			{$-\infty$ , $\frac{3}{4}$, $\frac{7}{6}$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,+,z,-,t,-,}%
			\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,}%
			\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de l'inéquation $\left( \frac{3}{4} -x \right) \left( x-\frac{7}{6} \right) \geqslant 0$ est $\mathcal{S}= \left[ \frac{3}{4} ; \frac{7}{6} \right]$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $x+ \sqrt{3}$ /0.8, $x-4$ /0.8,$P(x)$ /0.8}
			{$-\infty$ , $-\sqrt{3}$, $4$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}%
			\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,}%
			\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de l'inéquation $(x+\sqrt{3})(x-4) \geqslant 0$ est $\mathcal{S}= [ \sqrt{3} ; 4 ] $.
			
		\end{conclusion}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $3x-7$ /0.8, $7-3x$ /0.8,$P(x)$ /0.8}
			{$-\infty$ , $\frac{7}{3}$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,z,+,}%
			\tkzTabLine{,+,z,-,}%
			\tkzTabLine{,-,z,-,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de l'inéquation $(3x-7)(7-3x) \leqslant 0$ est $\mathcal{S}= \mathbb{R}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Inéquation se ramenant à une inéquation produit-nul.}

\begin{notabene}
	
	{\color{WildStrawberry}Pour résoudre une inéquation qui n'est pas linaire du premier degré nous essaierons de nous ramener à une inéquation produit-nul en procédant comme pour les équations produit-nul.}
	
\end{notabene}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	Justifiez que les inéquations suivantes sont équivalentes \[ (2x-4)(x+5)+x>-5 \text{ et } (2x-3)(x+5)>0 \] puis résolvez l'inéquation $(2x-4)(x+5)+x>-5$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item 
		
		\begin{align*}
		(2x-4)(x+5)+x>-5 &\Leftrightarrow (2x-4)(x+5)+x+5>0\\
		&\Leftrightarrow (2x-4)(x+5)+1 \times (x+5) >0\\
		&\Leftrightarrow \left[ (2x-4)+1 \right](x+5)>0\\
		&\Leftrightarrow (2x-4+1)(x+5)>0\\
		&\Leftrightarrow (2x-3)(x+5)>0
		\end{align*}
		
		\item \objectif{Résolvons l'inéquation $(2x-3)(x+5)>0$.}
		
		\begin{enumerate}[.]
			\item $f:x \mapsto 2x-3$ est une fonction affine avec $a=2$ et $b=-3$. $a>0$ donc $f$ est strictement croissante. $f$ s'annule en $-\frac{b}{a}=-\frac{-3}{2}=\frac{3}{2}$.
			\item $g:x \mapsto x+5$ est une fonction affine avec $a=1$ et $b=5$. $a>0$ donc $g$ est strictement croissante. $g$ s'annule en $-\frac{b}{a}=-\frac{5}{1}=-5$.
		\end{enumerate}
		
		Nous en déduisons
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $2x-3$ /0.8, $x+5$ /0.8, $(2x-3)(x+5)$ /0.8}
			{$-\infty$ ,$-5$, $\frac{3}{2}$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,}%
			\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}%
			\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de $(2x-4)(x+5)+x>-5$ est $\mathscr{S}= ]-\infty;-5[ \cup \left]\frac{3}{2};+\infty \right[$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Football}
	
	Résolvez dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $x^2\leqslant 16$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{align*}
	x^2 \leqslant 16 &\Leftrightarrow x^2-16 \leqslant 0\\
	&\Leftrightarrow (x-4)(x+4) \leqslant 0
	\end{align*}
	
	Étudions le signe de $h:x \mapsto (x-4)(x+4)$.
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $f:x \mapsto x-4$ est une fonction affine avec $a=1$ et $b=-4$. $a>0$ donc $f$ est strictement croissante. $f$ s'annule en $-\frac{b}{a}=-\frac{-4}{1}=4$.
		\item $g:x \mapsto x+4$ est une fonction affine avec $a=1$ et $b=4$. $a>0$ donc $g$ est strictement croissante. $g$ s'annule en $-\frac{b}{a}=-\frac{4}{1}=-4$.
	\end{enumerate}
	
	Nous en déduisons
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $x-4$ /0.8, $x+4$ /0.8, $h(x)$ /0.8}
		{$-\infty$ ,$-4$, $4$, $+\infty$}
		\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,}%
		\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}%
		\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}%
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\begin{conclusion}
		
		L'ensemble des solutions de $x^2\leqslant 16$ est $\mathscr{S}= [-4;4]$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme nathan hyperbole 2010 page 123 exercice 35, page 123 exercice 34
		
	\end{notabene}
	
	Résolvez les inéquation suivantes dans l'ensemble des réels.
	
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		\begin{enumerate}
			\item $x^2-4x\le -2x-1$
			\item $3x(x+3)-(x+3)^2\le 0$
			\item $x^3+2x^2+x\ge 0$
			\item $x(x+6)>3(x+6)$
			\item $2x(x-3)+3x-9<6x-18$
			\item $x^2(1-3x)+4(6x-2)\ge 0$
			\item $(1-2x)x-4x(x+6)\le 0$
			\item $7-x^2<2x-2\sqrt{7}$
			\item $(x^2-1)+2x-2>6x-6$
			\item $x^2 \le 10$
		\end{enumerate}
		&
		\begin{enumerate}
			\setcounter{enumi}{10}
			\item $x^2 \le -16$
			\item $x^2 \le 0$
			\item $x^2<8$
			\item $x^2 \le 144$
			\item $x^2 \le 20$
			\item $x^2-4+(x+2)(2x+5)<0$
			\item $(x+1)(x-3)\ge x^2-9$
			\item $4x-4+(x-1)(x-4)+x^2-1>0$
			\item $(x+5)^2\le (x+5)(x+3)$
			\item $(2x-1)(x+3)\ge \left( x-\frac{1}{2} \right) (x+6)$
		\end{enumerate}
		\\ \end{tabularx}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $(x-1)^2\le 0$. $\mathscr{S}= \{ 1\}$.
		
		\item $(x+3)(2x-3)\le 0$. $\mathscr{S}= \left[-3 ; \frac{3}{2} \right]$.
		
		\item $x(x+1)^2\ge 0$. $\mathscr{S}= \{ -1 \} \cup [0 ;+\infty[$.
		
		\item $(x-3)(x+6)>0$. $\mathscr{S}= ]-\infty ; -6[ \cup ] 3;+ \infty[$.
		
		\item $(x-3)(2x-3)<0$. $\mathscr{S}= \left] \frac{3}{2} ; 3 \right[$.
		
		\item {\color{red}Merci M. Permalnaïck.}
		
		\begin{align*}
		x^2(1-3x)+4(6x-2) &\geqslant 0\\
		\intertext{équivaut successivement à:}
		x^2(1-3x)+4 \times (-2)(1-3x) &\geqslant 0\\
		x^2(1-3x)-8(1-3x) &\geqslant 0\\
		[x^2-8] (1-3x) &\geqslant 0\\
		[x^2-(2\sqrt{2})^2 ] (1-3x) &\geqslant 0\\
		(x-2\sqrt{2})(x+2\sqrt{2})(1-3x) &\geqslant 0
		\end{align*}
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=2.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $x-2\sqrt{2}$ /0.8, $x+2\sqrt{2}$ /0.8, $1-3x$ /0.8, $P(x)$ /0.8}
			{$-\infty$ ,$-2\sqrt{2}$, $\frac{1}{3}$, $2\sqrt{2}$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,t,-,t,-,z,+,}%
			\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,t,+,}%
			\tkzTabLine{,+,t,+,z,-,t,-,}%
			\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,z,-,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		$\mathscr{S}= \left]-\infty ; -2\sqrt{2} \right] \cup \left[ \frac{1}{3} ; 2\sqrt{2} \right]$.
		
		\item $x(-6x-23)\le 0$.
		
		\item $(\sqrt{7}-x)(x+\sqrt{7}+2)<0$.
		
		\item $(x-1)(x-3)>0$.
		
		\item $(x-\sqrt{10})(x+\sqrt{10})\le 0$.
		
		\item 
		
		\item 
		
		\item $(x-2\sqrt{2})(x+2\sqrt{2})<0$.
		
		\item $(x-12)(x+12)\le 0$.
		
		\item $(x-2\sqrt{5})(x+2\sqrt{5}) \le 0$
		
		\item $3(x+2)(x+1) <0$.
		
		\item $-2(x-3) \ge 0$.
		
		\item $(x-1)(2x+1)>0$.
		
		\item $2(x+5)\le 0$.
		
		\item $x\left( x-\frac{1}{2} \right)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Inéquation quotient.}

\begin{lecon}
	
	{\color{WildStrawberry} Pour étudier le signe d'un quotient nous étudions le signe du numérateur puis du dénominateur et nous utilisons la même règle que pour le signe d'un produit. Il faut cependant rester vigilant et exclure les valeurs interdites.}
	
\end{lecon}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	Résolvez l'inéquation $\displaystyle \frac{-x+1}{-2x+8}>0$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\objectif{Étudions le signe de $h:x \mapsto \frac{-x+1}{-2x+8}$.}
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $f:x \mapsto -x+1$ est une fonction affine avec $a=-1$ et $b=1$. $a<0$ donc $f$ est strictement décroissante. $f$ s'annule en $-\frac{b}{a}=-\frac{1}{-1}=1$.
		\item $g:x \mapsto -2x+8$ est une fonction affine avec $a=-2$ et $b=8$. $a<0$ donc $g$ est strictement décroissante. $g$ s'annule en $-\frac{b}{a}=-\frac{8}{-2}=4$.
	\end{enumerate}
	
	Nous en déduisons
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $-x+1$ /0.8, $-2x+8$ /0.8, $h(x)$ /0.8}
		{$-\infty$ ,$1$, $4$, $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,z,-,t,-,}%
		\tkzTabLine{,+,t,+,z,-,}%
		\tkzTabLine{,+,z,-,d,+,}%
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	{\color{orange}Il ne faut oublier d'exclure $4$ de l'ensemble de définition (double barre) car il est impossible de diviser par zéro.}
	
	\begin{conclusion}
		
		L'ensemble des solutions de $\frac{-x+1}{-2x+8}>0$ est $\mathscr{S}= \left]-\infty; 1 \right] \cup \left] 4;+\infty\right[$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme hachette declic 2014 page 127 exercice 49, 
		
		2ieme nathan hyperbole 2010 page 123
		
	\end{notabene}
	
	Résolvez les inéquations dans $\mathbb{R}$.
	
	\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		\begin{enumerate}
			\item $\dfrac{2x-4}{x+2}\leqslant 0$
			\item $\dfrac{-2x+8}{3x-2}\leqslant 0$
			\item $\dfrac{2x+4}{x-1}-2\ge 0$
			\item $\dfrac{2x+4}{x+1}<3$
			\item $\dfrac{2x+3}{x+1} \le \dfrac{x-6}{x+1}$
			\item $1<\dfrac{2x+10}{-x+3}$
			\item $\dfrac{x+3}{2x-1}\ge 0$
			\item $\dfrac{2-x}{5-2x}\le 0$
			\item $\dfrac{3x-1}{-x+5}>0$
			\item $\dfrac{5x(x-2)}{4x+1}<0$
		\end{enumerate}
		&
		\begin{enumerate}
			\setcounter{enumi}{10}
			\item $\dfrac{2x^2}{(-x+1)(x+3)}\ge 0$
			\item $\dfrac{-x(x-4)}{2+x^2}\le 0$
			\item $\dfrac{(x+1)(x-2)}{3-x}>0$
			\item $\dfrac{9-4x}{11-5x}<0$
			\item $\dfrac{-5+4x}{2x-1}\ge 0$
			\item $\dfrac{x+1}{3-x}\le 0$
			\item $\dfrac{7-2x}{2x-1} >0$
			\item $\dfrac{-5x}{(2x-7)^2}<0$
			\item $\dfrac{1+2x^2}{7-x}\ge 0$
			\item $\dfrac{x+4}{5-x}<2$
		\end{enumerate}
		
		\\ \end{tabularx}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 	
		\objectif{Étudions le signe de $h:x \mapsto \frac{2x-4}{x+2}$.}
		
		\begin{enumerate}[.]
			\item $f:x \mapsto 2x-4$ est une fonction affine avec $a=2$ et $b=-4$. $a>0$ donc $f$ est strictement croissante. $f$ s'annule en $-\frac{b}{a}=-\frac{-4}{2}=2$.
			\item $g:x \mapsto x+2$ est une fonction affine avec $a=1$ et $b=2$. $a>0$ donc $g$ est strictement croissante. $g$ s'annule en $-\frac{b}{a}=-\frac{2}{1}=-2$.
		\end{enumerate}
		
		Nous en déduisons
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $2x-4$ /0.8, $x+2$ /0.8, $h(x)$ /0.8}
			{$-\infty$ ,$-2$, $2$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,}%
			\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}%
			\tkzTabLine{,+,d,-,z,+,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de $\frac{2x-4}{x+2}\leqslant 0$ est $\mathscr{S}= \left]-2; 2 \right]$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item 
		
		\objectif{Étudions le signe de $h:x \mapsto \frac{-2x+8}{3x-2}$.}
		
		\begin{enumerate}[.]
			\item $f:x \mapsto -2x+8$ est une fonction affine avec $a=-2$ et $b=8$. $a<0$ donc $f$ est strictement décroissante. $f$ s'annule en $-\frac{b}{a}=-\frac{8}{-2}=4$.
			\item $g:x \mapsto 3x-2$ est une fonction affine avec $a=3$ et $b=-2$. $a>0$ donc $g$ est strictement croissante. $g$ s'annule en $-\frac{b}{a}=-\frac{-2}{3}=\frac{2}{3}$.
		\end{enumerate}
		
		Nous en déduisons
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $-2x+8$ /0.8, $3x-2$ /0.8, $h(x)$ /0.8}
			{$-\infty$ ,$\frac{2}{3}$, $4$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,+,t,+,z,-,}%
			\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}%
			\tkzTabLine{,-,d,+,z,-,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de $\frac{-2x+8}{3x-2}\leqslant 0$ est $\mathscr{S}= \left]-\infty ; \frac{2}{3} \right[ \cup [4 ; + \infty[$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}


\subsection{Conjecturer graphiquement les solutions d'une inéquation.}

\subsubsection{"Résolution graphique" d'inéquation: $f(x)\le a$ (avec $a\in\mathbb{R}$).}

Pour conjecturer les solutions de l'inéquation $x^2+2x-7\le 3$ nous introduisons encore la fonction $\begin{array}{crcl} f: & \mathbb{R}&\rightarrow & \mathbb{R}\\ & x &\mapsto & x^2+2x-7\\ \end{array}$ puis traçons sa courbe représentative $\mathcal{C}_f$ avec un logiciel.

\medskip
\emph{\color{purple}Les solutions de l'inéquation $f(x)\le 3$ sont les abscisses des points de la courbe d'ordonnée plus petite ou égale à 3}.

\medskip
Les étapes de la recherche sont les suivantes:

\medskip
\noindent \begin{tabular}{m{3.7cm}|m{3.7cm}|m{3.7cm}}
	\hline
	\color{orange}$1$&\color{orange}$2$&\color{orange}$3$\\ \hline
	&&\\
	Dessinez l'ordonnée $3$. & Identifiez les points de la courbe dont l'ordonnée est plus petite que 3. & Lire les abscisses correspondantes.\\
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
		\def\xY{-6};
		\def\yY{-9};
		\def\xZ{6};
		\def\yZ{8};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
		\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
		\draw node[below left](0,0){\small $0$};
		\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize \pgfmathparse{\x }\pgfmathresult};
		\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=-5:3] plot(\x,{\x*\x+2*\x-7});
		\draw[blue] (4,-5) node[fill=white] {$\mathcal{C}_f$};	
		\draw[red, thick,dashed][samples=100,domain=-6:6] plot(\x,{3});
		\draw[violet] (-4.31662479,3) node {\Large $\times$};
		\draw[violet] (2.31662479,3) node {\Large $\times$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	&
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
		\def\xY{-6};
		\def\yY{-9};
		\def\xZ{6};
		\def\yZ{8};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
		\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
		\draw node[below left](0,0){\small $0$};
		\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize \pgfmathparse{\x }\pgfmathresult};
		\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=-5:3] plot(\x,{\x*\x+2*\x-7});
		\draw[blue] (4,-5) node[fill=white] {$\mathcal{C}_f$};	
		\draw[red, thick,dashed][samples=100,domain=-6:6] plot(\x,{3});
		\draw[green] (-4.31662479,3) node {\Large $\times$};
		\draw[green] (2.31662479,3) node {\Large $\times$};
		\draw[green, thick][samples=100,domain=-4.31662479:2.31662479] plot(\x,{\x*\x+2*\x-7});
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	&
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
		\def\xY{-6};
		\def\yY{-9};
		\def\xZ{6};
		\def\yZ{8};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
		\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
		\draw node[below left](0,0){\small $0$};
		\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize \pgfmathparse{\x }\pgfmathresult};
		\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=-5:3] plot(\x,{\x*\x+2*\x-7});
		\draw[blue] (4,-5) node[fill=white] {$\mathcal{C}_f$};	
		\draw[red, thick,dashed][samples=100,domain=-6:6] plot(\x,{3});
		\draw[green] (-4.31662479,3) node {\Large $\times$};
		\draw[green] (2.31662479,3) node {\Large $\times$};
		\draw[green, thick][samples=100,domain=-4.31662479:2.31662479] plot(\x,{\x*\x+2*\x-7});
		\draw[orange][thick,dashed] (-4.31662479,3)--((-4.31662479,0);
		\draw[orange][thick,dashed] (2.31662479,3)--(2.31662479,0);
		\draw[orange] (-4.31662479,0) node {$\left[ \right.$};
		\draw[orange] (2.31662479,0) node {$\left. \right]$};
		\draw[orange] (-4.31662479,0)--(2.31662479,0);
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\\ \hline
\end{tabular}

\medskip
Enfin donnez les solutions sous forme d'ensemble: l'ensemble des solutions de l'inéquation $x^2+2x-7\le 3$ est $[-4,3\ ;\ 2,3]$.

\medskip
Remarquons enfin que si l'inégalité avait été stricte ($x^2+2x-7< 3$) l'ensemble des solutions eut été ouvert ($]-4,3\ ;\ 2,3[$).

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	\href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=64496&ordre=1}{Exercice 32 page 104 du manuel Sesamath}: résolution d'inéquations, réunion, ouverts, fermés.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=64495&ordre=1}{Exercice 31 page 104 du manuel Sesamath}: résolution d'inéquations.
	
\end{exercice}

\subsubsection{"Résolution graphique" d'inéquation: $f(x)\le g(x)$.}

\medskip
\noindent \begin{tabular}{m{5.5cm}m{5.5cm}}
	Pour conjecturer les solutions de l'inéquation $x^2+2x-7\le 0,1(x + 2)^3 - 0.3(x + 2)^2$ nous introduisons encore les fonctions \newline 
	$\begin{array}{crcl} f: & \mathbb{R}&\rightarrow & \mathbb{R}\\ & x &\mapsto & x^2+2x-7\\ \end{array}$ et \newline 
	$\begin{array}{crcl} g: & \mathbb{R}&\rightarrow & \mathbb{R}\\ & x &\mapsto & 0,1(x + 2)^3 - 0.3(x + 2)^2\\ \end{array}$ \newline 
	puis traçons leurs courbes représentatives $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ avec un logiciel.
	&
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.4]
		\def\xY{-6};
		\def\yY{-9};
		\def\xZ{6};
		\def\yZ{8};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
		\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
		\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
		\draw node[below left](0,0){\small $0$};
		\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize \pgfmathparse{\x }\pgfmathresult};
		\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=-5:3] plot(\x,{\x*\x+2*\x-7});
		\draw[blue] (3,-4) node[fill=white] {$\mathcal{C}_f$};		
		\draw[red, thick][samples=100,domain=-5.68:3.556] plot(\x,{0.1*(\x+2)*(\x+2)*(\x+2)-0.3*(\x+2)*(\x+2)});
		\draw[red] (-4,-7) node[fill=white] {$\mathcal{C}_g$};		
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\\ \end{tabular}

\medskip
\emph{\color{purple}Les solutions de l'inéquation $f(x)\le g(x)$ sont les abscisses des points de la courbe $\mathcal{C}_f$ situés en dessous de ceux de la courbe $\mathcal{C}_g$}.

\medskip
\newpage
Les étapes de la recherche sont les suivantes:

\medskip
\noindent \begin{tabular}{m{5.5cm}|m{5.5cm}}
	\hline
	\color{orange}$1$&\color{orange}$2$\\ \hline
	&\\
	Identifiez les points de  $\mathcal{C}_f$ situés en dessous de ceux de $\mathcal{C}_g$. & Lire les abscisses correspondantes.\\
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.4]
		\def\xY{-6};
		\def\yY{-9};
		\def\xZ{6};
		\def\yZ{8};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
		\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
		\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
		\draw node[below left](0,0){\small $0$};
		\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize \pgfmathparse{\x }\pgfmathresult};
		\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=-5:3] plot(\x,{\x*\x+2*\x-7});
		\draw[blue] (3,-4) node[fill=white] {$\mathcal{C}_f$};		
		\draw[red, thick][samples=100,domain=-5.68:3.556] plot(\x,{0.1*(\x+2)*(\x+2)*(\x+2)-0.3*(\x+2)*(\x+2)});
		\draw[red] (-4,-7) node[fill=white] {$\mathcal{C}_g$};		
		\draw[green, thick][samples=100,domain=-3.608986:2.1660281] plot(\x,{\x*\x+2*\x-7});
		\draw (-3.608986,{-3.608986*(-3.608986)+2*(-3.608986)-7}) node{\color{green} $\bullet$};
		\draw (2.1660281,{2.1660281*(2.1660281)+2*(2.1660281)-7}) node{\color{green} $\bullet$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	&
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.4]
		\def\xY{-6};
		\def\yY{-9};
		\def\xZ{6};
		\def\yZ{8};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
		\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
		\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
		\draw node[below left](0,0){\small $0$};
		\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize \pgfmathparse{\x }\pgfmathresult};
		\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=-5:3] plot(\x,{\x*\x+2*\x-7});
		\draw[blue] (3,-4) node[fill=white] {$\mathcal{C}_f$};		
		\draw[red, thick][samples=100,domain=-5.68:3.556] plot(\x,{0.1*(\x+2)*(\x+2)*(\x+2)-0.3*(\x+2)*(\x+2)});
		\draw[red] (-4,-7) node[fill=white] {$\mathcal{C}_g$};		
		\draw[green, thick][samples=100,domain=-3.608986:2.1660281] plot(\x,{\x*\x+2*\x-7});
		\draw (-3.608986,{-3.608986*(-3.608986)+2*(-3.608986)-7}) node{\color{green} $\bullet$};
		\draw (2.1660281,{2.1660281*(2.1660281)+2*(2.1660281)-7}) node{\color{green} $\bullet$};
		\draw[violet,dashed,thick] (-3.608986,{-3.608986*(-3.608986)+2*(-3.608986)-7})--(-3.608986,{0});
		\draw[violet,dashed,thick] (2.1660281,{2.1660281*(2.1660281)+2*(2.1660281)-7})--(2.1660281,{0});
		\draw (-3.608986,{0}) node{\color{violet} $\left[ \right.$};
		\draw (2.1660281,{0}) node{\color{violet} $\left. \right]$};
		\draw[violet,very thick] (-3.608986,{0})--(2.1660281,{0}) ;
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\\ \hline
\end{tabular}

\medskip
Enfin donnez les solutions sous forme d'ensemble: l'ensemble des solutions de l'inéquation $x^2+2x-7\le 0,1(x + 2)^3 - 0.3(x + 2)^2$ est $[-3,6\ ;\ 2,2]$.


\begin{exercice}{\Football}
	
	\href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=64497&ordre=1}{Exercice 33 page 105 du manuel Sesamath}: résolution d'inéquations.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=64499&ordre=1}{Exercice 35 page 105 du manuel Sesamath}: résolution d'inéquations.
	
\end{exercice}

\subsection{Exercices.}

\begin{exercice}{\Football}
	
	Deux entreprises de transport proposent les tarifs suivants:
	\begin{itemize}
		\item $110$ \euro{} au départ plus $1,26$ \euro{} du kilomètre;
		\item $120$ \euro{} au départ plus $1,22$ \euro{} du kilomètre.
	\end{itemize}
	
	Pour quels kilométrages le tarif du second transporteur est-il plus avantageux?
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	Notons $x$ le nombre kilomètres parcourus, $A(x)$ le tarif pour $x$ kilomètres du premier transporteur, $B(x)$ le tarif pour $x$ kilomètres du second transporteur.
	
	\medskip
	\objectif{Résolvons l'inéquation $A(x) \geqslant B(x)$ dans $[0;+\infty[$.}
	
	\begin{align*}
	A(x) \geqslant B(x) &\Leftrightarrow 110+1,26 \times  \geqslant 120+1,22 \times x \\
	&\Leftrightarrow 110+1,26 x {\color{orange}-1,22x}  \geqslant 120+1,22 x  {\color{orange}-1,22x}\\
	&\Leftrightarrow 110+(1,26 -1,22) x  \geqslant 120\\
	&\Leftrightarrow 110+0,04 x \geqslant 120 \\
	&\Leftrightarrow 110+0,04 x {\color{orange}-110}  \geqslant 120  {\color{orange}-110}\\
	&\Leftrightarrow 0,04 x   \geqslant 10\\
	&\Leftrightarrow \frac{0,04 x}{\color{orange}0,04} \geqslant \frac{10}{\color{orange}0,04} \\
	&\Leftrightarrow x \geqslant 250
	\end{align*}
	
	L'ensemble des solutions de l'inéquation dans $[0;+\infty[$ est $\mathscr{S}=[250,+\infty[$.
	
	\begin{conclusion}
		
		Le second transporteur est plus avantageux pour plus de $250\ \mathrm{km}$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Football}
	
	Un libraire vend des crayons $2,4$ \euro{} pièce. Sur ces articles ses frais s'élèvent à $0,6$ \euro{} par crayon  auxquels il faut ajouter  une somme fixe de $34,2$ \euro{}.
	
	Calculez, en fonction de $x$, le bénéfice réalisé par la vente de $x$ crayons. Combien doit-il vendre de crayons pour que le bénéfice soit compris entre $68,4$ \euro{} et $102,6$ \euro{}?
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\objectif{Déterminons le bénéfice en fonction de $x$.}
	
	Le bénéfice réaliser pour la vente de $x \in \mathbb{N}$ crayons est: 
	
	\begin{align*}
	B(x) &= 2,4 x-0,6x-34,2\\
	&= (2,4-0,6)x-34,2
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		$B(x)= 1,8x-34,2$ pour tout $x \in \mathbb{N}$.
		
	\end{conclusion}
	
	\medskip
	\objectif{Résolvons dans $\mathbb{R}$ le système $\left\{ \begin{array}{l} 68,4 \leqslant B(x) \\ B(x) \leqslant 102,6 \end{array} \right.$.}
	
	\begin{align*}
	68,4 \leqslant B(x) &\Leftrightarrow x \in [57,+\infty[\\
	B(x) \leqslant 102,6 &\Leftrightarrow x \in ]-\infty, 76]
	\end{align*}
	
	Donc l'ensemble des solutions du système est: $\mathscr{S} = ]-\infty,76] \cap [57,+\infty[= [57;76]$.
	
	\begin{conclusion}
		
		Il devra vendre entre $57$ et $76$ crayons pour réaliser ses objectifs.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Bouquet}
	
	Résolvez les inéquations suivantes.
	
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		\begin{enumerate}
			\item $2x>7x-1$
			\item $-4x-10\ge 2-4x$
			\item $2x^2<2(x-7)^2$
			\item $x^2<25$
			\item $(x+3)^2<-1$
		\end{enumerate}
		&
		\begin{enumerate}
			\setcounter{enumi}{5}
			\item $(x-6)^2>16$
			\item $(2x-\sqrt{3})(2x+6)>0$
			\item $\frac{36-12x}{x-3}\le 0$
			\item $x^2-5<(x+\sqrt{5})(x-2)$
			\item $x^2-25+(x-5)(6-x)\le 0$
		\end{enumerate}
		
		\\ \end{tabularx}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item \objectif{Résolvons l'inéquation.}
		
		\begin{align*}
		2x>7x-1 &\Leftrightarrow 2x {\color{orange}-(7x-1)} > 7x-1 {\color{orange}-(7x-1)}\\
		&\Leftrightarrow 2x-7x+1 > 0\\
		&\Leftrightarrow -5x+1> 0\\
		&\Leftrightarrow -5x+1 {\color{orange}-1} > 0{\color{orange}-1}\\
		&\Leftrightarrow -5x>-1\\
		&\Leftrightarrow \frac{-5x}{{\color{orange}-5}}<\frac{-1}{{\color{orange}-5}} \\
		&\Leftrightarrow x<\frac{1}{5}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de l'inéquation est \[ \mathcal{S}=\left]-\infty ;\frac{1}{5} \right[ \]
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Résolvons l'inéquation.}
		
		\begin{align*}
		-4x-10\ge 2-4x &\Leftrightarrow -4x-10 {\color{orange}-(2-4x)}\ge 2-4x {\color{orange}-(2-4x)}\\
		&\Leftrightarrow -4x-10-2+4x \ge 0\\
		&\Leftrightarrow -12 \ge 0
		\end{align*}
		
		{\color{orange}Cette dernière inégalité étant fausse nous en déduisons que quelque soit le $x$ choisi l'inéquation est toujours fausse.}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de l'inéquation est \[ \mathcal{S}=\emptyset \]
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Résolvons dans $\mathbb{R}$: $2x^2<2(x-7)^2$.}
		
		\begin{align*}
		2x^2<2(x-7)^2 &\Leftrightarrow 2x^2 < 2 [x^2-2\times x \times 7 +7^2 ]\\
		&\Leftrightarrow 2x^2<2[x^2-14x+49]\\
		&\Leftrightarrow 2x^2<2x^2 -28x +98\\
		&\Leftrightarrow 2x^2{\color{orange}-2x^2}  < 2x^2-28x+98{\color{orange} -2x^2}\\
		&\Leftrightarrow 0<-28x+98\\
		&\Leftrightarrow 0{\color{orange}+28x} <-28x+98{\color{orange}+28x}\\
		&\Leftrightarrow 28x < 98\\
		&\Leftrightarrow \frac{28x}{\color{orange}28} < \frac{98}{\color{orange}28}\\
		&\Leftrightarrow x< \frac{7}{2}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de l'inéquation est \[ \mathcal{S}=\left]-\infty ; \frac{7}{2} \right[ \]
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Résolvons sur $\mathbb{R}$: $(x+3)^2<-1$.}
		
		Quelque soit $x\in\mathbb{R}$, $(x+3)^2\ge 0>-1$.
		
		{\color{orange}Il n'y a donc pas de solution.}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de l'inéquation est \[ \mathcal{S}=\emptyset \]
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Résolvons dans $\mathbb{R}$: $(x-6)^2>16$.}
		
		\begin{align*}
		(x-6)^2>16 &\Leftrightarrow (x-6)^2{\color{orange}-16}>16 {\color{orange}-16}\\
		&\Leftrightarrow (x-6)^2 -16>0\\
		&\Leftrightarrow (x-6)^2-4^2>0\\
		&\Leftrightarrow [(x-6)-4][(x-6)+4]>0\\
		&\Leftrightarrow [x-10][x-2]>0
		\end{align*}
		
		Résolvons cette dernière inéquation produit.
		
		\begin{enumerate}
			\item $g(x)=x-10$ est une fonction affine: $a=1$ et $b=-10$.
			
			Le coefficient directeur de $g$ est $a=1>0$ et $g$ s'annule en $-\frac{b}{a}=-\frac{-10}{1}=10$.
			\item $h(x)=x-2$ est une fonction affine: $a=1$ et $b=-2$.
			
			Le coefficient directeur de $h$ est $a=1>0$ et $h$ s'annule en $-\frac{b}{a}=-\frac{-2}{1}=2$.
			
			
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme nathan hyperbole 2010 page 123 exercice 41 
		
	\end{notabene}
	
	\begin{enumerate}
		\item Résolvez l'inéquation $\displaystyle \frac{2x+3}{x-1} \ge 4$.
		\item Comment vérifier graphiquement ce résultat?
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme hachette declic 2014 page 127 exercice 42
		
	\end{notabene}
	
	Une entreprise fabrique et vend de la pâte à papier. Le coût de production de $q$ tonnes de pâte à papier est donné, en milliers d'euros par \[ C(q)=0,02q^2+0,1q+9 \] pour $q\in [0;80]$.
	
	La recette, en milliers d'euros, engendrée par la vente de $q$ tonnes de pâte à papier est donnée par \[ R(q)= 1,2q \]
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		\begin{enumerate}
			\item Quel est le coût le fabrication d'une tonne de pâte à papier?
			\item Quel est prix de vente d'une tonne de pâte à papier?
			\item L'entreprise est-elle bénéficiaire lorsqu'elle vend et produit une tonne de pâte à papier?
		\end{enumerate}
		
		\item Avec la calculatrice conjecturez pour quelles quantités de pâte à papier l'entreprise est bénéficiaire.
		
		\item Démontrez que le bénéfice, en milliers d'euros, réalisé par l'entreprise lorsqu'elle vend $q$ tonnes de pâte à papier est \[ B(q)=-0,02q^2+1,1q-9 \]
		
		\item Démontrez que $B(q)=-0,02(q-45)(q-10)$ quelque soit $q\in [0;80]$.
		
		\item Déterminez pour quelles quantités de pâte à papier l'entreprise est bénéficiaire.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		\begin{enumerate}
			\item $C(1)=9,12$.
			
			\begin{conclusion}
				
				La fabrication d'une tonne de pâte à papier coûte $9,12$ milliers d'euros.
				
			\end{conclusion}
			
			\item $R(1)=1,2$.
			
			\begin{conclusion}
				
				La vente d'une tonne de pâte à papier rapporte  $0,12$ milliers d'euros.
				
			\end{conclusion}
			
			\item \objectif{Étudions le bénéfice pour une tonne.}
			
			Le bénéfice pour une tonne est donné par \[ B(1)=R(1)-C(1)= -7,92 \]
			
			\begin{conclusion}
				
				Pour une tonne produite et vendue l'entreprise ne réalise pas de bénéfice.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
		\item {\color{orange}
			$R$ et $C$ sont définies sur $[0;80]$: $0\le x \le 80$. D'autre part avec le tableau de valeurs de la calculatrice on remarque que, sur cet intervalle, $C(q)\le 150$.
			
			Nous en déduisons un paramétrage possible pour afficher le graphique sur la calculatrice: \[ \left\{ \begin{array}{l} 0\le x \le 80 \\ 0 \le y \le 150\end{array} \right. \]
			
			Procédons à une lecture graphique.
			
			Analytiquement: il y a bénéfice lorsque la recette est supérieure au coût.
			
			Géométriquement: il y a bénéfice quand la courbe de la recette est au dessus de la courbe du coût.
			
			D'après le graphique cela est vrai lorsque l'abscisse appartient à l'intervalle $[10;45]$.
		}
		
		\begin{conclusion}
			
			Par lecture graphique l'entreprise semble réaliser un bénéfice lorsqu'elle produit entre $10$ et $45$ tonnes de papier.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Démontrons que pour tout $q\in [0;80]$: $B(q)=-0,02q^2+1,1q-9$.}
		
		Soit $q\in [0;80]$.
		
		{\color{orange}Par définition du bénéfice (en mathématique):}
		\begin{align*}
		B(q) &= R(q) -C(q) \\
		&= [1,2q]-[0,02q^2+0,1q+9]\\
		\intertext{\color{orange}Il s'agit d'une expression polynomiale que nous développons, ordonnons puis réduisons.}
		&= 1,2q-0,02q^2-0,1q-9\\
		&= -0,02q^2+1,2q-0,1q -9\\
		&= -0,02q^2+1,1q-9
		\end{align*}
		
		Ainsi
		
		\begin{conclusion}
			
			Nous avons démontré que quelque soit $q\in[0;80]$ \[ B(q)= -0,02q^2+1,1q-9 \]
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Démontrons que quelque soit $q\in[0;80]$: $B(q)=-0,02(q-45)(q-10)$.}
		
		{\color{orange}La méthode de factorisation d'une fonction polynomiale de degré 2 est au programme de première et donc, provisoirement impossible.
			
			Nous allons donc vérifier que le résultat proposer par l'énoncé convient.}
		
		Soit $q\in[0;80]$.
		
		{\color{orange}L'expression proposée est une expression polynomiale donnée sous forme factorisée nous allons la développer, l'ordonnée puis la réduire.
			
			Avec la double distributivité:}
		\begin{align*}
		-0,02(q-45)(q-10) &= -0,02[q\times q +q\times (-10)+(-45)\times q +(-45)\times (-10)]\\
		&= -0,02(q^2-10q-45q+450)\\
		&= -0,02(q^2-55q+450)\\
		&= -0,02\times q^2+(-0,02)\times (-55q)+(-0,02)\times (450)\\
		&= -0,02q^2+1,1q-9\\
		&= B(q)
		\end{align*}
		
		{\color{orange}Nous avons démontré que si $q\in [0;80]$ alors $-0,02q^2+1,1q-9=B(q)$. Autrement dit:}
		
		\begin{conclusion}
			
			Nous avons démontré que quelque soit $q\in[0;80]$ \[ B(q)=-0,02q^2+1,1q-9 \]
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Résolvons l'inéquation $B(q)\ge 0$ sur $[0;80]$.}
		
		{\color{orange}En effet l'entreprise est bénéficiaire si $B(x)\ge 0$. }
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item $f(q)=q-45$ est une fonction affine avec: $a=1$ et $b=-45$.
			
			Le coefficient directeur est $a=1>0$ et $f$ s'annule clairement pour $x=45$.
			\item $g(q)=q-10$ est une fonction affine avec: $a=1$ et $b=-10$.
			
			Le coefficient directeur est $a=1>0$ et $f$ s'annule clairement pour $x=10$.
		\end{enumerate}
		
		Nous en déduisons {\color{orange}(sans oublier le facteur $-0,02$)}
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$q$ /0.8, $\np{-0,02}$ /0.8, $q-45$ /0.8, $q-10$ /0.8, $B(q)$ /0.8}
			{$0$ ,$10$, $45$, $80$}
			\tkzTabLine{,-,t,-,t,-,}%
			\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,}%
			\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}%
			\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		Ce que nous interprétons sous la forme:
		
		\begin{conclusion}
			
			L'entreprise est bénéficiaire lorsqu'elle produit entre 10 et 45 tonnes de pâte à papier.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Bouquet}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme nathan hyperbole 2010 page 123 exercice 38 
		
	\end{notabene}
	
	Une entreprise fabrique un produit. Pour une période donnée, le coût total de production, en euros, est donné en fonction du nombre $q$ d'articles fabriqués par: $C(q)=2q^2+10q+900$ pour $0<q<80$.
	
	Tous les articles fabriqués sont vendus. la recette totale en euros est donnée par $R(q)=120q$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Vérifiez que le bénéfice total est donné par $B(q)=-2(q^2-55q+450)$.
		
		Puis que la forme factorisée de $B(q)$ est: $B(q)=-2(q-10)(q-45)$.
		\item Pour quels nombres d'articles produit la production est-elle rentable?
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme nathan hyperbole 2010 page 128 exercice 64 
		
	\end{notabene}
	
	Une entreprise fabrique et vend un produit. On note $f(x)$ le coût de production, exprimé en milliers d'euros, de $x$ tonnes de ce produit.
	
	Pour $0\le x \le 11$, des études ont montré que: $f(x)=x^3-12x^2+50x$.
	
	L'entreprise vend son produit $\np{30000}\ \text{\euro}$ la tonne. On note $g(x)$ la recette exprimée en milliers d'euros  et $B(x)$ le bénéfice: $B(x)=g(x)-f(x)$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Exprimez $g(x)$ en fonction de $x$.
		\item Développez, réduisez et ordonnez $B(x)$.
		\item Développez, réduisez et ordonnez $(x-2)(x-10)$.
		\item Résolvez l'inéquation $B(x)>0$.
		\item Interprétez le résultat de la question précédente.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Bouquet}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme nathan hyperbole 2010 page 123 exercice 36 
		
	\end{notabene}
	
	Soient $f$ et $g$ des fonctions définie sur $\mathbb{R}$ par \[ f(x)=x^2 \text{ et } g(x)=2x+1 \]
	
	\begin{enumerate}
		\item Vérifiez que pour tout réel $x$, $f(x)-g(x)=(x-1-\sqrt{2})(x-1+\sqrt{2})$.
		\item Résolvez l'inéquation $f(x)<g(x)$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme hachette declic 2014 page 129 exercice 57
		
	\end{notabene}
	
	\begin{notabene}
		
		Rajouter des considérations sur l'ensemble de définition et préciser les positions relatives des disques tangents, etc.
		
	\end{notabene}
	
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			Soit un réel $x$ dans $[0;8]$. On considère un rectangle de dimension $4\ \mathrm{cm}$ sur $x\ \mathrm{cm}$, dans lequel on trace deux disques de même rayon comme sur la figure ci-contre.
			
		\end{minipage}
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\def\xL{6}
			\coordinate (A) at (0,-2);
			\coordinate (B) at ({\xL},-2);
			\coordinate (C) at ({\xL},2);
			\coordinate (D) at (0,2);
			\draw[blue, thick](A)--(B)--(C)--(D)--(A);
			\fill[color=blue , opacity=0.25] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\xL /4)*cos(\x)+(\xL /4)},{\xL /4)*sin(\x)});
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\xL /4)*cos(\x)+(3*\xL /4)},{\xL /4)*sin(\x)});
			\draw[>=latex,<->,black](0,-3)--({\xL},-3)node[midway,below]{$x$};
			\draw[>=latex,<->,black](-1,-2)--(-1,2)node[midway,left]{$4$};
			\fill[color=magenta , opacity=1] 
			plot[domain=0:360]({\xL /4)*cos(\x)+(\xL /4)},{\xL /4)*sin(\x)})
			-- cycle;
			\fill[color=magenta , opacity=1] 
			plot[domain=0:360]({\xL /4)*cos(\x)+(3*\xL /4)},{\xL /4)*sin(\x)})
			-- cycle;
			\end{tikzpicture}
			
		\end{minipage}
		
		\\ \end{tabularx}
	
	On souhaite déterminer les valeurs de $x$ de façon que l'aire bleue (ce qu'il reste du rectangle) soit supérieure à l'aire rose (les deux disques).
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrez que le problème se ramène à la résolution de l'inéquation $\displaystyle \frac{\pi x^2}{8}\le 2x$ sur $[0;8]$.
		\item Montrez que l'ensemble des solutions est $\displaystyle \left[ 0;\frac{16}{\pi} \right[$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item \objectif{Déterminons l'aire $\mathcal{A}_1$ de la partie en rose.}
		
		$\mathcal{A}_1$ est formée de disque de même rayon $\frac{x}{4}$ donc
		
		\begin{align*}
		\mathcal{A}_1 &= 2\times \pi\left( \frac{x}{4} \right)^2\\
		&= 2\pi \frac{x^2}{4^2}\\
		&= \frac{2\pi x^2}{16}\\
		&= \frac{ {\color{orange}2} \pi x^2}{ {\color{orange} 2} \times 8}\\
		&= \frac{\pi x^2}{8}
		\end{align*}
		
		\medskip
		\objectif{Déterminons l'aire en bleue $\mathcal{A}_2$.}
		
		$\mathcal{A}_2$ est obtenue en ôtant la surface rose du rectangle donc
		
		\begin{align*}
		\mathcal{A}_2 &= 4x-\mathcal{A}_1\\
		&= 4x-\frac{\pi x^2}{8}
		\end{align*}
		
		\objectif{Retrouvons l'inéquation.}
		
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}


\begin{exercice}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme hachette declic 2014 page 130 exercice 61
		
		exercice de physique
		
	\end{notabene}
	
	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme hachette declic 2014 page 132 exercice 73
		
		exercice avec une référence historique
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}


\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme nathan hyperbole 2010 page 123 exercice 37 
		
	\end{notabene}
	
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			$ABCD$ est un carré de côté $x$, exprimé en $\mathrm{cm}$, avec $x>6$. $E$ est le point du segment $[AB]$ tel que  \[ EB=6\ \mathrm{cm} \]
			
			\begin{enumerate}
				\item Exprimez en fonction de $x$, l'aire en $\mathrm{cm}^2$ du triangle $AED$.
				\item Peut-on trouver $x$ pour que l'aire du carré $ABCD$ soit strictement supérieure au triple de l'aire du triangle $AED$?
			\end{enumerate}
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.4]
			\def\xEB{6};
			\def\xAB{8};
			\coordinate (A) at (0,0);
			\coordinate (B) at ({\xAB},0);
			\coordinate (C) at ({\xAB},{\xAB});
			\coordinate (D) at (0,{\xAB});
			\coordinate (E) at ({\xAB -\xEB},0);
			\draw (A)node[below]{$A$};
			\draw (B)node[below]{$B$};
			\draw (C)node[above]{$C$};
			\draw (D)node[above]{$D$};
			\draw (E)node[below]{$E$};
			\draw[blue, thick](A)--(B)--(C)--(D)--(A);
			\draw (0.5,0)--(0.5,0.5)--(0,0.5);
			\draw ({\xAB -0.5},0)--({\xAB -0.5},0.5)--({\xAB -0},0.5);
			\draw ({\xAB -0.5},{\xAB})--({\xAB -0.5},{\xAB-0.5})--({\xAB -0},{\xAB-0.5});
			\draw[blue, thick](A)--(D)node[midway,rotate=90]{\large $//$};
			\draw[blue, thick](C)--(D)node[midway]{\large $//$};
			\draw(D)--(E);
			\draw[>=latex,<->,black] (0,{\xAB +1})--({\xAB},{\xAB +1})node[midway,above]{$x$};
			\fill[color=gray , opacity=0.25] (A)--(E)--(D)--cycle;
			\end{tikzpicture}
			
		\end{minipage}
		
		\\ \end{tabularx}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme nathan hyperbole 2010 page 128 exercice 65 
		
	\end{notabene}
	
	\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			$ABC$ est un triangle rectangle en $A$ tel que: $AB=8$ et $AC=6$. $M$ est un point de l'hypoténuse $[BC]$.
			
			Par $M$, on trace les perpendiculaires à $(AB)$ et $(AC)$. Elles coupent $[AB]$ et $[AC]$ respectivement en $P$ et $Q$.
			
			On pose $BM=x$.
			
			On se propose d'étudier quelques propriétés du périmètre du rectangle $APMQ$.
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.4]
			\def\xMB{4};
			\coordinate (A) at (0,0);
			\coordinate (B) at (8,0);
			\coordinate (C) at (0,6);
			\coordinate (M) at ({8-0.8*\xMB},{0.6*\xMB});
			\coordinate (P) at ({8-0.8*\xMB},0);
			\coordinate (Q) at (0,{0.6*\xMB});
			\draw (A)node[below]{$A$};
			\draw (B)node[below]{$B$};
			\draw (C)node[above]{$C$};
			\draw (M)node[above right]{$M$};
			\draw (P)node[below]{$P$};
			\draw (Q)node[left]{$Q$};
			\draw(A)--(B)--(C)--(A);
			\draw (P)--(M)--(Q);
			\draw (0.5,0)--(0.5,0.5)--(0,0.5);
			\draw ({8-0.8*\xMB+0.5},0)--({8-0.8*\xMB+0.5},0.5)--({8-0.8*\xMB},0.5);
			\draw (0.5,{0.6*\xMB})--(0.5,{0.6*\xMB+0.5})--(0,{0.6*\xMB+0.5});
			\draw[blue,very thick] (M)--(B)node[midway,above right]{$x$};
			\end{tikzpicture}
			
		\end{minipage}
		
		\\ \end{tabularx}
	
	\begin{enumerate}
		\item Démontrez que $MP=0,6x$ et $MQ=8-0,8x$.
		\item Exprimez, en fonction de $x$, le périmètre $p(x)$ du rectangle $APMQ$.
		\item Pour quelles positions de $M$ le périmètre est-il supérieur ou égale à $13,5$?
		\item Comparez le périmètre de $AMPQ$ au demi-périmètre du triangle $ABC$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item \objectif{Démontrons que $MP=0,6x$.}
		
		Il y a une configuration de Thalès: les points $B$, $M$ et $C$ d'une part, $B$, $P$ et $A$ d'autre part sont alignés dans cet ordre.
		
		Comme de plus $(AC)//(MP)$, $APMQ$ étant un rectangle, d'après le théorème de Thalès, la relation métrique suivante est vraie \[ \frac{BM}{BC}=\frac{MP}{AC} \quad (1) \]
		
		Déterminons ces différentes longueurs.
		
		\begin{enumerate}
			\item D'après l'énoncé: $AC=6$, $BM=x$.
			\item Le triangle $ABC$ étant rectangle en $A$, nous en déduisons, d'après le théorème de Pythagore, $BC^2= AB^2+AC^2$. Donc, $BC$ étant une longueur, donc positive, $BC=\sqrt{8^2+6^2}=10$.
		\end{enumerate}
		
		L'égalité $(1)$ devient donc \[ \frac{MP}{6} = \frac{x}{10} \]
		
		En multipliant de part et d'autre par $6$ nous obtenons finalement
		
		\begin{conclusion}
			
			$MP=0,6x$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		\objectif{Démontrons que $MQ=8-0,8x$.}
		
		Par construction $APMQ$ est un rectangle et donc $MQ=AP$.
		
		En reprenant la configuration de Thalès précédemment évoquée nous obtenons \[ \frac{PB}{AB}= \frac{BM}{BC} \]
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme nathan transmath 2010 exercice 108 page 88.
		
	\end{notabene}
	
	\noindent
	\begin{tabular}{m{6.5cm}m{5cm}}
		
		Dans un carré $ABCD$ de côté $20\ \mathrm{cm}$, on inscrit un carré $MNPQ$ suivant le schéma ci-contre.
		
		\medskip
		On pose $x=AM=BN=CP=DQ$ avec $0\le x \le 20$.
		
		&
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.15]
			\def\xM{5};
			\coordinate (A) at (0,0);
			\coordinate (B) at (20,0);
			\coordinate (C) at (20,20);
			\coordinate (D) at (0,20);
			\coordinate (M) at (\xM,0);
			\coordinate (N) at (20,\xM);
			\coordinate (P) at ({20-\xM},20);
			\coordinate (Q) at (0,{20-\xM});
			\draw (A)--(M)node[midway]{$//$};
			\draw (M)--(B);
			\draw (B)--(N)node[midway,rotate=90]{$//$};
			\draw (N)--(C);
			\draw (C)--(P)node[midway]{$//$};
			\draw (P)--(D);
			\draw (D)--(Q)node[midway,rotate=90]{$//$};
			\draw (Q)--(A);
			\draw (A) node[below left]{$A$};
			\draw (B) node[below right]{$B$};
			\draw (C) node[above right]{$C$};
			\draw (D) node[above left]{$D$};
			\draw (M) node[below]{$M$};
			\draw (N) node[right]{$N$};
			\draw (P) node[above]{$P$};
			\draw (Q) node[left]{$Q$};
			\fill[purple!20] (M)--(N)--(P)--(Q)--(M);
			\draw [>=latex,<->] (24,0)--(24,20) node[midway,right]{$20 \ \mathrm{cm}$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\\
	\end{tabular}
	
	Le but de cet exercice est de déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles l'aire du carré $MNPQ$ dépasse $272\ \mathrm{cm}^2$.
	
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		Exprimez l'aire en $\mathrm{cm}^2$, $g(x)$ du carré $MNPQ$ en fonction de $x$, sous forme développée, ordonnée et réduite.
		
		
		\item 
		
		Prouvez que $g(x)>272$ équivaut à \[ 2x^2 -40 x +128>0. \]
		
		
		\item 
		
		On note $f(x)=2x^2-40x+128$. Affichez sur votre calculatrice la courbe représentative de $f$, tracez à main levée la courbe observée puis conjecturez les solutions du problème.
		
		\emph{Pour la fenêtre on utilisera les paramètres d'affichages suivants.}
		
		\emph{Axe des abscisses: $0\le x \le 20$.}
		
		\emph{Axe des ordonnées: $-100 \le  y \le 200$.}
		
		
		
		\item 
		
		
		On se propose de retrouver le résultat par le calcul.
		
		
		\begin{enumerate}
			\item 
			
			Vérifiez que $f(x)=(8-2x)(16-2x)$.
			
			\item 
			
			Étudiez le signe de $f(x)$.
			
			\item 
			
			Déduisez-en les solutions du problème.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		Utilisons la notation $\mathcal{A}$ pour désigner les différentes aires.
		
		\medskip
		\objectif{Déterminons $g(x)$.}
		
		Soit $x\in [0;20]$.
		
		\begin{align*}
		\mathcal{A}(MNPQ) &= \mathcal{A}(ABCD)-4 \times \mathcal{A} (AMQ)\\
		\intertext{Puisque $ABCD$ est un carré et puisque $AMQ$ rectangle en $A$:}
		\mathcal{A}(MNPQ) &= 20^2 - 4 \times \frac{1}{2} x(20-x)\\
		&= 400 -2x(20-x)\\
		&= 400-40x+2x^2\\
		&= 2x^2 -40x +400
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\forall x \in [0;20],\ g(x)=2x^2-40x+400$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item 
		
		\objectif{Démontrons l'équivalence.}
		
		\begin{align*}
		g(x)>272 &\Leftrightarrow 2x^2-40x+400 >272\\
		&\Leftrightarrow 2x^2-40x+400 {\color{orange}-272} > 272 {\color{orange}-272}\\
		&\Leftrightarrow 2x^2-40x+128
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$g(x)>272 \Leftrightarrow 2x^2-40x+128 >0$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item 
		
		Il semble que l'ensemble des solutions soit $[0;4[ \cup ]16;20]$.
		
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item 
			
			
			Soit $x\in [0;20]$.
			
			\objectif{démontrons que $(8-x)(16-x)=f(x)$.}
			
			\begin{align*}
			(8-x)(16-2x) &= 8 \times 16 + 8 \times (-x) +(-2x) \times 16 + (-x) \times (-2x)\\
			&= 128 -8x-32x+2x^2\\
			&= 2x^2-40x+128\\
			&=f(x)
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Nous avons démontré que, quelque soit $x\in [0;20]$, $f(x)=(8-2x)(16-2x)$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item 
			
			\objectif{Étudions le signe de $f$.}
			
			{\color{orange}Utilisons la forme factorisée de $f$.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item $h:x \mapsto 8-2x$ est une fonction affine avec $a=-2$ et $b=8$.
				
				$a<0$ donc $h$ est strictement décroissante.
				
				$h$ s'annule en $-\frac{b}{a} = -\frac{8}{-2}=4$.
				
				\item 
				
				\begin{align*}
				16-x > 0 &\Leftrightarrow 16>x
				\intertext{De même}
				16-x =0 &\Leftrightarrow 16=x
				\end{align*}
				
			\end{enumerate}
			
			Nous en déduisons
			
			\begin{center}
				
				\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $8-2x$ /0.8, $16-x$ /0.8, $f(x)$ /0.8}
				{$0$ ,$4$, $16$,  $20$}
				\tkzTabLine{,+,z,-,t,-,}%
				\tkzTabLine{,+,t,+,z,-,}%
				\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}%
				\end{tikzpicture}
				
			\end{center}
			
			\item 
			
			Nous retrouvons bien ce que nous avions conjecturé
			
			\begin{conclusion}
				
				L'ensemble des solutions du problème est $\mathscr{S} = [0;4[ \cup ]16;20]$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\end{document}


\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2 )});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}