%\documentclass{book} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{book} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hmargin={0.75cm,1cm},vmargin={0.5cm,1.25cm},twoside}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 
\settasks{
	% the next two should be set to the same value so labels are aligned to the
	% left
	%label-width = 1em ,
	%item-indent = 1em ,
	%before-skip = 0pt%-\parskip , % undo paragraph skip
	%after-skip =0pt% -\parskip , % undo paragraph skip
	after-item-skip = -2pt%-\parskip % undo paragraph skip
}

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown} \footnotesize}{}

\newenvironment{sujet}{}{}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \noindent Exemples.\vspace{-0.1cm}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\noindent {\color{BlueViolet}Remarques.\vspace{-0.1cm}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{Gray}}{}


%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} {\noindent\color{Black}EXERCICE \theExercice.} \addtocounter{Exercice}{1} \color{Black}}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\noindent\color{Brown}Exercice \theExercicecorrection. \footnotesize}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\textbf{\color{Orange}Définition \theDefinition.} \addtocounter{Definition}{1} \color{Orange} }{}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}{\textbf{\color{purple}Théorème \theTheoreme.}\addtocounter{Theoreme}{1}\color{purple}}{}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}{\textbf{\color{purple}Proposition \theProposition.} \addtocounter{Proposition}{1}\color{purple}}{}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\noindent{\textbf{\color{PineGreen} Démonstration}.} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{PineGreen}}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%Un bug apparu en faisant la mise à jour de pi: les listes tasks ne se colorie plus et restent noir malgrer les commande. La solution est ce truc:
\ExplSyntaxOn\makeatletter
%patch needed to get a around a problem in the l3-drivers
\AtBeginDocument{
 \cs_set_protected_nopar:Npn \color_ensure_current:
   {\set@color}
 }
\ExplSyntaxOff\makeatother 

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{}% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\footnotesize \thepage ]{\footnotesize \thepage }
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour abrege
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}\exclure{culturegenerale}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene}

%Pour les exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour les correction d'exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques}  \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\small 

\subsection*{Équations du premier degré.}

\begin{notabene}
	
	Présenter des exemples d'équations très simple vers compliquer pour faire comprendre la nécessité d'avoir une méthode de résolution pour des équations compliquées.
	
	
\end{notabene}

\begin{notabene}
	
	remplacer les images de balances par du tikz
	
\end{notabene}


\begin{notabene}
	
	Il serait peut être intéressant de rajouter un exercice d'approfondissement avec d'autres règles de manipulation des équations: compatibilité avec l'addition et la multiplication, transitivité, etc.
	
\end{notabene}

\subsubsection{Généralités sur les équations.}

\begin{lecon}	
	Une \emph{\color{purple}équation} est une égalité dans laquelle se trouvent des lettres (des \emph{\color{purple}inconnues} ou \emph{\color{purple}variables}) qui représentent des nombres (expression littérale).
	
	Une équation est soit vraie, soit fausse, suivant les valeurs choisies pour remplacer les lettres.
	
	Résoudre une équation c'est trouver toutes les valeurs qui rendent l'équation vraie.	
\end{lecon}

\begin{exemples}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $3x^2+2$ n'est pas une équation, c'est une expression littérale.
		\item $x=2$ est une équation (qui est dite résolue en $x$).
		\item $y=2x$ est une équation avec deux inconnues.
		\item $3x-12=0$ est une équation de degré $1$ (car l'inconnue est à la puissance $1$).
		\item $x^2=16$ est une équation de degré $2$.
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{lecon}	
	Résoudre une équation c'est trouver toutes les valeurs qui rendent l'équation vraie. Une valeur qui rend une équation vraie est appelée une  \emph{\color{purple}solution} de l'équation.
	
	Il n'y a pas une unique méthode de résolution des équations. Il y a presque autant de méthodes que d'équations.
	
	Nous apprendrons certaines de ces méthodes.
	
	Pour simplifier la résolution et pour identifier à quel type d'équation nous avons à faire nous modifierons souvent l'équation de façon à obtenir une égalité à $0$.	
\end{lecon}

\subsubsection{Exemple.}

\begin{notabene}
	
	L'idée est de rechercher les manipulations autorisées pour maintenir l'équilibre que symbolise l'égalité.
	
	L'égalité change d'ailleurs de statut: d'annonce de résultat elle devient équilibre entre grandeurs.
	
\end{notabene}

\begin{exercice}{}
	
	Trouvez le poids de $x$ en fonction de celui de $y$ grâce aux trois étapes suivantes.
	
	\noindent \begin{tabular}{m{7cm}m{4cm}}
		\includegraphics[scale=0.4]{2ieme_algebre_05_equation_lineaire_01_balance_somme.png}
		& 
		\begin{sujet}
			\begin{center}\makebox[3cm]{\dotfill}\end{center}
		\end{sujet}
		\begin{correction}
			$$x+5 =y+8$$
		\end{correction}
		\\
		\includegraphics[scale=0.4]{2ieme_algebre_05_equation_lineaire_02_balance_somme.png}
		& 
		\begin{sujet}
			\begin{center}\makebox[3cm]{\dotfill}\end{center}
		\end{sujet}
		\begin{correction}$$x+5-5 =y+8-5$$
		\end{correction}
		\\
		\includegraphics[scale=0.4]{2ieme_algebre_05_equation_lineaire_03_balance_somme.png}
		&
		\begin{sujet}
			\begin{center}\makebox[3cm]{\dotfill}\end{center}
		\end{sujet}
		\begin{correction}
			$$x =y+3$$
		\end{correction}
		\\
	\end{tabular}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Même objectif:
	
	\noindent \begin{tabular}{m{7cm}m{4cm}}
		\includegraphics[scale=0.4]{2ieme_algebre_05_equation_lineaire_04_balance_somme.png}
		& 
		\begin{sujet}
			\begin{center}\makebox[3cm]{\dotfill}\end{center}
		\end{sujet}
		\begin{correction}
			$$2x=4y$$
		\end{correction}
		\\
		\includegraphics[scale=0.4]{2ieme_algebre_05_equation_lineaire_05_balance_somme.png}
		&
		\begin{sujet}
			\begin{center}\makebox[3cm]{\dotfill}\end{center}
		\end{sujet}
		\begin{correction}
			$$\frac{2x}{2} =\frac{4y}{2}$$
		\end{correction}
		\\
		\includegraphics[scale=0.4]{2ieme_algebre_05_equation_lineaire_06_balance_somme.png}
		& 
		\begin{sujet}
			\begin{center}\makebox[3cm]{\dotfill}\end{center}
		\end{sujet}
		\begin{correction}
			$$x =2y$$
		\end{correction}
		\\
	\end{tabular}
	
\end{exercice}

\subsubsection{Modifications autorisées sur les équations.}

\begin{theoreme}	
	On ne modifie pas les solutions d'une équation en additionnant (respectivement en soustrayant, respectivement en multipliant, respectivement en divisant) par un même nombre non nul des deux côtés de l'égalité.	
\end{theoreme}

\begin{preuve}{}
	
	Par exemple pour l'addition. En logique, pour toutes quantités $a$ et $b$, et pour toute expression $F(x)$, si $a = b$ alors $F(a) = F(b)$.
	
	En particulier lorsque $F(x)=x+c$, nous obtenons $F(a)=F(b)$ et donc $a+c=b+c$.
	
	La réciproque n'est pas évidente.
\end{preuve}

\begin{remarques}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Attention lorsque vous divisez de vérifier que vous ne divisez pas par zéro.		
		\item On ne peut multiplier par zéro sans modifier les résultats de l'équation. Le pouvoir absorbant du zéro fait disparaître l'information contenue dans l'équation.		
		\item Ce résultat constitue une boîte à outils. Il indique des transformations autorisées sur une équation pour en trouver les solutions.		
		\item Il faut beaucoup s'entraîner pour savoir quelles transformations utiliser pour résoudre telle ou telle équation.		
		\item Il est bien sûr toujours possible d'ajouter ou soustraire $0$ mais c'est sans intérêt.		
		\item Deux équations qui ont le même ensemble de solutions sont dite \emph{\color{purple}équivalents}.		
	\end{enumerate}	
\end{remarques}

\begin{exemples}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $x^3+{\color{WildStrawberry}x^2-7}=2x^3+{\color{WildStrawberry}x^2-7}$ et $x^3=2x^3$ ont le même ensemble de solutions.
	\end{enumerate}	
\end{exemples}

\subsubsection{Équations du premier degré.}

\begin{definition}
	
	Une \emph{\color{purple}équation du premier degré}  (ou équation linéaire, ou équation polynomiale de degré $1$) est une équation qui peut s'écrire sous la forme \[ ax+b=0 \]
	avec $a$ et $b$ des nombres fixés et $x$ un nombre variable.
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Les équations linéaires de degré $1$ comportent des $x$ mais pas de $x^2$ ou de $x^3$, ni de $\sqrt{x}$ ou de division par $x$.
		
		\item Pour identifier l'équation du premier degré on regroupe tous les termes d'un même côté de l'égalité. Autrement dit il faut se ramener à une égalité à $0$.
		\item La résolution des équations du premier degré consiste à \og isoler le $x$ \fg{}.
		
		Supposons que $a$ n'est pas nul.
		\begin{align*}
			ax+b&=0\\
			\intertext{équivaut successivement à}
			ax+b {\color{orange}-b} &= 0{\color{orange}-b}\\
			ax &=-b\\
			\frac{ax}{{\color{orange}a}} &= \frac{-b}{{\color{orange}a}} \text{, car $a\ne 0$}\\
			x &= -\frac{b}{a}
		\end{align*}
		L'ensemble des solutions de l'équation $ax+b=0$ est $\left\{ -\frac{b}{a} \right\}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $7-3x=-7x+8$ %Exemple montrant le cas compliqué le plus courant.
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{notabene}
	
	Faire remarquer le changement de statut du égale. Ce n'est plus l'annonce du résultat d'un calcul, mais le fait que ce sont deux façons d'écrire un même calcul.
	
	Il ne s'agit plus de regarder ce que devient le membre de droite mais de regarder l'égalité dans sons ensemble.
	
\end{notabene}

\begin{exercice}{}
	Résolvez les équations du premier degré suivantes d'inconnue $x$:
	\begin{tasks}(2)
		\task $x+4=7$
		\task $3x=12$
		\task $-3x+4=13$
		\task $-3x+4 = 14x-7 $
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{tasks}
		\task \objectif{Résolvons l'équation.}		
		\begin{align*}
			x+4 &= 7\\
			\intertext{équivaut successivement à:}
			x+4 {\color{orange}-4} &= 7 {\color{orange}-4}\\
			x &= 3
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}			
			L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}= \{ 3 \}$.			
		\end{conclusion}
		
		\task \objectif{Résolvons l'équation.}		
		\begin{align*}
			3x &= 12\\
			\intertext{équivaut successivement à:}
			\frac{3x}{\color{orange}3} &= \frac{12}{\color{orange}3}\\
			x &= 4
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}			
			L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}= \{ 4 \}$.			
		\end{conclusion}
		
		\task \objectif{Résolvons l'équation.}		
		\begin{align*}
			-3x+4 &= 13\\
			\intertext{équivaut successivement à:}
			-3x+4 {\color{orange}-4} &= 13 {\color{orange}-4}\\
			-3x &= 9\\
			\frac{-3x}{\color{orange}-3} &= \frac{9}{\color{orange}-3}\\
			x &= -3
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}			
			L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}= \{ -3 \}$.			
		\end{conclusion}
		
		\task \objectif{Résolvons l'équation.}		
		\begin{align*}
			-3x+4 &= 14x-7\\
			\intertext{équivaut successivement à:}
			-3x+4 {\color{orange}-14x} &= 14x+7 {\color{orange}-14x}\\
			-17x+4 &= 7\\
			-17x+4 {\color{orange}-4} &= 7 {\color{orange}-4}\\
			-17x &= 3\\
			\frac{-17x}{\color{orange}-17} &= \frac{3}{\color{orange}-17}\\
			x &= -\frac{3}{17}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}			
			L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}= \left\{ -\frac{3}{17} \right\}$.			
		\end{conclusion}		
	\end{tasks}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Résolvez l'équation d'inconnue $x$: $\frac{2x}{3} = \frac{5x}{7}$.
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{notabene}
		Trois méthodes de résolution: isoler les $x$, considérer que c'est $x$ fois des nombres, et enfin produit en croix qui un raccourci de la première méthode.
		
	\end{notabene}
	
	\begin{conclusion}		
		L'équation admet une unique solution qui est $0$.		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	\begin{tasks}(2)
		\task $2x-3=5$,
		\task $x+4=5x-2$,
		\task $3(x+1)=5x-1$,
		\task $-2(4-x)+1=2$,
		\task $\dfrac{2}{3}x=4$,
		\task $-3x=4$,
		\task $-6x=\dfrac{2}{3}$,
		\task $-\dfrac{t}{3}=2$,
		\task $2(3x-1)-5=x+1$,
		\task $-3x+4=2 \left( x+\dfrac{2}{5} \right)$,
		\task $3(x-2)-1=-2(x+4)$,
		\task $2(4-3x)=-(x+5)$,
		\task $2\left( \dfrac{x}{3}-1 \right)=x - \dfrac{1}{3}$,
		\task $\dfrac{x-5}{7}=-3$,
		\task $\dfrac{1}{4}x+\frac{1}{8}=-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{1}{2}$,
		\task $\dfrac{x-3}{2}=2x+1$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{tasks}
		\task $2x-3=5$, $\mathscr{S}=\{ 4\}$.
		\task $x+4=5x-2$, $\mathscr{S}=\left\{ \frac{3}{2} \right\}$.
		\task $3(x+1)=5x-1$, $\mathscr{S}=\left\{ 1 \right\}$.
		\task $-2(4-x)+1=2$, $\mathscr{S}=\left\{ \frac{5}{2} \right\}$.
		\task $\frac{2}{3}x=4$, $\mathscr{S}=\left\{ 6 \right\}$.
		\task $-3x=4$, $\mathscr{S}=\left\{ -\dfrac{4}{3} \right\}$.
		\task $-6x=\dfrac{2}{3}$, $\mathscr{S}=\left\{ \frac{-1}{9} \right\}$.
		\task $-\frac{t}{3}=2$, $\mathscr{S}=\left\{ -6 \right\}$.
		\task $2(3x-1)-5=x+1$, $\mathscr{S}=\left\{ \frac{8}{5} \right\}$.
		\task $-3x+4=2 \left( x+\frac{2}{5} \right)$, $\mathscr{S}=\left\{ \frac{16}{25} \right\}$.
		\task $3(x-2)-1=-2(x+4)$, $\mathscr{S}=\left\{ -\frac{1}{5} \right\}$.
		\task $2(4-3x)=-(x+5)$, $\mathscr{S}=\left\{ \frac{11}{5} \right\}$.
		\task $2\left( \frac{x}{3}-1 \right)=x - \frac{1}{3}$, $\mathscr{S}=\left\{ -5 \right\}$.
		\task $\frac{x-5}{7}=-3$, $\mathscr{S}=\left\{ -16 \right\}$.
		\task $\frac{1}{4}x+\frac{1}{8}=-\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}$, $\mathscr{S}=\left\{ \frac{1}{4} \right\}$.
		\task $\frac{x-3}{2}=2x+1$,  $\mathscr{S}=\left\{ -\frac{5}{3} \right\}$.
	\end{tasks}
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Identifiez puis résolvez dans $\mathbb{R}$ les équations linéaires parmi les équations d'inconnue $x$ suivantes:	
	\begin{tasks}(2)
		\task $x^2=3x-1$
		\task $-4x+2=10$
		\task $\sqrt{x}+1=3$
		\task $9x-1=2x-15$
		\task $\dfrac{1}{x}+3=1$
		\task $\dfrac{1}{3}=\dfrac{3x}{6}-7$
		\task $5x-7-x=4x$
		\task $\sqrt{7}x-2=-\pi$
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}Toutes les expressions qui ne ressemble pas à des formules algébriques de fonctions affines ne correspondent pas à des équations linéaires. Concrètement, les expressions $\sqrt{x}$, $x^2$, $x^3$, ..., $\frac{1}{x}$ ne doivent pas apparaître.}
	
	\begin{tasks}
		\task Ce n'est pas une équation linéaire.
		\task C'est une équation linéaire et $\mathscr{S}=\{-2\}$.
		\task Ce n'est pas une équation linéaire.		
		\task C'est une équation linéaire et $\mathscr{S}=\{ -2 \}$.
		\task Ce n'est pas une équation linéaire.
		\task Il s'agit bien d'une équation linéaire.
		
		\begin{align*}
			\frac{1}{3} &= \frac{3x}{6}-7\\
			\intertext{ce qui équivaut successivement à:}
			\frac{1}{3} &= \frac{3}{6}x-7\\
			\frac{1}{3} {\color{orange}+7} &= \frac{3}{6}x-7 {\color{orange}+7}\\
			\frac{22}{3} &= \frac{3}{6}x\\
			{\color{orange}\frac{6}{3} \times} \frac{22}{3} &= {\color{orange}\frac{6}{3} \times} \frac{3}{6}x\\
			\frac{22}{6} &= x\\
			\frac{2 \times 11}{2 \times 3} &= x
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}			
			L'ensemble des solutions de l'équation est $\mathscr{S}= \left\{ \frac{11}{3} \right\}$.			
		\end{conclusion}		
		\task Il s'agit bien d'une équation linéaire.
				
		{\color{orange}Cependant la situation est un peu particulière comme le montre la résolution de cette équation.}		
		\begin{align*}
			5x-7-x = 4x\\
			\intertext{équivaut successivement à:}
			4x - 7 &= 4x\\
			4x - 7 {\color{orange}-4x} &= 4x {\color{orange}-4x} \\
			-7 &= 0
		\end{align*}		
		{\color{orange}Toute la difficulté est d'interpréter cette dernière égalité.
			
		Lorsque nous travaillons par équivalence toutes les phrases mathématiques écrites sont aussi vraies les unes que les autres. Or la dernière phrase que nous avons obtenue est, très clairement, fausse, donc la première est tout aussi fausse. Ainsi l'égalité proposée est toujours fausse, et ce, qu'elle que soit la valeur choisie pour $x$. Autrement dit il n'y a aucune solution.}
			
		\begin{conclusion}			
			L'ensemble des solutions de l'équation est $\mathscr{S}= \emptyset$.			
		\end{conclusion}
		\task {\color{orange}La présence de $\sqrt{7}$ ou de $\pi$ ne doit pas effrayer: il s'agit juste de nombres.}
		
		C'est une équation du premier degré et:		
		\begin{align*}
			\sqrt{7}x -2 &= -\pi \\
			\intertext{équivaut successivement à:}
			\sqrt{7}x -2 {\color{orange}+2} &= -\pi {\color{orange}+2} \\
			\sqrt{7}x &= -\pi+2
			\frac{\sqrt{7}x}{\color{orange}\sqrt{7}} &= \frac{-\pi+2}{\color{orange}\sqrt{7}}\\
			x &= \frac{-\pi+2}{\sqrt{7}}
		\end{align*}		
		{\color{orange}Et il n'y a pas d'écriture plus simple de ce nombre.}
		
		\begin{conclusion}			
			L'ensemble des solutions de l'équation est $\mathscr{S}= \left\{ \frac{-\pi+2}{\sqrt{7}} \right\}$.			
		\end{conclusion}		
	\end{tasks}	
\end{exercicecorrection}


\subsubsection{Exercices.}

\begin{exercice}	
	Résolvez l'équation en $x$.
	
	Exemple: 
	\begin{align*}
		x+3=0 &\Leftrightarrow x+3 {\color{orange}-3} =0 {\color{orange}-3}\\
		&\Leftrightarrow x=-3
	\end{align*}
	
	\begin{tasks}(4)
		\task $x+2=0$.
		\task $x+7=0$.
		\task $2 \times x=0$.
		\task $4x=0$.
		\task $x\div 3=0$.
		\task $\frac{x}{2,3}=0$.
		\task $x-3=0$.
		\task $x-12=0$.
		\task $x-1,3=0$.
		\task $3,7x=0$.
		\task $x+3,7=0$.
		\task $x+\frac{1}{2}=0$.
		\task $x-\frac{13}{12}=0$.
		\task $\frac{4}{3}x=0$.
		\task $\frac{x}{\frac{1}{7}}=0$.
		\task $\frac{\frac{x}{3}}{\frac{4}{7}}=0$.
		\task $3-x=0$.
		\task $-6-x=0$.
		\task $-x+1=0$.
		\task $-x+\frac{1}{3}=0$.
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{tasks}(4)
		\task $x=-2$.
		\task $x=-7$.
		\task $x=0$.
		\task $x=0$.
		\task $x=0$.
		\task $x=0$.
		\task $x=3$.
		\task $x=12$.
		\task $x=1,3$.
		\task $x=0$.
		\task $x=-3,7$.
		\task $x=-\frac{1}{2}$.
		\task $x=\frac{13}{12}$.
		\task $x=0$.
		\task $x=0$.
		\task $x=0$.
		\task $x=3$.
		\task $x=-6$.
		\task $x=1$.
		\task $x=\frac{1}{3}$.
	\end{tasks}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Résolvez l'équation en $x$.	
	\begin{tasks}(4)
		\task $x+12=0$.
		\task $x+\pi=0$.
		\task $\sqrt{2} \times x=0$.
		\task $2,7x=0$.
		\task $x\div \sqrt{7}=0$.
		\task $\dfrac{x}{10^3}=0$.
		\task $x-5=0$.
		\task $x-14=0$.
		\task $x-2,71=0$.
		\task $8,2x=0$.
		\task $x+1,05=0$.
		\task $x+\dfrac{3}{11}=0$.
		\task $x-\dfrac{2}{6}=0$.
		\task $\dfrac{10^3}{\np{12345}}x=0$.
		\task $\dfrac{x}{\frac{\pi}{2\sqrt{2}}}=0$.
		\task $\frac{\frac{x}{2}}{\frac{2}{3}}=0$.
		\task $17-x=0$.
		\task $-24-x=0$.
		\task $-x+23=0$.
		\task $-x+\dfrac{\pi}{2}=0$.
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{tasks}(4)
		\task $x=-12$.
		\task $x=-\pi$.
		\task $x=0$.
		\task $x=0$.
		\task $x=0$.
		\task $x=0$.
		\task $x=5$.
		\task $x=14$.
		\task $x=2,71$.
		\task $x=0$.
		\task $x=-1,05$.
		\task $x=-\frac{3}{11}$.
		\task $x=\frac{1}{3}$.
		\task $x=0$.
		\task $x=0$.
		\task $x=0$.
		\task $x=17$.
		\task $x=-24$.
		\task $x=23$.
		\task $x=\frac{\pi}{2}$.
	\end{tasks}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Résolvez l'équation en $x$. $\alpha$, $\mu$ et $y$ désignent des nombres non nuls.
	
	Exemple:	
	\begin{align*}
		2x+1=0 &\Leftrightarrow 2x+1 {\color{orange}-1} = 0 {\color{orange}-1}\\
		&\Leftrightarrow 2x=-1\\
		&\Leftrightarrow \frac{2x}{\color{WildStrawberry}2} = \frac{-1}{\color{WildStrawberry}2}\\
		&\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}
	\end{align*}
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $3x+6=0$.
		\task $4x-8=0$.
		\task $-2x+4=0$.
		\task $-7x-63=0$.
		\task $8x-2=0$.
		\task $6x-7=0$.
		\task $-5x+9=0$.
		\task $-13x-1=0$.
		\task $1,5x+3=0$.
		\task $2,7x-1,2=0$.
		\task $-3,14x+12=0$.
		\task $-1,32x-7,1=0$.
		\task $\dfrac{1}{2}x+3=0$.
		\task $\dfrac{2}{7}x-\dfrac{5}{4}=0$.
		\task $-\dfrac{3}{11}x+\dfrac{2}{5}=0$.
		\task $-\dfrac{13}{4}x-\dfrac{1}{7}=0$.
		\task $\alpha x+1=0$.
		\task $\mu x-y=0$.
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{tasks}(3)
		\task $x=-2$.
		\task $x=2$.
		\task $x=2$.
		\task $x=-9$.
		\task $x=4$.
		\task $x=\frac{7}{6}$.
		\task $x=\frac{9}{5}$.
		\task $x=-\frac{1}{13}$.
		\task $x=-2$.
		\task $x=\frac{12}{27}$.
		\task $x=\frac{1200}{314}$.
		\task $x=\frac{355}{66}$.
		\task $x=-6$.
		\task $x=\frac{35}{8}$.
		\task $x=\frac{22}{15}$.
		\task $x=-\frac{4}{91}$.
		\task $x=-\frac{1}{\alpha}$.
		\task $x=\frac{y}{\mu}$.
	\end{tasks}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}	
	Résolvez l'équation en $x$. $\alpha$, $\mu$ et $y$ désignent des nombres non nuls.	
	\begin{tasks}(3)
		\task $4x+16=0$.
		\task $8x-64=0$.
		\task $-6x+18=0$.
		\task $-11x-121=0$.
		\task $8x-2=0$.
		\task $8x-9=0$.
		\task $-5x+12=0$.
		\task $-17x-6=0$.
		\task $0,14x+35=0$.
		\task $12,1x-1,21=0$.
		\task $-6,53x+89=0$.
		\task $-3,65x-67,4=0$.
		\task $\frac{7}{9}x+2=0$.
		\task $\frac{4}{3}x-\frac{5}{8}=0$.
		\task $-\frac{4}{6}x+\frac{2}{4}=0$.
		\task $-\frac{2}{23}x-\frac{1}{9}=0$.
		\task $3\alpha x+7=0$.
		\task $\frac{1}{2}\mu x-y=0$.
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{tasks}(3)
		\task $x=-4$.
		\task $x=8$.
		\task $x=3$.
		\task $x=-11$.
		\task $x=\frac{1}{4}$.
		\task $x=\frac{9}{8}$.
		\task $x=\frac{12}{5}$.
		\task $x=-\frac{6}{17}$.
		\task $x=-\frac{3500}{14}$.
		\task $x=0,1$.
		\task $x=\frac{89}{6,53}$.
		\task $x=-\frac{67,4}{3,65}$.
		\task $x=-\frac{18}{7}$.
		\task $x=\frac{15}{32}$.
		\task $x=\frac{3}{2}$.
		\task $x=-\frac{23}{18}$.
		\task $x=-\frac{7}{3\alpha}$.
		\task $x=\frac{2y}{\mu}$.
	\end{tasks}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Résolvez l'équation en $x$. $\alpha$, $\mu$ et $y$ désignent des nombres non nuls.
	
	Exemple:	
	\begin{align*}
		2x+1=3x &\Leftrightarrow 2x+1 {\color{orange}-2x} = 3x {\color{orange}-2x}\\
		&\Leftrightarrow 1= x
	\end{align*}
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $3x+6=4x$.
		\task $4x-8= 6x$.
		\task $-2x+4=3x$.
		\task $-7x-63=-4x$.
		\task $8x-2=2x$.
		\task $6x-7=x$.
		\task $-5x+9=-3x$.
		\task $-13x-1=-2x$.
		\task $1,5x+3=1,2x$.
		\task $2,7x-1,2=-2,1x$.
		\task $-3,14x+12=7x$.
		\task $-1,32x-7,1=8x$.
		\task $\frac{1}{2}x+3=\frac{3}{2}x$.
		\task $\frac{2}{7}x-\frac{5}{4}= -\frac{3}{7}x$.
		\task $-\frac{3}{11}x+\frac{2}{5}=\frac{3}{5}x$.
		\task $-\frac{13}{4}x-\frac{1}{7}=\frac{3}{7}x$.
		\task $\alpha x+1=-3x$.
		\task $\mu x-y= \mu$.
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}		
	\begin{tasks}(3)
		\task $x=6$.
		\task $x=-4$.
		\task $x=\frac{4}{5}$.
		\task $x=-21$.
		\task $x=\frac{1}{3}$.
		\task $x=\frac{7}{5}$.
		\task $x=\frac{9}{2}$.
		\task $x=-\frac{1}{11}$.
		\task $x=-10$.
		\task $x=2$.
		\task $x=-\frac{12}{3,86}$.
		\task $x=-\frac{7,1}{6,68}$.
		\task $x=3$.
		\task $x=\frac{7}{4}$.
		\task $x=-\frac{2}{5} \times \frac{55}{18}=\frac{11}{9}$.
		\task $x=-\frac{1}{7} \times \frac{28}{103}=-\frac{4}{721}$.
		\task $x=-\frac{1}{3+\alpha}$.
		\task $x=1+\frac{y}{\mu}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Résolvez l'équation en $x$. $\alpha$, $\mu$ et $y$ désignent des nombres non nuls.
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $4x+16=2x$.
		\task $8x-64=-4x$.
		\task $-6x+18=-x$.
		\task $-11x-121=-10x$.
		\task $8x-2=4x$.
		\task $8x-9=-7x$.
		\task $12-5x=-11x$.
		\task $-17x-6=-5x$.
		\task $35+0,14x=3x$.
		\task $12,1x-1,21=1,35x$.
		\task $-6,53x+89=-7,1x$.
		\task $-3,65x-67,4=-3x$.
		\task $\frac{7}{9}x+2=\frac{5}{9}x$.
		\task $-\frac{5}{8}+\frac{4}{3}x=-\frac{1}{3}x$.
		\task $-\frac{1}{3}x+\frac{2}{4}=\frac{5}{3}x$.
		\task $-\frac{2}{23}x-\frac{1}{9}= \frac{1}{2}x$.
		\task $3\alpha x+7=3x$.
		\task $\frac{1}{2}\mu x-y=\alpha x$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $x=-8$.
		\task $x=16$.
		\task $x=\frac{18}{5}$.
		\task $x=-121$.
		\task $x=\frac{1}{2}$.
		\task $x=9$.
		\task $x=-2$.
		\task $x=-\frac{1}{2}$.
		\task $x=\frac{35}{2,86}$.
		\task $x=\frac{1,21}{11,75}$.
		\task $x=-\frac{89}{0,57}$.
		\task $x=-\frac{67,4}{0,65}$.
		\task $x=-9$.
		\task $x=\frac{3}{8}$.
		\task $x=\frac{1}{4}$.
		\task $x=-\frac{46}{243}$.
		\task $x=-\frac{7}{3(\alpha-1)}$.
		\task $x=\frac{y}{\frac{1}{2}\mu-\alpha}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Résolvez l'équation en $x$. $\alpha$, $\mu$, $t$ et $y$ désignent des nombres non nuls.
	
	Exemple:
	
	\begin{align*}
		2x+1=4+3x &\Leftrightarrow 2x+1 {\color{orange}-2x} = 4+3x {\color{orange}-2x}\\
		&\Leftrightarrow 1= 4+x\\
		&\Leftrightarrow 1 {\color{WildStrawberry}-4} =4+x{\color{WildStrawberry}-4}\\
		&\Leftrightarrow -3=x
	\end{align*}
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $2x+4=x+6$.
		\task $3x-4= 7-6x$.
		\task $-x+1=3x+2$.
		\task $-7x-63=5-4x$.
		\task $8x-2=-3+2x$.
		\task $-7+6x=11-x$.
		\task $-5x+9=-3x+7$.
		\task $-13x-1=-2x+5$.
		\task $1,5x+3=4-1,2x$.
		\task $2,7x-1,2=-2,1x-0,2$.
		\task $-3,14x+12=7x-8$.
		\task $-1,32x-7,1=8x+0,9$.
		\task $\frac{1}{2}x+3=\frac{3}{2}x+1$.
		\task $\frac{2}{7}x-\frac{5}{4}= -\frac{3}{7}x-\frac{3}{2}$.
		\task $-\frac{3}{11}x+\frac{2}{5}=\frac{3}{5}x+\frac{1}{35}$.
		\task $-\frac{13}{4}x-\frac{1}{7}=-\frac{15}{7}+\frac{3}{7}x$.
		\task $\alpha x+1=-3x+t$.
		\task $\mu x-y= 3t-\mu x$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $x=2$.
		\task $x=\frac{11}{9}$.
		\task $x=-\frac{1}{4}$.
		\task $x=-\frac{68}{3}$.
		\task $x=-\frac{1}{6}$.
		\task $x=\frac{18}{7}$.
		\task $x=1$.
		\task $x=-\frac{6}{11}$.
		\task $x=-\frac{1}{2,7}$.
		\task $x=\frac{1}{4,8}$.
		\task $x=\frac{20}{10,14}$.
		\task $x=-\frac{8}{6,68}$.
		\task $x=2$.
		\task $x=-\frac{7}{20}$.
		\task $x=\frac{13}{35} \times \frac{55}{18}=\frac{141}{126}$.
		\task $x=-\frac{2}{103}$.
		\task $x=\frac{t-1}{\alpha+3}$.
		\task $x=\frac{3t+y}{2\mu}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Résolvez l'équation en $x$. $\alpha$, $\mu$, $t$ et $y$ désignent des nombres non nuls.

	\begin{tasks}(3)
		\task $3x+3=x+9$.
		\task $2x-8= 4-2x$.
		\task $-x+7=2x+8$.
		\task $-3x-6=3-2x$.
		\task $3x-1=-2+x$.
		\task $-4+7x=7-x$.
		\task $-3x+12=-4x+2$.
		\task $-5x-3=-2x+7$.
		\task $2,5x+5=2-3,2x$.
		\task $4,3x-2,5=-2,9x-0,5$.
		\task $-3x+1,1=7x-1,1$.
		\task $-2,2x-0,1=8x+0,1$.
		\task $\dfrac{3}{2}x+2=\dfrac{1}{2}x+3$.
		\task $\dfrac{5}{2}x-\dfrac{2}{5}= -\dfrac{3}{2}x-\dfrac{5}{3}$.
		\task $-\dfrac{6}{11}x+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{5}x+\dfrac{1}{3}$.
		\task $-\dfrac{11}{2}x-\dfrac{2}{3}=-\dfrac{3}{4}+\dfrac{3}{2}x$.
		\task $3\alpha x+11=-5\alpha x-t$.
		\task $-\mu x+y= t+5\mu x$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $x=3$.
		\task $x=3$.
		\task $x=-\frac{1}{3}$.
		\task $x=-9$.
		\task $x=-\frac{1}{2}$.
		\task $x=\frac{11}{8}$.
		\task $x=$.
		\task $x=$.
		\task $x=$.
		\task $x=$.
		\task $x=$.
		\task $x=$.
		\task $x=$.
		\task $x=$.
		\task $x=$.
		\task $x=$.
		\task $x=$.
		\task $x=$.
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\noindent 
	\begin{tabular}{m{4cm}m{2cm}m{4cm}}
		
		Trouver $x$ pour que le triangle $ABC$ soit rectangle en $A$.
		
		&&
		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\coordinate (A) at (0,0);
			\coordinate (B) at (3,0);
			\coordinate (C) at (0,4);
			\draw (A) node[below] {$A$};
			\draw (B)node[below] {$B$};
			\draw (C)node[above] {$C$};
			\draw (1.5,-0.5) node{$12$};
			\draw (2.2,2.2)node {$x$};
			\draw (-2,2)node {$(x-8)$};
			\draw[blue, thick](A)--(B)--(C)--(A);	
		\end{tikzpicture}
		
		\\
	\end{tabular}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$ABC$ est rectangle en $A$ si et seulement si $AB^2+AC^2=BC^2$, d'après le théorème de Pythagore.
	
	Autrement dit il faut et il suffit que: ${\color{red}(x-8)^2}+{\color{violet}12^2}=x^2$.
	
	Cette dernière équation équivaut successivement à:
	\begin{align*}
		{\color{red}x^2-2 \times x\times 8 +8^2}+{\color{violet} 144}&=x^2 \\
		{\color{red}x^2-16x+64}+{\color{violet}144} &= x^2\\
		\intertext{\color{orange}En se ramenant à une égalité à $0$:}
		x^2-16x +208{\color{orange}-x^2} &=x^2{\color{orange}-x^2}\\
		-16x+208&=0\\
		\intertext{\color{orange}Nous reconnaissons une équation linéaire:}
		-16x+208 {\color{orange}-208} &= 0 {\color{orange}-208} \\
		-16x = -208 \\
		\frac{-16x}{-16} &= \frac{-208}{-16}\\
		x &= 13
	\end{align*}
	
	$ABC$ est rectangle en $A$ si et seulement si $x=13$.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme bordas fractales 1990 page 100 exercice 99
	\end{notabene}
	
	Déterminez cinq nombres impairs consécutifs dont la somme est égale à $405$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Déterminez l'ensemble des valeurs interdites pour le calcul défini pour $x$ réel par \[ \frac{\sqrt{x}}{2x-3} \]
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	Il faut utiliser le fait q'une racine carrée s'applique uniquement à un nombre positif et qu'un quotient ne peut avoir un dénominateur nul.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Dans une assemblée, quarante personnes ont plus de $40$ ans, un quart a entre $30$ et $40$ ans et un tiers a moins de $30$ ans. Quel est le nombre de personnes de cette assemblée?
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange} Le plus souvent l'inconnue qu'il est pertinent d'introduire est la grandeur recherchée.}
	
	\medskip
	Notons $x$ le nombre de personnes dans l'assemblée.
	
	L'énoncé se traduit alors par l'égalité: \[ 40+\frac{1}{4}x+\frac{1}{3}x=x \]
	
	Il s'agit d'une équation linéaire dont l'unique solution est $96$.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Deux trains partent à $4\ \mathrm{h}$ du matin, l'un de la ville $A$ vers la ville $B$, et l'autre de la ville $B$ située à $315\ \mathrm{km}$ de $A$ en direction de la ville $A$. À quelle heure se fera la rencontre, sachant que le premier roule à $90\ \mathrm{km}\cdot \mathrm{h}^{-1}$ et le second à $120\ \mathrm{km}\cdot \mathrm{h}^{-1}$?
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	Notons $x$ le temps, en heures, mis par les deux trains pour se croiser.
	
	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (6,0);
		\coordinate (C) at (2,0);
		\draw (A) node {$\bullet$};
		\draw (B)node {$\bullet$};
		\draw (C)node {$\bullet$};
		\draw (A)node[below]{$A$};
		\draw (B)node[below]{$B$};
		\draw (C)node[below]{$C$};
		\draw[blue, thick](A)--(B);
		\draw(3,1) node[black]{$315$};
		\draw(1,-1) node[black]{$90x$};
		\draw(4,-1) node[black]{$120x$};	
		\draw[black, >=latex,<->](0,0.5)--(6,0.5);
		\draw[black, >=latex,<->](0,-0.5)--(2,-0.5);
		\draw[black, >=latex,<->](2,-0.5)--(6,-0.5);
	\end{tikzpicture}
	
	La distance parcourue par le train partant de $A$ au moment du croisement est (en fonction de $x$) $90 x$.
	
	La distance parcourue par le train partant de $B$ au moment du croisement est (en fonction de $x$) $120 x)$.
	
	Ainsi $x$ doit vérifier l'équation \[ 90x+120x=315 \]
	Il s'agit d'une équation linéaire dont l'unique solution est $x=1,5$.
	
	Autrement dit les trains se croisent à 5 h 30.
	
\end{exercicecorrection} 

\begin{exercice}{}
	
	Un litre d'une boisson contient $7\ \%$ de sirop. Quel volume d'eau pure doit-on rajouter pour qu'un litre de cette nouvelle boisson contienne $5\ \%$ de sirop?
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	La quantité de sirop avant et après remplissage est la même donc: \[ \frac{7}{100}\times 1 = \frac{5}{100} \times (x+1) \]	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme bordas fractales 1990 page 100 exercice 106
	\end{notabene}
	
	$ABCD$ est un carré de côté $a$ ($a$ nombre strictement positif). $M$ est un point du segment $[BC]$. Déterminez le point $M$ de façon que le rapport de l'aire du triangle $ABM$ à celle du trapèze $ADCM$ soit égale à $\dfrac{1}{3}$.
		
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme bordas fractales 1990 page 100 exercice 107
	\end{notabene}
	
	$ABC$ est un triangle équilatéral de côté $a$ ($a$ nombre strictement positif). Par le point $P$ symétrique de $C$ par rapport à $B$ on trace une droite $(\Delta)$ qui rencontre $[AB]$ en $M$  et $[AC]$ en $N$. On pose $BM=x$.
	
	Déterminez $x$ tel que $CN=\dfrac{2a}{3}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	Notons $R$ le point de $[BC]$ de sorte que $NCR$ est un triangle équilatéral.
	
	Avec le théorème de Thalès:$\frac{PB}{PR} =\frac{BM}{CN}$ et $CN=\frac{2a}{3}$.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme bordas fractales 1990 page 100 exercice 108
	\end{notabene}
	
	Un triangle $ABC$ est rectangle en $A$. Le segment $[AB]$ mesure $3\ \mathrm{cm}$, le segment $[AC]$ mesure $4\ \mathrm{cm}$. Soit $M$ un point de $[AB]$: on pose $AM=x$.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\def\AM{1.5};
			\coordinate (A) at (0,0);
			\coordinate (B) at (3,0);
			\coordinate (C) at (0,4);
			\coordinate (M) at ({\AM},0);
			\coordinate (N) at (0,{4*\AM/3});
			\coordinate (P) at ({12/25*(4-4/3*\AM)},{-4/3*(12/25*(4-4/3*\AM))+4});
			\coordinate (Q) at ({12/25*(4+3/4*\AM)},{-4/3*(12/25*(4+3/4*\AM))+4});
			\draw (A) node [below left] {$A$};
			\draw (B) node [below right] {$B$};
			\draw (C) node [above left] {$C$};
			\draw (M) node [below] {$M$};
			\draw (N) node [left] {$N$};
			\draw (P) node [above right] {$P$};
			\draw (Q) node [above right] {$Q$};
			\draw (M) -- (B) -- (C) -- (A);
			\draw[red] (A) -- (M);
			\draw [blue] (Q) -- (M) -- (N) -- (P);
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	On construit un rectangle $MNPQ$ inscrit dans le triangle comme l'indique la figure ci-dessus.
	
	Déterminez $x$ pour que $MNPQ$ soit un carré.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	Notons $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur $[BC]$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Les triangles $ABC$ et $ABH$ sont semblables donc $AH=\frac{3}{5} \times AC=\frac{3}{5} \times 4$.
		
		Configuration des triangles emboîtés: $BMQ$ et $BAH$. Avec Thalès: $MQ=AH \times \frac{MB}{AB}=\frac{3}{5}\times 4\times \frac{3-x}{3} x$.
		
		\item Configuration des triangles emboîtés: $AMN$ et $ABC$. Avec Thalès: $NM=\frac{5}{3} x$.
		
		\item Pour qu'il y ait un carré il faut que $NM=MQ$ et donc: $
		\frac{15}{12}(3-x)=\frac{5}{3}x$. D'où $x=\frac{36}{37}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}
\begin{exercice}{}
	
	\emph{Problème publié dans le \emph{Liber Abaci} (1202) par Léonard de Pise dit Fibonacci.}
	
	\medskip
	Deux tours élevées l'une de $30 $ pas, l'autre de $40$ sont distantes de $50$ pas; entre les deux se trouve une fontaine vers le centre de laquelle deux oiseaux descendant des sommets des deux tours se dirigent du même vol et parviennent dans le même temps. Quelles sont les distances horizontales du centre de la fontaine aux deux tours?
	
	\bigskip
	
	\noindent \begin{tabular}{m{4.5cm}m{1cm}m{4.5cm}}
		
		L'apport principal de \emph{Léonard de Pise} ( dit \emph{\color{purple}Fibonacci}) fut l'introduction de la numération décimale dans le traité de comptabilité \emph{Liber abaci}  alors que l'Europe utilise encore les chiffres romains.
		
		\medskip
		Son nom est resté célèbre jusqu'à nos jours grâce à une suite de nombres qui porte son nom et qui est associée au nombre d'or. Chaque terme de la suite de Fibonacci, qui commence par $0$ puis $1$, est la somme des deux précédents.
		
		Cette suite est souvent évoquée dans des thématiques ésotérique ou esthétique (comme le roman \emph{Da Vinci code}).
		
		&&
		
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=0.25]{2ieme_algebre_05_equation_lineaire_07_fibonacci.jpg}
		\end{center}
		
		\\ \end{tabular}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 137 page 154 du manuel 3ieme istra irem strasbourg 1980.
		
	\end{notabene}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
		\def\SO{20};
		\def\OA{5};
		\def\RS{5};
		\def\RT{\RS *\OA /(\SO +\OA)};
		\coordinate (S) at (0,0);
		\coordinate (O) at ({\SO},0);
		\coordinate (A) at ({\SO +\OA},0);
		\coordinate (B) at ({\SO},{\RT});
		\coordinate (B1) at ({\SO},{-\RT});
		\coordinate (C) at (0,{\RS});
		\coordinate (C1) at (0,{-\RS});
		\draw (S) node[below left]{$S$};
		\draw (S) node{$\times$};
		\draw (O) node[below left]{$O$};
		\draw (O) node{$\times$};
		\draw (A) node[right]{$A$};
		\draw (A) node{$\times$};
		\draw (B) node[above]{$B$};
		\draw (B) node{$\times$};
		\draw (C) node[above]{$C$};
		\draw (C) node{$\times$};
		\draw (S)--(A)--(C)--(S);
		\draw(O)--(B);
		\draw[samples=100,domain=0:360] plot({\RS *cos(\x)},{\RS *sin(\x)});
		\draw(-2,2)node[fill=white]{Soleil};
		\draw[samples=100,domain=0:360] plot({\SO +\RT *cos(\x)},{\RT *sin(\x)});
		\draw({\SO -2},{-\RT-2})node[fill=white]{Terre};
		\draw[dashed](S)--(C1);
		\draw[dashed](O)--({\SO},{-\RS});
		\draw[>=latex,<->](0,{\RT -\RS})--({\SO},{\RT -\RS})node[midway,fill=white]{$\np{149600000}\ \mathrm{km}$};
		\fill[color=gray , opacity=0.5] (B)--(B1)--(A)--cycle;
		\draw({\SO +\OA},{2})node[fill=white]{Cône d'ombre};
	\end{tikzpicture}
	
	\begin{enumerate}
		\item La distance moyenne Soleil-Terre (calculée de centre à centre) est de $\np{149600000}\ \mathrm{km}$.
		
		Le rayon du soleil est de $\np{696000}\ \mathrm{km}$, celui de la Terre de $\np{6360}\ \mathrm{km}$.
		
		Démontrez que la hauteur $OA$ du cône d'ombre situé derrière la Terre est de $\np{1379642}\ \mathrm{km}$ par valeur approchée à l'unité près par excès.
		
		\item Calculez le volume du cône d'ombre de sommet $A$ et dont la base est formé par le disque de rayon $OB$.
		
		\item La distance moyenne Terre-Lune (calculée de centre à centre) est de $\np{382000}\ \mathrm{km}$. Le rayon de la lune est de $\np{1738}\ \mathrm{km}$
		Étudiez la possibilité d'éclipses totales de la Lune en période de pleine lune.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}




\end{document}

\section{Modèles.}

\setlength{\parskip}{0pt}
\setlength{\itemsep}{0pt}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick,black] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick,black] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\draw (O) node {$\bullet$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\draw (I) node {$\bullet$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	\draw (J) node {$\bullet$};
	%Graduations
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Rectangle en coin.}

\begin{tikzpicture}
	\def\xangledroit{0};
	\def\yangledroit{0};
	\def\longueurangledroit{0.5};
	\draw[fill=green!30,rotate around={{20}:({\xangledroit},{\yangledroit})}] ({\xangledroit},{\yangledroit}) rectangle ({\xangledroit+\longueurangledroit},{\yangledroit+\longueurangledroit});
\end{tikzpicture}

ou bien avec matrice rotation plus translation ici 45 degres et translation de vecteur (1,1).
\begin{tikzpicture}
		\def\code{0.2};
		\draw [cm={cos(-45) ,-sin(-45) ,sin(-45) ,cos(-45) ,(1,1)}]  ({-\code},{0}) -- ({0-\code},{0+\code}) -- (0,{0+\code});
\end{tikzpicture}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}

\subsection{Engrenages.}
\newcommand{\roue}[4]{% #1 = rayon, #2 = nombre de dents, #3 = X centre, #4 = Y centre
\foreach \i in {1,2,...,#2}
{
\pgfmathparse{360*(\i-1)/#2}\let\angle\pgfmathresult

\begin{scope}[shift={(#3,#4)}]
\pgfmathparse{#1*cos(90+360/(#2*4))}\let\Ax\pgfmathresult 
\pgfmathparse{#1*sin(90+360/(#2*4))}\let\Ay\pgfmathresult

\pgfmathparse{#1*cos(90-360/(#2*4))}\let\Bx\pgfmathresult
\pgfmathparse{#1*sin(90-360/(#2*4))}\let\By\pgfmathresult

\pgfmathparse{4*#1*cos(90+360/(#2*8))/3}\let\Cx\pgfmathresult
\pgfmathparse{4*#1*sin(90+360/(#2*8))/3}\let\Cy\pgfmathresult

\pgfmathparse{4*#1*cos(90-360/(#2*8))/3}\let\Dx\pgfmathresult
\pgfmathparse{4*#1*sin(90-360/(#2*8))/3}\let\Dy\pgfmathresult

\pgfmathparse{90-360/(#2*4)}\let\a\pgfmathresult
\pgfmathparse{90-1.5*360/(#2*2)}\let\b\pgfmathresult

\draw[rotate=\angle] (\Ax,\Ay) to[bend left=15] (\Cx,\Cy) -- (\Dx,\Dy) to[bend left=15] (\Bx,\By) arc (\a:\b:#1cm); 
\end{scope}
}
}

\begin{tikzpicture}
\roue{3}{20}{0}{0}
\roue{3}{16}{7.4}{2}
\end{tikzpicture}