%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill \small {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/2ieme.html}{Développer factoriser.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} 

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Développer factoriser.}

\subsection{Développer.}


\subsubsection{La boîte à outil pour développer.}

\begin{proposition}{}
	
	Les lettres $a$, $b$, $c$, $d$ désignent des nombres, des expressions algébriques, des fonctions numériques etc.
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item \emph{\color{purple}Distributivité} de la multiplication sur l'addition: $a(b+c)= ab+ac$
		\item Double distributivité: $(a+b)(c+d)= ac+ad+bc+bd$
		\item \emph{\color{purple}Identités remarquables}:
		\begin{enumerate}[.]
			\item $\color{purple} (a+b)^2= a^2+2ab+b^2$
			\item $\color{purple} (a-b)^2= a^2-2ab+b^2$
			\item $\color{purple} (a-b)(a+b)=a^2-b^2$
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{notabene}
	
	Le programme impose d'ajouter une illustration géométrique de $(a+b)^2$?
	 	
\end{notabene}

\begin{preuve}
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item La distributivité n'est pas démontrable. C'est un axiome de la construction de la multiplication de l'ensemble des nombres réels.
		\item On applique en deux temps la propriété de distributivité.
		\item Les égalités se démontrent en partant du membre de gauche vers faisant:
		\begin{enumerate}[.]
			\item $(a+b)^2=(a+b)(a+b)$ puis on utilise la double distributivité.
			\item $(a-b)^2=(a-b)(a-b)$ puis on utilise la double distributivité.
			\item En utilisant la double distributivité.
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\subsubsection{Développer, ordonner, réduire une expression polynomiale.}

\begin{lecon}
	
	Nous travaillerons très souvent avec des expressions dites \emph{\color{purple}polynomiales}, c'est-à-dire d'expression que nous pourrons écrire comme somme ou produits de monômes: $ax^n$ avec $a\in \mathbb{R}$ et $n\in \mathbb{N}$. Ainsi: $3-x+2x^3$ est une expression littérale polynomiale.
	
	Pour savoir si deux expressions polynomiales sont égales nous utilisons une présentation standard de ces expressions appelée \emph{\color{purple}la forme développée, réduite et ordonnée}. 
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item $x^2-x+3$ est une expression polynomiale sous forme développée, réduite et ordonnée
		
		\item $-x+3+x^2$ est une expression polynomiale mais elle n'est pas ordonnée.
		
		\item $x^2-2x+x+5-2$ est une expression polynomiale mais elle n'est pas réduite.
		
		\item $x^3(x+1)$ est une expression polynomiale.
		
		\item $\frac{3x^3}{x+1}$ n'est pas une expression polynomiale mais les numérateurs et dénominateurs en sont.
		
		\item $\sqrt{x^2+1} +2x+7$ n'est pas une expression polynomiale.
		
		\item L'expression algébrique d'une fonction affine est une fonction polynomiale.
		
	\end{enumerate}

\end{exemples}

\subsubsection{Exercices.}


\begin{exercice}{\YinYang}
	
	Développez, ordonnez puis réduisez les expressions suivantes.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $A(x) = 4x(x+3)$.
		\task $B(x)= (3+x)(2x-1)$.
		\task $C(x) = (x+3)^2$.
		\task $D(x)= (2x-4)^2$.
		\task $E(x)= (-x+5)(-x-5)$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}
		\task {\color{orange}En utilisant la distributivité:}
		
		\begin{align*}
		A(x) &= 4x \times x + 4x \times 3\\
		&=4x^2+12x\\
		\end{align*}
		
		\item {\color{orange}En utilisant la double distributivité:}
		
		\begin{align*}
		B(x) &= {\color{orange} (3+x)(2x+(-1))} \\
		&= 3 \times 2x+ 3 \times (-1) +x \times 2x+x \times (-1) \\
		&= 6x-3+2x^2-x \\
		&= 2x^2+6x-x-3 \\
		&= 2x^2+5x-3 
		\end{align*}
		
		\task {\color{orange}Nous utiliserons ici une identité remarquable: $(a+b)^2=a^2+2ab +b^2$. Avec $a=x$ et $b=3$.}
		
		\begin{align*}
		C(x) &= x^2+2 \times x \times 3 +3^2\\
		&= x^2+6x+9
		\end{align*}
		
		\task {\color{orange}Nous utiliserons ici une identité remarquable: $(a-b)^2=a^2-2ab +b^2$. Avec $a=2x$ et $b=4$.}
		
		\begin{align*}
		D(x) &= (2x)^2-2 \times (2x) \times 4 +4^2\\
		&= 2^2x^2-16x+16\\
		&= 4x^2-16x+16
		\end{align*}
		
		\task {\color{orange}Nous utiliserons ici une identité remarquable: $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. Avec $a=-x$ et $b=5$.}
		
		\begin{align*}
		E(x) &= (-x)^2-5^2\\
		&= x^2-15
		\end{align*}
		
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Football}
	
	Développez, réduisez puis ordonnez les expressions suivantes:
	
	\noindent 
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{enumerate}[1.]
				\item $A(x)=(x-1)(x-2)$
				\item $B(x)=(x-2)(x^2+3)-(x+2)x^2$
				\item $C(x)=(x+5)^2$
				\item $D(x)= (x-5)^2$
				\item $E(x) = (x+5)(x-5)$
				\item $F(x)=(2x-7)^2$
				\item $G(x)=(3+2x)^2$
				\item $H(x)=(11-x)(11+x)$
				\item $I(x)= \left( 3x+\frac{5}{6} \right)^2$
			\end{enumerate}
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{enumerate}
				\setcounter{enumi}{9}
				\item $J(x)= \left( 7x-\frac{1}{3} \right) ^2$
				\item $K(x) = \left( \frac{x}{2}-\frac{5}{6}\right)\left( \frac{x}{2}+\frac{5}{6}\right)$
				\item $L(x)= (5-11x)^2$
				\item $M(x)= (12+13x)^2$
				\item $N(x)= (9x-4)(4+9x)$
				\item $O(x)= \left( 10x+\frac{1}{3} \right) ^2$
				\item $P(x)=  (-x+1,2)^2$
				\item $Q(x)=(0,7-x)(0,7+x)$
				\item $R(x)=(11x-12)^2$
			\end{enumerate}
			
		\end{minipage}
		
	\end{tabularx}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $x^2-3x+2$.
		
		\item $x^3-2x^2+3x-6-x^3-2x^2=-4x^2+3x-6$.
		
		\item $x^2+10x+25$
		\item $x^2-25$.
		
		\item $4x^2-28x+49$
		\item $4x^2+12x+9$.
		\item $-x^2-121$.
		\item $9x^2+5x+\frac{25}{36}$.
		\item $49x^2-\frac{14}{3}x+\frac{1}{9}$.
		\item $\frac{1}{4}x^2-\frac{25}{36}$.
		\item 
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	\begin{notabene}
		
		4ieme transmath page 224 exercices 27 à 47. Poursuivre à partir du 39.
		
	\end{notabene}
	
	Développez, ordonnez puis réduisez les expressions polynomiales.
	
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{X|X}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{enumerate}
				\item $A(X)=(3X+4)(X-5)$,
				\item $B(X)=12(X-3)-14(X+4)$,
				\item $C(X)=11(X-9)-7(X-1)$,
				\item $D(X)=28X(3X^2-4X+12)$,
				\item $E(X)=3,2X^2(5X^2-12X-1,1)$,
				\item $F(X)=-2X(3X-X+2)$,
				\item $G(X)=5X(X-3)$,
				\item $H(X)=3X^2(2X^2-X+4)$,
				\item $K(X)=(X+3)(X+4)$,
			\end{enumerate}
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			
			\begin{enumerate}
				\setcounter{enumi}{9}
				\item $L(X)=(2X+1)(X+2)$,
				\item $M(X)=(3X-2)(2X+3)$,
				\item $N(X)=(X-5)(X-2)$,
				\item $P(X)=(2X-1)(4X+3)$,
				\item $Q(X)=(2X-7)^2$,
				\item $R(X)=(5X-2)(X+4)$,
				\item $S(X)=(3X+1,5)(2X-3)$,
				\item $T(X)=(5X-7)(0,5X-1,2)$,
				\item $U(X)=(2X-1,1)(X+4)$,
				\item $V(X)=(X-7)(X+7)$.
			\end{enumerate}
			
		\end{minipage}
		
	\end{tabularx}
	
\end{exercice}

\begin{correction}
	\begin{exercicecorrection}
		
		\begin{enumerate}
			\item $P_1(X) = 3X^2-X-20$
			\item $P_2(X) = -2X -92$
			\item $P_3(X) = 4X -92$
			\item $P_4(X) = 54X^3 -112X^2 + 336X$
			\item $P_5(X) = 16X^4 - 38,4X^3 -3,52X^2$
			\item $P_7(X)= -4X^2-4X$
			\item $P_8(X)=5X^2-3X$
			\item $P_9(X)= 6X^4-3X^3+12X^2$
			\item $P_{10}(X)= X^2+7X+12$
			\item $P_{11}(X)= 2X^2+5X+2$
			\item $P_{12}(X)= 6X^2+5X-6$
			\item $P_{13} (X)= X^2-7X+10$
		\end{enumerate}
		
	\end{exercicecorrection}
\end{correction}

\begin{exercice}{\Bouquet}
	
	\begin{notabene}
		
		4ieme transmath page 224 exercices 27 à 47. Poursuivre à partir du 39.
		
	\end{notabene}
	
	Développez, ordonnez puis réduisez les expressions polynomiales.
	
	\begin{enumerate}
		\item $A(x)=(2X-3)^2$,
		
		\item  $B(X)=\left[ (2X^2-2X+ 3)-(2X^2+3) \right] (5X^2-4X+3)$,
		
		\item $C(X)=(3X-1)(5X-2)+(X+2)^2$,
		\item $D(X)=(5X-3)(3X+1) - (2X-4)(-X+5)$,
		\item $E(X)=(1,5X-5)(1,5X+5)-(X-1)^2$,
		\item $F(X)=(5X+2)^2-(X-3)^2$,
		\item $G(X)=(3X-2)^2-(5-4X)(4-6X)$,
		\item $H(X)=(X-1)(2X+3)+(X-1)(X+2)$,
		\item $I(X)=(2X-5)(2X+5)$,
		\item $J(X)=(3X+1)(7X-2)+(X-2)^2$,
		\item $K(X)=(4X-3)(3X+2)-(2X+5)(X-3)$,
		\item $L(X)=(1,5X-2)(1,5X+2)-(X+3)^2$,
		\item $M(X)=(3X-2)^2-(X-4)^2$,
		\item $N(X)=(3X+1)^2-(5-4X)(2+3X)$,
		\item $P(X)=(X-1)(2X+2)+(X-1)(2X+2)$,
		\item $Q(X)=(X+1)(X-3)+(X+1)(3X+1)$,
		\item $R(X)=(2X-4)(X-1)-(X-2)(3X+2)$,
		\item $S(X)=(X-3)(X+2)-(X-2)(2X+1)$,
		\item $T(X)=(X+1)(X-4) -(2X+8)(X+5)$,
		\item $U(X)=(3X-2)^2-(5X-4)(2+3X)$,
		\item $V(X)=(X+2)(2X-3)+(X-1)(X+2)$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	\begin{notabene}
		
		Profiter de cet exercice pour parler des méthodes de démonstration de $A=B$, $A=C$, etc.
		
	\end{notabene}
	
	\begin{correction}
		
		Il s'agit de l'exercice type à connaître dans cette leçon.
		
	\end{correction}
	
	Démontrez les égalités proposées, valables pour tout $x$ réel.
	\begin{enumerate}
		\item $(-2x+8)(x-7)=-2x^2+22x-56$,
		\item $-9 + 6 x + 3 x^2=-3 (1 - x) (x + 3)$,
		\item $-3(x-3)^2+3=-3(x-4)(x-2)$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}
	
\begin{exercicecorrection}
	
	\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme nathan transmath 2010 page 82 exercices 66 à 68
		
	\end{notabene}
	
	Vérifiez que les trois formes proposées, $A$, $B$ et $C$, correspondent à une même expression polynomiale.
	
	\noindent 
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{enumerate}[1.]
				\item $A(x)= (x-3)(x+5)$.
				
				$B(x)=x^2+2x-15$.
				
				$C(x)=(x+1)^2-16$.
				
				\item $A(x)=x^2-2\sqrt{2}x-6$.
				
				$B(x)= (x-3\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$.
				
				$C(x)= (x-\sqrt{2})^2-8$
			\end{enumerate}
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{enumerate}
				\setcounter{enumi}{2}
				
				\item $A(x)=2x^2 +3x-2$.
				
				$B(x)=(2x-1)(x+2)$.
				
				$C(x)=2 \left( x+ \frac{3}{4} \right) ^2 -\frac{25}{8}$.
			\end{enumerate}
			
		\end{minipage}
		
	\end{tabularx}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme didier mathx 2010 page 103 exercice 142
		
		Raisonnement par l'absurde.
		
	\end{notabene}
	
	Est-il possible que $x^2-3x+4$ s'écrive pour tout $x$ réel comme un produit de la forme $(x+1)(ax+b)$ avec $a$ et $b$ réels?
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}Nous allons faire une démonstration par analyse-synthèse.}
	
	Notons $f(x)= x^2-3x+4$.
	
	\medskip
	{\color{orange}Analyse.}
	
	Supposons que $f(x)=(x+1)(ax+b)$.
	
	Comme \[ (x+1)(ax+b)=ax^2+(a+b)x+b, \]
	
	et donc \[ ax^2+(a+b)x+ab=x^2-3x+4. \]
	
	L'écriture sous forme développée, réduite et ordonnée étant unique, nous identifions les coefficients: \[ \left\{ \begin{array}{l} a=1 \\ a+b=-3 \\ b=4 \end{array} \right. \]
	
	Et donc: $a=1$, $b=-4$ et $b=4$.
	
	\medskip
	{\color{orange}Synthèse.}
	
	Les seules solutions possibles doivent vérifier à la fois $ab= 1 \times (-4) =-4$ mais aussi $b=4$ ce qui est impossible donc il n'y a pas de solution au problème.
	
	\begin{conclusion}
		
		Il n'est donc pas possible de trouver une écriture de $x^2-3x+4$ de la forme $(x+1)(ax+b)$.
		
	\end{conclusion}
	
	\medskip
	Démonstration plus brève. {\color{orange}Raisonnement par l'absurde.}
	
	Raisonnons par l'absurde en supposant que nous avons trouvé des nombres $a$ et $b$ tels que pour tout $x$ réel $x^2-3x+4= (x+1)(ax+b)$.
	
	Alors en particulier, pour $x=-1$, $8=0$, ce qui est impossible.
	
	\begin{conclusion}
		
		Nous avons donc démontré par l'absurde qu'il n'est pas possible de trouver $a$ et $b$ tels que pour tout $x\in\mathbb{R}$, $x^2-3x+4=	(x+1)(ax+b)$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Radioactivity}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme didier mathx 2010 page 103 exercice 141
		
		Algorithme de Horner.
		
	\end{notabene}
	
	À la calculatrice, une instruction $x \wedge 3$ compte pour $2$ multiplications: $x\wedge 3= x \times x \times x$.
	
	\begin{enumerate}
		\item \textbf{Premier exemple.}
		
		Soit $f(x) = x^2+4x+3$ sur $\mathbb{R}$ (forme $A$).
		
		\begin{enumerate}
			\item Vérifiez que $f(x)=3+x(x+4)$ pour tout $x$ réel (forme $H$).
			\item Combien d'opérations sont effectuées avec la forme $A$? avec la forme $H$?
			\item On programme le calcul de $f(x)$ pour $x$ variant de $0$ à $2$ avec un pas de $0,1$. Combien d'opérations sont nécessaires avec chacune des deux formes?
		\end{enumerate}
		
		\item \textbf{Deuxième exemple.}
		
		Reprendre les questions $a$, $b$ et $c$ de la question $1$ pour $f(x)=x^4+2x^3-3x^2+4x-1$ (forme $A$) et $f(x) = -1+x(4 +x(-3+x(2+x)))$ (forme $H$).
		
		\item \textbf{Troisième exemple.}
		
		Soit $f(x)=4x^7+2x^6+3x^5-4x^4+2x^3-3x^2+4x-1$.
		
		\begin{enumerate}
			\item Proposer la forme $H$ associée.
			\item Reprendre les questions 1(b) et 1(c).
		\end{enumerate}
		
		\item Quel est le gain obtenu en nombre d'opérations pour $f(x)=x^{50}+x^{49}+x^{48}+ \dots +x^2+x+1$?
		
		On pourra programmer un algorithme pour effectuer un calcul de ce gain.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	Cette méthode qui permet d'économiser les calculs et donc d'accélérer les programme informatiques est appelé l'\emph{\color{purple}algorithme de Hörner}.
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Soit $x \in \mathbb{R}$.
			
			\begin{align*}
			3+x(x+4) &= 3 + x \times x + x \times 4\\
			&= 3+x^2+4x\\
			&= x^2+4x+3\\
			&= f(x)
			\end{align*}
			
			\item Avec la forme $A$: $x \times x+4 \times x+3$. Il y a donc $4$ opérations.
			
			Avec la forme $H$: $3+x \times (x+4)$. Il y  $3$ opérations.
			
			\item Il faut faire les calculs pour $0$, $0,1$, $0,2$, ..., $2$. Il faut donc calculer $21$ images par $f$.
			
			Avec la forme $H$ il faudra donc faire $21$ fois $4$ opérations, c'est-à-dire $81$ opérations.
			
			Avec la forme $A$ il faudra donc faire $21$ fois $3$ opérations, c'est-à-dire $63$ opérations.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Soit $x \in \mathbb{R}$.
			
			\begin{align*}
			-1 + x(4+x(-3+x(2+x))) &= -1 + x(4+x(-3+x \times 2+ x \times x)))\\
			&= -1 + x(4+x(x^2+2x-3))\\
			&= -1 + x(4+x \times x^2+ x \times 2x- x \times 3)\\
			&= -1 + x(x^3+2x^2-3x+4)\\
			&= -1 + x \times x^3+x \times 2x^2-x \times 3x+ x \times 4)\\
			&= x^4+2x^3-3x^2+4x-1\\
			&= f(x)
			\end{align*}
			
			\item Forme $A$: $13$ opérations.
			
			Forme $H$: $7$ opérations.
			
			\item Forme $A$: $273$ opérations.
			
			Forme $H$: $147$ opérations.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			
			\item Soit $x \in \mathbb{R}$.
			
			\begin{align*}
			f(x) &= 4x^7+2x^6+3x^5-4x^4+2x^3-3x^2+4x-1 \\
			&= -1 +4x -3x^2+2x^3-4x^4+3x^5+2x^6+4x^7 \\
			&= -1+ x(4-3x+2x^2-4x^4+3x^4+2x^5+4x^6) \\
			&= -1+x(4+x(-3+2x-4x^2+3x^3+2x^4+4x^5))\\
			&= -1 +x ( 4+x(-3+x(2-4x+3x^2+2x^3+4x^4))) \\
			&= -1 +x ( 4+x(-3+x(2 +x(-4+3x+2x^2+4x^3)))) \\
			&= -1 +x ( 4+x(-3+x(2 +x(-4+x(3+2x+4x^2))))) \\
			&= -1 +x ( 4+x(-3+x(2 +x(-4+x(3+x(2+4x))))))
			\end{align*}
			
			
			\item Forme $A$: $35$ opérations.
			
			Forme $H$: $14$ opérations.
			
			\item Forme $A$: $735$ opérations.
			
			Forme $H$: $294$ opérations.
			
		\end{enumerate}
		
		\item ~
		
		\begin{tabular}{|c|c|}
			\hline
			$1+x$ & $1$
			\\
			\hline
			$1+x+x \times x$ & $3$
			\\
			\hline
			$1+x+x \times x + x \times x \times x$ & $6$
			\\
			\hline
			$1+x+x \times x + x \times x \times x + x \times x \times x \times x$ & $10$
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
		De proche en proche on obtient: $1+2+3+4$.
		
		Il faut donc calculer $S=1+2+ \dots + 50$.
		
		Nous utilisons l'astuce usuelle pour la somme des entiers naturels. Nous écrivons deux fois la somme et nous additionnons terme à terme
		
		\[ \begin{array}{ccccccc} 
		1 & + 2 & +3 & +\dots & + 48 &+49 &+50 \\
		50 & + 49 & + 48 & + \dots & +3 & +2 & +1\\
		\hline
		51 & +51 & + 51 & +\dots & +51 & +51 & +51
		\end{array} \]
		
		Ainsi $2S=50 \times 51$. Enfin: $S=\frac{50 \times 51}{2}= 1275$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Radioactivity}
	
	Soit $x$ un nombre réel différent de $1$, démontrez que \[ x^4+x^3+x^2+x+1 = \frac{1-x^5}{1-x}. \]
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}Il est possible d'utiliser le produit en croix.}
	
	\medskip
	Soit $x \in \mathbb{R}\setminus \{ 1 \}$.
	
	\begin{align*}
	\intertext{Démontrer:}
	x^4+x^3+x^2+x+1 &= \frac{1-x^5}{1-x}\\
	\intertext{équivaut à démontrer:}
	\left( x^4+ x^3 +x^2 + x + 1\right) {\color{orange}(1-x)} &= \frac{1-x^5}{1-x} {\color{orange}(1-x)}\\
	\end{align*}
	
	\begin{align*}
	\intertext{Or:}
	& \left( x^4+ x^3 +x^2 + x + 1\right) {\color{orange}(1-x)}\\
	&= 		{\color{orange}1 \times} x^4+ {\color{orange}1 \times} x^3 + {\color{orange}1 \times}x^2 + {\color{orange}1 \times} x + {\color{orange}1 \times}1 -{\color{orange}x \times} x^4+ {\color{orange}x \times} x^3 - {\color{orange}x \times}x^2 - {\color{orange}x \times} x - {\color{orange}x \times}1 \\
	&= 1-x^5\\
	\end{align*}
	
\end{exercicecorrection}

\subsection{Factoriser.}

\subsubsection{La boîte à outils.}

\begin{lecon}
	
	\emph{\color{purple}Factoriser} c'est écrire une expression algébrique sous forme d'un produit.
	
	Toute expression polynomiale est factorisable puisque: $P(X)=1\times P(X)$ (factorisation triviale).
	
\end{lecon}

\begin{correction}
	
	La factorisation est utile dans les situations suivantes:
	\begin{itemize}
		\item simplifier un quotient,
		\item résoudre des équations,
		\item et, nous le verrons bientôt, pour résoudre des inéquations.
	\end{itemize}
	
\end{correction}

\begin{lecon}
	
	La factorisation n'est pas évidente mais souvent astucieuse contrairement au développement. Il s'agit de reconnaître dans l'expression algébrique les formules classiques de la proposition suivante.
	
\end{lecon}

\begin{proposition}
	
	Quels que soient les nombres $a$, $b$ et $c$ réels
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $ab+ac=a(b+c)$ facteur commun.
		\item $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ identité remarquable.
		\item $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$ identité remarquable.
		\item $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ identité remarquable.
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}
	
	Les trois dernières égalités se déduisent de la première qui est en fait la distributivité de la multiplication sur l'addition.
	
\end{preuve}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme didier mathx 2010 page 94 exercices 43 et 44
		
	\end{notabene}
	
	Recopiez et complétez
	
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		\begin{enumerate}
			\item $(2x+\dots)^2=4x^2+\dots+9$
			\item $(x-\dots)^2=x^2-6x+\dots$
			\item $(\dots +3)^2=\dots +24t+9$
			\item $(x-\dots)^2=x^2-x+\dots$
		\end{enumerate}
		&
		\begin{enumerate}
			\setcounter{enumi}{4}
			\item $(x\dots )^2=x^2+\dots +16$
			\item $(x\dots)^2=x^2-8x+\dots$
			\item $(\dots +3)^2=\dots +t+9$
			\item $(\dots -4)^2=\dots -4x+\dots$
		\end{enumerate}
		\\
	\end{tabularx}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		\begin{enumerate}
			\item $(2x+3)^2=4x^2+12x+9$
			\item $(x-3)^2=x^2-6x+9$
			\item $(4t +3)^2=16t^2 +24t+9$
			\item $\left(x-\frac{1}{2} \right)^2=x^2-x+\frac{1}{4}$
		\end{enumerate}
		
		&
		
		\begin{enumerate}
			\setcounter{enumi}{4}
			\item $(x+4)^2=x^2+8x+16$
			\item $(x-4)^2=x^2-8x+16$
			\item $\left( \frac{1}{6}t +3 \right)^2=\frac{1}{36} t^2 +t+9$
			\item $\left( \frac{1}{2} x -4 \right)^2=\frac{1}{4}x^2 -4x+16$
		\end{enumerate}
		\\
	\end{tabularx}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{lecon}
	
	Il n'y a pas d'algorithme pour factoriser une expression mais vous pourrez essayer (sans garantie de réussite) dans l'ordre:
	
	\begin{enumerate}[\color{orange}1.]
		
		\item de chercher un {\color{orange}facteur commun}:
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Identifier les termes de la somme (ou différence).
			\item Écrire chacun des termes sous forme d'un produit.
			\item Identifier un facteur commun à tous les termes.
		\end{enumerate}
		
		\item  d'utiliser une {\color{orange}identité remarquable} (s'il y a une expression avec du carré),
		
		\item de {\color{orange}factoriser une partie} de l'expression pour faire apparaître un facteur commun ou une identité remarquable,
		
		\item et enfin de {\color{orange}développer} en espérant pouvoir ensuite factoriser.
		
	\end{enumerate}
	
\end{lecon}


\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Factorisons $A(x)=3x+4xy$.
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}Ce n'est pas un produit (sinon c'est déjà factorisé) mais une somme de deux termes $3x$ et $4xy$. Première étapes nous recherchons si possible un facteur commun (ce qui implique qu'il y a des produits: $3x=3 \times x$ et $4xy=4 \times x \times y$) dans les deux termes $3x$ et $4xy$. Il y a un facteur commun c'est $x$.}
			
			\begin{align*}
			A(x) &= 3 {\color{WildStrawberry} x} +4{\color{WildStrawberry} x}y\\
			&= {\color{WildStrawberry} x} (3+4y)
			\end{align*}
			
		\end{correction}
		
		\item Factorisons $B(x)= x^2-7$.
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}C'est bien un somme de $x^2$ et de $-7$. Étape 1: recherche d'un facteur commun, mais il n'y en a clairement pas entre $x^2$ et $7$. Passons à la deuxième étape recherche d'une identité remarquable. Il y en a bien une ici: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.}
			
			\begin{align*}
			B(x) &= x^2-7\\
			&= x^2- \sqrt{7}^2\\
			&= (x-\sqrt{7})(x+\sqrt{7})
			\end{align*}
			
		\end{correction}
		
		\item Factorisons $C(x)=3x^3+ (x-1)^2-(x+1)^2$.
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}Nous avons ici une somme de trois termes $3x^3$, $(x-1)^2$ et $(x+1)^2$. Il ne faut surtout pas développer! C'est le contraire de notre objectif. Les deux premières étapes (facteur commun puis identité remarquable) échouent lamentablement. Passons à la troisième étape recherche d'une factorisation partielle.}
			
			\begin{align*}
			C(x) &= 3x^3 + {\color{WildStrawberry}(x-1)^2-(x+1)^2}\\
			\intertext{\color{orange}Nous reconnaissons une identité remarquable $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$}
			C(x) &= 3x^3 + {\color{WildStrawberry}\left[ (x-1)-(x+1) \right] \times \left[ (x-1)+ (x+1) \right]}\\
			&= 3x^3 + {\color{WildStrawberry}(-2) \times 2x}\\
			&= 3x^3-4x\\
			\intertext{\color{orange}Nous reprenons toute la factorisation depuis le début et ici nous remarquons un facteur commun.}
			C(x) &= x(3x^2-4)
			\end{align*}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	Factorisez les expressions suivantes:
	
	\noindent 
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*2{X}}
		
		\begin{enumerate}[$A=$]
			\item $2x+2y$
			\item $7y-7x$
			\item $bc+2b$
			\item $91z-13t$
			\item $xa+ay$
			\item $x^2+xy$
			\item $a^3+a^2$
			\item $ab+a$
		\end{enumerate}
		
		&
		
		\begin{enumerate}[$A=$]
			\setcounter{enumi}{8}
			\item $(x-2)(x+3)+(5-x)(2-x)$
			\item $(x-3)(x+1)-3(3-x)^2$
			\item $x^2+6x+9$
			\item $25x^2-40x+16$
			\item $x^2-1$
			\item $x^2+2x+1$
			\item $x^2-2x+1$
			\item $(x+1)(x+2)-5(x^2+4x+4)$
		\end{enumerate}
		
		\\
		
	\end{tabularx}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*2{X}}
		
		\begin{enumerate}[$A=$]
			\item $2(x+y)$
			\item $7(y-x)$
			\item $b(c+2)$
			\item $13(7z-1)$
			\item $a(x+y)$
			\item $x(x+y)$
			\item $a^2(a+1)$
			\item $a(b+1)$
		\end{enumerate}
		
		&
		\begin{enumerate}[$A=$]
			\setcounter{enumi}{8}
			\item $(x-2)(2x-2)$
			\item $(x-3)(-2x+4)$
			\item $(x+3)^2$
			\item $(5x-4)^2$
			\item $(x-1)(x+1)$
			\item $(x+1)^2$
			\item $(x-1)^2$
			\item $(x+1)(-4x-7)$
		\end{enumerate}
		
		\\
	\end{tabularx}
	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Exercices.}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme didier mathx 2010 page 94 exercices 45, 46, 47, page 95 exercices 48, 49, 50, 51, 52
		
	\end{notabene}
	
	Factorisez les expressions données.
	
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		
		\begin{enumerate}
			\item $2x(x-1)+3x$
			\item $(x+1)(x+2)+5(x+2)$
			\item $3x^2+9x$
			\item $x^2-6x$
			\item $8x^2-5x$
			\item $3x+4xy$
			\item $3x^2+x$
			\item $(2x+1)^2-(2x+1)(x+3)$
			\item $3x(x-5)-x$
			\item $xy+xz$
		\end{enumerate}
		
		&
		
		\begin{enumerate}
			\setcounter{enumi}{10}
			\item $x^2(x+4)-2x(x+4)$
			\item $(x-3)^2-2(x-3)(2x-1)$
			\item $5x^2-6x$
			\item $3xy+x$
			\item $2(x+1)^2-3(x+1)$
			\item $(x+1)^2+x+1$
			\item $x^2+2x+1$
			\item $(2x-5)^2-x^2$
			\item $9x^2+12x+4$
			\item $(2x-1)^2-(x-3)^2$
		\end{enumerate}
		
		\\
		
	\end{tabularx}
	
	\medskip
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		
		\begin{enumerate}
			\setcounter{enumi}{20}
			\item $(2x+1)^2-(1-x)^2$
			\item $x^2-20x+100$
			\item $25-(x+1)^2$
			\item $4x^2+4+8x$
			\item $16(x+1)^2-25x^2$
			\item $16x^2-81$
			\item $b^2-3b+\frac{9}{4}$
			\item $(a-1)^2-2$
			\item $x^2-4+(x-2)(x+1)$
			\item $3x^2-12x+12$
		\end{enumerate}
		
		&
		
		\begin{enumerate}
			\setcounter{enumi}{30}
			\item $x^2+3x+(x+3)^2$
			\item $(x+1)(x+2)-(3x+6)$
			\item $2x(x+3)+4x+12$
			\item $(x-3)(3x-4)-3x+4$
			\item $xy-xz-y(y-z)$
			\item $-x^2+8x-16$
			\item $7x^2-14x$
			\item $16x^2-81$
			\item $2a^2b-b$
			\item $4x^2-4x+1$
		\end{enumerate}
		
		\\
		
	\end{tabularx}
	
	\medskip
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		
		\begin{enumerate}
			\setcounter{enumi}{40}
			\item $2(x-1)^2+3x-3$
			\item $2x^2+8x+8$
			\item $x^2-16+(x-4)^2$
			\item $5x^2-125$
			\item $4x^2-12x+9$
			\item $7x^2-28$
		\end{enumerate}
		
		&
		
		\begin{enumerate}
			\setcounter{enumi}{46}
			\item $(2x-3)^2-(5x+2)^2$
			\item $(x-5)^2-2(x-5)(x-3)$
			\item $2x^2+7x$
			\item $x^2+26x+169$
			\item $(9x^2-25)+(6x+10)$
			\item $x^2-4x+4-(x-2)(7-x)$
		\end{enumerate}
		
		\\
		
	\end{tabularx}
	
	\begin{notabene}
		
		Ajouter 2ieme nathan transmath 2010 page 81 exercice 63 à 65.
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
		
		\begin{enumerate}
			\item $x(2x+1)$
			\item $(x+2)(x+6)$
			\item $3x(x+3)$
			\item $x(x-6)$
			\item $x(8x-5)$
			\item $x(3+4y)$
			\item $x(3x+1)$
			\item $(2x+1)(x-2)$
			\item $x(3x-16)$
			\item $x(y+z)$
		\end{enumerate}
		
		&
		
		\begin{enumerate}
			\setcounter{enumi}{10}
			\item $x(x+4)(x-2)$
			\item $(x-3)(-3x-1)$
			\item $x(5x-6)$
			\item $x(3y+1)$
			\item $(x+1)(2x-1)$
			\item $(x+1)(x+2)$
			\item $(x+1)^2$
			\item $(x-5)(3x-5)$
			\item $(3x+2)^2$
			\item $(x+2)(3x-4)$
		\end{enumerate}
		
		\\
		
	\end{tabularx}
	
	\medskip
	\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
		
		\begin{enumerate}
			\setcounter{enumi}{20}
			\item $3x(x+2)$
			\item $(x-10)^2$
			\item $(-x+4)(x+6)$
			\item $4(x+1)^2$
			\item $(-x+4)(9x+4)$
			\item $(4x-9)(4x+9)$
			\item $\left( b-\frac{3}{2} \right)^2$
			\item $(a-1-\sqrt{2} )(a-1+\sqrt{2})$
			\item $(x-2)(2x+3)$
			\item $3(x-2)^2$
		\end{enumerate}
		
		&
		
		\begin{enumerate}
			\setcounter{enumi}{30}
			\item $(x+3)(2x+3)$
			\item $(x-2)(x+2)$
			\item $2(x+3)(x+2)$
			\item $(3x-4)(x-4)$
			\item $(x-y)(y-z)$
			\item $-(x-4)^2$
			\item $7x(x-2)$
			\item $(4x-9)(4x+9)$
			\item $(2a^2-1)b$
			\item $4 \left( x-\frac{1}{2} \right)^2$
		\end{enumerate}
		
		\\
		
	\end{tabularx}
	
	\medskip
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		
		\begin{enumerate}
			\setcounter{enumi}{40}
			\item $(x-1)(2x+1)$
			\item $2(x+2)^2$
			\item $2x(x-4)$
			\item $5(x-5)(x+5)$
			\item $4(x-3)^2$
			\item $7(x-2)(x+2)$
		\end{enumerate}
		
		&
		
		\begin{enumerate}
			\setcounter{enumi}{46}
			\item $(-3x-5)(7x-1)$
			\item $(x-5)(-x+1)$
			\item $x(2x+7)$
			\item $(x+13)^2$
			\item $3(3x+5)(x-1)$
			
			{\color{red}Correction: M. Illien}
			\item $(x-2)(2x-9)$
			
			{\color{red}Correction: M. Assenjee}
		\end{enumerate}
		
		\\
		
	\end{tabularx}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{notabene}
	
	Les exercices qui suivent permettent de montrer des exemples d'utilisation de la factorisation dans différentes situations.
	
\end{notabene}

\begin{exercice}{\Football}
	
	Résolvez l'équation: \[ (E)\quad x^2=6x-9. \]
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\objectif{Résolvons l'équation $(E)$.}
	
	{\color{orange}Très souvent pour résoudre une équation qui n'est pas linéaire en mathématique nous essayerons de ramener l'équation à une équation produit-nul (donc égale à 0).}
	
	\medskip
	{\color{orange}Nous nous ramenons à une équation produit:}
	
	\begin{align*}
	(E) &\Leftrightarrow x^2-(6x-9)=6x-9-(6x-9)\\
	&\Leftrightarrow x^2-6x+9 = 0\\
	&\Leftrightarrow x^2-2\times 3\times x+3^3=0\\
	&\Leftrightarrow (x-3)^2=0\\
	\intertext{\color{orange}Résolvons l'équation produit:}
	&\Leftrightarrow x-3=0 \text{ ou } x-3=0 \\
	&\Leftrightarrow x=\trous[1cm]{3}
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		L'ensemble des solutions de l' équation $(E)$ est: $\mathcal{S}=\{ 3 \}$.
		
	\end{conclusion}
	
	\medskip
	{\color{orange}Nous verrons plus tard dans l'année que pour résoudre une inéquation nous nous ramèneront à une inéquation produit en factorisant.}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Football}
	
	Étant donnée la fonction $f:\left\{\begin{array}{rcl}
	\mathbb{R}\setminus \{ 1 \} & \rightarrow & \mathbb{R} \\  x & \mapsto & \frac{x^2-1}{x-1} \end{array} \right.$ simplifiez son expression.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	Soit $x\in \mathbb{R}\setminus \{ 1\}$.
	
	{\color{orange}Pour simplifier une fraction il faut faire apparaître un facteur commun au numérateur et au dénominateur. Ils faut donc les factoriser. Ici on observe une identité remarquable.}
	
	\begin{align*}
	\frac{x^2-1}{x-1} &= \frac{x^2-1^2}{x-1}\\
	&=\frac{(x-1)\times (x+1)}{1\times (x-1)}\\
	&= x+1
	\end{align*}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Bouquet}
	
	Soit $f$ la fonction définie sur $[2\ ;\ +\infty [$ par: $$f(x)=\sqrt{1+\sqrt{x^4-4x^3+4x^2}}$$
	Exprimez $f(x)$ de façon plus simple.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\objectif{Simplifions l'expression de $f$.}
	
	Soit $x \in [2; +\infty[$.
	
	\begin{align*}
	x^4-4x^3+4x^2 &= x^2 (x^2-4x+4)\\
	&= x^2(x-2)^2
	\end{align*}
	
	Puisque $x\ge 2$ \[ \sqrt{x^2(x-2)^2}= x(x-2) .\]
	
	Et donc
	
	\begin{align*}
	f(x) &= \sqrt{1+x(x-2)}\\
	&=\sqrt{x^2-2x+1}\\
	&= \sqrt{(x-1)^2}\\
	\intertext{comme $x\ge 2$}
	f(x) &= x-1
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		Quelque soit $x\in [2; + \infty[$, \[ f(x)=x-1. \]
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\noindent 
	\begin{tabular}{m{4cm}m{6cm}}
		
		Sur un segment $[AE]$ est placé un point $M$ mobile. Un rectangle $ABCM$ et un triangle isocèle rectangle en $M$, $MED$, sont construits comme sur la figure ci-contre.
		
		\begin{enumerate}[1.]
			\item Calculez l'aire $f(x)$ de $MED$.
			\item Calculez l'aire $g(x)$ de $ABCM$.
			\item Trouvez pour quelle(s) valeur(s) de $x$ les aires du rectangle et du triangle sont égales.
		\end{enumerate}
		
		&
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\def\x{3};
			\coordinate (A) at (0,0);
			\coordinate (B) at (0,-2);
			\coordinate (C) at (\x,-2);
			\coordinate (D) at (\x,{5-\x});
			\coordinate (E) at (5,0);
			\coordinate (M) at (\x,0);
			\draw (A)node[above left]{$A$};
			\draw (B)node[below left]{$B$};
			\draw (C)node[below right]{$C$};
			\draw (D)node[above]{$D$};
			\draw (E)node[right]{$E$};
			\draw (M)node[below right]{$M$};
			\draw[blue, thick](A)--(B)--(C)--(D)--(E)--(A);
			\draw[black,<->,>=latex](0,0.5)--(\x,0.5)node[above,midway]{$x$};
			\draw[black,<->,>=latex](-0.5,0)--(-0.5,-2)node[left,midway]{$2$};
			\draw[black,<->,>=latex](0,-2.5)--(5,-2.5)node[below,midway]{$5$};
			\fill[color=orange , opacity=0.5] (A)--(B)--(C)--(M)--cycle;	
			\fill[color=violet , opacity=0.5] (M)--(D)--(E)--cycle;
			\draw ({\x /2},-1)node[fill=white]{$g(x)$};
			\draw ({\x + (5-\x )/3},0.5)node[fill=white]{$f(x)$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		\\
		
	\end{tabular}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item \objectif{Déterminons une formulation algébrique de $f$.}
		
		Remarquons tout d'abord que \[ \left. \begin{array}{r} M \in [AE] \\ AE=5\\ x=AE \end{array} \right\} \Rightarrow x \in [0;5]. \]
		
		Autrement dit le domaine de définition de $f$ est $\mathscr{D}_f=[0;5]$.
		
		\medskip
		Soit $x\in [0;5]$.
		
		$MED$ étant rectangle en $M$:
		
		\begin{align*}
		f(x) &= \frac{1}{2} \times ME \times MD\\
		\intertext{Puisque $MED$ est isocèle en $M$:}
		f(x) &= \frac{1}{2} ME^2\\
		\intertext{Enfin, puisque $M \in [AE]$:}
		f(x) &= \frac{1}{2} (5-x)^2
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Pour tout $x \in [0;5]$: $f(x)= \frac{1}{2}(x-5)^2$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Déterminons une formulation algébrique de $g$.}
		
		Soit $x \in [0;5]$.
		
		$ABCM$ est un rectangle donc
		
		\begin{align*}
		g(x) &= AB \times BC\\
		&= 5 \times x
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Pour tout $x \in [0;5]$: $g(x)=5x$
			
		\end{conclusion}
		
		\item {\color{orange}Je réinterprète la question en la traduisant par une équation:}
		
		\medskip
		\objectif{Résolvons dans $[0;5]$ l'équation: $f(x)=g(x)$.}
		
		Soit $x \in [0;5]$.
		
		\begin{align*}
		f(x) &= g(x)\\
		\intertext{équivaut successivement à}
		\frac{1}{2}(5-x)^2 &= 2x\\
		\intertext{\color{orange}Un peu de méthode. Il ne s'agit visiblement pas d'une équation linéaire (un $x$ est élevé au carré), il faut donc faire apparaître une équation produit-nul. Si on veut un produit il faut donc factoriser.}
		\frac{1}{2}(5-x)^2 {\color{WildStrawberry}-2x} &= 2x {\color{WildStrawberry}-2x}\\
		\frac{1}{2} (5-x)^2 -2x &= 0\\
		\intertext{\color{orange}Rappelons que nous essayons d'abord de trouver un facteur commun, sinon une identité remarquable ou encore une factorisation partielle. Mais rien de tout ceci ne semble fonctionner. Developpons tout avant d'esayer à nouveau de factoriser.}
		\frac{1}{2} \left( 5^2-2 \times 5 \times x +x^2 \right) -2x &= 0\\
		\frac{1}{2} \left( 25-10x+x^2 \right)-2x &= 0\\
		\frac{1}{2}x^2-7x+\frac{25}{2} &= 0
		\end{align*}
		
		{\color{orange}À partir de là nous bloquons. Nous ne voyons pas comment factoriser. Ceci dit nous pouvons néanmoins conjecturer l'ensemble des solutions avec la calculatrice.}
		
		Représentons graphiquement les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ avec la calculatrice:
		
		\begin{center}
			
			\includegraphics[scale=0.5]{2ieme_algebre_04_developper_factoriser_01_conjecture_calculatrice}
			\includegraphics[scale=0.5]{2ieme_algebre_04_developper_factoriser_02_conjecture_calculatrice}
			\includegraphics[scale=0.5]{2ieme_algebre_04_developper_factoriser_03_conjecture_calculatrice}
			
		\end{center}
		
		Il semblerait que les aires soient égalent pour une unique valeur de $x$ qui est approximativement de $2,12$.
		
		\medskip
		{\color{orange}La méthode générale de résolution de ce type d'équation (équation polynomiale de degré deux) est au programme de première.}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}