%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill \small {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/2ieme.html}{Ensembles de nombres.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} 

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Ensembles de nombres.}

\subsection{Le dévissage de l'ensemble des nombres (les matriochka).}

\begin{notabene}
	
	Problème de la multiplicité des écritures des nombres: difficulté pour comparer des nombres. Faire un passage par la question de qu'est-ce que comparer des nombres et comment le faire.  Commencer à classer les nombres: a-t-on tous le nombres? Passer d'une écriture à une autre.
	
	La notion d'ensemble.
	
	Introduction et définition du vocabulaire ensembliste: égalité d'ensembles.
	
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	À cette étape de votre scolarité les nombres ont de multiples formes: nombres entiers, écritures décimales, fractionnaires, écritures scientifiques.
	
	 Faisons un peu de ménage dans cet embrouillamini. 
	
\end{lecon}

\subsubsection{Une histoire des nombres.}

\begin{notabene}
	
	Vous connaissez déjà des nombres. Certains sont plus naturels que d'autres: $0$, $1$,... D'autres moins. Quels nombres connaissez-vous?
	
\end{notabene}

	\begin{notabene}
		
		Faire un historique de l'apparition des nombres: entiers, zéro, rationnels, irrationnel, négatifs, et ensuite? Y-en a-t-il d'autres?
		
		Pour répondre à cette question nous allons devoir être capable de comparer des nombres. Or la multiplicité des écritures rend difficiles ces comparaisons (penser à dire l'intérêt des différentes écritures).
		
	\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	Les premiers nombres servaient à dénombrer, c'est-à-dire à compter les objets: $1$, $2$, $3$, et ainsi de suite. Si cela nous paraît naturel, que l'on songe à l'effort de conceptualisation qu'il fallut faire pour considérer qu'il y avait quelque chose de commun entre $3$ souris et $3$ éléphants. 
	
	Le nombre est un objet qui ne se préoccupe pas de ce qu'on observe. Il n'est associé à aucune sorte particulière d'objets à aucune unité de mesure.
	
	\medskip
	Il fallut faire des partages et les fractions firent leur apparition. Mais dans un premier temps il s'agissait de méthodes de calcul et non de nombres. Ainsi dans l'antiquité grecque les fractions étaient considérées comme des ratios c'est-à-dire des rapports entre des longueurs et non comme des nombres; il s'agissait d'un lien ente deux nombres et non d'un unique nombre. Mais les Grecs furent embêtés par un nombre qui n'existait pas: $\sqrt{2}$. En effet, s'il est possible de dessiner cette longueur, il est impossible de l'exprimer dans un ratio avec les nombres entiers (nombres incommensurables).
	
	\begin{notabene}
		
		Pour les Grecs il n'y avait pas d'unité officielle de mesure. L'important n'était pas le nombre mais les rapports de grandeurs. D'où l'importance du théorème de Thalès il fallait un outil forcément géométrique pour reproduire des rapports de longueurs.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\draw (0,0) -- (2,0)--(2,6) -- cycle;
				\draw (1,0) -- (1,3);
				\draw (1,2) node {$\bullet$};
				\draw (2,4) node {$\bullet$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{notabene}
	
	\medskip
	Il fallut très longtemps pour que l'absence d'objet put être considérée comme un nombre. Les nombres sont nés pour la comptabilité et la géométrie (au sens littéral de mesure de la Terre) domaines qui s'intéresse à ce qui est, et non à ce qui n'est pas. Inventé dès le VII\ieme{} siècle en Inde le zéro n'apparaît en Europe qu'au X\ieme{} siècle.
	
	\medskip
	Si conceptuellement l'acceptation du zéro fut difficile, son utilisation combinée à celles des chiffres arabes pour écrire les nombres fit florès.
	
	Il existait des systèmes décimaux depuis le III\ieme{} siècle avant Jésus-Christ mais l'écriture était lourde. Si $\alpha$ avait représenté le nombre $1$ et $ \beta$ le nombre $10$ voici comment les égyptiens auraient écrit $43$: $\beta\beta\beta\beta \alpha\alpha\alpha$. 
	
	Grâce à l'emploi du zéro positionnel nous avons notre système d'écriture: sans les zéros qui le suivent nous ne pourrions pas savoir que le $1$ dans l'écriture $100$ représente une centaine.
	
	Le zéro positionnel permet de manipuler avec une grande aisance les fractions dont le dénominateur est une puissance de $10$; ce que les élèves appellent \og les chiffres après la virgule \fg{}.
	
	\medskip
	Les nombres négatifs ne furent acceptés qu'au XVIII\ieme{} siècle. Ils furent découvert et utilisés bien avant mais leur acceptation en tant que nombre nécessitait de dépasser un grand nombre de paradoxes.
	
	\medskip
	Nous avons donc, au terme de cette évolution, trois écritures des nombres: les nombres entiers, les nombres fractionnaires et les nombres avec une écriture décimale (auxquelles ont pourrait rajouter l'écriture scientifique ou l'écriture ingénieur mais ce sont des écritures qui servent essentiellement pour les valeurs approchées). À ces trois principales écritures se rajoute le signe puisque à chaque nombre positif lui correspond son opposé en négatif. 
	
\end{lecon}

\subsubsection{Comparer des nombres.}

\begin{lecon}
	
	Puisqu'il y a différentes écriture, il y a un risque qu'un nombre puisse avoir plusieurs écritures et que nous soyons incapables de nous en rendre compte. Il faut être capable de distinguer les nombres; en mathématique nous dirons comparer.
	
	Comparer deux nombres $a$ et $b$ c'est dire laquelle des trois possibilités suivantes, qui s'excluent mutuellement, est vraie: $a=b$, $a<b$ et enfin $a>b$. 
	
	Ceci revient à chercher le signe de la différence $a-b$.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	Nous avons vu au collège  différentes façons de faire ces soustractions mais le plus souvent il s'agit de se ramener à une différence de fractions.
	
	\begin{enumerate}
		
		\item $a=3$, $b=1000$, 
		
		\item $a=17$ et $b=16,80$.
		
		\item $a=34,07$ et $b=34,7$.
		
		\item $a=4,3$ et $b=\frac{2}{10}$.
		
		\item $a=5$ et $b=\frac{1}{3}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{lecon}
	
	Les écritures décimales ne sont pas forcément finie. Ainsi $\frac{1}{3}$ a une écriture décimale infinie: $\frac{1}{3}=0,333\dots$.
	
	Remarquons que nous ne pouvons pas utiliser les écritures décimales infinies sans un certain risque puisque: $0,333\dots +0,333\dots  0,333\dots =1$. Pourtant nous serions tentés de dire que $0,999\dots <1$.
	
	\begin{notabene}
		
		Attention cette assertion est fausse. En profiter pour introduire le vocabulaire assertion ou proposition.
		
	\end{notabene}
	
	Nous voyons avec ce dernier exemple que si nous devions retenir une seule méthode générale pour comparer les nombres ce serait de faire la différence de leur écriture fractionnaire.
	
	\medskip
	Les grecs de l'antiquité qui manipulaient uniquement des fractions furent néanmoins confrontés à une difficulté: $\sqrt{2}$. C'est bien un nombre puisque c'est une longueur mais ce n'est pas une fraction (ce qui sera démontré dans la leçon traitant des multiples et diviseurs).
	
	Autrement dit tous les nombres ne peuvent pas s'écrire sous forme de fractions.
	
	Il a fallut commencer à penser à ranger les nombres pour y voir clair et repérer ceux qui manquaient.
	
\end{lecon}

\subsubsection{Les ensembles classiques de nombres.}

\begin{correction}
	
	Pour ranger les nombres nous nous basons essentiellement sur le type d'équation algébriques dont ils sont solutions.
	
\end{correction}

\begin{lecon}
	
	\bigskip
	Les \emph{\color{purple}entiers naturels} sont les nombres qui servent à dénombrer, à compter. L'ensemble de tous les entiers naturels est: $${\color{purple}\mathbb{N}}=\{ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \dots \}$$
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $10^{13}$ est une entier naturel. Nous écrirons $10^{13} \in \mathbb{N}$.
		
		\item Si $n \in \mathbb{N}$ alors $2n$ est un nombre pair positif et $2n+1$ est un nombre impair positif.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{lecon}
	
	\begin{center}
		$\bullet$
	\end{center}
	
\end{lecon}

\begin{correction}
	
	\bigskip
	Si nous voulons résoudre une équation de la forme $x+a=0$ où $a \in \mathbb{N}$ nous devons ajouter de nouveaux entiers.
	
\end{correction}

\begin{lecon}
	
	\bigskip
	Les \emph{\color{purple}entiers (relatifs)} sont les entiers naturels et leurs \emph{\color{purple}opposés}. L'ensemble de tous les entiers (relatifs) est: $${\color{purple}\mathbb{Z}}=\{ \dots ,\ -3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \dots \}$$
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $-123 \in \mathbb{Z}$.
		
		\item $123 \in \mathbb{Z}$.
		
		\item $0 \in \mathbb{Z}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Il est possible de reconnaître un nombre entier par l'un de ses développements décimaux infinis. En effet l'une de ses écritures décimales ne comporte que des $0$ dans la partie décimale. Par exemple: $1,000\dots$ et $-234,000\dots$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{proposition}{}
	
	$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$ mais $\mathbb{Z} \not\subset \mathbb{N}$.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{\Coffeecup}
	
	{\color{WildStrawberry} il y a deux choses à démontrer.}
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$ par construction puisque nous avons jouter des éléments à $\mathbb{N}$ pour obtenir $\mathbb{Z}$.
		
		\item Pour montrer que $\mathbb{Z} \not\subset \mathbb{N}$ il suffit de montrer qu'il existe (au moins) un nombre entier relatif qui n'est pas un entier naturel. $-1$ n'est pas égale à $0$ car sinon $1=0$ et n'est pas égale à un entier naturel strictement supérieur à $0$ car sinon $1+(-1)$ ne serait pas nul.
		
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\begin{lecon}
	
	\begin{center}
		$\bullet$
	\end{center}
	
\end{lecon}

\begin{lecon}
	
	\bigskip
	Les nombres qui peuvent s'écrire comme des quotients d'entiers sont appelés des \emph{\color{purple}nombres rationnel}. L'ensemble des nombres rationnels est noté $\color{purple}\mathbb{Q}$.
	
\end{lecon}

\begin{proposition}{}
	
	$\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$ mais $\mathbb{Q} \not\subset \mathbb{Z}$.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	\begin{enumerate}
		\item Soit $n\in\mathbb{Z}$. $n=\frac{n}{1}$ donc $n$ peut s'écrire comme un rationnel et donc $n\in \mathbb{Q}$.
		
		Ceci étant vrai quelque soit le nombre $n$ choisi: $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$.
		
		\item $\frac{1}{3} \in \mathbb{Q}$ mais $\frac{1}{3} \not\in \mathbb{Z}$. En effet $0 < \frac{1}{3} <1$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Il est possible de reconnaître un nombre rationnel par son développement décimal infini. En effet celui-ci est nécessairement périodique (à partir d'un certain rang. Par exemples: $0,333\dots$, $-12,343434 \dots$ et $3,000\dots$ sont des nombre rationnels.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{correction}
	
	Il n'y a pas de solution à l'équation $x^2-2=0$ dans $\mathbb{Q}$. Il faut donc agrandir encore notre ensemble.
	
\end{correction}

\begin{lecon}
	
	L'ensemble de tous les nombres que vous devez connaître est appelé \emph{\color{purple}l'ensemble des nombres réels} et est noté $\mathbb{R}$.
	
	\begin{notabene}
		
		Explication de comment passer de $\mathbb{Q}$ en regardant la droite numérique ci-après et en, essayant de boucher les trous sur cette droite.
		
	\end{notabene}
	
\end{lecon}


\begin{proposition}{}
	
	$\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ mais $\mathbb{R} \not\subset \mathbb{Q}$.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{\Coffeecup}
	
	\begin{enumerate}
		\item L'inclusion découle du fait que $\mathbb{R}$ est construit à partir de $\mathbb{Q}$ en ajoutant d'autres nombre.
		
		\item $\sqrt{2} \in\mathbb{R}$ mais $\sqrt{2} \not\in \mathbb{Q}$. L'irrationalité de $\sqrt{2}$ sera pour l'instant admise.
		
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Si $n \in \mathbb{N}$ et si $n$ n'est pas un carré parfait alors $\sqrt{n} \not\in\mathbb{Q}$.
		
		\item $\pi \not\in \mathbb{Q}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Les nombres qui ne sont pas réels sont appelés des \emph{\color{purple}nombres irrationnels}.
		
		\item Il est possible de reconnaître un nombre irrationnel à son développement décimal infini: celui-ci ne comporte aucune périodicité (aucune répétition jusqu'à l'infini d'une série de chiffres). Par exemple $\pi$ et $\sqrt{2}$ ont des développements décimaux infinis sans aucune répétition.
		
		Ces pour cette raison que les nombres irrationnels ne sont jamais présenté par leur écriture décimale mais par des lettres ou des symboles. Certains sont célèbres: $\pi$ (pi), $\varphi$ (nombre d'or), $\gamma$ (constante d'Euler), $e$ (constante de Neper), $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, ...
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{lecon}
	
	\begin{center}
		$\bullet$
	\end{center}
	
\end{lecon}

\begin{lecon}
	
	\bigskip
	Il reste une ensemble classique de nombre que nous n'avons pas évoqué c'est \emph{\color{purple}l'ensemble des nombres décimaux} que nous noterons $\color{purple}\mathbb{D}$. Si cet ensemble a eu droit à un nom et une notation personnalisée c'est à cause de son importance pour les sciences expérimentales, en informatique et en mathématique pour donner des valeurs approchées de nombres irrationnels.
	
	Un nombre est décimal s'il est possible de l'écrire sous forme d'une fraction dont le dénominateur est une puissance de $10$.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item $-0,1 \in \mathbb{D}$.
		
		\item $\frac{9078687656}{100} \in \mathbb{D}$.
		
		\item Les nombres décimaux sont ceux qui admettent une écriture décimale finie.
		
		\item Les nombres décimaux sont ceux qui admettent une écriture fractionnaire de la forme $\frac{a}{2 ^p \times5^n}$ où $a \in\mathbb{Z}$ et $n,p \in \mathbb{N}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\medskip
	\begin{enumerate}
		\item Un nombre est décimal s'il admet un développement décimal infini ne comportant que des zéros à partir d'un certain rang. Par exemple: $2,34000\dots$ et $-0,088000\dots$.
		
		\item Un nombre est décimal s'il admet une écriture fractionnaire dont le numérateur est un entier et le dénominateur le produit d'une puissance de deux et d'une puissance de $5$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{proposition}{}
	
	$\mathbb{Z} \subset \mathbb{D}$ et $\mathbb{D} \subset \mathbb{Q}$, mais $\mathbb{D} \not\subset \mathbb{Z}$ et $\mathbb{Q} \not\subset \mathbb{D}$.
		
\end{proposition}

\begin{lecon}
	
	\bigskip
	Nous pouvons résumer les inclusions entre les ensembles classiques étudiés avec un diagramme de Venn qui schématise la chaîne d'inclusion: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.
	
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.75,yscale=0.75]
		\def\an{2};
		\def\bn{1};
		\draw[black, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\an*cos(\x)},{\bn*sin(\x)});
		\draw [black] ({-\an+1},{0}) node {$\mathbb{N}$};
		\draw [black] ({0.5},{0}) node {$0$, $1$, $2$, $\dots$};
		\def\az{3};
		\def\deltanz{0.75};
		\def\bz{2};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\az*cos(\x)+\deltanz},{\bz*sin(\x)});
		\draw [blue] ({\az-0.5+\deltanz},{0}) node {$\mathbb{Z}$};
		\draw [blue] ({\az-1},{\bz-1}) node {$-3$};
		\draw [blue] ({\az-1},{-\bz+1}) node {$-10^3$};
		\def\ad{4};
		\def\deltazd{1.5};
		\def\bd{3};
		\draw[Green, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\ad*cos(\x)+\deltazd},{\bd*sin(\x)});
		\draw [Green] ({\ad-0.5+\deltazd},{0}) node {$\mathbb{D}$};
		\draw [Green] ({\ad-1},{\bd-1}) node {$-0,013$};
		\draw [Green] ({\ad-0.4},{-\bd+1.3}) node {$\dfrac{2386}{100}$};
		\def\aq{5};
		\def\deltadq{2.25};
		\def\bq{4};
		\draw[red, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\aq*cos(\x)+\deltadq},{\bq*sin(\x)});
		\draw [red] ({\aq-0.5+\deltadq},{0}) node {$\mathbb{Q}$};
		\draw [red] ({\aq-0.5},{\bq-1}) node {$-\dfrac{1}{3}$};
		\draw [red] ({\aq-0.5},{-\bq+1}) node {$\dfrac{1}{7}$};
		\def\ar{6};
		\def\deltaqr{3};
		\def\br{5};
		\draw[orange, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\ar*cos(\x)+\deltaqr},{\br*sin(\x)});
		\draw [orange] ({\ar-0.5+\deltaqr},{0}) node {$\mathbb{R}$};
		\draw [orange] ({\ar-0.5},{\br-1}) node {$\sqrt{2}$};
		\draw [orange] ({\ar-0.5},{-\br+1}) node {$\pi$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{lecon}

\begin{correction}
	
	\medskip
	Il existe une multitude d'ensembles de nombres classiques. On distingue notamment les nombres algébriques et transcendants. 
	
	Il existe de plus gros ensembles de nombres que $\mathbb{R}$ ainsi $\mathbb{C}$, l'ensemble des nombres complexes qui permet d'ajouter les solutions des équations polynomiales sans solutions dans $\mathbb{R}$ comme $x^2+1=0$.
	
	Il existe aussi de nombreux sous-ensembles des entiers. Par exemple l'ensemble des nombres premiers que vous connaissez déjà mais aussi les nombres triangulaires, les nombres parfaits, ...
	
\end{correction}

\subsubsection{Exercices.}

\begin{exercice}{\Bouquet}
	
	Déterminez sans justification le plus petit ensemble classique auquel appartient le nombre proposé.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\sqrt{17}$.
		
		\task $-\np{34509786}$.
		
		\task $-0,0223$.
		
		\task $34,45218\dots$.
		
		\task $\dfrac{345}{100}$.
		
		\task $\dfrac{24}{7}$.
		
		\task $\dfrac{34}{2^3 \times 5^2}$.
		
		\task $\dfrac{\frac{1}{3}}{14}$.
		
		\task $3,234 \times 10^{45}$.
		
		\task $\pi+3$.
		
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Bouquet}
	
	Déterminez sans justification le plus petit ensemble classique auquel appartient le nombre proposé.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $-\dfrac{12}{3}$.
		
		\task $-\np{23,7237237}\dots$.
		
		\task $\dfrac{76987}{10}$.
		
		\task $\pi$.
		
		\task $\sqrt{3}^2$.
		
		\task $0,987654321\times 10^9$.
		
		\task $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
		
		\task $\dfrac{2}{250}$.
		
		\task $3+\sqrt{2}$.
		
		\task $\dfrac{1}{5}$.
				
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\subsection{Une représentation géométrique de l'ensemble des nombres.}

\begin{notabene}
	
	Représentation avec l'axe gradué.
	
	Vérifier l'appartenance à un intervalle.
	
	Comparer des nombres. Encadrement, inégalité.
	
	Notations intervalles, réunions et intersection.
	
	En lien avec la géométrie.
	
	
\end{notabene}

\subsubsection{La droite des réels.}

\begin{sujet}
	
	Dessiner sur un axe $\np{2000}$ nombre rationnels choisis au hasard entre $0$ et $1$: 
	\href{http://unemainlavelautre.net/2ieme/2ieme_algebre_03_ensembles_de_nombres_01_afficher_rationnels.gif}{fichier gif}.
	
\end{sujet}

\begin{lecon}
	
	Si on essaie de dessiner les nombres rationnels sur un axe gradué il semble que nous recouvrions tout l'axe. Nous savons que c'est une illusion: non seulement il manque une infinité de nombres rationnels mais il manque aussi les nombres irrationnels.
	
	Nous représenterons l'ensemble des nombres réels par axe gradué. Cette représentation présentation un avantage sur le diagramme de Venn c'est qu'elle indique l'ordre croissant.	
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		\foreach \x in {0,1 }	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\draw[ ->,very thick] (-4, 0) -- (5, 0);
		\draw (-5,0) node {$-\infty$};
		\draw (6,0) node {$+\infty$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Les symboles $-\infty$ et $+\infty$ se lisent respectivement \og plus l'infini \fg{} et \og moins l'infini \fg{}. Il signifie que l'axe doit se prolonger vers des nombres infiniment petits et des nombres infiniment grands.
	
\end{lecon}

\subsubsection{Intervalles.}

\begin{notabene}
	
	Nous avons vu que l'ensemble des nombres réels peut être représenté, schématisé par une droite. De même qu'en géométrie on s'intéresse à des morceaux de la droite (lesquels?) de même nous allons nous intéressé à des morceaux de l'ensemble des réels.
	
	De façon plus terre à terre, dans la réalité (math appliquées) ou dans certaines situations ($\sqrt{x}$, fonctions) nous seront amenés à utiliser des morceaux de l'ensemble des réels.
	
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	Un \emph{\color{purple}intervalle} est un sous-ensemble (une partie) "sans trous" de l'ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$.
	
\end{lecon}

\subsubsection{Intervalles bornés.}

\begin{lecon}
	Les intervalles bornés sont les ensembles qui contiennent tous les réels qui sont compris entre deux \emph{\color{purple}bornes} (limites).
	
\end{lecon}

\begin{notabene}
	
	Faire l'exemple au tableau comme une leçon.
	
\end{notabene}

\begin{exemples}
	
	L'intervalle $[-2\;\ 13]$ (lisez \og fermé en $-2$ et fermé en $13$\fg{}) désigne l'ensemble des nombres réels $x$ compris entre $-2$ et $13$. Ce sont donc tous les nombres $x$ qui vérifient \[ -2\le x \leqslant 13 \]
	
	L'ensemble des nombres réels est représenté par une droite et l'intervalle $[-2\ ;\ 13]$ est alors représenté par un segment.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
		\def\xY{-5};
		\def\yY{-2};
		\def\xZ{20};
		\def\yZ{2};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
		\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
		\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[below left]{$x$};
		\foreach \x in {0,1}	\draw[very thick](\x,0.2cm)--(\x,-0.2cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \x};
		\def\xbornea{-2};
		\def\orientationa{1};
		\draw[very thick,red] ({\xbornea+0.5*\orientationa},1)--(\xbornea,1)--(\xbornea,-1)--({\xbornea+0.5*\orientationa},-1);
		\draw(\xbornea+0.5,-1.5)node{\xbornea};
		\def\xborneb{13};
		\def\orientationb{1};
		\draw[very thick,red] ({\xborneb-0.5*\orientationb},1)--(\xborneb,1)--(\xborneb,-1)--({\xborneb-0.5*\orientationb},-1);
		\draw(\xborneb-0.5,-1.5)node{\xborneb};
		\draw[very thick,red](\xbornea,0)--(\xborneb,0);
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\medskip
	Il arrive souvent qu'en cherchant à optimiser la taille des intervalles il faille exclure les valeurs aux bornes. Ainsi pour désigner l'ensemble de tous les nombres compris entre $-2$ et $13$ mais pas $2$ nous noterons: $]-2\ ;\ 13]$ (lisez \og ouvert en $-2$ et fermé en $13$\fg{}). 
	
	Ce qui correspond à tous le nombres $x$ qui vérifient l'encadrement \[ -2< x \leqslant 13\]
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
		\def\xY{-5};
		\def\yY{-2};
		\def\xZ{20};
		\def\yZ{2};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
		\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
		\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[below left]{$x$};
		\foreach \x in {0,1}	\draw[very thick](\x,0.2cm)--(\x,-0.2cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \x};
		\def\xbornea{-2};
		\def\orientationa{-1};
		\draw[very thick,violet] ({\xbornea+0.5*\orientationa},1)--(\xbornea,1)--(\xbornea,-1)--({\xbornea+0.5*\orientationa},-1);
		\draw(\xbornea+0.5,-1.5)node{\xbornea};
		\def\xborneb{13};
		\def\orientationb{1};
		\draw[very thick,violet] ({\xborneb-0.5*\orientationb},1)--(\xborneb,1)--(\xborneb,-1)--({\xborneb-0.5*\orientationb},-1);
		\draw(\xborneb-0.5,-1.5)node{\xborneb};
		\draw[very thick,violet](\xbornea,0)--(\xborneb,0);
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Pour dire qu'un nombre $a$ est compris entre $3$ et $4$ nous écrirons: $a{\in} [3,4]$ et nous dirons que $x$ \emph{appartient} à l'intervalle $[3;4]$.
		
		\item Les bornes d'un intervalle sont toujours écrites dans l'ordre croissant.
		
		\item L'\emph{\color{purple}ensemble vide}, $\color{purple}\emptyset$, qui ne contient aucun élément est considéré comme un intervalle.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{\Football}
	
	Le tableau suivant comporte quatre façons, et donc quatre points de vus, pour parler d'une même notion.
	
	Recopiez-le, puis complétez-le en prenant pour modèle la deuxième ligne.
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{1.3cm}|m{3cm}|m{2cm}|m{3.5cm}|}
		\hline
		Notation & Représentation& Inéquations (encadrement) & Description \\ \hline
		$[-2 ;13]$ &
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.12]
			\def\xY{-5};
			\def\yY{-2};
			\def\xZ{15};
			\def\yZ{2};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\def\xbornea{-2};
			\def\orientationa{1};
			\draw[very thick,orange] ({\xbornea+0.5*\orientationa},1)--(\xbornea,1)--(\xbornea,-1)--({\xbornea+0.5*\orientationa},-1);
			\draw(\xbornea+0.5,-3)node{\xbornea};
			\def\xborneb{13};
			\def\orientationb{1};
			\draw[very thick,orange] ({\xborneb-0.5*\orientationb},1)--(\xborneb,1)--(\xborneb,-1)--({\xborneb-0.5*\orientationb},-1);
			\draw(\xborneb-0.5,-3)node{\xborneb};
			\draw[very thick,orange](\xbornea,0)--(\xborneb,0);
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		& $-2\le x \le 13$ & Intervalle fermé en $-2$ et en $13$.
		
		\\ \hline
		$[4\ ;\ 8[$ &$\dots$&$\dots$&$\dots$\\ \hline
		& 
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.12]
			\def\xY{-14};
			\def\yY{-2};
			\def\xZ{-2};
			\def\yZ{2};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\def\xbornea{-12};
			\def\orientationa{-1};
			\draw[very thick,green] ({\xbornea+0.5*\orientationa},1)--(\xbornea,1)--(\xbornea,-1)--({\xbornea+0.5*\orientationa},-1);
			\draw(\xbornea+0.5,-3)node{\xbornea};
			\def\xborneb{-5};
			\def\orientationb{-1};
			\draw[very thick,green] ({\xborneb-0.5*\orientationb},1)--(\xborneb,1)--(\xborneb,-1)--({\xborneb-0.5*\orientationb},-1);
			\draw(\xborneb-0.5,-3)node{\xborneb};
			\draw[very thick,green](\xbornea,0)--(\xborneb,0);
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		&$\dots$&$\dots$ \\ \hline
		$\dots$&$\dots$&$\pi \le x <8$&$\dots$ \\ \hline
		$\dots$&$\dots$&$\dots$& Intervalle ouvert en $-6$ et fermé en $2$.\\ \hline
	\end{tabular}
	
\end{exercice}

\subsubsection{Intervalles non bornés.}

\begin{lecon}
	
	Les intervalles non bornés sont les intervalles qui contiennent tous les nombres plus grands ou plus petits qu'un nombre fixé.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\medskip
	L'intervalle $[-2\;\ +\infty [$ (lisez \og fermé en $-2$ , plus l'infini\fg{}) désigne l'ensemble des nombres réels $x$ supérieurs (ou égaux) à $-2$. Ce sont donc tous les nombres $x$ qui vérifient \[ -2\leqslant x \]
	
	L'intervalle $[-2\ ;\ +\infty [$ est alors représenté par une demi-droite.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
		\def\xY{-5};
		\def\yY{-2};
		\def\xZ{20};
		\def\yZ{2};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
		\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
		\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[below left]{$x$};
		\foreach \x in {0,1}	\draw[very thick](\x,0.2cm)--(\x,-0.2cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \x};
		\def\xbornea{-2};
		\def\orientationa{1};
		\draw[very thick,red] ({\xbornea+0.5*\orientationa},1)--(\xbornea,1)--(\xbornea,-1)--({\xbornea+0.5*\orientationa},-1);
		\draw(\xbornea+0.5,-1.5)node{\xbornea};
		\def\xborneb{\xZ};
		\def\orientationb{1};
		\draw[very thick,red](\xbornea,0)--(\xborneb,0);
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Le symbole $\infty$ désigne l'infini et n'est pas un nombre réel. C'est pourquoi le crochet est toujours ouvert du côté de ce symbole.
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{\Football}
	
	Le tableau suivant comporte quatre façons, et donc quatre points de vus, différents pour parler d'une même notion.
	
	Recopiez-le, puis complétez-le en prenant pour modèle la deuxième ligne.
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{1.3cm}|m{3cm}|m{2cm}|m{3.5cm}|}
		\hline
		Notation & Représentation & Inéquations (encadrement) & Description \\ \hline
		$[-2 , +\infty [$ &
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.12]
			\def\xY{-5};
			\def\yY{-2};
			\def\xZ{15};
			\def\yZ{2};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\def\xbornea{-2};
			\def\orientationa{1};
			\draw[very thick,orange] ({\xbornea+0.5*\orientationa},1)--(\xbornea,1)--(\xbornea,-1)--({\xbornea+0.5*\orientationa},-1);
			\draw(\xbornea+0.5,-3)node{\xbornea};
			\def\xborneb{\xZ};
			\def\orientationb{1};
			\draw[very thick,orange](\xbornea,0)--(\xborneb,0);
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		& $-2\le x$ & Intervalle fermé en $-2$, plus l'infini.
		
		\\ \hline
		$] -\infty ;\ 8[$ &$\dots$&$\dots$&$\dots$\\ \hline
		& 
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.12]
			\def\xY{-14};
			\def\yY{-2};
			\def\xZ{-2};
			\def\yZ{2};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\def\xbornea{-12};
			\def\orientationa{-1};
			\draw[very thick,green] ({\xbornea+0.5*\orientationa},1)--(\xbornea,1)--(\xbornea,-1)--({\xbornea+0.5*\orientationa},-1);
			\draw(\xbornea+0.5,-3)node{\xbornea};
			\def\xborneb{\xZ};
			\def\orientationb{-1};
			\draw[very thick,green](\xbornea,0)--(\xborneb,0);
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		&$\dots$&$\dots$ \\ \hline
		$\dots$&$\dots$&$ x <\pi $&$\dots$ \\ \hline
		$\dots$&$\dots$&$\dots$& Intervalle moins l'infini, ouvert en $-6$.\\ \hline
	\end{tabular}
	
\end{exercice}

\subsubsection{Intersection d'intervalles.}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item $5,5$ appartient à l'intersection des intervalles $[4;6]$ et $]5;8[$ puisque $5,5$ appartient à chacun d'entre eux.
		
		Donc: $5,5 \in [4;6] \cap ]5;8[$.
		
		\item $5 \in [4;6]$ mais $5 \notin ]5;8[$ donc $5 \notin [4;6] \cap ]5;8[$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{lecon}
	
	Pour déterminer l'intersection (tout entière) de $[4;6]$ et $]5;8[$ nous raisonnerons de façon géométrique comme ci-dessous:
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
		\def\xY{0};
		\def\yY{-2-8};
		\def\xZ{10};
		\def\yZ{2};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
		\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
		\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[below left]{$x$};
		\fill[color=green , opacity=0.25] (5,2)--(5,-10)--(6,-10)--(6,2)-- cycle;
		\def\xbornea{4};
		\def\orientationa{1};
		\draw[very thick,red] ({\xbornea+0.5*\orientationa},1)--(\xbornea,1)--(\xbornea,-1)--({\xbornea+0.5*\orientationa},-1);
		\draw(\xbornea+0.5,-1.5)node{\xbornea};
		\def\xborneb{6};
		\def\orientationb{1};
		\draw[very thick,red] ({\xborneb-0.5*\orientationb},1)--(\xborneb,1)--(\xborneb,-1)--({\xborneb-0.5*\orientationb},-1);
		\draw(\xborneb-0.5,-1.5)node{\xborneb};
		\draw (0,1)node[fill=white]{Si \color{red}$[4;6]$};
		
		\draw[very thick,red](\xbornea,0)--(\xborneb,0);
		\draw[ ->,thick] (\xY, -4) -- (\xZ, -4) node[below left]{$x$};
		\def\xbornec{5};
		\def\orientationc{-1};
		\draw[very thick,blue] ({\xbornec+0.5*\orientationc},{1-4})--(\xbornec,{1-4})--(\xbornec,{-1-4})--({\xbornec+0.5*\orientationc},{-1-4});
		\draw(\xbornec+0.5,{-1.5-4})node{\xbornec};
		\def\xborned{8};
		\def\orientationd{-1};
		\draw[very thick,blue] ({\xborned-0.5*\orientationd},{1-4})--(\xborned,{1-4})--(\xborned,{-1-4})--({\xborned-0.5*\orientationd},{-1-4});
		\draw(\xborned-0.5,{-1.5-4})node{\xborned};
		\draw[very thick,blue](\xbornec,{0-4})--(\xborned,{0-4});
		\draw (0,{1-4})node[fill=white]{et \color{blue}$]5;8[$};
		
		\draw[ ->,thick] (\xY, -8) -- (\xZ, -8) node[below left]{$x$};
		\def\xbornee{5};
		\def\orientatione{-1};
		\draw[very thick,orange] ({\xbornee+0.5*\orientatione},{1-8})--(\xbornee,{1-8})--(\xbornee,{-1-8})--({\xbornee+0.5*\orientatione},{-1-8});
		\draw(\xbornee-0.5,{-1.5-8})node{\xbornee};
		\def\xbornef{6};
		\def\orientationf{1};
		\draw[very thick,orange] ({\xbornef-0.5*\orientationf},{1-8})--(\xbornef,{1-8})--(\xbornef,{-1-8})--({\xbornef-0.5*\orientationf},{-1-8});
		\draw(\xbornef+0.5,{-1.5-8})node{\xbornef};
		\draw[very thick,orange](\xbornee,{0-8})--(\xbornef,{0-8});
		\draw (0,{1-8})node[fill=white]{alors \color{orange}$[4;6]\cap ]5;8[= ]5;6]$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{lecon}

\subsubsection{Réunion d'intervalles.}

\begin{correction}
	
	Une blague de logicien: 
	
	Question à une femme venant d'accoucher: \og As-tu un garçon ou une fille?\fg{}
	
	Réponse: \og Oui.\fg{}
	
\end{correction}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $5,5$ et $4,5$ et $7$ appartiennent à la réunion des intervalles $[4;6]$ et $]5;8[$ puisqu'ils appartiennent soit à l'un, soit à l'autre, soit aux deux intervalles. 
		
		On écrit: $5,5 \in [4;6]\cup ]5;8[$, $4,5 \in [4;6]\cup ]5;8[$ et $7 \in [4;6]\cup ]5;8[$.
		
		\item $3 \notin [4;6]$ et $3 \notin ]5;8[$ donc $3 \notin [4;6]\cup ]5;8[$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{lecon}
	
	Pour déterminer la réunion (tout entière) de $[4;6]$ et $]5;8[$ nous raisonnerons de façon géométrique comme ci-dessous:
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
		\def\xY{0};
		\def\yY{-2-8};
		\def\xZ{10};
		\def\yZ{2};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
		\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
		\fill[color=green , opacity=0.25] (4,2)--(4,-10)--(8,-10)--(8,2)-- cycle;
		
		\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[below left]{$x$};
		\def\xbornea{4};
		\def\orientationa{1};
		\draw[very thick,red] ({\xbornea+0.5*\orientationa},1)--(\xbornea,1)--(\xbornea,-1)--({\xbornea+0.5*\orientationa},-1);
		\draw(\xbornea+0.5,-1.5)node{\xbornea};
		\def\xborneb{6};
		\def\orientationb{1};
		\draw[very thick,red] ({\xborneb-0.5*\orientationb},1)--(\xborneb,1)--(\xborneb,-1)--({\xborneb-0.5*\orientationb},-1);
		\draw(\xborneb-0.5,-1.5)node{\xborneb};
		\draw (0,1)node[fill=white]{Si \color{red}$[4;6]$};
		
		\draw[very thick,red](\xbornea,0)--(\xborneb,0);
		\draw[ ->,thick] (\xY, -4) -- (\xZ, -4) node[below left]{$x$};
		\def\xbornec{5};
		\def\orientationc{-1};
		\draw[very thick,blue] ({\xbornec+0.5*\orientationc},{1-4})--(\xbornec,{1-4})--(\xbornec,{-1-4})--({\xbornec+0.5*\orientationc},{-1-4});
		\draw(\xbornec+0.5,{-1.5-4})node{\xbornec};
		\def\xborned{8};
		\def\orientationd{-1};
		\draw[very thick,blue] ({\xborned-0.5*\orientationd},{1-4})--(\xborned,{1-4})--(\xborned,{-1-4})--({\xborned-0.5*\orientationd},{-1-4});
		\draw(\xborned-0.5,{-1.5-4})node{\xborned};
		\draw[very thick,blue](\xbornec,{0-4})--(\xborned,{0-4});
		\draw (0,{1-4})node[fill=white]{et \color{blue}$]5;8[$};
		
		\draw[ ->,thick] (\xY, -8) -- (\xZ, -8) node[below left]{$x$};
		\def\xbornee{4};
		\def\orientatione{1};
		\draw[very thick,violet] ({\xbornee+0.5*\orientatione},{1-8})--(\xbornee,{1-8})--(\xbornee,{-1-8})--({\xbornee+0.5*\orientatione},{-1-8});
		\draw(\xbornee+0.5,{-1.5-8})node{\xbornee};
		\def\xbornef{8};
		\def\orientationf{-1};
		\draw[very thick,violet] ({\xbornef-0.5*\orientationf},{1-8})--(\xbornef,{1-8})--(\xbornef,{-1-8})--({\xbornef-0.5*\orientationf},{-1-8});
		\draw(\xbornef-0.5,{-1.5-8})node{\xbornef};
		\draw[very thick,violet](\xbornee,{0-8})--(\xbornef,{0-8});
		\draw (0,{1-8})node[fill=white]{alors \color{violet}$[4;6]\cup ]5;8[= [4;8[$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{lecon}

\subsection{Exercices.}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		Faire avec les élèves afin de voir tous les cas possibles.
		
	\end{notabene}
	
	Simplifiez les écritures suivantes en justifiant par un schéma.
			
	\begin{tasks}(2)
		\task $[-3;4[ \cup ]-1;5[$.
		\task $]-1;3]\cap ]2;4]$.
		\task $]-3;2] \cup [3;5]$.
		\task $]-13;7] \cap [7;17]$.
		\task $]-12;-11[\cap [-11;-3[$.
		\task $]-\infty ;5] \cap [3;7[$.
		\task $]-\infty ;0]\cup [0;+\infty [$.
	\end{tasks}
				
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}[a)]
		\item $[-3;5[$.
		\item $]2;3]$.
		\item $]-3;2] \cup [3;5]$.
		\item $[7;7]= \{ 7 \}$.
		\item $[-11;-3[$.
		\item $[3; 5]$.
		\item $\mathbb{R}$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Bouquet}
	
	Complétez le tableau ci-dessous (les schémas ne doivent pas être à l'échelle).
	
	\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.75cm}|m{3cm}|m{2cm}|X|}
		
		\hline
		
		Notation & Schéma & Inéquation(s) & Description 
		
		\\
		\hline
		$]-2\ ;\ +\infty[$ & ~ \vspace{2cm} &  & 
		\\
		\hline
		
		& 
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.12]
			\def\xY{4};
			\def\yY{-2};
			\def\xZ{9};
			\def\yZ{2};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\def\xbornea{5};
			\def\orientationa{-1};
			\draw[very thick,green] ({\xbornea+0.5*\orientationa},1)--(\xbornea,1)--(\xbornea,-1)--({\xbornea+0.5*\orientationa},-1);
			\draw(\xbornea+0.5,-3)node{\xbornea};
			\def\xborneb{8};
			\def\orientationb{-1};
			\draw[very thick,green] ({\xborneb-0.5*\orientationb},1)--(\xborneb,1)--(\xborneb,-1)--({\xborneb-0.5*\orientationb},-1);
			\draw(\xborneb-0.5,-3)node{\xborneb};
			\draw[very thick,green](\xbornea,0)--(\xborneb,0);
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		& ~ \vspace{2cm}  & 
		\\
		\hline
		~ \vspace{2cm} & & $-3 < x \le 4$ &
		\\
		\hline
		& & ~ \vspace{2cm} & Intervalle ouvert en $-5$ et fermé en $7$.
		\\
		\hline
		
	\end{tabularx}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
		Simplifiez si possible l'écriture des ensembles ci-dessous en justifiant sinon récrivez l'expression proposée.
		
	
	\begin{enumerate}
		\item 
			$I_1= ]-13;4] \cap [3;8[$
		
		\item 
			
			$I_2 = ]-\infty ; 5]\cap ]3; 4[$
		
		\item 
			
			$I_3= ]-2;2]\cup [3;4]$
			
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}