%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{RoyalBlue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill \small {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. #1} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

\newenvironment{exerciceapplication}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill \small {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Application.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} }{ \end{colbox} }

\newenvironment{concours}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \small \color{blue} \medskip \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Concours.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} }{\medskip}

\newenvironment{recherche}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \small \color{blue} \medskip \hfill { \color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Recherche.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} }{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/2ieme.html}{Équations du premier degré.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{details}
\exclure{bareme}
\exclure{notabene}
\exclure{exercicecorrection}\exclure{correction}\exclure{preuve}\exclure{exemples}%papi
%\exclure{remarques}\exclure{corollaire}\exclure{lemme}\exclure{proposition}\exclure{theoreme}\exclure{culturegenerale}\exclure{definition}\exclure{lecon}
%\exclure{sujet}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Équations du premier degré.}

\begin{notabene}
	
	Pour cette leçon laisser les propositions et exercices visibles. Pas de lecture: rappel des résultats et de la logique en balance puis exercices. Les résultats de cette leçon ont été déjà vus au collège. Ajout à l'écrit des exemples. Démonstrations à la demande.
	
\end{notabene}

\subsection{Généralités sur les équations.}

\begin{lecon}
	
	Une \emph{\color{purple}équation} est une égalité dans laquelle se trouvent des lettres (des \emph{\color{purple}variables}) qui représentent des nombres (expression littérale).
	
	Une équation est soit vraie, soit fausse, suivant les valeurs choisies pour remplacer les lettres.
	
	Résoudre une équation c'est trouver toutes les valeurs qui rendent l'équation vraie. C'est pourquoi pour résoudre une équation nous donnerons \emph{\color{purple}l'ensemble des solutions}.
	
	Il n'y a pas une unique méthode de résolution des équations. Il y a presque autant de méthodes que d'équations.
	
	Nous apprendrons certaines de ces méthodes.
	
	Pour simplifier la résolution et pour identifier à quel type d'équation nous avons à faire nous modifierons souvent l'équation de façon à obtenir une égalité à $0$.
	
\end{lecon}

\subsection{Des outils de résolution algébrique d'équations.}

\subsubsection{Équation et opérations: compatibilité.}

\begin{proposition}{}
	
	Soient $a$, $b$ et $c$ des nombres.
	
	\medskip	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $a=b$ si et seulement si $a+c=b+c$,
		
		\item $a=b$ si et seulement si $a-c=b-c$,
		
		\item Si $c$ est inversible alors: $a=b$ si et seulement si $a\times c = b \times c$,
		
		\item Si $c$ est inversible alors: $a=b$ si et seulement si $\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{c}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{\Coffeecup}
	
	Justifions, par exemple, pour l'addition. 
	
	\begin{enumerate}[*]
		
		\item Implication directe.
		
		En logique, pour toutes quantités $a$ et $b$, et pour toute expression $F(x)$, si $a = b$ alors $F(a) = F(b)$.
		
		En particulier lorsque $F(x)=x+c$, nous obtenons $F(a)=F(b)$ et donc $a+c=b+c$.
		
		\item Réciproque.
		
		Supposons que $a+c=b+c$.
		
		Tous les nombres réels admettent un opposé. En particulier $-c$ est l'opposé de $c$. Donc d'après l'implication directe: 
		
		\begin{align*}
			(a+c)+(-c) &= (b+c)+(-c)\\
			\intertext{L'addition étant transitive:}
			a+c+(-c) &= b+c+(-c)\\
			\intertext{Enfin:}
			a &= b
		\end{align*}
		
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Le signe égale peut avoir des sens différents: annonce d'une notation, annonce du résultat d'un calcul (primaire et collège), équation (collège et lycée). L'égalité dans une équation peut être vue comme un équilibre dans une balance Roberval.
		
		Lorsque nous aurons plusieurs variables l'égalité signifiera un lien entre ces variables. Les physiciens et ingénieurs parleraient de contraintes.
		
		\item Finalement nous retiendrons les règles suivantes. 
		
		$\color{red}\varheartsuit$ {\color{WildStrawberry}Nous ne modifions pas l'ensemble des solutions d'une équation 
			
			\begin{enumerate}[$\bullet$]
				
				\item en additionnant ou soustrayant n'importe quel nombre simultanément dans les deux membres de l'égalité,
				
				
				\item en multipliant ou en divisant par n'importe quel nombre non nul simultanément dans les deux membres de l'égalité.
				
			\end{enumerate}
		}
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Résolvons l'équation $(E):\ x^7+x+2=x^7$
		
		\medskip
		\objectif{Résolvons $(E)$ par analyse-synthèse.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item {\color{WildStrawberry}Phase d'analyse.}
			
			Supposons que $x$ est une solution de $(E)$.
			
			Nous avons successivement:
			
			\begin{align*}
				x^7x+2 {\color{orange}-x^7} &= 0 {\color{orange}-x^7}\\
				x+2 &= 0\\
				x+2 {\color{orange}-2} &= 0 {\color{orange}-2}\\
				x &=-2
			\end{align*}
			
			S'il y a une solution ce ne peut être que $-2$.
			
			\item {\color{WildStrawberry}Phase de synthèse.}
			
			$\color{RedViolet}-2$ est bien une solution: ${\color{RedViolet}(-2)}+2=0$.
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de $(E)$ est $\{ -2 \}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item Résolvons dans $\mathbb{Q}$ l'équation $(E):\ 3x+1+\sqrt{x}=5+\sqrt{x}$.
		
		\medskip
		\objectif{Résolvons $(E)$ par analyse-synthèse.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item {\color{WildStrawberry}Phase d'analyse.}
			
			Supposons que $x$ est une solution de $(E)$.
			
			Nous avons successivement:
			
			\begin{align*}
				3x+1 +\sqrt{x}{\color{orange}-\sqrt{x}} &= 5+\sqrt{x} {\color{orange}-\sqrt{x}}\\
				3x+1 &= 5
				3x+1 {\color{orange}-1} &= 5 {\color{orange}-1}\\
				3x &= 4\\
				\frac{3x} {\color{OliveGreen}3} &= \frac{4}{\color{OliveGreen}3}\\
				x &= \frac{4}{3}
			\end{align*}
			
			\item {\color{WildStrawberry}Phase de synthèse.}
			
			$\frac{4}{3}$ est bien une solution de $(E)$ et $\frac{4}{3} \in \mathbb{Q}$.
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de $(E)$ est $\{ \frac{4}{3} \}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item 
		
		\begin{notabene}
			
			Voici un exemple illustrant la nécessité de l'analyse-synthèse pour la résolution des équations.
			
		\end{notabene}
		
		Sachant que $x$ désigne une longueur résolvons l'équation $(E):\ 10=-2x+4$.
		
		\medskip
		\objectif{Résolvons le problème par analyse-synthèse.}
		
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item {\color{WildStrawberry}Phase d'analyse.}
			
			Supposons que $x$ est une solution de $(E)$.
			
			Nous avons successivement:
			
			\begin{align*}
				10 &= -2x+4\\
				10 {\color{orange}-4} &= -2x+4 {\color{orange}-4}\\
				6 &= -2x\\
				\frac{6} {\color{OliveGreen}-2} &= \frac{-2x}{\color{OliveGreen}-2}\\
				-3 &= x
			\end{align*}
			
			\item {\color{WildStrawberry}Phase de synthèse.}
			
			$-3$ ne peut être une solution à notre problème: c'est un nombre strictement négatif et ce n'est donc pas une longueur.
			
			\begin{notabene}
				
				Commencer à évoquer le problème des valeurs interdites.
				
				Retour historique sur le fait que les solutions négatives étaient autrefois des valeurs interdites.
				
			\end{notabene}
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions du problème est $\emptyset$.
			
		\end{conclusion}
		
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item La phase de synthèse est indispensable pour prendre en compte des valeurs interdites pour les solutions: valeurs interdites à cause de formules de calcul (cf infra) ou des contraintes contextuelles (par exemple le fait qu'une longueur est positive).
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsection{Algorithme de résolution algébrique des équations du premier degré.}

\subsubsection{Reconnaître une équation du premier degré.}

\begin{definition}
	
	Une \emph{\color{purple}équation du premier degré}  (ou équation polynomiale de degré $1$) est une équation qui peut s'écrire sous la forme \[ ax+b=0 \]
	avec $a$ et $b$ des nombres fixés et $x$ un nombre variable.
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Dans la pratique il faudra être capable de reconnaître diverses présentations d'équations linéaires mais aussi savoir reconnaître les équations qui ne sont pas linéaires (cf infra en exemples).
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $0=2x+1$ est une équation du premier degré.
		
		\item $-2x+\pi-4x=3x-7$ est une équation du premier degré.
		
		\item $1=0+1$ n'est pas une équation car il n'y a pas d'inconnue.
		
		\item $\frac{x+1}{2}=0$ est une équation du premier degré.
		
		\begin{notabene}
			
			Les équation linéaires sont formées de sommes de monômes $ax$ et $b$.
			
		\end{notabene}
		
		\item $x^2+2=3x$ n'est pas une équation du premier degré.
		
		\item $\sqrt{x+1}=4$ n'est pas une équation du premier degré.
		
		\item $\frac{x-1}{x+1}=4$ n'est pas une équation du premier degré.
		
		\item $(x+2)(x-3)=0$ n'est pas une équation du premier degré.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	Identifier les équations du premier degré parmi les suivantes.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $x+2-x^2=2x$.
		\task $3x-\sqrt{7}=4x$
		\task $7 (x-7)=7^2$.
		\task $2x-3=6-6x$.
		\task $3\sqrt{x}^2=27$.
		\task $2x \times 3+4=13+x$.
		\task $3x+4 = -7$.
		\task $\dfrac{3x+1}{3 \times 5} = \frac{4}{3}$.
		\task $0=2x+3$.
	\end{tasks}
		
\end{exercice}

\subsubsection{Identifier les termes en $x$ et les regrouper.}

\begin{lecon}
	
	Une équation linéaire est une somme de termes qui sont soit de la forme $ax$ soit de la forme $b$.
	
	Pour résoudre une équation linéaire nous rassemblerons tous les termes de la forme $ax$ dans un même membre de l'égalité.
	
\end{lecon}

\subsubsection{Isoler le $x$.}

\begin{notabene}
	
	Insister sur le côté déconstruire le calcul ou faire le programme de calcul à l'envers.
	
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	Une fois les deux précédentes étapes terminées (identifier une équation linéaire puis regrouper tous les termes de la forme $ax$ d'un côté), nous allons isoler le $x$ en déconstruisant le calcul.
	
	\begin{notabene}
		
		Nous allons remonter à l'envers le programme de calcul qui s'applique sur le $x$.
		
	\end{notabene}
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\medskip
	\begin{enumerate}
		\item Résolvons $(E):\ 2x+3=2$.
		
		{\color{orange}Voici la rédaction type dont nous userons pour résoudre des équations du premier degré. L'idée pour isoler le $x$ est de faire les calculs réciproques (contraires) de ceux qui s'appliquent à $x$: $\underbrace{\underbrace{2x}+3}$.
		
		Ou pour le dire autrement il faut faire le programme de calcul qui s'applique à $x$ à l'envers.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\def\p{-1};
				\def\r{1};
				\def\e{1};
				\coordinate (A11) at ({\p},{6});
				\node[draw] (A1) at (A11) {$x$};
				\coordinate (A21) at ({\p},{6-\e});
				\node[draw] (A2) at (A21) {$2x$};
				\draw[>=latex,->] (A1) -- (A2) node[midway,left]{$\times 2$};
				\coordinate (A31) at ({\p},{6-2*\e});
				\node[draw] (A3) at (A31) {$2x+3$};
				\draw[>=latex,->] (A2) -- (A3) node[midway,left]{$+3$};
				\coordinate (B11) at ({\r},{6});
				\node[draw] (B1) at (B11) {$x$};
				\coordinate (B21) at ({\r},{6-\e});
				\node[draw] (B2) at (B21) {$2x$};
				\draw[>=latex,<-] (B1) -- (B2) node[midway,left]{$\div 2$};
				\coordinate (B31) at ({\r},{6-2*\e});
				\node[draw] (B3) at (B31) {$2x+3$};
				\draw[>=latex,<-] (B2) -- (B3) node[midway,left]{$-3$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}}
		
		$(E)$ {\color{WildStrawberry}équivaut successivement à}:
		
		\begin{align*}
			2x+3 {\color{orange}-3} &= 2{\color{orange}-3}\\
			2x &= -1\\
			\frac{2x}{\color{orange}2} &= \frac{-1}{\color{orange}2}\\
			x &= -\frac{1}{2}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de $(E)$ est $\left\{ -\frac{1}{2} \right\}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		{\color{orange}Les équations linéaires ne présentent pas de difficultés (notamment pas de valeur interdite) nous pouvons donc les résoudre par équivalences plutôt que par analyse-synthèse.}
		
		\item L'équation $4x-1=3-x$ équivaut successivement à:
		
		\begin{align*}
			4x-1 {\color{orange}+x} &= 3-x {\color{orange}+x}\\
			5x+1 &= 3\\
			5x+1 {\color{orange}-1} &= 3 {\color{orange}-1}\\
			5x &= 2\\
			\frac{5x}{\color{orange}5} &= \frac{2}{\color{orange}5}\\
			x &= \frac{2}{5}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de l'équation est $\left\{ \frac{2}{5} \right\}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item {\color{orange}Lorsque les facteurs d'une équation produit nul sont tous du premier degré (comme des fonctions affines) alors il est aussi possible de raisonner par équivalences.}
		
		\medskip
		L'équation $(2x+1)(-x+2)=0$ équivaut successivement à:		
		\begin{align*}
			2x+1=0 \quad &\text{ou} \quad -x+2=0\\
			2x+1{\color{orange}-1}=0 {\color{orange}-1} \quad &\text{ou} \quad -x+2 {\color{orange}-2} = 0 {\color{orange}-2}\\
			2x=-1 \quad &\text{ou} \quad -x=-2\\
			\frac{2x}{\color{orange}2} = \frac{-1}{\color{orange}2} \quad &\text{ou} \quad \frac{-x}{\color{orange}-1}=\frac{-2}{\color{orange}-1}\\
			x=-\frac{1}{2} \quad &\text{ou} \quad x=2
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de l'équation est $\left\{ -\frac{1}{2} ; 2 \right\}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsubsection{Exercice.}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	Résolvez les équations du premier degré suivantes d'inconnue $x$:
	
	\begin{tabular}{m{5cm}m{0.5cm}m{5cm}}
		\begin{enumerate}
			\item $x+4=7$
			\item $3x=12$
		\end{enumerate}
		&&
		\begin{enumerate}
			\setcounter{enumi}{2}
			\item $-3x+4=13$
			\item $-3x+4 = 14x-7 $
		\end{enumerate}
		\\ \end{tabular}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item \objectif{Résolvons l'équation.}
		
		\begin{align*}
		x+4 &= 7\\
		\intertext{équivaut successivement à:}
		x+4 {\color{orange}-4} &= 7 {\color{orange}-4}\\
		x &= 3
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}= \{ 3 \}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Résolvons l'équation.}
		
		\begin{align*}
		3x &= 12\\
		\intertext{équivaut successivement à:}
		\frac{3x}{\color{orange}3} &= \frac{12}{\color{orange}3}\\
		x &= 4
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}= \{ 4 \}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Résolvons l'équation.}
		
		\begin{align*}
		-3x+4 &= 13\\
		\intertext{équivaut successivement à:}
		-3x+4 {\color{orange}-4} &= 13 {\color{orange}-4}\\
		-3x &= 9\\
		\frac{-3x}{\color{orange}-3} &= \frac{9}{\color{orange}-3}\\
		x &= -3
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}= \{ -3 \}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Résolvons l'équation.}
		
		\begin{align*}
		-3x+4 &= 14x-7\\
		\intertext{équivaut successivement à:}
		-3x+4 {\color{orange}-14x} &= 14x+7 {\color{orange}-14x}\\
		-17x+4 &= 7\\
		-17x+4 {\color{orange}-4} &= 7 {\color{orange}-4}\\
		-17x &= 3\\
		\frac{-17x}{\color{orange}-17} &= \frac{3}{\color{orange}-17}\\
		x &= -\frac{3}{17}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}= \left\{ -\frac{3}{17} \right\}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}


\begin{exercice}{\Bouquet}
	
	\begin{notabene}
		2ieme didier mathx 2010 page 96 exercices 67 jusqu'à 77.
		
	\end{notabene}
	
	Résolvez les équations du premier degré suivantes d'inconnue $x$:
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $2x-3=5$,
		\task $x+4=5x-2$,
		\task $3(x+1)=5x-1$,
		\task $-2(4-x)+1=2$,
		\task $\frac{2}{3}x=4$,
		\task $-3x=4$,
		\task $-6x=\frac{2}{3}$,
		\task $-\frac{t}{3}=2$,
		\task $2(3x-1)-5=x+1$,
		\task $-3x+4=2 \left( x+\frac{2}{5} \right)$,
		\task $3(x-2)-1=-2(x+4)$,
		\task $2(4-3x)=-(x+5)$,
		\task $2\left( \frac{x}{3}-1 \right)=x - \frac{1}{3}$,
		\task $\frac{x-5}{7}=-3$,
		\task $\frac{1}{4}x+\frac{1}{8}=-\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}$,
		\task $\frac{x-3}{2}=2x+1$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}
		\task $2x-3=5$, $\mathscr{S}=\{ 4\}$.
		\task $x+4=5x-2$, $\mathscr{S}=\left\{ \frac{3}{2} \right\}$.
		\task $3(x+1)=5x-1$, $\mathscr{S}=\left\{ 1 \right\}$.
		\task $-2(4-x)+1=2$, $\mathscr{S}=\left\{ \frac{5}{2} \right\}$.
		\task $\frac{2}{3}x=4$, $\mathscr{S}=\left\{ 6 \right\}$.
		\task $-3x=4$, $\mathscr{S}=\left\{ -\frac{4}{3} \right\}$.
		\task $-6x=\frac{2}{3}$, $\mathscr{S}=\left\{ \frac{-1}{9} \right\}$.
		\task $-\frac{t}{3}=2$, $\mathscr{S}=\left\{ -6 \right\}$.
		\setcounter{enumi}{8}
		\task $2(3x-1)-5=x+1$, $\mathscr{S}=\left\{ \frac{8}{5} \right\}$.
		\task $-3x+4=2 \left( x+\frac{2}{5} \right)$, $\mathscr{S}=\left\{ \frac{16}{25} \right\}$.
		\task $3(x-2)-1=-2(x+4)$, $\mathscr{S}=\left\{ -\frac{1}{5} \right\}$.
		\task $2(4-3x)=-(x+5)$, $\mathscr{S}=\left\{ \frac{11}{5} \right\}$.
		\task $2\left( \frac{x}{3}-1 \right)=x - \frac{1}{3}$, $\mathscr{S}=\left\{ -5 \right\}$.
		\task $\frac{x-5}{7}=-3$, $\mathscr{S}=\left\{ -16 \right\}$.
		\task $\frac{1}{4}x+\frac{1}{8}=-\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}$, $\mathscr{S}=\left\{ \frac{1}{4} \right\}$.
		\task $\frac{x-3}{2}=2x+1$,  $\mathscr{S}=\left\{ -\frac{5}{3} \right\}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Bouquet}
	
	Identifiez puis résolvez les équations linéaires parmi les équations d'inconnue $x$ suivantes:
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $x^2=3x-1$
		\task $-4x+2=10$
		\task $\sqrt{x}+1=3$
		\task $9x-1=2x-15$
		\task $\frac{1}{x}+3=1$
		\task $\frac{1}{3}=\frac{3x}{6}-7$
		\task $5x-7-x=4x$
		\task $\sqrt{7}x-2=-\pi$ 
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}Toutes les expressions qui ne ressemble pas à des formules algébriques de fonctions affines ne correspondent pas à des équations du premier degré. Concrètement, les expressions $\sqrt{x}$, $x^2$, $x^3$, ..., $\frac{1}{x}$ ne doivent pas apparaître.}
	
	\begin{tasks}
		\task Ce n'est pas une équation premier degré.
		\task C'est une équation premier degré et $\mathscr{S}=\{-2\}$.
		
		\task Ce n'est pas une équation premier degré.
		
		\task C'est une équation premier degré et $\mathscr{S}=\{ -2 \}$.
		
		\task Ce n'est pas une équation premier degré.
		
		\task Il s'agit bien d'une équation premier degré.
		
		\begin{align*}
		\frac{1}{3} &= \frac{3x}{6}-7\\
		\intertext{ce qui équivaut successivement à:}
		\frac{1}{3} &= \frac{3}{6}x-7\\
		\frac{1}{3} {\color{orange}+7} &= \frac{3}{6}x-7 {\color{orange}+7}\\
		\frac{22}{3} &= \frac{3}{6}x\\
		{\color{orange}\frac{6}{3} \times} \frac{22}{3} &= {\color{orange}\frac{6}{3} \times} \frac{3}{6}x\\
		\frac{22}{6} &= x\\
		\frac{2 \times 11}{2 \times 3} &= x
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de l'équation est $\mathscr{S}= \left\{ \frac{11}{3} \right\}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\task Il s'agit bien d'une équation premier degré.
		
		{\color{orange}Cependant la situation est un peu particulière comme le montre la résolution de cette équation.}
		
		\begin{align*}
		5x-7-x = 4x\\
		\intertext{équivaut successivement à:}
		4x - 7 &= 4x\\
		4x - 7 {\color{orange}-4x} &= 4x {\color{orange}-4x} \\
		-7 &= 0
		\end{align*}
		
		{\color{orange}Toute la difficulté est d'interpréter cette dernière égalité.
			
			Lorsque nous travaillons par équivalence toutes les phrases mathématiques écrites sont aussi vraies les unes que les autres. Or la dernière phrase que nous avons obtenue est, très clairement, fausse, donc la première est tout aussi fausse. Ainsi l'égalité proposée est toujours fausse, et ce, qu'elle que soit la valeur choisie pour $x$. Autrement dit il n'y a aucune solution.}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de l'équation est $\mathscr{S}= \emptyset$.
			
		\end{conclusion}		
		
		\task {\color{orange}La présence de $\sqrt{7}$ ou de $\pi$ ne doit pas effrayer: il s'agit juste de nombres.}
		
		C'est une équation premier degré et:
		
		\begin{align*}
		\sqrt{7}x -2 &= -\pi \\
		\intertext{équivaut successivement à:}
		\sqrt{7}x -2 {\color{orange}+2} &= -\pi {\color{orange}+2} \\
		\sqrt{7}x &= -\pi+2
		\frac{\sqrt{7}x}{\color{orange}\sqrt{7}} &= \frac{-\pi+2}{\color{orange}\sqrt{7}}\\
		x &= \frac{-\pi+2}{\sqrt{7}}
		\end{align*}
		
		{\color{orange}Et il n'y a pas d'écriture plus simple de ce nombre.}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de l'équation est $\mathscr{S}= \left\{ \frac{-\pi+2}{\sqrt{7}} \right\}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}


\subsubsection{Équation produit-nul.}


\begin{theoreme}
	
	Soient $a$ et $b$ deux quelconques nombres réels.
	
	\medskip
	$ab=0$ équivaut à dire que $a=0$ ou $b=0$.
	
\end{theoreme}

\begin{preuve}{\Coffeecup}
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item {\color{WildStrawberry}Condition nécessaire.}
		
		\begin{notabene}
			
			L'ensemble des nombres réels est un corps commutatif donc c'est une anneau intègre.
			
		\end{notabene}
		
		\objectif{Démontrons que si $ab=0$ alors forcément $a=0$ ou $b=0$ en raisonnant par l'absurde.}
		
		Supposons que $ab=0$ et que pourtant $a\ne 0$ et $b\ne0$.
		
		En utilisant la précédente proposition pour $b$ qui est inversible:
		
		\begin{align*}
		ab \times \frac{1}{b} &= 0 \times b\\
		\intertext{et donc:}
		a &= 0
		\end{align*}
		
		Ce qui est impossible puisque nous avons supposé que $a\ne 0$.
		
		\begin{conclusion}
			
			Nous avons démontré par l'absurde que si $ab=0$ alors, nécessairement, $a=0$ ou $b=0$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item {\color{WildStrawberry}Condition suffisante.}
		
		Découle trivialement du fait que $0$ est absorbant.
		
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item On peut formuler ce résultat de la façon suivante: pour qu'un produit soit nul il faut et il suffit que l'un des facteur (au moins) soit nul.
		
		\item Ce résultat se généralise à un produit de plus de deux facteurs.
		
		\item Cette proposition nous permettra à partir d'une équation complexe d'en obtenir plusieurs plus simples.
		
		\item Dire que: $\frac{a}{b}=0$ équivaut à dire que $a \times \frac{1}{b}=0$, ce qui équivaut encore à: $a=0$ et $b \ne 0$.
		
		\[ {\color{red}\varheartsuit}\ \color{WildStrawberry} \frac{a}{b}=0 \ \text{ si et seulement si }\ a=0 \ \text{et} \ b\ne 0. \]
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Résolvons l'équation $(E):\ \frac{x+3}{\pi}=0$.
		
		\medskip
		\objectif{Résolvons le problème par analyse-synthèse.}
		
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item {\color{WildStrawberry}Phase d'analyse.}
			
			Supposons que $x$ est une solution de $(E)$.
			
			Nous en déduisons successivement:
			
			\begin{align*}
			\frac{x+3}{\pi} &= 0 \\
			x+3 &= 0\\
			x+3 {\color{orange}-3} &= 0 {\color{orange}-3}\\
			x &= -3
			\end{align*}
			
			\item {\color{WildStrawberry}Phase de synthèse.}
			
			$-3$ est bien une solution de $(E)$.
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de $(E)$ est $\{ 3 \}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item Résolvons l'équation $(E):\ \frac{(x+3)(x+1)}{x+1}=0$.
		
		\medskip
		\objectif{Résolvons le problème par analyse-synthèse.}
		
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item {\color{WildStrawberry}Phase d'analyse.}
			
			Supposons que $x$ est une solution de $(E)$.
			
			Nous en déduisons successivement:
			
			\begin{align*}
			\frac{(x+3)(x+1}{x+1} &= 0 \\
			(x+3)(x+1) &= 0\\
			x+3 = 0 \quad &\text{ou} \quad x+1=0\\
			x+3 {\color{orange}-3} = 0 {\color{orange}-3} \quad &\text{ou} \quad x+1 {\color{orange}-1} = 0 {\color{orange}-1} \\
			x = -3 \quad &\text{ou} \quad x=-1
			\end{align*}
			
			\item {\color{WildStrawberry}Phase de synthèse.}
			
			$-3$ est bien une solution de $(E)$ par contre $-1$ est une valeur interdite {\color{WildStrawberry}(car annule le dénominateur)}.
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de $(E)$ est $\{ 3 \}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}


\begin{exercice}{\YinYang}
	
	Résolvez l'équation d'inconnue $x$: $(-3x+7)(4x-6)=0$
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}Nous reconnaissons une équation produit nul.}
	
	\medskip
	\objectif{Résolvons l'équation.}
	
	\begin{align*}
	(-3x+7)(4x-6) &= 0\\
	\intertext{équivaut successivement à:}
	-3x+7 = 0 \quad &\text{ou} \quad 4x-6=0\\
	-3x+7 {\color{orange}-7} = 0 {\color{orange}-7} \quad &\text{ou} \quad 4x-6 {\color{orange}+6} =0 {\color{orange}+6} \\
	-3x = -7 \quad &\text{ou} \quad 4x = 6 \\
	\frac{-3x}{\color{orange}-3} = \frac{-7}{\color{orange}-3} \quad &\text{ou} \quad \frac{4x}{\color{orange}4} = \frac{6}{\color{orange}4} \\
	x = \frac{7}{3} \quad &\text{ou} \quad x = \frac{2 \times 3}{2^2} \\
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		L'ensemble des solutions de l'équation est $\mathscr{S}=\left\{ \frac{7}{3} ;\ \frac{2}{3} \right\}$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	Résolvez l'équation d'inconnue $x$: $\displaystyle \frac{(x-3)(x+4)(x+4)}{(x+2)(x+4)(x-1)}=0$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}L'expression fractionnaire qui apparaît dans cette équation ne peut s'annuler que si son numérateur s'annule. Cependant nous allons devoir être prudent car son dénominateur comportant des $x$ il peut-y avoir des valeurs interdite. Ces valeurs interdites nous obligent à abandonner le raisonnement par équivalence et adopter le raisonnement par analyse-synthèse.}
	
	\medskip
	\objectif{Déterminons par analyse-synthèse l'ensemble des solutions de cette équation.}
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item {\color{orange}Analyse.}
		
		Supposons que le nombre $x$ soit une solution de l'équation.
		
		Alors forcément, l'expression étant fractionnaire, son numérateur doit être nul:
		
		\begin{align*}
		(x-3)(x+4)(x+4) &= 0
		\intertext{\color{orange}Nous reconnaissons une équation produit-nul.}
		\intertext{La précédente équation équivaut successivement à:}
		x-3=0 \quad \text{ou} \quad x+4=0 \quad  &\text{ou}\quad x+4=0\\
		x=3 \quad \text{ou} \quad x=-4 \quad  &\text{ou}\quad x=-4 \\
		\end{align*}
		
		Nous voyons que, forcément, $x$ ne peut être que l'un de ces deux nombres: $3$ ou $-4$.
		
		\item {\color{orange}Synthèse.}
		
		{\color{orange}En phase d'analyse nous avons vu qu'il n'y a que deux solutions possibles. Il faut maintenant vérifier que ce sont effectivement des racines.}
		
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
			\item Vérifions que $3$ est bien une solution.
			
			\begin{align*}
			\frac{(3-3)(3+4)(3+4)}{(3+2)(3+4)(3-1)} &= \frac{0 \times 7 \times 7}{5 \times 7 \times 2}\\
			&= 0
			\end{align*}
			
			\item Par contre $-4$ n'est pas une solution car sinon le dénominateur de l'expression fractionnaire s'annule. $-4$ est une valeur interdite.
			
		\end{enumerate}
		
		Ainsi une seule des deux solutions convient.
		
	\end{enumerate}
	
	\begin{conclusion}
		
		L'ensemble des solutions de l'équation est $\mathscr{S}= \left\{ 3 \right\}$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	Résolvez l'équation d'inconnue $x$: \[ \frac{3x+2}{7x-1}=2.\]
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}Avec le produit en croix on perd l'équivalence. Il faut donc procéder à un raisonnement par analyse-synthèse qui est plus long.}
	
	\begin{enumerate}[*]
		
		\item Supposons qu'on ait réussi à trouver un nombre $x$ tel que $\frac{3x+2}{7x-1}=2$, alors $3x+2=2(7x-1)$.
		
		Cette dernière équation équivaut successivement à:
		
		\begin{align*}
		3x+2 &= 2 \times 7x-2 \times 1\\
		3x+2 &= 14x-2
		\end{align*}
		
		Si $x$ est une solution de l'équation alors forcément $x=\frac{4}{17}$.
		
		\item Vérifions que la seule solution possible est vraiment une solution:
		
		\begin{align*}
		\frac{3 \times \frac{4}{17}+2}{7 \times \frac{4}{17}-1} &= 2
		\end{align*}
		
	\end{enumerate}
	
	\begin{conclusion}
		
		L'ensemble des solutions de l'équation est $\mathscr{S}= \left\{ \frac{4}{17} \right\}$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\subsection{Exercices.}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	\begin{notabene}
		
		Petit rappels sur les images et antécédents qui ot été vus avec les fonction affines au collège.
		
	\end{notabene}
	
	Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par: $f(x)=\sqrt{3}x-1$ pour tout $x\in \mathbb{R}$.
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Calculez l'image de $\sqrt{3}$ par la fonction $f$.
		
		\item Déterminez les antécédents de $-7$ par la fonction $f$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		\begin{align*}
		f(x) &= \sqrt{3}x-1\\
		f(\sqrt{3}) &= \sqrt{3} \times \sqrt{3} -1\\
		&=2
		\end{align*}
		\item Les antécédents de $-7$ par la fonction $f$ sont les nombres $x$ tels que: $f(x)=-7$.
		
		Résolvons cette dernière équation ({\color{orange} qui est premier degré et donc se résout en isolant le $x$}). 
		\begin{align*}
		f(x)=-7 & \Leftrightarrow \sqrt{3}x-1=-7\\
		&\Leftrightarrow \sqrt{3}x-1{\color{orange}+1}=-7{\color{orange}+1}\\
		&\Leftrightarrow \sqrt{3}x = -6\\
		&\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}x}{\sqrt{3}}=\frac{-6}{\sqrt{3}}\\
		&\Leftrightarrow x=-\frac{6}{\sqrt{3}}\\
		\intertext{\color{orange}Et en présentant élégamment:}
		f(x)=-7 & \Leftrightarrow x=2\sqrt{3}
		\end{align*}
		
		L'ensemble des antécédents de $-7$ par $f$ est donc $\{ 2\sqrt{3} \}$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{notabene}
	
	Petits problème deux de géométrie faisant intervenir uniquement du premier degré: manuels troisième et seconde.
	
	Un problème de physique de seconde.
	
\end{notabene}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	\noindent 
	\begin{tabular}{m{4cm}m{2cm}m{4cm}}
		
		Trouver $x$ pour que le triangle $ABC$ soit rectangle en $A$.
		
		&&
		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (3,0);
		\coordinate (C) at (0,4);
		\draw (A) node[below] {$A$};
		\draw (B)node[below] {$B$};
		\draw (C)node[above] {$C$};
		\draw (1.5,-0.5) node{$12$};
		\draw (2.2,2.2)node {$x$};
		\draw (-2,2)node {$(x-8)$};
		\draw[blue, thick](A)--(B)--(C)--(A);	
		\end{tikzpicture}
		
		\\
	\end{tabular}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$ABC$ est rectangle en $A$ si et seulement si $AB^2+AC^2=BC^2$, d'après le théoreme de Pythagore.
	
	Autrement dit il faut et il suffit que: ${\color{red}(x-8)^2}+{\color{violet}12^2}=x^2$.
	
	Cette dernière équation équivaut successivement à:
	\begin{align*}
	{\color{red}x^2-2 \times x\times 8 +8^2}+{\color{violet} 144}&=x^2 \\
	{\color{red}x^2-16x+64}+{\color{violet}144} &= x^2\\
	\intertext{\color{orange}En se ramenant à une égalité à $0$:}
	x^2-16x +208{\color{orange}-x^2} &=x^2{\color{orange}-x^2}\\
	-16x+208&=0\\
	\intertext{\color{orange}Nous reconnaissons une équation premier degré:}
	-16x+208 {\color{orange}-208} &= 0 {\color{orange}-208} \\
	-16x = -208 \\
	\frac{-16x}{-16} &= \frac{-208}{-16}\\
	x &= 13
	\end{align*}
	
	$ABC$ est rectangle en $A$ si et seulement si $x=13$.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	Déterminez l'ensemble des valeurs interdites pour le calcul défini pour $x$ réel par \[ \frac{\sqrt{x}}{2x-3} \]
	
\end{exercice}

\begin{correction}
	
	Il faut utiliser le fait q'une racine carrée s'applique uniquement à un nombre positif et qu'un quotient ne peut avoir un dénominateur nul.
	
\end{correction}

\begin{exercice}{\Bouquet}
	
	Résolvez l'équation \[ \frac{2x-4}{x}=3 \]
	
\end{exercice}

\begin{correction}
	\begin{exercicecorrection}
		
		{\color{orange}L'expression \og résolvez dans $\mathbb{R}$ signifie que nous garderons que les solutions qui sont dans $\mathbb{R}$.}
		
		\medskip
		{\color{orange}Il y a deux manipulations possibles: en se ramenant à une expression fractionnaire nulle ou en utilisant le produit en croix.}
		
		\medskip
		\objectif{Résolvons dans $\mathbb{R}$ l'équation par analyse-synthèse.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item {\color{orange}Analyse.}
			
			Si $x \in \mathbb{R}$ est une solution de l'équation, alors nous en déduisons successivement:
			
			\begin{align*}
			\frac{2x-4}{x} &= 3\\
			\frac{2x-4}{x} {\color{orange}-3} &= 3 {\color{orange}-3}\\
			\frac{2x-4}{x} -\frac{3 {\color{orange}x}}{\color{orange}x} &= 0\\
			\frac{2x-4-3x}{x}  &= 0\\
			\frac{-x-4}{x}  &= 0\\
			-x-4 &= 0\\
			-x-4 {\color{orange}+4} &= 0 {\color{orange}+4}\\
			-x &= 4\\
			-x {\color{orange} \times (-1)} &= 4 {\color{orange} \times (-1)}\\
			x &= -4
			\end{align*}
			
			ou manipulation alternative utilisant le produit en croix:
			
			\begin{align*}
			\frac{2x-4}{x} &= 3\\
			\frac{\color{violet}2x-4}{\color{purple}x} &= \frac{\color{red}3}{\color{orange}1}\\
			({\color{violet}2x-4}) \times ({\color{orange}1}) &= ({\color{red}3}) \times ({\color{purple}x})\\
			2x-4 &= 3x\\
			2x-4 {\color{orange}-2x} &= 3x {\color{orange}-2x}\\
			-4 &= x
			\end{align*}
			
			\item {\color{orange}Synthèse.}
			
			Nous avons vu (dans la phase d'analyse) qu'il ne peut y avoir qu'une seule solution à savoir $-4$.
			
			Or 
			
			\begin{align*}
			\frac{2 \times {\color{orange}(-4)}-4}{\color{orange}-4} &= 3
			\end{align*}
			
			donc $-4$ est bien une solution de l'équation.
			
			{\color{orange}Ici nous aurions pu avoir une difficulté si la solution trouvée avait été une valeur interdite.}
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de l'équation est: \[ \mathscr{S} = \{ -4 \}. \]
			
		\end{conclusion}
		
	\end{exercicecorrection}
\end{correction}

\begin{exercice}{\Bouquet}
	
	Dans une assemblée, quarante personnes ont plus de $40$ ans, un quart a entre $30$ et $40$ ans et un tiers a moins de $30$ ans. Quel est le nombre de personnes de cette assemblée?
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange} Le plus souvent (en seconde) l'inconnue qu'il est pertinent d'introduire est la grandeur recherchée.}
	
	\medskip
	Notons $x$ le nombre de personnes dans l'assemblée.
	
	L'énoncé se traduit alors par l'égalité: \[ 40+\frac{1}{4}x+\frac{1}{3}x=x \]
	
	Il s'agit d'une équation premier degré dont l'unique solution est $96$.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Bouquet}
	
	Deux trains partent à $4\ \mathrm{h}$ du matin, l'un de la ville $A$ vers la ville $B$, et l'autre de la ville $B$ située à $315\ \mathrm{km}$ de $A$ en direction de la ville $A$. À quelle heure se fera la rencontre, sachant que le premier roule à $90\ \mathrm{km}\cdot \mathrm{h}^{-1}$ et le second à $120\ \mathrm{km}\cdot \mathrm{h}^{-1}$?
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	Notons $x$ le temps, en heures, mis par les deux trains pour se croiser.
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (A) at (0,0);
	\coordinate (B) at (6,0);
	\coordinate (C) at (2,0);
	\draw (A) node {$\bullet$};
	\draw (B)node {$\bullet$};
	\draw (C)node {$\bullet$};
	\draw (A)node[below]{$A$};
	\draw (B)node[below]{$B$};
	\draw (C)node[below]{$C$};
	\draw[blue, thick](A)--(B);
	\draw(3,1) node[black]{$315$};
	\draw(1,-1) node[black]{$90x$};
	\draw(4,-1) node[black]{$120x$};	
	\draw[black, >=latex,<->](0,0.5)--(6,0.5);
	\draw[black, >=latex,<->](0,-0.5)--(2,-0.5);
	\draw[black, >=latex,<->](2,-0.5)--(6,-0.5);
	\end{tikzpicture}
	
	La distance parcourue par le train partant de $A$ au moment du croisement est (en fonction de $x$) $90 x$.
	
	La distance parcourue par le train partant de $B$ au moment du croisement est (en fonction de $x$) $120 x)$.
	
	Ainsi $x$ doit vérifier l'équation \[ 90x+120x=315 \]
	Il s'agit d'une équation premier degré dont l'unique solution est $x=1,5$.
	
	Autrement dit les trains se croisent à 5 h 30.
	
\end{exercicecorrection} 

\begin{exercice}{\Bouquet}
	
	Un litre d'une boisson contient $7\ \%$ de sirop. Quel volume d'eau pure doit-on rajouter pour qu'un litre de cette nouvelle boisson contienne $5\ \%$ de sirop?
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\objectif{Déterminons le volume d'eau à rajouter.}
	
	Notons $x$ le volume, exprimé en litre, d'eau pure rajouté dans la boisson.
	
	\begin{notabene}
		
		Faire un schéma de la boisson après mélange.
		
	\end{notabene}
	
	Après mélange la boisson est composée de $\frac{7}{100}\times 1=0,07\ \mathrm{L}$ de sirop, de $1-0,07=0,93\ \mathrm{L}$ d'eau et de $x$ litres d'eau.
	
	On souhait que le mélange contienne $5\ \%$ de sirop donc: 
	
	\begin{align*}
	\frac{0,07}{0,07+0,93+x} & = \frac{5}{100}\\
	\intertext{ce qui équivaut successivement à}
	\frac{0,07}{1+x} & = \frac{5}{100}\\
	\intertext{Puisque $x+1\ne 0$ {\color{orange}( utilisation du produit en croix)}:}
	0,07 \times 100 &= (1+x) \times 5\\
	7 &= 5+5x\\
	7-5 &=5+5x-5\\
	2 &= 5x\\
	\frac{2}{5} &= x
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		Pour que la nouvelle boisson contienne $5\ \%$ de sirop il faut rajouter $0,4\ \mathrm{L}$.
		
	\end{conclusion}
	
	\medskip
	Autre façon de raisonner: la quantité de sirop avant et après remplissage est la même donc: \[ \frac{7}{100}\times 1 = \frac{5}{100} \times (x+1) \]
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	Quel est le rayon d'un disque dont l'aire égale le périmètre?
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}Remarquons que ce problème n'a pas de sens pour un physicien puisque l'aire et le périmètre ont des dimensions différentes.}
	
	\medskip
	Deux méthodes de résolution: par disjonction des cas ou par résolution de l'équation en factorisant.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Radioactivity}
	
	\emph{Problème publié dans le \emph{Liber Abaci} (1202) par Léonard de Pise dit Fibonacci.}
	
	\medskip
	Deux tours élevées l'une de $30 $ pas, l'autre de $40$ sont distantes de $50$ pas; entre les deux se trouve une fontaine vers le centre de laquelle deux oiseaux descendant des sommets des deux tours se dirigent du même vol et parviennent dans le même temps. Quelles sont les distances horizontales du centre de la fontaine aux deux tours?
	
	\bigskip
	
	\noindent \begin{tabular}{m{4.5cm}m{1cm}m{4.5cm}}
		
		L'apport principal de \emph{Léonard de Pise} ( dit \emph{\color{purple}Fibonacci}) fut l'introduction de la numération décimale dans le traité de comptabilité \emph{Liber abaci}  alors que l'Europe utilise encore les chiffres romains.
		
		\medskip
		Son nom est resté célèbre jusqu'à nos jours grâce à une suite de nombres qui porte son nom et qui est associée au nombre d'or. Chaque terme de la suite de Fibonacci, qui commence par $0$ puis $1$, est la somme des deux précédents.
		
		Cette suite est souvent évoquée dans des thématiques ésotérique ou esthétique (comme le roman \emph{Da Vinci code}).
		
		&&
		
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=0.25]{2ieme_algebre_02_equations_du_premier_degre_01_fibonacci.jpg}
		\end{center}
		
		\\ \end{tabular}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Radioactivity}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 137 page 154 du manuel 3ieme istra irem strasbourg 1980.
		
	\end{notabene}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
	\def\SO{20};
	\def\OA{5};
	\def\RS{5};
	\def\RT{\RS *\OA /(\SO +\OA)};
	\coordinate (S) at (0,0);
	\coordinate (O) at ({\SO},0);
	\coordinate (A) at ({\SO +\OA},0);
	\coordinate (B) at ({\SO},{\RT});
	\coordinate (B1) at ({\SO},{-\RT});
	\coordinate (C) at (0,{\RS});
	\coordinate (C1) at (0,{-\RS});
	\draw (S) node[below left]{$S$};
	\draw (S) node{$\times$};
	\draw (O) node[below left]{$O$};
	\draw (O) node{$\times$};
	\draw (A) node[right]{$A$};
	\draw (A) node{$\times$};
	\draw (B) node[above]{$B$};
	\draw (B) node{$\times$};
	\draw (C) node[above]{$C$};
	\draw (C) node{$\times$};
	\draw (S)--(A)--(C)--(S);
	\draw(O)--(B);
	\draw[samples=100,domain=0:360] plot({\RS *cos(\x)},{\RS *sin(\x)});
	\draw(-2,2)node[fill=white]{Soleil};
	\draw[samples=100,domain=0:360] plot({\SO +\RT *cos(\x)},{\RT *sin(\x)});
	\draw({\SO -2},{-\RT-2})node[fill=white]{Terre};
	\draw[dashed](S)--(C1);
	\draw[dashed](O)--({\SO},{-\RS});
	\draw[>=latex,<->](0,{\RT -\RS})--({\SO},{\RT -\RS})node[midway,fill=white]{$\np{149600000}\ \mathrm{km}$};
	\fill[color=gray , opacity=0.5] (B)--(B1)--(A)--cycle;
	\draw({\SO +\OA},{2})node[fill=white]{Cône d'ombre};
	\end{tikzpicture}
	
	\begin{enumerate}
		\item La distance moyenne Soleil-Terre (calculée de centre à centre) est de $\np{149600000}\ \mathrm{km}$.
		
		Le rayon du soleil est de $\np{696000}\ \mathrm{km}$, celui de la Terre de $\np{6360}\ \mathrm{km}$.
		
		Démontrez que la hauteur $OA$ du cône d'ombre situé derrière la Terre est de $\np{1379642}\ \mathrm{km}$ par valeur approchée à l'unité près par excès.
		
		\item Calculez le volume du cône d'ombre de sommet $A$ et dont la base est formé par le disque de rayon $OB$.
		
		\item La distance moyenne Terre-Lune (calculée de centre à centre) est de $\np{382000}\ \mathrm{km}$. Le rayon de la lune est de $\np{1738}\ \mathrm{km}$
		Étudiez la possibilité d'éclipses totales de la Lune en période de pleine lune.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Bouquet ~ Partie 1.}
	
	\begin{notabene}
		brevet 97 page 98
	\end{notabene}
	
	\emph{Dans tous l'exercice l'unité est le mètre.}
	
	\begin{enumerate}
		\item Un moulin à vent est constitué d'un cylindre surmonté d'un cône de révolution.
		
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=0.4]{2ieme_algebre_02_equations_du_premier_degre_02_moulin_1.png}
		\end{center}
		
		Le cylindre et le cône ont la même hauteur $h$ et une base commune de centre $O$ et de rayon $R$.
		
		\begin{enumerate}
			\item Exprimez le volume du cylindre et du cône en fonction de $R$ et de $h$.
			
			\item Déduisez-en que le volume du moulin est égale à $\displaystyle \frac{4\pi R^2h}{3}$.
			
			\item On donne $R=3$ et $h=5$. Calculez la valeur arrondie à $1\ \mathrm{m}^3$ de ce volume.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\setcounter{Exercice}{\theExercice-1}
\begin{exercice}{\Bouquet ~ Partie 2.}
	
	\begin{notabene}
		brevet 97 page 98
	\end{notabene}
	
	\begin{enumerate}
		\setcounter{enumi}{1}
		\item Les ailes du moulin sont représentées par la région grisée ci-dessous.
		
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=0.4]{2ieme_algebre_02_equations_du_premier_degre_03_moulin_2.png}
		\end{center}
		
		$ABCD$ est un carré de  centre $O$ et de $12$ mètres de côté. Les triangles $OMN$, $OPQ$, $ORS$ et $OUT$ sont isocèles en $O$. On pose $MN=x$.
		
		\begin{enumerate}
			\item Exprimez en fonction de $x$ l'aire du triangle $OMN$. Déduisez-en que l'aire des ailes du moulin est égale à $144-12x$.
			
			\item Déterminez la valeur de $x$ pour laquelle l'aire des ailes est égale à $36\ \mathrm{m}^2$.
			
			\item On suppose que $x=9$.
			
			\begin{enumerate}
				\item Calculez $OM$.
				
				\item Montrez que le périmètre des ailes du moulin est égale à $72\ \mathrm{m}$.
				
			\end{enumerate}
			
		\end{enumerate}
		
		\item Dans cette question on suppose que $x=9$.
		
		On a réalisé une maquette de ce moulin au $1/20$. Calculez
		
		\begin{enumerate}
			\item le périmètre des ailes de la maquette,
			
			\item l'aire des ailes de la maquette,
			
			\item le volume de la maquette du moulin, en utilisant le résultat du 1.c et en donnant la réponse en $\mathrm{m}=^3$ arrondie au millimètre.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Radioactivity}
	
	\begin{notabene}
		
		Sujet 3 de CRPE 2017 exercice 1 partie C question 1: équation du second degré avec du Pythagore se ramenant à du premier degré. À déplacer éventuellement vers une leçon de second degré.
		
	\end{notabene}
	
	\emph{Extrait du C.R.P.E. 2017 (concours de recrutement des professeurs des écoles).}
	
	\medskip
	\textbf{Péniche et pont.}
	
	\medskip
	
	Un pont a une arche en forme d'arc de cercle.
	
	Lors d'une crue, l'eau atteint les sommets $A$ et $B$ des piliers du pont.
	
	La hauteur maximale $IC$ entre le niveau de l'eau et le sommet de l'arche est alors de $5$ mètres. L'écartement $AB$ entre les deux piliers du pont est de $24$ mètres.
	
	La situation est modélisée par le schéma suivant, qui n'est pas à l'échelle, sur lequel $O$ est le centre de l'arc de cercle $\overset{\frown}{AB}$ et $(CO)$ est l'axe de symétrie de la figure.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.4]
		\def\l{24/4};
		\def\cd{3};
		\def\an{90-atan(\l /5)};
		\def\rayon{sqrt((\l)*(\l)+ 25)};
		\coordinate (O) at (0,0);
		\coordinate (I) at (0,5);
		\coordinate (J) at (0,{-\cd});
		\coordinate (A) at ({-\l},5);
		\coordinate (B) at ({\l},5);
		\coordinate (C) at (0,{\rayon});
		\coordinate (E) at ({\l},{-\cd});
		\coordinate (D) at ({-\l},{-\cd});
		\draw (O) node{$\times$};
		\draw (O) node[above right]{$O$};
		\draw (I) node{$\times$};
		\draw (I) node[below right]{$I$};
		\draw (A) node{$\times$};
		\draw (A) node[above left]{$A$};
		\draw (B) node{$\times$};
		\draw (B) node[above right]{$B$};
		\draw (C) node{$\times$};
		\draw (C) node[above right]{$C$};
		\draw (D)--(A)--(B)--(E);
		\draw (O)--(0,{\l+4});
		\draw[dashed][samples=100,domain={-\l}:0] plot(\x,{-tan(\an)*\x});
		\draw[samples=100,domain={\an}:{180-(\an)}] plot({\rayon * cos(\x)},{\rayon*
			sin(\x )});
		\draw (-5,10)node{Niveau de l'eau};
		\draw[>=latex,->] (-5,9.5)--({-\l /2},5);
		\draw (5,10)node{Arche du pont};
		\draw[>=latex,->] (5,9.5)--({\rayon * cos(70)},{\rayon* sin(70 )});
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		Montrer que le rayon $OA$ de l'arche est $16,9\ \mathrm{m}$.
		
	\end{enumerate}
	
	On assimile la coupe de la partie émergée d'une péniche, vue de face, à un rectangle de $4$  mètres de haut et de $12$ mètres de large.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}
		\coordinate (E) at (0,0);
		\coordinate (F) at (0,2);
		\coordinate (G) at (5,2);
		\coordinate (H) at (5,0);
		\fill[gray!30] (E)--(F)--(G)--(H)--(E);
		\draw (E)--(F)--(G)--(H)--(E);
		\draw (-2,0)--(E);
		\draw (7,0)--(H);
		\draw (E) node[below left]{$E$};
		\draw (F) node[above left]{$F$};
		\draw (G) node[above right]{$G$};
		\draw (H) node[below right]{$H$};
		\draw(2.5,1)node{\textbf{Péniche}};
		\draw(7,1)node{\footnotesize Surface de l'eau};
		\draw[>=latex,->](7,0.8)--(6,0);
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	La situation est modélisée par le schéma ci-dessus, qui n'est pas à l'échelle	sur lequel on a $EH=12\ \mathrm{m}$ et $FE=4\ \mathrm{m}$.
	
	\begin{enumerate}
		\setcounter{enumi}{1}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Cette péniche peut-elle passer sous l'arche du pont sans dommages? Justifier.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{correction}
	\begin{exercicecorrection}
		
		\begin{enumerate}
			\item 
			
			\objectif{Déterminons $OA$.}
			
			Puisque $(CO)$ est l'axe de symétrie de la figure, $AIO$ est rectangle en $I$.
			
			Donc, d'après le théorème de Pythagore: $AO^2=OI^2+IA^2$.
			
			Ce qui équivaut successivement à:
			
			\begin{align*}
			OA^2 &= \left( OA-IC \right)^2+ \left( \frac{AB}{2} \right)^2\\
			OA^2 &= \left( OA-5 \right)^2+ \left( \frac{24}{2} \right)^2\\
			OA^2 &= OA^2-2 \times OA \times 5 +5^2+ 12^2\\
			OA^2 &= OA^2-10\cdot OA +169\\
			OA^2 &= OA^2-2 \times OA \times 5 +5^2+ 12^2\\
			OA^2 {\color{orange}-OA^2} &= OA^2-10\cdot OA +169  {\color{orange}-OA^2}\\
			0 &= -10\cdot OA +169\\
			0 {\color{orange}10 \cdot OA} &= -10 \cdot OA +169 {\color{orange}10 \cdot
				OA}\\
			10\cdot OA &= 169\\
			\frac{10\cdot OA}{\color{orange}10} &= \frac{169}{\color{orange}10}\\
			OA &= 16,9
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$OA=16,9\ \mathrm{m}$
				
			\end{conclusion}
			
			\item 
			
			Notons $M$ le point appartenant à $[AI]$ tel que $MI=6$, $N$ le point de l'arche du pont situé à la verticale de $M$ et $P$ le point de $[NM)$ tel que $ONP$ soit un triangle rectangle en $P$.
			
			\begin{center}
				
				\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
				\def\l{24/4};
				\def\lM{12/4};
				\def\cd{3};
				\def\an{90-atan(\l /5)};
				\def\rayon{sqrt((\l)*(\l)+ 25)};
				\coordinate (O) at (0,0);
				\coordinate (I) at (0,5);
				\coordinate (J) at (0,{-\cd});
				\coordinate (A) at ({-\l},5);
				\coordinate (B) at ({\l},5);
				\coordinate (C) at (0,{\rayon});
				\coordinate (E) at ({\l},{-\cd});
				\coordinate (D) at ({-\l},{-\cd});
				\coordinate (M) at ({-\lM},5);
				\coordinate (N) at ({-\lM},{sqrt(\rayon*\rayon-\lM*\lM)});
				\coordinate (P) at ({-\lM},0);
				\draw (O) node{$\times$};
				\draw (O) node[above right]{$O$};
				\draw (I) node{$\times$};
				\draw (I) node[below right]{$I$};
				\draw (A) node{$\times$};
				\draw (A) node[above left]{$A$};
				\draw (B) node{$\times$};
				\draw (B) node[above right]{$B$};
				\draw (C) node{$\times$};
				\draw (C) node[above right]{$C$};
				\draw (M) node{$\times$};
				\draw (M) node[below left]{$M$};
				\draw (M) node{$\times$};
				\draw (N) node[above left]{$N$};
				\draw (P) node{$\times$};
				\draw (P) node[below left]{$P$};
				\draw (D)--(A)--(B)--(E);
				\draw[densely dashed](P)--(O)--(N)--(P);
				\draw (O)--(0,{\l+4});
				\draw[dashed][samples=100,domain={-\l}:0] plot(\x,{-tan(\an)*\x});
				\draw[samples=100,domain={\an}:{180-(\an)}] plot({\rayon * cos(\x)},{\rayon*
					sin(\x )});
				\draw ({-\lM},0.5)--({-\lM+0.5},0.5)--({-\lM+0.5},0);
				\end{tikzpicture}
				
			\end{center}
			
			\medskip
			\objectif{Déterminons $MN$.}
			
			$NOP$ est un triangle rectangle en $P$ donc, d'après le théorème de Pythagore,	\[ NP^2+PO^2= ON^2 \]
			
			Donc:
			
			\begin{align*}
			NP^2 &= OA^2- 6^2\\
			&= 16,9^2-6^2\\
			\intertext{$NP$ étant une longueur donc positive:}
			NP &= \sqrt{16,9^2-6^2}\\
			&= \sqrt{249,61}
			\end{align*}
			
			Nous en déduisons la hauteur
			
			\begin{align*}
			MN &= NP-PM\\
			&= NP-OI\\
			&= \sqrt{249,61}- \left( OA-CI \right)\\
			&= \sqrt{249,61} -( 16,9-5)\\
			&= \sqrt{249,61}- 11,9\\
			&\approx 3,899
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				La péniche ne pourra pas passer sous l'arche sans dommage.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{exercicecorrection}
	
\end{correction}


\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}