%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
%\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{Blue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{Blue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{RoyalBlue}}{}

\newenvironment{remarques}{\color{Black!80}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. #1} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}
	
}{~\newline}

\newenvironment{exerciceapplication}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Application.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

\newenvironment{concours}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Concours.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

\newenvironment{recherche}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill { \color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Recherche.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration #1} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 
	
}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/1ieme.html}{Radians, valeurs remarquables de sinus et cosinus.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{details}
\exclure{bareme}
\exclure{notabene}
%\exclure{exercicecorrection}\exclure{correction}
%\exclure{preuve}\exclure{corollaire}\exclure{lemme}\exclure{proposition}\exclure{theoreme}\exclure{culturegenerale}\exclure{remarques}\exclure{exemples}\exclure{definition}\exclure{lecon}
%\exclure{sujet}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Radians, valeurs remarquables de sinus et cosinus.}

\subsection{Radians.}

\subsubsection{Cercle trigonométrique.}

\begin{sujet}
	
	Diapositives: \href{http://unemainlavelautre.net/1ieme/1ieme_trigonometrie_01_radians_valeurs_remarquables_de_sinus_et_cosinus_01_diapositive.pdf}{(pdf)} et \href{http://unemainlavelautre.net/1ieme/1ieme_trigonometrie_01_radians_valeurs_remarquables_de_sinus_et_cosinus_01_diapositive.tex}{(tex)}.
	
\end{sujet}

\begin{notabene}
	
	Il y a diverses raisons qui ont amené à abandonner au fur et à mesure les mesures d'angles en degré. Nous en verrons plus tard. Pour l'instant découvrons cette nouvelle façon de faire.
	
\end{notabene}

\begin{correction}
	
	Les degrés représentent une proportion de disque. $30\degres$ c'est $30$ parts du gâteau découpé en $360$ morceaux. Si bien qu'en tant que proportion une mesure d'angle n'a pas d'unité.
	
	\begin{center}
		
	\begin{tikzpicture}[xscale=5,yscale=5]
	%Grand cercle
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:180] plot({cos(\x)},{sin(\x)});
	%Petit cercle
	\def\coefreduc{0.7};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:180] plot({\coefreduc*cos(\x)},{\coefreduc*sin(\x)});
	%Graduation de en 1 en 1
	\def\lt{0.1};
	\foreach \thet in {0,1,...,180} \draw[thin,gray] ({(1-\lt/2)*cos(\thet)},{(1-\lt/2)*sin(\thet)}) -- ({cos(\thet)},{sin(\thet)});
	%Graduation de 5 en 5
	\def\lr{0.15};
	\foreach \thet in {0,5,...,180} \draw[black] ({(1-\lr/2)*cos(\thet)},{(1-\lr/2)*sin(\thet)}) -- ({cos(\thet)},{sin(\thet)});
	%Graduation de 10 en 10
	\def\lp{0.2};
	\foreach \thet in {0,10,...,180} \draw[thick,black] ({(1-\lp/2)*cos(\thet)},{(1-\lp/2)*sin(\thet)}) -- ({cos(\thet)},{sin(\thet)})	;
	%Nombres
	\def\lc{0.3};
	\foreach \thet in {0,10,...,180} \draw[black] ({(1-\lc/2)*cos(\thet)},{(1-\lc/2)*sin(\thet)}) node[sloped,rotate={\thet}]{\tiny \thet\degres};
	%Finition rapporteur
	\draw[blue,very thick] (-1,0) -- (-1,{-\lt}) -- ({-\coefreduc},{-\lt}) -- ({-\coefreduc},0);
	\draw[blue,very thick] (1,0) -- (1,{-\lt}) -- ({\coefreduc},{-\lt}) -- ({\coefreduc},0);
	\draw[black] (0,0) node {$\bullet$};
	\draw[dashed,black] ({-\coefreduc},0) -- ({\coefreduc},0);
	%Part de 30 degres
	\fill[color=OliveGreen , opacity=0.40] (0,0) -- plot [domain=0:30] ({cos(\x)},{sin(\x)}) -- cycle;
	\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Pour mesurer un angle nous allons nous ramener à une unité du système international, à savoir, le mètre: nous allons mesurer la longueur de l'arc de cercle correspondant à l'angle.
	
	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=5,yscale=5]
	%Grand cercle
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:180] plot({cos(\x)},{sin(\x)});
	%Petit cercle
	\def\coefreduc{0.7};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:180] plot({\coefreduc*cos(\x)},{\coefreduc*sin(\x)});
	%Graduation de en 1 en 1
	\def\lt{0.1};
	\foreach \thet in {0,1,...,180} \draw[thin,gray] ({(1-\lt/2)*cos(\thet)},{(1-\lt/2)*sin(\thet)}) -- ({cos(\thet)},{sin(\thet)});
	%Graduation de 5 en 5
	\def\lr{0.15};
	\foreach \thet in {0,5,...,180} \draw[black] ({(1-\lr/2)*cos(\thet)},{(1-\lr/2)*sin(\thet)}) -- ({cos(\thet)},{sin(\thet)});
	%Graduation de 10 en 10
	\def\lp{0.2};
	\foreach \thet in {0,10,...,180} \draw[thick,black] ({(1-\lp/2)*cos(\thet)},{(1-\lp/2)*sin(\thet)}) -- ({cos(\thet)},{sin(\thet)})	;
	%Nombres
	\def\lc{0.3};
	\foreach \thet in {0,10,...,180} \draw[black] ({(1-\lc/2)*cos(\thet)},{(1-\lc/2)*sin(\thet)}) node[sloped,rotate={\thet}]{\tiny \thet\degres};
	%Finition rapporteur
	\draw[blue,thick] (-1,0) -- (-1,{-\lt}) -- ({-\coefreduc},{-\lt}) -- ({-\coefreduc},0);
	\draw[blue,thick] (1,0) -- (1,{-\lt}) -- ({\coefreduc},{-\lt}) -- ({\coefreduc},0);
	\draw[black] (0,0) node {$\bullet$};
	\draw[dashed,black] ({-\coefreduc},0) -- ({\coefreduc},0);
	%Part de 30 degres
	\fill[color=OliveGreen , opacity=0.40] (0,0) -- plot [domain=0:30] ({cos(\x)},{sin(\x)}) -- cycle;
	%Arc de cercle
	\draw[orange, line width=0.2cm][samples=100,domain=0:30] plot({cos(\x)},{sin(\x)});
	\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Il y a un problème: si le cercle (le rapporteur) à un plus petit rayon alors l'arc aussi est plus petit.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=2,yscale=2]
		%Grand cercle
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:180] plot({cos(\x)},{sin(\x)});
		%Petit cercle
		\def\coefreduc{0.7};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:180] plot({\coefreduc*cos(\x)},{\coefreduc*sin(\x)});
		%Graduation de en 1 en 1
		\def\lt{0.1};
		\foreach \thet in {0,1,...,180} \draw[thin,gray] ({(1-\lt/2)*cos(\thet)},{(1-\lt/2)*sin(\thet)}) -- ({cos(\thet)},{sin(\thet)});
		%Graduation de 5 en 5
		\def\lr{0.15};
		\foreach \thet in {0,5,...,180} \draw[black] ({(1-\lr/2)*cos(\thet)},{(1-\lr/2)*sin(\thet)}) -- ({cos(\thet)},{sin(\thet)});
		%Graduation de 10 en 10
		\def\lp{0.2};
		\foreach \thet in {0,10,...,180} \draw[thick,black] ({(1-\lp/2)*cos(\thet)},{(1-\lp/2)*sin(\thet)}) -- ({cos(\thet)},{sin(\thet)})	;
		%Nombres
		\def\lc{0.3};
		\foreach \thet in {0,10,...,180} \draw[black] ({(1-\lc/2)*cos(\thet)},{(1-\lc/2)*sin(\thet)}) node[sloped,rotate={\thet}]{};
		%Finition rapporteur
		\draw[blue,thick] (-1,0) -- (-1,{-\lt}) -- ({-\coefreduc},{-\lt}) -- ({-\coefreduc},0);
		\draw[blue,thick] (1,0) -- (1,{-\lt}) -- ({\coefreduc},{-\lt}) -- ({\coefreduc},0);
		\draw[black] (0,0) node {$\bullet$};
		\draw[dashed,black] ({-\coefreduc},0) -- ({\coefreduc},0);
		%Part de 30 degres
		\fill[color=OliveGreen , opacity=0.40] (0,0) -- plot [domain=0:30] ({cos(\x)},{sin(\x)}) -- cycle;
		%Arc de cercle
		\draw[orange, very thick,line width=0.1cm][samples=100,domain=0:30] plot({cos(\x)},{sin(\x)});
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Il faut donc choisir une convention pour la taille du rapporteur: pour mesurer un angle il faut choisir un cercle-rapporteur de rayon $1$.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=5,yscale=5]
		%Grand cercle
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:180] plot({cos(\x)},{sin(\x)});
		%Petit cercle
		\def\coefreduc{0.7};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:180] plot({\coefreduc*cos(\x)},{\coefreduc*sin(\x)});
		%Graduation de en 1 en 1
		\def\lt{0.1};
		\foreach \thet in {0,1,...,180} \draw[thin,gray] ({(1-\lt/2)*cos(\thet)},{(1-\lt/2)*sin(\thet)}) -- ({cos(\thet)},{sin(\thet)});
		%Graduation de 5 en 5
		\def\lr{0.15};
		\foreach \thet in {0,5,...,180} \draw[black] ({(1-\lr/2)*cos(\thet)},{(1-\lr/2)*sin(\thet)}) -- ({cos(\thet)},{sin(\thet)});
		%Graduation de 10 en 10
		\def\lp{0.2};
		\foreach \thet in {0,10,...,180} \draw[thick,black] ({(1-\lp/2)*cos(\thet)},{(1-\lp/2)*sin(\thet)}) -- ({cos(\thet)},{sin(\thet)})	;
		%Nombres
		\def\lc{0.3};
		\foreach \thet in {0,10,...,180} \draw[black] ({(1-\lc/2)*cos(\thet)},{(1-\lc/2)*sin(\thet)}) node[sloped,rotate={\thet}]{\tiny \thet\degres};
		%Finition rapporteur
		\draw[blue,thick] (-1,0) -- (-1,{-\lt}) -- ({-\coefreduc},{-\lt}) -- ({-\coefreduc},0);
		\draw[blue,thick] (1,0) -- (1,{-\lt}) -- ({\coefreduc},{-\lt}) -- ({\coefreduc},0);
		\draw[black] (0,0) node {$\bullet$};
		\draw[dashed,black] ({-\coefreduc},0) -- ({\coefreduc},0);
		%Part de 30 degres
		\fill[color=OliveGreen , opacity=0.40] (0,0) -- plot [domain=0:30] ({cos(\x)},{sin(\x)}) -- cycle;
		%Arc de cercle
		\draw[orange, line width=0.2cm][samples=100,domain=0:30] plot({cos(\x)},{sin(\x)});
		\draw [>=latex,black,<->] (0,-0.15) -- (1,-0.15) node[midway, below] {longueur de $1$ ($\mathrm{cm}$ par exemple)};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Nous choisissons comme graduation les longueurs sur le cercle en partant de la graduation zéro.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=5,yscale=5]
		%Grand cercle
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:180] plot({cos(\x)},{sin(\x)});
		%Petit cercle
		\def\coefreduc{0.7};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:180] plot({\coefreduc*cos(\x)},{\coefreduc*sin(\x)});
		%Graduation de en 0,1 en 0,1
		\def\lt{0.1};
		\foreach \thet in {0.1,0.2,...,3.1} \draw[thin,gray] ({(1-\lt/2)*cos(\thet*180/3.1415)},{(1-\lt/2)*sin(\thet*180/3.1415)}) -- ({cos(\thet*180/3.1415)},{sin(\thet*180/3.1415)});
		%Graduation de 0,5 en 0,5
		\def\lr{0.15};
		\foreach \thet in {0,0.5,...,3} \draw[black] ({(1-\lr/2)*cos(\thet*180/3.1415)},{(1-\lr/2)*sin(\thet*180/3.1415)}) -- ({cos(\thet*180/3.1415)},{sin(\thet*180/3.1415)});
		%Graduation de 1 en 1
		\def\lp{0.2};
		\foreach \thet in {0,1,2,3} \draw[thick,black] ({(1-\lp/2)*cos(\thet*180/3.1415)},{(1-\lp/2)*sin(\thet*180/3.1415)}) -- ({cos(\thet*180/3.1415)},{sin(\thet*180/3.1415)})	;
		%Nombres
		\def\lc{0.37};
		\foreach \thet in {0,1,...,3} \draw[black] ({(1-\lc/2)*cos(\thet*180/3.1415)},{(1-\lc/2)*sin(\thet*180/3.1415)}) node[sloped,rotate={\thet*180/3.1415}]{\footnotesize $\thet \ \mathrm{cm}$};
		%Finition rapporteur
		\draw[blue,thick] (-1,0) -- (-1,{-\lt}) -- ({-\coefreduc},{-\lt}) -- ({-\coefreduc},0);
		\draw[blue,thick] (1,0) -- (1,{-\lt}) -- ({\coefreduc},{-\lt}) -- ({\coefreduc},0);
		\draw[black] (0,0) node {$\bullet$};
		\draw[dashed,black] ({-\coefreduc},0) -- ({\coefreduc},0);
		%Part de 30 degres
		%\fill[color=OliveGreen , opacity=0.40] (0,0) -- plot [domain=0:30] ({cos(\x)},{sin(\x)}) -- cycle;
		%Arc de cercle
		\draw[orange, line width=0.2cm][samples=100,domain=0:30] plot({cos(\x)},{sin(\x)});
		\draw [>=latex,black,<->] (0,-0.15) -- (1,-0.15) node[midway, below] {longueur de $1$ ($\mathrm{cm}$ par exemple)};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Nous reconnaissons des graduations habituelles. Il est naturel de les prolonger.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=5,yscale=5]
		%Grand cercle
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:300] plot({cos(\x)},{sin(\x)});
		%Petit cercle
		\def\coefreduc{0.7};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:300] plot({\coefreduc*cos(\x)},{\coefreduc*sin(\x)});
		%Graduation de en 0,1 en 0,1
		\def\lt{0.1};
		\foreach \thet in {0.1,0.2,...,5.1} \draw[thin,gray] ({(1-\lt/2)*cos(\thet*180/3.1415)},{(1-\lt/2)*sin(\thet*180/3.1415)}) -- ({cos(\thet*180/3.1415)},{sin(\thet*180/3.1415)});
		%Graduation de 0,5 en 0,5
		\def\lr{0.15};
		\foreach \thet in {0,0.5,...,5} \draw[black] ({(1-\lr/2)*cos(\thet*180/3.1415)},{(1-\lr/2)*sin(\thet*180/3.1415)}) -- ({cos(\thet*180/3.1415)},{sin(\thet*180/3.1415)});
		%Graduation de 1 en 1
		\def\lp{0.2};
		\foreach \thet in {0,1,...,5} \draw[thick,black] ({(1-\lp/2)*cos(\thet*180/3.1415)},{(1-\lp/2)*sin(\thet*180/3.1415)}) -- ({cos(\thet*180/3.1415)},{sin(\thet*180/3.1415)})	;
		%Nombres
		\def\lc{0.37};
		\foreach \thet in {0,1,...,5} \draw[black] ({(1-\lc/2)*cos(\thet*180/3.1415)},{(1-\lc/2)*sin(\thet*180/3.1415)}) node[sloped,rotate={\thet*180/3.1415}]{\footnotesize $\thet \ \mathrm{cm}$};
		%Finition rapporteur
		\draw[blue,thick] (1,0) -- (1,{-\lt}) -- ({\coefreduc},{-\lt}) -- ({\coefreduc},0);
		\draw[black] (0,0) node {$\bullet$};
		\draw[dashed,black] ({-\coefreduc},0) -- ({\coefreduc},0);
		\draw [>=latex,black,<->] (0,-0.15) -- (1,-0.15) node[midway, below] {longueur de $1$ ($\mathrm{cm}$ par exemple)};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Tous ce passe comme si nous avions enrouler une règle graduée autour d'un cercle de rayon $1\ \mathrm{cm}$.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=5,yscale=5]
		%Grand cercle
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:180] plot({cos(\x)},{sin(\x)});
		%Petit cercle
		\def\coefreduc{0.65};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:180] plot({\coefreduc*cos(\x)},{\coefreduc*sin(\x)});
		%Graduation de en 0,1 en 0,1
		\def\lt{0.1};
		\foreach \thet in {0.1,0.2,...,3.1} \draw[thin,gray] ({(1-\lt/2)*cos(\thet*180/3.1415)},{(1-\lt/2)*sin(\thet*180/3.1415)}) -- ({cos(\thet*180/3.1415)},{sin(\thet*180/3.1415)});
		%Graduation de 0,5 en 0,5
		\def\lr{0.15};
		\foreach \thet in {0,0.5,...,3} \draw[black] ({(1-\lr/2)*cos(\thet*180/3.1415)},{(1-\lr/2)*sin(\thet*180/3.1415)}) -- ({cos(\thet*180/3.1415)},{sin(\thet*180/3.1415)});
		%Graduation de 1 en 1
		\def\lp{0.2};
		\foreach \thet in {0,1,...,3} \draw[thick,black] ({(1-\lp/2)*cos(\thet*180/3.1415)},{(1-\lp/2)*sin(\thet*180/3.1415)}) -- ({cos(\thet*180/3.1415)},{sin(\thet*180/3.1415)})	;
		%Nombres
		\def\lc{0.37};
		\foreach \thet in {0,1,...,3} \draw[black] ({(1-\lc/2)*cos(\thet*180/3.1415)},{(1-\lc/2)*sin(\thet*180/3.1415)}) node[sloped,rotate={\thet*180/3.1415}]{\footnotesize $\thet \ \mathrm{cm}$};
		%Finition rapporteur
		\draw[blue,thick] (1,0) -- (1,{-\lt}) -- ({\coefreduc},{-\lt}) -- ({\coefreduc},0);
		\draw[black] (0,0) node {$\bullet$};
		\draw[dashed,black] ({-\coefreduc},0) -- ({\coefreduc},0);
		\draw[blue,thick] (-1,0) -- (-1,{-\lt}) -- ({-\coefreduc},{-\lt}) -- ({-\coefreduc},0);
		%Dessin de la règle.
		\draw[blue,thick] (1,1.6) -- (1,{-\lt}) -- ({2-\coefreduc},{-\lt}) -- ({2-\coefreduc},1.6);
		%Graduation de en 0,1 en 0,1 de règle
		\foreach \thet in {0.1,0.2,...,1.4} \draw[thin,gray] ({1},{\thet}) -- ({1+\lt/2},{\thet});
		%Graduation de 0,5 en 0,5 de règle
		\foreach \thet in {0,0.5,...,1.5} \draw[black] ({1},{\thet}) -- ({1+\lr/2},{\thet});
		%Graduation de 1 en 1 de règle
		\foreach \thet in {0,1} \draw[thick,black] ({1},{\thet}) -- ({1+\lp/2},{\thet});
		%Nombres de règle
		\def\lk{0.26};
		\foreach \thet in {0,1} \draw[black] ({1+\lk/2},{\thet}) node[right]{\footnotesize $\thet \ \mathrm{cm}$};
		%\draw[red,>=latex,->] (1,1) edge[out=180,in=60] (0.5,0.5);
		\foreach \thet in {0.5,1,1.5} \draw[red,<-.,>=latex, very thick, dotted] ({cos(\thet*180/3.1415)},{sin(\thet*180/3.1415)}) to[out={\thet*180/3.1415},in=180] (1,{\thet});
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Maintenant que nous voyons ce qui ce passe faisons un effort d'abstraction: nous venons d'entourer la droite des réels autour du cercle de rayon $1$.
		
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=5,yscale=5]
		%Grand cercle
		\draw[blue, thick,>=latex,->][samples=100,domain=0:180] plot({cos(\x)},{sin(\x)});
		%Graduation de en 0,1 en 0,1
		\def\lt{0.1};
		\foreach \thet in {0.1,0.2,...,3.1} \draw[thin,gray] ({(1-\lt/2)*cos(\thet*180/3.1415)},{(1-\lt/2)*sin(\thet*180/3.1415)}) -- ({cos(\thet*180/3.1415)},{sin(\thet*180/3.1415)});
		%Graduation de 0,5 en 0,5
		\def\lr{0.15};
		\foreach \thet in {0,0.5,...,3} \draw[black] ({(1-\lr/2)*cos(\thet*180/3.1415)},{(1-\lr/2)*sin(\thet*180/3.1415)}) -- ({cos(\thet*180/3.1415)},{sin(\thet*180/3.1415)});
		%Graduation de 1 en 1
		\def\lp{0.2};
		\foreach \thet in {0,1,...,3} \draw[thick,black] ({(1-\lp/2)*cos(\thet*180/3.1415)},{(1-\lp/2)*sin(\thet*180/3.1415)}) -- ({cos(\thet*180/3.1415)},{sin(\thet*180/3.1415)})	;
		%Nombres
		\def\lc{0.37};
		\foreach \thet in {0,1,...,3} \draw[black] ({(1-\lc/2)*cos(\thet*180/3.1415)},{(1-\lc/2)*sin(\thet*180/3.1415)}) node[sloped,rotate={\thet*180/3.1415}]{\footnotesize $\thet$};
		%Dessin de la droite.
		\draw[blue,thick,>=latex,<-] (1,1.6) -- (1,{-\lt});
		%Graduation de en 0,1 en 0,1 de règle
		\foreach \thet in {0.1,0.2,...,1.4} \draw[thin,gray] ({1},{\thet}) -- ({1+\lt/2},{\thet});
		%Graduation de 0,5 en 0,5 de règle
		\foreach \thet in {0,0.5,...,1.5} \draw[black] ({1},{\thet}) -- ({1+\lr/2},{\thet});
		%Graduation de 1 en 1 de règle
		\foreach \thet in {0,1} \draw[thick,black] ({1},{\thet}) -- ({1+\lp/2},{\thet});
		%Nombres de règle
		\def\lk{0.26};
		\foreach \thet in {0,1} \draw[black] ({1+\lk/2},{\thet}) node[right]{\footnotesize $\thet$};
		%\draw[red,>=latex,->] (1,1) edge[out=180,in=60] (0.5,0.5);
		\foreach \thet in {0.5,1,1.5} \draw[red,<-.,>=latex, very thick, dotted] ({cos(\thet*180/3.1415)},{sin(\thet*180/3.1415)}) to[out={\thet*180/3.1415},in=180] (1,{\thet});
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Mais s'il s'agit de la droite des réels nous pouvons tout aussi bien enrouler les nombres négatifs:
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=5,yscale=5]
		%Grand cercle
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:180] plot({cos(-\x)},{sin(-\x)});
		%Graduation de en 0,1 en 0,1
		\def\lt{0.1};
		\foreach \thet in {0.1,0.2,...,3.1} \draw[thin,gray] ({(1-\lt/2)*cos(-\thet*180/3.1415)},{(1-\lt/2)*sin(-\thet*180/3.1415)}) -- ({cos(-\thet*180/3.1415)},{sin(-\thet*180/3.1415)});
		%Graduation de 0,5 en 0,5
		\def\lr{0.15};
		\foreach \thet in {0,0.5,...,3} \draw[black] ({(1-\lr/2)*cos(-\thet*180/3.1415)},{(1-\lr/2)*sin(-\thet*180/3.1415)}) -- ({cos(-\thet*180/3.1415)},{sin(-\thet*180/3.1415)});
		%Graduation de 1 en 1
		\def\lp{0.2};
		\foreach \thet in {0,1,...,3} \draw[thick,black] ({(1-\lp/2)*cos(-\thet*180/3.1415)},{(1-\lp/2)*sin(-\thet*180/3.1415)}) -- ({cos(-\thet*180/3.1415)},{sin(-\thet*180/3.1415)})	;
		%Nombres
		\def\lc{0.37};
		\foreach \thet in {0,1,...,3} \draw[black] ({(1-\lc/2)*cos(-\thet*180/3.1415)},{(1-\lc/2)*sin(-\thet*180/3.1415)}) node[sloped,rotate={-\thet*180/3.1415}]{\footnotesize $-\thet$};
		%Dessin de la droite.
		\draw[blue,thick,>=latex,<-] (1,0.6) -- (1,{-1.6});
		%Graduation de en 0,1 en 0,1 de règle
		\foreach \thet in {-0.4,-0.3,...,1.4} \draw[thin,gray] ({1},{-\thet}) -- ({1+\lt/2},{-\thet});
		%Graduation de 0,5 en 0,5 de règle
		\foreach \thet in {-0.5,0,0.5,...,1.5} \draw[black] ({1},{-\thet}) -- ({1+\lr/2},{-\thet});
		%Graduation de 1 en 1 de règle
		\foreach \thet in {0,1} \draw[thick,black] ({1},{-\thet}) -- ({1+\lp/2},{-\thet});
		%Nombres de règle
		\def\lk{0.26};
		\foreach \thet in {-1,0} \draw[black] ({1+\lk/2},{\thet}) node[right]{\footnotesize $\thet$};
		%\draw[red,>=latex,->] (1,1) edge[out=180,in=60] (0.5,0.5);
		\foreach \thet in {0.5,1,1.5} \draw[red,<-.,>=latex, very thick, dotted] ({cos(-\thet*180/3.1415)},{sin(-\thet*180/3.1415)}) to[out={-\thet*180/3.1415},in=180] (1,{-\thet});
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Reprenons la construction de cette nouvelle unité au propre.
	
	Nous nous pouvons nous débarrasser des unités de longueur qui appartiennent à la science physique pas à la mathématique. considérons un cercle de rayon $1$ et enroulons l'axe des réels autour:
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=5,yscale=5]
		%Grand cercle
		\draw[blue, thick,>=latex,->][samples=100,domain=-95:95] plot({cos(\x)},{sin(\x)});
		%Graduation de en 0,1 en 0,1
		\def\lt{0.1};
		\foreach \thet in {-1.6,-1.5,...,1.6} \draw[thin,gray] ({(1-\lt/2)*cos(\thet*180/3.1415)},{(1-\lt/2)*sin(\thet*180/3.1415)}) -- ({cos(\thet*180/3.1415)},{sin(\thet*180/3.1415)});
		%Graduation de 0,5 en 0,5
		\def\lr{0.15};
		\foreach \thet in {-1.5,-1,...,1.5} \draw[black] ({(1-\lr/2)*cos(\thet*180/3.1415)},{(1-\lr/2)*sin(\thet*180/3.1415)}) -- ({cos(\thet*180/3.1415)},{sin(\thet*180/3.1415)});
		%Graduation de 1 en 1
		\def\lp{0.2};
		\foreach \thet in {-1,0,1} \draw[thick,black] ({(1-\lp/2)*cos(\thet*180/3.1415)},{(1-\lp/2)*sin(\thet*180/3.1415)}) -- ({cos(\thet*180/3.1415)},{sin(\thet*180/3.1415)})	;
		%Nombres
		\def\lc{0.37};
		\foreach \thet in {-1,0,1} \draw[black] ({(1-\lc/2)*cos(\thet*180/3.1415)},{(1-\lc/2)*sin(\thet*180/3.1415)}) node[sloped,rotate={\thet*180/3.1415}]{\footnotesize $\thet$};
		%Dessin de la droite.
		\draw[blue,thick,>=latex,<-] (1,1.6) -- (1,{-1.6});
		%Graduation de 0,1 en 0,1 de règle
		\foreach \thet in {-1.4,-1.3,...,1.4} \draw[thin,gray] ({1},{\thet}) -- ({1+\lt/2},{\thet});
		%Graduation de 0,5 en 0,5 de règle
		\foreach \thet in {-1.5,-1,...,1.5} \draw[black] ({1},{\thet}) -- ({1+\lr/2},{\thet});
		%Graduation de 1 en 1 de règle
		\foreach \thet in {-1,0,1} \draw[thick,black] ({1},{\thet}) -- ({1+\lp/2},{\thet});
		%Nombres de règle
		\def\lk{0.26};
		\foreach \thet in {-1,0,1} \draw[black] ({1+\lk/2},{\thet}) node[right]{\footnotesize $\thet$};
		%\draw[red,>=latex,->] (1,1) edge[out=180,in=60] (0.5,0.5);
		\foreach \thet in {-1.5,-0.5,...,1.5} \draw[red,<-.,>=latex, very thick, dotted] ({cos(\thet*180/3.1415)},{sin(\thet*180/3.1415)}) to[out={\thet*180/3.1415},in=180] (1,{\thet});
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
		
	Ainsi lorsque nous enroulons dans le sens directe c'est en positif quand nous enroulons dans le sens contraire c'est en négatif.
	
\end{correction}



\begin{definition}
	
	\begin{tabular}{m{7cm}m{0.25cm}m{3cm}}
		Étant donné un repère orthonormé $\left(O,\overrightarrow{i} ,\overrightarrow{j} \right)$, nous appellerons \emph{\color{purple}cercle trigonométrique} le cercle de centre $O$, de rayon $1$ muni d'un sens de parcours appelé \emph{\color{purple}sens trigonométrique} (sens inverse des aiguilles d'une montre).
		&&
		
		\begin{tikzpicture}[scale=1]
		\coordinate (O) at (0,0);
		\coordinate (I) at (1,0);
		\coordinate (J) at (0,1);
		\draw (O)node[below left]{$O$};
		\draw (I)node[below right]{$I$};
		\draw (J)node[above left]{$J$};
		\draw[ ->] (-1.25, 0) -- (1.5, 0) node[right]{};
		\draw[->] (0,-1.25 ) -- (0, 1.5) node[above]{};
		\draw[red, thick,->] (0,0) -- (1,0) node[midway,below] {$\overrightarrow{i}$};
		\draw[red, thick,->] (0,0) -- (0,1) node[midway,left] {$\overrightarrow{j}$};
		\draw[blue,->][samples=100,domain=0:45] plot({cos(\x)},{sin(\x)});
		\draw[blue,very thick][samples=100,domain=0:360] plot({cos(\x)},{sin(\x)});
		\end{tikzpicture}
		
	\end{tabular}
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\medskip
	Remarques.
	\begin{enumerate}
		\item Le cercle trigonométrique sera le rapporteur abstrait des mathématiciens.
		
		\item Le sens trigonométrique est aussi appelé \emph{\color{purple}sens direct}. C'est un sens conventionnel qui apparaît autant en physique qu'en mathématiques.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{definition}
	
	\begin{tabular}{m{7cm}m{0.25cm}m{3cm}}
		Soit $M$ un point sur le cercle trigonométrique.
		
		\emph{\color{purple}Une mesure en radian} de l'angle $\widehat{IOM}$ est
		\begin{itemize}
			\item la longueur $\color{red}\ell_1$ de l'arc de cercle $\overset{\frown}{IM}$ si le déplacement de $I$ vers $M$ se fait dans le sens trigonométrique
			
			\item l'opposée de la longueur $\color{RoyalBlue}\ell_2$ de l'arc de cercle si le déplacement se fait dans le sens opposé.
			
		\end{itemize}
		
		&&
		
		\begin{tikzpicture}
		\def\angle{50}
		\coordinate (O) at (0,0);
		\coordinate (I) at (1,0);
		\coordinate (J) at (0,1);
		\coordinate (M) at ({cos(\angle)},{sin(\angle)});
		\draw (O)node[below left]{$O$};
		\draw (I)node[below right]{$I$};
		\draw (J)node[above left]{$J$};
		\draw (M)node[above right]{$M$};
		\draw (M)node{$\bullet$};
		\draw[dashed,black](O)--(M);
		\draw ({cos(0.5*\angle)},{sin(0.5*\angle)})node[above right]{\color{red}$\ell_1$};
		\draw ({cos(0.5*(-360+\angle))},{sin(0.5*(-360+\angle))})node[ left]{\color{RoyalBlue}$\ell_2$};
		\draw[ ->] (-1.25, 0) -- (1.5, 0) node[right]{};
		\draw[->] (0,-1.25 ) -- (0, 1.5) node[above]{};
		%\draw[blue][samples=100,domain=0:360] plot({cos(\x)},{sin(\x)});
		\draw[purple,very thick,->][samples=100,domain=0:{\angle}] plot({cos(\x)},{sin(\x)});
		\draw[RoyalBlue,very thick,->][samples=100,domain=0:{360-\angle}] plot({cos(-\x)},{sin(-\x)});;
		\end{tikzpicture}
		
	\end{tabular}
	
\end{definition}

\begin{notabene}
	
	Faire une manipulation de ce que serait une mesure d'un angle en radian avec un rapporteur.
	
\end{notabene}
\begin{remarques}
	
	\medskip
	Remarques.
	\begin{enumerate}
		
		\item Voici une animation qui illustre l'enroulement de la droite des réels autour du cercle trigonométrique en Geogebra: \href{http://unemainlavelautre.net/1ieme/1ieme_trigonometrie_01_radians_valeurs_remarquables_de_sinus_et_cosinus_02_enroulement_de_la droite_des_relles.ggb}{fichier Geogebra} à ouvrir avec l'application ou ici en ligne \href{https://www.geogebra.org/classic}{site Geogebra}.
		
		\item Les angles sont donc orientés. $\widehat{IOM}$ et $\widehat{MOI}$ ont des mesures opposées.
		
		\item Nous utiliserons souvent une notation des angles avec des vecteurs: plutôt que $\widehat{IOM}$ nous écrirons $\color{purple}\left( \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OM} \right)$.
		
		\item Il est possible de faire plusieurs tours de cercle avant de s'arrêter sur le point $M$ pour définir un angle. Un angle aura donc de nombreuses mesures en radian (longueurs d'arc) possibles.
		
		\item Le radian n'est pas une unité au sens de la science physique puisque c'est un nombre sans dimension: c'est le rapport de la longueur de l'arc de cercle sur la longueur du rayon.
		
		\item Pour un point $M$ du cercle trigonométrique il y a une infinité de mesures d'angles en radian qui lui corresponde. Si $\theta$ est une mesure de $\widehat{IOM}$ alors $\theta+2\pi$, $\theta+2 \times 2\pi$, $\theta+3 \times 2\pi$, ..., $\theta-2\pi$, $\theta-2\times 2\pi$, $\theta-3 \times 2\pi$, ..., sont aussi des mesures en radian correspondant au point $M$.
		
		\item Nous appellerons \emph{\color{purple}mesure principale d'un angle} la mesure en radian correspondant au même point et qui est dans $]-\pi;\pi]$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsubsection{Des mesures en radian remarquables.}

\begin{correction}
	
	Cette nouvelle façon de mesurer présente un gros inconvénient. Il est un angle que nous rencontrons souvent et qui est important c'est l'angle droit. Or si nous essayons de lire la mesure en radian de l'angle droit nous n'obtenons qu'une valeur approchée: $1,57$.
	
	Nous ne pourrons jamais donner une valeur exacte sous forme décimale de cette mesure.
	
	Cependant il est possible de l'exprimer simplement.
	
	Un angle droit correspond à un quart de la longueur du cercle. Or la longueur d'un cercle de rayon $1$ est $2\pi$ donc l'angle droit a une mesure égale $\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}$.
	
	\medskip
	Les mesures d'angles usuelles qu'il faut pouvoir exprimer aisément en radian: 
	
	\begin{itemize}
		
		\item $360\degres$ (angles plein),
		
		\item $180\degres$ (angle plat),
		
		\item $90\degres$ (angle droit),
		
		\item $60\degres$ (angle du triangle équilatéral),
		
		\item $45\degres$ (angle d'un triangle isocèle-rectangle),
		
		\item $30\degres$.
		
	\end{itemize}
	
\end{correction}

\begin{exercice}{\color{red} $\varheartsuit$}
	
	\begin{correction}
		
		Si la méthode de conversion est à retenir, les valeurs obtenues sont classiques et doivent être apprises par cœur.
		
	\end{correction}
	
	Par proportionnalité déterminez les mesures en radian exprimées avec $\pi$ des angles usuels:
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\hline
			Mesure en degré & $360$ & $180$ & $90$ & $60$ & $45$ & $30$
			\\
			\hline
			Mesure en radian & $2\pi$ &&&&&
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
		
	\end{center}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\hline
			Mesure en degré & $360$ & $180$ & $90$ & $60$ & $45$ & $30$
			\\
			\hline
			Mesure en radian & $2\pi$ & $\pi$ & $\frac{\pi}{2}$ & $\frac{\pi}{3}$ & $\frac{\pi}{4}$ & $\frac{\pi}{6}$
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
		
	\end{center}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}
	
	Placez sur le cercle trigonométrique les points $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ associés aux mesures en radian:
	\[ \frac{\pi}{6}, \quad \frac{\pi}{4},\quad \frac{\pi}{3},\quad \frac{3\pi}{4},\quad \frac{4\pi}{3},\quad \frac{-2\pi}{3}. \]
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{WildStrawberry}Il s'agit de placer approximativement les points en se souvenant qu'un demi cercle a une longueur de $\pi$.}
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=4,yscale=4]
		\def\xY{-1.1};
		\def\yY{-1.1};
		\def\xZ{1.1};
		\def\yZ{1.1};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
		\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
		\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below right,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[above left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
		\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:360] plot({cos(\x)},{sin(\x)});
		\foreach \thet/\nom in {{1/6}/{A \left( \frac{\pi}{6} \right)}, {1/4}/{B \left( \frac{\pi}{4} \right)}, {1/3}/{C \left( \frac{\pi}{3} \right)}, {3/4}/{D \left( \frac{3\pi}{4} \right)}, {4/3}/{E \left( \frac{4\pi}{3} \right)}, {-2/3}/{F \left( \frac{-2\pi}{3} \right)}} \draw[black] ({1.2*cos(\thet*180)},{1.2*sin(\thet*180)}) node[fill=white, sloped,rotate={\thet*180}]{\footnotesize $\nom$};
		\foreach \thet/\nom in {{1/6}/{A \left( \frac{\pi}{6} \right)}, {1/4}/{B \left( \frac{\pi}{4} \right)}, {1/3}/{C \left( \frac{\pi}{3} \right)}, {3/4}/{D \left( \frac{3\pi}{4} \right)}, {4/3}/{E \left( \frac{4\pi}{3} \right)}, {-2/3}/{F \left( \frac{-2\pi}{3} \right)}} \draw[black] ({cos(\thet*180)},{sin(\thet*180)}) node{$\bullet$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}
	
	Placez sur le cercle trigonométrique les points $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ associés aux mesures en radian:\[ \frac{-6\pi}{4},\quad -\frac{\pi}{4},\quad \frac{2\pi}{4},\quad \frac{5\pi}{4},\quad \frac{19\pi}{4},\quad \frac{-7\pi}{4}. \]
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{WildStrawberry}Il s'agit de placer approximativement les points en se souvenant qu'un demi cercle a une longueur de $\pi$.}
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=4,yscale=4]
		\def\xY{-1.1};
		\def\yY{-1.1};
		\def\xZ{1.1};
		\def\yZ{1.1};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
		\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
		\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below right,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[above left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
		\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:360] plot({cos(\x)},{sin(\x)});
		\foreach \thet/\nom in {{-6/4}/{A \left( \frac{-6\pi}{4} \right)}, {-1/4}/{B \left( \frac{-\pi}{4} \right)}, {2/4}/{C \left( \frac{2\pi}{4} \right)}, {5/4}/{D \left( \frac{5\pi}{4} \right)}, {19/4}/{E \left( \frac{19\pi}{4} \right)}, {-7/4}/{F \left( \frac{-7\pi}{4} \right)}} \draw[black] ({1.2*cos(\thet*180)},{1.2*sin(\thet*180)}) node[fill=white, sloped,rotate={\thet*180}]{\footnotesize $\nom$};
		\foreach \thet/\nom in {{-6/4}/{A \left( \frac{-6\pi}{4} \right)}, {-1/4}/{B \left( \frac{-\pi}{4} \right)}, {2/4}/{C \left( \frac{2\pi}{4} \right)}, {5/4}/{D \left( \frac{5\pi}{4} \right)}, {19/4}/{E \left( \frac{19\pi}{4} \right)}, {-7/4}/{F \left( \frac{-7\pi}{4} \right)}} \draw[black] ({cos(\thet*180)},{sin(\thet*180)}) node{$\bullet$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{exercicecorrection}

\subsection{Cosinus et sinus d'un nombre réel.}

\subsubsection{Nouvelle définition.}

\begin{correction}
	
	Les cosinus et sinus ont été définis au collège, mais uniquement pour des angles d'un triangle rectangle, donc d'une mesure entre $0\degres$ et $90\degres$. Or les skateurs ou les patineurs le savent il est tout à fait possible d'envisager des angles de plus de $360\degres$, il faut donc trouver une définition qui généralise celle du collège. D'autant que nous venons de définir une mesure d'angle qui autorise toutes les valeurs réelles.
	
\end{correction}

\begin{definition}
	
	\begin{tabular}{m{6cm}m{5cm}}
		
		Soit un angle de mesure $\theta$ en radian, repéré par un point $M$ sur le cercle trigonométrique. 
		
		\medskip
		Nous définirons désormais:
		\begin{itemize}
			\item $\color{RoyalBlue}\cos(\theta)$ comme l'abscisse de $M$,
			\item $\color{red}\sin(\theta)$ comme l'ordonnée de $M$.
		\end{itemize}
		
		&
		
		\begin{tikzpicture}[scale=1.75]
		\def\angle{50}
		\coordinate (O) at (0,0);
		\coordinate (I) at (1,0);
		\coordinate (J) at (0,1);
		\coordinate (M) at ({cos(\angle)},{sin(\angle)});
		\coordinate (H) at ({cos(\angle)},0);
		\coordinate (K) at (0,{sin(\angle)});
		\draw (O)node[below left]{$O$};
		\draw (I)node[below right]{$I$};
		\draw (J)node[above left]{$J$};
		\draw (M)node[above]{$M$};
		\draw (M)node{$\bullet$};
		\draw (H)node[below right]{$H$};
		\draw (K)node[left]{$K$};
		\draw[black](O)--(M);
		\draw[ ->] (-1.25, 0) -- (1.5, 0);
		\draw[->] (0,-1.25 ) -- (0, 1.5);
		\draw[blue][samples=100,domain=0:360] plot({cos(\x)},{sin(\x)});
		\draw[orange,thick,->][samples=100,domain=0:{\angle}] plot({cos(\x)},{sin(\x)});
		\draw[orange] ({cos(0.5*\angle)},{sin(0.5*\angle)}) node[right]{$\theta$};
		\draw[black,dashed](H)--(M);
		\draw[black,dashed](K)--(M);
		\draw[red,very thick](O)--(K);
		\draw[RoyalBlue,very thick](O)--(H) node[midway,below]{$\cos(\theta)$};
		\draw[red,very thick](O)--(K) node[midway,left]{$\sin(\theta)$};
		\end{tikzpicture}
		\\
		
	\end{tabular}
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\medskip
	Remarques.
	\begin{enumerate}
		\item Cette définition permet d'étendre les notions de cosinus et sinus vues au collège.
		
		Les deux définitions coïncident (pour un angle compris entre $0\degres$ et $90\degres$): \[ \cos \left( \widehat{IOM} \right) =\frac{OH}{OM}=\frac{OH}{1}=OH= \cos(\theta) \] et \[ \sin \left( \widehat{IOM} \right) =\frac{HM}{OM}=\frac{HM}{1}=HM= OK= \sin(\theta). \]
		
		Par conséquent les raisonnements faits depuis le collège et jusqu'à présent restent licites.
		
		\item Avec cette définition le cosinus et le sinus peuvent prendre des valeurs négatives.
		
		\item Clairement, en considérant les abscisses et ordonnées des points du cercle trigonométrique, pour tout angle $\alpha$ \[ \color{purple}\begin{array}{l} -1\le \cos(\alpha) \le 1 \\ -1 \le \sin(\alpha) \le 1 \end{array} \]
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsubsection{Des valeurs remarquables de sinus et cosinus.}

\begin{sujet}
	
	Les deux exercices qui suivent doivent être faits avec les outils et méthodes du collège.
	
\end{sujet}

\begin{exercice}{}
	
	Soient $OIM$ un triangle rectangle en $I$ tel que $\widehat{IOM}=\frac{\pi}{4}$.
	
	\begin{tabular}{m{5cm}m{5cm}}
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
		\def\z{3}
		\coordinate (O) at (0,0);
		\coordinate (I) at ({\z *cos(45)},0);
		\coordinate (M) at ({\z *cos(45)},{\z *cos(45)});
		\coordinate (A) at (0.8,0.3);
		\draw (A)node {$\frac{\pi}{4}$};
		\draw (O)node[below]{$O$};
		\draw (I)node[below right]{$I$};
		\draw (M)node[right]{$M$};
		\draw(O)--(I)--(M)--(O);	
		\draw[black,thin] ({\z *cos(45)-0.2},0)--({\z *cos(45)-0.2},{0.2})--({\z *cos(45)},0.2);	
		\draw[black, thin, >=latex, ->][samples=100,domain=0:45] plot({0.5 *cos(\x)},{0.5 *sin(\x)});
		\end{tikzpicture}
		\end{center}
		&
		\begin{enumerate}
			
			\item 
			
			\begin{enumerate}
				
				\item Donnez une mesure en degré de $\widehat{IOM}$.
				
				\item Justifiez que $OIM$ est isocèle.
				
				\item Exprimez $OI$ en fonction de $OM$.
				
			\end{enumerate}
		
		\end{enumerate}
		
	\end{tabular}
	
	\begin{enumerate}
		\setcounter{enumi}{1}
		\item Déterminez, grâce à la définition du cosinus vue au collège, une expression de $OI$ en fonction de $\cos\left( \frac{\pi}{4} \right)$ et $OM$.
		
		\item Nous supposons de plus que $OM=1$. Déduisez-en une valeur exacte de $\cos \left( \frac{\pi}{4} \right)$.
		
	\end{enumerate}

\end{exercice}

\begin{correction}
\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			
			\item Par proportionnalité
			
			\begin{center}
				
				\begin{tabular}{|c|c|}
					\hline
					$2\pi$ & $\frac{\pi}{4}$
					\\
					\hline
					$360$ & $45$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
				
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\widehat{IOM}$ mesure $45\degres$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item La somme des mesures des angles d'un triangle doit être égale à $180\degres$ donc (en degré) \[ 45+90+ \widehat{OMI} = 180. \]
			
			D'où: $\widehat{OMI}=180-90-45=45$.
			
			Ainsi $\widehat{OMI}= \widehat{IOM}$ et par conséquent
			
			\begin{conclusion}
				
				$OIM$ est isocèle en $I$.
				
			\end{conclusion}
			
			
			\item $OIM$ est rectangle en $I$ donc, d'après le théorème de Pythagore: \[ OI^2+IM^2=OM^2. \]
			
			Comme de plus $OIM$ est isocèle en $I$: 
			
			\begin{align*}
				2OI^2 &= OM^2\\
				\intertext{ce qui équivaut à}
				OI^2 &= \frac{1}{2} OM^2\\
				\intertext{Puisque $OI$ est une longueur nécessairement:}
				OI &= \sqrt{\frac{1}{2} OM^2}\\
				&= \sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{OM^2}\\
				&= \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{OM^2}\\
				&= \frac{\sqrt{1} {\color{orange}\times \sqrt{2}}}{\sqrt{2} {\color{orange}\times \sqrt{2}}} \cdot \sqrt{OM^2}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$OI=\frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{OM^2}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
		\item Puisque $OIM$ est rectangle en $I$ \[ \cos \left( \widehat{IOM} \right) = \frac{OI}{OM}. \]
		
		Donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$OI=OM \times \cos \left( \frac{\pi}{4} \right)$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item Des deux questions précédentes nous déduisons par transitivité \[ \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{OM^2}= OM \times \cos \left( \frac{\pi}{4} \right). \]
		
		Et puisque $OM$ est une longueur donc un nombre positif:
		
		\begin{conclusion}
			
			$\cos \left( \frac{ \pi}{4} \right)= \frac{\sqrt{2}}{2}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}
\end{correction}

\begin{exercice}{}
	
	Soient $OHM$ un triangle rectangle en $H$ tel que $OM=1$ et $\widehat{HOM}=\frac{\pi}{3}$, $I$ le symétrique de $O$ par rapport à $H$.
	
	\begin{tabular}{m{4cm}m{7cm}}
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
		\def\z{3}
		\coordinate (O) at (0,0);
		\coordinate (H) at ({\z *cos(60)},0);
		\coordinate (M) at ({\z *cos(60)},{\z *cos(30)});
		\coordinate (I) at ({2*\z *cos(60)},0);
		\coordinate (A) at (0.8,0.3);
		\draw (A)node {$\frac{\pi}{3}$};
		\draw (O)node[below]{$O$};
		\draw (H)node[below]{$H$};
		\draw (M)node[right]{$M$};
		\draw (I)node[right]{$I$};
		\draw (I)node{$\bullet$};
		\draw(O)--(H)--(M)--(O);
		\draw[dashed, black,thin](I)--(H);	
		\draw[black,thin] ({\z *cos(60)-0.2},0)--({\z *cos(60)-0.2},{0.2})--({\z *cos(60)},0.2);	
		\draw[black, thin,>=latex,->][samples=100,domain=0:60] plot({0.5 *cos(\x)},{0.5 *sin(\x)});
		\end{tikzpicture}
		\end{center}
		&
		\begin{enumerate}
			\item 
			
			\begin{enumerate}
				
				\item Donnez une mesure en degré de $\widehat{HOM}$.
				
				\item Justifiez que $OI=1$.
				
				\item Déduisez-en la longueur $OH$.
				
			\end{enumerate}
			
			\item En utilisant la définition du cosinus vue au collège donnez une égalité liant $OH$ et $\cos \left( \frac{\pi}{3} \right)$. Puis déduisez-en une valeur exacte de $\cos \left( \frac{\pi}{3} \right)$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{tabular}
	
	\begin{enumerate}
		\setcounter{enumi}{2}
		\item En remarquant que $MH=\cos\left( \frac{\pi}{6} \right)$, trouvez une expression radicale de $\cos\left( \frac{\pi}{6} \right)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			
			\item Par proportionnalité
			
			\begin{center}
				
				\begin{tabular}{|c|c|}
					\hline
					$2\pi$ & $\frac{\pi}{3}$
					\\
					\hline
					$360$ & $60$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
				
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\widehat{IOM}$ mesure $60\degres$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item Puisque $\widehat{HOM}= 60\degres$ et puisque $I$ est le symétrique de $O$ par rapport à $H$, nécessairement $\widehat{MIH}=60\degres$.
			
			Le triangle $IOM$ ayant deux angles dont la mesure est $60\degres$ il est donc équilatéral.
			
			Comme $OM=1$ finalement
			
			\begin{conclusion}
				
				$OI=1$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item Puisque $I$ est le symétrique de $O$ par rapport à $H$: \[ OH = \frac{1}{2} OI. \]
			
			\begin{conclusion}
				
				$OH=\frac{1}{2}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
		\item Puisque $OHM$ est rectangle en $H$
		
		\begin{align*}
			\cos \left( \widehat{HOM} \right) &= \frac{OH}{OM}\\
			\cos\left( \frac{\pi}{3} \right) &= \frac{OH}{1}
		\end{align*}
		
		Donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$OH= \cos \left( \frac{\pi}{3} \right)$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		En tenant compte du résultat de la question précédente
		
		\begin{conclusion}
			
			$\cos \left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item La somme des mesures des angles d'un triangle vaut $\pi$ donc $\widehat{HOM}= \frac{\pi}{6}$.
		
		En utilisant la définition de collège du cosinus nous obtenons bien $MH=\cos \left( \frac{\pi}{6} \right)$.
		
		\medskip
		Le triangle $OHM$ est rectangle en $H$ donc, d'après le théorème de Pythagore: $HM=\sqrt{\frac{3}{4} }$.
		
		Donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$\cos \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{lecon}
	
	Le résultat à connaître par cœur est le suivant.
	
	\begin{center}
		\marginpar{\color{red}$\varheartsuit$}
		\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|m{2.5cm}|*{5}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\hline
			&&&&&\\
			$\theta$ (en radian) & $0$ & $\displaystyle  \frac{\pi}{6}$ & $ \displaystyle \frac{\pi}{4}$ & $\displaystyle \frac{\pi}{3}$ & $\displaystyle  \frac{\pi}{2}$
			\\
			&&&&&\\
			\hline
			&&&&&\\
			$\displaystyle \cos(\theta)$ & $ 1$ & $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ & $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$ & $\displaystyle \frac{1}{2}$ & $ 0$ 
			\\
			&&&&&\\
			\hline
			&&&&&\\
			$\displaystyle \sin(\theta)$ & $\displaystyle 0$ & $\displaystyle \frac{1}{2}$ & $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$ & $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ & $\displaystyle 1$ 
			\\
			&&&&&\\
			\hline
		\end{tabularx}
	\end{center}
	
\end{lecon}

\begin{notabene}
	
	Placer les valeurs remarquables ur le cercle trigonométrique.
	
\end{notabene}

\begin{exercice}{}
	
	Par des arguments de symétrie, par simple lecture graphique sur le cercle trigonométrique dites si les nombres proposés sont égaux ou opposés:
	
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{>{\centering\arraybackslash}X}}

	\begin{enumerate}
		\item $\cos \left( \frac{\pi}{6} \right)$ et $\cos \left( \frac{5\pi}{6} \right)$,
		
		\item $\sin \left(\frac{\pi}{3} \right)$ et $\sin \left( -\frac{\pi}{3} \right)$,
		
		\item $\cos \left( \frac{\pi}{4} \right)$ et $\cos \left( -\frac{3\pi}{4} \right)$,
		
		\item $\cos \left( \frac{\pi}{6} \right)$  et $\sin \left( \frac{4\pi}{6} \right)$.
	\end{enumerate}
	&
	
	
	\begin{enumerate}
		\setcounter{enumi}{4}
		\item $\cos \left( \theta \right)$ et $\cos \left( \pi-\theta \right)$,
		
		\item $\sin \left(\theta \right)$ et $\sin \left( -\theta \right)$,
		
		\item $\cos \left( \theta \right)$ et $\cos \left( \theta-\pi \right)$,
		
		\item $\cos \left( \theta \right)$  et $\sin \left( \frac{\pi}{2} + \theta \right)$,
		
		\item $\cos \left( \theta \right)$ et $\cos \left( -\theta \right)$.
		
	\end{enumerate}
	
	\end{tabularx}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\cos \left( \frac{\pi}{6} \right)=-\cos \left( \frac{5\pi}{6} \right)$,
		
		\item $\sin \left(\frac{\pi}{3} \right)=-\sin \left( -\frac{\pi}{3} \right)$,
		
		\item $\cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = -\cos \left( -\frac{3\pi}{4} \right)$,
		
		\item $\cos \left( \frac{\pi}{6} \right) = \sin \left( \frac{4\pi}{6} \right)$.
		
		\item $\cos \left( \theta \right) = -\cos \left( \pi-\theta \right)$,
		
		\item $\sin \left(\theta \right) = -\sin \left( -\theta \right)$,
		
		\item $\cos \left( \theta \right)=-\cos \left( \theta-\pi \right)$,
		
		\item $\cos \left( \theta \right)=\sin \left( \frac{\pi}{2} + \theta \right)$,
		
		\item $\cos \left( \theta \right)=\cos \left( -\theta \right)$.

	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\end{document}


\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}