%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
%\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{RoyalBlue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{Black}\underline{Remarques.}}\color{Black}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. #1} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}\dotfill
	
}{\dotfill \underline{fin de la correction de l'exercice \theExercicecorrection.}}

\newenvironment{exerciceapplication}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Application.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} }{ \end{colbox} }

\newenvironment{concours}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Concours.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} }{\medskip}

\newenvironment{recherche}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill { \color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Recherche.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} }{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration \theDemonstration \dotfill #1} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{Black} 
	
}{\noindent \color{PineGreen} \dotfill  Fin de la démonstration \hspace{1cm}~}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/1ieme.html}{Généralités sur les suites.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{details}
\exclure{bareme}
\exclure{notabene}
%\exclure{exercicecorrection}\exclure{correction}\exclure{preuve}\exclure{exemples}%papi
%\exclure{remarques}\exclure{corollaire}\exclure{lemme}\exclure{proposition}\exclure{theoreme}\exclure{culturegenerale}\exclure{definition}\exclure{lecon}
%\exclure{sujet}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\begin{notabene}
	
	Il faudrait peut être placer cette leçon après la leçon sur l'utilisation de la dérivation pour les variations car les variations des fonctions permettent de d'étudier les suites explicites.
	
\end{notabene}

\section{Généralités sur les suites.}

\begin{correction}
	
	Nous avons déjà découvert et étudié les suites arithmétiques et géométriques. Nous allons maintenant généraliser les notions, notations et résultats vus sur les suites.
	
\end{correction}

\subsection{Définition.}

\begin{definition}
	
	Soit $p \in \mathbb{N}$.
	
	\medskip
	Nous appellerons \emph{\color{purple}suite numérique réelle} toute application \[ u: \{ p,\ p+1,\ p+2,\ \dots \} \rightarrow \mathbb{R}. \]
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}
		\item La suite arithmétique de terme initial $37$ et de raison $\frac{1}{2}$ est l'application \[ \left\{ \begin{array}{rcl} \mathbb{N} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ n & \mapsto & \frac{1}{2} \times n +37 \end{array} \right. . \]
		
		\item La suite géométrique de terme initial $7$ et de raison $\frac{3}{7}$ est l'application \[ \left\{ \begin{array}{rcl} \mathbb{N} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ n & \mapsto & 7 \times \left( \frac{3}{7} \right)^n \end{array} \right. .\]
		
		\item L'application qui a tout entier naturel $n \geqslant 3$ associe le nombre de diagonales d'un polygone à $n$ côtés est une suite.
		
		\item L'application qui a tout entier naturel $n$ associe la somme des carrés des chiffres qui compose le nombre $n$ est une suite. Il semble compliquer de trouver une expression explicite pour cette suite.
		
		\item $u:\{ 0,\ 1,\ 2 \} \rightarrow \mathbb{R}$ n'est pas une suite car son domaine de définition est fini.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}
		\item Nous pouvons donc utiliser la notation fonctionnelle pour les suites: $u(n)$. L'usage, respectant en cela l'intuition, lui préfère la notation indicielle: $u_n$. Mathématiquement les deux notations sont équivalentes. Nous pourrions par exemple noter $(x^2)_{x\in\mathbb{R}}$ la fonction carrée.
		
		\item La plus petite valeur de l'ensemble de définition de la suite n'est pas toujours $0$. Autrement dit, le rang du terme initial de la suite n'est pas forcément $0$.
		
		\item Si $p \in \mathbb{N}$ est le rang du terme initial d'une suite $u$ alors nous la noterons le plus souvent $\left( u_n \right)_{n\geqslant p}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsection{Génération de suites.}

\begin{lecon}
	
	Il y a deux façons calculatoires usuelles de définir une suite: de \emph{\color{purple}façon explicite} ou bien \emph{\color{purple}par récurrence}.
	
	\medskip
	Nous dirons qu'une suite $(u_n)_{n\geqslant p}$ est définie de façon explicite si il existe une formule de calcul en fonction de $n$ qui permet de calculer les termes de la suite.
	
	Le plus souvent la formule de calcul est associée à une fonction numérique $f$ définie au moins sur $\mathbb{R}_+$. Nous noterons alors parfois $\left( f(n) \right)_{n\in\mathbb{N}}$.
	
\end{lecon}

\begin{notabene}
	
	Expliquer le fait que dorénavant nous écrirons la formule de calcul entre parenthèses plutôt que $(u_n)$ lorsque c'est possible.
	
\end{notabene}

\begin{exemples}
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}
		
		\item La suite arithmétique de terme initial $u_2=4$ et de raison $7$ est définie de façon explicite par: $u_n=4+7(n-2)$.
		
		\item $\left( n^2+3 \right)_{n\in\mathbb{N}}$ est une suite définie de façon explicite qui est associée à la fonction $f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}_+ & \rightarrow & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & x^2+3 \end{array} \right.$.
		
		\item Si $f:x \mapsto \frac{\sqrt{x}}{x^3-8}$ alors $\left( f(n) \right)_{n\geqslant 3}$ est une suite définie de façon explicite. 
		
		\item $\left( 7^n \right)_{n\in\mathbb{N}}$ est une suite définie de façon explicite bien que nous ne puissions pas, pour l'instant l'associer à une fonction définie sur $\mathbb{R}_+$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{lecon}
	
	\medskip
	Nous dirons qu'une suite est définie par récurrence si les termes de la suite se déterminent en fonction des termes précédents de la suite.
	
	La formule de récurrence est souvent associée à une fonction numérique réelle $f$ telle que: $f(u_n)=u_{n+1}$.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}
		\item La suite géométrique de terme initial $u_7=3$ et de raison $q=5$ est donnée par la formule de récurrence: $u_{n+1}=7 \times u_n$ pour tout $n \geqslant 7$. Autrement dit: $u_{n+1}=f(u_n)$  avec $f: x \mapsto 7x$.
		
		\item La suite de Fibonacci est définie par $u_0=$, $u_1=1$ et pour tout $n \geqslant 2$: $u_{n+2}=u_{n+1}+u_{n}$. Remarquons avec cet exemple qu'une formule de récurrence peut lier plus de termes de rangs différents de la suite. Nous dirons que la suite de Fibonacci est une suite récurrente d'ordre $2$.
		
		\item La suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=2u_n+n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ est définie par récurrence.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{}
	
	Déterminez la formule explicite pour une suite arithmétique $(u_n)_{n\geqslant p}$ où $p \in\mathbb{N}$.
	
	Même question pour une suite géométrique.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	Démontrons la formule explicite pour une suite arithmétique.
	
	\medskip
	Soit $k \in \mathbb{N}$ tel que $k \geqslant p$.
	
	{\color{orange}Nous allons déterminer la formule explicite de $u_k$.}
	
	Puisque $(u_n)_{n \geqslant k}$ est une suite arithmétique de raison $r$ et de terme initial $u_p$ on a successivement:
	
	\begin{align*}
		u_{\color{red}p+1} &= u_p+r\\
		\intertext{On remarque que $r$ est multiplié par ${\color{red}p+1}-p$.}
		u_{\color{Dandelion}p+2} &= u_{p+1}+r\\
		&= u_{p}+2r\\
		\intertext{On remarque que $r$ est multiplié par ${\color{Dandelion}p+2}-p$.}
		u_{\color{cyan}p+3} &= u_{p+2}+r\\
		&= u_p+3r\\
		\intertext{On remarque que $r$ est multiplié par ${\color{cyan}p+3}-p$.}
		u_{\color{Violet}p+4} &= u_p+4r\\
		\intertext{On remarque que $r$ est multiplié par ${\color{Violet}p+4}-p$.}
		u_{\color{Green}p+5} &= u_p +5r\\
		\intertext{On remarque que $r$ est multiplié par ${\color{Green}p+5}-p$. Par itération (en recommençant de même) nous en déduisons que pour $u_{\color{red}k}$, $r$ est multiplié par ${\color{red}k}-p$:}
		u_k &= u_p+(k-p)r
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		$\forall k \in \mathbb{N},\ k\geqslant \Rightarrow u_k=u_p+-k-p)r$.
	\end{conclusion}
	
	\medskip
	En procédant de même pour la suite géométrique:
	
	\begin{conclusion}
		
		$\forall k \in \mathbb{N},\ k\geqslant \Rightarrow u_k=u_p \times q^{k-p}$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\emph{Suite de Fibonacci.}
	
	Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite de Fibonacci définie par $u_0=0$ et $u_1=1$ et telle que \[ \text{quelque soit } n\in \mathbb{N},\ u_{n+2}= u_{n+1}+u_n \quad (P). \]
	
	\begin{enumerate}
		\item Nous souhaitons déterminer les suites géométriques qui vérifient la propriété $(P)$.
		
		\begin{enumerate}
			\item Soit $(v_n)$ est une suite géométrique dont la formule explicite est $v_n=v_0q^n$ avec $v_0\ne0$.
			
			Montrez que si $(v_n)$ vérifie la propriété $(P)$ alors forcément $q$ est solution de l'équation $x^2-x-1=0$.
			
			\item Résolvez l'équation $x^2-x-1=0$. Vous noterez $\alpha$ et $\beta$ les solutions.
			
		\end{enumerate}
		
		\item Démontrez que la suite définie par $w_n=a\alpha^n+b \beta^n$ avec $a$ et $b$ des réels quelconques vérifie la propriété $(P)$.
		
		\item Déduisez-en une formule explicite de la suite de Fibonacci.
		
		\item Calculez la somme $S_n$ des $n$ premiers termes de la suite de Fibonacci en fonction de $n \in \mathbb{N}$.
		
	\end{enumerate}
	
	\begin{notabene}
		
		La méthode vue ici se généralise à toute suite définie par une récurrence linéaire d'ordre 2.
		
	\end{notabene}
	 
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			
			\item Supposons que $(v_n)$ est une suite géométrique qui vérifie $(P)$.
			
			Nous avons donc, pour tout $n \in \mathbb{N}$ \[ u_{n+2}=u_{n+1}+u_n. \]
			
			Autrement dit, en utilisant la formule explicite de la suite géométrique: \[ v_0q^{n+1}=v_0q^{n+1} + v_0q^n. \]
			
			Cette égalité équivaut successivement à:
			
			\begin{align*}
				{\color{orange}v_0q^n} \times q^2 &= {\color{orange}v_0q^n} \times q + {\color{orange}v_0q^n} \times 1\\
				q^2 &= q+1\\
				q^2-q-1 &= 0
			\end{align*}
			
			\item $X^2-X-1$ est un trinôme du second degré avec $a=1$, $b=-1$ et $c=-1$.
			
			$\Delta = b ^2-4ac= (-1)^2-4 \times 1 \times (-1)= 5$.
			
			$\Delta >0$ donc le trinôme admet deux racines réelles distinctes: $\alpha = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$ et $\beta = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item Soit $n \in \mathbb{N}$.
		
		\begin{align*}
			w_{n+1} + w_n &= a\alpha^{n+1}+b\beta^{n+1} + a\alpha^n + b\beta^n\\
			&= {\color{orange}a\alpha^n} \times \alpha + {\color{orange}a\alpha^n} \times 1 +{\color{orange}b\beta^n} \times \beta + {\color{orange}b\beta^n} \times 1 \\
			&= {\color{orange}a\alpha^n}( \alpha+1) + {\color{orange}b\beta^n}(\beta+1)\\
			\intertext{Puisque $\alpha$ et $\beta$ sont des solutions de $x^2=x+1$:}
			w_{n+1}+ w_n &= {\color{orange}a\alpha^n} \times \alpha^2 +{\color{orange}b\beta^n}\times \beta^2\\
			&= a\alpha^{n+2} + b \beta^{n+2}\\
			&= w_{n+2}
		\end{align*}
		
		Ainsi $(w_n)$ vérifie la propriété $(P)$.
		
		\item Nous savons que forcément la suite de Fibonacci est de la même forme que $(w_n)$ car elle vérifie $(P)$.
		
		De plus elle doit vérifier $u_0=0$ et $u_1=1$. Donc
		
		\begin{align*}
			0 &= a\alpha^0+b\beta^0\\
			0 &= a+b
		\end{align*}
		
		et
		
		\begin{align*}
			1 &= a\alpha^1 + b\beta^1\\
			1 &= a\alpha + b \beta
		\end{align*}
		
		Ainsi $a$ et $b$ doivent être solution du système $\left\{ \begin{array}{rl} a+b &= 0\\ \alpha a + \beta b &= 1 \end{array} \right.$.
		
		En procédant par substitution: $a=-b$ donc $(-\alpha + \beta) b =1$. Autrement dit: $\sqrt{5}b=1$. Enfin: $b=\frac{\sqrt{5}}{5}$ et $a=-\frac{\sqrt{5}}{5}$.
		
		\begin{conclusion}
			
			$\forall n\in \mathbb{N},\ u_n=\frac{\sqrt{5}}{5} \left( \frac{1-\sqrt{5}}{5} \right)^n -\frac{\sqrt{5}}{5} \left( \frac{1+\sqrt{5}}{5} \right)^n$.
			
		\end{conclusion}
		
		ou plus simplement:
		
		\begin{conclusion}
			
			$\forall n\in \mathbb{N},\ u_n=\frac{\sqrt{5}}{5} \left( \alpha^n - \beta^n \right)$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item Notons $s_{1,n}= \sigma_{k=0}^n \alpha^n$ et $s_{2,n}= \sigma_{k=0}^n \beta^n$.
		
		Il s'agit des sommes des termes de deux suites géométriques donc:
		
		$s_{1,n}=\frac{\alpha^{n+1}-1}{\alpha-1}$ et $s_{2,n}=\frac{\beta^{n+1}-1}{\beta-1}$.
		
		D'où:
		
		\begin{conclusion}
			
			$S_n = \frac{\sqrt{5}}{5} \left( \frac{\alpha^{n+1}-1}{\alpha-1} -\frac{\beta^{n+1}-1}{\beta-1}\right)$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\subsection{La variation d'une suite.}

\begin{correction}
	
	Puisque les suites sont des fonctions nous étudierons notamment leur sens de variation. Et donc:
	
\end{correction}

\begin{lecon}
	
	Une suite est dite croissante si elle est croissante en tant que fonction de la variable $n$. Il en est de même pour les expressions \og décroissante \fg{}, \og strictement croissante \fg{} et \og strictement décroissante \fg{}.
	
\end{lecon}

\subsubsection{Cas général.}

\begin{theoreme}{}
	
	Soient:
	\begin{enumerate}[.]
		\item $p \in \mathbb{N}$,
		\item $\left( u_n \right)_{n \geqslant p}$ une suite numérique.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	$\left( u_n \right)_{n \geqslant p}$ est strictement croissante si et seulement si \[ \text{quelque soit } n\geqslant p:\ u_{n+1}-u_n>0.\]
	
\end{theoreme}

\begin{preuve}{}
	
	{\color{orange}Rappelons la définition de fonction strictement croissante. Une fonction $f$ est strictement croissante si et seulement si pour tous nombres $a$ et $b$ choisis dans son ensemble de définition si $a<b$ alors, forcément, $f(a)<f(b)$.}
	
	\medskip
	Notons $\mathscr{D}_p= \{ p;\ p+1;\ \dots \}$.
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item Soit n$ \geqslant p$ un entier naturel.
		
		Si $u$ est une fonction strictement croissante sur $\mathscr{D}_p$, alors par définition de la croissance: quelque soient $a$ et $b$ dans $\mathscr{D}_p$, si $a<b$ alors $u(a)<u(b)$.
		
		En particulier pour $a=n$ et $b=n+1$: $u(n)<u(n+1)$.
		
		Autrement dit: $0< u(n+1)-u(n)$.
		
		\item Supposons que, quelque soit $n \geqslant p$, $u_{n+1}>u_n$ et démontrons que $u$ est strictement croissante.
		
		Soient $a<b$ deux éléments de $\mathscr{D}_p$. Nous avons de proche en proche: $u(a)<u(a+1)<u(a+2)< \dots <u(b)$.
		
		Ainsi $u$ est strictement croissante.
		
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\begin{exemples}
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}
		\item Afin de connaître le sens de variation de la suite définie, pour tour $n \in \mathbb{N}$ par $u_n=n^2$ nous devons étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
		
		Soit donc $n \in \mathbb{N}$.
		
		{\color{orange} Comme $u_{n+1}=(n+1)^2$.}
		
		\begin{align*}
			u_{n+1}-u_n &= (n+1)^2-n^2 \\
			&= 2n+1
		\end{align*}
		
		Donc: $u_{n+1}-u_n>0$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ et $\left( u_n \right)_{n\in\mathbb{N}}$ est strictement croissante.
		
		\item La suite définie sur $\mathbb{N}$ par $u_{n+1}=u_n+n^2+1$ et $u_0=0$ est strictement croissante puisque, quelque soit le $n \in \mathbb{N}$ choisi nous avons:
		\begin{align*}
			u_{n+1}-u_n &= n^2+1
		\end{align*}
		
		Donc $u_{n+1}-u_n>0$, pour tout entier naturel $n$. Et par conséquent $\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ est strictement croissante.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}


\begin{remarques}
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}
		\item Ce résultat est incontournable en particulier pour les suites définies par récurrence.
		
		\item Ce résultat est en fait une expression simplifiée de la définition générale de fonction strictement croissante pour des fonctions définies sur des entiers naturels.
		
		\item Une analogie avec les suites arithmétiques est possible. Nous regardons si la raison (qui ici est en fait variable), c'est à dire la variation absolue entre deux termes consécutifs est positive ou non. Comme pour les suites arithmétiques: si la raison est positive alors la suite est croissante.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{}
	
	Énoncez des résultats similaires pour: croissante, strictement décroissante, puis, décroissante.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Étudiez le sens de variation de la suite $u$ dans les cas suivants.
	
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout $n\geqslant 3$, $u_{n+1}=u_n+5$.
		
		\item $u_n=n+\frac{1}{n+1}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
		
		\item $u_{n+1}=u_n-n-1$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ et $u_0=2$.
		
		\item $u_n=n^2-4$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
		
		\item $u_n=n^2-5n+1$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
		
		\item Pour tout $n\geqslant 1$, $u_n=3^n-5$.
		
		\item $u_0=-5$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=u_n+n^2$.
		
		\item $u_0=3$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=\frac{3}{u_n}$.
		
		\item Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n=2^n-8$.
		
		\item Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n=1+0,5^n$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exerciceapplication}
	
	Exercice 53 page 87 du manuel Indice.
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item Soit $n \in \mathbb{N}$.
		
		\begin{align*}
			u_{n+1}-u_n &= \left[ 2(n+1)^2-(n+1)+1 \right] - \left[ 2n ^2-n+1 \right]\\
			&= 2(n+1)^2-(n+1) +1 -2n^2+n-1\\
			&= 2(n+1)^2-(n+1)-2n^1+n\\
			&= 2 \left( n^2+2n+1 \right) -n-1-2n^2+n\\
			&= 2n^2+4n+2-1-2n^2\\
			&= 4n+1
		\end{align*}
		
		Or $4n+1>0$ puisque $n \geqslant 0$, donc $u_{n+1}-u_n>0$.
		
		Ainsi nous avons établi que, quelque soit $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1}-u_n>0$. Autrement dit:
		
		\begin{conclusion}
			
			$\left( u_n \right)_{n\in\mathbb{N}}$ est strictement croissante.
			
		\end{conclusion}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			u_{n+1}-u_n &= \frac{1}{2^{n+1}} - \frac{1}{2^n}\\
			&= \frac{1}{2^{n+1}} - \frac{2}{2^{n+1}}\\
			&= \frac{1-2}{2^{n+1}}\\
			&= -\frac{1}{2^{n+1}}\\
			&<0
		\end{align*}
		
		$\left( u_n \right)_{n\in\mathbb{N}}$ est strictement décroissante.
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			u_{n+1}-u_n &= 2n+3\\
			&>0
		\end{align*}
		
		$\left( u_n \right)_{n\in\mathbb{N}}$ est strictement croissante.
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			u_{n+1}-u_n &= -\sqrt{u_n^2+3}\\
			&<0
		\end{align*}
		
		$\left( u_n \right)_{n\in\mathbb{N}}$ est strictement décroissante.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Pour les suites à termes strictement positifs.}

\begin{proposition}{}
	
	Soient:
	\begin{enumerate}[.]
		
		\item $p \in \mathbb{N}$,
		
		\item $(u_n)_{n\geqslant p}$ dont tous les termes sont strictement positifs.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	\begin{enumerate}[(i)]
		
		\item Si quelque soit $n\geqslant p$: \[ \frac{u_{n+1}}{u_n}>1, \] alors $(u_n)_{n\geqslant p}$ est strictement croissante.
		
		\item Si quelque soit $n\geqslant p$: \[ 0<\frac{u_{n+1}}{u_n}<1, \] alors $(u_n)_{n\geqslant p}$ est strictement décroissante.
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Soit $n \geqslant$ un entier.
		
		Puisque $u_n>0$:
		\begin{align*}
			\frac{u_{n+1}}{u_n} >1 &\Leftrightarrow \frac{u_{n+1}}{u_n} {\color{orange} \times u_n} >1 {\color{orange} \times u_n}\\
			&\Leftrightarrow u_{n+1}>u_n\\
			&\Leftrightarrow u_{n+1}-u_n>0
		\end{align*}
		
		Nous avons démontré que quelque soit l'entier naturel $n$ choisi nous avons toujours: $u_{n+1}-u_n>0$.
		
		Autrement dit la suite $(u_n)_{n\geqslant p}$ est strictement croissante.
		
		\item Semblable.
		
	\end{enumerate}

\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}
		\item Il faut évidemment que la suite ne s'annule pas car il est impossible de diviser par $0$.
		
		\item Le cas $\frac{u_{n+1}}{u_n}=0$, pour tout $n \geqslant p$, n'aurait tout simplement pas de sens puisque la suite ne doit pas s'annuler.
		
		\item Le cas $\frac{u_{n+1}}{u_n}=1$ correspond à une suite constante.
		
		\item Une analogie avec les suites géométriques est possible. Nous regardons si la raison (qui ici est en fait variable), c'est à dire le coefficient multiplicateur entre deux termes consécutifs est strictement supérieur à $1$. Comme pour les suites arithmétiques: si la raison est strictement supérieure à $1$ alors la suite est strictement croissante.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice avec des exponentielles et des simplifications;
		
	\end{notabene}
	
	Étudiez les variations des suites suivantes.
	
	\begin{enumerate}
		\item $\displaystyle u_n=\frac{n}{n+1}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
		
		\item $u_n=3^{2n^2+1}$ pour tout entier $n\in\mathbb{N}$.
		
		\item $\displaystyle u_n=\frac{3^n \times 2^{n+1}}{3^{2n} \times 2^n}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\subsubsection{Suite définie par une formule explicite.}

\begin{proposition}{}
	
	Soient:
	\begin{enumerate}[.]
		\item $p \in\mathbb{N}$,
		
		\item $f: \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Si $f$ est strictement croissante sur $[p;+\infty[$ alors la suite $\left( f(n) \right)_{n \geqslant p}$ est strictement croissante.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	Soit $n$ un entier naturel avec $n \geqslant p$.
	
	Puisque $f$ est strictement croissante et $n<n+1$, $f(n)<f(n+1)$. Autrement dit: $f(n+1)-f(n)>0$.
	
	Donc $(f(n))$ est strictement croissante.
	
\end{preuve}

\begin{exemples}
	
	\medskip
	\begin{enumerate}
		\item $(n^2)_{n \in \mathbb{N}}$ est strictement croissante car la fonction carré est strictement croissante sur $\mathbb{R}_+$.
		
		\item La suite $\left( \frac{1}{n} \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$ est strictement décroissante puisque la fonction inverse est strictement décroissante sur $]0;+\infty[$.
		
		\item $\left( n^2-6n-15 \right)_{n\geqslant 3}$ est strictement croissante car la fonction $f: x \mapsto x^2-6x-15$ est strictement croissante sur $[3;+\infty[$ (d'après son tableau de variation obtenu avec la forme canonique ou l'étude du signe de $f'$).
		
		\item Nous ne pouvons étudier la monotonie de la suite $\left( 2^n \right)_{n\in\mathbb{N}}$, qui est pourtant donnée par une formule explicite, car nous ne connaissons par de fonction \og $x \mapsto 2^x$ \fg{}.
		
		\item La réciproque est fausse. La suite $\left( \left( n-\frac{1}{4} \right)^2+1 \right)_{n\in\mathbb{N}}$ est strictement croissante et pourtant la fonction $f: x \mapsto \left( x-\frac{1}{4} \right)^2+1$ n'est pas strictement monotone sur $\mathbb{R}_+$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}
	
\begin{remarques}
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}
		\item Nous avons des résultats semblables pour des fonctions diversement monotones: strictement décroissante, croissante et décroissante.
		
		\item Ce résultat signifie que la connaissance de la monotonie de la fonction $f$ permet de connaître celle de $(f(n))_{n\geqslant p}$.
		
		\item La réciproque est fausse.
		
		\item Ce résultat deviendra particulièrement intéressant quand nous saurons étudier les variations d'une fonction grâce à la fonction dérivée.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{}
	
	Exercice 54 page 87 du manuel Indice.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $f:x \mapsto 3x^2-4$. Nous reconnaissons la forme canonique d'un trinôme avec $a=3$, $\alpha =0$ et $\beta=-4$. Donc $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
		
		\item $b: x \mapsto -2x+1$ est une fonction affine avec $a=-2$ et $b=1$. Donc $g$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie par: $u_n=\sin \left( \frac{n\pi}{2} \right)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculez les quatre premiers termes de cette suite.
		
		\item Soit $n$ un entier naturel. Exprimez $u_{n+4}$ en fonction de $u_n$.
		
		\item Déduisez-en les valeurs de $u_{2012}$, $u_{2013}$, $u_{2014}$ et $u_{2015}$.
		
	\end{enumerate}
	
	\begin{notabene}
		
		Nous rencontrons un suite périodique de période $4$.
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{enumerate}
		\item $u_0=0$, $u_1=1$, $u_2=0$, $u_3=-1$.
		
		\item $u_{n+4}= \sin \left( \frac{(n+4)\pi}{2} \right) = \sin \left( \frac{n\pi}{2} + 2\pi \right) = \sin \left( \frac{n\pi}{2} \right) =u_{n}$.
		
		\item $2012= 503 \times 4$ donc $u_{2012} = u_0=0$. Et on en déduit: $u_{2013}=1$, $u_{2014}=0$ et $u_{2015}=-1$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\subsection{Utilisation d'une suite auxiliaire.}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Suite arithmético géométrique. Exercice 140 page 137 du manuel hachette repères 2011.
		
	\end{notabene}
	
	Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie pour tout nombre entier naturel $n$ par: \[ \left\{ \begin{array}{l} u_{n+1}= 0,9u_n+90\\ u_0= 1000 \end{array} \right. \]
		
	\begin{enumerate}
		\item Calculez $u_1$et $u_2$.
		
		\item On considère la suite $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie pour tout nombre entier naturel $n$ par $v_n=u_n-900$.
		
		\begin{enumerate}
			\item Calculez $v_0$ et $v_1$.
			
			\item Montrez que pour tout nombre entier naturel $n$, $v_{n+1}= 0,9v_n$.
			
			\item Quelle est la nature de la suite $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$? Écrivez $v_n$ en fonction de $n$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item Déduisez-en pour tout nombre entier naturel $n$, $u_n=100 \times 0,9^n+900$.
		
		\item Déterminez à l'aide la calculatrice de la valeur de laquelle semble se rapprocher $u_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
		
		\item À partir de quel nombre entier $n$ a-t-on $u_n\leqslant 901$?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Soient $(w_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $(S_n)_{n\in \mathbb{N}}$ les suites définies, pour tout $n \in \mathbb{N}$ par \[ w_n=-n^2+2n \quad \text{et} \quad S_n=w_{n+1}-w_n. \]
	
	\begin{enumerate}
		\item Exprimez $w_{n+1}$ en fonction de $n$.
		
		\item Déduisez-en l'expression de $S_n$ en fonction de $n$.
		
		\item Exprimez $S_{n+1}$ en fonction de $n$.
		
		\item Déduisez-en que $S_{n+1}-S_n=-2$ quelque soit $n \in \mathbb{N}$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{align*}
			w_{n+1} &= -(n+1)^2+2(n+1)\\
			&= -(n^2+2n+1) +2n+2\\
			&= -n^2-2n-1+2n+2\\
			&= -n^2+1
		\end{align*}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			S_n &= w_{n+1}-w_n\\
			&= -n^2+1-\left( -n^2+2n \right)\\
			&= -n^2+1 +n^2-2n\\
			&= -2n+1
		\end{align*}
		
		Dès ici nous remarquons que la suite $(S_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est arithmétique de terme initial $S_0=1$ et de raison $-2$. Ce qui répond aux questions suivantes.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		1ieme s hachette repere 2011.
		
	\end{notabene}
	
	Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite réelle définie par $u_0=-1$ et $u_{n+1}=\sqrt{u_n^2+3}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Justifiez que la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est bien définie.
		
		\item Montrez que la suite définie sur $\mathbb{N}$ par $v_n=u_n^2$ est une suite arithmétique.
		
		\item Donnez l'expression du terme général $v_n$ en fonction de $n$.
		
		\item Déduisez-en l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
		
		\item Trouvez la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n\geqslant 50$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $u_n^2+3 \geqslant 0$.
		
		\item $v_{n+1}=u_{n+1}^2=u_n^2+3=v_n+3$.
		
		\item $v_n=-1+3n$.
		
		\item $u_n=\sqrt{-1+3n}$ si $n\geqslant 1$ et $u_0=-1$.
		
		\item $u_n>50$ donc $-1+3n\geqslant 2500$ et $n\geqslant \frac{2500-1}{3} = 833$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Soit $(u_n)$ une suite définie sur $\mathbb{N}$ par $u_0=1$ et $u_{n+1}= \dfrac{2u_n}{2+3u_n}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculez $u_2$ et $u_3$.
		
		\item La suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est-elle arithmétique?
		
		\item On suppose que pour tour entier naturel $n$, $u_n\ne 0$ et on définie la suite $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ par $v_n=\frac{1}{u_n}$.
		
		\begin{enumerate}
			\item Montrez que la suite $(v_n)$ est arithmétique et donnez ses éléments caractéristiques.
			
			\item Donnez l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
			
			\item Donnez l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item Étudiez la monotonie de la suite $(u_n)$.
		
		\item Montrez que pour tour $n$ de $\mathbb{N}$, $0<u_n\leqslant 1$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{align*}
		u_1 &= \frac{2u_0}{2+3u_0}\\
		&= \frac{2\times 1}{2+3 \times 1}\\
		&= \frac{2}{5}
		\end{align*}
		
		De même
		
		\begin{align*}
			u_2 & = \frac{1}{4}\\
			u_3 &= \frac{2}{11}
		\end{align*}
		
		\item $u_2-u_1=-\frac{3}{20}$ et $u_3-u_2=-\frac{3}{44}$ donc pas arithmétique.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item $v_{n+1}=\frac{1}{u_{n+1}}=\frac{2+3u_{n+1}}{2u_{n+1}}$
			
			$v_{n+1}-v_n= \frac{2+3u_{n}}{2u_{n}} - \frac{1}{u_n}=\frac{2+3u_n-2}{2u_n}=\frac{3}{2}$. $r=\frac{3}{2}$ et $u_0=1$
			
			\item $v_n=1+\frac{3}{2}n$.
			
			\item $u_n=\frac{1}{1+\frac{3}{2}n}$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item $\frac{u_{n+1}}{u_n}= \frac{1+\frac{3}{2}n}{1+\frac{3}{2}(n+1)} <1$. Donc strictement décroissante.
		
		\item $u_n>0$ par formule explicite et $u_n\leqslant 1$ par monotonie.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\subsection{Convergence et divergence.}

\subsubsection{Avec une représentation graphique.}

\begin{notabene}
	
	En utilisant des formules explicites.
	
\end{notabene}

\begin{notabene}
	
	L'idée de limite de la suite peut être associée à la question: que se passe-t-il si on continue indéfiniment? Quels valeurs prend la suite lorsque devien infiniment grand?
	
	Trois situations peuvent se présenter.
	
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	Nous voudrions dans une approche intuitive essayer de conjecturer ce qu'il advient d'une suite lorsque $n$ devient très grand. Idéalement nous dirons lorsque \og $n$ tend vers $+\infty$\fg{}.
	
	Nous ne verrons pas de définition théorique de ces notions, elles seront étudiées en terminales.
	
	Étudions trois exemples de suites définie explicitement à partir de leur représentation graphique. \[ \left( \frac{1}{n} \right)_{n\in\mathbb{N}^*} \quad \left( (-1,1)^n \right)_{n\in\mathbb{N}} \quad \left( n \right)_{n\in\mathbb{N}}. \]
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{21};
	\def\yZ{11};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
	\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{0.1*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$n$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$\frac{1}{n}$};
	\foreach \n in {1,2,...,20} \draw ({\n},{10/\n}) node{$\times$};
	\draw (12,9) node[fill=white]{\begin{tabular}{m{6cm}}
		$\left( \frac{1}{n} \right)_{n \in \mathbb{N}^*}$\\
		La suite est dite \emph{\color{purple}convergente}.\\
		La limite de la suite semble être $0$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
		\end{tabular}};
	\end{tikzpicture}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-6};
	\def\xZ{21};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
	\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$n$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$(-1,1)^n$};
	\foreach \n in {1,2,...,20} \draw ({\n},{(-1.1)^(\n)}) node{$\times$};
	\draw (15,0) node[fill=white]{\begin{tabular}{m{6cm}}
		$\left( (-1,1)^n \right)_{n \in \mathbb{N}^*}$\\
		La suite est dite \emph{\color{purple}divergente}.\\
		La suite n'admet pas de limite lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
		\end{tabular}};
	\end{tikzpicture}
	
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{18};
	\def\yZ{18};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
	\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$n$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$n$};
	\foreach \n in {1,2,...,17} \draw ({\n},{\n}) node{$\times$};
	\draw (6,16) node[fill=white]{\begin{tabular}{m{6cm}}
		$\left( n \right)_{n \in \mathbb{N}}$\\
		La suite est dite \emph{\color{purple}divergente}.\\
		La suite admet $+\infty$ pour limite infinie lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
		\end{tabular}};
	\end{tikzpicture}
	
	Dans les exemples précédents le suites était définies explicitement ce qui permet d'obtenir facilement une représentation graphique. Qu'en est-il pour les suites définies par récurrence?
	
\end{lecon}

\subsubsection{Une autre représentation graphique pour une suite définie par récurrence.}

\begin{lecon}
	
	Lorsqu'une suite est définie par une formule de récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout entier naturel  nous utiliserons une nouvelle représentation graphique de la suite qui permet une construction géométrique des termes successifs de la suite.
	
	\medskip
	Cliquez sur l'image pour voir le diaporama.
	
	\begin{center}
	\href{http://unemainlavelautre.net/1ieme/1ieme_suites_et_series_02_generalites_sur_les_suites_diaporama_convergence_recurrence.pdf}{
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.3,yscale=0.3]
		\def\xY{-0.5};
		\def\yY{-0.5};
		\def\xZ{10};
		\def\yZ{10};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
		\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
		\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$u_n$};
		\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$u_n$};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:10] plot(\x,{0.6*\x+1});
		\draw[blue, dashed][samples=100,domain=0:10] plot(\x,{\x});
		\draw (20,4) node[fill=white]{\begin{tabular}{m{3cm}}
			$x\mapsto 0,6x+1$\\
			$u_{n+1}=f(u_n)$\\
			et $u_0=9$
			\end{tabular}};
		\end{tikzpicture}
	}
	\end{center}
	
	\begin{notabene}
		
		$0,1 x^2$
		
	\end{notabene}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{10};
	\def\yZ{10};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
	\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:10] plot(\x,{0.1*\x^(2)});
	\draw[blue, dashed][samples=100,domain=0:10] plot(\x,{\x});
	\draw (3,9) node[fill=white]{\begin{tabular}{m{1cm}}
		$u_0=9$
		\end{tabular}};
	\end{tikzpicture}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{10};
	\def\yZ{10};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
	\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=1:8] plot(\x,{1.5*\x-2});
	\draw[blue, dashed][samples=100,domain=0:10] plot(\x,{\x});
	\draw (3,9) node[fill=white]{\begin{tabular}{m{1cm}}
		$u_0=5$
		\end{tabular}};
	\end{tikzpicture}
	
\end{lecon}

\subsubsection{Conjecturer avec des outils informatiques.}

\begin{notabene}
	
	Conjecturer la limite de la suite $u_{n+1}=u_n+\frac{n+1}{10}$
	
	Puis suite harmonique.
	
\end{notabene}

\subsection{Exercices.}

\begin{exercice}{}
	
	Exercices utilisant des listes Python 3: exercices 63 à 66 page 88 du manuel Indice.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 131 page 135 du manuel hachette repère de première S 2011.
		
	\end{notabene}
	
	Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par \[ u_{n+1}=\frac{3u_n+4}{u_n+3} \ \text{et}\ u_0=1.\]
	
	\begin{enumerate}
		\item De quelle façon est définie la suite $(u_n)$?
		
		\item Donnez l'expression de la fonction $f$ telle que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=f(u_n)$.
		
		\item Représentez graphiquement la fonction $f$, puis représentez les cinq premiers termes de la suite sur ce graphique.
		
		\item Que pouvez-vous conjecturer quant aux variations de cette suite?
		
		\item Soit $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie pour tout entier $n$, par $v_n=\frac{u_n+2}{u_n-2}$. Montrez que $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est une suite géométrique.
		
		\item Déduisez-en $v_n$ en fonction de $n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 139 page 137 du manuel hachette repère de première S 2011.
		
	\end{notabene}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item On considère le nombre $B$ dont l'écriture décimale illimitée est $\np{0,375375375} \dots$ où $375$ est répété indéfiniment. Le nombre $B$ est-il rationnel? Justifiez votre réponse.
		
		\item On considère la suite $\left( u_n \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$ définie par son premier terme $u_1=0,375$ et $u_{n+1}=10^{-3}u_n$ pour tout entier $n$.
		
		\begin{enumerate}
			\item Quelle est la nature de la suite $\left( u_n \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$?
			
			\item On considère pour tout entier naturel $n$, la somme $S_n$ des $n$ premiers termes de la suite $\left( u_n \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$. On a donc $S_n=u_1+u_2+u_3+\dots+u_n$.
			
			Exprimez $S_n$ en fonction de $n$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item Conjecturez la valeur de $\lim_{n\to+ \infty}10^{-3n}$.
		
		\item Déduisez-en $\lim_{n\to +\infty} S_n$. Que représente ce nombre par rapport à $B$?
		
	\end{enumerate}
	
	
\end{exercice}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			\def\xY{-0.5};
			\def\yY{-0.5};
			\def\xZ{8.5};
			\def\yZ{7};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
			\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
			\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
				-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
				-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
				-- (2,0) 
				--(-0.5,0)
				-- cycle;
			\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (5,-1);
		\coordinate (F) at (6,0);
		\coordinate (C) at (7,1);
		\coordinate (D) at (2,2);
		\coordinate (O) at (3.5,0.5);
		\coordinate (S) at (3.5,6);
		\coordinate (J) at (3.5,3.5);
		\coordinate (K) at (3,4.666);
		\draw (A) node {$\bullet$};
		\draw (B)node {$\bullet$};
		\draw (F)node {$\bullet$};
		\draw (C)node {$\bullet$};
		\draw (D)node {$\bullet$};
		\draw (O)node {$\bullet$};
		\draw (S)node {$\bullet$};
		\draw (J)node {$\bullet$};
		\draw (K)node {$\bullet$};
		\draw (A)node[below]{$A$};
		\draw (B)node[below right]{$B$};
		\draw (F)node[right]{$F$};
		\draw (C)node[right]{$C$};
		\draw (D)node[above right]{$D$};
		\draw (O)node[above right]{$O$};
		\draw (S)node[above]{$S$};
		\draw (J)node[above right]{$J$};
		\draw (K)node[below right]{$K$};
		\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
		\draw[blue, thick](A)--(S);
		\draw[blue, thick](B)--(S);
		\draw[blue, thick](C)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
		\draw[blue, thick](F)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
		\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
		\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
		\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
	\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		\coordinate (A1) at (4,3);
		\coordinate (A2) at (4,1);
		\coordinate (A3) at (4,-1);
		\coordinate (A4) at (4,-3);
		\coordinate (B1) at (2,2);
		\coordinate (B2) at (2,-2);
		\coordinate (C1) at (0,0);
		\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
		\draw node (A12) at (A2) {$2$};
		\draw node (A13) at (A3) {$3$};
		\draw node (A14) at (A4) {$4$};
		\draw node (B11) at (B1) {$1$};
		\draw node (B12) at (B2) {$2$};
		\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
		\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
		\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
		\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
		\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}
	
	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
		{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,d,+,}%
		\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

\subsection{Tab2.}

		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
		{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
		\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
		\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
		\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
		\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
		\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
					}{
					6\;
					}
				}
				
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
					}
				}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


	\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
		\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
		\\
		\hline
		Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
		\\
		\hline
		Série $P$ &&&&&& 
		\\
		\hline
	\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}