%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
%\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{Blue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{Blue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{RoyalBlue}}{}

\newenvironment{remarques}{\color{Black!80}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. #1} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}
	
}{~\newline}

\newenvironment{exerciceapplication}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Application.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

\newenvironment{concours}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Concours.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

\newenvironment{recherche}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill { \color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Recherche.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration #1} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 
	
}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/sup_1ieme_cpge_lettres_et_sciences_sociales.html}{Suites arithmétiques et géométriques.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{details}
\exclure{bareme}
\exclure{notabene}
%\exclure{correction}
%\exclure{exercicecorrection}\exclure{preuve}\exclure{exemples}
%\exclure{corollaire}\exclure{lemme}\exclure{proposition}\exclure{theoreme}\exclure{culturegenerale}\exclure{remarques}\exclure{definition}\exclure{lecon}
%\exclure{sujet}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Suites arithmétiques et géométriques.}

\begin{notabene}
	
	Plein d'exercices originaux et de contexte historiques didier dimathème 1re 1982
	
\end{notabene}

\begin{notabene}
	
	Faire en sorte que toutes les suites commencent au rang $0$ et conserver les situations de premier rang différents pour le cas général.
	
	De même pas d'ensemble ni de rang en indice comme $\left( u_n \right)_{n\in\mathbb{N}}$ notation à conserver pour la fin de l'année.
		
\end{notabene}

\begin{notabene}
	
	Il faut que les exercices soient suffisamment variés pour avoir toutes les situations du programmes: notamment toutes les capacités attendues. PIocher en priorité dans les épreuves de bac de première.
	
\end{notabene}

\begin{notabene}
	
	Les suites sont le domaine privilégié pour l'introduction des algorithmes: révision de Python et fonction Python dans chaque exercice.
	
\end{notabene}

\subsection{Suites de trucs.}

\subsubsection{Suites logiques.}

\href{https://www.mon-qi.com/test-logique/test.php}.

\begin{recherche}
	
	Trouvez la logique des suites suivantes et complétez-les.
	
	\begin{tabular}{m{5cm}|m{5cm}}
		
		\begin{enumerate}
			\item $-8$; $-5$; $-2$; $1$; $\dots$
			
			\item $1$; $2$; $3$; $5$; $8$; $13$; $\dots$
			
			\item $-2$; $6$; $-18$; $54$; $\dots$
			
		\end{enumerate}
		
		&
		
		\begin{enumerate}
			\setcounter{enumi}{3}
			
			\item $1$; $2$; $4$; $8$; $16$; $\dots$
			
			\item $1$; $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{9}$; $\frac{1}{27}$; $\dots$
			
			\item $\frac{2}{5}$; $\frac{9}{35}$; $\frac{4}{35}$; $-\frac{1}{35}$; $\dots$
			
		\end{enumerate}
		
	\end{tabular}
	
\end{recherche}


\begin{concours}{}
	
	\emph{C.R.P.E. 2020}.
	
	\medskip
	Le mathématicien suédois von Koch a imaginé en 1904 une figure géométrique obtenue à partir d’un triangle équilatéral par réitération d’une transformation appliquée à chaque côté d’un triangle. Cette figure s’appelle \emph{le flocon de von Koch}.
	
	Pour passer d’une figure à la suivante, chaque côté est partagé en trois segments de même longueur. On remplace le tiers central de chaque segment par un triangle équilatéral sans base. On répète cette opération sur la figure obtenue.
	
	On donne les trois premières étapes de construction:
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[scale=3]
		\def\lA{1};
		\begin{scope}
		\draw(0,0) node{};
		\end{scope}
		\foreach \ab/\ordo/\degr/\sca in {0/0/0/1 , {\lA}/0/120/1 , {\lA/2}/{sqrt(3)/2*\lA}/240/1}
		{\begin{scope}[shift={({\ab},{\ordo})} , rotate={\degr} , scale={\sca}]
			\def\chapeau{--++({\lA/3},0) --++({\lA/6},{-sqrt(3)/2*\lA/3}) --++({\lA/6},{sqrt(3)/2*\lA/3}) --++({\lA/3},{0})};
			\draw[thick] ({0},{0}) \chapeau;
			\draw[dotted,thick] ({\lA/3},0) -- ({2*\lA/3},0);
			\end{scope}}
		\draw ({\lA/2},{-\lA/3-\lA/6}) node {Figure 1.};
		%Étape 2
		\def\xB{1.5};
		\foreach \ab/\ordo/\degr/\sca in {{\xB}/0/0/{1/3} , {\xB+\lA/3}/0/{-60}/{1/3} , {\xB+\lA/3+\lA/6}/{-sqrt(3)/2*\lA/3}/{60}/{1/3} , {\xB+2*\lA/3}/0/0/{1/3} , {\xB+\lA}/0/120/{1/3} , {\xB+\lA-\lA/6}/{sqrt(3)*\lA/6}/60/{1/3} , {\xB+\lA-\lA/6+\lA/3*cos(60)}/{sqrt(3)*\lA/6+\lA/3*sin(60)}/180/{1/3} , {\xB+\lA/2+\lA/6}/{sqrt(3)/2*\lA*2/3}/120/{1/3} , {\xB+\lA/2}/{sqrt(3)/2*\lA}/240/{1/3} , {\xB+\lA/2-\lA/6}/{sqrt(3)/2*\lA*2/3}/180/{1/3} , {\xB+\lA/2-\lA/6-\lA/3}/{sqrt(3)*\lA/6+\lA/3*sin(60)}/300/{1/3} , {\xB+\lA/6}/{sqrt(3)/2*\lA/3}/240/{1/3}}
		{\begin{scope}[shift={({\ab},{\ordo})} , rotate={\degr} , scale={\sca}]
			\def\chapeau{--++({\lA/3},0) --++({\lA/6},{-sqrt(3)/2*\lA/3}) --++({\lA/6},{sqrt(3)/2*\lA/3}) --++({\lA/3},{0})};
			\draw[thick] ({0},{0}) \chapeau;
			\draw[dotted,thick] ({\lA/3},0) -- ({2*\lA/3},0);
			\end{scope}}
		\draw ({\xB+\lA/2},{-\lA/3-\lA/6}) node {Figure 2.};
		%Étape 0
		\draw[thick] ({-\xB+\lA-\lA},{0}) -- ({-\xB+\lA},0) -- ({-\xB+\lA-\lA/2},{sqrt(3)*\lA/2}) -- cycle;
		\draw ({-\xB+\lA/2},{-\lA/3-\lA/6}) node {Figure 0.};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
	Que pouvez-vous dire du périmètre des flocons? de l'aire?
	
\end{concours}

\begin{recherche}
	
	Voici un script rédigé en Python.
	
	\begin{center}
		\begin{minipage}{3cm}
			\lstset{emph={suite}, emphstyle=\color{red},
				emph={[2]u,k,n}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
def suite(n):
    k=0
    u=4
    while k<n:
        u=2*u-3
        k=k+1
    return(u)
\end{lstlisting}
		\end{minipage}
	\end{center}
	
	Dressez le tableau d'état des variables lorsqu'un utilisateur tape dans une console l'instruction
	
	\begin{center}
		\begin{minipage}{3cm}
			\lstset{emph={suite}, emphstyle=\color{red},
				emph={[2]u,k,n}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
>>> suite(4)
\end{lstlisting}
		\end{minipage}
	\end{center}
	
\end{recherche}

\subsubsection{Définition intuitive d'une suite numérique.}

\begin{lecon}
	
	\og Numérique \fg{} signifiant \og de nombres \fg{} nous nous intéressons ici uniquement aux suites de nombres.
	
	Vous verrez en terminale qu'une \emph{\color{purple}liste de nombres} est une succession ordonnée de nombres. Par exemple $(1;2;4)$ est une liste. L'exemple typique de liste est celui des couples de coordonnées. Le fait que la liste est ordonnée implique en particulier que $(1;2) \ne (2;1)$.
	
	Une \emph{\color{purple}suite numérique} peut être comprise comme une liste infinie de nombres.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\medskip
	Exemples.
	\begin{enumerate}
		\item $(0;1;2;3;4;\dots)$: les entiers naturels forment une suite.
		
		\item $(1;1;1; \dots)$ est une suite formée uniquement de $1$. Nous dirons qu'il s'agit d'\emph{\color{purple}une suite constante}.
		
		\item $(3;14;15;9;9;9; \dots)$ et $(3;15;14;9;9;9;\dots)$ sont deux suites distinctes car l'ordre des termes compte.
		
		\item $(1;2;4;8; \dots)$ les nombres $1$, $2$, $4$, $8$, etc, qui apparaissent dans la suite sont appelés \emph{\color{purple}les termes} de la suite.
		
		\item Il existe des suites crées au hasard. C'est d'ailleurs un domaine important des probabilités.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsubsection{Notations.}

\begin{lecon}
		
	Nous aurons besoin pour établir les formules générales d'une notation générique (donc littérale) pour désigner une suite de nombres.
	
	Les termes (nombres) de la suite sont numérotés dans l'ordre en commençant par $0$. Le numéro d'un terme de la suite est appelé son \emph{\color{purple}rang}.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\medskip
	Exemples.
	\begin{enumerate}
		\item Dans la suite $(17;19;21;23;\dots)$, $17$ est le terme de rang $0$, $19$ est le terme de rang $1$, $21$ est le terme de rang $2$, etc.
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{lecon}
	
	Les suites seront le plus souvent notées $u$, $v$ ou $w$ mais sans exclusivisme. Les termes de la suite seront alors: $u_0$, $u_1$, $u_2$, etc. Pour un \emph{\color{purple}terme général} nous écrirons $\color{purple}u_n$.
	
\end{lecon}


\begin{exemples}
	
	\medskip
	Exemples.
	\begin{enumerate}
		
		\item Pour la suite numérique $(17;19;21;23;\dots)$: $u_0=17$, $u_1=19$, $u_2=21$, etc.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}
	

\medskip
Pour indiquer qu'il s'agit de la suite (la liste infinie donc) et non pas d'un terme particulier de la suite nous écrirons avec des parenthèses: $\color{purple}(u_n)$, $\color{purple}(v_n)$ et $\color{purple}(w_n)$ désignent les suites.

\subsubsection{Construction par récurrence d'une suite.}

\begin{lecon}
	
	Un procéder assez naturel pour créer une suite et d'expliquer le procéder qui permet de passer d'un terme de la suite au suivant. Cette façon de définir étape par étape en continuant indéfiniment est appelé une \emph{\color{purple}construction par récurrence.}
	
	La construction d'une suite par récurrence exige de connaître le point de départ: le \emph{\color{purple}terme initial} de la suite.
	
\end{lecon}

\subsection{Suites arithmétiques.}

\subsubsection{Définition.}

\begin{definition}
	
	Soit $(u_n)$ une suite de nombres.
	
	\medskip
	Nous dirons que $(u_n)$ est \emph{\color{purple}arithmétique} si et seulement si il existe un nombre $r\in\mathbb{R}$ tel que	{\color{purple}pour tout $n\in \mathbb{N}$}: \[ \color{purple} u_n+r =u_{n+1}.\]
	Si $(u_n)$ est arithmétique nous dirons que $r$ est \emph{\color{purple}la raison} de la suite.
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\medskip
	Exemples.
	\begin{enumerate}
		\item $(-3,2;\ -1,2;\ 1,8;\ 3,8\; \dots)$ est une suite arithmétique de premier terme $-3,2$ et de raison $2$.
		
		\item $(u_n)=(-6;\ -9;\ -12; \dots)$ est une suite arithmétique de terme initial $u_0=-6$ et de raison $-3$.
		
		\item $(v_n)=(1;1;1;1;\dots)$ est une suite arithmétique de terme initial $u_0=1$ et de raison $r=0$. Nous dirons qu'une telle suite est \emph{\color{purple}constante}. Les suites constantes sont toutes des suites arithmétiques de raison $0$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\medskip
	Remarques.
	\begin{enumerate}
		\item Pour décrire une suite arithmétique nous indiquerons systématiquement son terme initial $u_0$ et sa raison $r$. Du moins quand ce sera possible.
		
		\item Autrement dit la suite $(u_n)$ est arithmétique si et seulement si il existe un nombre $r\in\mathbb{R}$ de sorte que chaque terme de la suite s'obtient à partir du précédent en lui ajoutant $r$.
		
		\item Les égalités $u_n+r =u_{n+1}$ (pour $n\in\mathbb{n}$) représente la relation de récurrence entre deux termes consécutifs de la suite.
		
		Ces égalités constituent la \emph{\color{purple}formule de récurrence.}
		
		Le terme de rang $n+1$ s'obtient à partir du terme précédent, celui de rang $n$ en ajoutant $r$.
		
		Ce sont ces égalités qui justifieront dans les exercices que la suite est arithmétique.
		
		\begin{notabene}
			
			Insister sur le fait qu'il y a deux lignes de calculs différentes dans l'écriture précédente et que nous rencontrerons dorénavant des expressions avec trois lignes d'écriture: normale, indice et exposant. Des efforts d'attention dans la lecture et d'écriture pour la présentation seront nécessaires.
			
		\end{notabene}
		
		\item La formule de récurrence est le plus souvent écrite dans l'autre sens :$u_{n+1}=u_n+r$. Ce qui n'est pas sans rappeler la commande d'affectation en Python; la nouvelle valeur de la variable $u$ s'obtient à partir de la précédente.
		
		\item Le terme initial est absolument indispensable pour définir une suite par récurrence: il faut connaître le point de départ. La raison de suffit pas. Pour décrire une suite arithmétique nous préciserons toujours, si possible, son terme initial et sa raison.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		À partir des premiers termes des suites suivantes dites s'il s'agit de suites arithmétiques ou non.
		
	\end{notabene}
	
	Sont donnés à chaque fois les premiers termes d'une suite dites s'il peut s'agir d'une suite arithmétique.
	
	\begin{enumerate}
		\item $(u_n)=(12;\ 15;\ 17; \dots)$.
		
		\item $(v_n)= (\pi;\ 2\pi;\ 4\pi; \dots)$.
		
		\begin{notabene}
			
			Utiliser cet exemple en rajoutant soit $8\pi$ soit $6\pi$ à la suite pour montrer que les premiers termes ne suffisent pas à à garantir que nos ayons une suite arithmétique. Il faut vérifier pour tout entier naturel $n$.
			
		\end{notabene}
		
		
		\item $(w_n) = (4;\ 3,3;\ 2,6; \dots)$.
		
		\item $(u_n)=(-1;\ 1;\ -1; \dots)$.
		
		\item $(v_n)= (0;\ 2\pi;\ 4\pi; \dots)$.
		
		\begin{notabene}
			
			Utiliser cet exemple en rajoutant soit $8\pi$ soit $6\pi$ à la suite pour montrer que les premiers termes ne suffisent pas à à garantir que nos ayons une suite arithmétique. Il faut vérifier pour tout entier naturel $n$.
			
		\end{notabene}
		
		
		\item $(w_n) = (4;\ -3;\ -10; \dots)$.
		
	\end{enumerate}
		
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{WildStrawberry}Nous ne démontrons pas que la suite est arithmétique nous conjecturons ce que ce pourrait être d'après les premiers termes. Nous faisons une modélisation, à la façon des sciences expérimentales: nous essayons de trouver un objet mathématique qui correspondent aux données expérimentales.}
	
	{\color{WildStrawberry}Si la suite n'est pas arithmétique il suffit par contre de trois termes pour démontrer qu'elle n'est pas arithmétique.}

\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Un artisan commence la pose d’un carrelage dans une grande pièce.
	
	Le carrelage choisi a une forme hexagonale.
	
	L’artisan pose un premier carreau au centre de la pièce puis procède en étapes successives de la façon suivante:
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		
		\item à l’étape 0, il entoure le carreau central, à l’aide de 6 carreaux et obtient une première forme.
		
		\item à l’étape 1 et aux étapes suivantes, il continue ainsi la pose en entourant de carreaux la forme précédemment construite.
	\end{enumerate}
	
	
	\begin{center}
		
		\includegraphics[scale=0.2]{1ieme_suites_et_series_01_suites_arithmetiques_et_geometriques_01_exercice_carrelage.png}
		
	\end{center}

	On note $u_n$ le nombre de carreaux ajoutés par l’artisan pour faire la $n$-ième étape ($n \geqslant 0$).
		
	Déterminez les trois premiers termes de la suite $\left( u_n \right)$ et sa nature.
	
	\begin{notabene}
		
		Explication de la question \og déterminer la nature de la suite \fg{}.
		
		Dans la pratique le choix de la suite arithmétique pour modéliser est arbitraire et relève de l'interprétation du contexte.
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item En comptant sur la figure les hexagones blancs: $u_0=6$.
		
		\item En comptant sur la figure: $u_1=12$.
		
		\item Avec un peu d'imagination ou en crayonnant à la main la rangée suivante on obtient: $u_2=18$.
		
	\end{enumerate}
	
	{\color{WildStrawberry}La question de la nature d'un objet mathématique est une question récurrente en mathématiques mais dont les réponses peuvent être très variées. Pour nous cette année, cette question appellera trois réponses possibles: la suite est arithmétique ou la suite est géométrique ou la suite n'est ni arithmétique ni géométrique.}
	
	Nous pouvons conjecturer que
	
	\begin{conclusion}
		
		la site est arithmétique de premier terme $u_0=6$ et de raison $r=6$.
		
	\end{conclusion}

\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	En 2019, le nombre d’abonnés à une page de réseau social d’un musicien était de $\np{6000}$.
	
	On suppose que chaque année, il obtient $750$ abonnés supplémentaires.
	
	On désigne par $u_n$ le nombre d’abonnés en 2019$+n$ pour tout entier naturel $n$.
	
	Déterminez les trois premiers termes de la suite $\left( u_n \right)$ et sa nature.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Soit $(u_n)$ une suite arithmétique telle que $u_5 = 26$ et $u_9 = 8$. La raison de $(u_n)$ vaut: $-18$? $\dfrac{8}{26}$? $4,5$? $-4,5$?

\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Calcul des termes successifs d'une suite en utilisant une fonction Python.
		
	\end{notabene}
	
	On définit ci-dessous la fonction Python {\color{red}\texttt{truc}}.
	
	\begin{center}
		\begin{minipage}{4cm}
			\lstset{emph={truc}, emphstyle=\color{red},
				emph={[2]u,k,n}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
def truc(n):
    k=0
    u=4
    while k<n:
        u=2*u-3
        k=k+1
    return(u)
\end{lstlisting}
		\end{minipage}
	\end{center}
	
	On définie une suite $(u_n)$ en posant: $u_0={\color{red}\texttt{truc}}(0)$, $u_1={\color{red}\texttt{truc}}(1)$, $u_2={\color{red}\texttt{truc}}(2)$, ...
	
	\begin{enumerate}
		\item Donnez les trois premiers termes de $(u_n)$.
		
		\item D'après les trois premiers termes, $(u_n)$ peut-elle être arithmétique?
		
		\item Donnez la valeur de $u_{1000}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\subsubsection{Représentation graphique.}

\begin{exercice}{}
	
	Depuis l'an 2000 date à laquelle il recensait $\np{3650}$ clients, un site de commerce en ligne voit le nombre de ses clients augmenter chaque année de $\np{2500}$.
	
	On désigne par $u_n$ le nombre de clients en 2000$+n$ pour tout entier naturel $n$.
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Déterminez la nature de $(u_n)$.
		
		\item Recopiez et complétez le tableau ci-dessous.
		
		{\hspace{-0.5cm}
		\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\hline
			Rang $n$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 
			\\
			\hline
			Valeur de $u_n$ &&&&&&
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
		}
		
		\begin{notabene}
			
			Montrer l'utilisation de la mémoire de la calculatrice.
			
		\end{notabene}
		
		\item Parmi les représentations graphiques statistiques suivantes, indiquez lesquels seraient ici pertinentes en justifiant: diagramme circulaire, nuage de point, diagramme en bâton,diagramme en barres, histogramme, ligne polygonale, polygone des fréquences cumulées croissantes, ligne "courbe".
		
		\item Représentez la série statistique obtenue à la question 1. par un nuage de point.
		
		\item Que remarquez-vous sur le précédent graphique? Par quelle fonction serait-on tenter de modéliser la suite $(u_n)$?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{lecon}
	
	Le plus souvent nous représenterons graphiquement une suite $(u_n)$ par des nuages de points en indiquant en abscisse le rang du terme, $n$, et en ordonnée la valeur du terme de la suite, $u_n$.
	
\end{lecon}

\begin{notabene}
	
	Ajouter un petit graphique à la proposition pour montrer l'idée.
	
\end{notabene}

\begin{proposition}{}
	
	Soit $(u_n)$ une suite arithmétique.
	
	\medskip
	Les points de coordonnées $(n;u_n)$, pour tout entier naturel $n$, qui forment le nuage de point représentant la suite, sont alignés.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}
	
	\begin{notabene}
		
		En utilisant la caractérisation des fonctions affines grâce au taux d'accroissement. Autrement dit il y a proportionnalité entre la variation des ordonnées et la variation des abscisses.
		
	\end{notabene}
	
	La démonstration de ce résultat découle de la formule explicite des suites arithmétiques vue juste après.
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\medskip
	Remarques.
	\begin{enumerate}
		\item Qui dit alignement, dit droite. Qui dit droite, dit fonction affine. Nous sommes donc tenter de trouver un lien entre les suites arithmétiques et les fonctions affines.
		
		\begin{notabene}
			
			Que serait une telle fonction affine? Sa variable (regarder la représentation graphique)? Ses valeurs ? Sa formule de calcul? Taux d'accroissement et raison? Ordonnée à l'origine?
			
			Il faut se poser ces questions pour la suite dessinée à l'exercice précédent. Par lecture graphique c'est plus simple d'établir le résultat.
			
		\end{notabene}
		
	\end{enumerate}	
	
\end{remarques}

\subsubsection{Formule explicite.}

\begin{proposition}{}
	
	Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r \in \mathbb{R}$ (et de terme initial $u_0$).
	
	\medskip
	Quelque soit $n\in \mathbb{N}$, \[ u_n= r \times n + u_0. \]
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	Voici deux façons de démontrer ce résultat.
	
	\begin{enumerate}[*]
		
		\item Par sommation des égalités successives puis simplification.
		
		{\color{orange}Nous ne devons pas montrer une égalité mais une infinité d'égalités: pour chaque valeur de $n$ il faut montrer une égalité. Il s'agit d'une propriété universelle et notre rédaction commence donc par choisir, par fixer, un $n$ quelconque.}
		
		\medskip
		Soit $n \in \mathbb{N}$.
		
		Pour obtenir le terme $u_n$ nous avons utilisé la relation de récurrence $n$ fois:
		
		\begin{align*}
			u_0+r &= {\color{WildStrawberry}u_1}\\
			{\color{WildStrawberry}u_1}+r &= {\color{blue}u_2}\\
			{\color{blue}u_2}+r &= {\color{Green}u_3}\\
			{\color{Green}u_3} +r &= \dots\\
			\dots &= {\color{violet}u_{n-1}}\\
			{\color{violet}u_{n-1}}+r &= u_n
		\end{align*}
		
		Si nous additionnons ces $n$ égalités nous obtenons \[ u_0+ r + {\color{WildStrawberry}u_1}+r + {\color{blue}u_2}+r +{\color{Green}u_3} + r+ \dots {\color{violet}u_{n-1}} + r = {\color{WildStrawberry}u_1} + {\color{blue}u_2} + {\color{Green}u_3}+ \dots + {\color{violet}u_{n-1}} +u_n. \]
		
		En soustrayant ${\color{WildStrawberry}u_1}$, ${\color{blue}u_2}$, ${\color{Green}u_3}$, ..., $ {\color{violet}u_{n-1}}$ de chaque membre de cette égalité nous obtenons l'égalité équivalente: \[ u_0+r+r+r+ \dots +r = u_n \] où $r$ apparaît $n$ fois (autant de fois qu'il y avait d'égalité sommées).
		
		Finalement: $u_0+n \times r=u_n$.
		
		\begin{conclusion}
			
			Nous avons démontré que quelque soit $n \in \mathbb{N}$, $u_n = n\times r +u_0$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item Par induction (récurrence intuitive).
		
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\medskip
	Remarques.
	
	\begin{enumerate}
		\item Nous dirons que nous avons une \emph{\color{purple}formule explicite} des terme de la suite, par opposition à la formule de récurrence. Nous pouvons trouver directement les valeurs des termes de la suite sans avoir besoin de recalculer tous les termes successifs. 
		
		\item Réciproquement toute suite définie par une formule explicite de la forme: $u_n=an+b$ est une suite arithmétique (cf exercice 12).
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}
	
	\begin{notabene}
		
		À partir du contexte démontrer que la suite est arithmétique et en déduire la formule explicite: sujet de bac. Puis question calcul de terme résoudre une équation (est-il possible d'avoir telle valeur? de dépasser telle valeur?)
		
		sujet 8 spe math première
		
	\end{notabene}
	
	En 2019, le nombre d’abonnés à une page de réseau social d’un musicien était de $\np{6000}$.
	
	On suppose que chaque année, il obtient $750$ abonnés supplémentaires.
	
	On désigne par $u_n$ le nombre d’abonnés en 2019$+n$ pour tout entier naturel $n$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le nombre d’abonnés en 2020 et 2021.
		
		\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
		
		\item Quelle est la nature de la suite $(u_n)$?
		
		\item En déduire une expression de $u_n$ en fonction de $n$.
		
		\item En quelle année le nombre d’abonnés aura triplé par rapport à l’année 2019?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exerciceapplication}
	
	\begin{notabene}
		
		Sujet 50
		
	\end{notabene}
	Fanny est inscrite dans un club d’athlétisme. Elle pratique le penta bond (le penta bond est un enchaînement de cinq bonds après une course d’élan).
	
	La première semaine d’entraînement, Fanny réalise un saut de $8\ \mathrm{m}$.
	
	Chaque semaine, la longueur de son saut augmente de $0,1\ \mathrm{m}$.
	
	Pour $n$ entier naturel non nul, on note $s_n$ la longueur, en mètres, de son saut la $n$-ième semaine d’entraînement.
	
	Puisque lors de la première semaine d’entraînement, Fanny réalise un saut de $8\ \mathrm{m}$, on a $s_0 = 8$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Pour $n \geqslant 2$, on considère la fonction Python suivante.
		
		
		\begin{center}
			\begin{minipage}{6cm}
				\lstset{emph={saut}, emphstyle=\color{red},
					emph={[2]s,k,n}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
def saut(n):
    s=8
    for k in range(2,n+1):
        s=s+0.1
    return s
\end{lstlisting}
			\end{minipage}
		\end{center}
		
		\begin{enumerate}
			\item Quelle valeur {\color{Orange}\texttt{s}} est-elle renvoyée par la commande {\color{red}\texttt{saut}}(4)?
			
			\item Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
			
		\end{enumerate}
		
		\item Exprimer avec justification $s_n$ en fonction de $n$ pour $n$ entier naturel non nul.
		
		\item Pour être qualifiée à une compétition, Fanny doit faire un saut d’au moins $12$ mètres.
		
		\begin{enumerate}
			
			\item À partir de quelle semaine, Fanny réalisera-t-elle un tel saut?
			
			\item Justifier votre réponse.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exerciceapplication}

\begin{correction}
\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item {\color{WildStrawberry}Dans ce genre de question il n'y a pas vraiment de justification attendue. Nous allons quand même donné un tableau d'état des variables qui accompagne la lecture et le déchiffrage du  programme.}
			
			{\color{orange}
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
					\hline
					Instruction & $n$ & $s$ & $k$ & $k<n+1$
					\\
					\hline
					saut(4) & $4$ & & &
					\\
					\hline
					s=8 & $4$ & $8$ & &
					\\
					\hline
					for ... & $4$ & $8$ & $2$ & vrai
					\\
					\hline
					s=s+0.1 & $4$ & $8,1$ & $2$ & vrai
					\\
					\hline	
					for ... & $4$ & $8,1$ & $3$ & vrai
					\\
					\hline
					s=s+0.1 & $4$ & $8,2$ & $3$ & vrai
					\\
					\hline
					for ... & $4$ & $8,2$ & $4$ & vrai
					\\
					\hline
					s=s+0.1 & $4$ & $8,3$ & $4$ & vrai
					\\
					\hline
					for ... & $4$ & $8,3$ & $5$ & faux
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{center}
			}
			
			\begin{conclusion}
				
				La commande {\color{red}\texttt{saut}}(4) renvoie $8,3$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip {\color{red}\texttt{saut}}(4) renvoie $8,3$ cependant la présentation de Python est un peu différente.
			
			\begin{conclusion}
				
				{\color{red}\texttt{saut}}(4) renvoie $8.299999999999999$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item {\color{red}\texttt{saut}}(4) est la valeur de $s_3$.
			
			\begin{conclusion}
				
				Au bout de quatre semaines son saut atteindra $4\ \mathrm{m}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
		
		\item {\color{orange}Puisque le premier saut mesurait $8\ \mathrm{m}$ et que chaque semaine cette performance est augmentée de $0,1\ \mathrm{m}$ nous pouvons affirmer que} pour tout $n \in \mathbb{N}$, \[ s_{n+1}=s_n+0,1.\]
		
		Autrement dit:
		
		\begin{conclusion}
			
			$(s_n)$ est une suite arithmétique de terme initial $s_0=8$ et de raison $r=0,1$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Déterminons la plus petite valeur de $n$ de sorte que $s_n \geqslant 12$.}
		
		D'après la question précédente $(u_n)$ est arithmétique et donc sa formule explicite est, pour tout $n \in \mathbb{N}$:
		
		\begin{align*}
			u_n &= r \times n +u_0\\
			\intertext{Donc:}
			u_n &= 0,1n+8
		\end{align*}
		
		Soit $k \in \mathbb{N}$.
		
		\begin{align*}
			u_k\geqslant 12 &\Leftrightarrow 0,1k+8\geqslant 12\\
			&\Leftrightarrow 0,1k \geqslant 12-8\\
			&\Leftrightarrow 0,1k \geqslant 4\\
			&\Leftrightarrow k \geqslant \frac{4}{0,1}\ \quad \text{car } 0,1>0\\
			&\Leftrightarrow k \geqslant 40
		\end{align*}
		
		
		\begin{conclusion}
			
			À partir de la quarante-et-unième semaine le saut est supérieur ou égale à $12\ \mathrm{m}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}
\end{correction}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Donner des formules explicites et vérifier si la suite est arithmétique.
		
	\end{notabene}
	
	\begin{notabene}
		
		Baratin sur propriété universelle et contre-exemple.
				
	\end{notabene}
	
	Les suites suivantes sont-elles arithmétiques?
	
	\begin{enumerate}
		\item $(u_n)$ définit pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $u_n=(n+2)^2-n^2$.
		
		\begin{notabene}
			
			Pour celui-là méthode générale différences de deux termes consécutifs.
			
		\end{notabene}
		
		\item $(v_n)$ telle que, quelque soit $n$ entier positif, $v_n=n^2+1$.
		
		\item $(w_n)$ avec, pour tout entier naturel $n$, $w_n=-3n+2$.
		
		\begin{notabene}
			
			Méthode de la différence de deux termes consécutifs puis constater que cela se généralise sans difficulté: dès que l'on rencontre cette formule explicite il est possible d'affirmer qu'il s'agit d'une suite arithmétique.
			
		\end{notabene}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item {\color{WildStrawberry}Si la suite n'est pas arithmétique il suffira peut être des trois premiers termes pour s'en rendre compte. Commençons donc par cela.}
		
		{\color{orange}
			\begin{align*}
				u_0 &= (0+2)^2-0^2\\
				&= 4\\
				u_1 &= (1+2)^2-1^2\\
				&= 8\\
				u_3 &= (2+2)^2-2^2\\
				&= 12
			\end{align*}
			
			$u_1-u_0=u_2-u_1=4$. Nous ne pouvons pas affirmer que la suite n'est pas arithmétique.
		}
		
		\medskip
		\objectif{Démontrons que $(u_n)$ est arithmétique.}
		
		{\color{WildStrawberry}Nous devons démontrer que l'écart entre deux termes consécutifs de la suite est toujours le même.}
		
		Soit $n\in\mathbb{N}$.
		
		\begin{align*}
			u_{n+1}-u_n &= ((n+1)+2)^2-(n+1)^2-  \left[ (n+1)^2-n^2 \right]\\
			&= (n+3)^2-(n+1)^2-(n+1)^2+n^2\\
			&= n^2+6n+9-n^2-2n-1-n^2-2n-1+n^2\\
			&= 4
		\end{align*}
		
		Nous avons démontré que 
		
		 \begin{conclusion}
		 	
		 	$(u_n)$ est arithmétique de terme initial $u_0=4$ et de raison $4$.
		 	
		\end{conclusion}
		
		\item $v_0=1$, $v_1=2$ et $v_3=5$. Donc $v_1-v_0=1$ et $v_2-v_1=3$. Par conséquent
		
		\begin{conclusion}
			
			$(v_n)$ n'est pas arithmétique.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Démontrons que $(w_n)$ est arithmétiques.}
		
		Soit $n\in\mathbb{N}$.
		
		\begin{align*}
			w_{n+1}-w_n &= -3(n+1)+2-\left[ -3n+2 \right]\\
			&= -3n-3+2+3n-2\\
			&= -3
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$(w_n)$ est une suite arithmétique de raison $r=-3$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
		
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Monotonie.}

\begin{notabene}
	
	Que signifie d'après vous que la suite est croissante? Faire émerger l'idée que d'un terme à l'autre ça augmente.
	
\end{notabene}

\begin{lecon}
		
	Intuitivement nous dirons qu'une suite est croissante si lorsqu'on passe d'un terme de la suite au suivant il y a une augmentation.
	
	\begin{notabene}
		
		Autrement dit une définition serait: quelque soit $n \in \mathbb{N}$, $u_n \leqslant u_{n+1}$.
		
	\end{notabene}
	
\end{lecon}

\begin{corollaire}{}
	
	Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $r \in\mathbb{R}$.
	
	\begin{itemize}
		\item Si $r>0$ alors $(u_n)$ est strictement décroissante.
		
		\item Si $r<0$ alors $(u_n)$ est strictement croissante.
		
		\item Si $r=0$ alors $(u_n)$ est constante (égale à $u_0$).
		
	\end{itemize}
	
\end{corollaire}

\begin{preuve}{}
	
	Dans la mesure où nous n'avons pas de définition (pour l'instant) de la monotonie d'une suite nous ne pouvons pas démontrer ce résultat très intuitif.
	
\end{preuve}

\subsubsection{Série arithmétique: somme des termes d'une suite arithmétique.}

\begin{notabene}
	
	D'abord somme des premiers entiers: deux présentations avec les couples et en doublent la liste.
	
	Puis deuxième suite en additionnant de proche en proche: simplification, télescopage, des égalités.
	
\end{notabene}

\begin{exemples}
	
	
	\medskip
	Exemples.
	
	\begin{enumerate}
		\item Somme des entiers naturels de $1$ à $100$.
		
		\begin{notabene}
			
			Présentation géométrique avec les marches d'escalier.
			
		\end{notabene}
		
		\item Suite arithmétique de terme initial $u_0=5$ et de raison $10$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{proposition}{ - Somme des termes d'une suite arithmétique}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $(u_n)$ une suite arithmétique de terme initial $u_0 \in \mathbb{R}$ et de raison $r\in\mathbb{R}$,
		
		\item $k \in \mathbb{N}$.
		
	\end{enumerate}
	
	\[ u_0+u_1+ u_2 + \dots + u_k= (k+1)\frac{u_0+u_k}{2}. \]
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\medskip
	Remarques.
	\begin{enumerate}
		\item Autrement dit: c'est le produit du nombre de termes par la moyenne du premier et du dernier.
		
		\item Nous noterons aussi avec le symbole sommatoire évoqué à propos des polynômes: \[ \sum_{m=0}^k u_m = (k+1)\frac{u_0+u_k}{2}. \]
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{}
	
	En reprenant la situation de l'exercice 5 répondez aux questions suivantes.
	
	\begin{enumerate}
		\item Combien l’artisan a-t-il ajouté de carreaux pour faire l’étape 5 ? Combien a-t-il alors posé de carreaux au total lorsqu’il termine l’étape 5 (en comptant le carreau central initial)?
		
		\item On pose, pour $k \geqslant 1$, $S_k = u_0 + u_1 + \dots + u_{k-1}$. Montrer que $S_k = 6(1 + 2 + 3 +\dots+ k)$ puis que $S_k = 3k^2 + 3k$.
		
		\item Si on compte le premier carreau central, le nombre total de carreaux posés par l’artisan depuis le début, lorsqu’il termine la $(n-1)$-ième étape, est donc $3n^2 + 3n + 1$. À la fin de sa semaine, l’artisan termine la pose du carrelage en collant son $\np{2977}\ieme$ carreau. Combien a-t-il fait d’étapes?
		
	\end{enumerate}
		
\end{exercice}

\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}
	
	\begin{notabene}
		
		QCM de sujet 14.
		
	\end{notabene}
	
	Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de terme initial $u_0 = 2$ et de raison $3$.
	
	Calculez la somme $S$ définie par $S = u_0 + u_1 + \dots + u_{12}$.
	
\end{exercice}

\begin{recherche}
	
	Exprimez, pour $k \in \mathbb{N}$, la somme des $k$ premiers termes d'une suite arithmétique en fonction du terme initial et de la raison de cette dernière.
	
\end{recherche}

\begin{notabene}
	
	\begin{exercice}{}
		
		Exercices 23 à 31 page 85 du manuel Indice.
		
	\end{exercice}
	
	\begin{exercice}{}
		
		Exercices 74 page 88 à 88 page 90 du manuel Indice.
		
	\end{exercice}
	
\end{notabene}

\subsection{Suites géométriques.}

\begin{notabene}
	
	En travail personnel refaire une leçon comme celle pour les suites arithmétiques. Il faut juste donner et écrire la définition de géométrique.
	
\end{notabene}

\subsubsection{Définition.}

\begin{notabene}
	
	Défe, identifier, ou non, une suite arithmétique d'après le contexte, d'après les premiers termes de la suite, retrouver sa raison à partir de deux termes consécutifs ou non.
	
\end{notabene}

\begin{definition}
	
	Soit $(u_n)$ une suite de nombres.
	
	\medskip
	Nous dirons que $(u_n)$ est \emph{\color{purple}géométrique} si et seulement si il existe un nombre $q\in\mathbb{R}$ de sorte que \[ \color{purple} u_n \times q=u_{n+1},\ \text{pour tout } n\in \mathbb{N}.\]
	
	Si $(u_n)$ est géométrique nous dirons que $q$ est \emph{\color{purple}la raison} de la suite.
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\medskip
	Exemples.
	\begin{enumerate}
		\item $(1;\ -2;\ 4;\ -8\; \dots)$ est une suite géométrique de premier terme $1$ et de raison $-2$.
		
		\item $(u_n)=\left( 4;\ 2;\ 1;\ \frac{1}{2};\ \dots \right)$ est une suite arithmétique de terme initial $u_0=4$ et de raison $\frac{1}{2}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\medskip
	Remarques.
	\begin{enumerate}
		
		\item Ainsi $(u_n)$ est géométrique si et seulement si il existe un nombre $q\in\mathbb{R}$ de sorte que chaque terme de la suite s'obtient à partir du précédent en le multipliant par $q$.
		
		\item La formule de récurrence ne suffit pas à définir le suite. Il faut aussi indiquer le terme initial.
		
		\item Si une suite géométrique admet un terme nul alors tous les termes qui suivent sont forcément nuls.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}
	
	\begin{notabene}
		
		À partir des premiers termes des suites suivantes dites s'il s'agit de suites arithmétiques ou non.
		
	\end{notabene}
	
	Sont donnés à chaque fois les premiers termes d'une suite. Dites à chaque fois s'il peut s'agir d'une suite géométrique.
	
	\begin{enumerate}
		\item $(u_n)=(8;\ 24;\ 64; \dots)$.
		
		\item $(v_n)= (\pi;\ 2\pi;\ 4\pi; \dots)$.
		
		
		
		\item $(w_n) = (1;\ -1;\ 1; \dots)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}L'idée est ici de comparer la progression entre les deux premiers termes et les deux suivants.}
	
	\begin{enumerate}
		\item Les termes de la suite sont non nuls et
		
		\begin{align*}
			\frac{u_1}{u_0} &= \frac{24}{8}\\
			&= 3\\
			\intertext{et}
			\frac{u_2}{u_1} &= \frac{64}{24}\\
			&= \frac{2^3}{3}\\
			&= \frac{8}{3}
		\end{align*}
		
		Comme $\frac{u_1}{u_0} \ne \frac{u_2}{u_1}$ nous pouvons affirmer:
		
		\begin{conclusion}
			
			$(u_n)$ n'est pas géométrique.
			
		\end{conclusion}
		
		\item Les termes de la suite sont non nuls et
		
		\begin{align*}
			\frac{v_1}{v_0} &= \frac{2\pi}{\pi}\\
			&= 2\\
			\intertext{et}
			\frac{v_2}{v_1} &= \frac{4\pi}{2\pi}\\
			&= 2
		\end{align*}
		
		Comme $\frac{v_1}{v_0} = \frac{v_2}{v_1}=2$ nous pouvons affirmer:
		
		\begin{conclusion}
			
			$(v_n)$ pourrait être une suite géométrique de raison $q=2$.
			
		\end{conclusion}
		
		
		\item Les termes de la suite sont non nuls et
		
		\begin{align*}
		\frac{w_1}{w_0} &= \frac{1}{-1}\\
		&= -1\\
		\intertext{et}
		\frac{w_2}{w_1} &= \frac{-1}{1}\\
		&= 2
		\end{align*}
		
		Comme $\frac{w_1}{w_0} = \frac{w_2}{w_1}=-1$ nous pouvons affirmer:
		
		\begin{conclusion}
			
			$(w_n)$ pourrait être une suite géométrique de raison $q=-1$.
			
		\end{conclusion}
	
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}
	
	\begin{notabene}
		
		Premier termes, nature
		
		Sujet 9
		
	\end{notabene}
	
	À la naissance de Lisa, sa grand-mère a placé la somme de 5 000 euros sur un compte et cet argent est resté bloqué pendant 18 ans.
	
	Lisa retrouve dans les papiers de sa grand-mère l’offre de la banque:
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|m{10cm}|}
			\hline
			Offre.
			\\
			Intérêts composés au taux annuel constant de $3\ \%$.
			
			\emph{À la fin de chaque année le capital produit $3\ \%$ d’intérêts qui sont intégrés au capital.}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
	On considère que l’évolution du capital acquis, en euro, peut être modélisée par une suite $(u_n)$ dans laquelle, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ est le capital acquis, en euro, $n$ années après la naissance de Lisa.
	
	On a ainsi $u_0 = \np{5 000}$.
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Montrer que $u_1 = \np{5 150}$ et $u_2 = \np{5 304,5}$.
		
		\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$. En déduire la nature de la suite $(u_n)$ en précisant sa raison et son premier terme.
		
		\item Rédigez une fonction python {\color{red}\texttt{suite}}({\color{orange}\texttt{n}}) qui calcule $u_n$.
		
		\item Calculez le capital acquis par Lisa à l’âge de $18$ ans. Arrondir au centième.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item \objectif{Calculons $u_1$.}
		
		Le coefficient multiplicateur correspondant à une augmentation de $3\ \%$ est
		
		\begin{align*}
			CM &= 1+ \frac{3}{100}\\
			&= 1,03
		\end{align*}
		
		Donc le capital acquis au bout d'un an est:
		
		\begin{align*}
			u_1 &= u_0 \times 1,03\\
			&= 5000 \times 1,03
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$u_1=5150$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Calculons $u_2$.}
		
		De même que précédemment:
		
		\begin{align*}
			u_2 &= u_1 \times 1,03
			&= 5150 \times 1,03\\
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$u_2= 5304,5$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Déterminons la nature de $(u_n)$.}
		
		Nous avons vu à la question précédente que d'une année sur l'autre le capital est multiplié par $1,03$. Autrement dit: 
		
		
		\begin{conclusion}
			
			quelque soit $n \in \mathbb{N}$, $ u_n \times 1,03= u_{n+1}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		Nous déduisons de cette formule de récurrence que
		
		\begin{conclusion}
			
			$(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q=1,03$ et de terme initial $u_0=5000$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			\begin{minipage}{4cm}
				\lstset{emph={suite}, emphstyle=\color{red},
					emph={[2]u,k,n}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
def suite(n):
    k=0
    u=5000
    while k<n:
        u=1.03*u
        k=k+1
    return(u)
\end{lstlisting}
			\end{minipage}
		\end{center}
		
		\item Utilisons la fonction définie dans le script précédent en lançant ${\color{red}\texttt{suite}}(18)$.
		
		Nous obtenons
		
		\begin{conclusion}
			
			le capital acquis à $18$ ans s'élève à $8512,17\ \text{\euro}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Représentation graphique.}

\begin{exercice}{}
	
	Représentez graphiquement les $5$ premiers termes de la suite géométrique $(u_n)$ si:
	
	\begin{enumerate}
		\item $u_0=8$ et $q=\frac{1}{2}$,
		
		\item $u_0=1$ et $q=1,5$,
		
		\item $u_0=1$ et $q=-1,5$,
		
		\item $u_0=1$ et $q=1$,
		
		\item $u_0=1$ et $q=-1$.
		
	\end{enumerate}
			
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item ~		
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
			\def\xY{0};
			\def\yY{0};
			\def\xZ{4.5};
			\def\yZ{8.5};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {1, 2,3,4}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1,2,...,8}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\foreach \u/\v in {0/8, 1/4, 2/2, 3/1, 4/0.5} \draw (\u,\v) node[red]{$\bullet$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item ~		
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
			\def\xY{0};
			\def\yY{0};
			\def\xZ{4.5};
			\def\yZ{5.5};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {1, 2,3,4}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1,2,...,5}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\foreach \u/\v in {0/1, 1/1.5, 2/{1.5*1.5}, 3/{1.5*1.5*1.5}, 4/{1.5*1.5*1.5*1.5}} \draw (\u,\v) node[red]{$\bullet$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item ~		
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
			\def\xY{0};
			\def\yY{-5.5};
			\def\xZ{4.5};
			\def\yZ{5.5};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {1, 2,3,4}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1,2,...,5}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\foreach \u/\v in {0/1, 1/-1.5, 2/{1.5*1.5}, 3/{-1.5*1.5*1.5}, 4/{1.5*1.5*1.5*1.5}} \draw (\u,\v) node[red]{$\bullet$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{notabene}
	
	Profiter de l'exercice précédent pour évoquer le problème de la limite d'une suite.
	
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	Les points ne sont pas alignés. Nous pourrions essayer de trouver des fonctions polynomiales qui correspondent mais nous verrons plus tard que cela serait voué à l'échec.
	
\end{lecon}

\subsubsection{Formule explicite.}

\begin{proposition}{}
	
	Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q \in\mathbb{R}$ (et de terme initial $u_0$).
	
	\medskip
	Quelque soit $n\in \mathbb{N}$, \[ u_n= u_0 q^n. \]
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
		
	Voici deux façons de démontrer ce résultat.
	
	\begin{enumerate}[*]
		
		\item Par sommation des égalités successives puis simplification.
		
		\item Par induction.
		
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\medskip
	Remarques.
	\begin{enumerate}
		\item La formule explicite pour une suite arithmétique fait naturellement apparaître une fonction affine. Pour le suites géométrique nous serions tentés de considérer une fonction "$x \mapsto u_0\times q^x$" mais les exposants, sauf s'ils sont entiers n'ont pas de sens. Nous définirons bientôt une nouvelle fonction appelée exponentielle qui donnera du sens à ceci.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}
	
	\begin{notabene}
		
		À partir du contexte démontrer que la suite est géométrique et en déduire la formule explicite: sujet de bac. Puis question calcul de terme résoudre une équation (est-il possible d'avoir telle valeur? de dépasser telle valeur?)
		
		Sujet 11
			
	\end{notabene}

	En 2002, Camille a acheté une voiture, son prix était alors de $\np{10 500}\ \text{\euro}$. La valeur de cette voiture a baissé de $14\ \%$ par an.
	
	La valeur de cette voiture est modélisée par une suite. On note $P_n$ la valeur de la voiture en l’année 2002$+n$. On a donc $P_0 = \np{10 500}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item
		
		\begin{enumerate}
			\item Déterminer la nature de la suite $(P_n )$.
			
			\item Quelle était la valeur de cette voiture en 2010?
			
		\end{enumerate}
		
		\item Camille aimerait savoir à partir de quelle année la valeur de sa voiture est inférieure à $\np{1500}\ \text{\euro}$. Pour l’aider, on réalise le programme Python incomplet ci-dessous.
		
		\begin{enumerate}
			\item Recopier et compléter sur votre copie les deux parties en pointillé du programme ci-dessous:
			
			\begin{center}
				\begin{minipage}{7cm}
					\lstset{emph={algo}, emphstyle=\color{red},
						emph={[2]P,n}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
def algo():
    P=10500
    n=2002
    while P .................. :
       P=.................
       n=n+1
    return(n)
\end{lstlisting}
				\end{minipage}
			\end{center}
			
			\item Donner la valeur renvoyée par ce programme.
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{notabene}
	
	Faire des rappels sur les puissances. À faire en interrogation.
	
\end{notabene}

\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}
	
	\begin{notabene}
		
		Donner des formules explicites et vérifier si la suite est géométrique.
		
	\end{notabene}
	
	Les suites suivantes sont définies par des formules explicites. S'agit-il de suites géométriques?
	
	\begin{enumerate}
		\item $u_n= \left( 3  \times 4 \right)^n \times 4$ quelque soit $n \in \mathbb{N}$.
		
		\item $v_n=(-1)^n+1$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
		
		\item $w_n= \frac{n+2}{n+1}$ quelque soit l'entier naturel $n$.
		
		\item $s_n=7 \times 3^{n-1}$ pour tout entier $n$ avec $n \geqslant 0$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\subsubsection{Monotonie.}

\begin{notabene}
	
	Intuitivement, d'après les représentations graphiques nous voyons qu'un grand nombre de cas sont possibles.
	
	Faire la démonstration pour l'un des cas au tableau.
	
\end{notabene}

\begin{proposition}{}
	
	Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q \in\mathbb{R}_+$ et de terme initial $u_0>0$.
	
	\begin{itemize}
		\item Si $0 < q<1$ alors $(u_n)$ est strictement décroissante.
		
		\item Si $q=1$ alors $(u_n)$ est constante.
		
		\item Si $1<q$ alors $(u_n)$ est strictement croissante.
		
	\end{itemize}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	{\color{orange}Toute la démonstration repose sur la comparaison de tous les termes consécutifs de la suite. Il faut donc comparer, de façon générale, $u_{k+1}$ et $u_k$ Puisqu'il s'agit de comparer \og quelque soit \fg{} $k$, il s'agit d'une propriété universelle et notre rédaction commence par:}
	
	Soit $k \in \mathbb{N}$.
	
	\begin{align*}
		u_{k+1} - u_k &= u_0q^{k+1}-u_0q^k\\
		&= {\color{orange}u_0q^k} \times q-{\color{orange}u_0q^k} \times 1\\
		&= {\color{orange}u_0q^k}(q-1)
	\end{align*}
	
	Puisque $\color{orange}u_0q^k$ est un nombre positif $u_{k+1}-u_k$ est du signe de $q-1$.
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item Premier cas: si $0\leqslant q <1$ alors $q-1<0$. Donc, quelque soit le nombre $k \in \mathbb{N}$, $u_{k+1}-u_k<0$.
		
		Autrement dit, quelque soit $k \in \mathbb{N}$, $u_{k+1}<u_k$.
		
		Donc $(u_n)$ est strictement décroissante.
		
		\item Deuxième cas: si $q=1$ alors $q=1$. Donc, quelque soit le nombre $k \in \mathbb{N}$, $u_{k+1}-u_k=0$.
		
		Autrement dit, quelque soit $k \in \mathbb{N}$, $u_{k+1}=u_k$.
		
		Donc $(u_n)$ est constante.
		
		\item Troisième cas: si $q>1$ alors $q-1>0$. Donc, quelque soit le nombre $k \in \mathbb{N}$, $u_{k+1}-u_k>0$.
		
		Autrement dit, quelque soit $k \in \mathbb{N}$, $u_{k+1}>u_k$.
		
		Donc $(u_n)$ est strictement croissante.
		
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\medskip
	Remarques.
	\begin{enumerate}
		
		\item Attention si $u_0<0$ le sens de variation est inversé.
		
		\item Ce résultat est assez naturel pour peu que nous soyons familiarisé avec les coefficients multiplicateurs. En effet si $q$ est vu comme un coefficient multiplicateur, lorsque $q<1$ cela correspond à une diminution et lorsque $q>1$ cela correspond à une augmentation.
		
		\item Sur le long terme il vaut mieux se souvenir de la méthode de la démonstration que du résultat lui-même.
		
		\item Il est par contre intéressant de se souvenir de ce résultat particulier pour la suite $(q^n)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{}
	
	Soit $(v_n)$ la suite géométrique de premier terme $v_0=960$ et de raison $\frac{1}{2}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculez $v_1$, $v_2$, $v_3$ et $v_4$.
		
		\item Pour tout entier naturel $n$ donnez l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
		
		\item Étudiez le sens de variation de $(v_n)$.
		
	\end{enumerate}
	 
\end{exercice}

\subsubsection{Série géométrique: somme des termes d'une suite géométrique.}

\begin{proposition}{ - Somme des termes d'une suite géométrique}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $(u_n)$ une suite géométrique de terme initial $u_0 \in \mathbb{R}$ et de raison $q\in\mathbb{R} \setminus \{ 1\}$,
		
		\item $k \in \mathbb{N}$.
		
	\end{enumerate}
	
	\[ u_0+u_1+ u_2 + \dots + u_k= u_0\frac{q^{k+1}-1}{q-1}. \]
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	Un résultat préalable (que nous pourrions donc appeler un lemme).
	
	En distribuant on remarque des simplifications (télescopage): 
	
	\begin{align*}
		(x-1)(1+x+x^2+ \dots +x^{k-1}+x ^k) &= x^{k+1}-1\\
		\intertext{Donc si $x\ne 1$ (\emph{i.e.} $x-1\ne 0$):}
		\frac{(x-1)(1+x+x^2+ \dots +x^{k-1}+x ^k)}{\color{orange}x-1} &= \frac{x^{k+1}-1}{\color{orange}x-1}\\
		1+x+x^2+ \dots +x^{k-1}+x ^k &= \frac{x^{k+1}-1}{x-1}
	\end{align*}
	
	Commençons la démonstration à proprement parler.
	
	En utilisant la formule explicite de la suite géométrique:
	
	\begin{align*}
		& u_0+u_1+u_2+ \dots +u_{k-1}+u_k \\
		&= u_0 \times 1 + u_0 \times q + u_0 \times q^2 + \dots +u_0\times q^{k-1} + u_0 \times q^k\\
		&= u_0 \left( 1+q+q^2+ \dots + q^{k-1} + q^{k} \right)\\
		&= u_0 \frac{q^{k+1}-1}{q-1}
	\end{align*}
	
\end{preuve}

\begin{exemples}
	
	\medskip
	Exemples.
	\begin{enumerate}
		\item Pour l'exemple des grains de riz du sage Sissa et du damier d'échec:
		
		\begin{align*}
			& 1+2+2^2+2^3+ \dots +2^{63}+2^{64}\\
			&= 1 \times \frac{2^{64+1}-1}{2-1}\\
			&= 2^{65}-1\\
			&\approx 1,844 \times 10^{19}
		\end{align*}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\medskip
	Remarques.
	\begin{enumerate}
		
		\item Avec le symbole sommatoire $\Sigma$: \[ \sum_{i=0}^k u_i = u_0\frac{q^{k+1}-1}{q-1}. \]
		
		\item Évidemment $q\ne 1$ puisque c'est une valeur interdite pour la formule du membre de droite. 
		
		De plus si $q=1$ la suite est constante et: $\sum_{i=0}^k=(k+1)u_0$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}
	
	\begin{notabene}
		
		Somme des termes d'une suite géométrique.
		
		Sujet 2
		
	\end{notabene}
	
	\textbf{Partie A.}
	
	\medskip
	Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $2$ de premier terme $u_0 = 0,2$.
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Calculer $u_{18}$ puis $u_{50}$.
		
		\item Calculer $u_0 + u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + \dots +u_{18}$, c’est-à-dire la somme des $19$ premiers termes de la suite $(u_n)$.
		
		\item Recopier et compléter les trois parties en pointillé de l’algorithme suivant permettant de déterminer le plus petit entier $n$ tel que la somme des $n + 1$ premiers termes de la suite $(u_n)$ dépasse $\np{100 000}$.
		
		\begin{center}
			\begin{minipage}{6cm}
				\lstset{emph={seuil}, emphstyle=\color{red},
					emph={[2]u,s,n}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
def seuil():
    u=0.2
    s=0.2
    n=0
    while ..........:
        u=..........
        s=..........
        n=n+1
    return n
\end{lstlisting}
			\end{minipage}
		\end{center}
		
	\end{enumerate}
	
	\textbf{Partie B.}
	
	\medskip
	Claude a donné $20$ centimes d’euros (soit $0,20\ \text{\euro}$) à son petit-enfant Camille pour sa naissance. Ensuite, Claude a doublé le montant offert d’une année sur l’autre pour chaque anniversaire jusqu’aux $18$ ans de Camille.
	
	La somme totale versée par Claude à Camille permet-elle de payer un appartement à Angers d’une valeur de $\np{100 000}\ \text{\euro}$?
	
\end{exercice}

\begin{exerciceapplication}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Somme des termes d'une suite géométrique.
		
		Sujet 10
		
	\end{notabene}
	
	Un service de vidéos à la demande réfléchit au lancement d’une nouvelle série mise en ligne chaque semaine et qui aurait comme sujet le quotidien de jeunes gens favorisés.
	
	Le nombre de visionnages estimé la première semaine est de $\np{120 000}$. Ce nombre augmenterait ensuite de $2\ \%$ chaque semaine.
	
	Les dirigeants souhaiteraient obtenir au moins $\np{400 000}$ visionnages par semaine.
	
	On modélise cette situation par une suite $(u_n)$ où $u_n$ représente le nombre de visionnages $n$ semaines après le début de la diffusion. On a donc $u_0 = \np{120 000}$.
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Calculer le nombre $u_1$ de visionnages une semaine après le début de la diffusion.
		
		\item Justifier que pour tout entier naturel $n$: $u_n = \np{120 000} \times 1,02^n$.
		
		\item À partir de combien de semaines le nombre de visionnages hebdomadaire sera-t-il supérieur à $\np{150 000}$?
		
		\item Voici un algorithme écrit en langage Python:
		
		\begin{center}
			\begin{minipage}{4cm}
				\lstset{emph={seuil}, emphstyle=\color{red},
					emph={[2]n,u}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
def seuil():
    u=120000
    n=0
    while u<400000:
        n=n+1
        u=1.02*u
    return n
\end{lstlisting}
			\end{minipage}
		\end{center}
		
		Déterminer la valeur affichée par cet algorithme et interpréter le résultat précédent dans le contexte de l’exercice.
		
		\item On pose pour tout entier naturel $n$: $S_n = u_0 + \dots+ u_n$. Montrer que l’on a: \[ S_n = \np{6 000 000} \times (1,02^{n+1}- 1). \]
		
		Puis en déduire le nombre total de visionnages au bout de $52$ semaines (arrondir à l’unité).
		
	\end{enumerate}
	
\end{exerciceapplication}

\begin{correction}
\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item \objectif{Calculons $u_1$.}
		
		Le nombre de visionnage en une semaine à augmenté de $2\ \%$ donc le coefficient multiplicateur correspondant est
		
		\begin{align*}
			CM &= 1+ \frac{t}{100}\\
			&= 1+ \frac{2}{100}\\
			&= 1,02
		\end{align*}
		
		Donc
		
		\begin{align*}
			u_1 &= u_0 \times CM\\
			&= 120000 \times 1,02
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$u_1= \np{122400}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Déterminons une formule explicite de $(u_n)$.}
		
		D'après la question précédente, quelque soit $n \in \mathbb{N}$, \[ u_{n+1} = 1,02 \times u_n. \]
		
		Autrement dit $(u_n)$ est géométrique de terme initial $u_0=120000$ et de raison $q=1,02$.
		
		Nous en déduisons que: $u_n=u_0\times q^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
		
		Finalement:
		
		\begin{conclusion}
			
			quelque soit $n \in \mathbb{N}$, $u_n=\np{120000} \times 1,02^n$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Déterminons le plus petit $n \in \mathbb{N}$ tel que $u_n \geqslant \np{150000}$.}
		
		{\color{orange}Nous n'avons pas, pour l'instant de méthode algébrique de résolution d'un inéquation dont l'inconnue est en exposant. Nous devons donc procéder par tâtonnement.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			
			\item En utilisant la formule de récurrence:
			
			\begin{align*}
				u_2 &= \np{124848}\\
				u_3 &= \np{127344,96}\\
				u_4 &\approx \np{129891,8592}\\
				u_5 &\approx \np{132489,6964}\\
				u_6 &\approx \np{135139,4903}\\
				u_7 &\approx \np{137842,2801}\\
				u_8 &\approx \np{140599,1257}\\
				u_9 &\approx \np{143411,1082}\\
				u_{10} &\approx \np{146279,3304}\\
				u_{11} &\approx \np{149204,917}\\
				u_{12} &\approx \np{152189,0153}\\
			\end{align*}
			
			\item En utilisant la formule explicite comme si elle définissait une fonction: $" x \mapsto 120000 \times 1,02^{x}"$.
			
			\begin{center}
				
				\includegraphics[scale=0.5]{1ieme_suites_et_series_01_suites_arithmetiques_et_geometriques_02_exercice_calculatrice.png}
				
				\includegraphics[scale=0.5]{1ieme_suites_et_series_01_suites_arithmetiques_et_geometriques_03_exercice_calculatrice.png}
				
			\end{center}
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			Il faudra attendre $12$ semaines pour que le nombre de visionnages hebdomadaire dépasse $\np{150000}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item 
		
		\begin{notabene}
			
			Double conclusion car erreur d'énoncé reprendre cette correction en répondant simplement à la question.
			
		\end{notabene}
		
		En lançant le script avec Python nous obtenons $\np{401598,16849592683}$ et cela pour $n=62$.
		
		\begin{conclusion}
			
			La première fois que le nombre de visionnage dépassera $\np{400000}$ il sera de $\np{401598}$ et cela arrivera au bout de $61$ semaines.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Exprimons $S_n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.}
		
		Soit $k \in \mathbb{N}$.
		
		$(u_n)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0=\np{120000}$ et de raison $q=1,02$ donc la somme des $k+1$ premiers termes de cette suite est \[ S_k= u_0 \times \frac{q^{k+1}-1}{q-1}. \]
		
		Autrement dit: $S_k= \np{120000} \times \frac{1,02^{k+1}-1}{1,02-1}$.
		
		Comme $\frac{\np{120000}}{1,02-1}=\np{6000000}$ nous pouvons conclure que
		
		\begin{conclusion}
			
			quelque soit $k \in \mathbb{N}$, $S_k = \np{6000000} \times \left( 1,02^{k+1}-1 \right)$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		En particulier au bout de $52$ semaines le total des visionnages est de
		
		\begin{align*}
			S_{52} &= \np{6000000} \times \left( 1,02^{52+1}-1 \right)\\
			&\approx \np{11138008,49}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Au bout de $52$ semaines il y aura eut $\np{11138008}$ visionnages.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}
\end{correction}

\begin{notabene}

\begin{exercice}{}
	
	Exercices 32 à 39 page 85 du manuel Indice.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Exercices 89 page 90 à 103 page 92 du manuel Indice.
	
\end{exercice}
\end{notabene}

\subsection{Comparaison de suites.}

\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}
	
	\begin{notabene}
		
		Sujet 43
		
	\end{notabene}
	
	Camille et Dominique ont été embauchés au même moment dans une entreprise et ont négocié leur contrat à des conditions différentes:
	
	\begin{itemize}
		
		\item Camille a commencé en 2010 avec un salaire annuel de $\np{14 400}\ \text{\euro}$, alors que le salaire de Dominique était, cette même année, de $\np{13 200}\ \text{\euro}$.
		
		\item Le salaire de Camille augmente de $600\ \text{\euro}$ par an alors que celui de Dominique augmente de $4\ \%$ par an.
		
	\end{itemize}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Quels étaient les salaires annuels de Camille et de Dominique en 2012?
		
		\item On modélise les salaires de Camille et de Dominique à l’aide de suites.
		
		\begin{enumerate}
			\item On note $u_n$ le salaire de Camille en l’année 2010$+n$. On a donc $u_0 = \np{14400}$.
			
			Quelle est la nature de la suite $(u_n)$?
			
			\item Déterminer en quelle année le salaire de Camille dépassera $\np{20 000}\ \text{\euro}$.
			
			\item On note $v_n$ le salaire de Dominique en l’année 2010$+n$.
			
			Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$.
			
			\item Calculer le salaire de Dominique en 2020. On arrondira le résultat à l’euro.
		\end{enumerate}
		
		\item On veut déterminer à partir de quelle année le salaire de Dominique dépassera celui de Camille. Pour cela, on dispose du programme incomplet ci-dessous écrit en langage Python.
		
		Recopier et compléter les quatre parties en pointillé du programme ci-dessous:
		
		\begin{center}
			\begin{minipage}{7cm}
				\lstset{emph={algo}, emphstyle=\color{red},
					emph={[2]A,B,n}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
def algo():
    A=14400
    B=13200
    n=0
    while .................. :
        A=.....................
        B=.....................
        n=.....................
    return(n)
\end{lstlisting}
			\end{minipage}
		\end{center}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exerciceapplication}
	
	\begin{notabene}
		
		Sujet 46
		
	\end{notabene}
	
	Une personne souhaite louer une maison à partir du $1\ier{}$ janvier 2020 et a le choix entre
	deux formules de contrat:
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		
		\item Contrat $n\degres 1$: le loyer augmente chaque année de $\mathrm{200}\ \text{\euro}$.
		
		\item Contrat $n\degres 2$: le loyer augmente chaque année de $5\ \%$.
		
	\end{enumerate}
	
	Pour tout entier naturel $n$, on note:
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		
		\item $u_n$ le loyer annuel de l’année 2020$+n$ pour le contrat $n\degres 1$.
		
		\item $v_n$ le loyer annuel de l’année 2020$+n$ pour le contrat $n\degres 2$.
		
	\end{enumerate}
	
	Dans les deux cas, le loyer annuel initial est de $\np{3600}\ \text{\euro}$. On a donc $u_0 = v_0 = \np{3600}$.
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Étude de $(u_n)$.
		
		\begin{enumerate}
			
			\item Déterminer le loyer annuel de l’année 2021 pour le contrat $n\degres 1$.
			
			\item Déterminer l’expression de $u_n$ en fonction de $n$ puis en déduire le loyer annuel de l’année 2030.
			
		\end{enumerate}
		
		\item Étude de $(v_n)$.
		
		\begin{enumerate}
			
			\item Déterminer le loyer annuel de l’année 2021 pour le contrat $n\degres 2$.
			
			\item Déterminer l’expression de $v_n$ en fonction de $n$ puis en déduire le loyer annuel de l’année 2030.
			
		\end{enumerate}
		
		\item On considère le script suivant, écrit en langage Python:
		
		\begin{center}
			\begin{minipage}{5cm}
				\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
					emph={[2]u,v,n}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
u=3600
v=3600
n=0
while u>=v:
    u=u+200
    v=1.05*v
    n=n+1
\end{lstlisting}
			\end{minipage}
		\end{center}
		
		Après exécution, la variable $n$ contient la valeur $6$.
		
		Donner une interprétation de ce résultat dans le contexte de l’exercice.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exerciceapplication}

\begin{correction}
\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item \objectif{Calculons $u_1$.}
			
			Le loyer augmentant annuellement de $200\ \text{\euro}$:
			
			\begin{align*}
				u_1 &= u_0+200\\
				&= 3600+200
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$u_1= \np{3800}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item \objectif{Calculons $u_{30}$.}
			
			En raisonnant comme à la question précédente nous voyons que, quelque soit $k \in \mathbb{N}$: $u_{k+1}=u_k+200$. 
			
			Autrement dit $(u_n)$ est une suite arithmétique de premier terme $u_0=3600$ et de raison $r=200$.
			
			Nous en déduisons la formule explicite de $(u_n)$: $u_k=u_0+kr$ quelque soit $k \in \mathbb{N}$.
			
			Ainsi
			
			\begin{conclusion}
				
				quelque soit $k \in \mathbb{N}$, $u_k= 200k+3600$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			Nous en déduisons en particulier
			
			\begin{align*}
				u_{30} &= 200 \times 30+3600\\
				&= 9600
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Avec le contrat $n\degres 1$ le loyer sera de $\np{9600} \ \text{\euro}$ en $2030$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
		\item 		
		
		\begin{enumerate}
			\item \objectif{Calculons $v_1$.}
			
			Le loyer augmentant annuellement de $5\ \%$, le coefficient multiplicateur correspondant est:
			
			\begin{align*}
				CM &= 1+\frac{t}{100}\\
				&= 1+ \frac{5}{100}\\
				&= 1,05
			\end{align*}
			
			Donc
			
			\begin{align*}
				v_1 &= v_0 \times CM\\
				&= 3600 \times 1,05
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$v_1= \np{3780}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item \objectif{Calculons $v_{30}$.}
			
			En raisonnant comme à la question précédente nous voyons que, quelque soit $k \in \mathbb{N}$: $v_{k+1}=v_k\times CM$. 
			
			Autrement dit $(v_n)$ est une suite géométrique de premier terme $v_0=3600$ et de raison $q=1,05$.
			
			Nous en déduisons la formule explicite de $(v_n)$: $v_k=v_0\times q^k$ quelque soit $k \in \mathbb{N}$.
			
			Ainsi
			
			\begin{conclusion}
				
				quelque soit $k \in \mathbb{N}$, $v_k= 3600 \times 1,05^k$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			Nous en déduisons en particulier
			
			\begin{align*}
				v_{30} &= 3600 \times 1,05^{30}\\
				&\approx 15558,99255
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Avec le contrat $n\degres 2$ le loyer sera de $\np{15559} \ \text{\euro}$ en $2030$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}
\end{correction}

\begin{exerciceapplication}
	
	\begin{notabene}
		
		Sujet 49
		
	\end{notabene}
	
	Un propriétaire propose à un commerçant deux types de contrat pour la location d’un local pendant $3$ ans.
	
	$1\ier{}$ contrat: un loyer initial de $200\ \text{\euro}$ puis une augmentation de $5\ \text{\euro}$ par mois jusqu’à la fin du bail.
	
	$2\ieme{}$ contrat: un loyer initial de $200\ \text{\euro}$ puis une augmentation de $2\ \%$ par mois jusqu’à la fin du bail.
	
	On modélise ces deux contrats par des suites $(u_n)$ et $(v_n)$, de sorte que pour tout entier $n \geqslant 1$, le prix du loyer après $n$ mois d'augmentations avec le $1\ier{}$ contrat est représenté par $u_n$ et le prix du loyer après $n$ mois d'augmentations avec le $2\ieme{}$ contrat est représenté par $v_n$.
	
	On a ainsi $u_0 = v_0 = 200$.
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Calculer, pour chacun des deux contrats, le loyer après un mois puis le loyer après deux mois.
		
		\item Le commerçant a écrit un programme en langage Python qui lui permet de déterminer $u_n$ et $v_n$ pour une valeur donnée de $n$.
				
		\begin{center}
			\begin{minipage}{9cm}
				\lstset{            
					numbers=left,                   
					numbersep=5pt,
					emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
					emph={[2]u,v}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
u=200
v=200
n=int(input("Saisir une valeur de n:"))
for i in range(1,n+1):
    u= ....
    v= ....
print("Pour n=",n,"on a","u=",u," et v=",v)
\end{lstlisting}
			\end{minipage}
		\end{center}
		
		\begin{enumerate}
			
			\item Recopier et compléter les lignes 64 et 65 de ce programme.
			
			\item Quels nombres obtiendra-t-on avec $n=4$?
			
		\end{enumerate}
			
		\item Déterminer, pour tout entier $n \geqslant 1$, l’expression de $u_n$ et de $v_n$ en fonction de $n$.
		
		\item Quel contrat coûtera le moins cher au total pour l’ensemble d’un bail de $3$ ans?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exerciceapplication}

\begin{correction}
\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $u_1=205$ et $u_2=210$.
		
		$v_1= 204$ et $v_2=208,08$.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item 
			
				
			\begin{center}
				\begin{minipage}{9cm}
					\lstset{            
						numbers=left,                   
						numbersep=5pt,
						emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
						emph={[2]u,v}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
u=200
v=200
n=int(input("Saisir une valeur de n:"))
for i in range(1,n+1):
    u=u+5
    v=v*1.02
print("Pour n=",n,"on a","u=",u," et v=",v)
\end{lstlisting}
				\end{minipage}
			\end{center}
			
			\item $u_4=220$ et $v_4=216,486432$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item $u_n=5n+200$ et $v_n=200 \times 1,02^n$.
		
		\item $S_{35}= 36 \times \frac{200+ (5 \times 35+200)}{2}=10350$ et $S_{35}' =200 \times \frac{1,02^{36}-1}{1,02-1}\approx 10398,87$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}
\end{correction}


	\exclure{correction}\exclure{preuve}\exclure{exemples}%papi

\subsection{Racine $n$-ième. $\color{Green}\lozenge$}

\begin{recherche}
	
	\begin{notabene}
		
		Retrouver la raison d'une géométrique à partir de deux termes, taux d'accroissement moyen.
		
	\end{notabene}
	
	\begin{enumerate}
		\item La valeur en dollar d'un token de cryptomonnaie a augmenté de $500\ \%$ en $10$ ans.
		
		Nous souhaiterions trouver le taux d'évolution annuel (moyen) qui a permis d'atteindre $500\ \%$ en $10$ ans.
		
		\begin{enumerate}
			\item Peut-on dire que le taux d'évolution annuel est de $50\ \%$. 
			
			\emph{Indication:} Vous pourrez calculer le taux d'évolution global correspondant à $10$ évolutions de $50\ \%$.
			
			\item Notons $t$ le taux d'évolution annuel, exprimé en pourcentage, qui, au bout de $10$ ans produit un taux d'évolution global de $500\ \%$.
			
			Justifiez que \[ \left( 1+ \frac{t}{100} \right)^{10}= 6 \quad {\color{Green}(E)}. \]
			
			\item Lorsque, pour $x$ un nombre positif, nous avons $x^2=3$ alors $x=\sqrt{3}$. Il existe une autre notation: $x=\sqrt[2]{3}$.
			
			Lorsque, pour $x$ un nombre positif, nous avons $x^5=3$ alors $x={\color{purple}\sqrt[5]{3}}$. Nous dirons alors qu'il s'agit de \emph{\color{purple}la racine cinquième de trois}.
			
			En utilisant cette nouvelle notation trouvez une expression de $t$ en l'isolant dans l'équation $\color{Green}(E)$.
			
			\item Pour calculer $\sqrt[5]{3}$ avec votre calculatrice il faut taper: $3^{1/5}$.
			
			Donnez une valeur approchée au centième du taux annuel $t$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item On considère une suite géométrique $(u_n)$ telle que $u_4=256$ et $u_9=\np{262144}$.
		
		Déterminez la raison de cette suite.
		
		\emph{Indication:} Vous devrez utiliser les racines $n$-ièmes introduites précédemment.
		
	\end{enumerate}
	
\end{recherche}

\begin{correction}
\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{align*}
			CM_1 &= 1,5\\
			\intertext{Donc:}
			CM_g &= CM_1^{10}\\
			&= 1,5^{10}\\
			&\approx 57,6650
			\intertext{Ce qui correspond à un taux d'évolution de:} 
			t_g &= 100 \times (CM_g-1)\\
			&\approx 100 \times (57,6650-1)\\
			&\approx 5666,5
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Le taux d'évolution global correspondant à $10$ augmentation de $50\ \%$ est de $\np{5666,5}\ \%$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item En notant $CM_a$ le coefficient multiplicateur correspondant au taux d'évolution $t$ nous avons d'une part
		
		\begin{align*}
			CM_g &= CM_a^{10}\\
			&= \left( 1+ \frac{t}{100} \right)^{10}\\
		\end{align*}
		
		et d'autre part
		
		\begin{align*}
			CM_g &= 1+ \frac{t_g}{100}\\
			&= 1+ \frac{500}{100}\\
			&= 6
		\end{align*}
		
		donc, par transitivité
		
		\begin{conclusion}
			
			$\left( 1+ \frac{t}{100} \right)^{10}= 6$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item Puisque $t$ est positif:
		
		\begin{align*}
			{\color{Green}(E)} &\Leftrightarrow 1+\frac{t}{100} =\sqrt[10]{6}\\
			&\Leftrightarrow \frac{t}{100} = -1+ \sqrt[10]{6}
		\end{align*}
		
		Enfin
		
		\begin{conclusion}
			
			$t=100 \left( -1+\sqrt[10]{6} \right)$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item {\color{orange}La notation utilisée par la calculatrice prendra du sens une fois que vous aurez étudié la fonction exponentielle.}
		
		\medskip	
		Avec la calculatrice
		
		\begin{conclusion}
			
			$t \approx 19,62\ \%$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item $9-4=5$ donc $u_9=q^5 \times u_4$. D'où: $q=\sqrt[5]{\frac{u_9}{u_4}}=4$.
		
		\begin{conclusion}
			
			La suite géométrique $(u_n)$ a pour raison $a$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}
\end{correction}

\subsection{Limites de suites. $\color{Green}\lozenge$}

\begin{recherche}
	
	\begin{notabene}
		
		Limites avec les programmes Python. Pour les suites géométriques.
		
		Faire un algorithme de calcul tous simples avec raison et terme initial en paramètre puis faire tester toutes les valeurs.
		
	\end{notabene}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Programmez l'algorithme suivant en Python:
		
		\begin{center}
			\begin{minipage}{9cm}
				\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
					emph={[2]u,v}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
def suitgeo(ni,ui,q,nf):
    "ni rang initial, ui terme initial, q raison, nf rang souhaite"
    u=ui
    for k in range(ni,nf):
        u=u*q
    return(u)
\end{lstlisting}
			\end{minipage}
		\end{center}
		
		Les commentaires (en vert) ne sont pas indispensables au fonction de l'algorithme et ne servent qu'à expliquer l'algorithme.
		
		\item Quel est le rôle du précédent algorithme?
		
		\item Parfois lorsque le rang $n$ est très grand la valeur de $u_n$ semble se rapprocher d'une valeur constante que nous appellerons la \emph{\color{purple}limite de la suite}. Dans ce cas nous dirons que la suite est \emph{\color{purple}convergente}. Dans le cas contraire nous dirons que la suite est \emph{\color{purple}divergente}.
		
		Utilisez le précédent algorithme pour conjecturer la limite des suites géométriques dans les cas présentés dans le tableau. Vous indiquerez si la suite est divergente ou sa limite si elle est convergente.
		
		\noindent
		\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.2cm}|*{7}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\hline
			\backslashbox{$u_0$}{$q$} & $-2$ & $-1$ & $-0,5$ & $0$ & $0,5$ & $1$ & $2$
			\\
			\hline
			$2$ &&&&&&&
			\\
			\hline
			$-2$ &&&&&&&
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
		
		Les entêtes de lignes correspondent au terme initial et les entêtes de colonnes correspondent à la raison.
		
	\end{enumerate}
	
\end{recherche}

\begin{correction}
\begin{exercicecorrection}
	
	
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.2cm}|*{7}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
		\hline
		\backslashbox{$u_0$}{$q$} & $-2$ & $-1$ & $-0,5$ & $0$ & $0,5$ & $1$ & $2$
		\\
		\hline
		$2$ & $d$ & $d$ & $0$ & $0$ &  $0$ & $2$ & $d$ 
		\\
		\hline
		$-2$ & $d$ & $d$ & $0$ & $0$ & $0$ & $-2$ & $d$ 
		\\
		\hline
	\end{tabularx}
	
\end{exercicecorrection}
\end{correction}

\subsection{Du rab.}

	
\begin{exercice}{}
	
	Exercices 24 à 31 page 85 du manuel Indice.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}[\text{Exercice }]
		\item 24 page 85.
		
		$u_1=7$.
		
		\item 25 page 85.
		
		a.
		
		\item 26 page 85.
		
		$10 \times \frac{1+10}{2}=55$.
		
		\item 27 page 85.
		
		\begin{enumerate}
			\item $u_1=8$, $u_2=11$, $u_2=14$.
			
			\item Car arithmétique ...
			
			$u_7=5+3 \times 7=26$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 28 page 85.
		
		\begin{enumerate}
			\item $v_2=0$, $v_3=-2$, $v_4=-4$.
			
			\item On peut deviner $v_0=4$ et comme arithmétique: $v_n=4-2n$.
			
			$v_8=4-2 \times 8=-12$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 29 page 85.
		
		Oui car formule de récurrence de la définition d'une suite arithmétique.
		
		$r=-3$.
		
		\item 30 page 85.
		
		\begin{enumerate}
			\item $w_4=r+w_3 \Leftrightarrow r=w_4-w_3=8-5=3$.
			
			\item $w_3=w_2+r \Leftrightarrow w_2=w_3-r$. Donc $w_2=5-3= 2$. De même: $w_1=-1$ et $w_0=-4$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 31 page 85.
		
		$S= 99 \times \frac{1+99}{2}=4950$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Exercices 74 page 88 à 88 page 90 du manuel Indice.
	
\end{exercice}


\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}[\text{Exercice }]
		\item 74 page 88.
		
		\begin{enumerate}
			\item $u_n=3+2n$. $u_7=17$.
			
			\item $r>0$ donc strictement croissante.
			
			\item $S=(10+1) \frac{3+3+3 \times 10}{2}=191$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 75 page 88.
		
		\begin{enumerate}
			\item $u_n=13-5n$. $u_{14}= -57$.
			
			\item $r<0$ donc strictement décroissante.
			
			\item $S=(12+1) \frac{13+13-5 \times 12}{2}= -221$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 76 page 88.
		
		\begin{enumerate}
			\item $w_n=5-2(n-1)$. $w_{9}=5-2 (9-1)=-11$.
			
			\item $r<0$ donc strictement décroissante.
			
			\item $S=13 \frac{5+5-2(13-1)}{2}= -91$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 77 page 89.
		
		\begin{enumerate}
			\item Arithmétique $r=-5$.
			
			\item Pas arithmétique.
			
			\item Arithmétique $r=-5$.
			
			\item Pas arithmétique.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 78 page 89.
		
		$1C$, $2A$, $3B$, $4B$.
		
		\item 79 page 89.
		
		\begin{enumerate}
			\item $=B2+7$.
			
			\item $=C2+B3$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 80 page 89.
		
		Si $u_0$ est le premier terme impair.
		
		$u_0+(u_0+2)+(u_0+4)+...=153$
		
		$9u_0+ 2+4+6+ \dots +16=153$
		
		$9u_0+8 \times \frac{2+16}{2}=153$
		
		$u_0=9$.
		
		\item 81 page 89.
		
		$1+2+ \dots +15=15 \times \frac{1+15}{2}= 120$.
		
		\item 82 page 89.
		
		$u_n\geqslant 100 \Leftrightarrow 3+0,6n \geqslant 1000 \Leftrightarrow n \geqslant \frac{9970}{6}$ et $\frac{9970}{6} \approx 1661,66$.
		
		\item 83 page 89.
		
		\begin{enumerate}
			\item $u_{12}= -2 +(5-(-2)) \times 12=82$
			
			\item $u_n=-2+7n$.
			
			\item $u_n\geqslant 1000 \Leftrightarrow n \geqslant \frac{1000+2}{7}$. Donc $n \geqslant 144$.
			
			\item $500 \leqslant u_n \Leftrightarrow \frac{500+2}{7} \leqslant n$. Or $\frac{502}{7} \approx 71,71$ donc il faut que $72 \leqslant n \leqslant 143$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 84 page 89.
		
		Pour que ça commence au rang $0$: $u_0=80$.
		
		\begin{enumerate}
			\item Arithmétique, $u_0=80$ et $r=20$.
			
			\item 
			
			\begin{enumerate}
				\item $S=u_0+u_1+\dots +u_{30}= (30+1) \frac{80+80+30 \times 20}{2}=11780$. Donc $u_1+u_2+\dots +u_{30}=11780-80=11700$.
				
				\item $11700$.
				
				\item $(n+1) \frac{80+80+n \times 20}{2}-80\leqslant 33000$. La résolution conduit à une inéquation  polynomiale de degré deux. Pour simplifier on peut faire en tâtonnant ou avec le tableau de valeur de la calculatrice pour $x \mapsto (x+1)(80+10x)$ et on trouve $14$.
				
			\end{enumerate}
			
		\end{enumerate}
		
		\item 85 page 89.
		
		\begin{enumerate}
			\item $u_0=24$. $u_1=26$, $u_2=28$, $u_3=30$.
			
			\item $u_{n+1}=u_n+2$. $u_n=24+2n$.
			
			\item $u_n \geqslant 50 \Leftrightarrow 24+2n\geqslant 50 \Leftrightarrow n \geqslant 13$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 86 page 89.
		
		\begin{enumerate}
			\item $T_5=15$, $T_6=21$.
			
			\begin{enumerate}
				\item 
				
				\item En complétant le triangle comportant $20$ points sur un côté de l'angle droit en un carré par symétrie et comme les points de la diagonale ont été comptés deux fois: $2T_{20}-20=20^2$.
				
				\item De même: $2T_n-n=n^2 \Leftrightarrow T_=\frac{n^2+n}{2} \Leftrightarrow T_n=\frac{n(n+1)}{2}$.
				
			\end{enumerate}
			
			\item 
			
			\begin{enumerate}
				
				\item $u_1=1$, $u_2=2$, $u_3=3$.
				
				\item $u_{n+1}=u_n+1$.
				
				\item Arithmétique. $u_0=0$ et $r=1$.
				
				\item $T_n=u_0+u_1+ \dots +u_n$. $T_n=(n+1)\frac{0+n}{2}$.
				
			\end{enumerate}
						
			\item $T_n=2019 \Leftrightarrow \frac{1}{2}n(n+1)=2019$. Avec la fonction $x\mapsto \frac{1}{2}x(x+1)$ on peut voir que ça ne fonctionne pas. Sinon $4018=2 \times 3 \times 673$ est la décomposition en facteurs premiers donc ce n'est pas le produit de deux entiers consécutifs.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 87 page 90.
		
		\begin{enumerate}
			\item Vrai.
			
			\item Faux.
			
			\item Vrai.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 88 page 90.
		
		
		\begin{center}
			\begin{minipage}{5cm}
				\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
					emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
def liste(N):
u=u0
L=[u]
for i in range(1,N+1):
    u=u+r
    L=L+[u]
\end{lstlisting}
			\end{minipage}
		\end{center}
		
	\end{enumerate}

\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Exercices 32 à 39 page 85 du manuel Indice.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}[\text{Exercice }]
		\item 32 page 85.
		
		$v_1=4$.
		
		\item 33 page 85.
		
		$v_n=3 \times 5^n$.
		
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Exercices 89 page 90 à 103 page 92 du manuel Indice.
	
\end{exercice}

\exclure{correction}\exclure{preuve}\exclure{exemples}%papi

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}