%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
%\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{RoyalBlue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{Black}\underline{Remarques.}}\color{Black}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill \small {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. #1} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

\newenvironment{exerciceapplication}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill \small {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Application.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} }{ \end{colbox} }

\newenvironment{concours}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \small \color{blue} \medskip \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Concours.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} }{\medskip}

\newenvironment{recherche}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \small \color{blue} \medskip \hfill { \color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Recherche.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} }{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{Black} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/1ieme.html}{Variable aléatoire.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{details}
\exclure{bareme}
\exclure{notabene}
%\exclure{exercicecorrection}\exclure{correction}\exclure{preuve}\exclure{exemples}%papi
%\exclure{remarques}\exclure{corollaire}\exclure{lemme}\exclure{proposition}\exclure{theoreme}\exclure{culturegenerale}\exclure{definition}\exclure{lecon}
%\exclure{sujet}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Variable aléatoire.}

\subsection{Définition et loi d'une variable aléatoire.}

\begin{notabene}
	
	Pour illustrer et introduire le sujet faire l'exemple des deux dés pour lesquelles on fait la somme des deux valeurs.
	
	Il faut faire apparaître les éléments de leçon: issue de l'expérience et valeur de la variable aléatoire loi de probabilité de la variable aléatoire.
	
	Ajouter en correction l'exemple filé du dé à 6 faces.
	
\end{notabene}

\subsubsection{Définition.}

\begin{lecon}
	
	Souvent lors d'une expérience aléatoire on ne s'intéresse pas au résultat (issue) de l'expérience mais à un nombre qui lui est associé. Ainsi ce n'est pas la combinaison de 6 nombres du résultat du tirage de loto qui nous intéresse mais la somme que l'on gagne et la probabilité de ce gain.
	
\end{lecon}

\begin{definition}
	
	On appelle \emph{\color{purple}variable aléatoire} une fonction qui à chaque issue de l'expérience associe un nombre (le gain).
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Les variables aléatoires sont notées le plus souvent $X.$
		
		\item Autrement dit une variable aléatoire est une fonction $X:\Omega \mapsto \mathbb{R}$.
		
		\item L'ensemble de toutes les valeurs possibles pour $X$ est noté $X\left( \Omega \right)$. C'est l'ensemble des images de $\Omega$ par la fonction $X$.
		
		\item Dans la pratique, cette année, la variable aléatoire $X$ sera un compteur: compteur de succès, de somme gagnée, etc.
		
		\item La notation $X$ et l'appellation \og variable \fg{} prendront pleinement leur sens lorsque vous découvrirez les probabilités continues.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item En associant à chaque tirage du loto une somme gagnée (ou perdue) nous définissons une variable aléatoire.
		
		\item Plus généralement en associant à un jeu de hasard une somme qui peut être une somme gagnée ou perdu (ce que nous appellerons un gain algébrique), nous définissons une variable aléatoire.
		
		\item Le nombre de fois que \og face \fg{} a été obtenu, dans une expérience consistant à lancer $10$ fois une pièce de monnaie, est une variable aléatoire.
		
		\item Notons $X$ la somme obtenue lors du lancé de deux dés à $6$ faces. 
		
		$\Omega$, l'univers de l'expérience  aléatoire, est formé des couples d'entiers compris entre $1$ et $6$: par exemple $(2;6)$.
		
		$X$ est donc la fonction qui à chaque couple associe la somme des deux nombres: par exemple $X(2;6)=2+6=8$.
		
		Pour décrire l'ensemble des valeurs prises par $X$ nous écrirons: 
		
		$X \in \{ 2;\ 3;\ 4;\ 5;\ 6;\ 7;\ 8;\ 9;\ 10;\ 11;\ 12 \}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsubsection{Noter un événement avec une variable aléatoire.}

\begin{lecon}
	
	Soient $X$ une variable aléatoire réelle sur un univers $\Omega$ et $a \in \mathbb{R}$.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item $\color{purple}\{ X=a \}$ est l'ensemble des issues $\omega$ de $\Omega$ pour lesquelles $X(\omega)=a$.
		\item $\color{purple}\{ X\geqslant a \}$ est l'ensemble des issues $\omega$ de $\Omega$ pour lesquelles $X(\omega)\geqslant a$.
		\item De même pour $\color{purple}\{ X\leqslant a \}$, $\color{purple}\{ X> a \}$ ou $\color{purple}\{ X< a \}$.
	\end{enumerate}
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
		
	Notons $X$ la somme obtenue lors du lancé de deux dés à $6$ faces. $\{ X=2 \}$ est l'événement \og obtenir une somme égale à deux \fg{} et $\{ X\geqslant 5 \}$ est l'événement \og obtenir une somme supérieure ou égale à $5$ \fg{}.
	
	Nous pourrions énumérer les issues qui réalisent de tels événements. Ainsi: $\{ X=3\} = \{ (1;2),\ (2;1) \}$.
	
\end{exemples}

\begin{exerciceapplication}
	
	Exercices 11 à 15 page 316 du manuel Indice.
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exerciceapplication}
	
	Exercices 28 à 31 page 318 du manuel Indice.
	
\end{exerciceapplication}

\subsubsection{Loi de probabilité d'une variable aléatoire.}

\begin{lecon}
	
	Rappelons qu'une loi de probabilité (ou distribution de probabilité) est la donnée de la probabilité de tous les événements. Dans le cas d'un univers fini il suffit de donner la probabilité de chaque issue. 
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Lorsqu'il y a équiprobabilité toutes les issues ont la même probabilité: l'inverse du cardinal de l'univers.
		
		\item La probabilité d'obtenir $(1;1)$ lors du lancé de deux dés est de $\frac{1}{36}$ car il y a équiprobabilité des couples (en distinguant les dés par de la couleur par exemple).
		
		\item Lorsqu'on s'intéresse à la somme obtenu lors du lancé de deux dés il n' y a pas équiprobabilité entre les différentes sommes possibles. La probabilité des différentes sommes est alors présentée sous forme d'un tableau:
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
				\hline
				Somme & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ & $10$ & $11$ & $12$
				\\
				\hline
				Probabilité & $\frac{1}{36}$ & $\frac{2}{36}$ & $\frac{3}{36}$ & $\frac{4}{36}$ & $\frac{5}{36}$ & $\frac{6}{36}$ & $\frac{5}{36}$ & $\frac{4}{36}$ & $\frac{2}{36}$ & $\frac{2}{36}$ & $\frac{1}{36}$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		Ce tableau défini une nouvelle loi de probabilité sur l'univers formé des sommes $2$, $3$, ..., $12$. En notant $X$ la somme des deux nombres obtenus nous dirons que nous avons donné la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $p \in \mathbb{N}^*$,
		\item $x_1,x_2, \dots,x_p\in \mathbb{R}$,
		\item $X$ une variable aléatoire (sur un univers $\Omega$) telle que $X \in \{ x_1,x_2, \dots,x_p\}$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous appellerons \emph{\color{purple}loi de probabilité de la variable aléatoire} $X$ la donnée des valeurs de $\mathbb{P}(X=x_1)$, $\mathbb{P}(X=x_2)$, ..., $\mathbb{P}(X=x_p)$.
	 
\end{definition}

\begin{remarques}
		
	\begin{enumerate}
		
		\item La loi de probabilité d'une variable aléatoire est donnée sous forme d'un tableau:
		
		\medskip
		\begin{center}
			
			\noindent 
			\begin{tabular}{|m{3cm}m{2cm}|m{2cm}|m{1cm}|m{2cm}|}
				\hline
				\color{orange}Valeurs de la variable aléatoire & \color{blue} $x$ & \color{blue} $x_1$ & $\dots $ & \color{blue} $x_p$ \\ \hline
				\color{orange}Probabilité que la variable aléatoire égale cette valeur. & $\mathbb{P}(X=x)$ & \color{blue} $\mathbb{P}(X=x_1)$ & $\dots$ & \color{blue} $\mathbb{P}(X=x_p)$ \\ \hline
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
		\item La loi de probabilité de la variable aléatoire est réellement une loi de probabilité (ce qu'il faudrait démontrer) qui lors de la suite de vos étude sera souvent notée $\mathbb{P}_X$.
		
		Ce qui nous garanti que nous obtiendrons effectivement une loi de probabilité c'est le fait que $\{ X=x_1\}$, $\{ X=x_2\}$, ...,$\{ X=x_p\}$ constituent un système complet d'événements.
		
		\item Comme pour toutes les lois de probabilités nous retrouvons bien que la somme des probabilités doit être égale à $1$: $\mathbb{P}(X=x_1)+ \mathbb{P}(X=x_2)+ \dots + \mathbb{P}(X=x_p)=1$.
		
		Ce que nous noterons en utilisant le symbole sommatoire $\Sigma$ \[ \sum_{i=1}^p \mathbb{P}(X=x_i) =1. \]
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
		
	Si $X$ est la variable aléatoire qui a un lancé de deux dés associe la somme des nombre obtenus alors la loi de probabilité de $X$ est 
	
	
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
			\hline
			$x$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ & $10$ & $11$ & $12$
			\\
			\hline
			$\mathbb{P}(X=x)$ & $\frac{1}{36}$ & $\frac{2}{36}$ & $\frac{3}{36}$ & $\frac{4}{36}$ & $\frac{5}{36}$ & $\frac{6}{36}$ & $\frac{5}{36}$ & $\frac{4}{36}$ & $\frac{2}{36}$ & $\frac{2}{36}$ & $\frac{1}{36}$
			\\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
			
		Exercices 14, 15 et 16 page 232  du manuel de 1ieme esl Hachette Déclic 2015: tableau de la loi de probabilité d'une variable.
		
	\end{notabene}
	
	Précisez si les tableaux ci-dessous peuvent définir la loi de probabilité d'une variable aléatoire. Si c'est le cas précisez les valeurs prises par $X$.
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
			\hline
			$x_i$ & $0,2$ & $0,3$ & $0,5$
			\\
			\hline
			$p_i$ & $0,2$ & $0,6$ & $0,3$
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
		\item 
		
		\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
			\hline
			$x_i$ & $-2$ & $-1$ & $3$
			\\
			\hline
			$p_i$ & $0,25$ & $0,15$ & $0,6$
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
		\item 
		
		\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
			\hline
			$x_i$ & Vert & Rouge & Bleu
			\\
			\hline
			$p_i$ & $0,4$ & $0,3$ & $0,3$
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{correction}
\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}Il y a deux façons de présenter l'ensemble des valeurs prises par une variable aléatoire $X(\omega)$ ou $X \in \{ \dots \}$.}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item La somme des probabilité serait égle à $1,1$ ce qui est impossible ce n'est pas une loi de probabilité.
		
		\item Ce peut être la loi de probabilité d'une variable aléatoire: $X \in \{ -2;\ -1;\ 3 \}$.
		
		\item Si la somme des probabilités est bien égale à $1$ cela ne peut pas correspondre à une variable aléatoire car une variable aléatoire associe à un un réel à chaque issue pas une couleur.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}
\end{correction}

\begin{exerciceapplication}
	
	Exercices 16 page 316 à 21 page 317 du manuel Indice.
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exerciceapplication}
	
	Exercices 32 page 318 à 41 page 319 du manuel Indice.
	
\end{exerciceapplication}

\subsubsection{Exercices.}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
	Exercice 32 page 234 du manuel de 1ieme esl Hachette Déclic 2015: valeurs prises, loi de probabilité, $(X\le a)$.
	
	\end{notabene}
	
	Une entreprise fabrique des laves-linges. Son service qualité note, sur un échantillon de $112$ lave-linges prélevés au hasard, au bout de combien de temps la première panne survient.
	
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|m{3cm}|c|c|c|c|c|}
			\hline
			Date de première panne (en années) & $4$ & $5$ & $7$ & $8$ & $10$
			\\
			\hline
			Nombre d'appareils & $6$ & $11$ & $37$ & $45$ & $13$
			\\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
	
	Ainsi lorsque la panne arrive au bout de $4$ ans et $3$ mois, soit au cours de $5\ieme{}$ année, on note \og $5$ ans \fg{} comme date de la première panne.
	
	On suppose que l'échantillon est représentatif de la production de l'entreprise. On note $X$ la variable aléatoire donnant la date, en années, de la première panne d'un lave-linge pris au hasard.
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Quelles sont les valeurs prises par $X$?
			
			\item Précisez la loi de probabilité de $X$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item Chaque lave-linge bénéfice d'une garantie de $5$ ans. Quelle est la probabilité qu'un lave-linge tombe en panne pendant la période garantie?
		
		\item Un client acquiert une extension de garantie de $2$ ans lors de l'achat de son lave-linge.
		
		Y a-t-il plus d'une chance sur deux que son lave-linge tombe en panne pendant la période garantie?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item 
			
			\begin{conclusion}
				
				$X \in \{ 4; 5; 7; 8; 10 \}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item \objectif{Déterminons la loi de probabilité de $X$.}
			
			Commençons par calculer $\mathbb{P}(X=4)$.
			
			L'échantillon étant supposé représentatif de la production de l'entreprise la fréquence des lave-linges en panne au cours de la quatrième année peut être confondu avec la probabilité qu'n lave-linge choisi au hasard tombe en panne la quatrième année: $\mathbb{P}(X=4)=\frac{6}{112}$.
			
			En procédant de même pour les autres valeurs de la variable aléatoire:
			
			\begin{conclusion}
				
				\begin{center}
					
					\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
						\hline
						$x$ & $4$ & $5$ & $7$ & $8$ & $10$
						\\
						\hline
						$\mathbb{P}(X=x)$ & $\frac{6}{112}$ & $\frac{11}{112}$ & $\frac{37}{112}$ & $\frac{45}{112}$ & $\frac{13}{112}$
						\\
						\hline						
					\end{tabular}
					
				\end{center}
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
		\item {\color{orange}Interprétons l'énoncé avec la variable aléatoire.}
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(X \leqslant5)$.}
		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(X \leqslant 5) &= \mathbb{P}(X=4) + \mathbb{P}(X=5)\\
			&= \frac{6}{112} + \frac{11}{112}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}(X \leqslant 5)= \frac{17}{112}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Calculons $\mathbb{P}(X \leqslant 7)$.}
		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(X \leqslant 7) &= \mathbb{P}(X=4) + \mathbb{P}(X=5) + \mathbb{P}(X=7)\\
			&= \frac{6}{112} + \frac{11}{112} + \frac{37}{112}\\
			&= \frac{27}{56}\\
			&\approx 0,4821
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Il y a moins d'une chance sur deux que le lave-linge tombe en panne pendant la période de garantie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}
	
	\begin{notabene}
		
	Exercices 25 page 234 du manuel de 1ieme esl Hachette Déclic 2015: valeurs prises, loi de probabilité.
	
	\end{notabene}
	
	Un jeu consiste à lancer un dé équilibré. Si on obtient $6$ on gagne $3\ \text{\euro}$; sinon on ne gagne rien.
	
	La participation au jeu coûte $1\ \text{\euro}$.
	
	Soit $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique d'un joueur en euros.
	
	\begin{enumerate}
		\item Donnez les valeurs prises par $X$.
		
		\item Déterminez la loi de probabilité de $X$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|c|c|c|}
			\hline
			$x$ & $2$ & $-1$
			\\
			\hline
			$\mathbb{P}(X=x)$ & $\frac{1}{6}$ & $\frac{5}{6}$
			\\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercices 27 page 234 du manuel de 1ieme esl Hachette Déclic 2015: valeurs prises, loi de probabilité.
		
	\end{notabene}
	
	On lance deux fois une pièce équilibrée. Chaque apparition de Pile rapporte $1\ \text{\euro}$ au joueur, chaque apparition de Face lui fait perdre $2\ \text{\euro}$.
	
	On appelle $G$ la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur en euros.
	
	Déterminez la loi de probabilité de $G$.
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
				\hline
				$x$ & $-4$ & $-1$ & $2$
				\\
				\hline
				$\mathbb{P}(G=x)$ & $\frac{1}{4}$ & $\frac{1}{2}$ & $\frac{1}{4}$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercices 28 page 234 du manuel de 1ieme esl Hachette Déclic 2015: valeurs prises, loi de probabilité.
		
	\end{notabene}
	
	Une association organise une tombola et met en vente $200$ tickets, chacun au prix de $5\ \text{\euro}$. Parmi eux, $30$ font gagner $10\ \text{\euro}$, $5$ font gagner $20\ \text{\euro}$ et $2$ font gagner $40\ \text{\euro}$. Les autres tickets sont perdants.
	
	Une personne achète au hasard un ticket.
	
	On note $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique du ticket en euros.
	
	Déterminez la loi de probabilité de $X$.
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
				\hline
				$x$ & $-5$ & $5$ & $15$ & $35$
				\\
				\hline
				$\mathbb{P}(X=x)$ & $\frac{163}{200}$ & $\frac{3}{20}$ & $\frac{1}{40}$ & $\frac{1}{100}$ 
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercices 29 page 234 du manuel de 1ieme esl Hachette Déclic 2015: valeurs prises, loi de probabilité.
		
	\end{notabene}
	
	Chaque valeur prise par une variable aléatoire $X$ a une probabilité d'apparition de $0,125$.
	
	Combien de valeurs cette variable aléatoire prend-elle?
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	La somme des probabilité devant être égale à $1$ nécessairement $X$ prend $\frac{1}{0,125}=8$ valeurs distinctes.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercices 30 page 234 du manuel de 1ieme esl Hachette Déclic 2015: valeurs prises, loi de probabilité.
		
	\end{notabene}
	
	Une variable aléatoire $X$ prend les valeurs $1$, $3$ et $6$. La probabilité d'apparition de chacune des trois valeurs est proportionnelle à cette valeur (avec le même rapport de proportionnalité).
	
	Déterminez la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$1 \times p+ 3 \times p +6 \times p=1$ donc $p=0,1$.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercices 33 page 235 du manuel de 1ieme esl Hachette Déclic 2015: valeurs prises, loi de probabilité.
		
	\end{notabene}
	
	Sur le trajet quotidien de Morgane, il y a deux feux tricolores.
	
	Si les deux feux sont au vert le trajet dure $20$ minutes. Pour chaque feux rencontré à l'orange ou au rouge, le temps de trajet est augmenté de $2$ minutes.
	
	La probabilité pour chaque feu d'être au vert lorsque Morgane s'y présente est égale à $0,6$ et ce indépendamment l'un de l'autre.
	
	On appelle $D$ la durée du trajet de Morgane en minutes.
	
	\begin{enumerate}
		\item Représentez la situation par un arbre pondéré.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Quelles sont les valeurs prises par $D$?
			
			\item Déterminez la loi de probabilité de $D$. \emph{Vous détaillerez au moins le calcul d'une probabilité.}
			
			\item Quelle est la probabilité que le trajet de Morgane dure $22$ minutes ou plus? au plus $22$ minutes?
			
		\end{enumerate}
			
	\end{enumerate}
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item ~		
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			\coordinate (A1) at (4,3);
			\coordinate (A2) at (4,1);
			\coordinate (A3) at (4,-1);
			\coordinate (A4) at (4,-3);
			\coordinate (B1) at (2,2);
			\coordinate (B2) at (2,-2);
			\coordinate (C1) at (0,0);
			\draw node (A11) at (A1) {$V_2$};	
			\draw node (A12) at (A2) {$\overline{V_2}$};
			\draw node (A13) at (A3) {$V_2$};
			\draw node (A14) at (A4) {$\overline{V_2}$};
			\draw node (B11) at (B1) {$V_1$};
			\draw node (B12) at (B2) {$\overline{V_1}$};
			\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,6$};
			\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,4$};
			\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,6$};
			\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,4$};
			\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,6$};
			\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,4$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item $D \in \{ 20;\ 22;\ 24 \}$.
			
			\item \objectif{Calculons $\mathbb{P}(D= 20)$.}
			
			$D = \{ V_1\cap \overline{V_2};\ V_2 \cap \overline{V_1} \}$ donc:
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(D=22) &= \mathbb{P}(V_1\cap \overline{V_2}) + \mathbb{P}(V_2 \cap \overline{V_1})\\
				\intertext{Et puisque les feux sont indépendants:}
				\mathbb{P}(D=22) & =\mathbb{P}(V_1) \times \mathbb{P}(\overline{V_2}) + \mathbb{P}(V_2) \times \mathbb{P}(\overline{V_1})\\
				&= 0,6 \times 0,4 + 0,4 \times 0,6\\
				&= 0,48
			\end{align*}
			
			En raisonnant de même pour les autres valeurs de la variable aléatoire nous obtenons:
			
			\begin{conclusion}
				
				\begin{center}
					\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
						\hline
						$d$ & $20$  & $22$ & $24$
						\\
						\hline
						$\mathbb{P}(D=d)$ & $0,36$ & $0,48$ & $0,16$
						\\
						\hline
					\end{tabular}
				\end{center}
				
			\end{conclusion}
			
			\item \objectif{Calculons $\mathbb{P}(D\geqslant 22)$.}
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(D \geqslant 22) &= \mathbb{P}(D=22) + \mathbb{P}(D=24)\\
				&= 0,48+0,16
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(D \geqslant 22)=0,64$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(D\leqslant 22)$.}
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(D \leqslant 22) &= \mathbb{P}(D=20) + \mathbb{P}(D=22)\\
				&= 0,36+ 0,48
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(D \geqslant 22)=0,84$.
				
			\end{conclusion}
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 31 page 234 du manuel 1iem esl hachette déclic 2015: exprimer des événements avec une variable aléatoire et calculer les probabilités correspondantes.
		
	\end{notabene}
	
	Considérons une variable aléatoire $X$ dont le loi de probabilité est résumée dans le tableau ci-dessous.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
			\hline
			$x$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$
			\\
			\hline
			$\mathbb{P}(X=x)$ & $0,2$ & $0,3$ & $0,1$ & $0,3$ & $0,1$
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les valeurs prises par $X$?
		
		\item Calculez la probabilité de l'événement $\{ X \leqslant 2 \}$ et $\{ X \geqslant 3\}$.
		
		\item Calculez les deux façons différentes la probabilité de l'événement $\{ X>0 \}$.
			
	\end{enumerate}
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}
		
		\begin{enumerate}
			\item $X \in \{ 0; 1; 2; 3; 4 \}$.
			\item \objectif{Calculons $\mathbb{P}(X\leqslant 2)$.}
			
			\begin{align*}
			\mathbb{P}(X \leqslant 2) &= \mathbb{P}(X=0)+ \mathbb{P}(X=1) + \mathbb{P}(X=2)\\
			&= 0,2+0,3+0,1
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(X \leqslant 2) = 0,6$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(X \geqslant 3)$.}
			
			\begin{align*}
			\mathbb{P}(X\geqslant 3) &= \mathbb{P}(X=3) + \mathbb{P}(X=4)\\
			&= 0,3+0,1
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(X\geqslant 3)=0,4$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item \objectif{Calculons $\mathbb{P}(X>0)$.}
			
			{\color{orange}Nous pourrions procéder comme ci-dessus, cependant nous allons voir une autre façon de procéder que nous retrouverons régulièrement dans les calculs de probabilités en utilisant l'événement contraire.}
			
			\medskip
			\begin{align*}
			\mathbb{P}(X>0) &= 1-  \mathbb{P}(\overline{X>0})\\
			&= 1 - \mathbb{P}(X=0)\\
			&= 1-0,2
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(X>0)=0,8$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
\end{exercicecorrection}

\subsection{Espérance, variance et écart type.}

\subsubsection{Espérance.}

\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $p \in \mathbb{N}^*$,
		\item $x_1,x_2, \dots,x_p\in \mathbb{R}$,
		\item $X$ une variable aléatoire (sur un univers $\Omega$) telle que $X \in \{ x_1,x_2, \dots,x_p\}$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous appellerons \emph{\color{purple}espérance} de la variable aléatoire $X$ le nombre:
	\[ \color{purple} \mathbb{E}(X) = P(X=x_1)\times x_1+\dots +P(X=x_p)\times x_p. \].
	
\end{definition}

\begin{remarques}
		
	\begin{enumerate}
		
		\item \emph{\color{purple}L'espérance représente la valeur obtenue en moyenne pour la variable aléatoire si on répète infiniment l'expérience.} C'est ainsi que vous interpréterez l'espérance lorsque nécessaire.
		
		\item La formule de l'espérance est celle d'une moyenne: 
		
		\[ \mathbb{E}(X) = \frac{\mathbb{P}(X=x_1)\times x_1+\dots +\mathbb{P}(X=x_p)\times x_p}{\mathbb{P}(X=x_1)+\dots +\mathbb{P}(X=x_p)} \] mais avec $\mathbb{P}(X=x_1)+\dots +\mathbb{P}(X=x_p)=1$.
		
		\item Nous pourrons utiliser les outils statistiques de calcul de la moyenne de la calculatrice pour calculer l'espérance.
		
		\item Bien souvent dans les exercices la méthode consistera à
		
		\begin{enumerate}
			\item Identifier l'expérience.
			\item Identifier la variable aléatoire.
			\item Trouver les valeurs $x_1,\dots ,x_p$ que peut prendre la variable.
			\item Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire sous forme d'un tableau.
			\item Calculer diverses probabilités liées à la variable aléatoire.	
			\item Calculer l'espérance, la variance, l'écart type  grâce à la loi de probabilité.
		\end{enumerate}
		
		\item L'espérance nous permet de dire si un jeu d'argent est avantageux (espérance positive) ou pas (espérance négative).
		
		\item Avec le symbole sommatoire $\Sigma$ nous pouvons écrire: \[ \sum_{i=1}^n \mathbb{P}(X=x_i)x_i. \]
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Si l'on recommençait indéfiniment un lancé de deux dés, quelle serait en moyenne la somme obtenue? En notant $X$ la variable aléatoire qui à chaque lancé associe la somme obtenue, nous savons que sa la loi de probabilité est 
		
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
				\hline
				$x$ & $\color{Green}2$ & $\color{OliveGreen}3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ & $10$ & $11$ & $\color{Emerald}12$
				\\
				\hline
				$\mathbb{P}(X=x)$ & $\color{WildStrawberry}\frac{1}{36}$ & $\color{violet}\frac{2}{36}$ & $\frac{3}{36}$ & $\frac{4}{36}$ & $\frac{5}{36}$ & $\frac{6}{36}$ & $\frac{5}{36}$ & $\frac{4}{36}$ & $\frac{2}{36}$ & $\frac{2}{36}$ & $\color{red}\frac{1}{36}$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		Nous en déduisons son espérance
		
		\begin{align*}
			\mathbb{E}(X) &= \color{orange}\sum_{i=1}^n \mathbb{P}(X=x_i)x_i\\
			&= {\color{WildStrawberry}P(X=x_1)}\times {\color{Green}x_1}+ {\color{violet}P(X=x_2)}\times {\color{OliveGreen}x_2}+ \dots +{\color{red}P(X=x_p)}\times {\color{Emerald}x_p} \\
			&= {\color{WildStrawberry}\frac{1}{36}} \times {\color{green}2} + {\color{violet}\frac{2}{36}} \times {\color{OliveGreen}3} + \dots + {\color{red}\frac{1}{36}} \times {\color{Emerald}12} \\
			&= 7
		\end{align*}
		
		Ce résultat s'interprète en disant que si l'on recommence indéfiniment le jeu en moyenne la somme sur les deux dés est de $7$.
		
		Ce résultat était prévisible au vu de la symétrie de la distribution de probabilité.
		
		\item 
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
	Exercice 17 page 232 du manuel de 1ieme esl Hachette Déclic 2015: valeurs prises, espérance.
	
	\end{notabene}
	
	On lance un dé cubique bien équilibré.
	
	Si on obtient un multiple de $3$ on gagne $5\ \text{\euro}$, sinon on perd $2\ \text{\euro}$.
	
	On note $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique obtenu, en euros.
	
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les valeurs prises par $X$?
		
		\item Déterminez la loi de probabilité de $X$.
		
		\item Calculez l'espérance de $X$ puis interprétez le résultat obtenu. Le jeu est-il favorable au joueur?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{conclusion}
			
			$X \in \{ -2;\ 5 \}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Déterminons la loi de probabilité de $X$.}
		
		Calculons par exemple $\mathbb{P}(X=5)$.
		
		$\{X=5\}= \{ 3;\ 6 \}$.
		
		Il y a équiprobabilité entre les différentes faces du dé, $\{ X=5\}$ est réalisé par $2$ issues et l'univers comporte $6$ issues donc \[ \mathbb{P}(X=5)= \frac{2}{6}. \]
		
		En procédant de même pour $\{ X=-2 \}$:
		
		\begin{conclusion}
			
			\begin{center}
				
				\begin{tabular}{|c|c|c|}
					\hline
					$x$ & $-2$ & $5$
					\\
					\hline
					$\mathbb{P}(X=x)$ & $\frac{2}{3}$ & $\frac{1}{3}$
					\\
					\hline					
				\end{tabular}
				
			\end{center}
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Calculons $\mathbb{E}(X)$.}
		
		\begin{align*}
			\mathbb{E}(X) &= \color{orange}\sum_{i=1}^n \mathbb{P}(X=x_i)x_i\\
			&= \frac{2}{3} \times (-2) + \frac{1}{3} \times 5
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{E}(X)=\frac{1}{3}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		\begin{conclusion}
			
			Si le jeu était recommencé indéfiniment, en moyenne, je joueur gagnerait $\frac{1}{3}\ \text{\euro}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		Puisque $\mathbb{E}(X)>0$ 
		
		\begin{conclusion}
			
			le jeu est favorable au joueur.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}

\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 36 page 235 du manuel de 1ieme esl Hachette Déclic 2015: espérance.
		
	\end{notabene}
	
	On considère une variable aléatoire $X$ dont on donne la loi de probabilité.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
			\hline
			$x$ & $5$ & $1$ & $10$
			\\
			\hline
			$\mathbb{P}(X=x)$ & $0,1$ & $0,6$ & $0,3$
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
	Calculez l'espérance de $X$.
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}
	
	\objectif{Calculons $\mathbb{E}(X)$.}
	
	\begin{align*}
		\mathbb{E}(X) &= \mathbb{P}(X=x_1) \times x_1 + \mathbb{P}(X=x_2) \times x_2 + \dots + \mathbb{P}(X=x_p)\times x_p\\
		&= 0,1 \times 5 + 0,6 \times 1 + 0,3 \times 10
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		$\mathbb{E}(X)=4,1$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}
	
	\begin{notabene}
		
		52 page 357 déclic spécialité 2019.
		
	\end{notabene}
	
	Une station de lavage automobile a constaté que parmi ses clients:
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item $90\ \%$ lavent la carrosserie de leur voiture,
		\item $30\ \%$ nettoient l'intérieur de leur voiture,
		\item $20\ \%$ lavent la carrosserie et nettoient l'intérieur de leur voiture.
	\end{enumerate}
	
	Le coût de lavage de la carrosserie est de $5\ \text{\euro}$, celui du nettoyage de l'intérieur est $2\ \text{\euro}$.
	
	Notons $X$ la variable aléatoire modélisant la dépense en euro, d'un client de la station choisi au hasard.
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminez la loi de probabilité de $X$.
		
		\item Calculez $\mathbb{E}(X)$. Interprétez le résultat obtenu.
	\end{enumerate}
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item \objectif{Déterminons la loi de probabilité de $X$.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item $X \in \{ 2;\ 5;\ 7 \}$.
			
			\item Notons $C$ l'événement \og nettoyer la carrosserie\fg{} et $I$ l'événement \og nettoyer l'intérieur \fg{}. Nous pouvons représenter l situation par un tableau de données croisées:
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
					\hline
					& $C$ & $\overline{C}$ & Total
					\\
					\hline
					$I$ & $\color{red}20$ & $10$ & $\color{red}30$
					\\
					\hline
					$\overline{I}$ & $70$ & $0$ & $70$
					\\
					\hline
					Total & $\color{red}90$ & $10$ & $\color{red}100$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
				
				\emph{\tiny En rouge sont écrites les données trouvées directement dans l'énoncé.}
				
			\end{center}
		
		\end{enumerate}
		
		Finalement
		
		\begin{conclusion}
			
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
					\hline
					$x$ & $2$ & $5$ & $7$
					\\
					\hline
					$\mathbb{P}(X=x)$ & $0,1$ & $0,7$ & $0,2$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{center}
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Calculons $\mathbb{E}(X)$.}
		
		\begin{align*}
			\mathbb{E}(X) &= \mathbb{P}(X=x_1) \times x_1 + \mathbb{P}(X=x_2) \times x_2 + \dots + \mathbb{P}(X=x_p)\times x_p\\
			&= 0,1 \times 2 + 0,7 \times 5 + 0,2 \times 7
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{E}(X)= 5,1$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		\begin{conclusion}
			
			En moyenne un client dépense $5,1\ \text{\euro}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}
	
	\begin{notabene}
		
		56 page 357 manuel déclic spécialité 2019.
		
	\end{notabene}
	
	Une entreprise est chargée d'entretenir une machine à café de la salle d'attente d'une gare. La machine est utilisée en moyenne $\np{2500}$ fois par mois.
	
	$40\ \%$ des boissons distribuées sont des cafés courts, $45\ \%$ des cafés longs et le reste est du chocolat.
	
	Le prix de vente d'un café court est de $0,40\ \text{\euro}$, celui d'un café long $0,50\ \text{\euro}$ et celui d'un chocolat $0,60\ \text{\euro}$.
	
	La variable aléatoire $X$ modélise le bénéfice réalisé par l'entreprise pour une boisson vendue, en euro.
	
	\begin{enumerate}
		\item Établissez la loi de probabilité de $X$.
		
		\item Calculez l'espérance de $X$. Interprétez le résultat.
		
		\item Quel est le bénéfice moyen réalisé par l'entreprise en un mois sur la vente des boissons?
				
	\end{enumerate}
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item \objectif{Déterminons la loi de $X$.}
		
		$X \in \{ 0,4;\ 0,5;\ 0,6 \}$.
			
		En confondant les proportion avec les probabilités:
		
		\begin{conclusion}
			
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
					\hline
					$x$ & $0,4$ & $0,5$ & $0,6$
					\\
					\hline
					$\mathbb{P}(X=x)$ & $0,4$ & $0,45$ & $0,15$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{center}
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Calculons $\mathbb{E}(X)$.}
		
		\begin{align*}
			\mathbb{E}(X) &= \mathbb{P}(X=x_1) \times x_1 + \mathbb{P}(X=x_2) \times x_2 + \dots + \mathbb{P}(X=x_p)\times x_p\\
			&= 0,4 \times 2 + 0,4 \times 0,5 + 0,15 \times 0,6
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{E}(X)= 0,45$.
			
		\end{conclusion}
		
		\begin{conclusion}
			
			En moyenne chaque client dépense $0,45\ \text{euro}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Déterminons le bénéfice moyen $b$.}
		
		Puisque $\np{2500}$ boissons sont consommées chaque mois et qu'en moyenne chaque consommateur dépense $0,45\ \text{\euro}$:
		
		\begin{align*}
			b &= \np{2500} \times 0,45\\
			&= 1125
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Le bénéfice mensuel moyen est de $\np{1125}\ \text{\euro}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		57 page 357 manuel déclic spécialité 2019.
		
	\end{notabene}
	
	Un commerçant vend entre $0$ et $3$ poêles à bois par jour. Soit $X$ la variable aléatoire qui modélise le nombre de poêle vendus quotidiennement. On suppose que $X$ suit la li de probabilité  ci-dessous.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
			\hline
			$x$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$
			\\
			\hline
			$\mathbb{P}(X=x)$ & $0,45$ & $0,4$ & $0,1$ & $0,05$
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculez et interprétez $\mathbb{E}(X)$.
		
		\item Le vendeur perçoit une commission de $100\ \text{\euro}$ par poêle vendu. Néanmoins, il a des frais qui s'élèvent à $20\ \text{\euro}$ par jour. Déterminez le salaire qu'il peut espérer sur un mois où il travaille $24$ jours ouvrés.
		
		\begin{notabene}
			
			Cette question est en fait du programme de terminale: linéarité de l'espérance. Annoncer le résultat dans la correction sans entrer dans le détail.
			
		\end{notabene}
	
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\subsubsection{Variance et écart type.}

\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $p \in \mathbb{N}^*$,
		\item $x_1,x_2, \dots,x_p\in \mathbb{R}$,
		\item $X$ une variable aléatoire (sur un univers $\Omega$) telle que $X \in \{ x_1,x_2, \dots,x_p\}$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous appellerons \emph{\color{purple}variance} de la variable aléatoire $X$ le nombre:
	\[ \color{purple} \mathbb{V}(X) = P(X=x_1)\times \left(x_1-\mathbb{E}(X) \right)^2+\dots +P(X=x_p)\times \left( x_p -\mathbb{E}(X) \right)^2. \].
	
\end{definition}

\begin{remarques}
		
	\begin{enumerate}
		\item La variance, comme en statistique s'interprète comme une moyenne de carrés des distances entre les valeurs de la variable aléatoire et l'espérance.
		
		\item Elle peut être notée: \[ \mathbb{V}(X) = \sum_{i=1}^p \mathbb{P}(X=x_i) \times \left( x_i-\mathbb{E}(X) \right)^2. \]
		
		\item Si la variable aléatoire $X$ représente un gain en euros, la variance s'exprime en \og euro au carré \fg{} ce qui n'a pas de sens. Pour obtenir une grandeur dans la bonne unité plutôt que d'utiliser la variance nous utiliserons l'\emph{\color{purple}écart type}: \[ \color{purple} \sigma = \sqrt{\mathbb{V}(X)}. \]
		
		\item La variance et l'écart type représentent les écarts de fluctuation autour de la valeur de l'espérance lorsque l'expérience est renouvelée. Pour un jeu d'argent elles indiquent si les écarts entre gains et pertes sont importants (mais en tenant compte de la probabilité que cela se réalise).
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		41 page 355 manuel déclic hachette spécialité 2019.
		
	\end{notabene}
	
	On considère une variable aléatoire $X$ dont la loi de probabilité est donnée dans le tableau ci-dessous.
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
			\hline
			$x$ & $5$ & $9$ & $10$ & $12$
			\\
			\hline
			$\mathbb{P}(X=x)$ & $0,1$ & $0,45$ & $0,32$ & $0,13$
			\\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculez en détaillant $\mathbb{E}(X)$, $\mathbb{V}(X)$ et $\sigma(X)$.
		
		\item Vérifiez les résultats avec la calculatrice.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item \objectif{Calculons $\mathbb{E}(X)$.}
			
			\begin{align*}
				\mathbb{E}(X) &= \mathbb{P}(X=x_1) \times x_1 + \mathbb{P}(X=x_2) \times x_2 + \dots + \mathbb{P}(X=x_p)\times x_p\\
				&= 0,1 \times 5 + 0,45 \times 9 + 0,32 \times 10+ 0,13 \times 12
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{E}(X)= 9,31$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item \objectif{Calculons $\mathbb{V}(X)$.}
			
			\begin{align*}
				\mathbb{V}(X) &= \mathbb{P}(X=x_1) \times \left(x_1-\mathbb{E}(X) \right)^2 + \mathbb{P}(X=x_2) \times \left( x_2 -\mathbb{E}(X) \right)^2+ \dots \\
				&\quad + \mathbb{P}(X=x_p)\times \left(x_p-\mathbb{E}(X) \right)^2\\
				&= 0,1 \times (5-9,31)^2 + 0,45 \times (9-9,31)^2 + 0,32 \times (10-9,31)^2\\
				&\quad + 0,13 \times (12-9,31)^2
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{V}(X)= 2,9939$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item \objectif{Calculons $\sigma(X)$.}
			
			\begin{align*}
				\sigma(X) &= \sqrt{\mathbb{V}(X)}\\
				&= \sqrt{2,9939}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				 
				$\sigma(X)\approx 1,73029$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
		\item {\color{orange}Avec la calculatrice il faut entrer les deux séries dans deux listes.
		
		\includegraphics[scale=0.5]{1ieme_probabilite_03_variable_aleatoire_01_ti.png}
		}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Exercices.}

\begin{exerciceapplication}
	
	Exercices 22 à 27 page 317 du manuel Indice.
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exerciceapplication}
	
	Exercices 42 à 51 page 319 du manuel Indice.
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exercice}{}
	
	Exercices 52 à 59 page 321 du manuel Indice.
	
\end{exercice}

\subsection{Exercices.}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
			
		Exercices 55 page 238 du manuel hachette déclic 2015: étude d'un problème faisant intervenir une variable aléatoire.
		
	\end{notabene}
	
	Un restaurateur propose deux formules au déjeuner: le menu $A$ coûte $12\ \text{\euro}$ et le menu $B$ coûte $15\ \text{\euro}$. Le verre de vin est en supplément et coûte $2\ \text{\euro}$.
	
	On suppose que $60\ \%$ des clients choisissent le menu $A$, et parmi eux $70\ \%$ prennent un verre de vin.
	
	De plus, $40\ \%$ des clients choisissant le menu $B$ prennent un verre de vin.
	
	\begin{enumerate}
		\item Recopiez et complétez ce tableau des fréquences (en pourcentages) par rapport à l'ensemble des clients.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
				\hline
				& Vin & Pas de Vin & Total 
				\\
				\hline
				Menu $A$ & $42$ & $\dots$ & $60$
				\\
				\hline
				Menu $B$ & $\dots$ & $\dots$ & 
				\\
				\hline
				Total & $\dots$ & $\dots$ & $100$
				\\
				\hline 
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		\item On choisit au hasard un client du restaurant et on note $D$ la variable aléatoire représentant sa dépense en  euros. Après avoir précisé les valeurs prises par $D$, déterminez sa loi de probabilité.
		
		\item Quelle est la probabilité qu'un client dépense plus de $14\ \text{\euro}$? qu'il dépense $14\ \text{\euro}$ au plus?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercices 56  page 238 du manuel hachette déclic 2015: étude d'un problème faisant intervenir une variable aléatoire.
		
	\end{notabene}
	
	D'après l'INSEE, en 2010, parmi les personnes ayant utilisé Internet au cours des trois derniers mois, $70\ \%$ avaient reçu au moins un mail non sollicité (spam).
	
	On suppose que ce résultat est toujours vrai.
	
	On interroge au hasard deux personnes utilisant Internet et on note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de personnes ayant reçu au moins un spam au cours des trois derniers mois parmi ces deux personnes.
	
	\begin{enumerate}
		\item Construisez un arbre pondéré représentant la situation. On notera $S$ l'événement \og la personne interrogée a reçu un spam au cours des trois derniers mois\fg{}.
		
		\item 
		\begin{enumerate}
			\item Quelles sont les valeurs prises par $X$?
			
			\item Déterminez la loi de probabilité de $X$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item Quelle est la probabilité d'interroger
		
		\begin{enumerate}
			\item exactement une personne ayant reçu un spam?
			
			\item au moins une personne ayant reçu un spam?
			
			\item au plus une personne ayant reçu un spam?
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item Interroger deux personnes sont des événements indépendants donc
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			\coordinate (A1) at (4,3);
			\coordinate (A2) at (4,1);
			\coordinate (A3) at (4,-1);
			\coordinate (A4) at (4,-3);
			\coordinate (B1) at (2,2);
			\coordinate (B2) at (2,-2);
			\coordinate (C1) at (0,0);
			\coordinate (D0) at (6,5);
			\coordinate (D1) at (6,3);
			\coordinate (D2) at (6,1);
			\coordinate (D3) at (6,-1);
			\coordinate (D4) at (6,-3);
			\coordinate (E0) at (8,5);
			\coordinate (E1) at (8,3);
			\coordinate (E2) at (8,1);
			\coordinate (E3) at (8,-1);
			\coordinate (E4) at (8,-3);
			\draw node (A11) at (A1) {$S_2$};	
			\draw node (A12) at (A2) {$\overline{S_2}$};
			\draw node (A13) at (A3) {$S_2$};
			\draw node (A14) at (A4) {$\overline{S_2}$};
			\draw node (B11) at (B1) {$S_1$};
			\draw node (B12) at (B2) {$\overline{S_1}$};
			\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,7$};
			\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,3$};
			\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,7$};
			\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,3$};
			\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,7$};
			\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,3$};
			\draw node (D10) at (D0) {$X$};	
			\draw node (D11) at (D1) {$2$};	
			\draw node (D12) at (D2) {$1$};
			\draw node (D13) at (D3) {$1$};
			\draw node (D14) at (D4) {$0$};
			\draw node (E10) at (E0) {$\mathbb{P}$};
			\draw node (E11) at (E1) {$0,49$};	
			\draw node (E12) at (E2) {$0,21$};
			\draw node (E13) at (E3) {$0,21$};
			\draw node (E14) at (E4) {$0,09$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item ~
			
			\begin{conclusion}
				
				$X \in \{ 0;\ 1;\ 2 \}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item \objectif{Calculons $\mathbb{P}(X=1)$.}
			
			$S_1$ et $\overline{S_1}$ forment un système complet d'événements donc, d'après la formule des probabilités totales:
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(X=1) &= \mathbb{P}(S_1 \cap S_2) + \mathbb{P}(\overline{S_1} \cap \overline{S_2})\\
				\intertext{Puisque $\mathbb{P}(S_1)>0$ et $\mathbb{P}(\overline{S_1})>0$, d'après la formule des probabilités composées:}
				\mathbb{P}(X=1) &= \mathbb{P}(S_1)\times \mathbb{P}_{S_1} (S_2) + \mathbb{P}(\overline{S_1}) \times \mathbb{P}_{\overline{S_1}}(\overline{S_2})\\
				&= 0,7 \times 0,3 + 0,3 \times 7
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(X=1)= 0,42$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			En procédant de même pour les autres valeurs de $X$:
			
			\begin{conclusion}
				
				\begin{center}
					\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
						$x$ & $0$ & $1$ & $2$
						\\
						\hline
						$\mathbb{P}(X)$ & $0,49$ & $0,42$ & $0,09$
						\\
						\hline
					\end{tabular}
				\end{center}
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item \objectif{Calculons $\mathbb{P}(X=1)$.}
			
			D'après ce qui précède
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(X=1)= 0,42$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item \objectif{Calculons $\mathbb{P}(X\geqslant 1)$.}
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(X\geqslant 1) &= \mathbb{P}(X=1) + \mathbb{P}(X=2)\\
				&= 0,42+0,09
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(X\geqslant 1)= 0,51$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item \objectif{Calculons $\mathbb{P}(X\leqslant 1)$.}
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(X\leqslant 1) &= \mathbb{P}(X=0) + \mathbb{P}(X=1)\\
				&= 0,49+0,42
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(X\leqslant 1)= 0,91$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercices 57 page 238 du manuel hachette déclic 2015: étude d'un problème faisant intervenir une variable aléatoire.
		
	\end{notabene}
	
	Un jeu consiste à lancer trois pièces de monnaie bien équilibrées. À chaque résultat Face obtenu, on gagne $1\ \text{\euro}$. Le résultat Pile ne rapporte rien.
	
	La participation au jeu coûte $2\ \text{\euro}$.
	
	On note $X$ la variable aléatoire donnant le gain algébrique d'un joueur en euros.
	
	\begin{enumerate}
		\item Construisez un arbre pondéré illustrant la situation.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Quelles sont les valeurs prises par $X$?
			
			\item Déterminez la loi de probabilité de $X$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item Est-il plus probable que le gain du joueur soit strictement positif ou strictement négatif?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			
			\item $X \in \{ -2;\ -1;\ 0;\ 1 \}$.
			
			\item 
			
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
				\hline
				$x$ & $-2$ & $-1$ & $0$ & $1$
				\\
				\hline
				$\mathbb{P}(X=x)$ & $\frac{1}{8}$ & $\frac{3}{8}$ & $\frac{3}{8}$ & $\frac{1}{8}$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
		\end{enumerate}
		
		\item \objectif{Comparons $\mathbb{P}(X>0)$ et $\mathbb{P}(X<0)$.}
		
		D'une part:
		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(X>0) &= \mathbb{P}(X=1)\\
			&= \frac{1}{8}
		\end{align*}
		
		d'autre part:
		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(X<0) &= \mathbb{P}(X=-2) + \mathbb{P}(X=-1)\\
			&= \frac{1}{8} + \frac{3}{8}\\
			&= \frac{4}{8}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Il est plus probable que le gain soit strictement négatif.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
	Exercice 58 page 238 du manuel hachette déclic 2015: étude d'un problème faisant intervenir une variable aléatoire.
	
	\end{notabene}
	
	Aux élections présidentielles françaises de 2012, il y a eu $19,65\ \%$ d'abstentionnistes.
	
	On interroge au hasard trois personnes inscrites sur les listes électorales de 2012, et on note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de personnes parmi les trois interrogées qui se sont abstenues lors de l'élection présidentielle.
	
	\begin{enumerate}
		\item Représentez la situation par un arbre pondéré. On notera $A$ l'événement \og la personne s'est abstenue \fg{}.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Quelles sont les valeurs prises par $X$?
			
			\item Déterminez la loi de probabilité de $X$.
			
			Arrondir les résultats à $10^{-4}$ près.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Quelle est la probabilité d'interroger au plus une personne qui s'est abstenue?
			
			\item Quelle est la probabilité d'interroger plus d'une personne qui s'est abstenue?
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}


	\begin{enumerate}
	\item 
	{\hspace*{-1cm}
\tikzstyle{noeud}=[rounded corners=3pt,fill=lightgray!35, text centered,text width=0.6cm]
\tikzstyle{noeud1}=[rounded corners=3pt,fill=lightgray!35, text centered,text width=4cm]
\begin{tikzpicture}
	\node(E0)at(1,3.6){Issues};
	\node(F0)at(2,3.6){$X$};
	\node(G0)at(4,3.6){Proba};
	\node[noeud](A1)at(0,2.8){$A$};
	\node[noeud](E1)at(1,2.8){$AAA$};
	\node[noeud](F1)at(2,2.8){$3$};
	\node[noeud1](G1)at(5,2.8){$(0,1965)^3$};
	\node[noeud](A2)at(0,2){$\overline{A}$};
	\node[noeud](E2)at(1,2){$AA\overline{A}$};
	\node[noeud](F2)at(2,2){$2$};
	\node[noeud1](G2)at(5,2){$(0,1965)^2\times 0,8035$};
	\node[noeud](A3)at(0,1.2){$A$};
	\node[noeud](E3)at(1,1.2){$A\overline{A}A$};
	\node[noeud](F3)at(2,1.2){$2$};
	\node[noeud1](G3)at(5,1.2){$(0,1965)^2\times 0,8035$};
	\node[noeud](A4)at(0,0.4){$\overline{A}$};
	\node[noeud](E4)at(1,0.4){$A\overline{A}\overline{A}$};
	\node[noeud](F4)at(2,0.4){$1$};
	\node[noeud1](G4)at(5,0.4){$0,1965\times (0,8035)^2$};
	\node[noeud](A5)at(0,-0.4){$A$};
	\node[noeud](E5)at(1,-0.4){$\overline{A}AA$};
	\node[noeud](F5)at(2,-0.4){$2$};
	\node[noeud1](G5)at(5,-0.4){$(0,1965)^2\times 0,8035$};
	\node[noeud](A6)at(0,-1.2){$\overline{A}$};
	\node[noeud](E6)at(1,-1.2){$\overline{A}A\overline{A}$};
	\node[noeud](F6)at(2,-1.2){$1$};
	\node[noeud1](G6)at(5,-1.2){$0,1965\times (0,8035)^2$};	
	\node[noeud](A7)at(0,-2){$A$};
	\node[noeud](E7)at(1,-2){$\overline{A}\overline{A}A$};
	\node[noeud](F7)at(2,-2){$1$};
	\node[noeud1](G7)at(5,-2){$0,1965\times (0,8035)^2$};
	\node[noeud](A8)at(0,-2.8){$\overline{A}$};
	\node[noeud](E8)at(1,-2.8){$\overline{A}\overline{A}\overline{A}$};
	\node[noeud](F8)at(2,-2.8){$0$};	
	\node[noeud1](G8)at(5,-2.8){$(0,8035)^3$};
	\node[noeud](B1)at(-2,2.4){$A$};
	\node[noeud](B2)at(-2,0.8){$\overline{A}$};	
	\node[noeud](B3)at(-2,-0.8){$A$};
	\node[noeud](B4)at(-2,-2.4){$\overline{A}$};	
	\draw (A1)--(B1)node[midway, above]{\color{purple}\footnotesize $0,1965$};
	\draw (A2)--(B1)node[midway, below]{\color{purple}\footnotesize $0,8035$};
	\draw (A3)--(B2)node[midway, above]{\color{purple}\footnotesize $0,1965$};
	\draw (A4)--(B2)node[midway, below]{\color{purple}\footnotesize $0,8035$};
	\draw (A5)--(B3)node[midway, above]{\color{purple}\footnotesize $0,1965$};
	\draw (A6)--(B3)node[midway, below]{\color{purple}\footnotesize $0,8035$};
	\draw (A7)--(B4)node[midway, above]{\color{purple}\footnotesize $0,1965$};
	\draw (A8)--(B4)node[midway, below]{\color{purple}\footnotesize $0,8035$};
	\node[noeud](C1)at(-4,1.6){$A$};
	\node[noeud](C2)at(-4,-1.6){$\overline{A}$};
	\draw (C1)--(B1)node[midway, above]{\color{purple}\footnotesize $0,1965$};
	\draw (C1)--(B2)node[midway, below]{\color{purple}\footnotesize $0,8035$};
	\draw (C2)--(B3)node[midway, above]{\color{purple}\footnotesize $0,1965$};
	\draw (C2)--(B4)node[midway, below]{\color{purple}\footnotesize $0,8035$};
	\node (D)at(-6,0){};
	\draw (C1)--(D)node[midway, above]{\color{purple}\footnotesize $0,1965$};
	\draw (C2)--(D)node[midway, below]{\color{purple}\footnotesize $0,8035$};
\end{tikzpicture}
	}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item 
		\begin{conclusion}
			
			$X\in \{ 3;2;1;0 \}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item 
			
		{\color{orange}
		
		\begin{enumerate}
			\item $P(X=0)=(0,8035)^3 \approx 0,5187$
			\item $P(X=1)=3\times [(0,8035)^2\times 0,1965 ] \approx 0,3806$
			\item $P(X=2)=3\times [0,8035 \times (0,1965)^2 ] \approx 0,0931$
			\item $P(X=3)=(0,1965)^3 \approx 0,0076$
		\end{enumerate}
		}
		
	\end{enumerate}
			
	Loi de probabilité avec les résultats arrondis à $10^{-4}$ près.
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{2cm}|m{1.4cm}|m{1.4cm}|m{1.4cm}|m{1.4cm}|}
		\hline
		$x$ & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline
		$P(X=x)$ & 0,5187 & 0,3806 & 0,0931 & 0,0076 \\ \hline
	\end{tabular}
	
	\item 
		\begin{enumerate}
			\item $P(X\le 1) =P(X=0)+P(X=1)\approx 0,8993$
			\item $P(X\ge 1)= P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) \approx 0,4813$
		\end{enumerate}
		
		\item $E(X)=x_1P(X=x_1)+\dots + x_rP(X=x_r) \approx 0,5896$
	
		Si on recommence un grand nombre de fois le sondage des trois personnes en moyenne on peut espérer obtenir \np{0,5896} abstentionnistes parmi les trois.
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		68 page 357 manuel déclic spécialité 2019: calculs de probabilités.
		
	\end{notabene}
	
	Une urne contient dix boules, dont deux exactement sont rouges.
	
	Un jeu consiste à tirer successivement avec remise deux boules dans l'urne: à chaque boule rouge tirée, le joueur gagne $3\ \text{\euro}$. Les autres boules ne procurent aucun gain. La mise de départ est de $1\ \text{\euro}$.
	
	On note $X$ le gain algébrique d'un joueur en euros.
	
	\begin{enumerate}
		\item Construisez un arbre pondéré illustrant la situation.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Quelles sont les valeurs prises par $X$?
			
			\item Déterminez la loi de probabilité de $X$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Est-il plus probable  que le gain du joueur soit positif ou négatif?
			
			\item Après avoir calculé l'espérance $\mathbb{E}(X)$, précisez si le jeu est en moyenne à l'avantage du joueur ou non.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		\item 
		\begin{enumerate}
			\item $X \in \{ -1;\ 2;\ 5 \}$.
			
			\item 
			
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
				\hline
				$x$ & $-1$ & $2$ & $3$
				\\
				\hline
				$\mathbb{P}(X=x)$ & $0,64$ & $0,32$ & $0,04$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item $\mathbb{P}(X>0)= 0,36$ et $\mathbb{P}(X<0)= 0,64$ donc
			
			\begin{conclusion}
				
				Il est plus probable que le gain soit négatif.
				
			\end{conclusion}
			
			\item $\mathbb{E}(X)= 0,12>0$ donc
			
			\begin{conclusion}
				
				le jeu est favorable au joueur.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}
	
\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		69 page 357 manuel déclic spécialité 2019: calculs de probabilités.
		
	\end{notabene}
	
	Une entreprise produit en série des objets quelle destine à la vente. Ces objets peuvent présenter deux types de défauts:
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item le défaut $S$ de nature esthétique;
		\item le défaut $F$ de fonctionnement.
	\end{enumerate}
	
	Un objet est déclaré parfait s'il ne présente aucun des deux défauts.
	
	\begin{enumerate}
		\item On prélève un lot de $200$ objets sur la production et on constate que
		
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
			\item le défaut  $S$ est observé sur $16$ objets;
			\item le défaut $F$ est observé sur $12$ objets;
			\item $180$ objets sont déclarés parfaits.
		\end{enumerate}
		
		Recopiez et complétez le tableau suivant:
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|m{2cm}|m{2cm}|m{2cm}|m{2cm}|}
				\hline
				& Avec le défaut $F$ & Sans le défaut $F$ & Total
				\\
				\hline
				Avec le défaut $S$ & & & $16$
				\\
				\hline
				Sans le défaut $S$ & & &
				\\
				\hline
				Total & & & $200$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		\item On admet que la répartition des deux types de défauts, observée dans le lot de $200$ objets prélevés, reflète celle de l'ensemble de la production.
		
		On admet également que tout objet produit est vendu. On sait que le coût de fabrication d'un objet est de $200\ \text{\euro}$ et que le prix de vente de l'objet est fixé à $250\ \text{\euro}$.
		
		Si l'objet présente le seul défaut $S$, l'entreprise accorde au client une réduction de $15\ \%$ du prix.
		
		Si l'objet présente le seul défaut $F$, l'entreprise réalise les réparations à ses frais pour un coût de $45\ \text{\euro}$.
		
		Si l'objet présente les deux défauts, l'entreprise réalise les réparations à ses frais pour un coût de $58\ \text{\euro}$.
		
		On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque objet choisi au hasard dans la production, associe le bénéfice algébrique, en euro, réalisé par l'entreprise à la vente de cet objet.
		
		\begin{enumerate}
			\item Déterminez la loi de probabilité de $X$.
			
			\item Calculez $\mathbb{P}(X \leqslant 0)$. Interprétez.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		82 page 363 manuel déclic spécialité 2019: simulation Python.
		
	\end{notabene}
	
	Une usine fabrique des vis. On appelle $X$ la variable aléatoire égale au nombre de vis défectueuses sortant par jour de la chaîne de production. On donne la loi de probabilité de $X$ dans le tableau ci-dessous.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
			\hline
			$x$ & $0$ & $25$ & $50$ & $75$ & $100$ & $125$
			\\
			\hline
			$\mathbb{P}(X=x)$ & $0,02$ & $0,09$ & $0,18$ & $0,22$ & $0,17$ & $0,12$
			\\
			\hline			
		\end{tabular}
		
		
		\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
			\hline
			$x$ & $150$ & $175$ & $200$ & $225$ & $250$
			\\
			\hline
			$\mathbb{P}(X=x)$ & $0,07$ & $0,06$ & $0,04$ & $0,02$ & $0,01$
			\\
			\hline			
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminez l'espérance $m=\mathbb{E}(X)$ et l'écart type $\sigma =\sigma (X)$. Vérifiez en utilisant les outils statistiques de la calculatrice.
		
		\item Calculez les probabilités $\mathbb{P}(X \geqslant m+\sigma)$ et $\mathbb{P}(X \geqslant m+2\sigma)$. Comparer les résultats obtenus.
		
		\item Calculer les probabilités $\mathbb{P}(m-\sigma \leqslant X \leqslant m+\sigma)$ et $\mathbb{P}(m-2\sigma \leqslant X \leqslant m+2\sigma)$. Les comparer.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
	Exercice 67 page 240 du manuel hachette déclic 2015: situation introduisant la loi binomiale.
	
	\end{notabene}
	
	Romain se dit \og champion\fg{} en lacer de boules de papier dans un poubelle. À trois mètres, il réussit son tir $8$ fois sur $10$. Romain tente trois lancers.
	
	On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de lancers réussis sur ses trois tirs.
	
	\begin{enumerate}
		\item Représentez la situation à l'aide d'un arbre pondéré.
		
		\item Déterminez la loi de probabilité de $X$.
		
		\item Quelle est la probabilité que Romain réussisse au moins deux lancers sur les trois qu'il tente?
		
		\item Calculez l'espérance $\mathbb{E}(X)$. Interprétez.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
	Exercice 68 page 240 du manuel hachette 1ieme esl déclic 2015: gain et espérance.
	\end{notabene}
	
	Une urne contient dix boules, dont deux exactement sont rouges.
	
	Un jeu consiste à tirer successivement avec remise deux boules dans l'urne: à chaque boule rouge tirée, le joueur gagne $3\ \text{\euro}$. Les autres boules ne procurent aucun gain. La mise de départ est de $1\ \text{euro}$.
	
	On note $X$ le gain algébrique d'un joueur en euros.
	
	\begin{enumerate}
		\item Construisez un arbre pondéré illustrant la situation.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Quelles sont les valeurs prises par $X$?
			
			\item Déterminez la loi de probabilité de $X$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			
			\item Est-il plus probable que le gain du joueur soit positif ou négatif?
			
			\item Après avoir calculé l'espérance $\mathbb{E}(X)$, précisez si le jeu est en moyenne à l'avantage du joueur ou non.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		Exercice 74 page 361 du manuel 1ieme spécialité hachette déclic 2019: police d'assurance et espérance.
		
	\end{notabene}
	
	Un homme de $30$ ans veut contracter une police d'assurance de $\np{100000}\ \text{\euro}$ valable un an.
	
	En se basant sur les tables de mortalité, la compagnie a déterminé que la probabilité qu'un homme de $30$ ans meure dans l'année qui suit était de $\np{0,00177}$.
	
	Quelle somme doit-elle demander au client pour sa police d'assurance, si la compagnie veut espérer faire un bénéfice de $50\ \text{\euro}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		Exercice 74 page 361 du manuel 1ieme spécialité hachette déclic 2019: police d'assurance et espérance.
		
	\end{notabene}
	
	Lors d'un jeu télévisé, le candidat finaliste doit choisir entre trois portes à ouvrir. S'il ouvre la première porte, il remporte un chèque de $\np{50000}$ euros. S'il ouvre la deuxième porte, il a $10\ \%$ de chances de remporter $\np{200000}$ euros, $88\ \%$ de chances de remporter $\np{35000}$ euros et $2\ \%$ de risques de repartir les mains vides. S'il ouvre la troisième porte, il a $1\ \%$ de chance de gagner $\np{3000000}$ euros, $94\ \%$ de chances de gagner $\np{20000}$ euros et $5\ \%$ de risque de ne rien gagner.
	
	Quelle porte doit-il choisir pour avoir la plus grande espérance de gain?
	
\end{exercice}

\subsection{Échantillonnage.}
	
\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		70 page 357 manuel déclic spécialité 2019: simulation Python.
		
	\end{notabene}
	
	D'après un sondage BVA datant de 2018, $76\ \%$ des jeunes gens âgés de $18$ à $24$ ans pratiquent une activité sportive toutes les semaines. On suppose que cette proportion se maintient ensuite.
	
	\begin{enumerate}
		\item On choisit au hasard une personne âgée de $18$ à $24$ ans et on s'intéresse à sa pratique sportive hebdomadaire.
		
		On considère la fonction \texttt{simult(p)} ci-dessous.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{|c|}
				\hline
				\begin{minipage}{4cm}
					\footnotesize
					\begin{lstlisting}{language=Python}
from random import*
def simul(p):
  if random()<p:
    return 1
  else:
    return 0
					\end{lstlisting}
				\end{minipage}
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		Justifiez que \texttt{simul(0.76)} permet de simuler l'expérience. Préciser le résultat renvoyé lorsque la personne pratique un sport de façon hebdomadaire.
		
		\item On choisit maintenant au hasard deux personnes âgées de $18$ à $24$ ans. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de personnes ayant une pratique sportive hebdomadaire parmi les deux choisies.
		
		\begin{enumerate}
			\item Quelles sont les valeurs prises par $X$?
			
			\item Expliquez pourquoi la fonction \texttt{simul2(0.76)} donnée ci-dessous permet de simuler cette expérience.
			
			\begin{center}
				
				\begin{tabular}{|c|}
					\hline
					\begin{minipage}{6cm}
						\footnotesize
						\begin{lstlisting}{language=Python}def simul2(p):
def simul2(p):
compt=0
  for i in range(2):
    compt=compt+simul(p)
  return compt
						\end{lstlisting}
					\end{minipage}
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{center}
			
			\item On simule $\np{10000}$ fois cette expérience à l'aide du programme ci-dessous. 
			
			\begin{center}
				
				\begin{tabular}{|c|}
					\hline
					\begin{minipage}{6cm}
						\footnotesize
						\begin{lstlisting}{language=Python}def simul2(p):
p=0.76
L=[0,0,0]
for i in range(10000):
  j=simul2(p)
  L[j]=L[j]+1
print(L)
						\end{lstlisting}
					\end{minipage}
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{center}
			
			On a obtenu l'affichage suivant: \texttt{L=[556,3695,5749]}.
			
			Conjecturez la loi de probabilité de $X$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item En représentant la situation à l'aide d'un arbre pondéré déterminez la loi de probabilité de $X$.
		
		Comparez avec le résultat de la question 2.(c).
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		83 page 357 manuel déclic spécialité 2019: simulation Python.
		
	\end{notabene}
	
	Une urne contient dix boules dont deux sont rouges. Un jeu, dont la mise de départ est $3\ \text{\euro}$, consiste à tirer successivement avec remise deux boules. Chaque boule rouge tirée rapporte $4\ \text{\euro}$.
	
	On note $X$ le gain algébrique d'un joueur, en euro.
	
	On considère les fonctions \texttt{simul} et \texttt{echantillon} ci-dessous
	
	\begin{center}
		
		
		\begin{tabular}{|c|}
			\hline
			\begin{minipage}{8cm}
				\footnotesize
				\begin{lstlisting}{language=Python}
from random import*
def simul():
  x=-3
  if random()<0.2:
    x=x+4
  return x

def echantillon(N):
  L=[]
  for i in range(N):
    L.append(simul())
  return L
				\end{lstlisting}
			\end{minipage}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
	
	\end{center}
	
	\begin{enumerate}
		\item Soit $N$ dans $\mathbb{N}^*$.
		
		\begin{enumerate}
			\item Justifier que la fonction \texttt{simul()} renvoie la valeur prise par la variable $X$ sur une simulation d'une partie.
			
			\item Que permet de faire la fonction \text{echantillon(N)}?
			
			\item Créez une fonction \texttt{moyenne(N)} qui renvoie la moyenne observée du gain sur une simulation de $N$ parties. Exécutez-le pour $N=100$, puis $N=\np{1000}$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item Ce jeu est-il favorable au joueur? Justifiez en déterminant la loi de probabilité de $X$ à l'aide d'un arbre.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}


\begin{sujet}
	
	\newpage
	~
	
\end{sujet}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}