%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
%\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{RoyalBlue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{Black}\underline{Remarques.}}\color{Black}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. #1} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \color{blue} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}
	
}{\hfill \underline{Fin correction exercice \theExercicecorrection.}}

\newenvironment{exerciceapplication}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Application.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} }{ \end{colbox} }

\newenvironment{concours}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Concours.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} }{\medskip}

\newenvironment{recherche}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill { \color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Recherche.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} }{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration \theDemonstration #1} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{Black} 
	
}{\noindent \color{PineGreen} \hfill  $\blacksquare$ \hspace{3cm}~}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/1ieme.html}{Arbres pondérés.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{details}
\exclure{bareme}
\exclure{notabene}
\exclure{correction}
%\exclure{exercicecorrection}\exclure{preuve}\exclure{exemples}%papi
%\exclure{remarques}\exclure{corollaire}\exclure{lemme}\exclure{proposition}\exclure{theoreme}\exclure{culturegenerale}\exclure{definition}\exclure{lecon}
%\exclure{sujet}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Arbres pondérés.}

\begin{notabene}
	
	Dans cette leçon pas de probabilité conditionnelles, après le rappels il faudrait rapidement faire les probabilités comme en première ES: assimiler chaque chemin à une issues les recenser.
	
\end{notabene}

\begin{notabene}
	
	Donner les rappels et les deux exercices avec à faire à la maison pour ne pas faire les révisions en classe.
	
\end{notabene}

\subsection{Rappels.}

\subsubsection{Expérience aléatoire, issues, événements.}

\begin{lecon}
	
	Une \emph{\color{purple}expérience aléatoire} est un dispositif expérimental qui permet de reproduire une expérience dont on ne peut prévoir exactement l'\emph{\color{purple}issue} (ou résultat).
	
	L'ensemble de toutes les issues possibles est appelé l'\emph{\color{purple}univers} de l'expérience et est noté $\Omega$.
	
	Les issues sont regroupées en ensembles appelés \emph{\color{purple}événements}. L'ensemble de tous les événements possibles est noté $\mathscr{P}(\Omega)$. Deux événements sont dits \emph{\color{purple}incompatibles} s'ils n'ont pas d'issue en commun (intersection vide).
	
	Si $\omega _1$, $\omega _2$ et $\omega _3$ sont des issues d'une expérience, alors $A=\{ \omega _1,\ \omega _2,\ \omega _3\}$ est un événement qui est \emph{\color{purple}réalisé} si on obtient $\omega _1$ ou $\omega _2$ ou $\omega _3$.
	
	Si $A$ et $B$ sont deux événements alors:
	\begin{itemize}
		\item $\overline{A}$, appelé l'événement   \emph{\color{purple}contraire} de $A$, est l'ensemble des issues qui ne réalisent pas $A$,
		
		\item $A\cap B$ est l'ensemble des issues qui réalisent $A$ \emph{\color{purple}et} $B$ (les deux à la fois),
		
		\item $A\cup B$ est l'ensemble des issues qui réalisent $A$  \emph{\color{purple}ou} $B$ (au moins l'un des deux).
	\end{itemize}
	
\end{lecon}

\subsubsection{Probabilité.}

\begin{lecon}
	
	La \emph{\color{purple}probabilité} d'une issue d'une expérience aléatoire est la fréquence d'apparition (théorique) de cette issue si l'on répétait indéfiniment l'expérience. La probabilité est donc un nombre compris entre $0$ et $1$. Mathématiquement la définition d'une probabilité (hors programme) est
	
\end{lecon}

\begin{definition}
	
	Une \emph{\color{purple}probabilité sur un univers fini} est une fonction $\mathbb{P}:\mathscr{P}(\Omega) \rightarrow [0;1]$ qui vérifie les deux conditions suivantes:
	\begin{enumerate}[$(i)$]
		\item $\mathbb{P}(\Omega)=1$;
		\item Quelques soient les événements $A$ et $B$ incompatibles (ou disjoints): $\mathbb{P}(A\cup B) =\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)$.
	\end{enumerate}
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Dans le cas d'un univers fini la probabilité d'un événement est la somme des probabilités des issues qui le réalise.
		
		\item Lorsque la probabilité d'un événement égale $1$ on dit que l'événement est  \emph{\color{purple}certain}.
		
		\item Lorsque la probabilité d'un événement égale $0$ on dit que l'événement est \emph{\color{purple}impossible}.
		
		\item Dans une situation d'\emph{\color{purple} équiprobabilité} (chaque issue à la même probabilité), la probabilité d'un événement $A$ est: $\mathbb{P}(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}$.
		
		\item Il existe deux formules calculatoires sur les événements qui sont souvent utilisées dans les exercices. Si $A$ et $B$ sont des événements alors: \[ \color{purple}	\mathbb{P}(\overline{A}) = 1-\mathbb{P}(A) \quad \text{et} \quad \mathbb{P}(A\cup B) = \mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cap B). \]
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsubsection{Modéliser.}

\begin{lecon}
	
	Pour étudier une expérience aléatoire il faut faire le choix (pour nous le plus souvent arbitraire) d'une \emph{\color{purple}modélisation}. C'est-à-dire choisir un univers (ou un ensemble d'événements) et une loi de probabilité qui correspondent à l'expérience.
	
\end{lecon}

\subsubsection{Exercices.}

\begin{notabene}
	
	Ajouter un exercice de calcul de probabilité de seconde avec dénombrement sur un arbre.
	
\end{notabene}

\begin{concours}	
	
	\begin{sujet}
		
		Une enquête est effectuée dans un établissement de $\np{1 550}$ élèves afin de connaître leur groupe sanguin; les résultats sont consignés dans le tableau ci-dessous:
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{4}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
				\cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{} & A & B & O
				\\
				\hline
				Garçons & $217$ & $47$ & $536$
				\\
				\hline
				Filles & $295$ & $21$ & $434$
				\\
				\hline
			\end{tabularx}
			
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On choisit au hasard un des élèves parmi les $\np{1 550}$ élèves de l’établissement.
			
			On considère:
			
			\begin{enumerate}[\tiny $\blacksquare$]
				
				\item L’événement $F$: \og l’élève choisi est une fille \fg{}.
				
				\item L’événement $M$: \og L’élève choisi est du groupe B \fg{}.
				
			\end{enumerate}
			
			On note $\overline{F}$ l’évènement contraire de l’évènement $F$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{enumerate}
			
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				Montrer que $\mathbb{P}(F) = \frac{15}{31}$.
				
			\end{sujet}
			
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				Calculer la probabilité de l’événement $M$. Le résultat sera arrondi à $10^{-1}$.
				
			\end{sujet}
			
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				Définir par une phrase les événements $\overline{F} \cap M$ et $F \cup M$.
				
			\end{sujet}
			
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				Calculer la probabilité de l’événement $F \cup M$.
				
			\end{sujet}
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On choisit au hasard un élève du groupe B. Calculer alors la probabilité que l’élève choisi
			soit un garçon. Le résultat sera arrondi à $10^{-1}$.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
\end{concours}

\subsection{Arbres pondérés.}

\subsubsection{Exemple-définition.}

\begin{lecon}
	
	Nous avions vu en seconde deux façons de représenter une expérience aléatoire: tableau et arbre probabiliste. Nous allons voir et utiliser un nouveau type d'arbre.
	
	\medskip
	Considérons le dispositif expérimental suivant: une urne contient $3$ boules, à savoir $1$ rouge et $2$ bleues, et deux boules sont extraites de l'urne avec remise.
	
	\medskip
	\noindent
	\begin{tabular}{m{5cm}m{5cm}}
		Première modélisation possible pour un unique tirage de boule (une épreuve). $\Omega = \{ R, B_1, B_2 \}$ muni de la loi d'équiprobabilité (ou loi uniforme).
		
		Une schématisation de l'expérience (les deux tirages) est donnée par l'\emph{\color{purple}arbre probabiliste} ci-contre.
		
		&
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1.5,yscale=0.25]		
			\coordinate (A1) at (4,8);
			\coordinate (A2) at (4,6);
			\coordinate (A3) at (4,4);
			\coordinate (A4) at (4,2);
			\coordinate (A5) at (4,0);
			\coordinate (A6) at (4,-2);
			\coordinate (A7) at (4,-4);
			\coordinate (A8) at (4,-6);
			\coordinate (A9) at (4,-8);
			\draw node (A1) at (A1) {$R$};
			\draw node (A2) at (A2) {$B_1$};
			\draw node (A3) at (A3) {$B_2$};
			\draw node (A4) at (A4) {$R$};
			\draw node (A5) at (A5) {$B_1$};
			\draw node (A6) at (A6) {$B_2$};
			\draw node (A7) at (A7) {$R$};
			\draw node (A8) at (A8) {$B_1$};
			\draw node (A9) at (A9) {$B_2$};
			\coordinate (B1) at (2,6);
			\coordinate (B2) at (2,0);
			\coordinate (B3) at (2,-6);
			\draw node (B1) at (B1) {$R$};
			\draw node (B2) at (B2) {$B_1$};
			\draw node (B3) at (B3) {$B_2$};
			\draw (B1)--(A1);
			\draw (B1)--(A2);
			\draw (B1)--(A3);
			\draw (B2)--(A4);
			\draw (B2)--(A5);
			\draw (B2)--(A6);
			\draw (B3)--(A7);
			\draw (B3)--(A8);
			\draw (B3)--(A9);
			\coordinate (C1) at (0,0);
			\draw (C1)--(B1);
			\draw (C1)--(B2);
			\draw (C1)--(B3);
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{tabular}
	
	
	\medskip
	\noindent
	\begin{tabular}{m{5cm}m{5cm}}
		Seconde modélisation possible pour un unique tirage de boule (une \emph{\color{purple}épreuve}). $\Omega = \{ R, B \}$ muni de la loi $\mathbb{P}$ définie par le tableau suivant:
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|c|c|}
				\hline
				Issue $\omega$ & $R$ & $B$
				\\
				\hline
				$\mathbb{P}(\omega)$ & $\frac{1}{3}$ & $\frac{2}{3}$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		Une schématisation de l'expérience (les deux tirages, c'est-à-dire les deux épreuves) est donnée par l'\emph{\color{purple}arbre pondéré} ci-contre.
		
		&
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1.5,yscale=0.5]		
			\coordinate (A1) at (4,3);
			\coordinate (A2) at (4,1);
			\coordinate (A3) at (4,-1);
			\coordinate (A4) at (4,-3);
			\draw node (A1) at (A1) {$R$};
			\draw node (A2) at (A2) {$B$};
			\draw node (A3) at (A3) {$R$};
			\draw node (A4) at (A4) {$B$};
			\coordinate (B1) at (2,2);
			\coordinate (B2) at (2,-2);
			\draw node (B1) at (B1) {$R$};
			\draw node (B2) at (B2) {$B$};
			\draw (B1)--(A1)node[midway,above]{\footnotesize\color{blue}$\frac{1}{3}$};
			\draw (B1)--(A2)node[midway,below]{\footnotesize\color{blue}$\frac{2}{3}$};
			\draw (B2)--(A3)node[midway,above]{\footnotesize\color{blue}$\frac{1}{3}$};
			\draw (B2)--(A4)node[midway,below]{\footnotesize\color{blue}$\frac{2}{3}$};
			\coordinate (C1) at (0,0);
			\draw (C1)--(B1)node[midway,above]{\footnotesize\color{blue}$\frac{1}{3}$};
			\draw (C1)--(B2)node[midway,below]{\footnotesize\color{blue}$\frac{2}{3}$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{tabular}
	
\end{lecon}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Les arbres probabilistes pour l'équiprobabilité sont des cas particuliers d'arbres pondérés avec la même probabilité sur toutes les branches $\frac{1}{n}$.
		
		\item L'issue $B$ est en fait formée des deux issues $B_1$ et $B_2$ autrement dit $B$ est un événement. Progressivement, dans votre scolarité, vous vous détacherez des issues pour travailler davantage (et à terme exclusivement) avec les événements. Les nœuds d'un arbre pondéré peuvent être formés par des événements.
		
		\item La comparaison des deux arbres permet d'anticiper ce que nous appellerons le principe multiplicatif: la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités qui apparaissent sur ce chemin. Pour s'en convaincre il suffit de dénombrer les chemins.
		
		\item La somme des probabilités qui apparaissent sur un embranchement égale $1$. Autrement dit toutes les possibilités sont prises en compte.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsubsection{Vocabulaire des arbres probabilistes.}

\begin{lecon}
		
	Reprenons la schématisation précédente:
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1.5,yscale=0.5]		
		\coordinate (A1) at (4,3);
		\coordinate (A2) at (4,1);
		\coordinate (A3) at (4,-1);
		\coordinate (A4) at (4,-3);
		\draw node (A1) at (A1) {$R$};
		\draw node (A2) at (A2) {$B$};
		\draw node (A3) at (A3) {\color{blue}$R$};
		\draw node (A4) at (A4) {$B$};
		\coordinate (B1) at (2,2);
		\coordinate (B2) at (2,-2);
		\draw node (B1) at (B1) {$R$};
		\draw node (B2) at (B2) {\color{blue}$B$};
		\draw (B1)--(A1)node[midway,above]{\footnotesize$\frac{1}{3}$};
		\draw (B1)--(A2)node[midway,below]{\footnotesize$\frac{2}{3}$};
		\draw[blue] (B2)--(A3)node[midway,above]{\footnotesize\color{black}$\frac{1}{3}$};
		\draw (B2)--(A4)node[midway,below]{\footnotesize$\frac{2}{3}$};
		\coordinate (C1) at (0,0);
		\draw (C1)--(B1)node[midway,above]{\footnotesize$\frac{1}{3}$};
		\draw[blue] (C1)--(B2)node[midway,below]{\footnotesize\color{black}$\frac{2}{3}$};
		\draw[very thick,orange] (-0.25,-3.25)--(-0.25,3.25)--(2.1,3.25)--(2.1,-3.25)--cycle;
		\draw (0.75,-2.5)node{\color{orange}Niveau $1$};
		\draw[very thick,red] (2.2,-4.5)--(2.2,3.75)--(4.25,3.75)--(4.25,-4.5)--cycle;
		\draw (3.5,-4)node{\color{red}Niveau $2$};
		\draw[very thick,OliveGreen] (2.15,0)--(4.5,0)--(4.5,-3.4)--(2.15,-3.4)--cycle;
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Les issues de l'expérience ne sont pas les \emph{\color{purple}nœuds} de l'arbre (\emph{i.e.} $B$ ou $R$) mais les \emph{\color{purple}chemins} comme $\color{blue}(B,R)$. Autrement dit les issues sont des couples. Le chemin $(B,R)$ est donc différent du chemin $(R,B)$. Nous noterons les chemins sans parenthèse: $BR$.
	
	Les \emph{\color{purple}niveaux} de l'arbre correspondent au choix successifs effectués lors de l'expérience et représentent les évolutions chronologiques (les futures) possibles. Autrement dit chaque niveau correspond à une épreuve. Le premier niveau correspond au {\color{orange}premier tirage} et le second au {\color{red}second tirage}.
	
	Un \emph{\color{OliveGreen}embranchement} désigne l'ensemble des branches qui partent d'un nœud et les nœuds auxquels ils aboutissent. Dans l'arbre ci-dessus le premier niveau contient un seul embranchement alors que le second niveau contient deux embranchements. Un embranchement correspond à un choix donc une "petite" expérience aléatoire (épreuve) et \emph{\color{purple}la somme des probabilités sur un embranchement est donc $1$}.
	
\end{lecon}

\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}
	
	\begin{notabene}
		
		Expliquer le principe multiplicatif et faire quelques calculs en commun sur les exemples ci-dessous.
		
	\end{notabene}
	
	Schématisez les expériences suivantes par des arbres pondérés sans justifier.
	
	\begin{enumerate}
		\item Une enquête effectuée par l'INSEE à la rentrée 2019 montre que $60\ \%$ des élèves de première ont choisi la spécialité mathématiques. On choisit au hasard trois élèves de premières et on les interroges sur leur choix de spécialité.
		
		\item Une étude de l'INED montre que, depuis plusieurs années, $49\ \%$ des enfants nés en France sont des filles. On choisit au hasard une famille de deux enfants et on s'intéresse au sexe des enfants.
		
		\item Une urne contient dix boules indiscernables au touché: trois rouges et sept bleues. On tire successivement et sans remise trois boules de l'urne.
		
		\item Une urne contient trois boules blanches et une boule noire indiscernables au toucher. On tire au hasard des boules dans l'urne, une par une, jusqu'à obtenir la boule noire.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exerciceapplication}{}
	
	\begin{notabene}
		
		1ieme esl hatier odyssee 2011 page 229 exercice 20.
		
	\end{notabene}
	
	Lors d'un sondage, on a demandé à tous les lycées d'un établissement le nombre de sport qu'ils pratiquaient en dehors de l'école au moins occasionnellement. Les réponses sont consignées dans le tableau suivant:
	
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|c|c|}
			\hline
			Nombre de sports pratiqués & Part de lycéens interrogés
			\\
			\hline
			$0$ & $35,6\ \%$
			\\
			\hline
			$1$ & $23,1\ \%$
			\\
			\hline
			$2$ & $20,5\ \%$
			\\
			\hline
			$3$ & $13,1\ \%$
			\\
			\hline
			$4$ & $7,2\ \%$
			\\
			\hline
			$5$ & $0,4\ \%$
			\\
			\hline
			$6$ & $0,1\ \%$
			\\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
	
	On interroge un lycéen au hasard sur le nombre de sport qu'il pratique. Représentez cette situation par un arbre pondéré.
	
\end{exerciceapplication}

\subsection{Répétition à l'identique et de façon indépendante d'une épreuve.}

\begin{lecon}
	
	Pour l'instant nous nous intéresserons surtout à une situation simple: la répétition à l'identique et de façon indépendante d'une même épreuve.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Lancer deux fois un dé à six faces. Il s'agit bien de recommencer le même lancé et le résultat du premier lancé n'a aucune influence sur celui du second.
		
		\item Si le tirage de deux boules d'une urne sans remise peut être vu comme la répétition d'une expérience, le second tirage n'est pas indépendant du premier.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{lecon}
	
	Voici des règles pour les exercices impliquant des arbres pondérés que nous considérerons comme intuitive mais détaillerons plus tard dans l'année:
	{\color{purple}
		\begin{enumerate}
			\item La somme des probabilités sur les branches d'un même embranchement vaut 1.
			\item Principe multiplicatif: la probabilité d'une issue est le produit des probabilités sur le chemin correspondant.
		\end{enumerate}
	}
	
\end{lecon}

\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 21 page 233 du manuel Déclic 2015.
		
	\end{notabene}
	
	D'après l'INSEE, $65\ \%$ des Français âgés de $15$ à $25$ ans ont réalisé au moins un achat par Internet en 2011. Nous supposerons que cette proportion se maintient encore quelques années après.
	
	Nous interrogeons au hasard deux jeunes dans la tranche d'âge $15-25$ ans.
	
	\begin{enumerate}
		\item Modélisez cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.
		
		\item Calculez la probabilité des événements suivants:
		
		\begin{enumerate}
			\item $A$: \og les deux jeunes interrogés ont effectué au moins un achat sur Internet cette année. \fg{}
			
			\item $B$: \og Un seul des deux jeunes interrogés a effectué au moins un achat sur Internet cette année.\fg{}
			
			\item $C$: \og Au plus un des deux jeunes interrogés a effectué au moins un achat sur Internet cette année.\fg{}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exerciceapplication}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 47 page 236 du manuel hachette déclic 2015: construction d'un arbre probabiliste obtenu par la répétition d'une expérience aléatoire et calcul de probabilités.
		
	\end{notabene}
	
	Amy a acheté un sac de berlingots. D'après l'étiquette du sac, celui-ci contient $40\ \%$ de bonbons à la fraise, $30\ \%$ au citron et $30\ \%$ à la pomme.
	
	Amy prend au hasard deux berlingots. On considère que le nombre de bonbons est suffisamment grand pour assimiler son choix à des tirages successifs avec remise.
	
	
	\begin{enumerate}
		\item Construisez un arbre pondéré représentant la situation. Nous noterons les événements:
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
			\item $F$: \og Le berlingot est à la fraise.\fg{}
			
			\item $C$: \og le berlingot est au citron.\fg{}
			
			\item $P$: \og le berlingot est à la pomme. \fg{}
			
		\end{enumerate}
		
		\item Calculez les probabilités des événements suivants:
		
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
			\item $E_1$: \og Amy a choisi deux berlingots au citron. \fg{}
			
			\item $E_2$: \og Amy a choisi un berlingot à la fraise puis un au citron. \fg{}
			
			\item $E_3$: \og Amy a choisi un berlingot à la fraise et un au citron.\fg{}
			
			\item $E_4$: \og Amy n'a pas choisi de berlingot à la pomme.\fg{}
			
			\item $E_5$: \og Amy a choisi des berlingots de parfums différents.\fg{}
				
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exerciceapplication}

\subsection{Exercices.}

\begin{exerciceapplication}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 48 page 236 du manuel hachette déclic 2015: construction d'un arbre probabiliste obtenu par la répétition d'une expérience aléatoire.
		
	\end{notabene}
	
	D'après un sondage BVA effectué en octobre 2013 sur un échantillon représentatif de la population, $73\ \%$ des Français âgés de $15$ à $34$ ans préfèrent se coucher tard plutôt que de se lever tôt.
	
	Trois personnes choisies au hasard dans la tranche d'âge $15-34$ ans.
	
	En utilisant un arbre pondéré, calculez la probabilité des événements suivants:
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item $A$: \og Les trois personnes interrogées préfèrent se coucher tard. \fg{}
		
		\item $B$: Exactement deux personnes interrogées sur les trois préfèrent se coucher tard.\fg{}
		
		\item $C$: \og Au moins une des personnes interrogées préfère se coucher tard.\fg{}
		
		\item $D$: \og Au plus une des personnes interrogées préfère se coucher tard. \fg{}
		
		\item $E$: \og Moins de deux personnes interrogées préfèrent se coucher tard.\fg{}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exerciceapplication}

\begin{correction}
\begin{exercicecorrection}
	
	\objectif{Construisons l'arbre pondéré correspondant à l'expérience.}
	
	Notons $T$ le fait qu'une personne préfère se coucher tard et donc $\overline{T}$ sinon.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
		\coordinate (A1) at (6,7);
		\coordinate (A2) at (6,5);
		\coordinate (A3) at (6,3);
		\coordinate (A4) at (6,1);
		\coordinate (A5) at (6,-1);
		\coordinate (A6) at (6,-3);
		\coordinate (A7) at (6,-5);
		\coordinate (A8) at (6,-7);
		\coordinate (B1) at (2,6);
		\coordinate (B2) at (2,2);
		\coordinate (B3) at (2,-2);
		\coordinate (B4) at (2,-6);
		\coordinate (C1) at (-2,4);
		\coordinate (C2) at (-2,-4);
		\coordinate (D1) at (-6,0);
		\coordinate (E1) at (10,7);
		\coordinate (E2) at (10,5);
		\coordinate (E3) at (10,3);
		\coordinate (E4) at (10,1);
		\coordinate (E5) at (10,-1);
		\coordinate (E6) at (10,-3);
		\coordinate (E7) at (10,-5);
		\coordinate (E8) at (10,-7);
		\draw node (A1) at (A1) {$T$};
		\draw node (A2) at (A2) {$\overline{T}$};
		\draw node (A3) at (A3) {$T$};
		\draw node (A4) at (A4) {$\overline{T}$};
		\draw node (A5) at (A5) {$T$};
		\draw node (A6) at (A6) {$\overline{T}$};
		\draw node (A7) at (A7) {$T$};
		\draw node (A8) at (A8) {$\overline{T}$};
		\draw node (B1) at (B1) {$T$};
		\draw node (B2) at (B2) {$\overline{T}$};
		\draw node (B3) at (B3) {$T$};
		\draw node (B4) at (B4) {$\overline{T}$};
		\draw node (C1) at (C1) {$T$};
		\draw node (C2) at (C2) {$\overline{T}$};
		\draw (B1)--(A1)node[midway,sloped, above]{\footnotesize\color{blue}$0,73$};
		\draw (B1)--(A2)node[midway, sloped, below]{\footnotesize\color{blue}$0,27$};
		\draw (B2)--(A3)node[midway, sloped, above]{\footnotesize\color{blue}$0,73$};
		\draw (B2)--(A4)node[midway, sloped, below]{\footnotesize\color{blue}$0,27$};
		\draw (B3)--(A5)node[midway, sloped, above]{\footnotesize\color{blue}$0,73$};
		\draw (B3)--(A6)node[midway, sloped, below]{\footnotesize\color{blue}$0,27$};
		\draw (B4)--(A7)node[midway, sloped, above]{\footnotesize\color{blue}$0,73$};
		\draw (B4)--(A8)node[midway, sloped, below]{\footnotesize\color{blue}$0,27$};
		\draw (C1)--(B1)node[midway, sloped, above]{\footnotesize\color{blue}$0,73$};
		\draw (C1)--(B2)node[midway, sloped, below]{\footnotesize\color{blue}$0,27$};
		\draw (C2)--(B3)node[midway, sloped, above]{\footnotesize\color{blue}$0,73$};
		\draw (C2)--(B4)node[midway, sloped, below]{\footnotesize\color{blue}$0,27$};
		\draw (D1)--(C1)node[midway, sloped, above]{\footnotesize\color{blue}$0,73$};
		\draw (D1)--(C2)node[midway, sloped, below]{\footnotesize\color{blue}$0,27$};
		\draw node (E1) at (E1) {$TTT$};
		\draw node (E2) at (E2) {$TT\overline{T}$};
		\draw node (E3) at (E3) {$T\overline{T}T$};
		\draw node (E4) at (E4) {$T\overline{T}\overline{T}$};
		\draw node (E5) at (E5) {$\overline{T}TT$};
		\draw node (E6) at (E6) {$\overline{T}T\overline{T}$};
		\draw node (E7) at (E7) {$\overline{T}\overline{T}T$};
		\draw node (E8) at (E8) {$\overline{T}\overline{T}\overline{T}$};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
	\begin{enumerate}
		\item \objectif{Calculons $\mathbb{P}(A)$.}
		
		$A=\left\{ TTT\right\}$.
		
		Donc 
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(A) &= \mathbb{P}(LLL)\\
			\intertext{D'après le principe multiplicatif:}
			&= 0,73 \times 0,73 \times 0,73
		\end{align*}
		
		Finalement:
		
		\begin{conclusion}
			
			$\displaystyle \mathbb{P}(A)\approx 0,389$
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Calculons $\mathbb{P}(B)$.}
		
		$B=\left\{ TT\overline{T} ; T\overline{T}T ; \overline{T}TT \right\}$.
		
		Donc 
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(B) &= \mathbb{P}(TT\overline{T}) + \mathbb{P}(T\overline{T}T) + \mathbb{P}\mathbb{P}(\overline{T}TT) \\
			\intertext{D'après le principe multiplicatif:}
			&= 0,73 \times 0,73 \times 0,27+ 0,73 \times  0,27 \times 0,73 +0,27 \times 0,73 \times 0,73
		\end{align*}
		
		Finalement:
		
		\begin{conclusion}
			
			$\displaystyle \mathbb{P}(B)\approx 0,1439$
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Calculons $\mathbb{P}(C)$.}
		
		{\color{orange}Le nombre de chemins correspondant à l'événement $B$ étant très important il est ici intéressant, mais pas indispensable, de considérer l'événement contraire.}
		
		\medskip
		$\overline{C}$: \og Aucune des trois personnes interrogées n'aime se coucher tard.\fg{}
		
		$\overline{C}=\left\{ \overline{T}\overline{T}\overline{T} \right\}$.
		
		Donc 
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(C) &= \mathbb{P}(\overline{T}\overline{T}\overline{T}) \\
			\intertext{D'après le principe multiplicatif:}
			&= 0,27 \times 0,27 \times 0,27
		\end{align*}
		
		Nous en déduisons la probabilité de $C$:
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(C) &= 1 -\mathbb{P}(\overline{C})\\
			&= 1-0,27\times 0,27 -0,27
		\end{align*}
		
		Finalement:
		
		\begin{conclusion}
			
			$\displaystyle \mathbb{P}(C)\approx 0,9803$
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Calculons $\mathbb{P}(D)$.}
		
		{\color{orange}$D$: \og Aucune ou une seule des trois personnes aime se coucher tard \fg{}.}
		
		\medskip
		$D=\left\{ T\overline{T}\overline{T} ; \overline{T}T\overline{T} ; \overline{T}\overline{T}T ; \overline{T}\overline{T}\overline{T}  \right\}$.
		
		Donc 
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(D) &= \mathbb{P}(T\overline{T}\overline{T}) + \mathbb{P}(\overline{T}T\overline{T}) + \mathbb{P}(\overline{T}\overline{T}T)+ \mathbb{P}(\overline{T}\overline{T}\overline{T}) \\
			\intertext{D'après le principe multiplicatif:}
			\mathbb{P}(D) &= 0,73 \times 0,27 \times 0,27 + 0,27\times 0,73 \times 0,27 + 0,27 \times 0,27 \times 0,73\\
			&\quad  + 0,27 \times 0,27 \times 0,27
		\end{align*}
		
		Finalement:
		
		\begin{conclusion}
			
			$\displaystyle \mathbb{P}(D)\approx 0,1793$
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Calculons $\mathbb{P}(E)$.}
		
		Nous remarquons que $E=\overline{A}$.
		
		Donc
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(E) &= \mathbb{P}(\overline{A})\\
			&= 1- \mathbb{P}(A) \\
			&= 1 -0,73^3
		\end{align*}
		
		D'où
		
		\begin{conclusion}
			
			$\displaystyle \mathbb{P}(E) \approx 0,6110$
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}
\end{correction}

\begin{exercice}{}
	
	Le supermarché Rond-Point organise des ventes promotionnelles "flash". Les clients ont quelques minutes pour profiter des promotions.
	
	\medskip
	Lors d'une de ces ventes un ensemble d'ustensiles de salle de bain composé:
	\begin{itemize}
		\item d'une serviette de bain (\textbf{G}rande ou \textbf{P}etite),
		\item d'un gant de toilette (\textbf{V}ert, \textbf{R}ouge ou \textbf{J}aune) et
		\item d'un rideau de douche (\textbf{B}lanc ou \textbf{T}ransparent)
	\end{itemize}
	est proposé.
	
	\medskip
	Chaque client prend exactement un gant de toilette, une serviette de bain puis un rideau de douche.
	\begin{enumerate}
		\item Dessinez un arbre rendant compte de cette situation.
		\item Inquiet de manquer l'offre promotionnelle, un client prend au hasard un gant de toilette, une serviette de bain puis un rideau de douche. Quelle est la probabilité que ce client prenne une grande serviette (\textbf{G}), un gant rouge (\textbf{R}) et un rideau blanc (\textbf{B})?
		\item On note $A$ l'événement: \og le client prend un gant de toilette jaune \fg . Énumérer les issues qui réalisent $A$. En déduire la probabilité de $A$.
		\item Calculer la probabilité qu'un client prenne un gant de toilette \textbf{V}ert ou \textbf{R}ouge.
		\item On note $B$ l'événement \og le client prend un rideau de douche blanc \fg . Énumérer les issues qui réalisent $B$. En déduire la probabilité de $B$.
		\item Déterminer la probabilité que le client prenne une petite serviette et un rideau de douche blanc.
		\item Décrire l'événement $A\cup B $ par une phrase puis calculer la probabilité de $A\cup B$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{correction}
\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item ~
		
		\begin{center}
			\tikzstyle{racine}=[rounded corners=0pt,fill=lightgray!35, text centered,text width=0cm]
			\tikzstyle{noeud}=[rounded corners=3pt,fill=lightgray!35, text centered,text width=0.4cm]
			\tikzstyle{noeud2}=[rounded corners=3pt, text centered,text width=0.4cm]
			\begin{tikzpicture}
			\node[racine] (A)at(0,5){};
			%Premier niveau nœuds
			\node[noeud](B)at(-2.4,4){$G$};
			\node[noeud](C)at(2.4,4){$P$};
			%Premier niveau branches
			\draw (A)--(B)node[midway, left]{\color{purple}$\frac{1}{2}$};
			\draw (A)--(C)node[midway, left]{\color{purple}$\frac{1}{2}$};	
			%deuxième niveau nœuds
			\node[noeud](D)at(-4,2){$V$};
			\node[noeud](E)at(-2.4,2){$R$};
			\node[noeud](F)at(-0.8,2){$J$};
			\node[noeud](G)at(0.8,2){$V$};
			\node[noeud](H)at(2.4,2){$R$};
			\node[noeud](I)at(4,2){$J$};
			%Deuxième niveau branches
			\draw (B)--(D)node[midway, left]{\color{purple}$\frac{1}{3}$};	
			\draw (B)--(E)node[midway, left]{\color{purple}$\frac{1}{3}$};	
			\draw (B)--(F)node[midway, left]{\color{purple}$\frac{1}{3}$};	
			\draw (C)--(G)node[midway, left]{\color{purple}$\frac{1}{3}$};	
			\draw (C)--(H)node[midway, left]{\color{purple}$\frac{1}{3}$};	
			\draw (C)--(I)node[midway, left]{\color{purple}$\frac{1}{3}$};	
			%Troisième niveau nœud
			\node[noeud](J)at(-4.4,0){$B$};
			\node[noeud](K)at(-3.6,0){$T$};
			\node[noeud](L)at(-2.8,0){$B$};
			\node[noeud](M)at(-2,0){$T$};
			\node[noeud](N)at(-1.2,0){$B$};
			\node[noeud](O)at(-0.4,0){$T$};
			\node[noeud](P)at(0.4,0){$B$};
			\node[noeud](Q)at(1.2,0){$T$};
			\node[noeud](R)at(2,0){$B$};
			\node[noeud](S)at(2.8,0){$T$};
			\node[noeud](T)at(3.6,0){$B$};
			\node[noeud](U)at(4.4,0){$T$};
			%Troisième niveau branches
			\draw (D)--(J)node[midway, left]{\color{purple}$\frac{1}{2}$};	
			\draw (D)--(K)node[midway, right]{\color{purple}$\frac{1}{2}$};	
			\draw (E)--(L)node[midway, left]{\color{purple}$\frac{1}{2}$};	
			\draw (E)--(M)node[midway, right]{\color{purple}$\frac{1}{2}$};	
			\draw (F)--(N)node[midway, left]{\color{purple}$\frac{1}{2}$};	
			\draw (F)--(O)node[midway, right]{\color{purple}$\frac{1}{2}$};	
			\draw (G)--(P)node[midway, left]{\color{purple}$\frac{1}{2}$};	
			\draw (G)--(Q)node[midway, right]{\color{purple}$\frac{1}{2}$};	
			\draw (H)--(R)node[midway, left]{\color{purple}$\frac{1}{2}$};	
			\draw (H)--(S)node[midway, right]{\color{purple}$\frac{1}{2}$};	
			\draw (I)--(T)node[midway, left]{\color{purple}$\frac{1}{2}$};	
			\draw (I)--(U)node[midway, right]{\color{purple}$\frac{1}{2}$};	
			%Issues
			\node[noeud](J)at(-4.4,-0.75){\tiny $GVB$};
			\node[noeud](K)at(-3.6,-1.25){\tiny $GVT$};
			\node[noeud](L)at(-2.8,-0.75){\tiny $GRB$};
			\node[noeud](M)at(-2,-1.25){\tiny $GRT$};
			\node[noeud](N)at(-1.2,-0.75){\tiny $GJB$};
			\node[noeud](O)at(-0.4,-1.25){\tiny $GJT$};
			\node[noeud](P)at(0.4,-0.75){\tiny $PVB$};
			\node[noeud](Q)at(1.2,-1.25){\tiny $PVT$};
			\node[noeud](R)at(2,-0.75){\tiny $PRB$};
			\node[noeud](S)at(2.8,-1.25){\tiny $PRT$};
			\node[noeud](T)at(3.6,-0.75){\tiny $PJB$};
			\node[noeud](U)at(4.4,-1.25){\tiny $PJT$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item Le choix du client correspond au chemin $(G,R,B)$. D'après le principe multiplicatif la probabilité de ce chemin est:
		\begin{align*}
		\mathbb{P}(G,R,B) &= \frac{1}{2}\times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}\\
		&= \frac{1}{12}
		\end{align*}
		
		\item $A=\{ (G,J,B), (G,J,T), (P,J,B), (P,J,T) \}$.
		
		Donc:
		\begin{align*}
		\mathbb{P}(A) &= \mathbb{P}(G,J,B)+ \mathbb{P}(G,J,T),+ \mathbb{P}(P,J,B)+ \mathbb{P}(P,J,T)\\
		&= \frac{1}{2}\times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} +\frac{1}{2}\times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} +\frac{1}{2}\times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}\\
		&= \frac{1}{3}
		\end{align*}
		
		\item Notons $C$ l'événement le client prend un gant de toilette vert ou rouge. $\overline{C}= \{ (G,J,B), (G,J,T), (P,J,B), (P,JT) \}$. Donc:
		\begin{align*}
		\mathbb{P}(\overline{C}) &= 4\times \frac{1}{12}\\
		&= \frac{1}{3}\\
		\intertext{On en déduit:}
		\mathbb{P}(A) &= 1- \mathbb{P}(\overline{A})\\
		&= 1-\frac{1}{3}\\
		&= \frac{2}{3}
		\end{align*}
		
		\item $B=\{ (G,V,B), (G,R,B), (G,J,B), (P,V,B), (P,R,B), (P,J,B) \}$
		
		On en déduit:
		\begin{align*}
		\mathbb{P}(B) &= 6\times \frac{1}{12}\\
		&= \frac{1}{2}
		\end{align*}
		
		\item Notons $D$ l'événement \og le client prend une petite serviette et un rideau de douche blanc\fg .  Il y a 3 issues qui réalisent cet événement: $(P,V,B), (P,R,B), (P,J,B)$ donc: 
		\begin{align*}
		\mathbb{P}(D) &= 3\times \frac{1}{12}\\
		&= \frac{1}{4}
		\end{align*}
		
		\item $A\cup B$: \og le client prend un gant de toilette jaune ou un rideau de bain blanc\fg .
		
		L'événement \og le client prend un gant jaune \underline{et} un gant blanc\fg ~ est réalisé par $(G,J,B)$ et $(R,J,B)$ donc:
		\begin{align*}
		\mathbb{P}(A\cap B) &= 2\times \frac{1}{12}\\
		&= \frac{1}{6}
		\end{align*}
		
		\medskip
		On en déduit:
		\begin{align*}
		\mathbb{P}(A\cup B) &= \mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cap B) \\
		&= \frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\\
		&= \frac{4}{6}
		\end{align*}
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}
\end{correction}

\begin{exerciceapplication}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 17 page 258 du manuel Déclic 2015: construire un arbre pondéré puis calculer des probabilités.
		
	\end{notabene}
	
	Sur son trajet domicile-travail, un automobiliste rencontre trois feux tricolores, indépendants les uns des autres. Il a remarqué que, statistiquement, chaque feu est au vert une fois sur trois.
	
	\begin{enumerate}
		\item Représentez la situation par un arbre pondéré.
		
		\item Pour un trajet domicile-travail, calculez la probabilité des événements suivants.
		
		\begin{enumerate}
			\item Deux feux sur les trois sont au vert.
			
			\item Un seul feu sur les trois est au vert.
			
			\item Tous les feux sont au vert.
			
			\item Aucun des trois feux n'est au vert.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exerciceapplication}

\begin{correction}
\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item ~		
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			%Création des nœuds
			\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/V, A2/5/\overline{V}, A3/3/V, A4/1/\overline{V}, A5/-1/V, A6/-3/\overline{V}, A7/-5/V, A8/-7/\overline{V}} \node (\A) at (8,\ord){$\n$};
			\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/V, B2/2/\overline{V}, B3/-2/V, B4/-6/\overline{V}} \node (\B) at (4,\ord) {$\n$};
			\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/V, C2/-4/\overline{V}} \node (\C) at (0,\ord) {$\n$};
			\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/VVV, D2/5/VV\overline{V}, D3/3/V\overline{V}V, D4/1/V\overline{V}\overline{V}, D5/-1/\overline{V}VV, D6/-3/\overline{V}V\overline{V}, D7/-5/\overline{V}\overline{V}V, D8/-7/\overline{V}\overline{V}\overline{V}} \node (\D) at (12,\ord){$\n$};
			%Branches entre les nœuds
			\foreach \B/\A in {B1/A1, B2/A3, B3/A5, B4/A7} \draw (\B) -- (\A) node[midway,sloped,above]{$\frac{2}{3}$};
			\foreach \B/\A in {B1/A2, B2/A4, B3/A6, B4/A8} \draw (\B) -- (\A) node[midway,sloped,below]{$\frac{1}{3}$};
			\foreach \C/\B in {C1/B1, C2/B3} \draw (\C) -- (\B) node[midway,sloped,above]{$\frac{2}{3}$};
			\foreach \C/\B in {C1/B2,  C2/B4} \draw (\C) -- (\B) node[midway,sloped,below]{$\frac{1}{3}$};
			\foreach \C in {C1} \draw (-4,0) -- (\C) node[midway,sloped,above]{$\frac{2}{3}$};
			\foreach \C in { C2} \draw (-4,0) -- (\C) node[midway,sloped,below]{$\frac{1}{3}$};
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Notons $E_1$ l'événement \og Deux feux sur les trois sont au vert \fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(E_1)$.}
			
			{\color{orange}En lisant les chemins sur l'arbre:}
			
			$E_1= \{ VV\overline{V};\ V\overline{V}V;\ \overline{V}VV \}$.
			
			{\color{orange}Donc du point de vue probabiliste:}
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(E_1) &= \mathbb{P}(VV\overline) + \mathbb{P}(V\overline{V}V) + \mathbb{P}(\overline{V}VV)\\
				\intertext{Donc, d'après le principe multiplicatif:}
				\mathbb{P}(E_1) &= \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(E_1)= \frac{4}{9}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}
\end{correction}

\begin{exerciceapplication}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 18 page 259 du manuel Déclic 2015: construire un arbre pondéré puis calculer des probabilités.
		
	\end{notabene}
	
	Un restaurateur constate qu'au déjeuner, $9$ clients sur $10$ prennent un café. Quatre clients se présentent pour déjeuner et commandent de façon indépendante. Pour chacun, nous noterons $C$ l'événement \og le client prend un café\fg{}.
	
	\begin{enumerate}
		\item Représentez la situation par un arbre pondéré.
		
		\item Calculez la probabilité des événements suivants.
		
		\begin{enumerate}
			\item Un seul des quatre clients prend un café.
			
			\item Au moins deux clients prennent un café.
			
			\item Au plus deux clients prennent un café.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exerciceapplication}{}
	
	\begin{notabene}
		
		1ieme esl nathan hyperbole 86 page 207.
		
		A vue de nez 20 minutes pour faire un travail propre.
		
	\end{notabene}	
	
	\begin{sujet}
		
		Un sac contient des boules indiscernables au toucher: 3 vertes, 4 rouges et 3 bleues. On prélève successivement et avec remise deux boules du sac en notant la couleur de chaque boule.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item
		\begin{sujet}
			
			Représentez la situation par un arbre pondéré.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculez la probabilité de l'événement $E_1$:\og tirer deux boules bleues \fg{}.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculez la probabilité de l'événement $E_2$:\og tirer au moins une boule bleue \fg{}.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculez la probabilité de l'événement $E_3$:\og tirer des boules uniquement rouge ou verte \fg{}.			
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exerciceapplication}
	
	\begin{notabene}
		
		1ieme esl hachette barbazo 2015 exercice 61 page 226
		
		Faire le corriger pour vérifier qu'il n'est pas bancal et rajouter  modifier les dernière question pour permettre l'utilisation de l'union
		
	\end{notabene}
	
	\begin{sujet}
		
		Un magazine est proposé sous deux versions: papier ou numérique.
		
		L'éditeur délègue à  une plateforme d'appels de démarcher une liste de clients potentiels.
		
		Le centre d'appel contacte successivement deux personnes sur cette liste.
		
		On considère les événements suivants.
		
		\begin{enumerate}[.]
			\item $A$: \og la personne contactée s'abonne à la version papier \fg{},
			\item $B$:\og la personne contactée s'abonne  à la version numérique \fg{},
			\item $N$:\og la personne contacté ne s'abonne pas \fg{}
		\end{enumerate}
		
		Une étude statistique a montré que
		
		\begin{enumerate}[.]
			\item la probabilité qu'une personne s'abonne à la version papier est de $0,18$;
			\item la probabilité qu'une personne s'abonne à la version numérique est de $0,22$;
			\item la probabilité qu'une personne ne s'abonne à aucune des deux versions est de $0,7$.
		\end{enumerate}
		
		On étudie ce qu'il peut se passer lorsque la plateforme contact deux personnes.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Représentez la situation par un arbre probabiliste.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculez les probabilité des événements suivants.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{enumerate}
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				$E_1$:\og Les deux personnes contactées ont choisi un abonnement numérique. \fg{}
				
			\end{sujet}
			
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				$E_2$: \og au moins l'une des deux personnes a choisi un abonnement numérique \fg{}
				
			\end{sujet}
			
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				$E_3$:\og au moins l'une des deux personnes a choisi un abonnement papier \fg{}
				
			\end{sujet}
			
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				$E_4$: \og l'une des personnes contactées a choisi un abonnement papier et l'autre un abonnement numérique\fg{}
				
			\end{sujet}
			
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				$E_5$:\og au moins l'une des deux personnes s'est abonnée \fg{}
				
			\end{sujet}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exerciceapplication}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}