%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
%\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{RoyalBlue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{Black}\underline{Remarques.}}\color{Black}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill \small {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. #1} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

\newenvironment{exerciceapplication}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill \small {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Application.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} }{ \end{colbox} }

\newenvironment{concours}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \small \color{blue} \medskip \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Concours.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} }{\medskip}

\newenvironment{recherche}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \small \color{blue} \medskip \hfill { \color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Recherche.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} }{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{Black} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/1ieme.html}{Produit scalaire.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{details}
\exclure{bareme}
\exclure{notabene}
%\exclure{exercicecorrection}\exclure{correction}\exclure{preuve}\exclure{exemples}%papi
%\exclure{remarques}\exclure{corollaire}\exclure{lemme}\exclure{proposition}\exclure{theoreme}\exclure{culturegenerale}\exclure{definition}\exclure{lecon}
%\exclure{sujet}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Produit scalaire.}

\begin{notabene}
	
	Ajout exemple théorique mélange trinôme inégalité analyse et vecteurs: inégalité de Cauchy-Schwartz en dimension deux. Deux démonstrations: identités remarquables et étude du trinôme.
	
	
\end{notabene}

\begin{notabene}
	
	Première partie produit scalaire sans les coordonnées.
	
	Deuxième partie produit scalaire avec des coordonnées.
	
\end{notabene}

\begin{notabene}
	
	Une introduction du produit scalaire.
	
	Nous avons vu en seconde de dessiner la somme de deux vecteurs: la relation de Chasles et l'identité du parallélogramme. Les physiciens aiment beaucoup cette dernière car elle permet de réaliser le bilan des forces ayant un point d'application commun. Mais ils utilisent aussi beaucoup cette idée à l'envers: étant donné un vecteur (force, déplacement, vitesse, accélération) il est possible de le décomposer en une composante suivant l'axe des abscisses et l'autre suivant l'axe des ordonnées. Il se trouve qu'il est possible d'étudier indépendamment sur chaque axe; cela fonctionne très bien. Ainsi à partir d'un problème à deux dimensions (le plan) on se ramène à deux problèmes en dimension $1$ (sur les axes d'abscisses et d'ordonnées). Comment obtenir la composante de $\vec u$ suivant l'axe des abscisses? Avec une projection orthogonale: $\vec u \dot \vec i$ est la longueur de la projection.
	
	Pour faire le lien avec la définition du produit scalaire se demander comment prendre compte un produit scalaire avec un vecteur $2\vec i$? Ou si $vec i$ n'a pas une norme égale à $1$?
	
	Que ce passe t-il si $\vec i$ est en sens contraire?
	
	Le produit scalaire permet d'obtenir la composante d'un vecteur suivant une certaine direction et une certaine graduation.
	
\end{notabene}

\subsection{Définition dans le cas des bipoints (vecteurs du plan euclidien).}

\subsubsection{Le produit scalaire à partir de la projection orthogonale.}

\begin{notabene}
	
	Modifier la définition en commençant par le produit scalaire de deux vecteurs colinéaires. Puis ensuite avec projection orthogonale.
	
\end{notabene}

\begin{notabene}
	
	Ce paragraphe n'est valable que dans un repère orthonormé.
	
\end{notabene}

\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $A$, $B$ et $C$ trois points du plan,
		\item $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous appellerons \emph{\color{purple}produit scalaire de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$} le nombre réel noté $\color{purple} \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ défini par \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \left\{ \begin{array}{l} AH \times AB \quad \text{si $\overrightarrow{AH}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont de même sens,} \\ -AH \times AB \quad \text{si $\overrightarrow{AH}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont de sens opposé.}   \end{array} \right. \]
	
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Typiquement nous avons deux situations possibles:
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
				\coordinate (A) at (0,0);
				\coordinate (B) at (5,0);
				\def\xc{2};
				\coordinate (C) at (\xc,2);
				\coordinate (H) at (\xc,0);
				\draw[dashed] (A)--(H);
				\draw[>=latex,->] (A)--(B);
				\draw[>=latex,->] (A)--(C);
				\draw[dashed] (C)--(H);
				\def\perp{0.5};
				\draw [gray!50] ({\xc+\perp},0)--({\xc+\perp},\perp)--(\xc,\perp);
				\draw (A) node[below left]{$A$};
				\draw (H) node[below]{$H$};
				\draw (B) node[below right]{$B$};
				\draw (C) node[above]{$C$};
				\draw (2,-1.5) node{\small $\overrightarrow{AH}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont de même sens};
			\end{tikzpicture}
			\hspace{1.5cm}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
				\coordinate (A) at (0,0);
				\coordinate (B) at (5,0);
				\def\xc{-2};
				\coordinate (C) at (\xc,2);
				\coordinate (H) at (\xc,0);
				\draw[dashed] (A)--(H);
				\draw[>=latex,->] (A)--(B);
				\draw[>=latex,->] (A)--(C);
				\draw[dashed] (C)--(H);
				\def\perp{0.5};
				\draw [gray!50] ({\xc+\perp},0)--({\xc+\perp},\perp)--(\xc,\perp);
				\draw (A) node[below left]{$A$};
				\draw (H) node[below]{$H$};
				\draw (B) node[below right]{$B$};
				\draw (C) node[above]{$C$};
				\draw (2,-1.5) node{\small $\overrightarrow{AH}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont de sens opposé};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item Il est difficile pour l'instant d'illustrer le produit scalaire par un exemple simple.
		
		\item Le résultat d'un produit scalaire est donc un nombre qui peut être positif (premier cas ci-dessus) ou négatif (second cas ci-dessus).
		
		\item Cette définition se généralise à des vecteurs n'ayant pas la même origine comme l'illustre les figures ci-dessous pour $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{EF}$:
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\coordinate (A) at (0,0);
			\coordinate (B) at (5,0);
			\def\xc{2};
			\coordinate (C) at (\xc,2);
			\coordinate (E) at ({0-2},{0+3});
			\coordinate (F) at ({\xc-2},{2+3});
			\coordinate (H) at (\xc,0);
			\draw[dashed] (A)--(H);
			\draw[>=latex,->] (A)--(B);
			%\draw[>=latex,->] (A)--(C);
			\draw[>=latex,->] (E)--(F);
			%\draw [orange,dashed] (E)--(A);
			%\draw [orange,dashed] (F)--(C);
			%\draw[dashed] (C)--(H);
			\def\perp{0.5};
			%\draw [gray!50] ({\xc+\perp},0)--({\xc+\perp},\perp)--(\xc,\perp);
			\draw (A) node[below left]{$A$};
			%\draw (H) node[below]{$H$};
			\draw (B) node[below right]{$B$};
			%\draw (C) node[above]{$C$};
			\draw (E) node[above left]{$E$};
			\draw (F) node[above right]{$F$};
			\end{tikzpicture} 
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\coordinate (A) at (0,0);
			\coordinate (B) at (5,0);
			\def\xc{2};
			\coordinate (C) at (\xc,2);
			\coordinate (E) at ({0-2},{0+3});
			\coordinate (F) at ({\xc-2},{2+3});
			\coordinate (H) at (\xc,0);
			\draw[dashed] (A)--(H);
			\draw[>=latex,->] (A)--(B);
			\draw[>=latex,->] (A)--(C);
			\draw[>=latex,->] (E)--(F);
			\draw [orange,dashed] (E)--(A);
			\draw [orange,dashed] (F)--(C);
			%\draw[dashed] (C)--(H);
			\def\perp{0.5};
			%\draw [gray!50] ({\xc+\perp},0)--({\xc+\perp},\perp)--(\xc,\perp);
			\draw (A) node[below left]{$A$};
			%\draw (H) node[below]{$H$};
			\draw (B) node[below right]{$B$};
			\draw (C) node[above]{$C$};
			\draw (E) node[above left]{$E$};
			\draw (F) node[above right]{$F$};
			\draw (1,6.5) node{\small On dessine le représentant de $\overrightarrow{EF}$ d'origine $A$:};
			\end{tikzpicture}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\coordinate (A) at (0,0);
			\coordinate (B) at (5,0);
			\def\xc{2};
			\coordinate (C) at (\xc,2);
			\coordinate (E) at ({0-2},{0+3});
			\coordinate (F) at ({\xc-2},{2+3});
			\coordinate (H) at (\xc,0);
			\draw[dashed] (A)--(H);
			\draw[>=latex,->] (A)--(B);
			\draw[>=latex,->] (A)--(C);
			\draw[>=latex,->] (E)--(F);
			\draw [orange,dashed] (E)--(A);
			\draw [orange,dashed] (F)--(C);
			\draw[dashed] (C)--(H);
			\def\perp{0.5};
			\draw [gray!50] ({\xc+\perp},0)--({\xc+\perp},\perp)--(\xc,\perp);
			\draw (A) node[below left]{$A$};
			\draw (H) node[below]{$H$};
			\draw (B) node[below right]{$B$};
			\draw (C) node[above]{$C$};
			\draw (E) node[above left]{$E$};
			\draw (F) node[above right]{$F$};
			\draw (1,6.5) node{\small Puis on projette orthogonalement sur $(AB)$:};
			\end{tikzpicture}
			
			Finalement $\overrightarrow{EF} \cdot \overrightarrow{AB} = AH \times AB$.
			
		\end{center}
		
		\item Pour le produit scalaire $\overrightarrow{EF} \cdot \overrightarrow{AB}$ nous pourrions considérer directement les projetés orthogonaux $E'$ et $F'$ de $E$ et $F$ sur $(AB)$: $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{EF}= \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{E'F'}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{lecon}
	
	\bigskip
	Rappelons que $\left\|\overrightarrow{AB} \right\|$ (qui est égale à $AB$ dans un repère orthonormé) est appelé la norme du vecteur $\overrightarrow{AB}$.
	
\end{lecon}

\begin{proposition}{ Propriétés du produit scalaire de vecteurs du plan.}
	
	Soient $A$, $B$ et $C$ des points du plan.
	
	\medskip
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item  Si $(AB) \perp (AC)$  alors $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0$.
		\item $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AB} = AB^2= \| \overrightarrow{AB} \|^2$.
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}
	
	Notons $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$.
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $(AB) \perp (AC)$ $\Leftrightarrow AH=0$. Donc $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\pm AH \times AB=0$.
		
		\item Le projeté orthogonale de $B$ sur $(AB)$ est $B$ et $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont de même sens donc $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB}= AB \times AB=AB^2= \| \overrightarrow{AB} \|^2$.
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		1ieme hachette barbazo 2019 exo 2 page 211
		
	\end{notabene}
	
	Dans chacun des cas suivants, calculez le produit scalaire $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$, l'unité de longueur étant le côté d'un carreau.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.4,yscale=0.4]
		\def\xY{0};
		\def\yY{0};
		\def\xZ{5};
		\def\yZ{5};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
		\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		\draw[very thick, red,>=latex,->] (1,2)--(4,2) node[midway, below]{$\overrightarrow{u}$};
		\draw[very thick, blue,>=latex,->] (1,2)--(2,4) node[midway, left]{$\overrightarrow{v}$};
		\end{tikzpicture}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.4,yscale=0.4]
		\def\xY{0};
		\def\yY{0};
		\def\xZ{5};
		\def\yZ{5};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
		\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		\draw[very thick, red,>=latex,->] (1,1)--(5,1) node[midway, below]{$\overrightarrow{u}$};
		\draw[very thick, blue,>=latex,->] (4,4)--(1,4) node[midway,above]{$\overrightarrow{v}$};
		\end{tikzpicture}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.4,yscale=0.4]
		\def\xY{0};
		\def\yY{0};
		\def\xZ{5};
		\def\yZ{5};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
		\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		\draw[very thick, red,>=latex,->] (1,2)--(3,4) node[midway, above right]{$\overrightarrow{u}$};
		\draw[very thick, blue,>=latex,->] (1,4)--(4,1) node[midway, below right]{$\overrightarrow{v}$};
		\end{tikzpicture}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.4,yscale=0.4]
		\def\xY{0};
		\def\yY{0};
		\def\xZ{5};
		\def\yZ{5};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
		\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		\draw[very thick, red,>=latex,->] (2,1)--(2,2) node[midway, left]{$\overrightarrow{u}$};
		\draw[very thick, blue,>=latex,->] (3,4)--(4,2) node[midway, left]{$\overrightarrow{v}$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
		
	$ABC$ est un triangle isocèle en $C$ tel que $AB=6$ et $I$ est le milieu de $[AB]$. Calculez $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}En géométrie un petit schéma (au brouillon) peut être utile.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.4]
			\coordinate (A) at (-3,0);
			\coordinate (B) at (3,0);
			\coordinate (C) at (0,2);
			\coordinate (I) at (0,0);
			\draw (A) node[below left]{$A$};
			\draw (B) node[below right]{$B$};
			\draw (C) node[above]{$C$};
			\draw (I) node[below]{$I$};
			\draw (A)--(I) node[midway]{$\parallel$};
			\draw (I)--(B) node[midway]{$\parallel$};
			\draw (B)--(C)--(A);
			\draw [dashed] (C)--(I);
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	}
	
	$ABC$ et isocèle en $C$ et $I$ milieu de $[AB]$ donc $I$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$.
	
	Puisque $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AI}$ sont de même sens {\color{orange}(car $I$ milieu de $[AB]$)}:
	\begin{align*}
		\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} &= AB \times AI\\
		&= 6 \times \frac{6}{2}
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 18$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Soit $ABC$ un triangle équilatéral tel que $AB=2$ et $BCD$ un triangle isocèle en $D$ tel que $BD= \sqrt{3}$ et $D$ est extérieur au triangle $ABC$. On note $I$ le milieu de $[BC]$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrez que les droites $(AD)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires en $I$.
		
		\item Calculez $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AC}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $(ID)$ est par construction la médiane de $BCD$ issue de $D$. Comme $BCD$ est isocèle en $D$, $(ID)$ est aussi la hauteur issue de $D$. Donc: $(ID) \perp (BC)$.
		
		De même $ABC$ est isocèle en $A$ donc: $(AI) \perp (BC)$.
		
		$\left. \begin{array}{l} (ID) \perp (BC) \\(AI) \perp (BC) \end{array} \right\} \Rightarrow (ID) \parallel (AI)$. Par conséquent $A$, $I$ et $D$ sont alignés et
		
		\begin{conclusion}
			
			$(AD) \parallel (BC)$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item $(AD)$ et $(BC)$ se coupent perpendiculairement en $I$donc
		
		\begin{align*}
			\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AC} &= \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AI}\\
			\intertext{et $I \in [AD]$ donc $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AI}$ sont de même sens:}
			\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AC} &= AD\times AI\\
			\intertext{En utilisant le théorème de Pythagore:}
			\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AC} &= \left( \sqrt{3}+ \sqrt{2} \right) \times \sqrt{3}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AC} =3+\sqrt{6}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Exercices 16 et 17 page 228 du manuel Indice.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}[\text{Exercice }]
		
		\item 16 page 228.
		
		\begin{enumerate}
			\item 
			
			\begin{enumerate}
				
				\item Puis que $H$ est le projeté orthogonale de $A$ sur $(BC)$:
				
				\begin{align*}
					\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC} &= \overrightarrow{BH} \cdot \overrightarrow{BC}\\
					\intertext{Puisque $\overrightarrow{BH}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont de même sens:}
					\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC} & BH \times BC
				\end{align*}
				
				\item $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC} = 3 \times (3+6)=27$.
				
			\end{enumerate}
			
			\item 
			\begin{enumerate}
				\item $AH= \sqrt{5^2-3^2}= 4$.
				
				\item $H$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $(BC)$ donc:
				
				\begin{align*}
					\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AH} &=  \overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{AH}\\
					\intertext{$\overrightarrow{AH}$ et $\overrightarrow{AH}$ sont évidemment de même sens donc:}
					\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AH} &= AH \times AH\\
					&= AH^2\\
					&= 4^2\\
					&= 16
				\end{align*}
				
			\end{enumerate}
			
		\end{enumerate}
		
		\item 17 page 228.
		
		\begin{enumerate}
			\item 
			\item 
			
			\begin{enumerate}
				\item $O$.
				
				\item $\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BD} = BO \times BD = \frac{7}{2} \times 7= \frac{49}{2}$.
				
			\end{enumerate}
			
			\item 
			
			\begin{enumerate}
				\item $O$.
				
				\item $\overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{CO} = CO \times CO = 2 \times 2=4$.
				
				$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AO \times AC =2 \times 4=8$.
				
			\end{enumerate}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

	
\subsubsection{Produit scalaire et cosinus.}

\begin{exercice}{ Inférence.}
	
	Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=7$ et $CA=5$. Sachant que $\widehat{BAC}= \frac{\pi}{6}$ calculez $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
		
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (5,0);
		\def\xc{2};
		\coordinate (C) at (\xc,2);
		\coordinate (H) at (\xc,0);
		\draw[dashed] (A)--(H);
		\draw[>=latex,->] (A)--(B);
		\draw[>=latex,->] (A)--(C);
		\draw[dashed] (C)--(H);
		\def\perp{0.5};
		\draw [gray!50] ({\xc+\perp},0)--({\xc+\perp},\perp)--(\xc,\perp);
		\draw (A) node[below left]{$A$};
		\draw (H) node[below]{$H$};
		\draw (B) node[below right]{$B$};
		\draw (C) node[above]{$C$};
		\draw (2,-1.5) node{\small $\overrightarrow{AH}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont de même sens};
		\def\ang{1};
		\draw[gray!80][samples=100,domain=0:{acos(2/sqrt(8))}] plot({\ang * cos(\x)},{\ang * sin(\x)});
		\draw (1.5,0.75) node{$\frac{\pi}{6}$};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
	\objectif{Calculons $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$.}
	
	Notons $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$.
	
	Puisque $\frac{\pi}{6} \in \left[ 0; \frac{\pi}{2} \right[$, $H \in [AB)$ et nous avons dans le triangle $ACH$ rectangle en $H$:
	
	\begin{align*}
		\frac{AH}{AC} &= \cos \left( \frac{\pi}{6} \right)\\
		\intertext{D'où:}
		AH &= 5 \times \frac{\sqrt{3}}{2}
	\end{align*}
	
	\medskip
	\begin{align*}
		\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} &= \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}\\
		\intertext{Or $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont de même sens puisque $H \in [AB)$, donc}
		\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} &= AB \times AH\\
		&= 7 \times 5 \frac{\sqrt{3}}{2}
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=\frac{35}{2}\sqrt{3}$.
		
	\end{conclusion}
	
	\medskip
	{\color{orange}Le travail que nous avons fait ici pour calculer le produit scalaire en passant par le cosinus se généralise. Grâce à la proposition qui suit nous n'auront plus à le démontrer.}
		
\end{exercicecorrection}

\begin{proposition}{ - Caractérisation du produit scalaire avec normes et angles.}
	
	Soient $A$, $B$, et $C$ des points du plan.
	
	\[ \color{purple}\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}= \| \overrightarrow{AB}\| \times \| \overrightarrow{AC} \| \times \cos \left( \widehat{BAC} \right). \]
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Pas de preuve car notion intuitive d'orientation du plan. Confusion norme et longueur.
		
	\end{notabene}
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Ce résultat se généralise à d'autres vecteurs que les bipoints du plan et nous écrirons alors: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \| \overrightarrow{u} \| \times \| \overrightarrow{u}\| \times \cos \left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right). \]
		Dans ce cas $\left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \right)$ est appelé un angle orienté de vecteurs et il égale l'angle géométrique $\widehat{BAC}$ obtenu en choisissant des représentants de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$: $\overrightarrow{u}= \overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$.
		
		Nous avons: $\left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \right)= -\left( \overrightarrow{v},\overrightarrow{u} \right)$
		
		\item D'après la remarque précédente nous pourrons généraliser la formule à des couples quelconques de bipoints: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{EF}= \| \overrightarrow{AB}\| \times \| \overrightarrow{EF} \| \times \cos \left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{EF} \right). \]
		
		\item Nous retrouvons bien ce que nous avions déjà remarqué $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB}= \| \overrightarrow{AB}\| \times \| \overrightarrow{AB}\| \times \cos(0)=\| \overrightarrow{AB}\|^2$.
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		calculer le produit scalaire avec un angle.
		
	\end{notabene}
	
	Soit $ABC$ un triangle isocèle en $A$ et tel que $AB=6$ et $\widehat{BAC}=30^{\circ}$. Calculez $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{align*}
		\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} &= \| \overrightarrow{AB} \| \times \| \overrightarrow{AC} \| \times \cos (\widehat{BAC})\\
		\intertext{Or $ABC$ est isocèle en $A$ donc:}
		\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} &= AB^2 \times \cos (30^{\circ})\\
		&= 6^2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=3\sqrt{3}$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Soit $ABDC$ un parallélogramme tel que $AB=4$, $AC=5$ et $\widehat{BAC}=\frac{\pi}{3}$.
	
	Calculez
	\begin{enumerate}
		\item $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$.
		\item $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}$.
		\item $\overrightarrow{DB} \cdot \overrightarrow{CD}$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item ~
		\begin{align*}
			\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} &= \| \overrightarrow{AB} \| \times \| \overrightarrow{AC} \| \times \cos (\widehat{BAC})\\
			&= AB \times AC \times \cos \left( \frac{\pi}{3} \right)\\
			&= 4 \times 5 \times \frac{1}{2}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 10$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item Puisque $ABDC$ est un parallélogramme $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont égaux (et en particulier de même sens) donc:
		
		\begin{align*}
			\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} &= \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB}\\
			&= AB^2\\
			&= 4^2
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}=16$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item Puisque $ABDC$ est un parallélogramme: $\overrightarrow{DB} =-\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}$ donc:
		
		\begin{align*}
			\overrightarrow{DB} \cdot \overrightarrow{CD} &= -\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\overrightarrow{DB} \cdot \overrightarrow{CD}=-10$.
			
		\end{conclusion}
		
		{\color{orange}Ici j'ai en fait triché en utilisant une propriété de produit scalaire que je n'ai pas encore évoqué.}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}


\begin{exercice}{}
	
	Exercices 10 à 15 page 228 du manuel Indice.
	
	Exercices 38 à 51 page 230 du manuel Indice.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}[\text{Exercice }]
		
		\item 10 page 228.
		
		\begin{enumerate}
			
			\item $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\| \overrightarrow{AB} \| \times \| \overrightarrow{AC} \| \times \cos \left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right) = AB \times AC \times \cos \left( \frac{\pi}{2} \right)= 4 \times 9 \times 0=0$.
			
			\item $12 \sqrt{3}$.
			
			\item $\frac{5}{2} \sqrt{2}$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 11 page 228.
		
		\begin{enumerate}
			\item $\cos \left( \widehat{BAC} \right) =\frac{12}{8 \times 4}=\frac{3}{8}$.
			
			\item $AB= \frac{10}{4 \times \frac{1}{2}}=5$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 12 page 228.
		
		$\widehat{BAC} = 45\degres$.
		
		$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC} = AB^2=25$.
		
		$\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CD}= CD^2=25$.
		
		$\overrightarrow{DC} \cdot \overrightarrow{DA} = 0$.
		
		\item 13 page 228.
		
		$\widehat{BAC}=\frac{\pi}{3}$.
		
		$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} AC \times AC \times \frac{1}{2}= \frac{25}{4}$.
		
		\item 14 page 228.
		
		$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AI} = AB \times \frac{1}{2} AB= 18$.
		
		\item 15 page 228.
		
		\begin{enumerate}
			
			\item $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 20$.
			
			\item $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = -8$.
			
		\end{enumerate}
		
		
		\item 38 page 230.
		
		$12\sqrt{2}$.
		
		\item 39 page 230.
		
		$-11 \sqrt{3}$.
		
		\item 40 page 230.
		
		$0$.
		
		\item 41 page 230.
		
		$\frac{7}{3}$.
		
		\item 42 page 230.
		
		$6$.
		
		\item 43 page 230.
		
		\begin{enumerate}
			\item 
			
			\item $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}= \frac{25}{2} \sqrt{3}$
			
			$\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BA}= \'rac{25}{2} \sqrt{3}$.
			
			$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AI}=\frac{75}{4}$.
			
			$\overrightarrow{CI} \cdot \overrightarrow{CA}=\frac{25}{2} \sqrt{3}$.
			
			$\overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{BC}=-\frac{25}{2}$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 44 page 230.
		
		\begin{enumerate}
			\item $68\degres$.
			
			\item $99$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 45 page 230.
		
		\begin{enumerate}
			\item $\sqrt{10}$.
			
			\item $2\sqrt{5}$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 46 page 230.
		
		\begin{enumerate}
			\item Vrai car $\cos$ est alors négatif.
			
			\item Réciproque: \og Si $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} <0$, alors $\widehat{BAC}$ est obtus. Vrai dans le sens usuel d'obtus (pas plus de $\pi$).
			
		\end{enumerate}
		
		\item 47 page 230.
		
		$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AM} = AB \times AM \times \cos\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AM} \right)= AB ^2 \cos\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AM} \right)$.
		
		Or $-1 \leqslant \cos\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AM} \right) \leqslant 1$ donc $-AB^2 \leqslant AB ^2 \cos\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AM} \right) \leqslant AB^2$.
		
		\item 48 page 230.
		
		\begin{enumerate}
			\item $10$.
			
			\item $-18$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 49 page 230.
		
		$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{F}= 1000 \times 9\times 10^6 \times \cos \left( -\frac{\pi}{6} \right) = \frac{9}{2}\sqrt{3}\times 10^{9}$.
		
		\item 50 page 230.
		
		\begin{enumerate}
			\item Faux. Vecteurs orthogonaux.
			
			\item Vrai. Car $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$.
			
			\item Vrai. car positif.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 51 page 230.
		
		La réciproque est fausse pour un triangle isocèle en $C$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}
	
\subsubsection{Orthogonalité.}

\begin{definition}
	
	Deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont dits \emph{\color{purple}orthogonaux} si et seulement si $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=0$.
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item L'orthogonalité est l'équivalent de la perpendicularité mais pour des vecteurs. La notion d'orthogonalité est plus générale que celle de perpendicularité: dans l'espace il existe des droites orthogonales qui ne sont pas perpendiculaires (pas de point commun).
		
		\item La définition d'orthogonalité reste valable dans 
		
		\item {\color{purple}Si $A$, $B$, $E$ et $F$ sont des points distincts deux à deux du plan alors: $(AB) \perp (EF)$ si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ est orthogonal à $\overrightarrow{EF}$.}
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsection{Des propriétés du produit scalaire.}

\subsubsection{Propriétés.}

\begin{proposition}{ - Propriétés du produit scalaire.}
	
	Soient $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ des vecteurs, $\lambda$ un nombre réel.
	
	\medskip
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}= \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u}$.
		\item $\overrightarrow{u} \cdot (\overrightarrow{v}+ \overrightarrow{w}) = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}$.
		\item $(\overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v}) \cdot \overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}+ \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w}$.
		\item $\lambda ( \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}) = (\lambda \overrightarrow{u}) \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{u} \cdot (\lambda \overrightarrow{v})$.
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	Indémontrable puisque nous n'avons pas de définition générale d'un vecteur. Nous n'avons construit en seconde que des vecteurs du plan comme des translations.
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Nous pouvons interpréter ces propriétés avec le vocabulaire que nous connaissons déjà sur les lois (opérations):
		\begin{enumerate}[(i)]
			\item Commutativité.
			\item Distributivité à gauche du produit scalaire sur l'addition (de vecteurs).
			\item Distributivité à droite du produit scalaire sur l'addition (de vecteurs).
			\item Une sorte de commutativité entre le produit par un nombre et le produit scalaire.
		\end{enumerate}
		
		\item La propriété (i) est appelée la \emph{\color{purple}symétrie} du produit scalaire. Les propriétés (ii), (iii) et (iv) sont appelées la \emph{\color{purple}bilinéarité} du produit scalaire.
		
		\item Ces propriétés sont à l'origine de la définition la plus générale du produit scalaire (y compris pour des vecteurs qui ne sont pas des objets de géométrie) d'où le fait que nous insistions. Cependant dans la pratique, au lycée, il faut retenir que nous allons pouvoir manipuler les vecteurs comme des nombres pour travailler avec le produit scalaire. Ainsi qui  dit distributivité, dit double distributivité et donc identités remarquables.
		
		\item En toute rigueur la propriété (iv) fait intervenir trois opérations différentes: produit de deux nombres réels, multiplication d'un vecteur par un nombre, produit scalaire.
		
		\item La distributivité apparaîtra souvent lorsque la relation de Chasles est utilisée: $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AB} \cdot \left( \overrightarrow{EZ} + \overrightarrow{ZF} \right)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		1ieme bordas indice 2019 exo 3 page 223
		
	\end{notabene}
	
	Soit $ABC$ un triangle équilatéral tel que $AB=2$ et $BCD$ un triangle isocèle en $D$ tel que $BD= \sqrt{3}$ et $D$ est extérieur au triangle $ABC$. On note $I$ le milieu de $[BC]$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculez $\overrightarrow{CI} \cdot \overrightarrow{BI}$, puis $\overrightarrow{CI} \cdot \overrightarrow{BD}$.
		
		\item Calculez $\overrightarrow{IA} \cdot \overrightarrow{ID}$, puis $\overrightarrow{IA} \cdot \overrightarrow{BD}$.
		
		\item En déduire $\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{CA}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	Nous utiliserons ici le résultat déjà montré dans l'exercice 2: $(BC)$ et $(AD)$ se coupent perpendiculairement en $I$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Puisque $\overrightarrow{CI}$ et $\overrightarrow{BI}$ sont colinéaires et de sens contraire:
		
		\begin{align*}
			\overrightarrow{CI} \cdot \overrightarrow{BI} &= -CI \times BI\\
			&= -1 \times 1
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\overrightarrow{CI} \cdot \overrightarrow{BI} = -1$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		D'après la relation de Chasles:
		\begin{align*}
			\overrightarrow{CI} \cdot \overrightarrow{BD} &= \overrightarrow{CI} \cdot \left( \overrightarrow{BI} + \overrightarrow{ID} \right)\\
			&= \overrightarrow{CI} \cdot \overrightarrow{BI} + \overrightarrow{CI} \cdot\overrightarrow{ID}\\
			\intertext{Comme $(CI)$ et $(ID)$ sont perpendiculaires, $\overrightarrow{CI}$ et $\overrightarrow{ID}$ sont orthogonaux et donc:}
			\overrightarrow{CI} \cdot \overrightarrow{BD} &= \overrightarrow{CI} \cdot \overrightarrow{BI} + 0
		\end{align*}
		
		D'après le précédent calcul:
		
		\begin{conclusion}
			
			$\overrightarrow{CI} \cdot \overrightarrow{BD}=-1$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item Puisque $\overrightarrow{IA}$ et $\overrightarrow{ID}$ sont colinéaires et de sens contraire:
		
		\begin{align*}
			\overrightarrow{IA} \cdot \overrightarrow{ID} &= -IA \times ID\\
			&= -\sqrt{3} \sqrt{2}\\
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\overrightarrow{IA} \cdot \overrightarrow{ID}=-\sqrt{6}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		D'après la relation de Chasles:
		\begin{align*}
			\overrightarrow{IA} \cdot \overrightarrow{BD} &= \overrightarrow{IA} \cdot \left(  \overrightarrow{BI}+\overrightarrow{ID} \right)\\&= \overrightarrow{IA} \cdot  \overrightarrow{BI}+ \overrightarrow{IA} \cdot \overrightarrow{ID} \\
			\intertext{Pusique $\overrightarrow{IA}$ et $\overrightarrow{BI}$ sont orthogonaux:}
			\overrightarrow{IA} \cdot \overrightarrow{BD} &= 0+ \overrightarrow{IA} \cdot \overrightarrow{ID} \\
			&= -\sqrt{6}
		\end{align*}
		
		D'après le précédent calcul
		
		\begin{conclusion}
			
			$\overrightarrow{IA} \cdot \overrightarrow{BD}=-\sqrt{6}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item Par commutativité (symétrie):
		
		\begin{align*}
			\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{CA} &= \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{BD}\\
			\intertext{D'après la relation de Chasles:}
			\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{CA} &= \left( \overrightarrow{CI} + \overrightarrow{IA} \right) \cdot \overrightarrow{BD}\\
			&= \overrightarrow{CI} \cdot \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{IA} \cdot \overrightarrow{BD}
		\end{align*}
		
		D'après les questions précédentes:
		
		\begin{conclusion}
			
			$\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{CA} = -1-\sqrt{6}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		1eme hachette barbazo 2019 exo 1 page 213
		
	\end{notabene}
	
	$ABCD$ est un carré de côté $a \in \mathbb{R}_+$, $I$ est le milieu de $[AD]$ et $J$ le milieu de $[CD]$.
	
	\begin{enumerate}
		\item En remarquant que $\overrightarrow{AJ}= \overrightarrow{AD}+ \overrightarrow{DJ}$ et $\overrightarrow{BI}= \overrightarrow{BA}+ \overrightarrow{AI}$, calculez $\overrightarrow{AJ} \cdot \overrightarrow{BI}$.
		
		\item Que peut-on en conclure?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item D'après la relation de Chasles:
		
		\begin{align*}
			\overrightarrow{AJ} \cdot \overrightarrow{BI} &= \left( \overrightarrow{AD}+ \overrightarrow{DJ} \right) \cdot \left( \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AI} \right)\\
			&= \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{DJ} \cdot \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DJ} \cdot \overrightarrow{AI}\\
			\intertext{Puisque $ABCD$ est un carré et $I$ et $J$ des milieux de $[AD]$ et $[CD]$:}
			\overrightarrow{AJ} \cdot \overrightarrow{BI} &= 0+ a \times \frac{1}{2} a -\frac{1}{2} a \times a + 0
		\end{align*}
		
		Enfin
		
		\begin{conclusion}
			
			$\overrightarrow{AJ} \cdot \overrightarrow{BI} = 0$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item Nous déduisons de la question précédente que $\overrightarrow{AJ}$ et $\overrightarrow{BI}$ sont orthogonaux.
		
		Donc 
		
		\begin{conclusion}
			
			si $a \ne 0$ alors $(AJ) \parallel (BI)$.
						
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Relation de Chasles et double distributivité.
		
	\end{notabene}
	
	$ABCD$ est un carré de côté $6$. Les points $I$ et $J$ sont les milieux respectif des côtés $[BC]$ et $[CD]$. Calculez $\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{AJ}$.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (6,0);
		\coordinate (C) at (6,6);
		\coordinate (D) at (0,6);
		\coordinate (I) at (6,3);
		\coordinate (J) at (3,6);
		\draw (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;
		\draw[red] (A)--(J);
		\draw[red] (A)--(I);
		\draw (A) node[below left]{$A$};
		\draw (B) node[below right]{$B$};
		\draw (C) node[above right]{$C$};
		\draw (D) node[above left]{$D$};
		\draw (I) node[right]{$I$};
		\draw (J) node[above]{$J$};
		\draw[very thin] (D)--(J) node[midway] {$\parallel$};
		\draw[very thin] (J)--(C) node[midway] {$\parallel$};
		\draw[very thin] (C)--(I) node[midway,rotate=90] {$\parallel$};
		\draw[very thin] (I)--(B) node[midway,rotate=90] {$\parallel$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{align*}
		\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{AJ} &= \left( \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BI}\right) + \left( \overrightarrow{AD}+ \overrightarrow{DJ}\right)\\
		&= \overrightarrow{AB}\cdot  \overrightarrow{AD}+ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DJ} + \overrightarrow{BI} \cdot \overrightarrow{AD}+ \overrightarrow{BI} \cdot \overrightarrow{DJ}\\
		&= 0 + 6 \times \frac{1}{2} \times 6 + \frac{1}{2} \times 6 \times 6 +0
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		$\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{AJ}=36$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Belin.
		
	\end{notabene}
	
	$ABCD$ est un rectangle tel que $AB=6$ et $AD=3$. Les points $B'$ et $D'$ sont les projetés orthogonaux respectifs de $B$ et $D$ sur $(AC)$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculez $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD}$.
		
		\item Déduisez-en la longueur $B'D'$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item ~
		
		\begin{align*}
			\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} &= \left( \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BC}\right) + \left( \overrightarrow{BA}+ \overrightarrow{AD}\right)\\
			&= \overrightarrow{AB}\cdot  \overrightarrow{BA}+ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BA}+ \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AD}\\
			&= -AB^2 + 0 + 0 + AD^2\\
			&= -6^2+3^2
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD}= -27$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item Puisque $B'$ et $D'$ sont les projetés orthogonaux de $B$ et $D$ su $(AC)$:
				
		\begin{align*}
			\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} &= \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{B'D'}\\
			&= -AC \times B'D'
		\end{align*}
		
		Or:
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
			\item $ABC$ est rectangle en $B$ donc, d'après le théorème de Pythagore: $AC=\sqrt{6^2+3^2}=
		3 \sqrt{5}$,
			\item d'après la question précédente $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD}=-27$
		\end{enumerate}
		
		donc $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD}=-AC \times B'D'$ équivaut successivement à
		
		\begin{align*}
			-27 &=-3 \sqrt{5} \times B'D'\\
			\frac{-27}{-3\sqrt{5}} &= B'D'
		\end{align*}
		
		Finalement
		
		\begin{conclusion}
			
			$B'D'=\frac{9}{5}\sqrt{5}$.
			
		\end{conclusion} 
		
	\end{enumerate}
		
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Exercices 18 à 22 page 229 du manuel Indice.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}[\text{Exercice }]
		
		\item 18 page 229.
		
		\begin{enumerate}
			\item $\vec{v} \cdot \vec{u}=3$.
			
			Erreur dans l'énoncé:
			$\vec{u} \cdot \left( \vec{v} + \vec{w} \right)=8$.
			
			\item $\vec{u} \cdot \left( 2 \vec{v} \right)=6$.
			
			$\left( -3\vec{v} \right) \cdot \vec{u}=-9$.
			 
		\end{enumerate}
		
		\item 19 page 229.
		
		$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA}=-5$.
		
		$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{AC}=-5$.
		
		$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{CA}=5$.
		
		\item 20 page 229.
		
		\begin{enumerate}
			\item $\vec{u}^2=16$. $\vec{v}^2=9$. $\left( \vec{u} + \vec{v}^2\right)= 16+2 \times 6 +9=37$.
			
			\item $\vec{u} \cdot \left( \vec{u}-\vec{v} \right)=10$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 21 page 229.
		
		\begin{align*}
			\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} &= \overrightarrow{AB} \cdot \left( \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD} \right)\\
			&= \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}\\
			&= 1+2\\
			&= 3
		\end{align*}
		
		\item 22 page 229.
		
		$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=4^3$.
			
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Exercices.}

\begin{exercice}{}
	
	Exercices 52 page 230 à 60 page 231 du manuel Indice.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		1Ime bordas indice 2019 6 page 225
		
	\end{notabene}
	
	Soit $OABC$ un carré de côté $4$ et $M$ le milieu de $[OC]$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculez $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}$ en utilisant $I$ le milieu de $[AB]$.
		\item Déduisez-en une valeur approchée au degré près (à la calculatrice) de la mesure de l'angle $\widehat{AMB}$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item ~
		
		\begin{align*}
			\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} &= \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} \right) \cdot \left( \overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IB} \right)\\
			\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} &= \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} \right) \cdot \left( \overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IB} \right)\\
			&= \overrightarrow{MI} \cdot \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{MI} \cdot \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IA} \cdot \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} \cdot \overrightarrow{IB}\\
			&= MI^2 +0 + 0 -IA \times IB\\
			&= 4^2-3 \times 3
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}= 7$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item Nous savons que
		
		\begin{align*}
			\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} &= MA \times MB \times \cos \left( \widehat{AMB} \right) \\
			\intertext{$MAO$ et $MBC$ étant rectangle en $O$ et $C$ d'après le théorème de Pythagore l'égalité précédente équivaut à:}
			7 &= 2\sqrt{5} \times 2\sqrt{5} \times \cos \left( \widehat{AMB} \right)\\
			\intertext{Ceci équivaut à:}
			\cos \left( \widehat{AMB} \right) &= \frac{7}{20}
		\end{align*}
		
		Avec la calculatrice:
		
		\begin{center}
			
			\includegraphics[scale=0.5]{1ieme_geometrie_02_produit_scalaire_01_calculatrice.png}
			\includegraphics[scale=0.5]{1ieme_geometrie_02_produit_scalaire_02_calculatrice.png}
			\includegraphics[scale=0.5]{1ieme_geometrie_02_produit_scalaire_03_calculatrice.png}
			
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\left( \widehat{AMB} \right) \approx 20^{\circ}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}

\end{exercicecorrection}	

\subsection{Produit scalaire et norme.}

\subsubsection{Des identités remarquables.}

\begin{proposition}{}
	
	Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs du plan.
	
	\medskip
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $\| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \|^2 = \| \overrightarrow{u} \|^2+ 2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \| \overrightarrow{v} \|^2$.
		
		\item $\| \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} \|^2 = \| \overrightarrow{u} \|^2- 2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \| \overrightarrow{v} \|^2$.
		
		\item $\left( \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v} \right) \cdot \left( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right) =\|\overrightarrow{u}\|^2 - \|\overrightarrow{u}\|^2$. 
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}
	
	Se démontre en utilisant la distributivité vue dans la proposition 3.
	
\end{preuve}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		1ieme belin 2019 exo 48 page 234
		
	\end{notabene}
	
	Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs quelconques.
	
	Démontrez l'égalité: $\| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \|^2 - \| \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} \|^2 =4 \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$.
	
\end{exercice}

\begin{correction}
\begin{exercicecorrection}
	
	En soustrayant terme à terme les égalités (i) et (ii) de la proposition 4 nous obtenons \[ \| \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v}\|- \| \overrightarrow{u}- \overrightarrow{v}\| = \left[ \| \overrightarrow{u} \|^2+ 2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \| \overrightarrow{v} \|^2 \right] - \left[ \| \overrightarrow{u} \|^2- 2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \| \overrightarrow{v} \|^2 \right]  \]
	
	En développant et en simplifiant \[ \| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \|^2 - \| \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} \|^2 =4 \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}. \]
	
\end{exercicecorrection}
\end{correction}

\subsubsection{Caractérisation du produit scalaire par la norme.}

\begin{lecon}
	
	Nous savons calculer la norme avec le produit scalaire: $\|AB\|^2=\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB}$, nous allons voir maintenant comment calculer le produit scalaire grâce à la norme.
	
\end{lecon}

\begin{proposition}{}
	
	Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs du plan.
	
	\medskip
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \frac{1}{2} \left( \| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \|^2-\|\overrightarrow{u}\|^2- \| \overrightarrow{v} \|^2 \right)$.
		
		\item $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \frac{1}{2} \left( \|\overrightarrow{u}\|^2+ \| \overrightarrow{v} \|^2 - \| \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} \|^2 \right)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}
	
	Découle directement des résultats établis à la précédente proposition.
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Il est possible de retrouver la norme à partir du produit scalaire: $\|\overrightarrow{u} \|^2=\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u}$ et nous voyons maintenant qu'il est possible de retrouver le produit scalaire à partir de la norme. Autrement dit il revient au même de se donner une norme ou un produit scalaire.
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		1ieme hachette barbazo 2019 exo 3 page 213.
		
	\end{notabene}
	
	Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=4$, $AC=6$ et $BC=7$. Calculez $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{red}Merci M. Garcia pour la correction.}
	
	\begin{align*}
		\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} &= \frac{1}{2} \left( \| \overrightarrow{AB}\|^2 + \| \overrightarrow{AC} \|^2 - \| \overrightarrow{AB}- \overrightarrow{AC} \|^2  \right)\\
		&= \frac{1}{2} \left( 4^2 + 6^2 - \| \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{CA} \|^2  \right)\\
		&= \frac{1}{2} \left( 52 - \| \overrightarrow{CA}+ \overrightarrow{AB} \|^2  \right)\\
		\intertext{Donc, d'après la relationde Chasles:}
		\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} &= \frac{1}{2} \left( 52 - \| \overrightarrow{CB}\|^2  \right)\\
		&= \frac{1}{2} \left( 52 - 7^2  \right)\\
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=\frac{3}{2}$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		1ieme belin 2019 4 page 227 Calcul du produit scalaire avec les normes.
		
	\end{notabene}
	
	$ABC$ est un triangle tel que $AB=4$, $AC=3$ et $BC=6$. Calculez $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{AB}$. Déduisez-en $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
		
	\begin{align*}
		\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{AB} &= \frac{1}{2} \left( \| \overrightarrow{CA}+ \overrightarrow{AB} \|^2 - \| \overrightarrow{CA}\|^2 - \| \overrightarrow{AB} \|^2   \right)\\
		&= \frac{1}{2} \left( \| \overrightarrow{CB} \|^2-3^2- 4^2 \right)\\
		&= \frac{1}{2} \left( 6^2 - 25  \right)\\
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		$\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{AB}=\frac{11}{2}$.
		
	\end{conclusion}
	
	\medskip
	De $\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{CA}$ nous déduisons
	\begin{align*}
		\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} &= -\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{AB}
	\end{align*}
	et donc:
	
	\begin{conclusion}
		
		$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB}=-\frac{11}{2}$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		1ieme bardas indice 2019 8 page 227
		
	\end{notabene}
	
	$ABCD$ est un parallélogramme tel que $AB=3$, $AD=4$ et $AC=6$. Calculez $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	
	\begin{align*}
		\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA} &= \frac{1}{2} \left( \| \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{CA} \|^2 - \| \overrightarrow{AB}\|^2 - \| \overrightarrow{CA} \|^2   \right)\\
		&= \frac{1}{2} \left( \| \overrightarrow{CB} \|^2-3^2- 6^2 \right)\\
		&= \frac{1}{2} \left( 4^2 - 45  \right)\\
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA}=-\frac{29}{2}$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		1ieme hachette déclic 8 page 249
		
	\end{notabene}
	
	On considère les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$. On donne $\| \overrightarrow{u}\|=2$, $\| \overrightarrow{v}\|=3$ et $\theta = \left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \right)=\frac{2\pi}{3}$.
	
	Calculez les éléments suivants.
	
	\begin{enumerate}
		\item $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$.
		\item $3 \overrightarrow{v} \cdot (\overrightarrow{u}-2\overrightarrow{v})$.
		\item $\| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \|^2$.
		\item $\|2 \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\|$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item ~
		
		\begin{align*}
			\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} &= \| \overrightarrow{u} \| \times \| \overrightarrow{v}\| \times \cos \theta\\
			&= 2 \times 3 \cos \left( \frac{2\pi}{3} \right)\\
			&= 6 \times \left( -\frac{1}{2} \right)
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=-3$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item ~
		
		\begin{align*}
			3 \overrightarrow{v} \cdot (\overrightarrow{u}-2\overrightarrow{v}) &= 3\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u} +3 \overrightarrow{v} \cdot \left( -2\overrightarrow{v} \right)\\
			&= 3 \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}-6 \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v}\\
			&= 3 \times (-3) -6 \times \| \overrightarrow{v} \|^2\
			&= -9-6 \times 3^2
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$3 \overrightarrow{v} \cdot (\overrightarrow{u}-2\overrightarrow{v})= -63$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item ~
		
		\begin{align*}
			\| \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\|^2 &= \| \overrightarrow{u}\|^2+ 2 \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \| \overrightarrow{v} \|^2\\
			&= 2^2+2 \times (-3) + 3^2
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\| \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\|^2=7$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item ~
		
		\begin{align*}
			\| 2\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\|^2 &= \left( 2\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v} \right)\cdot \left( 2\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v} \right)\\
			&= 4 \| \overrightarrow{u}\|^2 -2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}-2 \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u} + \| \overrightarrow{v} \|^2\\
			&= 4 \times 2^2-4 \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} +3^2\\
			&= 16-4 \times (-3) +9\\
			&= 37
		\end{align*}
		
		Donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$\| 2\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\|=\sqrt{37}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Exercices 31 à 37 page 229 du manuel Indice.
	
\end{exercice}
		
\begin{exercice}{}
	
	Exercices 89 page 233 à 103 page 234 du manuel Indice.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Exercices 104 page 234 à 115 page 234 du manuel Indice.
	
\end{exercice}

\subsection{Produit scalaire et coordonnées cartésiennes.}

\begin{lecon}
	
	Rappelons qu'à tout bipoint $\overrightarrow{AB}$ nous associons ses coordonnées, dans un repère $\left( O, \overrightarrow{i},\overrightarrow{j} \right)$ du plan, par $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} x_B-x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$.
	
\end{lecon}

\begin{proposition}{}
	
	Soient:
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\left( O, \overrightarrow{i},\overrightarrow{j} \right)$ un repère orthonormé du plan,
		\item $\overrightarrow{u}$ un vecteur du plan de coordonnées $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ dans la base orthonormée $\left( \overrightarrow{i},\overrightarrow{j} \right)$,
		\item $\overrightarrow{v}$ un vecteur du plan de coordonnées $\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ dans la base orthonormée $\left( \overrightarrow{i},\overrightarrow{j} \right)$.
	\end{enumerate}
	
	\[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = xx'+yy'. \]
	
\end{proposition}

\begin{preuve}
	
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Le repère doit être orthonormal pour que nous ayons bien $\| \overrightarrow{AB} \|=AB$.
		\item Il est possible de définir des produits scalaires dans des repères qui ne sont pas orthonormés mais dans ce cas la norme du vecteur $\overrightarrow{AB}$ ne correspond pas à la longueur $AB$: $\| \overrightarrow{AB}\| \ne AB$.
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{corollaire}{}
	
	Soient:
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\left( O, \overrightarrow{i},\overrightarrow{j} \right)$ un repère orthonormé du plan,
		\item $\overrightarrow{u}$ un vecteur du plan de coordonnées $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ dans la base orthonormée $\left( \overrightarrow{i},\overrightarrow{j} \right)$,
		\item $\overrightarrow{v}$ un vecteur du plan de coordonnées $\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ dans la base orthonormée $\left( \overrightarrow{i},\overrightarrow{j} \right)$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux si et seulement si $xx'+yy'=0$.
	
\end{corollaire}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Ainsi le produit scalaire nous permettra de vérifier l'orthogonalité de deux vecteurs et donc la perpendicularité de droites.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		1ieme hachette barbazo 2019 exo 2 page 213.
		
	\end{notabene}
	
	Dans un repère orthonormé, on considère les vecteurs $\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \end{pmatrix}$, ainsi que les points $A(2;3)$, $B(-5;4)$, $C(-1;-3)$ et $D(-1;1)$.
	
	Calculez les produits scalaires $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item \objectif{Calculons $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$.}
		
		\begin{align*}
			\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} &= x_ux_v+y_uy_v\\
			&= 2 \times (-3) + (-1) \times 5\\
		\end{align*}
			
		\begin{conclusion}
			
			$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}= -11$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Calculons $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}$.}
		
		$\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} x_B-x_A \\ y_B-y_A \end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} -7 \\ 1 \end{pmatrix}$. De même $\overrightarrow{CD} \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \end{pmatrix}$.
		
		Donc:
		
		\begin{align*}
			\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} &= x_{AB}x_{CD}+y_{AB}y_{CD}\\
			&= -7 \times 0 + 1 \times 4\\
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}= 4$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Dans une base orthonormée on considère les vecteurs $\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 4 \\ \frac{2}{3} \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} 1 \\ -6 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{w} \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ 4 \end{pmatrix}$.
	
	Déterminez si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux puis si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{w}$ sont orthogonaux.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}Nous savons que deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. Nous allons donc le calculer.}
	
	\medskip
	\begin{enumerate}
		
		\item \objectif{Calculons $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$.}
		
		\begin{align*}
			\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} &= x_ux_v+y_uy_v\\
			&= 4 \times 1 + \frac{2}{3} \times (-6)\\
			&= 0
		\end{align*}
		
		Autrement dit
		
		\begin{conclusion}
			
			$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Calculons $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}$.}
		
		\begin{align*}
			\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w} &= x_ux_w+y_uy_w\\
			&= 4 \times \left( -\frac{1}{2} \right) + \frac{2}{3} \times 4\\
			&= \frac{2}{3}\\
			&\ne 0
		\end{align*}
		
		Autrement dit
		
		\begin{conclusion}
			
			$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{w}$ ne sont pas orthogonaux.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}

\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		1ieme belin 2019 8 page 228 Utiliser le produit scalaire pour calculer un angle. Calculer un angle avec les coordonnées.
		
	\end{notabene}
	
	Dans le repère orthonormé $\left( O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j} \right)$ on a placé les points $A(1;1)$, $B(3;2)$ et $C(4;5)$.
	
	Déterminez l'angle $ \widehat{ABC}$ à $0,1$ degré près en exprimant le produit scalaire $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}$ de deux façons différentes.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item {\color{orange}Calculons le produit scalaire avec les coordonnées.}
		
		$\overrightarrow{BA} \begin{pmatrix} x_A-x_B \\ y_A-y_B \end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{BA} \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{BC} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$
		
		Donc
		\begin{align*}
			\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} &= x_{BA} x_{BC} +y_{BA}y_{BC}\\
			&= -2 \times 1 +(-1) \times 3\\
			&= -5
		\end{align*}
		
		\item {\color{orange}Calculons le produit scalaire avec normes et cosinus.}
		
		\begin{align*}
			\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} &= \| \overrightarrow{BA} \| \times \| \overrightarrow{BC} \| \times \cos \left( \widehat{ABC} \right)\\
			&= \sqrt{x_{BA}^2+y_{BA}^2} \times \sqrt{x_{BC}^2 +y_{BC}^2} \times \cos \left( \widehat{ABC} \right)\\
			&= \sqrt{(-2)^2 +(-1)^2} \times \sqrt{1^2+3^2} \times \cos \left( \widehat{ABC} \right)\\
			&= 5\sqrt{2} \times \cos \left( \widehat{ABC} \right)
		\end{align*}		
		
	\end{enumerate}
	
	Des deux points précédents nous déduisons:
	
	\begin{align*}
		-5 &= 5\sqrt{2} \times \cos \left( \widehat{ABC} \right)\\
		\intertext{ce qui équivaut à}
		\cos \left( \widehat{ABC} \right) &= -\frac{\sqrt{2}}{2}
	\end{align*}
	
	Donc, en radian, une mesure de $\widehat{ABC}$ est $\frac{3\pi}{4}$.
	
	Enfin:
	
	\begin{conclusion}
		
		$\widehat{ABC}=135^{\circ}$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Exercices 23 à 30 page 229 du manuel Indice.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Exercices 61 page 232 à 82 page 232 du manuel Indice.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Exercices 83 page 232 à 88 page 233 du manuel Indice. Calcul d'angles.
	
\end{exercice}

\subsection{Exercices.}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		34 et 35 page 233 belin 1ieme 2019 Géométrie démontrer orthogonalité.
		
	\end{notabene}
	
	$ABB'$ et $ACC'$ sont deux triangles rectangles isocèles en $A$. On a $AB=AB'=1$ et $AC=AC'=3$. $M$ est le milieu de $[B'C]$.
	On se place dans le repère orthonormé $\left( A; \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AB'} \right)$. 
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\coordinate (A) at (0,0);
			\coordinate (B1) at (1,0);
			\coordinate (B2) at (0,1);
			\coordinate (C1) at (3,0);
			\coordinate (C2) at (0,3);
			\coordinate (M) at (1.5,0.5);
			\draw (A) node[below] {$A$};
			\draw (B1) node[below] {$B$};
			\draw (B2) node[below left] {$B'$};
			\draw (C1) node[below] {$C$};
			\draw (C2) node[above left] {$C'$};
			\draw (M) node[above] {$M$};
			\draw (B2)--(C1)--(A)--(C2)--(B1);
			\draw[red][samples=100,domain=-0.2:1.7] plot({\x*(3/2)},{\x*(1/2)});
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Déterminez les coordonnées des points de la figure puis des vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{BC'}$.
			
			\item Déduisez-en que $(AM)$ et $(BC')$ sont perpendiculaires.
			
		\end{enumerate}
		
		\item La perpendicularité des droites $(AM)$ et $(BC')$ reste-t-elle vraie quelque soit la longueur commune à $AC$ et $AC'$?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item $A(0;0)$, $B(1,0)$, $B'(0;1)$, $C(3;0)$, $C'(0;3)$, $M\left( \frac{3}{2}; \frac{1}{2} \right)$.
			
			$\overrightarrow{AM} \begin{pmatrix} \frac{3}{2} \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{BC'} \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}$.
			
			\item \objectif{Démontrons que les droites $(AM) \parallel
				 (BC')$.}
			 			
			\begin{align*}
				\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BC'} &= \frac{3}{2} \times (-1) + \frac{1}{2} \times 3\\
				&= 0
			\end{align*}
			
			Autrement dit $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{BC'}$ sont orthogonaux et par conséquent
			
			\begin{conclusion}
				
				$(AM) \parallel (BC')$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
		\item {\color{OliveGreen}Quelques essais sur le brouillon permettent de voir que le résultat de la question 1 se généralise.}
		
		\medskip
		Soit $x \in \mathbb{R}$. Supposons maintenant que $C(x;0)$ et $C'(0;x)$.
		
		\medskip
		\objectif{Démontrons que $(AM) \perp(BC')$.}
		
		Avec les nouvelles coordonnées de $C$ et $C'$ nous obtenons; $M\left( \frac{x}{2} ; \frac{1}{2} \right)$, $\overrightarrow{AM} \begin{pmatrix} \frac{x}{2} \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{BC'} \begin{pmatrix} -1 \\ x \end{pmatrix}$.
			
		\begin{align*}
			\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BC'} &= \frac{x}{2} \times (-1) + \frac{1}{2} \times x\\
			&= 0
		\end{align*}
				
		Autrement dit $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{BC'}$ sont orthogonaux. Or ceci équivaut à dire que
		
		\begin{conclusion}
			
			$(AM) \parallel (BC')$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}
         
\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		36 et 37 page 233 belin 1ieme 2019 Géométrie démontrer orthogonalité.
		
	\end{notabene}
	
	$ABCD$ est un carré de côté égale à $4$, $M$ est un point de la diagonale $[AC]$. $P$ et $Q$ sont les projetés orthogonaux de $M$ respectivement sur $(CD)$ et $(DA)$.
	
	On veut démontrer que les droites $(PQ)$ e t$(BM)$ sont perpendiculaires. pour cela, on se place dans le repère d'origine $A$ et tel que $B$ et $D$ ont respectivement pour coordonnées $(4,0)$ et $(0;4)$: il s'agit du repère $\left( A; \frac{1}{4} \overrightarrow{AB}, \frac{1}{4} \overrightarrow{AD} \right)$.
	
	On note $x$ l'abscisse de $M$.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\def\xm{3};
			\coordinate (A) at (0,0);
			\coordinate (B) at (4,0);
			\coordinate (C) at (4,4);
			\coordinate (D) at (0,4);
			\coordinate (M) at ({\xm},{\xm});
			\coordinate (P) at ({\xm},4);
			\coordinate (Q) at (0,{\xm});
			\draw (A) node[below left]{$A$};
			\draw (B) node[below right]{$B$};
			\draw (C) node[above right]{$C$};
			\draw (D) node[above left]{$D$};
			\draw (M) node[below right]{$M$};
			\draw (P) node[above]{$P$};
			\draw (Q) node[left]{$Q$};
			\draw (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;
			\draw [dotted] (A)--(C);
			\draw [dotted] (Q)--(M)--(P);
			\draw[red][samples=100,domain=-0.1:1.6] plot({\x*(\xm-4)+4},{\x*(\xm-0)+0});
			\draw[red][samples=100,domain=-0.5:1.5] plot({\x*(\xm-0)+0},{\x*(4-\xm)+\xm});
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Déterminez, en fonction de $x$ les coordonnées de tous les points de la figure.
			
			\item Concluez.
			
		\end{enumerate}
		
		\item Nous voulons savoir si la propriété démontrée à la question précédente est vraie quelque sot le carré $ABCD$.
		
		Pour le savoir on note $a$ la longueur du côté du carré et on se place dans le repère $\left( A; \frac{1}{a} \overrightarrow{AB}, \frac{1}{a} \overrightarrow{AD} \right)$. On note $x$ l'abscisse du point $M$.
		
		\begin{enumerate}
			\item Justifiez que le repère $\left( A; \frac{1}{a} \overrightarrow{AB}, \frac{1}{a} \overrightarrow{AD} \right)$ est orthonormé.
			
			\item Déterminez en fonction de $x$ et de $a$ les coordonnées de tous les points de la figure.
			
			\item Concluez.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Clairement: $A(0;0)$, $B(4;0)$, $C(4;4)$, $D(0;4)$, $M(x;x)$, $P(x;4)$, $Q(0;x)$.
			
			\item \objectif{Démontrons que $(PQ) \perp (BM)$.}
			
			Nous déduisons de la question précédente: $\overrightarrow{PQ} \begin{pmatrix} -x \\ x-4 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{BM} \begin{pmatrix} x-4 \\ x-0 \end{pmatrix}$.
			
			Donc
			
			\begin{align*}
				\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{BM} &= -x \times (x-4) + (x-4) \times x\\
				&= 0
			\end{align*}
			
			Donc $\overrightarrow{PQ}$ et $\overrightarrow{BM}$ sont orthogonaux. Puisque $B \ne M$ et $P \ne Q$ cela équivaut à dire que
			
			\begin{conclusion}
				
				$(PQ) \perp (BM)$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item \objectif{Démontrons que $\left( A; \frac{1}{a} \overrightarrow{AB}, \frac{1}{a} \overrightarrow{AD} \right)$ est orthonormé.}
			
			{\color{OliveGreen} Pour démontrer qu'il est orthonormé il faut démontrer d'une part que $\frac{1}{a} \overrightarrow{AB}$ et $\frac{1}{a} \overrightarrow{AD}$ sont orthogonaux et d'autre part que $\frac{1}{a} \overrightarrow{AB}$ et $\frac{1}{a} \overrightarrow{AD}$ ont la même norme.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item 
				
				\begin{align*}
					\left( \frac{1}{a} \overrightarrow{AB} \right) \cdot \left( \frac{1}{a} \overrightarrow{AD} \right) &= \frac{1}{a^2} \times \overrightarrow{AB} \cdot \frac{1}{a} \overrightarrow{AD}\\
					&= \frac{1}{a^2} \times 0 \\
					&= 0
				\end{align*}
				
				Donc $\frac{1}{a} \overrightarrow{AB}$ et $\frac{1}{a} \overrightarrow{AD}$ sont orthogonaux.
				
				\item 
				
				\begin{align*}
					\left\| \frac{1}{a} \overrightarrow{AB} \right\| &= \frac{1}{a} \left\| \overrightarrow{AB} \right\| \\
					&= \frac{1}{a} \times AB\\
					&= \frac{1}{a} \times a\\
					&= 1
				\end{align*}
				
				De même $\left\| \frac{1}{a} \overrightarrow{AD} \right\| =1$.
				
				Donc $\frac{1}{a} \overrightarrow{AB}$ et $\frac{1}{a} \overrightarrow{AD}$ ont la même norme.
				
			\end{enumerate}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\left( A; \frac{1}{a} \overrightarrow{AB}, \frac{1}{a} \overrightarrow{AD} \right)$ est orthonormé.
				
			\end{conclusion}
			
			\item Clairement: $A(0;0)$, $B(a;0)$, $C(a;a)$, $D(0;a)$, $M(x;x)$, $P(x;a)$, $Q(0;x)$.
			
			\item \objectif{Démontrons que $(PQ) \perp (BM)$.}
			
			Nous déduisons de la question précédente: $\overrightarrow{PQ} \begin{pmatrix} -x \\ x-a \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{BM} \begin{pmatrix} x-a \\ x-0 \end{pmatrix}$.
			
			Donc
			
			\begin{align*}
				\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{BM} &= -x \times (x-a) + (x-a) \times x\\
				&= 0
			\end{align*}
			
			Donc $\overrightarrow{PQ}$ et $\overrightarrow{BM}$ sont orthogonaux. Puisque $B \ne M$ et $P \ne Q$ cela équivaut à dire que
			
			\begin{conclusion}
				
				$(PQ) \perp (BM)$ quelque soit la longueur $a$ du coté du carré.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		38 page 233 belin 1ieme 2019 Géométrie orthogonalité démontrer une équivalence.
		
	\end{notabene}
	
	$ABCD$ est un rectangle non trivial (non réduit à un point ou un segment) et $I$ est le milieu de $[CD]$. On pose $AB=a$ et $AD=b$.
	
	
	Montrez l'équivalence: $(AC) \perp (BI) \Leftrightarrow a=b \sqrt{2}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\objectif{Montrons: $(AC) \perp (BI) \Leftrightarrow a=b \sqrt{2}$.}
	
	\begin{align*}
		(AC) \perp (BI) &\Leftrightarrow \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BI}=0\\
		&\Leftrightarrow \left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} \right) \cdot \left( \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CI} \right) =0\\
		&\Leftrightarrow \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}+ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CI}+ \overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{BC}+ \overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CI}\\
		&=\Leftrightarrow 0 -AB \times CI + \overrightarrow{BC}^2+0\\
		&\Leftrightarrow -a \times \frac{a}{2} + \left\| \overrightarrow{BC} \right\|^2=0 \\
		&\Leftrightarrow -\frac{1}{2} a^2+BC^2=0\\
		&\Leftrightarrow -\frac{1}{2} a^2+b^2=0\\
		&\Leftrightarrow 2b^2-a^2=0\\
		&\Leftrightarrow (\sqrt{2}b-a) (\sqrt{2}b+a)=0\\
		&\Leftrightarrow \sqrt{2}b-a=0 \quad \text{car } a>0 \text{ et } b>0\\
		&\leftrightarrow \sqrt{2}b=a
	\end{align*}
	
	Nous avons démontré par équivalences successives que
	
	\begin{conclusion}
		
		$(AC) \perp (BI) \Leftrightarrow a=b \sqrt{2}$.
		
	\end{conclusion}
		
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	
	\begin{notabene}
		
		Belin 2019 74 page 237. Avec projeté orthogonal.
		
	\end{notabene}
	
	$ABC$ est un triangle rectangle en $A$, $I$ est le milieu de $[BC]$ et $H$ est le pied de la hauteur issue de $A$. $P$ est le projeté orthogonal de $H$ sur $(AB)$ et $Q$ celui de $H$ sur $(AC)$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Justifiez que $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2} \left( \overrightarrow{AB}+  \overrightarrow{AC} \right)$.
		
		\item Justifiez que $\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{AB} =\overrightarrow{HA} \cdot \overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{AC}$.
		
		\item Déduisez-en, que $(AI)$ et $(PQ)$ sont perpendiculaires.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item Nous avons vu en seconde l'\emph{\color{purple}identité du parallélogramme}: $ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$.
		
		\medskip
		Soit $D$ un point tel que $ABDC$ soit un parallélogramme (et donc un rectangle) alors, d'après l'identité du parallélogramme: \[ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}.\]
		
		Comme $ABDC$ est un parallélogramme ses diagonales se coupent en leur milieu donc $\overrightarrow{AD}=2 \overrightarrow{AI}$ et par conséquent l'identité du parallélogramme s'écrit: \[ 2 \overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}. \]
		
		Finalement
		
		\begin{conclusion}
			
			$\overrightarrow{AI}= \frac{1}{2} \left( \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC} \right)$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item En considérant, d'une part, les projetés orthogonaux de $A$ et $H$ sur $(AB)$: \[ \overrightarrow{HA} \cdot \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{AB} \quad {\color{RoyalBlue}(1)},\] et d'autre part, en considérant les projetés orthogonaux de $P$ et $Q$ sur $(AB)$: \[ \overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{AB}\quad {\color{RoyalBlue}(2)}. \]
		
		De ${\color{RoyalBlue}(1)}$ et ${\color{RoyalBlue}(2)}$ nous déduisons par transitivité:
		
		\begin{conclusion}
			
			$\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{AB} =\overrightarrow{HA} \cdot \overrightarrow{AB}$
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		De même nous établissons:
		
		\begin{conclusion}
			
			$\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{AC}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Démontrons que $\overrightarrow{AI} \cdot\overrightarrow{PQ}$.}
		
		\begin{align*}
			\overrightarrow{AI} \cdot\overrightarrow{PQ} &= \frac{1}{2} \left( \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC} \right) \cdot \overrightarrow{PQ}\\
			&= \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{PQ} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{PQ}\\
			&= \frac{1}{2} \overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{AC} \\
			&= \frac{1}{2} \overrightarrow{HA} \cdot \overrightarrow{AB} +\frac{1}{2} \overrightarrow{AH} \cdot\overrightarrow{AC} \\
			&= -\frac{1}{2} \overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{AB} +\frac{1}{2} \overrightarrow{AH} \cdot\overrightarrow{AC} \\
			&= \frac{1}{2} \overrightarrow{AH} \cdot \left( -\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC} \right)\\
			&= \frac{1}{2} \overrightarrow{AH} \cdot \left( \overrightarrow{BA}+ \overrightarrow{AC} \right)\\
			&= \frac{1}{2} \overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{BC} \\
			&= 0
		\end{align*}
		
		Ainsi $\overrightarrow{AI}$ et $\overrightarrow{PQ}$ sont orthogonaux ce qui équivaut à dire que 
		
		\begin{conclusion}
			
			$(AI) \perp (PQ)$.
			
		\end{conclusion}
					
	\end{enumerate}

\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	
	\begin{notabene}
		
		Liens avec repère galiléen et copernicien, avec les angles on voit se dessiner la matrice d'une rotation.
		
	\end{notabene}
	
	Soient $\left( O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j} \right)$ un repère orthonormé du plan.
	
	Nous notons $\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} \\ -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}$. Nous admettrons que $\left( \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v} \right)$ est une base.
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrez que $\left( \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \right)$ est une base orthonormée.
		
		\item Soit $\overrightarrow{r} = x \overrightarrow{i} + y \overrightarrow{j}$ un vecteur du plan avec $x$ et $y$ des réels.
		
		\begin{enumerate}
			\item Calculez $\overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{j} \cdot \overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{j} \cdot \overrightarrow{v}$.
			
			\item Calculez $\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{v}$.
			
			\item Déduisez-en les coordonnées de $\overrightarrow{r}$ dans la base $\left( \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \right)$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item Intuitivement et sans aucune justification donnez une mesure en radian de l'angle $\left( \overrightarrow{i}, \overrightarrow{u}\right)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	C'est par le procédé décrit dans cet exercice qu'en physique les équations et autres résultats obtenus dans un \emph{\color{purple}repère de Serret-Frenet} sont ensuite traduit dans un repère de référence.
	
	\begin{enumerate}
		\item \objectif{Montrons que $\left( \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \right)$ est une base orthonormée.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Montrons que les vecteurs sont orthogonaux.
			
			\begin{align*}
				\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} &= x_ux_v+y_uy_v\\
				&= \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \times \left( - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \\
				&= 0
			\end{align*}
			
			\item Montrons que les vecteurs de la base ont même norme.
			
			\begin{align*}
				\overrightarrow{u}^2 &= x_u^2+y_u^2\\
				&= \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2\\
				&= 1\\
				\intertext{et}
				\overrightarrow{v}^2 &= x_v^2+y_v^2\\
				&= \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 + \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2\\
				&= 1
			\end{align*}
			
			Nous avons bien $\|\overrightarrow{u} \| = \| \overrightarrow{v} \|$.
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\left( \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \right)$ est une base orthonormée.
			
		\end{conclusion}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item 
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item 
				
				\begin{align*}
					\overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{u} &= x_ix_u+y_iy_u\\
					&= 1 \times \frac{\sqrt{2}}{2}+ 0 \times \frac{\sqrt{2}}{2}\\
					&= \frac{\sqrt{2}}{2}
				\end{align*}
				
				\item 
				
				\begin{align*}
					\overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{v} &= x_ix_v+y_iy_v\\
					&= 1 \times \frac{\sqrt{2}}{2}+ 0 \times \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right)\\
					&= \frac{\sqrt{2}}{2}
				\end{align*}
				
				\item 
				
				\begin{align*}
					\overrightarrow{j} \cdot \overrightarrow{u} &= x_jx_u+y_jy_u\\
					&= 0 \times \frac{\sqrt{2}}{2}+ 1 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \\
					&= \frac{\sqrt{2}}{2}
				\end{align*}
				
				\item 
				
				\begin{align*}
					\overrightarrow{j} \cdot \overrightarrow{v} &= x_jx_v+y_jy_v\\
					&= 0 \times \frac{\sqrt{2}}{2}+ 1 \times \left(-\frac{\sqrt{2}}{2} \right) \\
					&= -\frac{\sqrt{2}}{2}
				\end{align*}
				
			\end{enumerate}
			
			\item 
			
			\begin{align*}
				\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{u} &= \left( x\overrightarrow{i} + y \overrightarrow{j} \right) \cdot \overrightarrow{u}\\
				&= x \overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{u} + y \overrightarrow{j} \cdot \overrightarrow{u}\\
				&= x \frac{\sqrt{2}}{2} + y\frac{\sqrt{2}}{2}
			\end{align*}
			
			\begin{align*}
				\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{v} &= \left( x\overrightarrow{i} + y \overrightarrow{j} \right) \cdot \overrightarrow{v}\\
				&= x \overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{v} + y \overrightarrow{j} \cdot \overrightarrow{v}\\
				&= x \frac{\sqrt{2}}{2} - y\frac{\sqrt{2}}{2}
			\end{align*}
			
			Rappelons que dans un repère orthonormal $\overrightarrow{r}\cdot \overrightarrow{u}$ est la longueur (algébrique) de la projection orthogonal de $\overrightarrow{r}$ sur l'axe partant $\overrightarrow{u}$ c'est donc l'abscisse de $\overrightarrow{r}$ dans la base $\left( \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \right)$. La remarque est valable pour les ordonnées.
			
			\begin{conclusion}
				
				Dans la base $\left( \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \right)$, $\overrightarrow{r} \begin{pmatrix} x \frac{\sqrt{2}}{2} + y\frac{\sqrt{2}}{2}\\ x \frac{\sqrt{2}}{2} - y\frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
		\item À vue de nez $\left( \overrightarrow{i}, \overrightarrow{u}\right)= \frac{\pi}{4} \mod(2\pi)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

	
\begin{exercice}
	
	\begin{notabene}
		
		Bordas indice 2019 74 page 232. Orthogonalité.
		
	\end{notabene}
	
	On considère $A$, $B$ et $C$ trois points du plan distincts deux à deux. Soit la proposition \og Si $ABC$ est un triangle rectangle en $A$, alors $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=0$ \fg{}.
	
	\begin{enumerate}
		\item Indiquez, en justifiant, si cette proposition est vraie ou fausse.
		
		\item Écrivez la réciproque de cette proposition. Est-elle vraie?
		
		\item Écrivez le contraposée de cette proposition. Est-elle vraie?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item Si $ABC$ est rectangle en $A$ alors $(AB) \perp (AC)$.
		
		Si $(AB) \perp (AC)$ et $A$, $B$ et $C$ distincts deux à deux alors $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont orthogonaux. Autrement dt $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =0$.
		
		\begin{conclusion}
			
			La proposition proposée est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
		\item La réciproque de la proposition est: \og Si $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=0$, alors $ABC$ est un triangle rectangle en $A$ \fg{}.
		
		Cette réciproque est bien sur vraie.
		
		\item La contraposée de la proposition est: \og Si $ABC$ n'est pas rectangle en $A$, alors $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\ne 0$ \fg{}.
		
		Une proposition et sa contraposée ont la même valeur logique. Or la proposition était vraie donc sa contraposée l'est aussi.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	
	\begin{notabene}
		
		Bordas indice 2019 75 page 232. Orthogonalité.
		
	\end{notabene}
	
	Soit le triangle $EFG$ tel que $E(0;1)$ , $F(8,-3)$ et $G(12;5)$.
	
	Le point $H(7;0)$ appartient-il à la hauteur issue de $F$?
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	Les points considérés étant distincts deux à deux: $H$ appartient à la hauteur issue de $F$ si et seulement si $\overrightarrow{HF} \cdot \overrightarrow{EG}=0$.
	
	\medskip
	\objectif{Calculons $\overrightarrow{HF} \cdot \overrightarrow{EG}$.}
	
	\begin{align*}
		\overrightarrow{HF} \cdot \overrightarrow{EG} &= x_{HF}x_{EG} + y_{HF} y_{EG} \\
		&= 1 \times 12 + (-3) \times 4\\
		&= 0
	\end{align*}
	
	Ainsi $\overrightarrow{HF}$ et $\overrightarrow{EG}$ sont orthogonaux et donc
	
	\begin{conclusion}
		
		$F$ appartient à la hauteur issue de $F$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	
	\begin{notabene}
		
		Bordas indice 2019 76 page 232. Orthogonalité.
		
	\end{notabene}
	
	Soient les points $A(-4;1)$ et $B(3;0)$.
	
	Déterminez les coordonnées du point $C$ tel que le triangle $ABC$ soit rectangle en $A$ et $C$ appartienne à l'axe des ordonnées.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\objectif{Déterminons les coordonnées de $C$ en procédant par analyse-synthèse.}
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item {\color{orange}Analyse.}
		
		Si $C$ appartient à l'axe des ordonnées alors $x_C=0$.
		
		\medskip
		Si $ABC$ est rectangle en $A$ alors $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$.
		
		Or
		
		\begin{align*}
			\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0 &\Leftrightarrow x_{AB}x_{AC} + y_{AB}y_{AC}=0 \\
			&\Leftrightarrow 7 \times 4+(-1) \times (y_C-1)=0 \\
			&\Leftrightarrow 28+1 = y_C \\
			&\Leftrightarrow 29=y_C
		\end{align*}
		
		donc $C(0;27)$.
		
		\item {\color{orange}Synthèse.}
		
		Il est aisé de vérifier que le point de coordonnées $(0;29)$ convient.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	
	\begin{notabene}
		
		Bordas indice 2019 78 page 232. Orthogonalité.
		
	\end{notabene}
	
	Sur le cercle trigonométrique de centre $O$, on place les points $A$ et $B$ associés aux réels $\frac{\pi}{4}$ et $\frac{\pi}{3}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculez les coordonnées des points $A$ et $B$.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Déterminez une mesure de $\widehat{AOB}$ en radians.
			
			\item En calculant de deux manières le produit scalaire  $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}$, déterminez la valeur exacte de $\cos \frac{\pi}{12}$. Déduisez-en $\sin \frac{\pi}{12}$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $A\left( \frac{\sqrt{2}}{2} ; \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$ et $B \left( \frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item $\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}=\frac{4\pi-3\pi}{12}=\frac{\pi}{12}$.
			
			\item D'une part
			
			\begin{align*}
				\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} &= x_{OA}x_{OB} + y_{OA} y_{OB}\\
				&= \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \\
				&= \frac{1}{4} \sqrt{2}(1+\sqrt{3}) \quad {\color{blue}(1)}
			\end{align*}
			
			et d'autre part
			
			\begin{align*}
				\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} &= \left\| \overrightarrow{OA} \right\| \times \left\| \overrightarrow{OB} \right\| \times \cos \left( \widehat{AOB} \right)\\
				&= 1 \times 1 \times \cos \left( \frac{\pi}{12} \right) \quad {\color{blue}(2)}
			\end{align*}
			
			donc, d'après $ \quad {\color{blue}(1)}$ et $ \quad {\color{blue}(2)}$:
			
			\begin{conclusion}
				
				$\cos \left( \frac{\pi}{12} \right) = \frac{1}{4} \sqrt{2} (1+\sqrt{3})$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	
	\begin{notabene}
		
		Bordas indice 2019 79 page 232. calculer une longueur. Projection orthogonal ave angle obtus ou aigu
		
	\end{notabene}
	
	Soient les points $A(-6;4)$, $B(-2;2)$ et $C(5;-7)$ dans un repère orthonormé.
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculez $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}$.
		
		\item Notons $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur $[BC]$. Montrez que $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BH} \cdot \overrightarrow{BC}$.
		
		\item Calculez $BC$. Déduisez-en $BH$ et $HC$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{align*}
			\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} &= x_{BA}x_{BC} +y_{BA} y_{BC}\\
			&= (-4) \times 7 + 2 \times -9\\
			&= -42
 		\end{align*}
 		
 		\item Il y a deux cas possibles soit $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BH} \cdot \overrightarrow{BC}$ si $\overrightarrow{BH}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont de même sens, soit $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{BH} \cdot \overrightarrow{BC}$ si $\overrightarrow{BH}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont de sens contraire.
 		
 		Pour savoir dans quel cas nous sommes, déterminons si l'angle $\left( \overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC} \right)$ est aigu ou obtus.
 		
 		\begin{align*}
	 		\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}=-42 &\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{BA} \right\| \times \left\| \overrightarrow{BC} \right\| \times \cos \left(\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC} \right) = -42
 		\end{align*}
 		
 		Donc $\cos \left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC} \right)> 0$ et donc $\widehat{ABC}$ est un angle obtus et par conséquent $\overrightarrow{BH}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont de sens contraire.
 		
 		\begin{conclusion}
 			
 			$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{BH} \cdot \overrightarrow{BC}$
 			
 		\end{conclusion}
		
		\item 
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	
	\begin{notabene}
		
		Belin 2019 90 page 239. Calcul angle
		
	\end{notabene}
	
	Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du plan tels que  $AB=5$, $AC= \sqrt{10}$ et $BC= \sqrt{50}$.
	
	Calculez une valeur approchée de l'angle $\widehat{ABC}$ à $0,1$ degré près.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{align*}
		\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} &= \left\| \overrightarrow{BA} \right\| \times \left\| \overrightarrow{BC} \right\| \times \cos \left(\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC} \right) \\
		\frac{1}{2} \left( \left\| \overrightarrow{BA} \right\|^2 + \left\| \overrightarrow{BC} \right\|^2 - \left\| \overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC} \right\|^2 \right) &= 5 \times \sqrt{50} \times \cos \left(\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC} \right) \\
		\frac{1}{2} \left( 5^2+\sqrt{50}^2- \left\| \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CB} \right\|^2 \right) &= 5^3 \times \sqrt{2} \times \cos \left(\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC} \right) \\
		\frac{1}{2 \times5^2 \sqrt{2}} \left( 75- \left\| \overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA} \right\|^2 \right) &= \cos \left(\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC} \right) \\
		\frac{\sqrt{2}}{2^25^3} \left( 75- \left\| \overrightarrow{CA} \right\|^2 \right) &= \cos \left(\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC} \right) \\
		\frac{\sqrt{2}}{2^25^3} \left( 75- \sqrt{10}^2 \right) &= \cos \left(\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC} \right) \\
		\frac{\sqrt{2}}{2^25^3} \left( 75- \sqrt{10}^2 \right) &= \cos \left(\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC} \right) \\
	\end{align*}
	
	Donc: 
	
	\begin{conclusion}
		
		$\cos \left(\widehat{ABC} \right) \approx 79,4^{\circ}$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	
	\begin{notabene}
		
		Belin 2019 91 page 237. Calcul angle
		
	\end{notabene}
	
	$ABCD$ est un rectangle tel que $AB=6$ et $AD=10$. $M$ est le milieu de $[AD]$ et $N$ est le milieu de $[AB]$. $I$ est l'intersection des droites $(BM)$ et $(CN)$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculez $\overrightarrow{BM} \cdot \overrightarrow{NC}$.
		
		\item Déduisez-en, à $0,1$ degré près, l'angle $\widehat{MIC}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item Notons $\overrightarrow{i}$ le vecteur colinéaire à $\overrightarrow{AB}$, de même sens et de norme $1$ et $\overrightarrow{j}$ le vecteur colinéaire à $\overrightarrow{AD}$, de même sens et de norme $1$.
		
		Dans le repère orthonormé $\left( A; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j} \right)$: $M(0;5)$, $B(6;0)$, $\overrightarrow{BM} \begin{pmatrix} -6 \\ 5 \end{pmatrix}$, $N(3;0)$, $C(6;10)$ et $\overrightarrow{NC} \begin{pmatrix} 3 \\ 10 \end{pmatrix}$.
		
		Donc
		
		\begin{align*}
			\overrightarrow{BM} \cdot \overrightarrow{NC} &= -6 \times 3 + 5 \times 10
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\overrightarrow{BM} \cdot \overrightarrow{NC} = 32$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item $\widehat{MIC}= \left( \overrightarrow{IM},\overrightarrow{IC}\right) = \left( \overrightarrow{BM},\overrightarrow{NC}\right)$.
		
		Or
		
		\begin{align*}
			\overrightarrow{BM} \cdot \overrightarrow{NC} &= BM \times NC \times \cos \left( \overrightarrow{BM} , \overrightarrow{NC} \right)\\
			\intertext{D'où:}
			32 &= \sqrt{(-6)^2+5^2} \times \sqrt{3^2+10^2} \times \cos \left( \overrightarrow{BM},\overrightarrow{NC}\right)\\
			\frac{32}{\sqrt{61} \sqrt{109}} &= \cos \left( \overrightarrow{BM},\overrightarrow{NC}\right)\\
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\widehat{MIC} \approx 66,9^{\circ}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}
\begin{exercice}
	
	\begin{notabene}
		
		Belin 2019 92 page 237. Calcul angle
		
	\end{notabene}
	
	Soient $OAA'$ et $OBB'$ deux triangles rectangles isocèles en $O$. On se propose de démontrer que les droites $(AB)$ et $(A'B')$ sont perpendiculaires.
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrez que $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{A'B'} = - \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB'}-\overrightarrow{OA'} \cdot \overrightarrow{OB}$.
		
		\item Justifiez que $\widehat{AOB'}+ \widehat{A'OB}= \pi$.
		
		\item Déduisez-en que $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{AB'}=-\overrightarrow{OA'} \cdot \overrightarrow{OB}$.
		
		\item Concluez.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	
	\begin{notabene}
		
		Belin 2019 108 page 240. Calcul longueur de la hauteur d'un triangle.
		
	\end{notabene}
	
	On considère trois points du plan $A(1;3)$, $B(-2;1)$ et $C(1;10)$. On note $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$. On veut calculer la hauteur $CH$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Justifiez que le vecteur $\overrightarrow{n}(-2;3)$ est orthogonale au vecteur $\overrightarrow{AB}$.
		
		\item Soit $D$ le point tel que $\overrightarrow{HD} =\overrightarrow{n}$.
		
		\begin{enumerate}
			\item Calculez $\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AC}$.
			
			\item Justifiez que $\overrightarrow{HD} \cdot \overrightarrow{HC}= \overrightarrow{HD} \cdot \overrightarrow{AC}$.
			
			\item Déduisez-en la longueur $HC$.
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{align*}
			\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AB} &= -2 \times (-3) + 3 \times (-2)\\
			&= 0
		\end{align*}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item 
			
			\begin{align*}
				\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AC} &= -2 \times 0 + 3 \times 7
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AC}=21$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item 
			
			\begin{align*}
				\overrightarrow{HD} \cdot \overrightarrow{HC} &= \overrightarrow{n} \cdot (\overrightarrow{HA} + \overrightarrow{AC})\\
				&= \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{HA} + \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AC}\\
				&= \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AC}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\overrightarrow{HD} \cdot \overrightarrow{HC} = \overrightarrow{HD} \cdot \overrightarrow{AC}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item 
			D'une part: $\overrightarrow{HD}$ et $\overrightarrow{HC}$ sont colinéaires donc: $\left| \overrightarrow{HD} \cdot \overrightarrow{HC} \right| = HD \times HC$.
			
			D'autre part: $\overrightarrow{HD} \cdot \overrightarrow{AC}= 21$.
			
			Donc:
			
			\begin{align*}
				HC &= \frac{21}{HD}\\
				&= \frac{21}{\sqrt{13}}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$HC= \frac{21}{13} \sqrt{13}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme nathan transmath 1987 ex 11 page 299
		
	\end{notabene}
	
	En utilisant le produit scalaire remarquable: \[ \overrightarrow{u}^2- \overrightarrow{v}^2 = \left( \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v} \right) \cdot \left( \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} \right). \] montrez qu'un parallélogramme est un losange si et seulement si ses diagonales sont perpendiculaires.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\objectif{Démontrons l'équivalence par conditions nécessaire et suffisante.}
		
	Considérons $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ les vecteurs associés à deux côtés consécutifs du parallélogramme.
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item {\color{orange}Condition nécessaire.}
		
		Si un parallélogramme est un losange alors $\left\| \overrightarrow{u} \right\|= \left\| \overrightarrow{v} \right\|$. Donc $\overrightarrow{u}^2=\overrightarrow{v}^2$. Et d'après l'égalité rappelée dans l'énoncé: $\left( \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v} \right) \cdot \left( \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v} \right)=0$. Autrement dit les diagonales du parallélogramme sont orthogonales.
		
		\item {\color{orange}Condition suffisante.}
		
		Supposons maintenant que les diagonales sont orthogonales alors $\left( \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v} \right) \cdot \left( \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v} \right)=0$ et par conséquent $\overrightarrow{u}^2=\overrightarrow{v}^2$. Ainsi le parallélogramme est une losange.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\subsection{Applications.}

\subsubsection{Travail d'une force. $\color{blue}\bigstar \bigstar$}

\href{https://bazingras.pagesperso-orange.fr/1DD1/ProdScalIntro/co/grain_1_force_travail_moteur.html}{Une belle illustration du travail d'une force.}

Le travail peut être compris comme la quantité d'énergie dépensée pour participer au mouvement.

Pour une force $\overrightarrow{F}$ s'exerçant sur un solide effectuant un mouvement de translation $\overrightarrow{AB}$ le travail est $W_{A\to B}(\overrightarrow{F})= \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{AB}$. Le travail s'exprime en joules, l'intensité de la force est en newton et la longueur $AB$ en mètres.

\begin{center}
	\includegraphics[scale=0.3]{1ieme_geometrie_02_produit_scalaire_04_travail.png}
\end{center}

\begin{exercice}
	
	\begin{notabene}
		hachette collection eurin gie physique chime 1988 à partir de la page 24
	\end{notabene}
	
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.3]{1ieme_geometrie_02_produit_scalaire_05_travail.png}
		\includegraphics[scale=0.3]{1ieme_geometrie_02_produit_scalaire_06_travail.png}
	\end{center}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	
	\begin{notabene}
		hachette collection eurin gie physique chime 1988 à partir de la page 24
	\end{notabene}
	
	Rappelons que le poids, $\overrightarrow{P}$, s'appliquant à une masse $m$ est $\overrightarrow{P}= m \times g \times \overrightarrow{n}$ où $\overrightarrow{n}$ est vecteur orthogonal au sol terrestre.
	
	Rappelons également le principe d'inertie: la somme des forces s'exerçant sur un solide mouvement rectiligne à vitesse constante est nulle.
	
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.3]{1ieme_geometrie_02_produit_scalaire_07_travail.png}
		\includegraphics[scale=0.2]{1ieme_geometrie_02_produit_scalaire_08_travail.png}
	\end{center}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	
	\begin{notabene}
		hachette collection eurin gie physique chime 1988 à partir de la page 24
	\end{notabene}
	
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.3]{1ieme_geometrie_02_produit_scalaire_09_travail.png}
		\includegraphics[scale=0.2]{1ieme_geometrie_02_produit_scalaire_10_travail.png}
	\end{center}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	
	\begin{notabene}
		hachette collection eurin gie physique chime 1988 à partir de la page 24
	\end{notabene}
	
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.3]{1ieme_geometrie_02_produit_scalaire_11_travail.png}
		\includegraphics[scale=0.3]{1ieme_geometrie_02_produit_scalaire_12_travail.png}
	\end{center}
	
\end{exercice}

Pour une force $\overrightarrow{F}$ s'exerçant sur un solide effectuant un mouvement avec la vitesse $\overrightarrow{v}$, la puissance est $\mathscr{P}= \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{v}$. La puissance s'exprime en joules par seconde, l'intensité de la force est en newton et la vitesse $v$ en mètres par seconde.

\begin{exercice}
	
	\begin{notabene}
		hachette collection eurin gie physique chime 1988 à partir de la page 24
	\end{notabene}
	
	Après une certaine durée de chute, un parachutiste de masse totale $80\ \mathrm{kg}$ est animé d'un mouvement de translation rectiligne verticale uniforme de vitesse $v=2,7\ \mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-1}$. Calculez la puissance des forces réparties exercées par l'air sur le parachutiste et son parachute. On prendra $g=10\ \mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-2}$.
	
\end{exercice}

\subsubsection{Ligne de niveau.}


\begin{exercice}
	
	\begin{notabene}
		
		Belin 2019 113 page 241.
		
	\end{notabene}
	
	Soit $I$ le milieu d'un segment $[AB]$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Justifiez que $MA^2=\overrightarrow{MA}^2$ et $MB^2=\overrightarrow{MB}^2$.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			
			\item Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs. Justifiez que: \[ \left\| \overrightarrow{u}\right\| - \left\| \overrightarrow{v} \right\| = \left( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right) \cdot \left( \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v} \right).\]
			
			\item Déduisez-en que $MA^2-MB^2=2 \overrightarrow{MI}\cdot \overrightarrow{BA}$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Montrez que l'égalité $MA=MB$ équivaut à $\overrightarrow{IM}\cdot \overrightarrow{AB}=0$.
			
			\item Quelle propriété du collège retrouve-t-on?
			
		\end{enumerate}
		
 	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	
	\begin{notabene}
		
		Belin 2019 73 page 237.
		
	\end{notabene}
	
	Soient $A$ et $B$ deux points du plan tels que $AB=2$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminez l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AB} \leqslant 0$ en représentant cette région du plan.
		
		\item Déterminez l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AB} \geqslant 4$ en représentant cette région du plan.\\
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	
	\begin{notabene}
		
		Belin 2019 117 page 241.
		
	\end{notabene}
	
	Soient $A$ et $B$ deux points du plan tels que $AB=2$ et $I$ le milieu de $[AB]$. On veut déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $MA^2-MB^2=12$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Justifiez que \[ MA^2-MB^2 = \overrightarrow{MA}^2- \overrightarrow{MB}^2 = \left( \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} \right) \cdot \left( \overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB} \right). \]
		
		\item Déduisez-en que $MA^2-MB^2=6$ équivaut à $\overrightarrow{IM} \cdot \overrightarrow{AB}=6$.
		
		\item Déterminez un point $H$ de la droite $(AB)$ tel que $\overrightarrow{IH} \cdot \overrightarrow{AB} = 6$.
		
		\item Déduisez-en l'ensemble des points $M$ du plan tels que $MA^2-MB^2=6$ et le représenter.
		
		\item Déterminez de même l'ensemble des points $M$ tels que $MA^2-MB^2=4$. En remarquant que $AB^2=4$ pouvait-on prévoir la réponse?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\subsubsection{Pythagore généralisé (Al-Kashi).}

\subsection{Vers l'infini et au-delà.}

\subsubsection{Le produit vectoriel une introduction au produit scalaire.}

\subsubsection{Loi des sinus. $\color{blue}\bigstar$}

\subsubsection{Droite d'Euler d'un triangle. $\color{blue}\bigstar$}

\subsubsection{Médianes du triangle et centre de gravité. $\color{blue}\bigstar$}

\subsubsection{Inégalité triangulaire.}

\begin{exercice}
	
	\begin{notabene}
		
		Belin 2019 105 page 240.
		
	\end{notabene}
	
	Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs et $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ des représentants respectifs des vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Justifiez que, quelque soit le réel $\alpha$, on a $\left| \cos \alpha \right|\leqslant 1$.
		
		\item En déduire que $\left| \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} \right| \leqslant \left\| \overrightarrow{u} \right\| \times \left\| \overrightarrow{v} \right\| \quad {\color{WildStrawberry}(1)}$.
		
		\item Redémontrez que $\left\| \overrightarrow{u} +\overrightarrow{v} \right\| = \left\| \overrightarrow{u} \right\|^2 + \left\| \overrightarrow{v} \right\|^2 + 2 \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$.
		
		\item En utilisant les résultats des questions précédente, montrez que \[ \left\| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right\| \leqslant \left\| \overrightarrow{u} \right\| + \left\| \overrightarrow{v} \right\|  \quad {\color{WildStrawberry}(1)}. \]
		
	\end{enumerate}
	
	Cet exercice présente deux inégalité absolument fondamentales en mathématiques bien que vous en fassiez assez peu usage au lycée:
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item  {\color{WildStrawberry}(1)} est appelée l'\emph{\color{purple}inégalité de Cauchy-Schwartz} elle se généralise à tous les espaces vectoriels (y compris des ensembles de fonctions).
		
		\item  {\color{WildStrawberry}(2)} est appelée \emph{\color{purple}inégalité triangulaire} est correspond au cas vectoriel de l'inégalité que cous connaissez déjà dans le cas affine:
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
				\coordinate (A) at (0,0);
				\coordinate (B) at (6,0);
				\coordinate (C) at (2,4);
				\draw [>=latex,->] (A)--(C) node[above left,midway] {$\overrightarrow{u}$};
				\draw [>=latex,->] (C)--(B) node[above right,midway] {$\overrightarrow{v}$};
				\draw [>=latex,->] (A)--(B) node[below,midway] {$\overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v}$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\subsubsection{Quadrangle orthocentrique.}

\begin{exercice}
	
	\begin{notabene}
		
		Belin 2019 112 page 241.
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
\def\xY{-0.5};
\def\yY{-0.5};
\def\xZ{8.5};
\def\yZ{7};
\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
-- (2,0) 
--(-0.5,0)
-- cycle;
\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
%Écarts entre entre racine et premier niveau
\def\xA{2};
%Nombre de nœuds du premiers niveau
\def\noA{2};
%Nombre de nœuds du deuxième niveau
\def\noB{6};
%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
\def\noBe{3};
%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
\def\xB{2+\xA};
\def\yB{1};
%Racine
\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
%Pour ne pas écrire les mots above et below
\def\posA{above};
\def\posB{below};
%Position des nœuds du premier niveau
%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
	nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
	nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
}{
	\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
	\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
	\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
};
%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
	nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
	nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
	nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
	nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
	nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
	nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
}{
	\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
	\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
	\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
%Écarts entre entre racine et premier niveau
\def\xA{2};
%Nombre de nœuds du premiers niveau
\def\noA{3};
%Nombre de nœuds du deuxième niveau
\def\noB{6};
%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
\def\noBe{2};
%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
\def\xB{2+\xA};
\def\yB{1};
%Nombre de nœuds du troisième niveau
\def\noC{12};
%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
\def\noCe{2};
%Écarts entre nœuds du troisième niveau
\def\xC{2+\xB};
\def\yC{1};
%Racine
\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
%Pour ne pas écrire les mots above et below
\def\posA{above};
\def\posB{below};
%Position des nœuds du premier niveau
%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
	nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
	nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
	nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
}{
	\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
	\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
	\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
};
%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
	nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
	nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
	nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
	nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
	nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
	nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
}{
	\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
	\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
	\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
};

%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
	nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
	nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
	nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
	nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
	nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
	nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
	nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
	nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
	nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
	nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
	nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
	nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
}{
	\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
	\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
	\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
\coordinate (A1) at (4,3);
\coordinate (A2) at (4,1);
\coordinate (A3) at (4,-1);
\coordinate (A4) at (4,-3);
\coordinate (B1) at (2,2);
\coordinate (B2) at (2,-2);
\coordinate (C1) at (0,0);
\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
\draw node (A12) at (A2) {$2$};
\draw node (A13) at (A3) {$3$};
\draw node (A14) at (A4) {$4$};
\draw node (B11) at (B1) {$1$};
\draw node (B12) at (B2) {$2$};
\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}

\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
%Création des nœuds
\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
%Branches entre les nœuds
\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
\end{tikzpicture}

\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,d,+,}%
\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
\begin{minipage}{5cm}
	\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
		emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
	\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
	def fonction(variable1):
	variable2=3
	\end{lstlisting}
\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
\hline
\begin{minipage}{8cm}
	\LinesNumbered
	\SetKw{entrer}{entrer}
	\SetKw{prend}{prend la valeur}
	\SetKw{afficher}{afficher}
	\begin{algorithm}[H]
		\SetAlgoLined
		\DontPrintSemicolon
		\entrer pi
		0\;
		\Tq{1}{
			2\;
			\eSi{3}{
				4\;
				5\;
			}{
				6\;
			}
		}
		
		\Pour{7}{
			\Si{8}{
				9\;
			}
		}
	\end{algorithm}
\end{minipage}
\\
\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
\\
\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
\\
\hline
Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
\\
\hline
Série $P$ &&&&&& 
\\
\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
\hline
\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
\\
\cline{2-9}
& Sécurité &&&&&&&&&
\\
\hline
&  &&&&&&&&&
\\
\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

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\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (AA) at (-9,6.5);
\node (AA) at (AA) {};
\coordinate (BB) at (9,6.5);
\node (BB) at (BB) {};
\coordinate (CC) at (9,-6.5);
\node (CC) at (CC) {};
\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
\node (DD) at (DD) {};
\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
\end{tikzpicture}

\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
\item Épreuve de Bernoulli.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
	\item Expérience: lancer un dé.
	\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
	\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
\end{enumerate}

\item Schéma de Bernoulli.

L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.

\item Loi binomiale.

$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.

\end{enumerate}