%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
%\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{RoyalBlue}}{}

\newenvironment{remarques}{\color{Black!80}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. #1} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}
	
}{~\newline}

\newenvironment{exerciceapplication}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Application.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

\newenvironment{concours}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Concours.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

\newenvironment{recherche}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill { \color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Recherche.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration #1} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 
	
}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/}{Rappels sur les droites.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{details}
\exclure{bareme}
\exclure{notabene}
%\exclure{exercicecorrection}\exclure{correction}
%\exclure{preuve}
%\exclure{corollaire}\exclure{lemme}\exclure{proposition}\exclure{theoreme}\exclure{culturegenerale}
%\exclure{remarques}\exclure{exemples}
%\exclure{definition}\exclure{lecon}
%\exclure{sujet}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

	\section{Rappels sur les droites.}

\subsection{La définition moderne d'une droite.}

\subsubsection{Définition.}

\begin{definition}
	
	Soient $A$ et $B$ deux points distincts du plan euclidien.
	
	\medskip
	Nous noterons \emph{\color{purple}$(AB)$}, et nous appellerons \emph{\color{purple}droite passant par $A$ et $B$}, l'ensemble de tous les points $M$ du plan tels que $\overrightarrow{AM}$ soit colinéaire à $\overrightarrow{AB}$.
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\medskip
	Remarques.
	\begin{enumerate}
		
		\item Le vecteur $\overrightarrow{AB}$, ou n'importe quel vecteur qui lui soit colinéaire et \underline{non nul} est appelé \emph{\color{purple}un vecteur directeur de la droite}.
				
		\item {\color{orange}Pour définir une droite il faut et il suffit que nous en connaissions un point $A$ et un vecteur directeur $\overrightarrow{u}$}. Nous avions besoin de deux points et nous avons à nouveau besoin de deux informations.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsubsection{Tracer une droite connaissant un point et un vecteur directeur.}

\begin{exercice}{}
	
	Après avoir choisi un repère du plan dessinez la droite passant par $H(-1,3)$ et dont un vecteur directeur est $\vec u \begin{pmatrix} 2 \\-1 \end{pmatrix}$.
	
\end{exercice}

\subsubsection{Lire graphiquement un vecteur directeur.}

\begin{exercice}{}
	
	Sans justification donnez les coordonnées de $3$ vecteurs directeurs de la droite $\mathscr{D}$ représentée ci-dessous dans un repère $\left( O , \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j} \right)$.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
		\def\xY{-5};
		\def\yY{-4};
		\def\xZ{5};
		\def\yZ{3};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		\draw[step=1cm,line width=0.02cm,Blue!50!white] (Y) grid (Z);
		\draw[ ->,thick,blue] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,thick,blue] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
		\draw[red] (0,0)node[below left]{\small $O$};
		\draw[red,>=latex,->, thick] (0,0)--(1,0) node[midway,below] {$\overrightarrow{i}$};
		\draw[red,>=latex,->, thick] (0,0)--(0,1) node[midway,left] {$\overrightarrow{j}$};
		\draw[Green, thick][samples=100,domain=-5:5] plot(\x,{-0.5*\x-1});
		\draw[Green] (4,-2) node[fill=white] {$\mathscr{D}$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}Il suffit de trouver les coordonnées d'un vecteur \og porté \fg{} par la droite. Pour avoir davantage de vecteurs directeurs on peut lire d'autres coordonnées ou prendre les coordonnées du précédent vecteur multiplié par n'importe quel nombre.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
			\def\xY{-5};
			\def\yY{-4};
			\def\xZ{5};
			\def\yZ{3};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[red] (0,0)node[below left,fill=white]{\small $O$};
			\draw[red,>=latex,->,very thick] (0,0)--(1,0) node[midway,below] {$\overrightarrow{i}$};
			\draw[red,>=latex,->,very thick] (0,0)--(0,1) node[midway,left] {$\overrightarrow{j}$};
			\draw[violet, thick][samples=100,domain=-5:5] plot(\x,{-0.5*\x-1});
			\draw[violet] (4,-2) node[fill=white] {$\mathscr{D}$};
			\draw[>=latex,->,blue,dashed] (-4,1)--(2,1) node[midway,above]{\tiny $6\overrightarrow{i}$};
			\draw[>=latex,->,blue,dashed] (2,1)--(2,-2) node[midway,right]{\tiny $-3\overrightarrow{j}$};
			\draw[>=latex,->,blue,thick] (-4,1)--(2,-2) node[midway,below left]{\tiny $\overrightarrow{u}$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
	}
	
	\begin{conclusion}
		
		Les vecteurs de coordonnées $\begin{pmatrix} 6\\ -3 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 2\\ -1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} -6\\ 3 \end{pmatrix}$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Indiquez si les vecteurs $\vec u \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix}$ et $\vec v \begin{pmatrix} -14 \\ 6 \end{pmatrix}$ sont vecteurs directeurs de $(AB)$ où $A(5,2)$ et $B(-2,5)$ sont des points du plan rapporté à un repère.
	
\end{exercice}

\subsubsection{Parallélisme et vecteurs directeurs.}

\begin{definition}
	
	Nous dirons que deux droites sont \emph{\color{purple}parallèles} si et seulement si elles ont des vecteurs directeurs colinéaires.
	
\end{definition}

\begin{exerciceapplication}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 63 page 202. déclic 2de 2019
		
	\end{notabene}
	
	On considère une droite $d$ passant par le point $A(3;1)$ et de vecteur directeur $\vec u \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}$.
	
	Soient $B(7;-5)$, $C(-4;6)$ et $D(3;-4)$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Tracez la droite $d$ puis placez $B$, $C$ et $D$.
		
		\item Le point $B$ est-il sur $d$?
		
		\item Les droites $d$ et $(CD)$ sont-elles parallèles?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exerciceapplication}

\begin{correction}
	\begin{exercicecorrection}
		
		\begin{enumerate}
			\item 
			
			\item \objectif{Déterminons si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{u}$ sont colinéaires.}
			
			\begin{align*}
			\det \left( \overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{u} \right) &= \begin{vmatrix} 7-3 & -2 \\ -5-1 & 3 \end{vmatrix} \\
			&= 4 \times 3 -(-6) \times (-2)\\
			&= 0
			\end{align*}
			
			Ainsi $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{u}$ sont colinéaires donc $B$ appartient à la droite passant ar $A$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$B$ appartient à $d$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item \objectif{Déterminons si $\overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{u}$ sont colinéaires.}
			
			\begin{align*}
			\det \left( \overrightarrow{CD} ; \overrightarrow{u} \right) &= \begin{vmatrix} 3-(-4) &  -2\\ -4-6 & 3 \end{vmatrix} \\
			&= 7 \times 3 -(-10) \times (-2)\\
			&= 1
			\end{align*}
			
			Ainsi $\overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{u}$ ne sont pas colinéaires donc:
			
			\begin{conclusion}
				
				$d$ et $(CD)$ ne sont pas parallèles.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{exercicecorrection}
\end{correction}

\subsection{Les équations cartésiennes de droites.}

\subsubsection{Équation cartésienne.}

\begin{exemples}
	
	Exemple.
	
	\begin{notabene}
		
		Comment exprimer le fait qu'une point $M$ appartienne à une droite en utilisant ses coordonnées?
		
		La géométrie même vectorielle est sympathique mais il est difficile de la faire manipuler par un ordinateur. Qui dit ordinateur dit numérique, et qui dit numérique dit coordonnées cartésiennes.
		
		Puis faire apparaître un exemple de relation liant abscisse et ordonnée d'un point d'une droite dans un repère cartésien.
		
	\end{notabene}
	
\end{exemples}

\begin{proposition}{}
	
	Soit $\left( O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j} \right)$ un repère du plan euclidien.
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Pour toute droite $\mathscr{D}$ il existe des réels $a$, $b$ et $c$ (avec $a$ et $b$ non simultanément nuls) tels que $\mathscr{D}$ est formée de tous les points $M(x,y)$ pour lesquels $x$ et $y$ vérifient l'équation  $ax+by+c=0$.
		
		\item Réciproquement étant donné des réels $a$, $b$ et $c$ (avec $a$ et $b$ non simultanément nuls), l'ensemble des points $M(x;y)$ tels que $x$ et $y$ vérifient l'équation $ax+by+c=0$ est une droite.
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		
		\item \marginpar{\color{red}$\heartsuit$}Soient $A(x_A,y_A)$ et $B(x_B,y_B)$ deux points distincts de $\mathscr{D}$.
		
		\begin{align*}
		M \in \mathscr{D} &\Leftrightarrow \det \left( \overrightarrow{AM}; \overrightarrow{AB} \right)=0\\
		&\Leftrightarrow \begin{vmatrix} x-x_A & x_B-x_A \\ y-y_A & y_B-y_A \end{vmatrix}=0\\
		&\Leftrightarrow (x-x_A)(y_B-y_A) -(y-y_A)(x_B-x_A) =0\\
		&\Leftrightarrow (y_B-y_A)x- (x_B-x_A)y -x_A(y_B-y_A)+y_A(x_B-x_A)=0
		\end{align*}
		
		Donc en posant $a=y_B-y_A$, $b=-(x_B-x_A)$ et $c=-x_A(y_B-y_A)+y_A(x_B-x_A)$ nous obtenons bien que $x$ et $y$ sont solution de l'équation $ax+by+c=0$.
		
		\item {\color{orange}Cette démonstration est plus technique et astucieuse. Nous n'en présenterons ici que la trame.}
		
		Pour s'assurer que l'équation est celle d'une droite nous devons trouver une droite qui lui corresponde, \emph{i.e.} un point et un vecteur directeur de cette droite. 
		
		Pour le point nous choisirons $\left( -\frac{c}{a};0 \right)$ si $a\ne 0$ et $\left( 0;-\frac{c}{b} \right)$ sinon.
		
		Pour le vecteur directeur nous choisissons $\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} -b\\a \end{pmatrix}$ {\color{orange}(ce choix astucieux s'inspire de la démonstration de (i))}.
		
		Il ne reste plus, en faisant comme au (i), qu'à vérifier que l'équation cartésienne obtenue pour ce point et ce vecteur directeur est bien: $ax+by+c=0$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	Remarques.
	\begin{enumerate}
		
		\item Une équation cartésienne n'est pas unique: $x+3y+1=0$ et $2x+6y+2=0$ sont deux équations cartésiennes d'une même droite, la seconde étant obtenue en multipliant la première par $2$.
		
		\item Dans la suite de la leçon nous distinguerons trois types de droites correspondant à deux types d'équations différentes.
		
		\item Le choix du vecteur directeur au (ii) de la démonstration est à retenir: {\color{orange}si une droite à une équation cartésienne de la forme $ax+by+c=0$ alors les vecteur de coordonnées {\color{purple}$\begin{pmatrix} -b\\a \end{pmatrix}$} en est un vecteur directeur.}
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{}
	
	Soient $\left( O, \overrightarrow{i},\overrightarrow{j} \right)$ un repère cartésien, $A(3;-1)$ un point et $\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} -4\\-102 \end{pmatrix}$.
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Déterminez une équation cartésienne de la droite $\mathscr{D}$ passant pas $A$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$.
		
		\item Démontrer que $B\left(0;-\frac{155}{2}\right) \in \mathscr{D}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item {\color{orange}La méthode de la détermination d'une équation cartésienne à partir d'un point et d'un vecteur directeur est à connaître.}
		
		\medskip
		Notons $\mathscr{D}$ la droite passant pas $A$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$.
		
		\medskip
		\objectif{Déterminons une équation cartésienne de $\mathscr{D}$.}
		
		Soit $M(x;y) \in \mathscr{D}$.
		
		\medskip
		$M \in \mathscr{D}$ si et seulement si $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{u}$ sont colinéaires, ce qui équivaut encore successivement à
		
		\begin{align*}
		\det \left( \overrightarrow{AM}; \overrightarrow{u} \right) &= 0\\
		\begin{vmatrix} x_{AM} & x_{u}\\ y_{AM} & y_{u} \end{vmatrix} &= 0\\
		\begin{vmatrix} x-3 & -4 \\ y-(-1) & -102 \end{vmatrix} &= 0\\
		(x-3) \times (-102) -(y+1) \times (-4) &= 0\\
		-102x+4y+310 &=0 
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{D}:\ -102x+4y+310=0$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item {\color{orange}La méthode pour vérifier qu'un point appartient à une droite dont on connaît une équation est à savoir.}
		
		\medskip
		\objectif{Vérifions que $B \in \mathscr{D}$.}
		
		$B \in \mathscr{D}$ si et seulement si ses coordonnées vérifient une équation cartésienne de $\mathscr{D}$.
		
		Or
		
		\begin{align*}
		-102x_B+4y_B+310 &= -102\times 0+4\times \left( -\frac{155}{2} \right)+310\\
		&= 0
		\end{align*}
		
		donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$B \in \mathscr{D}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}{}
	
	Déterminez une équation cartésienne de la droite $\mathscr{D}$ passant $A$ et de vecteurs directeur $\vec u$.
	
	\begin{tabular}{m{5cm}m{5cm}}
		
		\begin{enumerate}
			
			\item $A(3;4)$ et $\vec u \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$.
			
			\item $A(-2;5)$ et $\vec u \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \end{pmatrix}$.
			
		\end{enumerate}
		
		&
		
		\begin{enumerate}
			\setcounter{enumi}{2}
			
			\item $A(5;-10)$ et $\vec u \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$.
			
			\item $A(0;4)$ et $\vec u \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix}$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{tabular}
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\mathscr{D}:\ 2x+y-10=0$.
		
		\item $\mathscr{D}:\ -3x-y-1=0$.
		
		\item $\mathscr{D}:\ x+3y+25=0$.
		
		\item $\mathscr{D}:\ x-5y+20=0$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Trouver un vecteur directeur grâce à une équation cartésienne.}

\begin{lecon}
	
	Nous allons utiliser une astuce: si une droite a pour équation cartésienne $ax+by+c=0$ alors $\vec u \begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$ en est un vecteur directeur.
	
\end{lecon}

\begin{exercice}{}
	
	Déterminez un vecteur directeur de la droite $d$.
	
	\begin{enumerate}
		\item $d:\ 4y-3x+1=0$.
		
		\item $d:\ x-5y+2=0$.
		
		\item $d:\ -x+2y-5=0$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de la droite d'équation cartésienne $ax+by+c=0$. Or ici $a=-3$, $b=4$ et $c=1$ donc $\vec u \begin{pmatrix} -4\\ -3 \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $d$.
		
		\item {\color{orange}Voici une autre façon de déterminer un vecteur directeur d'une droite mais un peu plus lourde. Trouvons deux points distincts $A$ et $B$ de $d$ et alors $\overrightarrow{AB}$ sera un vecteur directeur de $d$. Pour trouver un point choisissons une valeur de $x$ au hasard et cherchons une valeur de $y$ correspondante e sorte que ce soit un point de la droite.}			
		
		Cherchons (si possible) $A \in d$ de sorte que $x_A=0$ alors on devrait avoir $x_A-5y_A+2=0$ et donc $y_A= \frac{2}{5}$. $A \left( 0; \frac{2}{5} \right)$ est un point de la droite.
		
		De même si $x_B=1$ alors $y_B=\frac{3}{5}$ et $B \in d$.
		
		Donc $\overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur de $d$.
		
		\item 		
		$\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de la droite d'équation cartésienne $ax+by+c=0$. Or ici $a=-1$, $b=2$ et $c=-5$ donc $\begin{pmatrix} -2\\ -1 \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $d$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Équations réduites.}

\begin{proposition}{ - équations réduites.}
	
	Soient:
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\left( O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j} \right)$ un repère du plan,
		
		\item $\mathscr{D}$ une droite du plan.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	\begin{enumerate}[(i)]
		
		\item Si $\mathscr{D}$ est parallèle à l'axe des ordonnées alors elle admet une équation réduite de la forme: $x=r$ avec $r$ une constante réelle.
		
		\item Si $\mathscr{D}$ n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées alors elle admet une équation réduite de la forme: $y=mx+p$ avec $m$ et $p$ des constantes réelles.
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	Considérons une droite $\mathscr{D}$ d'équation cartésienne $ax+by+c=0$ dans le  repère $\left( O ; \vec i , \vec j \right)$. Nous utiliserons le fait que la vecteur  de coordonnées $\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$ est alors un vecteur directeur de $\mathscr{D}$ et aussi le fait que $a$ et $b$ ne peuvent être simultanément nuls.
	
	On distingue les deux cas.
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Premier cas: la droite est parallèle à l'axe des ordonnées.
		
		Donc le vecteur directeur $\vec u \begin{pmatrix} -b\\a \end{pmatrix}$ est colinéaire à $\vec j$ et par conséquent: $-b=0$ et $a\ne 0$.
		
		Ainsi l'équation cartésienne de $\mathscr{D}$ se simplifie en $ax+c=0$. Et puisque $a\ne 0$: $x=\frac{-c}{a}$.
		
		\item Second cas: la droite n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées.
		
		Donc le vecteur directeur $\vec u \begin{pmatrix} -b\\a \end{pmatrix}$ n'est pas colinéaire à $\vec j$ et nécessairement: $b\ne 0$.
		
		Ainsi l'équation cartésienne de $\mathscr{D}$ peut s'écrire: $y=\frac{-a}{b}x+\frac{-c}{b}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\begin{exercice}{}
	
	Déterminez une équation réduite de la droite $\mathscr{D}:\ 2x+y+4=0$.
	
\end{exercice}

\subsection{Fonctions affines.}

\subsubsection{Définition.}

\begin{definition}
	
	Soit $f$ une fonction numérique. 
	
	\medskip
	$f$ est dit \emph{\color{purple}affine} si et seulement si il existe des nombres $a$ et $b$ réels tels que pour tout $x\in\mathbb{R},\ f(x)=ax+b$.
	
	\medskip
	Dans ce cas $a$ est appelé \emph{\color{purple}le coefficient directeur} (ou \emph{\color{purple}pente}) et $b$ est appelé \emph{\color{purple}l'ordonnée à l'origine}.
	
\end{definition}

\begin{exercice}{}
	
	Tracez la courbe représentative de la fonction affine $f:x \mapsto -\frac{1}{3}x+2$ sur $[-3;6]$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}Pour tracer la courbe représentative d'une fonction quelconque il faut utiliser le tableau de valeur de la calculatrice et tracer un grand nombre de points puis les relier en s'inspirant du tracer fournit par la calculatrice.
		
		Cependant la courbe représentative d'une fonction affine est une droite (cf supra) donc il s'agit de tracer une droite. Il suffit de relier de façon rectiligne deux points distincts de cette droite.}
	
	\medskip
	\objectif{Traçons la courbe représentative de $f$.}
	
	$f$ est une fonction affine avec $a=-\frac{1}{3}$ et $b=2$ donc sa courbe représentative et une droite.
	
	{\color{orange}On choisit deux valeurs distinctes de $x$ ici, par exemple les bornes de l'ensemble de définition de $f$ et on regarde leurs images par $f$.}
	
	$f(-3)=3$ et $f(6)=0$ {\color{orange}(ce qui s'interprète en disant que $\mathscr{C}_f$ passe par les points de coordonnées $(-3;3)$ et $(6,0)$)} donc:
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		\def\xY{-3.5};
		\def\yY{-1};
		\def\xZ{6.5};
		\def\yZ{4};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
		\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
		\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=-3:6] plot(\x,{-1/3*\x+2});
		\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathscr{C}_f$};
		\draw[red] (-3,3) node{\Large $\times$};
		\draw[red] (6,0) node{\Large $\times$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{exercicecorrection}


\subsubsection{Identifier une fonction affine: taux d'accroissement.}

\begin{definition}
	
	Soient:
	\begin{enumerate}[.]
		\item $f$ une fonction numérique définie sur un ensemble $\mathcal{D}_f$,
		\item $\alpha$ et $\beta$ deux nombres de $\mathcal{D}_f$ tels que $\alpha \ne \beta$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Le \emph{\color{purple}taux d'accroissement de $f$ entre $\alpha$ et $\beta$} est le nombre: \[ \tau _f(\alpha,\beta)=\frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}. \]
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\medskip
	Exemples.
	\begin{enumerate}
		\item 
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{proposition}
	
	Une fonction définie sur $\mathbb{R}$ a un taux d'accroissement constant si et seulement si c'est une fonction affine.
	
	Dans ce cas son taux d'accroissement est alors son coefficient directeur (pente).
	
\end{proposition}

\begin{preuve}
	
	{\color{orange}Il s'agit ici de démontrer une équivalence (expression \og si et seulement si \fg{}). L'exemple classique d'équivalence est le théorème de Pythagore: $ABC$ est rectangle en $A$ si et seulement si $AB^2+AC^2=BC^2$. Pour démontrer une équivalence il faut procéder en deux temps: une implication et sa réciproque. On montre d'abord que si $ABC$ est rectangle en $A$ alors forcément $AB^2+AC^2=BC^2$. Puis il faut montrer l'implication réciproque: si $AB^2+AC^2=BC^2$ alors forcément $ABC$ est rectangle en $A$.}
	
	\begin{enumerate}
		\item {\color{orange}Nous allons commencer par une première implication.} Supposons que $f$ est une fonction affine et démontrons qu'alors forcément le taux d'accroissement de $f$ est constant (\emph{i.e.} est indépendant des valeurs choisies pour le calculer). {\color{orange}Nous savons déjà à quoi sera égale ce taux d'accroissement, puisque la proposition nous indique que ce doit être $a$.}
		
		\medskip
		Soient $\alpha$ et $\beta $ deux nombres réels quelconques avec $\alpha < \beta$.
		
		Par définition du taux d'accroissement:
		
		\begin{align*}
		\tau &= \frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}\\
		\intertext{Et comme $f(x)=ax+b$ (c'est une fonction affine):}
		&=\frac{[a\beta+b]-[a\alpha+b]}{\beta-\alpha}\\
		&=\frac{a\beta+b-a\alpha-b}{\beta -alpha}\\
		&=\frac{a\beta-a\alpha}{\beta- \alpha}\\
		&=\frac{a(\beta-\alpha)}{\beta-\alpha}\\
		\intertext{Comme $\beta-\alpha$ est un facteur commun au numérateur et au dénominateur:}
		\tau &=\frac{a}{1}\\
		&= a
		\end{align*}
		
		Ainsi quels que soient les $\alpha$ et $\beta$ choisi le taux d'accroissement vaut toujours $a$ donc est constant.
		
		\item {\color{orange}Nous allons maintenant établir l'implication réciproque.} Supposons maintenant que la fonction $f$ (qui n'est pas a priori affine) a un taux d'accroissement constant et démontrons qu'alors $f$ est forcément une fonction affine.
		
		\medskip
		Notons $a$ {\color{orange}(comme par hasard)} la valeur constante (indépendamment du choix des valeurs de $\alpha$ et $\beta$) du taux d'accroissement:
		
		\begin{align*}
		a &= \frac{f(\beta)- f(\alpha)}{\beta-\alpha}
		\end{align*}
		
		Cette égalité étant vraie quelques soient les valeurs choisies pour $\alpha$ et $\beta$ en particulier, en choisissant $\alpha=0$ nous obtenons:
		
		\begin{align*}
		a &= \frac{f(\beta)-f(0)}{\beta-0}\\
		\intertext{ce qui équivaut successivement à:}
		a &= \frac{f(\beta)-f(0)}{\beta}\\
		a\times \beta &= \frac{f(\beta) -f(0)}{\beta} \times x_2 \text{ car $\beta\ne 0$}\\
		a\beta &= f(\beta)-f(0)\\
		a\beta+f(0) &= f(\beta)-f(0)+f(0)\\
		a\beta+f(0) &= f(\beta)
		\end{align*}
		
		Et en notant $x$ plutôt que $\beta$ {\color{orange}(comme par hasard)} nous obtenons: $f(x)=ax+f(0)$.
		
		Autrement dit $f$ est bien une fonction affine.
		
	\end{enumerate}
	
	\begin{conclusion}
		
		En raisonnant par double implication nous avons démontré la proposition.
		
	\end{conclusion}
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\medskip
	Remarques.
	\begin{enumerate}
		\item 
		{\color{orange} La démonstration est basée sur la recherche du contre-exemple. Une fonction est affine si et seulement si son taux d'accroissement est toujours le même quelques soient les valeurs (distinctes) choisies pour $x_1$ et $x_2$. Donc pour montrer qu'un fonction n'est pas affine il faut trouver deux couples de valeurs $x_1$ et $x_2$ pour lesquelles le taux d'accroissement n'est pas le même.}
		
		\item Le taux d'accroissement réapparaîtra dans la leçon sur l'étude des droites. Confer les derniers exercices.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\medskip
	Exemples.
	\begin{enumerate}
		
		\item Si $f$ est un fonction affine telle que $f(1)=2$ et $f(3)=4$ alors son coefficient directeur est \[ a= \frac{f(3)-f(1)}{3-1}= \frac{4-2}{2}=1. \]
		
		\item \objectif{Démontrons que la fonction carré n'est pas une fonction affine.}
		
		Choisissons $x_1=1$ et $x_2=0$ alors
		
		\begin{align*}
		\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2} &= \frac{1^2-0^2}{1-0}\\
		&= 1
		\end{align*}
		
		Si par contre nous choisissons $x_1=2$ et $x_2=0$ alors
		
		
		\begin{align*}
		\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2} &= \frac{2^2-0^2}{2-0}\\
		&= 2
		\end{align*}
		
		Le taux d'accroissement de la fonction carré n'est pas constant donc 
		
		\begin{conclusion}
			
			la fonction carrée n'est pas une fonction affine.
			
		\end{conclusion}
		
		\item De même: $\frac{1^3-0^3}{1-0}=1$ et $\frac{2^3-0^3}{1-0}=8$. La fonction cube n'est donc pas une fonction affine.
		
		\item De même: $\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}{2-3}=-\frac{1}{6}$ et $\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{4}}{2-4}=-\frac{1}{4}$. La fonction inverse n'est donc pas une fonction affine.
		
		\item De même: $\frac{\sqrt{9}-\sqrt{25}}{9-25}=\frac{1}{8}$ et $\frac{\sqrt{9}-\sqrt{4}}{9-4}=\frac{1}{5}$. La fonction racine carrée n'est donc pas une fonction affine.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{}
	
	Déterminez la pente de la droite $(AB)$ sachant que $A(2,5)$ et $B(6,-5)$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Par lecture graphique déterminer la pente et l'ordonnée à l'origine de la droite dessinée dans un repère ci-dessous.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
		\def\xY{-3};
		\def\yY{-4};
		\def\xZ{3};
		\def\yZ{3};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		\draw[step=1cm,line width=0.02cm,Blue!50!white] (Y) grid (Z);
		\draw[ ->,thick,blue] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,thick,blue] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
		\draw[red] (0,0)node[below left]{\small $O$};
		\draw[red,>=latex,->, thick] (0,0)--(1,0) node[midway,below] {$\overrightarrow{i}$};
		\draw[red,>=latex,->, thick] (0,0)--(0,1) node[midway,left] {$\overrightarrow{j}$};
		\draw[Green, thick][samples=100,domain=-1.5:2] plot(\x,{2*\x-1});
		\draw[Green] (4,1) node[fill=white] {$\mathscr{D}_1$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
		\def\xY{-5};
		\def\yY{-1};
		\def\xZ{5};
		\def\yZ{3};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		\draw[step=1cm,line width=0.02cm,Blue!50!white] (Y) grid (Z);
		\draw[ ->,thick,blue] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,thick,blue] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
		\draw[red] (0,0)node[below left]{\small $O$};
		\draw[red,>=latex,->, thick] (0,0)--(1,0) node[midway,below] {$\overrightarrow{i}$};
		\draw[red,>=latex,->, thick] (0,0)--(0,1) node[midway,left] {$\overrightarrow{j}$};
		\draw[Green, thick][samples=100,domain=-5:5] plot(\x,{1/3*\x+1/3});
		\draw[Green] (4,1) node[fill=white] {$\mathscr{D}_2$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
		\def\xY{-5};
		\def\yY{-4};
		\def\xZ{5};
		\def\yZ{3};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		\draw[step=1cm,line width=0.02cm,Blue!50!white] (Y) grid (Z);
		\draw[ ->,thick,blue] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,thick,blue] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
		\draw[red] (0,0)node[below left]{\small $O$};
		\draw[red,>=latex,->, thick] (0,0)--(2,0) node[midway,below] {$\overrightarrow{i}$};
		\draw[red,>=latex,->, thick] (0,0)--(0,1) node[midway,left] {$\overrightarrow{j}$};
		\draw[Green, thick][samples=100,domain=-5:5] plot(\x,{-1/2*\x-1});
		\draw[Green] (4,1) node[fill=white] {$\mathscr{D}_3$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{exercice}

\subsubsection{Étude du signe d'une fonction affine.}

\begin{proposition}{}
	
	Soient:	
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $a$ et $b$ deux nombres réels,
		\item $f:x \mapsto ax+b$ la fonction affine définie sur $\mathbb{R}$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Si $a>0$, alors:
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
		{$x$ / 1 ,$f$ /1 }%
		{$-\infty$ , $-\frac{b}{a}$ , $+\infty$ }%
		\tkzTabLine{ , - , z , + , }
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}
	
	Supposons $a>0$ et démontrons qu'alors le tableau de signe proposé convient.
	
	\medskip
	Recherchons pour quelles valeurs de $x$, $f(x)>0$.
	\begin{align*}
	f(x)>0 &\Leftrightarrow ax+b>0\\
	&\Leftrightarrow ax+b-b>0-b\\
	&\Leftrightarrow ax>-b\\
	\intertext{Et comme $a> 0$:}
	f(x)>0 &\Leftrightarrow \frac{ax}{a}>-\frac{b}{a}\\
	&\Leftrightarrow  x> -\frac{b}{a}\\
	&\Leftrightarrow x\in \left] -\frac{b}{a};+\infty \right[ 
	\end{align*}
	
	\medskip
	Recherchons de même pour quelles valeurs de $x$, $f(x)=0$.
	\begin{align*}
	f(x)=0 &\Leftrightarrow ax+b=0\\
	&\Leftrightarrow x=-\frac{b}{a}
	\end{align*}
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\medskip
	Remarques.
	\begin{enumerate}
		\item De même si $a<0$ alors le tableau de signe est 
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
			{$x$ / 1 ,$f$ /1 }%
			{$-\infty$ , $-\frac{b}{a}$ , $+\infty$ }%
			\tkzTabLine{ , + , z , - , }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item Si $a=0$ alors $f$ est la fonction constante égale à $b$ donc elle est toujours du même signe, celui de $b$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{}
	
	Étudiez le signe de la fonction $f$ définie sur $\mathscr{D}_f= ]-\pi,14]$ par $f(x)=-2x+4$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Étudiez le signe des fonctions suivantes définies sur $\mathbb{R}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item $f:x \mapsto (x-2)(4-3x)$.
		
		\item $g:x \mapsto 3(2x+1)(x+4)$.
		
		\item $h:x \mapsto -\pi(x+1)(x+3)(x-2)$.
		
		\item $k: x \mapsto x^2 \sqrt{|x|}(x-1)$.
		
		\item $\ell: x \mapsto \frac{2x-3}{3x-7}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\subsubsection{Tableau de variation.}

\begin{proposition}{}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		
		\item $a$ et $b$ deux nombres réels,
		
		\item $f$ la fonction affine définie par: $f(x)= ax+b$ quelque soient $x\in\mathbb{R}$
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	\begin{enumerate}[(i)]
		
		\item Si $a>0$, alors $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
		
		\item Si $a=0$, alors $f$ est constante sur $\mathbb{R}$.
		
		\item Si $a<0$ alors $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}
	
	Si $a=0$ la fonction est évidemment constante.
	
	\medskip
	Démontrons l'un des deux cas l'autre se traitant de la même façon. Supposons par exemple que $a<0$. 
	
	Il faut démontrer que $f$ est strictement décroissante. {\color{orange}D'après la définition de la monotonie, il faut donc montrer que quels que soient les nombres réels $\alpha$ et $\beta$ si $\alpha < \beta$ alors $f(\alpha)>f(\beta)$.}
	
	\medskip
	Soient $\alpha$ et $\beta$ deux nombres réels tels que $\alpha<\beta$. Cette inégalité est successivement équivalente à:
	
	\begin{align*}
	a\alpha &>ax\beta \text{ car $a<0$} \\
	a\alpha+b &> a\beta+b \\
	f(\alpha) &> f(\beta)
	\end{align*}
	
	On a donc démontrer que si $\alpha < \beta$ alors $f(\alpha)>f(\beta)$. Autrement dit $f$ est strictement décroissante.
	
\end{preuve}

\begin{exemples}
	
	\medskip
	{\color{RoyalBlue}Étudions par exemple le signe de $f:x\mapsto -2x+4$.
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item $f$ est une fonction affine avec $a=-2$ et $b=4$.
			\item {\color{orange}le coefficient directeur est strictement négatif}, $a<0$ donc $f$ est strictement décroissante.
			
			{\color{orange}Ceci se traduit graphiquement par une droite qui descend. Quelque chose comme:
				
				\begin{center}
					\begin{tikzpicture}[xscale=0.25,yscale=0.25]
					\def\xY{-2.5};
					\def\yY{-4.5};
					\def\xZ{15.5};
					\def\yZ{5.5};
					\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
					\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
					%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
					%\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
					%\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
					%\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
					%\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
					\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
					\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
					\draw[blue, thick][samples=100,domain=-2:15] plot(\x,{-0.5*\x+4});
					\end{tikzpicture}
				\end{center}
				
				Nous voyons sur ce schéma que la fonction prend d'abord des valeurs positives puis des valeurs négatives. Autrement dit nous pouvons déjà compléter le tableau de signe de la façon suivante:
				
				\begin{center}
					\begin{tikzpicture}
					\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f$ /0.8}
					{$-\infty$ ,$?$, $+\infty$}
					\tkzTabLine{,+,z,-,}%
					\end{tikzpicture}
				\end{center}
				
				Il nous reste à trouver pour quelle valeur de $x$, $f$ s'annule.
			} 
			
			\item $f$ s'annule en $-\frac{b}{a}=-\frac{4}{-2}=2$. {\color{orange}Ce résultat a été établi plus tôt dans cette leçon.}
			
		\end{enumerate}
		
		Nous en déduisons le tableau de signe de $f$.
		
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f$ /0.8}
			{$-\infty$ ,$2$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,+,z,-,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
	}
	
\end{exemples}

\subsection{Exercices.}

\begin{exercice}{}
	
	On donne les équations: $3x+by+c=0$ et $cx-2y+12=0$.
	
	Indiquez si l'affirmation suivante est vraie ou fausse, puis justifiez. \og Il existe un unique couple $(b;c)$ de réels tel que ces deux équations sont celles d'une même droite.\fg{}
	
\end{exercice}
\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}