%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
%\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{RoyalBlue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{Black}\underline{Remarques.}}\color{Black}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill \small {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. #1} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

\newenvironment{exerciceapplication}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill \small {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Application.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} }{ \end{colbox} }

\newenvironment{concours}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \small \color{blue} \medskip \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Concours.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} }{\medskip}

\newenvironment{recherche}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \small \color{blue} \medskip \hfill { \color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Recherche.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} }{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{Black} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/1ieme.html}{Exponentielle.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{details}
\exclure{bareme}
\exclure{notabene}
%\exclure{exercicecorrection}\exclure{correction}\exclure{preuve}\exclure{exemples}%papi
%\exclure{remarques}\exclure{corollaire}\exclure{lemme}\exclure{proposition}\exclure{theoreme}\exclure{culturegenerale}\exclure{definition}\exclure{lecon}
%\exclure{sujet}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Exponentielle.}

\begin{notabene}
	
	Cette leçon est intéressante en elle-même. Il s'agit d'une exigence d'introduction construite, démontrée, de nouveaux outils mathématiques. Les techniques permettant de résoudre des exercices sont en fait peu nombreuses. C'est la construction de la leçon qui est intéressante.
	
\end{notabene}

\subsection{Équation différentielle.}

\begin{lecon}
	
	Une \emph{\color{purple}équation différentielle} est une équation dont l'inconnue est une fonction, notée souvent $y$, et qui fait intervenir certaines dérivées de cette fonction ($y'$, $y''$, $y^{(3)}$, ...).
	
	\begin{correction}
		
		Vous retrouverez des dérivées d'ordre deux en terminale lors de l'étude de la convexité des courbes.
		
	\end{correction}

	Il existe une grande variété d'équations différentielles.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Recherche des primitives de $f$ ($f$ étant une fonction donnée): $y'=f$: $y'=3x^2$, $y'=x^7$, $y'=\frac{1}{x}$, $y'=0$, ...
		
		\item Équations linéaires du premier ordre à coefficients constants: $y'+ay=f$ (avec $a\in\mathbb{R}$, $f$ fonction donnée). Vous étudierez ces équations en terminale en spécialité.
		
		\item Équations linéaires du second ordre à coefficient constants: $\alpha y''+by'+cy=f$, où $a$, $b$ et $c$ sont des constantes réelles et $f$ une fonction donnée.
		
		\item Équations non linéaires: $y'=a(x)y^{\alpha}+b(x)y$, $y'=a(x)y^2+b(x)y+c(x)$; $y'=\cos( y)$; où $a$, $b$ et $c$ sont des fonctions et $\alpha\in \mathbb{R}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{culturegenerale}
	
	Les équations différentielles sont un objet de recherche permanent. Il existe un très grand nombre d'équations différentielles que nous ne savons pas résoudre de façon algébrique et pour lesquelles nous devons rechercher des valeurs approchées numériques en général grâce aux ordinateurs.
	
	Les super-calculateurs sont des ordinateurs extrêmement puissants développés par de grands groupes commerciaux pour résoudre ce genre d'équations.
	
	Les équations différentielles sont un sujet de recherche très actif en mathématique.
	
	L'un des problème du siècle récompensé par un prix de un million de dollars (le prix Clay) est un problème d'équation différentielle faisant intervenir des fonctions de plusieurs variables. Il s'agit de l'équations de Navier-Stockes qui décrit la mécanique des fluides.
	
\end{culturegenerale}

\begin{exercice}{}
	
	Démontrez dans les cas suivants que la fonction $f$ est une solution de l'équation différentielle proposée. \emph{Vous ne vous préoccuperez ni des ensembles de définition ni des ensembles de dérivabilité.}
	
	\begin{enumerate}
		\item La solution potentielle: $\displaystyle f(x)=\sqrt{\pi x+3}$ et l'équation différentielle: \[ y'(x)=\frac{\pi}{2\sqrt{\pi x+3}}. \]
		
		\item La solution potentielle: $\displaystyle f(x)=\cos \left( \frac{2\pi}{3} x + \frac{\pi}{2} \right)$ et l'équation différentielle: \[ -\left( \frac{3}{2\pi} \right)^2 y''= y. \]
		
		\item La solution potentielle: $f(x)= \sqrt{x}$ et l'équation différentielle: \[ x^6\sqrt{x}=\frac{1}{2} x^2y'-2xy. \]
		
	\end{enumerate}
		
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	Vérifions qu'en remplaçant $y$ par $f$ dans l'équation différentielle l'égalité est vérifiée.
	
	\begin{enumerate}
		\item {\color{orange}L'équation différentielle fait intervenir $y'$ nous devons donc trouver la dérivée de $f$.}
		
		$f(x)= g(ax+b)$ avec $g(x)= \sqrt{x}$, $a=\pi$ et $b=3$, donc
		
		\begin{align*}
			f'(x) &= ag'(ax+b)\\
			&= \pi \frac{1}{2\sqrt{ \pi x +3}}\\
			&= \frac{\pi}{2\sqrt{\pi x+3}}
		\end{align*}
		
		Ainsi si $y=f$ on a bien $y'(x)=\frac{\pi}{2\sqrt{\pi x+3}}$.
		
		\begin{conclusion}
			
			$f$ est bien solution de l'équation différentielle.
			
		\end{conclusion}
		
		\item {\color{orange}L'équation différentielle fait intervenir $y''$ nous devons donc trouver la dérivée seconde de $f$.}
		
		$f(x)= g(ax+b)$ avec $g(x)=\cos (x)$, $a=\frac{2\pi}{3}$ et $b=\frac{\pi}{2}$.
		
		\begin{align*}
			f'(x) &= ag'(ax+b) \\
			&= \frac{2\pi}{3} \left[ -\sin \left( \frac{2\pi}{3} x + \frac{\pi}{2} \right) \right] \\
			&= -\frac{2\pi}{3} \sin \left( \frac{2\pi}{3} x + \frac{\pi}{2} \right) \\
			\intertext{En procédant de même nous dérivons une seconde fois:}
			f''(x) &= -\frac{2\pi}{3} \times \frac{2\pi}{3} \cos \left( \frac{2\pi}{3} x + \frac{\pi}{2} \right) \\
			&= -\left( \frac{2\pi}{3} \right)^2 \cos \left( \frac{2\pi}{3} x + \frac{\pi}{2} \right)
		\end{align*}
		
		Assurons nous que $f$ est une solution de l'équation différentielle:
		
		\begin{align*}
			- \left( \frac{3}{2\pi} \right)^2 f''(x) &= - \left( \frac{3}{2\pi} \right)^2  \times \left[ -\left( \frac{2\pi}{3} \right)^2 \cos \left( \frac{2\pi}{3} x + \frac{\pi}{2} \right) \right]\\
			&= \cos \left( \frac{2\pi}{3} x + \frac{\pi}{2} \right)\\
			&= f(x)
		\end{align*}
		
		{\color{orange} On a bien $-\left( \frac{3}{2\pi} \right)^2 f''= f$. Autrement dit}
		
		\begin{conclusion}
			
			$f$ est une solution de l'équation différentielle.
			
		\end{conclusion}
		
		\item {\color{orange}L'équation différentielle fait intervenir $y'$ nous devons donc trouver la dérivée de $f$.}
		
		$f'(x)= \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
		
		\begin{align*}
			\frac{1}{2}x^2f'(x)-2xf(x) &= \frac{1}{2} x ^2 \frac{1}{2\sqrt{x}} -2x \sqrt{x}\\
			&= \frac{1}{2} x ^2 \frac{1}{2\sqrt{x}} -\frac{2x \sqrt{x} {\color{orange} \times 4 \sqrt{x}}}{\color{orange}4 \sqrt{x}} \\
			&= \frac{x^2-8x^2}{4\sqrt{x}}\\
			&= -\frac{7}{4} \cdot \frac{x^2{\color{orange}\sqrt{x}}}{\sqrt{x} {\color{orange}\sqrt{x}}}\\
			&= -\frac{7}{4} x\sqrt{x}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$f$ n'est pas une solution de l'équation différentielle.
			
		\end{conclusion}
			
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\subsection{Fonction exponentielle: définition.}

\begin{notabene}
	
	Introduction avec l'idée de trouver la fonction qui complète le nuage de pont de la suite géométrique de terme initial $0$ et de raison $2,7$.
	
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	L'objet de ce chapitre est de définir une nouvelle fonction classique comme une solution d'une équation différentielle avec une condition supplémentaire. Cette fonction, lorsque nous aurons établi son existence, nous l'appellerons exponentielle.
	
\end{lecon}

\subsubsection{Existence.}

\begin{theoreme}{ - existence.}
	
	Il existe une fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ qui est solution de l'équation différentielle $(E):\ y'=y$ et telle que $y(0)=1$.
		
\end{theoreme}

\begin{preuve}{ - Hors programme.}
	
	Nous ne ferons pas cette démonstration. Les démonstrations d'existence sont de deux sortes: soit on trouve une solution (et là tous les moyens sont bons, astuce, analogie, analyse-synthèse) soit on dispose d'un théorème qui nous garantie l'existence d'objets que nous ne pouvons pas trouver dans la pratique.
	
	Il existe une façon de construire cette fonction en associant à chaque $x$ la limite de la suite de terme général $\left( 1+\frac{x}{n} \right)^n$. Les outils pour ce travail ne seront vus qu'en terminale.
	
	\medskip
	On pourrait, à la façon d'Euler rechercher une solution sous forme polynomiale et voir apparaître l'expression qui fourni la définition classique moderne (mais non élémentaire) de la fonction exponentielle: $\sum_{i=0}^{+\infty} \frac{x^i}{i!}$. Expression qui, pour vous, n'a pas vraiment de sens.
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Nous retiendrons donc ces trois importantes propriétés de la fonction exponentielle que nous allons construire:
		
		\begin{enumerate}[(i)]
			\item Le domaine de définition de exponentielle est $\mathbb{R}$ tout entier.
			
			\item Exponentielle est dérivable sur $\mathbb{R}$ et égale sa dérivée.
			
			\item L'image de $0$ par exponentielle est $1$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item En mathématique on pense à tester les solutions le plus simples. Si la fonction nulle est bien solution de $(E)$ elle ne satisfait pas la condition $f(0)=1$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsubsection{Unicité.}

\begin{lemme}{}
	
	Si $f$ est une solution définie sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle $(E):\ y'=y$ telle que $f(0)=1$ alors $f$ ne s'annule pas sur $\mathbb{R}$.
	
\end{lemme}

\begin{preuve}{ - Hors programme. Approfondissement.}
	
	\begin{correction}
		
		Rappelons que nous avons établi lors de la leçon sur les variations de fonctions que si $f'=0$ alors $f$ est constante.
		
	\end{correction}
	
	Soit $f$ une solution de $(E)$ vérifiant $f(0)=1$.
	
	\medskip
	{\color{WildStrawberry}Une grosse astuce amorce cette démonstration puisque nous introduisons une nouvelle fonction. Cette fonction nous permettra de faire apparaître une contradiction dans le raisonnement par l'absurde que nous allons utiliser.}
	
	Soit $\varphi$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $\varphi(x)=f(x)f'(x)$ pour tout $x\in\mathbb{R}$.
	
	$\varphi$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout $x$ réel:
	
	\begin{align*}
		\varphi'(x) &= f'(x)f(-x)+ f(x) \left[ -f'(-x) \right]\\
		&= f'(x)f(-x)-f(x)f'(-x)\\
		\intertext{Or $f$ est solution de $E$, \emph{i.e.} $f'=f$:}
		\varphi'(x) &= f(x)f(-x)-f(x)f(-x)\\
		&= 0
	\end{align*}
	
	Par conséquent $\varphi$ est constante: il existe un nombre $k \in \mathbb{R}$ tel que, pour tout $x$ réel, $\varphi(x)=k$.
	
	En particulier: $k=\varphi(0)=f(0)f(-0)=f(0)^2=1$.
	
	\medskip
	{\color{WildStrawberry}Un petit raisonnement par l'absurde pour achever.}
	
	Si $f$ s'annulait en $x_0\in\mathbb{R}$ alors forcément $\varphi(x_0)=f(x_0)f(-x_0)=0 \times f(-x_0)=0$, ce qui est impossible puisque nous avons démontré que $\varphi$ est constante égale à $1$. Nous avons démontré en raisonnant par l'absurde que
	
	\begin{conclusion}
		
		$f$ ne s'annule pas sur $\mathbb{R}$.
		
	\end{conclusion}

\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item La trame de cette démonstration sera reprise par la suite.
		
		\item Nous avons démontré chemin faisant que si $f$ est solution de $(E)$ alors: $f(-x)=\frac{1}{f(x)}$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Encore une propriété de celle que nous appellerons fonction exponentielle.
		
		\begin{correction}
			
			Remarquons encore que en français nous dirions \og{}l'image de l'opposé est l'inverse de l'image\fg{}. Ceci est remarquable car opposé et inverse jouent le même rôle le premier pour l'addition et le second pour la multiplication.
			
		\end{correction}
		
		\item En utilisant la continuité de la fonction $f$ (\emph{i.e} sa courbe représentative est d'un seul tenant, elle se trace sans soulever le stylo) nous pourrions démontrer en raisonnant par l'absurde que $f$ ne change pas de signe. Puis comme $f(0)=1$ que nécessairement $f>0$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{theoreme}{ - unicité.}
	
	L'équation différentielle $(E):\ y'=y$ avec la condition initiale $y(0)=1$ admet une unique solution.
	
\end{theoreme}

\begin{preuve}{}
	
	Nous savons l'existence d'une solution grâce au précédent théorème.
	
	\medskip
	{\color{WildStrawberry}Pour démontrer l'unicité nous allons user d'une méthode classique: nous allons considérer deux solutions du problème et démontrer qu'elles sont forcément égales.}
	
	Soient $f$ et $g$ des solutions de $(E)$ telles que $f(0)=g(0)=1$.
	
	{\color{WildStrawberry}Nous souhaitons démontrer que $f$ et $g$ sont égales Pour cela nous allons démontrer que $\frac{f}{g}=1$. C'est donc presque naturellement que nous allons introduire une nouvelle fonction.}
	
	Soit $\varphi =\frac{f}{g}$ définition rendue possible par le lemme qui nous garantit que $g$ ne s'annule pas puisque c'est une solution de $(E)$.
	
	{\color{WildStrawberry}Nous voulons démontrer que $\varphi=1$. Nous allons d'abord démontrer que $\varphi$ est constante en établissant que sa dérivée est nulle.}
	
	$\varphi$ est un quotient de fonctions dérivable sur $\mathbb{R}$ et dont le dénominateur ne s'annule pas (d'après le lemme), donc $\varphi$ est érivable sur $\mathbb{R}$ et 
	
	\begin{align*}
		\varphi' &= \frac{f'g-fg'}{g^2}\\
		\intertext{Puisque $f'=f$ et $g'=g$:}
		\varphi' &= \frac{fg-fg}{g^2}\\
		&= 0
	\end{align*}
	
	Par conséquent $\varphi$ est constante: il existe un nombre $k \in \mathbb{R}$ tel que, pour tout $x$ réel, $\varphi(x)=k$.
	
	En particulier: $k=\varphi(0)=f(0)f(-0)=f(0)^2=1$.
	
	\medskip
	Nous avons démontré que: $\frac{f}{g}=1$. Autrement dit $f=g$.
	
	\begin{conclusion}
		
		L'équation $(E)$ admet une unique solution telle que $y(0)=1$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{preuve}

\subsubsection{Définition.}

\begin{correction}
	
	Nous avons atteint l'objectif de ce chapitre démontrer l'existence d'une certaine fonction.
	
\end{correction}

\begin{definition}
	
	L'unique solution de l'équation différentielle $(E):\ y'=y$ avec la condition initiale $y(0)=1$ est appelée la fonction \emph{\color{purple}exponentielle} et elle est notée $\exp$.
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Expliquons pour quoi s'intéresser spécifiquement à cette solution de cette équation différentielle. Il s'agit d'une des plus simples équations différentielles. Comme souvent en mathématique, c'est à partir de cette solution au problème simple que nous allons trouver des solutions à des problème semblables mais plus complexes.
		
		De la même façon que pour trouver la suite de Fibonacci (suite récurrente d'ordre deux) nous avons utiliser les suites géométriques.
		
		\item Cette fonction revêt une importance considérable dans tous le domaines scientifiques. C'est une fonction qui sera ajoutée à votre bestiaire de fonctions classiques, au même titre que les fonctions affines, les fonction trinômes, les fonctions polynomiales, les fonctions trigonométriques, les fonctions inverse, carrée, racine carrée, valeur absolue et cube.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{proposition}{ - propriétés de la fonction exponentielle.}
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		
		\item Exponentielle est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ et: $\forall x \in \mathbb{R},\ \exp'(x)=\exp(x)$.
		
		\item $\exp(0)=1$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	Découle directement de la définition de la fonction exponentielle.
	
\end{preuve}

\subsection{Propriétés algébriques.}

\subsubsection{Propriété fondamentale.}

\begin{theoreme}{ - propriété fondamentale.}
	
	Pour tous réels $a$ et $b$: \[ \exp(a+b)=\exp(a) \exp(b). \]
	
\end{theoreme}

\begin{preuve}{}
	
	{\color{WildStrawberry}Nous allons utiliser la même méthode de dérivation d'une fonction astucieusement choisie. Nous avons deux variables dans cette expression, $a$ et $b$, c'est une de trop pour nous, pour définir une fonction. Qu'à cela ne tienne, fixons-en une et laissons l'autre varier.}
	
	Soit $a \in \mathbb{R}$.
	
	Notons $\varphi$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $\varphi(x)=\frac{\exp(a+x)}{\exp(x)}$. $\varphi$ est bien définie car $\exp(x)\ne 0$ pour tout $x\in\mathbb{R}$, d'après le lemme.
	
	{\color{WildStrawberry}Nous savons que, normalement, si le résultat que nous souhaitons démontrer est vrai, $\varphi$ devrait être une fonction constante, ce que nous allons maintenant démontrer.}
	
	$\varphi$ est un quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s'annule pas donc elle est même dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout $x$ réel: 
	
	\begin{align*}
		\varphi'(x) &= \frac{1 \times \exp'(a+x)\exp(x) - \exp'a+x) \exp'(x)}{\left[ \exp(x) \right]^2},\\
		\intertext{en reconnaissant une fonction composée et puisque $\exp'=\exp$:}
		\varphi'(x) &= \frac{\exp(a+x)\exp(x) - \exp(a+x)\exp(x)}{\left[ \exp(x) \right]^2}\\
		&= 0
	\end{align*}
	
	Nous en déduisons qu'il existe $k \in \mathbb{R}$ tel que $\varpi(x)=0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

	En particulier: $k=\varphi(0)=\frac{\exp(0+a)}{\exp(0)} = \exp(a)$ puisque $\exp(0)=1$.
	
	Nous avons démontré que $\varphi(x)=\exp(a)$ pour tout $x\in\mathbb{R}$.
	
	Autrement dit:
	
	\begin{conclusion}
		
		quelque soit $a\in \mathbb{R}$, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\frac{\exp(a+x)}{\exp(x)}=\exp(a)$.
	
	\end{conclusion}
	
\end{preuve}

\begin{proposition}{}
	
	Soient $a$ et $b$ des réels et $n$ un entier.
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		
		\item $\displaystyle \exp(a-b) = \frac{\exp(a)}{\exp(b)}$.
		
		\item $\displaystyle \exp(-b) = \frac{1}{\exp(b)}$.
		
		\item $\displaystyle \exp(a)>0$.
		
		\item $\displaystyle \exp \left( \frac{1}{2}a \right) = \sqrt{\exp(a)}$.
		
		\item $\displaystyle \exp(na) = \left[ \exp(a) \right]^n$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item D'après le théorème précédent:
		
		\begin{align*}
			\exp(a-b) \exp(b) &= \exp \left[ (a-b)+ b \right] \\
			\intertext{ce qui équivaut successivement à:}
			\exp(a-b) \exp(b) &= \exp(a) \\
			\frac{\exp(a-b) \exp(b)}{\color{orange}\exp(b)} &= \frac{\exp(a)}{\color{orange}\exp(b)},\quad \text{car } \exp(b)>0
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\exp(a-b) = \frac{\exp(a)}{\exp(b)}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item En utilisant le (i) avec $a=0$.
		
		\item {\color{WildStrawberry}Nous allons montrer que $\exp(a)$ est un nombre au carré.}
		
		\begin{align*}
			\exp(a) &= \exp \left( \frac{1}{2}a +\frac{1}{2}a \right)\\
			\intertext{D'après le précédent théorème:}
			&= \exp\left( \frac{1}{2}a \right) \exp\left( \frac{1}{2}a \right) \\
			&= \left[ \exp\left( \frac{1}{2} a \right) \right]^2
		\end{align*}
		
		Donc $\exp(a)\geqslant 0$.
		
		Comme de plus, d'après le lemme l'exponentielle ne s'annule pas:
		
		\begin{conclusion}
			
			$\exp(a)>0$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item En reprenant la démonstration du (iii), nous avons
		
		\begin{align*}
			\left[ \exp\left( \frac{1}{2} a \right) \right]^2 &= \exp(a)\\
			\intertext{Donc:}
			\exp\left( \frac{1}{2} a \right) = \sqrt{\exp(a)} &\text{ ou } \exp\left( \frac{1}{2} a \right) = -\sqrt{\exp(a)}		
		\end{align*}
		
		Et puisque $\exp(a)>0$ d'après (iii):
		
		\begin{conclusion}
			
			$\exp\left( \frac{1}{2} a \right) = \sqrt{\exp(a)}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item {\color{WildStrawberry}Le vrai procédé de démonstration de cette assertion est la démonstration par récurrence qui est au programme de terminale. Nous en donnons une version intuitive.}
		
		{\color{orange}Raisonnons par disjonction des cas.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Soit $n \in \mathbb{N}$.
			
			\[ na = \underset{n \text{ fois}}{\underbrace{a+a + \dots + a}}. \]
				
			Donc en itérant le résultat du précédent théorème: \[ \exp(na) = \underset{n \text{ hhhhhhhhhhfois}}{\underbrace{\exp(a) \exp(a)  \dots  \exp(a)}}. \]
			
			Enfin: \[ \exp(na)= \left[ \exp(a) \right]^n. \]
			
			\item Soit maintenant $n\in \mathbb{Z}$ et $n<0$ alors
			
			\begin{align*}
				\exp(na) &= \frac{1}{\exp(-na)}\\
				&= \frac{1}{\left[ \exp(a) \right]^{-n}}\\
				&= \left[ \exp(a) \right]^n
			\end{align*}
			
		\end{enumerate}
		
		Dans tous les cas:
		
		\begin{conclusion}
			
			$\exp(na) = \left[ \exp(a) \right]^n$, pour tout $n\in\mathbb{Z}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Le théorème précédent peut se comprendre comme le fait que l'exponentielle transforme la somme en produit. On dit qu'exponentielle est un morphisme du groupe additif $\mathbb{R}$ dans le groupe multiplicatif $\mathbb{R}_+^*$.
		
		\item Le (iii) signifie que la fonction exponentielle est strictement positive. Ce qui va nous permettre de trouver son tableau de variation...
		
		\item Soit $a \in \mathbb{R}$. D'après (v) $\left( \exp(na) \right)_{n\in\mathbb{N}}$ est une suite géométrique de terme initial $1$ et de raison $\exp(a)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{}
	
	Exercices 11 et 12 page 174 du manuel Indice. 
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}[\text{Exercice }]
		\item 11 page 174.
		
		\begin{enumerate}
			\item Vrai.
			
			\item Faux.
			
			\item Vrai.
			
			\item Faux.
			
			\item Vrai.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 12 page 174.
		
		\begin{enumerate}
			
			\item $\exp(2x)$.
			
			\item $\exp(x-1)$.
			
			\item $\exp(0)=1$.
			
			\item $\exp(x+1)$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
		
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Notation exponentielle.}

\begin{lecon}
	
	Nous avons vu que $\exp(n)=\exp(n \times 1) = \left[ \exp(a) \right]^n$.
	
	Par conséquent si nous notons $\color{purple}\mathrm{e} =\exp(1)$ nous pouvons écrire: $\exp(n)=\mathrm{e}^n$.
	
	Parce que les propriétés algébriques d'exponentielle sont semblables à celles des exposant nous généraliserons cette notation en écrivant pour tout réel $x$: $\exp(x)=\mathrm{e}^x$.
	
	Plutôt que la précédente proposition il faudra retenir:
	
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		
		\item $\displaystyle \mathrm{e}^{a-b} = \frac{\mathrm{e}^a}{\mathrm{e}^b}$.
		
		\item $\displaystyle \mathrm{e}^{-b} = \frac{1}{\mathrm{e}^{b}}$.
		
		\item $\displaystyle \mathrm{e}^{a}>0$.
		
		\item $\displaystyle \mathrm{e}^{ \frac{1}{2}a } = \sqrt{\mathrm{e}^a}$.
		
		\item $\displaystyle \mathrm{e}^{na} = \left[ \mathrm{e}^{a} \right]^n$.
	\end{enumerate}
	
	Nous n'utiliserons plus que la notation exponentielle sauf si l'expression en exposant est trop grosse: nous n'écrirons pas $\mathrm{e}^{\frac{\sqrt{2x^2+3}}{4x^3+\frac{1}{x}}}$ mais $\displaystyle \exp \left( \frac{\sqrt{2x^2+3}}{4x^3+\frac{1}{x}} \right)$.
	
	\begin{notabene}
		
		De même on préférera $\exp$ lorsqu'il s'agira d'indiquer la dérivée. ${\mathrm{e}^x}'$ est la dérivée d'une nombre et vaut donc $0$. Par contre nous écrirons $\exp'$. Mais cette dernière écriture sera très rare puisque $\exp'(x)=\exp(x)$.
		
	\end{notabene}
	
	\medskip
	Remarquons qu'à ce stade de la leçon nous ne connaissons aucune image par $\exp$ hormis $\mathrm{e}^0=1$.
	
	
	La notation $\mathrm{e}$ est un hommage au très très grand mathématicien Euler.
	
\end{lecon}

\begin{exercice}{}
	
	Exercices 13 à 21 page 174 du manuel Indice.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}[\text{Exercice }]
		\item 13 page 174.
		
		\begin{enumerate}
			\item $\mathrm{e}^{-4}$.
			
			\item $\mathrm{e}^{-6}$.
			
			\item $\mathrm{e}^{3}$.
			
			\item $\mathrm{e}^{0}$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 14 page 174.
		
		\begin{enumerate}
			\item $\mathrm{e}^{-1}$.
			
			\item $\mathrm{e}^{1}$.
			
			\item $\mathrm{e}^{-2}$.
			
			\item $\mathrm{e}^{3}$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 15 page 174.
		
		\begin{enumerate}
			\item $\mathrm{e}^{-5}$.
			
			\item $\mathrm{e}^{2}$.
			
			\item $\mathrm{e}^{-3}$.
			
			\item $\mathrm{e}^{-6}$.
			
		\end{enumerate}
		
		
		\item 16 page 174.
		
		\begin{enumerate}
			\item $\mathrm{e}^{6}$.
			
			\item $\mathrm{e}^{6}$.
			
			\item $\mathrm{e}^{-6}$.
			
			\item $\mathrm{e}^{-2}$.
			
		\end{enumerate}
				
		\item 17 page 174.
		
		\begin{enumerate}
			\item $\mathrm{e}^{x+5}$.
			
			\item $\mathrm{e}^{-x+2}$.
			
			\item $\mathrm{e}^{-2x-1}$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 18 page 174.
		
		\begin{enumerate}
			\item $\mathrm{e}^{2x}$.
			
			\item $\mathrm{e}^{0}$.
			
			\item $\mathrm{e}^{-2x}$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 19 page 174.
		
		\begin{enumerate}
			\item $\mathrm{e}^{4x}$.
			
			\item $\mathrm{e}^{-2x}$.
			
			\item $\mathrm{e}^{-2x+2}$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 20 page 174.
		
		\begin{enumerate}
			\item $\mathrm{e}^{x-0,1}$.
			
			\item $\mathrm{e}^{0,9x}$.
			
			\item $\mathrm{e}^{x+2}$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 21 page 174.
		
		\begin{enumerate}
			\item 
			
			\begin{align*}
				\mathrm{e}^{-0,053(t+13)} &= \mathrm{e}^{-0,053t- 0,053 \times 13}\\
				&= \mathrm{e}^{-0,053t-0,689}\\
				&= \mathrm{e}^{-0,053t} \mathrm{e}^{-0,689}
			\end{align*}
			
			\item 
			
			\begin{align*}
				\frac{A(t+13)}{A(t)} &= \frac{\np{2500} \mathrm{e}^{-0,053(t+13)}}{\np{2500} \mathrm{e}^{-0,053t}}\\
				&= \frac{\mathrm{e}^{-0,053t} \mathrm{e}^{-0,689}}{\mathrm{e}^{-0,053t}}\\
				&= \mathrm{e}^{-0,689}
			\end{align*}
			
			\item 
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Exercices 43 à 57 page  page 176 du manuel Indice.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}[\text{Exercice }]
		\item 43 page 176.
		
		\begin{align*}
			\exp(x) \left( \exp(x)-\exp(-x) \right) &= \exp(x)\times \exp(x) - \exp(x) \times \exp(-x)\\
			&= \exp(x+x) - \exp(x-x)\\
			&= \exp(2x)- \exp(0)\\
			&= \exp(2x)-1
		\end{align*}
		
		\item 44 page 176.
		
		\begin{align*}
			\left( \exp(x)-1 \right) \left( \exp(-x)+1 \right) &= \exp(x) \times \exp(-x) \exp(x) \times 1-1 \times \exp(-x) -1 \times 1\\
			&= \exp(x-x) + \exp(x) -\exp(-x) -1\\
			&= \exp(0)+\exp(x) - \exp(-x)-1\\
			&= 1+\exp(x) - \exp(-x)-1\\
			&= \exp(x) - \exp(-x)
		\end{align*}
		
		\item 45 page 176.
		
		\begin{enumerate}
			\item 
			
			\begin{enumerate}
				\item $\mathrm{e}^{6x-3}$.
				
				\item $\mathrm{e}^{x^2-x-1}$.
				
				\item $\mathrm{e}^{x+17}$.
				
			\end{enumerate}
			
			\item 
			
			\begin{align*}
				\frac{\mathrm{e}^{-x}+\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^{-x}+1} &= \frac{\mathrm{e}^{-x}+\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^{-x}+1} \times \frac{\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^x}\\
				&= \frac{\mathrm{e}^{-x}\times \mathrm{e}^x+\mathrm{e}^x \times \mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^{-x}\times \mathrm{e}^x+1 \times \mathrm{e}^x}\\
				&= \frac{\mathrm{e}^{-x+x}+ \mathrm{e}^{x+x}}{\mathrm{e}^{-x+x}+ \mathrm{e}^x}\\
				&= \frac{ \mathrm{e}^0+\mathrm{e}^{2x}}{\mathrm{e}^0+\mathrm{e}^x}\\
				&= \frac{1+ \mathrm{e}^{2x}}{1+\mathrm{e}^x}
			\end{align*}
			
		\end{enumerate}
		
		\item 46 page 176.
		
		\begin{enumerate}
			\item Faux. Avec $a=0$.

			\item Vrai.
			
			\item Vrai.
			
			\item Vrai.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 47 page 176.
		
		\begin{enumerate}
			\item $\mathrm{e}^{2x+1}$.
			
			\item $\mathrm{e}^{5-2x}$.
			
			\item $\mathrm{e}^{-1,9x}$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 48 page 176.
		
		\begin{enumerate}
			\item $\mathrm{e}^{2+x}$.
			
			\item $\mathrm{e}^{6-0,1x}$.
			
			\item Erreur.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 49 page 176.
		
		\begin{enumerate}
			\item $\mathrm{e}^{7-0,2x}$.
			
			\item $\mathrm{e}^{x-10}$.
			
			\item $\mathrm{e}^{-2x+4}$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 50 page 176.
		
		\begin{enumerate}
			\item $\mathrm{e}^{2x-1}$.
			
			\item $\mathrm{e}^{x+2}$.
			
			\item $\mathrm{e}^{4x+6}$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 51 page 176.
		
		\begin{enumerate}
			\item 
			
			\begin{align*}
				\left( 1+3\mathrm{e}^x \right) \left( \mathrm{e}^x-3 \right) &= 1 \times \mathrm{e}^x+1 \times (-3) +3\mathrm{e}^x \times \mathrm{e}^x +3 \mathrm{e}^x \times (-3)\\
				&= \mathrm{e}^x-3+3 \mathrm{e}^{x+x} -9 \mathrm{e}^x\\
				&= \mathrm{e}^{2x} -8\mathrm{e}^x-3
			\end{align*}
			
			\item 52 page 176.
			
			\begin{align*}
				\frac{\mathrm{e}^{1+x}}{\mathrm{e}^{-x}+ \mathrm{e}^x} &= \frac{\mathrm{e}^{1+x}}{\mathrm{e}^{-x}+ \mathrm{e}^x} \times \frac{\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^{x}}\\
				&= \frac{\mathrm{e}^{1+x} \times \mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{-x} \times \mathrm{e}^x+ \mathrm{e}^x \times \mathrm{e}^x}\\
				&= \frac{\mathrm{e}^{2x+1}}{\mathrm{e}^{0} + \mathrm{e}^{2x}}\\
				&= \frac{\mathrm{e}^{2x+1}}{1 + \mathrm{e}^{2x}}
			\end{align*}
			
			\item 53 page 176.
			
			\begin{align*}
				\frac{\mathrm{e}^{x}}{1+\mathrm{e}^x} &= \frac{\mathrm{e}^{x}}{1+\mathrm{e}^x} \times \frac{\mathrm{e}^1}{\mathrm{e}^1}\\
				&= \frac{\mathrm{e}^{x} \times \mathrm{e}^1}{1 \times \mathrm{e}^1+\mathrm{e}^x \times \mathrm{e}^1}\\
				&= \frac{\mathrm{e}^{x+1}}{\mathrm{e}^1+\mathrm{e}^{x+1}}\\
				&= \frac{\mathrm{e}^{x+1}}{\mathrm{e} + \mathrm{e}^{x+1}}
			\end{align*}
			
			\item 54 page 176.
			
			\begin{align*}
				1-\frac{\mathrm{e}^{-x}}{1+\mathrm{e}^{-x}} &= \frac{1+\mathrm{e}^{-x}}{1+ \mathrm{e}^{-x}} \times \frac{\mathrm{e}^{-x}}{1+\mathrm{e}^{-x}}\\
				&= \frac{1+\mathrm{e}^{-x}-\mathrm{e}^{-x}}{1+\mathrm{e}^{-x}}\\
				&= \frac{1}{1+\mathrm{e}^{-x}}\\
				&= \frac{1}{1+\mathrm{e}^{-x}} \times \frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}}\\
				&= \frac{1 \times \mathrm{e}^{x}}{1 \times \mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x} \times \mathrm{e}^x}\\
				&= \frac{\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^x+ \mathrm{e}^{x-x}}\\
				&=\frac{\mathrm{e}^x}{1+ \mathrm{e}^x}
			\end{align*}
			
			\item 55 page 176.
			
			\begin{enumerate}
				\item Faux: avec $x=0$.
				
				\item Vrai.
				
				\item Faux avec $x=0$.
				
			\end{enumerate}
			
			\item 56 page 176.
			
			Erreur dans l'énoncé. La fonction dans la première question n'est pas $f$ mais $N$.
			
			\begin{enumerate}
				\item 
				
				\begin{align*}
					\frac{N(t+1)-N(t)}{N(t)} &= \frac{50\mathrm{e}^{-0,01(t+1)}- 50 \mathrm{e}^{-0,01t}}{50\mathrm{e}^{-0,01t}}\\
					&= \frac{50 \left[ \mathrm{e}^{-0,01t-0,01}-\mathrm{e}^{-0,01t} \right]}{50\mathrm{e}^{-0,01t}}\\
					&= \frac{50 \left[ \mathrm{e}^{-0,01t} \mathrm{e}^{-0,01}-\mathrm{e}^{-0,01t} \right]}{50\mathrm{e}^{-0,01t}}\\
					&= \frac{50 \mathrm{e}^{-0,01t} \left[ \mathrm{e}^{-0,01}-1 \right]}{50\mathrm{e}^{-0,01t}}\\
					&= \mathrm{e}^{-0,01t}-1
				\end{align*}
				
				\item $\mathrm{e}^{-0,01t}-1 \approx -0,010$. La population diminue de $1\ \%$ par jour (le rapport de la question précédente est une variation relative, multiplié par $100$ on obtient le taux d'évolution).
				
			\end{enumerate}
			
		\end{enumerate}
		
		\item 57 page 176.
		
		Tous les segments passent par le point $\left( 0; \frac{1}{2} \right)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Soit $x \in \mathbb{R}$.
	
	Simplifiez les expression suivantes.
	
	\noindent
	\begin{tabular}{m{5.5cm}|m{5.5cm}}
		\begin{enumerate}[]
			\item $\displaystyle A = \frac{\mathrm{e}^{2x}}{ \mathrm{e}^{3x}}$.
			\item $\displaystyle B= \mathrm{e}^x \left( 1+2 \mathrm{e}^{-x} \right)$.
			\item $\displaystyle C= \frac{\mathrm{e}^{x+2}}{ \mathrm{e}^{x+1}}$.
			\item $\displaystyle D= \left( \mathrm{e}^x+ \mathrm{e}^{-x} \right)^2$.
			\item $\displaystyle E= \frac{\mathrm{e}^{2x-1}}{\left( \mathrm{e}^x \right)^2}$.
			\item $\displaystyle F= \mathrm{e}^{2x} \times \mathrm{e}^{-2x}$.
			\item $\displaystyle G= \mathrm{e}^{2x+1} \times \mathrm{e}^{1-x}$.
			\item $\displaystyle H= \frac{\mathrm{e}^{x+2}}{\mathrm{e}^{-x+2}}$.
		\end{enumerate}
		&
		\begin{enumerate}[]
			\item $\displaystyle I= \mathrm{e}^{2x+1} \times \mathrm{e}^{1-x}$.
			\item $\displaystyle J= \frac{\mathrm{e}^{3x} + \mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^{2x} +1 }$.
			\item $\displaystyle K= \frac{\left( \mathrm{e}^2 \right)^5}{\mathrm{e}^9}$.
			\item $\displaystyle L= \sqrt{\mathrm{e}^2} \times \frac{1}{\mathrm{e}^{-2}}$.
			\item $\displaystyle M= \frac{1}{1+\mathrm{e}}-\frac{\mathrm{e}^{-1}}{1+ \mathrm{e}^{-1}}$.
			\item $\displaystyle N= \left( \mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x} \right)^2 - \left( \mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x} \right)^2$.
			\item $\displaystyle P= \frac{1+ \mathrm{e}^{2x}}{1- \mathrm{e}^x} + \frac{\mathrm{e}^{-x}+\mathrm{e}^x}{1- \mathrm{e}^{-x}}$.
			\item $\displaystyle Q= \left( \mathrm{e}^x+1 \right)^2 -\sqrt{\mathrm{e}^{4x}}-1$.
		\end{enumerate}
		
	\end{tabular}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Déterminez si les égalités suivantes sont vraies ou fausses.
	
	\noindent
	\begin{tabular}{m{5.5cm}|m{5.5cm}}
		\begin{enumerate}
			\item $\displaystyle \mathrm{e}^{\frac{1}{2}x} = \sqrt{\mathrm{e}^x}$.
			\item $\displaystyle \sqrt{\mathrm{e}^{x^2}}=\mathrm{e}^x$.
			\item $\displaystyle \sqrt{\mathrm{e}^{2x}}= \mathrm{e}^x$.
			\item $\displaystyle \left( \frac{1}{\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}} \right)^2= \mathrm{e}^x$.
			\item $\displaystyle \mathrm{e}^{-2x}= \frac{1}{\left( \mathrm{e}^x \right)^2}$.
			\item $\displaystyle \mathrm{e}^{1-x}= \frac{\mathrm{e}}{\mathrm{e}^x}$.
		\end{enumerate}
		&
		\begin{enumerate}
			\setcounter{enumi}{6}
			\item $\displaystyle \mathrm{e}^x + \mathrm{e}^x= 2 \mathrm{e}^x$.
			\item $\displaystyle \left( \frac{1}{\mathrm{e}^x} \right)^3 = \mathrm{e}^{-3x}$.
			\item $\displaystyle \mathrm{e}^{x-1} \times \mathrm{e}^{1-x}=1$.
			\item $\displaystyle \frac{\left( \mathrm{e}^x \right)^2}{\mathrm{e}}= \mathrm{e}^{2x-1}$.
			\item $\displaystyle \frac{\mathrm{e}^{3x}}{\mathrm{e}^x}= \mathrm{e}^3$.
		\end{enumerate}
	\end{tabular}
	
\end{exercice}

\subsection{Fonction exponentielle: variation et signe.}

\subsubsection{Généralités.}

\begin{notabene}
	
	Les questions que nous pouvons nous poser sur cette fonction: signe, variation, parité, périodicité, maximum, minimum, ...
	
\end{notabene}

\begin{proposition}{}
	
	La fonction exponentielle est définie, dérivable, strictement positive, strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	La seule chose que nous n'ayons pas établi est la stricte croissance.
	
	$\exp'=\exp$ et $\exp>0$, donc $\exp$ est strictement croissante.
	
\end{preuve}

\begin{exemples}
		
	\begin{enumerate}
		\item Étudions les variations de $f: x \mapsto \mathrm{e}^x+x$.
		
		\item Étudions les variations de $g: x \mapsto \mathrm{e}^{-2x+1}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{}
	
	Exercices 29 à 42 page 175 du manuel Indice. Fonctions avec exponentielle.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Exercices 58 à 67 page 176 du manuel Indice. Étudier le signe d'expressions algébriques.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}[\text{Exercice }]
		\item 58 page page 176.
		
		$A>0$. $B>0$. $C<0$.
		
		\item 59 page 176.
		
		$A<0$, $B>0$. $C>0$.
		
		\item 60 page 176.
		
		$A<0$. $B>0$. $C>0$.
		
		\item 61 page 176.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $5-x$ /0.8}
			{$-\infty$ ,$5$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,+,z,-,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $x(x-1)$ /0.8}
			{$-\infty$ ,$0$, $1$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item 62 page 176.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $1-2x$ /0.8}
			{$-\infty$ ,$\frac{1}{2}$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,+,z,-,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $(1-x)x$ /0.8}
			{$-\infty$ ,$0$, $1$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item 63 page 176.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $(2-x)(2+x)$ /0.8}
			{$-\infty$ ,$-2$, $2$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $x-\mathrm{e}^{2}$ /0.8}
			{$-\infty$ ,$\mathrm{e}^{2}$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,z,+,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item 64 page 176.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $(x-\mathrm{e})(x+\mathrm{e})$ /0.8}
			{$-\infty$ ,$-\mathrm{e}$, $\mathrm{e}$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $1-x$ /0.8}
			{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,+,z,-,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item 65 page 176.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $x$ /0.8}
			{$-\infty$ , $0$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,z,+,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $x-\mathrm{e}$ /0.8}
			{$-\infty$ ,$\mathrm{e}$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,z,+,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item 66 page 177.
		
		$44-v(t)=\mathrm{e}^{-\frac{t}{5}}>0$.
		
		Donc $44>v(t)$.
		
		\item 67 page 177.
		
		\begin{align*}
			\mathrm{e}^{-0,14x} &> 0\\
			-4\mathrm{e}^{-0,14x} &< 0\\
			4-4\mathrm{e}^{-0,14x} &< 4\\
		\end{align*}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Exercices 87 à 108 pages 178 et 179 du manuel Indice. Fonctions avec exponentielle.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}[\text{Exercice }]
		\item 87 page page 178.
		
		$f'(x)=(4-x) \mathrm{e}^x$.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
			{$-\infty$ ,$4$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,+,z,-,}%
			\tkzTabVar {-/ , + / $\mathrm{e}^4$, -/ }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item 88 page page 178.
		
		$f'(x)=(1+x) \mathrm{e}^x$.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
			{$-\infty$ ,$-1$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,z,+,}%
			\tkzTabVar {+/ , - / $-\mathrm{e}^{-1}-1$, +/ }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item 89 page page 178.
		
		$f'(x)=\frac{1}{2} x(2-x)  \mathrm{e}^{-x}$.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $x$ /0.8, $2-x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
			{$-\infty$ ,$0$, $2$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}%
			\tkzTabLine{,+,t,+,z,-,}%
			\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}%
			\tkzTabVar {+/ , - / $0$ , +/ $2\mathrm{e}^{-2}$, -/ , }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item 91 page page 178.
		
		$f'(x)=2 \mathrm{e}^x \left( \mathrm{e}^x-1 \right)$.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $\mathrm{e}^x-1$ /0.8, $f$ /1.6}
			{$-\infty$ ,$0$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,z,+,}%
			\tkzTabVar {+/ , - / $0$, +/ }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item 92 page page 178.
		
		$f'(x)=(3-x) \mathrm{e}^{-x}$.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $3-x$ /0.8, $f$ /1.6}
			{$-\infty$ ,$3$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,+,z,-,}%
			\tkzTabVar {-/ , + / $\mathrm{e}^{-3}$, -/ }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item 93 page page 178.
		
		$f'(x)=\frac{(x^2-2x-3) \mathrm{e}^{x}}{(x^2-3)^2}$.
		
		$\delta=16$, $x_1=3$, $x_2=-1$. $a>0$.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $x^2-2x-3$ /0.8, $f$ /1.6}
			{$-\infty$ ,$-1$, $3$,  $+\infty$}
			\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}%
			\tkzTabVar {-/ , + / $-\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-1}$ , -/ $\frac{1}{3}\mathrm{e}^{3}$, +/ , }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item 94 page page 178.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $(1-2x)$ /0.8, $f$ /1.6}
			{$-\infty$ , $\frac{1}{2}$,  $+\infty$}
			\tkzTabLine{,+,z,-,}%
			\tkzTabVar {-/ , + / $\frac{1}{2\mathrm{e}}$, -/, }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item 95 page page 178.
		
		$f'(x)=2(10-x)\mathrm{e}^{-0,01x+3}$.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $(10-x)$ /0.8, $f$ /1.6}
			{$-\infty$ , $10$,  $+\infty$}
			\tkzTabLine{,+,z,-,}%
			\tkzTabVar {-/ , + / $200\mathrm{e}^2$, -/, }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item 96 page page 178.
		
		$f'(x)=-\mathrm{e}^{-x+1}$.
		
		$f$ strictement décroissante.
		
		\item 97 page page 178.
		
		$f'(x)=\mathrm{e}^{0}-\mathrm{e}^{-x}$.
		
		$f'$ du signe de $0-(-x)$ donc $x$.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f$ /1.6}
			{$-\infty$ ,$0$, $+\infty$}
			\tkzTabVar {+/ , - / $-1$, +/ }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item 98 page 179.
		
		\begin{enumerate}
			\item $f'(x)=(5+6x)\mathrm{e}^{3x}$.
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $5+6x$ /0.8, $f$ /1.6}
				{$-\infty$ ,$-\frac{5}{6}$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,-,z,+,}%
				\tkzTabVar {+/ , - / $\frac{8}{3} \mathrm{e}^{\frac{5}{2}}$, +/ }
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\item $y=5x+1$.
			
			\item Étude du signe de $f(x)-0$ en fonction de $x$. Donc de $1+2x$.
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $1+2x$ /0.8, $f$ /1.6}
				{$-\infty$ ,$-\frac{1}{2}$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,-,z,+,}%
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			Donc $\mathscr{C}_f$ est au-dessus de l'axe des abscisses pour $x \in \left] -\frac{1}{2}; + \infty \right[$.
			
			
			Donc $\mathscr{C}_f$ est au-dessous de l'axe des abscisses pour $x \in \left] -\infty ; -\frac{1}{2}\right[$.
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Équations et inéquations faisant intervenir l'exponentielle.}

\begin{theoreme}{}
	
	Soient $x$ et $y$ deux réels.
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $\mathrm{e}^x=\mathrm{e}^y \Leftrightarrow x=y$.
		
		\item $\mathrm{e}^x<\mathrm{e}^y \Leftrightarrow x<y$.
		
		\item $\mathrm{e}^x\leqslant \mathrm{e}^y \Leftrightarrow x\leqslant y$.
	\end{enumerate}

\end{theoreme}

\begin{preuve}{}
	
	Découle de la stricte croissance de la fonction exponentielle sur $\mathbb{R}$.
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Nous utiliserons souvent le $(ii)$ de la façon suivante: $\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^y$ est du signe de $x-y$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Résolvons $\mathrm{e}^{-2x+1} = 1$.
		
		\item Résolvons $\frac{\mathrm{e}^{2x+1}}{\mathrm{e}^{x-4}} = \mathrm{e}^{x^2-1}$.
		
		\item Résolvons dans $\mathbb{R}$ l'équation $\mathrm{e}^{3x-4}=\mathrm{e}^{-6}$.
			
		\begin{align*}
			\mathrm{e}^{3x^2-4}=\mathrm{e}^{-6} &\Leftrightarrow 3x^2-4=-6\\
			&\Leftrightarrow x^2=-\frac{2}{3}
		\end{align*}
		
		L'ensemble des solutions de l'équation proposée est $\mathscr{S}=\emptyset$.
		
		\item $\mathrm{e}^2 -\mathrm{e}^{3x+1}$ est du signe de $2-(3x+1)$ d'où le tableau de signe.
		
	\end{enumerate}

\end{exemples}


\begin{exercice}{}
	
	Exercices 22 à 28 page 175 du manuel Indice.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Exercices 68 à 80 page 177 du manuel Indice.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}[\text{Exercice }]
		\item 68 page 177.
		
		\begin{enumerate}
			\item $\mathrm{e}^{x^2} = \mathrm{e}^x \Leftrightarrow x^2=x \Leftrightarrow x(x-1)=0 \Leftrightarrow x \in \{ 0;1 \}$.
			
			\item $\mathrm{e}^{-2x}-1=0 \Leftrightarrow \mathrm{e}^{-2x}=\mathrm{e}^0 \Leftrightarrow -2x=0 \Leftrightarrow x=0$.
			 
		\end{enumerate}
		
		\item 69 page 177.
		
		\begin{enumerate}
			\item $\mathrm{e}^{5x+1}= \mathrm{e} \times \mathrm{e}^{2x} \Leftrightarrow 5x=1=2x+1 \Leftrightarrow x=0$.
			
			\item $\left( \mathrm{e}^x-\mathrm{e}^2 \right) \left( \mathrm{e}^{-x} +5 \right)=0 \Leftrightarrow \left( \mathrm{e}^x-\mathrm{e}^2 =0 \ \text{ou}\ \mathrm{e}^{-x}+5=0 \right) \Leftrightarrow \mathrm{e}^x=\mathrm{e}^2 \Leftrightarrow x=2$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 70 page 177.
		
		\begin{enumerate}
			\item $3 \mathrm{e}^{3x-42} +1=4 \Leftrightarrow \mathrm{e}^{3x-42}=\mathrm{e}^0 \Leftrightarrow 3x-42=0 \Leftrightarrow x=14$.
			
			\item $\mathrm{e}^{5x} = \frac{\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}} \Leftrightarrow \mathrm{e}^{5x}=\mathrm{e}^{-x-1} \Leftrightarrow 5x=-x-1 \Leftrightarrow x=-\frac{1}{6}$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 71 page 177.
		
		$\left( \mathrm{e}^x \right)^2-\mathrm{e}=0 \Leftrightarrow \mathrm{e}^{2x}= \mathrm{e}^{1} \Leftrightarrow 2x=1 \Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$.
		
		\item 72 page 177.
		
		\begin{enumerate}
			\item $\mathscr{S} = \{ 1 ; -7 \}$.
			
			\item $\mathrm{e}^{x} \in \{ 1; -7 \} \Leftrightarrow \left( \mathrm{e}^x=1 \ \text{ou} \ \mathrm{e}^x=-7 \right) \Leftrightarrow \mathrm{e}^x = \mathrm{e}^0 \Leftrightarrow x=0$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 73 page 177.
		
		\begin{enumerate}
			\item $\mathrm{e}^x-2\mathrm{e}^{-x}+1=0 \Leftrightarrow \left( \mathrm{e}^x-2\mathrm{e}^{-x}+1=0 \right) \mathrm{e}^x=0 \Leftrightarrow \mathrm{e}^{2x}-2\mathrm{e}^{0}+\mathrm{e}=0 \Leftrightarrow \left( \mathrm{e}^x \right)^2 + \mathrm{e} -2=0$.
			
			\item $X^2+X-2= 0 \Leftrightarrow X \in \{ 1;-2 \}$ $\Leftrightarrow \mathrm{e}=1 \leftrightarrow x=0$
			
		\end{enumerate}
		
		\item 74 page 177.
		
		\begin{enumerate}
			\item $1 \leqslant \mathrm{e}^{3x} \Leftrightarrow 0 \leqslant 3x \Leftrightarrow x \in \mathbb{R}_+$.
			
			\item $\mathrm{e}^{-x^2}-\mathrm{e} \times \mathrm{e}^{7x-9} \leqslant 0 \Leftrightarrow -x^2 \leqslant 7x-9+1 \leftrightarrow 0 \leqslant x^2-7x-8 \leftrightarrow x \in ] - \infty ;-1 ] \cup [8;+\infty[$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 75 page 177.
		
		\begin{enumerate}
			\item $x \in [-1;1]$.
			
			\item $x \in [-4; +\infty[$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 76 page 177.
		
		\begin{enumerate}
			\item $\mathrm{e}^{2x}-\mathrm{e}^x = \mathrm{e}^x \left( \mathrm{e}^x-1 \right)$.
			
			\item $\mathbb{R}_+$.
			
			\item $\mathrm{e}^{2x}-\mathrm{e}^x \geqslant 0$
			
		\end{enumerate}
		
		\item 77 page 177.
		
		\begin{enumerate}
			\item $\mathbb{R}_-$.
			
			\item $1 -\frac{1+\mathrm{e}^x}{1+\mathrm{e}^{-x}} = \frac{\mathrm{e}^{-x}-\mathrm{e}^x}{1+\mathrm{e}^{-x}} <0$
			
		\end{enumerate}
		
		\item 78 page 177.
		
		\begin{enumerate}
			\item $\left\{ 1; -\frac{2}{5} \right\}$.
			
			\item $-5 \left( \mathrm{e}^x-1 \right) \left( \mathrm{e} + \frac{2}{5} \right)$.
			
			\item 
		\end{enumerate}
		
		\item 79 page 177.
		
		\begin{enumerate}
			\item 
			
			\item nul en $0$, strictement positif sur $\mathbb{R}_-^*$ et strictement négatif sur $\mathbb{R}_+^*$.
				
		\end{enumerate}
		
		\item 80 page 177.
		
		\begin{enumerate}
			\item Faux. c'est $0$.
			
			\item Faux. Si $x<0$, $\mathrm{e}^{-x}> \mathrm{e}^{x}$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}
	
\begin{exercice}{ - convexité de l'exponentielle.}
	
	Soit $a \in \mathbb{R}$. On appelle $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction exponentielle et $\mathscr{T}_a$ la tangente à $\mathscr{C}$ au point d'abscisse $a$. Montrer que $\mathscr{C}$ est au-dessus de $\mathscr{T}_a$.
	
\end{exercice}

\subsection{Construction de la courbe représentative de l'exponentielle par la méthode d'Euler.}

\begin{lecon}
	
	La problématique est la suivante: nous ne connaissons pour l'instant (dans cette leçon) aucun moyen de calculer des images par exponentielle, nous ne connaissons pas même la valeur de $\mathrm{e}$. Bien sûr, votre calculatrice donne des valeurs approchées, mais notre objectif est précisément de savoir quelles instructions lui ont été données pour y parvenir.
	
 \end{lecon}

\subsubsection{Méthode d'Euler: point de vue géométrique.}

\begin{lecon}
	
	L'idée, pour obtenir à peu près la courbe représentative de la fonction exponentielle, est de dire que, localement, la courbe représentative se confond avec la tangente. Nous pouvons dire que la tangente est une approximation de la courbe représentative.
	
	\begin{notabene}
		
	Pour l'instant les informations pertinentes concernant la courbe représentative $\mathscr{C}$ de la fonction exponentielle dont nous disposons:
	
	\begin{itemize}
		\item $\exp$ est définie sur $\mathbb{R}$.
		
		\item Hors programme: $\exp$ est dérivable donc elle est continue. Par conséquent sa courbe représentative est d'un seul tenant, d'un seul trait.
		
		\item $\exp>0$ donc sa courbe représentative est toute entière au-dessus de l'axe des abscisses.
		
		\item $\exp$ est strictement croissante. Donc la courbe représentative monte constamment.
		
		\item $\exp(0)=1$ donc la courbe représentative passe par le point de coordonnées $M(0;1)$.
		
	\end{itemize}
	
	Tracer des tangentes à main levé avec un pas de $1$ en commençant par placer $M_0$ puis détermination de la tangente, puis détermination du nouveau point $M_1(1;2)$ et donc nouvelle image $\exp(1)\approx 2$.
	
	\end{notabene}
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1.5,yscale=1.5]
		\def\xY{-4};
		\def\yY{-0.5};
		\def\xZ{2.5};
		\def\yZ{6.5};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
		\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		\foreach \x in {-4,-3,...,-1,1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\foreach \y in {1,2,...,6}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
		%\draw[blue][samples=100,domain=0:1] plot(\x,{pow(2,\x)});
		%Pas de 1/\n 
		\def\n{2};
		\def\xmax{2};
		\draw[blue] ({0},{1}) node {$\times$};
		\foreach \k in {1,...,{\xmax*\n}}{
			\def\yk{pow((1+1/\n),(\k-1)};
			\def\xk{(\k-1)/\n};
			\def\yksuivant{pow((1+1/\n),\k};
			\def\xksuivant{\k/\n};
			\draw[blue] ({\xk},{\yk}) -- ({\xksuivant},{\yksuivant});
			\draw[blue] ({\xksuivant},{\yksuivant}) node {$\times$};
		}
		\def\xmin{3};
		\foreach \k in {1,...,{\xmin*\n}}{
			\def\yk{1/pow((1+1/\n),(\k-1)};
			\def\xk{-(\k-1)/\n};
			\def\yksuivant{1/pow((1+1/\n),\k};
			\def\xksuivant{-\k/\n};
			\draw[blue] ({\xk},{\yk}) -- ({\xksuivant},{\yksuivant});
			\draw[blue] ({\xksuivant},{\yksuivant}) node {$\times$};
		}
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{lecon}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1.5,yscale=1.5]
	\def\xY{-4};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{2.5};
	\def\yZ{6.5};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\foreach \x in {-4,-3,...,-1,1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2,...,6}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	%\draw[blue][samples=100,domain=0:1] plot(\x,{pow(2,\x)});
	%Pas de 1/\n 
	\def\n{8};
	\def\xmax{2};
	\draw[blue] ({0},{1}) node {$\times$};
	\foreach \k in {1,...,{\xmax*\n}}{
		\def\yk{pow((1+1/\n),(\k-1)};
		\def\xk{(\k-1)/\n};
		\def\yksuivant{pow((1+1/\n),\k};
		\def\xksuivant{\k/\n};
		\draw[blue] ({\xk},{\yk}) -- ({\xksuivant},{\yksuivant});
		\draw[blue] ({\xksuivant},{\yksuivant}) node {$\times$};
	}
	\def\xmin{3};
	\foreach \k in {1,...,{\xmin*\n}}{
		\def\yk{1/pow((1+1/\n),(\k-1)};
		\def\xk{-(\k-1)/\n};
		\def\yksuivant{1/pow((1+1/\n),\k};
		\def\xksuivant{-\k/\n};
		\draw[blue] ({\xk},{\yk}) -- ({\xksuivant},{\yksuivant});
		\draw[blue] ({\xksuivant},{\yksuivant}) node {$\times$};
	}
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Exemple 2 page 176 belin spécialité 1ieme 2019.
		
	\end{notabene}
	
	Nous souhaitons construire une suite $M_n(x_n;y_n)$ de points à peu près sur la courbe représentative de la fonction exponentielle.
		
	\medskip
	On fixe le pas $h=0,1$ qui est la distance séparant les abscisses des points que nous allons construire. On pose $x_0=0$, $y_0=1$ et pour tout $n$ entier naturel, $x_{n+1}=x_n+h$.
	
	\medskip
	{\footnotesize \color{orange}
	Expliquons comment, à partir d'un point $M_n$ qui est (à peu près) sur la courbe représentative de $\mathscr{C}$ de $\exp$ obtenir le point suivant.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.6,yscale=0.6]
		\def\xY{-0.25};
		\def\yY{-0.25};
		\def\xZ{6};
		\def\yZ{4};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);		\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		\draw[ ->,very thick, black] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,very thick, black] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=0.5:5] plot(\x,{0.5*\x +1}) node [below] {$T_n$};
		\draw[black] (2,2) node[above left] {$M_n$};
		\draw[black] (2,2) node {$\bullet$};
		\draw[black] (4,3) node[below right] {$M_{n+1}$};
		\draw[black] (4,3) node {$\bullet$};
		\draw[red] plot[smooth] coordinates {(0.5,1.5) (2,2) (5,3.8)};
		\draw[red] (0.3,1.7) node {$\mathscr{C}$};
		\draw (2,-0.5) node {$x_n$};
		\draw (4,-0.5) node {$x_{n+1}$};
		\draw[>=latex, <->, black] (2,-0.8) -- (4,-0.8) node [midway, above,black] {$h$};
		\draw[black] (-2,2) node {$y_n\approx \exp(x_n)$};
		\draw[black] (-2,3) node {$y_{n+1} \approx \exp(x_{n+1})$};
		\draw [orange, dashed, thick] (0,2) -- (2,2) -- (2,0);
		\draw [orange, dashed, thick] (0,3) -- (4,3) -- (4,0);
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	La tangente $T_n$ au point d'abscisse $x_n$ a pour équation $y=\exp'(x_n)(x-x_n)+\exp(x_n)$.
	
	Or $\exp'=\exp$ donc \[ T_n: \ y=\exp(x_n)(x-x_n)+\exp(x_n). \]
	
	De plus, $M_n(x_n;y_n)$ appartenant à $\mathscr{C}$ nous avons $y_n=\exp(x_n)$ et donc \[ T_n:\ y= y_n(x-x_n)+y_n. \]
	
	Puisque $T_n$ est presque confondue avec $\mathscr{C}$ nous pouvons dire que $M_{n+1}$ sera le point de $T_n$ d'abscisse $x_{n+1}$. En utilisant l'équation de la tangente: \[ y_{n+1}= y_n(x_{n+1}-x_n)+y_n. \]
	
	Et donc, comme $x_{n+1}-x_n=h$, \[ y_{n+1}=y_nh+y_n. \]
	
	}
	
	Ainsi, pour tout entier naturel $n$, \[ x_{n+1}=x_n+h \quad \text{et} \quad y_{n+1}=y_n(1+h).\]
	
	\begin{enumerate}
		\item Sans justification précisez la nature des suites $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $(y_n)_{n\in\mathbb{N}}$.
		
		\item Avec un tableur on obtient:
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
				\hline
				& \texttt{A} & \texttt{B} & \texttt{C} & \texttt{D}
				\\
				\hline
				\texttt{1} & x & $0$ & $0,1$ & $0,2$
				\\
				\hline
				\texttt{2} & y & $1$ & $1,1$ & $1,21$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
		\begin{enumerate}
			\item Quelles formules ont été rentrées en \texttt{C1} et \texttt{C2} et recopiées vers la droite?
			
			\item Retranscrivez le précédent tableau dans une feuille de calcul puis recopiez vers la droite les formules entrées en \texttt{C1} et \texttt{C2}.
			
			\item Affichez dans le tableur la représentation graphique de ce nuage de points.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\setcounter{Exercice}{9}
\begin{exercice}{}
	
	\begin{center}
		{\color{RoyalBlue}(Suite)}
	\end{center}
	
	\begin{enumerate}
		\setcounter{enumi}{2}
			
		\item Nous allons faire un programme en Python qui fera le même travail que le tableur. Nous allons avoir besoin d'un nouveau type de variable appelé une \emph{\color{purple}liste}. Une liste, comme en mathématique, est une suite mais finie indexée à partir de $0$.
		
		\medskip
		{\color{RoyalBlue} Par exemple l'instruction $L=[23,2.5,4]$ crée la liste appelée $L$ formé des trois éléments $23$, $2.5$ et $4$ (dans cet ordre). Il est possible d'appeler chaque élément de la liste: $L[0]$ vaut $23$, $L[1]$ vaut $2.5$ et $L[2]$ vaut $4$.
		
		Il est possible de rassembler deux listes par l'opérateur de concaténation qui est le plus $[2,a]+[7]$ donnera la liste $[2,a,7]$.}
		
		\begin{enumerate}
			\item Indiquez ce qu'il faut ajouter à ce programme pour qu'il affiche les points $M_n$ reliés par des segments.
			
			\begin{center}
				\begin{minipage}{8cm}
					\lstset{emph={abscisses,ordonnees}, emphstyle=\color{red},
						emph={[2]x,xn,k,y,yn}, emphstyle={[2]\color{Green}}}
					\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}			
import numpy
import matplotlib.pyplot

def abscisses():
  x=0
  xn=[]
  k=0
  while k<11:
    xn=xn+[x]
    k=.....
    x=.....
  return(xn)

def ordonnees():
  y=1
  yn=[]
  k=0
  while k<11:
    yn=yn+[y]
    k=.....
    y=.....
  return(yn)

matplotlib.pyplot.plot(abscisses(),ordonnees())
matplotlib.pyplot.show()
					\end{lstlisting}
				\end{minipage}
			\end{center}

			
			\item Exécutez le précédent programme avec Python.
			
			\item Proposez un programme Python qui trace les points $M_n$  reliés par des segments, pour un pas $h=\frac{1}{10^m}$ avec $m \in \mathbb{N}^*$.
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item D'après les formules de récurrences ($h$ est une valeur fixe)
		
		\begin{conclusion}
			
			$\left( x_n \right)_{n\in\mathbb{N}}$ est arithmétique de premier terme $x_0=0$ et de raison $r=h$.
			
			$\left( y_n \right)_{n\in\mathbb{N}}$ est géométrique de premier terme $y_0=1$ et de raison $q=1+h$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item En \texttt{C1}:
			
			\begin{conclusion}
				
				$=\texttt{B1}+0,1$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			En \texttt{C2}:
			
			\begin{conclusion}
				
				$=\texttt{B2}*(1+0,1)$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item Voir ce \href{http://unemainlavelautre.net/1ieme/1ieme_analyse_04_exponentielle_04_tableur_exercice.xlsx}{fichier excell}
			
			\item Voyez le précédent fichier.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item ~
			
			\begin{center}
				
				\begin{tabular}{|c|}
					\hline
					\begin{minipage}{10cm}
						\begin{lstlisting}{language=Python}
import numpy
import matplotlib.pyplot

def abscisses():
  x=0
  xn=[]
  k=0
  while k<11:
    xn=xn+[x]
    k=k+1
    x=x+0.1
  return(xn)

def ordonnees():
  y=1
  yn=[]
  k=0
  while k<11:
    yn=yn+[y]
    k=k+1
    y=y*(1+0.1)
  return(yn)

matplotlib.pyplot.plot(abscisses(),ordonnees())
matplotlib.pyplot.show()

						\end{lstlisting}
					\end{minipage}
					\\
					\hline
				\end{tabular}
				
			\end{center}
			
			\item Nous obtenons le graphique:
			
			\begin{center}
				
				\includegraphics[scale=0.5]{1ieme_analyse_04_exponentielle_05_graphique_python_exercice.png}
				
			\end{center}			
			
			\item Par exemple pour $m=4$, et donc $h=10^{-4}$:
			
			\begin{center}
				
				\begin{tabular}{|c|}
					\hline
					\begin{minipage}{10cm}
						\begin{lstlisting}{language=Python}
import numpy
import matplotlib.pyplot

m=4

def abscisses():
  x=0
  xn=[]
  k=0
  while k<10**m+1:
    xn=xn+[x]
    k=k+1
    x=x+10**(-m)
  return(xn)

def ordonnees():
  y=1
  yn=[]
  k=0
  while k<10**m+1:
    yn=yn+[y]
    k=k+1
    y=y*(1+10**(-m))
  return(yn)

matplotlib.pyplot.plot(abscisses(),ordonnees())
matplotlib.pyplot.show()
			
			\end{lstlisting}
		\end{minipage}
		\\
		\hline
	\end{tabular}
	
\end{center}
			
			Ce qui renvoie			
			
			\begin{center}
				
				 \includegraphics[scale=0.5]{1ieme_analyse_04_exponentielle_06_graphique_python_exercice.png}
				
			\end{center}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}

\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Exercices 81 à 86 pages 177 et 178 du manuel Indice.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}[\text{Exercice }]
		\item 81 page 177.
		
		\begin{enumerate}
			\item $f'(x)=2,2\mathrm{e}^{2,2x}$. $f'>0$ $f$ strictement croissante.
			
			\item 
			
			\item  $f'(x)=-0,3\mathrm{e}^{-0,3x}$. $f'<0$ $f$ strictement décroissante.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 82 page 177.
		
		\begin{enumerate}
			\item $\mathrm{e}^{kx}-\mathrm{e}^{mx}=\mathrm{e}^{kx}-\mathrm{e}^{kx+(m-k)x}=\mathrm{e}^{kx}(1-\mathrm{e}^{(m-k)x})$.
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $1-\mathrm{(m-k)x}$ /0.8}
				{$-\infty$ ,$0$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,-,z,+,}%
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\item $f$ $\mathscr{C}_2$. $g$ $\mathscr{C}_1$. $h$ $\mathscr{C}_3$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Valeur approchée de $\mathrm{e}$.}

\begin{lecon}

	Lors de l'exercice précédent nous avons obtenu une valeur approchée de $\mathrm{e}$ lorsque pour un pas de $\frac{1}{10}$ nous calculons $y_{10}$.
	
	Pour obtenir une valeur plus précise de $\mathrm{e}$ il suffit de prendre un pas plus petit: pour un pas de $\frac{1}{10^3}$, $y_{10^3}$ est une valeur approchée plus fine de $\mathrm{e}$.
	
	En généralisant nous voyons que $\mathrm{e}$ est la limite de la suite de terme général $\left( 1+ \frac{1}{n} \right) ^n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
	
\end{lecon}

\subsection{Fonctions hyperboliques.}

\begin{exercice}{}
	
	On définit sur $\mathbb{R}$ les deux fonctions $\cosh$ (lisez \og cosinus hyperbolique\fg{}) et $\sinh$ (lisez \og sinus hyperbolique\fg{}) par: \[ \cosh (x)=\frac{\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x}}{2} \quad \text{et} \quad \sinh (x)=\frac{\mathrm{e}^x - \mathrm{e}^{-x}}{2}. \]
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrez que $\cosh$ est une fonction paire et $\sinh$ une fonction impaire.
		
		\item Montrez que $\cosh$ et $\sinh$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$ et que, pour tout $x \in \mathbb{R}$, \[ \cosh'(x) = \sinh(x) \text{ et } \sinh'(x)= \cosh(x). \]
		
		\item Dressez le tableau de variation des fonctions $\sinh$ puis $\cosh$.
		
		\item Établissez que, pour tout $x \in\mathbb{R}$, $\cosh^2(x) - \sinh^2(x)=1$.
		
		\item Montrez que pour tous réels $a$ et $b$ on a les égalités \[ \cosh (a+b)= \cosh(a)\cosh(b) +\sinh(a) \sinh(b), \] \[ \sinh(a+b) = \sinh(a) \cosh(b) + \cosh(a) \sinh(b). \]
		
		\item Montrez que $\cosh$ et $\sinh$ vérifient l'équation différentielle $y''=y$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item Soit $x \in \mathbb{R}$.
		
		\begin{align*}
			\cosh(-x) &= \frac{\mathrm{e}^{-x}+ \mathrm{e}^{-(-x)}}{2}\\
			&= \frac{\mathrm{e}^{-x} + \mathrm{e}^{x}}{2}\\
			&= \cosh(x)
		\end{align*}
		
		et
		
		\begin{align*}
			\sinh(-x) &= \frac{\mathrm{e}^{-x}- \mathrm{e}^{-(-x)}}{2}\\
			&= \frac{\mathrm{e}^{-x} - \mathrm{e}^{x}}{2}\\
			&= -\frac{-\mathrm{e}^{-x} + \mathrm{e}^{x}}{2}\\
			&= -\sinh(x)
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\cos$ (resp. $\sinh$) est paire (resp. impaire).
			
		\end{conclusion}
		
		\item $\cos$ (resp. $\sinh$) est une combinaison linéaire de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$ donc est dérivable sur $\mathbb{R}$.
		
		De plus pour tout $x \in \mathbb{R}$:
		
		\begin{align*}
			\cosh'(x) &= \frac{1}{2} \left( \mathrm{e}^x -\mathrm{e}^{-x} \right)\\
			&= \sinh(x)
		\end{align*}
		
		et 
		
		\begin{align*}
			\sinh'(x) &= \frac{1}{2} \left( \mathrm{e}^x +\mathrm{e}^{-x} \right)\\
			&= \cosh(x)
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\cosh'=\sinh$ et $\sinh'=cosh$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item Soit $x \in \mathbb{R}$.
		
		\begin{align*}
			\cosh(x)>0 &\Leftrightarrow \frac{\mathrm{e}^{x}+ \mathrm{e}^{-x}}{2}>0 \\
			&\Leftrightarrow \mathrm{e}^{x}> -\mathrm{e}^{-x}
		\end{align*}
		
		Cette dernière inégalité est toujours vraie puisqu'exponentielle est à valeurs strictement positives donc
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $\cosh$ /0.8, $\sinh$ /1.6}
			{$-\infty$,  $+\infty$}
			\tkzTabLine{,+,}%
			\tkzTabVar {-/ ,  + /  }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		{\color{red}Merci à M. Maillot.}
		
		\item Soit $x \in \mathbb{R}$.
		
		\begin{align*}
			\cosh^2(x)-\sinh^2(x) &= \left( \frac{\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x}}{2} \right)^2 - \left( \frac{\mathrm{e}^x - \mathrm{e}^{-x}}{2} \right)^2\\
			&= \frac{1}{4} \left( \mathrm{e}^{2x}+2 \mathrm{e}^{x} \mathrm{e}^{-x} +\mathrm{e}^{-2x} - \mathrm{e}^{2x} +2\mathrm{e}^{x} \mathrm{e}^{-x} - \mathrm{e}^{-2x} \right)\\
			&= 1
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\forall x \in \mathbb{R},\ \cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item Soient $a$ et $b$ des réels.
		
		\begin{align*}
			&\cosh(a)\cosh(b)+\sinh(a)\sinh(b)\\
			&= \frac{1}{4} \left( \mathrm{e}^{a} + \mathrm{e}^{-a} \right) \left( \mathrm{e}^{b}+\mathrm{e}^{-b} \right) + \frac{1}{4} \left( \mathrm{e}^{a} - \mathrm{e}^{-a} \right) \left( \mathrm{e}^{b}-\mathrm{e}^{-b} \right)\\
			&= \frac{1}{4} \left( \mathrm{e}^{a+b} + \mathrm{e}^{a-b} + \mathrm{e}^{-a+b} +\mathrm{e}^{-a-b} \right) + \frac{1}{4} \left( \mathrm{e}^{a+b} - \mathrm{e}^{a-b} - \mathrm{e}^{-a+b} +\mathrm{e}^{-a-b} \right)\\
			&= \frac{1}{2} \left( \mathrm{e}^{a+b} + \mathrm{e}^{-a-b} \right)\\
			&= \cosh(a+b)
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Quelques soient $a$ et $b$ des réels: $\cosh (a+b)= \cosh(a)\cosh(b) +\sinh(a) \sinh(b)$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		Soient $a$ et $b$ des réels.
		
		\begin{align*}
			&\sinh(a)\cosh(b)+\cosh(a)\sinh(b)\\
			&= \frac{1}{4} \left( \mathrm{e}^{a} - \mathrm{e}^{-a} \right) \left( \mathrm{e}^{b}+\mathrm{e}^{-b} \right) + \frac{1}{4} \left( \mathrm{e}^{a} + \mathrm{e}^{-a} \right) \left( \mathrm{e}^{b}-\mathrm{e}^{-b} \right)\\
			&= \frac{1}{4} \left( \mathrm{e}^{a+b} + \mathrm{e}^{a-b} - \mathrm{e}^{-a+b} -\mathrm{e}^{-a-b} \right) + \frac{1}{4} \left( \mathrm{e}^{a+b} - \mathrm{e}^{a-b} + \mathrm{e}^{-a+b} +\mathrm{e}^{-a-b} \right)\\
			&= \frac{1}{2} \left( \mathrm{e}^{a+b} - \mathrm{e}^{-a-b} \right)\\
			&= \sinh(a+b)
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Quelques soient $a$ et $b$ des réels: $\sinh (a+b)= \sinh(a)\cosh(b) +\cosh(a) \sinh(b)$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item 
		
		Nous savons que: $\cosh'=\sinh$ et $\sinh'=\cosh$ donc
		
		\begin{align*}
			\cosh'' &= \left( \sinh \right)'\\
			&= \sinh'\\
			&= \cosh
		\end{align*}
		
		Donc $\cosh''=\cosh$, \emph{i.e.} $\cosh$ est solution de l'équation différentielle $y''=y$.
		 
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\subsection{Exercices.}

\begin{exercice}{}
	
	Résolvez dans $\mathbb{R}$: $\displaystyle \frac{\mathrm{e}^{2x+1}}{\mathrm{e}^{x-4}}= \mathrm{e}^{x^2-1}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\objectif{Résolvons l'inéquation $\frac{\mathrm{e}^{2x+1}}{\mathrm{e}^{x-4}}= \mathrm{e}^{x^2-1}\quad {\color{blue}(1)}$ dans $\mathbb{R}$.}
	
	Soit $x \in \mathbb{R}$.
	
	\begin{align*}
	{\color{blue}(1)} &\Leftrightarrow \frac{\mathrm{e}^{2x+1}}{\mathrm{e}^{x-4}}= \mathrm{e}^{x^2-1}\\
	&\Leftrightarrow \mathrm{e}^{2x+1}\mathrm{e}^{-(x-4)}= \mathrm{e}^{x^2-1}\\
	&\Leftrightarrow \mathrm{e}^{2x+1-(x-4)}= \mathrm{e}^{x^2-1}\\
	&\Leftrightarrow \mathrm{e}^{x+5}= \mathrm{e}^{x^2-1}\\
	&\Leftrightarrow x+5= x^2-1\\
	&\Leftrightarrow x^2-x-6=0
	\end{align*}
	
	$g:x \mapsto x^2-x-6$ est une fonction polynomiale de degré deux donnée sous forme développée avec $a=1$, $b=-1$ et $c=-6$.
	
	\begin{align*}
	\Delta &= b^2-4ac\\
	&= (-1)^2 -4 \times 1 \times (-6)\\
	&= 25
	\end{align*}
	
	$\Delta>0$ donc $g$ admet deux racines distinctes:
	
	\begin{tabular}{m{5.5cm}|m{5.5cm}}
		$\begin{aligned}
		x_1 &= \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\
		&= \frac{-(-1)-\sqrt{25}}{2\times 1}\\
		&= -2
		\end{aligned}$
		&
		$\begin{aligned}
		x_2 &= \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\
		&= \frac{-(-1)+\sqrt{25}}{2\times 1}\\
		&= 3
		\end{aligned}$
	\end{tabular}
	
	Donc
	\begin{align*}
	{\color{blue}(1)} &\Leftrightarrow x=-2\quad \text{ou}\quad x=3
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		L'ensemble des solutions de $\color{blue}(1)$ est $\mathscr{S}= \{ -2;3 \}$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}


\begin{exercice}{}
	
	Résolvez dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\displaystyle \frac{\mathrm{e}^{2x+1}}{ \left( \mathrm{e}^x \right)^3} \geqslant 0$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	L'exponentielle est toujours strictement positive donc $\mathrm{e}^{2x+1}>0$ et $\left( \mathrm{e}^x \right)^3>0$ pour tout $x$ réel.
	
	\begin{conclusion}
		
		l'ensemble des solutions de l'inéquation est $\mathscr{S}=\mathbb{R}$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}


\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		1ieme hachette  barbazo spe 2019 47 page 199
		
	\end{notabene}
	
	Soit $f$ la fonction définie par $f(x)= (x^2-2,5x+1) \mathrm{e}^x$ pour tout $x$ réel.
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Calculez $f'$.
			
			\item Étudiez le signe de $f'$ et déduisez-en les variations de $f$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item La tangente à $\mathscr{C}_f$ au point $A$ d'abscisse $-1$ recoupe la courbe $\mathscr{C}_f$ au point $M$.
		
		Déterminez à la calculatrice une valeur approchée de l'abscisse de $M$.
		
		\item Déterminez une équation de la tangente $\mathscr{T}$ à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point $B$ d'abscisse $0$.
		
		\item Complétez la fonction Python ci-dessous afin qu'elle permette d'approcher, au dixième près par excès, l'abscisse du point $P$ intersection de la tangente $\mathscr{T}$ et de $\mathscr{C}_f$.
		
		\begin{center}
			{\footnotesize
				\begin{tabular}{|c|}
					\hline
					\begin{minipage}{4cm}
						\begin{lstlisting}{language=Python}
						from math import exp
						def intersect():
						x=0
						y=1
						z=1
						while y>=z:
						x=.....
						y=-1.5*x+1
						z=.....
						return(.....)
						\end{lstlisting}
					\end{minipage}
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			}
		\end{center}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item \objectif{Calculons $f'$.}
		
		$f$ est un produit de fonctions dérivables donc est dérivable sur $\mathbb{R}$. En effet $f=uv$ avec \[ \left\{ \begin{array}{l} u(x)=x^2-2,5x+1 \\ v(x) = \mathrm{e}^x \end{array} \right. \quad \text{et donc} \quad \left\{ \begin{array}{l} u'(x)=2x-2,5 \\ v'(x)= \mathrm{e}^x \end{array} \right. . \]
		
		
		Soit $x \in \mathbb{R}$.
		
		Puisque $f'=u'v+uv'$:
		
		\begin{align*}
			f'(x) &= \left( 2x-2,5 \right) {\color{WildStrawberry}\mathrm{e}^x} +\left( x^2-2,5x+1 \right) {\color{WildStrawberry}\mathrm{e}^x}\\
			&= \left( 2x-2,5+x^2-2,5x+1 \right) {\color{WildStrawberry}\mathrm{e}^x}\\
			&= \left( x^2-0,5x-1,5 \right) \mathrm{e}^x
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$f'(x)= \left( x^2-0,5x-1,5 \right) \mathrm{e}^x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Étudions le signe de $f'$ et les variations de $f$.}
		
		{\color{orange}$f'$ est un produit nous allons donc étudier le signe de chacun de ses facteurs.}
		
		\medskip
		\begin{enumerate}[*]
			\item $\mathrm{e}^x>0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
			
			\item Notons $g(x)=x^2-0,5x-1,5$ pour tout $x$ réel.
			
			$g$ est une fonction polynomiale de degré deux donnée sous forme développée avec $a=1$, $b=-0,5$ et $c=-1,5$.
			
			\begin{align*}
				\Delta &= b^2-4ac\\
				&= (-0,5)^2 -4 \times 1 \times (-1,5)\\
				&= 6,25
			\end{align*}
			
			$\Delta>0$ donc $g$ admet deux racines distinctes:
			
			\hspace*{-1cm}
			\begin{tabular}{m{5.5cm}|m{5.5cm}}
				$\begin{aligned}
				x_1 &= \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\
				&= \frac{-(-0.5)-\sqrt{6,25}}{2\times 1}\\
				&= -1
				\end{aligned}$
				&
				$\begin{aligned}
				x_2 &= \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\
				&= \frac{-(-0.5)+\sqrt{6,25}}{2\times 1}\\
				&= 1,5
				\end{aligned}$
			\end{tabular}
			
			Enfin $g$, étant une fonction polynomiale de degré deux, elle est du signe de son coefficient dominant sau entre ses racines:
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $g$ /0.8}
				{$-\infty$ ,$-1$, $\np{1,5}$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}%
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{enumerate}
		
		Enfin:
		
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=2.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $\mathrm{e}^x$ /0.8, $x^2-5x+1$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
			{$-\infty$ ,$-1$, $\np{1,5}$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,+,t,+,t,+,}%
			\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}%
			\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}%
			\tkzTabVar {-/ , + / $f(-1)$ , - / $f(\np{1,5})$, + / }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item D'après la question précédente: $f'(-1)=0$, donc la tangente à $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse $-1$ est horizontale {\color{orange}le nombre dérivé représentant le coefficient directeur de la tangente}.
		
		Avec la calculatrice:
		
		\begin{center}
			
			\includegraphics[scale=0.5]{1ieme_analyse_04_exponentielle_07_graphique_calculatrice_fonction.png}
			\includegraphics[scale=0.5]{1ieme_analyse_04_exponentielle_08_graphique_calculatrice_fenetre.png}
			
		\end{center}
		
		Puis en appuyant sur \framebox{trace} à partir du graphique:
		
		\begin{center}
			
			\includegraphics[scale=0.5]{1ieme_analyse_04_exponentielle_09_graphique_calculatrice_trace.png}
			
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			$x_M\approx 2,125$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Déterminons une équation de $\mathscr{T}$.}
		
		Puisque $\mathscr{T}$ est tangente à $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse $0$ une équation de $\mathscr{T}$ est: \[ y=f'(0) (x-0)+f(0). \]
		
		Or $f(0)=1$ et $f'(0)=-1,5$ donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{T}:\ y=1,5x+1$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item Graphiquement voici la situation:
		
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=0.5]{1ieme_analyse_04_exponentielle_10_graphique_calculatrice_algorithme.png}
		\end{center}
		
		{\color{orange}Ainsi, en partant de $x=0$ et en augmentant $x$ de $0,1$ en $0,1$ nous finirons par obtenir une valeur de $x$ à partir de laquelle la courbe représentative de $f$ passe au dessus de la tangente.}
		
		\begin{center}
			{\footnotesize
				\begin{tabular}{|c|}
					\hline
					\begin{minipage}{6cm}
						\begin{lstlisting}{language=Python}
						from math import exp
						def intersect():
						x=0
						y=1
						z=1
						while y>=z:
						x=x+0.1
						y=-1.5*x+1
						z=(x**2-2.5*x+1)*exp(x)
						return(x)
						\end{lstlisting}
					\end{minipage}
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			}
		\end{center}
		
		{\color{orange}La fonction intersect() renvoie $1,8$ ce qui s'interprète en disant que l'abscisse du point d'intersection de $\mathscr{T}$ et $\mathscr{C}_f$ est entre $1,7$ et $1,8$.}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\end{document}

\begin{exercice}
	
	74 page 190 du manuel CQFD.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	Partie A.
	
	\begin{enumerate}
		\item $f$ est une somme de composées de fonctions dérivables sur $[0;30]$ donc est dérivable sur $[0;30]$.
		
		Pour tout $x \in [0;30]$:
		
		\begin{align*}
			f'(x) &= 0,4+0+(-0,4) \times \mathrm{e}^{-0,4x+1}\\
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\forall x \in [0;30],\ f'(x)= 0,4\left( 1-\mathrm{e}^{0,4x+1} \right)$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			1-\mathrm{e}^{-0,4x+1}>0 &\Leftrightarrow 1>\mathrm{e}^{-0,4x+1}\\
			&\Leftrightarrow \mathrm{e}^{0} > \mathrm{e}^{-0,4x+1}\\
			&\Leftrightarrow 0 >-0,4x+1\\
			&\Leftrightarrow x>\frac{1}{0,4}\\
			&\Leftrightarrow x > \frac{5}{2}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de l'inéquation est $\mathscr{S}= \left] \frac{5}{2} ; + \infty \right[$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
			{$-\infty$ ,$\frac{5}{2}$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,z,+,}%
			\tkzTabVar {+/ $f(0)$, - / $3$, + / $f(30)$ / }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		Avec $f(0) \approx 3,72$ et $f(30)\approx 13$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Partie B.
	
	\begin{enumerate}
		\item Avec la calculatrice:$f(1) \approx 3,22$ et $f(20)\approx 9$.
		
		\begin{conclusion}
			
			La fabrication de $100$ (resp. $2000$) paquets coûte $322$ euros (resp. $900$ euros).
			
		\end{conclusion}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item 
			
			\begin{align*}
				B(x) &= 2x-f(x)\\
				&= 2x - \left( 0,4x+1+ \mathrm{e}^{-0,4x+1} \right)\\
				&= 2x-0,4x-1-\mathrm{e}^{-0,4x+1}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\forall x \in [0;30],\ B(x)=1,6x-1-\mathrm{e}^{-0,4x+1}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item $B'(x)=1,6+0,4\mathrm{e}^{-0,4x+1}$ et 
			
			\begin{align*}
				1,6+0,4\mathrm{e}^{-0,4x+1}>0 &\Leftrightarrow \mathrm{e}^{-0,4x+1}>-4
			\end{align*}
			
			Donc:
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $B'$ /0.8, $B$ /1.6}
				{$-\infty$ , $+\infty$}
				\tkzTabLine{,+,}%
				\tkzTabVar {-/ $B(0)$, + / $B(30)$ }
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			Avec $B(0)=-2$ et $B(30) \approx 47$.
			
			\item Notons $\alpha$ le nombre de paquets à produire pour réaliser un bénéfice exprimé en centaine.
			
			Avec la calculatrice:
			
			\begin{center}
				\includegraphics[scale=0.5]{1ieme_analyse_04_exponentielle_11_recherche_racine_1.png}
				\includegraphics[scale=0.5]{1ieme_analyse_04_exponentielle_12_recherche_racine_2.png}
				\includegraphics[scale=0.5]{1ieme_analyse_04_exponentielle_13_recherche_racine_3.png}
			\end{center}
			
			Donc $1\leqslant \alpha \leqslant 2$.
			
			\begin{center}
				\includegraphics[scale=0.5]{1ieme_analyse_04_exponentielle_14_recherche_racine_4.png}
				\includegraphics[scale=0.5]{1ieme_analyse_04_exponentielle_15_recherche_racine_5.png}
			\end{center}
			
			Donc $1,5 \leqslant \alpha \leqslant 1,6$.
						
			\begin{center}
				\includegraphics[scale=0.5]{1ieme_analyse_04_exponentielle_16_recherche_racine_6.png}
				\includegraphics[scale=0.5]{1ieme_analyse_04_exponentielle_17_recherche_racine_7.png}
			\end{center}
			
			Donc $1,54 \leqslant \alpha \leqslant 1,55$.
			
			\begin{conclusion}
				
				Ils réaliseront un bénéfice à partir du cent-cinquante-cinquième paquet.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	
	75 page 190 du manuel CQFD.
	
\end{exercice}	

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $f$ est un quotient de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$ et dont le dénominateur s'annule en $-1$, donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}\setminus \{ -1 \}$.
		
		En effet $f=\frac{u}{v}$ avec \[ \left\{ \begin{array}{l} u(x)= \mathrm{e}^x \\ v(x)= x+1 \end{array} \right. \quad \text{et donc} \quad \left\{ \begin{array}{l} u'(x)=\mathrm{e}^x \\ v'(x)=1 \end{array} \right. \]
		
		Par conséquent $f'= \frac{u'v-uv'}{v^2}$ et pour tout $x \in ]-1;+\infty[$:
		
		\begin{align*}
			f'(x) &= \frac{\mathrm{e}^x \times (x+1) - \mathrm{e}^x \times 1}{(x+1)^2}\\
			&= \frac{x\mathrm{e}^x}{(x+1)^2}
		\end{align*}
		
		Donc $f'(x)$ est du signe de $x$.
		
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
			{$-1$ ,$0$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{d,-,z,+,}%
			\tkzTabVar {+/ , - / $1$, + /  }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item D'après le tableau de variation $1$ est le minimum de $f$ sur $]-1;+\infty[$ autrement dit:
		
		\begin{conclusion}
			
			$\forall x>-1, \ \frac{\mathrm{e}^x}{x+1}\geqslant 1$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	
	79 page 190 du manuel CQFD. Modélisation de diffusion de la chaleur et méthode d'Euler.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	
	81 et 82 page 190 du manuel CQFD. Des fonctions avec des paramètres.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}[\text{Exercice }]
		\item 81 page 190.
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item $A \in \mathscr{C}_f$ et $A(à;1)$ donc $f(0)=1$. Cette dernière égalité équivaut à $a=1$. Donc $f(x)=(-x+1)\mathrm{e}^{bx}$.
			
			\item La tangente à $\mathscr{C}_f$ en $A$ est parallèle à la droite d'équation $y=x$ donc ces droites ont le même coefficient directeur: $f'(0)=1$.
			
			Or: $f'(x)=-\mathrm{e}^{bx}+(-x+1)b \mathrm{e}^{bx} = (-bx+b-1)\mathrm{e}^{bx}$ donc
			
			\begin{align*}
				f'(0)=1 &\Leftrightarrow b-1=1\\
				&\Leftrightarrow b=2
			\end{align*}
			
		\end{enumerate}
		
		Finalement
		
		\begin{conclusion}
			
			$f:x \mapsto (-x+1)\mathrm{e}^{2x}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item 82 page 191.
		
		Comme dans l'exercice précédent.
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item $f'(2)=-1 \Leftrightarrow b=-\frac{1}{3} \mathrm{e}^{-2}$.
			
			\item $f(2)=0 \Leftrightarrow \frac{2}{3}$
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			$f:x \mapsto \frac{2}{3} -\frac{1}{3} \mathrm{e}^{-2} \mathrm{e}^x$.	
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
		
	\begin{notabene}
		
		Baccalauréat ES/L Liban \
		31 mai 2016 exponentielle complet pour spé mais pas très intéressant.
		
	\end{notabene}

\end{exercice}

\begin{notabene}
	
À ajouter éventuellement

\begin{exercice}
	
	24, 25, 26, 29, 30 et 31 page 187 du manuel CQFD.
	
\end{exercice}	

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}Les corrections sont parfois un peu trop succinctes.}
	
	\begin{enumerate}[\text{Exercice} ]
		\item 24 page 187.
		
		\begin{enumerate}
			\item $\mathrm{e}^x=1 \Leftrightarrow \mathrm{e}^x = \mathrm{e}^0 \Leftrightarrow x=0$.
			
			\item $\mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}^{-x} \Leftrightarrow x=-x \Leftrightarrow x=0$.
			
			\item $\mathrm{e}^{2x-1} =\mathrm{e}^{-3x-2} \Leftrightarrow 2x-1=-3x-2 \Leftrightarrow x=-\frac{1}{5}$
			
		\end{enumerate}
		
		\item 25 page 187.
		
		Corrigé dans le manuel.
		
		\item 26 page 187.
		
		\begin{enumerate}
			\item $\left( \mathrm{e}^{x} \right)^2-1=0 \Leftrightarrow \mathrm{e}^{2x}=\mathrm{e}^{0} \Leftrightarrow 2x=0 \Leftrightarrow x=0$.
			
			\begin{conclusion}
				
				L'ensemble des solutions de l'équation est $\mathscr{S}= \left\{ 0 \right\}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item {\color{orange}Procédons, comme nous le conseil l'énoncé au changement de variable $X=\mathrm{e}^{x}$.}
			
			\begin{align*}
			\mathrm{e}^{2x}+3\mathrm{e}^{x}+10=0 &\Leftrightarrow X^2+3X+10=0
			\end{align*}
			
			Le discriminant de ce dernier trinôme est $\Delta =-31<0$, il n'y a donc pas solution possible.
			
			\begin{conclusion}
				
				L'ensemble des solutions de l'équation est $\mathscr{S}= \emptyset$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item 
			
			\begin{align*}
			\mathrm{e}^{2x}-2\mathrm{e}^{x}+1=0 &\Leftrightarrow X^2-2X+1=0\\
			&\Leftrightarrow (X-1)^2=0\\
			&\Leftrightarrow X-1=0\\
			&\Leftrightarrow \mathrm{e}^{x}-1=0\\
			&\Leftrightarrow \mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}^{0}\\
			&\Leftrightarrow x=0
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				L'ensemble des solutions de l'équation est $\mathscr{S}= \left\{ 0 \right\}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item 
			
			\begin{align*}
			\mathrm{e}^{2x}-2\mathrm{e}^{x}-3=0 &\Leftrightarrow X^2-2X-3=0\\
			\intertext{En résolvant l'équation polynomiale de degré deux:}
			\mathrm{e}^{2x}-2\mathrm{e}^{x}-3=0 &\Leftrightarrow (X+1)(X-3)=0\\
			&\Leftrightarrow \mathrm{e}^{x}=-1 \quad \text{ou} \quad \mathrm{e}^{x}=3\\
			&\Leftrightarrow \mathrm{e}^{x}=3\\
			\intertext{Notons $\alpha$ le nombre tel que $\mathrm{e}^{\alpha}=3$, alors:}
			\mathrm{e}^{2x}-2\mathrm{e}^{x}-3=0 &\Leftrightarrow x=\alpha
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				L'ensemble des solutions de l'équation est $\mathscr{S}= \left\{ \alpha \right\}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
		\item 29 page 187.
		
		\begin{enumerate}
			\item 
			
			\begin{align*}
			\mathrm{e}^{x} = \frac{1}{\mathrm{e}} &\Leftrightarrow \mathrm{e}^{x}= \mathrm{e}^{-1}\\
			&\Leftrightarrow x=-1
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				L'ensemble des solutions de l'équation est $\mathscr{S}= \left\{ -1 \right\}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item 
			
			\begin{align*}
			\mathrm{e}^{3x}= \frac{1}{\mathrm{e}^{-x}} &\Leftrightarrow \mathrm{e}^{3x}= \mathrm{e}^{x}\\
			&\Leftrightarrow 3x=x\\
			&\Leftrightarrow x=0
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				L'ensemble des solutions de l'équation est $\mathscr{S}= \left\{ 0 \right\}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item 
			
			\begin{align*}
			\mathrm{e}^{-2x} \mathrm{e}^{-1} = \mathrm{e}^{x^2} &\Leftrightarrow \mathrm{e}^{-2x-1} = \mathrm{e}^{x^2}\\
			&\Leftrightarrow -2x-1=x^2\\
			&\Leftrightarrow x^2+2x+1=0\\
			&\Leftrightarrow (x+1)^2=0\\
			&\Leftrightarrow x=-1
			\end{align*}
			
			{\color{red}Merci à Mlle Papama-Countiama pour la correction.}
			
			\begin{conclusion}
				
				L'ensemble des solutions de l'équation est $\mathscr{S}= \left\{ -1 \right\}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item {\color{red}Merci à M. Pinto-Pereira pour la correction.}
			
			\begin{align*}
			\frac{\mathrm{e}^{2x^2+1}}{\mathrm{e}^{x}} = \mathrm{e} \Leftrightarrow \mathrm{e}^{2x^2+1} \mathrm{e}^{-1} = 1\\
			&\Leftrightarrow \mathrm{e}^{2x^2+1-1} = 1\\
			&\Leftrightarrow \mathrm{e}^{2x^2} = \mathrm{e}^{0}\\
			&\Leftrightarrow 2x^2=0\\
			&\Leftrightarrow x=0
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				L'ensemble des solutions de l'équation est $\mathscr{S}=  \{ 0 \}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}
\begin{exercice}
	
	59 page 189 du manuel: exercices utilisant l'idée qu'une fonction croissante conserve l'ordre alors qu'une fonction décroissante le change, utilisation de la définition de la croissance: $f$ est strictement croissante si et seulement si dès que $a<$b alors $f(a)<f(b)$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}\og Comparer\fg{} deux nombres signifie déterminer le plus grand des deux.}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			
			\item Soit $x \in\mathbb{R}$.
			
			\medskip
			\objectif{Comparons $g(x)$ et $g(-x)$.}
			
			\begin{align*}
			g(-x) &= \exp\left( - (-x)^2 \right)\\
			&=\exp\left(-x^2 \right)\\
			&= g(x)	
			\end{align*}
			
			\item La fonction $g$ est donc paire et par conséquent, graphiquement:
			
			\begin{conclusion}
				
				la courbe représentative de $g$ présente une symétrie axiale par rapport à l'axe des ordonnées.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item \objectif{Comparons $g(a)$ et $g(b)$.}
			
			Puisque la fonction carrée est croissante sur $\mathbb{R}_+$:
			
			\begin{align*}
			a^1 &\leqslant b^2\\
			\intertext{Donc:}
			-a^1 &\geqslant -b^2 \quad \text{car } -1<0\\
			\intertext{Et puisque exponentielle est croissante sur $\mathbb{R}$:}
			\exp\left( -a^2 \right) &\geqslant \exp\left(-b^2 \right)
			\intertext{Autrement dit:}
			g(a) &\geqslant g(b)
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Si $a\leqslant b$ avec $a$ et $b$ des réels positifs, alors $g(b)\geqslant g(a)$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item Nous avons établi à la question précédente que{\color{orange}, puisque la fonction $g$ change l'ordre sur $\mathbb{R}_+$,} 
			
			\begin{conclusion}
				
				$g$ est décroissante sur $\mathbb{R}_+$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			Par symétrie (d'après la question 1.):
			
			\begin{conclusion}
				
				$g$ est croissante sur $\mathbb{R}_-$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	
	60 page 189 du manuel: exercices utilisant l'idée qu'une fonction croissante conserve l'ordre alors qu'une fonction décroissante le change, utilisation de la définition de la croissance: $f$ est strictement croissante si et seulement si dès que $a<$b alors $f(a)<f(b)$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item \objectif{Démontrons que $\exp(f)$ est croissante sut $I$.}
		
		Soient $a$ et $b$ dans $I$ tels que $a\leqslant b$.
		
		\begin{align*}
		a &\leqslant b\\
		\intertext{$f$ étant croisante sur $I$:}
		f(a) &\leqslant f(b)\\
		\intertext{$exp$ étant croissante sur $\mathbb{R}$:}
		\exp\left[ f(a) \right] &\leqslant \exp\left[ f(b) \right]
		\end{align*}
		
		Nous avons établi que si $a\leqslant b$ alors, forcément $\exp\left[ f(a) \right] \leqslant \exp\left[ f(b) \right]$.
		
		Autrement dit:
		
		\begin{conclusion}
			
			$\exp(f)$ est croissante dur $I$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item De même
		
		\begin{conclusion}
			
			si $f$ est décroissante sur $I$ alors $\exp(f)$ est décroissante sur $I$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item En utilisant le résultat établi aux questions précédente nous démontrons les résultats qui suivent.
		
		\begin{enumerate}
			\item $g$ est croissante.
			\item $g$ est décroissante.
			\item $g$ est croissante sur  $[2;+\infty[$ et croissante sur $]-\infty; 2]$.
			\item $g$ est décroissante sur $[0;\pi]$ et croissante sur $[\pi; 2\pi]$.
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
	{\color{orange}Le résultat vu ici est généralisable à toutes les composées de fonctions monotones. Par exemple: si $f$ est décroissante et $g$ croissante (et si la composée à un sens), alors $f\circ g=f(g)$ est décroissante.
		
		On retrouve une règle semblable à celle du signe d'un produit: la composée de deux fonctions de même monotonie est croissante et  la composée de deux fonctions de monotonie contraire est décroissante. Pensez à la règle \og les amis de mes amis \fg{}.
	}
	
\end{exercicecorrection}


\begin{exercice}
	
	34 page 187 et 35 page 188 du manuel CQFD: courbes représentatives.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}[\text{Exercice }]
		\item 34 page 187.
		
		Correction dans le manuel.
		
		\item 35 page 188.
		
		$f$ est la fonction exponentielle.
		
		$g(x)=f(-x)$ donc $\mathscr{C}_g$ s'obtient à partir de $\mathscr{C}_f$ par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.
		
		$h(x)=-f(x)$ donc $\mathscr{C}_h$ s'obtient à partir de $\mathscr{C}_f$ par symétrie par rapport à l'axe des abscisses.
		
		$i(x)=-f(-x)$ donc $\mathscr{C}_g$ s'obtient à partir de $\mathscr{C}_f$ par symétrie centrale par rapport à l'origine.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			\def\xY{-3};
			\def\yY{-7.5};
			\def\xZ{3};
			\def\yZ{7.5};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=-2:2] plot(\x,{exp(\x )});
			\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_f$};
			\draw[red, thick][samples=100,domain=-2:2] plot(\x,{exp(-\x )});
			\draw[red] (-3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_g$};
			\draw[green, thick][samples=100,domain=-2:2] plot(\x,{-exp(\x )});
			\draw[green] (3,-2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_h$};
			\draw[violet, thick][samples=100,domain=-2:2] plot(\x,{-exp(-\x )});
			\draw[violet] (-3,-2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_i$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	
	36, 38, 39, 40, 41 et 42 page 188 du manuel CQFD: étude de fonction faisant intervenir des composée de fonctions affines.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}[\text{Exercice }]
		\item 36 page 188.
		
		Correction dans le manuel.
		
		\item 38 page 188.
		
		\begin{enumerate}
			\item $f'(x)=6 \mathrm{e}^{2x-1}$, $g'(x)=12 \mathrm{e}^{-3x+7}$, $h'(x)=\mathrm{e}^{-x}$, $i'(x)=-\frac{5}{3} \mathrm{e}^{-\frac{5}{3}x+6}$.
			
			\item $f'>0$ donc $f$ est strictement croissante. $g'>0$ donc $g$ est strictement croissante. $h'>0$ donc $h$ est strictement croissante. $i'<0$ donc $i$ est strictement décroissante.
		\end{enumerate}
		
		\item 39 page 188.
		
		\begin{enumerate}
			\item $f'(x)=(x+1)\mathrm{e}^x$.
			\item $g'(x)= \frac{1}{2\sqrt{x}}\mathrm{e}^{-x} - \sqrt{x}\mathrm{e}^{-x}$.
			\item $h'(x)= \frac{\mathrm{e}^x-x\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{2x}}$.
			\item $i'(x)=\frac{\mathrm{e}^{-x}(1+\mathrm{e}^{-x})+\mathrm{e}^{-x} (1-\mathrm{e}^{-x})}{(1+ \mathrm{e}^{-x})^2}= \frac{\mathrm{e}^{-x}}{(1+ \mathrm{e}^{-x})^2}$.
		\end{enumerate}
		
		\item 40 page 188.
		
		\begin{enumerate}
			\item \objectif{Déterminons $f'$.}
			
			$f$ est un produit de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$ donc est dérivable sur $\mathbb{R}$.
			
			En effet $f=uv$ avec \[ \left\{ \begin{array}{l} u(x)= -(x+1) \\ v(x)= \mathrm{e}^{-x} \end{array} \right. \quad \text{donc} \quad \left\{ \begin{array}{l} u'(x)= -1 \\ v'(x)= -\mathrm{e}^{-x} \end{array} \right. \]
			
			{\color{orange}Pour $u'$ nous reconnaissons la dérivée d'une fonction composée avec une fonction affine.}
			
			De $f'=u'v+uv'$ nous déduisons que pour tout $x$ réel:
			
			\begin{align*}
			f'(x) &= -1 \times \mathrm{e}^{-x} +(x+1) \times (-\mathrm{e}^{-x})\\
			&= x\mathrm{e}^{-x}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\forall x \in \mathbb{R},\ f'(x)=x \mathrm{e}^{-x}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item \objectif{Étudions les variations de $f$.}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
				{$-\infty$ ,$0$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,-,z,+,}%
				\tkzTabVar {+/ , - / $-1$, + / }
				\end{tikzpicture}
			\end{center}		
			
		\end{enumerate}
		
		\item 41 page 188.
		
		\begin{enumerate}
			\item $f'(x)=-\mathrm{e}^x$. $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.
			
			\item $g'(x)=\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}$.
			
			\begin{align*}
			g'(x)>0 &\Leftrightarrow \mathrm{e}^{2x}>\mathrm{e}^0\\
			&\Leftrightarrow 2x>0\\
			&\Leftrightarrow x>0
			\end{align*}
			
			$g'(x)=0 \Leftrightarrow x=0$.
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $g'$ /0.8, $g$ /1.6}
				{$-\infty$ ,$0$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,-,z,+,}%
				\tkzTabVar {+/ , - / $2$ , + / }
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\item $h'(x)= 3\mathrm{e}^x-3\mathrm{e}^{3x}$. 
			
			\begin{align*}
			h'(x)>0 &\Leftrightarrow 3\mathrm{e}^x-3\mathrm{e}^{3x}>0\\
			&\Leftrightarrow 3\mathrm{e}^{x} > 3\mathrm{e}^{3x}\\
			&\Leftrightarrow \mathrm{e}^{x} > \mathrm{e}^{3x} \quad \text{car } 3>0\\
			&\Leftrightarrow x>3x\\
			&\Leftrightarrow 0>2x\\
			&\Leftrightarrow 0>x
			\end{align*}
			
			$h'(x)=0 \Leftrightarrow x=0$.
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $h'$ /0.8, $h$ /1.6}
				{$-\infty$ ,$0$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,+,z,-,}%
				\tkzTabVar {-/ , + / $2$ , - / }
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{enumerate}
		
		\item 42 page 188.
		
		$f'(x)= 2x \mathrm{e}^x + (x^2-3)\mathrm{e}^x = (x^2+2x-3) \mathrm{e}^x$.
		
		$g:x\mapsto x^2+2x-3$ est un trinôme dont le discriminant est $\Delta=16$, dont les racines sont $-3$ et $1$.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
			{$-\infty$ ,$-3$, $1$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}%
			\tkzTabVar {-/ , + / $6\mathrm{e}^{-3}$ , - / $-2 \mathrm{e}$, +/ }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	
	70, 71 et 72 page 190 du manuel CQFD.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}[\text{Exercice }]
		\item 70 page 190.
		
		\begin{enumerate}
			\item $f'(x)= -\mathrm{e}^{-x} \sin(x)+ \mathrm{e}^{-x} \cos(x) = \mathrm{e}^{-x} ( \cos(x) - \sin(x))$.
			
			En raisonnant sur les courbes représentatives des fonctions cosinus et sinus ou en raisonnant sur le cercle trigonométrique nous pouvons déterminer le signe de $\cos (x) - \sin(x)$.
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=6,yscale=2]
				\def\xY{0};
				\def\yY{-1.1};
				\def\xZ{1.1};
				\def\yZ{1.1};
				\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
				\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  $2\pi$};
				\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
				\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw[blue, thick][samples=200,domain={0}:{360}] plot({\x/360},{(cos(\x)});
				\draw[blue] (1,1.5) node[fill=white] {$\mathcal{C}_{\cos}$};
				\draw[red, thick][samples=200,domain={0}:{360}] plot({\x/360},{(sin(\x)});
				\draw[red] (1,-1.5) node[fill=white] {$\mathcal{C}_{\sin}$};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\hspace*{-1cm}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=2.6 , espcl=2.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $\cos(x)-\sin(x)$ /0.8, $f$ /1.6}
			{$0$ ,$\frac{\pi}{4}$, $\frac{5\pi}{4}$, $2\pi$}
			\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,d}%
			\tkzTabVar {-/ $0$, + / $\frac{\sqrt{2}}{2} \mathrm{e}^{-\frac{\pi}{4}}$ , -/ $-\frac{\sqrt{2}}{2} \mathrm{e}^{-\frac{5\pi}{4}}$, +D- /  / ,}
			\end{tikzpicture}
			
			\item $f'(x)=\mathrm{e}^x (\cos(x)-\sin(x))$. On peut utiliser les résultats de la question précédente.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 72 page 190.
		
		\begin{enumerate}
			\item $f'(x)=\frac{\mathrm{e}^x (\mathrm{e}^x+1)- (\mathrm{e}^x-3)\mathrm{e}^x}{(\mathrm{e}^x+1)^2} = \frac{ 4 \mathrm{e}^x}{(\mathrm{e}^x+1)^2}$.
			
			\item $y=4x-1$.
			
			\item $f(x) \underset{x \to -\infty}{\longrightarrow} -3$.
			
			$f(x) \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow} 1$.
			
			\item 
			
			\begin{align*}
			f(x)+3>0 &\Leftrightarrow \frac{\mathrm{e}^x-3}{\mathrm{e}^x+1}>-3\\
			&\Leftrightarrow \mathrm{e}^x-3 > -3\mathrm{e}^x -3\\
			&\Leftrightarrow 4 \mathrm{e}^x >0
			\end{align*}
			
			Donc la courbe représentative de $f$ est au-dessus de la droite d'équation $y=-3$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\end{notabene}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, above] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}