%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
%\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{RoyalBlue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{Black}\underline{Remarques.}}\color{Black}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. #1} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}\dotfill
	
}{\dotfill \underline{fin de la correction de l'exercice \theExercicecorrection.}}

\newenvironment{exerciceapplication}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Application.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} }{ \end{colbox} }

\newenvironment{concours}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Concours.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} }{\medskip}

\newenvironment{recherche}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill { \color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Recherche.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} }{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration \theDemonstration #1} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{Black} 
	
}{\noindent \color{PineGreen} Fin de la démonstration \hspace{1cm}~}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/1ieme.html}{Fonction dérivée et variation.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{details}
\exclure{bareme}
\exclure{notabene}
%\exclure{exercicecorrection}\exclure{correction}\exclure{preuve}\exclure{exemples}%papi
%\exclure{remarques}\exclure{corollaire}\exclure{lemme}\exclure{proposition}\exclure{theoreme}\exclure{culturegenerale}\exclure{definition}\exclure{lecon}
%\exclure{sujet}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\begin{notabene}
	
	Ajouter des exercices sur les comparaisons de d'images (rappels de secondes) et où d'antécédents (en prévision du théorème des valeurs intermédiaires). 

\end{notabene}

\begin{notabene}
	
	Ajouter position relatives de courbes grâce à l'extremum de la différence des expression algébrique et donc le signe de cette différence.
	
\end{notabene}

\section{Fonction dérivée et étude de variation.}

\subsection{Étude des variations d'une fonction grâce à sa dérivée.}

\begin{notabene}
	
	Introduction géométrique avec la tangente.
	
\end{notabene}

\begin{theoreme}

	Soient:
	\begin{enumerate}[.]
		
		\item $a<b$ deux réels,
		
		\item $f:]a,b[ \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction dérivable sur $]a,b[$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous avons les résultats suivants.
	
	\begin{enumerate}[$(i)$]
		\item $f'\geqslant 0$ si et seulement si $f$ est croissante.
		
		\item $f'\leqslant 0$ si et seulement si $f$ est décroissante.
		
		\item $f'=0$ si et seulement si $f$ est constante.
		
		\item {\color{purple}Si $f'>0$, sauf éventuellement en un nombre fini de points pour lesquels $f'(x)=0$, alors $f$ est strictement croissante}.
		
		\item {\color{purple}Si $f'<0$, sauf éventuellement en un nombre fini de points pour lesquels $f'(x)=0$, alors $f$ est strictement décroissante}.
		
	\end{enumerate}

\end{theoreme}

\begin{preuve}
	
	L'idée (très approximative) de la démonstration est la suivante pour le cas $f'\geqslant 0$. Pour $h$ suffisamment proche de $0$ le taux d'accroissement est positif: $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\geqslant 0$. Donc pour $h>0$, $f(a+h)-f(a)\geqslant 0$. Ou encore: $f(a) \leqslant f(a+h)$. $f$ conserve l'ordre entre $a$ et $a+h$. Autrement dit $f$ est croissante.
	
	La réciproque est du même tabac.
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Par convention les tableaux de variations indiquent la stricte monotonie. Pour les construire nous utiliserons donc les implications $(iv)$ et $(v)$ correspondantes.
		
		\item Le $(ii)$ offre une caractérisation des fonctions constantes. Autrement dit c'est un moyen des démontrer qu'une fonction est constante. Nous utiliserons ce résultat dans des démonstrations de la leçon sur la fonction exponentielle.
		
		\item Ce résultat n'est valable que sur un intervalle. En effet, il n'est qu'à considérer la fonction inverse pour voir que le théorème ne fonctionne pas si on est pas sur un intervalle.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Soit $f:x \mapsto -x^2+4x-7$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$.
		
		\objectif{Étudions les variations de $f$ sur $]0;+\infty[$.}
		
		{\color{orange}La démarche pour étudier les variations d'une fonction se fera désormais ainsi:
			\begin{enumerate}
				\item calcul de la fonction dérivée,
				\item étude du signe de la fonction dérivée,
				\item construction d'un tableau indiquant le signe de la fonction dérivée puis les variations de la fonction.
			\end{enumerate}
		}
		
		\medskip
		\begin{enumerate}
			\item Déterminons la dérivée de $f$.
			
			$f$ est une fonction polynomiale donc est dérivable sur $]0;+\infty[$ et quelque soit $x\in ]0;+\infty[$, \[ f'(x)=-2x+4 \]
			
			\item Étudions le signe de $f'$.
			
			$f'$ est donc une fonction affine. Elle s'annule en $-\frac{b}{a}=-\frac{4}{-2}=2$. Comme son coefficient directeur $a=-2<0$, elle et strictement positive sur $]0;2[$ et strictement négative sur $]2;+\infty[$.
			
			\item Nous en déduisons
			
			\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $f'(x)$ /0.8, $f$ /1.6}
			{$0$ ,$2$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{d,+,z,-,}%
			\tkzTabVar {+D- / / , + / $-3$, - /  / }
			\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{enumerate}
		
		\item Soit $g:x \mapsto \frac{1}{3}x^3-\frac{3}{2}x^2+2x-13$ définie sur $\mathbb{R}$.
		
		\objectif{Étudions les variations de $g$ sur $\mathbb{R}$.}
		
		{\color{orange}En devoir surveillé une telle question, qui nécessite de nombreuses étapes, sera coupée en plusieurs sus questions: calculez la fonction dérivée, étudiez le signe de la fonction dérivée, dressez le tableau de variation de la fonction.}
		
		\medskip
		\begin{enumerate}
			\item Déterminons la dérivée de $g$.
			
			$g$ est une fonction polynomiale donc est dérivable sur $\mathbb{R}$ et, quelque soit $x$ réel, 
			
			\begin{align*}
				g'(x) &= \frac{1}{3}\times 3x^2-\frac{3}{2} \times 2x+2+0\\
				&= x^2-3x+2
			\end{align*}
			
			\item Étudions le signe de $g'$.
			
			$g'$ est une fonction polynomiale de degré $2$ avec: $a=1$, $b=-3$ et $c=2$.
			
			Recherchons les racines de $f'$.
			
			\[ \Delta =b^2-4ac=(-3)^2-4\times (1) \times (2)=1 \]
			
			$\Delta >0$ donc $g'$ admet deux racines distinctes.
			
			\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{X|X}
				$\begin{aligned}
				x_1 &= \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\
				&= \frac{-(-3)-\sqrt{1}}{2\times (1)}\\
				&= 1
				\end{aligned}$
				&
				$\begin{aligned}
				x_2 &= \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\
				&= \frac{-(-3)+\sqrt{1}}{2\times (1)}\\
				&= 2
				\end{aligned}$
			\end{tabularx}
			
			$g'$ est donc du signe de $a=1$ sauf entre les racines $1$ et $2$.
			
			\item Nous en déduisons
			
			\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $g'(x)$ /0.8, $g(x)$ /1.6}
			{$0$ ,$1$,$2$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{d,+,z,-,z,+,}%
			\tkzTabVar {+D- / / , + / $-\frac{73}{6}$, - / $-\frac{37}{3}$, +/  / }
			\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{enumerate}
		
		\item Soit $h:x\mapsto -4\sqrt{x}$ une fonction définie sur $]0;+\infty[$.
		
		\objectif{Étudions les variations de $h$ sur $]0;+\infty[$.}
		
		\begin{enumerate}
			\item Déterminons $f'$.
			
			$h$ est le produit d'une constante et de la fonction racine carrée donc $h$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et, quelque soit $x\in ]0;+\infty[$,
			
			\begin{align*}
				h'(x) &= 4\times \frac{1}{2\sqrt{x}}\\
				&= \frac{2}{\sqrt{x}}
			\end{align*}
			
			\item Étudions le signe de $h'$.
			
			Comme $x\ne 0$, $\sqrt{x}$ est strictement positif. Donc $h'$ est strictement positive sur $]0;+\infty[$.
			
			\item Nous en déduisons
			
			\begin{conclusion}
				
				$h$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
		\item Soit $h:x \mapsto x^3$.
		
		\begin{notabene}
			
			Exemple de fonction strictement croissante avec dérivée strictement positive sauf en un point.
			
		\end{notabene}
		
	\end{enumerate}

\end{exemples}

\begin{exerciceapplication}
	
	\begin{notabene}
		Exercices du manuel.
	\end{notabene}
	
	Oral. Exercices 12 page 146 à 24 page 144 du manuel Indice.
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exerciceapplication}
	
	\begin{notabene}
		À ajouter selon les besoins avec des corrections. Exercices 20 à 30 page 147 du manuel Indice de l'éditeur Bordas.
	\end{notabene}
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exercice}{}
	
	Donnez, par lecture graphique, le tableau de variation de la fonction $f$ dont la fonction dérivée $f'$ est représentée ci-dessous.
	
	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\def\xY{-5};
	\def\yY{-1.5};
	\def\xZ{5};
	\def\yZ{2.5};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
	\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
	\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \x};
	\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \y};
	\draw[red] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_{f'}$};
	\draw[red, thick] plot[smooth] coordinates {(-4,2)(-3,0)(-2.4,-0.5)(-1.5,0)(1,2)(3,0)(4,-1)};
	\draw(-4,2)node{$\bullet$};
	\draw(4,-1)node{$\bullet$};	
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}C'est la fonction dérivée, $f'$, qui est représentée. À partir de son signe nous pourrons retrouver les variations de $f$ d'après le théorème.
	
	Pour se représenter les choses et justifier notre réponse, nous pouvons construire un tableau indiquant le signe de la dérivée et la variation de la fonction.}

\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Donnez, par lecture graphique, le tableau de signe de la fonction $f'$ dérivée de la fonction $f$ qui est représentée ci-dessous.
	
	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\def\xY{-5};
	\def\yY{-1.5};
	\def\xZ{5};
	\def\yZ{2.5};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
	\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
	\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \x};
	\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \y};
	\draw[red] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_{f}$};
	\draw[red, thick] plot[smooth] coordinates {(-4,2)(-2,-0.5)(1,2)(3,0)(4,-1)};
	\draw(-4,2)node{$\bullet$};
	\draw(4,-1)node{$\bullet$};	
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}C'est la fonction $f$ qui est représentée. À partir de ses variations nous pourrons retrouver le signe de sa fonction dérivée $f'$ d'après le théorème.}

\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}
	
	\begin{notabene}
		Exercices du manuel.
	\end{notabene}
	
	Exercices 36 page 148 à 42 page 148 du manuel Indice.
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exerciceapplication}
	
	Études de variations. Exercices 43 à 51 page 149 du manuel Indice.
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exercice}{}
	
	Exercices 56 à 62 page 150 du manuel.
	
\end{exercice}

\exclure{exercicecorrection}\exclure{correction}\exclure{preuve}\exclure{exemples}%papi

\subsection{Extrema d'une fonction grâce à sa dérivée.}

\subsubsection{Définition des extrema.}

\begin{notabene}
	
	Rappel des définitions de maximum et minimum y compris locaux.
	
	À rajouter en vrai définition ici dans la leçon.
	
\end{notabene}

\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $I$ une partie de $\mathbb{R}$,
		
		\item $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction définie sur $I$,
		
		\item $x_0 \in I$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous dirons que $f$ admet un \emph{\color{purple}maximum local en} $x_0$ s'il est possible de trouver des réels $a$ et $b$, avec $a<x_0<b$, de sorte que \[ \text{quelque soit } x\in ]a;b[,\ f(x)\leqslant f(x_0). \]
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Nous avons bien sûr une définition équivalente pour un \emph{\color{purple}minimum local}. Simplement l'inégalité est dans ce cas inversée: $f(x) \geqslant f(x_0)$.
		
		\item Pour pouvoir poser des questions aux élèves sans donner à l'avance la réponse les enseignants de mathématiques utilise le terme générique d'\emph{\color{purple}extremum local} pour parler d'un maximum ou d'un minimum local.
		
		\item Cette définition interdit de prendre en compte les éventuelles bornes de l'ensemble de définition $I$ comme des valeurs où un extremum local est atteint. Un extremum local est forcément \og à l'intérieur \fg{} de l'ensemble de définition.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Considérons la fonction $f: [-10;10] \rightarrow \mathbb{R}$ définie par $f(x)=\frac{1}{90}x^3+\frac{1}{60}x^2-\frac{21}{15}x$. 
		
		L'étude des variations de $f$ (ou un coup d'œil sur sa courbe représentative obtenue avec la calculatrice) permet de vérifier que: $f$ admet un maximum local en $-7$ et $f$ admet un minimum local atteint en $6$.
		
		\item La fonction identité sur $[0;1]$ n'admet pas d'extremum local.
		
		\item En chaque valeur de l'ensemble de définition d'une fonction constante, un maximum et un minimum est atteint.
				
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $I$ une partie de $\mathbb{R}$,
		
		\item $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction définie sur $I$,
		
		\item $x_0 \in I$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous dirons que $f$ admet un \emph{\color{purple}maximum absolu en} $x_0$ s'il est possible de trouver des réels $a$ et $b$, avec $a<x_0<b$, de sorte que \[ \text{quelque soit } x\in I,\ f(x)\leqslant f(x_0). \]
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\medskip
	\begin{enumerate}
		\item Dans les cas des extrema absolus on omet parfois le terme \og absolu\fg{}. Nous parlerons donc de maximum ou de minimum sans préciser absolu.
		
		\item Contrairement aux extrema locaux, un extremum absolu peut être atteint pour les bornes de l'ensemble de définition.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\medskip
	Exemples.
	\begin{enumerate}
		\item La fonction identité sur $[0;1]$ admet un maximum en $1$ et un minimum en $0$.
		
		\item La fonction valeur absolue admet un minimum en $0$ mais pas de maximum.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsubsection{Une condition nécessaire.}

\begin{theoreme}{ - Théorème de Fermat.}
	
	Soient:
	\begin{enumerate}[.]
		\item $a<b$ deux réels,
		
		\item $x_0\in ]a;b[$,
		
		\item $f:]a;b[ \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction dérivable sur $]a;b[$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Si $f$ admet un extremum local en $x_0$ alors $f'(x_0)=0$.

\end{theoreme}

\begin{preuve}{}

	\begin{notabene}
		
		Faire un schéma faisant apparaître les notations et les problèmes qui se posent.
		
		Ajouter le schéma dans la démonstration ici. Avec lien avec les sécantes qui se rapprochent de tangente. Faire un rappel peut être avant sur les sécantes.
		
	\end{notabene}
	
	Quitte à considérer un intervalle plus petit que $]a;b[$ contenant $x_0$ nous pouvons supposer que $f(x_0)$ est un extremum global, ce que nous supposerons pour cette démonstration.
	
	\medskip
	\objectif{Supposons, par exemple, que $f(x_0)$ est un maximum et démontrons qu'alors forcément $f'(x_0)=0$.}
	
	Dire que $f(x_0)$ est un maximum absolu sur $]a;b[$ signifie: \[ \forall x\in ]a,b[,\ f(x)\leqslant f(x_0) \]
	
	Soit $h<0$ tel que $x_0+h\in ]a,x_0[$.
	
	\[ \left. \begin{array}{l} f(x_0+h)-f(x_0)\leqslant 0 \\h< 0 \end{array} \right\} \Rightarrow \tau_f(x_0,h)\geqslant 0 \]
	
	Puisque $f$ est dérivable en $c$, $f'_g(c)$ existe et \[ f'_g(c)=\lim_{\substack{x\to c \\ x\in[c,c+\epsilon[}} \tau_f(c,x)\ge 0 \]
	
	\medskip
	De même nous établirions que $f'_d(c)\le 0$. Or $f$ étant dérivable en $c$, $f'_g(c)=f'_d(c)=f'(c)$, donc, nécessairement 
	
	\begin{conclusion}
		
		$f'(c)=0$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Ainsi les zéros de la fonction dérivée nous indiquent les valeurs potentiels où chercher des extrema locaux.
		
		\item Attention lors d'une recherche d'extrema absolu de ne pas oublier de tester les éventuelles bornes de l'ensemble de définition. Le théorème n'envisage pas ce cas puisque l'intervalle est ouvert.
				
		\item Graphiquement: s'il y a un extremum local en $x_0$ alors la tangente en $x_0$ à la courbe est horizontale.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Àa jouter absolument.
		Exercice 63 page 150 du manuel Indice de première.
	\end{notabene}
	
	\begin{notabene}
		
		Permet de montrer l'insuffisance de la précédente proposition. De plus avec le tableau de variation nous voyons apparaître la mise en évidence du résulta suivant: il faut que la dérivée change de signe.
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\subsubsection{Une condition suffisante.}

\begin{proposition}{ }
	
	Soient:
	\begin{enumerate}[.]
		\item $a<b$ deux réels,
		
		\item $x_0\in ]a;b[$,
		
		\item $f:]a;b[ \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction dérivable sur $]a;b[$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Si $f'$ s'annule en $x_0$ en changeant de signe dans le voisinage de $x_0$, alors $f$ admet un extremum local en $x_0$.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}
	
	{Démontrons maintenant l'implication réciproque. Nous supposerons donc que $f'$ s'annule en $x_0$ en changeant de signe dans son voisinage et qu'alors, forcément, $f$ admet un extremum local en $x_0$.}
	
	Dire que $f$ s'annule en $x_0$ en changeant de signe dans son voisinage signifie qu'il est possible de trouver des réels $\alpha$ et $\beta$ de sorte que $]\alpha ; \beta [ \subset ]a;b[$ et qu'en se limitant à $]\alpha ; \beta [$ nous avons alors 
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
		{$\alpha$ ,$x_0$, $\beta$}
		\tkzTabLine{,+,z,-,}%
		\tkzTabVar {-/ $f(\alpha)$, + / $0$ , - / $f(\beta)$ / }
		\end{tikzpicture}
		ou
		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
		{$\alpha$ ,$x_0$, $\beta$}
		\tkzTabLine{,-,z,+,}%
		\tkzTabVar {+/ $f(\alpha)$, - / $0$ , + / $f(\beta)$ / }
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Et donc dans les deux cas nous avons bien un extremum sur $]\alpha ; \beta [$ en $x_0$. Autrement dit 
	
	\begin{conclusion}
		
		$f$ admet un extremum local en $x_0$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Ce résultat peut être utilisé si on a pas au préalable construit le tableau de variation de la fonction $f$ et notamment dans des cas de lecture graphique.
		
		\item Il faut impérativement que la dérivée change de signe, le fait que la dérivée s'annule ne suffisant pas. Il suffit, pour s'en convaincre de considérer la fonction cube dont la dérivée s'annule en zéro et qui n'admet pas d'extremum local.
		
		\item Graphiquement: s'il y a une tangente horizontale et que la courbe de la fonction est, au moins au voisinage du point de tangence, toute entière dans l'un des demi-plans délimités par la tangente, alors la fonction admet un extremum local.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{}
	
	La dérivée $f'$ d'une fonction $f$ est représentée ci-contre. Par lecture graphique précisez les extrema locaux de $f$ et pour quelles valeurs de $x$ ils sont atteints.

	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\def\xY{-5};
	\def\yY{-1.5};
	\def\xZ{5};
	\def\yZ{2.5};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
	\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
	\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \x};
	\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \y};
	\draw[red] (3,1) node[fill=white] {$\mathcal{C}_{f'}$};
	\draw[red, thick] plot[smooth] coordinates {(-4,2)(-3,0)(-2.4,-0.5)(-1.5,0)(-0.5,1)(0.5,0)(1,1)(1.5,0)(2,-1)};
	\draw(-4,2)node{$\bullet$};
	\draw(2,-1)node{$\bullet$};	
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

\end{exercice}


\begin{exercice}{}
	
	Exercices 64 à 67 pages 150 et 151 du manuel Indice de première.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}[\color{PineGreen}\large Exercice ]
		\item 65 page 150.
		
		\begin{enumerate}
			\item $f'(x)=3x^2-8x-3$.
						
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8}
				{$-1$ ,$-\frac{1}{3}$, $3$, $4$}
				\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}%
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\item $f$ admet un maximum local en $-\frac{1}{3}$ et un minimum local en $3$.
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
				{$-1$ ,$-\frac{1}{3}$, $3$, $4$}
				\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}%
				\tkzTabVar {-/ $3$, + / $\frac{149}{27}$ , - / $-13$, +/ $-7$ / }
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			$f$ admet un maximum absolu en $-\frac{1}{3}$ et un minimum absolu en $3$.
			
			\item Les tangentes sont horizontales.
			
		\end{enumerate}
	
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\subsection{Exercices.}

\begin{exercice}{}
	
	Étudiez les variations de
	\begin{enumerate}
		\item $\sin$ sur $[0,\pi]$.
		\item $\cos$ sur $\left[ -\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right]$.
		\item $x \mapsto \cos^2 x + \sin^2 x$ sur $\mathbb{R}$.
		\item $x \mapsto \cos (2x)$ sur $\left[ \frac{\pi}{4} , \frac{\pi}{4} \right]$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Obtenir des inégalités: exercices 71 à 73 page 151 du manuel Indice de première.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Position relative de deux courbes: exercices 78 à 81 pages 151 et 152 du manuel Indice de première.
	
\end{exercice}


\begin{exercice}{}
	
	Optimisation: exercice 85 page 153 du manuel Indice de première.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 97 page 129 du manuel première ESL Hachette Déclic 2015: fonction bénéfice, degré 3.
		
	\end{notabene}
	
	Un responsable d'un service comptable souhaite présenter, en réunion, l'estimation des bénéfices pour l'année à venir.
	
	Le bénéfice $B(q)$, exprimé en euros, pour $q$ unités produites et vendues est modélisé par la fonction définie par $B(q)=-q^3+375q^2+ \np{105000}q$ avec $q\geqslant 0$.
	
	Il souhaite trouver comment graduer ses axes pour afficher uniquement la partie de la courbe où le bénéfice est positif. De plus, cette partie doit être entièrement représentée.
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Calculez $B'(q)$.
			
			\item Étudiez le signe de $B'(q)$ et construire de tableau de variations de $B$ pour $q\geqslant 0$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item Factorisez $B(q)$ et résolvez $B(q)=0$.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Comment doit-il graduer ses axes?
			
			\item Vérifiez en traçant cette courbe sur la calculatrice.
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}

\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}

	\begin{enumerate}
		\item 
			\begin{enumerate}
			\item \objectif{Déterminons $B'$.}
		
		$B$ est une fonction polynomiale donc est dérivable sur $\mathbb{R}$ et \[ B'(q) = -3q^2+375\times 2q+\np{105000} \]
		
		\begin{conclusion}
		
		Quelque soit $q\in [0;+\infty [$ \[ B'(q)=-3q^2+750q+\np{105000} \]
		
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Étudions le signe de $B'$ et les variations de $B$.}
		
		$B'$ est une fonction polynomiale de degré $2$ avec: $a=-3$, $b=750$ et $c=\np{105000}$.
				
		\begin{align*}
		\Delta &= b^2-4ac\\
		&= (750)^2-4\times (-3) \times (\np{105000})\\
		&= \np{1822500}
		\end{align*}
		
		$\Delta>0$ donc $B'$ admet deux racines distinctes:
		
		\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{X|X}
		$\begin{aligned}
		q_1 &= \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\
		&= \frac{-(750)-\sqrt{1822500}}{2\times (-3)}\\
		&= 350 
		\end{aligned}$
		&
		$\begin{aligned}
		q_2 &= \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\
		&= \frac{-(750)+\sqrt{1822500}}{2\times (-3)}\\
		&= -100
		\end{aligned}$
		\end{tabularx}
		
		\medskip
		La fonction polynomiale de degré 2 $B'$ est du signe de son coefficient dominant $a=-3<0$ sauf entre ses racines $q_1=350$ et $q_2=-100$ donc

		\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$q$ /0.8, $B'$ /0.8, $B$ /1.6}
		{$-\infty$, $-100$, $0$, $350$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,z,-}%
			\tkzTabVar {+/, -/$\np{-5750000}$,R/ /,+/$\np{39812500}$, -/ }
			\tkzTabVal[draw]{2}{4}{0.5}{}{$0$}
			\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M20) rectangle (T23);
		\end{tikzpicture}
		
		\end{enumerate}
	
	\item \objectif{Factorisons $B(q)=0$.}
	
	\begin{align*}
		B(q) &= -q^3+375q^2+\np{105000}q\\
		&= -q^2\times {\color{orange}q}+375q\times {\color{orange}q}+\np{105000}{\color{orange}q}
	\end{align*}
	
	Donc
	
	\begin{conclusion}
		
		\[ B(q)=q(-3q^2+375q+\np{105000})\]
		
	\end{conclusion}
	
	\medskip
	\objectif{Résolvons $B(q)=0$.}
	
	Utilisons le résultat précédent. Dire que $B(q)=0$ équivaut successivement à
	
	\begin{align*}
	& q(-3q^2+375q+\np{105000})=0 \\
	& q=0 \text{ ou } {\color{orange}-3q^2+375q+\np{105000}=0 \ \quad (E_1)}
	\end{align*}
	
	{\color{orange}Nous voyons apparaitre une équation polynomiale de degré 2, $(E_1)$.}
	
	Résolvons $(E_1)$.
	
	Il s'agit d'une équation polynomiale de degré 2 avec: $a=-3$, $b=375$ et $c=\np{105000}$.
	
	$B'$ est une fonction polynomiale de degré $2$ avec: $a=-3$, $b=750$ et $c=\np{105000}$.
				
	\begin{align*}
	\Delta &= b^2-4ac\\
	&= (375)^2-4\times (-3) \times (\np{105000})\\
	&= \np{1400625}
	\end{align*}
	
	$\Delta>0$ donc $(E_1)$ admet deux racines distinctes:
		
	\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{X|X}
	$\begin{aligned}
	q_3 &= \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\
	&= \frac{-375-\sqrt{1400625}}{2\times (-3)}\\
	&= \frac{546507}{2104}\\
	&\approx 260
	\end{aligned}$
	&
	$\begin{aligned}
	q_4 &= \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\
	&= \frac{-375+\sqrt{1400625}}{2\times (-3)}\\
	&= -\frac{283507}{2104}\\
	&\approx -135
	\end{aligned}$
	\end{tabularx}
	
	L'ensemble des solutions de $(E_1)$ est $\{ q_3;q_4 \}$.
	
	Enfin puisque $q\ge 0$ nous ne retiendrons que les solutions positives
	
	\begin{conclusion}
	
	L'ensemble des solutions de l'équation $B(q)=0$ est $\mathcal{S}=\{ 0; q_3 \}$.
	
	\end{conclusion}
	
	\item  En combinant la lecture du tableau de variation et la connaissance des zéros de la fonction bénéfice il appert que pour voir la partie positive de  $B$il faut choisir \[ \left\{ \begin{array}{l}0\le x \le q_3 \approx 260\\ 0\le y \le \np{39812500} \end{array} \right. \]
	
	\end{enumerate}

\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 109 page 131 du manuel Hachette Déclic 2015 première ESL: problème de bac, étude d'une fonction auxiliaire, coût moyen.
		
	\end{notabene}
	
	\emph{Partie A: étude d'une fonction.}
	
	\medskip
	On considère la fonction définie sur $[ \np{5000} ; \np{15000} ]$ par: \[ f(x) = 9+\frac{\np{63000}}{x}. \]
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculez $f'(x)$ où $f'$ est la fonction dérivée de $f$.
		
		\item Étudiez le signe de $f'(x)$ et en déduire le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $[ \np{5000} ; \np{15000} ]$.
		
		\item Résoudre $f(x)=16$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	\emph{Partie B: étude d'un bénéfice.}
	
	\medskip
	Un restaurateur propose un menu unique à $16\ \text{\euro}$.
	
	Il a calculé que:
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item les charges fixes s'élèvent à $\np{63000}\ \text{\euro}$ pour une année;
		
		\item la préparation d'un repas coûte $9\ \text{\euro}$.
		
	\end{enumerate}
	
	On suppose que tous les repas préparés sont vendus. On désigne par $x$ le nombre de repas servis en un an et on suppose que $x$ appartient à $[\np{5000} ; \np{15000}]$.
	
	\begin{enumerate}
		\item On note $C_T(x)$ le coût total annuel de la préparation de $x$ repas. Exprimez $C_T(x)$ en fonction de $x$.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item On note $C_M(x)$ le coût moyen d'un repas pour la préparation de $x$ repas. montrez que $C_M(x)=f(x)$.
			
			\item Déterminez, à l'aide de la première partie, le seuil de rentabilité du restaurant, c'est-à-dire le nombre de repas qu'il faut servir pour que l'exploitation du restaurant dégage un bénéfice.
			
		\end{enumerate}
		
		\item On note $B(x)$ le bénéfice annuel du restaurant pour $x$ repas.
		
		\begin{enumerate}
			\item Exprimez $B(x)$ en fonction de $x$.
			
			\item Ce restaurateur souhaite pouvoir payer son serveur $\np{1325}\ \text{\euro}$ brut par mois et s'octroyer un salaire de $\np{2000}\ \text{\euro}$, uniquement à l'aide du bénéfice.
			
			Sachant que le restaurant est ouvert $300$ jours dans l'année, combien de repas faut-il servir en moyenne par jour pour atteindre l'objectif?
			
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}

\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}
	
	\textbf{Partie A.}
	
	\begin{enumerate}
		\item \objectif{Déterminons $f'$.}
		
		$f$ est une somme de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}^*$, donc $f$ est dérivable sur $[5000;15000]$ et, quelque soit $x$ dans cet intervalle 
		
		\begin{conclusion}
			
			$f'(x)=-\frac{63000}{x^2}.$
		
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Dressons le tableau de variation $f$.}
		
		$f'$ est une expression fractionnaire dont le dénominateur est toujours positif puisque c'est un carré. $f'$ est donc du signe de son numérateur autrement dit strictement négatif.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'(x)$ /0.8, $f(x)$ /1.6}
				{$5000$ , $15000$}
				\tkzTabLine{,-,}%
				\tkzTabVar {+/ $\numprint{21,6}$, -/ $\numprint{13,2}$  }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item \objectif{Résolvons l'équation $f(x)=16$.}
		
		\begin{align*}
			f(x)&=16\\
			\intertext{équivaut successivement à}
			9+\frac{x}{63000} &= 16\\
			9+\frac{x}{63000} {-\color{orange}-9} &= 16 {-\color{orange}-9}\\
			\frac{63000}{x} &= 7\\
			\frac{63000}{x} {\color{orange}\times x} &= 7 {\color{orange}\times x}, \quad \text{car } x\ne 0\\
			63000 &= 7x\\
			\frac{63000}{\color{orange}7} &= \frac{7x}{7}\\
			9000 &= x
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de l'équation $f(x)=16$ est $\mathscr{S}= \{ 16 \}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
	\bigskip
	\textbf{Partie B.}
	
	\begin{enumerate}
		\item $C_T(x)=63000+9x$
		
		\item 
		\begin{enumerate}
			\item \objectif{Déterminons $C_M(x)$.}
			
			\begin{align*}
				C_M(x) &= \frac{C_T(x)}{x}\\
				&= \frac{63000+9x}{x}\\
				&= \frac{63000}{x}+ \frac{9x}{x}\\
				&= \frac{63000}{x} +9\\
				&= f(x)
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Quelque soit $x\in [5000;15000]$, $f(x)=C_M(x)$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item La rentabilité sera atteinte lorsque le coût moyen d'un repas sera inférieur au prix de vente de $16$ euros.
			
			Puisque $C_M=f$ nous pouvons affirmer d'après les questions A.2 et A.3 que 
						
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=3.2, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $C_M(x)$ /1.6}
				{$5000$ , $15000$}
				\tkzTabVar {+/ $\numprint{21,6}$, -/ $\numprint{13,2}$  }
				\tkzTabVal{1}{2}{0.5}{9000}{16}
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			D'après ce tableau de variation
			
			\begin{conclusion}
				
				le seuil de rentabilité est de $9000$ repas servis.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item 
			
			\begin{align*}
				B(x) &= R(x)-C_T(x)\\
				&= 16x-C_T(x)\\
				&= 7x-63000
			\end{align*}
			
			\item Pour pouvoir verser les deux salaires sur $12$ mois il faut que le bénéfice vérifie
			\[ B(x)\geqslant 1325 \times 12 +200 \times 12. \]
			
			Il s'agit d'une inéquation du premier degré {\color{orange}que nous résolvons en isolant le $x$}:
			
			\begin{align*}
				B(x) &\geqslant 39900\\
				7x -63000 &\geqslant 39900\\
				7x -63000 {\color{orange}+63000} &\geqslant 39900 {\color{orange}+63000}\\
				7x &\geqslant 102900\\
				\frac{7x}{7} &\geqslant \frac{102900}{7}\\
				x &\geqslant 14700
			\end{align*}
			
			Il faut donc vendre plus de $14700$ repas sur $300$ jour. Autrement dit
			
			\begin{conclusion}
				
				Il doit donc vendre plus de $49$ repas par jour.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
	
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 110 page 131 du manuel Hachette Déclic 2015: coût moyen, technique.
		
	\end{notabene}
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Avec la calculatrice
			
			
			\begin{conclusion}
				
				$C_T(20)=358$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			Et puisque $C_M(q)=\frac{C_T(q)}{q}$,
			
			\begin{conclusion}
				
				$C_M(20)=17,9$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item 
			
			Nous utilisons le taux d'accroissement de la fonction affine représentée par la droite $(OA)$ pour déterminer sa pente:
			
			\begin{align*}
				p &= \frac{y_A-y_O}{x_A-x_O}\\
				&= \frac{C_T(20)-0}{20-0}\\
				&= \frac{358}{20}\\
				&= 17,9
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				La pente de $(OA)$ est de $17,9$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item {\color{orange}Il faut imaginer que la droite rouge reste fixée au points $O$ et $A$ mais le point $A$ peut s déplacer sur la courbe $\mathscr{C}_{C_T}$. La question est donc de trouver la position du point $A$ pour laquelle la pente de $(OA)$ est la plus faible.}
			
			\medskip
			La pente semble minimale lorsque $A$ a pour abscisse $40$.
			
			\begin{conclusion}
				
				Pour que le coût soit minimal il faut produire $40$ crèmes.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item \objectif{Donnons l'expression de $C_M(q)$.}
			
			\begin{align*}
				C_M(q) &= \frac{C_T(q)}{q}\\
				&= \frac{0,001q^3+5q+250}{q}\\
				&= \frac{0,001q^3}{q} + \frac{5q}{q}+ \frac{250}{q}\\
				&= 0,001q^2 + 5 +\frac{250}{q}
			\end{align*}
			
			
			\item \objectif{Déterminons $C_M'$.}
			
			$C_M = \frac{u}{v}$ avec $u(x)=0,001q^3+5q+250$ et $v(x)=q$. $u$ et $v$ sont dérivables et $v$ est non nulle sur $]0;+\infty[$.
			
			De plus \[ \left\{ \begin{array}{l} u(x)=0,003q^2+5 \\ v(x)=1 \end{array} \right. \]
			
			Donc
			\begin{align*}
				C_M' &= \frac{u'v-uv'}{v^2}\\
				&= \frac{(0,003q^2+5) \times q - (0,001q^3+5q+250) \times 1}{q^2}\\
				&= \frac{0,003q^2 \times q +5 \times q -(0,001q^3+5q+250)}{q^2}\\
				&= \frac{0,003q^3 +5q -0,001q^3-5q-250)}{q^2}\\
				&= \frac{(0,003-0,001)q^3+(5-5)q-25}{q^2}\\
				&= \frac{0,002q^2-250}{q^2}
			\end{align*}
			
			Or
			
			\begin{align*}
				&({\color{orange}q} {\color{red}-50})(0,002q^2+0,1q+5)\\
				&= {\color{orange}q}\times 0,002q^2 +{\color{orange}q} \times 0,1q+ {\color{orange}q} \times 5 + {\color{red}(-50)} \times 0,002q^2 + {\color{red}(-50)} \times 0,1q + {\color{red}(-50)} \times 5\\
				&= 0,002q^3+0,1q^2+5q-0,1q^2+10q-250q\\
				&= 0,002q^2-250
			\end{align*}
			
			donc
			
			\begin{conclusion}
				
				$\displaystyle C_M'(q)=\frac{(q-50)(0,002q^2+0,1q+5)}{q^2}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item \objectif{Étudions les variations de $C_M$.}
			
			$C_M'$ est un quotient dont le dénominateur est positif car c'est un carré. Donc $C_M'$ est du signe de son numérateur qui est un produit.
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item $f:q\mapsto q-50$ est une fonction affine avec $a=1$ et $b=-50$.
				
				$a>0$ donc $f$ est strictement croissante.
				
				$f$ s'annule en $-\frac{b}{a}=-\frac{-5}{1}=50$.
				
				\item $g:x \mapsto 0,002q^2 +0,1q +5$ est une fonction polynomiale de degré deux donnée sous forme développée avec $a=0,002$, $b=0,1$ et $c=5$.
				
				\begin{align*}
					\Delta &= b^2-4ac\\
					&= (0,01)^2-4 \times 0,002 \times 5\\
					&= 24,96
				\end{align*}
				
				$\Delta <0$ donc $g$ est du signe de son coefficient dominant, \emph{i.e.} $g$ est strictement positive.
				
			\end{enumerate}
			
			Nous en déduisons le tableau de signe $C_M'$ et celui de variation de $C_M$.
			
			\begin{center}
				
				\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.8]{$q$ /0.8, $C_M'(q)$ /0.8, $C_M(q)$ /1.6}
				{$0$ ,$50$, $120$}
				\tkzTabLine{d,-,z,+,}%
				\tkzTabVar {-D+ /  /  , - / $0$ , + / $f(120)$ / }
				\end{tikzpicture}
				
			\end{center}
		
		Avec $f(120)\approx 0,222638$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}


\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}