%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
%\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{RoyalBlue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{Black}\underline{Remarques.}}\color{Black}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. #1} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}\dotfill
	
}{\dotfill \underline{fin de la correction de l'exercice \theExercicecorrection.}}

\newenvironment{exerciceapplication}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Application.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} }{ \end{colbox} }

\newenvironment{concours}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Concours.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} }{\medskip}

\newenvironment{recherche}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill { \color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Recherche.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} }{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration \theDemonstration \dotfill #1} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{Black} 
	
}{\noindent \color{PineGreen} \dotfill  Fin de la démonstration \hspace{1cm}~}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/1ieme.html}{Fonction dérivée.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{details}
\exclure{bareme}
\exclure{notabene}
%\exclure{correction}\exclure{exercicecorrection}\exclure{preuve}\exclure{exemples}%papi
%\exclure{remarques}\exclure{corollaire}\exclure{lemme}\exclure{proposition}\exclure{theoreme}\exclure{culturegenerale}\exclure{definition}\exclure{lecon}
%\exclure{sujet}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Fonction dérivée.}

\begin{notabene}
	
	Ajouter encore un exercice avec des fonctions auxiliaires.
	
\end{notabene}

\begin{notabene}
	
	Saturne.
	
	Les chapitres I et II peuvent être faits en quarante minutes. Une définition, deux exemples, pas d'exercice et deux démonstrations déjà vues.
	
	Chapitre III 6 formules, 6 exercices types, deux démonstration pas moins de 2 heures.
	
	Chapitre IV pour l'essentiel intuitif donc $30$ minutes.
	
	Il faut compter au moins une heure de correction d'exercices en tout genre.
	
	On arrondit à 5 heures.
	
\end{notabene}

Dans cet leçon l'intervalle $I$ est supposé non vide et non réduit à un point.

\subsection{Nombre et fonction dérivés.}

\begin{definition}{}
	
	Soient:
	\begin{enumerate}[.]
		\item $I$ un intervalle,
		\item $f:I\rightarrow \mathbb{R}$ une fonction.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	S'il est possible de calculer le nombre dérivé de $f$ en $x_0\in I$, \emph{i.e.} $f'(x_0)$, nous dirons que $f$ est \emph{\color{purple}dérivable en $x_0$}.
	
	\medskip
	Si $f$ dérivable en tous les points de $I$ nous dirons que \emph{\color{purple}$f$ est dérivable sur $I$} et que sa \emph{\color{purple}fonction dérivée} est \[ \left\{ \begin{array}{rcl} I & \rightarrow &  \mathbb{R} \\ x & \mapsto & f'(x) \end{array} \right. \]
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\medskip
	\begin{enumerate}
		
		\item Considérons la fonction $\ell: x \mapsto 3$ (fonction constante).
		
		Soit $a \in \mathbb{R}$. Déterminons, si possible, le nombre dérivé de $\ell$ en $a$.
		
		Soit $h \in \mathbb{R}^*$.
		
		\begin{align*}
			\tau_{\ell}(a,h+a) &= \frac{\ell(h+a) - \ell(a)}{h}\\
			&= \frac{3-3}{h}\\
			&= \frac{0}{h}\\
			&= 0
		\end{align*}
		
		Donc: $\lim_{h \to 0} \tau_{\ell}(a,h+a)=0$.
		
		Autrement dit $\ell$ est dérivable en tout nombre $a$ et sa dérivée est la fonction constante égale à $0$: $\ell':x \mapsto 0$.
		
		\item La fonction inverse n'est pas dérivable en $0$ puisqu'elle n'est pas même définie en $0$.
		
		\item La fonction racine carrée n'est pas dérivable en $0$ alors qu'elle est définie en $0$ (revoyez la leçon sur le nombre dérivé).
		
		\begin{correction}
			
		\item Considérons la fonction $g:x \mapsto x^2+3x$ et calculons, si possible, $g'(7)$.
		
		Soit $h \in \mathbb{R}^*$.
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item D'une part
			
			\begin{align*}
			g(7+h) &= (7+h)^2+3 (7+h)\\
			&= h^2+17h+70
			\end{align*}
			
			\item d'autre part
			
			\begin{align*}
			g(7) &= 7^2+3 \times 7\\
			&= 70
			\end{align*}
			
		\end{enumerate}
		
		donc
		
		\begin{align*}
		\tau_g(7,h+7) &= \frac{\left( h^2+17h+70 \right) - (70)}{h}\\
		&= \frac{h^2+17h}{h}\\
		&= \frac{h(h+17)}{h}\\
		&= h+17
		\end{align*}
		
		Nous pouvons donc passer à la limite:
		
		\begin{align*}
		\lim_{h \to 0} \tau_g(7,h+7) &= \lim_{h \to 0} h+17\\
		&= 17
		\end{align*}
		
		Ainsi $g$ est dérivable en $7$ et $f'(7)=17$.
		
		\medskip
		Nous pourrions refaire exactement toutes les mêmes étapes pour $a \in \mathbb{R}$ quelconque plutôt que $7$ et nous aurions obtenu de même que $g$ est dérivable en $a$ et $g'(a)= 2a+3$. Autrement dit $g$ est dérivable sur $I=\mathbb{R}$ et sa fonction dérivée est $g':x \mapsto 2x+3$.
		
		\item Pour la fonction $f:x\mapsto 2x+1$ nous pouvons calculer le nombre dérivé en $3$: $f'(3)=2$. {\color{orange}Rappelons que la courbe représentative d'une fonction affine est une droite qui se confond avec ses tangentes donc le nombre dérivé est son coefficient directeur.} Donc $f$ est dérivable en $3$.
		
		Nous remarquons que nous pourrions calculer ce nombre dérivé en n'importe quelle valeur réelle $x_0$: $f'(x_0)=2$. Donc $f$ est dérivable sur $I=\mathbb{R}$ et sa fonction dérivée est $f':x \mapsto 2$ (fonction constante égale à $2$).
		
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\medskip
	\begin{enumerate}
		
		\item La question de l'ensemble de dérivabilité, pour ceux qui veulent poursuivre des études mathématiques, est importante. Pour les autres, elle peut être survolée.
		
		\begin{correction}
			
		\item Une fonction peut être dérivable sur tout son ensemble de définition ou sur une partie de celui-ci voire même nulle part (\href{https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_continue_nulle_part_d%C3%A9rivable}{page Wikipédia}).
		
		\end{correction}
		
		\item Nous allons voir des procédés pour trouver rapidement et assez simplement des fonctions dérivées. Nous n'utiliserons plus les limites de taux de varaition qu'en de rares occasions (cas difficiles, résultats généraux).
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}


\subsection{Fonctions dérivées classiques.}

\begin{lecon}
	
	Les fonctions dérivées des fonctions de références vont nous servir un grand nombre d'autres fonctions. 
	
	Le formulaire suivant est donc à connaître. Ainsi que les démonstrations pour les fonctions carré et inverse.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		
		\item {\color{orange}Fonctions constantes.}
		
		$\color{purple}f: x \mapsto b$, avec $b \in \mathbb{R}$, est dérivable sur $\color{purple}\mathbb{R}$ et \[ \forall x \in \mathbb{R},\ {\color{purple}f'(x)=0}. \]
		
		\begin{exemples}
			
			\medskip			
			La fonction constante égale à $0$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et sa fonction dérivée est $0$.
			
		\end{exemples}
		
		\item {\color{orange}Fonction identité.}
		
		$\color{purple}f: x \mapsto x$ est dérivable sur $\color{purple}\mathbb{R}$ et \[ \forall x \in \mathbb{R},\ {\color{purple}f'(x)=1}. \]
		
		\begin{correction}
		
		\begin{preuve}{}
			
			Démontrons la formule pour la fonction identité.
			
			{\color{orange}Nous allons démontrer qu'il est toujours possible de trouver le nombre dérivé de la fonction identité et préciser sa valeur.}
			
			\medskip
			Soit $x_0\in\mathbb{R}$.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons le nombre dérivé de $f$ en $x_0$.}
			
			Le taux d'accroissement de $f$ entre $x_0$ et $x_0+h$ est
			\[ \tau_f(x_0,h) = \frac{{\color{violet}f(x_0+h)}-{\color{orange}f(x_0)}}{h} \]
			
			Comme $f$ est la fonction identité $\left\{ \begin{array}{l} \color{violet}f(x_0+h)=x_0+h\\ \color{orange}f(x_0)=x_0 \end{array} \right.$.
			
			Donc le taux d'	accroissement s'écrit:
			\begin{align*}
			\tau_f(x_0,h) &= \frac{{\color{violet}x_0+h}-{\color{orange}x_0}}{h}\\
			&=\frac{h}{h}\\
			&= {\color{red}1}
			\end{align*}
			
			Et clairement: $\displaystyle \lim_{h \to 0} {\color{red}1} = 1$.
			
			Ainsi
			
			\begin{conclusion}
				
				quel que soit $x_0$ choisi dans $\mathbb{R}$, le nombre dérivé de $f$ est $1$.
				
			\end{conclusion}
		\end{preuve}
		
		\end{correction}
		\item {\color{orange}Fonction carré.}
		
		$\color{purple}f: x \mapsto x^2$ est dérivable sur $\color{purple}\mathbb{R}$ et \[ \forall x \in \mathbb{R},\ {\color{purple}f'(x)=2x}. \]
		
		\begin{preuve}{ $\bigstar$ \color{red}$\varheartsuit$}
			
			{\color{WildStrawberry}Nous allons tout simplement calculer le nombre dérivé en $a$. Nous ne remplaçons pas $a$ par une valeur particulière car nous voulons être sûr que le résultat fonctionnera pour n'importe quel nombre.}
			
			\medskip
			Soit $a \in \mathbb{R}$.
			
			\medskip
			
			\objectif{Démontrons que $f$ est dérivable en $a$ et que $f'(a)=2a$.}
			
			Soit $h \in \mathbb{R}^*$. Déterminons $\tau_f(a,a+h)$.
			
			D'une part:
			
			{\color{violet}
			\begin{align*}
				f(a+h) &= (a+h)^2\\
				&= a^2+2ah+h^2
			\end{align*}
			}
			
			d'autre part
			
			{\color{orange}
			\begin{align*}
				f(a) &= a^2
			\end{align*}
			}
			
			et
			
			\begin{align*}
				\tau_f(a,a+h) &= \frac{{\color{violet}f(a+h)} -{\color{orange}f(a)}}{h}\\
				\intertext{donc}
				&= \frac{{\color{violet}(a^2+2ah+h^2)}-{\color{orange}(a^2)}}{h}\\
				&= \frac{h^2+2ah}{h}\\
				&= \frac{h(h+2a)}{h}\\
				&= h+2a
			\end{align*}
			
			En passant à la limite: \[ \lim_{h \to 0} \tau_f(a,a+h) = \lim_{h \to 0} h+2a =2a. \]
			
			Par conséquent $f$ est dérivable en $a$ et $f'(a)=2a$.
			
			\medskip
			La démonstration étant valable pour tout $a \in \mathbb{R}$,
			
			\begin{conclusion}
				
				$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=2x$ pour tout $x$ réel.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{preuve}
		
		\item {\color{orange}Fonction cube.}
		
		$\color{purple}f: x \mapsto x^3$ est dérivable sur $\color{purple}\mathbb{R}$ et \[ \forall x \in \mathbb{R},\ {\color{purple}f'(x)=3x^2}. \]
		
		\item {\color{orange}Fonction inverse.}
		
		$\color{purple}f: x \mapsto \frac{1}{x}$, définie sur $\mathbb{R}^*$, est dérivable sur $\color{purple}\mathbb{R}^*$ et \[ \forall x \in \mathbb{R},\ {\color{purple}f'(x)= -\frac{1}{x^2}}. \]
		
		\begin{preuve}{ $\bigstar$ \color{red}$\varheartsuit$}
			
			Soit $a \in \mathbb{R}^*$.
			
			\medskip
			
			\objectif{Démontrons que $f$ est dérivable en $a$ et que $f'(a)=2a$.}
			
			Soit $h \in \mathbb{R}^*$. Déterminons $\tau_f(a,a+h)$.
			
			D'une part:
			
			{\color{violet}
			\begin{align*}
				f(a+h) &= \frac{1}{a+h}
			\end{align*}
			}
			
			d'autre part
			
			{\color{orange}
			\begin{align*}
				f(a) &= \frac{1}{a}
			\end{align*}
			}
			
			et
			
			\begin{align*}
				\tau_f(a,a+h) &= \frac{{\color{violet}f(a+h)} -{\color{orange}f(a)}}{h}\\
				\intertext{donc}
				&= \frac{{\color{violet}\frac{1}{a+h}}-{\color{orange}\frac{1}{h}}}{h}\\
				\intertext{\color{WildStrawberry}Diviser par $h$ c'est multiplier par son inverse:}
				\tau_f(a,a+h) &= \frac{1}{h}\left( {\color{violet}\frac{1}{a+h}} - {\color{orange}\frac{1}{a}} \right)\\
				&= \frac{1}{h} \left( \frac{a-(a+h)}{(a+h) a } \right)\\
				&= \frac{-h}{h(a+h)a}\\
				&= \frac{-1}{a^2+ha}
			\end{align*}
			
			En passant à la limite: \[ \lim_{h \to 0} \tau_f(a,a+h) = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{a^2+ha} = -\frac{1}{a^2}. \]
			
			Par conséquent $f$ est dérivable en $a$ et $f'(a)=-\frac{1}{a^2}$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$f$ est dérivable en tout $x \in \mathbb{R}^*$ et $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$ pour tout $x$ réel.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{preuve}
		
		
		\item {\color{orange}Fonction puissance d'un entier relatif.}
		
		$\color{purple}f: x \mapsto x^n$, avec $n \in \mathbb{Z}$, est dérivable sur $I=\color{purple}\mathbb{R}$ si $n \geqslant 0$ et sur $I=\color{purple}\mathbb{R}^*$ si $n<0$, et \[ \forall x \in I,\ {\color{purple}f'(x)=nx^{n-1}}. \]
		
		\begin{exemples}
			
			\medskip
			\begin{enumerate}
				\item Si $f:x \mapsto x^4$ alors $f':x \mapsto 4x^3$.
				
				\item Si $f:x \mapsto x^{-3}$ alors $f':x \mapsto -3x^{-4}$. Autrement dit: $f':x \mapsto -\frac{3}{x^4}$
				
				\begin{correction}
				
				\item Nous retrouvons pour $n=0$ le cas de la fonction constante égale à $1$.
				
				\item Nous retrouvons pour $n=1$ le cas de la fonction identité.
				
				\item Nous retrouvons pour $n=-1$ le résultat de la fonction inverse.
				
				\end{correction}
				
			\end{enumerate}
			
		\end{exemples}		
		
		\begin{notabene}
			
			Nous ne démontrons pas pour l'instant ce résultat pour $n<1$ car nous verrons plus loin un résultat pour le faire.
			
		\end{notabene}
		
		\item {\color{orange}Fonction racine carrée.}
		
		$\color{purple}f: x \mapsto \sqrt{x}$ est dérivable sur $\color{purple}\mathbb{R}_+^*$ et \[ \forall x \in \mathbb{R}_+^*,\ {\color{purple}f'(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}}. \]
			
		\begin{correction}
		
		\item {\color{orange}Fonction cosinus. Nous ne l'avons pas encore introduite, ce résultat est donc rétroactif.} 
		
		$\color{purple}f: x \mapsto \cos{x}$ est dérivable sur $\color{purple}\mathbb{R}$ et \[ \forall x \in \mathbb{R},\ {\color{purple}f'(x)=-\sin(x)}. \]
		
		\item {\color{orange}Fonction sinus. Nous ne l'avons pas encore introduite, ce résultat est donc rétroactif.} 
		
		$\color{purple}f: x \mapsto \sin{x}$ est dérivable sur $\color{purple}\mathbb{R}$ et \[ \forall x \in \mathbb{R},\ {\color{purple}f'(x)=\cos(x)}. \]
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{lecon}

\begin{correction}
	
	Faites-vous un petit tableau comme celui-ci et apprenez-le.
	
	\begin{center}
		
		{\color{red}$\varheartsuit$}
		
		\begin{tabular}{|m{3cm}|m{2cm}|m{2cm}|}
			\hline
			Fonction $f$ & Ensemble de dérivabilité & Dérivée $f'$ 
			\\ 
			\hline 
			\hline
			$\displaystyle c$ avec $\displaystyle c\in \mathbb{R}$ & $\displaystyle \mathbb{R}$ & $0$
			\\ 
			\hline
			$\displaystyle x$ & $\displaystyle \mathbb{R}$ & $1$
			\\ 
			\hline
			$\displaystyle x^2$ & $\displaystyle \mathbb{R}$ & $2x$
			\\ 
			\hline
			$\displaystyle x^3$ & $\displaystyle \mathbb{R}$ & $\displaystyle 3x^2$
			\\ 
			\hline
			$\displaystyle x^n$ avec $\displaystyle  n\in\mathbb{Z}$ & $\displaystyle \mathbb{R}$ & $\displaystyle nx^{n-1}$
			\\ 
			\hline
			$\displaystyle \frac{1}{x}$ & $\mathbb{R}_-^*$ ou $\mathbb{R}_+^*$ & $$\frac{-1}{x^2}$$
			\\ 
			\hline
			$\displaystyle \sqrt{x}$ & $\displaystyle \mathbb{R}_+^*$ & $\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}$
			\\ 
			\hline
			$\cos(x)$ & $\mathbb{R}$ & $-\sin(x)$
			\\ 
			\hline
			$\sin(x)$ & $\mathbb{R}$ & $\cos(x)$
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}

\end{correction}

\begin{remarques}
	
	\medskip
	\begin{enumerate}
		
		\item Nous avons démontrer la plus part de ces résultats dans la leçon sur les nombres dérivés et les tangentes.
		
		\item Rappelons les notations pour les ensembles: $\mathbb{R}_+^*=]0;+\infty [$, $\mathbb{R}_-^*= ]-\infty ; 0[$, $\mathbb{R}^*= \mathbb{R}\setminus \{ 0 \}$, $\mathbb{R}_+= [0;+\infty[$.
		
		\item Les dérivées des fonctions d'expressions algébriques $1$, $x$, $x^2$, $x^3$ sont des cas particuliers de $x^n$.
		
		\item Il existe une formule générale pour toutes ces dérivées (hormis les fonctions cosinus et sinus). 
		
		Si $f(x)=x^{\alpha}$, avec $\alpha\in\mathbb{R}$ alors $f'(x)=\alpha x^{\alpha-1}$. 
		
		Avec les notations et conventions suivantes: $1=x^0$, $x=x^1$, $\frac{1}{x}=x^{-1}$ et $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$ (l'explication de cette dernière notation viendra avec l'introduction de la fonction exponentielle).
		
		\item Les ensembles de dérivabilité coïncident avec les ensembles de définition sauf pour la fonction racine carrée. Nous avons vu dans la leçon \href{http://unemainlavelautre.net/1ieme/1ieme_analyse_01_tangente_nombre_derive.pdf}{Tangente et nombre dérivé.} exercice 4) que la fonction racine carrée n'est pas dérivable en zéro.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exerciceapplication}{}
	
	Exercices 79 et 80 page 123 du manuel Indice.
	
\end{exerciceapplication}

\subsection{Combiner les dérivations.}

\begin{lecon}
	
	Les dérivées classiques ci-dessus sont trop peu nombreuses. Afin d'étendre le champ des fonctions que nous saurons dériver nous allons combiner ces fonctions de références ci-dessus par différents procédés.
	
	\begin{correction}
	
		Il faudra donc, pour trouver la fonction dérivée d'une fonction $f$, reconnaître dans son expression algébrique, les fonctions de références. 
		
		Ainsi dans \[ f(x)=\frac{{\color{blue}\sqrt{x}}+{\color{red}\frac{1}{x}}}{3{\color{green}x^2}+4{\color{cyan}x}+{\color{violet}7}},\] nous reconnaissons les fonctions racine carrée, inverse, carrée, identité, constante (voire un trinôme).
		
	\end{correction}
	
\end{lecon}

\begin{notabene}
	
	Pas d'exemple pour les différentes formules car les exercices sont des exemples. Donc il faut les faire ensemble. Donc pas noté exercice d'application.
	
\end{notabene}

\subsubsection{Dérivée d'une somme de fonctions.}

\begin{proposition}

Si $u$ et $v$ sont des fonctions dérivables sur un intervalle $I$ alors $u+v$ est dérivable sur $I$ et \[ \left( u+v \right)'=u'+v' \]

\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	Ce résultat découle du fait que $\tau_{f+g}(a,h)=\tau_f(a,h) + \tau_{g}(a,h)$ et le passage à la limite, lui aussi, respecte l'addition lorsque les limites existent.
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\medskip
	\begin{enumerate}
		\item Incidemment dans cette proposition nous définissons une addition, non pas entre des nombres, mais entre des fonctions: la somme des fonctions $u$ et $v$ est une nouvelle fonction notée $u+v$ dont la définition est intuitive.
		<
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{}
	
	Déterminez la fonction dérivée de $f:\left\{ \begin{array}{rcl} ]0;+\infty[ & \rightarrow & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \frac{1}{x}+\sqrt{x} \end{array} \right.$.

\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\objectif{Déterminons $f'$.}
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item {\color{WildStrawberry}Identification de fonctions de références.}
		
		$f=u+v$ avec $u:x \mapsto \frac{1}{x}$ et $v: x \mapsto \sqrt{x}$.
		
		\item {\color{WildStrawberry}Détermination de l'ensemble de dérivabilité (pour ceux qui veulent poursuivre les maths).}
		
		Or $u$ est dérivable sur $\mathbb{R}^*$ et $v$ est dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$ donc $f=u+v$ est dérivable sur $\mathbb{R}^* \cap \mathbb{R}_+^*= \mathbb{R}_+^*$.
		
		\item {\color{WildStrawberry}Formule de $f'$ avec des fonctions:} \[ f'=u'+v' \]
		
		\item {\color{WildStrawberry}Rappel des formules de $u'$ et $v'$.}
		
		Or, pour tout $x \in\mathbb{R}_+^*$ \[ u'(x)=-\frac{1}{x^2} \quad \text{et} \quad v'(x)= \frac{1}{2\sqrt{x}}. \]
		
		\item {\color{WildStrawberry}Détermination de l'expression algébrique de $f'$.}
		
		donc 
		
	\end{enumerate}
	
	\begin{conclusion}
		
		\[ f'(x)= -\frac{1}{x^2}+\frac{1}{2\sqrt{x}} \]
		
	\end{conclusion}
	
	\bigskip
	{\color{orange}En plus d'être encombrée d'explications méthodologiques la rédaction ci-dessus est très lourde pour la dérivation d'une simple somme. Voici un rédaction très allégée possible:}
	
	\medskip
	
	\objectif{Déterminons $f'$.}
	
	$f$ est la somme de deux fonctions dérivables sur $\mathbb{R}_+^*$ donc elle est dérivable et pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$:
	
	\begin{conclusion}
		
		\[ f'(x)= -\frac{1}{x^2}+\frac{1}{2\sqrt{x}} \]
		
	\end{conclusion}
	
	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Dérivée d'une fonction multipliée par un nombre.}

\begin{proposition}
	
	Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et si $\alpha$ est un nombre réel (fixé) alors $\alpha u$ est dérivable sur $I$ et \[ \left( \alpha u \right)'=\alpha u'\]
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	Ce résultat découle du fait que $\tau_{\alpha f}(a,h)=\alpha\tau_f(a,h)$ et que le passage à la limite, lui aussi, respecte la multiplication par une constante lorsque la limites existe.
	
\end{preuve}

\begin{exercice}{}
	
	Déterminez la fonction dérivée de $f: ]0;+\infty [ \rightarrow \mathbb{R}$ sur son ensemble de définition dans les cas suivants:
	
	\begin{enumerate}
		\item $f(x)=3x^2$ quel que soit $x$ pris dans $\mathbb{R}_+^*$,
		\item $f(x)=-x^3$ quel que soit $x$ pris dans $\mathbb{R}_+^*$,
		\item $f(x)=\frac{-2}{x}$ quel que soit $x$ pris dans $\mathbb{R}_+^*$,
	\end{enumerate}

\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}

	\begin{enumerate}
		
		\item \objectif{Déterminons $f'$.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item {\color{WildStrawberry}Identification de fonctions de références.}
			
			$f=\alpha u$ avec $\alpha = 3$ et $u:x \mapsto x^2$.
			
			\item {\color{WildStrawberry}Détermination de l'ensemble de dérivabilité (pour ceux qui veulent poursuivre les maths).}
			
			Or $u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ donc $f=\alpha u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
			
			\item {\color{WildStrawberry}Formule de $f'$ avec des fonctions:} \[ f'=\alpha u' \]
			
			\item {\color{WildStrawberry}Rappel de formule de $u'$.}
			
			Or, pour tout $x \in\mathbb{R}$, $u'(x)=2x$.
			
			\item {\color{WildStrawberry}Détermination de l'expression algébrique de $f'$.}
			
			donc \[ f'(x)= 3 \times 2x.\]
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\displaystyle f'(x)=  6x$, pour tout $x \in\mathbb{R}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Déterminons $f'$.}
		
		{\color{orange}Remarquons que $-x^3=-1\times x^3$.}
		
		$f=\alpha u$ avec $\alpha= -1$ et $u: x \mapsto x^3$/
		
		Donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et: \[ f' = \alpha u' \]
		
		Pour tout $x \in\mathbb{R}$:
		
		\[ f'(x)=-1\times 3x^2. \]
		
		Finalement
		
		\begin{conclusion}
			
			$f'(x)= -3x^2$ quel que soit $x \in \mathbb{R}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Déterminons $f'$.}
		
		{\color{orange}Remarquons que $\frac{-2}{x}=-2\times \frac{1}{x}$.}
		
		$f=\alpha u$ avec $\alpha =-2$ et $u:x \mapsto\frac{1}{x^2}$.
		
		Donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}^*$ et: \[ f' = \alpha u' \]
		
		Donc:
		
		\[ f'(x)=-2\times \frac{-1}{x^2}\]
		
		Finalement
		
		\begin{conclusion}
		
			$f'(x)= \frac{2}{x^2}$ quel que soit $x \in \mathbb{R}^*$.
		
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}	

\end{exercicecorrection}


\begin{exerciceapplication}{}
	
	Exercice 81 page 123 du manuel Indice.
	
\end{exerciceapplication}

\subsubsection{Dérivée d'une fonction polynomiale.}

\begin{corollaire}

Les fonctions polynomiales $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_2x^2+a_1x+a_0$ (avec $a_0$, $a_1$, $a_2$, ..., $a_{n-1}$ et $a_n$ des réels) sont dérivables sur $\mathbb{R}$ et quel que soit le réel $x$ \[ f'(x)=na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\dots + 2a_2x+a_1 \]

\end{corollaire}

\begin{preuve}{}
	
	Il s'agit d'un corollaire des deux précédentes propositions. C'est en itérant ces derniers qu'on obtient ce résultat.
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\medskip
	\begin{enumerate}
		
		\item La formule de la dérivée d'une fonction polynomiale n'est pas à connaître par cœur. Il faut savoir calculer la dérivée dans la pratique (exercice ci-dessous).
		
		\item En mathématique, une somme de termes répétitifs (mais pas égaux), est notée avec la lettre grecque sigma majuscule ($\Sigma$). La fonction polynomiale s'écrira donc $\displaystyle f(x)= \sum_{i=0}^n a_ix^i$.
		
		\item Dorénavant les fonctions polynomiales seront considérées comme des fonctions de références.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{}
	
	Déterminez la dérivée de la fonction $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ dans les cas suivants.
	
		\begin{enumerate}
		\item $f(x)=-2x+7$, quel que soit $x\in\mathbb{R}$,
		\item $f(x)=x^3-6x^2+2$, quel que soit $x\in\mathbb{R}$,
		\item $f(x)=-6x^7-x^5$, quel que soit $x\in\mathbb{R}$.
		\end{enumerate}

\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}

	\begin{enumerate}
	\item \objectif{Déterminons $f'$.}
	
	$f$ est une fonction polynomiale {\color{orange}(et même affine)} donc elle dérivable sur $\mathbb{R}$ et sa dérivée est donnée quel que soit $x\in\mathbb{R}$ par \[	f'(x) = -2\times 1+ 0. \]
	
	\begin{conclusion}
		
		\[ f'(x)=-2\]
		
	\end{conclusion}
	
	\item \objectif{Déterminons $f'$.}
	
	$f$ est une fonction polynomiale donc elle dérivable sur $\mathbb{R}$ et sa dérivée,quel que soit $x\in\mathbb{R}$, est 
	\[	f'(x) = 3x^2 -6\times 2x+0 \]
	
	\begin{conclusion}
		
		\[ f'(x)=3x^2-12x \]
		
	\end{conclusion}
	
	\item \objectif{Déterminons $f'$.{\color{red}$\varheartsuit$}}
	
	$f$ est une fonction polynomiale donc elle dérivable sur $\mathbb{R}$ et sa dérivée,quel que soit $x\in\mathbb{R}$, s'obtient par \[	f'(x) = -6\times 7x^6 -1\times 5x^4 \]
	
	\begin{conclusion}
		
		\[ f'(x)=-42x^6-5x^4 \]
		
	\end{conclusion}

	\end{enumerate}

\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}
	
	Exercices 49, 50, 51 et 52 page 121 du manuel Indice de première.
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}[\text{Exercice }]
		\item 49 page 121.
		
		$f'(x)=6x^2-x$ et $g(x)=-6x^2-6x+4$.
		
		\item 50 page 121.
		
		$f'(x)=8x-2$ et $g'(x)=-3x^2-14x+\frac{1}{7}$.
		
		\item 51 page 121.
		
		$f'(x)=-2x^2+2x+7$ et $g'(x)=4x-9x^2$.
		
		\item 52 page 121.
		
		$f'(x)= -\frac{1}{x^2}+ \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ et $g'(x)=x^2-x+\frac{4}{x^2}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}
	
	Exercices 70, 71 et 72 page 122 et 86, 88 et 97 page 123. Dérivation et tangente.
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}[\text{Exercice }]
		\item 70 page 122.
		
		\begin{enumerate}
			\item $f'(x)=4x-4$.
			
			\item $f'(-1)=-8$ donc $y=-x+4$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 71 page 122.
		
		\begin{enumerate}
			\item $f'(x)=36x^5+25x^4+16x^3+9x^3+4x+1$.
			
			\item $f'(0)=1$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 72 page 122.
		
		\begin{enumerate}
			\item $f'(x)=2x-4$ donc $f'(1)=-2$.
			
			$g'(x)=-4x+2$ donc$g'(1)=-2$.
			
			$f'(1)= g'(1)$ donc $T \parallel \mathscr{D}$.
			
			\item $f(1)=-3$ et $g(1)=-3$ donc elles sont confondues.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 86 page 123.
		
		\begin{enumerate}
			\item Pour $x \in ]-\infty;2]$ la courbe est en-dessous de $T$ et pour $x \in ]2;+\infty[$ elle est au-dessus.
			
			\item $f'(x)=3x^2$, $f'(-1)=3$ et $f(-1)=-1$.
			
			\item 
			
			\begin{align*}
				(x-2)(x+1)^2 &= (x-2)(x^2+2x+1)\\
				&= x^3+2x^2+x-2x^2-4x-2\\
				&= x^3-3x-2\\
				&= x^3-(3x+2)
			\end{align*}
			
			\item $x^3-(3x+2)=0 \Leftrightarrow x=-1 \ \text{ou} \ x=2$. Donc: $(2,8)$.
			
			\item  {\color{orange}Pour étudier la position relative des courbes représentatives $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ il faut étudier le signe de $f(x)-g(x)$ (donc un tableau de signe).}
			
			Tableau de signe de $x \mapsto (x+1)^2(x-2)$ puis interprétation. 
					
		\end{enumerate}
		
		\item 88 page 123.
		
		\begin{enumerate}
			\item $f'(x)=3x^2-6x$, $f'(1)=-3$ et $f(1)=-1$ donc $y=-x+2$.
			
			\item 
			
			\begin{align*}
				(x-1)^3 &= x^3-3x^2+3x-1\\
				\intertext{et}
				x^3-3x^2+1-(-3x+2) &= x^3-3x^2+3x-1\\
				\intertext{Par transitivité:}
				x^3-3x^2+1-(-3x+2) &= (x-1)^3
			\end{align*}
			
			\item {\color{orange}Pour étudier la position relative des courbes représentatives $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ il faut étudier le signe de $f(x)-g(x)$ (donc un tableau de signe).}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $(x-1)^3$ /0.8}
				{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,-,z,+,}%
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			Donc $\mathscr{C}$ au-dessous de $T$ sur $]-\infty;1]$ et au dessus sur $[1;+\infty[$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 97 page 126.
		
		\begin{enumerate}
			\item $g'(-5)$ est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $-5$ de la courbe représentative, $\mathscr{C}$, de la fonction $g$.
			
			Autrement dit $g'(-5)$ est le coefficient directeur de $T$.
			
			Par lecture graphique: $g'(-5)=2$.
			
			\item $g'(x)=-x-3$ donc $g'(-5)=2$.
			
			\item $g'(-1)=-2$ donc la tangente cherchée passera par les points de coordonnées $(-1,0)$ et $(0,-2)$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Dérivée d'un produit de fonctions.}

\begin{lecon}
	
	Que se passe-t-il lorsqu'on veut dériver un produit de deux fonctions? Nous aimerions qu'il suffise de multiplier les fonctions dérivées, mais hélas ça ne fonctionne pas.
	
	Ainsi, pour $f:x \mapsto x^2$ et $g: x \mapsto 1$ des fonctions définies sur $\mathbb{R}$, nous avons $f':x \mapsto 2x$, $g':x \mapsto 0$ et $(f \times g)':x \mapsto 2x$. Par conséquent, pour tout $x \in\mathbb{R}$, \[ f'(x) \times g'(x)=0 \quad \text{alors que} \quad (f \times g)'(x)=2x. \]	
	
	Il faudra donc connaître le résultat suivant:
	
\end{lecon}

\begin{proposition}
	
	Si $u$ et $v$ sont des fonctions dérivables sur un intervalle $I$ alors $uv$ est dérivable sur $I$ et \[ \color{purple} \left( uv \right)'=u'v+uv' \]

\end{proposition}

\begin{preuve}{ $\bigstar$}
	
	Soient $u$ et $v$ des fonctions dérivables sur un intervalle et $a \in I$.
	
	\medskip
	\objectif{Déterminons si possible $(uv)'(a)$}
	
	Soit $h \in \mathbb{R}$ tel que $a \in I$.
	
	Par définition du taux d'accroissement de $uv$ (qui doit être vue comme une fonction) entre $a$ et $a+h$:
	
	\begin{align*}
		\tau_{uv}(a,h) &= \frac{uv(a+h)-uv(a)}{h}\\
		&= \frac{u(a+h) \times v(a+h) - u(a) \times v(a)}{h}\\
		&= \frac{u(a+h) \times v(a+h)}{h} - \frac{u(a) \times v(a)}{h}\\
		&= \frac{u(a+h)}{h} \cdot v(a+h) - \frac{u(a) \times v(a)}{h}\\
		\intertext{Faisons apparaître le taux d'accroissement de $u$ entre $a$ et $a+h$ en soustrayant et additionnant la même quantité:}
		\tau_{uv}(a,h) &= \frac{u(a+h)-{\color{orange}u(a)}}{h} \cdot v(a+h) {\color{orange}+\frac{u(a)}{h} \cdot v(a+h)} -\frac{u(a)v(a)}{h}\\
		&= \tau_{u(a,h)} \cdot v(a+h)+ \frac{u(a) \left[ v(a+h)-v(a) \right]}{h}\\
		&= {\color{green}\tau_{u(a,h)}} \cdot {\color{red}v(a+h)}+ u(a) {\color{blue}\tau_v(a,h)}
	\end{align*}
	
	Puisque $u$ est dérivable en $a$: $\lim_{h \to 0} {\color{green}\tau_u(a,h)}= u'(a)$.
	
	Puisque $v$ est dérivable en $a$: $\lim_{h \to 0} {\color{blue}\tau_v(a,h)}= v'(a)$.
	
	Puisque $v$ est continue en $a$: $\lim_{h \to 0} {\color{red}v(a+h)}=v(a)$.
	
	Finalement: $\lim_{h \to 0} \tau_{u(a,h)} \cdot v(a+h)+ u(a) \tau_v(a,h) = u'(a)v(a) + u(a) v'(a)$.
	
	Autrement dit $uv$ est dérivable en $a$ et $f'(a)=u'(a)v(a)+u(a)v'(a)$.
	
	\begin{conclusion}
		
		Nous avons démontré que $f=uv$ est dérivable en tout $a \in \overset{\circ}{I}$ et $f'=u'v+uv'$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{preuve}

\begin{exercice}{}

Déterminez la dérivée de la fonction $f$ en précisant l'ensemble de dérivabilité dans les cas suivants.

	\begin{enumerate}
	\item $f(x)=x^2\sqrt{x}$,
	\item $f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x}$,
	\item $f(x)=(2x^2+3x-1)(5x^3-7x)$,
	\item $f(x)=4(x+\sqrt{x})x^3$.
	\item $f(x)= \sin(x) \cos(x)$.
	\end{enumerate}

\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}

	\begin{enumerate}
		
		\item \objectif{Déterminons $f'$. {\color{red}$\varheartsuit$}}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item {\color{WildStrawberry}Identification de fonctions de références.}
			
			$f=u\times v$ avec $u:x \mapsto x^2$ et $v: x \mapsto \sqrt{x}$.
			
			\item {\color{WildStrawberry}Détermination de l'ensemble de dérivabilité (pour ceux qui veulent poursuivre les maths).}
			
			Or $u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $v$ est dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$ donc $f=uv$ est dérivable sur $\mathbb{R}\cap \mathbb{R}_+^*= \mathbb{R}_+^*$.
			
			\item {\color{WildStrawberry}Formule de $f'$ avec des nombres:} \[ f'=u'v+uv' \]
			
			\item {\color{WildStrawberry}Rappel des formules de $u'$ et $v'$.}
			
			Or, pour tout $x \in\mathbb{R}_+^*$ \[ u'(x)=2x \quad \text{et} \quad v'(x)= \frac{1}{2\sqrt{x}} \]
			
			\item {\color{WildStrawberry}Détermination de l'expression algébrique de $f'$.}
			
			donc pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$, $f'(x)=2x\times \sqrt{x}+x^3\times \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			$f'(x)= 2x\sqrt{x} + \frac{x^2}{2\sqrt{x}}$, quel que soit $x \in \mathbb{R}_+^*$.
			
		\end{conclusion}
				
		\item \objectif{Déterminons $f'$.}
		
		{\color{orange} Nous remarquons que $\frac{\sqrt{x}}{x}=\sqrt{x} \times \frac{1}{x}$.}
		
		\medskip
		$f=uv$ avec $u:x \mapsto \sqrt{x}$ et $v:x \mapsto \frac{1}{x}$.
		
		Or $u$ est dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$ et $v$ est dérivable sur $\mathbb{R}^*$ donc $f=uv$ est dérivable sur $\mathbb{R}_+^* \cap \mathbb{R}^*=\mathbb{R}_+^*$ et \[ f'=u'v+uv'. \]
		
		De plus, pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$ \[ u'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} \quad \text{et} \quad v'(x)=\frac{-1}{x^2},\] donc pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$ \[ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\times \frac{1}{x} + \sqrt{x} \times \frac{-1}{x^2} \]
		
		Enfin
		
		\begin{conclusion}
			
			$f'(x)=\frac{1}{2x\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}}{x^2}$, pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Déterminons $f'$.}
		
		$f=uv$ avec $u:x \mapsto 2x^2+3x-1$ et $v: x \mapsto 5x^3-7x$.
		
		Or $u$ et $v$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$ donc $f=uv$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et \[ f'=u'v+uv'. \]
		
		De plus, pour tout $x \in \mathbb{R}$, \[ u'(x)=4x+3 \quad \text{et} \quad v'(x)=15x^2-7, \] donc \[ f'(x) = (4x+3) \times (5x^3-7x)+(2x^2+3x-1)\times (15x^2-7). \]
		
		Enfin en développant, réduisant puis ordonnant
		
		\begin{conclusion}
		
			$f'(x)= 50x^4+60x^3-57x^2-42x+7$ pour tout réel $x$.
		
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Déterminons $f'$.}
		
		$f=\alpha uv$ avec $\alpha =4$, $u : x \mapsto  x+\sqrt{x}$ et $v:x\mapsto x^3$.
		
		
		Or $u$ est dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$ et $v$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ donc $f=\alpha uv$ est dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$ et \[ f'=\alpha ( u'v+uv'). \]
		
		De plus pour tout $x \in\mathbb{R}_+^*$ \[ u'(x)=1+\frac{1}{2\sqrt{x}} \quad \text{et} \quad v'(x)=3x^2,\]
		
		donc
		
		\begin{conclusion}
		
			$f'(x) = 4\left(1 +\frac{1}{2\sqrt{x}} \right) \times x^3 +4(x+\sqrt{x})\times 3x^2$, quel que soit $x \in \mathbb{R}_+^*$.
		
		\end{conclusion}
	
	\end{enumerate}

\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}
	
	Exercices 55, 56, 57 et 58 page 122 du manuel Indice de première.
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}[\text{Exercice} ]
		
		\item 55 page 122.
		
		\begin{enumerate}
			
			\item $f=uv$ avec $u:x \mapsto x^3$ et $v: x \mapsto \sqrt{x}$.
			
			Or $u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $v$ sur $]0;+\infty[$ donc $f=uv$ est dérivable sur $\mathbb{R} \cap ]0;+\infty[= ]0;+\infty[$.
			
			\item Pour tout $x \in ]0;+\infty[$
			
			$u'(x)=3x^2$ et $v'(x)= \frac{1}{2\sqrt{x}}$ donc
			
			\begin{align*}
				f'(x) &= 3x^2 \sqrt{x} + x^3 \frac{1}{2\sqrt{x}}\\
				&=  
			\end{align*}
			
		\end{enumerate}
		
		\item 56 page 122.
		
		$f'(x)=3x\sqrt{x} +3 x^2 \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
		
		\item 57 page 122.
		
		$g'(x)=2(2x+5)(x^2+5x-1)$.
		
		\item 58 page 122.
		
		$h'(x)=6(3x-4)$.
		
	\end{enumerate}
		
\end{exercicecorrection}

\begin{notabene}
	
	Créer un exercice général dérivée d'une fonction à une puissance.
	
\end{notabene}

\subsubsection{Dérivée d'un quotient de fonctions.}

\begin{proposition}

Si $u$ et $v$ sont des fonctions dérivables sur un intervalle $I$ et si $v$ ne s'annule pas sur $I$ alors $\frac{u}{v}$ est dérivable sur $I$ et \[ \color{purple} \left( \frac{u}{v} \right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2} \]

\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	Soient  $f=\frac{u}{v}$ et $x_0 \in I$.
	
	\medskip
	\objectif{Démontrons que $f$ est dérivable en $x_0$ et que $f'(x_0)=\frac{u'(x_0)v(x_0) -u(x_0)v'(x_0)}{v^2}$.}
	
	{\color{WildStrawberry}Nous commençons à être rodés: nous allons déterminer la limite d'un taux de variation de $f$ entre $x_0$ et $x_0+h$.}
	
	Soit $h \in \mathbb{R}$ tel que $x_0 \in I$.
	
	\begin{align*}
		\tau_f(x_0,x_0+h) &= \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\\
		&= \frac{\frac{u}{v}(x_0+h) - \frac{u}{v}(x_0) }{h}\\
		&= \frac{\frac{u(x_0+h)}{v(x_0+h)} - \frac{u(x_0)}{v(x_0)} }{h}\\
		&= \frac{\frac{u(x_0+h)v(x_0)}{v(x_0+h)} - \frac{u(x_0)v(x_0+h)}{v(x_0)v(x_0+h)} }{h}\\
		&= \frac{\frac{u(x_0+h)v(x_0)- u(x_0)v(x_0+h)}{v(x_0)v(x_0+h)} }{h}\\
		&= \frac{u(x_0+h)v(x_0)- u(x_0)v(x_0+h)}{hv(x_0)v(x_0+h) }\\
		&= \frac{u(x_0+h)v(x_0) {\color{green} -u(x_0)v(x_0)}- u(x_0)v(x_0+h) {\color{green} +u(x_0)v(x_0)}}{hv(x_0)v(x_0+h) }\\
		&= \frac{\left[ u(x_0+h) -u(x_0) \right] v(x_0)- u(x_0) \left[v(x_0+h) -v(x_0) \right]}{hv(x_0)v(x_0+h) }\\
		&= \frac{\frac{u(x_0+h) -u(x_0)}{h} v(x_0)- u(x_0) \frac{ v(x_0+h) -v(x_0)}{h}}{v(x_0)v(x_0+h) }\\
	\end{align*}
	
	Passons maintenant à la limite lorsque $h$ tend vers $0$.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item $\lim_{h \to 0} \frac{u(x_0+h) -u(x_0)}{h}= u'(x_0)$, car $u$ est dérivable en $x_0$.
		
		\item $\lim_{h \to 0} \frac{v(x_0+h) -v(x_0)}{h}= v'(x_0)$, car $v$ est dérivable en $x_0$.
		
		\item $\lim_{x \to 0} v(x_0+h)=v(x_0)$ car $v$ est continue en $x_0$.
		
	\end{enumerate}
	
	Donc $\lim_{h \to 0} \tau_f(x_0,x_0+h) =\frac{u'(x_0)v(x_0) -u(x_0)v'(x_0)}{v(x_0)^2}$.
	
	Ainsi 
	
	\begin{conclusion}
		
		$f$ est dérivable en $x_0$ et $\frac{u'(x_0)v(x_0) -u(x_0)v'(x_0)}{v(x_0)^2}$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\medskip
		\begin{enumerate}
		\item Une des principales utilisations des fonctions dérivées en première nécessite d'étudier leur signe. Le dénominateur, $v^2$, est toujours positif. Le signe de la fonction dérivée est donc celui du numérateur.
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{}

Déterminez les fonctions dérivées des fonctions de la variable $x$ suivantes.

\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}

\begin{minipage}{\linewidth}

	\begin{enumerate}
	\item $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2}$,
	\item $\displaystyle f(x)=\frac{2x^3-2x+1}{x-1}$
	\end{enumerate}

\end{minipage}

&

\begin{minipage}{\linewidth}

	\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{2}
	\item $\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{x}+1}{x^3}$.
	
	\item $f(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$.
	
	\end{enumerate}

\end{minipage}

\end{tabularx}

\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}

	\begin{enumerate}
		\item \objectif{Déterminons $f'$.{\color{red}$\varheartsuit$}}
		
		$f=\frac{u}{v}$ avec $u:x \mapsto 1$ et $v:x \mapsto x^2$.
		
		$u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, $v$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $v$ s'annule (uniquement) en $0$ donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R} \cap \mathbb{R} \setminus \{ 0 \} = \mathbb{R}^*$ et \[ f'=\frac{u'v-uv'}{v^2}. \]
		
		De plus pour tout $x \in \mathbb{R}^*$ \[ u'(x)=0 \quad \text{et} \quad v'(x)=2x, \] donc pour tout $x \in\mathbb{R}^*$ \[ f'(x)= \frac{0 \times x^2 + 1 \times 2x}{\left( x^2 \right)^2}.\]
		
		Donc $f'$ est dérivable sur $\mathbb{R}^*$ et \[ f'=\frac{u'v-uv'}{v^2} \]
		
		Donc \[ f'(x)=\frac{0\times x^2-1\times 2x}{(x^2)^2} \]
		
		Enfin
		
		\begin{conclusion}
		
			$f'(x)=-\frac{2}{x^3}$ pour tout $x \in \mathbb{R}^*$.
		
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Déterminons $f'$.}
		
		$f=\frac{u}{v}$ avec $u:x \mapsto 2x^3-2x+1$ et $v:x \mapsto x-1$.
		
		Or $u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, $v$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $v$ s'annule en $1$ donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R} \cap \mathbb{R} \setminus \{ 1 \} = \mathbb{R}\setminus \{ 1 \}$ et \[ f'=\frac{u'v-uv'}{v^2}. \]
		
		De plus pour tout $x \in \mathbb{R}\setminus \{ 1\}$ \[ u'(x)=6x-2 \quad \text{et} \quad v'(x)=1, \] donc pour tout $x \in\mathbb{R}\setminus \{ 1 \}$ \[ f'(x)= \frac{(6x-2) (x-1) - (2x^3-2x+1)1}{\left( x-1 \right)^2}.\]
		
		Enfin
		
		\begin{conclusion}
			
			$f'(x)=\frac{-2x^3-6x^2-6x+3}{x^2-2x+1}$ pour tout $x \in \mathbb{R}^*$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item $f'(x)= \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}} x^3-(x-1) 3x^2}{\left( x^3 \right)^2}$ pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$.
		
		\item $f'(x)= \frac{1}{ \left[\cos(x)\right]^2}=1+ \left[ f(x) \right]^2$.
		
	\end{enumerate}

\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}
	
	Exercices 60 jusqu'à 69 page 122.
	
\end{exerciceapplication}

\begin{notabene}
\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}[\text{Exercice} ]
		\item 60 page 122.
		
		$f'(x)=-\frac{1}{(3x-12)^2}$.
		
		\item 61 page 122.
		
		$f'(x)= -\frac{1}{(-5x+2)^2}$.
		
		\item 62 page 122.
		
		$i'(x)=-\frac{1}{(x^2-3x+5)^2}$.
		
		\item 63 page 122.
		
		$j'(x)=\frac{2}{(7x+2)^2}$.
		
		\item 64 page 122.
		
		$k'(x)=-\frac{3}{(0,5x^2+1)^2}$.
		
		\item 65 page 122.
		
		$l'(x)=-4-\frac{\sqrt{x}}{x^2}$.
		
		\item 66 page 122.
		
		$m'(x)=\frac{4(x^2+x)-(4x-3)(2x+1)}{\left( x^2+x \right)^2} = \frac{-4x^2-6x+3}{\left( x^2+x \right)^2}$.
		
		\item 67 page 122.
		
		$n'(x)=\frac{(-6x+4)(x^4+x^2+1)-(-3x^2+4x+1)(4x^3+2x1)}{\left( x^4+x^2+1 \right)^2}= \frac{6x^5-12x^4+4x^3-4x^2-8x+4}{\left( x^4+x^2+1 \right)^2}$.
		
		\item 68 page 122.
		
		$f(x)=2x- \frac{4}{3}$ et $g(c)= 8x-5+\frac{1}{x}$ donc $f'(x)=2$ et $g'(x)=8-\frac{1}{x^2}$.
		
		\item 69 page 122.
		
		$f'(x)= \frac{-9x^3-18x^2-79x+52}{(-3x+4)^2}= -1+\frac{-8}{(-3x+4)^2}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}
\end{notabene}

\begin{exerciceapplication}
	
	Exercice 89 page 124 du manuel Indice.
	
\end{exerciceapplication}

\begin{notabene}
\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $f'(x)=-\frac{8}{(x-2)^2}$.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item $2+\frac{8}{x-2}=\frac{2(x-2)+8}{x-2}$.
			
			\item $f'(x)=-\frac{8}{(x-2)^2}$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item $f'(3)= -\frac{8}{(3-2)^2}=-8$.
			
			\item $y=-8(x-3)+f(3)$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item On part du membre de gauche et on met au même dénominateur.
			
			\item $f(x)-(-8x+34)=8(x-2)$. donc du signe de $x-2$ donc strictement positif sur $I$. $\mathscr{C}$ est au-dessus de $T$ sur $I$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}
\end{notabene}

\subsubsection{Dérivée de fonctions composées.}

\begin{notabene}
	
	Introduction avec $\sqrt{3x+1}$ pour réfléchir sur les intervalles. Est-ce un fonction classique? Est-ce un produit ou quotient de fonctions classiques?
	
\end{notabene}

\begin{proposition}
	
	Soient:
	\begin{enumerate}[.]
		\item $a$ et $b$ des réels.
		\item $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$,
		\item $J$ un intervalle tel que $J$ contient toutes les images des éléments de $I$ par $x \mapsto ax+b$,
		\item $g:J \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	La fonction $f$ définie pour tout $x \in I$ par $f(x)= g(ax+b)$ est définie et dérivable sur $I$ et pour tout $x \in I$ \[ f'(x)= ag'(ax+b). \] 
	
\end{proposition}

\begin{remarques}
	
	\medskip
	\begin{enumerate}
		
		\item Contrairement à ce que nous faisions pour les précédentes formule des dérivation, dans ce cas, nous ne nous préoccuperons pas de l'ensemble de dérivabilité. {\color{WildStrawberry}Dans les rédactions nous ne justifierons pas l'ensemble de dérivabilité.}
		
		\item \begin{notabene}
			
			Ajustement de modèle très courant dans les sciences expérimentales en remplaçant $x$ par une fonction affine.
			
		\end{notabene}
		
		\item Ce résultat se généralise à d'autres fonctions que les fonctions affines. En notant $g \circ h$ la fonction en appliquant la fonction $h$ puis le fonction $g$:  \[( g\circ h )'=  g'\circ h \times h'. \]
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{}
	
	Déterminez les dérivées des fonctions suivantes.
		
	\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{enumerate}
				\item $f: x \mapsto \sqrt{2x-4}$ sur $]2;+\infty[$.
				
				\item $g: x \mapsto (-2x+9)^{237}$ sur $\mathbb{R}$.
				
			\end{enumerate}
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{enumerate}
				\setcounter{enumi}{2}
				
				\item $h: x \mapsto \frac{1}{ x+\pi}$ sur $\mathbb{R}\setminus \{-\pi\}$.
				
				\item $l: x \mapsto x^2 \sqrt{-x+4}$ sur $]-\infty, 4[$.
				
			\end{enumerate}
			
		\end{minipage}
		
	\end{tabularx}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item \objectif{Déterminons $f'$. {\color{red}$\varheartsuit$}}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item {\color{WildStrawberry}Identification de fonctions de références.}
			
			$f(x)=g(ax+b)$ avec $g:x \mapsto \sqrt{x}$, $a=2$ et $b=-4$.
			
			\item {\color{WildStrawberry}Formule de $f'$:} \[ f'(x)=ag'(ax+b) \]
			
			\item {\color{WildStrawberry}Rappel de la formule de $g'$.}
			
			Or, pour tout $x \in ]2;+\infty[$ \[ g'(x)= \frac{1}{2\sqrt{x}} \]
			
			\item {\color{WildStrawberry}Détermination de l'expression algébrique de $f'$.}
			
			donc pour tout $x \in ]2;+\infty[$, $f'(x)=2 \times \frac{1}{2\sqrt{2x-4}}$.
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			$f'(x)= \frac{1}{\sqrt{2x-4}}$, quel que soit $x \in \mathbb{R}_+^*$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item $g'(x)=-474(-2x+9)^{236}$.
		
		\item $h'(x)=-\frac{1}{(x-\pi)^2}$.
		
		\item $l'(x)= 2x \sqrt{-x+1}+x^2 \times \frac{-1}{2\sqrt{-x+4}}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}
	
	Exercice 77 et 78 page 123 du manuel Indice.
	
\end{exerciceapplication}

\begin{notabene}
\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}[\text{Exercice }]
		\item 77 page 123.
		
		\begin{enumerate}
			\item $f'(x)=-9(-3x+4)^2$.
			
			\item $h'(x)= \frac{1}{\sqrt{2x-10}}$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 78 page 122.
		
		\begin{enumerate}
			\item $f'(x)=3(4x-3)^2$.
			
			\item $g'(x)=\frac{-5}{2 \sqrt{-5x+2}}$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}
\end{notabene}

\subsection{Étude de la fonction valeur absolue.}

\subsubsection{Définition.}

\begin{definition}
	
	Nous appellerons \emph{\color{purple}fonction valeur absolue} et nous noterons $|\cdot|$ la fonction numérique définie pour tout $x$ réel par \[ |x|= \left\{ \begin{array}{l} x\ \text{si} \ x\geqslant 0 \\ -x\ \text{si} \ x<0 \end{array} \right. . \]
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\medskip
	\begin{enumerate}
		\item Cette définition correspond à l'idée intuitive de la valeur absolue: si c'est un nombre négatif on prend l'opposé.
		
		\item Le lien avec la définition vue au collège à savoir la distance entre $0$ et $x$ est peut être moins évident.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsubsection{Caractérisations.}

\begin{proposition}{}
	
	Pour tout $x \in \mathbb{R}$:
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $|x|=\max (x,-x)$,
		
		\item $|x|=\sqrt{x^2}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Par disjonction des cas: si $x\geqslant 0$ alors $\max(x,-x)=x = |x|$, sinon ...
		
		\item Car $\sqrt{x^2}$ est l'unique nombre positif qui élevé au carré égale $x^2$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\medskip
	\begin{enumerate}
		\item Quand, en mathématique, on donne plusieurs formulation d'un même résultat (nous appellerons cela des caractérisations) c'est pour mettre en évidence différents aspects d'un même objet.
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsubsection{Étude de la fonction valeur absolue.}

Sur $\mathbb{R}_-^*$ et sur $\mathbb{R}_+$, $|\cdot|$ coïncide avec des fonctions affines, donc sa courbe représentative est formée de deux demi-droites.

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-5};
	\def\yY{-0};
	\def\xZ{5};
	\def\yZ{5};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=-5:0] plot(\x,{-\x});
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:5] plot(\x,{\x});
	\draw[blue] (-4,4) node {$\times$};
	\draw[blue] (-1,1) node {$\times$};
	\draw[blue] (1,1) node {$\times$};
	\draw[blue] (4,4) node {$\times$};
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_{|\cdot |}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $|\cdot|$ /0.8}
	{$-\infty$ ,$0$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,z,+,}%
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $|\cdot|$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$0$, $+\infty$}
	\tkzTabVar {+/ , -/ $0$ , + /  }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsubsection{Dérivabilité de la fonction valeur absolue.}

\begin{correction}
	
	Nous nous souvenons que nous avons établi que la fonction racine carrée n'est pas dérivable en zéro. En effet, pour cette fonction, le taux d'accroissement en $0$ augmente (indéfiniment) lorsque $h$ se rapproche de $0$. Une demi-tangente verticale en zéro se fait jour.
	
	Nous allons voir une autre situation où une fonction ne peut pas être dérivable.
	
\end{correction}

\begin{lecon}
	
	Nous allons établir que la fonction valeur absolue n'est pas dérivable en $0$.
	
\end{lecon}

\begin{correction}
	
	Essayons de conjecturer graphiquement le résultat avec une calculatrice. Pour cela la formulation la plus simple est la deuxième. Essayons d'agrandir  la courbe au  voisinage de l'abscisse $0$.
	
	Quel que soit l'agrandissement choisi nous ne voyons pas une droite se dessiner. Nous retrouvons indéfiniment la forme en piquant.
	
	Comment expliquer ceci? Nous savons que la tangente à une fonction affine est la droite représentant cette fonction. Or la fonction valeur absolue est une fonction affine par morceaux. Mais en l'abscisse $0$ il semble y avoir deux tangentes. Du côté gauche la tangente semble avoir pour équation $y=-x$ et du côté droit la tangente semble avoir pour équation $y=x$.
	
	Cette situation se produira sur toutes les courbes présentant des piquants.
	
	Vérifions en utilisant la définition du nombre dérivé qu'effectivement la fonction n'est pas dérivable en $0$.
	
\end{correction}

\begin{proposition}{}
	
	$|\cdot |$ n'est pas dérivable en $0$.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	{\color{orange}La première expression est trop peu calculatoire pour nous. La seconde qui fait intervenir fonctions carrée et racine carrée rend le calcul d'un taux d'accroissement complexe. La troisième qui ne fait intervenir que des fonctions affines aura donc notre préférence.}
	
	\medskip
	Déterminons le taux d'accroissement de $|\cdot|$. 
	
	Quel que soit $h \ne 0$: 
	\begin{align*}
		\tau_{|\cdot |}(0,h) &= \frac{|0-h|-|0|}{h}\\
		&= \frac{|h|}{h}
	\end{align*}
	
	Nous devons distinguer deux cas car, suivant que $h$ est positif ou non, il y aura deux formules différentes.
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Si $h \in \mathbb{R}_+$, alors
		
		\begin{align*}
			\tau_{|\cdot|}(0,h) &= \frac{h}{h}\\
			&= 1
		\end{align*}
		
		Donc $\lim_{h\to 0} =\lim_{h\to 0} \tau_{|\cdot|}(0,h)=1$.
		
		Par conséquent $|\cdot|$ est dérivable à droite en $0$ est son nombre dérivé à droite est $1$.
		
		\item En procédant de même pour $h$ négatif nus obtenons que $|\cdot|$ est dérivable à gauche et que le nombre dérivé à gauche est $-1$.
		
	\end{enumerate}
	
	Nous avons pas pu trouver \underline{une} limite pour le taux d'accroissement donc $|\cdot|$ n'est pas dérivable en $0$.
	
\end{preuve}

\subsection{Exercices.}

\begin{exercice}{}
	
	Exercices 90, 91 et 92 page 124 du manuel Indice: vitesse instantanée.
	
\end{exercice}

\begin{correction}

\subsection{Ce qu'il faut retenir.}

	\begin{enumerate}
		
		\item Connaître toutes les dérivées classiques (y compris les fonctions polynomiales) et leurs ensembles de dérivabilité.
		
		\item Connaître les combinaisons de fonctions pour dériver (somme, produits, quotient, composée).
		
		\item Connaître le contre-exemple typique: valeur absolue.
		
	\end{enumerate}

\end{correction}

\end{document}


\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}