%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
%\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{blue}\bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{RoyalBlue}}{}

\newenvironment{remarques}{\color{Black!80}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. #1} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}
	
}{~\newline}

\newenvironment{exerciceapplication}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Application.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

\newenvironment{concours}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Concours.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

\newenvironment{recherche}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill { \color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Recherche.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration #1} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 
	
}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/1ieme.html}{Nombre dérivé et tangente.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{details}
\exclure{bareme}
\exclure{notabene}
%\exclure{exercicecorrection}
%\exclure{correction}
%\exclure{preuve}\exclure{corollaire}\exclure{lemme}\exclure{proposition}\exclure{theoreme}\exclure{culturegenerale}\exclure{remarques}\exclure{exemples}\exclure{definition}\exclure{lecon}
%\exclure{sujet}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Nombre dérivé et tangente.}

\subsection{Sécantes.}

\begin{notabene}
	
	2021/09/16 finalement reprendre le point de vue purement graphique avec la position limite des sécantes, et la recherche d'un nombre qui représente l'inclinaison de la courbe (on en connaît déjà un le coefficient directeur mais ...)
	
\end{notabene}

\begin{notabene}
	
	Aborder le truc avec les courbes représentatives des fonctions sinus et valeur absolue. Si l'on fait zoom plus (en l'origine) nous remarquons que la courbe représentative de la fonction sinus ressemble à une droite alors que celle de valeur absolue reste toujours avec son piquant.
	
	Ici refaire une introduction en abordant le problème avec l'aspect mathématicien de la question. Tangente et sécante limite. \[ f(x)= 0.5(x+4)(x+1)(x-2) \]
	
	Quel est le lien entre tangente et nombre dérivé? Déterminons le coefficient directeur d'une sécante et regardons sa valeur limite.
	
	Déterminons graphiquement l'équation de la tangente.
	
\end{notabene}

\begin{notabene}
	
	Expliquer l'importance de la fonction affine de la tangente comme valeur approchée de la fonction. Bref le développement limité à l'ordre 1 est dans la pratique souvent utilisé comme approximation de la fonction.
	
\end{notabene}

\begin{correction}
		
	Comme bien souvent en mathématique c'est un point de vue géométrique qui est privilégié pour se représenter les objets. C'est aussi celui qui se généralise le plus simplement
	
	Nous avons rappelé que le taux d'accroissement correspond au coefficient directeur d'une certaine droite. Graphiquement, le taux d'accroissement d'une fonction $f$ entre $a$ et $a+h$ est le coefficient de la droite dessinée en rouge.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.4]
		\def\t0{1};
		%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,black!30!white] (-1, -1) grid (6,6);
		%\draw[step=0.5cm,line width=0.02cm,black!40!white] (-1, -1) grid (6,6);
		\draw[step=1cm,line width=0.03cm,black!90!white] (-1, -1) grid (7,10);
		\draw[ ->,very thick] (-1, -0) -- (7, 0) node[right,fill=white]{$x$};
		\draw[ ->,very thick] (0, -1) -- (0, 10) node[above,fill=white]{$f(x)$};
		\draw(\t0,{5*\t0*\t0/25})node{$\bullet$};
		\draw(\t0,{5*\t0*\t0/25})node[above left]{$A$};
		\draw[blue, thick][samples=80,domain=0:7] plot(\x,{\x*\x/5});
		\foreach \h in {6} \draw[red][samples=80,domain=0:7] plot(\x,{(5+5*(\h*\h-\t0*\t0)/(\h-\t0)*(\x-\t0))/25});
		\foreach \h in {6} \draw[red] (\h,{5*\h*\h/25})node{$\bullet$};
		\foreach \h in {6} \draw[red] (\h,{5*\h*\h/25})node[above left]{$M$};
		\draw (\t0,-1)node[fill=white]{$a$};
		\foreach \h in {6}\draw (\h,-1)node[fill=white]{$a+h$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Si nous remplaçons $h$ par $0$, alors le deux points sont confondus et parler d'une droite n'a plus aucune sens. Nous retrouvons le problème rencontré avec le taux d'accroissement: nous ne pouvons pas remplacer $h$ par $0$.
	
	De la même façon nous allons rendre $h$ de plus en plus petit. Graphiquement cela revient à dire que nous rapprochons le point $M$ de $A$.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.4]
		\def\t0{1};
		%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,black!30!white] (-1, -1) grid (6,6);
		%\draw[step=0.5cm,line width=0.02cm,black!40!white] (-1, -1) grid (6,6);
		\draw[step=1cm,line width=0.03cm,black!90!white] (-1, -1) grid (7,10);
		\draw[ ->,very thick] (-1, -0) -- (7, 0) node[right,fill=white]{$x$};
		\draw[ ->,very thick] (0, -1) -- (0, 10) node[above,fill=white]{$f(x)$};
		\draw(\t0,{5*\t0*\t0/25})node{$\bullet$};
		\draw(\t0,{5*\t0*\t0/25})node[above left]{$A$};
		\draw[blue, thick][samples=80,domain=0:7] plot(\x,{\x*\x/5});
		\foreach \h in {5} \draw[red][samples=80,domain=0:7] plot(\x,{(5+5*(\h*\h-\t0*\t0)/(\h-\t0)*(\x-\t0))/25});
		\foreach \h in {5} \draw[red] (\h,{5*\h*\h/25})node{$\bullet$};
		\foreach \h in {6} \draw[red] (\h,{5*\h*\h/25})node[above left]{$M$};
		\draw (\t0,-1)node[fill=white]{$a$};
		\foreach \h in {5}\draw (\h,-1)node[fill=white]{$a+h$};
		\end{tikzpicture}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.4]
		\def\t0{1};
		%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,black!30!white] (-1, -1) grid (6,6);
		%\draw[step=0.5cm,line width=0.02cm,black!40!white] (-1, -1) grid (6,6);
		\draw[step=1cm,line width=0.03cm,black!90!white] (-1, -1) grid (7,10);
		\draw[ ->,very thick] (-1, -0) -- (7, 0) node[right,fill=white]{$x$};
		\draw[ ->,very thick] (0, -1) -- (0, 10) node[above,fill=white]{$f(x)$};
		\draw(\t0,{5*\t0*\t0/25})node{$\bullet$};
		\draw(\t0,{5*\t0*\t0/25})node[above left]{$A$};
		\draw[blue, thick][samples=80,domain=0:7] plot(\x,{\x*\x/5});
		\foreach \h in {4} \draw[red][samples=80,domain=0:7] plot(\x,{(5+5*(\h*\h-\t0*\t0)/(\h-\t0)*(\x-\t0))/25});
		\foreach \h in {4} \draw[red] (\h,{5*\h*\h/25})node{$\bullet$};
		\foreach \h in {6} \draw[red] (\h,{5*\h*\h/25})node[above left]{$M$};
		\draw (\t0,-1)node[fill=white]{$a$};
		\foreach \h in {4}\draw (\h,-1)node[fill=white]{$a+h$};
		\end{tikzpicture}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.4]
		\def\t0{1};
		%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,black!30!white] (-1, -1) grid (6,6);
		%\draw[step=0.5cm,line width=0.02cm,black!40!white] (-1, -1) grid (6,6);
		\draw[step=1cm,line width=0.03cm,black!90!white] (-1, -1) grid (7,10);
		\draw[ ->,very thick] (-1, -0) -- (7, 0) node[right,fill=white]{$x$};
		\draw[ ->,very thick] (0, -1) -- (0, 10) node[above,fill=white]{$f(x)$};
		\draw(\t0,{5*\t0*\t0/25})node{$\bullet$};
		\draw(\t0,{5*\t0*\t0/25})node[above left]{$A$};
		\draw[blue, thick][samples=80,domain=0:7] plot(\x,{\x*\x/5});
		\foreach \h in {3} \draw[red][samples=80,domain=0:7] plot(\x,{(5+5*(\h*\h-\t0*\t0)/(\h-\t0)*(\x-\t0))/25});
		\foreach \h in {3} \draw[red] (\h,{5*\h*\h/25})node{$\bullet$};
		\foreach \h in {6} \draw[red] (\h,{5*\h*\h/25})node[above left]{$M$};
		\draw (\t0,-1)node[fill=white]{$a$};
		\foreach \h in {3}\draw (\h,-1)node[fill=white]{$a+h$};
		\end{tikzpicture}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.4]
		\def\t0{1};
		%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,black!30!white] (-1, -1) grid (6,6);
		%\draw[step=0.5cm,line width=0.02cm,black!40!white] (-1, -1) grid (6,6);
		\draw[step=1cm,line width=0.03cm,black!90!white] (-1, -1) grid (7,10);
		\draw[ ->,very thick] (-1, -0) -- (7, 0) node[right,fill=white]{$x$};
		\draw[ ->,very thick] (0, -1) -- (0, 10) node[above,fill=white]{$f(x)$};
		\draw(\t0,{5*\t0*\t0/25})node{$\bullet$};
		\draw(\t0,{5*\t0*\t0/25})node[above left]{$A$};
		\draw[blue, thick][samples=80,domain=0:7] plot(\x,{\x*\x/5});
		\foreach \h in {2} \draw[red][samples=80,domain=0:7] plot(\x,{(5+5*(\h*\h-\t0*\t0)/(\h-\t0)*(\x-\t0))/25});
		\foreach \h in {2} \draw[red] (\h,{5*\h*\h/25})node{$\bullet$};
		\foreach \h in {6} \draw[red] (\h,{5*\h*\h/25})node[above left]{$M$};
		\draw (\t0,-1)node[fill=white]{$a$};
		\foreach \h in {2}\draw (\h,-1)node[fill=white,right]{$a+h$};
		\end{tikzpicture}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.4]
		\def\t0{1};
		%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,black!30!white] (-1, -1) grid (6,6);
		%\draw[step=0.5cm,line width=0.02cm,black!40!white] (-1, -1) grid (6,6);
		\draw[step=1cm,line width=0.03cm,black!90!white] (-1, -1) grid (7,10);
		\draw[ ->,very thick] (-1, -0) -- (7, 0) node[right,fill=white]{$x$};
		\draw[ ->,very thick] (0, -1) -- (0, 10) node[above,fill=white]{$f(x)$};
		\draw(\t0,{5*\t0*\t0/25})node{$\bullet$};
		\draw(\t0,{5*\t0*\t0/25})node[above left,fill=white]{$A=M$};
		\draw[blue, thick][samples=80,domain=0:7] plot(\x,{\x*\x/5});
		\draw[red][samples=80,domain=0:7] plot(\x,{(-5+10*\x)/25});
		\foreach \h in {1} \draw[red] (\h,{5*\h*\h/25})node{$\bullet$};
		\foreach \h in {1}\draw (\h,-1)node[fill=white]{$a$};
		\draw (\t0,-1)node[fill=white]{$a$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Nous obtenons une droite qui semble posée sur la courbe représentative de la fonction. Cette droite sera appelée une \emph{\color{purple}tangente} de la courbe.
	
	\medskip
	Son coefficient directeur est le taux d'accroissement limite obtenu lorsque $h$ se rapproche de $0$. Autrement dit e coefficient directeur de la tangente est le nombre dérivé.
	
	\medskip
	La courbe et la tangente semblent se confondre au voisinage du point $A$. Ceci correspond à un outil classique en mathématique, le développement limité. Ici, la fonction $f$, pour des valeurs de $x$ pas trop loin de $a$, est semblable à une fonction affine: "$f(x) \approx ax+b$". Cette approximation est extrêmement riche en applications notamment dans l'ingénierie.
	
\end{correction}

Sécantes et tangente: \href{https://www.geogebra.org/m/HJSNZFkG}{illustration avec geogebra} (télécharger le fichier: \href{http://unemainlavelautre.net/1ieme/1ieme_analyse_01_tangente_nombre_derive_04_secantes_tangente.ggb}{lien}).

\subsection{Vitesse.}

\begin{notabene}
	
	Nous aurions pu aborder la question par la construction mathématique des objets mais une façon de donner du sens à des objets mathématiques c'est de montrer ce qu'ils peuvent modéliser en physique (ou dans une autre science expérimentale). Ainsi les objets définis paraissent moins abstraits.
	
	De plus, historiquement, les nombres dérivés furent développés dans le cadre de cette modélisation de la mécanique.
	
\end{notabene}


\begin{notabene}
	
	Une transition entre tangente et vitesse. Une approche supplémentaire à envisager en physique les élèves ont appris à dessiner des vecteurs instantané pour représenter une vitesse. or en mathématique qui dit vecteur, dit vecteur directeur et donc droite.
	
\end{notabene}

\begin{correction}

Dans cette partie nous considérons un skieur glissant sur une pente.

\subsubsection{Vitesse moyenne.}

\begin{notabene}
	
	Faire un schéma représentant la pente et la trajectoire du skieur. Indiquer distance et temps mis.
	
	Le procédé est à reprendre et à adapter pour chaque calcul.
	
\end{notabene}

Si le skieur descend une pente de $500\ \mathrm{m}$ en $10\ \mathrm{s}$, à quelle vitesse a-t-il descendu la pente?

\medskip
D'après le cours de physique nous savons que sa vitesse est

\begin{align*}
	v &= \frac{d}{t}\\
	&= \frac{500\ \mathrm{m}}{10\ \mathrm{s}}\\
	&= 50\ \mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-1}
\end{align*}

\medskip
Peut-on se satisfaire de ce résultat? En réalité une simple observation permet de constater que la vitesse du skieur n'a cessé d'augmenter.

\medskip
Un relevé montre que le skieur avait parcouru les $125$ premiers mètres en $5\ \mathrm{s}$. À quelle vitesse cela correspond-t-il?

\medskip
En reprenant le précédant calcul nous obtenons maintenant: $v=25\ \mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-1}$.

\medskip
Les différences de vitesses s'expliquent par le fait que nous calculons des vitesses moyennes or la vitesse du skieur n'est pas constante (les physiciens diront que le mouvement n'est pas uniforme mais accéléré).


\subsubsection{Vers une vitesse instantanée.}

Nous voulons obtenir une vitesse instantanée, \emph{i.e.} qui représente la vitesse du skieur en chaque instant.

\begin{notabene}
	
	Faire un schéma représentant la pente et la trajectoire du skieur. Éventuellement avec des points de plus en plus rapproché pour indiquer l'aspect trajectoire uniformément accéléré.
	
\end{notabene}

Par exemple: quelle est la vitesse au bout de $5$ secondes? Attention la question n'est pas quelle est la vitesse moyenne entre l'instant $0$ (départ) et l'instant $5\ \mathrm{s}$, mais quelle est sa vitesse instantanée $5$ secondes après le départ. Autrement dit si le skieur était, à la façon d'une voiture automobile équipé d'un compteur de vitesse, quelle serait la vitesse affichée au bout de $5$ secondes de descente?

Si l'on essaie d'utiliser la formule usuelle de vitesse nous tombons sur un os. À un instant précis la distance parcourue est nulle et le temps mis pour parcourir cette distance est aussi nul et nous obtenons l'absurdité $\frac{0}{0}$.

Nous allons ruser en calculant la vitesse entre $5\ \mathrm{s}$ et $5+h\ \mathrm{s}$ avec $h$ un nombre infiniment petit. $h$ étant très petit c'est presque comme si les deux instants étaient confondus. Le temps qui s'est écoulé entre ces deux instants est évidemment $h\ \mathrm{s}$.

\medskip
Il reste à déterminer la distance parcourue entre ces deux instants.

Des relevés permettent de déterminer que la distance parcourue, (depuis le début de la pente), exprimée en mètre, au bout de $t$ secondes est donnée par $d(t)=5t^2$.

Par conséquent la distance parcourue entre l'instant $5\ \mathrm{s}$ et l'instant $5+h\ \mathrm{s}$ est: $d(5+h)-d(5)$.

La vitesse entre les instants $5\ \mathrm{s}$ et $5+h\ \mathrm{s}$.
 
\begin{align*}
	v(5;5+h) &= \frac{d(5+h)-d(5)}{h}\\
	&= \frac{5 \times (5+h)^2-5\times 5^2}{h}
\end{align*}

Notre vitesse instantanée dépend de la valeur de $h$ ce qui n'est pas satisfaisant. Autrement dit nous avons une fonction de $h$. Entrons cette fonction dans la calculatrice et regardons ce qu'il se passe lorsque $h$ est très petit (par exemple $h\approx 0,01$).

\begin{center}
	
	\includegraphics[scale=0.6]{1ieme_analyse_01_tangente_nombre_derive_01_introduction_vitesse_calculatrice.png}
	\includegraphics[scale=0.6]{1ieme_analyse_01_tangente_nombre_derive_02_introduction_vitesse_calculatrice.png}
	
\end{center}

\begin{center}
	
	\includegraphics[scale=0.5]{1ieme_analyse_01_tangente_nombre_derive_03_introduction_vitesse_calculatrice.png}
	
\end{center}

Le tableau de valeur est très explicite et nous donne envie de dire que la vitesse instantanée est de $50\ \mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-1}$, $5$ secondes après le départ.

\medskip
Ce résultat expérimental peut être obtenu de façon algébrique en simplifiant l'expression de départ.

\begin{align*}
	v(5;5+h) &= \frac{d(5+h)-d(5)}{h}\\
	&= \frac{5 \times (5+h)^2-5\times 5^2}{h}\\
	&= \frac{5 \times \left( 5^2+2 \times 5 \times h +h^2 \right) - 125}{h}\\
	&= \frac{5 \times \left( 25+10h+h^2 \right) -125}{h}\\
	&= \frac{5 \times 25 +5 \times 10h +5 \times h^2-125}{h}\\
	&= \frac{125+50h+ 5h^2-125}{h}\\
	&= \frac{50{\color{orange}h}+5h\times {\color{orange}h}}{h}\\
	&= \frac{{\color{orange}h}(50+5h)}{h}\\
	&= 50+5h
\end{align*}

Avec cette simplification d'écriture nous pouvons remplacer $h$ par $0$ (sans que ce soit absurde) pour avoir une vitesse instantanée: $v(5;5+0)=50+5 \times 0=50$.

\begin{notabene}
	
	Remarquons que la vitesse instantanée se calcule en utilisant un taux d'accroissement.
	
\end{notabene}

\end{correction}

\subsection{Nombre dérivé.}

\subsubsection{Taux de variation.}

\begin{lecon}
	
	Rappelons la définition du taux de variation (ou taux d'accroissement).
	
\end{lecon}

\begin{definition}
	
	Si $f$ est une fonction définie sur un intervalle $I$, alors le \emph{\color{purple}taux d'accroissement} de $f$ entre $a$ et $a+h$ est  \[\tau_f(a,h) =\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \]
	avec $a$ et $a+h$ pris dans $I$.

\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\medskip
	Exemples.
	\begin{enumerate}
		\item Pour $x\mapsto x^3$ entre $1$ et $1+h$.
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{}
	
	Soit $f: x \mapsto (x+2)^2$ une fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$.
	
	Exprimez le taux d'accroissement de $f$ entre $1$ et $1+h$ pour $h \in \mathbb{R}$. Vous simplifierez la fraction rationnelle obtenue.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	Le taux d'accroissement de $f: x\mapsto (x+2)^2$ entre $1$ et $1 + h$ pour tout $h\in \mathbb{R}$ est successivement égale à:
	
	\begin{align*}
		\tau_f(a,h) &= \frac{f(a+h)-f(a)}{h}
	\end{align*}
	{\color{orange}Il faut remplacer par les différentes valeurs dont nous disposons, le $h$ seul, restant inconnu.
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item Il s'agit du taux d'accroissement entre $1$ et $1+h$ donc $a=1$.
		
		\item Puisque $f(x)=(x+2)^2$, $f(1)=(1+2)^2=9$.
		
		\item Puisque $f({\color{WildStrawberry}x})= ({\color{WildStrawberry}x}+2)^2$, $f({\color{WildStrawberry}1+h})= ({\color{WildStrawberry}1+h}+2)^2$
		
	\end{enumerate}
	}
	
	\begin{align*}
		\tau_f({\color{brown}1},h) &= \frac{f({\color{violet}1+h}) -f({\color{red}1})}{h}\\
		&= \frac{({\color{violet}1+h}+2)^2-({\color{red}1}+2)^2}{h} \\
		&= \frac{({\color{WildStrawberry}3+h})^2-{\color{Emerald}3}^2}{h} \\
		&= \frac{{\color{WildStrawberry}3^2+2 \times 3 \times h +h^2}-{\color{Emerald}9}}{h}\\
		&= \frac{h^2+6h}{h}\\
		&{\color{orange}= \frac{h \times {\color{green}h}+6 \times {\color{green}h}}{h}}\\
		&{\color{orange}= \frac{(h+6) \times {\color{green}h}}{h}}\\
		&{\color{orange}= \frac{(h+6) \times {\color{blue}h}}{\color{blue}h}}
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		$\tau_f(a;h)=h+6$ pour tout $h \in \mathbb{R}$.
		
	\end{conclusion}
	
	\medskip
	{\color{orange}Cette méthode de simplification du taux d'accroissement sera valable pour toutes les expressions polynomiales.}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Soient $f:x \mapsto x^3$ et $a=3$.
	
	Déterminez pour tout $h \in \mathbb{R}$ le taux d'accroissement de $f$ entre $a$ et $a+h$.
	
	\medskip
	\emph{Il faut s'armer de courage pour développer l'expression $(3+h)^2$. Vous pouvez aussi utiliser la formule généralisant l'identité remarquable:} \[ (a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3. \]
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{align*}
		\tau_f(a,h) &= \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\\
		&= \frac{f(3+h)-f(3)}{h}\\
		&= \frac{(3+h)^3-3^3}{h}\\
		&= \frac{(3+h)(3+h)^2-27}{h}\\
		&= \frac{(3+h)(3^2+2 \times 3 \times h + h^2) - 27}{h}\\
		&= \frac{(3+h)(9+6h + h^2) - 27}{h}\\
		&= \frac{3 \times 9+ 3 \times 6h + 3 \times h^2 +h \times 9 +h \times 6h +h \times h^2 - 27}{h}\\
		&= \frac{27+18h+3h^2+9h+6h^2+h^3-27}{h}\\
		&= \frac{h^3+9h^2+27h}{h}\\
		&= \frac{h(h^2+9h+27)}{h}\\
		&= h^2+9h+27
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		$\tau_f(3,h) = h^2+9h+27$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercices du manuel.
		
	\end{notabene}
	
	Exercice 11 page 118, 29, 30, 31 page 120.
	
\end{exercice}

\subsubsection{Fonction dérivable et nombre dérivé.}

\begin{definition}
	
	Soient
	\begin{enumerate}[.]
		\item $I$ un intervalle non trivial,
		\item $f$ une fonction définie sur $I$,
		\item $a\in I$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous dirons que $f$ est \emph{\color{purple}dérivable en $a$} si et seulement si le taux d'accroissement de $f$ entre $a$ et $a+h$, lorsque $h$ se rapproche de $0$, tend vers un nombre réel.
	
	\medskip
	Si $f$ est dérivable en $a$ alors la valeur limite du taux d'accroissement est appelée \emph{\color{purple}nombre dérivé de $f$ en $a$} et est noté $\color{purple}f'(a)$.
	
	\medskip
	Lorsque le nombre dérivé existe nous noterons \[ \color{purple} f'(a) =\lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \]

\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\medskip
	Remarques.
	\begin{enumerate}
		
		\item $f'(a)$ s'interprète comme un nombre représentant la vitesse à laquelle la fonction $f$ varie lorsque $x$ varie en restant très proche de $a$.
		
		\item Pourquoi ne pas remplacer simplement $h$ par $0$ dans la formule du taux d'accroissement pour avoir le nombre dérivé, pourquoi passer par la limite? Car il est impossible de diviser par $0$.
		
		\item Pour certaines fonctions il n'est pas possible de trouver le nombre dérivé en $a$ car le taux d'accroissement ne se rapproche pas d'un nombre limite. Dans ce cas nous dirons que \emph{\color{purple}la fonction n'est pas dérivable en $a$}.
		
		\item Une autre notation, inspirée de la physique, est couramment utilisée pour désigner le nombre dérivé \[ f'(a)=\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}_{|x=a}. \] Elle reprend l'idée du taux d'accroissement: une petite variation (infinitésimale) de $f$, notée $\mathrm{d}f(x)$, divisée par une petite variation (là encore infinitésimale) de $x$, notée $\mathrm{d}x$.
		
		\item En physique le nombre dérivé servira notamment à modéliser la vitesse, le débit et toutes les variations instantanées en fonction du temps. Lorsqu'il s'agit de vitesse (dérivée de fonction dépendant du temps) les physiciens préfèrent la notation $\overset{.}{f}(a)$.
		
		\item $I$ est non trivial car il faut pouvoir choisir $a$ et d'autres valeurs se rapprochant de $a$.
		
		\item La définition sous-entend que les valeurs de $h$ sont choisies de façon à ce que $a+h \in I$.
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\medskip
	Exemples.
	\begin{enumerate}
		\item Avec les fonctions de référence en quelques valeurs.
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{}
	
	Soient $f:x\mapsto x^2$ la fonction carrée définie sur $\mathbb{R}$ et $a=2$.
	
	Calculez, si possible, $f'(a)$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}Calculons le taux d'accroissement et essayons d'en simplifier l'expression.}
	
	\begin{align*}
		\tau_f({\color{brown}a},h) &= \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \\
		\tau_f({\color{brown}2},h) &= \frac{f({\color{violet}2+h}) -f({\color{red}2})}{h}\\
		&= \frac{({\color{violet}2+h})^2-{\color{red}2}^2}{h} \\
		&= \frac{{\color{violet}2^2+2 \times 2 \times h +h^2}-{\color{red}4}}{h}\\
		&= \frac{h^2+4h}{h}\\
		&{\color{orange}= \frac{h \times {\color{green}h}+4 \times {\color{green}h}}{h}}\\
		&{\color{orange}= \frac{(h+4) \times {\color{green}h}}{h}}\\
		&{\color{orange}= \frac{(h+4) \times {\color{blue}h}}{\color{blue}h}}\\
		&= h+4
	\end{align*}
	
	{\color{orange}Lorsque $h$ se rapproche de $0$ il est maintenant évident que $h+4$ se rapproche de $4$.}
	
	\begin{align*}
		\lim_{h \to 0} h+4 &= 4
		\intertext{Donc:}
		\lim_{h \to 0} \tau_f(2,h) &= 4
	\end{align*}
	
	Par conséquent $f$ est dérivable en $2$ {\color{orange}(puisque nous avons pu trouver une limite réelle au taux d'accroissement de $f$ en $2$)}.
	
	{\color{orange}De plus la limite que nous avons trouvé est alors le nombre dérivé.}
	
	Donc 
	
	\begin{conclusion}
		
		$f'(2)=4$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}
	
	Soient $g:x \mapsto \sqrt{x}$ et $a=0$.
	
	Calculez, si possible $g'(a)$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{align*}
		\tau_g(a,h) &= \frac{g(a+h)-g(a)}{h}\\
		&= \frac{g(0+h)-g(0)}{h}\\
		&= \frac{\sqrt{h}}{h}\\
		&= \frac{\sqrt{h}}{\sqrt{h}^2}\\
		&= \frac{1}{\sqrt{h}}
	\end{align*}
	
	{\color{orange}Utilisons la calculatrice pour conjecturer ce qu'il se passe lorsque $h$ se rapproche de $0$ (en étant positif, racine carrée oblige) avec des pas de plus en plus petit dans le tableau de valeur.
	
	\begin{center}
		
		\includegraphics[scale=0.5]{1ieme_analyse_01_tangente_nombre_derive_05_racine_carree_1.png} \quad
		\includegraphics[scale=0.5]{1ieme_analyse_01_tangente_nombre_derive_06_racine_carree_2.png} \quad
		\includegraphics[scale=0.5]{1ieme_analyse_01_tangente_nombre_derive_07_racine_carree_3.png}
		
	\end{center}
	
	Lorsque $h$ se rapproche de $0$, en prenant des valeurs positives, $\sqrt{h}$ se rapproche aussi de $0$ en prenant des valeurs positives, donc $\frac{1}{\sqrt{h}}$ augmente indéfiniment. Autrement dit $\frac{1}{\sqrt{h}}$ ne se rapproche pas d'un nombre fixe.}
	
	Nous ne pouvons pas calculer ce nombre dérivé car il n'y a pas de limite lorsque $h$ tend vers $0$.
	
	\begin{conclusion}
		
		La fonction racine carré n'est pas dérivable en $0$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Faire le premier au tableau pour montrer la démarche attendue.
		
		Utilisation de la calculatrice pour vérifier le résultat.
	
	\end{notabene}
	
	Calculez le nombre dérivé de $f$ en $a$, lorsque cela est possible, dans les cas suivants
	
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{enumerate}
				\item $f(x)=2$ et $a=4$.
				\item $f(x)=-3x$ et $a=11$.
				\item $f(x)=-3x^2+7$ et $a=3$.
			\end{enumerate}
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{enumerate}
				\setcounter{enumi}{3}
				\item $f(x)=x^3$ et $a=2$.
				\item $f(x)=\sqrt{x}$ et $a=5$.
				\item $f(x)=\frac{1}{x}$ et $a=4$.
			\end{enumerate}
			
		\end{minipage}		

	\end{tabularx}
	
	\emph{Indication.} Pour le 5. vous pourrez utiliser le fait que $\left( \sqrt{5+h}-\sqrt{5}\right)\left( \sqrt{5+h} + \sqrt{5} \right)= h$ (identité remarquable).
		
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange} Il est possible de calculer le nombre dérivé avec la calculatrice, en faisant successivement
	
	\framebox{alpha}, \framebox{fenêtre}, \og 3:nDeriv( \fg{}
	
	et en complétant la formule avec l'expression algébrique de $f$ et la valeur numérique de $a$.
	
	}

	\begin{enumerate}
		\item \objectif{Déterminons $f'(1)$.}
		
		\begin{enumerate}[\text{Étape} 1. ]
			\item {\color{orange}Exprimons le taux d'accroissement entre $1$ et $1+h$.}
			\medskip
			{\color{orange}D'abord la formule de la leçon.}
			
			\begin{align*}
			\tau_f(a,h) &= \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\\
			\intertext{\color{orange}Or $a=1$ donc}\\
			\tau_f(1,h) &= \frac{f(1+h)-f(1)}{h}
			\end{align*}
			
			De plus comme $f(x)=2${\color{orange}, en remplaçant $x$}:
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item $f(1+h)=2$,
				\item $f(1)=2$,
			\end{enumerate}
			
			donc \[ \tau_f(1,h) =0 \]
			
			\item {\color{orange}Passage à la limite.}
			
			Donc $\displaystyle \lim_{h\to 0}\tau_a(h)=\lim_{h \to 0} 0  =0$ 
			
			\item {\color{orange}Conclusion.}
			
			Finalement:
			
			\begin{conclusion}
				
				$f$ est dérivable en $a$ et $f'(a)=0$.
			\end{conclusion}
		
		\end{enumerate}
			
		\item \underline{Calculons le taux d'accroissement entre $a$ et $a+h$.}
		
		\medskip
		\begin{align*}
		\tau_f(a,h) &= \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\\
		&= \frac{[-3\times(a+h)]-[-3a]}{h}\\
		\tau_f(2,h) &= \frac{[-3 \times (2+h)]-[-3\times 2]}{h}\\
		&= \frac{-3\times 2+(-3)\times h +6}{h}\\
		&=\frac{-3h}{h}\\
		&= -3
		\end{align*}
				
		Donc $\displaystyle \lim_{h\to 0}\tau_f(2,h) =-3$, et enfin
		
		\begin{conclusion}
			
			$f$ est dérivable en $2$ et $f'(2)=-3$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}

\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Calculez, si possible, le nombre dérivé de $f$ en $a\in \mathbb{R}$ dans les cas suivants.
	
	\begin{enumerate}
		\item $f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & c \end{array} \right.$ avec $c \in \mathbb{R}$ une constante.
		
		\item $f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & x \end{array} \right.$.
		
		\item $f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & x^2 \end{array} \right.$.
		
		\item $f: \left\{ \begin{array}{ccl} [0,+\infty[ & \rightarrow & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \sqrt{x} \end{array} \right.$, avec $a>0$.
		
		\item $f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}^* & \rightarrow & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \frac{1}{x} \end{array} \right.$, avec $a\ne 0$.
		
		\item $f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & x^3 \end{array} \right.$.
		
		\item $f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & x^n \end{array} \right.$, avec $n \in \mathbb{N}\setminus \{ 0,1,2,3\}$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{notabene}
		
		Profiter de cet exercice pour donner la liste des fonctions dérivées à connaître.
		
	\end{notabene}
	
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
	Manuel déclic première esl 2015 exercice 47 page 101: application économique du nombre dérivé, coût marginal.
	
	\end{notabene}
	
	Une entreprise fabrique des granules de bois pour poêles de chauffage. Sa capacité de production quotidienne ne peut pas dépasser $70$ tonnes. le coût total de fabrication, en dizaines de milliers d'euros, réalisé par la fabrication de $x$ tonnes de granulés est donné par: \[ C(x)= 0,02x^2+0,08x+5,08, \] avec $x\in [0;70]$.
	
	En économie le \emph{\color{purple}coût marginal} représente le coût supplémentaire engendré par la production de la dernière tonne produite lorsqu'on en a fabriqué $x$ tonnes. Ainsi $C_m(x)=C(x)-C(x-1)$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrez que la fonction coût marginal correspond au taux d'accroissement de la fonction coût total entre les réels $x-1$ et $x$.
		
		\item Montrez que pour tout $x \in [0;70]$: \[ C_m(x)=0,04x+0,06. \]
		
		\item Déterminez le sens de variation de la fonction $C_m$. Interprétez la réponse obtenue.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item \[ C_m(x)=C(x)-C(x-1)=\frac{C(x)-C(x-1)}{x-(x-1)}= \tau_{C_m}(x,h) \]
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			C(x) &= 0,02x^2+0,08x+5,08\\
			\intertext{Donc:}
			C(x-1) &= 0,02(x-1)^2+0,08(x-1)+5,08\\
			&= 0,02(x^2-2\times x \times 1 +1^2) +0,08\times x +0,08 \times (-1)+5,08\\
			&= 0,02(x^2-2x+1)+0,08x-0,08+5,08\\
			&= 0,02x^2-0,02 \times 2x+0,02 \times 1 +0,08x +5\\
			&=  \\
			\intertext{Nous en déduisons:}
			C_m(x) &= C(x)-C(x-1)\\
			&=  0,02x^2+0,08x+5,08- [0,02x^2+0,04x+5,02 ]\\
			&= 0,02x^2+0,08x+5,08- 0,02x^2-0,04x-5,02  \\
			&= 0,04x+0,06
		\end{align*}
		
	\end{enumerate}

\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercices du manuel.
		
	\end{notabene}
	
	Exercices 31 et 39 page 120, 40 et 41 page 121.
	
\end{exercice}

\subsection{Tangente.}


\begin{definition}{}
	
	Soient:
	\begin{enumerate}[.]
		\item $I$ un intervalle non trivial,
		\item $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$,
		\item $a \in I$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Si $f$ est dérivable en $a$, alors  nous appellerons \emph{\color{purple}tangente à la courbe représentative de $f$}, $\mathscr{C}_f$, \emph{\color{purple}au point $A\left(a,f(a) \right)$}, la droite passant par $A$ et de pente $f'(a)$.
	
\end{definition}

\begin{proposition}{}
	
	Soient:
	\begin{enumerate}[.]
		\item $I$ un intervalle non trivial,
		\item $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$,
		\item $a \in I$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Si $f$ est dérivable en $a$, alors  la tangente à $\mathscr{C}_f$ au point $A\left(a,f(a) \right)$ a pour équation réduite \[ \color{purple} y= f'(a)(x-a)+f(a) \]

\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	Soit $M(x,y)$ un
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\medskip
	Remarques.
	\begin{enumerate}
		
		\item Ainsi $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse $a$. Autrement dit localement (en zoomant) en $a$ la courbe représentative de $f$ et sa tangente se confondent.
		
		\item Il est possible de retrouver cette équation en utilisant la formule de calcul du coefficient directeur $f'(a)=\frac{y-f(a)}{x-a}$.
		
		\item \marginpar{\color{red}$\heartsuit$} La tangente permet une interprétation géométrique du nombre dérivé. \emph{\color{purple}Le nombre dérivé $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a$}.
		
		\item $f'(a)$ peut donc s'interprété comme un "coefficient directeur" instantané de la fonction en l'abscisse $a$. Autrement dit il représente la pente de la courbe en cette abscisse. Par exemple, si $f'(a)>0$, alors $f$ est (localement) strictement croissante.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{notabene}
	
	Reparler du fait que  racine carrée n'est pas dérivable en regardant du point de vue de la tangente et de son coefficient directeur qui devrait être infini.
	
\end{notabene}

\begin{exercice}{}
	
	Nous avons remarqué que $f:x \mapsto x^2$ est dérivable en $2$ et son nombre dérivé est $f'(2)=4$.
	
	Déduisez-en l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative $\mathscr{C}_f$ de $f$ au point d'abscisse $a=2$ a pour équation
	
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\objectif{Déterminons l'équation de la tangente à $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse $2$.}
	
	\begin{align*}
		y &= f'(a)(x-a)+f(a)\\
		\intertext{puisque $a=2$, cette équation équivaut successivement à:}
		y &= f'(2)(x-2)+ f(2)\\
		y &= 4 \times (x-2)+4\\
		y &= 4x-4
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		L'équation de la tangente à $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse $2$ est: $y=4x-4$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Détermination par le calcul de la tangente.
		
	\end{notabene}
	
	Déterminez la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a$ dans les cas suivants.
	
	\begin{enumerate}
		\item $f:x \mapsto x^2+x+1$ et $a=1$.
		
		\item $f:x \mapsto -3x+2$ et $a=7$.
		
		\item $f: x \mapsto (x+2)^2$ et $a=-1$.
		
		\item $f: x \mapsto \frac{1}{x}$ et $a=2$.
		
		\item $f:x \mapsto \sqrt{x}$ et $a=2$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $y=3(x-1)+4$ ou $y=3x+1$.
		
		\item $y=-3x+2$.
		
		\item $y=1(x+1)+1$ ou $y=x+2$.
		
		\item $y=-\frac{1}{4}(x-2)+ \frac{1}{2}$ ou $y=-\frac{1}{4}x+1$.
		
		\item $y=\frac{1}{2\sqrt{2}}(x-2) + \sqrt{2}$ ou $y= \frac{\sqrt{2}}{4}x+ \frac{\sqrt{2}}{2}$.
			
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}
	
	\begin{notabene}
		
		Déjà vu dans les rappels donc pas besoin d'insister.
		
	\end{notabene}
	
	On a dessiné ci-dessous la courbe représentative d'une fonction $f$ ainsi que les tangentes à cette courbe aux points $A(-2;4)$, $O(0,0)$ et $B(\sqrt{3};0,4\sqrt{3}^3-3,6\sqrt{3})$.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		\def\xY{-5};
		\def\yY{-5};
		\def\xZ{5};
		\def\yZ{5};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
		\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
		\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=-3.545:3.45] plot(\x,{0.4*(\x-3)*(\x-0)*(\x+3)});
		%A
		\draw[red,thick] [samples=100,domain={-2-3}:{-2+1}] plot(\x,{1*\x+6});
		\draw [red] (-2,4) node {$\bullet$};
		\draw [red] (-2,4) node[above left] {$A$};
		%O
		\draw[OliveGreen,thick] [samples=100,domain={0-1.25}:{0+1.2}] plot(\x,{-4*\x+0});
		\draw [OliveGreen] (0,0) node {$\bullet$};
		\draw [OliveGreen] (0,0) node[above right] {$O$};
		%B
		\draw[Violet,thick] [samples=100,domain={sqrt(3)-6}:{sqrt(3)+2.5}] plot(\x,{0.4*sqrt(3)*sqrt(3)*sqrt(3)-3.6*sqrt(3)});
		\draw [Violet] ({sqrt(3)},{0.4*sqrt(3)*sqrt(3)*sqrt(3)-3.6*sqrt(3)}) node {$\bullet$};
		\draw [Violet] ({sqrt(3)},{0.4*sqrt(3)*sqrt(3)*sqrt(3)-3.6*sqrt(3)}) node[below right] {$B$};
		\draw[blue] (2.5,2) node[fill=white] {$\mathscr{C}_f$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminez les nombres dérivés de $f$ en $-2$, en $0$ et en $\sqrt{3}$.
		
		\item Déduisez-en, les équations réduites des tangentes à $\mathscr{C}_f$ en $A$, $O$ et $B$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{notabene}
	
	Faire plein de lecture graphique à l'oral en prenant dans n'importe quel manuel le déclic 2015 2Imme esl ou le spécialité déclic 2019.
	
\end{notabene}

\begin{exerciceapplication}
	
	Exercices 34 et 35 page 120 du manuel Indice de première.
	
\end{exerciceapplication}

\subsection{Exercices.}

\begin{notabene}
	
	Un problème de mécanique, un problème de cinétique chimique, un problème de position relative de tangente, et peut être un problème de construction comme une suite avec des tangentes.
	
\end{notabene}

\begin{exerciceapplication}
	
	Exercice 91 page 124 du manuel Indice de première.
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exerciceapplication}
	
	\begin{notabene}
		
		Détermination calculatoire de l'équation réduite de la tangente.
		
		Exercices 34 et 35 page 129 du manuel CQFD.
		
	\end{notabene}
	
	Soit $f$ a fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-3x-1$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculez le nombre dérivé de $f$ en $a=\frac{1}{3}$.
		
		\item Déterminez l'équation réduite de la tangente à $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse $\frac{1}{3}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exerciceapplication}

\begin{correction}
\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item \objectif{Calculons $f'\left( \frac{1}{3} \right)$.}
		
		le taux d'accroissement de $f$ entre $a$ et $a+h$ est: \[ \tau_f(a,a+h)= \frac{f(a+h)-f'a)}{h}.\]
		
		Or:
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item $a=\frac{1}{3}$.
			
			\item $f(a)= f\left( \frac{1}{3} \right) = \left( \frac{1}{3} \right)^2 -3 \times \frac{1}{3} -1= -\frac{17}{9}$.
			
			\item 
			
			\begin{align*}
				f(a+h) &= f\left( \frac{1}{3} +h \right)\\
				&= \left( \frac{1}{3} + h \right)^2 -3 \left( \frac{1}{3}+h \right)-1\\
				&= \left( \frac{1}{3} \right)^2 +2 \times \frac{1}{3} \times h + h^2 -3 \times \frac{1}{3} -3 \times h-1\\
				&= \frac{1}{9} +\frac{2}{3} h + h^2 -1 -3 h-1\\
				&= h^2+\left( \frac{2}{3}-3 \right)h-2+\frac{1}{9}\\
				&= h^2-\frac{7}{3}h-\frac{17}{9}
			\end{align*}
			
			donc:
			
			\begin{align*}
				\tau_h(a,a+h) &= \frac{ h^2-\frac{7}{3}h-\frac{17}{9}-\left( -\frac{17}{9} \right)}{h}\\
				&=\frac{h^2-\frac{7}{3}h}{h}\\
				&= \frac{h\left( h-\frac{7}{3} \right)}{h}\\
				&=h-\frac{7}{3}
			\end{align*}
			
			Nous en déduisons:
			
			\begin{align*}
				\lim_{h \to 0} \tau_f(a,a+h) &= \lim_{h \to 0} h -\frac{7}{3}\\
				&= -\frac{7}{3}
			\end{align*}
			
			Par conséquent
			
			\begin{conclusion}
				
				$f$ est dérivable en $\frac{1}{3}$ et $f'\left( \frac{1}{3} \right)= -\frac{7}{3}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
		\item \objectif{Déterminons l'équation réduite de la tangente.}
		
		L'équation réduite au point d'abscisse $a$ est \[ y=f'(a)(x-a)+f(a).\]
		
		Or:
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item $a=\frac{1}{3}$,
			
			\item $f(a)=-\frac{17}{9}$,
			
			\item $f'(a)= -\frac{7}{3}$,
		\end{enumerate}
		
		donc une équation de la tangente est \[ y= -\frac{7}{3}\left( x-\frac{1}{3} \right) - \frac{17}{9}. \]
		
		\begin{conclusion}
			
			L'équation réduite de la tangente est: $y= -\frac{7}{3}x -\frac{10}{9}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}
\end{correction}

\begin{exerciceapplication}
	
	\begin{notabene}
		
		Détermination calculatoire de l'équation réduite de la tangente.
		
		Exercices 34 et 35 page 129 du manuel CQFD.
		
	\end{notabene}
	
	Soit $f$ a fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-2x^2+2x+3$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculez le nombre dérivé de $f$ en $a=\sqrt{2}$.
		
		\item Déterminez l'équation réduite de la tangente à $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse $\sqrt{2}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exerciceapplication}

\begin{correction}
\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item \objectif{Calculons $f'\left( \sqrt{2} \right)$.}
		
		le taux d'accroissement de $f$ entre $a$ et $a+h$ est: \[ \tau_f(a,a+h)= \frac{f(a+h)-f'a)}{h}.\]
		
		Or:
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item $a=\sqrt{2}$.
			
			\item $f(a)= f\left( \sqrt{2} \right) = -2 \left( \sqrt{2} \right)^2 +2 \times \sqrt{2} +3= -1+2\sqrt{2}$.
			
			\item 
			
			\begin{align*}
			f(a+h) &= f\left( \sqrt{2} +h \right)\\
			&= -2 \left( \sqrt{2} + h \right)^2 +2 \left( \sqrt{2}+h \right)+3\\
			&= -2 \left[ \left( \sqrt{2} \right)^2 +2 \times \sqrt{2} \times h + h^2 \right] + 2 \times \sqrt{2} + 2 \times h+3\\
			&= -2\left[ 2+2\sqrt{2}h+h^2 \right] +2\sqrt{2} +2h +3\\
			&= -4-4\sqrt{2}h -2h^2+2\sqrt{2}+2h+3\\
			&=-2h^2+ \left( -4\sqrt{2}+2 \right) h+ 3+2\sqrt{2}-4\\
			&= -2h^2 +(2-4\sqrt{2})h-1+2\sqrt{2}
			\end{align*}
			
			donc:
			
			\begin{align*}
			\tau_h(a,a+h) &= \frac{ -2h^2 +(2-4\sqrt{2})h-1+2\sqrt{2}-(-1+2\sqrt{2})}{h}\\
			&= \frac{-2h^2 +(2-4\sqrt{2})h-1+2\sqrt{2}+1-2\sqrt{2}}{h}\\
			&= \frac{-2h^2 +(2-4\sqrt{2})h}{h}\\
			&= \frac{h\left(-2h+2-4\sqrt{2}\right)}{h}\\
			&= -2h+2-4\sqrt{2}
			\end{align*}
			
			Nous en déduisons:
			
			\begin{align*}
			\lim_{h \to 0} \tau_f(a,a+h) &= \lim_{h \to 0} -2h +2-4\sqrt{2}\\
			&= 2-4\sqrt{2}
			\end{align*}
			
			Par conséquent
			
			\begin{conclusion}
				
				$f$ est dérivable en $\sqrt{2}$ et $f'\left( \sqrt{2} \right)=2-4\sqrt{2}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
		\item \objectif{Déterminons l'équation réduite de la tangente.}
		
		L'équation réduite au point d'abscisse $a$ est \[ y=f'(a)(x-a)+f(a).\]
		
		Or:
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item $a=\sqrt{2}$,
			
			\item $f(a)=-1+2\sqrt{2}$,
			
			\item $f'(a)=2-4\sqrt{2}$,
		\end{enumerate}
		
		donc une équation de la tangente est \[ y=(2-4\sqrt{2}) \left( x-\sqrt{2}\right)  -1+2\sqrt{2}. \]
		
		\begin{conclusion}
			
			L'équation réduite de la tangente est: $y= (2-4\sqrt{2})x+7 $.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}
\end{correction}

\begin{exerciceapplication}
	
	Dans le repère ci-dessous est dessiné la courbe représentative d'une fonction $f$ ainsi que trois de ses tangentes.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		\def\xY{-5};
		\def\yY{-5};
		\def\xZ{5};
		\def\yZ{2};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
		\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
		%Courbe à construire après les tangentes.
		\draw[black, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-5) (-2,-1) (-1,0) (0,-2) (2,0) (5,0.5)};
		%Tangente 1
		\draw[red, thick][samples=100,domain=-4:-0.5] plot(\x,{2*\x+3});
		\draw (-2,-1) node{$\times$};
		%Tangente 2
		\draw[Green, thick][samples=100,domain=-5:5] plot(\x,{(-1/3)*\x-2});
		\draw (0,-2) node{$\times$};
		%Tangente 3
		\draw[Orange, thick][samples=100,domain=-5:5] plot(\x,{0.5*\x-1});
		\draw (2,0) node{$\times$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Déterminez les équations réduites des tangentes à la courbe représentative de $f$ au points d'abscisses $-2$ et $0$ et $2$.
	
\end{exerciceapplication}

\begin{correction}
\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\mathscr{T}_{-2}:\ y=2x+3$.
		
		\item $\mathscr{T}_{0}:\ y= -\frac{1}{3}x-2$.
		
		\item $\mathscr{T}_2:\ y=\frac{1}{2}x-1$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}
\end{correction}

\begin{exerciceapplication}
	
	Considérons une fonction $f$ définie sur $[-5;5]$.
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Dans un repère orthonormé dessinez les points $A(-3,-3)$, $B(0,4)$ et $C(4,4)$.
		
		\item Tracez les tangentes à $\mathscr{C}_f$ respectivement en $A$, $B$ et $C$ d'équations réduites respectives $d_A:\ y=2x+3$, $d_B:\ y=-\frac{1}{2}x+4$ et $d_C:\ y=-x+8$.
		
		\item Tracez à main levée une courbe représentative possible pour $f$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}
	
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.6,yscale=0.6]
		\def\xY{-5};
		\def\yY{-5};
		\def\xZ{5};
		\def\yZ{5};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
		\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
		\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=-4:1] plot(\x,{2*\x+3});
		\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$d_A$};
		\draw[red, thick][samples=100,domain=-2:5] plot(\x,{-0.5*\x+4});
		\draw[red] (3,2) node[fill=white] {$d_B$};
		\draw[violet, thick][samples=100,domain=3:5] plot(\x,{-\x+8});
		\draw[violet] (-3,-3) node[above left] {$A$};
		\draw[violet] (-3,-3) node {$\bullet$};
		\draw[violet] (0,4) node[above left] {$B$};
		\draw[violet] (0,4) node {$\bullet$};
		\draw[violet] (4,4) node[above left] {$C$};
		\draw[violet] (4,4) node {$\bullet$};
		%\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-5,-4)(-3,-3)(-2,3.5)(0,4)(2,3.5)(4,4)(5,2)};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}

\end{exercicecorrection}

\begin{recherche}
	
	Exercices 32, 33 page 120.
	
\end{recherche}


\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}