%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
%\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{RoyalBlue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{Black}\underline{Remarques.}}\color{Black}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. #1} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \color{blue} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}\dotfill
	
}{\dotfill \underline{fin de la correction de l'exercice \theExercicecorrection.}}

\newenvironment{exerciceapplication}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Application.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} }{ \end{colbox} }

\newenvironment{concours}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Concours.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} }{\medskip}

\newenvironment{recherche}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill { \color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Recherche.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} }{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration \theDemonstration \dotfill #1} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{Black} 
	
}{\noindent \color{PineGreen} \dotfill  Fin de la démonstration \hspace{1cm}~}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/}{Polynômes de degré deux: cas général.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{details}
\exclure{bareme}
\exclure{notabene}
\exclure{correction}
%\exclure{exercicecorrection}\exclure{preuve}\exclure{exemples}%papi
%\exclure{remarques}\exclure{corollaire}\exclure{lemme}\exclure{proposition}\exclure{theoreme}\exclure{culturegenerale}\exclure{definition}\exclure{lecon}
%\exclure{sujet}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\begin{notabene}
	
	Peut être mettre l'étude des variations avant les recherches de racines? Pour donner du sens à la forme canonique.
	
\end{notabene}

\begin{notabene}
	
	Il y a plein d'exercices de factorisation qu'il faudrait mettre dans la précédente leçon sur les trinômes.
	
\end{notabene}

\begin{notabene}
	
	Peut être serait-il intéressant de couper ce chapitre en deux parties: la forme canonique pour les variation ce qui est un plus par rapport à la forme factorisée déjà étudiée et dans une autre leçon la forme canonique pour résoudre des équations dont les racines ne sont pas simples.
	
\end{notabene}

\section{Polynômes de degré deux: cas général.}

\begin{notabene}
	
	Faire des représentations graphiques à la calculatrice  pour tous les trinômes rencontrés pour habituer les élèves à la représentation graphique et à faire le lien entre la forme algébrique et la représentation.
	
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	Nous allons ici présenter une étude complète (en restant dans $\mathbb{R}$) de tous les polynômes de degré deux. Il s'agit des polynômes admettant une forme développée $aX^2+bX+c$ ou une forme factorisée $a(X-x_1)(X-x_2)$. Nous allons voir une nouvelle forme appelée forme canonique: $a\left(x-\alpha \right)^2+\beta$ qui permet de démontrer les résultats importants de cette leçon.
	
	Du point de vu algébrique nous allons compléter les résultats que nous avions déjà établis sur les racines. 
	
	Du point de vue analytique nous allons présenter une étude des variations des fonctions polynomiales de degré deux grâce à l'outil algébrique.
	
\end{lecon}

\subsection{Recherche des racines: épisode 1.}

\begin{lecon}
	
	Rappelons ici des méthodes déjà vues pour trouver des racines.
	
\end{lecon}

\subsubsection{Factoriser, notamment, grâce aux identités remarquables.}

\begin{lecon}
	
	La factorisation permet parfois de trouver des racines. Les identités remarquables notamment sont tout indiquées puisque nous considérons des polynômes de degré deux.
	
\end{lecon}

\begin{exercice}{}
	
	Résolvez l'équation $x^2-6x+9=0$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\objectif{Résolvons l'équation.}
	
	\begin{align*}
		x^2-6x+9 &= 0\\
		\intertext{équivaut successivement à:}
		x^2+2 \times x \times 3 +3^2 &= 0\\
		(x-3)^2 &= 0\\
		x &= 3
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		L'ensemble des solutions de l'équation est $\mathscr{S} = \{ 3 \}$.
		
	\end{conclusion}
	
	\medskip
	{\color{orange}Remarquons que la courbe représentative de la fonction $x \mapsto x^2-6x+9$ est tangente à l'axe des abscisses en l'abscisse $3$.}	
			
\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}{}
	
	Résolvez l'équation $4x^2+4x+1=0$.
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{align*}
		4x^2+4x+1 &= 0\\
		\intertext{équivaut successivement à:}
		(2x)^2+2 \times x \times 2 +1 ^2 &= 0\\
		(2x+1)^2 &= 0\\
		2x+1 &= 0\\
		2x &= -1\\
		x &= -\frac{1}{2}
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		L'ensemble des solutions de l'équation est $\mathscr{S} = \left\{ - \frac{1}{2} \right\}$.
		
	\end{conclusion}
	
	\medskip
	{\color{orange}Remarquons que la courbe représentative  de la fonction $x \mapsto 4x^2+4x+1$ est tangente à l'axe des abscisses en l'abscisse $-\frac{1}{2}$.}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Résolvez l'équation $x^2-36=0$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{align*}
		x^2-36 &= 0\\
		\intertext{équivaut successivement à:}
		x^2-6^2 &= 0\\
		(x-6)(x+6) &= 0\\
		x-6=0 \quad &\text{ou} \quad x+6=0\\
		x=6 \quad &\text{ou} \quad x=-6
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		L'ensemble des solutions de l'équation est $\mathscr{S} = \{ -6;6 \}$.
		
	\end{conclusion}
	
	\medskip
	{\color{orange}Remarquons que la courbe représentative de la fonction $x \mapsto x^2-36$ coupe l'axe des abscisses en les abscisses $-6$ et $6$.}	
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}{}
	
	Résolvez l'équation $7x^2-4=0$.
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{align*}
		7x^2-4 &= 0\\
		\intertext{équivaut successivement à:}
		\left( \sqrt{7}x \right)^2 -2^2 &= 0\\
		\left( \sqrt{7}x-2 \right) \left( \sqrt{7}x+2 \right) &= 0\\
		\sqrt{7}x-2=0 \quad &\text{ou} \quad \sqrt{7}x+2=0\\
		\sqrt{7}x=2 \quad &\text{ou} \quad \sqrt{7}=-2\\
		x = \frac{2}{\sqrt{7}} \quad &\text{ou} \quad x= -\frac{2}{\sqrt{7}}
	\end{align*}
	
	{\color{orange}Rappelons que la présentation classique en mathématique de tels nombres consiste à ne pas laisser de radical au dénominateur. Pour cela: $\frac{2}{\sqrt{7}} = \frac{2\times \sqrt{7}}{\sqrt{7} \times \sqrt{7}} = \frac{2 \sqrt{7}}{7}$.}
		
	\begin{conclusion}
		
		L'ensemble des solutions de l'équation est $\mathscr{S} = \left\{ -\frac{2}{7}\sqrt{7} ; \frac{2}{7} \sqrt{7} \right\}$.
		
	\end{conclusion}
	
	\medskip
	{\color{orange}Remarquons que la courbe représentative de la fonction $x \mapsto 7x^2-4$ coupe l'axe des abscisses en les abscisses $-\frac{2}{7}\sqrt{7}$ et $\frac{2}{7}\sqrt{7}$.}	
	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Racines simples et coefficients.}

\begin{lecon}
	
	Nous avions également la possibilité de rechercher des racines simples pour résoudre une équation polynomiale.
	
\end{lecon}


\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}
	
	Résolvez l'équation $-12X^2-24X+36=0$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}Nous reconnaissons un polynôme de degré deux. Nous essayons de reconnaître une identité remarquable. Cela ne fonctionnant pas nous essayons une racine simple.}
	
	Notons $P$ le polynôme de degré deux donnée sous forme développée avec: $a=-12$, $b=-24$ et $c=36$.
	
	\medskip
	\objectif{Déterminons les racines de $P$.}
	
	{\color{orange}Nous remarquons que} $P(1)=0$ donc $x_1=1$ est une racine de $P$.
	
	Or
	
	\begin{align*}
	x_1 x_2 &= \frac{c}{a}\\
	\intertext{donc:}
	1 \times x_2 &= \frac{36}{-12}\\
	\intertext{Enfin:}
	x_2 &= -3
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		L'ensemble des solutions de l'équation est $\mathscr{S}= \{ 1; -3 \}$.
		
	\end{conclusion}
	
	\medskip
	{\color{orange}Nous pourrions également trouver la forme factorisée de $P$: $P(x)=-12(X-1)(X+3)$.}
	
\end{exercicecorrection}


\begin{exercice}{}
	
	Résolvez l'équation $x^2+326x-327=0$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\objectif{Résolvons l'équation.}
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item 
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}
	
\begin{exercice}{}
	
	Résolvez l'équation $-2x^2+4002x-4000=0$.
	
\end{exercice}

\subsection{Recherche des racines: épisode 2.}

\subsubsection{Forme canonique.}

\begin{lecon}
	
	Dans l'exercice suivant nous voyons comment résoudre des équations polynomiales de degré deux de plus en plus complexes.
	
\end{lecon}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{enumerate}
		\item Résolvez l'équation $x^2-\frac{4}{9}=0$.
		
		\item Déduisez-en une résolution de l'équation $\left( x-2 \right)^2 - \frac{4}{9}=0$.
		
		\item Déduisez-en une résolution de l'équation: $9(x-2)^2 - 4=0$.
		
		\item Déduisez-en une résolution de l'équation: $9x^2-36x+32=0$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{lecon}
	
	La résolution, dans l'exercice précédent, repose sur la possibilité d'écrire la forme développée $9X^2-36X+32$ sous la forme d'une identité remarquable, $9(X-2)^2 - 4$. Cette dernière forme, que nous appellerons forme canonique joue un rôle technique important. 
	
	Voici une démarche permettant d'obtenir cette forme canonique à partir d'une forme développée.
	
\end{lecon}

\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}
	
	\emph{Recopiez en complétant par des nombres le raisonnement suivant:}
	
	\medskip
	Si $P(X)=3X^2-12X+22$ alors en essayant de faire apparaître une identité remarquable nous obtenons successivement
	
	\begin{align*}
	P(X) &= 3(X^2-\trous[0.8cm]{4}X)+22\\
	&= 3(x^2-2\times X \times \trous[0.8cm]{2})+22\\
	&= 3(X^2-2\times X \times \trous[0.8cm]{2} +2^2 -\trous[0.8cm]{2^2})+22\\
	&= 3(X^2-2\times X \times \trous[0.8cm]{2} +2^2)+3 \times \trous[0.8cm]{(-2^2)}+22\\
	&=3(X-2)^2+\trous[0.8cm]{10}
	\end{align*}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{align*}
	P(X) &= 3(X^2-4X)+22\\
	&= 3(X^2-2\times X \times 2)+22\\
	&= 3(X^2-2\times X \times 2 +2^2 -2^2)+22\\
	&= 3(X^2-2\times X \times 2 +2^2)+3 \times (-2^2)+22\\
	&=3(X-2)^2+10
	\end{align*}
	
	{\color{orange}Cette démarche est celle employée pour déterminer la forme canonique (voir ci-dessous) à partir de la forme développée. Elle est à connaître pour les élèves qui souhaitent poursuivre l'étude des mathématiques.}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{proposition}{ - forme canonique.}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $a \in \mathbb{R}^*$,
		\item $b$, $c \in \mathbb{R}$,
		\item $P(X)=aX^2+bX+c$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Il est toujours possible d'écrire $P$ sous la forme suivante appelée \emph{\color{purple}forme canonique} de $P$ \[ \color{purple} P(X)=a\left( X-\alpha \right)^2+\beta \] avec \[ \color{purple} \alpha =-\frac{b}{2a} \quad \text{et} \quad \beta=P(\alpha). \]
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	Démonstration à la Gauss: il suffit de choisir $\alpha =\frac{-b}{2a}$ et $\beta =c-\frac{b^2}{2a}$ et de vérifier que cela fonctionne en substituant.
	
	\medskip
	Démonstration plus naturelle: on part de la forme développée et on essaie de factoriser en faisant apparaître une identité remarquable.
	\begin{align*}
		P(x) &= ax^2+bx+c\\
		&= a\left( x^2+\frac{b}{a}x \right) +c\\
		&= a\left[ x^2+2\times x \times  \left( \frac{1}{2}\times \frac{b}{a} \right) \right]+c\\
		\intertext{Ici on truande pour faire apparaitre une identité remarquable en ajoutant et en soustrayant la même quantité:}
		P(x) &= a\left[ x^2+2\times x \times \left( \frac{b}{2a}\right) {\color{orange}+\left( \frac{b}{2a}\right) ^2 -\left( \frac{b}{2a}\right) ^2} \right]+c\\
		&= a\left[ x^2+2\times x \times  \left( \frac{b}{2a}\right) +\left( \frac{b}{2a}\right) ^2 \right]-a\left( \frac{b}{2a}\right) ^2+c\\
		&= a\left[ x^2+2\times x \times \left( \frac{b}{2a}\right) +\left( \frac{b}{2a}\right) ^2 \right]-a\left( \frac{b}{2a}\right) ^2+c\\
		&= a\left[ x+ \frac{b}{2a}\right]^2- \frac{b^2}{4a}+c\\
		&= a\left( x- \frac{-b}{2a}\right)^2- \frac{b^2}{4a}+c\\
		&= a(x-\alpha )^2+\beta\\
	\end{align*}
		
	avec $\alpha =\frac{-b}{2a}$ et $\beta =c-\frac{b^2}{4a}$.
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item La réciproque de cette proposition (toute forme canonique est l'expression d'un polynôme de degré deux) est immédiate en développant.
		
		\begin{notabene}
			
			Elle permet d'ailleurs de trouver les valeurs de $a$, $b$ et $c$ en fonction de $\alpha$ et $\beta$.
			
		\end{notabene}
		
		\begin{preuve}
			
			\objectif{Développons, réduisons et ordonnons la forme canonique.}
			
			\begin{align*}
			a(x-\alpha)^2+\beta &= a[x^2-2\times x \times \alpha +\alpha ^2 ]+\beta\\
			&= ax^2-2a\alpha x+a\alpha ^2+\beta\\
			&= ax^2+(-2a\alpha)x+(a\alpha^2+\beta)
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				La forme canonique est un polynôme de degré deux.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{preuve}
		
		\medskip
		{\color{orange}Dorénavant lorsque vous rencontrerez la forme canonique d'un trinôme vous pourrez affirmer sans démonstration qu'il s'agit d'un polynôme de degré deux.}
		
		\item La formule $\color{purple}\alpha =-\frac{b}{2a}$ est à connaître car très pratique dans les exercices (et $\color{purple}\beta =f(\alpha )$).
		
		\begin{notabene}
			
			$f(\alpha)$ se calcul en la forme dévéeloppée de $f$.
			
		\end{notabene}
		
	\end{enumerate}

\end{remarques}

\begin{exerciceapplication}
	
	Donnez la forme canonique de $P$, puis précisez les valeurs de $a$, $\alpha$ et $\beta$ dans les cas suivants.
	
	\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{enumerate}
				\item $P(X)=2X^2-12X+19$
				\item $P(X)= X^2+1$
			\end{enumerate}
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{enumerate}
				\setcounter{enumi}{2}
				\item $P(X)= X^2-2X+1$
				\item $P(X)=-7X^2-14X+3$
			\end{enumerate}
			
		\end{minipage}
		
	\end{tabularx}
	
\end{exerciceapplication}

\begin{correction}
	\begin{exercicecorrection}
		
		\begin{enumerate}
			
			\item \objectif{Écrivons $P$ sous forme canonique.}
			
			\begin{align*}
			P(X)&=2X^2-12X+19\\
			&= 2(X^2-6X)+19\\
			&= 2(X^2-2\times X \times 3)+19\\
			&= 2(X^2-2\times X \times 3 +3^2 -3^2)+19\\
			&= 2(X^2-2 \times X \times 3 +3^2)+2 \times (-3^2)+19\\
			&= 2(X-3)^2+1
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$a=2$, $\alpha=3$ et $\beta=1$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item \objectif{Écrivons $P$ sous forme canonique.}
			
			\begin{align*}
			P(X)&= X^2+1\\
			&= 1(X-0)^2+1
			\end{align*}
			
			{\color{orange}Quand $b=0$ le trinôme est déjà sous forme factorisée.}
			
			\begin{conclusion}
				
				$a=1$, $\alpha=0$ et $\beta=1$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item \objectif{Écrivons $P$ sous forme canonique.}
			
			\begin{align*}
			P(X)&= X^2-2X+1\\
			&= (X^2-2\times X \times 1)+1\\
			&= (X^2 -2\times X\times 1 +1^2-1^2)+1\\
			&= (X^2 -2\times X \times1 +1^2 ) -1^2+1\\
			&= (X-1)^2
			\end{align*}
			
			{\color{orange}On pouvait aussi remarquer immédiatement une identité remarquable.}
			
			\begin{conclusion}
				
				$a=1$, $\alpha=1$ et $\beta=0$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item \objectif{Écrivons $P$ sous forme canonique.}
			
			\begin{align*}
			P(X) &=-7X^2+4X+3\\
			&= -7(X^2+2X)+3\\
			&= -7(X^2+2\times X \times 1)+3\\
			&= -7(X^2 +2\times X \times 1 +1^2-1^2) +3\\
			&= -7(X^2+2\times X \times 1 +1^2 )-7\times(-1^2)+3\\
			&= -7(X+1)^2+10
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$a=-7$, $\alpha=-1$ et $\beta=10$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{exercicecorrection}
\end{correction}

\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}
	
	Donnez la forme canonique de $P(X)=-2x^2-4x-14$ (en utilisant les formules pour $\alpha$ et $\beta$).
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$P$ est un polynôme de degré deux donné sous forme développée avec $a=-2$, $b=-4$ et $c=-14$.
	
	\medskip
	\objectif{Déterminons les coefficients de la forme canonique.}
	
	\[ \alpha =\frac{-b}{2a}=\frac{-(-4)}{2\times(-2)}=-1 \]
	
	et 
	
	\begin{align*}
	\beta &= P(\alpha)\\
	\intertext{\color{orange}Pour calculer $P(\alpha)$ on utilise la forme développée}
	&{\color{orange}= -2\alpha^2-4\times \alpha-14}\\
	&{\color{orange}= -2\times (-1)^2-4\times (-1) -14}\\
	&= -12
	\end{align*}
	
	D'où
	\begin{align*}
	P(X) &= a(X-\alpha)^2+\beta\\
	&= -2(X-(-1))^2+(-12)
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		$P(X)=-2(X+1)^2-12$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}
	
	
\end{exerciceapplication}

\subsubsection{Les racines grâce à la forme canonique.}

\begin{lecon}
	
	La rédaction que nous allons voir dans les deux exercices qui suivent n'est pas belle et ne doit pas être reproduite, notamment la fin du raisonnement qui devrait se faire avec une identité remarquable.
	
\end{lecon}

\begin{recherche}{}
	
	Recherchez les racines du trinôme $P(X)=-3(X-1)^2+12$ en résolvant l'équation $P(x)=0$.
	
	\begin{align*}
	-3(x-1)^2+12& =0\\
	-3(x-1)^2+12 \makebox[1.6cm]{\dotfill}& =0 \makebox[1.6cm]{\dotfill}\\
	-3(x-1)^2 &= \makebox[1.6cm]{\dotfill}\\
	\frac{-3(x-1)^2}{\makebox[1.6cm]{\dotfill} } &= \frac{\makebox[1.6cm]{\dotfill}}{\makebox[1.6cm]{\dotfill}}\\
	(x-1)^2 &= \makebox[1.6cm]{\dotfill}
	\end{align*}
	
	donc:
	
	\noindent \begin{tabular}{m{5.5cm}|m{5.5cm}}
		
		$\begin{aligned}
		x-1 &=& \makebox[1.6cm]{\dotfill} \\
		x-1 \makebox[1.6cm]{\dotfill} &=& \makebox[1.6cm]{\dotfill}\\
		x &= & \makebox[1.6cm]{\dotfill}
		\end{aligned}$
		
		&
		
		$\begin{aligned}
		x-1 &=& \makebox[1.6cm]{\dotfill} \\
		x-1 \makebox[1.6cm]{\dotfill} &=&  \makebox[1.6cm]{\dotfill}\\
		x &= & \makebox[1.6cm]{\dotfill}
		\end{aligned}$
		\\ 
	\end{tabular}
	
	Conclusion:
	\vspace{1cm}
	
	\begin{notabene}
		
		Regarder la forme de la courbe avec la calculatrice.
		
	\end{notabene}
	
\end{recherche}

\begin{recherche}{}
	
	Recherchez les racines du trinôme $P(X)=2(X+3)^2+8$ en résolvant l'équation $P(x)=0$ dans $\mathbb{R}$.
	
	\begin{align*}
	2(x+3)^2+8 &= 0\\
	2(x+3)^2+8 \makebox[1.6cm]{\dotfill} &= 0 \makebox[1.6cm]{\dotfill}\\
	2(x+3)^2 &= \makebox[1.6cm]{\dotfill}
	\end{align*}
	
	Conclusion:
	\vspace{1cm}
	
	\begin{notabene}
		
		Là encore on regarde sur la calculatrice la forme de la courbe et surtout les racines.
		
	\end{notabene}
	
\end{recherche}

\begin{lecon}
	
	La démarche vue dans les deux exercices précédents se généralise.
	
	La forme canonique  de la fonction  $P(x)= ax^2+bx+c$ est: \[ P(X)= a\left( X-\frac{-b}{2a} \right) ^2 -\frac{b^2-4ac}{4a}. \]
	
	En résolvant l'équation comme on l'a fait précédemment: \[ \left( x-\frac{-b}{2a} \right) ^2 =\frac{b^2-4ac}{4a^2}. \]
	
	Pour pouvoir prendre la racine carré des deux côtés de l'égalité il faut d'abord s'assurer qu'il s'agit de nombres positifs.
	
	Pour cela je cherche le signe du nombre  $b^2-4ac$ qui est appelé \emph{\color{purple}discriminant} et est noté {\color{purple}$\Delta$}. \[ \color{purple} \Delta =b^2-4ac \]
	
	\medskip
	S'il existe des racines elles sont alors données par les formules:
	
	\[ \color{purple} x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \]
	
\end{lecon}

\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}
	
	Déterminez les solutions réelles de l'équation $-3x^2-6x+24=0$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}
	\objectif{Déterminons les solutions de l'équation.}
	
	\begin{enumerate}[\color{orange} 1.]
		\item {\color{orange}Nature de l'équation.}
		
		$P(X)=-3X^2-6X+24$ est un polynôme du second degré: $a=-3$, $b=-6$ et $c=24$.
		\item {\color{orange}Calcul du discriminant.}
		
		\begin{align*}
		\Delta &= b^2 -4ac\\
		&= (-6)^2-4\times (-3) \times 24\\
		&= 324
		\end{align*}
		
		Comme $\Delta$ est \underline{strictement} positif l'équation admet deux solutions distinctes.
		
		\item {\color{orange}Calcul des solutions.}
		
		\noindent 
		\begin{tabularx}{\linewidth}{X|X}
			$ \begin{aligned}
			x_1 &= \frac{-b{\color{red}-}\sqrt{\Delta}}{2a}\\
			x_1 &= \frac{-(-6)-\sqrt{324}}{2\times (-3)}\\
			x_1 &= 2
			\end{aligned}$
			&
			$ \begin{aligned}
			x_2 &= \frac{-b{\color{red}+}\sqrt{\Delta}}{2a}\\
			x_2 &= \frac{-(-6)+\sqrt{324}}{2\times (-3)}\\
			x_2 &= -4
			\end{aligned}$
			
		\end{tabularx}
		
		\item {\color{orange}Conclusion.}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de l'équation $-3x^2-6x+24=0$ est $\mathcal{S}=\{ -4;2\}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}
	
	Déterminez, si possible, la forme factorisée de $P(X)= 2X^2+24X+72$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\objectif{Déterminons les racines de $f$.}
	
	\begin{enumerate}[\color{orange} 1.]
		\item {\color{orange}Nature de la fonction.}
		
		Il s'agit d'un polynôme de degré deux avec: $a= 2 $, $b= 24$ et $c=72$.
		
		\item {\color{orange}Calcul du discriminant.}
		
		\begin{align*}
		\Delta &= b^2 -4ac\\
		&= 24^2-4\times 2\times 72\\
		&=  0
		\end{align*}
		
		Comme $\Delta$ est  nul  l'équation admet une solution (double).
		
		\item {\color{orange}Calcul de la solution.}
		
		\begin{align*}
		\color{purple}x_0 &= \color{purple}\frac{-b}{2a}\\
		x_0 &= \frac{ -24}{ 2\times 2 } \\
		x_0 &=  -6 
		\end{align*}
		
		\item {\color{orange}Conclusion.}
		
	\end{enumerate}
	
	\begin{conclusion}
		
		La forme factorisée de $P$ est donc \[ P(X)=2(X+6)^2. \]
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}
	
	Déterminez les éventuels zéros de la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f:x\mapsto x^2+x+1$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}[\color{orange} 1.]
		
		\item {\color{orange}Nature de la fonction.}
		
		$X^2+X+1$ est un polynôme de degré deux avec: $a=1 $, $b= 1 $ et $c= 1 $.
		
		\item {\color{orange}Calcul du discriminant.}
		
		\begin{align*}
		\Delta &= b^2 -4ac\\
		&= 1^2-4\times 1\times 1 \\
		&=  -3
		\end{align*}
		
		Comme $\Delta$ est  strictement négatif le polynôme n'admet aucune racine.
		
		\item {\color{orange}Conclusion.}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des zéros de $f$ est $\mathcal{S}=\emptyset$.	
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\subsection{Application à l'étude du signe d'une fonction polynomiale de degré deux.}

\begin{lecon}
	
	{\color{orange}Pour étudier le signe d'une fonction polynomiale de degré deux nous privilégierons la forme factorisée.} Si $f:x \mapsto a(x-x_1)(x-x_2)$ alors $x_1$ et $x_2$ sont les abscisses des points d'intersection de la parabole et de l'axe des abscisses.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.75]
		\draw[ ->,thick] (-4, 0) -- (2, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,thick] (0, -2) -- (0, 2) node[above]{$y=f(x)$};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=-3:1] plot(\x,{(\x +1 )^2-2});
		\draw[blue] ({-1- sqrt(2)},0) node[below left] {$x_1$};
		\draw[blue] ({-1+ sqrt(2)},0) node[below right] {$x_2$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{lecon}

\subsubsection{Utiliser la forme factorisée.}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Cas deux racines distinctes.
		
	\end{notabene}
	
	Étudiez le signe de la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f:x\mapsto -2(x-2)(x+3)$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\objectif{Dressons le tableau de signe de $f$.}
	
	$f$ est une fonction polynomiale de degré deux donnée sous forme factorisée avec $a=-2$, $x_1=2$ et $x_2=-3$.
	
	$f$ est donc du signe de $a<0$ sauf entre ses racines.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f(x)$ /0.8}
		{$-\infty$ ,$-3$, $2$, $+\infty$}
		\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}%
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}

\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Cas une racine double.
		
	\end{notabene}
	
	Étudiez le signe de la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=7(x+3)^2$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\objectif{Dressons le tableau de signe de $g$.}
	
	$g$ est une fonction polynomiale de degré deux donnée sous forme factorisée avec $a=7$, $x_1=-3$ et $x_2=-3$.
	
	$g$ est donc du signe de $a>0$ sauf entre ses racines.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f(x)$ /0.8}
		{$-\infty$ ,$-3$, $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,z,+,}%
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Cas pas de racines.
		
	\end{notabene}
	
	Dressez le tableau de signe de la fonction $h$ définie par $h(x)=-x^2-1$ pour tout $x$ réel.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\objectif{Démontrons que $h$ est strictement négative.}
	
	Soit $x \in \mathbb{R}$.
	
	Nous avons successivement
	
	\begin{align*}
		x^2 &\geqslant 0\\
		-x^2 &\leqslant 0\\
		-x^2-1 <0\\
		h(x) &<0
	\end{align*}
	
	Ainsi pour tout $x \in \mathbb{R}$, $h(x)<0$.
	
	\begin{conclusion}
		
		$h$ est strictement négative.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Signe du trinôme dans le cas général.}

\begin{lecon}
	
	L'observation géométrique sur geogebra (\href{https://www.geogebra.org/m/YTrtW7MS}{en ligne} ou \href{http://unemainlavelautre.no-ip.biz/1ieme_esl/1ieme_algebre_02_equations_polynomiales_de_degre_deux_01_signe_du_trinome.ggb}{en téléchargement}) fait apparaître la formule mnémotechnique déjà vue reste valable: { \color{purple} un trinôme est du signe de son coefficient dominant sauf entre les éventuelles racines.}
	
	\medskip
	Nous avons déjà justifié ce résultat lorsqu'il existe une forme factorisée. Justifions brièvement pourquoi ce résultat reste valable lorsque le trinôme n'a pas de racines.
	
	La forme canonique pour un trinôme $f$ est 
	
	\begin{align*}
		f(x) &= a \left( x-\frac{-b}{2a} \right) ^2 -\frac{\Delta}{4a}\\
		&= a \left[ \left( x-\frac{-b}{2a} \right) ^2 -\frac{\Delta}{4a^2} \right]
	\end{align*}
	
	Si $\Delta<0$, alors $\left( x-\frac{-b}{2a} \right) ^2 -\frac{\Delta}{4a^2}>0$ et donc $f$ est du signe de $a$.
	
\end{lecon}

\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}
	
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			Que pouvez-vous dire des coefficients $a$, $x_1$ et $x_2$ de la forme factorisée de la fonction $f$ polynomiale de degré deux représentée ci-contre.
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
				\def\xY{-2};
				\def\yY{-2};
				\def\xZ{5};
				\def\yZ{5};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
				\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
				\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
				\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \x};
				\foreach \y in {1} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \y};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=-2:5] plot(\x,{0.2*(\x +1)*(\x -3)});
				\draw(3.5,-1)node[fill=white]{$\mathscr{C}_f$};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{minipage}
		
	\end{tabularx}	
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item {\color{orange}Comme nous l'avons déjà remarqué (sans démonstration) puisque} la parabole est orientée vers le haut, le coefficient dominant est strictement positif.
		
		{\color{orange}Sans calculs il est impossible d'en dire plus.}
		
		\item {\color{orange}Les zéros de la fonction sont les abscisses des points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses donc:} \[ x_1=-1 \quad \text{et} \quad x_2=3. \]
		
		{\color{orange}On pouvait tout aussi bien choisir $x_1=3$ et $x_2=-1$.}
		
		\item {\color{orange}Si nous souhaitons obtenir une valeur pour $a$ il nous faut des informations supplémentaires. Pour cela utilisons les coordonnées d'un point de la courbe.}
		
		D'après ce qui précède la forme factorisée de $f$ sera: $f(x)=a(x+1)(x-3)$.
		
		Comme $A(4;1) \in \mathscr{C}_f$, 
		
		\begin{align*}
			f(4) &= 1\\
			\intertext{ce qi équivaut successivement à:}
			a(4+1)(4-3) &= 1\\
			5a &= 1\\
			a &= \frac{1}{5}
		\end{align*}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}{}
	
	Dressez le tableau de signe de 
	
	\begin{enumerate}
		
		\item la fonction $\ell$ définie sur $[-10;10]$ par $\ell(x)=x+1$ pour tout $x\in [-10;10]$,
		
		\item la fonction $f$ définie sur $[-10;10]$ par $f(x)=3x^2-24x+48$ pour tout $x\in [-10;10]$,
		
		\item la fonction $g$ définie sur $[-5;3]$ par $g(x)=x^2+x-2$ pour tout $x\in [-5;3]$,
		
		\item la fonction $h$ trinôme définie pour tout $x\in [ -2 ; 2]$ par $h(x)=-x^2+4x-3$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item \objectif{Dressons le tableau de signe de $\ell$.}
		
		{\color{orange}Ce n'est pas parce que vous avez un marteau qu'il y a des clous partout: il ne s'agit pas d'une fonction polynomiale de degré deux.}
		
		$\ell:x \mapsto x+1$ est une fonction affine avec $m=1$ et $p=1$. $m>0$ donc $\ell$ est strictement croissante. $\ell$ s'annule en $-\frac{p}{m}=-\frac{1}{1}=-1 $.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $\ell(x)$ /0.8}
			{$-10$ ,$-1$, $10$}
			\tkzTabLine{,-,z,+,}%
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item 	\objectif{Dressons le tableau de signe de $f$.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			
			\item $f$ est une fonction polynomiale de degré deux donnée sous forme développée avec $a=3$, $b=-24$ et $c=48$.
		
			\item 
			
			\begin{align*}
				\Delta &= b^2-4ac\\
				&= (-24)^2-4 \times 3 \times 48\\
				&= 0
			\end{align*}
			
			$\Delta =0$ donc $f$ admet une racine double.
			
			\item 			
			
			\begin{align*}
				x_0 &= \frac{-b}{2a}\\
				x_0 &= \frac{-(-24)}{2\times 3}\\
				x_0 &= 4
			\end{align*}
			
			\item Le trinôme $f$ est du signe de $a>0$ sauf entre ses racines.
			
			\begin{center}
				
				\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f(x)$ /0.8}
				{$-10$ ,$4$, $10$}
				\tkzTabLine{,+,z,+,}%
				\end{tikzpicture}
				
			\end{center}
			
		\end{enumerate}
		
		\item \objectif{Dressons le tableau de signe de $g$.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			
			\item $g$ est une fonction polynomiale de degré deux donnée sous forme développée avec $a=1$, $b=1$ et $c=-2$.
			
			\item 
			
			\begin{align*}
			\Delta &= b^2-4ac\\
			&= 1^2-4 \times 1 \times (-2)\\
			&= 9
			\end{align*}
			
			$\Delta >0$ donc $g$ admet deux racines distinctes.
			
			\item 			
			
			\noindent 
			\begin{tabularx}{\linewidth}{X|X}
				$ \begin{aligned}
				x_1 &= \frac{-b{\color{red}-}\sqrt{\Delta}}{2a}\\
				x_1 &= \frac{-1-\sqrt{9}}{2\times 1}\\
				x_1 &= -2
				\end{aligned}$
				&
				$ \begin{aligned}
				x_2 &= \frac{-b{\color{red}+}\sqrt{\Delta}}{2a}\\
				x_2 &= \frac{-1+\sqrt{9}}{2\times 1}\\
				x_2 &= 1
				\end{aligned}$
				
			\end{tabularx}
			
			\item Le trinôme $g$ est du signe de $a>0$ sauf entre ses racines.
			
			\begin{center}
				
				\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $g(x)$ /0.8}
				{$-5$ ,$-2$, $1$, $3$}
				\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}%
				\end{tikzpicture}
				
			\end{center}
			
		\end{enumerate}
		
		\item \objectif{Étudions le signe de $h$ sur $[-2;2]$.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			
			\item $h(X)$ est un polynôme de degré deux, donné sous forme développée avec: $a=-1$, $b=4$ et $c=-3$.
			
			$x_1=1$ est clairement racine de $h(X)$. Nous en déduisons par équivalences successives:
			
			\begin{align*}
				x_1x_2 &= \frac{c}{a}\\
				1 \times x_2 &= \frac{-3}{-1}\\
				x_2 &= 3
			\end{align*}
			
			\item Le trinôme $h$ est du signe de son coefficient dominant $a<0$ saut entre ses racines donc
			
			\begin{center}
				
				\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $h(x)$ /0.8}
				{$-2$ ,$1$, $2$}
				\tkzTabLine{,-,z,-,}%
				\end{tikzpicture}
				
			\end{center}
			
			\medskip
			{\color{orange}Si vous avez du mal à voir ce qui ses passe voici une présentation alternative dans laquelle on considère que $h$ est définie sur $\mathbb{R}$.}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $h$ /0.8}
			{$-\infty$ ,$-2$, $1$, $2$, $3$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,t,+,z,-,}%
			\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M10) rectangle (M42);
			\end{tikzpicture}
						
		\end{enumerate}		
			
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}
	
	Soit $f:x\mapsto -2x^2-4x+6$ définie sur $[-7;10]$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminez les racines de $f$.
		\item Étudiez le signe de $f$ sur $[-7;10]$.
		\item Résolvez dans $[-7;10]$ l'inéquation \[ (E):\quad -2x^2-4x+6 >0 .\]
	\end{enumerate}
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}
	
	
	\begin{enumerate}
		\item \objectif{déterminons les racines de $f(X)$.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			
			\item $f(X)$ est un trinôme de de degré deux donné sous forme développée avec $a=-2$, $b=-4$ et $c=6$.
						
			\item Clairement $1$ et $-3$ sont des racines de $f(X)$.
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			l'ensemble des racines de $f(X)$ est $\{ 1;-3 \}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Étudions le signe de $f$ sur $[-7;10]$.}
		
		$f$ est une fonction polynomiale de degré deux donc elle est du signe de son coefficient dominant $a<0$ sauf entre ses racines donc:
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f$ /0.8}
			{$-7$ ,$-3$, $1$, $10$}
			\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}%
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item D'après le précédent tableau de signe:
		
		\begin{conclusion}
			
			l'ensemble des solutions de $(E)$ est $\mathscr{S}=]-3;1[$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}


\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}
	
	Résolvez l'inéquation $2x^2-220x+2000 >0$ dans $\mathbb{R}$.
	
	\emph{Se ramener à l'étude du signe d'une fonction judicieusement choisie.}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$\Delta=32400$, $x_1=10$, $x_2=100$.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f$ /0.8}
		{$-\infty$ ,$10$, $100$, $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}%
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
	$\mathscr{S}=]-\infty ;10 [ \cup ]100;+\infty[$.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}
	
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			Sachant que le coefficient dominant de la fonction polynomiale de degré deux $f$, représentée ci-contre, est $\frac{1}{2}$, donnez sans justification la forme factorisée de $f$.
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
				\def\xY{-2};
				\def\yY{-2};
				\def\xZ{5};
				\def\yZ{5};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
				\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
				\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
				\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \x};
				\foreach \y in {1} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \y};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=-2:5] plot(\x,{0.5*(\x -0)*(\x -3)});
				\draw(3.5,-2)node[fill=white]{$\mathscr{C}_f$};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{minipage}
		
	\end{tabularx}	
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}
	
	$f(X)=\frac{1}{2}X(X-3)$.
	
\end{exercicecorrection}

\subsection{Application à l'étude des variations d'une fonction polynomiale de degré deux.}

\begin{notabene}
	
	Rappel de la définition analytique de la croissance d'une fonction et son interprétation graphique.
	
\end{notabene}

\begin{exercice}{}
	
	{\color{orange}Rappelons la définition suivante: une fonction définie sur un intervalle $I$ (non vide) est strictement croissante si et seulement si: quelque soient $x$ et $y$ choisis dans $I$ on a $f(x)<f(y)$. Ce que l'on exprime parfois en disant que les fonctions croissantes conservent l'ordre.}
	
	\medskip
	On étudie le sens de variation sur $]  -\infty ; 3 ]$ de la fonction $f$ définie par  $ f(x)=(x-3)^2-5$.
	
	Recopier et compléter en justifiant chaque étape.
	
	Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a<b\leqslant 3$. 
	
	\begin{center}
		
		$a-3 \ldots b-3 \ldots 0$
		
		$(a-3)^2 \ldots (b-3)^2 $
		
		$(a-3)^2-5 \ldots (b-3)^2-5 $
		
		$f(a) \ldots f(b)$
		
		Donc $f$ est \ldots sur \ldots 
		
	\end{center}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	
	\begin{center}
		
		$a-3 < b-3 \leqslant 0$
		
		$(a-3)^2 > (b-3)^2 $ car la fonction carré est strictement décroissante sur $\mathbb{R}_-$.
		
		$(a-3)^2-5 > (b-3)^2-5 $
		
		$f(a) > f(b)$
		
		Donc $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty ;3]$.
		
	\end{center}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{proposition}{}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $a\in \mathbb{R}^*$,
		\item $\alpha$, $\beta \in \mathbb{R}$,
		\item $f:x \mapsto a(x-\alpha)^2+ \beta$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Si $a>0$ alors le tableau de variation de $f$ est
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f$ /1.6}
		{$-\infty$ ,$\alpha$, $+\infty$}
		\tkzTabVar {+/ , -/ $\beta$ , + / / }
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	Supposons $a>0$.
	
	Nous allons raisonner par disjonction des cas en démontrant d'abord que $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty ,\alpha]$.
	
	\medskip
	Soient $x$ et $y$ des nombres pris dans $]-\infty, \alpha]$ avec $x<y$.
	
	{\color{orange}Nous voulons montrer que $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty , \alpha]$ il faut donc montrer que $f$ interverti l'ordre sur cet ensemble.}
	
	\medskip
	\objectif{Démontrons que $f(x)>f(y)$.}
	
	\begin{align*}
	x &< y
	\intertext{implique successivement}
	x-\alpha &< y-\alpha \\
	(x-\alpha)^2 &> (y-\alpha)^2 \quad \text{ car $x \mapsto x^2$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}_-$}\\
	a(x-\alpha)^2 &> a(y-\alpha)^2 \quad \text{ car } a>0\\
	a(x-\alpha)^2+\beta &> a(y-\alpha)^2+\beta\\
	f(x) &> f(y)
	\end{align*}
	
	Ainsi nous avons démontré que quelque soient $x$ e $y$ choisis dans $]-\infty,\alpha]$, dès que $x<y$ alors forcément $f(x)>f(y)$.
	
	Autrement dit
	
	\begin{conclusion}
		
		$f$ est strictement décroissante sur $]-\infty,\alpha]$.
		
	\end{conclusion}
	
	\medskip
	De la même façon nous démontrerions que $f$ est strictment croissante sur $[\alpha,+\infty[$.
	
\end{preuve}

\begin{preuve}
	
	{\color{orange}Voici une autre démonstration du même résultat.}
	
	\medskip
	\objectif{Montrons que $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty \ ;\ \alpha [$.}
	
	
	Soient $x<y$ deux nombres choisis dans $]-\infty \ ;\ \alpha [$.\newline
	Montrons donc que $f(y)-f(x)<0$.\newline
	Pour déterminer le signe d'une quantité il faut essayer de la factoriser.
	{\begin{align*}
		f(y)-f(x) &= a(y-\alpha)^2+\beta -[a(x-\alpha)^2+\beta ]\\
		&=a(y-\alpha)^2 -a(x-\alpha)^2\\
		\intertext{On factorise par $a$:}
		f(y)-f(x) &= a[(y-\alpha)^2 -(x-\alpha)^2]\\
		\intertext{On reconnaît une identité remarquable qui permet de factoriser:}
		f(y)-f(x) &= a\left( [(y-\alpha)-(x-\alpha)]\times [(y-\alpha)+(x-\alpha)] \right)\\
		&= a\left( [y-x]\times [y+x-2\alpha ] \right)\\
		\end{align*} }
	Par hypothèse $a>0$ et $y-x>0$ donc $f(y)-f(x)$ est du même signe que $y+x-2\alpha$. Or $x$ et $y$ appartiennent à $]-\infty \ ;\ \alpha [$, donc: $$\left\{\begin{array}{l} x-\alpha <0\\ y-\alpha <0\\ \end{array}\right.$$ et donc $x+y-2\alpha <0$.
	
	Ainsi $f(y)-f(x)<0$. Donc $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty \ ;\ \alpha [$.
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item On déduit du tableau de variation que, si $a>0$, les fonctions polynomiales de degré 2 admettent sur $\mathbb{R}$ un minimum absolu égal à $\beta$ qui est atteint pour $x=\alpha$.
		\item Si $a<0$, alors les variations de $f$ sont contraires.
		\item Les fonctions polynomiales de degré 2 admettent toujours un extremum. Si $a<0$, alors $\beta$ est un maximum.
		\item L'axe de symétrie de la parabole a pour équation $x=\alpha$.
		
		\item Nous avons un résultat symétrique lorsque $a<0$.
		
		\item Ce résultat illustre l'efficacité de la forme canonique qui permet de trouver le tableau de variation d'une fonction polynomiale de degré deux.
		
		\item Nous remarquons en particulier que le point de coordonnées $(\alpha;\beta)$ de la parabole, que nous appellerons \emph{\color{purple}le sommet de la parabole}, correspond à un minimum ou à un maximum de la fonction définie sur $\mathbb{R}$.
		
		\item Le résultat théorique étant démontré voyons maintenant comment, dans la pratique, trouver le tableau de variation en raisonnant géométriquement. 
		
		\begin{itemize}
			\item Le signe de $a$ nous indique si la parabole est orientée vers le haut ou vers le bas donc le sens des flèches dans le tableau de variation.
			
			\item La valeur de $\alpha$ correspond à la valeur de $x$ pour laquelle la fonction change de sens de variation.
			
			\item $\beta$ est l'image de $\alpha$ par $f$.
			
		\end{itemize}
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}
	
	Donnez les tableaux de variation sur l'intervalle $I$ des fonctions définies par leur expression algébrique et précisez leurs éventuels extrema.
	
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout $x$ de $I=\mathbb{R}$, $f(x)= -3(x+4)^2-7$.
		\item Quelque soit $x$ choisi dans $I=[-5\ ;\ 5]$, $g(x)=-8x+4x^2+7$.
		\item $I=] -\infty \ ;\ 4]$ et: $\forall x\in I,\ h(x)=(x+3)^2-(x-5)^2$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item \objectif{Déterminons le tableau de variation de $f$.}
		
		$f$ est une fonction polynomiale de degré 2 donnée sous forme canonique avec $a=-3$, $\alpha=-4$ et $\beta =-7$.
		
		Comme $a<0$ la parabole est orientée vers le bas.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.8 , espcl=1.6]{$x$/0.8, Variations \\ de $f$/1.6}{ $-\infty$ , $-4$ , $+\infty$ }
			\tkzTabVar{ -/  ,+/ $-7$, -/ }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			D'après le tableau $f$ admet un maximum absolu égale à $-7$ obtenu pour $x=-4$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item La fonction $g$ est polynomiale de degré 2 donnée sous forme développée. 
		
		\medskip
		\objectif{Recherchons la forme canonique de $g$.}
		
		
		\[ \alpha=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-8)}{2\times 4}=1 \]
		et
		\[\beta =g(\alpha )=g(1)=3 \]
		
		\begin{conclusion}
			
			Donc pour tout $x\in\mathbb{R}$: $g(x)=4(x-1)^2+3$.
			
		\end{conclusion}
		
		\objectif{Tableau de variation.}
		
		Comme $a>0$ la parabole est orientée vers le haut et
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.8 , espcl=1.6]{$x$/0.8, Variations \\ de $g$/1.6}{ $-5$ , $1$ , $5$ }
			\tkzTabVar{ +/ $147$  ,-/ $3$, +/ $67$ }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		{\color{orange}car $g(-5)=147$ et $g(5)=67$.}
		
		D'après le tableau
		
		\begin{conclusion}
			
			$g$ admet un minimum absolu égale à $-7$ obtenu pour $x=-4$ et $g$ admet un maximum absolu égale à $147$ qui est atteint pour $x=-5$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item {\color{orange}$h$ n'est \emph{a priori} pas une fonction polynomiale de degré deux puisque n'est donnée ni sous forme développée ni sous forme canonique.} 
		
		\medskip	
		\objectif{Identifions la nature de $h$.}
		
		En développant on obtient, pour tout $x\in I$: $h(x)= 16x+36$. 
		
		\begin{conclusion}
			
			$h$ est une fonction affine.
			
		\end{conclusion}
		
		\objectif{Tableau de variation.}
		
		$h$ est une fonction affine dont le  coefficient directeur est $a=16>0$ donc:
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.8 , espcl=1.6]{$x$/0.8, Variations \\ de $h$/1.6}{ $-\infty$  , $4$ }
			\tkzTabVar{ -/   , +/ $100$ }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		car $h(4)=100$.
		
		\begin{conclusion}
			
			$h$ admet un maximum absolu égale à $100$ qui est atteint pour $x=4$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\exclure{exercicecorrection}\exclure{preuve}\exclure{remarques}\exclure{exemples}%papi

\subsection{Exercices.}

\begin{exerciceapplication}
	
	Donnez la forme factorisée des expressions polynomiales de degré deux suivantes:
	
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{Xm{1cm}X}
		
		\begin{enumerate}
			\item $f_1(x)=49x^2-4$.
			\item $f_2(x)=-3x^2+3x$.
			\item $f_3(x)=4x^2-8x$.
		\end{enumerate}
		&&
		\begin{enumerate}
			\setcounter{enumi}{3}
			\item $f_4(x)=3x^2+30x+75$.
			\item $f_5(x)=(4x-1)+(4x-1)(x+2)$.
			\item $f_6(x)=x^2-4x+4$.
		\end{enumerate}
		
	\end{tabularx}
	
\end{exerciceapplication}

\begin{correction}
	
	\begin{exercicecorrection}
		
		\noindent
		\begin{tabularx}{\linewidth}{Xm{1cm}X}
			
			\begin{enumerate}
				\item $f_1(x)=(7x-2)(7x+2)= 49\left( x- \frac{2}{7} \right) \left( x+\frac{2}{7} \right)$.
				\item $f_2(x)=-3x(x-1)$.
				\item $f_3(x)=4x(x-2)$.
			\end{enumerate}
			&&
			\begin{enumerate}
				\setcounter{enumi}{3}
				\item $f_4(x)=3(x+5)^2$.
				\item $f_5(x)=(4x-1)(x+3)= 4 \left( x- \frac{1}{4} \right) (x+3)$.
				\item $f_6(x)=(x-2)^2$.
			\end{enumerate}
			
		\end{tabularx}
		
	\end{exercicecorrection}
	
\end{correction}

\begin{exerciceapplication}
	
	Donnez la forme factorisée des expressions polynomiales de degré deux suivantes:
	
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{Xm{0.5cm}X}
		
		\begin{enumerate}
			\item $f_1(x)=6x-3x^2$.
			\item $f_2(x)=-9x^2+36$.
			\item $f_3(x)=4x^2-8x+8$.
		\end{enumerate}
		&&
		\begin{enumerate}
			\setcounter{enumi}{3}
			\item $f_4(x)=-x^2-2x-1$.
			\item $f_5(x)=2(x-3)-(x-4)(x-3)$.
			\item $f_6(x)=(x+2)^2-8$.
		\end{enumerate}
		
	\end{tabularx}
	
\end{exerciceapplication}

\begin{correction}
	
	\begin{exercicecorrection}
		
		\noindent
		\begin{tabularx}{\linewidth}{Xm{0.5cm}X}
			
			\begin{enumerate}
				\item $f_1(x)=-3x(x-3)$.
				\item $f_2(x)=(6-3x)(6+3x)=-9(x-2)(x+2)$.
				\item $f_3(x)=2(x-2)(x+2)$.
			\end{enumerate}
			&&
			\begin{enumerate}
				\setcounter{enumi}{3}
				\item $f_4(x)=-(x+1)^2$.
				\item $f_5(x)=-(x-3)(x-6)$.
				\item $f_6(x)=(x-2)(x+6)$.
			\end{enumerate}
			
		\end{tabularx}
		
	\end{exercicecorrection}
	
\end{correction}

\begin{exerciceapplication}
	
	Donnez la forme factorisée des expressions polynomiales de degré deux suivantes:
	
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{Xm{0.5cm}X}
		
		\begin{enumerate}
			\item $f_1(x)=(2x+1)^2-(1-x)^2$.
			\item $f_2(x)=x^2-20x+100$.
			\item $f_3(x)=25-(x+1)^2$.
		\end{enumerate}
		&&
		\begin{enumerate}
			\setcounter{enumi}{3}
			\item $f_4(x)=4x^2+4+8x$.
			\item $f_5(x)=16(x+1)^2-25x^2$.
			\item $f_6(x)=16x^2-81$.
		\end{enumerate}
		
	\end{tabularx}
	
\end{exerciceapplication}

\begin{correction}
	
	
	\begin{exercicecorrection}
		
		Donnez la forme factorisée des expressions polynomiales de degré deux suivantes:
		
		\noindent
		\begin{tabularx}{\linewidth}{Xm{0.5cm}X}
			
			\begin{enumerate}
				\item ~
				
				$\begin{aligned}
				f_1(x) &= \left[ (2x+1)-(1-x) \right] \times \\
				&~ \qquad \left[ (2x+1) +(1-x) \right]\\
				&= 3 x(x+2)
				\end{aligned}$
				
				\item $f_2(x)=(x-10)^2$.
				\item ~
				
				$\begin{aligned}
				f_3(x) &= \left[ 5- (x+1) \right] \left[ 5+ (x+1) \right]\\
				&= (-x+4)(x+6)\\
				&= -(x-4)(x+6)
				\end{aligned}$
				
			\end{enumerate}
			&&
			\begin{enumerate}
				\setcounter{enumi}{3}
				
				\item $f_4(x)=4(x+1)^2$.
				
				\item ~
				
				$\begin{aligned}
				f_5(x) &= \left[ 4(x+1)-5x \right] \left[ 4(x+1)+5x \right]\\
				&= (-x+4)(9x+4)\\
				&= -9 \left( x-4 \right) \left( x+ \frac{4}{9} \right)
				\end{aligned}$
				
				\item ~
				$\begin{aligned}
				f_6(x) &= (4x-9)(4x+9)\\
				&= 16 \left( x -\frac{9}{4} \right) \left( x+ \frac{9}{4} \right)
				\end{aligned}$
				
			\end{enumerate}
			
		\end{tabularx}
		
	\end{exercicecorrection}
	
\end{correction}

\begin{exerciceapplication}
	
	Donnez la forme factorisée des expressions polynomiales de degré deux suivantes:
	
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{Xm{0.5cm}X}
		
		\begin{enumerate}
			\item $f_1(x)=x^2-4+(x-2)(x+1)$.
			\item $f_2(x)=3x^2-12x+12$.
			\item $f_3(x)=(x+1)(x+2)-(3x+6)$.
		\end{enumerate}
		&&
		\begin{enumerate}
			\setcounter{enumi}{3}
			\item $f_4(x)=x^2-2x +3x^2$.
			\item $f_5(x)=2x(x+3)+4x+12$.
			\item $f_6(x)=(x-3)(3x-4)-3x+4$.
		\end{enumerate}
		
	\end{tabularx}
	
\end{exerciceapplication}

\begin{correction}
	\begin{exercicecorrection}
		
		Donnez la forme factorisée des expressions polynomiales de degré deux suivantes:
		
		\noindent
		\begin{tabularx}{\linewidth}{Xm{0.5cm}X}
			
			\begin{enumerate}
				\item ~
				
				$\begin{aligned}
				f_1(x)&=(x-2)(x+2) + (x-2)(x+1)\\
				&= (x-2) \left[ (x+2)+(x+1) \right]\\
				&= (x-2) (2x+3)\\
				&= 2(x-2) \left( x+ \frac{3}{2} \right)
				\end{aligned}$
				
				\item $f_2(x)=3(x-2)^2$.
				
				\item ~
				
				$\begin{aligned}
				f_3(x) &= (x+1)(x+2)-3(x+2)\\
				&= (x+2)(x-2)
				\end{aligned}$
				
			\end{enumerate}
			&&
			\begin{enumerate}
				\setcounter{enumi}{3}
				\item $f_4(x)=4x \left(x-\frac{1}{2}\right)$.
				\item ~
				
				$\begin{aligned}
				f_5(x) &= 2x(x+3)+4x+12\\
				&= 2x(x+3)+4(x+3)\\
				&= \left[ 2x+4 \right](x+3)\\
				&= 2(x+2)(x+3)
				\end{aligned}$
				
				\item ~
				
				$\begin{aligned}
				f_6(x) &= (x-3)(3x-4)-3x+4\\
				&= (3x-4) \left[ (x-3)-1 \right]\\
				&= (3x-4)(x-4)\\
				&= 3\left( x- \frac{4}{3} \right)(x-4)
				\end{aligned}$
				
			\end{enumerate}
			
		\end{tabularx}
		
	\end{exercicecorrection}
\end{correction}

\begin{exerciceapplication}
	
	Donnez la forme canonique de la fonction polynomiale de degré deux, $f$, lorsque, pour tout $x$ réel,
	
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{Xm{1cm}X}
		
		\begin{enumerate}
			\item $f(x)=2x^2-12x+19$.
			\item $f(x)=-3x^2+6x+1$.
			\item $f(x)=4x^2+8x+7$.
			\item $f(x)=2x^2-4x-3$.
			\item $f(x)= x^2-8x+23$.
		\end{enumerate}
		
		&&
		
		\begin{enumerate}
			\setcounter{enumi}{5}
			\item $f(x)=-x^2+2x-3$.
			\item $f(x)= 2x^2+8x+4$.
			\item $f(x)= 3x^2+30x$.
			\item $f(x)= x^2-2$.
			\item $f(x)= -4x^2 -8x -104$.
		\end{enumerate}
		
	\end{tabularx}
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}
	
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{Xm{1cm}X}
		
		\begin{enumerate}
			\item $f(x)=2(x-3)^2+1$.
			\item $f(x)=-3(x-1)^2+4$.
			\item $f(x)= 4(x+1)^2+3$.
			\item $f(x)= 2(x-1)^2-5$.
			\item $f(x)= (x-4)^2+7$.
		\end{enumerate}
		
		&&
		
		\begin{enumerate}
			\setcounter{enumi}{5}
			\item $f(x)= -(x-2)^2+1$.
			\item $f(x)= 2(x+2)^2-4$.
			\item $f(x)= 3(x+5)^2-75$.
			\item $f(x)= x^2-2$.
			\item $f(x)= -4(x+1)^2-100$.
		\end{enumerate}
		
	\end{tabularx}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}
	
	Donnez la forme canonique de la fonction polynomiale de degré deux, $f$, lorsque, pour tout $x$ réel,
	
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{Xm{1cm}X}
		
		\begin{enumerate}
			\item $f(x)=-3x^2-30x-102$.
			\item $f(x)=\frac{1}{2}x^2+x-\frac{5}{2}$.
			\item $f(x)=x^2-\frac{2}{3}x+\frac{37}{9}$.
			\item $f(x)=-x^2-14x-39$.
			\item $f(x)= x^2-12x+38$.
		\end{enumerate}
		
		&&
		
		\begin{enumerate}
			\setcounter{enumi}{5}
			\item $f(x)= \frac{1}{3}x^2 -\frac{1}{3}x+\frac{19}{84}$.
			\item $f(x)= \sqrt{2}x^2+4\sqrt{2}x+\sqrt{2}$.
			\item $f(x)= 3x^2+6\pi+3\pi^2+1$.
			\item $f(x)= x^2-2$.
			\item $f(x)= \sqrt{\pi}x^2-\frac{4\sqrt{\pi}}{3}x+\frac{4\sqrt{\pi}}{9}$.
		\end{enumerate}
		
	\end{tabularx}
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}	
	
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{Xm{1cm}X}
		
		\begin{enumerate}
			\item $f(x)=-3(x+5)^2-27$.
			\item $f(x)=\frac{1}{2}(x+1)^2-3$.
			\item $f(x)= \left(x-\frac{1}{3} \right)^2+4$.
			\item $f(x)= -(x+7)^2+10$.
			\item $f(x)= (x-6)^2+2$.
		\end{enumerate}
		
		&&
		
		\begin{enumerate}
			\setcounter{enumi}{5}
			\item $f(x)= \frac{1}{3}\left(x-\frac{1}{2} \right)^2+\frac{1}{7}$.
			\item $f(x)= \sqrt{2}(x+2)^2-3\sqrt{2}$.
			\item $f(x)= 3(x+\pi)^2+1$.
			\item $f(x)= -x^2$.
			\item $f(x)= \sqrt{\pi}\left(x-\frac{2}{3} \right)^2$.
		\end{enumerate}
		
	\end{tabularx}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}
	
	Résolvez les équations suivantes.
	
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{Xm{1cm}X}
		
		\begin{enumerate}
			\item $2x^2+24x+72=0$.
			\item $-x^2-12x=35$.
			\item $-2x^2+4x-3=0$.
			\item $-3x^2+3x+330=0$.
			\item $-4x^2+96x-576=0$.
		\end{enumerate}
		
		&&
		
		\begin{enumerate}
			\setcounter{enumi}{5}
			\item $x^2-8x=-23$.
			\item $x^2-17x+52=0$.
			\item $2x^2-18x+40=0$.
			\item $2x^2+28x+91=0$.
			\item $-3x^2+3x+126=0$.
		\end{enumerate}
		
	\end{tabularx}	
	
\end{exerciceapplication}

\begin{correction}
	
	\begin{exercicecorrection}	
		
		\noindent
		\begin{tabularx}{\linewidth}{Xm{1cm}X}
			
			\begin{enumerate}
				\item $2(x+6)^2$.
				\item $-(x+5)(x+7)$.
				\item $-2(x-1)^2-4$.
				\item $-3(x+10)(x-11)$.
				\item $-4(x-12)^2$.
			\end{enumerate}
			
			&&
			
			\begin{enumerate}
				\setcounter{enumi}{5}
				\item $(x-4)^2+7$.
				\item $(x-13)(x-4)$.
				\item $2(x-5)(x-4)$.
				\item $2(x+7)^2-7$.
				\item $-3(x-7)(x+6)$.
			\end{enumerate}
			
		\end{tabularx}
		
	\end{exercicecorrection}
	
\end{correction}

\begin{exerciceapplication}
	
	Résolvez dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes.
	
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{Xm{1cm}X}
		
		\begin{enumerate}
			\item $x^2+5x-6=0$.
			\item $x^2+x+2=0$.
			\item $-2x^2+3x+4=0$.
			\item $4x^2-12x+9=0$.
			\item $x^2-9x+20=0$.
		\end{enumerate}
		
		&&
		
		\begin{enumerate}
			\setcounter{enumi}{5}
			\item $2x^2-2x\sqrt{5} +3=0$.
			\item $3x^2+2x\sqrt{6}-1=0$.
			\item $4x^2-2x\sqrt{3}+3=0$.
			\item $x^2-x-\frac{1}{2}=0$.
			\item $16x^2-8x+13=0$.
		\end{enumerate}
		
	\end{tabularx}
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\mathscr{S} = \left\{ 1;-6 \right\}$.
		
		\item $\mathscr{S} = \emptyset$.
		
		\item $\mathscr{S} = \left\{ \frac{3+\sqrt{41}}{4} ; \frac{3-\sqrt{41}}{4} \right\}$.
		
		\item $\mathscr{S} = \left\{ \frac{3}{2} \right\}$.
		
		\item $\mathscr{S} = \left\{ 4;5 \right\}$.
		
		\item $\mathscr{S} = \emptyset$.
		
		\item $\mathscr{S} = \left\{ \frac{-3-\sqrt{6}}{3} ; \frac{-3+\sqrt{6}}{3} \right\}$.
		
		\item $\mathscr{S} = \emptyset$.
		
		\item $\mathscr{S} = \left\{ \frac{1-\sqrt{3}}{2} ; \frac{1+\sqrt{3}}{2} \right\}$.
		
		\item $\mathscr{S} = \emptyset$.
		
	\end{enumerate}

\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}
	
	\begin{notabene}
		
		Dressez le tableau de variation de la fonction $f$ sur son domaine de définition $\mathscr{D}_f$ en reprenant les fonctions de l'exercice 15.
		
		\noindent
		\begin{tabularx}{\linewidth}{Xm{1cm}X}
			
			\begin{enumerate}
				\item $f(x)=2x^2-12x+19$ et $\mathscr{D}_f=\mathbb{R}$.
				\item $f(x)=-3x^2+6x+1$ et $\mathscr{D}_f=\mathbb{R}$.
				\item $f(x)=4x^2+8x+7$ et $\mathscr{D}_f=\mathbb{R}$.
				\item $f(x)=2x^2-4x-3$ et $\mathscr{D}_f=\mathbb{R}$.
				\item $f(x)= x^2-8x+23$ et $\mathscr{D}_f=\mathbb{R}$.
			\end{enumerate}
			
			&&
			
			\begin{enumerate}
				\setcounter{enumi}{5}
				\item $f(x)=-x^2+2x-3$ et $\mathscr{D}_f=[1;5]$.
				\item $f(x)= 2x^2+8x+4$ et $\mathscr{D}_f=[2;5]$.
				\item $f(x)= 3x^2+30x$ et $\mathscr{D}_f=]-10;5]$.
				\item $f(x)= x^2-2$ et $\mathscr{D}_f=[-5;5]$.
				\item $f(x)= -4x^2 -8x -104$ et $\mathscr{D}_f=]-\infty ; 0]$.
			\end{enumerate}
			
		\end{tabularx}
		
	\end{notabene}
\end{exerciceapplication}



\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice page 56 numéro 122 du manuel indice baordas 1ieme 2019.
		
	\end{notabene}
	
	Soit $ABC$ un triangle équilatéral de côté $8$. On inscrit dans ce triangle un rectangle $MNPQ$.
	
	On pose $AM=x$.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
		\def\x{2};
		\coordinate (A) at (-4,0);
		\coordinate (M) at ({-\x},0);
		\coordinate (B) at (4,0);
		\coordinate (Q) at ({\x},0);
		\coordinate (N) at ({-\x},{(4-\x)*tan(60)});
		\coordinate (P) at ({\x},{(4-\x)*tan(60)});
		\coordinate (C) at (0,{4*tan(60)});
		\coordinate (H) at (0,0);
		\draw (A)--(B)--(C)--(A);
		\fill[blue!20] (M)--(N)--(P)--(Q)--(M);
		\draw (M)--(N)--(P)--(Q)--(M);
		\draw[dashed] (C)--(H);
		\draw (A) node[below left]{$A$};
		\draw (B) node[below right]{$B$};
		\draw (H) node[below]{$H$};
		\draw (C) node[above]{$C$};
		\draw (M) node[below]{$M$};
		\draw (N) node[above left]{$N$};
		\draw (P) node[above right]{$P$};
		\draw (Q) node[below]{$Q$};
		\draw[gray] (0.5,0)--(0.5,0.5)--(0,0.5); 
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les valeurs possibles de $x$?
		
		\item Calculez $CH$ où $H$ est le pied de la hauteur issue de $C$.
		
		\item Déduisez-en que $MN=x\sqrt{3}$.
		
		\item Déterminez la valeur de $x$ pour laquelle l'aire de $MNPQ$ est maximale.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $x=AM$ et $M\in [AB]$. Or $AB=8$ donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$x\in [0;8]$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Calculons $CH$.}
		
		
		$ACH$ est rectangle en $H$ donc, d'après le théorème de Pythagore
		
		\begin{align*}
		AC^2 &= AH^2+HC^2\\
		\intertext{Nous en déduison successivement:}
		8^2 &= \left( \frac{8}{2} \right)^2 + CH^2\\
		64 &= 16+CH^2\\
		64-16 &= CH^2
		\intertext{$CH$ désignant une longueur est un nombre podsitif donc:}
		CH &= \sqrt{48}\\
		&= 4\sqrt{3}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$CH= 4\sqrt{3}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Exprimons $MN$ en fonction de $x$.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Les points $A$, $N$, $C$ d'une part et $A$, $M$, $H$ d'autre part sont alignés dans cet ordre.
			
			\item Puisque $MNPQ$ est un carré et puisque $(CH)$ est la hauteur issue de $H$, noue avons $(MN)\parallel (HC)$.
		\end{enumerate}
		
		Des deux points précédents nous déduisons, d'après le théorème de Thalès que
		
		\begin{align*}
		\frac{MN}{HC} &= \frac{AM}{AH}\\
		\intertext{ce qui équivaut successivement à:}
		\frac{MN}{4\sqrt{3}} &= \frac{x}{4}\\
		MN &= \frac{x}{4} \times 4\sqrt{3}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$MN=x\sqrt{3}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item Notons $f(x)$ l'aire de $MNPQ$ en fonction de $x$.
		
		\medskip
		\objectif{Déterminons le maximum de $f$ sur $[0;8]$.}
		
		\begin{align*}
		f(x) &= MQ \times MN\\
		&= (8-2x) \times x\sqrt{3}\\
		&= -2\sqrt{3}(x^2-4x)\\
		&= -2\sqrt{3}(x-2)^2+8\sqrt{3}
		\end{align*}
		
		$f$ est donc une fonction polynomiale de degré deux donnée sous forme canonique avec $a=-\sqrt{3}$, $\alpha=2$ et $\beta=8\sqrt{3}$.
		
		Nous en déduisons
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f$ /1.6}
			{$0$ ,$2$, $4$}
			\tkzTabVar {-/ , + / $8\sqrt{3}$, - /  }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'aire de $MNPQ$ est maximale si $x=2$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{notabene}
	
	Exercice page 99 numéro 45 du manuel QCM.
	
\end{notabene}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme nathan hyperbole 2010 page 128 exercice 65 
		
	\end{notabene}
	
	\begin{notabene}
		
		Modifier: ajouter une première question qu'elle sont les valeurs autorisées pour $x$ de façon a créer un ensemble de définition et
		
		Ajouter des questions sur les aires pour qu'il y ait du second degré.
		
	\end{notabene}
	
	\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			$ABC$ est un triangle rectangle en $A$ tel que: $AB=8$ et $AC=6$. $M$ est un point de l'hypoténuse $[BC]$.
			
			Par $M$, on trace les perpendiculaires à $(AB)$ et $(AC)$. Elles coupent $[AB]$ et $[AC]$ respectivement en $P$ et $Q$.
			
			On pose $BM=x$.
			
			On se propose d'étudier quelques propriétés du périmètre du rectangle $APMQ$.
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.4]
			\def\xMB{4};
			\coordinate (A) at (0,0);
			\coordinate (B) at (8,0);
			\coordinate (C) at (0,6);
			\coordinate (M) at ({8-0.8*\xMB},{0.6*\xMB});
			\coordinate (P) at ({8-0.8*\xMB},0);
			\coordinate (Q) at (0,{0.6*\xMB});
			\draw (A)node[below]{$A$};
			\draw (B)node[below]{$B$};
			\draw (C)node[above]{$C$};
			\draw (M)node[above right]{$M$};
			\draw (P)node[below]{$P$};
			\draw (Q)node[left]{$Q$};
			\draw(A)--(B)--(C)--(A);
			\draw (P)--(M)--(Q);
			\draw (0.5,0)--(0.5,0.5)--(0,0.5);
			\draw ({8-0.8*\xMB+0.5},0)--({8-0.8*\xMB+0.5},0.5)--({8-0.8*\xMB},0.5);
			\draw (0.5,{0.6*\xMB})--(0.5,{0.6*\xMB+0.5})--(0,{0.6*\xMB+0.5});
			\draw[blue,very thick] (M)--(B)node[midway,above right]{$x$};
			\end{tikzpicture}
			
		\end{minipage}
		
		\\ \end{tabularx}
	
	\begin{enumerate}
		\item Démontrez que $MP=0,6x$ et $MQ=8-0,8x$.
		\item Exprimez, en fonction de $x$, le périmètre $p(x)$ du rectangle $APMQ$.
		\item Pour quelles positions de $M$ le périmètre est-il supérieur ou égale à $13,5$?
		\item Comparez le périmètre de $AMPQ$ au demi-périmètre du triangle $ABC$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{correction}
	
	\begin{exercicecorrection}
		
		\begin{enumerate}
			\item \objectif{Exprimons $MP$ en fonction de $x$.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item Les points $A$, $P$, $B$ d'une part et $C$, $M$, $B$ d'autre part sont alignés dans cet ordre.
				
				\item $(AC) \parallel (MP)$ puisque par construction $APMQ$ est un rectangle.
				
			\end{enumerate}
			
			Des deux points précédents nous déduisons, d'après le théorème de Thalès que \[ \frac{MB}{BC} = \frac{MP}{AC}. \]
			
			Ce qui équivaut successivement à:
			
			\begin{align*}
			\frac{x}{BC} &= \frac{MP}{AC}\\
			AC \cdot \frac{x}{BC} &= MP \\
			6 \times \frac{x}{BC} &= MP \quad {\color{orange}(1)}
			\end{align*}
			
			$ABC$ est rectangle en $A$ donc, d'après le théorème de Pythagore, nous avons successivement
			
			\begin{align*}
			BC^2 &= AC^2+AB^2\\
			&= 6^2+8^2\\
			&= 100
			\intertext{$BC$ étant une longueur donc un nombre positif:}
			BC &= \sqrt{100}\\
			&= 10
			\end{align*}
			
			En remplaçant dans  {\color{orange}(1)}:
			
			\begin{align*}
			MP &= 6 \times \frac{x}{10}\\
			&= \frac{6}{10}x
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$MP=0,6x$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			$APMQ$ est un rectangle donc $MQ=AP$.
			
			De plus, en raisonnant avec la même configuration de Thalès que précédemment nous obtenons:
			
			\begin{align*}
			\frac{PB}{AB} &= \frac{x}{10}\\
			\frac{AB-AP}{AB} &= \frac{x}{10}\\
			\frac{8-AP}{8} &=\frac{x}{10}\\
			8-\frac{8}{10}x &= AP
			\end{align*}
			
			Enfin
			
			\begin{conclusion}
				
				$QM=8-0,8x$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item 
			
			\begin{align*}
			p(x) &= 2(AP+MP)\\
			&= 2( 8-0,8x+0,6x)\\
			&= 2(8-0,2x)
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$p(x)= -0,4x+16$ quelque soit $x \in [0;10]$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item \objectif{Résolvons l'équation $p(x)\geqslant 13,5$ sur $[0;10]$.}
			
			Soit $x \in[0;10]$.
			
			\begin{align*}
			p(x) \geqslant 13,5\\
			\intertext{équivaut successivement à:}
			-0,4x+16 &\geqslant 13,5\\
			-0,4x &\geqslant -2,5\\
			x &\leqslant \frac{-2,5}{-0,4}\\
			x \leqslant 6,25
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Le périmètre est supérieur à $13,5$ si et seulement si $AM \in [0;6,25]$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item \objectif{Étudions le signe de $\frac{1}{2}(8+10+6)-p(x)$.}
			
			\begin{align*}
			12-p(x) &= 12-(-0,4x+16)\\
			&= 0,4x -4
			\end{align*}
			
			Donc
			
			\begin{align*}
			12-p(x)\geqslant 0 \Leftrightarrow 0,4x-4\geqslant 0\\
			&\Leftrightarrow x\geqslant 10
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Le périmètre de $AMPQ$ est toujours inférieur ou égale au demi-périmètre de $ABC$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{exercicecorrection}
	
\end{correction}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme nathan transmath 2010 exercice 108 page 88.
		
	\end{notabene}
	
	\noindent
	\begin{tabular}{m{6.5cm}m{5cm}}
		
		Dans un carré $ABCD$ de côté $20\ \mathrm{cm}$, on inscrit un carré $MNPQ$ suivant le schéma ci-contre.
		
		\medskip
		On pose $x=AM=BN=CP=DQ$ avec $0\le x \le 20$.
		
		&
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.15]
			\def\xM{5};
			\coordinate (A) at (0,0);
			\coordinate (B) at (20,0);
			\coordinate (C) at (20,20);
			\coordinate (D) at (0,20);
			\coordinate (M) at (\xM,0);
			\coordinate (N) at (20,\xM);
			\coordinate (P) at ({20-\xM},20);
			\coordinate (Q) at (0,{20-\xM});
			\draw (A)--(M)node[midway]{$//$};
			\draw (M)--(B);
			\draw (B)--(N)node[midway,rotate=90]{$//$};
			\draw (N)--(C);
			\draw (C)--(P)node[midway]{$//$};
			\draw (P)--(D);
			\draw (D)--(Q)node[midway,rotate=90]{$//$};
			\draw (Q)--(A);
			\draw (A) node[below left]{$A$};
			\draw (B) node[below right]{$B$};
			\draw (C) node[above right]{$C$};
			\draw (D) node[above left]{$D$};
			\draw (M) node[below]{$M$};
			\draw (N) node[right]{$N$};
			\draw (P) node[above]{$P$};
			\draw (Q) node[left]{$Q$};
			\fill[purple!20] (M)--(N)--(P)--(Q)--(M);
			\draw [>=latex,<->] (24,0)--(24,20) node[midway,right]{$20 \ \mathrm{cm}$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\\
	\end{tabular}
	
	Le but de cet exercice est de déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles l'aire du carré $MNPQ$ dépasse $272\ \mathrm{cm}^2$.
	
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		Exprimez l'aire en $\mathrm{cm}^2$, $g(x)$ du carré $MNPQ$ en fonction de $x$, sous forme développée, ordonnée et réduite.
		
		
		\item 
		
		Prouvez que $g(x)>272$ équivaut à \[ 2x^2 -40 x +128>0. \]
		
		
		\item 
		
		On note $f(x)=2x^2-40x+128$. Affichez sur votre calculatrice la courbe représentative de $f$, tracez à main levée la courbe observée puis conjecturez les solutions du problème.
		
		\emph{Pour la fenêtre on utilisera les paramètres d'affichages suivants.}
		
		\emph{Axe des abscisses: $0\le x \le 20$.}
		
		\emph{Axe des ordonnées: $-100 \le  y \le 200$.}
		
		
		
		\item Retrouvez le résultat par le calcul.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $g(x)=x^2+(20-x)^2=2x^2-40x+400$.
		
		\item $2x^2-40x+400>272 \Leftrightarrow 2x^2-40x+400-272>0$.
		
		\item Racines $4$ et $16$ et $a>0$ donc
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $g(x)$ /0.8}
			{$0$ ,$4$, $16$, $20$}
			\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}%
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		$\mathscr{S}=[0;4[ \cup ]16;20]$.
		
	\end{enumerate}

\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme nathan hyperbole 2010 page 123 exercice 37 
		
	\end{notabene}
	
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			$ABCD$ est un carré de côté $x$, exprimé en $\mathrm{cm}$, avec $x>6$. $E$ est le point du segment $[AB]$ tel que  \[ EB=6\ \mathrm{cm} \]
			
			\begin{enumerate}
				\item Exprimez en fonction de $x$, l'aire en $\mathrm{cm}^2$ du triangle $AED$.
				\item Peut-on trouver $x$ pour que l'aire du carré $ABCD$ soit strictement supérieure au triple de l'aire du triangle $AED$?
			\end{enumerate}
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.4]
			\def\xEB{6};
			\def\xAB{8};
			\coordinate (A) at (0,0);
			\coordinate (B) at ({\xAB},0);
			\coordinate (C) at ({\xAB},{\xAB});
			\coordinate (D) at (0,{\xAB});
			\coordinate (E) at ({\xAB -\xEB},0);
			\draw (A)node[below]{$A$};
			\draw (B)node[below]{$B$};
			\draw (C)node[above]{$C$};
			\draw (D)node[above]{$D$};
			\draw (E)node[below]{$E$};
			\draw[blue, thick](A)--(B)--(C)--(D)--(A);
			\draw (0.5,0)--(0.5,0.5)--(0,0.5);
			\draw ({\xAB -0.5},0)--({\xAB -0.5},0.5)--({\xAB -0},0.5);
			\draw ({\xAB -0.5},{\xAB})--({\xAB -0.5},{\xAB-0.5})--({\xAB -0},{\xAB-0.5});
			\draw[blue, thick](A)--(D)node[midway,rotate=90]{\large $//$};
			\draw[blue, thick](C)--(D)node[midway]{\large $//$};
			\draw(D)--(E);
			\draw[>=latex,<->,black] (0,{\xAB +1.5})--({\xAB},{\xAB +1.5})node[midway,above]{$x$};
			\fill[color=gray , opacity=0.25] (A)--(E)--(D)--cycle;
			\end{tikzpicture}
			
		\end{minipage}
		
		\\ \end{tabularx}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\mathscr{D}_f=]6;+\infty[$ et $f(x)=\frac{1}{2}x(x-6)$.
		
		\item On veut résoudre: $x^2>3f(x)$. 
		
		Donc: $-\frac{1}{2}x^2+9x>0$.
		
		Ou: $-\frac{1}{2}x \left( x-18 \right)>0$.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=2 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $x \left( -\frac{1}{2}x+9 \right)$ /0.8}
			{$6$ , $18$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,d,+,z,-,}%
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		$\mathscr{S} = ]6;18[$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme hachette declic 2014 page 129 exercice 57
		
	\end{notabene}
	
	\begin{notabene}
		
		Rajouter des considérations sur l'ensemble de définition et préciser les positions relatives des disques tangents, etc.
		
	\end{notabene}
	
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			Soit un réel $x$ dans $[0;8]$. On considère un rectangle de dimension $4\ \mathrm{cm}$ sur $x\ \mathrm{cm}$, dans lequel on trace deux disques de même rayon comme sur la figure ci-contre.
			
		\end{minipage}
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\def\xL{6}
			\coordinate (A) at (0,-2);
			\coordinate (B) at ({\xL},-2);
			\coordinate (C) at ({\xL},2);
			\coordinate (D) at (0,2);
			\draw[blue, thick](A)--(B)--(C)--(D)--(A);
			\fill[color=blue , opacity=0.25] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\xL /4)*cos(\x)+(\xL /4)},{\xL /4)*sin(\x)});
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\xL /4)*cos(\x)+(3*\xL /4)},{\xL /4)*sin(\x)});
			\draw[>=latex,<->,black](0,-3)--({\xL},-3)node[midway,below]{$x$};
			\draw[>=latex,<->,black](-1,-2)--(-1,2)node[midway,left]{$4$};
			\fill[color=magenta , opacity=1] 
			plot[domain=0:360]({\xL /4)*cos(\x)+(\xL /4)},{\xL /4)*sin(\x)})
			-- cycle;
			\fill[color=magenta , opacity=1] 
			plot[domain=0:360]({\xL /4)*cos(\x)+(3*\xL /4)},{\xL /4)*sin(\x)})
			-- cycle;
			\end{tikzpicture}
			
		\end{minipage}
		
		\\ \end{tabularx}
	
	On souhaite déterminer les valeurs de $x$ de façon que l'aire bleue (ce qu'il reste du rectangle) soit supérieure à l'aire rose (les deux disques).
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrez que le problème se ramène à la résolution de l'inéquation $\displaystyle \frac{\pi x^2}{8}\le 2x$ sur $[0;8]$.
		\item Montrez que l'ensemble des solutions est $\displaystyle \left[ 0;\frac{16}{\pi} \right[$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{correction}
	\begin{exercicecorrection}
		
		\begin{enumerate}
			\item \objectif{Déterminons l'aire $\mathcal{A}_1$ de la partie en rose.}
			
			$\mathcal{A}_1$ est formée de disque de même rayon $\frac{x}{4}$ donc
			
			\begin{align*}
			\mathcal{A}_1 &= 2\times \pi\left( \frac{x}{4} \right)^2\\
			&= 2\pi \frac{x^2}{4^2}\\
			&= \frac{2\pi x^2}{16}\\
			&= \frac{ {\color{orange}2} \pi x^2}{ {\color{orange} 2} \times 8}\\
			&= \frac{\pi x^2}{8}
			\end{align*}
			
			\medskip
			\objectif{Déterminons l'aire en bleue $\mathcal{A}_2$.}
			
			$\mathcal{A}_2$ est obtenue en ôtant la surface rose du rectangle donc
			
			\begin{align*}
			\mathcal{A}_2 &= 4x-\mathcal{A}_1\\
			&= 4x-\frac{\pi x^2}{8}
			\end{align*}
			
			\objectif{Retrouvons l'inéquation.}
			
			
		\end{enumerate}
		
	\end{exercicecorrection}
	
\end{correction}

\begin{notabene}
	Exerccie page 455 du Déclic
	
	Problème avec géométrie carrés rectangle, ...
	
\end{notabene}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme didier mathx 2010 page 102 exercice 133
		
	\end{notabene}
	
	\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			Soit $M$ un point du segment $[AB]$. On considère les demi-disques de diamètres $[AB]$, $[AM]$ et $[MB]$ comme représentés ci-contre.
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\def\xM{2};
			\coordinate (A) at (0,0);
			\coordinate (B) at (8,0);
			\coordinate (M) at ({\xM},0);
			\draw (A) node[below] {$A$};
			\draw (B) node[below] {$B$};
			\draw (M) node[below] {$M$};
			\draw(A)--(B);
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:180] plot({4*cos(\x)+4},{4*sin (\x)});
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:180] plot({(\xM /2)*cos(\x)+(\xM /2)},{(\xM /2)*sin (\x)});
			\fill[color=magenta , opacity=0.5] (A)
			-- plot[domain=0:180]({4*cos(\x)+4},{4*sin (\x)})
			--(B)
			-- cycle;
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:180] plot({(8-\xM)/2*cos(\x)+\xM+(8-\xM)/2},{(8-\xM)/2*sin (\x)});
			\fill[color=violet , opacity=0.5] (A)
			-- plot[domain=0:180]({(\xM /2)*cos(\x)+(\xM /2)},{(\xM /2)*sin (\x)})
			--(M)
			-- cycle;
			\fill[color=violet , opacity=0.5] (B)
			-- plot[domain=0:180]({(8-\xM)/2*cos(\x)+\xM+(8-\xM)/2},{(8-\xM)/2*sin (\x)})
			--(M)
			-- cycle;
			\end{tikzpicture}
			
		\end{minipage}
		
		\\ \end{tabularx}
	
	On donne $AB=8$. Nous noterons $AM=2x$. $f(x)$ désignera l'aire de la partie colorée en violet (\emph{i.e.} les deux demi-disques de diamètres $[AM]$ et $[MB]$).
	
	\begin{enumerate}
		\item À quel intervalle appartient $x$?
		\item Démontrez que $f(x)=\pi (x^2-4x+8)$.
		\item Les aires des deux parties colorées peuvent-elles être égales?
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{correction}
	
	\begin{exercicecorrection}
		
		\begin{enumerate}
			\item \objectif{Déterminons l'intervalle dans lequel varie $x$.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item Puisque $2x=AM$ et que $AM$ est une longueur, nécessairement $x\ge 0$.
				\item $M\in[AB]$ et $AB=8$ donc $AM\le 8$.
				
				D'où: $\frac{AM}{2} \le \frac{8}{2}$.
				
				Autrement dit $x\le 4$.
			\end{enumerate}
			
			\begin{conclusion}
				
				Nous avons démontré que $x\in[0;4]$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item \objectif{Démontrons que $f(x)=\pi (x^2-4x+8)$.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item Le rayon du demi-disque de diamètre $[AM]$ est $x$ (car $2x=AM$). Donc l'aire du demi-disque de diamètre $[AM]$ est \[ \mathcal{A}_1 = \frac{1}{2} \times \pi x^2 \]
				\item Le rayon du demi-disque de diamètre $[MB]$ est 
				\begin{align*}
				\frac{1}{2}MB &=\frac{1}{2} (AB-AM) & \text{ car } M\in[AB]\\
				&=\frac{1}{2} \left( 8-2x \right) & \\
				&= 4-x &
				\end{align*}
				
				Donc l'aire du demi-disque de diamètre $[MB]$ est \[ \mathcal{A}_2 = \frac{1}{2} \times \pi \left( 4-x \right)^2 \]
				
				\item Nous déduisons des deux points précédents
				\begin{align*}
				f(x) &= \mathcal{A}_1+\mathcal{A}_2 \\
				&= \frac{1}{2}\pi x^2+\frac{1}{2}\pi (4-x)^2\\
				\intertext{\color{orange}En factorisant:}
				f(x) &= \frac{1}{2}\pi \left[ x^2+(4-x)^2 \right]\\
				\intertext{\color{orange}En développant l'identité remarquable:}
				f(x) &= \frac{1}{2} \pi [x^2+16-8x+x^2 ]\\
				&= \frac{1}{2} \pi (2x^2-8x+16)\\
				&= \pi (x^2-4x+8)
				\end{align*}
			\end{enumerate}
			
			\begin{conclusion}
				
				Nous avons bien: $f(x)\pi(x^2-4x+8)$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item Dire que les deux parties colorées ont la même aire se traduit par \[ \frac{1}{2}\pi4^2-f(x)=f(x)\quad (E) \]
			
			\medskip
			\objectif{Résolvons l'équation $(E)$.}
			
			\begin{align*}
			(E) &\Leftrightarrow 8\pi -2f(x)=0\\
			&\Leftrightarrow  8\pi -2\times \pi (x^2-4x+8)=0\\
			&\Leftrightarrow -2\pi \left[ -4+(x^2-4x+8) \right]=0 \\
			&\Leftrightarrow -2\pi \left[ -4+x^2-4x+8 \right]=0 \\
			&\Leftrightarrow -2\pi (x^2-4x+4)=0 \\
			&\Leftrightarrow -2\pi (x-2)^2=0 \\
			&\Leftrightarrow x-2=0\\
			&\Leftrightarrow x=2
			\end{align*}
			
			$2\in [0;4]$, nous pouvons donc conclure.
			
			\begin{conclusion}
				
				Les aires des parties colorées ne peuvent être égales que lorsque $x=2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{exercicecorrection}
	
\end{correction}

\begin{exercice}{}
	
	\noindent
	\begin{tabular}{m{5cm}m{5cm}}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			Sont tracées ci-contre les courbes représentatives des fonctions polynomiales de degré deux $f$, $g$ et $h$.
			
			Nous savons de plus que $f(-3)=-2$.
			
			Recopiez en complétant, sans aucune justification, les expressions algébriques suivantes.
			
			\begin{enumerate}[$\bullet$]
				\item 
				
				$f(x)=-0,02(x-\dots)^2+\dots$
				
				\begin{bareme} $1$ \end{bareme}
				
				\item 
				
				$g(x)=x^2-x+\dots$
				
				\begin{bareme} $0,5$ \end{bareme}
				
				\item
				
				$h(x)=-(x-\dots )(x-\dots)$
				
				\begin{bareme} $1$ \end{bareme}
				
			\end{enumerate}
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
				\def\xY{-4};
				\def\yY{-4};
				\def\xZ{4};
				\def\yZ{4};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
				\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
				\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
				\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \x};
				\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize \y};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=-3.9:4] plot(\x,{-0.2*(\x -2)^2+3});
				\draw[purple,dashed][samples=100,domain=-2:3] plot(\x,{ \x*\x-\x-2});
				\draw[brown,very thick][samples=100,domain=-3.83:1.83] plot(\x,{ -(\x+3)*(\x-1)});
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{minipage}
		
	\end{tabular}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}$g$ est la seule fonction dont la parabole est orientée vers le haut (coefficient dominant strictement positif). Son terme constant est obtenu pour $x=0$. Donc}
	
	\begin{conclusion}
		
		$g(x)=x^2-x-2$.
		
	\end{conclusion}
	
	\medskip
	{\color{orange}$h$ est donnée sous forme factorisée il faut donc identifier ses racines. Nous pouvons supposer qu'il s'agit donc de la parabole dont les points d'intersection avec l'axe des abscisses sont lisibles.}	
	
	\begin{conclusion}
		
		$h(x)=-(x+3)(x-1)$.
		
	\end{conclusion}
	
	\medskip
	{\color{orange}Puis en lisant les coordonnées du sommet de la troisième parabole nous obtenons la forme canonique de $f$.}
	
	\begin{conclusion}
		
		$f(x)=-0,02(x-2)^2+3$.
		
	\end{conclusion}
	
	\medskip
	{\color{orange}Nous pouvons alors contrôler avec la calculatrice que les expressions algébriques ainsi obtenues correspondent bien au graphique.}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		24 page 48 déclic Ieme esl 2015
		
	\end{notabene}
	
	Associez chaque courbe à son trinôme.
	
	\noindent 
	\begin{tabular}{m{4cm}m{7cm}}
		
		$\begin{aligned}
		f(x) &= -(x+1)^2-1\\
		g(x) &= -2(x-2)^2+3\\
		h(x) &= (x-3)^2-5\\
		k(x) &= 2(x+1)^2+2
		\end{aligned}$
		&
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
			\def\xY{-4};
			\def\yY{-5};
			\def\xZ{7};
			\def\yZ{6};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=-3:1] plot(\x,{-(\x+1)*(\x+1)-1});
			\draw[red, thick][samples=100,domain=0:4] plot(\x,{-2*(\x-2)*(\x-2)+3});
			\draw[OliveGreen, thick][samples=100,domain=-0.3:6.3] plot(\x,{(\x-3)*(\x-3)-5});
			\draw[Orange, thick][samples=100,domain=-2.4:0.4] plot(\x,{2*(\x+1)*(\x+1)+2});
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
	\end{tabular}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$f$ bleu. $g$ rouge. $h$ vert. $k$ orange.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		1ieme esl hachette barbazo 2015 page 74 exercice 35
		
	\end{notabene}
	
	Sachant que les fonctions polynomiales de degré deux représentées ci-dessous s'écrivent sous la forme $x\mapsto x^2+bx+c$ ou $x \mapsto -x^2+bx+c$, donnez la forme factorisée de chaque fonction.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
		\def\xY{-5};
		\def\yY{-5};
		\def\xZ{6};
		\def\yZ{6};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
		\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
		\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
		\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=-2.2:3.2] plot(\x,{-(\x +1)*(\x -2)});
		\draw[blue] (3.75,-3.5) node[fill=white] {$\mathscr{C}_f$};
		\draw[red, thick][samples=100,domain=-0.45:4.45] plot(\x,{(\x -2)*(\x -2)});
		\draw[red] (5,3) node[fill=white] {$\mathscr{C}_g$};
		\draw[violet, thick][samples=100,domain=-4.37:1.37] plot(\x,{(\x +3)*(\x -0)});
		\draw[violet] (-3,4.5) node[fill=white] {$\mathscr{C}_h$};
		\draw[OliveGreen, thick][samples=100,domain=-4.25:0.25] plot(\x,{-(\x +2)*(\x +2)});
		\draw[OliveGreen] (-4.5,-2) node[fill=white] {$\mathscr{C}_k$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{exercice}

\begin{correction}
	
	\begin{exercicecorrection}
		
		{\color{orange}Pour déterminer la forme factorisée nous devons déterminer les racines des fonctions polynomiales de degré deux. Nous les obtenons graphiquement comme les abscisses des points d'intersections de la parabole et de l'axe des abscisses.}
		
		\medskip
		\objectif{Déterminons la forme factorisée de $f$.}
		
		$\mathcal{C}_f$ est orientée vers le bas donc $f(x)=-x^2+bx+x$. Ainsi $a=-1$.
		
		Graphiquement: $x_1=-1$ et $x_2=2$.	
		
		Finalement
		
		\begin{conclusion}
			
			$f(x)= -(x+1)(x-2)$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		\objectif{Déterminons la forme factorisée de $g$.}
		
		$\mathcal{C}_g$ est orientée vers le haut donc $g(x)=x^2+bx+x$. Ainsi $a=1$.
		
		Graphiquement nous voyons qu'il y a une racine double: $x_0=2$.	
		
		Finalement
		
		\begin{conclusion}
			
			$g(x)= (x-2)^2$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		\objectif{Déterminons la forme factorisée de $h$.}
		
		$\mathcal{C}_h$ est orientée vers le haut donc $h(x)=x^2+bx+x$. Ainsi $a=1$.
		
		Graphiquement nous voyons qu'il y a deux racines distinctes: $x_1=-3$ et $x_2=0$.	
		
		Finalement
		
		\begin{conclusion}
			
			$h(x)= x(x+3)$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		\objectif{Déterminons la forme factorisée de $k$.}
		
		$\mathcal{C}_k$ est orientée vers le bas donc $k(x)=-x^2+bx+x$. Ainsi $a=-1$.
		
		Graphiquement nous voyons qu'il y a une racine double: $x_0=-2$.	
		
		Finalement
		
		\begin{conclusion}
			
			$k(x)= -(x+2)^2$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{exercicecorrection}
	
\end{correction}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		95 page 54 déclic 1ieme esl 2015.
		
	\end{notabene}
	
	On considère le polynôme $f(x)=2x^2-12x+16$ et la fonction affine $g(x)=2x+4$ dont les représentations graphiques sont données ci-dessous.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
		\def\xY{-1.5};
		\def\yY{-1.5};
		\def\xZ{5.5};
		\def\yZ{5.5};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
		\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
		\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{2*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
		\draw[red, thick][samples=100,domain=0.5:5.5] plot(\x,{(2*\x*\x-12*\x+16)/2});
		\draw[OliveGreen, thick][samples=100,domain=-1.5:3.4] plot(\x,{(2*\x+4)/2});
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Déterminez par lecture graphique, une solution de l'équation $f(x)=g(x)$.
			\item Vérifiez que cette solution est exacte.
		\end{enumerate}
		
		\item Déterminez la seconde solution.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Les solutions de $f(x)=g(x)$ sont les abscisses des points d'intersection des courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$.
			
			Donc $1$ est une solution.
			
			\item D'une part $f(1)=6$, d'autre part $g(1)=6$ donc $1$ est bien une solution de l'équation.
			
		\end{enumerate}
		
		\item $f(x)=g(x) \Leftrightarrow 2x^2-14x+12=0$.
		
		$x_1x_2=\frac{c}{a} \Leftrightarrow x_2=6$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme nathan transmath 2010 exercice 83 page 83
		
	\end{notabene}
	
	\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			Les fonction indiquées sont définies sur $\mathbb{R}$. 
			
			Attribuez sa courbe à chacune d'elle.
			
			\begin{enumerate}[]
				\item $f_1:x\mapsto -x^2$
				\item $f_2:x\mapsto \frac{1}{2}x^2$
				\item $f_3:x \mapsto 2x^2$
				\item $f_4:x\mapsto x(4-x)$ 
			\end{enumerate}
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
				\def\xY{-3};
				\def\yY{-2};
				\def\xZ{5};
				\def\yZ{4.5};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=0.5cm, gray, thin] (Y) grid (Z);
				\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
				\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \x};
				\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \y};
				\draw[green, very thin][samples=100,domain=-3:3] plot(\x,{0.5*\x *\x})node[above]{$\mathcal{C}_1$};
				\draw[blue, thin][samples=100,domain=-1.5:1.5] plot(\x,{2*\x *\x})node[above]{$\mathcal{C}_2$};
				\draw[violet, thick][samples=100,domain=-1.4:1.4] plot(\x,{-\x *\x})node[below]{$\mathcal{C}_3$};
				\draw[orange, very thick][samples=100,domain=-0.45:4.45] plot(\x,{\x *(4-\x)})node[below]{$\mathcal{C}_4$};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{minipage}
		
	\end{tabularx}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme nathan transmath 2010 exercice 84 page 83
		
	\end{notabene}
	
	\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			Les fonctions indiquées sont définies sur $\mathbb{R}$.
			
			Attribuez sa courbe à chacune d'elles.
			
			\begin{enumerate}[]
				\item $f_1:x\mapsto x^2+2x-2$
				\item $f_2:x\mapsto -\frac{1}{2}(x-2)^2+2$
				\item $f_3: x \mapsto (x-1)^2-2$
				\item $f_4: x\mapsto -\frac{1}{2}x^2-2x+1$
			\end{enumerate}
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[scale=0.4]
				\def\xY{-6};
				\def\yY{-4};
				\def\xZ{6};
				\def\yZ{5};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=1cm, gray, thin] (Y) grid (Z);
				\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
				\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \x};
				\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[above left,fill=white]{\footnotesize  \y};
				\draw[green, very thin][samples=100,domain=-3.82:1.82] plot(\x,{\x *\x +2*\x -2})node[above]{$\mathcal{C}_1$};
				\draw[blue, thin][samples=100,domain=-1.65:3.65] plot(\x,{(\x-1)*(\x-1)-2})node[above]{$\mathcal{C}_2$};
				\draw[violet, thick][samples=100,domain=-5.75:1.75] plot(\x,{-0.5*\x *\x-2*\x+1})node[below]{$\mathcal{C}_3$};
				\draw[orange, very thick][samples=100,domain=-1.5:5.5] plot(\x,{-0.5*(\x-2)*(\x-2)+2})node[below]{$\mathcal{C}_4$};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{minipage}
		
	\end{tabularx}
	
\end{exercice}

\begin{correction}
	
	\begin{exercicecorrection}
		
		$f_1$ est une fonction polynomiale de degré deux donnée sous forme factorisée. $a=1>0$ donc la parabole est orientée vers le haut. $c=-2$ donc la parabole coupe l'axe des ordonnées à l'ordonné $-2$. La courbe représentative de $f_1$ est donc $\mathcal{C}_1$.
		
		$f_2$ est une fonction polynomiale de degré deux donnée sous forme canonique. $a=-\frac{1}{2}$ donc la parabole est orientée vers le bas. $\alpha=2$ et $\beta=2$ donc le sommet de la parabole a pour coordonnées $(2;2)$. La courbe représentative de $f_2$ est $\mathcal{C}_4$.
		
		$f_3$ est une fonction polynomiale de degré deux donnée sous forme canonique. $a=1$ donc la parabole est orientée vers le haut. $\alpha=1$ et $\beta=-2$ donc le sommet de la parabole a pour coordonnées $(1;-2)$. La courbe représentative de $f_3$ est $\mathcal{C}_2$.
		
	\end{exercicecorrection}
	
\end{correction}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Parler de la démarche de recherche: pour démontrer l'inégalité on refait l programme de calcul y ayant conduit.
		
	\end{notabene}
	
	Démontrez que $(\sqrt{3}+\sqrt{4})^2+1<(\sqrt{3}+\sqrt{4}+1)^2+1$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$f(x)= \left( x+\sqrt{3}+\sqrt{4} \right)^2+1$ est strictement croissante sur $\left] -\left( \sqrt{3} + \sqrt{4} \right) ; +\infty[ \right[$ donc $f(0)<f(1)$.
	
\end{exercicecorrection}
\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme nathan transmath 2010 exercice 85 page 85
		
	\end{notabene}
	
	Les fonctions considérées ici sont définies sur $\mathbb{R}$.
	
	Pour chacune d'elles, dressez son tableau de variation.
	
	\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		$f(x)=5-2(x+1)^2$ & $g(x)=2(1-3x)(1-x)$\\
		$u(t)=\frac{1}{4}-t^2$ & $v(t)=\frac{1}{3}(1-t^2)$
	\end{tabularx}
	
\end{exercice}

\begin{correction}
	\begin{exercicecorrection}
		
		\begin{enumerate}
			\item \objectif{Dressons le tableau de variation de $f$.}
			
			$f(x)=-2(x+1)^2+5$ est une fonction polynomiale de degré $2$ donnée sous forme canonique avec $a=-2$, $\alpha =-1$ et $\beta= 5$.
			
			$a=-2<0$ donc la parabole est orientée vers le bas.
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $f(x)$ /1.6}
			{$-\infty$ ,$-1$, $+\infty$}
			\tkzTabVar {-/ , + / $5$ , - /  }
			\end{tikzpicture}
			
			\item {\color{orange}$g$ n'est pas une fonction dont nous pouvons donner le tableau de variation. Développons son expression pour essayer de l'identifier.}
			
			\begin{align*}
			g(x) &= 2(1-3x)(1-x) \\
			&= 2\left[ 1\times 1+ 1\times (-x) +(-3x)\times 1 +(-3x)\times (-x) \right]\\
			&= 2 \left[ 1-x-3x+3x^2 \right]\\
			&= 2(1-4x+3x^2)\\
			&= 2\times 1+2\times(-4x)+2\times 3x^2\\
			&= 6x^2-8x+2
			\end{align*}
			
			Ainsi $g$ est une fonction polynomiale de degré deux {\color{orange} dont nous avons la forme développée. Or pour trouver le tableau de variation il nous faut le forme canonique donc}
			
			\medskip
			\objectif{Déterminons la forme canonique de $g$.}
			
			$g$ est une fonction polynomiale de degré deux avec $a=6$, $b=-8$ et $c=2$.
			
			\begin{enumerate}
				\item $\alpha = -\frac{b}{2a}=-\frac{-8}{2\times 6}=\frac{2}{3}$.
				\item $\beta =g(\alpha)= g\left( \frac{2}{3} \right)=-\frac{2}{3}$.
			\end{enumerate}
			
			\begin{conclusion}
				
				La forme canonique de $g$ est \[ g(x)=6\left( x- \frac{2}{3} \right)^2 -\frac{2}{3} \]
				
			\end{conclusion}
			
			\objectif{Dressons le tableau de variation de $g$.}
			
			$g$ est une fonction polynomiale de degré eux donnée sous forme canonique avec: $a=6$, $\alpha= \frac{2}{3}$ et $\beta =-\frac{2}{3}$.
			
			$a=6>0$ donc la parabole est orientée vers le haut.
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $g(x)$ /1.6}
			{$-\infty$ ,$\frac{2}{3}$, $+\infty$}
			\tkzTabVar {+/ , - / $-\frac{2}{3}$ , + /  }
			\end{tikzpicture}
			
			\item \objectif{Dressons le tableau de variation de $u$.}
			
			$u(t)=-t^2+\frac{1}{4} {\color{orange}=-1\times (t-0)^2+\frac{1}{4} }$
			
			$u$ est une fonction polynomiale de degré deux donnée sous forme canonique avec $a=-1$, $\alpha= 0$ et $\beta=\frac{1}{4}$.
			
			$a=-1<0$ donc la parabole est orientée vers le bas.
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$t$ /0.8, $u(t)$ /1.6}
			{$-\infty$ ,$0$, $+\infty$}
			\tkzTabVar {-/ , + / $\frac{1}{4}$ , - /  }
			\end{tikzpicture}
			
			\item \objectif{Déterminons le tableau de variation de $v$.}
			
			$v(t)=\frac{1}{3}(1-t^2)=\frac{1}{3} \times 1 +\frac{1}{3} \times (-t^2)=-\frac{1}{3}t^2+\frac{1}{3} {\color{orange}-\frac{1}{3}(t-0)^2+\frac{1}{3}}$.
			
			$v$ est une fonction polynomiale de degré deux donnée sous forme canonique avec $a=-\frac{1}{3}$, $\alpha= 0$ et $\beta=\frac{1}{3}$.
			
			$a=-\frac{1}{3}<0$ donc la parabole est orientée vers le bas.
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$t$ /0.8, $v(t)$ /1.6}
			{$-\infty$ ,$0$, $+\infty$}
			\tkzTabVar {-/ , + / $\frac{1}{3}$ , - /  }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{exercicecorrection}
\end{correction}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		26 page 49 déclic 1ieme esl 2015.
		
	\end{notabene}
	
	La trajectoire d'un plongeur est modélisée par la fonction $f$ définie sur $[-3;0]$ par $f(x)=-x(x+4)$. Le plongeur saute de l'abscisse $-3$.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.7,yscale=0.7]
		\def\xY{-5};
		\def\yY{-2};
		\def\xZ{4};
		\def\yZ{5};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
		\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\foreach \y in {-1,1,2,...,4}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
		\fill[brown!50] (-5,0)--(-2.8,0)--(-2.8,3)--(-5,3)--(-5,0);
		\draw (-4,1.5) node[fill=white] {Falaise};
		\fill[blue!20] (-5,0)--(4,0)--(4,-2)--(-5,-2)--(-5,0);
		\draw (-2,-1) node[fill=white] {Mer};
		\draw[black, thick][samples=100,domain=-3:0.2] plot(\x,{-\x *(\x +4)});
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrez que $f$ est une fonction polynomiale de degré deux.
		
		\item Montrez que , pour tout $x$ de l'intervalle $[-3;0]$: \[ f(x)=-(x+2)^2+4. \]
		
		\item Donnez le tableau de variations complet de $f$ sur l'intervalle $[-3;0]$.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Quelle est la hauteur de la falaise?
			
			\item Quelle est la plus grande altitude atteinte par le plongeur?
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{correction}
	
	\begin{exercicecorrection}
		
		\begin{enumerate}
			\item \objectif{Justifions que $f$ est une fonction trinôme.}
			
			{\color{orange}Deux façons de voir les choses: reconnaître la forme factorisée ou bien développer.}
			
			$f(x)= -x^2-4x$
			
			\item \objectif{Déterminons la forme canonique de $f$.}
			
			
			\item 
			
			\begin{enumerate}
				\item $f(-3)= 3$.
				\item 
			\end{enumerate}
			
			
		\end{enumerate}
		
	\end{exercicecorrection}
	
\end{correction}

\begin{notabene}
	
	Exercice page 100 numéro 56 du manuel QCM.
	
\end{notabene}


\begin{notabene}
	
	Exercice page 101 numéro 60 du manuel QCM.
	
\end{notabene}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		page 56 exercice 112 déclic 1ieme esl 2015
		
	\end{notabene}
	
	Après la vente de $x$ roses, le bénéfice net d'un fleuriste lors d'une journée s'exprime, en euros, par: \[ B(x)=-0,005x^2+3,2x -82. \]
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Dressez le tableau de signe de $B$ sur $[0;700]$.
			
			\item Montrer que $B(x)=-0,005(x-320)^2+430$, quelque soit $x \in [0;700]$.
		\end{enumerate}
		
		\item Combien de roses le fleuriste doit-il vendre pour réaliser des bénéfices ($B(x) \geqslant 0$)?
		
		\item À partir de quelle quantité de roses vendues le bénéfice commence-t-il à décroître?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		page 56 exercice 114 déclic 1ieme esl 2015
		
	\end{notabene}
	
	Une entreprise, dont la production de casques audio varie entre $50$ et $250$ pièces par jour, estime que le coût de fabrication (en \euro) est donné par: \[ C(q) = 0,08q^2-1,6q +108, \] où $q$ est le nombre de casques produits.
	
	Chaque casque est vendu $15\ \text{\euro}$ l'unité.
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Combien coûte la fabrication de $80$ casques audio?
			
			\item Calculez la recette associée à la vente de $80$ casques. L'entreprise réalise-t-elle des bénéfices pour $80$ casques produits et vendus?
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Exprimez la recette $R(q)$ exprimée en euros en fonction de la quantité $q$ de casques fabriqués et vendus en un jour.
			
			\item Montrez que le bénéfice sur une journée correspondant à la fabrication et à la vente de $q$ casques est: \[ B(q)=-0,08q^2+16,6q-108. \]
			
			\item Combien faut-il construire et vendre de casques pour que le bénéfice journalier soit supérieur à $400\ \text{\euro}$?
			
			\item Quel est le bénéfice maximal de l'entreprise? Pour combien de casques produits ce bénéfice maximum est-il atteint?
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{notabene}
	
	Exercice page 101 numéro 63 du manuel QCM.
	
\end{notabene}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme hachette declic 2014 page 127 exercice 42
		
	\end{notabene}
	
	Une entreprise fabrique et vend de la pâte à papier. Le coût de production de $q$ tonnes de pâte à papier est donné, en milliers d'euros par \[ C(q)=0,02q^2+0,1q+9 \] pour $q\in [0;80]$.
	
	La recette, en milliers d'euros, engendrée par la vente de $q$ tonnes de pâte à papier est donnée par \[ R(q)= 1,2q \]
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		\begin{enumerate}
			\item Quel est le coût le fabrication d'une tonne de pâte à papier?
			\item Quel est prix de vente d'une tonne de pâte à papier?
			\item L'entreprise est-elle bénéficiaire lorsqu'elle vend et produit une tonne de pâte à papier?
		\end{enumerate}
		
		\item Avec la calculatrice conjecturez pour quelles quantités de pâte à papier l'entreprise est bénéficiaire.
		
		\item Démontrez que le bénéfice, en milliers d'euros, réalisé par l'entreprise lorsqu'elle vend $q$ tonnes de pâte à papier est \[ B(q)=-0,02q^2+1,1q-9 \]
		
		\item Démontrez que $B(q)=-0,02(q-45)(q-10)$ quelque soit $q\in [0;80]$.
		
		\item Déterminez pour quelles quantités de pâte à papier l'entreprise est bénéficiaire.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{correction}
	
	\begin{exercicecorrection}
		
		\begin{enumerate}
			\item 
			\begin{enumerate}
				\item $C(1)=9,12$.
				
				\begin{conclusion}
					
					La fabrication d'une tonne de pâte à papier coûte $9,12$ milliers d'euros.
					
				\end{conclusion}
				
				\item $R(1)=1,2$.
				
				\begin{conclusion}
					
					La vente d'une tonne de pâte à papier rapporte  $0,12$ milliers d'euros.
					
				\end{conclusion}
				
				\item \objectif{Étudions le bénéfice pour une tonne.}
				
				Le bénéfice pour une tonne est donné par \[ B(1)=R(1)-C(1)= -7,92 \]
				
				\begin{conclusion}
					
					Pour une tonne produite et vendue l'entreprise ne réalise pas de bénéfice.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{enumerate}
			
			\item {\color{orange}
				$R$ et $C$ sont définies sur $[0;80]$: $0\le x \le 80$. D'autre part avec le tableau de valeurs de la calculatrice on remarque que, sur cet intervalle, $C(q)\le 150$.
				
				Nous en déduisons un paramétrage possible pour afficher le graphique sur la calculatrice: \[ \left\{ \begin{array}{l} 0\le x \le 80 \\ 0 \le y \le 150\end{array} \right. \]
				
				Procédons à une lecture graphique.
				
				Analytiquement: il y a bénéfice lorsque la recette est supérieure au coût.
				
				Géométriquement: il y a bénéfice quand la courbe de la recette est au dessus de la courbe du coût.
				
				D'après le graphique cela est vrai lorsque l'abscisse appartient à l'intervalle $[10;45]$.
			}
			
			\begin{conclusion}
				
				Par lecture graphique l'entreprise semble réaliser un bénéfice lorsqu'elle produit entre $10$ et $45$ tonnes de papier.
				
			\end{conclusion}
			
			\item \objectif{Démontrons que pour tout $q\in [0;80]$: $B(q)=-0,02q^2+1,1q-9$.}
			
			Soit $q\in [0;80]$.
			
			{\color{orange}Par définition du bénéfice (en mathématique):}
			\begin{align*}
			B(q) &= R(q) -C(q) \\
			&= [1,2q]-[0,02q^2+0,1q+9]\\
			\intertext{\color{orange}Il s'agit d'une expression polynomiale que nous développons, ordonnons puis réduisons.}
			&= 1,2q-0,02q^2-0,1q-9\\
			&= -0,02q^2+1,2q-0,1q -9\\
			&= -0,02q^2+1,1q-9
			\end{align*}
			
			Ainsi
			
			\begin{conclusion}
				
				Nous avons démontré que quelque soit $q\in[0;80]$ \[ B(q)= -0,02q^2+1,1q-9 \]
				
			\end{conclusion}
			
			\item \objectif{Démontrons que quelque soit $q\in[0;80]$: $B(q)=-0,02(q-45)(q-10)$.}
			
			{\color{orange}La méthode de factorisation d'une fonction polynomiale de degré 2 est au programme de première et donc, provisoirement impossible.
				
				Nous allons donc vérifier que le résultat proposer par l'énoncé convient.}
			
			Soit $q\in[0;80]$.
			
			{\color{orange}L'expression proposée est une expression polynomiale donnée sous forme factorisée nous allons la développer, l'ordonnée puis la réduire.
				
				Avec la double distributivité:}
			\begin{align*}
			-0,02(q-45)(q-10) &= -0,02[q\times q +q\times (-10)+(-45)\times q +(-45)\times (-10)]\\
			&= -0,02(q^2-10q-45q+450)\\
			&= -0,02(q^2-55q+450)\\
			&= -0,02\times q^2+(-0,02)\times (-55q)+(-0,02)\times (450)\\
			&= -0,02q^2+1,1q-9\\
			&= B(q)
			\end{align*}
			
			{\color{orange}Nous avons démontré que si $q\in [0;80]$ alors $-0,02q^2+1,1q-9=B(q)$. Autrement dit:}
			
			\begin{conclusion}
				
				Nous avons démontré que quelque soit $q\in[0;80]$ \[ B(q)=-0,02q^2+1,1q-9 \]
				
			\end{conclusion}
			
			\item \objectif{Résolvons l'inéquation $B(q)\ge 0$ sur $[0;80]$.}
			
			{\color{orange}En effet l'entreprise est bénéficiaire si $B(x)\ge 0$. }
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item $f(q)=q-45$ est une fonction affine avec: $a=1$ et $b=-45$.
				
				Le coefficient directeur est $a=1>0$ et $f$ s'annule clairement pour $x=45$.
				\item $g(q)=q-10$ est une fonction affine avec: $a=1$ et $b=-10$.
				
				Le coefficient directeur est $a=1>0$ et $f$ s'annule clairement pour $x=10$.
			\end{enumerate}
			
			Nous en déduisons {\color{orange}(sans oublier le facteur $-0,02$)}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$q$ /0.8, $\np{-0,02}$ /0.8, $q-45$ /0.8, $q-10$ /0.8, $B(q)$ /0.8}
				{$0$ ,$10$, $45$, $80$}
				\tkzTabLine{,-,t,-,t,-,}%
				\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,}%
				\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}%
				\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}%
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			Ce que nous interprétons sous la forme:
			
			\begin{conclusion}
				
				L'entreprise est bénéficiaire lorsqu'elle produit entre 10 et 45 tonnes de pâte à papier.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{exercicecorrection}
	
\end{correction}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		108 page 5 déclic 1ieme esl 2015.
		
	\end{notabene}
	
	Résolvez dans $\mathbb{R}$ l'inéquation \[ \frac{2x-3}{-2x^2+9x-4} \geqslant 0. \]
	
\end{exercice}

\begin{notabene}
	
	Exercice page 100 numéro 57 du manuel QCM.
	
\end{notabene}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		82 page 53 déclic 1ieme esl 2015.
		
	\end{notabene}
	
	\begin{enumerate}
		\item On se propose ici de résoudre l'équation: \[ 2x^4+3,5x^2-1=0  \quad (E) \]
		
		\begin{enumerate}
			\item Montrez qu'en posant $X=x^2$, l'équation $(E)$ s'écrit \[ 2X^2+3,5X-1=0 \quad (E') \]
			
			\item Résolvez l'équation $(E')$ d'inconnue $X$.
			
			\item Déduisez-en les solutions de l'équation $(E)$ en utilisant le fait que $X=x^2$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item En vous inspirant de la méthode précédente résolvez dans $\mathbb{R}\setminus \{ 1 \}$ l'équation: \[ 12 \left( \frac{1}{x-1} \right)^2 -10 \left( \frac{1}{x-1} \right)+2=0 \quad (F) \]
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		35 page 49 déclic 1ieme esl 2015.
		
	\end{notabene}
	
	Un architecte souhaite construire une arche parabolique. Il a décidé de modéliser sa construction par la représentation graphique du trinôme défini sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-0,08x^2+3,2x-14$ où $1$ unité correspond à $1$ mètre.
	
	\begin{enumerate}
		\item Résolvez l'équation $f(x)=0$.
		
		\item Déduisez-en la longueur de l'arche au sol.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Soient $n \in \mathbb{N}$ avec $n \geqslant 2$ et $x \in \mathbb{R}\setminus \{ 1\}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Développez, ordonnez et réduisez $(x-1)(x^3+x^2+x+1)$.
			\item Développez, ordonnez et réduisez $(x-1)(x^n+x^{n-1}+ \dots +x^2+x+1)$.
			\item Déduisez-en une expression de la somme $x^n+x^{n-1}+ \dots +x^2+x+1$ sous forme fractionnaire et en fonction de $x$.
			\item Démontrez que $2^n+2^{n-1}+\dots +2^2+2+1$ est un entier.
			\item Calculez $1+2+2^2+2^3+ \dots +2^{12}$.
		\end{enumerate}
		
		\item Soient $a\in\mathbb{R}^*$ et $g: x \mapsto x^n-a^n$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$.
		
		\begin{enumerate}
			\item Factorisez $g(x)$ par $a^n$.
			\item Utilisez alors le résultat de la question 1 (et éventuellement un changement de variable) pour établir une expression de $g(x)$ dans laquelle vous aurez factorisé par $x-a$.
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{correction}
	\begin{exercicecorrection}
		
		\begin{enumerate}
			\item 
			
			\begin{enumerate}
				
				\item \objectif{Développons, réduisons et ordonnons l'expression proposée.}
				
				\begin{align*}
				({\color{orange}x}{\color{violet}-1})(x^3+x^2+x+1) &= {\color{orange}x} \times x^3+{\color{orange}x} \times x^2+{\color{orange}x} \times x+{\color{orange}x} \times 1\\
				& \qquad+ ({\color{violet}-1}) \times x^3 +({\color{violet}-1}) \times x^2+ ({\color{violet}-1}) \times x + ({\color{violet}-1}) \times  \times 1\\
				&= x^4+x^3+x^2+x-x^3-x^2-x-1
				\intertext{Nous observons un télescopage des termes:}
				(x-1)(x^3+x^2+x+1) &= x^4+ (x^3-x^3) + (x^2-x^2) + (x-x)-1\\
				&= x^4-1
				\end{align*}
				
				\begin{conclusion}
					
					$(x-1)(x^3+x^2+x+1)=x^4-1$.
					
				\end{conclusion}
				
				\item 
				
				\begin{align*}
				&(x-1)(x^n+\dots +x+1)\\
				&= x^{n+1}+x^n + \dots + x^2+x-x^n-\dots-x-1\\
				&= x^{n+1}-1
				\end{align*}
				
				\item 
				
				\begin{align*}
				(2-1)(2^n+2^{n-1}+\dots +2^2+2+1) &= 2^{n+1}-1\\
				\intertext{On en déduit:}
				2^n+2^{n-1}+\dots +2^2+2+1 &= \frac{2^{n+1}-1}{2-1}\\
				&= 2^{n+1}-1
				\end{align*}
				
				\item 
				
				\begin{align*}
				1+2+2^2+2^3+ \dots +2^{12} &= 2^{12+1}-1\\
				&= 4095
				\end{align*}
			\end{enumerate}
			
			\item 
			\begin{enumerate}
				\item 
				
				\begin{align*}
				g(x) &= a^n \left( \frac{x^n}{a^n} -1 \right)\\
				&= a^n \left[ \left( \frac{x}{a} \right)^n -1 \right]
				\end{align*}
				
				\item Posons $X= \frac{x}{a}$.
				
				\begin{align*}
				g(x) &= a^n(X^n-1)\\
				&= a^n \left[ (X-1) (X^{n-1}+X^{n-2}+\dots +X+1) \right]\\
				&= (aX-a)(a^{n-1}X^{n-1}+ \dots +a^{n-1}x+a^{n-1})\\
				&= \left( a \frac{x}{a}-a \right) \left( a^{n-1} \frac{x^{n-1}}{a^{n-1}}+ \dots +a^{n-1}\frac{x}{a}+a^n \right)\\
				&= (x-a)(x^{n-1}+ax^{n-2}+ \dots +a^{n-2}x+a^{n-1})
				\end{align*}
				
			\end{enumerate}
		\end{enumerate}
		
	\end{exercicecorrection}
\end{correction}



\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}