%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
%\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{Blue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{Blue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{RoyalBlue}}{}

\newenvironment{remarques}{\color{Black!80}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. #1} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}
	
}{~\newline}

\newenvironment{exerciceapplication}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Application.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

\newenvironment{concours}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Concours.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

\newenvironment{recherche}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill { \color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Recherche.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration #1} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 
	
}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/1ieme.html}{Polynômes du second degré, forme factorisée.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{details}
\exclure{bareme}
\exclure{notabene}
%\exclure{exercicecorrection}
%\exclure{correction}
%\exclure{preuve}\exclure{corollaire}\exclure{lemme}\exclure{proposition}\exclure{theoreme}\exclure{culturegenerale}\exclure{remarques}\exclure{exemples}\exclure{definition}\exclure{lecon}
%\exclure{sujet}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Polynômes du second degré, forme factorisée.}

\subsection{Des polynômes.}

\begin{notabene}
	
	Pas de lecture ni d'écriture juste un exemple au tableau et rappel du vocabulaire. Les élèves notes.
	
\end{notabene}

\subsubsection{Pseudo définition.}

\begin{notabene}
	
	Ajouter des exercices de développement pour vérifier que c'est bien un trinôme.
	
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	La définition générale des polynômes (suites à supports finis) n'apporte pas grand chose. Contentons-nous de l'idée suivante: un polynôme est une formule de calcul. Par exemple $-2X^3+X+1$ est un polynôme. Ce n'est pas la fonction $x\mapsto -2x^3+x+1$ et ce n'est pas non plus le nombre $-2x^3+x+1$ lorsque $x$ est choisi dans $\mathbb{R}$.
	
\end{lecon}

\subsubsection{Vocabulaire et notation.}

\begin{lecon}
	
	Procédons à partir d'un exemple en notant $P(X)$ le polynôme \[ -9X^3+8X^2-7X+6. \]
	
	\begin{enumerate}
		\item $X$ est appelé une \emph{\color{purple}indéterminée}. C'est, pour nous un objet formel qui n'a pas de sens: ni un nombre, ni une inconnue.
		
		\item $-9X^3$, $8X^2$, $-7X$ et $6$ sont des \emph{\color{purple}monômes}. $-9X^3$ est un monôme de degré $3$. $8X^2$ est un monôme de degré $2$. $-7X$ est un monôme de degré $1$. $6$ est un monôme de degré $0$.
		
		\begin{correction}
			
			Plutôt que de parler monôme de degré $2$ on parle aussi de terme de degré $2$. Et $8$ sera appelé le coefficient de $X^2$ dans $P$.
			
		\end{correction}
		
		\item Cette expression développée, réduite et ordonnée du polynôme est appelée \emph{\color{purple}la forme développée} de $P$. Elle est unique. 
		
		Nous avons bien: $P(X)=X^4-9X^3+3X^2+5X^2-7X+6-X^4$, mais ce n'est pas la forme développée de $P$.
		
		\item Nous dirons que $P$ est \emph{\color{purple}polynôme de degré} $3$ car c'est le degré le plus grand de ses monômes dans sa forme développée. Cas particulier: un polynôme nul est de degré $-\infty$.
		
		\item $-9$ est appelé le \emph{\color{purple}coefficient dominant} de $P$, $6$ est appelé le \emph{\color{purple}terme constant}. $8$ et $-7$ sont respectivement les coefficients des monômes de degrés $2$ et $1$.
		
		Si très souvent les exemples et exercices font intervenir des entiers relatifs, les coefficients peuvent prendre n'importe quelle valeur réelle.
		
	\end{enumerate}
	
\end{lecon}


\begin{exercice}{}
	
	Donnez le coefficient du monôme de degré $1$ dans la forme développée du polynôme $X^3+2X-3X^2+4$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}Il n'y a pas de rédaction spéciale il faut être capable de lire le coefficient. Pour ne pas se tromper dans la lecture écrivons le polynôme sous forme développée, ordonnée et réduite: $X^3-3X^2+2X+4$. Le monôme de degré $1$ est $2X$ car $2X=2X^1$.}
	
	\begin{conclusion}
		
		Le coefficient du terme de degré $1$ est $2$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}
	
	Donnez le coefficient du monôme de degré $2$ dans la forme développée du polynôme $2X+1+4X^2+X^5-3X^2+4$.
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}La forme développée, ordonnée et réduite du polynôme est: $X^5+X^2+2X+5$. Le monôme de degré $1$ est $X^2=1 \times X^2$.}
	
	\begin{conclusion}
		
		Le coefficient du monôme de degré $2$ est $1$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}
	
	Donnez les coefficients des monômes de degré $0$ et $4$ dans la forme développée du polynôme $X^7-3X^2+X^4+4+2X^3-1$.
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}La forme développée, ordonnée et réduite du polynôme est: $X^7+X^4+2X^3-3X^2+3$. Le monôme de degré $0$ est $3=3X^0$.}
	
	\begin{conclusion}
		
		Le coefficient du monôme de degré $0$ est $3$.
		
		Le coefficient du monôme de degré $4$ est $1$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Égalité de polynômes.}

\begin{proposition}{ Égalité de polynômes.}
	
	Nous dirons que deux polynômes sont égaux si et seulement si tous les coefficients des monômes de même degré de leur forme développée sont égaux deux à deux.
	
\end{proposition}

\begin{remarques}
	
	\medskip
	Remarques.
	\begin{enumerate}
		\item En particulier deux polynômes égaux ont le même degré.
		
		\item Il en découle aussi que l'ensemble des polynômes est intègre: $PQ=0$ si et seulement si $P=0$ ou $Q=0$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{}
	
	Soient $P(X)=-2X^2+3X+7$ et $Q(X)= (2+a)X^2-3bX+7$ ou $a$ et $b$ désignent des nombres réels.
	
	Les polynômes $P$ et $Q$ peuvent-ils être égaux? Si oui, pour quelles valeurs de $a$ et $b$?
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\objectif{Vérifions par analyse-synthèse si $P$ et $Q$ peuvent être égaux.}
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item {\color{orange}Analyse: supposons qu'effectivement $P=Q$ et voyons les conséquences pour $P$ et $Q$.}
		
		D'après l'énoncé $P(X)=Q(X)$ équivaut à dire que  $-2X^2+3X+7 = (2+a)X^2-3bX+7$.
		
		Les deux polynômes apparaissant étant donnés sous forme développée, ordonnée et réduite, d'après la proposition précédente leurs coefficients sont égaux deux à deux: \[ \left\{ \begin{array}{rclr} -2 &=& 2+a & {\color{blue}(1)} \\ 3 &=& -3b & {\color{blue}(2)} \\ 7 &=& 7 \end{array}\right. \]
		
		{\color{orange}La troisième équation qui est toujours vraie est sans intérêt pour nous.}
		
		\medskip
		
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
			\item {\color{orange}L'équation {\color{blue}(1)} est une équation linéaire du premier degré pour la résoudre il suffit d'isoler l'inconnue. Faisons-le en détaillant.}
			
			\begin{align*}
			{\color{blue}(1)} &\Leftrightarrow -2 {\color{WildStrawberry}-2} = 2+a {\color{WildStrawberry}-2}\\
			&\Leftrightarrow -4=a 
			\end{align*}
			
			\item {\color{orange}De même pour l'équation {\color{blue}(2)}.}
			
			\begin{align*}
			{\color{blue}(2)} &\Leftrightarrow \frac{3}{\color{WildStrawberry}-3} = \frac{-3b} {\color{WildStrawberry}-3}\\
			&\Leftrightarrow -1=b 
			\end{align*}
			
		\end{enumerate}
		
		{\color{orange}À l'issue de cette phase de synthèse nous voyons que, forcément, pour que $P$ et $Q$ soient égaux il faut que: $a=-4$ et $b=-1$. Il nous reste à vérifier que si l'on choisit ces valeurs pour $a$ et $b$ cela fonctionne effectivement.}
		
		\item {\color{orange}Synthèse: vérifions que si $a=-4$ et $b=-1$ alors nous obtenons bien $P=Q$.}
		
		Le résultat est immédiat:
		
		\begin{align*}
		Q(X) &= (2+a)X^2 -3bX+7\\
		&= (2+(-4))X^2-3 \times (-1)X+7\\
		&= -2X^2+3X+7\\
		&= P(X)
		\end{align*}
		
	\end{enumerate}
	
	\begin{conclusion}
		
		Nous avons démontré par analyse-synthèse que $P=Q$ si et seulement si $a=-4$ et $b=-1$.
		
	\end{conclusion}
	
	\medskip
	{\color{orange}Comme souvent dans un raisonnement par analyse-synthèse il est possible de ne pas écrire la phase d'analyse et de se contenter de la phase de synthèse. En effet la phase d'analyse correspond à une démarche de recherche qui montre bien comment obtenir le résultat mais n'est pas indispensable.
		
		Pour cet exercice la phase d'analyse est extrêmement simple: on peut deviner le résultat et réduire la rédaction comme suit.}
	
	\medskip
	\objectif{Démontrons que $P$ peut être égale à $Q$.}
	
	Si $a=-4$ et $b=-1$ alors 
	
	\begin{align*}
	Q(X) &= (2+a)X^2 -3bX+7\\
	&= (2+(-4))X^2-3 \times (-1)X+7\\
	&= -2X^2+3X+7\\
	&= P(X)
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		Si $a=-4$ et $b=-1$, alors nous avons bien $P(X)=Q(X)$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}
	
	Soient $P(X)= \frac{1}{3}X^3+2X^2+X-2$ et $Q(X)= 3aX^3+2X^2+bX+\frac{c}{2}$ où $a$, $b$ et $c$ désignent des nombres réels.
	
	Les polynômes $P$ et $Q$ peuvent-ils être égaux? Si oui, pour quelles valeurs de $a$, $b$ et $c$?
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}
	
	$P=Q$ si et seulement si $a=\frac{1}{9}$, $b=1$ et $c=-4$.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}
	
	Soient $P(X)= -8X^3+3X^2-\frac{2}{3}X+\pi$ et $Q(X)= a^3X^3+(b-\pi)X^2+X+ \sqrt{c^2}$ où $a$, $b$ et $c$ désignent des nombres réels.
	
	Les polynômes $P$ et $Q$ peuvent-ils être égaux? Si oui, pour quelles valeurs de $a$, $b$ et $c$?
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}
	
	Si $P=Q$ alors $a=-\sqrt[3]{8}$, $b=3+\pi$, $-\frac{2}{3}=1$ et $c=\pi$ ou $c=-\pi$.
	
	Finalement peut importe les valeurs de $a$, $b$ et $c$ car de toutes façon ces polynômes ne peuvent pas être égaux puisque $-\frac{2}{3}=1$ est impossible.
	
	En fait 
	
	\begin{conclusion}
		
		nous avons démontré en raisonnant par l'absurde que $P\ne Q$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Polynôme et fonction polynomiale.}

\begin{lecon}
	
	Si $P(X)$ est un polynôme alors il est possible de lui associer de façon naturelle la fonction $\tilde{P}:x \mapsto P(x)$, l'ensemble de définition pouvant toujours être $\mathbb{R}$. $\tilde{P}$ est appelée \emph{\color{purple}une fonction polynomiale} mais par abus de langage elle sera également appelée polynôme.
	
\end{lecon}

\begin{remarques}
	
	\medskip
	Remarques.
	\begin{enumerate}
		\item Confondre un polynôme et une fonction polynomiale est effectivement un abus: avec un polynôme il n'y a aucune question de possibilité ou d'impossibilité d'un calcul.
		
		$f: \left\{ \begin{array}{ccl} [0;1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & x^2+3\end{array} \right.$ et $P(X)=X^2+3$ peuvent être confondus et pourtant $f(-1)$ n'a pas de sens contrairement à $P(-1)$.
		
		\item Si $P$ est polynôme et $\tilde{P}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ est une fonction polynomiale qui lui est associée alors, dans $\tilde{P}(x)$, $x$ est forcément un nombre réel. Par contre nous pourrons remplacer $X$ dans $P(X)$ par à peu près n'importe quoi: des nombres, des fonctions, des tableaux de nombres (matrices).
		
		\item Le polynôme est à la fonction ce que la bactérie est à l'être humain. Le polynôme est une forme simple et extrêmement robuste.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}


\begin{correction}
	
	\medskip
	L'exercice qui suit fait partie d'une famille de problèmes mathématiques appelés des problèmes d'interpolation. En physique cela revient à chercher un modèle qui vérifie un certain nombre de contraintes.
	
	Du point de vu des foncions l'exercice qui suit peut être vu comme la recherche d'une fonction polynomiale dont la courbe représentative doit passer par des points dont les coordonnées sont imposées: $(0;0)$, $(1;4)$ et $(2;1)$.
	
\end{correction}

\begin{exercice}{}
	
	Soit $P(X)$ un polynôme de degré $2$. Déterminez, si possible, $P$ de façon à ce que \[ \left\{ \begin{array}{l} P(0)=0 \\ P(1)=4 \\ P(2)= 1 \end{array} \right. \]
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}Nous devons déterminer s'il existe ou non un polynôme vérifiant les conditions imposées. Cette situation correspond à l'utilisation d'un raisonnement par analyse-synthèse.}
	
	\medskip
	\objectif{Déterminons si possible $P$ en raisonnant par analyse-synthèse.}
	
	\begin{enumerate}[*]
		
		\item {\color{orange}Analyse.}
		
		Nous savons que $P$ est un polynôme de degré deux donc il existe des nombres $a\in \mathbb{R}^*$ et $b$, $c\in \mathbb{R}$ tels que: $P(X)=aX^2+bX+c$.
		
		\medskip
		{\color{orange}Chacune des égalités de l'énoncé correspond à une condition imposée à $P$. Écrivons-les une à une.}
		
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
			\item 
			
			\begin{align*}
			P(0)=0 &\Leftrightarrow a \times 0^2+b \times 0+c=0\\
			&\Leftrightarrow c=0
			\end{align*}
			
			{\color{orange}Donc maintenant nous savons que $c$ doit être nul.}
			
			\item 
			
			\begin{align*}
			P(1)=4 &\Leftrightarrow a \times 1^2+ B \times 1 +0=4\\
			&\Leftrightarrow a+b=4
			\end{align*}
			
			{\color{orange}Une équation mais deux inconnues nous ne pourrons pas aller plus loin.}
			
			\item 
			
			\begin{align*}
			P(2) = 1 &\Leftrightarrow a \times 2^2 +b \times 2+0=1\\
			&\Leftrightarrow 4a+2b=1
			\end{align*}
			
		\end{enumerate}
		
		Ainsi $a$ et $b$ doivent forcément être solutions du système \[ \left\{ \begin{array}{cclr} a&+b&=4 &{\color{WildStrawberry}(1)}\\ 4a&+2b&=1 &{\color{WildStrawberry}(2)} \end{array} \right. \]
		
		\medskip
		{\color{orange}Résolvons ce système par la méthode dite \og par substitution\fg{}.}
		
		Isolons $a$ dans $\color{WildStrawberry}(1)$: $a=4-b$.
		
		En substituant $a$ dans $\color{WildStrawberry}(2)$ par $\color{OliveGreen}4-b$ nous avons: 
		
		\begin{align*}
		4 \times {\color{OliveGreen}(4-b)} +2b &= 1\intertext{ce qui équivaut successivement à:}
		4 \times 4 -4 \times b +2b &= 1\\
		16-4b+2b &= 1\\
		-2b+16 &= 1\\
		-2b +16 {\color{orange}-16} &= 1 {\color{orange}-16}\\
		-2b &= -15\\
		\frac{-2b}{\color{orange}-2} &= \frac{-15}{\color{orange}-2}\\
		b &= \frac{15}{2}
		\end{align*}
		
		{\color{orange}Maintenant que nous avons $b$ nous pouvons trouver la valeur de $a$ correspondant à une solution du système.}
		
		Puisque
		\begin{align*}
		a &= 4-b\\
		\intertext{nous avons:}
		a &= 4- \frac{15}{2}\\
		&= -\frac{7}{2}\\
		\end{align*}
		
		{\color{orange}Ainsi, s'il existe un polynôme $P$ qui convienne, nécessairement $a=-\frac{7}{2}$, $b=\frac{15}{2}$ et $c=0$. Vérifions que cela convient effectivement.}
		
		\item {\color{orange}Synthèse.}
		
		Choisissons $P(X)= -\frac{7}{2} X^2 +\frac{15}{2} X$.
		
		$P$ est bien un polynôme de degré deux.
		
		Et il aisé de vérifier par le calcul que $P(0)=0$, $P(1)=4$ et $P(2)=1$.
		
	\end{enumerate}
	
	\begin{conclusion}
		
		Nous avons démontré en raisonnant par analyse-synthèse qu'il existe un unique polynôme $P$ à savoir: $P(X)= -\frac{7}{2} X^2 +\frac{15}{2} X$.
		
	\end{conclusion}
	
	\medskip{\color{orange}Là encore il serait possible de parachuter l'expression de $P$ qui marche et de dire \og regardez celui fonctionne\fg{}.}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}
	
	Soit $P(X)$ un polynôme de degré $2$. Déterminez, si possible, $P$ de façon à ce que \[ \left\{ \begin{array}{l} P(0)=0 \\ P(1)=0 \\ P(-1)= 0 \end{array} \right. \]
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}
	
	Si un tel polynôme $P(X)=aX^2+bX+c$ existait alors nous aurions $a=b=c=0$. Or si $a=0$ ce n'est pas un polynôme de degré $2$ (il s'agit du polynôme nul).
	
	\begin{conclusion}
		
		Il n'existe donc pas de polynôme vérifiant les conditions de l'énoncé.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}
	
	Soit $P(X)$ un polynôme de degré $2$. Déterminez, si possible, $P$ de façon à ce que \[ \left\{ \begin{array}{l} P(0)=2 \\ P(-1)=-1 \\ P(1)= 2 \end{array} \right. \]
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}
	
	Si un tel polynôme $P(X)=aX^2+bX+c$ existait alors nous aurions $a=-\frac{3}{2}$, $b=\frac{3}{2}$ et $c=2$. Il est aisé de vérifier que $P(X)=-\frac{3}{2}X^2+\frac{3}{2}X+2$ convient.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}
	
	Soit $P(X)$ un polynôme de degré $2$. Déterminez, si possible, $P$ de façon à ce que \[ \left\{ \begin{array}{l} P(0)=0 \\ P(-1)=0 \\ P(1)= 1 \\ P(2)=-1 \end{array} \right. \]
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}[*]
		
		\item {\color{orange}Analyse.}
		
		En utilisant les trois premières conditions nous obtenons que si un tel polynôme $P(X)=aX^2+bX+c$ existait alors nous aurions $a=\frac{1}{2}$, $b=\frac{1}{2}$ et $c=0$. Il est aisé de vérifier que $P(X)=-\frac{3}{2}X^2+\frac{3}{2}X$ convient.
		
		\item {\color{orange}Synthèse.}
		
		Notons $P(X)=\frac{1}{2}X^2+ \frac{1}{2}X$. Si $P$ vérifie bien les trois premières conditions en revanche il ne vérifie pas la dernière: $P(2)\ne -1$.
		
	\end{enumerate}
	
	\begin{conclusion}
		
		Nous avons démontré par analyse synthèse qu'il n'existe pas de polynôme qui corresponde aux données de l'énoncé.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}
	
	Soit $P(X)$ un polynôme de degré $2$. Déterminez, si possible, $P$ de façon à ce que \[ \left\{ \begin{array}{l} P(0)=0 \\ P(-1)=0 \end{array} \right. \]
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}
	
	Si un tel polynôme $P(X)=aX^2+bX+c$ existait alors nous aurions $a=b$ et $c=0$.
	
	Nous avons donc une infinité de possibilités. Choisissons-en une particulière en prenant, par exemple $a=1$.
	
	\begin{conclusion}
		
		Le polynôme $P(X)=X^2+X$ convient.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Fonction polynomiale de degré deux.}

\begin{lecon}
	
	Cette définition est un cas particulier de tout ce que nous avons expliqué précédemment.
	
\end{lecon}

\begin{definition}
	
	Nous dirons qu'une fonction $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ est une \emph{\color{purple}fonction polynomiale de degré deux} si et seulement si il existe trois réels $a$, $b$ et $c$, avec $a\ne 0$, tels que, pour tout $x$ réel: \[ \color{purple} f(x)=ax^2+bx+x. \]
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\medskip
	Exemples.
	\begin{enumerate}
		
		\item $x \mapsto 4x^2+7x-3$ est une fonction polynomiale de degré deux avec $a=4$, $b=7$ et $c=-3$.
		
		\item $x\mapsto x^2$ est une fonction polynomiale de degré deux avec $a=1$, $b=0$ et $c=0$.
		
		\item $x \mapsto 7x-3$ n'est pas une fonction polynomiale de degré deux.
		
		\item Les fonctions inverse, racine carrée, valeur absolue, cube ne sont pas des fonctions polynomiales de degré deux.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\medskip
	Remarques.
	\begin{enumerate}
		
		\item Par abus de langage au lycée nous nous autoriserons à parler de \emph{\color{purple}fonction trinôme} ou même de \emph{\color{purple}trinôme} plutôt que de fonction polynomiale de degré deux.
		
		\item $a \ne 0$ car sinon ce serait une fonction affine.
		
		\item Nous parlerons encore de trinôme s'il s'agit de la restriction d'une fonction trinôme à une partie de $\mathbb{R}$. Ainsi $f: [-1;3[ \rightarrow \mathbb{R}$ qui à $x \in [-1;3[$ associe $7x^2+5x+3$ est encore appelée un trinôme.
		
		\item Par abus de langage nous parlerons de la forme développée pour signifier la forme développée, réduite et ordonnée de la fonction polynomiale de degré deux.
		
		\item La courbe représentative d'une fonction polynomiale de degré deux est appelée une \emph{\color{purple}parabole}.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsection{Racines.}

\subsubsection{Définition.}

\begin{definition}
	
	Soient 
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $n \in \mathbb{N}$,
		\item $a_n,\ \dots,\ a_1,\ a_0$ des nombres réels,
		\item $P(X)=a_nX^n+ \dots + a_1X+a_0$ un polynôme.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous appellerons \emph{\color{purple}racine} de $P$ tout nombre $\alpha$ tel que $P(\alpha)=0$.
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\medskip
	Remarques.
	\begin{enumerate}
		
		\item Autrement dit $\alpha$ est une racine de $P$ si et seulement si $\alpha$ est une solution de l'équation (polynomiale) $a_nx^n+\dots + a_1x+a_0=0$.
		
		\item Pour une fonction nous parlerons pas de racine mais de \emph{\color{purple}zéro} de la fonction.
		
		\item La nature du nombre $\alpha$ n'est pas précisée dans l'énoncé car ce peut être un nombre réel ou pas.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\medskip
	Exemples.
	\begin{enumerate}
		
		\item Si $P(X)=aX+b$ avec $a$ et $b$ des réels et $a\ne 0$ alors $P$ admet une unique racine $-\frac{b}{a}$.
		
		\item $X^2-1$ admet deux racines qui sont $1$ et $-1$.
		
		\item $X^3+X$ admet une unique racine dans l'ensemble des nombres réels qui est $0$.
		
		\item $X^2+1$ n'admet aucune racine dans l'ensemble des nombres réels.ne du polynôme nul. Il admet donc une infinité de racines.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsubsection{Racines évidentes.}

\begin{lecon}
	
	On appelle racines évidentes des racines dont les valeurs sont simples à deviner. Concrètement il s'agit en général de $0$, $1$, $-1$, $2$, $-2$.
	
	Lorsque nous devrons rechercher des racines avant d'essayer de résoudre des équations nous commencerons par tester des valeurs évidentes.
	
	Dans la pratique ce travail peut être réalisé à la calculatrice en utilisant la fonction polynomiale associée au polynôme étudié.
	
\end{lecon}

\begin{exercice}{}
	
	Déterminez des racines évidentes de $P(X)=-2X^2+2X+4$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}En faisant du calcul mental nous trouvons aisément des racines.}
	
	\medskip
	Nous remarquons que $P(-1)=0$ donc 
	
	\begin{conclusion}
		
		$-1$ est une racine de $P$.
		
	\end{conclusion}
	
	\medskip
	{\color{orange}Nous pourrions également utiliser la calculatrice pour trouver d'autres racines.
		
		\begin{enumerate}
			\item Entrez dans la calculatrice la fonction polynomiale associée à $P$ en appuyant sur \framebox{\color{black}$f(x)$}:
			
			\begin{center}
				\includegraphics[scale=0.5]{1ieme_algebre_01_polynomes_et_racines_01_racine_evidente_calculatrice_1.png}
			\end{center}
			
			\item A priori nous essayons avec le zoom standard en appuyant sur \framebox{\color{black}zoom}:
			
			\begin{center}
				\includegraphics[scale=0.5]{1ieme_algebre_01_polynomes_et_racines_02_racine_evidente_calculatrice_2.png}
			\end{center}
			
			Enfin nous conjecturons graphiquement:
			
			\begin{center}
				\includegraphics[scale=0.5]{1ieme_algebre_01_polynomes_et_racines_03_racine_evidente_calculatrice_3.png}
			\end{center}
			
			\item Nous aurions pu essayer avec e tableau de valeurs en appuyant successivement sur  \fcolorbox{black}{SkyBlue}{\color{white}2nde} puis \framebox{\color{black}graphe}:
			
			\begin{center}
				\includegraphics[scale=0.5]{1ieme_algebre_01_polynomes_et_racines_04_racine_evidente_calculatrice_4.png}
			\end{center}
		\end{enumerate}
		
		Que ce soit avec le tableau de valeurs ou avec la représentation graphiques nous observons deux racines.
		
		l'une $-1$ que nous avons déjà trouvée et l'autre semble être $2$. Une rapide vérification par le calcul nous permet finalement d'affirmer:
	}
	
	nous remarquons que $P(2)=0$ donc 
	
	\begin{conclusion}
		
		$2$ est une racine de $P$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}
	
	Déterminez des racines évidentes de $P(X)=X^3+2X^2-X-2$.
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}
	
	$-2$, $-1$ et $1$.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}
	
	Déterminez des racines évidentes de $P(X)=X^3+9X^2-4X-96$.
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}
	
	$-4$, $3$ et $-8$.
	
\end{exercicecorrection}


\subsubsection{Trouver des racines et factoriser.}

\begin{notabene}
	
	Donner l'énoncé et ne montrer que la réciproque.
	
\end{notabene}

\begin{proposition}{ Factorisation d'un polynôme.}
	
	Soient:
	\begin{enumerate}[.]
		
		\item $P$ un polynôme,
		
		\item $\alpha \in \mathbb{R}$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	$\alpha$ est une racine de $P$ si et seulement s'il existe un polynôme $Q$ tel que $P(X)=(X-\alpha) Q(X)$.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}
	
	Démontrons par conditions nécessaire et suffisante.
	
	\begin{enumerate}
		
		\item {\color{orange}Cette démonstration repose sur la division euclidienne de polynômes. Pour plus d'explications \emph{confer infra}.}
		
		\medskip
		\objectif{Supposons que $\alpha$ est une racine de $P$ et démontrons alors l'existence de $Q$.}
		
		En procédant à la division euclidienne de $P$ par $X-\alpha$ nous pouvons affirmer qu'il existe deux polynômes $Q$ et $R$ tels que: $P(X)= (X-\alpha)Q(X)+R(X)$ et $R$ de degré strictement inférieur à $1$.
		
		Autrement dit $R$ est une constante. Puisque $\tilde{P}(\alpha)=0$ nécessairement $R(\alpha)=0$.
		
		Ainsi: $P(X)=Q(X)(X-\alpha)$.
		
		\begin{conclusion}
			
			il existe donc bien un polynôme $Q$ tel que $P(X)=(X-\alpha)Q(X)$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item La réciproque est immédiate. En effet si $P(X)=(X-\alpha)Q(X)$ alors $P(\alpha) = (\alpha - \alpha)Q(\alpha)=0$, et donc $\alpha$ est une racine de $P$.
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\medskip
	Remarques.
	\begin{enumerate}
		
		\item Si $P$ est de degré $n$ et que $\alpha$ en est une racine alors $Q$ sera de degré $n-1$. Ceci sera très utile dans les exercices qui suivent.
		
		\item En tenant compte de la remarque précédente nous voyons qu'un polynôme de degré $n$ ne peut pas avoir plus de $n$ racines.
		
		\item En particulier si un polynôme de degré deux admet une racine alors il en admet forcément une seconde. Le polynôme est alors un produit de deux polynômes de degré un.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\medskip
	Exemples.
	\begin{enumerate}
		
		\item $1$ est une racine évidente de $X^3+X-2$. Et alors: $X^3+X-2=(X-1)(X^2+X+2)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{}
	
	Soit $P(X)=X^2+4X-21$ un polynôme dont $3$ est une racine. Donnez une expression factorisée de $P$ par $X-3$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\objectif{Déterminons une expression factorisée de $P$.}
	
	Puisque $3$ est une racine de $P$ et que $P$ est de degré deux il est possible de trouver un polynôme $Q$ de degré $1$ tel que: $P(X)=(X-3)Q(X)$.
	
	Autrement dit {\color{orange}$Q$ étant de degré $1$}, il est possible de trouver $a \in \mathbb{R}^*$ et $b \in \mathbb{R}$ tels que: $P(X)=(X-3)(aX+b)$.
	
	{\color{orange}Pour trouver les valeurs de $a$ et $b$ nous allons utiliser le fait que la forme développée d'un polynôme est unique. Trouvons la forme développée de $P$ avec $a$ et $b$.}
	
	\begin{align*}
	P(X) &= (X-3)(aX+b)\\
	&= aX^2+bX-3aX-3b\\
	&= aX^2+ (b-3a)X -3b
	\end{align*}
	
	Par identification avec la forme développée donnée dans l'énoncé: \[ \left\{ \begin{array}{l} a=1 \\ b-3a=4 \\ -3b=-21 \end{array} \right. \]
	
	Donc $a=1$ et $b=7$.
	
	Finalement
	
	\begin{conclusion}
		
		$P(X)= (X-3) (X+7)$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}
	
	Soit $P(X)=3X^3+2X^2-7X+2$ un polynôme dont $-2$ est une racine. Donnez une expression factorisée de $P$ par $X+2$.
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exerciceapplication}
	
	Soit $P(X)=2X^3-20X^2-34X+132$ un polynôme. Donnez une expression la plus factorisée possible de $P$.
	
\end{exerciceapplication}

\subsubsection{Forme factorisée d'une fonction polynomiale de degré deux.}

\begin{definition}
	
	Nous dirons qu'une fonction polynomiale de degré deux $f$ est donnée sous forme factorisée si son expression algébrique est sous la forme: \[ f(x)= a(x-x_1)(x-x_2),\]  où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels.
	 
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\medskip
	Exemples.
	\begin{enumerate}
		\item $2(X-1)(X-2)$ est une forme factorisée de polynôme de degré deux avec $a=2$, $x_1=1$ et $x_2=2$.
		
		\item $-3 \left( X-\frac{1}{3} \right) (X+4)$.
		
		\item $(X+3)(X+2)$.
		
		\item $-(X+1)(X+2)$.
		
		\item $(X-2)^2$.
		
		\item $X^2$.
		
		\item $(X+2)^2+1$.
		
		\item $(X+1)(X+2)(X+3)$.
				
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\medskip
	Remarques.
	\begin{enumerate}
		\item Si $a\ne 0$ alors toute expression de la forme de $a(X-x_1)(X-x_2)$ est un polynôme de degré deux:
		
		\begin{align*}
			a(X-x_1)(X-x_2) &= a \left[ X^2-x_2X -x_1X+x_1x_2 \right]\\
			&= a \left[ X^2-(x_1+x_2)X+x_1x_2 \right]\\
			&= aX^2-a(x_1+x_2)X+ax_1x_2
		\end{align*}
		
		\item Nous déduisons en particulier du développement précédent que la nombre $a$ apparaissant dans la formule factorisée est en fait le coefficient dominant de la fonction polynomiale de degré deux.
		
		\item Il n'est pas toujours possible de factoriser une fonction polynomiale de degré deux. Exemple classique à connaître: $x\mapsto x^2+1$ n'a pas de forme factorisée.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{}
	
	Déterminez la forme développée des polynômes de degré deux dont la forme factorisée est donnée ci-dessous.
	
	\begin{enumerate}
		\item $3(X-1)(X-3)$.
		
		\item $-2(X+2)(X+4)$.
		
		\item $\frac{1}{2} (X+1) \left( X+\frac{4}{3} \right)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\subsubsection{Factoriser pour trouver des racines.}

\begin{correction}
	
	La proposition précédente est une équivalence donc: si $P(X)=(X-\alpha)Q(X)$ alors $\alpha$ est une racine de $P$. Ainsi factoriser peut nous permettre de trouver des racines. Ce que nous avions déjà remarqué avec les équation produits.
	
\end{correction}

\begin{lecon}
	
	Rappelons que pour factoriser nous pouvons essayer successivement: de trouver un facteur commun, de reconnaître une identité remarquable, de faire une factorisation d'abord partielle.
	
\end{lecon}

\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}
	
	Dans cet exercice $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ désigne des nombres réels positifs (fixés). \emph{Ces nombres sont uniquement là pour gêner la recherche de racines évidentes.}
	
	Déterminez une racine des polynômes suivants.
	
	\begin{enumerate}
		\item $P(X)= 3X^7-2\pi X^5 +\alpha X^2$.
		\item $Q(X)= 9X^2+6X+1$.
		\item $R(X)= \gamma^2+ 3X^2 -2\sqrt{3}\gamma X$.
		\item $S(X)= \beta^2 -2X^2$.
		\item $T(X)= X^{17}-81X^{15}$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $P(X) = X^2(3X^5-2\pi X^3+\alpha)$. Donc $0$ est une racine.
		
		\item $Q(X) = (3X+1)^2$. Donc $-\frac{1}{3}$ est une racine de $Q$.
		
		\item $R(X) = (\sqrt{3}X-\gamma)^2$. Donc $\frac{\gamma}{\sqrt{3}}$ est une racine de $R$.
		
		\item $S(X) = (\beta -\sqrt{2}X) (\beta+\sqrt{2}X)$. Donc $\frac{\beta}{\sqrt{2}}$ est une racine de $S$.
		
		\item $T(X) = X^{15} (X^2-81)=X^{15} (X-9)(X+9)$. Donc $0$, $9$ et $-9$ sont des racines de $T$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}
	
	Dans cet exercice $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ désigne des nombres réels (fixés).
	
	Déterminez une racine des polynômes suivants.
	
	\begin{enumerate}
		\item $P(X)= \alpha X +\frac{1}{4} X^2+ \alpha^2$.
		\item $Q(X)= (X-1)+X^2-1$.
		\item $R(X)= X^2-\beta ^2+ (X+\beta)X^5$.
		\item $S(X)= (X^2+X+1)(X-2)-X^2(X-1)$.
	\end{enumerate}
	
\end{exerciceapplication}

\begin{correction}
\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $P(X) = \left( \frac{1}{2}X+ \alpha \right)^2$. Donc $-2\alpha$est une racine de $P$.
		
		\item $Q(X) = (X-1)(X+2)$. Donc $1$ et $-2$ sont des racines de $Q$.
		
		\item $R(X) = (X+\beta)(X^5+X-\beta)$. Donc $-\beta$ est une racine de $R$.
		
		\item $S(X) = -(X+2)$. Donc $-2$ est une racine de $S$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}
\end{correction}

\subsubsection{Somme et produit de racines.}

\begin{lecon}
	
	Par identification avec la forme développée, réduite et ordonnée, $P(X)=aX^2+bX+c$ nous voyons que \[ b= -a(x_1+x_2) \quad \text{et} \quad c=ax_1x_2. \]
	Autrement dit, puisque $a\ne 0$, \[ \color{purple} x_1+x_2=-\frac{b}{a} \quad \text{et} \quad x_1 x_2=\frac{c}{a}. \]
	
	Ces formules nous permettrons, à partir de la connaissance d'une racine simple de retrouver l'autre.
	
\end{lecon}

\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}
	
	Résolvez l'équation $-12X^2-24X+36=0$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}Nous reconnaissons un polynôme de degré deux. Nous essayons de reconnaître une identité remarquable. Cela ne fonctionnant pas nous essayons une racine simple.}
	
	Notons $P$ le polynôme de degré deux donnée sous forme développée avec: $a=-12$, $b=-24$ et $c=36$.
	
	\medskip
	\objectif{Déterminons les racines de $P$.}
	
	{\color{orange}Nous remarquons que} $P(1)=0$ donc $x_1=1$ est une racine de $P$.
	
	Or
	
	\begin{align*}
	x_1 x_2 &= \frac{c}{a}\\
	\intertext{donc:}
	1 \times x_2 &= \frac{36}{-12}\\
	\intertext{Enfin:}
	x_2 &= -3
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		L'ensemble des solutions de l'équation est $\mathscr{S}= \{ 1; -3 \}$.
		
	\end{conclusion}
	
	\medskip
	{\color{orange}Nous pourrions également trouver la forme factorisée de $P$: $P(x)=-12(X-1)(X+3)$.}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}
	
	Résolvez l'équation $P(x)=0$, puis donnez la forme factorisée de $P$ dans les cas suivants.
	
	\noindent
	\begin{tabular}{m{5cm}m{5cm}}
		\begin{enumerate}
			
			\item $P(X) = 7X^2-7X-14$.
			
			\item $P(X)=-4X^2+12X$.
			
			\item $P(X)=-3X^2-48X-45$.
			
			\item $P(X)=X^2-26X+48$.
			
			\item $P(X)=\frac{3}{2}X^2-\frac{1}{2}X-2$.
			
		\end{enumerate}
		
		&
		\begin{enumerate}
			
			\setcounter{enumi}{5}		
			\item $P(X)=-5X^2+2X+3$.
			
			\item $P(X)=4X^2-3X-7$.
			
			\item $P(X)=2X^2-5X-3$.
			
			\item $P(X)=-2X^2+4\sqrt{7}X-14$ après avoir calculé $P\left(\sqrt{7}\right)$.
			
		\end{enumerate}
	\end{tabular}
	
\end{exerciceapplication}

	\begin{exercicecorrection}
		
		\noindent
		\begin{tabular}{m{5cm}m{5cm}}
			
			\begin{enumerate}
				\item $P(X)=7(X+1)(X-2)$.
				
				\item $P(X)=-4(X-3)X$.
				
				\item $P(X)=-3(X+1)(X+15)$.
				
				\item $P(X)=(X-2)(X-24)$.
				
				\item $P(X)=\frac{3}{2}(X+1)\left( X-\frac{4}{3} \right)$.
				
			\end{enumerate}
			&
			\begin{enumerate}
				
				\setcounter{enumi}{5}
				
				\item $P(X)=-5(X-1)\left( X+\frac{3}{5} \right)$.
				
				\item $P(X)=4(X+1)\left( X-\frac{7}{4} \right)$.
				
				\item $P(X)=2(X-3)\left( X+\frac{1}{2} \right)$.
				
				\item $P(X)=-2(X-\sqrt{7})^2$.
				
			\end{enumerate}
			
		\end{tabular}
		
	\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Étude du signe d'une fonction polynomiale de degré deux.}

\begin{proposition}{}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $a$, $x_1$ et $x_2$ des nombres réels avec $a \ne 0$ et $x_1<x_2$,
		
		\item $f:x \mapsto a(x-x_1)(x-x_2)$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$.
		
	\end{enumerate}
	
	Si $a>0$ alors 
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f$ /0.8}
		{$-\infty$ ,$x_1$, $x_2$, $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}%
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Si $a<0$ alors 
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f$ /0.8}
		{$-\infty$ ,$x_1$, $x_2$, $+\infty$}
		\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}%
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\medskip
	Remarques.
	\begin{enumerate}
		\item Nous retiendrons la formulette suivante: {\color{WildStrawberry}le trinôme est du signe de son coefficient dominant saut entre ses racines}. Nous nous en servirons pour justifier les signe et pour mémoriser le résultat.
		
		\item 
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	
	\medskip
	Exemples.
	\begin{enumerate}
		\item 
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsubsection{Changement de variable.}

\begin{lecon}
	
	Lorsqu'un polynôme est trop complexe il est parfois possible et intéressant de substituer à l'indéterminée $X$ une autre indéterminée $Y$.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\medskip
	Exemples.
	\begin{enumerate}
		\item Si $P(X)= (X^3+1)^2+2(X^3+1) +1$ alors, en posant $Y=X^3+1$ et en remplaçant dans l'expression de $P$: $Q(Y)= Y^2+2Y+1$.
		
		Cela permet de simplifier la recherche de racines. En effet: $Q(Y)=(Y+1)^2$ donc $-1$ est une racine de $Q$. Puisque $Y=X^3+1$, nous avons $X^3=Y-1$. Donc $-\sqrt[3]{2}$ est une racine de $P$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{enumerate}
		\item En posant $Y=(2X)^2$ déterminez une racine de $P(X)=4X^4+12X^2+9$.
		
		\item En posant $Y=X+3$ déterminez une racine de $Q(X)= (X+3)^3-(X+3)^2+(X+3)-1$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exerciceapplication}
	
	\begin{enumerate}
		\item En posant $Y=(2x+1)^2$ déterminez toutes les racines de $P(X)=(2X+1)^4-18$.
		
		\item En posant $Y=3X^2$ déterminez toutes les racines de $Q(X)= 9X^4-6X^2+1$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exerciceapplication}

\subsubsection{Racines rationnelles. }

(EN COURS)

\subsection{Factorisation de $X^n-a^n$ par $X-a$.}

\begin{recherche}
	
	L'objectif  de cet exercice est de trouver une factorisation de $X^n-a^n$ par $X-a$ avec $a \in \mathbb{R}$ et $n\in\mathbb{N}$. Autrement dit il faut trouver un polynôme $Q$ tel que: $X^n-a^n = (X-a)Q(X)$.
	
	{\color{orange}Nous allons raisonner par disjonction des cas en distinguant suivant que $a=0$ ou $a=1$ ou une autre valeur. L'idée étant d'utiliser le résultat du cas $a=1$ pour le cas général.}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Que pensez-vous du résultat à démontrer dans le cas où $a=0$.
		
		\item Nous allons démontrer la réponse dans un cas particulier en supposant que $a=1$.
		
		\begin{enumerate}
			\item Trouvez une factorisation de $X^n-1$ par $X-1$ pour $n=0$, puis $n=1$ et  enfin $n=2$.
			
			\item \begin{notabene}
				
				Ajouter avec le cas $n=3$ à fire à la main pour conjecturer plus facilement le cas général.
				
			\end{notabene}
			
			On suppose maintenant $n \geqslant 3$.
			
			Développez, ordonnez puis réduisez $(X-1)(X^{n-1}+\dots +X^2+X+1)$ et concluez.
			
		\end{enumerate}
		
		\item Supposons maintenant que $a\in\mathbb{R}^*$.
		
		\begin{enumerate}
			\item Justifiez que $X^n-a^n= a^n \left[ \left( \frac{1}{a}X \right)^n - 1 \right]$.
			
			\item Donnez une expression de $X^n-a^n$ en procédant au changement de variable $Y=\frac{1}{a^n}X$.
			
			\item Déduisez-en la formule générale: \[ X^n-a^n = (X-a)\left( X^{n-1}+aX^{n-2}+ \dots +a^{n-2}X + a^{n-1} \right). \]
			
		\end{enumerate}			
		
	\end{enumerate}
	
	
\end{recherche}

Les exercices qui suivent utilisent la formule obtenue dans l'exercice précédent.

\begin{recherche}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Démontrer le résultat de factorisation par $X-\alpha$ sur un cas particulier.
		
		\begin{enumerate}
			\item $X^n-\alpha^n$.
		\end{enumerate}
		
	\end{notabene}
	
\end{recherche}

\begin{recherche}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Somme des termes successifs d'une suite géométrique.
		
	\end{notabene}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Nous souhaitons calculer $S=3^0+3^1+3^2+ \dots +3^{20}$.
		
		\begin{enumerate}
			\item D'après la question 2.(b) de l'exercice 22 combien vaut $(3-1)(3^0+3^1+3^2+ \dots +3^20)$?
			
			\item Déduisez-en la valeur de $S$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item Pour $x \in \mathbb{R} \setminus \{ 1 \}$ et $n \in \mathbb{N}^*$ induisez de la question précédente une expression fractionnaire de $1+x+x^2+ \dots +x^n$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{recherche}

\subsection{Arithmétique des polynômes.}

\subsubsection{Divisibilité.}

\begin{lecon}
	
	Nous dirons qu'un polynôme $P$ est divisible par un polynôme $D$ si et seulement si il existe un polynôme $Q$ tel que: $P=QD$.
	
	Nous avons déjà démontré que si $\alpha$ est une racine de $P$ alors $P$ est divisible par $X-\alpha$.
	
\end{lecon}

\subsubsection{Division euclidienne.}

\begin{lecon}
	
	Comme pour les entiers nous avons une division euclidienne.
	
	Si $P$ et $D$ sont deux polynômes alors il existe des polynômes $Q$ et $R$ tels que: $P(X)= Q(X) \times D(X)+R(X)$ avec $R$ de degré strictement inférieur à celui de $Q$.
	
	Nous retrouvons les mêmes idées que pour la division euclidienne dans $\mathbb{Z}$: $D$ est le diviseur, $Q$ le quotient, $R$ le reste. Si le reste, $R$, est nul alors $P$ est divisible par $D$ sinon $P$ n'est pas divisible par $D$.
	
\end{lecon}

\subsubsection{Division en potence des polynômes.}

\begin{notabene}
	
	\[ \begin{array}{rrrrr|rrr}
	X^3&+X^2 & &-1&& X &-1 & \\
	\cline{6-8}
	-X^3&+X^2 & && &X^2&+2X&+2\\
	\cline{1-2}
	&2X^2 & & && & & \\
	&-2X^2&+2X& && & & \\
	\cline{2-3}
	& &2X & && & & \\
	& &-2X&+2&& & & \\
	\cline{3-4}
	& & &+1&& & & \\
	\end{array} \]
	
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	Procédons sur un exemple: la division de ${\color{blue}2X^2}-3X+4$ par ${\color{red}X}+1$.
	
	En considérant les coefficients dominants nous remarquons que ${\color{blue}2X^2}= {\color{violet}2X}\cdot {\color{red}X}$. Nous allons commencer par soustraire ${\color{violet}2X} (X+1)={\color{BrickRed}2X^2+2X}$:
	
	\[ \begin{array}{rrrr|rrr}
	2X^2&-3X & +4 && X &+1 & \\
	\cline{5-7}
	\color{BrickRed}-(2X^2&\color{BrickRed}+2X) & & & \color{violet}2X&&\\
	\cline{1-2}
	&-5X &  & & & & \\
	\end{array} \]
	
	Abaissons le monôme suivant:
	
	\[ \begin{array}{rrrr|rrr}
	2X^2&-3X & \color{MidnightBlue}+4 && X &+1 & \\
	\cline{5-7}
	-(2X^2&+2X) & & & 2X&&\\
	\cline{1-2}
	&-5X & \color{MidnightBlue}+4 & & & & \\
	\end{array} \]
	
	En considérant les coefficients dominants nous remarquons que ${\color{blue}-5X}= {\color{violet}-5}\cdot {\color{red}X}$. Nous allons commencer par soustraire ${\color{violet}-5} (X+1)={\color{BrickRed}-5X-5}$:
	
	\[ \begin{array}{rrrr|rrr}
	2X^2&-3X & +4 && X &+1 & \\
	\cline{5-7}
	-(2X^2&+2X) & & & 2X& \color{violet}-5&\\
	\cline{1-2}
	&-5X & +4 & & & & \\
	&\color{BrickRed}-(-5X& \color{BrickRed}-5)& & & & \\
	\cline{2-3}
	& & 9 & & & & 
	\end{array} \]
	
	Ce que nous interpréterons avec l'égalité de la division euclidienne: \[ 2X^2-3X+4= (X+1)(2X-5)+9. \]
	
	\medskip
	Nous avons ainsi démontré que $2X^2-3X+4$ n'est pas divisible par $X+1$. Ce qui peut encore se reformuler en $-1$ n'est pas racine de $2X^2-3X+4$.
	
	\begin{notabene}
		
		\[ \begin{array}{rrrr|rrr}
		2X^2&-3X & +4 && X &+1 & \\
		\cline{5-7}
		-(2X^2&+2X) & & &2X&-5&\\
		\cline{1-2}
		&-5X & +4 & & & & \\
		&-(-5X&-5)& & & & \\
		\cline{2-3}
		& & 9 & & & & 
		\end{array} \]
		
	\end{notabene}
	
\end{lecon}

\begin{exercice}{}
	
	Procédez à la division euclidienne de $X^3+2X^2-7X+1$ par $X^2+2X+1$.
	
\end{exercice}

\begin{exerciceapplication}
	
	Procédez à la division euclidienne de $-2X^3+4X+12$ par $X^2+3$.
	
\end{exerciceapplication}

\subsubsection{Ordre de multiplicité d'une racine.}

\begin{lecon}
	
	Nous appellerons \emph{\color{purple}ordre de multiplicité d'une racine} $\alpha$ d'un polynôme $P$, le plus grand entier $m$ pour lequel $P$ est divisible par $(X-\alpha)^m$.
	
	En particulier si $m=2$ alors nous dirons que $\alpha$ est une \emph{\color{purple}racine double}.
	
	Nous verrons une méthode analytique utilisant la dérivation pour déterminer l'ordre de multiplicité d'une racine.
	
\end{lecon}

\begin{exercice}{}
	
	Démontrez que $-7$ est une racine de $P(X)=2X^2-28X+98$ dont l'ordre est $2$.
	
\end{exercice}

\begin{exerciceapplication}
	
	Démontrez que $-2$ est une racine de $P(X)=X^3-3X^2-24X-28$ dont l'ordre est $2$.
	
\end{exerciceapplication}

\subsection{Algorithme de Hörner.}

Notamment pour les élèves suivant la spécialité NSI.

\subsection{Exercices.}

\begin{notabene}
	
	Polynôme avec $n+1$ racines.
	
\end{notabene}

\begin{concours}
	
	\begin{notabene}
		
		bac stmg 2020 sujet 3.
		
	\end{notabene}
	
	L’entreprise SAVEUR fabrique et commercialise de l’extrait de parfum. Elle est en capacité d’en produire jusqu’à $34$ hectolitres par mois. On suppose que toute la production est vendue.
	
	On modélise le coût de production mensuel, en centaines d’euros, de $x$ hectolitres d’extrait de parfum par la fonction $C$ définie par $C(x) = 2x^2 + 12x + 240$, où $x \in [0 ; 34]$.
	
	Chaque hectolitre d’extrait de parfum est vendu $80$ centaines d’euros.
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			
			\item Calculer le coût de production mensuel et la recette réalisée par l’entreprise lorsqu’elle produit $6$ hectolitres d’extrait de parfum dans le mois.
			
			\item L’entreprise réalise-t-elle un profit lorsqu’elle produit et vend $6$ hectolitres d’extrait de parfum par mois?
			
		\end{enumerate}
		
		\item Démontrer que le bénéfice, en centaines d’euros, pour la vente de $x$ hectolitres d’extrait de parfum, est donné par la fonction $B$ définie par: \[ B(x) = -2x^2 + 68x - 240. \]
		
		\item 
		
		\begin{notabene}
			
			Guider la résolution en introduisant des étapes: justifier que telle valeur est une racine, expliquer pourquoi on peut factoriser sous quelle forme, rechercher les valeurs de $a$ et $b$.
			
		\end{notabene}
		Déterminez une forme factorisée de $B$.
		
		\item Étudier le signe de $B(x)$, pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $[0 ; 34]$, et en déduire la quantité d’extrait de parfum à produire et à vendre pour que l’entreprise ne travaille pas à perte.
		
	\end{enumerate}
	
\end{concours}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item 
			
			\begin{align*}
			C(6) &= 384
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Le coût de production mensuel pour $6$ hectolitres est de $\np{38400}\ \text{\euro}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			Par proportionnalité la recette pour $6$ hectolitres est
			
			\begin{align*}
			R(6) &= 6 \times 80\\
			&= 480
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				La recette pour $6$ hectolitres est de $\np{48000}\ \text{\euro}$
			\end{conclusion}
			
			\item 
			
			\begin{align*}
			R(6)-C(6) &= 480-384\\
			&= 96
			\end{align*}
			
			Comme $R(6)-C(6)>0$ 
			
			\begin{conclusion}
				
				L'entreprise réalise un bénéfice lorsqu'elle produit et vend $6$ hectolitre.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
		\item \objectif{Déterminons l'expression de $B(x)$.}
		
		Soit $x \in [0;34]$.
		
		Puisque
		
		\begin{align*}
		B(x) &= R(x)-C(x)\\
		\intertext{nous en déduisons successivement:}
		B(x) &= (80x)-(2x^2+12x+240)\\
		&= 80x-2x^2-12x-240\\
		&= -2x^2+68x-240
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\forall x \in [0;34],\ B(x)=-2x^2+68x-240$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Déterminons une expression factorisée de $B$.}
		
		{\color{orange}Les techniques usuelles (facteurs communs, identités remarquables, ...) ne donnent rien. Nous recherchons donc une racine évidente.}
		
		Nous remarquons: $B(4)=0$.
		
		Par conséquent le polynôme $B$ et factorisable par $(X-4)$. Donc il existe un polynôme $Q$ de degré $1$ ({\color{orange}un de moins que $B$}). Autrement dit il existe des nombres $a$ et $b$ tels que: \[ B(X)=(X-4)(aX+b). \]
		
		Déterminons $a$ et $b$.
		
		En développant la précédente de $B$:
		
		\begin{align*}
		B(X) &= aX^2+bX-4aX-4b\\
		&= aX^2+ (b-4a)X-4b
		\end{align*}
		
		Par identification des coefficients avec la forme développée de $B$ obtenue à la question précédente: \[ \left\{ \begin{array}{l} a=-2 \\ b-4a=68 \\ -4b=-240 \end{array} \right. \]
		
		Des première et troisième égalités nous déduisons: $a=-2$ et $b=60$.
		
		Finalement
		
		\begin{conclusion}
			
			$B(X)=(X-4)(-2X+60)$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Étudions le signe de $B$.}
		
		{\color{orange}Nous avons, à la question précédente, trouvé une expression factorisée de $B$ ce qui est toujours favorable à l'étude du signe. Commençons par étudier le signe de chacun des facteurs qui intervient dans l'expression factorisée de $B$.
			
			J'en profite pour rappeler deux présentations et justifications pour l'étude du signe d'une fonction affine.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item $f:x\mapsto x-4$ est une fonction affine avec $a=1$ et $b=-4$.
			
			$a>0$ donc $f$ est strictement croissante et de plus elle s'annule en $-\frac{b}{a}=- \frac{-4}{1}=4$. {\color{orange}Un raisonnement géométrique sur la droite qui est sa courbe représentative permet alors de conclure quand à son signe.}
			
			\item 
			
			\begin{align*}
			-2x+60 > 0 &\Leftrightarrow -2x>-60\\
			&\Leftrightarrow x< \frac{-60}{-2}\quad \text{car } -2<0\\
			&\Leftrightarrow x<30\\
			&\Leftrightarrow x \in ]-\infty ; 30[]
			\end{align*}
			
			De même: $-2x + 60=0 \Leftrightarrow x=30$.
			
			{\color{orange}Le troisième cas possible $a-2x+60<0$ se déduit des deux précédents.
				
				Nous avons ainsi le signe du facteur $-2x+60$ suivant les valeurs de $x$.}
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $x-4$ /0.8, $-2x+30$ /0.8, $B(x)$ /0.8}
			{$0$ ,$4$, $30$, $34$}
			\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}%
			\tkzTabLine{,+,t,+,z,-,}%
			\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			Pour que l'entreprise réalise un profit elle doit vendre entre $4$ et $30$ hectolitre.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{concours}
	
	\begin{notabene}
		
		bac stmg 2020 sujet 8 exercice 2.
		
	\end{notabene}
	
	Soit g la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par: \[ g(x) = \frac{1}{2} x^2 - x -\frac{3}{2}. \]
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Résoudre l’équation $g(x) = 0$.
		
		\item On a tracé ci-dessous la représentation graphique de la fonction $g$.
		
		\begin{center}
			
			Représentation graphique de la fonction $g$.
			
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.7,yscale=0.7]
			\def\xY{-3.4};
			\def\yY{-3.4};
			\def\xZ{5.4};
			\def\yZ{6.1};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {-3,-2,-1,1, 2,...,5}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {-3,-2,-1,1,2,...,5}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[red, thick][samples=100,domain=-3:5] plot(\x,{0.5*(\x+1)*(\x-3)});
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		Résoudre graphiquement l’équation $g(x) = 2$. On laissera sur le graphique les traces de raisonnement.
		
		\item On appelle $x_1$ la solution de l’équation $g(x) = 2$ appartenant à l’intervalle $[-2; -1]$ et $x_2$ la solution appartenant à l’intervalle $[3; 4]$. On cherche à déterminer un encadrement de $x_2$ d’amplitude $10^{-n}$.
		
		Pour cela on a écrit l’algorithme ci-dessous en langage Python.
		
		\begin{center}
			
			\begin{minipage}{8cm}
				\lstset{emph={g,balayage}, emphstyle=\color{red},
					emph={[2]x, pas}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
def g(x):
    return 0.5*(x+1)*(x-3)
def balayage(n):
    x=3
    pas=10**(-n)
    while g(x)<2:
    x=x+pas
    return (x-pas,x)
\end{lstlisting}
			\end{minipage}
			
		\end{center}
		
		Que faut-il taper dans la console pour obtenir un encadrement de $x_2$ d’amplitude $0,001$?
		
	\end{enumerate}
	
\end{concours}

\begin{correction}
\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item \objectif{Déterminons une expression factorisée de $g$.}
		
		{\color{orange}En effet pour résoudre, algébriquement, une équation qui n'est pas de degré $1$ nous essayons de nous ramener à une équation produit. Il n'y a ni facteur commun ni identité remarquable, nous recherchons donc des racines évidentes.}
		
		Nous avons: $g(-1)=g(3)=0$.
		
		Puisque $g$ est de degré deux cela signifie qu'il existe un nombre réel $a$ tel que: $g(X)=a(X+1)(X-3)$.
		
		En développant cette dernière expression nous avons
		
		\begin{align*}
		g(X) &= aX^2-2aX-3a
		\end{align*}
		
		Par identification avec la forme développée donnée dans l'énoncé nous en déduisons: $a=\frac{1}{2}$.
		
		Ainsi: $g(X)=\frac{1}{2}(X+1)(X-3)$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de l'équation $g(x)=0$ est $\mathscr{S}_1=\{ -1;3\}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item ~
		
		
		\begin{center}
			
			Représentation graphique de la fonction $g$.
			
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.7,yscale=0.7]
			\def\xY{-3.4};
			\def\yY{-3.4};
			\def\xZ{5.4};
			\def\yZ{6.1};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {-3,-2,-1,1, 2,...,5}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {-3,-2,-1,1,2,...,5}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[red, thick][samples=100,domain=-3:5] plot(\x,{0.5*(\x+1)*(\x-3)});
			\draw [OliveGreen,dashed,very thick] (\xY,2) -- (\xZ,2);
			\draw [OliveGreen,dashed,very thick] ({1+2*sqrt(2)},0) -- ({1+2*sqrt(2)},2);
			\draw [OliveGreen,dashed,very thick] ({1-2*sqrt(2)},0) -- ({1-2*sqrt(2)},2);
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de l'équation $g(x)=2$ est $\mathscr{S}_2= \{ -1,8;\ 3,8 \}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item 
		
		
		\begin{center}
			
			\begin{minipage}{5cm}
				\lstset{emph={g,balayage}, emphstyle=\color{red},
					emph={[2]x, pas}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
				\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
				>>> balayage(3)
				\end{lstlisting}
			\end{minipage}
			
		\end{center}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}
\end{correction}

\begin{concours}
	
	\begin{notabene}
		
		bac stmg 2020 sujet 9 exercice 3.
		
	\end{notabene}
	
	
	\begin{sujet}
		
		En 2022, une entreprise de l’agroalimentaire bio prévoit de produire $\np{60 000}$ tonnes d’un nouveau produit et de le vendre $800\ \text{\euro}$ la tonne. On estime que toute la production sera vendue et que le coût total de production, en euros, de $x$ tonnes de produit est \[ C(x)=0,01x^2 +250x +\np{2500000}. \]
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Exprimer la recette en euros pour $x$ tonnes de produit vendues.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire que le bénéfice en euros pour $x$ tonnes de produit fabriquées et vendues est \[ B(x)=-0,01x^2 + 550x - \np{2500000}, \] pour tout $x$ de $[0; \np{60000}]$.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Recopiez et complétez le tableau de valeurs suivants:
			
			\noindent
			\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{0.8cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
				\hline
				$x$ & $\np{1000}$ & $\np{2000}$ &$\np{3000}$ &$\np{4000}$ &$\np{5000}$ &$\np{6000}$ 
				\\
				\hline
				$B(x)$ & &&&&&
				\\
				\hline
			\end{tabularx}
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminez une factorisation de $B(x)$.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Donnez le tableau de signe de $B$.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle quantité de produit l’entreprise doit-elle produire et vendre pour réaliser un bénéfice?
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
\end{concours}

\begin{correction}
\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item Par proportionnalité la recette est en euro pour $x$ tonnes vendues
		
		\begin{conclusion}
			
			$R(x)=800x$ pour tout $x \in [0;60000]$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Déterminons le bénéfice.}
		
		\begin{align*}
		B(X) &= R(X) -C(X)\\
		&= 800X-(0,01X^2+250X+\np{2500000})\\
		&= 800X-0,01X^2-250X-\np{2500000}\\
		&= -0,01X^2+550X-\np{2500000}
		\end{align*}
		
		\item {\color{orange}Avec la calculatrice:}
		
		\noindent
		\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{0.8cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\hline
			$x$ & $\np{1000}$ & $\np{2000}$ &$\np{3000}$ &$\np{4000}$ &$\np{5000}$ &$\np{6000}$ 
			\\
			\hline
			$B(x)$ & $-\np{1960000}$ & $-\np{1440000}$ & $\np{-940000}$ & $\np{-460000}$ & $0$ & $\np{440000}$
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
		
		\item \objectif{Déterminons une factorisation de $B$.}
		
		D'après la question précédente $B(5000))0$ et puisque $B$ est un polynôme de degré deux il existe des réels $a$ et $b$ tels que:
		
		\begin{align*}
		B(X)=(X-5000)(aX+b)\\
		\intertext{Autrement dit en dévelopant:}
		B(X) &= aX^2+(b-5000a)X-5000b
		\end{align*}
		
		Par identification avec la forme développée donnée à la question 2: \[ \left\{ \begin{array}{l} a=-0,01 \\ b-5000a=550 \\ -5000b= -2500000 \end{array} \right. \]
		
		Nous en déduisons $a=-0,01$ et $b=500$.
		
		\begin{conclusion}
			
			$B(X)=(X-5000)(-0,01X+500)$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Étudions le signe de $B$.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item $f:x\mapsto -0,01x+500$ est une fonction affine avec $a=-0,01$ et $b=500$.
			
			$a<0$ donc $f$ est strictement décroissante et de plus elle s'annule en $-\frac{b}{a}=- \frac{500}{-0,01}=50000$.
			
			\item 
			
			\begin{align*}
			x-5000 > 0 &\Leftrightarrow x>5000\\
			&\Leftrightarrow x \in ]5000; +\infty[
			\end{align*}
			
			De même: $x-5000=0 \Leftrightarrow x=5000$.
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $-\np{0,01}x+500$ /0.8, $x-5000$ /0.8, $B(x)$ /0.8}
			{$0$ ,$\np{5000}$, $\np{50000}$, $\np{60000}$}
			\tkzTabLine{,+,t,+,z,-,}%
			\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}%
			\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item D'après le précédent tableau de signe
		
		\begin{conclusion}
			
			Pour que l'entreprise réalise un profit elle doit vendre entre $\np{5000}$ et $\np{50000}$ tonnes.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}
\end{correction}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}