%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks} et non pas enumerate puis \task et non pas \item

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. #1} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}
	
}{~\newline}

%environnement exercice supplémentaire
%\newenvironment{exercicesup}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\footnotesize\color{violet}Exercice \theExercice{} pour s'entraîner. } \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{violet}\footnotesize}{\medskip}
\newenvironment{exerciceapplication}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Application.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

\newenvironment{concours}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Concours.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

\newenvironment{recherche}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill { \color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Recherche.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{théorème}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration #1} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 
	
}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/0ieme_specialite_cpge_scientifique.html}{Équations différentielles.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{details}
\exclure{bareme}
\exclure{notabene}
%\exclure{exercicecorrection}
\exclure{correction}
%\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Équations différentielles.}

\begin{notabene}
	
	Les élèves n'ayant pas vu les nombres complexes introduction avec la résolution des trinômes dans le cas complexe. Approche naïve écriture des racines négatives.
	
	Par exemple $x^2+1=0$.
	
	Puis $x^2+x+1=0$.
	
\end{notabene}

Dans cette leçon nous avons adopter un parti-pris, celui de ne considérer que des fonctions définies sur $\mathbb{R}$.

\subsection{Généralités.}

Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue n'est pas un nombre mais une fonction et éventuellement ses dérivées successives.

Les fonctions sont souvent notées $y$ dans les équations différentielles.

\begin{correction}
	
La fonction \emph{\color{purple}exponentielle} est l'unique solution sur $\mathbb{R}$ du \emph{\color{purple}problème de Cauchy} (une équation différentielle et une condition initiale) \[ \left\{ \begin{array}{l} y'=y \\ y(0)=1 \end{array} \right.\]

\medskip
Il existe un très grand nombre d'équations différentielles. Un vocabulaires spécifique a donc été développé pour les distinguer et développer des méthodes de résolutions spécifiques.

L'\emph{\color{purple}ordre} désigne l'ordre de dérivation de $y$. Par exemple $y'=y$ est d'ordre 1 et $y''+y'+y=0$ est d'ordre 2.

Les \emph{\color{purple}équations différentielles linéaires} du premier ordre sont les équations de la formes $\alpha y'+\beta y=\gamma$, où $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ sont des fonctions.

Les \emph{\color{purple}équations différentielles linéaires} du second ordre sont les équations de la formes $\alpha y''+\beta y' +\gamma y =h $, où $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ et $h$ sont des fonctions.

Une équation différentielle linéaire est dite \emph{\color{purple}homogène} (ou sans second membre) si elle est de la forme $\alpha y'+\beta y =0 $ (ordre un) ou $\alpha y''+\beta y' +\gamma y = 0 $ (ordre deux).

\end{correction}

\subsection{Vérifier qu'une fonction est solution d'une équation différentielle.}

\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}
	
	On considère l'équation différentielle $(E) : 2 y' -  3y = 6$. Dites si la fonction $f$ est solution de $(E)$ dans les cas suivants:
	
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		\begin{enumerate}
		\item $f : \:x \to \text{e}^{\frac{3}{2}x} + 2$
		\item $f : \:x \to \text{e}^{- \frac{3}{2}x} - 2$
		\end{enumerate}
		&
		\begin{enumerate}
		\setcounter{enumi}{2}
		\item $f : \:x \to \dfrac{2}{3}\left(\text{e}^{\frac{3}{2}x + 1} - 3\right)$ 
		\item $f : \:x \to \dfrac{2}{3}\left(\text{e}^{-\frac{3}{2}x + 1} - 3\right)$ 
		\end{enumerate}
		\\ 
	\end{tabularx}

\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{align*}
			f'(x) &= \frac{3}{2} \mathrm{e}^{\frac{3}{2}x}\\
			\intertext{donc:}
			2f'(x)-3f(x) &= 2\frac{3}{2} \mathrm{e}^{\frac{3}{2}x} -3 \left( \mathrm{e}^{\frac{3}{2} x} +2 \right)\\
			&=3 \mathrm{e}^{\frac{3}{2}x} -3\mathrm{e}^{\frac{3}{2}x}-6\\
			&= -6
		\end{align*}
		
		$f$ n'est pas solution de l'équation différentielle.
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			f'(x) &= -\frac{3}{2} \mathrm{e}^{\frac{3}{2}x}\\
			\intertext{Donc:}
			2f'(x)-3f(x) &= 2 \times \left( -\frac{3}{2} \mathrm{e}^{\frac{3}{2}x} \right) -3 \left( \frac{3}{2} \mathrm{e}^{\frac{3}{2}x}-2 \right)\\
			&= -\frac{15}{2} \mathrm{e}^{\frac{3}{2}x}+6
		\end{align*}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			f'(x) &= \mathrm{e}^{\frac{3}{2}x+1}\\
			\intertext{Donc:}
			2f'(x)-3f(x) &= 2\mathrm{e}^{\frac{3}{2}x+1}-3 \frac{2}{3} \left( \mathrm{e}^{\frac{3}{2}x+1} -3 \right)\\
			&= 6
		\end{align*}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			f'(x) &= -\mathrm{e}^{-\frac{3}{2}x+1}\\
			\intertext{Donc:}
			2f'(x)-3f(x) &= -2\mathrm{e}^{-\frac{3}{2}x+1}-3 \frac{2}{3} \left( \mathrm{e}^{\frac{3}{2}x+1} -3 \right)\\
			&= -4\mathrm{e}^{-\frac{3}{2}x+1}+6
		\end{align*}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}

	La solution de l'équation différentielle (E) : $y' = - \dfrac{1}{4}y$  vérifiant la condition initiale $y(0) = \text{e}$ est :

	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
	\begin{enumerate}
	\item $\displaystyle y(x) = \text{e}^{- \frac{1}{4}x + 1}$
	\item $\displaystyle y(x) = \text{e}^{- \frac{1}{4}x}$
	\end{enumerate}
	&
	\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{2}
	\item $\displaystyle y(x) = \text{e}^{- 4x + 1}$
	\item $\displaystyle y(x) = \text{e}^{\frac{1}{4}x + 1}$.
	\end{enumerate}
	\\ 
	\end{tabularx}

\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $y'(x)=-\frac{1}{4} \mathrm{e}^{-\frac{1}{4}x+1}$ et $y(0)=\mathrm{e}$.
		
		\item $y'(x)= -\frac{1}{4} \mathrm{e}^{-\frac{1}{4}x}$ et $y(0)=1$.
		
		\item $y'(x)=-4\mathrm{e}^{-4x+1}$.
		
		\item $y'(x)= \frac{1}{4} \mathrm{e}^{\frac{1}{4}x+1}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}
	
	Une solution de l'équation différentielle (E): $y^{\prime} - 3y = 5$ est:
	
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		\begin{enumerate}
		\item $y(x) = 5\text{e}^{3x} + \dfrac{5}{3}$
		\item $y(x) = 3\text{e}^{3x} - \dfrac{5}{3}$
		\end{enumerate}
		&
		\begin{enumerate}
		\setcounter{enumi}{2}
		\item $y(x) = 5\text{e}^{3x} - \dfrac{5}{3}$
		\item $y(x) = 3\text{e}^{3x} + \dfrac{5}{3}$
		\end{enumerate}
		\\ 
	\end{tabularx}

\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $y'(x)=15\mathrm{e}^{3x}$.
		
		\begin{align*}
			y'(x)-3y(x) &= 15\mathrm{e}^{3x} -3 \left( 5\mathrm{e}^{3x} + \dfrac{5}{3} \right) \\
			&= 15\mathrm{e}^{3x} -15\text{e}^{3x} - 5 \\
			&= -5
		\end{align*}
		
		\item $y'(x)=9\mathrm{e}^{3x}$.
		
		\begin{align*}
			y'(x)-3y(x) &= 9\mathrm{e}^{3x} -3 \left( 5\mathrm{e}^{3x} - \dfrac{5}{3} \right) \\
			&= 9\mathrm{e}^{3x} -15\mathrm{e}^{3x} + 5\\
			&= -6\mathrm{e}^{3x} + 5
		\end{align*}
		
		\item $y'(x)= 15\mathrm{e}^{3x}$.
		
		\begin{align*}
			y'(x)-3y(x) &= 15\mathrm{e}^{3x} -3 \left( 5\mathrm{e}^{3x} - \dfrac{5}{3} \right) \\
			&= 15\mathrm{e}^{3x}-15\mathrm{e}^{3x}+5\\
			&= 5
		\end{align*}
		
		\item $y'(x)= 9 \mathrm{e}^{3x}$.
		
		\begin{align*}
			y'(x)-3y(x) &= 9 \mathrm{e}^{3x} -3 \left( 3\mathrm{e}^{3x} + \dfrac{5}{3} \right) \\
			&= 9\mathrm{e}^{3x} -9 \mathrm{e}^{3x}-5\\
			&= -5
		\end{align*}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}
	
	Une solution de l'équation différentielle $y' =  -3y + 4\text{e}^{- 2x}$	est:
	
		\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		\begin{enumerate}
		\item $y(x) = \text{e}^{-3x} + \dfrac{4}{3}\text{e}^{2x}$
		\item $y(x) = 4\text{e}^{-3x} - 1$
		\end{enumerate}
		&
		\begin{enumerate}
		\setcounter{enumi}{2}
		\item $y(x) = 4\text{e}^{-3x} - \dfrac{1}{3}$
		\item $y(x) = 4\text{e}^{-2x}$
		\end{enumerate}
		\end{tabularx}

\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $y'(x)=-3\mathrm{e}^{-3x} + \frac{8}{3} \mathrm{e}^{2x}$.
		
		\begin{align*}
			-3y(x)+4\mathrm{e}^{-2x} &= -3\left( \mathrm{e}^{-3x} + \dfrac{4}{3}\text{e}^{2x} \right) +4\mathrm{e}^{-2x}\\
			&= -3\mathrm{e}^{-3x}-4\mathrm{e}^{2x}+4\mathrm{e}^{-2x}
		\end{align*}
		
		\item $y'(x)=-12\mathrm{e}^{-3x}$.
		
		\begin{align*}
			-3y+4\mathrm{e}^{-2x} &= -3 \left( 4\mathrm{e}^{-3x} -2 \right)+4\mathrm{e}^{-2x}\\
			&= -12\mathrm{e}^{-3x}+6+4\mathrm{e}^{-2x}
		\end{align*}
		
		\item $y'(x)=-12\mathrm{e}^{-3x}$.
		
		\item $y'(x) = -8\mathrm{e}^{-2x}$.
		
		\begin{align*}
			-3y(x)+4\mathrm{e}^{-2x} &= -3 \left( 4\mathrm{e}^{-2x} \right) +4\mathrm{e}^{-2x}\\
			&= -12\mathrm{e}^{-2x} +4\mathrm{e}^{-2x}\\
			&= -8\mathrm{e}^{-2x}\\
			&= y'(x)
		\end{align*}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\subsection{Équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients constants normalisées.}

\subsubsection{Définition.}

\begin{définition}
	
	Nous appellerons l'\emph{\color{purple}équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants normalisée} toute équation différentielle de la forme \[ y'+ay=b \] avec $(a,b)\in \mathbb{R}^2$.
	
\end{définition}

\medskip
Remarques.
\begin{enumerate}
	
	\item Si $a=-1$ l'équation devient $y'=y$. Nous reconnaissons l'équation définissant la fonction exponentielle.
	
	\item L'expression \emph{\color{purple}normalisée} signifie que le coefficient de la fonction inconnue la plus dérivée est $1$.
	 
	\item Nous dirons qu'une équation différentielle linéaire est \emph{\color{purple}homogène} lorsque tous les termes contiennent la fonction inconnue ou ses dérivées. En particulier il n'y pas de termes constant. Ainsi: $y'-3y=2$ n'est pas homogène à cause du $2$ par contre $y'-3y=0$ est homogène.
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Résolution de l'équation homogène.}

\begin{théorème}
	
	L'ensemble des solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle $y'+ay=0$, avec $a\in\mathbb{R}$, est formé des fonctions définies par \[ \forall x\in \mathbb{R},\ y(x)=k\mathrm{e}^{-ax} \] où $k$ décrit $\mathbb{R}$.
	
\end{théorème}

\begin{preuve}
	
	La démonstration se fait en deux temps (double inclusion):
	\begin{enumerate}
		\item Si une fonction est de la forme $x\mapsto K\mathrm{e}^{-ax}$ alors c'est une solution de l'équation différentielle.
		\item Si $y$ est une solution de l'équation différentielle alors la dérivée de $y(x).\mathrm{e}^{ax}$ est nulle et donc $y$ est bien de la forme $K\mathrm{e}^{-ax}$.
	\end{enumerate}

\end{preuve}

\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}
	
	Résolvez l'équation différentielle $6y'-5y=0$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\objectif{Résolvons l'équation $(E_0) \quad y'-\frac{5}{6}y=0$.}
	
	Nous reconnaissons une équation différentielle linéaire d'ordre un à coefficients constants normalisée et homogène donc l'ensemble des solutions de cette équation est 
	
	\begin{conclusion}
		
		$\mathscr{S} = \left\{ x\mapsto k\mathrm{e}^{\frac{5}{6}x}\ |\ k\in\mathbb{R}  \right\}$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}
	
	\begin{notabene}
		
		Nous remarquons ici qu'en ajoutant une condition initiale ou aux limites nous obtenons une unique solution à l'équation linéaire homogène d'ordre un à coefficients constants. C'est un résultat général qui est connu comme le théorème de Cauchy-Lipschitz.
		
	\end{notabene}
	
	Déterminez la solution de l'équation différentielle $-2y'=7y$ qui prend la valeur $-3$ en $2$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\objectif{Résolvons l'équation $(E_0) \quad y'+\frac{7}{2}y=0$ sachant que $y(2)=-3$.}
	
	Nous reconnaissons une équation différentielle linéaire d'ordre un à coefficients constants normalisée et homogène donc l'ensemble des solutions de cette équation est $\mathscr{S} = \left\{ x\mapsto k\mathrm{e}^{-\frac{7}{2}x}\ |\ k\in\mathbb{R}  \right\}$.
	
	Or $y(2)=-3$ donc:
	
	\begin{align*}
		 k\mathrm{e}^{-\frac{7}{2}\times 2} &= -3\\
		 \intertext{Ceci équivaut successiement à:}
		 k\mathrm{e}^{-7} &= -3\\
		 k &= -3\mathrm{e}^7
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		Le problème admet une unique solution: $x \mapsto -3\mathrm{e}^{-\frac{7}{2}x+7}$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Résolution de l'équation avec second membre.}

\begin{théorème}
	
	Soient $a$ et $b$ deux réels avec $a\ne 0$.
	
	\medskip
	L'ensemble des solutions de l'équation différentielle $y'+ay=b$ est l'ensemble des fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par: $x \mapsto k\mathrm{e}^{-ax}+\frac{b}{a}$ où $k$ décrit $\mathbb{R}$.

\end{théorème}

\medskip
Remarques:
\begin{enumerate}
	
	\item $x\mapsto \frac{b}{a}$ est une solution particulière de l'équation différentielle $y'+ay=b$. Nous dirons que les solution de l'équation avec second membre sont la somme d'une solution de l'équation homogène et d'une solution particulière de l'équation (avec second membre).
	
\end{enumerate}

\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}
	
	Résolvez l'équation différentielle $3y'-y=2$.

\end{exercice}

\begin{exerciceapplication}
	
	Déterminez la solution de l'équation différentielle $-2y'+4y=7$ dont la courbe représentative dans un repère cartésien passe par le point $A$ de coordonnées $(-1;1)$.

\end{exerciceapplication}

\subsection{Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants.}

\subsubsection{Définition.}

\begin{définition}

	Nous appellerons \emph{\color{purple}équation linéaire homogène du second ordre à coefficients constants} toute équation de la forme \[ ay''+by'+cy=0, \] avec $(a,b,c)\in \mathbb{R}^* \times \mathbb{R}^2$.
	
	\medskip
	L'équation $ax^2+bx+c=0$ est appelée l'\emph{\color{purple}équation caractéristique} de l'équation différentielle $ay''+by'+cy=0$.

\end{définition}

\subsubsection{Équation homogène.}

\begin{théorème}
		
	Soient:
	\begin{enumerate}[.]
		\item $(a,b,c) \in \mathbb{R}^* \times \mathbb{R}^2$,
		
		\item $(E): ax^2+bx+c=0$ l'équation caractéristique associée à l'équation différentielle $ay''+by'+c=0$,
		
		\item $\mathscr{S}$ l'ensemble des solutions de l'équation différentielle.
		
	\end{enumerate}
			
	\medskip
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Si $(E)$ admet deux solutions réelles distinctes $r_1$ et $r_2$ alors \[ \mathscr{S} = \left\{ x\mapsto A\mathrm{e}^{r_1x}+B\mathrm{e}^{r_2x} \ | \ (A,B) \in \mathbb{R}^2 \right\}. \]
	
		\item Si $(E)$ admet une unique solution $r_0$, alors \[ \mathscr{S} = \left\{ x\mapsto (Ax+B)\mathrm{e}^{r_0x}\ | \ (A,B) \in \mathbb{R}^2\right\}. \]
		
		\item Si $(E)$ admet deux solutions complexes conjuguées $\alpha +i\beta$ et $\alpha -i\beta$, avec $(\alpha,\beta)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}$, alors \[ \mathscr{S} = \left\{ x\mapsto \mathrm{e}^{\alpha x} \left( A\cos (\beta x)+B\sin(\beta x) \right) \ | \ (A,B) \in \mathbb{R}^2 \right\}.\]
		
	\end{enumerate}

\end{théorème}

\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}
	
	Résolvez les équations différentielles suivantes
	
	\begin{enumerate}
		\item $4y''-3y'-y=0$.
		\item $4y''-4y'+y=0$
		\item $y''+y'+y=0$
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}
	
	Résolvez $y''+\omega ^2y=0$ où $\omega \in\mathbb{R}_+$ est fixé.
	
\end{exercice}

\begin{correction}
\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{align*}
		\Delta &= b^2-4ac\\
		&= 0^2-4 \times 1 \times \omega^2\\
		&= -(2\omega)^2
	\end{align*}
	
	$\Delta<0$ donc il y a deux racines complexes conjuguées:
	
	\begin{align*}
		r_1 &= \frac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}\\
		&= \frac{-0-i\sqrt{(2\omega)^2}}{2 \times 1}\\
		&= i\omega
	\end{align*}
	Et de même: $r_2=-i\omega$.
	
	Donc les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions de la forme $x\mapsto A\cos (\omega x) - B \sin(\omega x)$ avec $(A,B) \in \mathbb{R}$.
	
	\medskip
	Les physiciens préfèrent une autre présentation de cette solution: $x \mapsto x_m\cos \left( \omega x+ \varphi \right)$. Cette autre façon de présenter les solutions découle de l'utilisation de la formule trigonométrique $\cos (a+b)= \cos(a) \cos(b)-\sin(a) \sin(b)$ et de l'écriture du couple $(A,B)$, interprété comme des coordonnées cartésiennes, avec des coordonnées polaires.
	
\end{exercicecorrection}
\end{correction}

\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}
	
	Déterminez la fonction $f$ solution de l'équation différentielle $y''+y'-2y=0$ telle que $f(0)=3$ et $f'(0)=-2$.
	
\end{exercice}

\subsubsection{L'équation avec second membre.}

Comme pour les équations du premier ordre les solutions de l'équation avec second membre sont les sommes des solutions de l'équation homogène et d'une solution particulière de l'équation avec second membre.

\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}
	
	Dans chaque cas vérifiez que $f_0$ est une solution de l'équation avec second membre et déduisez-en l'ensemble des solutions de l'équation différentielle.
	
	\begin{enumerate}
		
		\item $y''-4y'+4y=(x^2+1) \mathrm{e}^x$ et $f_0:x \mapsto (x^2+4x+7) \mathrm{e}^x$.
		
		\item $y''+y=\cos^3(x)$ et $f_0:x\mapsto \frac{3}{8} x \sin(x)-\frac{1}{32}\cos (3x)$.
		
	\end{enumerate}
	
	
\end{exercice}
\subsection{Exercices.}

\begin{exercice}{}
	
	Déterminez l'ensemble des solutions des équations différentielles suivantes:
	
		\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		\begin{enumerate}
		\item $5y'-2y=0$
		\item $5y''+3y'-2y=0$
		\end{enumerate}
		&
		\begin{enumerate}
		\setcounter{enumi}{2}
		\item $4y''+12y'+9y=0$ 
		\item $y''-6y'+13y=0$ 
		\end{enumerate}
		\\ \end{tabularx}

\end{exercice}

\begin{exercice}{}

Dans chacun des cas suivants déterminez la fonction $f$ solution de l'équation différentielle donnée et vérifiant la (ou les) condition(s) donnée(s).
	\begin{enumerate}
	\item $5y'+2y=0$ et $f\left( \frac{5}{2} \right)=3\mathrm{e}$
	\item $y'+3y=6$ et $(\mathcal{C}_f )$ passe par le point $A\left( \frac{-1}{3};2+5\mathrm{e} \right)$.
	\item $y''-3y'+2y=0$; $(\mathcal{C}_f)$ passe par le point $A(0;-1)$ et admet en ce point une tangente de coefficient directeur $-4$.
	\end{enumerate}

\end{exercice}

\subsection{Exercices.}

\begin{exercice}{}
	
	\emph{Bac de la Réunion 1985.}
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble des solutions définies sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle: \[ y''+y=0 \quad (1). \]
		
		\item Étant donnée une fonction $g$ deux fois dérivable sur $\mathbb{R}^*$, on définit la fonction $f$ sur $\mathbb{R}^*$ par: $f(x)=xg \left( \frac{1}{x} \right)$.
		
		Exprimer $f''$  à l'aide de $g'' \left( \frac{1}{x} \right)$ et $x$.
		
		\item On considère l'équation différentielle \[ y'' = - \frac{1}{x^4} y \quad (2). \]
		
		Démontrer que la fonction $g$, deux fois dérivable sur $\mathbb{R}^*$ est solution de $(2)$ si et seulement si la fonction $f$, définie sur $\mathbb{R}^*$ par: \[ f(x)=xg \left( \frac{1}{x} \right) \] est solution de $(1)$.
		
		\item En déduire l'ensemble des solutions de $(2)$ définies sur chacun des intervalles $]-\infty ;0[$ et $]0; + \infty[$.
		
		\item Soit $g$ une solution de $(2)$ définie sur $]0;+\infty[$.
		
		Déduire de ce qui précède une primitive de la fonction: \[ x \mapsto \frac{1}{x^4}  g(x) . \]
		
		Calculer l'intégrale: \[ J= \int_{\frac{1}{\pi}}^ { \frac{2}{\pi}} \frac{1}{x^3} \sin \left( \frac{1}{x} \right)\ \mathrm{d}x. \]
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
\def\xY{-0.5};
\def\yY{-0.5};
\def\xZ{8.5};
\def\yZ{7};
\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
-- (2,0) 
--(-0.5,0)
-- cycle;
\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
\coordinate (A1) at (4,3);
\coordinate (A2) at (4,1);
\coordinate (A3) at (4,-1);
\coordinate (A4) at (4,-3);
\coordinate (B1) at (2,2);
\coordinate (B2) at (2,-2);
\coordinate (C1) at (0,0);
\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
\draw node (A12) at (A2) {$2$};
\draw node (A13) at (A3) {$3$};
\draw node (A14) at (A4) {$4$};
\draw node (B11) at (B1) {$1$};
\draw node (B12) at (B2) {$2$};
\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}

\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
%Création des nœuds
\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
%Branches entre les nœuds
\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
\end{tikzpicture}

\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,d,+,}%
\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
\begin{minipage}{5cm}
	\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
		emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
	\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
	def fonction(variable1):
	variable2=3
	\end{lstlisting}
\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
\hline
\begin{minipage}{8cm}
	\LinesNumbered
	\SetKw{entrer}{entrer}
	\SetKw{prend}{prend la valeur}
	\SetKw{afficher}{afficher}
	\begin{algorithm}[H]
		\SetAlgoLined
		\DontPrintSemicolon
		\entrer pi
		0\;
		\Tq{1}{
			2\;
			\eSi{3}{
				4\;
				5\;
			}{
				6\;
			}
		}
		
		\Pour{7}{
			\Si{8}{
				9\;
			}
		}
	\end{algorithm}
\end{minipage}
\\
\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
\\
\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
\\
\hline
Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
\\
\hline
Série $P$ &&&&&& 
\\
\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
\hline
\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
\\
\cline{2-9}
& Sécurité &&&&&&&&&
\\
\hline
&  &&&&&&&&&
\\
\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (AA) at (-9,6.5);
\node (AA) at (AA) {};
\coordinate (BB) at (9,6.5);
\node (BB) at (BB) {};
\coordinate (CC) at (9,-6.5);
\node (CC) at (CC) {};
\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
\node (DD) at (DD) {};
\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
\end{tikzpicture}

\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
\item Épreuve de Bernoulli.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
	\item Expérience: lancer un dé.
	\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
	\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
\end{enumerate}

\item Schéma de Bernoulli.

L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.

\item Loi binomiale.

$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.

\end{enumerate}