%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks} et non pas enumerate puis \task et non pas \item

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. #1} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}
	
}{~\newline}

\newenvironment{exerciceapplication}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Application.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

\newenvironment{concours}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Concours.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

\newenvironment{recherche}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill { \color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Recherche.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{théorème}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration #1} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 
	
}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/0ieme_specialite_cpge_scientifique.html}{Ensemble des nombres complexes.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{details}
\exclure{bareme}
\exclure{notabene}
\exclure{exercicecorrection}
\exclure{correction}
%\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Ensemble des nombres complexes.}

\subsection{Généralités.}

\subsubsection{Historique.}

D'abord introduit par Cardan comme une astuce de calcul, les racines carrées de nombres négatifs furent appelés des nombres imaginaires.

Il furent utilisés pour résoudre des équations.

Argan trouva leur application à la géométrie. Ils occupèrent dès lors une place de plus en plus importante.

Il furent ensuite appelés nombres complexes par Gauss.

Euler introduisit la notation $i=\sqrt{-1}$.

\subsubsection{Construction de $\mathbb{C}$ à partir de $\mathbb{R}$.}

La construction de $\mathbb{C}$ se fait à partir de $\mathbb{R}$ en considérant les coordonnées de points: le "nombre" $(x,y)$ est noté $x+iy$. En particulier $i$ est noté $(0,1)$.

Puis sont introduites les opérations.

\begin{align*}
	(x,y)+(x',y') &= (x+x',y+y')\\
	(x,y)\times (x',y') &= (xx'-yy',xy'+yx')
\end{align*}

Le \emph{\color{purple}module} du nombre complexe $z=(x,y)$, noté $|z|$, s'interprète alors comme la distance euclidienne entre les points de coordonnées $(x,y)$ et $(0,0)$: \[ |z|= \sqrt{x^2+y^2}. \]

\medskip
Le \emph{\color{purple}conjugué} du nombre complexe $z=(x,y)$ est $\overline{z} =(x,-y)$.

Si $z=(x,y)$, $x$ est appelé la \emph{\color{purple}partie réelle} et $y$ la \emph{\color{purple}partie imaginaire} de $z$.

\subsubsection{Interprétation géométrique.}

Par construction $x+iy$ s'interprète comme le point du plan de coordonnées $(x,y)$.

\medskip
En fait, si $O$ est l'origine du repère et $M(x,y)$, $x+iy$ peut aussi bien s'interpréter comme les coordonnées de $M$ que comme les coordonnées de $\overrightarrow{OM}$. $z_{\overrightarrow{OM}}=z_M=x+iy$ est alors appelé l'affixe de $z$.

\medskip
Notre construction utilise un système de coordonnées cartésiennes, mais en utilisant un système de coordonnées polaires, si $M(x,y)$ a pour coordonnées polaires $(\rho ,\theta)$ alors $x+iy= \rho \cos (\theta) +i \rho \sin( \theta)$. Dans ce cas $\rho=|z|$ et $\theta$ est appelé un argument de $z$.

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
	
	\begin{minipage}{\linewidth}

		\begin{tikzpicture}[scale=1.75]
		\def\angle{50}
		\coordinate (O) at (0,0);
		\coordinate (I) at (1,0);
		\coordinate (J) at (0,1);
		\coordinate (M) at ({cos(\angle)},{sin(\angle)});
		\coordinate (H) at ({cos(\angle)},0);
		\coordinate (K) at (0,{sin(\angle)});
		\draw (O)node[below left]{$O$};
		\draw (I)node[below right]{$1$};
		\draw (J)node[above left]{$1$};
		\draw (M)node[above]{$M$};
		\draw (M)node{$\bullet$};
		\draw[black](O)--(M);
		\draw[ ->] (-1.25, 0) -- (1.5, 0);
	\draw[->] (0,-1.25 ) -- (0, 1.5);
		\draw[blue][samples=100,domain=0:360] plot({cos(\x)},{sin(\x)});
		\draw[orange,thick,->][samples=100,domain=0:{\angle}] plot({cos(\x)},{sin(\x)});
		\draw[orange] ({cos(0.5*\angle)},{sin(0.5*\angle)}) node[right]{$\theta$};
		\draw[black,dashed](H)--(M);
		\draw[black,dashed](K)--(M);
		\draw[red,very thick](O)--(K);
		\draw[blue,very thick](O)--(H) node[midway,below]{$\cos(\theta)$};
		\draw[red,very thick](O)--(K) node[midway,left]{$\sin(\theta)$};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{minipage}
	
	&
	
	\begin{minipage}{\linewidth}
		
		$\cos \theta$ est donc l'abscisse de $M$ tandis que $\sin \theta$ est son ordonnée.
		
		\medskip
		D'après le théorème de Pythagore \[ \color{purple} \cos^2 (\theta) + \sin^2 ( \theta) = 1 \]
		
	\end{minipage}
	
	\\
\end{tabularx}

\medskip
Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ des points du plan muni d'un repère orthonormé $(O,\vec i, \vec j)$.

\begin{center}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
		$\displaystyle z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A$ & $\displaystyle AB=|z_B-z_A|$ 
		\\
		$\displaystyle \left( \vec i, \overrightarrow{AB} \right) =\mathrm{arg}(z_B-z_A)$ & $\displaystyle \left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD} \right) =\mathrm{arg}\left( \frac{z_D-z_C}{z_B-z_A} \right)$
		\\
	\end{tabularx}
\end{center}

\subsubsection{Formule d'Euler.}

En usant d'autres moyens de définir ou calculer les fonctions exponentielles, cosinus et sinus il est possible d'établir la formule d'Euler \[ \cos(\theta) +i \sin(\theta)= \mathrm{e}^{i\theta}. \]

Ce qui équivaut aux \emph{\color{purple}formules d'Euler}
\begin{align*}
	\cos(\theta) = \frac{\mathrm{e}^{i\theta} +\mathrm{e}^{-i\theta}}{2}\\
	\sin(\theta) = \frac{\mathrm{e}^{i\theta} -\mathrm{e}^{-i\theta}}{2}\\
\end{align*}

\begin{correction}
	
	Ce sont ces formules d'Euler qui définissent actuellement les fonctions sinus et cosinus.
	
\end{correction}

Nous en déduisons aisément la \emph{\color{purple}formule de Moivre}. \[ \left( \cos(\theta) +i \sin(\theta) \right)^n = \cos(n\theta) +i \sin(n\theta). \]

\begin{exercice}{}
	
	Soit $n$ un entier naturel non nul. Calculez lorsque $x$ est un nombre réel, $S_1+iS_2$ où \[ S_1= \sum_{k=0}^n \cos(kx) \quad \text{et} \quad S_2 =\sum_{k=0}^n \sin(kx) . \]
	
	Déduisez-en:
	
	\[ S_1= \cos \left( \frac{nx}{2} \right) \frac{ \sin \left( \frac{x(n+1)}{2}\right) } { \sin \left( \frac{x}{2} \right)} \] et \[ S_2= \sin \left( \frac{nx}{2} \right) \frac{ \sin \left( \frac{x(n+1)}{2}\right) } { \sin \left( \frac{x}{2} \right)} \]
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{align*}
		S_1+iS_2 &=  \sum_{k=0}^n \cos(kx) +i\sum_{k=0}^n \sin(kx)\\
		&= \cos(0 \times x)+ \cos(1 \times x)+ \dots + \cos(nx) + i \left[ \sin(0 \times x) + \sin(1 \times x) + \dots + \sin(n x) \right]\\
		&= \cos(0 \times x)+ \cos(1 \times x)+ \dots + \cos(nx) + i \sin(0 \times x) + i\sin(1 \times x) + \dots + i\sin(n x) \\
		&= \cos(0 \times x)+i \sin(0 \times x) + \cos(1 \times x)+i \sin(1 \times x)+ \dots + \cos(n \times x)+i \sin(n \times x)\\
		&= \sum_{k=0}^n \cos(kx) +i \sin(kx)\\
		&= \sum_{k=0}^n \mathrm{e}^{ikx}\\
		&= \sum_{k=0}^n \left( \mathrm{e}^{ix} \right)^k\\
		&= \frac{\mathrm{e}^{i(n+1)x}-1}{\mathrm{e}^{ix}-1}\\
		&= \frac{\mathrm{e}^{\frac{i(n+1)x}{2}} \left[ \mathrm{e}^{\frac{i(n+1)x}{2}}-\mathrm{e}^{-\frac{i(n+1)x}{2}}\right] }{ \mathrm{e}^{\frac{ix}{2}} \left[ \mathrm{e}^{\frac{ix}{2}}-\mathrm{e}^{-\frac{ix}{2}} \right] }\\
		&= \mathrm{e}^{\frac{i(n+1)x}{2}-\frac{ix}{2}} \frac{\left[ 2i \sin \left( \frac{(n+1)x}{2} \right) \right] }{ \left[ 2i \sin \left( \frac{x}{2} \right) \right] }\\
		&= \mathrm{e}^{\frac{inx}{2}} \frac{\left[ 2i \sin \left( \frac{(n+1)x}{2} \right) \right] }{ \left[ 2i \sin \left( \frac{x}{2} \right) \right] }\\
		&=  \frac{ \sin \left( \frac{(n+1)x}{2} \right) }{ \sin \left( \frac{x}{2} \right) } \left[ \cos \left( \frac{nx}{2} \right) + i \cos \left( \frac{nx}{2} \right) \right]\\
	\end{align*}
	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Valeurs remarquables.}

\begin{center}

\begin{tabular}{|m{2cm}|c|c|c|c|c|}
	\hline
	$\theta$ en degrés & $0$ & $30$ & $45$ & $60$ & $90$
	\\
	\hline
	$\theta$ en radians & $0$ & $\frac{\pi}{6}$ & $\frac{\pi}{4}$ & $\frac{\pi}{3}$ & $\frac{\pi}{2}$
	\\
	\hline
	$\sin (\theta)$ & $0$ & $\frac{1}{2}$ & $\frac{\sqrt{2}}{2}$ & $\frac{\sqrt{3}}{2}$ & $1$
	\\
	\hline
	$\cos(x)$ & $1$ & $\frac{\sqrt{3}}{2}$ & $\frac{\sqrt{2}}{2}$ & $\frac{1}{2}$ & $0$
	\\
	\hline
\end{tabular}

\end{center}

\subsubsection{Formulaire de trigonométrie.}

En raisonnant sur le cercle trigonométrique nous retrouvons aisément les formules suivantes.

\medskip
\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
	
	\begin{minipage}{\linewidth}
		
		Périodicité.
		
		\begin{tikzpicture}[scale=1.75]
		\def\angleblue{50}
		\def\anglered{50+360}
		\draw (O)node[below left]{$O$};
		\draw (1,0)node[below left]{$1$};
		\draw (0,1)node[below left]{$1$};
		\draw[ ->] (-1.25, 0) -- (1.5, 0);
	\draw[->] (0,-1.25 ) -- (0, 1.5);
		\draw[black][samples=100,domain=0:360] plot({cos(\x)},{sin(\x)});
		\draw[blue,thick,->][samples=100,domain=0:{\angleblue}] plot({0.9*cos(\x)},{0.9*sin(\x)});
		\draw[blue](O)--({1.2*cos(\angleblue)},{1.2*sin(\angleblue)});
		\draw[blue] ({cos(0.5*\angleblue)},{sin(0.5*\angleblue)}) node[below left]{$\theta$};
		\draw[red,thick,->][samples=100,domain=0:{\anglered}] plot({1.1*cos(\x)},{1.1*sin(\x)});
		\draw[blue](O)--({1.2*cos(\anglered)},{1.2*sin(\anglered)});
		\draw[red] ({cos(0.5*\anglered)},{sin(0.5*\anglered)}) node[above right]{$\theta +2\pi$};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{minipage}
	
	&
	
	\begin{minipage}{\linewidth}
		
	$\begin{aligned}
		\cos( \theta +2\pi) &= \cos( \theta)\\
		\sin( \theta +2\pi) &= \sin( \theta)
	\end{aligned}$
		
	\end{minipage}
	\\
\end{tabularx}

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
	
	\begin{minipage}{\linewidth}
	
		Parité.
	
		\begin{tikzpicture}[scale=1.75]
		\def\angleblue{50}
		\def\anglered{-50}
		\draw (O)node[below left]{$O$};
		\draw (1,0)node[below left]{$1$};
		\draw (0,1)node[below left]{$1$};
		\draw[ ->] (-1.25, 0) -- (1.5, 0);
	\draw[->] (0,-1.25 ) -- (0, 1.5);
		\draw[black][samples=100,domain=0:360] plot({cos(\x)},{sin(\x)});
		\draw[blue,thick,->][samples=100,domain=0:{\angleblue}] plot({0.9*cos(\x)},{0.9*sin(\x)});
		\draw[blue](O)--({1.2*cos(\angleblue)},{1.2*sin(\angleblue)});
		\draw[blue] ({cos(0.5*\angleblue)},{sin(0.5*\angleblue)}) node[below right]{$\theta$};
		\draw[red,thick,->][samples=100,domain=0:{\anglered}] plot({1.1*cos(\x)},{1.1*sin(\x)});
		\draw[red](O)--({1.2*cos(\anglered)},{1.2*sin(\anglered)});
		\draw[red] ({cos(0.5*\anglered)},{sin(0.5*\anglered)}) node[below
		 right]{$ -\theta $};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{minipage}
	
	&
	
	\begin{minipage}{\linewidth}
		
		$\begin{aligned}
			\cos(-x) &= \cos(x)\\
			\sin(-x) &= -\sin(x)
		\end{aligned}$		
		
	\end{minipage}
	
	\\
\end{tabularx}

\medskip
\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
	
	\begin{minipage}{\linewidth}
		
		Demi-tour.
		
		\begin{tikzpicture}[scale=1.75]
		\def\angleblue{50}
		\def\anglered{50+180}
		\draw (O)node[below left]{$O$};
		\draw (1,0)node[below left]{$1$};
		\draw (0,1)node[below left]{$1$};
		\draw[ ->] (-1.25, 0) -- (1.5, 0);
	\draw[->] (0,-1.25 ) -- (0, 1.5);
		\draw[black][samples=100,domain=0:360] plot({cos(\x)},{sin(\x)});
		\draw[blue,thick,->][samples=100,domain=0:{\angleblue}] plot({0.9*cos(\x)},{0.9*sin(\x)});
		\draw[blue](O)--({1.2*cos(\angleblue)},{1.2*sin(\angleblue)});
		\draw[blue] ({cos(0.5*\angleblue)},{sin(0.5*\angleblue)}) node[below left]{$\theta$};
		\draw[red,thick,->][samples=100,domain=0:{\anglered}] plot({1.1*cos(\x)},{1.1*sin(\x)});
		\draw[red](O)--({1.2*cos(\anglered)},{1.2*sin(\anglered)});
		\draw[red] ({cos(0.5*\anglered)},{sin(0.5*\anglered)}) node[below left]{$\theta +\pi$};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{minipage}
	
	&
	
	\begin{minipage}{\linewidth}
		
		$\begin{aligned}
			\cos(x+\pi) &= -\cos(x)\\
			\sin(\pi+x) &= -\sin(x)
		\end{aligned}$
	
	\end{minipage}
	
	\\
	
\end{tabularx}

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
	
	\begin{minipage}{\linewidth}
	
		Supplémentaire.
	
		\begin{tikzpicture}[scale=1.75]
		\def\angleblue{50}
		\def\anglered{180-50}
		\draw (O)node[below left]{$O$};
		\draw (1,0)node[below left]{$1$};
		\draw (0,1)node[below left]{$1$};
		\draw[ ->] (-1.25, 0) -- (1.5, 0);
	\draw[->] (0,-1.25 ) -- (0, 1.5);
		\draw[black][samples=100,domain=0:360] plot({cos(\x)},{sin(\x)});
		\draw[blue,thick,->][samples=100,domain=0:{\angleblue}] plot({0.9*cos(\x)},{0.9*sin(\x)});
		\draw[blue](O)--({1.2*cos(\angleblue)},{1.2*sin(\angleblue)});
		\draw[blue] ({cos(0.5*\angleblue)},{sin(0.5*\angleblue)}) node[below left]{$\theta$};
		\draw[red,thick,->][samples=100,domain=0:{\anglered}] plot({1.1*cos(\x)},{1.1*sin(\x)});
		\draw[red](O)--({1.2*cos(\anglered)},{1.2*sin(\anglered)});
		\draw[red] ({cos(0.5*\anglered)},{sin(0.5*\anglered)}) node[above right]{$\pi-\theta$};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{minipage}
	
	&
	
	\begin{minipage}{\linewidth}
		
		$\begin{aligned}
			\cos(\pi-x) &= -\cos(x)\\
			\sin(\pi-x) &= \sin(x)
		\end{aligned}$
		
	\end{minipage}
	
	\\
\end{tabularx}

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
	
	\begin{minipage}{\linewidth}
	
		Quart de tour.
	
		\begin{tikzpicture}[scale=1.75]
		\def\angleblue{50}
		\def\anglered{90+50}
		\draw (O)node[below left]{$O$};
		\draw (1,0)node[below left]{$1$};
		\draw (0,1)node[below left]{$1$};
		\draw[ ->] (-1.25, 0) -- (1.5, 0);
	\draw[->] (0,-1.25 ) -- (0, 1.5);
		\draw[black][samples=100,domain=0:360] plot({cos(\x)},{sin(\x)});
		\draw[blue,thick,->][samples=100,domain=0:{\angleblue}] plot({0.9*cos(\x)},{0.9*sin(\x)});
		\draw[blue](O)--({1.2*cos(\angleblue)},{1.2*sin(\angleblue)});
		\draw[blue] ({cos(0.5*\angleblue)},{sin(0.5*\angleblue)}) node[below right]{$\theta$};
		\draw[red,thick,->][samples=100,domain=0:{\anglered}] plot({1.1*cos(\x)},{1.1*sin(\x)});
		\draw[red](O)--({1.2*cos(\anglered)},{1.2*sin(\anglered)});
		\draw[red] ({cos(0.5*\anglered)},{sin(0.5*\anglered)}) node[above right]{$\frac{\pi}{2}+\theta$};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{minipage}
	
	&
	
	\begin{minipage}{\linewidth}
		
		$\begin{aligned}
			\cos \left( \frac{\pi}{2}+\theta \right) &= -\sin(\theta)\\
			\sin \left( \frac{\pi}{2}+\theta \right) &= \cos (\theta)
		\end{aligned}$
		
	\end{minipage}
	
	\\
\end{tabularx}

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
	
	\begin{minipage}{\linewidth}
	
		Complémentaire.
	
		\begin{tikzpicture}[scale=1.75]
		\def\angleblue{20}
		\def\anglered{90-20}
		\draw (O)node[below left]{$O$};
		\draw (1,0)node[below left]{$1$};
		\draw (0,1)node[below left]{$1$};
		\draw[ ->] (-1.25, 0) -- (1.5, 0);
	\draw[->] (0,-1.25 ) -- (0, 1.5);
		\draw[black][samples=100,domain=0:360] plot({cos(\x)},{sin(\x)});
		\draw[blue,thick,->][samples=100,domain=0:{\angleblue}] plot({0.9*cos(\x)},{0.9*sin(\x)});
		\draw[blue](O)--({1.2*cos(\angleblue)},{1.2*sin(\angleblue)});
		\draw[blue] ({cos(0.5*\angleblue)},{sin(0.5*\angleblue)}) node[below right]{$\theta$};
		\draw[red,thick,->][samples=100,domain=0:{\anglered}] plot({1.1*cos(\x)},{1.1*sin(\x)});
		\draw[red](O)--({1.2*cos(\anglered)},{1.2*sin(\anglered)});
		\draw[red] ({cos(0.5*\anglered)},{sin(0.5*\anglered)}) node[above right]{$\frac{\pi}{2}-\theta$};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{minipage}
	
	&
	
	\begin{minipage}{\linewidth}
		
		$\begin{aligned}
			\cos \left( \frac{\pi}{2}-\theta \right) &= \sin(\theta)\\
			\sin \left( \frac{\pi}{2}-\theta \right) &= \cos (\theta)
		\end{aligned}$
		
	\end{minipage}
	
	\\
\end{tabularx}


\emph{\color{purple}Formules d'addition}.

\begin{align*}
	\cos(a+b) &= \cos(a) \cos(b) -\sin(a) \sin(b)\\
	\sin (a+b) &= \sin(a) \cos(b) + \cos(b) \sin(b)
\end{align*}	

\begin{exercice}{}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Calculez $\cos \left( \frac{\pi}{8} \right)$ en utilisant la formule d'addition.
		
		\item De $\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$ déduisez les valeurs de sinus et de cosinus $\frac{\pi}{12}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant $\frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{8}$ et $\cos^2\left( \frac{\pi}{8} \right) +\sin^2\left( \frac{\pi}{8} \right)=1$.
		
		\item 
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\medskip
\emph{\color{purple}Formules de linéarisation}.

\begin{align*}
	\cos ^2 (x) &= \frac{1+\cos (2x)}{2}\\
	\sin^2 (x) &= \frac{1-\cos (2x) } {2}\\
	\cos (x) \sin(x) &= \frac{1}{2} \sin (2x)
\end{align*}

\begin{exercice}{}
	
	Déterminez sans calcul le maximum sur $\mathbb{R}$ de $x \mapsto \sin (x) \cos(x)$.
	
\end{exercice}

\subsubsection{Résolution d'équations trigonométriques.}

\begin{align*}
	\cos(a) = \cos(b) &\Leftrightarrow \exists k\in \mathbb{Z},\ a= \pm b+2k\pi\\
	\sin(a) = \sin(b) &\Leftrightarrow  \left\{ \begin{array}{l} \exists k\in \mathbb{Z},\ a=b+2k\pi \\ \text{ou}\\ \exists k\in \mathbb{Z},\ a=\pi-b+2k\pi \end{array} \right. 
\end{align*}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		chevel affinité exo 259 page 283
		
	\end{notabene}
	
	Résolvez les équations 
	
	\begin{enumerate}
		\item $\cos (2 \theta)=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
		\item $1+2\sin (3 \theta)=0$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\left( O,\vec i, \vec j \right)$. Déterminez les entiers $n$ pour lesquels le point $M$ d'affixe $\left( \sqrt{6}-i\sqrt{2} \right)^n$ appartient à l'axe $\left( O , \vec u \right)$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$=2 \sqrt{2} \mathrm{e}^{i\frac{\pi}{6}}$ et donc $n \in 6\mathbb{Z}$.
	
\end{exercicecorrection}

\subsection{Formulaire sur les nombres complexes.}

En utilisant la construction axiomatique de $\mathbb{C}$ il est possible d'établir les résultats suivants.

Soit $z=x+iy=|z|\cos(\theta) + i |z| \sin( \theta)=|z| \mathrm{e}^{i\theta}$.

\begin{itemize}
	\item $x+iy$ est appelé la forme algébrique,
	\item $|z|\cos (\theta)+i|z| \sin( \theta)$ est appelé la forme trigonométrique,
	\item $|z|\mathrm{e}^{i\theta}$ est appelé la forme exponentielle.
\end{itemize}

Les résultats sur les arguments se retrouvent aisément en utilisant la forme exponentielle.

\begin{align*}		
		\displaystyle z+\overline{z}=2\mathrm{Re}(z)& & \displaystyle z-\overline{z}=2i \mathrm{Im}(z) \\
		\displaystyle |z|=\sqrt{x^2+y^2} & & \displaystyle |z|^2=z\overline{z} \\
		\displaystyle |\overline{z}|=|z| & & \displaystyle \mathrm{arg}(\overline{z})=-\mathrm{arg}(z) \mod{2\pi} \\
		\displaystyle |zz'|=|z|\cdot |z'| & & \displaystyle \mathrm{arg}(zz')= \mathrm{arg}(z)+\mathrm{arg}(z') \mod{2\pi} \\
		\displaystyle |z^n|=|z|^n,\ (n\in\mathbb{N}) & & \displaystyle \mathrm{arg}(z^n)=n\mathrm{arg}(z) \mod{2\pi}\ (n\in\mathbb{N})	\\
		\left| \frac{z}{z'} \right| =\frac{|z|}{|z'|} & &  \mathrm{arg}\left( \frac{z}{z'} \right) =\mathrm{arg}(z) -\mathrm{arg}(z') \mod{2\pi}
\end{align*}

\begin{notabene}
	
	Pour les formules sur les arguments il vaut mieux être capable de les retrouver.
	
\end{notabene}

\subsection{Racines carrées d'un nombre complexe.}

\begin{exercice}{}
	
	Nous souhaitons déterminer les racines carrées complexes de $1+3i$.
	
	On suppose que $z=x+iy$ est une racine carrée complexe de $1+3i$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculez $x^2+y^2$.
		\item De $(x+iy)^2=1+3i$ déduisez $x^2-y^2$ et  $2xy$.
		\item Déduisez des questions précédentes les solutions du problème.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{align*}
		x^2+y^2 &= |z|^2\\
		&= |z^2|\\
		&= |1+3i|\\
		&= \sqrt{1^2+3^2}\\
		&= \sqrt{10}
		\end{align*}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
		(x+iy)^2 &= 1+3i\\
		\intertext{équivaut successivement à}
		x^2+2 \times x \times iy +(iy)^2 &= 1+3i\\
		x^2-y^2 + i2xy &= 1+3i\\
		\end{align*}
		
		En identifiant les parties réelles et imaginaires:
		\[ \left\{ \begin{array}{l} x^2-y^2 =1 \\ 2xy=3 \end{array} \right. \]
		
		\item 
		Nous avons établi dans les questions précédentes trois équations: \[ \left\{ \begin{array}{ll} x^2+y^2=\sqrt{10} & (E_1)\\ x^2-y^2 = 1 & (E_2) \\ xy =\frac{3}{2} & (E_3) \end{array} \right. \]
		
		En sommant les deux premières, $(E_1)+(E_2)$, membres à membres nous obtenons \[ x^2= \frac{1+\sqrt{10}}{2} \]
		
		En soustrayant les deux premières équations, $(E_1)-(E_2)$, nous obtenons \[ y^2 = \frac{-1+\sqrt{10}}{2} \]
		
		Ce qui nous donne quatre combinaisons possibles de signes pour le couple $(x,y)$. Cependant nous savons, grâce à $(E_3)$, que $x$ et $y$ sont du même signe, leur produit étant positif.
		
		Il n'y a donc que deux couples possibles pour $(x,y)$: \[ \left( \sqrt{\frac{1+\sqrt{10}}{2}}  , \sqrt{\frac{-1+\sqrt{10}}{2} } \right) \quad \text{et} \quad \left( -\sqrt{\frac{1+\sqrt{10}}{2}} , -\sqrt{\frac{-1+\sqrt{10}}{2} } \right) \]
		
		\medskip 
		Nous vérifions que les couples trouvés correspondent bien à des racines de $1+3i$.
		
		\begin{conclusion}
			
			Les racines carrées de $1+3i$ sont $\sqrt{\frac{1+\sqrt{10}}{2}} +i \sqrt{\frac{-1+\sqrt{10}}{2} }$ et son opposé $-\sqrt{\frac{1+\sqrt{10}}{2}}  -i \sqrt{\frac{-1+\sqrt{10}}{2} }$
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Résolvez dans $\mathbb{C}$ l'équation \[ z^2+(3+i)z+ \frac{7}{4}+i\frac{3}{4}=0 \]
	
	\begin{notabene}
		
		Indice: faites apparaître la forme canonique.
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{align*}
	&z^2+(3+i)z+ \frac{7}{4}+i\frac{3}{4}\\
	&= z^2+ 2 \times z \times \frac{1}{2}(3+i) + \frac{1}{2^2}(3+i)^2 -\frac{1}{2^2}(3+i)^2 + \frac{7}{4}+i\frac{3}{4}\\
	&= \left( z+ \frac{1}{2}(3+i) \right) ^2 -2-i\frac{3}{2}+ \frac{7}{4}+i\frac{3}{4}\\
	&= \left( z+ \frac{1}{2}(3+i) \right) ^2-\frac{1}{4}-i\frac{3}{4}\\
	\end{align*}
	
	Donc:
	
	\begin{align*}
	z^2+(3+i)z+ \frac{7}{4}+i\frac{3}{4}&=0 \\
	\intertext{équivaut successivement à}
	\left( z+ \frac{1}{2}(3+i) \right) ^2-\frac{1}{4}-i\frac{3}{4} &= 0\\
	\left( z+ \frac{1}{2}(3+i) \right) ^2 &= \frac{1}{4}+i\frac{3}{4}\\
	z+ \frac{1}{2}(3+i) &= \frac{1}{2} \sqrt{1+i3}
	\end{align*}
	
	où $\frac{1}{2} \sqrt{1+i3}$ désigne l'une des racines carrées de $1+i3$.
	
	D'après l'exercice précédent:
	
	\begin{align*}
	z &= \pm\frac{1}{2}\left( \sqrt{\frac{1+\sqrt{10}}{2}} +i \sqrt{\frac{-1+\sqrt{10}}{2} } \right) -\frac{1}{2}(3+i) \\
	\end{align*}
		
	Les racines du trinôme sont donc: \[ \left( \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1+\sqrt{10}}{2}} -\frac{3}{2} \right) +i \left(  \frac{1}{2}\sqrt{\frac{-1+\sqrt{10}}{2} } -\frac{1}{2} \right) \] et \[ \left( -\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1+\sqrt{10}}{2}} -\frac{3}{2} \right) +i \left(  -\frac{1}{2}\sqrt{\frac{-1+\sqrt{10}}{2} } -\frac{1}{2} \right) \]
	
\end{exercicecorrection}


\subsection{Des sous-ensembles remarquables.}

\begin{définition}
	
	Nous dirons qu'une partie $G$ de $\mathbb{C}$ est un sous-groupe de $\mathbb{C}$, en notant$*$ l'opération $+$ ou $\times$, si:
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $G$ est non vide,
		\item il existe un élément neutre $e\in G$ tel que: $\forall x \in G,\ x*e=x$,
		\item $G$ est stable par la loi $*$: $\forall x,y\in G,\ x*y \in G$,
		\item les éléments de $G$ sont inversibles: quelques soit le nombre $x \in G$ il est possible de trouver un nombre $y\in G$ tel que $x*y=e$.
	\end{enumerate}
	
\end{définition}

\medskip
Par exemple $(\mathbb{Z},+)$, $(\mathbb{C}^*, \times )$, $(\mathbb{R},+)$ sont des sous-groupes de $\mathbb{C}$.

\begin{exercice}{}
	
	Démontrez que les ensembles munis d'une loi suivants sont des groupes.
	
	\begin{enumerate}
		\item $\left( \left\{ \mathrm{e}^{-i\frac{k}{n}2\pi} \ | \ 0 \leqslant k \leqslant n-1 \right\}, \times \right)$ pour $n \in \mathbb{N}$. \emph{Ensemble des racines $n$-ième de l'unité}.
		
		\item $\left( \mathbf{M}_n(\mathbb{R}, + \right)$. \emph{Ensemble des matrices carrées de taille $n\in\mathbb{N}$}.
		
		\item $\left( \mathbb{R}[X],+ \right)$. \emph{Ensemble des polynômes}.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{notabene}
	
	Exercice de démonstration général sur les groupes: non commutativité, associativité.
	
\end{notabene}

\subsection{Nombres complexes et géométrie.}

\subsubsection{Distance, angles, vecteurs et points.}

\subsubsection{Lieux géométriques.}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		hachette repère 2012 0ieme page 252 exercice résolu 3
		
	\end{notabene}
	
	On considère les points $A$, $B$, $C$, $D$, $S$ et $T$ d'affixes respectives: $a=-2+4i$; $b=-4+2i$; $c=4+2i$; $d=-2+2i+6 \mathrm{e}^{-i \frac{\pi}{2}}$; $s=5 \sqrt{2} \mathrm{e}^{i\frac{3\pi}{4}}$ et $t=-2+2i$. 
	
	\begin{enumerate}
		\item Placez les points et complétez la figure au fur et à mesure de l'exercice.
		
		\item Montrez que la droite $(ST)$ est la médiatrice du segment $[AB]$.
		
		\item On considère que les points $P$ et $Q$ milieux respectifs des segments $[AC]$ et $[BD]$, déterminer $p$ et $q$ les affixes respectives des points $P$ et $Q$.
		
		\item Calculez la forme algébrique des complexes $\frac{t-p}{q-s}$ et $\frac{d-c}{b-a}$. Que peut-on en déduire?
		
		\item Que représente le point $T$ pour le triangle $PQS$? Le démontrer.
		
		\item Déterminez l'affixe du point $R$ tel que $ABSR$ soit un parallélogramme.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\subsubsection{Transformation du plan.}

\newpage
\section{Nombres complexes: exercices.}

\subsection{Généralités.}

\setcounter{Exercice}{1}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Calculez $\cos \left( \frac{\pi}{8} \right)$ en utilisant la formule d'addition.
		
		\item De $\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$ déduisez les valeurs de sinus et de cosinus $\frac{\pi}{12}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}


\begin{exercice}{}
	
	Déterminez sans calcul le maximum sur $\mathbb{R}$ de $x \mapsto \sin (x) \cos(x)$.
	
\end{exercice}


\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		chevel affinité exo 259 page 283
		
	\end{notabene}
	
	Résolvez les équations 
	
	\begin{enumerate}
		\item $\cos (2 \theta)=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
		\item $1+2\sin (3 \theta)=0$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\left( O,\vec i, \vec j \right)$. Déterminez les entiers $n$ pour lesquels le point $M$ d'affixe $\left( \sqrt{6}-i\sqrt{2} \right)^n$ appartient à l'axe $\left( O , \vec u \right)$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$=2 \sqrt{2} \mathrm{e}^{i\frac{\pi}{6}}$ et donc $n \in 6\mathbb{Z}$.
	
\end{exercicecorrection}


\begin{exercice}{}
	
	Nous souhaitons déterminer les racines carrées complexes de $1+3i$.
	
	On suppose que $z=x+iy$ est une racine carrée complexe de $1+3i$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculez $x^2+y^2$.
		\item De $(x+iy)^2=1+3i$ déduisez $x^2-y^2$ et  $2xy$.
		\item Déduisez des questions précédentes les solutions du problème.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{align*}
		x^2+y^2 &= |z|^2\\
		&= |z^2|\\
		&= |1+3i|\\
		&= \sqrt{1^2+3^2}\\
		&= \sqrt{10}
		\end{align*}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
		(x+iy)^2 &= 1+3i\\
		\intertext{équivaut successivement à}
		x^2+2 \times x \times iy +(iy)^2 &= 1+3i\\
		x^2-y^2 + i2xy &= 1+3i\\
		\end{align*}
		
		En identifiant les parties réelles et imaginaires:
		\[ \left\{ \begin{array}{l} x^2-y^2 =1 \\ 2xy=3 \end{array} \right. \]
		
		\item 
		Nous avons établi dans les questions précédentes trois équations: \[ \left\{ \begin{array}{ll} x^2+y^2=\sqrt{10} & (E_1)\\ x^2-y^2 = 1 & (E_2) \\ xy =\frac{3}{2} & (E_3) \end{array} \right. \]
		
		En sommant les deux premières, $(E_1)+(E_2)$, membres à membres nous obtenons \[ x^2= \frac{1+\sqrt{10}}{2} \]
		
		En soustrayant les deux premières équations, $(E_1)-(E_2)$, nous obtenons \[ y^2 = \frac{-1+\sqrt{10}}{2} \]
		
		Ce qui nous donne quatre combinaisons possibles de signes pour le couple $(x,y)$. Cependant nous savons, grâce à $(E_3)$, que $x$ et $y$ sont du même signe, leur produit étant positif.
		
		Il n'y a donc que deux couples possibles pour $(x,y)$: \[ \left( \sqrt{\frac{1+\sqrt{10}}{2}}  , \sqrt{\frac{-1+\sqrt{10}}{2} } \right) \quad \text{et} \quad \left( -\sqrt{\frac{1+\sqrt{10}}{2}} , -\sqrt{\frac{-1+\sqrt{10}}{2} } \right) \]
		
		\medskip 
		Nous vérifions que les couples trouvés correspondent bien à des racines de $1+3i$.
		
		\begin{conclusion}
			
			Les racines carrées de $1+3i$ sont $\sqrt{\frac{1+\sqrt{10}}{2}} +i \sqrt{\frac{-1+\sqrt{10}}{2} }$ et son opposé $-\sqrt{\frac{1+\sqrt{10}}{2}}  -i \sqrt{\frac{-1+\sqrt{10}}{2} }$
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Résolvez dans $\mathbb{C}$ l'équation \[ z^2+(3+i)z+ \frac{7}{4}+i\frac{3}{4}=0 \]
	
	\begin{notabene}
		
		Indice: faites apparaître la forme canonique.
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{align*}
	&z^2+(3+i)z+ \frac{7}{4}+i\frac{3}{4}\\
	&= z^2+ 2 \times z \times \frac{1}{2}(3+i) + \frac{1}{2^2}(3+i)^2 -\frac{1}{2^2}(3+i)^2 + \frac{7}{4}+i\frac{3}{4}\\
	&= \left( z+ \frac{1}{2}(3+i) \right) ^2 -2-i\frac{3}{2}+ \frac{7}{4}+i\frac{3}{4}\\
	&= \left( z+ \frac{1}{2}(3+i) \right) ^2-\frac{1}{4}-i\frac{3}{4}\\
	\end{align*}
	
	Donc:
	
	\begin{align*}
	z^2+(3+i)z+ \frac{7}{4}+i\frac{3}{4}&=0 \\
	\intertext{équivaut successivement à}
	\left( z+ \frac{1}{2}(3+i) \right) ^2-\frac{1}{4}-i\frac{3}{4} &= 0\\
	\left( z+ \frac{1}{2}(3+i) \right) ^2 &= \frac{1}{4}+i\frac{3}{4}\\
	z+ \frac{1}{2}(3+i) &= \frac{1}{2} \sqrt{1+i3}
	\end{align*}
	
	où $\frac{1}{2} \sqrt{1+i3}$ désigne l'une des racines carrées de $1+i3$.
	
	D'après l'exercice précédent:
	
	\begin{align*}
	z &= \pm\frac{1}{2}\left( \sqrt{\frac{1+\sqrt{10}}{2}} +i \sqrt{\frac{-1+\sqrt{10}}{2} } \right) -\frac{1}{2}(3+i) \\
	\end{align*}
	
	Les racines du trinôme sont donc: \[ \left( \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1+\sqrt{10}}{2}} -\frac{3}{2} \right) +i \left(  \frac{1}{2}\sqrt{\frac{-1+\sqrt{10}}{2} } -\frac{1}{2} \right) \] et \[ \left( -\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1+\sqrt{10}}{2}} -\frac{3}{2} \right) +i \left(  -\frac{1}{2}\sqrt{\frac{-1+\sqrt{10}}{2} } -\frac{1}{2} \right) \]
	
\end{exercicecorrection}


\subsection{Des sous-ensembles remarquables.}

\begin{définition}
	
	Nous dirons qu'une partie $G$ de $\mathbb{C}$ est un sous-groupe de $\mathbb{C}$, en notant$*$ l'opération $+$ ou $\times$, si:
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $G$ est non vide,
		\item il existe un élément neutre $e\in G$ tel que: $\forall x \in G,\ x*e=x$,
		\item $G$ est stable par la loi $*$: $\forall x,y\in G,\ x*y \in G$,
		\item les éléments de $G$ sont inversibles: quelques soit le nombre $x \in G$ il est possible de trouver un nombre $y\in G$ tel que $x*y=e$.
	\end{enumerate}
	
\end{définition}

\medskip
Par exemple $(\mathbb{Z},+)$, $(\mathbb{C}^*, \times )$, $(\mathbb{R},+)$ sont des sous-groupes de $\mathbb{C}$.

\begin{exercice}{}
	
	Démontrez que les ensembles munis d'une loi suivants sont des groupes.
	
	\begin{enumerate}
		\item $\left( \left\{ \mathrm{e}^{-i\frac{k}{n}2\pi} \ | \ 0 \leqslant k \leqslant n-1 \right\}, \times \right)$ pour $n \in \mathbb{N}$. \emph{Ensemble des racines $n$-ième de l'unité}.
		
		\item $\left( \mathbf{M}_n(\mathbb{R}, + \right)$. \emph{Ensemble des matrices carrées de taille $n\in\mathbb{N}$}.
		
		\item $\left( \mathbb{R}[X],+ \right)$. \emph{Ensemble des polynômes}.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\end{document}


\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}