%\documentclass{book} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{book} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hmargin={0.75cm,1cm},vmargin={0.5cm,1.25cm},twoside}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 
\settasks{
	% the next two should be set to the same value so labels are aligned to the
	% left
	%label-width = 1em ,
	%item-indent = 1em ,
	%before-skip = 0pt%-\parskip , % undo paragraph skip
	%after-skip =0pt% -\parskip , % undo paragraph skip
	after-item-skip = -2pt%-\parskip % undo paragraph skip
}

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown} \footnotesize}{}

\newenvironment{sujet}{}{}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \noindent Exemples.\vspace{-0.1cm}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\noindent {\color{BlueViolet}Remarques.\vspace{-0.1cm}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{Gray}}{}


%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} {\noindent\color{Black}EXERCICE \theExercice.} \addtocounter{Exercice}{1} \color{Black}}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\noindent\color{Brown}Exercice \theExercicecorrection. \footnotesize}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{{\color{Orange}Définition \theDefinition.} \addtocounter{Definition}{1} \color{Orange} }{}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}{{\color{purple}Théorème \theTheoreme.}\addtocounter{Theoreme}{1}\color{purple}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}{{\color{purple}Proposition \theProposition.} \addtocounter{Proposition}{1}\color{purple}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\noindent{\color{PineGreen} Démonstration} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{PineGreen}}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{}% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\footnotesize \thepage ]{\footnotesize \thepage }
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour abrege
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}\exclure{culturegenerale}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene}

%Pour les exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour les correction d'exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\small
\section{12 Calcul intégral.}

\begin{notabene}
	
	Faire un paragraphe sur le lien avec la mécanique avec les notations et l'analyse dimensionnelle qui est cohérente avec les résultats d'intégration.
	
\end{notabene}

\begin{notabene}
	
	Modifier l'intégrale est définie pour un fonction positive uniquement puis sa généralisation se fait grâce à la primitive : si $f$ n'est pas positive mais continue elle admet une primitive et alors l'intégrale est $F(x)-F(a)$.
	
\end{notabene}

\subsection{L'intégrale.}

\begin{correction}
	
	Comme (presque) toujours en mathématiques les théorie prennent naissance dans la géométrie. Le calcul intégral est l'aboutissement (en lien avec les fonctions) des problèmes de mesure d'aire. 
	
	Les mesures d'aires étaient appelés problèmes de quadratures. Dans le monde sans unité internationale de l'antiquité grecque, tout est question de rapport, de comparaison. Mesurer une aire c'est être capable de se ramener à des figures de même aire mais plus simples (carré, rectangle). Nous ne faisons pas autre chose en utilisant des $\mathrm{cm}^2$: nous comparons les aires à des petits carrés de $1\ \mathrm{cm}$ de côté. De plus ces petits carrés sont partout grâce au quadrillage induit par un repère orthonormé.
	
	On peut imaginer un cheminement assez naturel. L'aire d'un rectangle est obtenue en le recouvrant de petits carrés son aire est alors le nombre de petits carrés. Ce dénombrement est simple: nombre de carrés unités sur la largeur multiplié par le nombre de carrés sur la longueur. L'aire d'un triangle est la moitié de l'aire d'un rectangle. L'aire d'un triangle quelconque est l'aire de deux triangles rectangles. L'aire d'un trapèze est l'aire de deux triangles et d'un rectangle. L'aire des lunules d'Hippocrate donnèrent aux Grecs bon espoir de pouvoir poursuivre cette démarche dans des cas de figures \og arrondies\fg{} comme le cercle ou la parabole. Mais le problème de la quadrature du cercle resta si longtemps irrésolu que l'expression passa dans le langage courant pour désigner un problème insoluble. Ce problème est en réalité résolu: il est impossible de recouvrir un cercle avec les procédés usuels des Grecs.
	
	Cependant il est un Grec, Archimède, qui trouva une parade. Recouvrir les figures par des figures dont on sait calculer l'aire certes, mais en nombre infini.
	
	\begin{notabene}
		
		Figure et animation de l'aire du cercle avec les deux suites adjacentes d'aire polygonales. 
		
	\end{notabene}
	
	Un célèbre palimpseste semble indiquer qu'Archimède alla encore plus loin: il recouvrit la surface sous une parabole par une infinité de figures dont l'aire devenait infiniment petite. Il avait inventer le calcul intégral. Cette découverte fut oubliée pendant deux mille ans jusqu'à ce que Leibnitz et Newton inventent une procédé similaire au $XVII\ieme{}$ siècle.
	
	Voyons l'idée d'Archimède.
	
	\begin{notabene}
		
		Faire figure plus animation.
		
	\end{notabene}
	
	On voit alors apparaître un encadrement de l'aire recherchée: \[ \sum_{k=0}^{n-1} f \left( \frac{k}{n} \right) \frac{1}{n} \leqslant \mathscr{A} \leqslant \sum_{k=1}^n f\left( \frac{k}{n} \right) \frac{1}{n}. \]
	
	Bien sûr plus $n$ est grand, plus l'encadrement se ressert et se rapproche de l'aire sous la courbe: idéalement lorsque $n$ devient infiniment grand nous devrions obtenir exactement l'aire sous la parabole.
	
	Dans le cas de la parabole on a donc: \[ \sum_{k=0}^{n-1} \left( \frac{k}{n} \right)^2 \frac{1}{n} \leqslant \mathscr{A} \leqslant \sum_{k=1}^n \left( \frac{k}{n} \right)^2 \frac{1}{n}. \]
	
	Donc: \[ \frac{1}{n^3} \sum_{k=0}^{n-1} k^2 \leqslant \mathscr{A} \leqslant \frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^n k^2.\]
	
	D'où: \[ \frac{(n-1)n(2n-1)}{6n^3} \leqslant \mathscr{A} \leqslant \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}. \]
	
	En passant à la limite, et d'après le théorème des gendarmes: $\mathscr{A}=\frac{1}{3}$.
	
	\medskip
	Ce procédé est le fondement théorique de ce calcul d'aire appelé intégrale de Riemann.
	
\end{correction}

\begin{definition}
	Soient $a$ et $b$ des réels $a<b$, $f$ une fonction continue et positive sur $[a,b]$.
		
	L'aire  de la surface délimitée par la courbe représentative de $f$, l'axe des abscisses et deux droites verticales d'équations $x=a$ et $x=b$, et notée $\color{purple} \displaystyle \int_a^b f(t)\ \mathrm{d}t$ est appelée \emph{\color{purple}intégrale de $f$ sur $[a;b]$}.	
\end{definition}

\begin{remarques}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\item La notation est en fait un calque de la formule qui permet avant passage à la limite de calculer l'intégrale: $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} f\left( x_i \right) \Delta x_i$.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{|c|c|c|}
				\hline
				Discret. & Continu. & Interprétation.
				\\
				\hline
				$n$ & $t$ & 
				\\
				\hline
				&&\\
				$\dfrac{1}{n}$ & $\mathrm{d}t$ & Largeur d'un rectangle.
				\\
				&&\\
				\hline
				&&\\
				$f\left( \frac{k}{n} \right)$ & $f(t)$ & Longueur d'un rectangle.
				\\
				&&\\
				\hline
				&&\\
				$\Sigma$ & $\int$ & Somme.
				\\
				&&\\
				\hline
				&&\\
				$\displaystyle \sum_{k=0}^n f\left( \frac{k}{n} \right) \frac{1}{n}$ & $\displaystyle \int_0^1 f(t) \ \mathrm{d}t$ & Somme des aires des rectangles.
				\\
				&&\\
				\hline
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
		\item Géométriquement, visuellement, voyons ce que cela donne.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\def\xY{-0.5};
				\def\yY{-2.5};
				\def\xZ{6.5};
				\def\yZ{5};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=0.1cm,lightgray!60, very thin] (Y) grid (Z);
				\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
				\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:6] plot(\x,{0.25*\x*(\x-3)*(\x-5)});
				\draw[blue] (5.5,4) node[fill=white] {$\mathcal{C}_f$};
				\def\xA{1.5};
				\def\xB{5.5};
				\fill[color=purple , opacity=0.55] (\xA,0)
				-- (\xA, {0.25*\xA*(\xA-3)*(\xA-5)})
				-- plot [domain=\xA:\xB] (\x,{0.25*\x*(\x-3)*(\x-5)})
				-- (\xB, {0.25*\xB*(\xB-3)*(\xB-5)})
				-- (\xB,0) 
				-- cycle;
				\draw[dashed] (\xA,\yY)--(\xA,\yZ);
				\draw[dashed] (\xB,\yY)--(\xB,\yZ);
				\draw (\xA,0) node[below,fill=white]{$a$};
				\draw (\xB,0) node[below,fill=white]{$b$};
				\draw[purple] (4,1) node[fill=white] {$\displaystyle \int_a^b f(t)\ \mathrm{d}t$};
				\draw (1.5,4)--({\xA+0.5},0.5);
				\draw ({\xA+0.5},0.5) node{$\bullet$};
				\draw (1.5,4) node[fill=white] {Aire comptée positivement};
				\draw (1.5,-1.5)--({3+0.5},-0.5);
				\draw ({3+0.5},-0.5) node{$\bullet$};
				\draw (1.5,-1.5) node[fill=white] {Aire comptée négativement};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		Pour décrire en français la région du plan colorée ci-dessus nous dirons que c'est la surface comprise entre la courbe $\mathscr{C}_f$ représentative de $f$, l'axe des abscisses, la droite d'équation $x=a$ et la droite d'équation $x=b$.
		
		\item La notation $\mathrm{d}t$ dans la pratique permet simplement d'identifier la variable. Quelle est la variable dans l'expression $a(r-\alpha)^2+\beta$?
		
		\item $\mathrm{d}t$ qui est un infiniment petit correspond à la construction qui permet de définir l'intégrale (comme somme d'aires de rectangles de largeur $\mathrm{d}t$). Il est également présent dans les calculs de dérivés pour le taux d'accroissement entre infiniment petits \[ f'(t)=\frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t} \]
		
		\item Nous pouvons définir une nouvelle fonction en considérant $b$ comme une variable \[ \displaystyle x\mapsto \int_a^x f(t)\ \mathrm{d}t \] Nous verrons plus loin que cette fonction est une primitive de $f$.
		
		\item Le procéder de somme discrète avec passage à la limite ne fonctionne pas toujours. Il faut des fonctions suffisamment régulière (continue par exemple) pour pouvoir l'utiliser.
		
		Nous dirons qu'une fonction est \emph{\color{purple}intégrable} lorsque le calcul d'aire est "possible".
		
	\end{enumerate}	
\end{remarques}

\begin{exemples}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\item Soit $f$ la fonction dont la courbe représentatives est un demi-cercle au-dessus de l'axe des abscisses comme dessiné ci-dessous.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
				%extremites du graphique
				\def\xcoinbasgauche{-1.4};
				\def\xcoinhautdroit{1.4};
				\def\ycoinbasgauche{-0.4};
				\def\ycoinhautdroit{1.4};
				%Les deux grilles
				\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
				\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
				%Les deux axes
				\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
				%repere orthonorme
				\coordinate (O) at ({0},{0});
				\draw (O) node[below left] {$O$};
				\draw (O) node {$\bullet$};
				\coordinate (I) at ({1},{0});
				\draw (I) node[below left] {$I$};
				\draw (I) node {$\bullet$};
				\coordinate (J) at ({0},{1});
				\draw (J) node[below left] {$J$};
				\draw (J) node {$\bullet$};
				%Ligne définie par des points
				\draw[orange, thick][samples=100,domain=0:180] plot({cos(\x)},{sin(\x )});
				\draw [orange] (1.5,1) node {$\mathscr{C}_f$};
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		Calculons $\int_{-1}^1 f(t) \ \mathrm{d}t$.
		
	\end{enumerate}	
\end{exemples}

\begin{exercice}
	On considère une fonction $f$ dont la courbe représentative est dessinée ci-dessous.
	
	\begin{tabular}{m{6cm}m{6cm}}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.8,yscale=0.8]
			%extremites du graphique
			\def\xcoinbasgauche{-1};
			\def\xcoinhautdroit{4};
			\def\ycoinbasgauche{-0.4};
			\def\ycoinhautdroit{3};
			%Les deux grilles
			\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
			%Les deux axes
			\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
			%repere orthonorme
			\coordinate (O) at ({0},{0});
			\draw (O) node[below left] {$O$};
			\draw (O) node {$\bullet$};
			\coordinate (I) at ({1},{0});
			\draw (I) node[below left] {$I$};
			\draw (I) node {$\bullet$};
			\coordinate (J) at ({0},{1});
			\draw (J) node[below left] {$J$};
			\draw (J) node {$\bullet$};
			%Ligne définie par des points
			\draw[orange, thick] plot coordinates {(-1,0)(1,2)(3,1)(4,3)};
			\draw [orange] (1.5,2.25) node {$\mathscr{C}_f$};
		\end{tikzpicture}
		&
		Déterminez 
		\begin{enumerate}[a)]
			\item $I_1= \int_{-1}^1 f(t)\ \mathrm{d}t$.
			\item $I_2= \int_{1}^2 f(t)\ \mathrm{d}t$.
			\item $I_3= \int_{2}^3 f(t)\ \mathrm{d}t$.
			\item $I_4= \int_{-1}^3 f(t)\ \mathrm{d}t$.
		\end{enumerate}
		\\
	\end{tabular}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	$m$, $a$ et $b$ sont des réels avec $m>0$ et $a<b$.
	\begin{tasks}(3)		
		\task $\displaystyle \mathscr{A}_1=\int_2^3 m\ \mathrm{d}t$.
		\task $\displaystyle \mathscr{A}_2=\int_a^b m\ \mathrm{d}t$.
		\task $\displaystyle \mathscr{A}_3=\int_1^2 t\ \mathrm{d}t$.	
		\task $\displaystyle \mathscr{A}_4=\int_{-1}^1 -x+1\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \mathscr{A}_5=\int_{2}^2 4x\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \mathscr{A}_6=\int_{-100}^{100} 0\ \mathrm{d}x$.
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Soit $f$ la fonction affine par morceaux définie par $\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{1}{2}x+1, \text{ si } x\leqslant 2 \\ \\ -2x+6 \text{ sinon.} \end{array} \right.$ Au moyen de considérations géométriques élémentaires, calculez l'aire $\mathscr{A}=\int_0^3 f(t)\ \mathrm{d}t$ de la surface délimitée par l'axe des abscisses, la courbe représentative de $f$ et les droites d'équations $x=0$ et $x=3$.	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{align*}
		\int_0^4 f(x)\ \mathrm{d}x &= \int_0^2 f(x)\ \mathrm{d}x+ \int_2^4 f(x) \ \mathrm{d}x\\
		&= \int_0^2 \frac{1}{2}x+1\ \mathrm{d}x + \int_2^4 -2x+6\ \mathrm{d}x\\
		&= 3+0\\
		&= 3
	\end{align*}	
\end{exercicecorrection}

\subsection{Théorèmes fondamentaux de l'analyse.}

\begin{exemples}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\item Soit $f:x \mapsto 3x$. Exprimez, en fonction de $t \in[0,+\infty[$, l'aire de la surface limitée par $\mathscr{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=t$. %Que peut-on conjecturer?
		
	\end{enumerate}	
\end{exemples}

\begin{theoreme}
	Soient $a<b$ des réels, $f$ une fonction continue et positive sur $[a;b]$. Si $F$ est la fonction définie sur $[a;b]$ par \[ \forall x \in [a;b],\ F(x) = \int_a^x f(t)\ \mathrm{d}t . \] alors \[ \forall x \in [a;b],\ F'(x)=f(x) \quad \text{et} \quad F(a)=0. \]	
\end{theoreme}

\begin{preuve}	
	Cette démonstration peut être passée en première lecture puisqu'elle nécessite la connaissance de propriétés de l'intégrale qui seront vues ultérieurement.
	
	\medskip
	Soit $x_0\in [a;b]$.
	
	\medskip
	\objectif{Démontrons que le nombre dérivé de $F$ en $x_0$ est $f(x_0)$ en supposant $f$ croissante.}
	
	Soit $h\in \mathbb{R}$ tel que $x_0+h\in  [a;b]$.
	
	\begin{align*}
		& \frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h} -f(x_0)\\
		&= \frac{1}{h} \left[ F(x_0+h)-F(x_0) \right] -f(x_0)\\
		&= \frac{1}{h} \left[ \int_a^{x_0+h} f(t) \ \mathrm{d}t - \int_a^{x_0} f(t) \ \mathrm{d}t \right] -\int_{x_0}^{x_0+h} \frac{f(x_0)}{(x_0+h)-x_0} \ \mathrm{d}t\\
		&= \frac{1}{h} \left[ \int_a^{x_0+h} f(t) \ \mathrm{d}t + \int_{x_0}^a f(t) \ \mathrm{d}t \right] -\frac{1}{h} \int_{x_0}^{x_0+h} f(x_0) \ \mathrm{d}t\\
		&= \frac{1}{h} \left( \int_{x_0}^{x_0+h} f(t) \ \mathrm{d}t -\int_{x_0}^{x_0+h} f(x_0) \ \mathrm{d}t \right) \\
		&= \frac{1}{h} \int_{x_0}^{x_0+h} f(t)-f(x_0) \ \mathrm{d}t 
	\end{align*}
	
	\medskip
	Supposons, par exemple, $h>0$.
	
	Pour tout $t \in [x_0; x_0+h]$, $f$ étant croissante: \[ f(x_0) \leqslant f(t) \leqslant f(x_0+h).\]
	
	Donc en intégrant sur $[x_0;x_0+h]$ et puisque l'intégrale est croissante: \[ 0 \leqslant \int_{x_0}^{x_0+h} f(t)-f(x_0) \ \mathrm{d}t \leqslant h\left[ f(x_0+h) - f(x_0) \right]. \]
	
	Puis, comme $h \ne 0$: \[ 0 \leqslant \int_{x_0}^{x_0+h} f(t)-f(x_0) \ \mathrm{d}t \leqslant f(x_0+h)-f(x_0). \]
	
	Or, $f$ étant continue, $f(x_0+h)-f(x_0) \underset{h \to 0}{\longrightarrow}  0$, donc, d'après le théorème des gendarmes \[ \int_{x_0}^{x_0+h} f(t)-f(x_0) \ \mathrm{d}t \underset{h \to 0}{\longrightarrow} 0.\]
	
	\begin{notabene}
		
		\medskip
		Une démonstration alternative ne nécessitant pas la croissance.
		
		Soit $M>0$.
		
		Puisque $f$ est continue en $x_0$, il est possible de trouver $h$ suffisamment petit pour que dès que $x\in [x_0-h; x_0+h]$, \[ -M \le f(t) - f(x_0) \le M \]
		
		Donc
		\begin{align*}
			\frac{1}{h} \int_{x_0}^{x_0+h} -M \ \mathrm{d}t \le \frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h} -f(x_0) \le \frac{1}{h} \int_{x_0}^{x_0+h} M \ \mathrm{d}t\\
			-M \le \frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h} -f(x_0) \le  M 
		\end{align*}
		
		Et puisque l'encadrement est vrai quelque soit $M$ choisi (même très petit) cela signifie que pour $h$ suffisamment petit $\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h} -f(x_0)$ l'est aussi: \[ \lim_{h\to 0} \frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h} -f(x_0)=0 \]
		
		Ainsi 
	\end{notabene}
	
	\begin{conclusion}
		
		$F$ est dérivable en $x_0$ et $F'(x_0)=f(x_0)$.
		
	\end{conclusion}	
\end{preuve}

\begin{remarques}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\item {\color{orange}Ainsi la fonction $F$ définie dans ce théorème est la primitive de $f$ qui s'annule en $a$}. Par conséquent la recherche de primitive peut se ramener à un calcul d'intégrale.
		
		\item Nous avons justifié l'existence d'une primitive pour une fonction continue positive (même sans être capable d'en donner une expression calculatoire).
		
	\end{enumerate}	
\end{remarques}

\begin{theoreme}	
	Soit $f$ une fonction continue et positive sur $[a;b]$ avec $a<b$ des réels et $F$ une primitive de $f$ sur $[a;b]$.
	
	\[ \int_a^b f(t)\ \mathrm{d}t =F(b)-F(a). \]	
\end{theoreme}

\begin{preuve}	
	Découle du précédent théorème en remarquant que $x\mapsto \int_a^x f(t)\ \mathrm{d}t$ est la primitive de $f$ qui s'annule en $a$ et en sachant que deux primitives diffèrent d'une constante.	
\end{preuve}

\begin{exemples}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\item $\int_1^4 u^2\ \mathrm{d}u$.
		
		\item $\int_1^2 \frac{\mathrm{d}x}{x}$.
		
		\item $\int_{0}^{\pi/2} \cos(t)\ \mathrm{d}t$.
		
		\item $\int_0^{1,2} 2z \mathrm{e}^{z^2}\ \mathrm{d}z$.
	\end{enumerate}	
\end{exemples}

\begin{remarques}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\item Ce théorème ramène donc le calcul d'intégrale à des recherches de primitives. Par exemple
		\begin{align*}
			\int_0^1 \frac{1}{2t+1}\ \mathrm{d}t &= \left[ \frac{1}{2} \ln (t+1) \right]_0^1\\
			&= \frac{1}{2} \ln (3) -\frac{1}{2} \ln (1)\\
			&= \frac{1}{2} \ln (3)
		\end{align*}
		
		\item La quantité $F(b)-F(a)$ est souvent notée $\displaystyle \color{purple}\left[ F(t) \right]_a^b$.
	\end{enumerate}	
\end{remarques}

\begin{definition}
	Soient $a<b$ des réels,	$f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ une application continue et $F$ une primitive de $f$ sur $[a,b]$.
	Nous appellerons \emph{\color{purple}intégrale de $f$ sur $[a,b]$} le nombre réel \[ \color{purple} \int_a^b f(x)\ \mathrm{d}x := F(b)-F(a). \]
\end{definition}

\begin{exercice}
	Démontrez que la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par $F(x)=(-2x-3)\mathrm{e}^{-x}$, est une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f$, définie par $f(x)=(2x+1)\mathrm{e}^{-x}$. Déduisez-en la valeur de l'intégrale $\displaystyle  \int_0^1 (2t+1)\mathrm{e}^{-t}\ \mathrm{d}t$.	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Calculez les intégrales suivantes.
	\begin{tasks}(3)
		\task $\displaystyle \int_1^4 \frac{3}{x}\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_0^2 -4t^2+1\ \mathrm{d}t$.
		\task $\displaystyle \int_{-1}^1 (1+s)^2\ \mathrm{d}s$.
		\task $\displaystyle \int_0^{1/2} \mathrm{e}^{2y}\ \mathrm{d}y$.
		\task $\displaystyle \int_{4}^{9} \frac{1}{2\sqrt{t}}\ \mathrm{d}t$.
		\task $\displaystyle \int_{0}^{5} \frac{1}{u+2}\ \mathrm{d}u$.
		\task $\displaystyle \int_{1}^{2} \frac{-2}{x^3}\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{\pi/4}^{\pi/2} \sin(y)\ \mathrm{d}y$.
		\task $\displaystyle \int_{0}^{2} -2t^3+4t^2-5t\ \mathrm{d}t$.
		\task $\displaystyle \int_{10}^{12} \frac{2u}{u^2-8}\ \mathrm{d}u$.
		\task $\displaystyle \int_{1}^{2} 6x(x^2+4)^3\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{0}^{\pi/3} 3\sin\left( 3y+\frac{\pi}{2} \right)\ \mathrm{d}y$.
		\task $\displaystyle \int_{0}^{1} -3\mathrm{e}^{-3x}\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{0}^{1/2} \pi \sin(\pi x)\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{-1}{(1+y)^2}\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{-1}^{1} 15t^{4}(t^5+2)^3\ \mathrm{d}t$.
		\task $\displaystyle \int_{4}^{25} \frac{5}{\sqrt{x}}+3x\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{-2}^{3} \cos(\pi x)\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{\pi/3}^{\pi/2} \frac{\cos(x)}{\sin(x)}\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{2t+1}}\ \mathrm{d}t$.
		\task $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^{-x}+1}\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{t^4}{(t^5+3)^3}\ \mathrm{d}t$.
		\task $\displaystyle \int_{1}^{2} \frac{1}{(1+x)^2}\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{0}^{1} x^2\mathrm{e}^{x^3}\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{1}^{2} \frac{3}{x^4}\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{0}^{3} \frac{1}{2x+1}\ \mathrm{d}x$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{tasks}(2)
		\task $3\ln(4)$.
		\task $\left[ -\frac{4}{3}t^3+t \right]0^2=$
		\task $\left[ \frac{1}{3}(1+s)^3 \right]_{-1}^1=$
		\task $\left[ \frac{1}{2}\mathrm{e}^{2y} \right]_0^{1/2}=$
		\task $\left[ \sqrt{t} \right]_4^9=$
		\task $\left[ \ln(u+2) \right]_0^5=$
		\task $\left[ \frac{1}{x^2} \right]_1^2$.
		\task $\left[ -\cos(y) \right]_{\pi/4}^{\pi/2}=$
		\task $\left[ -\frac{1}{2}t^4+\frac{4}{3}t^3-\frac{5}{2}t^2 \right]_0^2=$.
		\task $\left[ \ln\left( u^2-8 \right) \right]_{10}^{12}=$.
		\task $\left[ \frac{3}{4}(x^2+4)^4 \right]_1^2=$.
		\task $\left[ -\cos\left( 3x+\frac{\pi}{2} \right) \right]_0^{\pi/3}=$.
		\task $\left[ \mathrm{e}^{-3x} \right]_0^1=$.
		\task $\left[ -\cos(\pi x) \right]_0^{1/2}=$.
		\task $\left[ \frac{1}{1+y} \right]_0^1=$.
		\task $\left[ (t^5+2) \right]_0^1=$.
		\task $\left[ 10\sqrt{x}+\frac{3}{2}x^2 \right]_4^{25}=$.
		\task $\left[ \frac{1}{\pi} \sin(\pi x) \right]_{-2}^3=$.
		\task $\left[ \ln\circ \sin(x) \right]_{\pi/3}^{\pi/2}=$.
		\task $\left[ \sqrt{2t+1} \right]_0^3=$.
		\task $\left[ -\ln(\mathrm{e}^{-x}) \right]_0^1=$.
		\task $\left[ \frac{-10}{(t^5+3)^2} \right]_0^1=$.
		\task $\left[ -\frac{1}{1+x} \right]_1^2=$.
		\task $\left[ \frac{1}{3}\mathrm{e}^{x^3} \right]_0^1=$.
		\task $\left[ -\frac{1}{x^3} \right]_1^2=$.
		\item $\left[ \frac{1}{2} \ln(2x+1) \right]_0^3=$.
	\end{tasks}
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	\begin{tasks}(3)
		\task $\displaystyle \int_{0}^{1} -3x+2\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{2}^{3} \frac{1}{x^2}\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{1}^{\mathrm{e}} \frac{1}{x}\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin(x) \ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{-2}^{1} x^2+2x\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{-1}^{1} \mathrm{e}^{-2x}\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{2}{3x+2}\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{-1}^{1} t^2+2t-1\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{-\pi}^{\frac{\pi}{2}} \sin\left( \frac{u}{2} \right)\ \mathrm{d}u$.
		\task $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \cos\left( 3y \right)\ \mathrm{d}y$.
		\task $\displaystyle \int_{-2}^{-1} \frac{2}{z^3}\ \mathrm{d}z$.
		\task $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \cos\left( 2t \right) -\sin(t)\ \mathrm{d}t$.
		\task $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \sin\left( 3x\right) -4 \cos(x) \ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \cos\left( 3x+\frac{\pi}{2} \right)\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{-1}^{0} \mathrm{e}^{-2x+1}\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{5}{2x-3}\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{2x-3}{5}\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{3x}\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{0}^{1} \sqrt{\mathrm{e}^{x}}\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{-1}^{1} \mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{-x}\ \mathrm{d}x$.
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{tasks}(1)
		\task $\displaystyle \int_{0}^{1} -3x+2\ \mathrm{d}x= \left[ -\frac{3}{2}x^2+2x \right]_0^1=\frac{1}{2}$.
		\task $\displaystyle \int_{2}^{3} \frac{1}{x^2}\ \mathrm{d}x= \left[ -\frac{1}{x} \right]_2^3=\frac{1}{6}$.
		\task $\displaystyle \int_{1}^{\mathrm{e}} \frac{1}{x}\ \mathrm{d}x=\left[ \ln(x) \right]_1^{\mathrm{e}}=1$.
		\task $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin(x) \ \mathrm{d}x = \left[ -\cos(x) \right]_0^{\frac{\pi}{4}}=1-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
		\task $\displaystyle \int_{-2}^{1} x^2+2x\ \mathrm{d}x= \left[ \frac{1}{3} x^3+x^2 \right]_{-2}^1=\frac{4}{3}+8-4=\frac{16}{3}$.
		\task $\displaystyle \int_{-1}^{1} \mathrm{e}^{-2x}\ \mathrm{d}x = \left[ -\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-2x} \right]_{-1}^1= -\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-2}+\frac{1}{2} \mathrm{e}^{2}$.
		\task $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{2}{3x+2}\ \mathrm{d}x = \left[ \frac{2}{3} \ln(3x+2) \right]_0^1=\frac{2}{3} \left( \ln(5)- \ln(2) \right)$.
		\task $\displaystyle \int_{-1}^{1} t^2+2t-1\ \mathrm{d}x = \left[ \frac{1}{3} t^3+t^2-t \right]_{-1}^1=\frac{1}{3}-\frac{5}{3}=-\frac{4}{3}$.
		\task $\displaystyle \int_{-\pi}^{\frac{\pi}{2}} \sin\left( \frac{u}{2} \right)\ \mathrm{d}u= \left[ -2 \cos\left( \frac{u}{2} \right) \right]_{-\pi}^{\frac{\pi}{2}}=-2 \cos\left( \frac{\pi}{4} \right) +2\cos \left( -\frac{\pi}{2} \right)=-\sqrt{2}$.
		\task $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \cos\left( 3y \right)\ \mathrm{d}y = \left[ \frac{1}{3} \sin(3y) \right]_0^{\pi}=0$.
		\task $\displaystyle \int_{-2}^{-1} \frac{2}{z^3}\ \mathrm{d}z = \left[ -\frac{1}{z^2} \right]_{-2}^{-1}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$.
		\task $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \cos\left( 2t \right) -\sin(t)\ \mathrm{d}t= \left[ \frac{1}{2} \sin(2t) +\cos(t) \right]_0^{\pi} $.
		\task $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \sin\left( 3x\right) -4 \cos(x) \ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \cos\left( 3x+\frac{\pi}{2} \right)\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{-1}^{0} \mathrm{e}^{-2x+1}\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{5}{2x-3}\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{2x-3}{5}\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{3x}\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{0}^{1} \sqrt{\mathrm{e}^{x}}\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{-1}^{1} \mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{-x}\ \mathrm{d}x$.
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Calculez les intégrales.	
	\begin{tasks}(3)
		\task $\displaystyle \int_0^4 t-3\ \mathrm{d}t$.
		\task $\displaystyle \int_{-1}^2 t^2-4t+3\ \mathrm{d}t$.
		\task $\displaystyle \int_1^2 t^2+t-\frac{1}{t}\ \mathrm{d}t$.
		\task $\displaystyle \int_1^4 \frac{1}{2\sqrt{t}} - \frac{1}{t}\ \mathrm{d}t$.
		\task $\displaystyle \int_{\frac{\pi}{6} }^{\frac{\pi}{2}}\cos(t)\ \mathrm{d}t$.
		\task $\displaystyle \int_0^{\pi} \sin(2t)\ \mathrm{d}t$.
		\task $\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{(t+2)^3}\ \mathrm{d}t$.
		\task  $\displaystyle \int_0^1 5t \mathrm{e}^{t^2}\ \mathrm{d}t$.
		\task $\displaystyle \int_{\ln(a)}^{\ln(b)} \mathrm{e}^t\ \mathrm{d}t$, $0<a\leqslant b$.
		\task $\displaystyle \int_0^2 5\mathrm{e}^{3t}\ \mathrm{d}t$.
		\task $\displaystyle \int_1^9 \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{t}}$.
		\task $\displaystyle \int_0^3 \frac{\mathrm{d}u}{(2u+1)^2}$.
		\task $\displaystyle \int_0^4 \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{5-x}}$.
		\task $\displaystyle \int_0^1 (2x+1)(x^2+x+1)\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_1^2 \frac{\mathrm{d}x}{3x+2}$.
		\task $\displaystyle \int_{-1}^1 \mathrm{e}^{3t-4} \mathrm{d}t$.
		\task $\displaystyle \int_0^1 \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{1+3t}}$.
		\task $\displaystyle \int_0^2 \frac{3x}{(x^2+1)^2} \ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{-1}^2 \frac{t^3}{t^4+2} \ \mathrm{d}t$.
		\task $\displaystyle \int_0^1 (x-2)(x^2-4x+1)^2 \ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_0^1 x \mathrm{e}^{x^2-1} \ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{1+\mathrm{e}^{-2t}} \ \mathrm{d}t$.
		\task $\displaystyle \int_1^{\mathrm{e}^2} \frac{\ln(t)}{t} \ \mathrm{d}t$.
		\task $\displaystyle \int_{\sqrt{\mathrm{e}}}^{\mathrm{e}} \frac{1}{t \ln(t)} \ \mathrm{d}t$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\subsection{Intégrales, propriétés.}

\begin{lecon}
	
	Par convention (et pour que ce soit cohérent avec la relation de Chasles ci-dessous), si $f$ est continue sur $[a,b]$, nous noterons: \[ \color{purple}\int_b^a  f(t) \ \mathrm{d}t := - \int_a^b  f(t) \ \mathrm{d}t . \]
	
	\medskip
	Les propriétés suivantes se conjecturent aisément par des considérations graphiques. Ce sont des propriétés indispensables pour des calculs d'aires. Si les intégrales de Riemann ne les avaient satisfaites nous aurions oublié ce procédé pour un autre.
	
\end{lecon}

\begin{proposition}	
	Soient $(a,b,c,\lambda)\in \mathbb{R}^4$, $f$ une fonction continue sur $[a,b]$.
	
	Si la surface est réduite à un segment l'aire est nulle: $\int_a^b 0 \ \mathrm{d}t = 0$.
	
	{\color{purple}Relation de Chasles}: $\int_a^b f(t) \ \mathrm{d}t =\int_a^c  f(t) \ \mathrm{d}t +\int_c^b  f(t) \ \mathrm{d}t$.
	
	{\color{purple}Linéarité}: $\int_a^b \lambda f(t)+g(t) \ \mathrm{d}t= \lambda \int_a^b  f(t) \ \mathrm{d}t +\int_a^b g(t) \ \mathrm{d}t$.
	
	{\color{purple}Croissance (et donc positivité)}, pour $a<b$: $f\leqslant g \Rightarrow \int_a^b f(t) \ \mathrm{d}t \leqslant \int_a^b  g(t) \ \mathrm{d}t$.
	
	D'où: $\left|\int_a^b f(t)\ \mathrm{d}t\right| \leqslant \int_a^b |f()|\ \mathrm{d}t$.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}	
	Ces propriétés se démontrent en utilisant la construction de Riemann des intégrales. 
	
	Elles peuvent être démontrées en utilisant l'existence d'une primitive.	
\end{preuve}

\begin{remarques}	
	\begin{enumerate}
		\item La croissance de l'intégrale signifie que l'on peut intégrer des inégalités ou des encadrements.
		
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\item Soit $f: x \mapsto \left\{ \begin{array}{l} -2x+1 \text{ si }x<0\\ \mathrm{e}^x \text{ sinon}\end{array} \right.$.
		
		\begin{align*}
			\int_{-1}^1 f(t)\ \mathrm{d}t &= \int_{-1}^0 f(t)\ \mathrm{d}t + \int_0^{1} f(t)\ \mathrm{d}t\\
			&= \int_{-1}^0 -2t+1\ \mathrm{d}t + \int_0^1 \mathrm{e}^t \ \mathrm{d}t\\
			&= [-t^2+t]_{-1}^0+[\mathrm{e}^t]_0^1\\
			&= -2+\mathrm{e}-1\\
			&=\mathrm{e}-3
		\end{align*}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			I &= \int_1^4 \frac{1}{t}\ \mathrm{d}t + \int_4^{16} \frac{1}{t}\ \mathrm{dt} +\int_{16}^6 \frac{1}{t}\ \mathrm{d}t\\
			&= \int_1^6 \frac{1}{t}\ \mathrm{d}t \\
			&= \left[ \ln(t) \right]_1^6\\
			&= \ln(6)
		\end{align*}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			I &= \int_0^1 \left( \mathrm{e}^x+1\right)^2\ \mathrm{d}x\\
			&= \int_0^1 \left( \mathrm{e}^x\right)^2+2\mathrm{e}^x+1\ \mathrm{d}x\\
			&= \int_0^1 \mathrm{e}^{2x}\ \mathrm{d}x+2\int_0^1 \mathrm{e}^x\ \mathrm{d}x+\int_0^1 1\ \mathrm{d}x\\
			&= \left[ \frac{1}{2}\mathrm{e}^{2x} \right]_0^1+ 2[\mathrm{e}^x]_0^1+[x]_0^1\\
			&= \frac{1}{2}\mathrm{e}^2-\frac{1}{2}+2\mathrm{e}-2+1\\
			&= \frac{1}{2}\mathrm{e}^2+2\mathrm{e}-\frac{3}{2}
		\end{align*}
		
		\item Puisque $\frac{1}{x^2+1}>0$ pour tout $x\in\mathbb{R}$, $\int_0^1 \frac{1}{t^2+1}\ \mathrm{d}t>0$ mais $\int_1^0 \frac{1}{t^2+1}\ \mathrm{d}t<0$.
		
		\item Par convexité $\mathrm{e}^x\geqslant x$ donc $\int_{-1}^1 \mathrm{e}^x\ \mathrm{d}x \geqslant \int_{-1}^1 x \ \mathrm{d}x$.
		
		\item %encadrement après étude de la fonction et trouver max et min sur un intervalle donné
		
	\end{enumerate}	
\end{exemples}

\begin{exercice}
	Écrivez chaque expression à l'aide d'une seule intégrale.	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\displaystyle \int_{-4}^6 f(x)\ \mathrm{d}x +\int_{-5}^{-4} f(x)\ \mathrm{d}x +\int_6^{10} f(x)\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{10}^{14} g(t)\ \mathrm{d}t - \int_5^0 g(t)\ \mathrm{d}t +\int_5^{10} g(t)\ \mathrm{d}t$.
		\task $\displaystyle 3\int_1^2 g(x)\ \mathrm{d}x+5 \int_1^2 g(x) \ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle -4\int_3^5 f(x)\ \mathrm{d}x - 5 \int_5^3g(x)\ \mathrm{d}x$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Soit $f$ la fonction définie sur $]-1,+\infty[$ par $f(x)=\frac{2x^2+x}{x+1}$.
	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\item Démontrez: $\forall x \in ]-1,+\infty[,\ f(x)=2x-1+\frac{1}{x+1}$.
		
		\item Calculez $I=\int_0^1 f(x)\ \mathrm{d}x$.
		
		\item Déterminez une valeur approchée de $I$.
		
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	On considère la fonction $f$ définie sur $]-1,+\infty[$ par $f(x)=\frac{4x+6}{(x+1)(x+2)(x+3)}$.
	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\item Démontrez que: $\forall x \in ]-1,+\infty[,\ f(x)= \frac{1}{x+1}+\frac{2}{x+2}-\frac{3}{x+3}$.
		
		\item Calculez $I=\int_0^2 f(x)\ \mathrm{d}x$.
		
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	$f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$.
	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\item Montrez que: $\forall x \in [1;3],\ \frac{1}{10}\leqslant f(x) \leqslant \frac{1}{2}$.
		
		\item Déduisez-en que $\frac{1}{5} \leqslant \int_1^3f(x)\ \mathrm{d}x \leqslant 1$.
		
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	$f$ est la fonction définie sur $[0,+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{1+x}$.
	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\item Montrez que: $\forall x \in [0;15],\ 1\leqslant f(x) \leqslant 4$.
		
		\item Déduisez-en un encadrement de $\int_0^{15} f(x)\ \mathrm{d}x$.
		
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\item Montrez que: $\forall t \in [1,+\infty[,\ 0\leqslant \mathrm{e}^{-t^2}\leqslant \mathrm{e}^{-t}$.
		
		\item Déduisez-en que: $\forall x \in [1,+\infty[,\ 0\leqslant \int_1^x \mathrm{e}^{-t^2} \leqslant \mathrm{e}^{-1}$.
		
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Montrez que: $0\leqslant \int_0^1x \mathrm{e}^x \ \mathrm{d}x \leqslant \mathrm{e}-1$.
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$0\leqslant x \leqslant 1 \Leftrightarrow 0 \leqslant x \mathrm{e}^x \leqslant \mathrm{e}^x$ puis en intégrant sur $[0;1]$: $0 \leqslant \int_0^1x \mathrm{e}^x \leqslant \left[ \mathrm{e}^x \right]_0^1$.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	On souhaite calculer l'intégrale $\displaystyle I=\int_0^1 \frac{1}{\mathrm{e}^t+1} \ \mathrm{d}t$. Posons $\displaystyle J=\int_0^1 \frac{\mathrm{e}^t}{\mathrm{e}^t+1}\ \mathrm{d}t$.
	
	Calculez $J$, puis $I+J$ et déduisez-en $I$.
\end{exercice}

\begin{exercice}
	On pose, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $I_n=\int_0^1 \sin(t) \mathrm{e}^{-nt}\ \mathrm{d}t$.
	
	Montrez que $\lim_{n \to +\infty} I_n=0$.
\end{exercice}

\subsection{Valeur moyenne d'une fonction.}

\begin{proposition}
	Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a<b$, $f$ une fonction continue sur $[a,b]$, $m$ et $M$ des réels.
	
	Si $m \leqslant f(x) \leqslant M$ pour tout $x \in [a,b]$ alors $m(b-a) \leqslant \int_a^b f(t) \ \mathrm{d}t \leqslant M(b-a)$.
\end{proposition}

\begin{exemples}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\item Étude de $f:x \mapsto \mathrm{e}^{-x^2}$ sur $[-1;1]$. Puis encadrement de $\int_{-1}^1 \mathrm{e}^{-x^2}\ \mathrm{d}x$.
		
	\end{enumerate}	
\end{exemples}

\begin{exercice}
	Démontrez que $-2 \leqslant \int_1^3 \sin(x^2)\ \mathrm{d}x \leqslant 2$.	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Soit $f$ la fonction définie sur $[-1;0]$ par $f(x)= \frac{3x+4}{(x+2)^2}$.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\item Dressez le tableau de variation de $f$.
		
		\item Déduisez-en un encadrement de $f(x)$ sur $[-1;0]$.
		
		\item Montrez que $1 \leqslant \int_{-1}^0  f(x)\ \mathrm{d}x  \leqslant \frac{9}{8}$.
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\item $f'(x)= \frac{3(x+2)^2-(3x+4)2(x+2)}{(x+2)^4}=\frac{(x+2)\left[ 3x+6-6x-8\right]}{(x+2)^4}=\frac{(x+2)(-3x-2)}{(x+2)^4}$.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
				{$-2$ ,$-\frac{2}{3}$, $0$}
				\tkzTabLine{,+,z,-,}%
				\tkzTabVar {-/ $1$ , + / $f\left( -\frac{2}{3} \right)$ , - / $1$ / }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		$f\left( -\frac{2}{3} \right)=1,125=\frac{9}{8}$.
		
		\item $1 \leqslant f(x) \leqslant \frac{9}{8}$ pour tout $x \in [-1;0]$.
		
		\item En intégrant le précédent encadrement.
		
	\end{enumerate}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	On considère la suite, définie pour tout entier $n\geqslant 3$ par: $u_n=\int_{n}^{n+1} \frac{\ln(t)}{t}\ \mathrm{d}t$.
	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\item Étudiez la fonction $f:x \mapsto \frac{\ln(x)}{x}$.
		
		\item Déduisez-en un encadrement de $u_n$ pour chaque $n \geqslant 3$.
		
		\item Concluez quant à la convergence de $(u_n)_{n\geqslant 3}$.
		
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\item $f'(x)=-\frac{1}{x^2}\ln(x)+\frac{1}{x}\times\frac{1}{x}=\frac{1-\ln(x)}{x^2}$
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
				{$0$ ,$\mathrm{e}$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{d,+,z,-,}%
				\tkzTabVar {-D-/  / $-\infty$ , + / $\mathrm{e}^{-1}$ , - / $0$ / }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item Pour $n \geqslant 3 \geqslant \mathrm{e}$: $\frac{\ln(n)}{n} \geqslant f(t) \geqslant \frac{\ln(n+1)}{n+1}$ pour tout $t\in [n,n+1]$.
		
		\item $\frac{\ln(n)}{n} \geqslant u_n \geqslant\frac{\ln(n+1)}{n+1}$. 
		
		\item $(u_n)$ converge vers $0$.
		
	\end{enumerate}
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\item En considérant la fonction inverse justifiez que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$: $\frac{1}{n+1} \leqslant \ln(n+1)-\ln(n) \leqslant \frac{1}{n}$.
		
		\item Déduisez-en que, pour $n\in\mathbb{N}^*$: $\sum_{i=2}^{n+1} \frac{1}{i} \leqslant \ln(n+1) \leqslant \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i}$.
		
		\item Déduisez en la convergence ou la divergence de $\left( \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i} \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$. \emph{Cette suite de somme est appelée {\color{purple}la série harmonique}}.
		
		\item Proposez un algorithme en Python qui donne un encadrement de $\ln(n)$ pour $n$ un entier naturel non nul.
		
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\item $\forall x\in [n,n+1],\ \frac{1}{n}\geqslant \frac{1}{x} \geqslant \frac{1}{n+1}$ puis inégalités de la moyenne.
		
		\item En sommant les inégalités.
		
		\item Diverge vers $+\infty$ par comparaison.
		
		\item 
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{proposition}
	Si $|f(x)|\leqslant M$ alors $\left| \int_a^b f(t)\ \mathrm{d}t\right| \leqslant M(b-a)$.	
\end{proposition}

\begin{notabene}
	
	Interprétation géométrique de la valeur moyenne de la fonction : hauteur du rectangle qui aura la même aire que sous la courbe.
	
\end{notabene}

\begin{definition}
	Soient: $a$ et $b$ des réels avec $a<b$ et $f$ une fonction continue sur $[a,b]$. Nous appellerons \emph{\color{purple}valeur moyenne de $f$ sur $[a,b]$} le réel $\mu = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(t)\ \mathrm{d}t$.
\end{definition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\item Autrement dit $\mu$ est la réponse à la question: quelle serait la hauteur d'un rectangle dont un côté a une longueur de $b-a$ et dont l'aire égale celle $\int_a^b f(t)\ \mathrm{d}t$?
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exercice}
	Lors d'une épidémie de grippe, le nombre de malades, $t$ jours après l'apparition des premiers cas, est modélisé par la fonction $f$ définie sur $[0;6]$ par $f(t)=6t^2-t^3$.
	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\item Calculez la valeur moyenne $\mu$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0;6]$.
		
		\item Donnez une interprétation de ce résultat.
		
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Un mobile est étudié sur l'intervalle de temps $[0;20]$. le temps est exprimé en secondes. La vitesse du mobile en $\mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-1}$, est donné par: $v(t)=2t^2+3t$.
	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\item Calculez la valeur moyenne de la fonction $v$ sur $[0;20]$.
		
		\item Que représente cette valeur moyenne?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Les antibiotiques sont des molécules possédant la propriété de tuer des bactéries ou d'en limiter la progression.
	
	On note $f(t)$ la concentration dans le sang (en $\mathrm{mg}/\mathrm{L}$) en fonction du temps (en heures) d'un antibiotique administré en une seule dose à un animal, $t$ appartenant à l'intervalle $[0;24]$.
	
	On admet que pour $t$ dans cet intervalle $f(t)=\frac{50t}{t^2+4}$.
	
	Calculez la concentration moyenne de l'antibiotique pendant les $10$ premières heures. Donnez la valeur exacte puis la valeur arrondie au millième.	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$\int_0^{10} \frac{50t}{t^2+4}\ \mathrm{d}t= 50 \times \frac{1}{2}\times  \left[ \ln\left( t^2+4 \right) \right]_0^{10}=25 \times \left( \ln(10^2+4) - \ln(4) \right)\approx 81,45241345$.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Soit $I_n=\int_0^1 x^n\mathrm{e}^{-x}\ \mathrm{d}x$ pour tout $n \in\mathbb{N}^*$. Pour $n\in\mathbb{N}^*$, on note $\mathscr{C}_n$ la courbe représentative de $f_n:x \mapsto x^n\mathrm{e}^{-x}$.
	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\item Conjecturez le sens de variation de $(I_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ puis démontrez-le.
		
		\item Montrez que, pour tout $n \in\mathbb{N}^*$, $0\leqslant I_n\leqslant \frac{1}{n+1}$ et déduisez-en la limite de $(I_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$.
		
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\item Démontrez que pour tout $x \in [0;1]$: $0\leqslant x \mathrm{e}^{-x} \leqslant x \mathrm{e}^{-x^2}$.
		
		\item Déduisez-en que $0\leqslant \int_0^1 x\mathrm{e}^{-x}\ \mathrm{d}x \leqslant \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{\mathrm{e}} \right)$.		
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Pour $n$ un entier naturel non nul on pose: $I_n=\int_1^{\mathrm{e}} \left( \ln(x)\right)^n\ \mathrm{d}x$ et $J_n=\int_{\mathrm{e}}^{2\mathrm{e}} \left( \ln(x)\right)^n\ \mathrm{d}x$.	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\item Justifiez que la suite $(I_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ est décroissante.
		
		\item Quel est le sens de variation de la suite $(J_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$?
		
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Soit, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n=\int0^1 \frac{x^n}{1+x} \ \mathrm{d}x$.
	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\item Calculez $u_0$.		
		\item 		
		\begin{enumerate}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\setlength{\parskip}{0pt}		
			\item Démontrez que pour tout entier naturel $n$: $u_{n+1}+ u_n=\frac{1}{n+1}$.
			
			\item Déduisez-en la valeur de $u_1$.			
		\end{enumerate}		
		\item Démontrez que la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est décroissante.		
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Soient $(I_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ et $(J_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ les suites définies par $I_n=\int_0^1 \frac{1}{1+x^n}\ \mathrm{d}x$ et $J_n=\int_0^1 \frac{x^n}{1+x^n}\ \mathrm{d}x$.	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\item 		
		\begin{enumerate}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\item Justifiez que pour tout $x\in[0;1]$: $\frac{1}{1+x^n} \leqslant 1$.
			
			\item Montrez que la suite $(I_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ est majorée par $1$.			
		\end{enumerate}		
		\item 		
		\begin{enumerate}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\item Montrez que, pour $n$ dans $\mathbb{N}^*$, $0\leqslant J_n \leqslant \frac{1}{n+1}$.
			
			\item Déduisez-en la limite de la suite $(J_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$.		
		\end{enumerate}		
		\item 		
		\begin{enumerate}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\item Calculez pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $I_n+J_n$.
			
			\item Déterminez la limite de la suite $(I_n)$.			
		\end{enumerate}		
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		0ieme barabzo 2020 page 267 exo 91
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\subsection{Intégration par parties.}

\begin{lecon}
	
	Nous connaissons une formule pour calculer la dérivée d'un produit: $(uv)'=u'v+uv'$. Nous allons utiliser cette formule pour calculer certaines intégrale qui restaient pour l'heure rétive au calcul.
	
\end{lecon}

\begin{theoreme}
	Formule d'intégration par parties.
	
	Soient $a$ et $b$ des réels avec $a\leqslant b$, $u$ et $v$ des fonctions dérivables sur $[a,b]$ dont les dérivées sont continues.
	
	Pour tout $a$ et $b$ de $I$: $\int_a^b u(t)v'(t)\ \mathrm{d}t= \left[ u(t)v(t) \right]_a^b - \int_a^b u'(t) v(t)\ \mathrm{d}t$.	
\end{theoreme}

\begin{preuve}
	En intégrant: $uv'=(uv)'-u'v$.
\end{preuve}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\item Calculons $\int_1^2 (x-1)\mathrm{e}^{x}\ \mathrm{d}x$.
		
		\item 
		
		\begin{notabene}
			
			CNED 2000 page 113
			
		\end{notabene}
		
		Calculez $\int_1^{\mathrm{e}} x \ln(x)\ \mathrm{d} x$.
		
		\item 
		
		\begin{notabene}
			
			CNED 2000 page 114
			
		\end{notabene}
		
		Déterminez une primitive de $\ln$ sur $\mathbb{R}_+^*$.
		
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{exercice}
	À l'aide d'une intégration par parties calculez les intégrales suivantes.
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $\int_0^{\pi} t\sin(t)\ \mathrm{d}t$.
		\task $\int_0^1 x \mathrm{e}^x\ \mathrm{d}x$.
		\task $\int_0^1 x \mathrm{e}^{-2x}\ \mathrm{d}x$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	En procédant à deux intégrations par parties calculez $I=\int_0^{\pi} x^2 \sin(x)\ \mathrm{d}x$.
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Calculez $I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{e}^x \sin(x)\ \mathrm{d}x$.
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Une entreprise produit $x$ centaines d'objets chaque semaine. Le coût de production exprimé en milliers d'euros, est défini sur l'intervalle $[0;5]$ par la fonction $C$ telle que: $C(x)=(4x+1)\mathrm{e}^{-x}$.
	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\item En utilisant une intégration par parties, calculez la valeur moyenne	de la fonction $C$ sur l'intervalle $[0;5]$. Vous arrondirez le résultat à $10^{-3}$ près.
		
		\item Quelle interprétation peut-on faire du résultat précédent pour l'entreprise?
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Calculez $I=\int_0^{1} (2t-1) \mathrm{e}^t \ \mathrm{d}t$, $J=\int_0^{\mathrm{e}} t^2(1-2\ln(t)) \ \mathrm{d}t$ et $K = \int_0^{\frac{\pi}{6}} (2t-1) \sin(t) \ \mathrm{d}t$.
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Notons $I=\int_0^{\frac{\pi}{4}} (2t-3) \cos^2(t) \ \mathrm{d}t$ et $J=\int_0^{\frac{\pi}{4}} (2t-3) \sin^2(t) \ \mathrm{d}t$.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\item Calculez $I+J$.
		
		\item Calculez $I-J$ à l'aide d'une intégration par parties.
		
		\item Déduisez-en les valeurs de $I$ et $J$.
		
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Les questions 1 et 2 sont indépendantes.
	
	$\mathbb{N}$* est l'ensemble des entiers strictement positifs.
	
	Pour tout entier $n$ de $\mathbb{N}^{*}$, on considère l'intégrale : $I_{n} = 
	\displaystyle\int_{1}^{\text{e}} (\ln x)^n \:\text{d}x.$
	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\item 
		\begin{enumerate}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\item Démontrer que pour tout $x$ dans l'intervalle ]1~;~e[,
			et pour tout $n$ entier naturel, on a : $(\ln x)^n - (\ln x)^{n + 1} > 0$.
			
			\item En déduire que la suite $\left(I_{n}\right)$ est décroissante.
		\end{enumerate}		
		\item
		\begin{enumerate}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\item Calculer $I_{1}$ à l'aide d'une intégration par
			parties.
			\item Démontrer à l'aide d'une intégration par parties que, pour tout 
			$n \in \mathbb{N}$*, $I_{n+1}  = \text{e} - (n + 1)I_{n}$.
			\item En déduire $I_{2},\:I_{3}$ et $I_{4}$. Donner les valeurs exactes, exprimées en fonction de e, et les valeurs approchées à $10^{-3}$ près par 
			défaut.
		\end{enumerate}
		\item
		\begin{enumerate}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\item Démontrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$*,~$I_{n} \geqslant 0$.
			\item Démontrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$*,~$(n + 1)I_{n} \leqslant $ e.
			\item En déduire la limite de $I_{n}$.
			\item Déterminer la valeur de $nI_{n} + \left(I_{n} + I_{n + 1}\right)$ et en déduire la limite de $nI_{n}$.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	On considère les suites $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $(y_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définies, pour tout $n \in \mathbb{N}$ par: $x_n=\int_0^1 t^n\cos(t)\ \mathrm{d}t \text{ et } y_n=\int_0^1 t^n\sin(t)\ \mathrm{d}t$.
	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\item 
		\begin{enumerate}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\item Justifiez que la suite $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est à termes positifs.
			
			\item Étudiez le sens de variation de la suite $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$.
			
			\item Déduisez-en que la suite $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est convergente.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\item Démontrez que pour tout entier naturel $n$ non nul, $x_n\leqslant \frac{1}{n+1}$.
			
			\item Déduisez-en la limite de $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\item À l'aide d'une intégration par parties, démontrez que pour tout entier naturel $n$ non nul, $x_{n+1}=-(n+1)y_n+\sin(1)$.
			
			\item Déduisez-en la limite de $(y_n)_{n\in\mathbb{N}}$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \text{e}^x - x^2$ dont la courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$ dans un repère orthonormal $\left( O; \vec{i}, \vec{j} \right)$, est donnée sur le graphique ci-dessous à compléter.
	
	\begin{tabular}{m{5cm}m{6cm}}
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.6,yscale=0.6]
			\def\xY{-3};
			\def\yY{-4};
			\def\xZ{4};
			\def\yZ{4};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
			\foreach \x in {-2,-1,1,2,3} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {-3,-2,-1,1,2,3} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=-2:2.15] plot(\x,{exp(\x )-\x*\x});
			\draw[blue] (-1.2,-3) node {$\mathcal{C}_f$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	&
	On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par $g(x) = \dfrac{f(x)}{x}= \dfrac{\text{e}^x}{x} - x$ et on note $\mathcal{C}_{g}$ sa courbe représentative dans le même repère.
	\end{tabular}
	
	\textbf{Partie A : Remarques préliminaires concernant la fonction \boldmath $f$ \unboldmath}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\item Sans chercher à déterminer son équation, tracer la tangente à $\mathcal{C}_{f}$ passant par O. On notera A son point de contact avec $\mathcal{C}_{f}$. Évaluer graphiquement le coefficient directeur de cette tangente en expliquant le procédé utilisé. 
		\item Calculer la valeur exacte de l'intégrale $I = \displaystyle\int_{1}^2 f(x)\:\text{d}x$, puis en donner une  valeur approchée à $10^{-2}$ près. 
		\item En déduire une interprétation graphique du nombre réel : $\text{e}^2 - \text{e} - \dfrac{7}{3}$.
	\end{enumerate}
		
	\textbf{Partie B : Étude de la fonction} \boldmath $g$ \unboldmath
	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\item Étudier les limites de $g$ en $+ \infty$ et en $0$ et justifier que $\mathcal{C}_{g}$ admet une asymptote. 
		\item  
		\begin{enumerate}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\item Calculer la dérivée $g'(x)$ et montrer qu'elle est du signe de $(x - 1)\text{e}^x - x^2$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
			\item Soit $u$ la fonction qui à tout $x$ de l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ associe 
			
			$u(x) = (x-1)\text{e}^{x } - x^2$. 
			Étudier le sens de variation de $u$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$. 
			\item Déterminer le signe de $u(x)$ sur l'intervalle [0~;~1[. 
			\item Montrer que l'équation $u(x) = 0$ admet une solution unique $a$ sur l'intervalle [1~;~2].
			
			En déduire, suivant les valeurs de $x$, le signe de $u(x)$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$. 
			\item En déduire le signe de $g'(x)$ et dresser la tableau de variation de $g$.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}

	\textbf{Partie C : Construction de } \boldmath $\mathcal{C}_{g}$ \unboldmath
		
	\begin{enumerate}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\item On se propose de construire le point $S(a~;~g(a))$ où $a$ est le réel déterminé dans la question B.  2. d. 
		\begin{enumerate}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\item Montrer que, sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$, \quad $g^{\prime}(x) = 0$ équivaut à $f^{\prime}(x) = \dfrac{f(x)}{x}$ et que par conséquent $f'(a) = \dfrac{f(a)}{a}$. 
			\item En utilisant ce résultat, établir que $a$ est l'abscisse du point A défini dans la première partie. 
			\item Justifier que l'ordonnée de $S$ est $f^{\prime}(a)$ et placer $S$ sur le dessin. 
		\end{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées du point d'intersection de $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$. 
		\item Construire la courbe $\mathcal{C}_{g}$. 
	\end{enumerate}
	
	\textbf{Partie D : Étude d'une primitive de \boldmath $g$ \unboldmath et calcul d'une intégrale }
	
	Soit $G$ la primitive de $g$ sur l'intervalle [1~;~2] qui s'annule pour $x = 1$ (on ne cherchera pas à calculer cette primitive).
	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\item Déterminer le sens de variation de $G$ sur [1~;~2]. 
		\item Donner une interprétation géométrique du nombre $G(2)$. Dans la suite, on prendra $1,55$ comme valeur approchée de $G(2)$ à $10^{-2}$ près. 
		\item On considère l'intégrale $J = \displaystyle\int_{1}^2 G(x)\:\text{d}x$. 
		\begin{enumerate}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\item Justifier que l'intégrale $I$ calculée dans la première partie peut s'écrire $I = \int_{1}^2 xg(x)\:\text{d}x$.			
			\item En utilisant une intégration par parties, établir que $I = 2 G(2) - J$ et en déduire une valeur approchée de $J$, à $10^{-2}$ près.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Problème bac C sportifs de haut niveau octobre 1998.
\end{exercice}

\begin{exercice}
	pondichery avril 1998 %https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Baccalaureat_C_1998_FH.pdf
\end{exercice}

\begin{exercice}%bac novembre 1993 nouvelle calédonie
	On se propose de calculer l'intégrale $J=\int_0^1 \dfrac{x\mathrm{e}^x}{\left( 1+\mathrm{e}^x \right)^3}\ \mathrm{d}x$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculez les deux intégrales: $A=\int_0^1 \dfrac{x\mathrm{e}^x}{1+\mathrm{e}^x}\ \mathrm{d}x$ et $B=\int_0^1 \dfrac{x\mathrm{e}^x}{\left( 1+\mathrm{e}^x \right)^2}\ \mathrm{d}x$.
		\item Déterminez trois nombres réels $a$, $b$ et $c$ tels que pour tout nombre réel $t$ positif ou nul on ait: $\frac{1}{(1+t)^2}= a+ \frac{b}{1+t}+\frac{ct}{(1+t)^2}\quad (1)$.
		\item En posant $t=\mathrm{e}^x$ dans l'égalité $(1)$, calculez l'intégrale: $I=\int_0^1 \frac{1}{\left( 1+ \mathrm{e}^x \right)^2}\ \mathrm{d}x$.
		\item 
		\begin{enumerate}
			\item À l'aide d'une intégration par parties exprimez $J$ en fonction de $I$.
			\item Déduisez-en la valeur de $I$. À l'aide de la calculatrice donnez une valeur approchée de $J$ à $10^{-2}$ près.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\subsection{Calculer l'aire entre deux courbes.}

\begin{lecon}	
	Dans un repère orthogonal $\left( O; \vec{i}, \vec{j} \right)$ le calcul de l'aire se fait en unités d'aires: $\| \vec{i} \| \times \| \vec{j} \|$.	
\end{lecon}

\begin{proposition}
	Soit $\mathscr{A}$ l'aire délimitée par $\mathscr{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$.
	
	Si $f$ est positive sur $[a,b]$ alors $\mathscr{A} = \int_a^b f(t)\ \mathrm{d}t$.
	
	Si $f $ est négative sur $[a,b]$ alors $\mathscr{A} = \int_a^b -f(t)\ \mathrm{d}t$.
	
	Sinon $\mathscr{A} = \int_a^b |f(t)|\ \mathrm{d}t$.
\end{proposition}

\begin{exemples}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\item Aire sous la parabole sur $[0;1]$.
		
		\item Aire, $f(x)=(x+1)(x-1)=x^2-1$ sur $[0;2]$.	
	\end{enumerate}	
\end{exemples}

\begin{proposition}
	Soit $\mathscr{A}$ l'aire délimitée par $\mathscr{C}_f$, $\mathscr{C}_g$ et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$.
	
	Si $f\leqslant g$ alors $\mathscr{A}=\int_a^b g(t)-f(t) \ \mathrm{d}t$.
\end{proposition}

\begin{exemples}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\setlength{\parskip}{0pt}		
		\item Aire $f(x)= 2x^2+x+1$ et $g(x)=x^2+6x+7$ sur $[-2;0]$. %$x^2-5x-6$		
	\end{enumerate}	
\end{exemples}

\begin{remarques}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\item Si $f$ change de signe, dans la pratique, pour calculer l'aire délimitée par l'axe des abscisses la courbe représentative et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$ on utilise la relation en intégrant sur les intervalles où $f$ ne change pas de signe.
		
	\end{enumerate}	
\end{remarques}

\begin{exercice}
	Soient $f:x \mapsto x^2-\frac{3}{x}$ et $g:x \mapsto x^2$ définies sur $\mathbb{R}_+^*$. Calculez l'aire du domaine limité par $\mathscr{C}_f$, $\mathscr{C}_g$ et les droites d'équations $x=\frac{1}{2}$ et $x=2$.	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Soient $f:x \mapsto 3x^2-7x+2$ et $g:x \mapsto x^2-5x+6$ définies sur $\mathbb{R}$. Calculez l'aire du domaine limité par $\mathscr{C}_f$, $\mathscr{C}_g$ et les droites d'équations $x=1$ et $x=3$.	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$f(x)-g(x)=2x^2-2x-4=2(x+1)(x-2)$. $f-g\leqslant 0$ sur $[1;2]$ et $f-g\geqslant 0$ sur $[2;3]$ donc $\mathscr{A}= -\int_1^2 f(x)-g(x)\ \mathrm{d}x+\int_2^3 f(x)-g(x)\ \mathrm{d}x$.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Soit $f:x \mapsto x-3+ \mathrm{e}^{-2x}$ définie sur $\mathbb{R}$ et $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal.
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrez que $\mathscr{D}:\ y=x-3$ est asymptote à $\mathscr{C}_f$ au voisinage de $+\infty$.
		
		\item Étudiez la position de $\mathscr{C}$ par rapport à $\mathscr{D}$.
		
		\item Déduisez-en l'aire du domaine limité par $\mathscr{C}_f$, $\mathscr{D}$ et les droites d'équations $x=1$ et $x=\ln(2)$.
		
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	\begin{notabene}
		0iem bordas indice 2020 page 347 exo 98 à 113
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}%bac 1993 sportifs
	On considère la suite $(I_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie, pour tout entier $n\geqslant 0$ par $I_n=\frac{1}{n!} \int_0^1 (1-x)^n\mathrm{e}^x\ \mathrm{d}x$.
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		\begin{enumerate}
			\item Calculez $\int_0^1 (1-x)^n\ \mathrm{d}x$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
			\item À l'aide de l'encadrement $1\leqslant  \mathrm{e}^x \leqslant \mathrm{e}$ valable sur l'intervalle $[0;1]$, montrez que pour tout entier $n \geqslant 1$ on a: $\frac{1}{(n+1)!}\leqslant I_n\leqslant \frac{e}{(n+1)!}$.
			\item Montrez que la suite $(I_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est convergente et déterminez sa limite.
		\end{enumerate}
		\item 
		\begin{enumerate}
			\item Calculez $I_0$, puis $I_1$ à l'aide d'une intégration par parties.
			\item Établissez, en intégrant par parties, que pour tout entier $n \geqslant 1$, on a: $I_{n}-I_{n-1}=-\frac{1}{n!}\qquad (1)$.
		\end{enumerate}
		\item On pose pour tout entier $n \geqslant 1$: $J_n=1+\frac{1}{1!}+\dots +\frac{1}{n!}$.
		\begin{enumerate}
			\item En utilisant les relations $(1)$ exprimez $J_n$ en fonction de $I_n$ et $I_0$.
			\item Déduisez-en la limite $J$ de la suite $(J_n)_{n\in\mathbb{N}}$.
			\item Justifiez l'encadrement $\frac{1}{(n+1)!} \leqslant J -J_n \leqslant \frac{e}{(n+1)!}$.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}		
\end{exercice}

\newpage ~

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\draw (O) node {$\bullet$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\draw (I) node {$\bullet$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	\draw (J) node {$\bullet$};
	%Graduations
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Rectangle en coin.}

\begin{tikzpicture}
	\def\xangledroit{0};
	\def\yangledroit{0};
	\def\longueurangledroit{0.5};
	\draw[fill=green!30,rotate around={{20}:({\xangledroit},{\yangledroit})}] ({\xangledroit},{\yangledroit}) rectangle ({\xangledroit+\longueurangledroit},{\yangledroit+\longueurangledroit});
\end{tikzpicture}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}