%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/0ieme.html}{11 Équations différentielles.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour abrege
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}\exclure{culturegenerale}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene}

%Pour les exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour les correction d'exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{11 Équations différentielles.}

\subsection{Primitives.}

\subsubsection{Définition.}

\begin{definition}
	
	Soit $f:E\rightarrow \mathbb{R}$ une application.
	
	On dit qu'une application $F$ est \emph{\color{purple}une primitive de $f$} sur $E$ si et seulement si $F$ est dérivable sur $E$ et $F'=f$.
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item On appelle \emph{\color{purple}équation différentielle} une équation (égalité qui peut être vraie ou fausse) dont l'inconnue est une fonction et ses dérivées. 
		
		\item Chercher une primitive est la tâche réciproque de la dérivation. Ce sont donc les formules de dérivation que nous connaissons qui vous nous permettre de trouver les primitives.
		
		\begin{notabene}
			
			Faire la liste des primitives de références et compositions incluses
		\end{notabene}
		
		ON retrouve notamment la propriété de linéarité de la dérivation: une primitive d'une somme est, par exemple, une somme des primitives.
		
		\item Quel est l'intérêt de ce travail réciproque de la dérivation? Cela semble pour l'instant gratuit, mais nous verrons bientôt, avec les calculs d'intégrales, une application fondamentale de la recherche des primitives.
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $x \mapsto \frac{5}{4} x^4$ est une primitive de $x \mapsto 5x^3$.
		
		\item $x\mapsto \mathrm{e}^{3x+1}+8$ est une primitive de $x \mapsto 3\mathrm{e}^{3x+1}$.%Vérifier que c'est une primitive
		
		\item $x \mapsto \frac{1}{2}\sin(2x)$ est solution de l'équation différentielle $y'=\cos(2x)$.
		
		\item Une primitive de $x \mapsto \frac{3x^2+2x+4}{x^3+x^2+4x+1}$ est $\ln\left( x^3+x^2+4x+1 \right)$ (là où la fonction est effectivement définie).
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		0ieme barbazo 2020 page 224 exos 8 et 9
	\end{notabene}
	
	Déterminez une primitive de la fonction $f$ (sans se préoccuper des domaines de définition).
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $f(x)=5(5x-1)^3$.
		\task $f(x)=\cos(x)\sin^2(x)$.
		\task $f(x)=-\mathrm{e}^{-x} \left( \mathrm{e}^{-x}+1 \right)^4$.
		\task $f(x)= \dfrac{2x+2}{x^2+2x+3}$.
		\task $f(x)=\dfrac{-\sin(x)}{\cos(x)}$.
		\task $f(x)= \dfrac{-10x\mathrm{e}^{-5x^2}}{\mathrm{e}^{-5x^2}}$
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\frac{1}{4} \left( 5x-1\right)^4$.
		\task $\frac{1}{3} \sin^3(x)$.
		\task $\frac{1}{5} \left( \mathrm{e}^{-x}+1 \right)^5$.
		\task $\ln\left| x^2+2x+3\right|$.
		\task $\ln\left( \cos(x) \right)$.
		\task $\ln\left( \mathrm{e}^{-5x^2} \right)$.
	\end{tasks}

\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		0ieme barbazo 2020 page 226 exos 1 
		
		Ajouter le 2 avec les intervalles
	\end{notabene}
	Vérifiez que $f$ est solution de l'équation différentielle $(E)$ sur $\mathbb{R}$.
	
	\begin{tasks}
		\task $f:x \mapsto 5x^2-2x-5$ et $(E):\ y'=10x-2$.
		\task $f:x \mapsto 1-\mathrm{e}^{-2x+1}$ et $(E):\ y'=2 \mathrm{e}^{-2x+1}$.
		\task $f:x \mapsto \dfrac{1}{1+x^2}$ et $(E):\ y'=-\dfrac{2x}{\left( 1+x^2\right)^2}$.
		\task $f:x\mapsto \cos(x)$ et $(E):\ y'=-\sin(x)$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		0ieme barbazo 2020 page 226 exos 8 et 9, page 227 exos 11, 12, 13
	\end{notabene}
	
	Déterminez une primitive de la fonction $f$ sur $I$.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $f(x)=x^2-3x+7$ et $I=\mathbb{R}$.
		\task $f(x)=x^3+x-12$ et $I=\mathbb{R}$.
		\task $f(x)=x^6+3x^5-x^4$ et $I=\mathbb{R}$.
		\task $f(x)=0,1x^4+\frac{x^2}{10}-\frac{x}{100}$ et $I=\mathbb{R}$.
		\task $f(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^3}$ et $I=]0,+\infty[$.
		\task $f(x)=\frac{5}{x^4}-\frac{4}{x^5}$ et $I =]0,+\infty[$.
		\task $f(x)= \frac{1}{2x}+\frac{x}{2}$ et $I=]0,+\infty[$.
		\task $f(x)=\frac{1}{3x^2}-\frac{3x^2}{2}+\frac{2}{3}$.
		\task $f(x)=10(2x+1)^4$ et $I=\mathbb{R}$.
		\task $f(x)=\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}$ et $I=\left] -\frac{1}{3},+\infty\right[$.
		\task $f(x)=\frac{-1}{2(x-2)^3}$ et $I=]2,+\infty[$.
		\task $f(x)= \frac{2}{2x-6}$ et $I=]3,+\infty[$.
		\task $f(x)=-\sin(-x)$ et $I=\mathbb{R}$.
		\task $f(x)=2\cos(2x+1)$ et $I=\mathbb{R}$.
		\task $f(x)=-3\sin(x)\cos^2(x)$ et $I=\mathbb{R}$.
		\task $f(x)=3\mathrm{e}^{3x+1}$ et $I=\mathbb{R}$.
		\task $f(x)=2x\mathrm{e}^{x^2}$ et $I=\mathbb{R}$.
		\task $f(x)=6\mathrm{e}^x\left( \mathrm{e}^x+2 \right)^5$ et $I=\mathbb{R}$.
		\task $f(x)=\frac{\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^x+3}$ et $I=\mathbb{R}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\frac{1}{3}x^3-\frac{3}{2}x^2+7$.
		\task $\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{2}x^2-12x$.
		\task $\frac{1}{7}x^7+\frac{3}{6}x^6-\frac{1}{5}x^5$.
		\task $\frac{0,1}{5}x^5+\frac{1}{30}x^3-\frac{1}{200}x$.
		\task $\ln(x)-\frac{1}{2x^2}$.
		\task $-\frac{1}{x^5}+\frac{1}{x^4}$.
		\task $\frac{1}{2} \ln(x)+\frac{1}{4}x^2$.
		\task $-\frac{1}{6x}-\frac{x^3}{2}$.
		\task $(2x+1)^5$.
		\task $\sqrt{3x+1}$.
		\task $\frac{1}{(x-2)^2}$.
		\task $\ln\left( 2x-6\right)$.
		\task $-\cos(-x)$.
		\task $\sin(2x+1)$.
		\task $\cos^3(x)$.
		\task $\mathrm{e}^{3x+1}$.
		\task $\mathrm{e}^{x^2}$.
		\task $\left( \mathrm{e}^x+2 \right)^6$.
		\task $\ln\left( \mathrm{e}^x+3 \right)$.
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Existence et non unicité.}

\begin{proposition}{}
	
	Toute fonction $f$ continue sur un intervalle non trivial $I$ admet une primitive sur $I$.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	Nous verrons une preuve lorsque nous étudierons les intégrales.
	
\end{preuve}

\begin{proposition}
	
	Si $F$ et $G$ sont des primitives d'une fonction $f$ continue sur un intervalle $I$ alors $F-G$ est une fonction constante.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}
	
	$(F-G)'=F'-G'=f-f=0$. Si $(F-G)'=0$ sur $I$ alors $F-G$ est constante (résultat vu et utilisé en première qui est une conséquence du théorème des accroissements finis que vous rencontrerez peut-être un jour).
	
\end{preuve}

\begin{corollaire}
	
	Soient $a$ et $b$ des réels.
	
	\medskip
	Une fonction $f$, continue sur un intervalle $I$, admet une unique primitive $F$ telle que $F(a)=b$.
	
\end{corollaire}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item On dit que les primitives (sur un intervalle) diffèrent d'une constante.
		
		\item Nous utiliserons ce résultat pour décrire l'ensemble des primitives possibles: si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ alors les autres primitives de $f$ sont les fonctions de la forme $F+\lambda$ où $\lambda$ décrit $\mathbb{R}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $F:x \mapsto \frac{1}{4}x^4$ est une primitive de $f:x \mapsto x^3$ mais il y a d'autres primitives: $x \mapsto \frac{1}{4}x^4+3$, $x \mapsto \frac{1}{4}x^4-5$, $x \mapsto \frac{1}{4}x^4+12$,
		\item $F:x \mapsto -3\mathrm{e}^{-3x}$ est une primitive de $f:x \mapsto \mathrm{e}^{-3x}$.
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		0ieme barbazo 2020 page 227 exos 15,16
	\end{notabene}
	
	On considère les fonctions $f$ et $F$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\left( -x^2+2x+1 \right) \mathrm{e}^{-x}$ et $F(x)=(x^2-1)\mathrm{e}^{-x}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Vérifiez que $F$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$.
		
		\item Déduisez-en la primitive $G$ de $f$ telle que $G(0)=5$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $F'=f$.
		\item \objectif{Déterminons la primitive $G$.}
		
		Puisque $F$ et $G$ sont des primitives de $f$, il existe un réel $c$ tel que $G=F+c$.
		
		Or $G(0)=5$ donc, successivement
		\begin{align*}
			F(0)+c &= 5\\
			(0^2-1)\mathrm{e}^{-0}+c &= 5\\
			-1+c &= 5\\
			c &= 6
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$G:x \mapsto \left( x^2-1 \right) \mathrm{e}^{-x}+6$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		0ieme barbazo 2020 page 227 exos 16
	\end{notabene}
	
	Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}_+^*$ par: $f(x)=\frac{1}{x}-\mathrm{e}^x$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Donnez une primitive de $f$ sur $]0,+\infty[$.
		\item Déduisez en toutes les primitives de $f$ sur $]0,+\infty[$.
		\item Déterminez la primitive $F$ de la fonction $f$ telle que $F(1)=0$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $H(x)=\ln(x)-\mathrm{e}^x$.
		\item \objectif{Déterminons l'ensemble de toutes les primitives de $f$ sur $]0,+\infty[$.}
		
		Puisque $H$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle $]0,+\infty[$
		
		\begin{conclusion}
			
			les primitives de $f$ sur $]0,+\infty[$ sont les fonctions de la forme $H+c$ où $c$ décrie $\mathbb{R}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item $F(1)=0 \Leftrightarrow H(1)+c=0 \Leftrightarrow c=1$.
		
		$F:x \mapsto \ln(x)-\mathrm{e}^x+1$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		0ieme barbazo 2020 page 227 exos 17
	\end{notabene}
	
	Déterminez la primitive $F$ de $f$ sur $I$ qui vérifie la condition initiale donnée.
	
	\begin{tasks}
		\task $f(x)=x^3-2x^2$, $I=\mathbb{R}$, $F(0)=2$.
		\task $f(x)=\cos(x)$, $I=\mathbb{R}$, $F\left( \frac{\pi}{2} \right)=0$.
		\task $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}+2$, $I=]0,+\infty[$, $F(1)=1$.
		\task $f(x)=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2}$, $I=]0,+\infty[$, $F(1)=2$.
		\task $f(x)=\mathrm{e}^{2x+1}$, $I=\mathbb{R}$, $F(0)=0$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}
		\task $F(x)=\frac{1}{4}x^4-\frac{2}{3}x^3+2$.
		\task $F(x)=\sin(x)-1$.
		\task $F(x)2\sqrt{x}+2x-3$.
		\task $F(x)=\ln(x)+\frac{1}{x}+1$.
		\task $F(x)=\frac{1}{2} \mathrm{e}^{2x+1}-\frac{\mathrm{e}}{2}$.
	\end{tasks}

\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		0ieme barbazo 2020 page 230 exos 42
	\end{notabene}
	
	Déterminez l'ensemble des primitives de $f$ sur $\mathbb{R}$.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $f(x)=\dfrac{6x+3}{x^2+x+1}$.
		\task $f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{3x^2+1}}$.
		\task $f(x)=2x\mathrm{e}^{-x^2}$.
		\task $f(x)=\mathrm{e}^{x^2}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}
		\task $F(x)=3\ln\left( x^2+x+1\right)+c$.
		\task $F(x)=\frac{2}{6}\sqrt{3x^2+1}+c$.
		\task $F(x)=-\mathrm{e}^{-x^2}+c$.
		\task $F(x)=?$.
	\end{tasks}

\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		0ieme barbazo 2020 page 230 exos 43
	\end{notabene}
	
	Justifiez dans chaque cas que la fonction $f$ admet des primitives sur l'intervalle $I$ et déterminez une primitive de $f$ sur $I$.
	
	\begin{tasks}(1)
		\task $f(x)=2 \mathrm{e}^{-\frac{5x}{4}}$ et $I=\mathbb{R}$.
		\task $f(x)=\dfrac{1}{(x-1)^2} \exp\left( \dfrac{x+1}{x-1} \right)$ et $I=]1,+\infty[$.
		\task $f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{2x}+x}{\left( \mathrm{e}^{2x}+x^2 \right)^4}$ et $I=\mathbb{R}$.
		\task $f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^x+1}{\sqrt{\mathrm{e}^x+x}}$ et $I=[0,+\infty[$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	Les fonctions considérées sont toutes continues.
	
	\begin{tasks}
		\task $F(x)=-2\frac{4}{5} \mathrm{e}^{-\frac{5x}{4}}$.
		\task $F(x)=-\frac{1}{2}\exp \left( \frac{x+1}{x-1} \right)$.
		\task $F(x)= \frac{1}{2\times 5} \left( \mathrm{e}^{2x}+x^2 \right)^{-5}$.
		\task $F(x)=2\sqrt{\mathrm{e}^x+x}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		0ieme barbazo 2020 page 230 exos 44
	\end{notabene}
	
	Déterminez la primitive $F$ de $f$ sur $I$ qui vérifie la condition initiale donnée.
	
	\begin{tasks}(1)
		\task $f(x)=\frac{1}{x^3}$, $I=]0,+\infty[$ et $F(1)=1$.
		\task $f(x)=3\sin(2x)$, $I=\mathbb{R}$ et $F(0)=2$.
		\task $f(x)=\frac{3\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^x+3}$, $I=\mathbb{R}$ et $F(0)=0$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}
		\task $F(x)=-\frac{1}{4x^4}+2$.
		\task $F(x)=-\frac{3}{2} \cos(2x)+\frac{7}{2}$.
		\task $F(x)=3\ln(\mathrm{e}^x+3)-3\ln(3)$.
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		0ieme barbazo 2020 page 230 exos 46 
	\end{notabene}
	
	On considère les fonctions $F$ et $G$ définies sur $]0,+\infty[$ par: $F(x)=1-x+x\ln(x)$ et $G(x)=x \left( \ln(x)-1 \right)$.
	
	Démontrez que $F$ et $G$ sont des primitives de $\ln$ sur $\mathbb{R}_+^*$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	On vérifie $F'=G'=\ln$.
	
\end{exercicecorrection}

	\begin{notabene}
		0ieme barbazo 2020 page 230 exos 45 à 49
	\end{notabene}

\subsubsection{Exercices.}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		0ieme barbazo 2020 page 234 exos 73
	\end{notabene}
	
	On considère la fonction $f$ définie sur $]1,+\infty[$par $f(x)=\frac{x+2}{x(x-1)^2}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminez trois nombres réels $a$, $b$ et $c$ tels que: $f(x)=\frac{a}{x}+\frac{b}{x-1}+\frac{c}{(x-1)^2}$.
		\item Déduisez-en une primitive $F$ de $f$ sur $]1,+\infty[$ telle que $F(2)=10$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item \objectif{Déterminons $a$, $b$ et $c$.}
		
		\begin{align*}
			f(x) &= \frac{a(x-1)^2}{x(x-1)^2}+ \frac{bx(x-1)}{x(x-1)^2}+\frac{cx}{x(x-1)^2}\\
			&= \frac{ax^2-2ax+a+bx^2-bx+cx}{x(x-1)^2}\\
			&= \frac{(a+b)x^2+(-2a-b+c)x+a}{x(x-1)^2}
		\end{align*}
		
		Par identification: \[ \left\{ \begin{array}{rcl} a+b &=& 0 \\ -2a-b+c &=& 1\\ a &=& 2 \end{array} \right. \]
		
		En résolvant le système: $a=2$, $b=-2$ et $c=3$.
		
		\begin{conclusion}
			
			$f(x)=\frac{2}{x}+\frac{-2}{x-1}+\frac{3}{(x-1)^2}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		0ieme barbazo 2020 page 234 exos 75
	\end{notabene}
	
	Déterminez toutes les primitives sur $]-1,+\infty[$ de la fonction $f$ définie par $f(x)=\frac{2x+3}{x+1}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$f(x)=2+\frac{1}{x}$
	
	$F(x)=2x+\ln(x)+c$.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		0ieme barbazo 2020 page 234 exos 74
	\end{notabene}
	
	Déterminez toutes les primitives sur $\mathbb{R}_+^*$ de la fonction $f$ définie par $f(x)=\frac{x^3+x+1}{x\left( x^2+1\right)}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$f(x)=1+\frac{1}{x}-\frac{x}{x^2+1}$.
	
	$F(x)=x+\ln(x)-\frac{1}{2}\ln(x^2+1)+c$.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		0ieme barbazo 2020 page 234 exos 76
	\end{notabene}
	
	\begin{enumerate}
		\item Soient $a$ et $b$ deux nombres réels.
		
		Dérivez la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par: $h(x)=\mathrm{e}^x\left( a\cos(x)+b \sin(x) \right)$.
		
		\item Déduisez-en toutes les primitives sur $\mathbb{R}$ des fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par: $f(x)=\mathrm{e}^x\cos(x)$ et $g(x)=\mathrm{e}^x \sin(x)$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $h'(x)= \mathrm{e}^x \left( (a+b)\cos(x) +(b-a)\sin(x) \right)$.
		
		\item D'après la question précédente avec $a=b=\frac{1}{2}$: $F(x)= \frac{1}{2}\mathrm{e}^x \left( \cos(x)+\sin(x) \right)$.
		
		Avec $a=-b=-\frac{1}{2}$: $G(x)=\frac{1}{2}\mathrm{e}^x \left( -\cos(x)+\sin(x) \right)$
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\subsection{Équations différentielles linéaires d'ordre un à coefficients constants.}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $y''-5y'+6y=0$ est une équation différentielle et une solution de cette équation différentielle est $x \mapsto \mathrm{e}^{2x}+\mathrm{e}^{3x}$.
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsubsection{Vocabulaire.}

\begin{correction}
	
	Soient $a$, $b$ et $c$ des fonctions définies sur $\mathbb{R}$ et $a$ non identiquement nulle. On appelle équation différentielle linéaire d'ordre un toute équation de la forme $ay'+by+c=0$.
	
	\medskip
	Si $a$, $b$ et $c$ sont des fonctions constantes alors l'équation différentielle est dite linéaire d'ordre un à coefficients constants.
	
	\medskip
	Si l'équation différentielle est linéaire d'ordre un à coefficients constants, puisque $a \ne 0$, il est possible de se ramener à une équation normalisée (ou résolue en $y$): $y'+\frac{b}{a}y+\frac{c}{a}=0$.
	
	\medskip
	Nous allons nous intéresser à cette dernière équation dite avec second membre, mais en modifiant les notations comme suit: \[ (E_1): \ y'-ay=b,\] où$(a,b)\in\mathbb{R}^* \times \mathbb{R}$.
	
	Remarquons que le cas $a=0$ correspondrait à une recherche de primitive de la fonction constante égale à $b$.
	
	\medskip
	Nous serons amené à nous intéresser à l'équation différentielle sans second membre, appelée équation homogène: \[ (E_0):\ y'-ay=0. \]
	
\end{correction}

\begin{exercice}{}
	\begin{notabene}
		0iem hachette barabzo 2020 page 228 exo 22.
	\end{notabene}
	
	Parmi les fonctions $f_1:x \mapsto \mathrm{e}^{4-x}$, $f_2: x \mapsto -\mathrm{e}^{4x}$, $f_3: x \mapsto \mathrm{e}^{4-\frac{1}{4}x}$ et $f_4:x \mapsto 4 \mathrm{e}^{\frac{1}{4}x}$, déterminez les solutions sur $\mathbb{R}$ des équations différentielles proposées.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $y'=-y$.
		\task $4y'=y$.
		\task $y'-4y=0$.
		\task $4y'+y=0$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\subsubsection{L'équation homogène.}

\begin{proposition}{}
	
	L'équation différentielle $(E_0):\ y'-ay=0$ d'inconnue $y:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ admet pour solutions les fonctions de la forme $x \mapsto \lambda \mathrm{e}^{ax}$ où $\lambda \in \mathbb{R}$.
	
	\smallskip
	Autrement dit l'ensemble des solutions de $(E_0)$ est $\mathscr{S}_0= \left\{ x \mapsto \lambda \mathrm{e}^{ax}\ | \ \lambda \in \mathbb{R} \right\}$.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	{\color{orange}Nous allons montrer que deux ensembles sont égaux: $\mathscr{S}_0$ l'ensemble des solutions de l'équation différentielle et l'ensemble $E=\left\{ x \mapsto \lambda \mathrm{e}^{ax}\ | \ \lambda \in \mathbb{R} \right\}$. Une méthode classique pour démontrer une égalité de deux ensembles consiste à démontrer une double inclusion: $E \subset \mathscr{S}_0$ et $\mathscr{S}_0 \subset E$. Enfin, pour démontrer une inclusion $A \subset B$, il faut et il suffit de démontrer que tout élément de $A$ appartient aussi à $B$.}
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item \objectif{Démontrons que $E \subset \mathscr{S}_0$.}
		
		Soit $f \in E$. Donc il existe $\lambda_f \in \mathbb{R}$ tel que $f:x \mapsto \lambda_f \mathrm{e}^{ax}$.
		
		On vérifie facilement que $f'(x)-af(x)=0$ et donc $f \in \mathscr{S}_0$.
		
		Par conséquent 
		
		\begin{conclusion}
			
			$E \subset \mathscr{S}_0$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item Démontrons que $\mathscr{S}_0 \subset E$.
		
		Soit $g \in \mathscr{S}_0$. Autrement dit $g$ vérifie $g'-ag=0$.
		
		{\color{orange}Pour démontrer que $g$ est de la forme $\lambda \mathrm{e}^{ax}$ nous allons démontrer que $\frac{g(x)}{\mathrm{e}^{ax}}=\lambda$ pour tout $x$, \emph{i.e} que la fonction est constante}.
		
		Soit $h:x \mapsto g(x) \mathrm{e}^{-ax}$.
		
		$h$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et, pour tout $x$ réel, $h'(x)=g'(x)\mathrm{e}^{-ax}+ag(x)\mathrm{e}^{-ax}= \left[ g'(x) -a g(x) \right] \mathrm{e}^{-ax}=0$ puisque $g \in \mathscr{S}_0$.
		
		De $h'=0$ nous déduisons que $h$ est constante et donc qu'il existe $\lambda in \mathbb{R}$ tel que $g(x)=\lambda \mathrm{e}^{ax}$. Autrement dit $g \in E$.
		
		Ceci étant vrai pour tout $g \in \mathscr{S}_0$,
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{S}_0 \subset E$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Puisque nous avons établi une double inclusion
	
	\begin{conclusion}
		
		$\mathscr{S}_0=E$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{preuve}

\begin{exercice}{}
	\begin{notabene}
		0iem hachette barabzo 2020 page 228 exo 21.
	\end{notabene}
	
	Résoudre sur $\mathbb{R}$ les équations différentielles suivantes.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $y'=3y$.
		\task $y'+2y=0$.
		\task $2y'=y$.
		\task $3y'-5y=0$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{corollaire}{ - Théorème de Cauchy-Lipschitz.}
	
	Le problème de Cauchy \[ \left\{ \begin{array}{l} y'-ay=0 \\ y(\alpha)= \beta \end{array} \right. \] admet une unique solution sur $\mathbb{R}$.
	
\end{corollaire}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item La condition $y(\alpha)=\beta$ est appelée une condition initiale.
		
		\item Il existe diverse formes de conditions initiales. $\lim_{-\infty}y=1$ est une condition initiale.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{}
	\begin{notabene}
		0iem hachette barabzo 2020 page 228 exo 23.
	\end{notabene}
	
	\begin{tasks}
		\task Résolvez sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $(E)$: $y'=2020y$.
		\task Déterminez la solution $f$ de l'équation $(E)$ telle que $f(0)=2$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	\begin{notabene}
		0iem hachette barabzo 2020 page 228 exo 25.
	\end{notabene}
	
	Résolvez les équations différentielles avec condition initiale.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $y'=\frac{1}{2}y$ et $f(0)=1$.
		\task $5y'=y$ et $f(1)=0$.
		\task $y'+y=0$ et $f'(1)=2$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	\begin{notabene}
		0iem hachette barabzo 2020 page 228 exo 28.
	\end{notabene}
	
	Le carbone 14 est un isotope radioactif du carbone. Tant qu'il est en vie, l'organisme d'un être vivant contient la même proportion de carbone 14. À sa mort la quantité de cet élément radioactif décroît.
	
	On note $N(t)$ le nombre de noyaux de carbone 14 que contient un organisme $t$ années après sa mort.
	
	On admet que la fonction $N$ est solution de l'équation différentielle $(E):\ y'=-0,000121y$.
	
	\begin{tasks}
		\task Résolvez l'équation différentielle $(E)$ en prenant comme condition initiale $N(0)=N_0$ où $N_0\in\mathbb{N}$.
		\task On appelle demi-vie d'un élément radioactif le temps au bout duquel le nombre de noyaux à diminué de moitié. Calculez la demi-vie du carbone 14.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{proposition}{}
	
	L'ensemble des solutions de $(E_0)$ est un espace vectoriel.
	
\end{proposition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Autrement dit c'est un ensemble stable par combinaisons linéaires. Si $f$ et $g$ sont des solutions de l'équation différentielle alors 
		
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\subsubsection{L'équation avec second membre constant.}

\begin{proposition}{ - Principe de superposition.}
	
	$g$ est solution de $E_1$ si et seulement s'il existe des fonctions $f_1$ solution de $(E_1)$ et $f_0$ solution de $(E_0)$ telles que $g=f_1+f_0$.
	
\end{proposition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item En superposant une solution de $E_0)$ à une solution de $(E_1)$ on obtient une nouvelle solution de $(E_1)$.
		
		\item Cette situation est souvent décrite en disant que les solutions de $(E_1)$ sont obtenues comme somme des solutions de $(E_0)$ et d'une solution particulière de $(E_1)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{proposition}{}
	
	Soit $f_1$ une solution de $(E_1)$.
	
	\[ \mathscr{S}_1= \left\{ f_0-\frac{b}{a}\ | \ f_0 \in \mathscr{S}_0 \right\}. \]
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	On démontre l'égalité d'ensembles par double inclusion.
	
\end{preuve}

\begin{corollaire}{ - Théorème de Cauchy-Lipschitz.}
	
	Le problème de Cauchy \[ \left\{ \begin{array}{l} y'-ay=b \\ y(\alpha)= \beta \end{array} \right. \] admet une unique solution.
	
\end{corollaire}

\begin{exercice}{}
	\begin{notabene}
		0ieme hachette barabzo page 228 exo 30
	\end{notabene}
	
	On considère l'équation différentielle $(E):\ y'=-\frac{1}{2}y+3$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Donnez la seule solution constante sur $\mathbb{R}$ de $(E)$.
		\item Déduisez-en toutes les solutions de $(E)$ sur $\mathbb{R}$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	\begin{notabene}
		0ieme hachette barabzo page 229 exo 31
	\end{notabene}
	
	Résolvez sur $\mathbb{R}$ les équations différentielles suivantes.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $y'=-2y+5$.
		\task $y'=y-3$.
		\task $2y'+y=4$.
		\task $3y'-6y=1$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	\begin{notabene}
		0ieme hachette barabzo page 229 exo 32
	\end{notabene}
	
	Déterminez la solution de l'équation différentielle vérifiant la condition.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $y'=3y-6$ et $y(0)=-1$.
		\task $y'=-5y+4$ et $y(1)=0$.
		\task $y'=y-1$ et $y(2)=1$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	\begin{notabene}
		0ieme hachette barabzo page 229 exo 33
	\end{notabene}
	
	On considère l'équation différentielle $(E):\ y'=0,8y+1,6$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Résolvez sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $(E)$.
		\item Vérifiez que toutes les solutions de $(E)$ admettent une asymptote que vous préciserez.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\subsubsection{Équation différentielle avec second membre quelconque.}

\begin{proposition}{}
	
	$(E_2):\ y'-ay= f$.
	
	Soit $f_2$ une solution de $(E_2)$.
	
	\[ \mathscr{S}_2= \left\{ f_0+f_2\ | \ f_0 \in \mathscr{S}_0 \right\}. \]
	
\end{proposition}

\begin{exercice}{}
	\begin{notabene}
		0ieme hachette barabzo page 229 exo 37
	\end{notabene}
	
	Vérifiez que $f$ est une solution sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle $(E)$.
	
	\begin{tasks}
		\task $f(x)=\mathrm{e}^{-5x+1}+\frac{3}{5}$ et $(E):\ y'=-5y+3$.
		\task $f(x)=2x+2$ et $(E):\ y'=-2y+4x+6$.
		\task $f(x)=(x+1)\mathrm{e}^{-2x}$ et $(E):\ y'=-2y+\mathrm{e}^{-2x}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	\begin{notabene}
		0ieme hachette barabzo page 229 exo 38
	\end{notabene}
	
	Soit $(E):\ y'=2y+2x$ une équation différentielle.
	
	\begin{enumerate}
		\item Vérifiez que la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=-x-\frac{1}{2}$ est une solution particulière de l'équation $(E)$.
		
		\item Déduisez-en toutes les solutions de $(E)$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	\begin{notabene}
		0ieme hachette barabzo page 229 exo 38
	\end{notabene}
	
	Soient $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x \mathrm{e}^x$ et l'équation différentielle $(E):\ y'=y+\mathrm{e}^x$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Vérifiez que la fonction $f$ est une solution particulière de $(E)$.
		
		\item Déduisez-en la seule solution $g$ de $(E)$ telle que $g(0)=5$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$f'(x)=\mathrm{e}^x+x\mathrm{e}^x$ et $f+\mathrm{e}^x=x\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^x$ donc $f$ est solution de $(E)$.
	
	$(E)$ est de la forme $y'=ay+b$ avec $a=1$ et $b(x)=\mathrm{e}^x$. Comme $f$ en est une solution particulière, les solutions sont les fonctions $g_C(x)=C\mathrm{e}^x+x\mathrm{e}^x$.
	
	Si $g$ est la solution vérifiant $g(0)=5$ alors $C=5$ et donc $g(x)=5\mathrm{e}^x+x\mathrm{e}^x$.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	\begin{notabene}
		0ieme hachette barabzo page 233 exo 67
	\end{notabene}
	
	On considère l'équation différentielle $(E):\ y'+y=x^2+x$
	
	\begin{enumerate}
		\item Trouvez les valeurs de $a$, $b$ et $c$ tels que la fonction $g$, définie par $g(x)=ax^2+bx+c$ est une solution sur $\mathbb{R}$ de $(E)$.
		
		\item Déduisez-en les solutions de $(E)$ sur $\mathbb{R}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	\begin{notabene}
		0ieme hachette barabzo page 234 exo 78
	\end{notabene}
	
	On peut modéliser le taux d'alcool, en fonction du temps exprimé en heures, par une fonction $f$ définie sur $[0,005,+\infty[$.
	
	On admet que $f$ est solution de l'équation différentielle $(E):\ y'=-y+k\mathrm{e}^{-t}$ et $f(0,005)=0$ où $k$ est une constante positive dépendant de la quantité d'alcool absorbée et de la corpulence de l'individu.
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Exprimez, en fonction de $k$, le nombre réel $a$ tel que la fonction $g$ définie sur $[0,+\infty[$ par $g(t)=at\mathrm{e}^{-t}$ soit une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$.
			
			\item Déduisez-en l'expression de $f(t)$ en fonction de $k$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item Étudiez le sens de variation de $f$ et vérifiez qu'il ne dépend pas de $k$.
		
		\item Trois heures après avoir consommé de l'alcool l'alcoolémie d'un individu est de $0,8\ \mathrm{g}\cdot \mathrm{\ell}$. Le taux maximum autorisé étant de $0,2\ \mathrm{g}\cdot \mathrm{\ell}$, combien de temps devra-t-il attendre avant de reprendre le volant?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\subsubsection{Exercices.}

\begin{exercice}{}
	\begin{notabene}
		0ieme hachette barabzo page 234 exo 79
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	\begin{notabene}
		0iem hachette barabzo 2020 page 228 exo 21.
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\newpage ~

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\draw (O) node {$\bullet$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\draw (I) node {$\bullet$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	\draw (J) node {$\bullet$};
	%Graduations
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Rectangle en coin.}

\begin{tikzpicture}
	\def\xangledroit{0};
	\def\yangledroit{0};
	\def\longueurangledroit{0.5};
	\draw[fill=green!30,rotate around={{20}:({\xangledroit},{\yangledroit})}] ({\xangledroit},{\yangledroit}) rectangle ({\xangledroit+\longueurangledroit},{\yangledroit+\longueurangledroit});
\end{tikzpicture}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

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\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}