%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/0ieme.html}{10 Produit scalaire.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour abrege
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}\exclure{culturegenerale}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene}

%Pour les exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour les correction d'exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{10 Produit scalaire.}


\subsection{Produit scalaire de l'espace.}

\subsubsection{Définition, généralisation.}

\begin{lecon}
	
	Étant donnés trois points $A$, $B$ et $C$ de l'espace il existe (au moins) un plan $\mathscr{P}$ qui les contient. Nous définirons le produit scalaire, dans l'espace, des représentants $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ par le produit scalaire, dans le plan $\mathscr{P}$, des représentants $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
	
	Autrement dit deux vecteurs de l'espace étant toujours coplanaires il est possible de faire leur produit scalaire comme en première.
	
\end{lecon}


\subsubsection{Caractérisation par angle et norme.}

\begin{proposition}{ - caractérisation du produit scalaire par norme et angle.}
	
	Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ des vecteurs de l'espace.
	
	\[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}= \| \overrightarrow{u} \| \times \| \overrightarrow{v}\| \times \cos \left( \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \right). \]
	
\end{proposition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Pour nous en géométrie norme et longueur sont confondues (ce qui n'est pas vrai si la base n'est pas orthonormée mais nous en parlerons plus tard). Dans les exercices de cette leçon on confondra le deux notions. De même l'angle entre les deux vecteurs est l'angle habituel entre deux droites sécantes (il faudra trouver des représentants judicieux).
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsubsection{Orthogonalité.}

\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs de l'espace.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont dits \emph{\color{purple}orthogonaux} si et seulement si $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=0$.
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Les droites et les plans étant définis par des vecteurs (le vecteur directeur pour l'une et les vecteurs d'une base pour l'autre) l'orthogonalité de vecteurs va permettre de généraliser l'idée de perpendicularité en parlant d'orthogonalité. Ainsi deux droites non coplanaires pourront être orthogonales.
		
		\item Dans la pratique et dans cette leçon, nous pourrons lire graphiquement que deux vecteurs sont orthogonaux lorsqu'ils sont des vecteurs directeurs de droites perpendiculaires.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsubsection{Propriétés de linéarité.}

\begin{proposition}{ - Forme bilinéaire symétrique.}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ des vecteurs de l'espace,
		
		\item $\alpha$ et $\beta$ des réels.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{u}$ (commutativité ou symétrie).
		
		\item $\overrightarrow{u} \cdot \left( \alpha \overrightarrow{v}+ \beta \overrightarrow{w} \right) = \alpha \overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}+ \beta \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}$ (bilinéarité).
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\subsubsection{Identités de polarisation.}

\begin{corollaire}{ - Identités remarquables.}
	
	Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs du plan.
	
	\medskip
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $\| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \|^2 = \| \overrightarrow{u} \|^2+ 2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \| \overrightarrow{v} \|^2$.
		
		\item $\| \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} \|^2 = \| \overrightarrow{u} \|^2- 2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \| \overrightarrow{v} \|^2$.
		
		\item $\left( \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v} \right) \cdot \left( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right) =\|\overrightarrow{u}\|^2 - \|\overrightarrow{v}\|^2$. 
	\end{enumerate}
	
\end{corollaire}

\begin{proposition}{ - Caractérisation du produit scalaire par les identités de polarisation.}
	
	Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs du plan.
	
	\medskip
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \frac{1}{2} \left( \| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \|^2-\|\overrightarrow{u}\|^2- \| \overrightarrow{v} \|^2 \right)$.
		
		\item $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \frac{1}{2} \left( \|\overrightarrow{u}\|^2+ \| \overrightarrow{v} \|^2 - \| \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} \|^2 \right)$.
		
		\item $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \frac{1}{4} \left( \| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \|^2 -\| \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} \|^2  \right)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\subsubsection{Exercices.}

\begin{notabene}
	
	Des exerccies avec l'utilisation des résultats de premières y compris les coordonnées: en ce plaçant dans tel plan avec telle base on peut utiliser les résultats vus en première.
	
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	$ABCDEFGH$ est un parallélépipède rectangle. Les autres points sont les milieux des arêtes.	
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.8,rotate=0]
			\def\longueur{6};
			\def\hauteur{3};
			\def\profondeur{3};
			\def\angledefuite{40};
			\def\coefficientmultiplicateur{0.6};
			\def\xA{0};
			\def\yA{0};
			%Création des points du bas.
			\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
			\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
			\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
			\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
			%Création des points du haut
			\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
			\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
			\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
			\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
			%Nom des points du bas dans le sens direct
			\draw (A) node [below left] {$A$};
			\draw (B) node [below right] {$B$};
			\draw (C) node [below right] {$C$};
			\draw (D) node [above left] {$D$};
			\draw (E) node [above left] {$E$};
			\draw (F) node [above] {$F$};
			\draw (G) node [above right] {$G$};
			\draw (H) node [above left] {$H$};
			%Les arêtes du bas
			\draw [] (A) -- (B);
			\draw [] (B) -- (C);
			\draw [dashed] (C) -- (D);
			\draw [dashed] (D) -- (A);
			%Les arêtes verticales
			\draw [] (A) -- (E);
			\draw [] (B) -- (F);
			\draw [] (C) -- (G);
			\draw [dashed] (D) -- (H);
			%Les arête du haut
			\draw [] (E) -- (F);
			\draw [] (F) -- (G);
			\draw [] (G) -- (H);
			\draw [] (H) -- (E);
			%Points milieux du bas.
			\coordinate (L) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)/2},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)/2});
			\coordinate (I) at ({\xA+\longueur/2},{\yA});
			\coordinate (J) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)/2},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)/2});
			\coordinate (K) at ({\xA+\longueur/2+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
			\draw (I) node [below left] {\color{Brown} $I$};
			\draw (J) node [below right] {\color{Brown} $J$};
			\draw (K) node [above left] {\color{Brown} $K$};
			\draw (L) node [above left] {\color{Brown} $L$};
			\draw (I) node [] {\color{Brown} $\bullet$};
			\draw (J) node [] {\color{Brown} $\bullet$};
			\draw (K) node [] {\color{Brown} $\bullet$};
			\draw (L) node [] {\color{Brown} $\bullet$};
			%Points milieux du haut.
			\coordinate (Q) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)/2},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)/2+\hauteur});
			\coordinate (M) at ({\xA+\longueur/2},{\yA+\hauteur});
			\coordinate (N) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)/2},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)/2+\hauteur});
			\coordinate (P) at ({\xA+\longueur/2+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
			\draw (M) node [below left] {\color{red} $M$};
			\draw (N) node [below right] {\color{red} $N$};
			\draw (P) node [above left] {\color{red} $P$};
			\draw (Q) node [above left] {\color{red} $Q$};
			\draw (M) node [] {\color{red} $\bullet$};
			\draw (N) node [] {\color{red} $\bullet$};
			\draw (P) node [] {\color{red} $\bullet$};
			\draw (Q) node [] {\color{red} $\bullet$};
			%Points des arêtes verticales.
			\coordinate (R) at ({\xA},{\yA+\hauteur / 2});
			\coordinate (S) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur / 2});
			\coordinate (T) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur / 2});
			\coordinate (U) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur / 2});
			\draw (R) node [left] {\color{blue} $R$};
			\draw (S) node [left] {\color{blue} $S$};
			\draw (T) node [right] {\color{blue} $T$};
			\draw (U) node [left] {\color{blue} $U$};
			\draw (R) node [] {\color{blue} $\bullet$};
			\draw (S) node [] {\color{blue} $\bullet$};
			\draw (T) node [] {\color{blue} $\bullet$};
			\draw (U) node [] {\color{blue} $\bullet$};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
\end{lecon}

\begin{exercice}{}
	
	Dans le cube $ABCDEFGH$ d'arête de longueur $a$ calculez les produits scalaires:
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{EH}$.
		\task $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{EH}$.
		\task $\overrightarrow{EH} \cdot \overrightarrow{CB}$.
		\task $\overrightarrow{HC} \cdot \overrightarrow{EB}$.
		\task $\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{AM}$.
		\task $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{MB}$.
		\task $\overrightarrow{DU} \cdot \overrightarrow{IF}$.
		\task $\overrightarrow{JN} \cdot \overrightarrow{RS}$.
		\task $\overrightarrow{AG} \cdot \overrightarrow{AC}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{EH}=0$, $\overrightarrow{EH} \cdot \overrightarrow{CB}=-a^2$ et $\overrightarrow{HC} \cdot \overrightarrow{EB}=2a^2$.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		72 page 105 bordas indice 2020 spé
	\end{notabene}
	
	Soient $A$, $B$ et $C$ des points de l'espace tels que: $AB=7$, $AC=8$, $BC=5$.
	
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide d'une formule de polarisation démontrez que \[ \overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{AC}= \frac{1}{2} \left( BC^2-AB^2-AC^2 \right). \]
		
		\item Déduisez-en les valeurs du produit scalaire $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{AC}$ puis de $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$.
		
		\item Déterminez une valeur approchée à $0,01\degres$ près de l'angle $\widehat{BAC}$ en degrés.
		
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		73 page 105 bordas indice 2020 spé
	\end{notabene}
	
	Soient $A$, $B$ et $C$ des points de l'espace tels que: $AB=6$, $AC=5$, $BC=8$.
	
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide d'une formule de polarisation déterminez le produit scalaire $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}$.
		
		\item Déduisez-en $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}$.
		
		\item Déterminez une valeur approchée à $0,01\degres$ près de l'angle $\widehat{ABC}$ en degrés.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		74 page 105 bordas indice 2020 spé
	\end{notabene}
	
	Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points de l'espace tels que $ABCD$ est un parallélogramme.
	
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide d'une formule de polarisation démontrez que \[ \overrightarrow{DA}\cdot \overrightarrow{AB}=\frac{1}{4}(BD^2-AC^2). \]
		
		\item Démontrer alors la propriété suivante: \og Un parallélogramme est un rectangle si et seulement si ses diagonales sont de même longueur.\fg{}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		75 page 105 bordas indice 2020 spé
	\end{notabene}
	
	Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points de l'espace tels que $ABCD$ est un parallélogramme. On suppose que $AC=10$ et $BD=4$.
	
	À l'aide d'une formule de polarisation calculez le produit scalaire $ \overrightarrow{DA}\cdot \overrightarrow{AB}$.
	
\end{exercice}

\begin{notabene}{}
	
	\color{red}
		Barabzo spé 2020 page 363 exo 35
	
\end{notabene}

\subsection{Bases orthonormées de l'espace.}

\begin{lecon}
	
	Le produit scalaire peut-il être défini uniquement par les coordonnées? La réponse est en général non si nous souhaitons conserver les notions de longueur et de perpendicularité usuelles.
	
	Cette leçon nous place dans les conditions pour que l'orthogonalité coïncide avec la perpendicularité et la norme avec la longueur au sens usuel pour un produit scalaire construit à partir des coordonnées.
	
\end{lecon}

\subsubsection{Base orthonormée, repère orthonormé.}

\begin{definition}
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item On appelle \emph{\color{purple}base orthonormale de l'espace} tout triplet $\left( \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j},\overrightarrow{k} \right)$ de trois vecteurs de l'espace tel que $\overrightarrow{i}\cdot \overrightarrow{j} = \overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{k} = \overrightarrow{j} \cdot \overrightarrow{k}=0$ et $\| \overrightarrow{i} \| = \| \overrightarrow{j} \| = \| \overrightarrow{k} \|=1$.
		
		\item On appelle \emph{\color{purple}repère orthonormal de l'espace} tout quadruplet $\left( O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right)$ où $O$ est un point et $\left( \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j},\overrightarrow{k} \right)$ une base orthonormale.
		
	\end{enumerate}
	
\end{definition}

\subsubsection{Produit scalaire et coordonnées.}

\begin{notabene}
	\color{red} Il me manque la définition du produit scalaire avec les coordonnées à ajouter ici découle de la définition
\end{notabene}

\begin{proposition}{ - Perpendicularité dans l'espace.}
	
	Soient $A(x_A,y_A,z_A)$, $B(x_B,y_B,z_B)$ et $C(x_C,y_C,z_C)$. trois points distincts deux à deux de l'espace leur coordonnées étant données relativement à une base orthonormée.
	
	\medskip
	$(AB) \perp (AC)$ si et seulement si $x_{\overrightarrow{AB}}x_{\overrightarrow{AC}}+y_{\overrightarrow{AB}}y_{\overrightarrow{AC}} + z_{\overrightarrow{AB}}z_{\overrightarrow{AC}}=0$
	
\end{proposition}

\begin{proposition}{ - Distance euclidienne dans l'espace.}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\left( O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right)$ un repère orthonormé de l'espace,
		
		\item $A(x_A,y_A,z_A)$ et $B(x_B,y_B,z_B)$ deux points de l'espace.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	\[ AB=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2+(z_A-z_B)^2}. \]
	
\end{proposition}

\subsubsection{Exercices.}

\begin{exercice}{}
	
	Dans un repère de l'espace démontrez que les vecteurs $\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} 4 \\ 14 \\ 2 \end{pmatrix}$ sont orthogonaux.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	L'espace est rapporté à un repère orthonormé $\left( O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right)$. On considère les points $A(1,7,-2)$, $B(4,6,-5)$ et $C(3,1,2)$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Justifiez que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont orthogonaux.
		
		\item Qu'en déduisez-vous pour le triangle $ABC$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=(4-1) \times (3-1) + (6-7) \times (1-7) + (-5-(-2)) \times (2-(-2))=6+6-12=0$
		
		\item $ABC$ rectangle en $A$.
		
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Dans l'espace muni d'un repère orthonormé on considère les points $A(4,-2,0)$, $B(6,4,-2)$ et $C(12,6,0)$. Quelle la nature du triangle $ABC$?
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	L'espace étant rapporté à une repère orthonormé $\left( O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}\right)$, $A(3,2,1)$, $B(-2,1,5)$ et $C(1,0,1)$. Déterminez une valeur approchée au degré près de $\widehat{ABC}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$\overrightarrow{BA} \begin{pmatrix}
		5 \\ 1 \\ 4  \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{BC} \begin{pmatrix}
		3 \\ -1 \\ -4  \end{pmatrix}$.
	
	Donc, le repère étant orthonormé, $AB=\sqrt{42}$ et $BC= \sqrt{26}$ et $\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BA}=30$. 
	
	Donc $\cos \left( \widehat{ABC} \right)= \frac{30}{\sqrt{26} \times \sqrt{42}}$. $\widehat{ABC} \approx 25\degres$.
	
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	\begin{notabene}
		Bac 2023 asie sujet 1 23/03/2023
	\end{notabene}
	
	On considère le cube $ABCDEFGH$ qui est représenté
	ci-dessous.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
			\def\longueur{6};
			\def\hauteur{5};
			\def\profondeur{3};
			\def\angledefuite{40};
			\def\coefficientmultiplicateur{0.6};
			\def\xA{0};
			\def\yA{0};
			%Création des points du bas.
			\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
			\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
			\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
			\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
			%Création des points du haut
			\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
			\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
			\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
			\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
			%Nom des points du bas dans le sens direct
			\draw (A) node [below left] {$A$};
			\draw (B) node [below right] {$B$};
			\draw (C) node [below right] {$C$};
			\draw (D) node [above left] {$D$};
			\draw (E) node [above left] {$E$};
			\draw (F) node [above] {$F$};
			\draw (G) node [above right] {$G$};
			\draw (H) node [above left] {$H$};
			%Les arêtes du bas
			\draw [] (A) -- (B);
			\draw [] (B) -- (C);
			\draw [dashed] (C) -- (D);
			\draw [dashed] (D) -- (A);
			%Les arêtes verticales
			\draw [] (A) -- (E);
			\draw [] (B) -- (F);
			\draw [] (C) -- (G);
			\draw [dashed] (D) -- (H);
			%Les arête du haut
			\draw [] (E) -- (F);
			\draw [] (F) -- (G);
			\draw [] (G) -- (H);
			\draw [] (H) -- (E);
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
	Dans le repère orthonormé $\left( A ; \overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AD} ; \overrightarrow{AE} \right)$, on considère les points $M$, $N$ et $P$ de coordonnées: $M\left( 1; 1; \frac{3}{4} \right)$, $N \left( 0; \frac{1}{2}; 1 \right)$, $P\left( 1; 0;-\frac{5}{4} \right)$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Donner les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{MP}$.
		
		\item Placer les points $M$, $N$ et $P$ sur la figure donnée.
		
		\item Justifier que les points $M$, $N$ et $P$ ne sont pas alignés.
		
		Dès lors les trois points définissent le plan $(MNP)$.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			
			\item Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{MP}$, puis en déduire la nature du triangle $MNP$.
			
			\item Calculer l’aire du triangle $MNP$.
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{notabene}
	
	\color{red}
	Exercice 0ieme ellipse et plus siaffinités page 419 exo 379.
	
\end{notabene}

\subsection{Orthogonalité et parallélisme dans l'espace.}

\subsubsection{Vecteur normal.}

\begin{lecon}
	
	Nous avons vu que pour définir une droite du plan on peut en donner un point et, soit un vecteur directeur, soit un vecteur normal. Pour un plan un vecteur directeur ne suffit pas; pour définir la direction d'un plan il faut une base du plan (deux vecteurs non nuls et non colinéaires). Que serait un vecteur normal à un plan?
	
\end{lecon}

\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\mathscr{P}$ un plan de l'espace,
		\item $(\vec{i},\vec{j})$ une base de $\mathscr{P}$,
		\item $\vec{n}$ un vecteur non nul.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous dirons que $\vec{n}$ est \emph{\color{purple}normal à} $\mathscr{P}$ si et seulement si $\vec{n}$ est orthogonal à $\vec{i}$ et $\vec{j}$.
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Tout plan admet un vecteur normal. Si c'est intuitif, la justification apparaîtra clairement avec les équations cartésienne du plan.
		
		\item Si $\vec{n}$ est orthogonal aux vecteurs d'une base alors il est orthogonal à tous les vecteurs de la direction du plan puisque les vecteurs sont des combinaisons linéaires des vecteurs de la base (confer proposition infra).
		
		\item Il n'y a pas unicité du vecteur normal. Tout vecteur colinéaire à un vecteur normal à $\mathscr{P}$ est encore un vecteur normal à $\mathscr{P}$. Plus précisément l'ensemble des vecteur normaux à $\mathscr{P}$ est l'ensemble des vecteurs colinéaires à $\vec{n}$ (un quelconque vecteur normal).
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{proposition}{}
	
	Un vecteur non nul est normal à un plan si et seulement si il est orthogonal à tout vecteur de la direction de ce plan.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}
	
	Soient $\mathscr{P}$ un plan.
	
	\begin{enumerate}[*]
		
		\item \objectif{Supposons que $\vec{n}$ est orthogonal à tous les vecteurs de la direction de $\mathscr{P}$ et montrons que $\vec{n}$ est orthogonal aux vecteurs de tute base de $\mathscr{P}$.}
		
		Soit $(\vec{i},\vec{j})$ une base de la direction de $\mathscr{P}$.
		
		En particulier $\vec{n}$ est orthogonal à $\vec{i}$ et à $\vec{j}$ qui sont des vecteurs de la direction de $\mathscr{P}$.
		
		\item \objectif{Supposons que $\vec{n}$ est orthogonal aux vecteurs $\vec{i}$ et $\vec{j}$ d'une direction de $\mathscr{P}$ et montrons qu'alors $\vec{n}$ est orthogonal à tout vecteur de la direction de $\mathscr{P}$.}
		
		Soit $\vec{u}$ une vecteur de la direction de $\mathscr{P}$. Ainsi $\vec{u}$ est une combinaison linéaire de $\vec{i}$ et $\vec{j}$: $\exists (a,)\in\mathbb{R}^2,\ \vec{u}=a\vec{i} + b \vec{j}$.
		
		Nous vérifions que
		
		\begin{align*}
			\vec{n} \cdot \vec{u} &= \vec{n} \left( a\vec{i} + b \vec{j} \right)\\
			&= a\vec{n} \cdot \vec{i} + b \vec{n} \cdot \vec{j}\\
			\intertext{Et puisque $\vec{n}$ est orthogonal à $\vec{i}$ et $\vec{j}$}
			\vec{n} \cdot \vec{u} &= 0
		\end{align*}
		
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\begin{proposition}{}
	
	Étant donné un vecteur non nul $\vec{n}$ et un point $A$, il existe un unique plan normal à $\vec{n}$ et passant par $A$.
	
\end{proposition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Ainsi pour définir un plan on peut au choix donner:
		\begin{enumerate}[(i)]	
			\item trois points distincts deux à deux et non alignés,
			\item un point et une base,
			\item un point et un vecteur normal.
		\end{enumerate}
		
		\item Une façon de voir que nous utiliserons plus tard pour l'équation cartésienne: {\color{orange}le plan est formé de l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{n}=0$}.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsubsection{Définitions.}

\begin{notabene}
	
	Illustrer abondamment cette définition par des des dessins de droites en plans
	
\end{notabene}

\begin{definition}{}
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		
		\item Une droite est \emph{\color{purple}parallèle} à une autre droite si au moins un vecteur directeur de l'une est colinéaire à un vecteur directeur de l'autre.
		
		\item Deux droites sont \emph{\color{purple}orthogonales} si un vecteur directeur de l'une est orthogonale à une vecteur directeur de l'autre.
		
		\item Une droite est \emph{\color{purple}orthogonale} à un plan si et seulement si un vecteur directeur de cette droite est colinéaire à un vecteur normal à ce plan.
		
		\item Un droite est \emph{\color{purple}parallèle} à un plan si et seulement si un vecteur directeur de cette droite est orthogonal à vecteur normal à ce plan.
		
		\item Deux plans sont \emph{\color{purple}parallèles} si et seulement si un vecteur normal à l'un est colinéaire à un vecteur normal de l'autre.
		
		\item Deux plans sont dit \emph{\color{purple}perpendiculaires} si un vecteur normal à l'un est orthogonal à un vecteur normal à l'autre.
		
	\end{enumerate}
	
\end{definition}

\subsubsection{Exercices.}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		Barbazo spé 2020page 349
	\end{notabene}
	
	Soit $ABCDEFGH$ un cube.
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrez que $\overrightarrow{CG}$ est normal à $(FGH)$.
		\item Démontrez que $\overrightarrow{AH}$ et normal à $(EDC)$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		barbazo 2020 spé page362
	\end{notabene}
	
	Dans chaque cas déterminez si le vecteur $\vec{w}$ est normal à un plan $\mathscr{P}$ de base $\left( \vec{u},\vec{v} \right)$.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\vec{u} \begin{pmatrix} 12 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix}$, $\vec{v} \begin{pmatrix} 6 \\ -7 \\ 8 \end{pmatrix}$, $\vec{w} \begin{pmatrix} -11 \\ -78 \\ -60 \end{pmatrix}$.
		\task $\vec{u} \begin{pmatrix} 10 \\ -3 \\ 13 \end{pmatrix}$, $\vec{v} \begin{pmatrix} 9 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}$, $\vec{w} \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}$.
		\task $\vec{u} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}$, $\vec{v} \begin{pmatrix} 10 \\ -1 \\ 8/7 \end{pmatrix}$, $\vec{w} \begin{pmatrix} 1/2 \\ 3 \\ -7/4 \end{pmatrix}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		barbazo 2020 spé page363
	\end{notabene}
	
	On se place dans un repère de l'espace. Soient $\mathscr{D}$ la droite de vecteur directeur $\vec{u}$ passant par le point $A$ et $\mathscr{D}'$ la droite de vecteur directeur $\vec{v}$ et passant par le point $B$. Déterminez si les droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}'$ sont orthogonales.
	
	\begin{tasks}
		\task $A(13;-6;1)$, $B(3;4;-7)$, $\vec{u}\begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\2 \end{pmatrix}$, $\vec{v} \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix}$.
		\task $A(-5;23;7)$, $B(1;9;4)$, $\vec{u}\begin{pmatrix} -1 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix}$, $\vec{v} \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix}$.
		\task $A(11;2;-3)$, $B(-3;2;5)$, $\vec{u}\begin{pmatrix} 9 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix}$, $\vec{v} \begin{pmatrix} 0,2 \\ 0,3 \\ 0,4 \end{pmatrix}$. 
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}(1)
		\task $\vec{u} \cdot \vec{v}=-7 \ne 0$ donc les droites ne sont pas orthogonales.
		\task $\vec{u} \cdot \vec{v}= 0$ donc les droites sont orthogonales.
		\task $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ donc les droites sont orthogonales.
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Dans le repère orthonormé $\left( O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right)$, on donne $A(2,-3,4)$, $B(1,2,-11)$, $C(-4,5,-9)$, $D(-8,3,4)$ et $E(-3,10,6)$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Démontrez que les points $A$, $B$ et $C$ définissent bien un plan.
		
		\item Démontrez que les droites $(AB)$ et $(DE)$ sont orthogonales.
		
		\item Démontrez que la droite $(DE)$ est orthogonale au plan $(ABC)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ -13 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} -10\\6 \\ 0 \end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{AB} \ne \vec{0}$ et $\overrightarrow{AC} \ne \vec{0}$.
			
			\item $\begin{vmatrix}
				-6 & -10 \\ 8 & 6 \end{vmatrix} =-6 \times 6 -8 \times (-10)=44 \ne 0$ donc $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires. 
		\end{enumerate}
		
		Ainsi $\left(\overrightarrow{AB} , \overrightarrow{AC} \right)$ est une base d'un plan et enfin
		
		\begin{conclusion}
			
			$A$, $B$ et $C$ définissent bien un plan.
			
		\end{conclusion}
		
		\item $\overrightarrow{DE} \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\2 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DE}= -6 \times 5 +8 \times 7-13 \times 2= 0$.
		
		\item $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{AC} \cdot \overbrace{DE}=0$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	L'espace étant muni d'un repère orthonormé, on considère les points $A(2,-3,5)$, $B(1,0,7)$ et $C(-4,1,3)$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Démontrez que $A$, $B$ et $C$ définissent bien un plan.
		
		\item Démontrez que $\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		0ieme ellipse et plus si affinités page 423 exo 382
		
	\end{notabene}
	
	Soit $\mathscr{P}$ un plan dirigé par deux vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\2 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}$ (autrement dit $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ forment une base de $\mathscr{P}$). Déterminez les coordonnées d'un vecteur $\overrightarrow{n}$ normal à $\mathscr{P}$. 
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}$. Supposons par exemple $x=1$.
	
	$\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{u}=0$ donc $1 \times 1+ 1 \times y+2 \times z=0$ et $-1 \times 1 + 2 \times y + -3 \times z=0$.
	
	Donc \[ \left\{ \begin{array}{l} y+z=-1 \\ 2y-3z=1 \end{array} \right. \]
	
	$z=-\frac{3}{5}$ et $y=-\frac{4}{5}$.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	\begin{notabene}
		Barabzo spé 2020 page 365 exo 45
	\end{notabene}
	
	Dans un repère orthonormé de l'espace on considère les points $A(-4;0;0)$, $B(0;-3;0)$, $C(3;1;0)$, $D(-1;4;0)$, $E(-4;0;5)$, $F(0;-3;5)$, $G(3;1;5)$ et $H(-1;4;5)$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que ce solide $ABCDEFGH$ est un cube.
		
		\item Soient $I$ et $J$ les milieux respectifs des segments $[FG]$ et $[FB]$. On souhaite montrer que les droites $(AI)$ et $(JH)$ sont perpendiculaires.
		
		\begin{enumerate}
			\item Déterminez les coordonnées des points $I$ et $J$, puis montrez que les droites $(AI)$ et $(JH)$ sont orthogonales.
			
			\item Montrez que le point $K \left( -\dfrac{1}{3}; -\dfrac{2}{3}; \dfrac{10}{3} \right)$ appartient aux droites $(AI)$ et $(JH)$. Concluez
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\subsection{Projeté orthogonal.}

\subsubsection{Projeté orthogonal.}

\begin{lecon}
	
	Vous avez vu en seconde le projeté orthogonal d'un point sur une droite. Voyons en trois dimensions.
	
\end{lecon}

\begin{notabene}
	Illustration importante.
	Faire de la lecture en exercice de compréhension sur le cube.
\end{notabene}

\begin{proposition}{ et définition.}
	
	Soient $A$ un point et $\mathscr{D}$ une droite de l'espace.
	
	Il existe un unique plan $\mathscr{P}$ orthogonal à $\mathscr{D}$ et contenant $A$. $\mathscr{D}$ est sécante avec $\mathscr{P}$ en un unique point appelé \emph{\color{purple}le projeté orthogonal} de $A$ sur $\mathscr{D}$.
	
	\medskip
	
	Soient $A$ un point et $\mathscr{P}$ une droite de l'espace.
	
	Il existe un unique droite $\mathscr{D}$ orthogonale à $\mathscr{P}$ et contenant $A$. $\mathscr{P}$ est sécant avec $\mathscr{D}$ en un unique point appelé \emph{\color{purple}le projeté orthogonal} de $A$ sur $\mathscr{P}$.
	
\end{proposition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\item La dualité de ces deux définitions est remarquable.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\subsubsection{Distance d'un point à un plan.}

\begin{proposition}{ et définition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $A$ et $B$ des points de l'espace,
		\item $\vec{n}$ un vecteur non nul de l'espace,
		\item $\mathscr{P}$ le plan de vecteur normal $\vec{n}$ passant par $B$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Le projeté orthogonal $H$, de $A$ sur le plan $\mathscr{P}$, est le point de $\mathscr{P}$ le plus proche de $A$.
	
	On appelle \emph{\color{purple}distance de $A$ à $\mathscr{P}$} le nombre positif: \[ AH=\frac{\left| \overrightarrow{AB}\cdot \vec{n} \right|}{\| \vec{n} \|}. \]
	
\end{proposition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Autrement dit $H$ est le point de $\mathscr{P}$ qui réalise une distance minimale de $A$ à $\mathscr{P}$.
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsubsection{Distance d'un point à une droite.}

\begin{proposition}{ et définition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $A$ et $B$ des points de l'espace,
		\item $\vec{n}$ un vecteur non nul de l'espace,
		\item $\mathscr{D}$ la droite de vecteur directeur $\vec{u}$ passant par $B$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Le projeté orthogonal $H$, de $A$ sur la droite $\mathscr{D}$, est le point de $\mathscr{D}$ le plus proche de $A$.
	
	On appelle \emph{\color{purple}distance de $A$ à $\mathscr{D}$} le nombre positif: \[ AH=\left\| \overrightarrow{AB}- \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{u}}{\| \vec{u} \|^2}\vec{u} \right\|. \]
	
\end{proposition}

\subsubsection{Exercices.}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		Barbazo page 351 2020
	\end{notabene}
	
	On considère le cube $ABCDEFGH$  de côté $1$. On note $L$, $I$ et $J$ les milieux respectifs des segments $[AD]$, $[EF]$ et $[HG]$ et $K$ le centre du carré $BCGF$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Citez une base orthonormée de l'espace en utilisant les points cités.
		\item Citez deux repères orthonormés de l'espace en utilisant les points cités.
		\item On se place dans le repère de l'espace $\left( A; \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE} \right)$.
		\begin{enumerate}
			\item Démontrez que $\overrightarrow{LK}$ est normal au plan $(IJB)$.
			\item Déduisez-en la distance du point $L$ au plan $(IJB)$.
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE} \right)$.
		
		\item $\left(A; \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE} \right)$ et $\left(E; \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE} \right)$
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item $I\left( \frac{1}{2}, 0;1 \right)$, $J\left( \frac{1}{2}, 1;1 \right)$, $B(1,0,0)$.
			
			$\overrightarrow{BI} \begin{pmatrix} -1/2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{BJ} \begin{pmatrix} -1/2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$.
			
			$L\left( 0, 1 , 0 \right)$ et $K\left( \frac{1}{2} , \frac{1}{2} , \frac{1}{2} \right)$.
			
			$\overrightarrow{LK} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1/2 \end{pmatrix}$.
			
			\item $d(L,(IJB))= \frac{\left|\overrightarrow{LB}\cdot \overrightarrow{LK}\right|}{\| \overrightarrow{LK} \|}=\frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{2}}$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	\begin{notabene}
		Centres étrangers groupe I
		sujet 1
		13 mars 2023
	\end{notabene}
	
	On considère le prisme droit ABFEDCGH, de base ABFE, trapèze rectangle en A. 
	
	\begin{tabular}{m{6.5cm}m{4cm}}
		On associe à ce prisme le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vec{\imath}, \vec{\jmath},\vec{k}\right)$ tel que : 
		
		\[\vec{\imath} = \dfrac14\vec{\text{AB}}, \quad \vec{\jmath} = \dfrac14\vec{\text{AD}}, \quad \vec{k} = \dfrac18\vec{\text{AE}}.\]
		
		De plus on a $\vec{\text{BF}} = \dfrac12\vec{\text{AE}}$.
		
		On note I le milieu du segment [EF].
		
		On note J le milieu du segment [AE].
		&
		\includegraphics[scale=0.4]{0ieme_29_projete_orthogonal_01_tetraedre.png}
	\end{tabular}
	
	\begin{enumerate}
		\item Donner les coordonnées des points I et J.
		\item Soit $\vec{n}$ le vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}$.
		%\begin{enumerate}
		%\item 
		Montrer que le vecteur $\vec{n}$ est normal au plan (IGJ).
		%\item Déterminer une équation cartésienne du plan (IGJ).
		%\end{enumerate}	
		%\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$, perpendiculaire auplan (IGJ) et passant par H.
		\item On note L le projeté orthogonal du point H sur le plan (IGJ).
		
		Montrer que les coordonnées de L sont $\left(\dfrac83~;~ \dfrac43~;~\dfrac{16}{3}\right)$. \emph{On admettra que L $\in$ (IGJ).}
		
		\item Calculer la distance du point H au plan (IGJ).
		
		\item Montrer que le triangle IGJ est rectangle en I.
		
		\item En déduire le volume du tétraèdre IGJH.
	\end{enumerate}
	
	\begin{center}
		On rappelle que le volume $V$ d'un tétraèdre est donné par la formule :
		
		$V = \dfrac13 \times (\text{aire de la base}) \times  \text{hauteur}.$
	\end{center}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $J\left(0,0,4 \right)$, $I\left( 2 ,0, 6 \right)$.
		
		\item $G(4,4,4)$. $\overrightarrow{IJ} \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{IG} \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}$.
		
		\item $H(0,4,8)$,  $\overrightarrow{LH}\begin{pmatrix} -\frac{8}{3}\\ \frac{8}{3}\\ \frac{8}{3} \end{pmatrix}$ donc $\frac{8}{3} \vec{n}= \overrightarrow{LH}$. Donc $\overrightarrow{LH}$ et $\vec{n}$ sont colinéaires, enfin $\overrightarrow{LH}$ est normal à $(IGJ)$. Comme de plus $L \in (IGJ)$, $L$ est le projeté orthogonal de $H$ sur $(IGJ)$.
		
		\item $d\left( H;(IGJ) \right)= HL$. Le repère étant orthonormé:
		
		\begin{align*}
			HL &= \left\| \overrightarrow{HL} \right\|\\
			&= \sqrt{ \left( -\frac{8}{3} \right)^2+\left( \frac{8}{3} \right)^2+\left( \frac{8}{3} \right)^2}\\
			&= \frac{64}{3} \sqrt{3}
		\end{align*}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			\overrightarrow{IG} \cdot \overrightarrow{IJ} &= 0
		\end{align*}
		Le repère étant orthonormé
		
		\begin{conclusion}
			
			$IGJ$ est rectangle en $I$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			\mathscr{V} &= \frac{1}{3} \times \mathscr{A}(IGJ) \times HL\\
			&= \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times IG \times IJ \times \frac{64}{3} \sqrt{3}\\
			&= \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times 2\sqrt{6} \times 2\sqrt{2} \times \frac{64}{3} \sqrt{3}\\
		\end{align*}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	\begin{notabene}
		Métropole, Antilles-Guyane
		sujet 1
		20 mars 2023
	\end{notabene}
	
	
	\begin{minipage}{0.48\linewidth}
		On considère le cube ABCDEFCH d'arête 1.
		
		On appelle I le point d'intersection du plan (GBD) avec la droite (EC).
		
		L'espace est rapporté au repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vec{\text{AB}},~\vec{\text{AD}},~\vec{\text{AE}}\right)$.
	\end{minipage} \hfill
	\begin{minipage}{0.48\linewidth}
		\includegraphics[scale=0.4]{0ieme_29_projete_orthogonal_02_pave.png}
	\end{minipage}
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}
		\item Donner dans ce repère les coordonnées des points E, C, G.
		%\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (EC).
		\item Démontrer que la droite (EC) est orthogonale au plan (GBD).
		\item
		\begin{enumerate}
			%\item Justifier qu'une équation cartésienne du plan (GBD) est :
			%\[x + y - z - 1 = 0.\]
			\item Montrer que le point I a pour coordonnées $\left(\dfrac23~;~\dfrac23~;~\dfrac13\right)$.
			\item En déduire que la distance du point E au plan (GBD) est égale à $\dfrac{2\sqrt 3}{3}$.
		\end{enumerate}
		\item 
		\begin{enumerate}
			\item Démontrer que le triangle BDG est équilatéral.
			\item Calculer l'aire du triangle BDG.
			
			On pourra utiliser le point J, milieu du segment [BD].
		\end{enumerate}
		\item Justifier que le volume du tétraèdre EGBD est égal à $\dfrac13$.
		
		\emph{On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par $V = \dfrac13 Bh$ où $B$ est l'aire d'une base du tétraèdre et $h$ est la hauteur relative à cette base.}
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item  $E(0,0,1)$, $C(1,1,0)$, $G(1,1,1)$.
		
		\item $\overrightarrow{EC} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{GB} \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{GD}\begin{pmatrix} -1\\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$.
		
		$\overrightarrow{EC} \cdot \overrightarrow{GB} = \overrightarrow{EC} \cdot \overrightarrow{GD}$.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Soit $Z \left(\dfrac23~;~\dfrac23~;~\dfrac13\right)$. 
			\begin{enumerate}[*]
				\item $\overrightarrow{GZ}\begin{pmatrix} -1/3 \\ -1/3 \\ -2/3 \end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{GZ} =\frac{1}{3} \overrightarrow{GB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{GD}$. Donc $Z \in (GBD)$.
				
				\item $\overrightarrow{ZE} \begin{pmatrix} -2/3 \\ -2/3 \\ 2/3 
				\end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{ZE}=\frac{2}{3} \overrightarrow{EC}$.
				
				Donc $Z \in (EC)$.
				
			\end{enumerate}
			
			\begin{conclusion}
				$Z=I$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item Le repère étant orthonormé
			
			\begin{align*}
				d\left( E, (GBD) \right) &= EI\\
				&= \left\| \overrightarrow{EI} \right\| \\
				&= \sqrt{ \left( \frac{2}{3}-0 \right)^2 + \left( \frac{2}{3}-0 \right)^2 + \left( \frac{1}{3}-1 \right)^2}\\
				&= \frac{2}{3} \sqrt{3}
			\end{align*}
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item $BD=GB=GD=\sqrt{2}$.
			
			\item Théorème de Pythagore: $GJ=\frac{1}{2} \sqrt{6}$. Donc $\mathscr{A}(BDG)= \frac{1}{2} BD \times GJ= \frac{1}{2} \sqrt{3}$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			\mathscr{V} &= \frac{1}{3} \mathscr{A}(BDG) EI\\
			&= \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \sqrt{3} \times \frac{2}{3} \sqrt{3}\\
			&= \frac{1}{3}
		\end{align*}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\subsection{Représentation paramétrique d'une droite.}

\subsubsection{La représentation paramétrique.}

\begin{lecon}
	
	Soit $\mathscr{D}$ une droite de l'espace rapporté à repère $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} )$ passant par $A(1,-2,3)$ et de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix} 2\\ 1\\-1\end{pmatrix}$.
	
	Dire que $M(x,y,z) \in \mathscr{D}$ équivaut à dire que $\overrightarrow{AM}$ et colinéaire à $\vec{u}$.
	
	Autrement dit, puisque $\vec{u} \ne 0$, il existe $t \in \mathbb{R}$ tel que $\overrightarrow{AM}=t \vec{u}$.
	
	En considérant les coordonnées nous obtenons donc \[ \left\{ \begin{array}{c}x-1 = t \times 2 \\ y+2 = t \times 1 \\ z-3 = t \times -1 \end{array} \right. \]
	
	Ainsi dire que $M \in \mathscr{D}$ signifie qu'il existe $t \in \mathbb{R}$ tel que les coordonnées de $M$ sont données par \[ \left\{ \begin{array}{rcl}x &=& 2t+1 \\ y &=& t-2 \\ z &=& -t+3 \end{array} \right. \]
	
	Formellement c'est comme si nous avions $M=t\vec{u}+A$.
	
\end{lecon}

\begin{proposition}{ et définition.}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $A(x_A,y_A,z_A)$ un point de l'espace rapporté à un repère $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$,
		
		\item $\vec{u} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ un vecteur non nul de l'espace,
		
		\item $\mathscr{D}$ la droite passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	$M \in \mathscr{D}$ si et seulement si il existe un réel $t$ tel que \[ \left\{ \begin{array}{rcl}x &=& at+x_A \\ y &=& bt+y_A \\ z &=& ct+z_A \end{array} \right. \]
	
	Nous dirons alors que ce système d'équation est une \emph{\color{purple}représentation paramétrique} de la droite $\mathscr{D}$.
	
\end{proposition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item En physique nous utiliserons une notation fonctionnelle pour indiquer la dépendance de $x$ à $t$: $x(t)=at+x_A$.
		
		D'ailleurs si $x(t)$ représente l'abscisse d'un point $M$, $t$ sera souvent le temps.
		
		\item À chaque vecteur directeur et à chaque point de la droite correspondent une nouvelle représentation paramétrique: il y a donc une infinité de représentations paramétriques d'une droite.
		
		\item Formellement (il ne faut pas l'écrire comme ceci) la représentation paramétrique correspond à: $M=A+t\vec{u}$. C'est une bonne astuce mnémotechnique.
		
		\item Il n'est pas forcément étonnant que la représentation paramétrique d'une droite fasse apparaître des fonctions affines.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{lecon}
	
	Les usages que vous ferez de la représentation paramétrique des droites: vérifier que des droites sont sécantes, ou parallèles, ou orthogonales, ou non coplanaires.
	
	Il faut donc savoir trouver la représentation paramétrique à partir d'un point et d'un vecteur directeur, de deux points mais aussi à partir de la représentation paramétrique retrouver un point de la droite et un vecteur directeur.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		\begin{notabene}
			Détermination à partir d'un vecteur et d'un point.
		\end{notabene}
		
		La droite passant par $A(1;2;3)$ et de vecteur directeur $\vec{u} \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}$ a pour représentation paramétrique
		
		\item 
		\begin{notabene}
			Détermination à partir de deux points.
		\end{notabene}
		
		La droit passant par $A(1;2;3)$ et $B(5;-6;7)$ a pour représentation paramétrique
		
		\item 
		\begin{notabene}
			À partir de la représentation paramétrique donnez deux points et un vecteur directeur.
			
		\end{notabene}
		
		On considère la droite $\mathscr{D}$ dont la représentation paramétrique est \[ \left\{ \begin{array}{rcl}x &=& 2t+3 \\ y &=& 1 \\ z &=& t-2 \end{array} \right. \] un vecteur directeur et deux points de la droite
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsubsection{Exercices.}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Trouver une représentation paramétrique à partir de deux points ou d'un point et d'un vecteur directeur.
		
	\end{notabene}
	
	Donnez une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ de $\mathscr{E}_3$ définie par:
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $A(-1,-2,1)$ et $\vec{u} \begin{pmatrix} 1 \\2\\-3 \end{pmatrix}$,
		\task $A(1,0,0)$ et $\vec{u} \begin{pmatrix} 2 \\-1\\ 4 \end{pmatrix}$,
		\task $A(17,37,0)$ et $\vec{u} \begin{pmatrix} 0 \\1\\0 \end{pmatrix}$,
		\task $A(100;2,4;-\frac{1}{3})$ et $\vec{u} \begin{pmatrix} \sqrt{\pi} \\ 3\times 10^2 \\ \frac{2}{3} \end{pmatrix}$,
		\task $A(2,3,4)$ et $B(-2,6,5)$,
		\task $A(6,-2,1)$ et $B(1,2,-1)$,
		\task $A(5,7,0)$ et $B(0,1,2)$,
		\task $A(1,2,3)$ et $B(-2,2,2)$,
		\task $A(0,-1,1)$ et $B(0,2,1)$,
		\task $A(2,0,4)$ et $B(1,0,3)$,
		\task $A(1,-1,0)$ et $B(0,2,0)$,
		\task $A(0,0,3)$ et $B(0,0,-2)$,
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}(2)
		\task \[ \left\{ \begin{array}{rcl}
			x &=& t-1 \\
			y &=& 2t -2\\
			z &=& -3t+1
		\end{array} \right. \]
		\task \[ \left\{ \begin{array}{rcl}
			x &=& 2t+1 \\ 
			y &=&  -t\\
			z &=&4t
		\end{array} \right. \]
		
		\task \[ \left\{ \begin{array}{rcl}
			x &=&  17\\ 
			y &=& t+ 37\\
			z &=&0
		\end{array} \right. \]
		\task \[ \left\{ \begin{array}{rcl}
			x &=& \sqrt{\pi}t+100 \\ 
			y &=& -t+ 2,4 \\
			z &=& \frac{2}{3}t -\frac{1}{3}
		\end{array} \right. \]
		\task \[ \left\{ \begin{array}{rcl}
			x &=& -4t+2 \\ 
			y &=&  3t+3\\
			z &=&t+ 4
		\end{array} \right. \]
		\task \[ \left\{ \begin{array}{rcl}
			x &=& -5t+ 6\\ 
			y &=&  4t+-2\\
			z &=&-2t+1
		\end{array} \right. \]
		
		\task \[ \left\{ \begin{array}{rcl}
			x &=& -5t+ 5\\ 
			y &=&  -6t+7\\
			z &=&2t
		\end{array} \right. \]	
		\task \[ \left\{ \begin{array}{rcl}
			x &=& -3t+ 1\\ 
			y &=&  2\\
			z &=&-t+3
		\end{array} \right. \]
		\task \[ \left\{ \begin{array}{rcl}
			x &=&  \\ 
			y &=&  \\
			z &=&
		\end{array} \right. \]
		\task \[ \left\{ \begin{array}{rcl}
			x &=&  \\ 
			y &=&  \\
			z &=&
		\end{array} \right. \]
		\task \[ \left\{ \begin{array}{rcl}
			x &=&  \\ 
			y &=&  \\
			z &=&
		\end{array} \right. \]
	\end{tasks}
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Retrouver deux points distincts et un vecteur directeur d'une droite à partir de sa représentation paramétrique.
		
	\end{notabene}
	
	Donnez un vecteur directeur et deux points des droites dont les représentations paramétriques sont données:
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\left\{ \begin{array}{rcl}
			x &=& 3t+1 \\ 
			y &=& 2t-3 \\ 
			z &=& -4t+2 
		\end{array} \right.,\ t\in\mathbb{R}$
		\task $\left\{ \begin{array}{rcl}
			x &=& -2t+2 \\ 
			y &=& t-2 \\ 
			z &=& 6t+3 
		\end{array} \right.,\ t\in\mathbb{R}$
		\task $\left\{ \begin{array}{rcl}
			x &=& 1 \\ 
			y &=& -t-3 \\ 
			z &=& t+2 
		\end{array} \right.,\ t\in\mathbb{R}$
		\task $\left\{ \begin{array}{rcl}
			x &=& 2t \\ 
			y &=& 3t-3 \\ 
			z &=& 4 
		\end{array} \right.,\ t\in\mathbb{R}$
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $(1;-3;2)$, $(13;17;-38)$ et $\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}$.
		\task $(2;-2;3)$, $(-2; 0 ; 15)$, $\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix}$.
		\task $(1;-3;2)$, $(1;-6;5)$, $\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$.
		\task $(0;-3;4)$, $(20;27;4)$, $\begin{pmatrix} 4\\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		Montrer que deux représentations correspondent à la même droite et pas à la même droite.
	\end{notabene}
	
	Les droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D'}$ sont-elles égales sachant que: \[ \mathscr{D}:\ \left\{ \begin{array}{rcl}
		x &=& -5t-3 \\ 
		y &=& -17t+4 \\ 
		z &=& -2t+ 2
	\end{array} \right.,\ t\in\mathbb{R} \ \text{et}\ \mathscr{D'}:\ \left\{ \begin{array}{rcl}
		x &=& 25t-8 \\ 
		y &=& 85t-13\\ 
		z &=& 10t
	\end{array} \right.,\ t\in\mathbb{R} \]
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	Les deux droites ont des vecteurs directeurs colinéaires donc elles sont parallèles.
	
	De plus: $\left\{ \begin{array}{l}-5t_1-3=25t_2-8 \\ -17t_1+4 =85t_2-13 \end{array} \right.  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5t_1+25t_2=5\\ 17t_1+85t_2=17 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t_1+5t_2=1\\ t_1+5t_2=1 \end{array} \right.$.
	
	Si $t_1=1$ alors $t_2=0$ et effectivement pour $t_1=1$ et $t_2=0$ on obtient un même point avec les deux droites.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		Dites si les droites suivantes sont scantes d'après leur représentation paramétriques (raisonnement par analyse synthèse
	\end{notabene}
	
	Déterminez si les droites suivantes de $\mathscr{E}_3$ rapporté à un repère, sont sécantes.
	
	\begin{tasks}
		\task $\Delta_1: \left\{ \begin{array}{rcl}
			x &=& t \\ 
			y &=& -2t-3 \\ 
			z &=& t+1 
		\end{array} \right.,\ t\in\mathbb{R}$ et 
		$\Delta_2: \left\{ \begin{array}{rcl}
			x &=& 2t \\ 
			y &=& 3t-3 \\ 
			z &=& 4t +1
		\end{array} \right.,\ t\in\mathbb{R}$.		
		\task $\Delta_1$ qui passe par $A_1(1,3,4)$ et de vecteur directeur $\vec{u}_1 \begin{pmatrix}
			1\\
			2\\
			-1
		\end{pmatrix}$ et $\Delta_2$ qui passe par $A_2(-1,3,4)$ et de vecteur directeur $\vec{u}_2 \begin{pmatrix}
			3\\
			6\\
			-3
		\end{pmatrix}$
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\item $\vec{u}_2=3\vec{u}_1$ donc les droites sont parallèles.
		
		\item Même système que celui du a mais au lieu de $4+1$ il y a $4t+1$.
		
		{\color{orange}On vérifie que les vecteurs directeurs ne sont pas parallèles.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item {\color{orange}Analyse.}
			
			Si $M(x,y,z) \in \Delta_1 \cap \Delta_2$ alors il existe des réels $t_1$ et $t_2$ tels que: \[ \left\{ \begin{array}{l} t_1=2t_2\\-2t_1-3=3t_2-3\\t_1+1=5 \end{array} \right.\]
			
			De la première équation nous déduisons: $t_1=2t_2$.
			
			En substituant dans la seconde: $-2(2t_2)-3=3t_2-3$ et donc $t_2=0$.
			
			Puis $t_1=\frac{1}{2}t_2=0$.
			
			Ainsi s'il y a un point commun aux deux droites il ne peut être obtenu que pour $t_1=t_2=0$.
			
			\item {\color{orange}Synthèse.}
			
			Pour $t_1=0$ le point de $\Delta_1$ a pour coordonnées $(0;-3;1)$.
			
			Pour $t_2=0$ le point de $\Delta_2$ a pour coordonnées $(0;-3;5)$.
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\Delta_1$ et $\Delta_2$ ne sont pas sécantes.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Démontrer le parallélisme de deux droites à partir de leur représentation paramétrique.
		
	\end{notabene}
	
	Déterminez les droites parallèles parmi
	
	$\Delta_1: \left\{ \begin{array}{rcl}
		x &=& 3t +1\\ 
		y &=& 2t-3 \\ 
		z &=& -t+1 
	\end{array} \right.$, $\Delta_2: \left\{ \begin{array}{rcl}
		x &=& 2t-17 \\ 
		y &=& -5t+7 \\ 
		z &=& t+45 
	\end{array} \right.$, $\Delta_3: \left\{ \begin{array}{rcl}
		x &=& 4t +24\\ 
		y &=& -10t-3 \\ 
		z &=& 2t-\pi 
	\end{array} \right.$,
	$\Delta_4: \left\{ \begin{array}{rcl}
		x &=& 3t+12 \\ 
		y &=& 2t-18 \\ 
		z &=& -t+34 
	\end{array} \right.$,
	$\Delta_5: \left\{ \begin{array}{rcl}
		x &=& -6t+1 \\ 
		y &=& -4t-3 \\ 
		z &=& 2t+1 
	\end{array} \right.$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Déterminer représentation paramétrique à partir de la représentation paramétrique d'une autre droite parallèle et les coordonnées d'un point.
		
	\end{notabene}
	
	Soient $\Delta_1: \left\{ \begin{array}{rcl}
		x &=& 7t-2 \\ 
		y &=& -2t+3 \\ 
		z &=& t+1 
	\end{array} \right.$ une droite et $A(1,0,1)$ un point.
	
	Déterminez une représentation paramétrique de la droite $\Delta_2$ parallèle à $\Delta_1$ et passant par $A$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$\Delta_2: \left\{ \begin{array}{rcl}
		x &=& 7t1 \\ 
		y &=& -2t \\ 
		z &=& t+1 
	\end{array} \right.$
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice déjà déplacé dans la bonne leçon à virer de celle-ci.
		
		Exercice 76 page 78 du manuel 2020 du livrescolaire.
		
	\end{notabene}
	
	Soit $ABCD$ un tétraèdre.
	
	L'espace est rapporté au repère $\left( A; \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD} \right)$.
	
	On appelle $I$ et $J$ les milieux respectifs de $[DC]$ et de $[BC]$.
	
	Soient $E$ et $F$ les points définis par $\overrightarrow{AE}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AF}= \frac{1}{4} \overrightarrow{AD}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminez les coordonnées des points $I$, $J$, $E$ et $F$.
		
		\item Démontrez que $(EF)$ est parallèle à $(IJ)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Identité du parallélogramme: $\overrightarrow{AI} = \frac{1}{2} \left( \overrightarrow{AC}+ \overrightarrow{AD} \right)$. Donc $I\left( 0;\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right)$.
			
			\item Identité du parallélogramme: $J\left( \frac{1}{2}; \frac{1}{2}; 0 \right)$.
			
			\item $E \left( \frac{1}{4} ; 0;0 \right)$.
			
			\item $F \left(0;0; \frac{1}{4} \right)$.
		\end{enumerate}
		
		\item $\overrightarrow{EF}\begin{pmatrix} -1/4 \\ 0 \\ 1/4 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{IJ} \begin{pmatrix} 1/2 \\ 0 \\ -1/2 \end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{EF} =\frac{1}{2} \overrightarrow{IJ}$.
		
		\begin{conclusion}
			
			$(EF) \parallel (IJ)$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		0ieme lelivrescolaire page 78 exercice 84
		
	\end{notabene}
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminez une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ où $A(1,-1,3)$ et $B(3,2,4)$.
		
		\item On considère le point $E(-5,7,1)$. 
		
		Déterminez une représentation paramétrique  de la droite $d$ contenant $E$ et parallèle à $(AB)$.
		
		\item On considère le point $F(-1,13,3)$.
		
		\begin{enumerate}
			\item Justifiez que $(AF)$ et $d$ ne sont pas parallèles.
			
			\item Déterminez les coordonnées de leur point d'intersection s'il existe.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Sujet 1 15 mars	2021
		
	\end{notabene}
	
	\noindent\begin{tabular}{m{6.5cm}m{4.8cm}}
		\begin{center}
			
			\includegraphics[scale=0.3]{0ieme_31_representation_parametrique_d_une_droite_01_bac_2022_sujet_1_15_mars.png}
			
		\end{center}
		&
		SABCD est une pyramide régulière à base carrée ABCD dont toutes les arêtes ont la même longueur.
		
		Le point I est le centre du carré ABCD. 
		
		On suppose que : IC = IB = IS $= 1$.
		
		Les points K, L et M sont les milieux respectifs des arêtes [SD], [SC] et [SB].
	\end{tabular}
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}
		\item Les droites suivantes ne sont pas coplanaires:
		
		{\hspace*{-1cm}\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{*{4}{X}}
				\textbf{a.~} (DK) et (SD) &\textbf{b.~} (AS) et (IC) &\textbf{c.~} (AC) et (SB) &\textbf{d.~} (LM) et (AD)
		\end{tabularx}}
	\end{enumerate}
	
	Pour les questions suivantes, on se place dans le repère orthonormé de l'espace $\left(\text{ I}~;~ \overrightarrow{\text{IC}},~\overrightarrow{\text{IB}},~\overrightarrow{\text{IS}}\right)$. Dans ce repère, on donne les coordonnées des points suivants: $\text{I}(0~;~0~;~0) \:;\: \text{A}(-1~;~0~;~0) \:;\: \text{B}(0~;~1~;~0) \:;\: \text{C}(1~;~0~;~0); \text{D}(0~;~-1~;~0) \:;\: \text{S}(0~;~0~;~1)$.
	
	\begin{enumerate}
		\setcounter{enumi}{1}
		
		\item  Les coordonnées du milieu N de [KL] sont:
		\begin{center}
			\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
				\textbf{a.~} $\left(\dfrac{1}{4}~;~\dfrac{1}{4}~;~\dfrac{1}{4}\right)$&\textbf{b.~}$\left(\dfrac{1}{4}~;~- \dfrac{1}{4}~;~\dfrac{1}{2}\right)$&\textbf{c.~}$\left(-\dfrac{1}{4}~;~\dfrac{1}{4}~;~\dfrac{1}{2}\right)$&\textbf{d.~}$\left(-\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~1\right)$
			\end{tabularx}
		\end{center}
		\item  Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\text{AS}}$ sont:
		\begin{center}
			\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
				\textbf{a.~} $\begin{pmatrix}1\\1\\0 \end{pmatrix}$&\textbf{b.~}  $\begin{pmatrix}1\\0\\1 \end{pmatrix}$&\textbf{c.~} $\begin{pmatrix}2\\1\\-1 \end{pmatrix}$ &\textbf{d.~} $\begin{pmatrix} 1\\1\\1\end{pmatrix}$
			\end{tabularx}
		\end{center}
		\item Une représentation paramétrique de la droite (AS) est:
		{\footnotesize \hspace*{-1cm}
			\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{*{4}{X}}
				\textbf{a.~} $\left\{\begin{array}{l !{=} r}x&-1-t\\y&t\\z&-t
				\end{array}\right.$
				
				$(t \in \mathbb{R})$&\textbf{b.~} $\left\{\begin{array}{l !{=} r}x&-1+2t\\y&0\\z&1 + 2t
				\end{array}\right.$
				
				$(t \in \mathbb{R})$&\textbf{c.~} $\left\{\begin{array}{l !{=} r}x&t\\y&0\\z&1+t
				\end{array}\right.$
				
				$(t \in \mathbb{R})$&\textbf{d.~} $\left\{\begin{array}{l !{=} r}x&-1-t\\y&1+t\\z&1-t
				\end{array}\right.$
				
				$(t \in \mathbb{R})$
		\end{tabularx}}
		
		\begin{notabene}
			\item Une équation cartésienne du plan (SCB) est:
			\begin{center}
				\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
					\textbf{a.~} $y+z-1 =0$ &\textbf{b.~}$x+y+z- 1=0$& \textbf{c.~}$x-y+z=0$&
					\textbf{d.~}$x+z-1 =0$
				\end{tabularx}
			\end{center}
		\end{notabene}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item c.
		
		\item b. Un raisonnement sur le signe des coordonnées suffit.
		
		\item b.
		
		\item c. Point $S$ et vecteur $\overrightarrow{AS}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Bac 2021 métropole 8 juin
		
	\end{notabene}
	
	L'espace  est rapporté à un repère orthonormé $\left( O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} \right)$. 
	
	On considère :
	
	\setlength\parindent{9mm}
	\begin{itemize}
		\item[$\bullet~~$]La droite $\mathcal{D}$ passant par les points A$(1~;~1~;~ -2)$ et B$(-1~;~3~;~2)$. 
		\item[$\bullet~~$]La droite $\mathcal{D}'$ de représentation paramétrique :
		$\left\{\begin{array}{l c l}
			x &=& -4 +3t\\
			y&=&\phantom{-}6 - 3t\\
			z&=&\phantom{-}8 - 6t
		\end{array}\right.$\quad avec $t \in \mathbb{R}$.
		%\item[$\bullet~~$]Le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $x + my- 2z + 8 = 0$ où $m$ est un nombre réel.
	\end{itemize}
	\setlength\parindent{0mm}
	
	\medskip
	
	\textbf{Question 1} : Parmi les points suivants, lequel appartient à la droite $\mathcal{D}'$ ?
	
	\begin{center}
		\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
			\textbf{a.~} M$_1(-1;3;-2)$&\textbf{b.~} M$_2(11;-9;-22)$&\textbf{c.~} M$_3(-7;9; 2)$&\textbf{d.~}M$_4(-2;3;4)$
		\end{tabularx}
	\end{center}
	\textbf{Question 2} : Un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}'$ est:
	\begin{center}
		\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
			\textbf{a.~~}$\vec{u_1}\begin{pmatrix}-4\\6\\8\end{pmatrix}$&\textbf{b.~~}$\vec{u_2}\begin{pmatrix}3\\3\\6\end{pmatrix}$&\textbf{c.~~}$\vec{u_3}\begin{pmatrix}3\\-3\\-6\end{pmatrix}$&\textbf{d.~~}$\vec{u_4}\begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix}$
		\end{tabularx}
	\end{center}
	\textbf{Question 3} : Les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ sont :
	\begin{center}
		\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
			\textbf{a.~~}sécantes &\textbf{b.~~} strictement parallèles&\textbf{c.~~}non coplanaires&\textbf{d.~~}
			confondues
		\end{tabularx}
	\end{center}
	%\textbf{Question 4} : La valeur du réel $m$ pour laquelle la droite $\mathcal{D}$ est parallèle au plan $\mathcal{P}$ est :
	%\begin{center}
	%	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
	%		\textbf{a.~~}$m =-1$ &\textbf{a.~~} $m = 1$&\textbf{c.~~}$m = 5$&\textbf{d.~~}$m =-2$
	%	\end{tabularx}
	%\end{center}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item b. On résout les systèmes.
		
		\item c. Immédiat.
		
		\item a. Parallèles mais $A \notin \mathscr{D}$.
		
	\end{enumerate}
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Bac 2021 métropole 2022/09/13 jour 2
		
	\end{notabene}
	
	Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $\left( O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} \right)$, on considère les points A(1~;~0~;~2), B(2~;~1~;~0), C(0~;~1~;~2) et la droite $\Delta$ dont une représentation paramétrique est :
	
	$\left\{\begin{array}{l c r}
		x &=& 1 + 2t\\
		y &=& -2 + t\\ 
		z&=&4 - t
	\end{array}\right., t\, \in \mathbb{R}$.
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}
		\item Parmi les points suivants, lequel appartient à la droite $\Delta$ ?
		\begin{center}
			\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
				\textbf{Réponse A :} M$(2~;~1~;~-1)$; & \textbf{Réponse B :} N$(-3~;~-4~;~6)$ ;\\
				\textbf{Réponse C :} P$(-3~;~-4~;~2)$ ; & \textbf{Réponse D :} Q$(-5~;~-5~;~1)$.
			\end{tabularx}
		\end{center}
		
		\item Le vecteur $\overrightarrow{\text{AB}}$ admet pour coordonnées : 
		
		\begin{center}
			\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
				\textbf{Réponse A :} $\begin{pmatrix}1,5\\0,5\\1\end{pmatrix}$;& \textbf{Réponse B :}$\begin{pmatrix}-1\\-1\\2\end{pmatrix}$ ;\\
				\textbf{Réponse C :} $\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}$& \textbf{Réponse D :} $\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}$.
			\end{tabularx}
		\end{center}
		
		\item Une représentation paramétrique de la droite (AB) est :
		
		\begin{center}
			\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
				\textbf{Réponse A :}$\left\{\begin{array}{l c l}x=1+2t\\y = t\\z = 2\end{array}\right., t \in \mathbb{R}$&
				\textbf{Réponse B :} $\left\{\begin{array}{l c l}x =2 - t\\y = 1 - t\\z = 2t\end{array}\right., t \in \mathbb{R}$\\
				\textbf{Réponse C :} $\left\{\begin{array}{l c l}x = 2 + t\\y = 1 + t\\z = 2t\end{array}\right., t \in \mathbb{R}$&
				\textbf{Réponse D :} $\left\{\begin{array}{l c l}x = 1 + t\\y = 1 + t\\z = 2 - 2t\end{array}\right., t \in \mathbb{R}$
			\end{tabularx}
		\end{center}
		
		\item On considère le point D défini par la relation vectorielle $\overrightarrow{\text{OD}} = 3\overrightarrow{\text{OA}} - \overrightarrow{\text{OB}} - \overrightarrow{\text{OC}}$.
		
		\begin{center}
			\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
				\textbf{Réponse A :} \parbox[t]{4cm}{$\overrightarrow{\text{AD}},~ \overrightarrow{\text{AB}},~ \overrightarrow{\text{AC}}$ sont\\ coplanaires ;} &\textbf{Réponse B :} $\overrightarrow{\text{AD}} = \overrightarrow{\text{BC}}$ ;\\
				\textbf{Réponse C :} \parbox[t]{4cm}{D a pour coordonnées\\ $(3~;~-1~;~-1)$ ;} &\textbf{Réponse D :} \parbox[t]{4cm}{les points A, B, C et D\\ sont alignés.}
			\end{tabularx}
		\end{center}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item b.
		\item c.
		\item b. Avec $B$ et $\overrightarrow{BA}$.
		\item a. Combinaison linéaire $\overrightarrow{AD}= \overrightarrow{BA}+ \overrightarrow{CA}$.
	\end{enumerate}	
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		0ieme lelivrescolaire page 78 exercice 81
		
	\end{notabene}
	
	Soient $d$ et $d'$ deux droites dont on donne une représentation paramétrique:
	
	\[ d: \left\{ \begin{array}{l} x=-2t+3 \\y=-3t +1 \\ z=t+2 \end{array} \right. ,\ t\in\mathbb{R} , \quad  d': \left\{ \begin{array}{l} x=t'-1 \\y=-2t' \\ z=4 \end{array} \right. ,\ t' \in\mathbb{R} \]
	
	\begin{enumerate}
		\item Pour chaque droite donnez un point et un vecteur directeur.
		
		\item Les droites $d$ et $d'$ sont-elles parallèles? sécantes?
		
		\item Que pouvez-vous conclure?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $A(3;1;2)$ et $\vec{u} \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}$
		
		$B(-1;0;4)$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$.
		
		\item $\begin{vmatrix}
			-2 & 1 \\
			-3 & -2
		\end{vmatrix} =8 \ne 0$ pas parallèles. 
		
		$-2t+3=t'-1 \Leftrightarrow t'=-2t+2$ donc $-3t+1=-2(-2t+2) \Leftrightarrow t=\frac{5}{7}$. Or $\frac{5}{7}+2 \ne 4$ donc pas de point d'intersection. Pas sécantes.
		
		\item Les droites sont non coplanaires.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{enumerate}
		\item Polynésie 13 mars 2023 exercice 2.
		\item Amérique du Nord 19 mai 2022 exercice 3.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{notabene}{}
	\color{red}
		
		0ieme lelivrescolaire page 78 exercice 82
	
	Dans chaque cas étudiez la position relative des droites $d$ et $d'$.
	
	\[ d:\left\{ \begin{array}{l} x= \\ y= \\ z= \end{array} \right.,\ t\in \mathbb{R} \]
	
	\begin{enumerate}
		\item 
	\end{enumerate}
	
\end{notabene}


\begin{notabene}{}
	\color{red}
		
		0ieme lelivrescolaire page 78 exercice 83
	
\end{notabene}


\begin{notabene}{}
	\color{red}
		
		0ieme reperes hachette 2012 page 315 exercice 88: représentation paramétrique d'un segment.
			
\end{notabene}

\begin{notabene}{}
	\color{red}
	
		0ieme reperes hachette 2012 page 316 exercice 91 à 93: positions relatives
		
\end{notabene}

\subsection{Équations cartésiennes d'un plan.}

\subsubsection{Équations.}

\begin{proposition}{ - Équations cartésiennes d'un plan.}
	
	Soit $\mathscr{P}$ un plan de l'espace
	
	\medskip
	Il existe des réels $a$, $b$, $c$ et $d$ (avec $a$, $b$ et $c$ non tous nuls) tels que $\mathscr{P}$ soit l'ensemble des points $M(x,y,z)$ pour lesquels $ax+by+cz+d=0$.
	
\end{proposition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item L'équation $ax+by+cz+d=0$ est appelée \emph{\color{purple}une équation cartésienne} du plan.
		
		\item Il n'y a pas unicité de l'équation cartésienne d'un plan. Si $ax+by+cz+d=0$ est une équation d'un plan alors $(ma)x+(mb)y+(mc)z+(md)=0$ en est aussi une. {\color{orange}Les coefficients des diverses équations cartésiennes d'un même plan sont proportionnels les uns aux autres.}
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{}
	
	On considère un plan $\mathscr{P}$ dont une équation cartésienne est $2x-3y+4z+1=0$.
	
	Démontrez que $A(1,-3,2)$ n'appartient pas à $\mathscr{P}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$2 \times 1-3 \times (-3)+4 \times2+1= 20 \ne 0$.
	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Vecteur normal.}

\begin{proposition}{}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $a$, $b$, $c$ et $d$ des réels $a$, $b$ et $c$ étant non tous nuls.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Si $ax+by+cz+d=0$ est une équation cartésienne d'un plan $\mathscr{P}$ alors $\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix}$ est un vecteur normal à $\mathscr{P}$.
	
\end{proposition}

\begin{exercice}{}
	
	Déterminez un vecteur normal au plan $\mathscr{P}$ dont une équation cartésienne est $2x+y-3z+14=0$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$\vec{n} \begin{pmatrix}
		2 \\ 1 \\ -3
	\end{pmatrix}$ est un vecteur normal.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Déterminez une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$ passant par $A (2;3;1)$ et de vecteur normal est $\vec{n} \begin{pmatrix}
		3 \\ -1 \\ -7
	\end{pmatrix}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	On recherche une équation cartésienne de la forme $3x-y-7z+d=0$ en considérant le vecteur normal.
	
	Puis, comme $A \in \mathscr{P}$, on doit  avoir $3x_A-y_A-7z_A+d=0$.
	
	D'où: $d=4$.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $\left( \text{O}; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right)$, on considère les points: $A(4~;~0~;~0)$, $B(0~;~2~;~0)$ et $C(0~;~0~;~2)$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrez que le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$ est normal au plan $(ABC)$.
		
		\item Déduisez-en une équation cartésienne de $(ABC)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont non nuls et non colinéaires donc $(ABC)$ est bien un plan, de plus ils constituent une base de ce plan.
		
		Comme $\overrightarrow{AB} \cdot \vec{n}=\overrightarrow{AC} \cdot \vec{n} =0$ $\vec{n}$ est bien normal à $(ABC)$.
		
		\item Donc $x+y+2z+d=0$ et comme $A \in (ABC)$, $d=-4$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Soit $A(-1,2,5)$ un point de l'espace rapporté à un repère et $\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} -3\\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}$ un vecteur.
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminez une équation du plan $\mathscr{P}$ passant par $A$ et de vecteur normal $\overrightarrow{n}$.
		
		\item Soit $B(3,8,7)$. Déterminez une équation du plan médiateur $\mathscr{P}'$ du segment $[AB]$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Dans l'espace rapporté à un repère, notons $\mathscr{P}$ le plan d'équation $2x+3y-7z-14=0$ et $\mathscr{D}$ la droite dont une représentation paramétrique est $\left\{ \begin{array}{l} x=-2+t \\ y=-11+3t \\ z= 19-5t \end{array} \right.,\ t \in \mathbb{R}$.
	
	Déterminez l'intersection du plan $\mathscr{P}$ et de la droite $\mathscr{D}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	On substitue $x$, $y$ et $z$ par leurs expression en fonction de $t$ dans l'équation cartésienne du plan: $2(-2+t)+3(-11+3t)-7(19-5t)-14=46t-170$ donc $t=\frac{170}{46}$.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		0ieme ellipse et plu si affinité page 429 exo 387
		
	\end{notabene}
	
	Dans un repère orthonormé on considère $A(3;-3;1)$, $B(2;-1;2)$ et $C(-1;1;-1)$. 
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminez une équation du plan $\mathscr{P}$ passant par $C$ et de vecteur normal $\overrightarrow{AB}$.
		
		\item Déterminez une équation du plan $\mathscr{Q}$ médiateur de $[AC]$.
		
		\item Donnez une représentation paramétrique de l'intersection entre $\mathscr{P}$ et $\mathscr{Q}$.
		
		\emph{Vous pourrez poser $z=t$ dans les deux équations précédentes.}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$
		
		$-x+2y+z+d=0$.
		
		$C$ appartient au plan donc $-(-1)+2  \times 1 +(-1)+d=0$ donc $d=-2$.
		
		$-x+2y+z-2=0$.
		
		\item $\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} -4 \\ 4 \\ -2\end{pmatrix}$
		
		$-4x+4y-2z+d=0$.
		
		$I(1;-1;0)$.
		
		$-4-4+d=0$
		
		$-4x+4y-2z+8=0$.
		
		\item {\color{orange}Il faut choisir l'une des variables comme paramètre de la représentation paramétrique et résoudre le système.}
		
		\[ \left\{ \begin{array}{l} -x+2y+t-2=0 \\ -4x+4y-2t+8=0\end{array} \right. \]
		
		\[ \left\{ \begin{array}{l} -x+2y=-t+2 \\ -4x+4y=2t-8\end{array} \right. \]
		
		$-4y=6t-16$, $y= -\frac{3}{2}t+4$.
		
		$-2x=4t-12$, $x=-2t+6$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Démontrez que les plans $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ d'équations respectives $2x+3y+z=0$ et $-x+2y-4z=0$ sont orthogonaux.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	Les vecteurs normaux $\vec{n}_1 \begin{pmatrix}
		2\\3 \\1
	\end{pmatrix}$ et $\vec{n}_2 \begin{pmatrix}
		-1 \\ 2 \\ -4
	\end{pmatrix}$ sont orthogonaux donc les plans sont orthogonaux.
	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Exercices.}

\begin{exercice}{}
	
	Soient $A(1,0,3)$, $B(2,2,7)$ et $C(-1,5,4)$ trois points de l'espace rapporté à un repère et $\mathscr{P}$ le plan d'équation cartésienne $2x+y-z+1=0$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Démontrez que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan.
		
		\item Démontrez que $\mathscr{P}$ est le plan $(ABC)$.
		
		\item Déduisez-en un vecteur normal au plan $(ABC)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ 1\end{pmatrix}$.
		
		$\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 5 \end{vmatrix}=1 \times 5- 2 \times (-2)=9 \ne 0$.
		
		Donc vecteurs non nuls et non colinéaires $A$, $B$ et $C$définissent bien un plan.
		
		\item $2x_A+y_A-z_A+1=2 \times 1 + 0 -3+1=0$ donc $A \in \mathscr{P}$. De même pour $B$ et $C$.
		
		\item $\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		0ieme ellipse et plus si affinité page 430 exo 389
		
	\end{notabene}
	
	Vérifiez que $3x-2y+z=2$ est une équation cartésienne du plan $(ABC)$ où $A(1;1;1)$, $B(-1;-1;3)$ et $C(2;1;-2)$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{align*}
		3 \times 1-2 \times 1 + 1 &= 2\\
		3 \times (-1)-2 \times (-1) + 3 &= 2\\
		3 \times 2-2 \times 1 -2 &= 2
	\end{align*}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	On donne les points suivants $A(-2,1,3)$ et $B(1,-2,2)$ et $C(4,1,-1)$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Démontrez que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un seul plan $\mathscr{P}$.
		
		\item Déterminez une équation cartésienne d'un plan $\mathscr{P}'$ orthogonal à $\mathscr{P}$ passant par le point $A$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}$.
		
		\item Il faut trouver un vecteur normal à $\mathscr{P}$. Supposons qu'il existe un tel vecteur $\vec{n} \begin{pmatrix}
			x \\ y \\ z
		\end{pmatrix}$ et pour simplifier que $x=1$ (si cela ne conduit nul part nous choisirons $x=0$). On doit avoir $\vec{n} \cdot \overrightarrow{AB}= \vec{n} \cdot \overrightarrow{AC}= 0$. Autrement dit:		
		\[ \left\{ \begin{array}{l} 3-3y+z=0 \\ 6 -4z=0 \end{array} \right. \]
		
		$z=\frac{3}{2}$ puis $y=\frac{1}{2}$.
		
		Ainsi $2\vec{n} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ est normal à $\mathscr{P}$.
		
		Clairement $\overrightarrow{m} \begin{pmatrix} 1/2 \\ -1/3 \\0 \end{pmatrix}$ est orthogonal à $\overrightarrow{n}$. D'où une équation d'un plan orthogonal: $3x-2y+d=0$ et enfin $d=8$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal on considère les points $A(2,3,3)$, $B(-1,17,-17)$ et un vecteur $\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix}$. On note $\mathscr{P}$ le plan passant par $A$ et de vecteur normal $\overrightarrow{n}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Démontrez que $H(-9,5,-1)$ appartient à $\mathscr{P}$.
		
		\item Démontrez que $H$ est le projeté orthogonal de $B$ sur $\mathscr{P}$ et déduisez-en la distance de $B$ à $\mathscr{P}$.
		
		\item Soit $C(5,11,-5)$. Justifiez que $C$ est le projeté orthogonal de $H$ sur $(BC)$ puis calculez la distance de $H$ à $(BC)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $H \in \mathscr{P}$ si et seulement si $\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{n}=0$.
		
		$\overrightarrow{AH} \begin{pmatrix} -11 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}$.
		
		\item Puisque $H\in \mathscr{P}$, $H$ est le projet orthogonal de $B$ sur $\mathscr{P}$ si et seulement si $\overrightarrow{BH}$ et $\vec{n}$ sont colinéaires.
		
		$\overrightarrow{BH} \begin{pmatrix} -8\\-12\\16
		\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{BH}=-4\vec{n}$.
		
		Repère orthonormal donc $BH=\| \overrightarrow{BH} \|=4\sqrt{29}$.
		
		\item $C$ est le projeté orthogonal de $H$ sur $(BC)$ si et seulement $\overrightarrow{CH}\cdot \overrightarrow{BC}=0$.
		
		$\overrightarrow{CH}\begin{pmatrix}-14\\-6\\4 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{CB} \begin{pmatrix} 6 \\ -6 \\ 12 \end{pmatrix}$.
		
		Repère orthonormal donc $HC=\| \overrightarrow{HC} \|=2\sqrt{62}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Soient $A(8,10,5)$ un point et $\mathscr{P}$ le plan d'équation $2x+3y-z+1=0$ dans l'espace muni d'un repère. Déterminez les coordonnées du projeté orthogonal $H$ du point $A$ sur le plan $\mathscr{P}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		0ieme spécialite hatier variations 2020
		
	\end{notabene}
	
	Soient $A(1;0;-2)$, $B(0;3;-1)$, $C(-1;2;1)$, $D(0;-1;0)$ et $S\left( \frac{5}{2} ; -\frac{3}{2}; 4 \right)$ des points de l'espace muni d'un repère orthonormé.
	
	\begin{enumerate}
		\item Démontrez que $ABCD$ est un rectangle.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Montrez que si $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$ alors, pour tout point $M$ du plan $(ABC)$, on a $SH= \frac{| \overrightarrow{SM} \cdot \overrightarrow{n} |}{\|\overrightarrow{n} \|}$, où $H$ est le projeté orthogonal de $S$ sur le plan $ABC$.
			
			\item Déterminez les coordonnées d'un vecteur $\overrightarrow{n}$ normal au plan $(ABC)$.
			
			\item En déduire la hauteur $SH$ de la pyramide $SABCD$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item Calculez le volume de la pyramide $SABCD$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Bac sujet 2 2021 15 mars 
		
	\end{notabene}
	
	
	Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $\left( \text{O}; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right)$, on considère les points: \text{A} de coordonnées (2~;~0~;~0), B de coordonnées (0~;~3~;~0) et C de coordonnées (0~;~0~;~1).
	
	\begin{center}
		
		\includegraphics[scale=0.3]{0ieme_33_equations_cartesiennes_d_un_plan_01}
		
	\end{center}
	
	L'objectif de cet exercice est de calculer l'aire du triangle ABC.
	
	\begin{enumerate}
		\item
		\begin{enumerate}
			\item Montrer que le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}3\\2\\6\end{pmatrix}$ est normal au plan (ABC).
			\item En déduire qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est : $3x + 2y + 6z - 6 = 0$.
		\end{enumerate}
		\item  On note $d$ la droite passant par O et orthogonale au plan (ABC).
		\begin{enumerate}
			\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$.
			\item Montrer que la droite $d$ coupe le plan (ABC) au point H de coordonnées $\left(\frac{18}{49}~;~\frac{12}{49}~;~\frac{36}{49}\right)$.
			\item Calculer la distance OH.
		\end{enumerate}
		\item  On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par: $V = \dfrac{1}{3}\mathcal{B}h$, où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une
		base et $h$ est la hauteur de la pyramide correspondant à cette base.
		
		En calculant de deux façons différentes le volume de la pyramide OABC, déterminer l'aire du triangle ABC.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		\begin{enumerate}
			
			\item $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix}
				-2 \\ 3 \\ 0
			\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix}
				-2 \\ 0 \\ 1
			\end{pmatrix}$
			
			On a bien $\vec{n} \cdot \overrightarrow{AB}=\vec{n} \cdot \overrightarrow{AC}=0$.
			
			\item $3x+2y+6z+d=0$ puis $d=-6$.
			
			On peut aussi simplement vérifier que les coordonnées des points $A$, $B$ et $C$ vérifient l'équation cartésienne proposée.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item $d$ est dirigée par $\vec{n}$ et passe par $O$ donc \[ d:\ \left\{ \begin{array}{rcl}
				x &=& 3t \\ 
				y &=& 2t \\ 
				z &=& 6t
			\end{array} \right.,\ t\in\mathbb{R} \]
			
			\item Pour $t=\frac{6}{49}$ on obtient les coordonnées de $H$ avec la représentation paramétrique.
			
			En injectant dans l'équation cartésienne les coordonnées de $H$ on vérifie que  $H$ appartient aussi au plan.
			
			Ainsi $H \in d \cap (ABC)$.
			
			\item Le repère étant orthonormé $OH=\frac{1}{49} \times 42$.
		\end{enumerate}
		
		\item $\mathcal{V}=\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} OA \times OB \times OC=1$.
		
		Or $\mathcal{V}= \frac{1}{3} \mathcal{A} \times OH$ donc $\mathcal{A}=\frac{3 \mathcal{V}}{OH}= \frac{147}{42}$
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Bac 2021 Asie 7 juin 2021
		
	\end{notabene}
	
	On considère un cube ABCDEFGH d'arête 8 cm et de centre $\Omega$. Les points P, Q et R sont définis par $\overrightarrow{\text{AP}} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow{\text{AB}}$, $\overrightarrow{\text{AQ}} = ~\dfrac{3}{4}\overrightarrow{\text{AE}}$ et $\overrightarrow{\text{FR}} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow{\text{FG}}$. On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath},~\overrightarrow{k}\right)$ avec : $\overrightarrow{\imath} = \dfrac{1}{8}\overrightarrow{\text{AB}},\, \overrightarrow{\jmath}= \dfrac{1}{8}\overrightarrow{\text{AD}}$ et $\overrightarrow{k} = \dfrac{1}{8}\overrightarrow{\text{AE}}$.
	
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.3]{0ieme_33_equations_cartesiennes_d_un_plan_02.png}
	\end{center}
	
	\textbf{Partie I}
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}
		\item Dans ce repère, on admet que les coordonnées du point R sont (8~;~2~;~8). 
		
		Donner les coordonnées des points P et Q.
		\item Montrer que le vecteur $\overrightarrow{n}(1~;~-5~;~1)$ est un vecteur normal au plan (PQR).
		\item Justifier qu'une équation cartésienne du plan (PQR) est $x - 5y + z - 6 = 0$.
	\end{enumerate}
	
	\bigskip
	
	\textbf{Partie II}
	
	\medskip
	
	On note L le projeté orthogonal du point $\Omega$ sur le plan (PQR).
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que les coordonnées du point $\Omega$ sont (4~;~4~;~4).
		\item Donner une représentation paramétrique de la droite $d$ perpendiculaire au plan (PQR) et passant par $\Omega$.
		\item Montrer que les coordonnées du point L sont $\left(\dfrac{14}{3}~;~ \dfrac{2}{3}~;~\dfrac{14}{3}\right)$
		\item Calculer la distance du point $\Omega$ au plan (PQR).
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Bac 2021 asie 8 juin
		
	\end{notabene}
	
	{\hspace*{-0cm}
		\begin{tabular}{m{8cm}m{4cm}}
			On considère un pavé droit ABCDEFGH tel que AB = AD = 1 et AE = 2, représenté ci- dessous.
			
			Le point I est le milieu du segment [AE]. Le point K est le milieu du segment [DC]. Le point L
			est défini par: $\overrightarrow{\text{DL}} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow{\text{AI}}$. N est le projeté orthogonal du point D sur le plan (AKL).
			
			\medskip	
			On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}},~\overrightarrow{\text{AD}},~\overrightarrow{\text{AI}}\right)$. 
			
			On admet que le point L a pour coordonnées $\left(0~;~1~;~\dfrac{3}{2}\right)$.
			
			&
			\includegraphics[scale=0.3]{0ieme_33_equations_cartesiennes_d_un_plan_03.png}
		\end{tabular}
	}
	
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\text{AK}}$ et $\overrightarrow{\text{AL}}$.
		\item  
		\begin{enumerate}
			\item Démontrer que le vecteur $\overrightarrow{n}$ de coordonnées $(6~;~-3~;~2)$ est un vecteur normal au plan (AKL).
			\item En déduire une équation cartésienne du plan (AKL).
			\item Déterminer un système d'équations paramétriques de la droite $\Delta$ passant par D et
			perpendiculaire au plan (AKL).
			\item En déduire que le point N de coordonnées $\left(\dfrac{18}{49}~;~\dfrac{40}{49}~;~\dfrac{6}{49}\right)$ est le projeté orthogonal du point D sur le plan (AKL).
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
	
	On rappelle que le volume $\mathcal{V}$ d'un tétraèdre est donné par la formule : 
	
	\[\mathcal{V} = \dfrac{1}{3}\times  (\text{aire de la base}) \times \text{hauteur}.\]
	
	\begin{enumerate}
		\setcounter{enumi}{2}
		\item 
		\begin{enumerate}
			\item Calculer le volume du tétraèdre ADKL en utilisant le triangle ADK comme base. 
			\item Calculer la distance du point D au plan (AKL).
			\item Déduire des questions précédentes l'aire du triangle AKL.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\overrightarrow{AK} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AL} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \frac{3}{2} \end{pmatrix}$.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			
			\item $\overrightarrow{AK}$ et $\overrightarrow{AL}$ forment une base de $(AKL)$. Avec les coordonnées: $\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AK} = \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AL} =0$. Donc $\overrightarrow{n}$ est normal à $(AKL)$.
			
			\item $\overrightarrow{n}$ est normal à $(AKL)$ donc une équation cartésienne de la forme $6x-3y+2z+d=0$. De $A \in (AKL)$ on déduit $d=0$. $(AKL):\ 6x-3y+2z=0$.
			
			\item $\Delta $ perpendiculaire à $(AKL)$ et $\overrightarrow{n}$ orthogonal à $(AKL)$ donc $\overrightarrow{n}$ est vecteur directeur de $\Delta$.
			
			$\Delta$ passe ar $D$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{n}$ donc \[ \Delta: \ \left\{ \begin{array}{l} x=6t\\ y=-3t+1 \\ z= 2t \end{array} \right. \]
			
			\item $N \left( 3 \times \frac{3}{49}; -3 \times \frac{3}{49} +1 ; 2 \times \frac{3}{49} \right)$ donc $N \in \Delta$.
			
			$6x_N-3y_N+2z_N=0$ donc $N \in (AKL)$.
			
			Comme $D \in \Delta$, $N \in \Delta \cap (AKL)$ et $\Delta$ perpendiculaire à $(AKL)$, $N$ est le projeté orthogonal de $D$ sur $(AKL)$.
			
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item $\mathscr{V}=\frac{1}{8}$.
			
			\item $d\left( (AKL); D \right)= DN= \left\| \overrightarrow{DN} \right\| = \sqrt{x_{\overrightarrow{DN}}^2 + y_{\overrightarrow{DN}}^2 + z_{\overrightarrow{DN}}^2}= \frac{21}{7}$.
			
			\item $\mathscr{A}=3 \times \frac{1}{ND} \mathscr{V} = \frac{1}{8}$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		bac 2021 métropole 7 juin
		
	\end{notabene}
	
	
	\begin{minipage}[]{7.5cm}
		Dans un repère orthonormé $\left( O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right)$ on considère
		
		\begin{itemize}
			\item [$\bullet$] le point A de coordonnées (1~;~3~;~2),
			
			\item[$\bullet$]le vecteur $\overrightarrow{u}$ de coordonnées $\begin{pmatrix} 1\\1\\0\\\end{pmatrix}$
			
			\item[$\bullet$] la droite $d$ passant par l'origine O du repère et admettant pour vecteur directeur $\overrightarrow{u}$. 
		\end{itemize}
		
		Le but de cet exercice est de déterminer le point de $d$ le plus proche du point A et d’étudier quelques propriétés de ce point.
		
		On pourra s’appuyer sur la figure ci-contre pour raisonner au fur et à mesure des questions.
	\end{minipage}
	\begin{minipage}[]{7cm}
		\includegraphics[scale=0.3]{0ieme_33_equations_cartesiennes_d_un_plan_04.png}
		
	\end{minipage}
	
	
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$. 
		
		\item Soit $t$ un nombre réel quelconque, et $M$ un point de la droite $d$, le point $M$ ayant pour coordonnées $(t~;~t~;~0)$. 
		\begin{enumerate}
			\item  On note A$M$ la distance entre les points A et $M$. Démontrer que: 
			
			\[AM^2 = 2t^2 - 8t+ 14.\] 
			
			\item Démontrer que le point $M_0$ de coordonnées $(2~;~2~;~0)$ est le point de la droite $d$ pour lequel la distance $AM$ est minimale. 
			
			On admettra que la distance $AM$ est minimale lorsque son carré $AM^2$ est minimal. 
		\end{enumerate}
		\item Démontrer que les droites $(AM_0)$ et $d$ sont orthogonales. 
		
		\item On appelle $A'$ le projeté orthogonal du point $A$ sur le plan d'équation cartésienne $z = 0$. Le point $A'$ admet donc pour coordonnées $(1~;~3~;~0)$. 
		
		Démontrer que le point $M_0$ est le point du plan $(AA'M_0)$ le plus proche du point O, origine du repère. 
		
		\item Calculer le volume de la pyramide $OM_0A'A$. 
		
		On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par: $V = \frac{1}{3}\mathcal{B}h$, où $\mathcal{B}$ est l'aire  
		
		d'une base et $h$ est la hauteur de la pyramide correspondant à cette base. 
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{itemize}
		\item Baccalauréat S Amérique du Nord 
		30 mai 2013. Exercice 1.
		
		\item Baccalauréat S Liban 28 mai 2013. Exercice1 qCM.
		
	\end{itemize}
	
\end{exercice}



\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\draw (O) node {$\bullet$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\draw (I) node {$\bullet$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	\draw (J) node {$\bullet$};
	%Graduations
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Rectangle en coin.}

\begin{tikzpicture}
	\def\xangledroit{0};
	\def\yangledroit{0};
	\def\longueurangledroit{0.5};
	\draw[fill=green!30,rotate around={{20}:({\xangledroit},{\yangledroit})}] ({\xangledroit},{\yangledroit}) rectangle ({\xangledroit+\longueurangledroit},{\yangledroit+\longueurangledroit});
\end{tikzpicture}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}