%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/0ieme.html}{07 Continuité} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour abrege
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}\exclure{culturegenerale}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene}

%Pour les exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour les correction d'exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{07 Continuité.}

\begin{notabene}
	
	Introduire la continuité sur une discontinuité. On voit que quand on se rapproche par la droite et la gauche ce n'est pas la même valeur. Du coup quand ça se passe bien même limite et donc juste limite. Nous avons la définition.
	
\end{notabene}

\subsection{Continuité: définition.}

\subsubsection{Définition.}

\begin{lecon}
	
	Pour donner des définitions propres nous aurons besoin de pouvoir dire qu'un nombre $a$ n'est pas sur une borne de l'ensemble $\mathscr{D}$. Pour cela nous dirons que le nombre $a$ est \emph{\color{purple}intérieur à $\mathscr{D}$} s'il existe un voisinage ouvert de $a$ inclus dans $\mathscr{D}$.
	
\end{lecon}

\begin{definition}{}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\mathscr{D} \subset \mathbb{R}$,
		\item $a$ un point intérieur à $\mathscr{D}$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Une application $f$ est dite \emph{\color{purple}continue en} $a \in \mathscr{D}$ si et seulement si $\displaystyle \lim_a f=f(a)$.
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Nous dirons que \emph{\color{purple}$f$ est continue sur $\mathscr{D}$} si et seulement si $f$ est continue en tout point de $\mathscr{D}$.
		
		\item Cette définition ne permet pas de définir la continuité en $a$ lorsque $\mathscr{D}=[a,b]$.
		
		\item {\color{orange}Graphiquement une fonction est continue sur un intervalle si sa courbe représentative peut être tracée sans lever le stylo.}
		
		\item Comme la dérivation ou la croissance, la continuité est une propriété locale: il faut regarder ce qui se passe au voisinage d'un point.
		
		\item Une fonction sera dite \emph{\color{purple}discontinue} si et seulement si elle n'est pas continue.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{notabene}
			
			Fonction continue graphiquement.
			
		\end{notabene}
		
		\item 
		
		\begin{notabene}
			
			Fonction avec un point en moins graphiquement.
			
		\end{notabene}
		
		\item La fonction partie entière n'est continue en aucun point de $\mathbb{Z}$.
		
		\item Les fonctions affines sont continues sur $\mathbb{R}$.
		
		\item La fonction inverse n'est pas continue sur $\mathbb{R}$ mais elle est continue sur son domaine de définition $\mathbb{R}^*$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{proposition}{ - Caractérisation de la continuité.}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\mathscr{D} \subset \mathbb{R}$,
		\item $a$ un point intérieur à $\mathscr{D}$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	$f$ est continue en $a$ si et seulement si $f$ admet des limites réelles à droite et à gauche en $a$ égales à $f(a)$.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item Supposons $f$ continue en $a$.
		
		Soient $\alpha$ et $\beta$ des réels tels que $\alpha <a<\beta$.
		
		Puisque $]\alpha,\beta[$ est un voisinage ouvert de $a$ et que $f$ est continue en $a$, il existe un voisinage ouvert $I$ de $a$ tel que: $\forall x \in I,\ f(x)\in]\alpha,\beta[$.
		
		Donc: $\forall x \in I\cap ]-\infty,a[,\ f(x)\in]\alpha,\beta[$.
		
		Autrement dit $\lim_{\begin{subarray}{c} x \to a \\ x>a\end{subarray}} f(x)=f(a)$.
		
		De même  $\lim_{\begin{subarray}{c} x \to a \\ x<a\end{subarray}} f(x)=f(a)$.
		
		\item Réciproquement, supposons que $f$ admet en $a$ des limites à droite et à gauche égales à $f(a)$.
		
		Soient $\alpha$ et $\beta$ des réels tels que $\alpha <a<\beta$.
		
		Puisque $\lim_{\begin{subarray}{c} x \to a \\ x>a\end{subarray}} f(x)=f(a)$, il existe un voisinage ouvert $I_d$ de $a$ tel que: $\forall x \in I_d \cap ]a,+\infty[,\ f(x)\in ]\alpha,\beta[$.
		
		De même de $\lim_{\begin{subarray}{c} x \to a \\ x>a\end{subarray}} f(x)=f(a)$, nous déduisons l' existence d'un voisinage ouvert $I_g$ de $a$ tel que: $\forall x \in I_g \cap ]-\infty,a[,\ f(x)\in ]\alpha,\beta[$.
		
		$I_d \cap I_g$ est un voisinage ouvert de $a$ et: $\forall x \in I_g \cap I_d,\ f(x)\in ]\alpha,\beta[$.
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Nous en déduisons en particulier par contraposition que: {\color{orange}si $f$ n'admet pas de limite à droite ou à gauche en $a$ alors $f$ n'est pas continue en $a$}. C'est une méthode à retenir pour montrer qu'une fonction n'est pas continue en un point.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{lecon}
	
	\medskip
	Notre définition de la continuité nécessite de regarder un voisinage autour de $a$. Ce n'est pas toujours possible: $g:\left\{ \begin{array}{ccl} [0;1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ x \mapsto x^2 \end{array} \right.$ est continue sur $]0;1[$ mais nous ne pouvons pas dire si elle continue en $0$.
	
	Pourtant la fonction carré étant continue  sur $\mathbb{R}$ il serait cohérent que nous puisions dire que $g$ est continue en $0$.
	
\end{lecon}

\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $a$ et $b$ des réels tels que $a<b$,
		\item $f$ une application définie sur $[a,b[$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous dirons que $f$ est continue en $a$ si et seulement si $f(x) \underset{\begin{subarray}{c} x \to a \\ x>a \end{subarray}}{\longrightarrow} f(a)$.
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Nous pourrons donc dire que $f$ est continue sur $[a,b[$.
		
		\item Nous aurions la même chose en $b$ en considérant une limite par valeurs inférieures.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item La fonction racine carrée est continue en $0$.
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsubsection{Les fonctions continues de référence.}

\begin{proposition}{}
	
	Soit $n \in\mathbb{N}^*$.
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		
		\item La fonction $\displaystyle x \mapsto x^n$ est continue sur $\mathbb{R}$.
		
		\item La fonction valeur absolue est continue sur $\mathbb{R}$.
		
		\item La fonction $x \mapsto \sqrt{x}$ est continue sur $\mathbb{R}_+$.
		
		\item Les fonctions sinus et cosinus sont continues sur $\mathbb{R}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item 
		\item 
		\item
		\item Ne peut être démontré (simplement) avec la définition vue pour cosinus et sinus.
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\subsubsection{Opérations sur les fonctions continues.}

\begin{proposition}{ - opérations sur les fonctions continues.}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $I$ un intervalle ouvert,
		
		\item $a \in I$,
		
		\item $f$ et $g$ des fonctions continues en $a$,
		
		\item $\lambda \in \mathbb{R}$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $\lambda f+ g$ est continue en $a$.
		
		\item $f \times g$ est continue en $a$.
		
		\item Si $g$ ne s'annule pas au voisinage de $a$, alors $\frac{1}{g}$ est continue en $a$.
		
		\item Si $g$ ne s'annule pas au voisinage de $a$, alors $\frac{f}{g}$ est continue en $a$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{corollaire}
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Toutes les fonctions polynomiales sont continues sur $\mathbb{R}$.
		
		\item Toutes les fonctions rationnelles sont continues sur leur domaine de définition.
		
		\item La fonction tangente est continue sur son domaine de définition.
		
	\end{enumerate}
	
\end{corollaire}

\begin{preuve}{}
	
	\begin{enumerate}
		\item D'après la proposition 2les $x \mapsto x^n$ sont continues donc d'après la proposition3 toute combinaison linéaire de ces fonction l'est aussi.
		
		\item En utilisant le point précédent et le $(iv)$ de la proposition 3.
		
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\begin{proposition}{ - Continuité et composition.}
	
	Si $f$ est continue en $a$ et si $g$ est continue en $f(a)$ alors $g \circ f$ est continue en $a$.
	
\end{proposition}

\subsubsection{Une condition suffisante de continuité.}

\begin{proposition}{ - condition suffisante de continuité.}
	
	Si $f$ est dérivable en $a$ alors $f$ est continue en $a$.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	$f$ est dérivable en $a$ si et seulement si il existe un réel $d$ et une fonction $\varepsilon$ telle que $f(x)=f(a)+d(x-a)+(x-a)\varepsilon(x)$ et $\lim_{x \to a} \varepsilon(x)=0$.
	
	Donc si $f$ est dérivable $\lim_{x \to a} f(x)=f(a)$.
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item La réciproque est fausse. C'est pour cela que l'on parle de condition suffisante: la continuité n'impose pas de façon nécessaire la dérivabilité de la fonction. Le contre exemple usuel est celui de la fonction valeur absolue en $0$. Il y a le même phénomène avec la fonction racine cubique en $0$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{corollaire}{}
	
	$\exp$ est continue sur $\mathbb{R}$.
	
\end{corollaire}

\begin{preuve}
	
	Par construction de $\exp$ (comme solution d'une équation différentielle), $\exp$ est dérivable, donc elle est continue.
	
\end{preuve}

\subsection{Suite image.}

\begin{proposition}{}
	
	Soient:
	\begin{enumerate}[.]
		\item $I$ un intervalle ouvert de $\mathbb{R}$,
		\item $\ell \in \overline{I}$,
		\item $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite d'éléments de $I$ convergeant vers $\ell$,
		\item $f:I \rightarrow \mathbb{R}$ une application.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Si $f$ est continue au voisinage de $\ell$ alors $(f(u_n))$ converge et $\lim_{n\to + \infty} f(u_n)=f(\ell)$.
		
		\item Si $f$ est continue sur $I$, et si, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n\in I$, $f(u_n)=u_{n+1}$  alors $f(\ell)=\ell$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\item Le deuxième point de la proposition est appelé le théorème du point fixe. Pour une suite définie par une formule de récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$ l'éventuelle limite de la suite est à chercher parmi les solutions de l'équation $f(x)=x$.
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsection{Exercices.}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Montrer qu'une fonction qui est un raccordement est continue.
		
	\end{notabene}
	
	Démontrez que $\displaystyle f: x \mapsto \left\{ \begin{array}{l} 2 \mathrm{e}^{-\dfrac{1}{x^2}} \text{ si } x \ne0 \\ 0 \text{ sinon} \end{array} \right.$ est continue en $0$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Montrer qu'une fonction n'est pas continue
		
	\end{notabene}
	
	Démontrez que $\displaystyle f:x \mapsto \left\{ \begin{array}{l}\mathrm{e}^{-\dfrac{1}{x}} \text{ si } x\ne 0 \\ 0 \text{ sinon} \end{array} \right.$ n'est pas continue en $0$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Montrer qu'une fonction qui est un raccordement n'est pas continue.
		
	\end{notabene}
	
	Soit $f:x \mapsto \left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{\mathrm{e}^x-1}{x}, & \text{si } x\ne 0 \\ 0, & \text{si } x=0 \end{array} \right.$
	
	Montrez que $f$ n'est pas continue en $0$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Montrer qu'une fonction qui est un raccordement est continue.
		
	\end{notabene}
	
	Soit $a$ un entier strictement positif et $f_a$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par: \[ f_a(x)= \left\{ \begin{array}{ll} x^a & \text{si }x \geqslant 0\\ -|x|^a & \text{si }x<0 \end{array} \right. . \]
	
	Montrer que $f_a$ est continue et impaire.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item Le domaine de définition est symétrique par rapport à $0$ et $|-x|=|x|$ donc $f_a$ est impaire.
		
		\item Si $a$ est impair alors $f_a(x)=x^a$ donc $f_a$ est continue.
		
		
		Si $a$ est pair alors $f_a=x^a$ sur $\mathbb{R}_+^*$ donc est continue sur $\mathbb{R}_+^*$.
		
		Si $a$ est pair alors $f_a=-x^a$ sur $\mathbb{R}_-^*$ donc $f_a$ est continue sur cet ensemble.
		
		$\lim_{x \to 0} -|x|^a =0$ et $\lim_{x \to 0} |x|^a=0$ donc continue en $0$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		CNED 2000 page 56 exercice 1.1
		
	\end{notabene}
	
	Dans chacun des cas suivants étudiez le continuité de $f$ en $a$.
	
	\begin{enumerate}
		\item $a=2$ et $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{3x^2-7x+2}{x-2}$ pour $x \ne 2$ et $f(2)=5$.
		
		\item $a=1$ et $f$ est définie sur $[-1;+\infty[$ par: $f(x)=\dfrac{\sqrt{4x+5}-3}{x-1}$ pour $x \ne 1$ et $f(1)=\frac{1}{3}$.
		
		%\item $a=0$ et $f$ est définie sur $\left[ 0, \frac{\pi}{2} \right[$ par $f(x)=\frac{\sin(x)-2 \tan(x)}{x}$ pour $x \in \left]0, \frac{\pi}{2} \right[$ et $f(0)=-1$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		CNED 2000 page 56 exercice 1.2
		
	\end{notabene}
	
	Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)= \dfrac{x^2-x-6}{x+2}$ pour $x \ne -2$ et $f(-2)=0$. $f$ est-elle continue sur $\mathbb{R}$?
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$\lim_{x \to -2} f(x)=-5$ donc $f$ n'est pas continue sur $\mathbb{R}$.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		CNED 2000 page 56 exercice 1.3
		
	\end{notabene}
	
	Soient $a$ et $b$ deux réels, on donne la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par: \[ f(x)= \left\{ \begin{array}{ll} 2x^2+ax-1 &, \text{si } x\in ]-\infty,-1[\\ 3x-2 &, \text{si } x\in ]-1;2[ \\ b(x^2-5x+6) &\text{si } x\in [2,+\infty[ \end{array} \right. . \]
	
	Déterminez, si possible, les valeurs de $a$ et $b$ pour que $f$ soit continue sur $\mathbb{R}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$2-a-1=-3-2$ donc $a=6$ et $b(4-10+6)=0$ ne peut être égal à $3 \times 2-2=4$ donc il est impossible que $f$ soit continue sur $\mathbb{R}$.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		bordas indice 2020
		
		50 page 214
		
	\end{notabene}
	
	Soient $(u_n)$ la suite définie par $u_0=2$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout entier naturel $n$ où $f$ est la fonction définie  sur $[1;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{1+x}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Justifiez que $(u_n)$ est bien définie.
		
		\item Étudiez les variations de $f$ sur $[1;+\infty[$.
		
		\item Montrez que la suite $(u_n)$ est convergente.
		
		\item Déterminez la limite de $(u_n)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item Par récurrence: $\forall n \in \mathbb{N},\ u_n \geqslant 1$.
		
		\item $f$ est strictement croissante.
		
		\item $(u_n)$ est strictement décroissante et minorée par $1$ donc convergente.
		
		\item $\ell =\sqrt{1+\ell}$ donc $\ell^2=1+ \ell$. $\ell =\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$ donc $\ell=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	\begin{notabene}
		0ieme didier 2010 page 122 exo 70
	\end{notabene}
	
	Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie par $u_0=3$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}=\frac{1}{4} u_n^2$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Si $(u_n)$ converge quelles sont les valeurs possibles de sa limite $\ell$?
		
		\item Montrez que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $0\leqslant u_n \leqslant 3$.
		
		\item Étudiez le sens de variation de la suite $(u_n)$.
		
		\item Prouvez que $(u_n)$ converge et précisez sa limite.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{correction}
	
	\begin{enumerate}
		\item $x=\frac{1}{4}x^2 \Leftrightarrow x \in \left\{ 0; \frac{1}{4} \right\}$.
		
		\item $f:x \mapsto \frac{1}{4}x^2$ est croissante sur $[0;3]$ et $f(0)=0$ et $f\left(3 \right)= \frac{9}{4} \leqslant 3$.
		
		\item $f$ est croissante et $u_0\geqslant u_1=\frac{9}{4}$ donc décroissante.
		
		\item Converge vers $0$ car décroissante et $u_1<3$.
	\end{enumerate}
\end{correction}
\begin{exercice}{}
	
	On considère la suite définie par $u_{n+1}=u_n^2-u_n-5$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ et $u_0=1$.
	
	Si la suite converge quelle peut être sa limite?
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$x=x^2-x-5 \Leftrightarrow x^2-2x-5=0 \Leftrightarrow x \in \left\{ 1+\sqrt{6}; 1-\sqrt{6} \right\}$.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		0ieme didier 2010 page 123 exo 71
	\end{notabene}
	
	Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)= \dfrac{\mathrm{e}^x-1}{\mathrm{e}^x-x}$. On admet que $f$ est strictement croissante sur $[0;1]$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrez que pour tout $x \in [0;1]$, $f(x)$ appartient à $[0,1]$.
		
		\item Soit $D$ la droite d'équation $y=x$.
		\begin{enumerate}
			\item Montrez que $f(x)-x=\dfrac{(1-x)g(x)}{\mathrm{e}^x-x}$ où $g(x)$ est à déterminer.
			
			\item Du sens de variation de $g$ déduire le signe de $g(x)$ sur $[0;1]$.
			
			\item Déduisez-en la position relative  de $D$ et de la courbe $\mathscr{C}$ représentant $f$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=\dfrac{1}{2}$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=f(u_n)$.
		
		\begin{enumerate}
			\item Donnez une représentation graphique de $\mathscr{C}$ et $D$ puis dessinez les quatre premiers termes de la suite $(u_n)$.
			
			\item Montrez que, pour tout entier naturel $n$, $0\leqslant u_n \leqslant 1$ et $u_n\leqslant u_{n+1}$.
			
			\item Déduisez-en que $(u_n)$ converge et précisez sa limite.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $f$ est croissante sur $[0;1]$ donc si $0\leqslant x \leqslant 1$ alors $f(0) \leqslant f(x) \leqslant f(1)$. Or $f(0)=0$ et $f(1)=1$ donc $f(x) \in [0;1]$.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Soit $x \in [0;1]$.
			
			\begin{align*}
				f(x)-x &= \frac{\mathrm{e}^x-1}{\mathrm{e}^{x}-x}-x\\
				&= \frac{\mathrm{e}^x-1-x(\mathrm{e}^x-x)}{\mathrm{e}^{x}-x}\\
				&= \frac{\mathrm{e}^x-1-x\mathrm{e}^x+x^2}{\mathrm{e}^{x}-x}\\
				&= \frac{\mathrm{e}^x(1-x)+x^2-1}{\mathrm{e}^{x}-x}\\
				&= \frac{\mathrm{e}^x(1-x)+(x-1)(x+1)}{\mathrm{e}^{x}-x}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				$\forall x \in [0;1],\ f(x)-x= \frac{(1-x) \left( \mathrm{e}^x-x-1\right)}{\mathrm{e}^{x}-x}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item $g'(x)=\mathrm{e}^x-1>0$ donc $g$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}_-$ et strictement croissante sue $\mathbb{R}_+$.
			
			On en déduit: $\forall x \in [0;1],\ g(x)\geqslant g(0)=0$.
			
			\begin{conclusion}
				$g\geqslant 0$ sur $[0;1]$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item $\mathrm{e}^x-x-1>0$ (car, par convexité $\mathrm{e}^x>x+1$, tangente en $0$), $g(x)\geqslant 0$ et $1-x>0$ pour $x \in [0;1]$.
			
			Ainsi $f(x)-x\geqslant 0$ pour tout $x \in [0;1]$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{C}$ est au-dessus de $D$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item ~			
			
			\begin{center}
				
				\begin{tikzpicture}[xscale=5,yscale=5]
					%extremites du graphique
					\def\xcoinbasgauche{0};
					\def\xcoinhautdroit{1};
					\def\ycoinbasgauche{0};
					\def\ycoinhautdroit{1};
					%Les deux grilles
					\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
					%\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
					%Les deux axes
					\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
					\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
					%repere orthonorme
					\coordinate (O) at ({0},{0});
					\draw (O) node[below left] {$O$};
					\coordinate (I) at ({1},{0});
					\draw (I) node[below left] {$I$};
					\coordinate (J) at ({0},{1});
					\draw (J) node[below left] {$J$};
					%fonction
					\draw[orange, thick][samples=100,domain=0:1] plot({\x},{(exp(\x)-1)/(exp(\x)-\x)});
					\draw [orange] (0.6,0.8) node {$\mathscr{C}$};
					\draw[red, thick][samples=100,domain=0:1] plot({\x},{\x});
					\draw [red] (0.4,0.3) node {$D$};
					%Points
					\foreach \a in { {1/2},{(exp(1/2)-1)/(exp(1/2)-1/2)}, {(exp((exp(1/2)-1)/(exp(1/2)-1/2))-1)/(exp((exp(1/2)-1)/(exp(1/2)-1/2))-(exp(1/2)-1)/(exp(1/2)-1/2))},{(exp((exp((exp(1/2)-1)/(exp(1/2)-1/2))-1)/(exp((exp(1/2)-1)/(exp(1/2)-1/2))-(exp(1/2)-1)/(exp(1/2)-1/2)))-1)/(exp((exp((exp(1/2)-1)/(exp(1/2)-1/2))-1)/(exp((exp(1/2)-1)/(exp(1/2)-1/2))-(exp(1/2)-1)/(exp(1/2)-1/2)))-(exp((exp(1/2)-1)/(exp(1/2)-1/2))-1)/(exp((exp(1/2)-1)/(exp(1/2)-1/2))-(exp(1/2)-1)/(exp(1/2)-1/2)))}} { \draw [blue, thick] ({\a},0) node{$\times$};}
					\def\A{(exp(1/2)-1)/(exp(1/2)-1/2)};
					\def\B{(exp((exp(1/2)-1)/(exp(1/2)-1/2))-1)/(exp((exp(1/2)-1)/(exp(1/2)-1/2))-(exp(1/2)-1)/(exp(1/2)-1/2))};
					\def\C{(exp((exp((exp(1/2)-1)/(exp(1/2)-1/2))-1)/(exp((exp(1/2)-1)/(exp(1/2)-1/2))-(exp(1/2)-1)/(exp(1/2)-1/2)))-1)/(exp((exp((exp(1/2)-1)/(exp(1/2)-1/2))-1)/(exp((exp(1/2)-1)/(exp(1/2)-1/2))-(exp(1/2)-1)/(exp(1/2)-1/2)))-(exp((exp(1/2)-1)/(exp(1/2)-1/2))-1)/(exp((exp(1/2)-1)/(exp(1/2)-1/2))-(exp(1/2)-1)/(exp(1/2)-1/2)))};
					\draw [black] ({1/2},0) -- ({1/2},{\A}) -- ({\A},{\A}) -- ({\A}, {\B}) -- ({\B},{\B}) -- ({\B},{\C}) -- ({\C},{\C});
					\draw [dashed] (({\A},0) -- ({\A},{\A});
					\draw [dashed] (({\B},0) -- ({\B},{\B});
					\draw [dashed] (({\C},0) -- ({\C},{\C});
					%Tangentes horizontales
					%\def\longueurtangente{0.7};
					%\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
					%Ligne définie par des points
					%\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
				\end{tikzpicture}
				
			\end{center}
			
			\item Par récurrence. L'hérédité de $0\leqslant u_n \leqslant 1$ découle de la question 1. L'hérédité de $0\leqslant u_{n+1}$ découle de $f$ croissante.
			
			\item Théorème limite monotone.
			
			Conjecture graphique: converge vers $1$.
			
			\begin{align*}
				f(x)=x &\Leftrightarrow f(x)-x=0\\
				&\leftrightarrow 1-x=0 \text{ ou } g(x)=0\\
				&\Leftrightarrow x=1 \text{ ou } x=0
			\end{align*}
			
			Puisque $u_0=\frac{1}{2} $ et que $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est croissante, $\forall n\in \mathbb{N},\ u_n \geqslant \frac{1}{2}$. par conséquent la limite de $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ ne peut être que $1$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}	
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Sujets de bac:
	
	\begin{enumerate}
		\item Métropole 21 mars 2023 exercice 2 partie B.
		
		\item Polynésie 30 août 2022. Exercice 2.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\subsection{Fonctions prolongeables par continuité.}

\begin{lecon}
	
	La fonction $f:x \mapsto x\ln(x)$ n'est pas définie en zéro mais nous savons que $\lim_{\begin{subarray}{c} x \to 0 \\ x>0 \end{subarray}} x^2\ln(x)=0$. Autrement dit par passage à la limite par valeur supérieures nous obtenons une limite. Nous dirons que $f$ est \emph{\color{purple}prolongeable par continuité en} $0$ et alors $f(0)=\lim_{\begin{subarray}{c} x \to 0 \\ x>0 \end{subarray}} x^2\ln(x)=0$.
	
\end{lecon}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Prolongeable par continuité en un point qui est au milieu du domaine de définition.
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Montrer qu'une fonction est prolongeable par continuité.
		
	\end{notabene}
	
	Soit $f: x\mapsto 3\mathrm{e}^{-\frac{1}{\sqrt{x}}}$. Déterminez le domaine de définition de $f$ puis démontrez que $f$ est prolongeable par continuité en $0$.
	
\end{exercice}



\subsection{Théorème des valeurs intermédiaires.}

\begin{theoreme}{ - des valeurs intermédiaires.}
	
	Soient:
	\begin{enumerate}[.]
		\item $a$ et $b$ des réels avec $a<b$,
		
		\item $f$ une fonction définie et continue sur $[a,b]$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip	
	Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ il existe un réel $c \in [a,b]$ tel que $f(c)=k$.
	
\end{theoreme}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Si $f$ est continue sur le segment $[a,b]$ alors $f$ atteint toutes les valeurs comprises entre $f(a)$ et $f(b)$.
		
		\item Si $f$ est continue sur $[a,b]$ alors $f$ est bornée et atteint ses bornes.
		
		\item L'image continue d'un intervalle $I$ est un intervalle noté $f(I)$.
		
		De plus l'image continue d'un intervalle fermé borné est un intervalle fermé borné.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{}
	
	Soit $f:x \mapsto \dfrac{x^2-8}{x^2+1}$ une fonction définie sur $[0;1]$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculez $f(0)$ et $f(1)$.
		
		\item Justifiez que l'équation $f(x)=-5$ admet au moins une solution dans $[0;1]$.
		
		\item Les plus braves déterminerons l'ensemble des antécédents de $-5$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Démontrez que l'équation $\sqrt{x}+\mathrm{e}^x-2=1$ admet au moins une solution dans $\mathbb{R}$.
	
\end{exercice}

\subsubsection{Cas des fonctions monotones.}

\begin{lecon}
	
	Les différentes images continues d'intervalles.
	
	Soit $f$ une fonction continue et monotone sur un intervalle $I$. $a$ et $b$ sont dans $\mathbb{R} \cup \{ + \infty, -\infty\}$ suivant les cas.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|m{1cm}|X|X|}
			\hline
			\[I\] & Croissante sur $I$, alors $f(I)=$ & Décroissante sur $I$, alors $f(I)=$
			\\
			\hline
			&&\\
			$[a,b]$ & $\displaystyle [f(a),f(b)]$ & $\displaystyle [f(b),f(a)]$
			\\
			&&\\
			\hline
			&&\\
			$[a,b[$ & $\displaystyle \left[f(a),\lim_{x \to b} f(x) \right[$ & $\displaystyle \left]\lim_{x \to b}f(x),f(a) \right]$
			\\
			&&\\
			\hline
			&&\\
			$]a,b]$ & $\displaystyle \left] \lim_{x \to a} f(x),f(b) \right]$ & $\displaystyle \left[f(b),\lim_{x \to a}f(x) \right[$
			\\
			&&\\
			\hline
			&&\\
			$]a,b[$ & $\displaystyle \left] \lim_{x \to a}f(x), \lim_{x \to b}f(x) \right[$ & $\displaystyle \left] \lim_{x \to b}f(x), \lim_{x \to a}f(x)\right[$
			\\
			&&\\
			\hline
		\end{tabularx}
		
	\end{center}
	
\end{lecon}

\begin{exercice}{}
	
	Déterminez $f(]2;+\infty[)$ lorsque $f:x \mapsto \exp \left( \dfrac{1}{x^2-4}\right)$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$f$ est dérivable sur $]2,+\infty[$ (donc continue) et $f'(x)=-\frac{2x}{(x^2-4)^2} \mathrm{e}^{1/(x^2-4)}<0$. $f$ est décroissante.
	
	$\lim_{\begin{subarray} x \to 2 \\ x>2 \end{subarray}} f(x)= +\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x)=0$.
	
	Enfin: $f(]2,+\infty[)= ]0,+\infty[$.
	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Cas des fonctions strictement monotones.}

\begin{corollaire}{ - Unicité de l'antécédent.}
	
	Soient:
	\begin{enumerate}[.]
		\item $a$ et $b$ des réels avec $a<b$,
		
		\item $f$ une fonction définie sur $[a,b]$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Si $f$ continue est strictement monotone sur $[a,b]$ alors pour tout $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$ il existe un unique $c \in [a,b]$ tel que $f(c)=k$.
	
\end{corollaire}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Pour $k=0$ alors il suffit de s'assurer que la fonction est continue, strictement monotone et que $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes contraires pour affirmer l'existence d'une solution à l'équation $f(x)=0$. Pour montrer que que $f(a)$ et $f(b)$ sont de signe contraire il suffit de vérifier que $f(a)f(b)<0$.
		
		\item On peut étendre le corollaire en travaillant avec des intervalles semi-ouverts ou ouverts ($]a,b]$, $[a,b[$, $]a,b[$) $a$ et $b$ étant pris dans $\mathbb{R} \cup \{ +\infty, -\infty\}$. Dans ce cas on considère $\lim_af$ et $\lim_bf$ à la place de $f(a)$ et $f(b)$. \emph{Confer supra}.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Bordas indice 2020
		
		53 page 215
		
	\end{notabene}
	
	Soit $f :x \mapsto x^3-6x+1$ une fonction définie sur $[-2;+\infty[$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrez que l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution.
		
		\item Montrez que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution dans $[2;+\infty[$	.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Bordas indice 2020
		
		54 page 215
		
	\end{notabene}
	
	Soit $f :x \mapsto x^3-8x+1$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$.
	
	Montrez que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $[-1;1]$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Bordas indice 2020
		
		54 page 215
		
	\end{notabene}
	
	Soit $f :x \mapsto 4x^5+2x-2$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrez que l'équation $f(x)=8$ admet une unique solution que nous noterons $\alpha$.
		
		\item Déterminez un encadrement de $\alpha$ à $10^{-2}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\subsection{Exercices.}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Bordas indice 2020
		
		65 page 216
		
	\end{notabene}
	
	Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par \[ g(x)=2x^3-3x^2-1. \]
	
	\begin{enumerate}
		\item Étudiez les variations de $g$.
		
		\item Montrez que l'équation $g(x)=0$ admet sur $\mathbb{R}$ une unique solution $\alpha$. Donnez un encadrement de $\alpha$ à $0,1$ près.
		
		\item Déterminez le signe de $g(x)$ sur $\mathbb{R}$.
		
		\item Soit $f$ la fonction définie sur $]-1;+\infty[$ par: \[ f(x)= \frac{1-x}{x^3+1}. \]
		
		\begin{enumerate}
			\item Calculez $f'(x)$ puis exprimez $f'(x)$ en fonction de $g(x)$.
			
			\item Déduisez-en le signe de $f'(x)$ puis les variations de $f$ sur $]-1,+\infty[$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $g'(x)=6x^2-6x=6x(x-1)$.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $6x$ /0.8, $x-1$ /0.8, $g'$ /0.8, $g$ /1.6}
				{$-\infty$ ,$0$,$1$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}%
				\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,}%
				\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}%
				\tkzTabVar {-/ $-\infty$, + / $-1$ , - / $-2$ /, + / $+\infty$ }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item Sur $]-\infty,1[$ admet un maximum local égale à $-1$.
		
		$g$ est continue sur $]1,+\infty[$ et strictement croissante donc $f(]1,+\infty[)=]-2,+\infty[$.
		
		Comme $0\in]-2,+\infty[$, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe $\alpha\in]1,+\infty[$ tel que $g(\alpha)=0$.
		
		Enfin $\alpha$ est l'unique solution de l'équation $g(x)=0$ dans $\mathbb{R}$
		.
		
		\item 
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $g$ /0.8}
				{$-\infty$,$\alpha$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,-,z,+,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item $f'(x)=\frac{-1 \times (x^3+1)-(1-x)\times 3x^2}{(x^3+1)^2}=\frac{2x^3-3x^2-1}{(x^3+1)^2}=\frac{g(x)}{(x^3+1)^2}$.
			
			\item 
						
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
					\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
					{$-1$ ,$\alpha$, $+\infty$}
					\tkzTabLine{,-,z,+,}%
					\tkzTabVar {+/ $+\infty$, - / $f(\alpha)$ , + / $0$ }
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}

\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		CNED 2000 page 57 exercice 1.5
		
	\end{notabene}
	
	Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}_+$ par: $f(x)=2x^3-\frac{5}{2}x^2-x+\frac{1}{2}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Étudiez les variations de $f$ sur $\mathbb{R}_+$.
		
		\item 
		Déterminez le nombre de solutions dans $\mathbb{R}_+$ de l'équation $f(x)=2$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item \objectif{Étudions les variations de $f$ sur $\mathbb{R}_+$.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			
			\item $f$ est polynomiale donc dérivable sur $\mathbb{R}_+$.
			
			\item Soit $x \in \mathbb{R}_+$.
			
			$f'(x)=3 \times 2x^2-2 \times \frac{5}{2}x-1=6x^2-5x-1$.
			
			\item $1$ est racine évidente du trinôme $6x^2-5x-1$ donc la seconde racine est $-\frac{1}{6}$.
			
			Enfin le trinôme est du signe de son coefficient dominant (ici $6$) sauf entre les racines.
			
			\item Soit $x \in \mathbb{R}_+$ avec $x>1$.
			
			$f(x)=x^3\left( 2-\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}+ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^3} \right)$.
			
			Or d'une part, par somme: $\lim_{x \to +\infty} 2-\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}+ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^3}=2$ et d'autre part $\lim_{x \to +\infty} x^3=+\infty$ donc, par produit: $\lim_{+\infty} f=+\infty$.
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
				{$0$,$1$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,-,z,+,}%
				\tkzTabVar {+/ $\frac{1}{2}$, -/ $-1$, + / $+\infty$ / }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item D'après le tableau de variation $f$ admet un maximum égale à $\frac{1}{2}$ qui est atteint en $0$. Nous en déduisons que $f(x)=2$ n'a pas de solution sur $[0;1]$.
			
			\item $f$ est continue sur $[1,+\infty[$ (car polynomiale).
			
			$f$ est strictement croissante sur $[1,+\infty[$.
			
			$f([1,+\infty[)= [ f(1), \lim_{x \to +\infty} f(x)[=[-1,+\infty[$.
			
			Comme $2 \in [-1,+\infty[$, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, $f(x)=2$ admet une unique solution sur $[1,+\infty[$.
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			$f(x)=2$ admet une unique solution dans $\mathbb{R}_+$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Bordas indice 2020
		
		66 page 216
		
	\end{notabene}
	
	Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par \[ f(x)=x^4+3x^2-5x+1. \]
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculez pour tout réel $x$, $f'(x)$ et $f''(x)$.
		
		\item Déterminez le signe de $f''(x)$ puis dressez le tableau de variation de $f'$.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Montrez que l'équation $f'(x)=0$ possède une unique solution $\alpha$ sur $\mathbb{R}$ donc on donnera en encadrement à $0,1$ près.
			
			\item Déduisez-en le signe de $f'$ sur $\mathbb{R}$
			
			\item Dressez le tableau de variation de $f$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $f$ est polynomiale donc indéfiniment dérivable et, pour $x \in \mathbb{R}$: $f'(x)=4x^3+6x-5$ puis $f''(x)=12x^2+6$.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item $\lim_{-\infty}f=-\infty$ et $\lim_{+\infty} f=+\infty$.
			
			\item Clairement $f''\geqslant 6>0$ donc $f'$ est strictement croissante.
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f''$ /0.8, $f'$ /1.6}
				{$-\infty$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,+,}%
				\tkzTabVar {-/ $-\infty$, + / $+\infty$ / }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item 
			$f$ est continue sur $\mathbb{R}$ (car polynomiale),
			
			$f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$,
			
			$f(\mathbb{R})= ] \lim_{-\infty} f, \lim_{+\infty} f[=\mathbb{R}$,
			
			donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique $\alpha \in \mathbb{R}$ tel que $f'(\alpha)=0$.
			
			Avec la calculatrice: $0,6 \leqslant \alpha \leqslant 0,7$.
			
			\item De la question précédente nous déduisons
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
					\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8}
					{$-\infty$, $\alpha$, $+\infty$}
					\tkzTabLine{,-,z,+,}%
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{enumerate}
		
		\item $\lim_{+\infty} f= +\infty$ et $\lim_{-\infty} = +\infty$ donc 
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f$ /1.6}
				{$-\infty$, $\alpha$, $+\infty$}
				\tkzTabVar {+/ $+\infty$, - / $f(\alpha)$,  +/ $+\infty$ / }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		CNED 2000 page 57 exercice 1.6
		
	\end{notabene}
	
	On veut résoudre dans $[0,\pi]$ l'équation: $3x-2\cos(x)-2=0$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Soit $f$ la fonction définie sur $[0,\pi]$ par: $f(x)=3x-2 \cos(x)-2$. Étudiez les variations de $f$.
		
		\item Démontrez que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[0,\pi]$. Donner à la calculatrice un encadrement à $0,1$ près de $\alpha$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{itemize}
		\item Baccalauréat S Asie 18 juin 2013  Exercice 2.
		
		\item Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 
		14 novembre 2013 Exercice 1
		
		\item Baccalauréat S Polynésie 17 juin 1999. Problème, partie A.
	\end{itemize}
	
\end{exercice}



\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\draw (O) node {$\bullet$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\draw (I) node {$\bullet$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	\draw (J) node {$\bullet$};
	%Graduations
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Rectangle en coin.}

\begin{tikzpicture}
	\def\xangledroit{0};
	\def\yangledroit{0};
	\def\longueurangledroit{0.5};
	\draw[fill=green!30,rotate around={{20}:({\xangledroit},{\yangledroit})}] ({\xangledroit},{\yangledroit}) rectangle ({\xangledroit+\longueurangledroit},{\yangledroit+\longueurangledroit});
\end{tikzpicture}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}