%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/0ieme.html}{06 Vecteurs de l'espace.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour abrege
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}\exclure{culturegenerale}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene}

%Pour les exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour les correction d'exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{06 Vecteurs de l'espace.}

\subsection{Un point et une base.}

\begin{notabene}
	
	Un point et le vecteur nul, un point et un vecteur, un point et deux vecteurs, un point et trois vecteurs.
	
	Pour obtenir des direction différentes il faut la non colinéarité (déterminant) et en trois dimensions on parlera de linéairement indépendant.
	
\end{notabene}

\subsubsection{Combinaisons linéaires.}

\begin{lecon}
	
	Nous appellerons combinaison linéaire une somme (finie) de vecteurs multipliés par des nombres réelles.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont des vecteurs alors $-3\vec{u}+2 \vec{v}$ est une combinaison linéaire des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
		
		\item $4\vec{i}-\frac{1}{5}\vec{j} +\pi \vec{k}$ est une combinaison linéaire des vecteurs $\vec{i}$, $\vec{j}$ et $\vec{k}$.
		
		\item $4\vec{i}$ est aussi une combinaison linéaire (avec un unique vecteur).
		
		\item $\vec{0}$ est aussi une combinaisons linéaire.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{lecon}{}
	
	Dans les exercices lorsqu'on parle d'un parallélépipède rectangle, ou un cube, $ABCDEFGH$ vous pourrez raisonner sur la figure suivante. Les autres points sont les milieux des arêtes.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
			\def\longueur{6};
			\def\hauteur{5};
			\def\profondeur{3};
			\def\angledefuite{40};
			\def\coefficientmultiplicateur{0.6};
			\def\xA{0};
			\def\yA{0};
			%Création des points du bas.
			\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
			\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
			\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
			\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
			%Création des points du haut
			\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
			\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
			\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
			\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
			%Nom des points du bas dans le sens direct
			\draw (A) node [below left] {$A$};
			\draw (B) node [below right] {$B$};
			\draw (C) node [below right] {$C$};
			\draw (D) node [above left] {$D$};
			\draw (E) node [above left] {$E$};
			\draw (F) node [above] {$F$};
			\draw (G) node [above right] {$G$};
			\draw (H) node [above left] {$H$};
			%Les arêtes du bas
			\draw [] (A) -- (B);
			\draw [] (B) -- (C);
			\draw [dashed] (C) -- (D);
			\draw [dashed] (D) -- (A);
			%Les arêtes verticales
			\draw [] (A) -- (E);
			\draw [] (B) -- (F);
			\draw [] (C) -- (G);
			\draw [dashed] (D) -- (H);
			%Les arête du haut
			\draw [] (E) -- (F);
			\draw [] (F) -- (G);
			\draw [] (G) -- (H);
			\draw [] (H) -- (E);
			%Points milieux du bas.
			\coordinate (L) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)/2},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)/2});
			\coordinate (I) at ({\xA+\longueur/2},{\yA});
			\coordinate (J) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)/2},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)/2});
			\coordinate (K) at ({\xA+\longueur/2+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
			\draw (I) node [below left] {\color{Gray} $I$};
			\draw (J) node [below right] {\color{Gray} $J$};
			\draw (K) node [above left] {\color{Gray} $K$};
			\draw (L) node [above left] {\color{Gray} $L$};
			\draw (I) node [] {\color{Gray} $\bullet$};
			\draw (J) node [] {\color{Gray} $\bullet$};
			\draw (K) node [] {\color{Gray} $\bullet$};
			\draw (L) node [] {\color{Gray} $\bullet$};
			%Points milieux du haut.
			\coordinate (Q) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)/2},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)/2+\hauteur});
			\coordinate (M) at ({\xA+\longueur/2},{\yA+\hauteur});
			\coordinate (N) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)/2},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)/2+\hauteur});
			\coordinate (P) at ({\xA+\longueur/2+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
			\draw (M) node [below] {\color{red} $M$};
			\draw (N) node [below] {\color{red} $N$};
			\draw (P) node [above left] {\color{red} $P$};
			\draw (Q) node [above left] {\color{red} $Q$};
			\draw (M) node [] {\color{red} $\bullet$};
			\draw (N) node [] {\color{red} $\bullet$};
			\draw (P) node [] {\color{red} $\bullet$};
			\draw (Q) node [] {\color{red} $\bullet$};
			%Points des arêtes verticales.
			\coordinate (R) at ({\xA},{\yA+\hauteur / 2});
			\coordinate (S) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur / 2});
			\coordinate (T) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur / 2});
			\coordinate (U) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur / 2});
			\draw (R) node [left] {\color{blue} $R$};
			\draw (S) node [right] {\color{blue} $S$};
			\draw (T) node [right] {\color{blue} $T$};
			\draw (U) node [left] {\color{blue} $U$};
			\draw (R) node [] {\color{blue} $\bullet$};
			\draw (S) node [] {\color{blue} $\bullet$};
			\draw (T) node [] {\color{blue} $\bullet$};
			\draw (U) node [] {\color{blue} $\bullet$};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
\end{lecon}

\begin{exercice}{}
	
	Démontrez les égalités de vecteurs de l'espace.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DB}$.
		\task $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE}$.
		\task $\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{CD}$.
		\task $\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{AD}=\vec 0$.
		\task $\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}$
		\task $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{EB}=\vec 0$
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	Avec la relation de Chasles.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	On considère la figure plane suivante.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
			\coordinate (A) at (1,0);
			\draw (A) node [above left] {$A$};
			\coordinate (B) at (2,2);
			\draw (B) node [above left] {$B$};
			\coordinate (C) at (3,4);
			\draw (C) node [above left] {$C$};
			\coordinate (D) at (5,4);
			\draw (D) node [below right] {$D$};
			\coordinate (E) at (4,2);
			\draw (E) node [below right] {$E$};
			\coordinate (F) at (3,0);
			\draw (F) node [below right] {$F$};
			\coordinate (G) at (5,0);
			\draw (G) node [below right] {$G$};
			\coordinate (H) at (6,2);
			\draw (H) node [below right] {$H$};
			\coordinate (I) at (7,4);
			\draw (I) node [below right] {$I$};
			\draw [thick] (A) -- (G);
			\draw [thick] (A) -- (C);
			\draw [thick] (C) -- (I);
			\draw [thick] (I) -- (G);
			\draw [thick] (B) -- (H);
			\draw [thick] (F) -- (D);
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Donnez un autre représentant de chacun des vecteurs proposés.
	
	\begin{tasks}(4)
		\task $\overrightarrow{AB}$.
		\task $\overrightarrow{DF}$.
		\task $\overrightarrow{GH}$.
		\task $\overrightarrow{DC}$.
		\task $\overrightarrow{BH}$.
		\task $\overrightarrow{DH}$.
		\task $\overrightarrow{FC}$.
		\task $\overrightarrow{HA}$.
		\task $\overrightarrow{IE}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{HI}$.
		\task $\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{CA}$.
		\task $\overrightarrow{GH}=\overrightarrow{ED}$.
		\task $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HE}$.
		\task $\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{AG}$.
		\task $\overrightarrow{DH}=\overrightarrow{BF}$.
		\task $\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{GD}$.
		\task $\overrightarrow{HA}=\overrightarrow{IB}$.
		\task $\overrightarrow{IE}=\overrightarrow{DB}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	On considère un parallélépipède rectangle (pavé droit) $ABCDEFGH$.
	
	Donnez, sans justification, d'autres représentants des vecteurs suivants.
	
	\begin{tasks}(4)
		\task $\overrightarrow{AB}$.
		\task $\overrightarrow{CA}$.
		\task $\overrightarrow{AE}$.
		\task $\overrightarrow{CF}$.
		\task $\overrightarrow{FB}$.
		\task $\overrightarrow{CG}$.
		\task $\overrightarrow{CD}$.
		\task $\overrightarrow{CH}$.
		\task $\overrightarrow{BH}$.
		\task $\overrightarrow{GD}$.
		\task $\overrightarrow{GH}$.
		\task $\overrightarrow{DB}$.
		\task $\overrightarrow{HF}$.
		\task $\overrightarrow{EF}$.
		\task $\overrightarrow{DF}$.
		\task $\overrightarrow{DE}$.
		\task $\overrightarrow{BG}$.
		\task $\overrightarrow{AF}$.
		\task $\overrightarrow{BE}$.
		\task $\overrightarrow{HD}$.
		\task $\overrightarrow{HB}$.
		\task $\overrightarrow{AH}$.
		\task $\overrightarrow{GA}$.
		\task $\overrightarrow{AD}$.
		\task $\overrightarrow{CB}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}(4)
		\task $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{EF}$.
		\task $\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{GE}$.
		\task $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{CG}$.
		\task $\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{DE}$.
		\task $\overrightarrow{FB}=\overrightarrow{EA}$.
		\task $\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{DH}$.
		\task $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}$.
		\task $\overrightarrow{CH}=\overrightarrow{BE}$.
		\task $\overrightarrow{BH}=?$.
		\task $\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{FA}$.
		\task $\overrightarrow{GH}=\overrightarrow{CD}$.
		\task $\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{HF}$.
		\task $\overrightarrow{HF}=\overrightarrow{DB}$.
		\task $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AB}$.
		\task $\overrightarrow{DF}=?$.
		\task $\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{CF}$.
		\task $\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{AH}$.
		\task $\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{DG}$.
		\task $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{CH}$.
		\task $\overrightarrow{HD}=\overrightarrow{FB}$.
		\task $\overrightarrow{HB}=?$.
		\task $\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{BG}$.
		\task $\overrightarrow{GA}=?$.
		\task $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$.
		\task $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DA}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	On considère un parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$.
	
	Exprimez les sommes de vecteurs suivantes sous forme d'un seul représentant faisant intervenir uniquement les points de la figure.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CG}$.
		\task $\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FH}$.
		\task $\overrightarrow{DG}+\overrightarrow{GF}+\overrightarrow{CD}$.
		\task $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CF}+\overrightarrow{HG}$.
		\task $\overrightarrow{BF} + \overrightarrow{EG} + \overrightarrow{EA}$.
		\task $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{GF}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{AG}$.
		\task $\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FH}=\overrightarrow{AH}$.
		\task $\overrightarrow{DG}+\overrightarrow{GF}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CF}$.
		\task $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CF}+\overrightarrow{HG}=\overrightarrow{AF}$.
		\task $\overrightarrow{BF} + \overrightarrow{EG} + \overrightarrow{EA}=?$.
		\task $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{GF}=\overrightarrow{AD}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	On considère un parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$.
	
	Simplifiez les sommes suivantes sous forme d'un seul représentant. \emph{Vous pourrez utiliser l'identité du parallélogramme.}
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$.
		\task $\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{FH}$.
		\task $\overrightarrow{DH}+\overrightarrow{DC}$.
		\task $\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GH}$.
		\task $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AF}$.
		\task $\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GE}$
		\task $\overrightarrow{GF}+\overrightarrow{AB}$.
		\task $\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FH}$
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$.
		\task $\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{FH}=2\overrightarrow{FQ}$.
		\task $\overrightarrow{DH}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DG}$.
		\task $\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GH}=\overrightarrow{GD}$.
		\task $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AG}$.
		\task $\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GE}=\overrightarrow{GA}$
		\task $\overrightarrow{GF}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{GB}$.
		\task $\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FH}=\overrightarrow{FD}$
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Simplifier une combinaison linéaire
		
	\end{notabene}
	
	On considère un cube $ABCDEFGH$.
	
	Simplifiez la combinaison linéaire sous forme d'un unique représentant. 
	
	\emph{Exemple: $-2\cdot \overrightarrow{QM}+1 \cdot \overrightarrow{EF} + 1 \cdot \overrightarrow{FB}=\overrightarrow{MK}$.}
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $ \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{PM}+ \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{NQ}$.
		\task $\overrightarrow{DK}+ \overrightarrow{IS} + \overrightarrow{TP}$.
		\task $3 \cdot \overrightarrow{DL}+ 2 \cdot \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{RQ}$.
		\task $\overrightarrow{CB}+ 2 \cdot \overrightarrow{UP}$.
		\task $\overrightarrow{SI}+ \overrightarrow{KB} + \overrightarrow{AE}$.
		\task $2 \cdot \overrightarrow{HQ}+ 2 \cdot \overrightarrow{HP} + \overrightarrow{FD}$.
		\task $\overrightarrow{DE}-2 \cdot  \overrightarrow{UH} + \overrightarrow{BG}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $ \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{PM}+ \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{NQ}= \overrightarrow{PQ}$.
		\task $\overrightarrow{DK}+ \overrightarrow{IS} + \overrightarrow{TP}= \overrightarrow{DP}$.
		\task $3 \cdot \overrightarrow{DL}+ 2 \cdot \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{RQ}= \overrightarrow{DT}$.
		\task $\overrightarrow{CB}+ 2 \cdot \overrightarrow{UP}= \overrightarrow{DF}$.
		\task $\overrightarrow{SI}+ \overrightarrow{KB} + \overrightarrow{AE}= \overrightarrow{TF}$.
		\task $2 \cdot \overrightarrow{HQ}+ 2 \cdot \overrightarrow{HP} + \overrightarrow{FD}= \overrightarrow{HD}$.
		\task $\overrightarrow{DE}-2 \cdot  \overrightarrow{UH} + \overrightarrow{BG}= \overrightarrow{DE}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Exprimer un vecteur comme une combinaison linaire de certains vecteurs.
		
	\end{notabene}
	
	On considère un cube $ABCDEFGH$.
	
	Exprimez le vecteur $\vec{u}$ en fonction des vecteurs $\vec{v}$, $\vec{w}$ et éventuellement $\vec{s}$ dans les cas suivants. 
	
	\emph{Exemple: $\overrightarrow{AF}= 1 \cdot \overrightarrow{AB} + 1 \cdot \overrightarrow{BF}$ est une expression de $\vec{u}=\overrightarrow{AF}$ comme combinaison linéaire des vecteurs $\vec{v}= \overrightarrow{AB}$ et $\vec{w}=\overrightarrow{BF}$.}
	
	\begin{tasks}
		\task $\vec{u}= \overrightarrow{AC}$, $\vec{v}= \overrightarrow{AB}$ et $\vec{w} = \overrightarrow{AD}$.
		
		\task $\vec{u}= \overrightarrow{BD}$, $\vec{v}= \overrightarrow{AD}$ et $\vec{w} = \overrightarrow{BA}$.
		
		\task $\vec{u}= \overrightarrow{DG}$, $\vec{v}= \overrightarrow{AB}$ et $\vec{w} = \overrightarrow{AE}$.
		
		\task $\vec{u}= \overrightarrow{FC}$, $\vec{v}= \overrightarrow{AD}$ et $\vec{w} = \overrightarrow{HD}$.
		
		\task $\vec{u}= \overrightarrow{MI}$, $\vec{v}= \overrightarrow{AI}$ et $\vec{w} = \overrightarrow{GT}$.
		
		\task $\vec{u}= \overrightarrow{QM}$, $\vec{v}= \overrightarrow{HE}$ et $\vec{w} = \overrightarrow{EF}$.
		
		\task $\vec{u}= \overrightarrow{AC}$, $\vec{v}= \overrightarrow{AB}$ et $\vec{w} = \overrightarrow{AE}$.
		
		\task $\vec{u}= \overrightarrow{AC}$, $\vec{v}= \overrightarrow{AB}$, $\vec{w} = \overrightarrow{AD}$ et $\vec{s}=\overrightarrow{CD}$.
		
		\task $\vec{u}= \overrightarrow{HF}$, $\vec{v}= \overrightarrow{AB}$, $\vec{w} = \overrightarrow{AD}$ et $\vec{s}=\overrightarrow{AE}$.
		
		\task $\vec{u}= \overrightarrow{AP}$, $\vec{v}= \overrightarrow{IB}$, $\vec{w} = \overrightarrow{DL}$ et $\vec{s}=\overrightarrow{CT}$.
		
		\task $\vec{u}= \overrightarrow{DS}$, $\vec{v}= \overrightarrow{LR}$, $\vec{w} = \overrightarrow{EH}$ et $\vec{s}=\overrightarrow{AK}$.
		
		\task $\vec{u}= \overrightarrow{PB}$, $\vec{v}= \overrightarrow{UK}$, $\vec{w} = \overrightarrow{AE}$ et $\vec{s}=\overrightarrow{HE}$.
		
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}
		\task $\vec{u}= \overrightarrow{AC}$, $\vec{v}= \overrightarrow{AB}$ et $\vec{w} = \overrightarrow{AD}$.
		
		$\vec{u} = 1\vec{v}+ 1\vec{w}$.
		
		\task $\vec{u}= \overrightarrow{BD}$, $\vec{v}= \overrightarrow{AD}$ et $\vec{w} = \overrightarrow{BA}$.
		
		$\vec{u} = -1\vec{v}+ 1\vec{w}$.
		
		\task $\vec{u}= \overrightarrow{DG}$, $\vec{v}= \overrightarrow{AB}$ et $\vec{w} = \overrightarrow{AE}$.
		
		$\vec{u} = 1\vec{v}+ 1\vec{w}$.
		
		\task $\vec{u}= \overrightarrow{FC}$, $\vec{v}= \overrightarrow{AD}$ et $\vec{w} = \overrightarrow{HD}$.
		
		$\vec{u} = 1\vec{v}+ 1\vec{w}$.
		
		\task $\vec{u}= \overrightarrow{MI}$, $\vec{v}= \overrightarrow{AI}$ et $\vec{w} = \overrightarrow{GT}$.
		
		$\vec{u} = 0\vec{v}+ 2\vec{w}$.
		
		\task $\vec{u}= \overrightarrow{QM}$, $\vec{v}= \overrightarrow{HE}$ et $\vec{w} = \overrightarrow{EF}$.
		
		$\vec{u} = \frac{1}{2}\vec{v}+ \frac{1}{2}\vec{w}$.
		
		\task $\vec{u}= \overrightarrow{AC}$, $\vec{v}= \overrightarrow{AB}$ et $\vec{w} = \overrightarrow{AE}$.
		
		Impossible.
		
		\task $\vec{u}= \overrightarrow{DJ}$, $\vec{v}= \overrightarrow{AB}$, $\vec{w} = \overrightarrow{AD}$ et $\vec{s}=\overrightarrow{CD}$.
		
		$\vec{u} = 1\vec{v}-\frac{1}{2} \vec{w}$.
		
		\task $\vec{u}= \overrightarrow{HF}$, $\vec{v}= \overrightarrow{AB}$, $\vec{w} = \overrightarrow{AD}$ et $\vec{s}=\overrightarrow{AE}$.
		
		$\vec{u} = 1\vec{v}-1 \vec{w}+0\vec{s}$.
		
		\task $\vec{u}= \overrightarrow{AP}$, $\vec{v}= \overrightarrow{IB}$, $\vec{w} = \overrightarrow{DL}$ et $\vec{s}=\overrightarrow{CT}$.
		
		$\vec{u} = 1\vec{v}-2 \vec{w}+ 2\vec{s}$.
		
		\task $\vec{u}= \overrightarrow{DS}$, $\vec{v}= \overrightarrow{KS}$, $\vec{w} = \overrightarrow{EQ}$ et $\vec{s}=\overrightarrow{AK}$.
		
		$\vec{u} = 1\vec{v}- 2\vec{w}+ 1\vec{s}$.
		
		\task $\vec{u}= \overrightarrow{PB}$, $\vec{v}= \overrightarrow{UK}$, $\vec{w} = \overrightarrow{AE}$ et $\vec{s}=\overrightarrow{DL}$.
		
		$\vec{u} = 1\vec{v}-\frac{1}{2} \vec{w}+ 2\vec{s}$.
		
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		Ajouter des exercices avec d'autre solides tétraèdre, pyramide à base carrée.
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\subsubsection{Indépendance linéaire.}

\begin{lecon}
	
	Nous dirons que deux (resp. trois) vecteurs sont linéairement indépendants si la seule combinaison linéaire de ces vecteurs qui égale le vecteur nul est obtenue avec des coefficients tous nuls.
	
	\medskip
	Cette définition technique signifie que les vecteurs contiennent des directions différentes, qu'aucun des deux (resp. trois) vecteurs ne peut être retiré sans une perte de possibilité de déplacement.
	
\end{lecon}

\subsubsection{Bases et repères.}

\begin{lecon}
	
	On appelle base d'un droite un vecteur directeur de la droite.
	
	On appelle base d'un plan un couple $(\vec{i},\vec{j})$ de deux vecteurs $\vec{i}$ et $\vec{j}$ non nuls et non colinéaires.
	
	On appelle base de l'espace un triplet $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ de trois vecteurs $\vec{i}$, $\vec{j}$ et $\vec{k}$ non nuls et linéairement indépendants.
	
	\medskip
	Un repère est formé d'une origine (un point) et d'une base.
	
\end{lecon}

\subsubsection{Coordonnées.}

\begin{lecon}
	
	Étant donné une base $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ de l'espace, tout vecteur $\vec{u}$ peut s'écrire comme une unique combinaison linéaire $\vec{u}=x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}$. Le triplet $(x,y,z)$ est appelé coordonnées de $\vec{u}$ dans la base $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$.
	
	\medskip	
	Étant donné un repère $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ et un point $M$, on appelle coordonnées de $M$ les coordonnées de $\overrightarrow{OM}$ dans la base $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$.
	
	\medskip
	Si dans un repère $A(x_A,y_A,z_A)$ et $B(x_B,y_B,z_B)$ alors, dans la base correspondante: $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A\\ y_B-y_A \\ z_B-z_A \end{pmatrix}$.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Si $A(1;-3;7)$ et $B(3;2;4)$ alors $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}$.
		
		\item Si $\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1	\end{pmatrix}$, $\vec{v} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\vec{w} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ alors $(\vec{u}, \vec{v} , \vec{w})$ n'est pas une base de l'espace car 
		\begin{notabene}
			{\color{red}Mettre la résolution du système. et en profiter pour montrer avec la calculatrice.}
		\end{notabene}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsubsection{Norme.}

\begin{lecon}
	
	Étant donné une base $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ de l'espace, on appelle norme de $\vec{u}$ le nombre réel $\| \vec{u} \| =\sqrt{x_u^2+y_u^2+z_u^2}$. Dans un repère orthonormé la norme et la longueur se confondent.
	
\end{lecon}

\subsubsection{Exercices.}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Regarder si un des vecteurs est contenu dans un plan défini par les deux autres.
	\end{notabene}
	
	On considère une pavé droit $ABCDEFGH$.
	
	Dites si les $3$-listes proposées sont des bases de l'espace.
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $\left( \overrightarrow{AL}, \overrightarrow{CJ}, \overrightarrow{BS} \right)$.
		\task $\left( \overrightarrow{KD}, \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{BF} \right)$.
		\task $\left( \overrightarrow{DI}, \overrightarrow{DC}, \overrightarrow{PF} \right)$.
		\task $\left( \overrightarrow{RI}, \overrightarrow{RM}, \overrightarrow{RS} \right)$.
		\task $\left( \overrightarrow{DL}, \overrightarrow{DB}, \overrightarrow{DH} \right)$.
		\task $\left( \overrightarrow{KG}, \overrightarrow{KT}, \overrightarrow{KU} \right)$.
		\task $\left( \overrightarrow{FI}, \overrightarrow{FM}, \overrightarrow{FH} \right)$.
		\task $\left( \overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BD}, \overrightarrow{NL} \right)$.
		\task $\left( \overrightarrow{AE}, \overrightarrow{FS}, \overrightarrow{GC} \right)$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Donnez $5$ bases distinctes du parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Expliquer que cela revient à rechercher la bonne combinaison linéaire.
		
	\end{notabene}
	
	On considère un parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$. Les autres points sont les milieux des arêtes.	
	
	Donnez à chaque fois les coordonnées du vecteur dans la base proposée.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\overrightarrow{AG}$ et $\left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE} \right)$.
		\task $\overrightarrow{DB}$ et $\left( \overrightarrow{HD}, \overrightarrow{HE}, \overrightarrow{HG} \right)$.
		\task $\overrightarrow{DH}$ et $\left( \overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BD}, \overrightarrow{BF} \right)$.
		\task $\overrightarrow{AN}$ et $\left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE} \right)$.
		\task $\overrightarrow{QM}$ et $\left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE} \right)$.
		\task $\overrightarrow{PJ }$ et $\left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE} \right)$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Dites si les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires ou pas dans les cas suivants. 
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\vec{u} \begin{pmatrix} 1 \\-2 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} 3 \\  1 \\ 1 \end{pmatrix}$.
		
		\task $\vec{u} \begin{pmatrix} 1 \\2 \\ 7 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} -8 \\  -16 \\ -57 \end{pmatrix}$.
		
		\task $\vec{u} \begin{pmatrix} \pi \\ 1 \\ \sqrt{\pi} \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} \sqrt{\pi^3} \\  \sqrt{\pi} \\ \pi \end{pmatrix}$.
		
		\task $\vec{u} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} 0 \\  0 \\ 0 \end{pmatrix}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Résolution de systèmes linéaires.
		
	\end{notabene}
	
	Soient $\vec{u}\begin{pmatrix} 1\\2\\0 \end{pmatrix}$, $\vec{v}\begin{pmatrix} -1\\0\\1 \end{pmatrix}$ et $\vec{w}\begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix}$ des vecteurs de l'espace relativement à une base $\mathscr{B}$.
	
	Les vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ constituent-ils une base de l'espace?
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Résolution de systèmes linéaires.
		
	\end{notabene}
	
	Soient $\vec{u}\begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix}$, $\vec{v}\begin{pmatrix} -1\\1\\1 \end{pmatrix}$ et $\vec{w}\begin{pmatrix} 4\\-1\\2 \end{pmatrix}$ des vecteurs de l'espace relativement à une base $\mathscr{B}$.
	
	Les vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ constituent-ils une base de l'espace?
	
\end{exercice}


\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Vérifier ou non l'indépendance de deux ou trois vecteurs.
		
		Montrer qu'une famille est une base.
		
		Montrer de la colinéarité.
		
		Repère 0iemes hachette page 310 et peut être montrer aux élève comment résoudre un système avec leur calculatrice.
		
		Repère 0ieme hachette page 310 exercice 44
		
	\end{notabene}
	
	Soient $A(3,-2,-4)$, $B(4,-3,-2)$, $\vec{u} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminez les coordonnées du point $M$ tel que $\overrightarrow{AM} = \vec{u} + \vec{v}$.
		
		\item Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont-ils liés?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$.
		
		$M(4,-3,-2)$.
		
		\item $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$.
		
		$\overrightarrow{AB}=\vec{u}+\vec{v} \Leftrightarrow \overrightarrow{AB}-\vec{u} -\vec{v}=\vec{0}$, il existe doc une combinaison linéaire à coefficients non tous nuls qui égale le vecteur nul, donc la famille est liée.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Repère 0ieme hachette page 310 exercice 46
		
	\end{notabene}
	
	Soient $A(1,2,3)$, $B(2,0,3)$, et $C(6,3,8)$ des points de l'espace rapporté à un repère, $\vec{u} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\vec{w} \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\1 \end{pmatrix}$ des vecteurs de l'espace.
	
	\begin{enumerate}
		\item Démontrez que les vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont linéairement indépendants.
		
		\item Déterminez $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ tels que: \[ \overrightarrow{AB}=\alpha \vec{u} + \beta \vec{v} + \gamma \vec{w}. \]
		
		\item Déterminez $\alpha'$, $\beta'$ et $\gamma'$ tels que: \[ \overrightarrow{BC}=\alpha' \vec{u} + \beta' \vec{v}+ \gamma' \vec{w}. \]
		
		\item Déduisez-en les coordonnées du point $C$ dans le repère $\left( A; \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \right)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 67 page 77 du manuel 2020 du livrescolaire.
		
	\end{notabene}
	On considère les points $A(1,2,3)$, $B(-1,1,4)$ et $C(3,5,-2)$ dans un repère $(O,I,J,K)$.
	
	Déterminez les coordonnées du point $D$ telles que $ABCD$ soit un parallélogramme.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$x_C-x_D=x_B-x_A \Leftrightarrow 3-x_D=-1-1 \Leftrightarrow x_D=5$.
	
	$y_C-y_D=y_B-y_A \Leftrightarrow 5-y_D=1-2 \Leftrightarrow y_D=6$.
	
	$z_C-z_D=z_B-z_A \Leftrightarrow -2-z_D=4-3 \Leftrightarrow z_D=-3$.
	
	\begin{conclusion}
		
		$D(5,6,-3)$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 68 page 77 du manuel 2020 du livrescolaire.
		
	\end{notabene}
	On considère les points $A(1,2,1)$, $B(3,-1,2)$ et $C(-1,3,4)$ dans un repère $(O,I,J,K)$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminez les coordonnées du milieu de $[AC]$.
		
		\item Déterminez les coordonnées de $D$ telles que $ABCD$ soit un parallélogramme.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$x_C-x_D=x_B-x_A \Leftrightarrow -1-x_D=3-1 \Leftrightarrow x_D=-3$.
	
	$y_C-y_D=y_B-y_A \Leftrightarrow 3-y_D=-1-2 \Leftrightarrow y_D=6$.
	
	$z_C-z_D=z_B-z_A \Leftrightarrow 4-z_D=2-1 \Leftrightarrow z_D=3$.
	
	\begin{conclusion}
		
		$D(-3,6,3)$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 70 page 77 du manuel 2020 du livrescolaire.
		
	\end{notabene}
	
	Soient les points $A(-1,4,-3)$ et $B(2,1,3)$ dans un repère $(O,I,J,K)$.
	
	Déterminez les coordonnées du point $M$ vérifiant $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AB}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$x_A-x_M+x_B-x_A=\frac{1}{3} \left( x_B-x_A \right) \Leftrightarrow -1-x_M+1-x_M=\frac{1}{3}(2-(-3))$	
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 74 page 77 du manuel 2020 du livrescolaire.
		
	\end{notabene}
	
	On considère les points $A(0,1,1)$, $B(2,1,1)$, $C(3,1,1)$ et $D(1,1,1)$ dans un repère $(O,I,J,K)$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Démontrez que $ABCD$ est un parallélogramme.
		
		\item Soit $E(2,2,4)$.
		
		Déterminez les coordonnées du point $F$ telles que $ACEF$ soit un parallélogramme.
		
		\item Soient $J$ le milieu de $[EF]$ et $I$ le point tel que $F$ soit le milieu de $[AI]$.
		
		Démontrez que $J$ est le milieu de $[IC]$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 77 page 78 du manuel 2020 du livrescolaire.
		
	\end{notabene}
	
	Soient $A(1,2,1)$, $B(1,-1,1)$ et $C(3,1,2)$ trois points de l'espace rapporté à un repère. On note $I$ le milieu de $[BC]$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminez les coordonnées du point $G$ (centre de gravité du triangle $ABC$) défini par $\overrightarrow{AG}= \frac{2}{3} \overrightarrow{AI}$.
		
		\item On considère le point $E(3,7,2)$. Déterminez les coordonnées du point $F$ tel que $\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AB}$.
		
		\item On note $J$ le milieu de $[BE]$. Les points $G$, $J$ et $F$ sont-ils alignés?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Repère 0ieme hachette page 310 exercice 45
		
	\end{notabene}
	
	Soient $A(2,4,-1)$, $B(3,1,2)$, $C(1,0,1)$, $D(3,2,1)$ et $E(1,2,0)$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Démontrez que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AD}$ ne sont pas liés.
		
		\item Le repère $\left( A; \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD} \right)$ peut-il être un repère de l'espace?
		
		\item Déterminez les coordonnées du point $M$ tel que $\overrightarrow{AM}=2 \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$. Où se situe le point $M$?
		
		\item Déterminez $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ tels que: \[ \overrightarrow{AE} = \alpha \overrightarrow{AB} + \beta \overrightarrow{AC} + \gamma \overrightarrow{AD}. \] Quelles sont les coordonnées de $E$ dans le repère $\left( A; \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD} \right)$?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\subsection{Droites du plan ou de l'espace.}

\begin{lecon}
	
	Une droite est définie par un repère c'est-à-dire un point et un vecteur directeur.
	
	Il est possible de définir une droite par la donnée de deux points distincts.
		
\end{lecon}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme nathan hyperbole 2010 page 208 exercice 54
		
	\end{notabene}
	
	\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			Soient $ABCD$ un carré, $BCL$ et $DIC$ des triangles équilatéraux tels que sur la figure ci-contre.
			
			Nous souhaitons établir l'alignement des points $A$, $I$ et $L$.
			
			Pour cela considérons le repère orthonormé $(D;C;A)$.
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=2]
				\coordinate (D) at (0,0);
				\coordinate (A) at (0,1);
				\coordinate (B) at (1,1);
				\coordinate (C) at (1,0);
				\coordinate (I) at (0.5,{sqrt(3)/2});
				\coordinate (L) at ({1+sqrt(3)/2},0.5);
				\draw (A) node[above]{$A$};
				\draw (B) node[above]{$B$};
				\draw (C) node[below]{$C$};
				\draw (D) node[below]{$D$};
				\draw (I) node[right]{$I$};
				\draw (L) node[right]{$L$};
				\draw (B)--(A)--(D)--(C)--(B)--(L)--(C);
				\draw (D)--(I)--(C);
			\end{tikzpicture}
			
		\end{minipage}
		
	\end{tabularx}
	
	\begin{enumerate}
		\item Donnez sans justification les coordonnées de $D$, $C$, $A$ et $B$.
		\item Déterminez les coordonnées de $I$ et $L$.
		\item Calculez les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AI}$ et $\overrightarrow{AL}$.
		\item Démontrez l'alignement des points $A$, $I$ et $L$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 120 page 142 du manuel Indice.
		
	\end{notabene}
	
	Soient $M(7;3)$, $N(-3;1)$, $C(0;5)$ et $E(3;9)$ des points du plan.
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrez que le quadrilatère $MNCD$ est un trapèze.
		
		\item Montrez que $E$ est le point d'intersection de $(NC)$ et $(MD)$.
		
		\item Soient $J$ et $K$ les milieux respectivement de $[NM]$ et $[CD]$. Calculez les coordonnées de $J$ et $K$.
		
		\item Montrez que $E$, $J$ et $K$ sont alignés.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 122 page 142 du manuel Indice.
		
	\end{notabene}
	
	Soient $A(3;4)$, $B(1;1)$, $C(6;-2)$ et $D(8;1)$ des points, $I$ le milieu de $[BC]$, et $E$ et $F$ les points définis par: \[ \overrightarrow{AE}= \frac{1}{3} \overrightarrow{AC} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{CF}=\frac{1}{3} \overrightarrow{CA}. \]
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculez les coordonnées de $I$, $E$ et $F$.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Les vecteurs $\overrightarrow{BE}$ et $\overrightarrow{IF}$ sont-ils colinéaires?
			
			\item Qu'en déduisez-vous concernant les droites $(BE)$ et $(IF)$?
			
		\end{enumerate}
		
		\item Montrez que $ABCD$ est un parallélogramme.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Calculez la norme du vecteur $\overrightarrow{AC}$.
			
			\item $ABCD$est -il un rectangle?
			
		\end{enumerate}
		
		\item Les points $I$, $F$ et $D$ sont-ils alignés?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item \objectif{Déterminons les coordonnées de $I$.}
			
			Puisque $I$ est le milieu de $[BC]$:
			
			\begin{align*}
				x_I &= \frac{x_B+x_C}{2}\\
				&= \frac{1+6}{2}\\
				&= \frac{7}{2}
			\end{align*}
			
			De même: $y_I=-\frac{1}{2}$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$I\left( \frac{7}{2} ; -\frac{1}{2} \right)$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item \objectif{Déterminons les coordonnées de $E$.}
			
			$\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} x_C-x_A \\ y_C-y_A \end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 6-3 \\ -2-4 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 3 \\ -6 \end{pmatrix}$.
			
			D'où: $\frac{1}{3}\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} \frac{1}{3} \times 3 \\ \frac{1}{3} \times (-6) \end{pmatrix}$ \emph{i.e.} $\frac{1}{3}\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$.
			
			\medskip
			De même: $\overrightarrow{AE} \begin{pmatrix} x_E-3 \\ y_E-4 \end{pmatrix}$.
			
			\medskip
			De $\overrightarrow{AE} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AC}$ nous déduisons donc \[ \left\{ \begin{array}{l} x_E-3 = 1 \\ y_E-4 =-2 \end{array} \right. \]
			
			Ce qui équivaut successivement à:
			\[ \left\{ \begin{array}{l} x_E-3 {\color{orange}+3} = 1 {\color{orange}+3}\\ y_E-4 {\color{WildStrawberry}+4}=-2 {\color{WildStrawberry}+4} \end{array} \right. \]
			\[ \left\{ \begin{array}{l} x_E = 4 \\ y_E =2 \end{array} \right. \]
			
			\begin{conclusion}
				
				$E(4;2)$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item De même qu'au point précédent 
			
			\begin{align*}
				\overrightarrow{CF} = \frac{1}{3} \overrightarrow{CA} &\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_F-6=\frac{1}{3}(3-6) \\ y_F-(-2) = \frac{1}{3} (4-(-2)) \end{array} \right.\\
				&\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_F=5 \\ y_F = 0 \end{array} \right.
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$F(5;0)$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		\begin{enumerate}
			\item \objectif{Démontrons que $\overrightarrow{BE}$ et $\overrightarrow{IF}$ sont colinéaires.}
			
			$\overrightarrow{BE} \begin{pmatrix} 3\\ 1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{IF} \begin{pmatrix} \frac{3}{2}\\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}$ donc
			
			\begin{align*}
				\det \left( \overrightarrow{BE} ; \overrightarrow{IF} \right) &= \begin{vmatrix} 3 & \frac{3}{2} \\ 1 & \frac{1}{2}\end{vmatrix}\\
				&= 3 \times \frac{1}{2} -1 \times \frac{3}{2}\\
				&= 0
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\overrightarrow{BE}$ et $\overrightarrow{IF}$ sont colinéaires.
				
			\end{conclusion}
			
			\item Nous déduisons de la question précédente que:
			
			\begin{conclusion}
				
				$(BE) \parallel (IF)$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
		\item \objectif{Démontrons que $ABCD$ est un parallélogramme.}
		
		$\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix}-2\\-3\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{DC} \begin{pmatrix}-2\\-3\end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$.
		
		Par conséquent:
		
		\begin{conclusion}
			
			$ABCD$ est un parallélogramme.
			
		\end{conclusion}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item \objectif{Calculons $\| \overrightarrow{AC} \|$.}
			
			{\color{orange}La formule pour la distance euclidienne est la même que celle pour la norme du vecteur. Par contre comme le repère n'est pas orthonormé la norme ne correspond pas forcément à une longueur.}
			
			\medskip
			\begin{align*}
				\| \overrightarrow{AC} \| &= \sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2}\\
				&= \sqrt{(6-3)^2+(-2-4)^2}\\
				&= \sqrt{45}\\
				&= \sqrt{3^2 \times 5}\\
				&= \sqrt{3^2} \times \sqrt{5}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\| \overrightarrow{AC} \| = 3\sqrt{5}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item Nous ne pouvons pas répondre à cette question car le repère n'étant a priori pas orthonormé nous ne pouvons pas établir la présence d'angle droit  ou d'égalité de longueur (diagonales).
			
			\medskip
			Si nous supposons que le repère est orthonormé alors, comme $\| \overrightarrow{BD} \| = 9$, nous pouvons affirmer que les diagonales du parallélogramme $ABCD$ ne sont pas de même longueur donc ce n'est pas un rectangle.
			
		\end{enumerate}
		
		\item \objectif{Démontrons que les points $I$, $F$ et $D$ sont alignés.}
		
		{\color{orange}Ils sont alignés si et seulement si $\overrightarrow{IF}$ et $\overrightarrow{DF}$ sont colinéaires.}
		
		\medskip
		$\overrightarrow{IF} \begin{pmatrix} \frac{3}{2}\\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{DF} \begin{pmatrix} -3\\ -1 \end{pmatrix}$ donc
		
		\begin{align*}
			\det \left( \overrightarrow{IF};\overrightarrow{DF} \right) &= \begin{vmatrix} \frac{3}{2} & -3\\ \frac{1}{2} & -1 \end{vmatrix}\\
			&= \frac{3}{2} \times (-1) -\frac{1}{2} \times (-3)\\
			&= 0
		\end{align*}
		
		Donc $\overrightarrow{IF}$ et $\overrightarrow{DF}$ sont colinéaires.
		
		Et par conséquent
		
		\begin{conclusion}
			
			$I$, $F$ et $D$ sont alignés.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		Coordonnées d'un point dans un repère d'une droite dans l'espace.
	\end{notabene}
	
	\begin{notabene}
		Possibilité de compliquer en ajoutant une seconde droite sécante.
	\end{notabene}
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\draw (0,0)--(8,0);
			\coordinate (A) at (5,0);
			\draw (A) node {\footnotesize |};
			\draw (A) node[below left] {$A$};
			\coordinate (B) at (1,0);
			\draw (B) node {\footnotesize |};
			\draw (B) node[below left] {$B$};
			\coordinate (C) at (4,0);
			\draw (C) node {\footnotesize |};
			\draw (C) node[below left] {$C$};
			\coordinate (D) at (6,0);
			\draw (D) node {\footnotesize |};
			\draw (D) node[below left] {$D$};
			\coordinate (E) at (2,0);
			\draw (E) node {\footnotesize |};
			\draw (E) node[below left] {$E$};
			\coordinate (F) at (7,0);
			\draw (F) node {\footnotesize |};
			\draw (F) node[below left] {$F$};
			\coordinate (G) at (4,0);
			\draw (G) node {\footnotesize |};
			\draw (G) node[below left] {$G$};
			\coordinate (H) at (3,0);
			\draw (H) node {\footnotesize |};
			\draw (H) node[below left] {$H$};
			\draw [>=latex,violet,->] (2,0.5)--(3,0.5) node [midway, above] {$\vec{u}$};
			\draw [>=latex,purple,->] (6,0.5)--(4,0.5) node [midway, above] {$\vec{v}$};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
	
	Donnez sans justification
	\begin{tasks}
		\task La coordonnée de $B$ dans le repère $\left( A;\vec{u} \right)$.
		\task La coordonnée de $H$ dans le repère $\left( B;\vec{v} \right)$.
		\task La coordonnée de $G$ dans le repère $\left( D;2\vec{u} \right)$.
		\task La coordonnée de $E$ dans le repère $\left( F;2\vec{v} \right)$.
		\task La coordonnée de $A$ dans le repère $\left( D;2\vec{v} \right)$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{lecon}
	
	Dans les exercices lorsqu'on parle d'un parallélépipède rectangle, ou un cube, $ABCDEFGH$ vous raisonnerez sur la figure suivante. Les autres points sont les milieux des arêtes.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
			\def\longueur{6};
			\def\hauteur{5};
			\def\profondeur{3};
			\def\angledefuite{40};
			\def\coefficientmultiplicateur{0.6};
			\def\xA{0};
			\def\yA{0};
			%Création des points du bas.
			\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
			\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
			\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
			\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
			%Création des points du haut
			\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
			\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
			\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
			\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
			%Nom des points du bas dans le sens direct
			\draw (A) node [below left] {$A$};
			\draw (B) node [below right] {$B$};
			\draw (C) node [below right] {$C$};
			\draw (D) node [above left] {$D$};
			\draw (E) node [above left] {$E$};
			\draw (F) node [above] {$F$};
			\draw (G) node [above right] {$G$};
			\draw (H) node [above left] {$H$};
			%Les arêtes du bas
			\draw [] (A) -- (B);
			\draw [] (B) -- (C);
			\draw [dashed] (C) -- (D);
			\draw [dashed] (D) -- (A);
			%Les arêtes verticales
			\draw [] (A) -- (E);
			\draw [] (B) -- (F);
			\draw [] (C) -- (G);
			\draw [dashed] (D) -- (H);
			%Les arête du haut
			\draw [] (E) -- (F);
			\draw [] (F) -- (G);
			\draw [] (G) -- (H);
			\draw [] (H) -- (E);
			%Points milieux du bas.
			\coordinate (L) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)/2},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)/2});
			\coordinate (I) at ({\xA+\longueur/2},{\yA});
			\coordinate (J) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)/2},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)/2});
			\coordinate (K) at ({\xA+\longueur/2+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
			\draw (I) node [below left] {\color{Gray} $I$};
			\draw (J) node [below right] {\color{Gray} $J$};
			\draw (K) node [above left] {\color{Gray} $K$};
			\draw (L) node [above left] {\color{Gray} $L$};
			\draw (I) node [] {\color{Gray} $\bullet$};
			\draw (J) node [] {\color{Gray} $\bullet$};
			\draw (K) node [] {\color{Gray} $\bullet$};
			\draw (L) node [] {\color{Gray} $\bullet$};
			%Points milieux du haut.
			\coordinate (Q) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)/2},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)/2+\hauteur});
			\coordinate (M) at ({\xA+\longueur/2},{\yA+\hauteur});
			\coordinate (N) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)/2},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)/2+\hauteur});
			\coordinate (P) at ({\xA+\longueur/2+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
			\draw (M) node [below] {\color{red} $M$};
			\draw (N) node [below] {\color{red} $N$};
			\draw (P) node [above left] {\color{red} $P$};
			\draw (Q) node [above left] {\color{red} $Q$};
			\draw (M) node [] {\color{red} $\bullet$};
			\draw (N) node [] {\color{red} $\bullet$};
			\draw (P) node [] {\color{red} $\bullet$};
			\draw (Q) node [] {\color{red} $\bullet$};
			%Points des arêtes verticales.
			\coordinate (R) at ({\xA},{\yA+\hauteur / 2});
			\coordinate (S) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur / 2});
			\coordinate (T) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur / 2});
			\coordinate (U) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur / 2});
			\draw (R) node [left] {\color{blue} $R$};
			\draw (S) node [right] {\color{blue} $S$};
			\draw (T) node [right] {\color{blue} $T$};
			\draw (U) node [left] {\color{blue} $U$};
			\draw (R) node [] {\color{blue} $\bullet$};
			\draw (S) node [] {\color{blue} $\bullet$};
			\draw (T) node [] {\color{blue} $\bullet$};
			\draw (U) node [] {\color{blue} $\bullet$};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
\end{lecon}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		Sur le pavé droit avec les pints milieux à partir d'une description vectorielle de la droite en donner une description affine
	\end{notabene}
	
	On considère un pavé droit $ABCDEFGH$.
	
	Dans chaque cas décrivez par deux points la droite dont on donne un point et un vecteur directeur. Exemple: la droite passant par $A$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{AL}$ est la droite $(AL)$.
	
	\begin{tasks}
		\task La droite passant par $A$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{DC}$.%AB
		\task La droite passant par $H$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{TJ}$.%HA
		\task La droite passant par $M$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{UD}$.%MI
		\task La droite passant par $K$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{BE}$.%KU
		\task La droite passant par $A$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{AI}+ \overrightarrow{AE}$.%AM
		\task La droite passant par $B$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{HM}+ \overrightarrow{HD}$.%BP
		\task La droite passant par $S$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{AD}+ \overrightarrow{GH}$.%SU
		\task La droite passant par $G$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{FE}+ \overrightarrow{TC}$.%TU
		\task La droite passant par $I$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{KU}+ \frac{1}{2}\overrightarrow{KP}$.%IE
		\task La droite passant par $G$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{KL}+ \overrightarrow{KJ}$.%GF
		\task La droite passant par $I$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{DK}+ \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CG}$. %IG
		\task La droite passant par $F$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{UD}+ \overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{BS}$. %IG
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		Démontrer des alignements, de la colinéarité.
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\subsection{Plans de l'espace.}

\begin{lecon}
	
	Un plan de l'espace est défini pas la donnée d'un repère du plan ou de trois points distincts non alignés $(O,I,J)$. D'ailleurs dans ce cas le plan est nommé $(OIJ)$
	
	Le repère peut être retrouvé à partir des points: $(O; \overrightarrow{OI} , \overrightarrow{OJ})$.
	
\end{lecon}

\begin{lecon}
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
			\def\longueur{6};
			\def\hauteur{5};
			\def\profondeur{3};
			\def\angledefuite{40};
			\def\coefficientmultiplicateur{0.6};
			\def\xA{0};
			\def\yA{0};
			%Création des points du bas.
			\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
			\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
			\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
			\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
			%Création des points du haut
			\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
			\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
			\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
			\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
			%Nom des points du bas dans le sens direct
			\draw (A) node [below left] {$A$};
			\draw (B) node [below right] {$B$};
			\draw (C) node [below right] {$C$};
			\draw (D) node [above left] {$D$};
			\draw (E) node [above left] {$E$};
			\draw (F) node [above] {$F$};
			\draw (G) node [above right] {$G$};
			\draw (H) node [above left] {$H$};
			%Les arêtes du bas
			\draw [] (A) -- (B);
			\draw [] (B) -- (C);
			\draw [dashed] (C) -- (D);
			\draw [dashed] (D) -- (A);
			%Les arêtes verticales
			\draw [] (A) -- (E);
			\draw [] (B) -- (F);
			\draw [] (C) -- (G);
			\draw [dashed] (D) -- (H);
			%Les arête du haut
			\draw [] (E) -- (F);
			\draw [] (F) -- (G);
			\draw [] (G) -- (H);
			\draw [] (H) -- (E);
			%Points milieux du bas.
			\coordinate (L) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)/2},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)/2});
			\coordinate (I) at ({\xA+\longueur/2},{\yA});
			\coordinate (J) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)/2},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)/2});
			\coordinate (K) at ({\xA+\longueur/2+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
			\draw (I) node [below left] {\color{Gray} $I$};
			\draw (J) node [below right] {\color{Gray} $J$};
			\draw (K) node [above left] {\color{Gray} $K$};
			\draw (L) node [above left] {\color{Gray} $L$};
			\draw (I) node [] {\color{Gray} $\bullet$};
			\draw (J) node [] {\color{Gray} $\bullet$};
			\draw (K) node [] {\color{Gray} $\bullet$};
			\draw (L) node [] {\color{Gray} $\bullet$};
			%Points milieux du haut.
			\coordinate (Q) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)/2},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)/2+\hauteur});
			\coordinate (M) at ({\xA+\longueur/2},{\yA+\hauteur});
			\coordinate (N) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)/2},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)/2+\hauteur});
			\coordinate (P) at ({\xA+\longueur/2+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
			\draw (M) node [below] {\color{red} $M$};
			\draw (N) node [below] {\color{red} $N$};
			\draw (P) node [above left] {\color{red} $P$};
			\draw (Q) node [above left] {\color{red} $Q$};
			\draw (M) node [] {\color{red} $\bullet$};
			\draw (N) node [] {\color{red} $\bullet$};
			\draw (P) node [] {\color{red} $\bullet$};
			\draw (Q) node [] {\color{red} $\bullet$};
			%Points des arêtes verticales.
			\coordinate (R) at ({\xA},{\yA+\hauteur / 2});
			\coordinate (S) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur / 2});
			\coordinate (T) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur / 2});
			\coordinate (U) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur / 2});
			\draw (R) node [left] {\color{blue} $R$};
			\draw (S) node [right] {\color{blue} $S$};
			\draw (T) node [right] {\color{blue} $T$};
			\draw (U) node [left] {\color{blue} $U$};
			\draw (R) node [] {\color{blue} $\bullet$};
			\draw (S) node [] {\color{blue} $\bullet$};
			\draw (T) node [] {\color{blue} $\bullet$};
			\draw (U) node [] {\color{blue} $\bullet$};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
\end{lecon}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Donner un autre point qui appartienne au plan défini par $3$ lettres.
		
	\end{notabene}
	
	Donnez dans chaque cas un quatrième point du plan proposé. Par exemple, pour $(ABC)$ le point $D$ convient: $D \in (ABC)$.
	
	\begin{tasks}(4)
		\task $(DEF)$.
		\task $(HCD)$.
		\task $(EFB)$.
		\task $(BCF)$.
		\task $(FHG)$.
		\task $(UJT)$.
		\task $(PRM)$.
		\task $(LBS)$.
		\task $(MJI)$.
		\task $(DNH)$.
		\task $(NGT)$.
		\task $(PQN)$.
		\task $(RQM)$.
		\task $(USR)$.
		\task $(HRT)$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	
	\begin{tasks}(4)
		\task $C \in(DEF)$.
		\task $G \in (HCD)$.
		\task $A \in (EFB)$.
		\task $G \in (BCF)$.
		\task $M \in (FHG)$.
		\task $L \in (UJT)$.
		\task $U \in (PRM)$.
		\task $Q \in (LBS)$.
		\task $N \in (MJI)$.
		\task $J \in (DNH)$.
		\task $S \in (NGT)$.
		\task $G \in (PQN)$.
		\task $? \in (RQM)$.
		\task $T \in (USR)$.
		\task $B \in (HRT)$.
	\end{tasks}	
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Donner un nom grâce à trois lettres du plan défini par un point et une base
		
	\end{notabene}
	
	Nommez par trois points distincts deux à deux et non alignés, le plan dont on donne un point et une base.
	
	Par exemple pour $A$ et $\left( \overrightarrow{DU}, \overrightarrow{AB} \right)$, le plan est $(ABR)$, ou $(ASF)$.
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $S$ et $\left( \overrightarrow{SN}, \overrightarrow{AD} \right)$.
		\task $S$ et $\left( \overrightarrow{LU}, \overrightarrow{DC} \right)$.
		\task $D$ et $\left( \overrightarrow{GT}, \overrightarrow{US} \right)$.
		\task $M$ et $\left( \overrightarrow{EQ}, \overrightarrow{HP} \right)$.
		\task $K$ et $\left( \overrightarrow{NM}, \overrightarrow{BS} \right)$.
		\task $U$ et $\left( \overrightarrow{UE}, \overrightarrow{UP} \right)$.
		\task $M$ et $\left( \overrightarrow{UH}, \overrightarrow{KB} \right)$.
		\task $D$ et $\left( \overrightarrow{UM}, \overrightarrow{GT} \right)$.
		\task $U$ et $\left( \overrightarrow{SG}, \overrightarrow{HS} \right)$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $(BFC)$.
		\task $(NRS)$.
		\task $(URT)$.
		\task $(MFG)$.
		\task $(KPL)$.
		\task $(UEP)$.
		\task $(HMI)$.
		\task $(DUM)$.
		\task $(UBT)$.
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Lire sur la figure la décomposition d'un vecteur sur une base.
		
	\end{notabene}
	
	Lisez sur la figure la décomposition en combinaison linéaire du vecteur proposé sur la base donnée.
	
	Par exemple, pour $\overrightarrow{AC}$ et $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD} \right)$, on peut écrire: $\overrightarrow{AC}= \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AD}$.
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $\overrightarrow{AK}$ et $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD} \right)$.
		\task $\overrightarrow{DB}$ et $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD} \right)$.
		\task $\overrightarrow{IK}$ et $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD} \right)$.
		\task $\overrightarrow{LB}$ et $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD} \right)$.
		\task $\overrightarrow{DU}$ et $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD} \right)$.
		\task $\overrightarrow{FP}$ et $\left(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC} \right)$.
		\task $\overrightarrow{EJ}$ et $\left(\overrightarrow{DH},\overrightarrow{QC} \right)$.
		\task $\overrightarrow{IM}$ et $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AE} \right)$.
		\task $\overrightarrow{BH}$ et $\left(\overrightarrow{BG},\overrightarrow{BA} \right)$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Donnez quatre points non coplanaires du cube.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	
	\begin{notabene}
		
		Donnez des vecteurs formant une base d'un plan dans l'espace. Il faut un autre dessin que le cube.
	\end{notabene}
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\coordinate (A) at (0,0);
			\coordinate (B) at (5,-1);
			\coordinate (F) at (6,0);
			\coordinate (C) at (7,1);
			\coordinate (D) at (2,2);
			\coordinate (O) at (3.5,0.5);
			\coordinate (S) at (3.5,6);
			\coordinate (J) at (3.5,3.5);
			\coordinate (K) at (3,4.666);
			\draw (A) node {$\bullet$};
			\draw (B)node {$\bullet$};
			\draw (F)node {$\bullet$};
			\draw (C)node {$\bullet$};
			\draw (D)node {$\bullet$};
			\draw (O)node {$\bullet$};
			\draw (S)node {$\bullet$};
			\draw (J)node {$\bullet$};
			\draw (K)node {$\bullet$};
			\draw (A)node[below]{$A$};
			\draw (B)node[below right]{$B$};
			\draw (F)node[right]{$F$};
			\draw (C)node[right]{$C$};
			\draw (D)node[above right]{$D$};
			\draw (O)node[above right]{$O$};
			\draw (S)node[above]{$S$};
			\draw (J)node[above right]{$J$};
			\draw (K)node[below right]{$K$};
			\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
			\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
			\draw[blue, thick](A)--(S);
			\draw[blue, thick](B)--(S);
			\draw[blue, thick](C)--(S);
			\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
			\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
			\draw[blue, thick](F)--(S);
			\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
			\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
			\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
			\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
			\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
			\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
			\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;	
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Donnez au moins deux bases non triviales des plans suivants. Exemple: pour le plan $(ABC)$, $\left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CB} \right)$ est une base triviale, $\left( \overrightarrow{AO}, \overrightarrow{OC} \right)$ n'est pas une base mais $\left( \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OD} \right)$ est une base qui convient.
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $(ODJ)$.
		\task $(BCJ)$.
		\task $(ADK)$.
		\task $(SDC)$.
		\task $(DOC)$.
		\task $(ABS)$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{lecon}
	
	\newpage
	~
	
\end{lecon}

\subsection{Positions relatives de droites et plans.}

\subsubsection{Qu'entend-on par positions relatives de droites et de plans?}

\begin{lecon}
	
	Nous ne donnerons pas ici de définition de parallèle ou sécant. Nous verrons cela ultérieurement. Nous nous contenons d'un approche intuitive à la Euclide.
	
\end{lecon}

\begin{lecon}
	
	\noindent \begin{tabular}{m{5cm}m{6cm}}
		Afin d'illustrer la leçon nous choisirons des exemples provenant du cube $ABCDEFGH$ représenté ci-contre en perspective cavalière.
		& 
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5,line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
				\draw (0,0)-- (3,0);
				\draw (3,0)-- (5,2);
				\draw[dashed] (5,2)-- (2,2);
				\draw[dashed] (2,2)-- (0,0);
				\draw (3,0)-- (3,3);
				\draw (3,3)-- (0,3);
				\draw (3,3)-- (5,5);
				\draw (5,5)-- (2,5);
				\draw (2,5)-- (0,3);
				\draw (5,2)-- (5,5);
				\draw (0,0)-- (0,3);
				\draw[dashed] (2,5)-- (2,2);
				\begin{scriptsize}
					\fill [color=blue] (0,0) circle (0.5pt);
					\draw[color=blue] (0,0) node[below left] {$A$};
					\fill [color=blue] (3,0) circle (0.5pt);
					\draw[color=blue] (3,0) node[below right] {$B$};
					\fill [color=blue] (5,2) circle (0.5pt);
					\draw[color=blue] (5,2) node[right] {$C$};
					\fill [color=blue] (2,2) circle (0.5pt);
					\draw[color=blue] (2,2) node[left] {$D$};
					\fill [color=blue] (3,3) circle (0.5pt);
					\draw[color=blue] (3,3) node[below right] {$F$};
					\fill [color=blue] (0,3) circle (0.5pt);
					\draw[color=blue] (0,3) node[left] {$E$};
					\fill [color=blue] (5,5) circle (0.5pt);
					\draw[color=blue] (5,5) node[above] {$G$};
					\fill [color=blue] (2,5) circle (0.5pt);
					\draw[color=blue] (2,5) node[above] {$H$};
				\end{scriptsize}
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		\\ \end{tabular}
	
\end{lecon}

\subsubsection{Positions relatives de deux droites de l'espace.}

\begin{lecon}
	
	Il faut distinguer deux cas suivant que les droites peuvent être vues comme appartenant à un même plan ou non:
	
	\begin{flushleft}
		\tikzstyle{racine}=[rounded corners=0pt,fill=purple!35, text centered,text width=0cm]
		\tikzstyle{noeud}=[rounded corners=3pt,fill=lightgray!35, text centered,text width=2cm]
		\tikzstyle{noeud2}=[rounded corners=3pt,fill=green!35, text centered,text width=1cm]
		\begin{tikzpicture}
			\node[noeud] (A)at(-0.8,1){Deux droites sont};
			\node[noeud](B1)at(1.6,3.2){\color{purple}coplanaires};
			\node[noeud](B2)at(1.6,-0.8){\color{purple}non-coplanaires};
			\node[noeud](C1)at(4.8,4){\color{purple}Sécantes};
			\node[noeud](C2)at(4.8,2.4){\color{purple}Parallèles (ou confondues)};
			\draw (A)--(B1);
			\draw (A)--(B2);
			\draw (B1)--(C1);
			\draw (B1)--(C2);
			\node (D1)at(8,5){
				\begin{tikzpicture}[scale=0.3,line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
					\draw (0,0)-- (3,0);
					\draw (3,0)-- (5,2);
					\draw[dashed] (5,2)-- (2,2);
					\draw[dashed] (2,2)-- (0,0);
					\draw (3,0)-- (3,3);
					\draw[thick ,color=purple] (3,3)-- (0,3);
					\draw (3,3)-- (5,5);
					\draw (5,5)-- (2,5);
					\draw (2,5)-- (0,3);
					\draw (5,2)-- (5,5);
					\draw[thick , color=purple] (0,0)-- (0,3);
					\draw[dashed] (2,5)-- (2,2);
					\begin{scriptsize}
						\fill [color=blue] (0,0) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (0,0) node[below left] {$A$};
						\fill [color=blue] (3,0) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (3,0) node[below right] {$B$};
						\fill [color=blue] (5,2) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (5,2) node[right] {$C$};
						\fill [color=blue] (2,2) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (2,2) node[left] {$D$};
						\fill [color=blue] (3,3) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (3,3) node[below right] {$F$};
						\fill [color=blue] (0,3) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (0,3) node[left] {$E$};
						\fill [color=blue] (5,5) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (5,5) node[above] {$G$};
						\fill [color=blue] (2,5) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (2,5) node[above] {$H$};
					\end{scriptsize}
				\end{tikzpicture}
			};
			\node (D2)at(8,1.6){
				\begin{tikzpicture}[scale=0.3,line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
					\draw (0,0)-- (3,0);
					\draw (3,0)-- (5,2);
					\draw[dashed] (5,2)-- (2,2);
					\draw[dashed] (2,2)-- (0,0);
					\draw (3,0)-- (3,3);
					\draw (3,3)-- (0,3);
					\draw[thick ,color=purple] (3,3)-- (5,5);
					\draw (5,5)-- (2,5);
					\draw[thick ,color=purple] (2,5)-- (0,3);
					\draw (5,2)-- (5,5);
					\draw (0,0)-- (0,3);
					\draw[dashed] (2,5)-- (2,2);
					\begin{scriptsize}
						\fill [color=blue] (0,0) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (0,0) node[below left] {$A$};
						\fill [color=blue] (3,0) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (3,0) node[below right] {$B$};
						\fill [color=blue] (5,2) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (5,2) node[right] {$C$};
						\fill [color=blue] (2,2) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (2,2) node[left] {$D$};
						\fill [color=blue] (3,3) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (3,3) node[below right] {$F$};
						\fill [color=blue] (0,3) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (0,3) node[left] {$E$};
						\fill [color=blue] (5,5) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (5,5) node[above] {$G$};
						\fill [color=blue] (2,5) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (2,5) node[above] {$H$};
					\end{scriptsize}
				\end{tikzpicture}
			};
			\node (D3)at(5,-0.8){
				\begin{tikzpicture}[scale=0.3,line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
					\draw (0,0)-- (3,0);
					\draw (3,0)-- (5,2);
					\draw[dashed] (5,2)-- (2,2);
					\draw[dashed] (2,2)-- (0,0);
					\draw (3,0)-- (3,3);
					\draw (3,3)-- (0,3);
					\draw (3,3)-- (5,5);
					\draw (5,5)-- (2,5);
					\draw[thick ,color=purple] (3,0)--(5,5);
					\draw[thick ,color=purple] (2,5)-- (0,3);
					\draw (5,2)-- (5,5);
					\draw (0,0)-- (0,3);
					\draw[dashed] (2,5)-- (2,2);
					\begin{scriptsize}
						\fill [color=blue] (0,0) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (0,0) node[below left] {$A$};
						\fill [color=blue] (3,0) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (3,0) node[below right] {$B$};
						\fill [color=blue] (5,2) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (5,2) node[right] {$C$};
						\fill [color=blue] (2,2) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (2,2) node[left] {$D$};
						\fill [color=blue] (3,3) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (3,3) node[below right] {$F$};
						\fill [color=blue] (0,3) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (0,3) node[left] {$E$};
						\fill [color=blue] (5,5) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (5,5) node[above] {$G$};
						\fill [color=blue] (2,5) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (2,5) node[above] {$H$};
					\end{scriptsize}
				\end{tikzpicture}
			};
			\draw (C1)--(D1);
			\draw (C2)--(D2);
			\draw (B2)--(D3);
		\end{tikzpicture}
	\end{flushleft}
	
\end{lecon}

\subsubsection{Positions relatives de deux plans.}

\begin{lecon}
	
	\begin{center}
		\tikzstyle{racine}=[rounded corners=0pt,fill=purple!35, text centered,text width=0cm]
		\tikzstyle{noeud}=[rounded corners=3pt,fill=lightgray!35, text centered,text width=2cm]
		\tikzstyle{noeud2}=[rounded corners=3pt,fill=green!35, text centered,text width=1cm]
		\begin{tikzpicture}
			\node[noeud] (A)at(-0.8,1){Deux plans sont};
			\node[noeud](B1)at(1.6,2.4){\color{purple}Sécants};
			\node[noeud](B2)at(1.6,0){\color{purple}Parallèles (ou confondus)};
			\draw (A)--(B1);
			\draw (A)--(B2);
			\node (C1)at(5,3.2){
				\begin{tikzpicture}[scale=0.3,line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
					\draw [black,fill=gray!20] (3,0)--(0,3)--(2,5)--(5,2)--(3,0);
					\draw [black,fill=pink ,opacity=0.5] (3,0)--(3,3)--(5,5)--(5,2)--(3,0);
					\draw (0,0)-- (3,0);
					\draw (3,0)-- (5,2);
					\draw[dashed] (5,2)-- (2,2);
					\draw[dashed] (2,2)-- (0,0);
					\draw (3,0)-- (3,3);
					\draw (3,3)-- (0,3);
					\draw (3,3)-- (5,5);
					\draw (5,5)-- (2,5);
					\draw (2,5)-- (0,3);
					\draw (5,2)-- (5,5);
					\draw (0,0)-- (0,3);
					\draw[dashed] (2,5)-- (2,2);
					\begin{scriptsize}
						\fill [color=blue] (0,0) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (0,0) node[below left] {$A$};
						\fill [color=blue] (3,0) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (3,0) node[below right] {$B$};
						\fill [color=blue] (5,2) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (5,2) node[right] {$C$};
						\fill [color=blue] (2,2) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (2,2) node[left] {$D$};
						\fill [color=blue] (3,3) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (3,3) node[below right] {$F$};
						\fill [color=blue] (0,3) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (0,3) node[left] {$E$};
						\fill [color=blue] (5,5) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (5,5) node[above] {$G$};
						\fill [color=blue] (2,5) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (2,5) node[above] {$H$};
					\end{scriptsize}
				\end{tikzpicture}
			};
			\node (C2)at(5,-0.8){
				\begin{tikzpicture}[scale=0.3,line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
					\draw [black,fill=gray!20] (0,0)--(0,3)--(2,5)--(2,2)--(0,0);
					\draw [black,fill=pink ,opacity=0.5] (3,0)--(3,3)--(5,5)--(5,2)--(3,0);
					\draw (0,0)-- (3,0);
					\draw (3,0)-- (5,2);
					\draw[dashed] (5,2)-- (2,2);
					\draw[dashed] (2,2)-- (0,0);
					\draw (3,0)-- (3,3);
					\draw (3,3)-- (0,3);
					\draw (3,3)-- (5,5);
					\draw (5,5)-- (2,5);
					\draw (2,5)-- (0,3);
					\draw (5,2)-- (5,5);
					\draw (0,0)-- (0,3);
					\draw[dashed] (2,5)-- (2,2);
					\begin{scriptsize}
						\fill [color=blue] (0,0) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (0,0) node[below left] {$A$};
						\fill [color=blue] (3,0) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (3,0) node[below right] {$B$};
						\fill [color=blue] (5,2) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (5,2) node[right] {$C$};
						\fill [color=blue] (2,2) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (2,2) node[left] {$D$};
						\fill [color=blue] (3,3) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (3,3) node[below right] {$F$};
						\fill [color=blue] (0,3) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (0,3) node[left] {$E$};
						\fill [color=blue] (5,5) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (5,5) node[above] {$G$};
						\fill [color=blue] (2,5) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (2,5) node[above] {$H$};
					\end{scriptsize}
				\end{tikzpicture}
			};
			\draw (B1)--(C1);
			\draw (B2)--(C2);
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{lecon}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\item L'intersection de deux plans sécants est une droite. Sur la figure: $(EBC)$ et $(FBC)$ se coupent suivant $(BC)$.
		\item Si deux plans sont parallèles, alors tout plan sécant à l'un l'est aussi à l'autre.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\subsubsection{Positions relatives d'une droite et d'un plan.}

\begin{lecon}
	
	Étude de la position relative de la droite et du plan $(ABC)$.
	
	\begin{center}
		\tikzstyle{racine}=[rounded corners=0pt,fill=purple!35, text centered,text width=0cm]
		\tikzstyle{noeud}=[rounded corners=3pt,fill=lightgray!35, text centered,text width=2cm]
		\tikzstyle{noeud2}=[rounded corners=3pt,fill=green!35, text centered,text width=1cm]
		\begin{tikzpicture}
			\node[noeud] (A)at(-0.8,1){Une droite et un plan sont};
			\node[noeud](B1)at(1.6,2.4){sécants};
			\node[noeud](B2)at(1.6,0){\color{purple}parallèles};
			\node[noeud](C1)at(4.8,0.8){\color{purple}Strictement parallèles};
			\node[noeud](C2)at(4.8,-0.8){\color{purple}La droite est incluse dans le plan};
			\draw (A)--(B1);
			\draw (A)--(B2);
			\draw (B2)--(C1);
			\draw (B2)--(C2);
			\node (D1)at(5,3){
				\begin{tikzpicture}[scale=0.3,line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
					\draw [black,fill=pink ,opacity=0.5] (0,0)--(3,0)--(5,2)--(2,2)--(0,0);
					\draw [black,fill=lightgray ,opacity=0.5] (0,3)--(3,3)--(5,5)--(2,5)--(0,3);
					\draw (0,0)-- (3,0);
					\draw (3,0)-- (5,2);
					\draw[dashed] (5,2)-- (2,2);
					\draw[dashed] (2,2)-- (0,0);
					\draw (3,0)-- (3,3);
					\draw (3,3)-- (0,3);
					\draw (3,3)-- (5,5);
					\draw (5,5)-- (2,5);
					\draw (2,5)-- (0,3);
					\draw (5,2)-- (5,5);
					\draw (0,0)-- (0,3);
					\draw[color=purple , thick] (3,4)-- (2,1);
					\draw[color=purple , thick] (3.666666,6)--(3,4);
					\draw[color=purple , thick , dotted] (2,1)--(1.666666,0);
					\draw[color=purple , thick ] (1.6666666,0)--(1.3333333,-1);
					\draw[dashed] (2,5)-- (2,2);
					\begin{scriptsize}
						\fill [color=blue] (0,0) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (0,0) node[below left] {$A$};
						\fill [color=blue] (3,0) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (3,0) node[below right] {$B$};
						\fill [color=blue] (5,2) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (5,2) node[right] {$C$};
						\fill [color=blue] (2,2) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (2,2) node[left] {$D$};
						\fill [color=blue] (3,3) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (3,3) node[below right] {$F$};
						\fill [color=blue] (0,3) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (0,3) node[left] {$E$};
						\fill [color=blue] (5,5) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (5,5) node[above] {$G$};
						\fill [color=blue] (2,5) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (2,5) node[above] {$H$};
						\fill [color=blue] (2,1) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (2,1) node {$\times$};
						\draw[color=blue] (2,1) node[below right] {$I$};
						\fill [color=blue] (3,4) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (3,4) node{$\times$};
					\end{scriptsize}
				\end{tikzpicture}
			};
			\node (D2)at(8,1.2){
				\begin{tikzpicture}[scale=0.3,line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
					\draw [black,fill=pink ,opacity=0.5] (0,0)--(3,0)--(5,2)--(2,2)--(0,0);
					\draw [black,fill=lightgray ,opacity=0.5] (0,3)--(3,3)--(5,5)--(2,5)--(0,3);
					\draw (0,0)-- (3,0);
					\draw (3,0)-- (5,2);
					\draw[dashed] (5,2)-- (2,2);
					\draw[dashed] (2,2)-- (0,0);
					\draw (3,0)-- (3,3);
					\draw (3,3)-- (0,3);
					\draw (3,3)-- (5,5);
					\draw (5,5)-- (2,5);
					\draw (2,5)-- (0,3);
					\draw (5,2)-- (5,5);
					\draw (0,0)-- (0,3);
					\draw[color=purple , thick] (6,4)--(0,4);
					\draw[dashed] (2,5)-- (2,2);
					\begin{scriptsize}
						\fill [color=blue] (0,0) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (0,0) node[below left] {$A$};
						\fill [color=blue] (3,0) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (3,0) node[below right] {$B$};
						\fill [color=blue] (5,2) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (5,2) node[right] {$C$};
						\fill [color=blue] (2,2) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (2,2) node[left] {$D$};
						\fill [color=blue] (3,3) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (3,3) node[below right] {$F$};
						\fill [color=blue] (0,3) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (0,3) node[left] {$E$};
						\fill [color=blue] (5,5) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (5,5) node[above] {$G$};
						\fill [color=blue] (2,5) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (2,5) node[above] {$H$};
						\fill [color=blue] (1,4) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (1,4) node {$\bullet$};
						\fill [color=blue] (4,4) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (4,4) node{$\bullet$};
					\end{scriptsize}
				\end{tikzpicture}
			};
			\node (D3)at(8,-1.2){
				\begin{tikzpicture}[scale=0.3,line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
					\draw [black,fill=pink ,opacity=0.5] (0,0)--(3,0)--(5,2)--(2,2)--(0,0);
					\draw [black,fill=lightgray ,opacity=0.5] (0,3)--(3,3)--(5,5)--(2,5)--(0,3);
					\draw (0,0)-- (3,0);
					\draw (3,0)-- (5,2);
					\draw[dashed] (5,2)-- (2,2);
					\draw[dashed] (2,2)-- (0,0);
					\draw (3,0)-- (3,3);
					\draw (3,3)-- (0,3);
					\draw (3,3)-- (5,5);
					\draw (5,5)-- (2,5);
					\draw (2,5)-- (0,3);
					\draw (5,2)-- (5,5);
					\draw (0,0)-- (0,3);
					\draw[color=purple , thick] (6,1)--(0,1);
					\draw[dashed] (2,5)-- (2,2);
					\begin{scriptsize}
						\fill [color=blue] (0,0) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (0,0) node[below left] {$A$};
						\fill [color=blue] (3,0) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (3,0) node[below right] {$B$};
						\fill [color=blue] (5,2) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (5,2) node[right] {$C$};
						\fill [color=blue] (2,2) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (2,2) node[left] {$D$};
						\fill [color=blue] (3,3) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (3,3) node[below right] {$F$};
						\fill [color=blue] (0,3) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (0,3) node[left] {$E$};
						\fill [color=blue] (5,5) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (5,5) node[above] {$G$};
						\fill [color=blue] (2,5) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (2,5) node[above] {$H$};
						\fill [color=blue] (1,1) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (1,1) node {$\bullet$};
						\fill [color=blue] (4,1) circle (0.5pt);
						\draw[color=blue] (4,1) node{$\bullet$};
					\end{scriptsize}
				\end{tikzpicture}
			};
			\draw (B1)--(D1);
			\draw (C1)--(D2);
			\draw (C2)--(D3);
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{lecon}

\subsubsection{Intersection.}

\begin{notabene}
	
	Développer en regardant les différents cas précédents de positions relatives.
	
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	Lorsque l'intersection (partie commune) de droites et de plans est non vide il s'agira de préciser cette intersection en donnant sa nature et son nom.
	
\end{lecon}

\subsubsection{Exercices.}

\begin{lecon}
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
			\def\longueur{6};
			\def\hauteur{5};
			\def\profondeur{3};
			\def\angledefuite{40};
			\def\coefficientmultiplicateur{0.6};
			\def\xA{0};
			\def\yA{0};
			%Création des points du bas.
			\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
			\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
			\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
			\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
			%Création des points du haut
			\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
			\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
			\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
			\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
			%Nom des points du bas dans le sens direct
			\draw (A) node [below left] {$A$};
			\draw (B) node [below right] {$B$};
			\draw (C) node [below right] {$C$};
			\draw (D) node [above left] {$D$};
			\draw (E) node [above left] {$E$};
			\draw (F) node [above] {$F$};
			\draw (G) node [above right] {$G$};
			\draw (H) node [above left] {$H$};
			%Les arêtes du bas
			\draw [] (A) -- (B);
			\draw [] (B) -- (C);
			\draw [dashed] (C) -- (D);
			\draw [dashed] (D) -- (A);
			%Les arêtes verticales
			\draw [] (A) -- (E);
			\draw [] (B) -- (F);
			\draw [] (C) -- (G);
			\draw [dashed] (D) -- (H);
			%Les arête du haut
			\draw [] (E) -- (F);
			\draw [] (F) -- (G);
			\draw [] (G) -- (H);
			\draw [] (H) -- (E);
			%Points milieux du bas.
			\coordinate (L) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)/2},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)/2});
			\coordinate (I) at ({\xA+\longueur/2},{\yA});
			\coordinate (J) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)/2},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)/2});
			\coordinate (K) at ({\xA+\longueur/2+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
			\draw (I) node [below left] {\color{Gray} $I$};
			\draw (J) node [below right] {\color{Gray} $J$};
			\draw (K) node [above left] {\color{Gray} $K$};
			\draw (L) node [above left] {\color{Gray} $L$};
			\draw (I) node [] {\color{Gray} $\bullet$};
			\draw (J) node [] {\color{Gray} $\bullet$};
			\draw (K) node [] {\color{Gray} $\bullet$};
			\draw (L) node [] {\color{Gray} $\bullet$};
			%Points milieux du haut.
			\coordinate (Q) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)/2},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)/2+\hauteur});
			\coordinate (M) at ({\xA+\longueur/2},{\yA+\hauteur});
			\coordinate (N) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)/2},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)/2+\hauteur});
			\coordinate (P) at ({\xA+\longueur/2+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
			\draw (M) node [below] {\color{red} $M$};
			\draw (N) node [below] {\color{red} $N$};
			\draw (P) node [above left] {\color{red} $P$};
			\draw (Q) node [above left] {\color{red} $Q$};
			\draw (M) node [] {\color{red} $\bullet$};
			\draw (N) node [] {\color{red} $\bullet$};
			\draw (P) node [] {\color{red} $\bullet$};
			\draw (Q) node [] {\color{red} $\bullet$};
			%Points des arêtes verticales.
			\coordinate (R) at ({\xA},{\yA+\hauteur / 2});
			\coordinate (S) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur / 2});
			\coordinate (T) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur / 2});
			\coordinate (U) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur / 2});
			\draw (R) node [left] {\color{blue} $R$};
			\draw (S) node [right] {\color{blue} $S$};
			\draw (T) node [right] {\color{blue} $T$};
			\draw (U) node [left] {\color{blue} $U$};
			\draw (R) node [] {\color{blue} $\bullet$};
			\draw (S) node [] {\color{blue} $\bullet$};
			\draw (T) node [] {\color{blue} $\bullet$};
			\draw (U) node [] {\color{blue} $\bullet$};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
\end{lecon}

\begin{exercice}{}
	
	Indiquez par lecture la position relative des deux droites proposées.
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $(AD)$ et $(KC)$.
		\task $(SI)$ et $(UP)$.
		\task $(UI)$ et $(GR)$.
		\task $(EM)$ et $(NG)$.
		\task $(PG)$ et $(PH)$.
		\task $(LB)$ et $(JC)$.
		\task $(HS)$ et $(RU)$.
		\task $(RS)$ et $(BM)$.
		\task $(RM)$ et $(AB)$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Indiquez par lecture la position relative de la droite et du plan proposés.
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $(IB)$ et $(AFG)$.
		\task $(PF)$ et $(IKL)$.
		\task $(BF)$ et $(EHP)$.
		\task $(IK)$ et $(ADC)$.
		\task $(BU)$ et $(ACG)$.
		\task $(AN)$ et $(REJ)$.
		\task $(KM)$ et $(BCG)$.
		\task $(BE)$ et $(HGS)$.
		\task $(FN)$ et $(EHB)$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Indiquez par lecture la position relative des plans proposés.
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $(RMP)$ et $(KTS)$.
		\task $(PQM)$ et $(HGF)$.
		\task $(IDC)$ et $(RFP)$.
		\task $(DUR)$ et $(SKC)$.
		\task $(KIM)$ et $(BTS)$.
		\task $(NEM)$ et $(RUT)$.
		\task $(BMP)$ et $(HEI)$.
		\task $(FCR)$ et $(HIM)$.
		\task $(HEB)$ et $(JCH)$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Déterminez l'intersection des deux plans proposés.
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $(MPQ)$ et $(BDS)$.
		\task $(PIN)$ et $(SIN)$.
		\task $(QUA)$ et $(KIM)$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Exercices en ligne pour construire et visualiser les intersections dans l'espace: \href{http://www.lycee-valin.fr/maths/exercices_en_ligne/espace.html}{site du lycée Valin} ou directement sur \href{https://www.geogebra.org/m/M37sWNAj}{Geogebra.}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	\begin{notabene}
		Barabzo spé 2020 page 364 exo 36
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\draw (O) node {$\bullet$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\draw (I) node {$\bullet$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	\draw (J) node {$\bullet$};
	%Graduations
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Rectangle en coin.}

\begin{tikzpicture}
	\def\xangledroit{0};
	\def\yangledroit{0};
	\def\longueurangledroit{0.5};
	\draw[fill=green!30,rotate around={{20}:({\xangledroit},{\yangledroit})}] ({\xangledroit},{\yangledroit}) rectangle ({\xangledroit+\longueurangledroit},{\yangledroit+\longueurangledroit});
\end{tikzpicture}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}