%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/0ieme.html}{04 Dérivation.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour abrege
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}\exclure{culturegenerale}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene}

%Pour les exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour les correction d'exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{04 Dérivation.}

\begin{notabene}
	Rappels, composition, fonctions trigonométriques
\end{notabene}

\subsection{Fonctions de référence.}

\begin{notabene}
	\color{red}Virer les trigonométrique ou les indiquer comme pas du programme de première
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
		\hline
		&&&&&&\\
		$f(x)=$ & $k \in \mathbb{R}$ & $x$ & $x^2$ & $x^3$ & $x^n$, $n \in \mathbb{N}^*$ & $\mathrm{e}^x$
		\\
		&&&&&&\\
		\hline
		&&&&&&\\
		$f'(x)=$ & $0$ & $1$ & $2x$ & $3x^2$ & $nx^{n-1}$ & $\mathrm{e}^x$
		\\
		&&&&&&\\
		\hline
	\end{tabularx}
	
	\medskip
	
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
		\hline
		&&&&&&\\
		$f(x)=$ & $\sqrt{x}$ & $\dfrac{1}{x}$ & $\dfrac{1}{x^2}$ & $\dfrac{1}{x^n}$, $n \in \mathbb{N}^*$ & $\cos(x)$ & $\sin(x)$
		\\
		&&&&&&\\
		\hline
		&&&&&&\\
		$f'(x)=$ & $\dfrac{1}{2 \sqrt{x}}$ & $-\dfrac{1}{x^2}$ & $-\dfrac{2}{x^3}$ & $-\dfrac{n}{x^{n+1}}$ & $-\sin(x)$ & $\cos(x)$
		\\
		&&&&&&\\
		\hline
	\end{tabularx}
	
\end{lecon}

\begin{lecon}
	
	Si $g$ est dérivable et si la fonction $x \mapsto g(ax+b)$ est bien définie alors cette dernière est dérivable et sa dérivée est $x \mapsto ag'(ax+b)$.
	
\end{lecon}

\subsection{Combinaisons linéaires.}

\begin{proposition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\lambda$ et $\mu$ des réels,
		\item $f$ et $g$ des fonctions.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Si $f $et $g$ sont dérivables sur un intervalle $I$ alors $\lambda f + \mu g$ est dérivable sur $I$ et \[ \left( \lambda f + \mu g \right)'= \lambda f'+ \mu g'. \]
	
\end{proposition}

\begin{corollaire}{}
	
	Toute fonction polynomiale $P:x \mapsto a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \dots +a_2x^2+a_1x+a_0$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $P'(x)= na_nx^{n-1}+(n-1) a_{n-1} x^{n-2}+ \dots +2a_2x+a_1$.
	
\end{corollaire}

\subsection{Produit et quotient.}

\begin{proposition}{}
	
	Si $u$ et $v$ sont des fonctions dérivables sur $I$ alors $uv$ est dérivable sur $I$ et \[ (uv)'= u'v+uv'. \]
	
\end{proposition}

\begin{proposition}{}
	
	
	Si $u$ et $v$ sont des fonctions dérivables sur $I$  et $v$ ne s'annule pas sur $I$ alors $\frac{u}{v}$ est dérivable sur $I$ et \[ \left(\frac{u}{v}\right)'= \frac{u'v-uv'}{v^2}. \]
	
\end{proposition}

\subsection{Dérivation et variation.}

\subsubsection{Rappels.}

\begin{lecon}
	
	Trois propositions importantes sont à savoir mettre en pratique.
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $f$ est croissante si et seulement si $f'\geqslant 0$.
		
		\item Si $f'>0$ alors $f$ est strictement croissante.
		
		\item $f'=0$ si et seulement si $f$ est constante.
		
	\end{enumerate}
	
\end{lecon}

\subsubsection{Exercices.}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Étude de fonctions de difficultés croissantes avec allure de la courbe.
		
		rappeler le rôle des tangentes.
		
		utiliser la calculatrice
		
	\end{notabene}
	
	Pour la fonction $f$ proposée, procédez à son étude puis donnez l'allure de sa courbe représentative. 
	
	\emph{L'étude d'une fonction inclus, en toute rigueur et sans exhaustivité: recherche du domaine de définition, étude de la parité, étude de la dérivabilité, calcul de la fonction dérivée, étude du signe de la fonction dérivée, variations de la fonction, calcul d'images remarquables ou simples.}
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $f: x \mapsto x$.
		\task $f: x \mapsto x^2$.
		\task $f: x \mapsto x^3$.
		\task $f: x \mapsto \sqrt{x}$.
		\task $f: x \mapsto \frac{1}{x}$.
		\task $f: x \mapsto \mathrm{e}^x$.
		\task $f: x \mapsto 2x+3$.
		\task $f: x \mapsto -4x+1$.
		\task $f: x \mapsto 3x+6$.
		\task $f: x \mapsto 2x^2-4x+5$. %2(x-1)^2+3=2x^2-4x+5
		\task $f: x \mapsto -3x^2-12x-14$.%-3(x+2)^2-2=-3x^2-12x-14
		\task $f: x \mapsto \frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2-2x+1$. %(x-1)(x+2)=x^2+x-2
		\task $f: x \mapsto -\frac{2}{3} x^3+13x^2+28x-17 $.%-2(x-14)(x+1)=-2x^2+26x+28
		\task $f: x \mapsto -2x^2+5\sqrt{x}-\mathrm{e}^x$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}(1)
		\task Fonction de référence. $f': x \mapsto 1$.
		\task Fonction de référence. $f': x \mapsto 2x$.
		\task Fonction de référence. $f': x \mapsto 3x^2$.
		\task Fonction de référence. $f': x \mapsto \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
		\task Fonction de référence. $f': x \mapsto -\frac{1}{x^2}$.
		\task Fonction de référence. $f': x \mapsto \mathrm{e}^x$.
		\task Fonction affine. $f': x \mapsto 2$.
		\task Fonction affine. $f': x \mapsto -4$.
		\task Fonction affine. $f': x \mapsto 3$.
		\task Fonction polynomiale de degré deux. Possibilité d'étude des variations avec la forme canonique du trinôme.
		
		\smallskip
		\objectif{Étudions la fonction $f$.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Calculons la dérivée de $f$.
			
			$f$ est polynomiale donc dérivable sur $\mathbb{R}$ et, pour tout $x \in \mathbb{R}$: \[ f'(x)=4x-4.\]
			
			\item Étude du signe de $f'$.
			
			$f'$ est affine de coefficient directeur $4>0$ donc strictement croissante. De plus $f'(x)=0 \Leftrightarrow x=1$.
			
			\item Nous en déduisons
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
					\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
					{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
					\tkzTabLine{,-,z,+,}%
					\tkzTabVar {+/ , - / $3$ , + /  / }
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\item Pour le tracer faire apparaître le point de coordonnées $(1;3)$ et la tangente horizontale en ce point. Mais aussi le point d'intersection avec l'axe des ordonnées de coordonnées $(0;5)$.
			
		\end{enumerate}			
		\task $f': x \mapsto -6x-12$.%-3(x+2)^2-2=-3x^2-12x-14
		\task %$f': x \mapsto x^2+x-2$. %(x-1)(x+2)=x^2+x-2
		
		\objectif{Étudions la fonction $f$.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Calculons la dérivée de $f$.
			
			$f$ est polynomiale donc dérivable sur $\mathbb{R}$ et, pour tout $x \in \mathbb{R}$: \[ f'(x)=x^2+x-2.\]
			
			\item Étude du signe de $f'$.
			
			$f'$ est polynomiale de degré deux et son discriminant est $\Delta= b^2-4ac=1^2-4 \times 1 \times (-2)=9$.
			
			$\Delta>0$ donc $f'$admet deux racines réelles distinctes: \[ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2 a}= \frac{-1-\sqrt{9}}{2 \times 1}=-2, \] et \[ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2 a}= \frac{-1+\sqrt{9}}{2 \times 1}=1. \]
			
			De plus le coefficient dominant  de $f'$ est $a=1>0$.
			
			\item Nous en déduisons (le trinôme es du signe de son coefficient dominant sauf entre les racines):
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
					\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
					{$-\infty$ , $-2$ ,$1$, $+\infty$}
					\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}%
					\tkzTabVar {-/ , + / $\frac{13}{3}$ , - / $-\frac{1}{6}$, + / / }
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\item Pour le tracer faire apparaître les points de coordonnées $\left( -2, \frac{13}{3} \right)$ et $\left( 1,-\frac{1}{6} \right)$ et la tangente horizontale en ces points. Mais aussi le point d'intersection avec l'axe des ordonnées de coordonnées $(0;1)$.
			
		\end{enumerate}
		\task $f': x \mapsto -x^2+26x+28$.%-2(x-14)(x+1)=-2x^2+26x+28
		\task $f': x \mapsto -4x+\frac{5}{2\sqrt{x}}-\mathrm{e}^x$.
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Étude de fonctions de difficultés croissantes avec allure de la courbe.
		
		rappeler le rôle des tangentes.
		
		utiliser la calculatrice
		
	\end{notabene}
	
	Pour la fonction $f$ proposée, procédez à son étude puis donnez l'allure de sa courbe représentative. 
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $f: x \mapsto (x+1)\mathrm{e}^x$.
		\task $f: x \mapsto (x^2+2x+1)\mathrm{e}^x$.
		\task $f: x \mapsto (-3x+2)\sqrt{x}$.
		\task $f: x \mapsto (x^2+x+1)\sqrt{x}$.
		\task $f: x \mapsto \frac{\mathrm{e}^x}{x^2+1}$.
		\task $f: x \mapsto \frac{-2x+1}{3x+6}$.
		\task $f: x \mapsto \frac{x^2-2}{x^2+x+1}$.
		\task $f: x \mapsto \frac{\sqrt{x}}{x+1}$.
		\task $f: x \mapsto \frac{-x+3}{x^7}$.
		\task $f: x \mapsto \sqrt{3x+6}$.
		\task $f: x \mapsto (2x+1)^7$.
		\task $f: x \mapsto \frac{3}{(-2x+1)^3}$.
		\task $f: x \mapsto \mathrm{e}^{-2x+7}$.
		\task $f: x \mapsto x^2 \mathrm{e}^{3x+6}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}(1)
		\task $f': x \mapsto \mathrm{e}^x + (x+1)\mathrm{e}^x$. $f'(x)=(x+2)\mathrm{e}^x$.
		\task $f': x \mapsto (2x+2)\mathrm{e}^x+(x^2+2X+1)\mathrm{e}^x$. $f'(x)= (x^2+4x+3)\mathrm{e}^x$. 
		\task $f': x \mapsto -3\sqrt{x}+\frac{-3x+2}{2\sqrt{x}}$. $f'(x)=\frac{-9x+2}{2\sqrt{x}}$.
		\task $f': x \mapsto (2x+1)\sqrt{x}+ \frac{x^2+x+1}{2\sqrt{x}}$. $f'(x)=\frac{5x^2+3x+1}{2\sqrt{x}}$.
		\task $f': x \mapsto \frac{\mathrm{e}^x(x^2+1)-2x\mathrm{e}^x}{(x^2+1)^2}$. $f'(x)=\frac{\mathrm{e}^x(x-1)^2}{(x^2+1)^2}$.
		\task $f': x \mapsto \frac{-2(3x+6)-3(-2x+1)}{(3x+6)^2}$. $f'(x)=-\frac{15}{(3x+6)^2}$.
		\task $f': x \mapsto \frac{2x(x^2+x+1)-(x^2-2)(2x+1)}{(x^2+x+1)^2}$. $f'(x)=\frac{2x^3+2x^2+2x-2x^3-x^2+4x+2}{(x^2+x+1)^2}=\frac{x^2+6x+2}{(x^2+x+1)^2}$.
		\task $f': x \mapsto \frac{\frac{x+1}{2\sqrt{x}}-\sqrt{x}}{(x+1)^2}$. $f'(x)= \frac{-x+1}{2\sqrt{x}(x+1)^2}$.
		\task $f': x \mapsto \frac{-x^7-(-x+3)7x^6}{(x^7)^2}$. $f'(x)= \frac{6x^7-21x^6}{(x^7)^2}=\frac{x^6(6x-21)}{(x^7)^2}$.
		\task $f': x \mapsto \frac{3}{2\sqrt{3x+6}}$.
		\task $f': x \mapsto 2 \times 7(2x+1)^6$.
		\task $f': x \mapsto \frac{3\times(-3) \times (-2)}{(-2x+1)^4}$.
		\task $f': x \mapsto -2\mathrm{e}^{-2x+7}$.
		\task $f': x \mapsto 2x \mathrm{e}^{3x+6}+x^2 3 \mathrm{e}^{3x+6}$. $f'(x)=x \mathrm{e}^{3x+6} (3x-2)$.
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Donnez, par lecture graphique, le tableau de variation de la fonction $f$ dont la fonction dérivée $f'$ est représentée ci-dessous.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[yscale=0.8]
			\def\xY{-5};
			\def\yY{-1.5};
			\def\xZ{5};
			\def\yZ{2.5};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \x};
			\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \y};
			\draw[red] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_{f'}$};
			\draw[red, thick] plot[smooth] coordinates {(-4,2)(-3,0)(-2.4,-0.5)(-1.5,0)(1,2)(3,0)(4,-1)};
			\draw(-4,2)node{$\bullet$};
			\draw(4,-1)node{$\bullet$};	
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}C'est la fonction dérivée, $f'$, qui est représentée. À partir de son signe nous pourrons retrouver les variations de $f$ d'après le théorème.
		
		Pour se représenter les choses et justifier notre réponse, nous pouvons construire un tableau indiquant le signe de la dérivée et la variation de la fonction.}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Donnez, par lecture graphique, le tableau de signe de la fonction $f'$ dérivée de la fonction $f$ qui est représentée ci-dessous.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[yscale=0.8]
			\def\xY{-5};
			\def\yY{-1.5};
			\def\xZ{5};
			\def\yZ{2.5};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \x};
			\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \y};
			\draw[red] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_{f}$};
			\draw[red, thick] plot[smooth] coordinates {(-4,2)(-2,-0.5)(1,2)(3,0)(4,-1)};
			\draw(-4,2)node{$\bullet$};
			\draw(4,-1)node{$\bullet$};	
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}C'est la fonction $f$ qui est représentée. À partir de ses variations nous pourrons retrouver le signe de sa fonction dérivée $f'$ d'après le théorème.}
	
\end{exercicecorrection}


\begin{exercice}{}
	
	La dérivée $f'$ d'une fonction $f$ est représentée ci-contre. Par lecture graphique précisez les extrema locaux de $f$ et pour quelles valeurs de $x$ ils sont atteints.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[yscale=0.8]
			\def\xY{-5};
			\def\yY{-1.5};
			\def\xZ{5};
			\def\yZ{2.5};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \x};
			\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \y};
			\draw[red] (3,1) node[fill=white] {$\mathcal{C}_{f'}$};
			\draw[red, thick] plot[smooth] coordinates {(-4,2)(-3,0)(-2.4,-0.5)(-1.5,0)(-0.5,1)(0.5,0)(1,1)(1.5,0)(2,-1)};
			\draw(-4,2)node{$\bullet$};
			\draw(2,-1)node{$\bullet$};	
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{exercice}

\begin{notabene}{}
	
	Exercice de correspondance graphique mêlant fonction et dérivée.
	
\end{notabene}


\begin{exercice}{}
	\begin{notabene}
		bac 2014 amérique du nord
	\end{notabene}
	
	Soit $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par \[ f(x)=5\mathrm{e}^{-x} -3 \mathrm{e}^{-2x}+x-3.\]
	On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de $f$ et $\mathscr{D}$ la droite d'équation $y=x-3$ dans un repère orthonormal.
	
	Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[0;+\infty[$ par $g(x)=f(x)-(x-3)$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Position relative.
		\begin{enumerate}
			\item Justifiez que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0;+\infty[$, $g(x)>0$.
			
			\item $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{D}$ ont-elles un point commun?
			
		\end{enumerate}
		
		\item On note $M$ le point d'abscisse $x$ de $\mathscr{C}_f$, $N$ le point d'abscisse $x$ de la droite $\mathscr{D}$ et on s'intéresse à l'évolution de la distance $MN$.
		
		\begin{enumerate}
			\item Justifier que, pour tout $x$ de l’intervalle $[0 ; +\infty[$, la distance $M N$ est égale à $g (x)$.
			
			\item On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$ sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$.
			Pour tout $x$ de l’intervalle $[0 ; +\infty[$, calculer $g' (x)$.
			
			%{\color{red} Nécessite ln \item Montrer que la fonction $g$ possède un maximum sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$ que l’on déterminera. En donner une interprétation graphique.
			
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}


\begin{notabene}
	
	Pour l'aspect visuel ajouter des exercices de lecture graphique des images successives avec les deux courbe dans un même repère en ajoutant quelques cas de fonction réciproques en introduction de la notion de bijection
\end{notabene}

\begin{notabene}
	{\color{red}Compléments sur la dérivation.} Composée de deux fonctions, notation $v \circ u$. Relation $(v \circ u)' = (v ' \circ u)\times u'$ pour la dérivée de la composée de deux fonctions dérivables.
	
	Calculer la dérivée d'une fonction donnée par une formule simple mettant
	en jeu opérations algébriques et composition.
	
	Calculer la fonction dérivée, déterminer les limites et étudier les variations
	d'une fonction construite simplement à partir des fonctions de référence.
	
	Esquisser l'allure de la courbe représentative d'une fonction f à partir de
	la donnée de tableaux de variations de $f$, de $f'$ ou de $f''$.
\end{notabene}

\subsection{Composition.}

\begin{lecon}
	Nous avons déjà vu en première que si $u(x)=ax+b$ alors la dérivée de $x \mapsto g(ax+b)$ est $x \mapsto ag'(ax+b)$.
	
\end{lecon}

\subsubsection{Cas général.}

\begin{proposition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $I$ et $J$ des intervalles, 
		
		\item $u:I\rightarrow J$ une fonction définie sur $I$,
		
		\item $v:J \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction définie sur $J$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Si $u$ est dérivable sur $I$ et si $v$ est dérivable sur $J$ alors $v\circ u$ est dérivable sur $I$ et \[ (v\circ u)'=  v'\circ u \times u'. \] 
	
\end{proposition}

\subsubsection{Des cas particuliers à connaître par cœur.}

\begin{lecon}
	
	Pour $n \in \mathbb{N}^*$,
	\[ \left( \mathrm{e}^{u} \right)'= u' \mathrm{e}^u,\quad \left( \sqrt{u} \right)'=\frac{u'}{2\sqrt{u}},\quad \left( u^n \right)'=nu'u^{n-1},\quad \left( \frac{1}{u} \right)'=-\frac{u'}{u^2}, \quad \left( \frac{1}{u^n} \right)'=-\frac{nu'}{u^{n+1}}. \]
	
\end{lecon}

\subsubsection{Exercices.}

\begin{exercice}{}
	
	Donnez le domaine de dérivabilité et calculez la dérivée de la fonction $f$ dans les cas suivants.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $f:x \mapsto \sqrt{-4x^2+16}$.
		\task $f:x\mapsto 4x+5 \mathrm{e}^{-2x+3}$.
		\task $f: x \mapsto \dfrac{2}{1+ \mathrm{e}^{-4x}}$.
		\task $f: x \mapsto \dfrac{1}{3x^2+9x+6}$.		
		\task 
		$f: x \mapsto \left( \sqrt{x} +3 \right)^4$.		
		\task $f: x \mapsto \dfrac{3x-5}{\mathrm{e}^{3x-5}}$.		
		\task $f:x \mapsto (2x^3-7x)^5$.		
		\task $f: x \mapsto \cos(3x)$.
		\task $f: x \mapsto \sqrt{3x^2+1}$.		
		\task $f: x \mapsto \sqrt{4x^2+4x+1}$.		
		\task $f:x \mapsto \sqrt{x^2-3x-2}$.
		\task $f: x \mapsto \left( 5x^3-4 \right)^2$.		
		\task $f:x \mapsto (5x^4-3x+2)^6$.	
		\task $f:x \mapsto \left( \dfrac{1}{x+6} \right)^3$.		
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}(1)
		\task $u'(x)= -\frac{4x}{\sqrt{-4x^2+16}}$ et $\mathscr{D}_{f'}=]-2;2[$.
		\task $u'(x)=4+-10\mathrm{e}^{-2x+3}$ et $\mathscr{D}_{f'}=\mathbb{R}$.
		\task $u'(x)= \frac{8\mathrm{e}^{-4x}}{\left( 1+\mathrm{e}^{-4x} \right)^2}$ et $\mathscr{D}_{f'}=\mathbb{R}$.
		\task $u'(x)= -\frac{6x+9}{\left( 3x^2+9x+6 \right)^2}$ et $\mathscr{D}_{f'}= \mathbb{R} \setminus \{ -1, -2 \}$.
		\task $u'(x)= 2\frac{1}{\sqrt{x}}\left( \sqrt{x}+3 \right)^3$ et $\mathscr{D}_{f'}=\mathbb{R}_+^*$.
		\task $u'(x)= \frac{3\mathrm{e}^{3x-5}-3(3x-5)\mathrm{e}^{3x-5}}{\left( \mathrm{e}^{3x-5} \right)^2} = \frac{ \left( -9x+18 \right) \mathrm{e}^{3x-5}}{\left( \mathrm{e}^{3x-5} \right)^2}$ et $\mathscr{D}_{f'}=\mathbb{R}$.
		\task $u'(x)= 5(6x^2-7)(2x^3-7x)^4$ et $\mathscr{D}_{f'}=\mathbb{R}$.
		\task $u'(x)=-3 \sin(x)$ et $\mathscr{D}_{f'}=\mathbb{R}$.
		\task $u'(x)=\frac{3x}{\sqrt{3x^2+1}}$ et $\mathscr{D}_{f'}=\mathbb{R}$.
		\task $u'(x)= \frac{4x+2}{\sqrt{4x^2+4x+1}}$ et $\mathscr{D}_{f'}=\mathbb{R}$.
		\task $u'(x)=\frac{2x-3}{2\sqrt{x^2-3x-2}}$ et $\mathscr{D}_{f'}=\mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{3+\sqrt{17}}{2}, \frac{3-\sqrt{17}}{2} \right\}$.
		\task $u'(x)=30x^2(5x^3-4)$ et $\mathscr{D}_{f'}=\mathbb{R}$.
		\task $u'(x)=6(20x^3-3)(5x^4-3x+2)^5$ et $\mathscr{D}_{f'}=\mathbb{R}$.
		\task $u'(x)=\frac{-3}{(x+6)^4}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Donnez le domaine de dérivabilité, calculez la dérivée de la fonction $u$ puis donnez son tableau de variation dans les cas suivants.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $h: x \mapsto(2x-4) \mathrm{e}^{-5x}$.		
		\task $h:x \mapsto \sqrt{\dfrac{2x-1}{2x+1}}$.	
		\task $h:x \mapsto \mathrm{e}^{2x}+4\mathrm{e}^x-6$.		
		\task $h: x \mapsto \dfrac{77}{1+\mathrm{e}^{39-0,02x}}+4$.		
		\task $h:x \mapsto x\mathrm{e}^{-2x}+ \mathrm{e}^{-2x}+1+x$.		
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}
		\task $h'(x)=\left[ 2-5(2x-4)\right] \mathrm{e}^{-5x}=2(-5x+11)\mathrm{e}^{-5x}$.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $h'$ /0.8, $h$ /1.6}
				{$-\infty$ ,$\frac{11}{5}$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,+,z,-,}%
				\tkzTabVar {-/ $-\infty$, + / $\frac{2}{5}\mathrm{e}^{-5}$ , - / $0$ / }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		\task $h'(x)=\frac{4}{(2x+1)^2}\times \frac{1}{2} \times \sqrt{\frac{2x+1}{2x-1}}$.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $h'$ /0.8, $h$ /1.6}
				{$-\infty$ ,$-\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}$, $+\infty$}\pattern[pattern=north west lines] (N21) rectangle (N32);
				\tkzTabLine{,+,d,,d,+,}%
				\pattern[pattern=north west lines] (N22) rectangle (N33);
				\tkzTabVar {-/ $1$, +H / $+\infty$ / , - / $0$,+ / $1$ / }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		\task $h'(x)=\mathrm{e}^x \left( 2\mathrm{e}^x+4 \right)$. $h'$ strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
		\task $h'(x)=\frac{0,02 \times 77\mathrm{e}^{39-0,02x}}{\left( 1+\mathrm{e}^{39-0,02x}\right)^2}$. $h'$ et strictement croissante.
		\task $h'(x)= \left[ 1-2(x+1) \right]\mathrm{e}^{-2x}+1$. $h$ est croissante avec dérivée seconde.
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Calculer une dérivée.
	
	\href{https://manuel.sesamath.net/numerique/index.php?ouvrage=mstsspe_2020&page_gauche=154}{Exercices 53 à 58 page 155 du Sésamath.}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	Exercice 53: $f'(x)=-\mathrm{e}^{-x+2}$.
	
	Exercice 54: $f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$.
	
	Exercice 55: $f'(x)=-\frac{1}{(x+1)^2}\exp\left( \frac{1}{x+1}\right)$.
	
	Exercice 56: $f'(x)=-\mathrm{e}^{-x}$.
	
	Exercice 57: $f'(x)=-4\sin(4x)$.
	
	Exercice 58: $f'(x)=-12 \mathrm{e}^{-x} \left( 4 \mathrm{e}^{-x} +1\right)^2$.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Étudier une fonction.
	
	\href{https://manuel.sesamath.net/numerique/index.php?ouvrage=mstsspe_2020&page_gauche=158}{Exercices 87 à 89 page 158 du Sésamath.}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{C}
	
	Étudier une fonction.
	
	\href{https://manuel.sesamath.net/numerique/index.php?ouvrage=mstsspe_2020&page_gauche=160}{Exercices 111 et 112 page 160 du Sésamath.}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	Exercice 112 page 160 du Sésamath.
	
	\begin{enumerate}
		\item $\lim_{x \to +\infty} f(x)=0$ et $f'(2)=0$.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item $f'(x)=x(2-x)\mathrm{e}^{-x+1}$.
			\item ~
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
					\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $x$ /0.8, $2-x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
					{$0$, $2$, $+\infty$}
					\tkzTabLine{z,+,t,+,}%
					\tkzTabLine{,+,z,-,}%
					\tkzTabLine{z,+,z,-,}%
					\tkzTabVar {-/ $0$, + / $4\mathrm{e}^{-1}$ , - / $0$ / }
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			\item $y=f'(4)(x-4)+f(4)$, $y=-8\mathrm{e}^{-3}x +(32+16)\mathrm{e}^{-3}$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item $f''(x)=(2-2x)\mathrm{e}^{-x+1}-(2x-x^2)\mathrm{e}^{-1+x}=(x^2-4x+2)\mathrm{e}^{-1+x}= (x-2-\sqrt{3})(x-2+\sqrt{3})\mathrm{e}^{-1+x}$. $f$ est convexe sur $\left] - \infty; 2-\sqrt{3} \right[$ et sur $\left]  2+\sqrt{3};+\infty \right[$. Elle est concave sur $\left] 2-\sqrt{3} ;2+\sqrt{3} \right[$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item $g'(x)=-f'(x)\mathrm{e}^{f(x)}=-x(2-x)\mathrm{e}^{x+1}\mathrm{e}^{f(x)}$.
		
		$\lim_{x \to 0} g(x)=\lim_{x \to +\infty} g(x)=1$.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $g'$ /0.8, $g$ /1.6}
				{$0$, $2$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{z,-,z,+,}%
				\tkzTabVar {+/ $1$, - / $\exp\left( 4\mathrm{e}^{-1}\right)$ , + / $1$ / }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item $h'(x)=\frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}=\frac{x(2-x)\mathrm{e}^{x+1}}{2\sqrt{f(x)}}$.
		
		$\lim_{x \to 0} h(x)=\lim_{x \to +\infty} h(x)=\sqrt{0}=0$.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $h'$ /0.8, $h$ /1.6}
				{$0$, $2$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{z,+,z,-,}%
				\tkzTabVar {-/ $0$, + / $\sqrt{4\mathrm{e}^{-1}}$ , - / $0$ / }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Étudier une fonction en utilisant monotonie et composition.
	
	\href{https://manuel.sesamath.net/numerique/index.php?ouvrage=mstsspe_2020&page_gauche=154}{Exercices 61 à 64 page 155 du Sésamath.}
	
\end{exercice}

\subsection{Cosinus et sinus d'un nombre réel.}

\subsubsection{Une définition.}

\begin{correction}
	
	Les cosinus et sinus ont été définis au collège, mais uniquement pour des angles d'un triangle rectangle, donc d'une mesure entre $0\degres$ et $90\degres$. Or les skateurs ou les patineurs le savent il est tout à fait possible d'envisager des angles de plus de $360\degres$, il faut donc trouver une définition qui généralise celle du collège. D'autant que nous venons de définir une mesure d'angle qui autorise toutes les valeurs réelles.
	
\end{correction}

\begin{definition}
	
	\begin{tabular}{m{6cm}m{5cm}}
		
		Soit un angle de mesure $\theta$ en radian, repéré par un point $M$ sur le cercle trigonométrique. 
		
		\medskip
		Nous définirons désormais:
		\begin{itemize}
			\item $\color{RoyalBlue}\cos(\theta)$ comme l'abscisse de $M$,
			\item $\color{red}\sin(\theta)$ comme l'ordonnée de $M$.
		\end{itemize}
		
		&
		
		\begin{tikzpicture}[scale=1.75]
			\def\angle{50}
			\coordinate (O) at (0,0);
			\coordinate (I) at (1,0);
			\coordinate (J) at (0,1);
			\coordinate (M) at ({cos(\angle)},{sin(\angle)});
			\coordinate (H) at ({cos(\angle)},0);
			\coordinate (K) at (0,{sin(\angle)});
			\draw (O)node[below left]{$O$};
			\draw (I)node[below right]{$I$};
			\draw (J)node[above left]{$J$};
			\draw (M)node[above]{$M$};
			\draw (M)node{$\bullet$};
			\draw (H)node[below right]{$H$};
			\draw (K)node[left]{$K$};
			\draw[black](O)--(M);
			\draw[ ->] (-1.25, 0) -- (1.5, 0);
			\draw[->] (0,-1.25 ) -- (0, 1.5);
			\draw[blue][samples=100,domain=0:360] plot({cos(\x)},{sin(\x)});
			\draw[orange,thick,->][samples=100,domain=0:{\angle}] plot({cos(\x)},{sin(\x)});
			\draw[orange] ({cos(0.5*\angle)},{sin(0.5*\angle)}) node[right]{$\theta$};
			\draw[black,dashed](H)--(M);
			\draw[black,dashed](K)--(M);
			\draw[red,very thick](O)--(K);
			\draw[RoyalBlue,very thick](O)--(H) node[midway,below]{$\cos(\theta)$};
			\draw[red,very thick](O)--(K) node[midway,left]{$\sin(\theta)$};
		\end{tikzpicture}
		\\
		
	\end{tabular}
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Cette définition permet d'étendre les notions de cosinus et sinus vues au collège.
		
		Les deux définitions coïncident (pour un angle compris entre $0\degres$ et $90\degres$): \[ \cos \left( \widehat{IOM} \right) =\frac{OH}{OM}=\frac{OH}{1}=OH= \cos(\theta) \] et \[ \sin \left( \widehat{IOM} \right) =\frac{HM}{OM}=\frac{HM}{1}=HM= OK= \sin(\theta). \]
		
		Par conséquent les raisonnements faits depuis le collège et jusqu'à présent restent licites.
		
		\item Avec cette définition le cosinus et le sinus peuvent prendre des valeurs négatives.
		
		\item Clairement, en considérant les abscisses et ordonnées des points du cercle trigonométrique, pour tout angle $\alpha$ \[ \color{purple}\begin{array}{l} -1\le \cos(\alpha) \le 1 \\ -1 \le \sin(\alpha) \le 1 \end{array} \]
		
		\item Avec le théorème de Pythagore on retrouve la relation vue en seconde $\color{purple}\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsubsection{Des valeurs remarquables de sinus et cosinus.}

\begin{sujet}
	
	Les deux exercices qui suivent doivent être faits avec les outils et méthodes du collège.
	
\end{sujet}

\begin{exercice}{}
	
	Soient $OIM$ un triangle rectangle en $I$ tel que $\widehat{IOM}=\frac{\pi}{4}$.
	
	\begin{tabular}{m{5cm}m{5cm}}
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\def\z{3}
				\coordinate (O) at (0,0);
				\coordinate (I) at ({\z *cos(45)},0);
				\coordinate (M) at ({\z *cos(45)},{\z *cos(45)});
				\coordinate (A) at (0.8,0.3);
				\draw (A)node {$\frac{\pi}{4}$};
				\draw (O)node[below]{$O$};
				\draw (I)node[below right]{$I$};
				\draw (M)node[right]{$M$};
				\draw(O)--(I)--(M)--(O);	
				\draw[black,thin] ({\z *cos(45)-0.2},0)--({\z *cos(45)-0.2},{0.2})--({\z *cos(45)},0.2);	
				\draw[black, thin, >=latex, ->][samples=100,domain=0:45] plot({0.5 *cos(\x)},{0.5 *sin(\x)});
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		&
		\begin{enumerate}
			
			\item 
			
			\begin{enumerate}
				
				\item Donnez une mesure en degré de $\widehat{IOM}$.
				
				\item Justifiez que $OIM$ est isocèle.
				
				\item Exprimez $OI$ en fonction de $OM$.
				
			\end{enumerate}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{tabular}
	
	\begin{enumerate}
		\setcounter{enumi}{1}
		\item Déterminez, grâce à la définition du cosinus vue au collège, une expression de $OI$ en fonction de $\cos\left( \frac{\pi}{4} \right)$ et $OM$.
		
		\item Nous supposons de plus que $OM=1$. Déduisez-en une valeur exacte de $\cos \left( \frac{\pi}{4} \right)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{correction}
	\begin{exercicecorrection}
		
		\begin{enumerate}
			\item 
			
			\begin{enumerate}
				
				\item Par proportionnalité
				
				\begin{center}
					
					\begin{tabular}{|c|c|}
						\hline
						$2\pi$ & $\frac{\pi}{4}$
						\\
						\hline
						$360$ & $45$
						\\
						\hline
					\end{tabular}
					
				\end{center}
				
				\begin{conclusion}
					
					$\widehat{IOM}$ mesure $45\degres$.
					
				\end{conclusion}
				
				\item La somme des mesures des angles d'un triangle doit être égale à $180\degres$ donc (en degré) \[ 45+90+ \widehat{OMI} = 180. \]
				
				D'où: $\widehat{OMI}=180-90-45=45$.
				
				Ainsi $\widehat{OMI}= \widehat{IOM}$ et par conséquent
				
				\begin{conclusion}
					
					$OIM$ est isocèle en $I$.
					
				\end{conclusion}
				
				
				\item $OIM$ est rectangle en $I$ donc, d'après le théorème de Pythagore: \[ OI^2+IM^2=OM^2. \]
				
				Comme de plus $OIM$ est isocèle en $I$: 
				
				\begin{align*}
					2OI^2 &= OM^2\\
					\intertext{ce qui équivaut à}
					OI^2 &= \frac{1}{2} OM^2\\
					\intertext{Puisque $OI$ est une longueur nécessairement:}
					OI &= \sqrt{\frac{1}{2} OM^2}\\
					&= \sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{OM^2}\\
					&= \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{OM^2}\\
					&= \frac{\sqrt{1} {\color{orange}\times \sqrt{2}}}{\sqrt{2} {\color{orange}\times \sqrt{2}}} \cdot \sqrt{OM^2}
				\end{align*}
				
				\begin{conclusion}
					
					$OI=\frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{OM^2}$.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{enumerate}
			
			\item Puisque $OIM$ est rectangle en $I$ \[ \cos \left( \widehat{IOM} \right) = \frac{OI}{OM}. \]
			
			Donc
			
			\begin{conclusion}
				
				$OI=OM \times \cos \left( \frac{\pi}{4} \right)$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item Des deux questions précédentes nous déduisons par transitivité \[ \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{OM^2}= OM \times \cos \left( \frac{\pi}{4} \right). \]
			
			Et puisque $OM$ est une longueur donc un nombre positif:
			
			\begin{conclusion}
				
				$\cos \left( \frac{ \pi}{4} \right)= \frac{\sqrt{2}}{2}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{exercicecorrection}
\end{correction}

\begin{exercice}{}
	
	Soient $OHM$ un triangle rectangle en $H$ tel que $OM=1$ et $\widehat{HOM}=\frac{\pi}{3}$, $I$ le symétrique de $O$ par rapport à $H$.
	
	\begin{tabular}{m{4cm}m{7cm}}
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\def\z{3}
				\coordinate (O) at (0,0);
				\coordinate (H) at ({\z *cos(60)},0);
				\coordinate (M) at ({\z *cos(60)},{\z *cos(30)});
				\coordinate (I) at ({2*\z *cos(60)},0);
				\coordinate (A) at (0.8,0.3);
				\draw (A)node {$\frac{\pi}{3}$};
				\draw (O)node[below]{$O$};
				\draw (H)node[below]{$H$};
				\draw (M)node[right]{$M$};
				\draw (I)node[right]{$I$};
				\draw (I)node{$\bullet$};
				\draw(O)--(H)--(M)--(O);
				\draw[dashed, black,thin](I)--(H);	
				\draw[black,thin] ({\z *cos(60)-0.2},0)--({\z *cos(60)-0.2},{0.2})--({\z *cos(60)},0.2);	
				\draw[black, thin,>=latex,->][samples=100,domain=0:60] plot({0.5 *cos(\x)},{0.5 *sin(\x)});
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		&
		\begin{enumerate}
			\item 
			
			\begin{enumerate}
				
				\item Donnez une mesure en degré de $\widehat{HOM}$.
				
				\item Justifiez que $OI=1$.
				
				\item Déduisez-en la longueur $OH$.
				
			\end{enumerate}
			
			\item En utilisant la définition du cosinus vue au collège donnez une égalité liant $OH$ et $\cos \left( \frac{\pi}{3} \right)$. Puis déduisez-en une valeur exacte de $\cos \left( \frac{\pi}{3} \right)$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{tabular}
	
	\begin{enumerate}
		\setcounter{enumi}{2}
		\item En remarquant que $MH=\cos\left( \frac{\pi}{6} \right)$, trouvez une expression radicale de $\cos\left( \frac{\pi}{6} \right)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			
			\item Par proportionnalité
			
			\begin{center}
				
				\begin{tabular}{|c|c|}
					\hline
					$2\pi$ & $\frac{\pi}{3}$
					\\
					\hline
					$360$ & $60$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
				
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\widehat{IOM}$ mesure $60\degres$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item Puisque $\widehat{HOM}= 60\degres$ et puisque $I$ est le symétrique de $O$ par rapport à $H$, nécessairement $\widehat{MIH}=60\degres$.
			
			Le triangle $IOM$ ayant deux angles dont la mesure est $60\degres$ il est donc équilatéral.
			
			Comme $OM=1$ finalement
			
			\begin{conclusion}
				
				$OI=1$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item Puisque $I$ est le symétrique de $O$ par rapport à $H$: \[ OH = \frac{1}{2} OI. \]
			
			\begin{conclusion}
				
				$OH=\frac{1}{2}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
		\item Puisque $OHM$ est rectangle en $H$
		
		\begin{align*}
			\cos \left( \widehat{HOM} \right) &= \frac{OH}{OM}\\
			\cos\left( \frac{\pi}{3} \right) &= \frac{OH}{1}
		\end{align*}
		
		Donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$OH= \cos \left( \frac{\pi}{3} \right)$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		En tenant compte du résultat de la question précédente
		
		\begin{conclusion}
			
			$\cos \left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item La somme des mesures des angles d'un triangle vaut $\pi$ donc $\widehat{HOM}= \frac{\pi}{6}$.
		
		En utilisant la définition de collège du cosinus nous obtenons bien $MH=\cos \left( \frac{\pi}{6} \right)$.
		
		\medskip
		Le triangle $OHM$ est rectangle en $H$ donc, d'après le théorème de Pythagore: $HM=\sqrt{\frac{3}{4} }$.
		
		Donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$\cos \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{lecon}
	
	Le résultat à connaître par cœur est le suivant.
	
	\begin{center}
		\marginpar{\color{red}$\varheartsuit$}
		\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|m{2.5cm}|*{5}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\hline
			&&&&&\\
			$\theta$ (en radian) & $0$ & $\displaystyle  \frac{\pi}{6}$ & $ \displaystyle \frac{\pi}{4}$ & $\displaystyle \frac{\pi}{3}$ & $\displaystyle  \frac{\pi}{2}$
			\\
			&&&&&\\
			\hline
			&&&&&\\
			$\displaystyle \cos(\theta)$ & $ 1$ & $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ & $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$ & $\displaystyle \frac{1}{2}$ & $ 0$ 
			\\
			&&&&&\\
			\hline
			&&&&&\\
			$\displaystyle \sin(\theta)$ & $\displaystyle 0$ & $\displaystyle \frac{1}{2}$ & $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$ & $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ & $\displaystyle 1$ 
			\\
			&&&&&\\
			\hline
		\end{tabularx}
	\end{center}
	
\end{lecon}

\begin{notabene}
	
	Placer les valeurs remarquables ur le cercle trigonométrique.
	
\end{notabene}

\subsection{Propriétés des sinus et cosinus.}

\begin{lecon}
	
	En raisonnant sur le cercle trigonométrique nous retrouvons aisément les formules suivantes.
	
	\medskip
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			Périodicité.
			
			\begin{tikzpicture}[scale=1.75]
				\def\angleblue{50}
				\def\anglered{50+360}
				\draw (O)node[below left]{$O$};
				\draw (1,0)node[below left]{$1$};
				\draw (0,1)node[below left]{$1$};
				\draw[ ->] (-1.25, 0) -- (1.5, 0);
				\draw[->] (0,-1.25 ) -- (0, 1.5);
				\draw[black][samples=100,domain=0:360] plot({cos(\x)},{sin(\x)});
				\draw[blue,thick,->][samples=100,domain=0:{\angleblue}] plot({0.9*cos(\x)},{0.9*sin(\x)});
				\draw[blue](O)--({1.2*cos(\angleblue)},{1.2*sin(\angleblue)});
				\draw[blue] ({cos(0.5*\angleblue)},{sin(0.5*\angleblue)}) node[below left]{$\theta$};
				\draw[red,thick,->][samples=100,domain=0:{\anglered}] plot({1.1*cos(\x)},{1.1*sin(\x)});
				\draw[blue](O)--({1.2*cos(\anglered)},{1.2*sin(\anglered)});
				\draw[red] ({cos(0.5*\anglered)},{sin(0.5*\anglered)}) node[above right]{$\theta +2\pi$};
			\end{tikzpicture}
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			$\begin{aligned}
				\cos( \theta +2\pi) &= \cos( \theta)\\
				\sin( \theta +2\pi) &= \sin( \theta)
			\end{aligned}$
			
		\end{minipage}
		\\
	\end{tabularx}
	
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			Parité.
			
			\begin{tikzpicture}[scale=1.75]
				\def\angleblue{50}
				\def\anglered{-50}
				\draw (O)node[below left]{$O$};
				\draw (1,0)node[below left]{$1$};
				\draw (0,1)node[below left]{$1$};
				\draw[ ->] (-1.25, 0) -- (1.5, 0);
				\draw[->] (0,-1.25 ) -- (0, 1.5);
				\draw[black][samples=100,domain=0:360] plot({cos(\x)},{sin(\x)});
				\draw[blue,thick,->][samples=100,domain=0:{\angleblue}] plot({0.9*cos(\x)},{0.9*sin(\x)});
				\draw[blue](O)--({1.2*cos(\angleblue)},{1.2*sin(\angleblue)});
				\draw[blue] ({cos(0.5*\angleblue)},{sin(0.5*\angleblue)}) node[below right]{$\theta$};
				\draw[red,thick,->][samples=100,domain=0:{\anglered}] plot({1.1*cos(\x)},{1.1*sin(\x)});
				\draw[red](O)--({1.2*cos(\anglered)},{1.2*sin(\anglered)});
				\draw[red] ({cos(0.5*\anglered)},{sin(0.5*\anglered)}) node[below
				right]{$ -\theta $};
			\end{tikzpicture}
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			$\begin{aligned}
				\cos(-x) &= \cos(x)\\
				\sin(-x) &= -\sin(x)
			\end{aligned}$		
			
		\end{minipage}
		
		\\
	\end{tabularx}
	
	\medskip
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			Demi-tour.
			
			\begin{tikzpicture}[scale=1.75]
				\def\angleblue{50}
				\def\anglered{50+180}
				\draw (O)node[below left]{$O$};
				\draw (1,0)node[below left]{$1$};
				\draw (0,1)node[below left]{$1$};
				\draw[ ->] (-1.25, 0) -- (1.5, 0);
				\draw[->] (0,-1.25 ) -- (0, 1.5);
				\draw[black][samples=100,domain=0:360] plot({cos(\x)},{sin(\x)});
				\draw[blue,thick,->][samples=100,domain=0:{\angleblue}] plot({0.9*cos(\x)},{0.9*sin(\x)});
				\draw[blue](O)--({1.2*cos(\angleblue)},{1.2*sin(\angleblue)});
				\draw[blue] ({cos(0.5*\angleblue)},{sin(0.5*\angleblue)}) node[below left]{$\theta$};
				\draw[red,thick,->][samples=100,domain=0:{\anglered}] plot({1.1*cos(\x)},{1.1*sin(\x)});
				\draw[red](O)--({1.2*cos(\anglered)},{1.2*sin(\anglered)});
				\draw[red] ({cos(0.5*\anglered)},{sin(0.5*\anglered)}) node[below left]{$\theta +\pi$};
			\end{tikzpicture}
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			$\begin{aligned}
				\cos(x+\pi) &= -\cos(x)\\
				\sin(\pi+x) &= -\sin(x)
			\end{aligned}$
			
		\end{minipage}
		
		\\
		
	\end{tabularx}
	
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			Supplémentaire.
			
			\begin{tikzpicture}[scale=1.75]
				\def\angleblue{50}
				\def\anglered{180-50}
				\draw (O)node[below left]{$O$};
				\draw (1,0)node[below left]{$1$};
				\draw (0,1)node[below left]{$1$};
				\draw[ ->] (-1.25, 0) -- (1.5, 0);
				\draw[->] (0,-1.25 ) -- (0, 1.5);
				\draw[black][samples=100,domain=0:360] plot({cos(\x)},{sin(\x)});
				\draw[blue,thick,->][samples=100,domain=0:{\angleblue}] plot({0.9*cos(\x)},{0.9*sin(\x)});
				\draw[blue](O)--({1.2*cos(\angleblue)},{1.2*sin(\angleblue)});
				\draw[blue] ({cos(0.5*\angleblue)},{sin(0.5*\angleblue)}) node[below left]{$\theta$};
				\draw[red,thick,->][samples=100,domain=0:{\anglered}] plot({1.1*cos(\x)},{1.1*sin(\x)});
				\draw[red](O)--({1.2*cos(\anglered)},{1.2*sin(\anglered)});
				\draw[red] ({cos(0.5*\anglered)},{sin(0.5*\anglered)}) node[above right]{$\pi-\theta$};
			\end{tikzpicture}
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			$\begin{aligned}
				\cos(\pi-x) &= -\cos(x)\\
				\sin(\pi-x) &= \sin(x)
			\end{aligned}$
			
		\end{minipage}
		
		\\
	\end{tabularx}
	
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			Quart de tour.
			
			\begin{tikzpicture}[scale=1.75]
				\def\angleblue{50}
				\def\anglered{90+50}
				\draw (O)node[below left]{$O$};
				\draw (1,0)node[below left]{$1$};
				\draw (0,1)node[below left]{$1$};
				\draw[ ->] (-1.25, 0) -- (1.5, 0);
				\draw[->] (0,-1.25 ) -- (0, 1.5);
				\draw[black][samples=100,domain=0:360] plot({cos(\x)},{sin(\x)});
				\draw[blue,thick,->][samples=100,domain=0:{\angleblue}] plot({0.9*cos(\x)},{0.9*sin(\x)});
				\draw[blue](O)--({1.2*cos(\angleblue)},{1.2*sin(\angleblue)});
				\draw[blue] ({cos(0.5*\angleblue)},{sin(0.5*\angleblue)}) node[below right]{$\theta$};
				\draw[red,thick,->][samples=100,domain=0:{\anglered}] plot({1.1*cos(\x)},{1.1*sin(\x)});
				\draw[red](O)--({1.2*cos(\anglered)},{1.2*sin(\anglered)});
				\draw[red] ({cos(0.5*\anglered)},{sin(0.5*\anglered)}) node[above right]{$\frac{\pi}{2}+\theta$};
			\end{tikzpicture}
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			$\begin{aligned}
				\cos \left( \frac{\pi}{2}+\theta \right) &= -\sin(\theta)\\
				\sin \left( \frac{\pi}{2}+\theta \right) &= \cos (\theta)
			\end{aligned}$
			
		\end{minipage}
		
		\\
	\end{tabularx}
	
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			Complémentaire.
			
			\begin{tikzpicture}[scale=1.75]
				\def\angleblue{20}
				\def\anglered{90-20}
				\draw (O)node[below left]{$O$};
				\draw (1,0)node[below left]{$1$};
				\draw (0,1)node[below left]{$1$};
				\draw[ ->] (-1.25, 0) -- (1.5, 0);
				\draw[->] (0,-1.25 ) -- (0, 1.5);
				\draw[black][samples=100,domain=0:360] plot({cos(\x)},{sin(\x)});
				\draw[blue,thick,->][samples=100,domain=0:{\angleblue}] plot({0.9*cos(\x)},{0.9*sin(\x)});
				\draw[blue](O)--({1.2*cos(\angleblue)},{1.2*sin(\angleblue)});
				\draw[blue] ({cos(0.5*\angleblue)},{sin(0.5*\angleblue)}) node[below right]{$\theta$};
				\draw[red,thick,->][samples=100,domain=0:{\anglered}] plot({1.1*cos(\x)},{1.1*sin(\x)});
				\draw[red](O)--({1.2*cos(\anglered)},{1.2*sin(\anglered)});
				\draw[red] ({cos(0.5*\anglered)},{sin(0.5*\anglered)}) node[above right]{$\frac{\pi}{2}-\theta$};
			\end{tikzpicture}
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			$\begin{aligned}
				\cos \left( \frac{\pi}{2}-\theta \right) &= \sin(\theta)\\
				\sin \left( \frac{\pi}{2}-\theta \right) &= \cos (\theta)
			\end{aligned}$
			
		\end{minipage}
		
		\\
	\end{tabularx}
	
\end{lecon}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		0ieme barbazo 2020 page 166 exo 21 et 22
	\end{notabene}
	
	Déterminez si la fonction $f$ est paire, impaire, périodique.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $f(x)=3\sin\left( 5x-\frac{\pi}{4} \right)$.
		\task $f(x)=\sin(2x)\cos(x)$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\subsection{Dérivées.}

\begin{lecon}
	
	La nouvelle définition des sinus et cosinus permet de définir des fonctions sinus et cosinus sur $\mathbb{R}$.
	
	% Mais pour les calculs de dérivées je m'abstient de démontrer car la définition avec exponentielle donne le résultat tellement simplement.
\end{lecon}

\begin{proposition}{}
	
	Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur $\mathbb{R}$ et \[ \sin'=\cos \quad \text{et} \quad \cos'=-\sin. \]
	
\end{proposition}

\begin{corollaire}{}
	
	Si $u:I \rightarrow \mathbb{R}$ est une fonction dérivable sur l'intervalle $I$ alors $\cos(u)$ et $\sin(u)$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$ et \[ \cos(u)'=-u'\sin(u) \quad \text{et} \quad \sin(u)'=u'\cos(u).\]
	
\end{corollaire}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		0ieme barbazo 2020 page 164 exo 3, 4, 5
	\end{notabene}
	
	Déterminez les dérivées de la fonction $f$ dont l'expression algébrique est donnée ci-après (sans se préoccuper de la dérivabilité).
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $3\sin(x)-2 \cos(2x)$.
		\task $\sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right)-3\cos(x)$.
		\task $\sin(x)\cos(2x)$.
		\task $\sin(2x-1) \cos \left( \frac{3}{4}-2x \right)$.
		\task $x^2 -\cos (x)$.
		\task $x-\sin(2x)$.
		\task $3 \sin(x)-\cos(3x)+3$.
		\task $\sin^2(x)$.
		\task $\cos^2(x)$.
		\task $x^2 \sin(x)$.
		\task $\cos\left( 2x-\frac{\pi}{2} \right)$.
		\task $\frac{5}{\cos(x)}$.
		\task $\sin\left( \frac{\pi}{4}-x \right)$.
		\task $\cos(4x)\sin(-4x)$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		0ieme barbazo 2020 page 168 exo 33
	\end{notabene}
	
	On considère un circuit électromagnétique comprenant:
	
	\begin{itemize}
		\item un condensateur dont la capacité (exprimée en farad) est $C$,
		\item une bobine dont l'inductance (exprimée en henry) est $L$,
		\item un interrupteur.
	\end{itemize}
	
	À l'instant $t=0$, on ferme l'interrupteur et le condensateur se décharge dans le circuit. On nomme $q(t)$ la valeur de la charge, exprimée en coulomb, du condensateur à l'instant $t$. On définit ainsi une fonction $q$, dérivable sur l'intervalle $[0,+\infty[$.
	
	On admet que $\displaystyle q(t)=\frac{1}{200}\sin\left( 200t+\frac{\pi}{4} \right)$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrez que $T=\frac{\pi}{100}$ est une période de $q$.
		
		\item Montrez que la fonction $q$ n'est ni paire ni impaire.
		
		\item Calculez la dérivée de la fonction $q$ et dressez son tableau de variation sur l'intervalle $\left[ 0;\frac{\pi}{100} \right]$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		0ieme barbazo 2020 page 168 exo 36
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\subsection{Courbes représentatives.}

\begin{lecon}
	
	Tableaux de variations.
	
\end{lecon}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		%extremites du graphique
		\def\xcoinbasgauche{-7};
		\def\xcoinhautdroit{5};
		\def\ycoinbasgauche{-1.1};
		\def\ycoinhautdroit{1.2};
		%Les deux grilles
		\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
		\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
		%Les deux axes
		\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
		%repere orthonorme
		\coordinate (O) at ({0},{0});
		%\draw (O) node[below left] {$O$};
		\coordinate (I) at ({1},{0});
		%\draw (I) node[below left] {$I$};
		\coordinate (J) at ({0},{1});
		%\draw (J) node[below left] {$J$};
		%fonction
		\draw[orange, thick][samples=100,domain=-7:5] plot({\x},{cos(\x/3.1416*180)});
		\draw (1.5,0.75) node {$\mathscr{C}_{\cos}$};
		%Points
		\foreach \a/\b/\c in { {-3.1416}/-0.5/{-\pi}, {-3.1416/2}/-0.5/{-\frac{\pi}{2}}, {0}/-0.5/{0}, {3.1416/2}/-0.5/{\frac{\pi}{2}}, {3.1416}/-0.5/{\pi}} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\c$};
			\draw [red, thick] ({\a},{\b+0.5}) node{\small $|$};}
		%Tangentes horizontales
		\def\longueurtangente{0.7};
		\foreach \a/\b in {{-2*3.1416}/1, -3.1416/-1, 0/1, 3.1416/-1}{ \draw[LimeGreen, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
		%Ligne définie par des points
		%\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		%extremites du graphique
		\def\xcoinbasgauche{-7};
		\def\xcoinhautdroit{5};
		\def\ycoinbasgauche{-1.1};
		\def\ycoinhautdroit{1.2};
		%Les deux grilles
		\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
		\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
		%Les deux axes
		\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
		%repere orthonorme
		\coordinate (O) at ({0},{0});
		%\draw (O) node[below left] {$O$};
		\coordinate (I) at ({1},{0});
		%\draw (I) node[below left] {$I$};
		\coordinate (J) at ({0},{1});
		%\draw (J) node[below left] {$J$};
		%fonction
		\draw[orange, thick][samples=100,domain=-7:5] plot({\x},{sin(\x/3.1416*180)});
		\draw (-0.75,0.75) node {$\mathscr{C}_{\sin}$};
		%Points
		\foreach \a/\b/\c in { {-3.1416}/-0.5/{-\pi}, {-3.1416/2}/-0.5/{-\frac{\pi}{2}}, {0}/-0.5/{0}, {3.1416/2}/-0.5/{\frac{\pi}{2}}, {3.1416}/-0.5/{\pi}} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\c$};
			\draw [red, thick] ({\a},{\b+0.5}) node{\small $|$};}
		%Tangentes horizontales
		\def\longueurtangente{0.7};
		\foreach \a/\b in {{-2*3.1416}/1, -3.1416/-1, 0/1, 3.1416/-1}{ \draw[LimeGreen, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a+3.1416/2}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a+3.1416/2},{\b});}
		%Ligne définie par des points
		%\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}


\subsection{Des formules calculatoires.}

\emph{\color{purple}Formules d'addition}.

\begin{align*}
	\cos(a+b) &= \cos(a) \cos(b) -\sin(a) \sin(b)\\
	\sin (a+b) &= \sin(a) \cos(b) + \cos(b) \sin(b)
\end{align*}	

\begin{exercice}{}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Calculez $\cos \left( \frac{\pi}{8} \right)$ en utilisant la formule d'addition.
		
		\item De $\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$ déduisez les valeurs de sinus et de cosinus $\frac{\pi}{12}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant $\frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{8}$ et $\cos^2\left( \frac{\pi}{8} \right) +\sin^2\left( \frac{\pi}{8} \right)=1$.
		
		\item 
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{lecon}
	
	\emph{\color{purple}Formules de linéarisation}.
	
	\begin{align*}
		\cos ^2 (x) &= \frac{1+\cos (2x)}{2}\\
		\sin^2 (x) &= \frac{1-\cos (2x) } {2}\\
		\cos (x) \sin(x) &= \frac{1}{2} \sin (2x)
	\end{align*}
	
\end{lecon}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		0ieme barbazo 2020 page 164 exo 6
	\end{notabene}
	
	Soit $s$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par: $s(x)=(-1+\sin(x))(\sin(x)+1)$.
	
	\begin{notabene}
		\color{red}A FAIRE
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Déterminez sans calcul le maximum sur $\mathbb{R}$ de $x \mapsto \sin (x) \cos(x)$.
	
\end{exercice}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\draw (O) node {$\bullet$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\draw (I) node {$\bullet$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	\draw (J) node {$\bullet$};
	%Graduations
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Rectangle en coin.}

\begin{tikzpicture}
	\def\xangledroit{0};
	\def\yangledroit{0};
	\def\longueurangledroit{0.5};
	\draw[fill=green!30,rotate around={{20}:({\xangledroit},{\yangledroit})}] ({\xangledroit},{\yangledroit}) rectangle ({\xangledroit+\longueurangledroit},{\yangledroit+\longueurangledroit});
\end{tikzpicture}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}