%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/0ieme.html}{03 Lois binomiales.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour abrege
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}\exclure{culturegenerale}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene}

%Pour les exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour les correction d'exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{03 Lois binomiales.}

\subsection{Principes additif et multiplicatif.}

\begin{lecon}
	
	Nous ne considérerons que des ensembles contenant un nombre fini d'éléments.
	
\end{lecon}

\subsubsection{Principe additif.}

\begin{lecon}
	
	Le nombre d'éléments contenus dans un ensemble $A$ est noté $\color{purple}|A|$ et est appelé le \emph{\color{purple}cardinal de $A$}.
	
	Si $A$ et $B$ sont disjoints (intersection vide, pas d'élément en commun) alors $|A \cup B|=|A| + |B|$.
	
	Nous retrouvons des résultats semblables à ceux des probabilités (formule du crible).
	
	Par exemple, si $A= \{ 2;6 \}$ et $B=\{ 1;-3;4 \}$ alors, $|A|=2$ et $|B|=3$, et puisqu'ils sont disjoints, $|A \cup B|=2+3=5$.
	
\end{lecon}

\subsubsection{Produit cartésien d'ensembles.}

\begin{lecon}
	
	On appelle couple la donnée de deux éléments dans un ordre fixe comme par exemple des coordonnées. Ainsi $(2;3)$ est un couple qui est différent du couple $(3;2)$.
	
	\medskip
	Si $E$ et $F$ sont deux ensembles alors l'ensemble des couples formés d'un élément de $E$ puis d'un élément de $F$ est appelé le \emph{\color{purple}produit cartésien} de $E$ et $F$ et est noté $\color{purple}E \times F$.
	
	Par exemple, $(2;5)$ et $(3;a)$ sont des éléments du produit cartésien $\{ 2;5;7 \} \times \{ 3;a\}$ alors que $(3;a)$, $(3;7)$ et $(1;13)$ n'en sont pas.
	
	\medskip
	On généralise la notion de couple à plus de deux éléments sous le nom de \emph{\color{purple}$k$-liste} ou de \emph{\color{purple}$k$-uplet}, $k$ désignant un entier naturel non nul. Ainsi $(-2;4;7)$ est une $3$-liste qui appartient au produit cartésien $]-4;-1] \times \mathbb{R} \times [5;10]$.
	
	\medskip
	Lorsqu'on regarde les couples de nombres réels on travail dans le produit cartésien $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ et dans ce cas on simplifie la notation (en cohérence avec nos habitudes) en écrivant $\color{purple}\mathbb{R}^2$. On peut de même écrire $\color{purple}\mathbb{R}^3$ ou $[0;1]^5$ ou $\{ 0;1 \}^n$ avec $n \in\mathbb{N}$.
	
\end{lecon}

\subsubsection{Principe multiplicatif.}

\begin{lecon}
	
	Une notation à connaître: l'ensemble des entiers compris (au sens large) entre deux entiers $a$ et $b$ avec $a \leqslant b$ est noté $\color{purple}\llbracket a, b \rrbracket$. Par exemple $\llbracket -2,1 \rrbracket= \{ -2,-1,0,1 \}$.
	
	\medskip
	Nous souhaitons connaître le nombre de couples que contient un produit cartésien $E \times F$, $E$ et $F$ étant des ensembles finis.
	
	Conjecturons la réponse à partir d'un exemple: $E= \llbracket 1,3 \rrbracket$ et $F=\llbracket 1,2 \rrbracket$. Pour fabriquer un couple de $E \times F$ il faut d'abord choisir un nombre das $E =\llbracket 1,3 \rrbracket$ puis un nombre dans $F=\llbracket 1, 2 \rrbracket$. Le fait de choisir fait penser aux probabilités. Représentons tous les choix possibles par un arbre.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=0.5]
			%Écarts entre entre racine et premier niveau
			\def\xA{2};
			%Nombre de nœuds du premiers niveau
			\def\noA{3};
			%Nombre de nœuds du deuxième niveau
			\def\noB{6};
			%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
			\def\noBe{2};
			%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
			\def\xB{2+\xA};
			\def\yB{1};
			%Racine
			\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
			%Pour ne pas écrire les mots above et below
			\def\posA{above};
			\def\posB{below};
			%Position des nœuds du premier niveau
			%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
			\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
				nA1/A1/1/$1$//\posA,
				nA2/A2/2/$2$//\posB,
				nA3/A3/3/$3$//\posA
			}{
				\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
				\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
				\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
			};
			%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
			\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
				nA1/nB1/B1/1/$1$//\posA,
				nA1/nB2/B2/2/$2$//\posB,
				nA2/nB3/B3/3/$1$//\posA,
				nA2/nB4/B4/4/$2$//\posB,
				nA3/nB5/B5/5/$1$//\posA,
				nA3/nB6/B6/6/$2$//\posB
			}{
				\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
				\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
				\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
			};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Chaque branche du premier niveau conduit à deux nouvelles branches donc il y a $3 \times 2= 6$ chemins, et donc $6$ couples possibles. C'est le principe multiplicatif.
	
	\medskip
	Nous noterons  $|E|$ le cardinal de $E$ (la taille de $E$).
	
	\begin{proposition}{ - Principe multiplicatif.}
		
		Soient $E$ et $F$ des ensembles de cardinaux finis.
		
		\[ |E\times F|=|E| \times |F|. \]
		
	\end{proposition}
	
\end{lecon}

\subsubsection{Vocabulaire ensembliste.}

\begin{lecon}
	
	Un ensemble est une collection d'objets distincts deux à deux. On dit qu'on définit un ensemble en extension lorsqu'on en énumère les issues. Par exemple $\{ 0;1;2 \}$ et $\{ 0;1;2; \dots \}$ sont donnés en extension.
	
	Une \emph{\color{purple}partie} $F$, ou \emph{\color{purple}sous-ensemble}, d'un ensemble $E$ est un ensemble dont tous les éléments sont aussi dans $E$. On écrit $F \subset E$.
	
\end{lecon}

\subsubsection{Exercices.}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		barbazo page 292 ex 9 
	\end{notabene}
	
	Soient $A=\{ u;w \}$ et $B= \{ 0;1 \}$.
	
	Donnez une définition en extension de $A \times B$ puis de $B \times A$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		barbazo page 292 ex 10
	\end{notabene}
	
	\begin{enumerate}
		\item Dessinez l'ensemble $A$ des points $M$ du plan dont les coordonnées $(x,y)$ dans un repère vérifient les conditions suivantes: \[ \left\{ \begin{array}{l} 0 \leqslant x \leqslant 6 \\ 0 \leqslant y \leqslant 12 \end{array} \right. \]
		
		\item Exprimez $A$ comme un produit cartésien de deux ensembles.
		
		\item Notons $B$ le sous-ensemble des éléments de $A$ à coordonnées entières. Exprimez $B$ comme un produit cartésien de deux ensembles puis donnez en le cardinal.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item ~
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
				\def\xY{-0.5};
				\def\yY{-0.5};
				\def\xZ{6.5};
				\def\yZ{12.5};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
				\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$A$};
				\fill[color=gray , opacity=0.25] (0,0) -- (6,0) -- (6,12) -- (0,12)
				-- cycle;
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item $A= [ 0;6] \times [0;12]$.
		
		\item $B= \llbracket 0,6 \rrbracket \times \llbracket 0;12 \rrbracket$.
		
		D'après le principe multiplicatif: $|B|= |\llbracket 0,6 \rrbracket |\times |\llbracket 0;12 \rrbracket|=7 \times 13=91$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		barbazo page 293 ex 12 
	\end{notabene}
	
	Dans un restaurant le menu propose au choix deux plats et trois desserts.
	
	Combien de menus différents peut-on composer?
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$2 \times 3=6$.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		barbazo page 293 ex 14 
	\end{notabene}
	
	Représentez l'ensemble des $3$-listes d'éléments de l'ensemble $\llbracket 1, 4 \rrbracket$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$\llbracket 1,4 \rrbracket ^3$.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		barbazo page 293 ex 21 
	\end{notabene}
	
	Le digicode d'un immeuble est composé des cinq chiffres de $0$ à $4$ et des lettres A, B et C.
	
	\begin{enumerate}
		\item Combien de codes à quatre caractères peut-on composer?
		
		\item Combien de codes à trois chiffres suivis d'une lettre peut-on composer?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $|\{ 0;1;2.3;4;A;B;C\}^4|= |\{ 0;1;2.3;4;A;B;C\}|^4=8^4$.
		
		\item $| \{ \llbracket 0,4 \rrbracket^3 \times \{A,B,C \}|= | \{ \llbracket 0,4 \rrbracket|^3 \times |\{A,B,C \}|=5^3 \times 3$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		n uplets de $\{ 0, 1 \}$.
	\end{notabene}
	
	\begin{enumerate}
		\item Combien de $2$-listes d'éléments pris $\{ 0;1 \}$ peut-on composer?
		
		\item Recommencez pour les $3$-listes, les $4$-listes, les $5$-listes.
		
		\item Conjecturez le nombre de $n$-listes d'éléments pris dans $\{ 0;1 \}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	L'ensemble des $n$-listes d'éléments de $\{0;1 \}$ est $\{0;1 \}^n$ et son cardinal est $2^n$.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		Nombre de mots de $n$ lettres sur un alphabet à deux éléments.
	\end{notabene}
	
	Combien de mots de $n \in \mathbb{N}$ lettres peut-on formé avec les lettres A et B?
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$2^N$.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		Nombre de chemins sur un arbre sxhéma de Bernoulli
	\end{notabene}
	
	On considère une expérience aléatoire consistant à lancer $8$ fois une pièce et à regarder si on obtient pile ou face. 
	
	Combien d'issues contient cette expérience?
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$2^8$.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		Nombre de parties d'un ensemble à $n$ éléments.
	\end{notabene}
	
	Déterminez le nombre de sous-ensembles d'un ensemble de cardinal $n \in \mathbb{N}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	Il y a $2^n$ sous-ensembles.
	
\end{exercicecorrection}

\subsection{Succession d'épreuves indépendantes.}

\subsubsection{Épreuves indépendantes.}

\begin{lecon}
	
	On appelle épreuve une expérience aléatoire qui participe d'une expérience aléatoire plus complexe. Par exemple si une expérience consiste à lancer une pièce jusqu'à obtenir un pile, chaque lancé de pièce constitue une épreuve.
	
	\medskip
	On dit que des épreuves sont \emph{\color{purple}indépendantes} si les résultats (issues et probabilités) de l'une ne dépendent pas des résultats (issues et probabilités) de l'autre.
	
	Considérons un exemple: on lance une pièce puis on lance un dé à $6$ faces. Une issue est donc un élément de $\Omega= \{ P,F \} \times \llbracket 1,6 \rrbracket$.
	
	\medskip
	Si une expérience est une succession de $n$ épreuves indépendantes d'univers $\Omega_1,\dots,\Omega_n$ alors son univers est le produit cartésien $\Omega_1 \times \dots \times \Omega_n$.
	
	Autrement dit les issues de l'expérience sont des $n$-listes $(i_1,\dots,i_n)$ où $i_1,\dots,i_n$ sont des issues des $n$ épreuves.
	
\end{lecon}

\subsubsection{"Principe multiplicatif" sur les épreuves indépendantes.}

\begin{lecon}
	
	Si $(i_1,\dots,i_n)$ est une issue d'une succession de $n$ épreuves indépendantes, alors la probabilité de $(i_1,\dots,i_n)$ est le produit des probabilités de chacune des issues $i_1$,...,$i_n$.
	
	En reprenant l'exemple de la pièce puis du dé: $\mathbb{P}\left( (P,3) \right)=\frac{1}{2}\times\frac{1}{6}=\frac{1}{12}$.
	
\end{lecon}

\subsubsection{Exercices.}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 21 page 233 du manuel Déclic 2015.
		
	\end{notabene}
	
	D'après l'INSEE, $65\ \%$ des Français âgés de $15$ à $25$ ans ont réalisé au moins un achat par Internet en 2011. Nous supposerons que cette proportion se maintient encore quelques années après.
	
	Nous interrogeons au hasard deux jeunes dans la tranche d'âge $15-25$ ans.
	
	\begin{enumerate}
		\item Modélisez cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.
		
		\item Calculez la probabilité des événements suivants:
		
		\begin{enumerate}
			\item $A$: \og les deux jeunes interrogés ont effectué au moins un achat sur Internet cette année. \fg{}
			
			\item $B$: \og Un seul des deux jeunes interrogés a effectué au moins un achat sur Internet cette année.\fg{}
			
			\item $C$: \og Au plus un des deux jeunes interrogés a effectué au moins un achat sur Internet cette année.\fg{}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 47 page 236 du manuel hachette déclic 2015: construction d'un arbre probabiliste obtenu par la répétition d'une expérience aléatoire et calcul de probabilités.
		
	\end{notabene}
	
	Amy a acheté un sac de berlingots. D'après l'étiquette du sac, celui-ci contient $40\ \%$ de bonbons à la fraise, $30\ \%$ au citron et $30\ \%$ à la pomme.
	
	Amy prend au hasard deux berlingots. On considère que le nombre de bonbons est suffisamment grand pour assimiler son choix à des tirages successifs avec remise.
	
	Calculez les probabilités des événements suivants:
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item $E_1$: \og Amy a choisi deux berlingots au citron. \fg{}
		
		\item $E_2$: \og Amy a choisi un berlingot à la fraise puis un au citron. \fg{}
		
		\item $E_3$: \og Amy a choisi un berlingot à la fraise et un au citron.\fg{}
		
		\item $E_4$: \og Amy n'a pas choisi de berlingot à la pomme.\fg{}
		
		\item $E_5$: \og Amy a choisi des berlingots de parfums différents.\fg{}
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 48 page 236 du manuel hachette déclic 2015: construction d'un arbre probabiliste obtenu par la répétition d'une expérience aléatoire.
		
	\end{notabene}
	
	D'après un sondage BVA effectué en octobre 2013 sur un échantillon représentatif de la population, $73\ \%$ des Français âgés de $15$ à $34$ ans préfèrent se coucher tard plutôt que de se lever tôt.
	
	Trois personnes choisies au hasard dans la tranche d'âge $15-34$ ans.
	
	Calculez la probabilité des événements suivants:
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item $A$: \og Les trois personnes interrogées préfèrent se coucher tard. \fg{}
		
		\item $B$: Exactement deux personnes interrogées sur les trois préfèrent se coucher tard.\fg{}
		
		\item $C$: \og Au moins une des personnes interrogées préfère se coucher tard.\fg{}
		
		\item $D$: \og Au plus une des personnes interrogées préfère se coucher tard. \fg{}
		
		\item $E$: \og Moins de deux personnes interrogées préfèrent se coucher tard.\fg{}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\objectif{Construisons l'arbre pondéré correspondant à l'expérience.}
	
	Notons $T$ le fait qu'une personne préfère se coucher tard et donc $\overline{T}$ sinon.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
			\coordinate (A1) at (6,7);
			\coordinate (A2) at (6,5);
			\coordinate (A3) at (6,3);
			\coordinate (A4) at (6,1);
			\coordinate (A5) at (6,-1);
			\coordinate (A6) at (6,-3);
			\coordinate (A7) at (6,-5);
			\coordinate (A8) at (6,-7);
			\coordinate (B1) at (2,6);
			\coordinate (B2) at (2,2);
			\coordinate (B3) at (2,-2);
			\coordinate (B4) at (2,-6);
			\coordinate (C1) at (-2,4);
			\coordinate (C2) at (-2,-4);
			\coordinate (D1) at (-6,0);
			\coordinate (E1) at (10,7);
			\coordinate (E2) at (10,5);
			\coordinate (E3) at (10,3);
			\coordinate (E4) at (10,1);
			\coordinate (E5) at (10,-1);
			\coordinate (E6) at (10,-3);
			\coordinate (E7) at (10,-5);
			\coordinate (E8) at (10,-7);
			\draw node (A1) at (A1) {$T$};
			\draw node (A2) at (A2) {$\overline{T}$};
			\draw node (A3) at (A3) {$T$};
			\draw node (A4) at (A4) {$\overline{T}$};
			\draw node (A5) at (A5) {$T$};
			\draw node (A6) at (A6) {$\overline{T}$};
			\draw node (A7) at (A7) {$T$};
			\draw node (A8) at (A8) {$\overline{T}$};
			\draw node (B1) at (B1) {$T$};
			\draw node (B2) at (B2) {$\overline{T}$};
			\draw node (B3) at (B3) {$T$};
			\draw node (B4) at (B4) {$\overline{T}$};
			\draw node (C1) at (C1) {$T$};
			\draw node (C2) at (C2) {$\overline{T}$};
			\draw (B1)--(A1)node[midway,sloped, above]{\footnotesize\color{blue}$0,73$};
			\draw (B1)--(A2)node[midway, sloped, below]{\footnotesize\color{blue}$0,27$};
			\draw (B2)--(A3)node[midway, sloped, above]{\footnotesize\color{blue}$0,73$};
			\draw (B2)--(A4)node[midway, sloped, below]{\footnotesize\color{blue}$0,27$};
			\draw (B3)--(A5)node[midway, sloped, above]{\footnotesize\color{blue}$0,73$};
			\draw (B3)--(A6)node[midway, sloped, below]{\footnotesize\color{blue}$0,27$};
			\draw (B4)--(A7)node[midway, sloped, above]{\footnotesize\color{blue}$0,73$};
			\draw (B4)--(A8)node[midway, sloped, below]{\footnotesize\color{blue}$0,27$};
			\draw (C1)--(B1)node[midway, sloped, above]{\footnotesize\color{blue}$0,73$};
			\draw (C1)--(B2)node[midway, sloped, below]{\footnotesize\color{blue}$0,27$};
			\draw (C2)--(B3)node[midway, sloped, above]{\footnotesize\color{blue}$0,73$};
			\draw (C2)--(B4)node[midway, sloped, below]{\footnotesize\color{blue}$0,27$};
			\draw (D1)--(C1)node[midway, sloped, above]{\footnotesize\color{blue}$0,73$};
			\draw (D1)--(C2)node[midway, sloped, below]{\footnotesize\color{blue}$0,27$};
			\draw node (E1) at (E1) {$TTT$};
			\draw node (E2) at (E2) {$TT\overline{T}$};
			\draw node (E3) at (E3) {$T\overline{T}T$};
			\draw node (E4) at (E4) {$T\overline{T}\overline{T}$};
			\draw node (E5) at (E5) {$\overline{T}TT$};
			\draw node (E6) at (E6) {$\overline{T}T\overline{T}$};
			\draw node (E7) at (E7) {$\overline{T}\overline{T}T$};
			\draw node (E8) at (E8) {$\overline{T}\overline{T}\overline{T}$};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
	\begin{enumerate}
		\item \objectif{Calculons $\mathbb{P}(A)$.}
		
		$A=\left\{ TTT\right\}$.
		
		Donc 
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(A) &= \mathbb{P}(LLL)\\
			\intertext{D'après le principe multiplicatif:}
			&= 0,73 \times 0,73 \times 0,73
		\end{align*}
		
		Finalement:
		
		\begin{conclusion}
			
			$\displaystyle \mathbb{P}(A)\approx 0,389$
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Calculons $\mathbb{P}(B)$.}
		
		$B=\left\{ TT\overline{T} ; T\overline{T}T ; \overline{T}TT \right\}$.
		
		Donc 
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(B) &= \mathbb{P}(TT\overline{T}) + \mathbb{P}(T\overline{T}T) + \mathbb{P}\mathbb{P}(\overline{T}TT) \\
			\intertext{D'après le principe multiplicatif:}
			&= 0,73 \times 0,73 \times 0,27+ 0,73 \times  0,27 \times 0,73 +0,27 \times 0,73 \times 0,73
		\end{align*}
		
		Finalement:
		
		\begin{conclusion}
			
			$\displaystyle \mathbb{P}(B)\approx 0,1439$
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Calculons $\mathbb{P}(C)$.}
		
		{\color{orange}Le nombre de chemins correspondant à l'événement $B$ étant très important il est ici intéressant, mais pas indispensable, de considérer l'événement contraire.}
		
		\medskip
		$\overline{C}$: \og Aucune des trois personnes interrogées n'aime se coucher tard.\fg{}
		
		$\overline{C}=\left\{ \overline{T}\overline{T}\overline{T} \right\}$.
		
		Donc 
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(C) &= \mathbb{P}(\overline{T}\overline{T}\overline{T}) \\
			\intertext{D'après le principe multiplicatif:}
			&= 0,27 \times 0,27 \times 0,27
		\end{align*}
		
		Nous en déduisons la probabilité de $C$:
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(C) &= 1 -\mathbb{P}(\overline{C})\\
			&= 1-0,27\times 0,27 -0,27
		\end{align*}
		
		Finalement:
		
		\begin{conclusion}
			
			$\displaystyle \mathbb{P}(C)\approx 0,9803$
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Calculons $\mathbb{P}(D)$.}
		
		{\color{orange}$D$: \og Aucune ou une seule des trois personnes aime se coucher tard \fg{}.}
		
		\medskip
		$D=\left\{ T\overline{T}\overline{T} ; \overline{T}T\overline{T} ; \overline{T}\overline{T}T ; \overline{T}\overline{T}\overline{T}  \right\}$.
		
		Donc 
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(D) &= \mathbb{P}(T\overline{T}\overline{T}) + \mathbb{P}(\overline{T}T\overline{T}) + \mathbb{P}(\overline{T}\overline{T}T)+ \mathbb{P}(\overline{T}\overline{T}\overline{T}) \\
			\intertext{D'après le principe multiplicatif:}
			\mathbb{P}(D) &= 0,73 \times 0,27 \times 0,27 + 0,27\times 0,73 \times 0,27 + 0,27 \times 0,27 \times 0,73\\
			&\quad  + 0,27 \times 0,27 \times 0,27
		\end{align*}
		
		Finalement:
		
		\begin{conclusion}
			
			$\displaystyle \mathbb{P}(D)\approx 0,1793$
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Calculons $\mathbb{P}(E)$.}
		
		Nous remarquons que $E=\overline{A}$.
		
		Donc
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(E) &= \mathbb{P}(\overline{A})\\
			&= 1- \mathbb{P}(A) \\
			&= 1 -0,73^3
		\end{align*}
		
		D'où
		
		\begin{conclusion}
			
			$\displaystyle \mathbb{P}(E) \approx 0,6110$
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 17 page 258 du manuel Déclic 2015: construire un arbre pondéré puis calculer des probabilités.
		
	\end{notabene}
	
	Sur son trajet domicile-travail, un automobiliste rencontre trois feux tricolores, indépendants les uns des autres. Il a remarqué que, statistiquement, chaque feu est au vert une fois sur trois.
	
	\begin{enumerate}
		\item Représentez la situation par un arbre pondéré.
		
		\item Pour un trajet domicile-travail, calculez la probabilité des événements suivants.
		
		\begin{enumerate}
			\item Deux feux sur les trois sont au vert.
			
			\item Un seul feu sur les trois est au vert.
			
			\item Tous les feux sont au vert.
			
			\item Aucun des trois feux n'est au vert.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item ~		
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
				%Création des nœuds
				\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/V, A2/5/\overline{V}, A3/3/V, A4/1/\overline{V}, A5/-1/V, A6/-3/\overline{V}, A7/-5/V, A8/-7/\overline{V}} \node (\A) at (8,\ord){$\n$};
				\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/V, B2/2/\overline{V}, B3/-2/V, B4/-6/\overline{V}} \node (\B) at (4,\ord) {$\n$};
				\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/V, C2/-4/\overline{V}} \node (\C) at (0,\ord) {$\n$};
				\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/VVV, D2/5/VV\overline{V}, D3/3/V\overline{V}V, D4/1/V\overline{V}\overline{V}, D5/-1/\overline{V}VV, D6/-3/\overline{V}V\overline{V}, D7/-5/\overline{V}\overline{V}V, D8/-7/\overline{V}\overline{V}\overline{V}} \node (\D) at (12,\ord){$\n$};
				%Branches entre les nœuds
				\foreach \B/\A in {B1/A1, B2/A3, B3/A5, B4/A7} \draw (\B) -- (\A) node[midway,sloped,above]{$\frac{2}{3}$};
				\foreach \B/\A in {B1/A2, B2/A4, B3/A6, B4/A8} \draw (\B) -- (\A) node[midway,sloped,below]{$\frac{1}{3}$};
				\foreach \C/\B in {C1/B1, C2/B3} \draw (\C) -- (\B) node[midway,sloped,above]{$\frac{2}{3}$};
				\foreach \C/\B in {C1/B2,  C2/B4} \draw (\C) -- (\B) node[midway,sloped,below]{$\frac{1}{3}$};
				\foreach \C in {C1} \draw (-4,0) -- (\C) node[midway,sloped,above]{$\frac{2}{3}$};
				\foreach \C in { C2} \draw (-4,0) -- (\C) node[midway,sloped,below]{$\frac{1}{3}$};
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Notons $E_1$ l'événement \og Deux feux sur les trois sont au vert \fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(E_1)$.}
			
			{\color{orange}En lisant les chemins sur l'arbre:}
			
			$E_1= \{ VV\overline{V};\ V\overline{V}V;\ \overline{V}VV \}$.
			
			{\color{orange}Donc du point de vue probabiliste:}
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(E_1) &= \mathbb{P}(VV\overline) + \mathbb{P}(V\overline{V}V) + \mathbb{P}(\overline{V}VV)\\
				\intertext{Donc, d'après le principe multiplicatif:}
				\mathbb{P}(E_1) &= \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(E_1)= \frac{4}{9}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 18 page 259 du manuel Déclic 2015: construire un arbre pondéré puis calculer des probabilités.
		
	\end{notabene}
	
	Un restaurateur constate qu'au déjeuner, $9$ clients sur $10$ prennent un café. Quatre clients se présentent pour déjeuner et commandent de façon indépendante. Pour chacun, nous noterons $C$ l'événement \og le client prend un café\fg{}.
	
	\begin{enumerate}
		\item Représentez la situation par un arbre pondéré.
		
		\item Calculez la probabilité des événements suivants.
		
		\begin{enumerate}
			\item Un seul des quatre clients prend un café.
			
			\item Au moins deux clients prennent un café.
			
			\item Au plus deux clients prennent un café.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		1ieme esl nathan hyperbole 86 page 207.
		
		A vue de nez 20 minutes pour faire un travail propre.
		
	\end{notabene}	
	
	Un sac contient des boules indiscernables au toucher: 3 vertes, 4 rouges et 3 bleues. On prélève successivement et avec remise deux boules du sac en notant la couleur de chaque boule.
	
	\begin{enumerate}
		\item Représentez la situation par un arbre pondéré.
		
		\item Calculez la probabilité de l'événement $E_1$:\og tirer deux boules bleues \fg{}.
		
		\item Calculez la probabilité de l'événement $E_2$:\og tirer au moins une boule bleue \fg{}.
		
		\item Calculez la probabilité de l'événement $E_3$:\og tirer des boules uniquement rouge ou verte \fg{}.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		1ieme esl hachette barbazo 2015 exercice 61 page 226
		
		Faire le corriger pour vérifier qu'il n'est pas bancal et rajouter  modifier les dernière question pour permettre l'utilisation de l'union
		
	\end{notabene}
	
	Un magazine est proposé sous deux versions: papier ou numérique.
	
	L'éditeur délègue à  une plateforme d'appels de démarcher une liste de clients potentiels.
	
	Le centre d'appel contacte successivement deux personnes sur cette liste.
	
	On considère les événements suivants.
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $A$: \og la personne contactée s'abonne à la version papier \fg{},
		\item $B$:\og la personne contactée s'abonne  à la version numérique \fg{},
		\item $N$:\og la personne contacté ne s'abonne pas \fg{}
	\end{enumerate}
	
	Une étude statistique a montré que
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item la probabilité qu'une personne s'abonne à la version papier est de $0,18$;
		\item la probabilité qu'une personne s'abonne à la version numérique est de $0,22$;
		\item la probabilité qu'une personne ne s'abonne à aucune des deux versions est de $0,7$.
	\end{enumerate}
	
	On étudie ce qu'il peut se passer lorsque la plateforme contact deux personnes.
	
	Calculez les probabilité des événements suivants.
	
	\begin{enumerate}
		\item $E_1$:\og Les deux personnes contactées ont choisi un abonnement numérique. \fg{}
		
		\item $E_2$: \og au moins l'une des deux personnes a choisi un abonnement numérique \fg{}
		
		\item $E_3$:\og au moins l'une des deux personnes a choisi un abonnement papier \fg{}
		
		\item $E_4$: \og l'une des personnes contactées a choisi un abonnement papier et l'autre un abonnement numérique\fg{}
		
		\item $E_5$:\og au moins l'une des deux personnes s'est abonnée \fg{}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Le supermarché Rond-Point organise des ventes promotionnelles "flash". Les clients ont quelques minutes pour profiter des promotions.
	
	\medskip
	Lors d'une de ces ventes un ensemble d'ustensiles de salle de bain composé:
	\begin{itemize}
		\item d'une serviette de bain (\textbf{G}rande ou \textbf{P}etite),
		\item d'un gant de toilette (\textbf{V}ert, \textbf{R}ouge ou \textbf{J}aune) et
		\item d'un rideau de douche (\textbf{B}lanc ou \textbf{T}ransparent)
	\end{itemize}
	est proposé.
	
	\medskip
	Chaque client prend exactement un gant de toilette, une serviette de bain puis un rideau de douche.
	\begin{enumerate}
		\item Dessinez un arbre rendant compte de cette situation.
		\item Inquiet de manquer l'offre promotionnelle, un client prend au hasard un gant de toilette, une serviette de bain puis un rideau de douche. Quelle est la probabilité que ce client prenne une grande serviette (\textbf{G}), un gant rouge (\textbf{R}) et un rideau blanc (\textbf{B})?
		\item On note $A$ l'événement: \og le client prend un gant de toilette jaune \fg . Énumérer les issues qui réalisent $A$. En déduire la probabilité de $A$.
		\item Calculer la probabilité qu'un client prenne un gant de toilette \textbf{V}ert ou \textbf{R}ouge.
		\item On note $B$ l'événement \og le client prend un rideau de douche blanc \fg . Énumérer les issues qui réalisent $B$. En déduire la probabilité de $B$.
		\item Déterminer la probabilité que le client prenne une petite serviette et un rideau de douche blanc.
		\item Décrire l'événement $A\cup B $ par une phrase puis calculer la probabilité de $A\cup B$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item ~
		
		\begin{center}
			\tikzstyle{racine}=[rounded corners=0pt,fill=lightgray!35, text centered,text width=0cm]
			\tikzstyle{noeud}=[rounded corners=3pt,fill=lightgray!35, text centered,text width=0.4cm]
			\tikzstyle{noeud2}=[rounded corners=3pt, text centered,text width=0.4cm]
			\begin{tikzpicture}
				\node[racine] (A)at(0,5){};
				%Premier niveau nœuds
				\node[noeud](B)at(-2.4,4){$G$};
				\node[noeud](C)at(2.4,4){$P$};
				%Premier niveau branches
				\draw (A)--(B)node[midway, left]{\color{purple}$\frac{1}{2}$};
				\draw (A)--(C)node[midway, left]{\color{purple}$\frac{1}{2}$};	
				%deuxième niveau nœuds
				\node[noeud](D)at(-4,2){$V$};
				\node[noeud](E)at(-2.4,2){$R$};
				\node[noeud](F)at(-0.8,2){$J$};
				\node[noeud](G)at(0.8,2){$V$};
				\node[noeud](H)at(2.4,2){$R$};
				\node[noeud](I)at(4,2){$J$};
				%Deuxième niveau branches
				\draw (B)--(D)node[midway, left]{\color{purple}$\frac{1}{3}$};	
				\draw (B)--(E)node[midway, left]{\color{purple}$\frac{1}{3}$};	
				\draw (B)--(F)node[midway, left]{\color{purple}$\frac{1}{3}$};	
				\draw (C)--(G)node[midway, left]{\color{purple}$\frac{1}{3}$};	
				\draw (C)--(H)node[midway, left]{\color{purple}$\frac{1}{3}$};	
				\draw (C)--(I)node[midway, left]{\color{purple}$\frac{1}{3}$};	
				%Troisième niveau nœud
				\node[noeud](J)at(-4.4,0){$B$};
				\node[noeud](K)at(-3.6,0){$T$};
				\node[noeud](L)at(-2.8,0){$B$};
				\node[noeud](M)at(-2,0){$T$};
				\node[noeud](N)at(-1.2,0){$B$};
				\node[noeud](O)at(-0.4,0){$T$};
				\node[noeud](P)at(0.4,0){$B$};
				\node[noeud](Q)at(1.2,0){$T$};
				\node[noeud](R)at(2,0){$B$};
				\node[noeud](S)at(2.8,0){$T$};
				\node[noeud](T)at(3.6,0){$B$};
				\node[noeud](U)at(4.4,0){$T$};
				%Troisième niveau branches
				\draw (D)--(J)node[midway, left]{\color{purple}$\frac{1}{2}$};	
				\draw (D)--(K)node[midway, right]{\color{purple}$\frac{1}{2}$};	
				\draw (E)--(L)node[midway, left]{\color{purple}$\frac{1}{2}$};	
				\draw (E)--(M)node[midway, right]{\color{purple}$\frac{1}{2}$};	
				\draw (F)--(N)node[midway, left]{\color{purple}$\frac{1}{2}$};	
				\draw (F)--(O)node[midway, right]{\color{purple}$\frac{1}{2}$};	
				\draw (G)--(P)node[midway, left]{\color{purple}$\frac{1}{2}$};	
				\draw (G)--(Q)node[midway, right]{\color{purple}$\frac{1}{2}$};	
				\draw (H)--(R)node[midway, left]{\color{purple}$\frac{1}{2}$};	
				\draw (H)--(S)node[midway, right]{\color{purple}$\frac{1}{2}$};	
				\draw (I)--(T)node[midway, left]{\color{purple}$\frac{1}{2}$};	
				\draw (I)--(U)node[midway, right]{\color{purple}$\frac{1}{2}$};	
				%Issues
				\node[noeud](J)at(-4.4,-0.75){\tiny $GVB$};
				\node[noeud](K)at(-3.6,-1.25){\tiny $GVT$};
				\node[noeud](L)at(-2.8,-0.75){\tiny $GRB$};
				\node[noeud](M)at(-2,-1.25){\tiny $GRT$};
				\node[noeud](N)at(-1.2,-0.75){\tiny $GJB$};
				\node[noeud](O)at(-0.4,-1.25){\tiny $GJT$};
				\node[noeud](P)at(0.4,-0.75){\tiny $PVB$};
				\node[noeud](Q)at(1.2,-1.25){\tiny $PVT$};
				\node[noeud](R)at(2,-0.75){\tiny $PRB$};
				\node[noeud](S)at(2.8,-1.25){\tiny $PRT$};
				\node[noeud](T)at(3.6,-0.75){\tiny $PJB$};
				\node[noeud](U)at(4.4,-1.25){\tiny $PJT$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item Le choix du client correspond au chemin $(G,R,B)$. D'après le principe multiplicatif la probabilité de ce chemin est:
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(G,R,B) &= \frac{1}{2}\times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}\\
			&= \frac{1}{12}
		\end{align*}
		
		\item $A=\{ (G,J,B), (G,J,T), (P,J,B), (P,J,T) \}$.
		
		Donc:
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(A) &= \mathbb{P}(G,J,B)+ \mathbb{P}(G,J,T),+ \mathbb{P}(P,J,B)+ \mathbb{P}(P,J,T)\\
			&= \frac{1}{2}\times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} +\frac{1}{2}\times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} +\frac{1}{2}\times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}\\
			&= \frac{1}{3}
		\end{align*}
		
		\item Notons $C$ l'événement le client prend un gant de toilette vert ou rouge. $\overline{C}= \{ (G,J,B), (G,J,T), (P,J,B), (P,JT) \}$. Donc:
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(\overline{C}) &= 4\times \frac{1}{12}\\
			&= \frac{1}{3}\\
			\intertext{On en déduit:}
			\mathbb{P}(A) &= 1- \mathbb{P}(\overline{A})\\
			&= 1-\frac{1}{3}\\
			&= \frac{2}{3}
		\end{align*}
		
		\item $B=\{ (G,V,B), (G,R,B), (G,J,B), (P,V,B), (P,R,B), (P,J,B) \}$
		
		On en déduit:
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(B) &= 6\times \frac{1}{12}\\
			&= \frac{1}{2}
		\end{align*}
		
		\item Notons $D$ l'événement \og le client prend une petite serviette et un rideau de douche blanc\fg .  Il y a 3 issues qui réalisent cet événement: $(P,V,B), (P,R,B), (P,J,B)$ donc: 
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(D) &= 3\times \frac{1}{12}\\
			&= \frac{1}{4}
		\end{align*}
		
		\item $A\cup B$: \og le client prend un gant de toilette jaune ou un rideau de bain blanc\fg .
		
		L'événement \og le client prend un gant jaune \underline{et} un gant blanc\fg ~ est réalisé par $(G,J,B)$ et $(R,J,B)$ donc:
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(A\cap B) &= 2\times \frac{1}{12}\\
			&= \frac{1}{6}
		\end{align*}
		
		\medskip
		On en déduit:
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(A\cup B) &= \mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cap B) \\
			&= \frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\\
			&= \frac{4}{6}
		\end{align*}
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		0ieme barbazo spé 2020 page 420 exo 4.
	\end{notabene}
	
	Un examen consiste à passer $3$ épreuves indépendantes.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Épreuve 1: on a $80\ \%$ de chances de réussir.
		\item Épreuve 2: on a $60\ \%$ de chances de réussir.
		\item Épreuve 3: on a $25\ \%$ de chances de réussir.
	\end{enumerate}
	
	On est reçu à l'examen si on réussi au moins deux épreuves sur trois.
	
	Quelle est la probabilité de réussir l'examen?
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		Épreuves successives dans un jeu vidéo avec des probabiltés différentes.
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\subsection{Listes, permutations, combinaisons.}

\begin{notabene}
	
	COUPER TOUTE la fin DE LA LECON EST METTRE DANS LECON 15 TRIANGLE DE PASCAL.
	
\end{notabene}

\begin{notabene}
	
	Repartir des arbres schématisant un schéma de Bernoulli combien de chemins avec 2 feux verts.
	
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	Rappelons que le cardinal d'un ensemble fini est le nombre d'éléments qu'il contient.
	
\end{lecon}

\subsubsection{Arrangements.}

\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $E$ un ensemble fini non vide,
		
		\item $p\in \mathbb{N}^*$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous appellerons \emph{\color{purple}$p$-arrangement de $E$} (ou arrangement de $p$ éléments de $E$), tout $p$-uplet d'éléments de $E$ deux à deux distincts.
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Les $2$-arrangements de $E=\{ a,b,c \}$ sont $(a,b)$, $(b,a)$, $(a,c)$ $(c,a)$, $(b,c)$ et $(c,b)$.
		
		\item Si le mot \og math\fg{} est un $4$-arrangement de lettres de l'alphabet, \og mathématique \fg{} n'en n'est pas un car il ya répétition de lettres.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{proposition}{}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		
		\item $p\in \mathbb{N}^*$,
		
		\item $n \in \mathbb{N}^*$,
		
		\item $E$ un ensemble de cardinal $n$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Le nombre de $p$-arrangements de $E$ est \[ A_n^p= \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \text{si }p>n \\ n \times (n-1) \times \dots \times (n-p+1) & \text{si } 0<p<n \\ 1 &\text{si } p=0 \end{array} \right. \]
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	\begin{enumerate}
		\item Si $p>n$ nous ne pourrons trouver $p$ éléments distincts dans $E$.
		
		\item Si $0<p<n$ il s'agit d'interpréter la situation comme un tirage sans remise de $p$ boules dans une urne en contenant $n$.
		
		\item Si $p=0$ c'est une convention.
		
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}


\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Autrement dit si $p \in \llbracket 0,n \rrbracket$, \[ \color{purple}A_n^p= \frac{n!}{(n-p)!}.\]
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Le nombre de $2$-arrangements de $E=\{ a,b,c \}$ est $A_3^2=3 \times (3-2+1)=6$.
		
		\item $A_{10}^{3}= \frac{10!}{(10-3)!}=10 \times 9 \times 8=720$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsubsection{Permutations.}

\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $n \in \mathbb{N}^*$,
		
		\item $E$ un ensemble de cardinal $n$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous appellerons permutation de $E$ tout $n$-arrangement d'éléments de $E$.
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item L'ensemble des permutations de $\llbracket 1, n \rrbracket$ est $\mathfrak{S}_n$.
		
		\item En français les permutations des lettres d'un mot sont appelés ses anagrammes.
		
		\item Une permutation est une bijection de $E$ sur $E$.
		
		\item Il y a $n!$ permutations sur $E$ de cardinal $n$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsubsection{Combinaisons.}

\begin{definition}
	
	Nous appellerons combinaisons de $p$ éléments de $E$ (ou $p$-combinaison) toute partie de $E$ de cardinal $p$.
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Nous retrouvons l'idée des chemins comptant le nombre de succès d'un schéma de Bernoulli peu importe dans quel ordre. Si $E$ est l'ensemble des niveaux de l'arbre (donc au nombre de $n$), peu importe à quels niveaux il y a eu succès ce qui importe c'est le nombre ($p$) de succès.
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{proposition}{}
	
	Le nombre de $p$-combinaisons de $E$ se note $\binom{n}{p}$ et est appelé coefficient binomial $p$ parmi $n$.
	
	Si $p>n$ alors \[ \binom{n}{p} =0. \]
	
	Si $0 \leqslant p \leqslant n$ alors \[ \binom{n}{p}= \frac{n!}{p!(n-p)!}.\]
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	Si $p>n$ il n'existe pas d
	$\binom{n}{p} = \frac{A_n^p}{p!}$.
	
\end{preuve}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item En particulier on retiendra $\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1$ et $\binom{n}{1}=\binom{n}{n-1}=n$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{proposition}{}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $n \in \mathbb{N}$,
		
		\item $p \in \llbracket 0,n \rrbracket$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $\displaystyle
		\binom{n}{p}= \binom{n}{n-p}$.
		
		\item $\displaystyle \binom{n}{p}+ \binom{n}{p+1}= \binom{n+1}{p+1}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{notabene}
	
	Triangle de Pascal.
	
\end{notabene}

\subsubsection{Formule du binôme de Newton.}

\begin{proposition}{}
	
	
	Pour tous nombres complexes $a$ et $b$ et pour tout entier naturel $n$ non nul
	
	\[ \color{purple} (a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n-k} \]
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	Une démonstration par récurrence un peu difficile du fait du changement d'indice dans des sommes discrètes.
	
\end{preuve}

\subsubsection{Exercices.}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		0ieme barabazo 2020 page 302 exo 95
	\end{notabene}
	
	Dites si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
	
	\begin{enumerate}
		\item $\forall n \in \mathbb{N}^*,\ \binom{n}{n-1}=n$.
		
		\item $\forall n\in \mathbb{N} \setminus \{ 0,1 \},\ \binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}$.
		
		\item $\forall n\in \mathbb{N},\ (n+1)!= (n+1) n!$.
		
		\item $\forall n\in \mathbb{N}^*,\ \frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+1)!}= \frac{1}{n}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		CNDE 2000 page 186
		
	\end{notabene}
	
	Une urne contient quatre boules blanches et trois boules noires On tire simultanément trois boules de l'urne.
	
	\begin{enumerate}
		\item Combien y a-t-il de tirages possibles?
		
		\item Combien y a-t-il de tirages possibles ne comportant que des boules blanches?
		
		\item Combien y a-t-il de tirages unicolores?
		
		\item Combien y a-t-il de tirages comportant une boule blanche et deux boules noires?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		CNDE 2000 page 186
		
	\end{notabene}
	
	On choisit au hasard simultanément quatre cartes dans un jeu de $32$ cartes.
	
	\begin{enumerate}
		\item Combien y a-t-il de tirages possibles?
		
		\item Combien y a-t-il de tirages possibles comportant le roi de cœur?
		
		\item Combien y a-t-il de tirages comportant quatre cœurs?
		
		\item Combien y a-t-il de tirages ne comportant aucun as?
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		CNDE 2000 page 186
		
	\end{notabene}
	
	Le code d'une carte de crédit est formé de quatre chiffres distincts.
	
	\begin{enumerate}
		\item Combien y a-t-il de codes possibles?
		
		\item Combien y a-t-il de codes ne comportant que des chiffres pairs?
		
		\item Combien y a-t-il de codes commençant par le chiffre $2$?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		0ieme barabazo 2020 page 297 exo 59
	\end{notabene}
	
	Un numéro de téléphone est constitué de $10$ chiffres dont le premier est $0$ et les neuf autres quelconques.
	
	\begin{enumerate}
		\item Combien y a-t-il de numéros possibles?
		
		\item Combien y a-t-il de numéros possibles commençant par 06?
		
		\item Calculez le nombre de numéros contenant
		\begin{enumerate}
			\item les dix chiffres,
			
			\item exactement $3$ fois le chiffre $6$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		0ieme barabazo 2020 page 297 exo 60
	\end{notabene}
	
	Un code est formé d'une lettre suivi de trois chiffres.
	
	\begin{enumerate}
		\item Combien y a-t-il de chiffres possibles?
		
		\item Combien y a-t-il de codes commençant par la lettre $A$?
		
		\item Combien y a-t-il de codes commençant par $A$ et contenant les chiffres $1$, $2$ et $3$?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		0ieme barabazo 2020 page 297 exo 61
	\end{notabene}
	
	Un fleuriste dispose de $5$ roses, trois tulipes, deux tournesols et quatre feuillages décoratifs pour composer un bouquet.
	
	\begin{enumerate}
		\item Combien de bouquets constitués de trois fleurs et d'un feuillage peut-il composer?
		
		\item Il décide de mettre une fleur de chaque espèce avec un feuillage pour constituer son bouquet. Quel est le nombre de bouquets possibles?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		0ieme barabazo 2020 page 298 exo 66
	\end{notabene}
	
	Lors d'une course hippique on peut parier sur les cinq premiers chevaux à l'arrivée. On parle alors de quinté. $15$ chevaux, numérotés de $1$ à $15$, sont au départ.
	
	Combien y a-t-il de quintés différents:
	
	\begin{enumerate}
		\item en tenant compte de l'ordre?
		
		\item sans tenir compte de l'ordre?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		0ieme barabazo 2020 page 298 exo 74
	\end{notabene}
	
	Une urne contient $100$ jetons numérotés de $1$ à $100$. On tire simultanément deux jetons de l'urne.
	
	\begin{enumerate}
		\item Combien y a-t-il de tirages possible?
		
		\item Quelle est la probabilité de tirer deux numéros pairs?
		
		\item Parmi les événements suivants, quel est le plus probable?
		
		\begin{enumerate}
			\item $A$: \og la somme des numéros est paire \fg{},
			
			\item $B$: \og la somme des numéros est impaire \fg{}.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		0ieme barabazo 2020 page 298 exo 75
	\end{notabene}
	
	Combien peut-on former de mots de $5$ lettres
	
	\begin{enumerate}
		\item comportant des lettres différentes?
		
		\item commençant par une voyelle et finissant par une consonne?
		
		\item contenant exactement une voyelle?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Démontrez que $\displaystyle \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}=2^n$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	On fait la somme des parties de $E$ avec $0$ éléments, puis $1$ élément, puis $2$, ..., jusqu'à $n$ éléments. Ou on applique la formule du binôme de Newton.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Démontrez $\displaystyle
	\binom{n}{k} = \frac{n}{k} \binom{n-1}{k-1}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		0ieme barabazo 2020 page 301 exo 92
	\end{notabene}
	
	Soient $n \in \mathbb{N}^*$ et $f:x \mapsto (1+x)^n$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculez $f'$ à partir de l'expression factorisée de $f$ puis à partir de son expression développée.
		
		\item Démontrez \[ \sum_{k=1}^nk \binom{n}{k}=n \times 2^{n-1}.\]
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		0ieme barabazo 2020 page 301 exo 91
	\end{notabene}
	
	Soit $n$ un entier naturel.
	
	Une urne contient $n$ boules rouges et $n$ boules vertes. On tire les boules de l'urne les unes après les autres jusqu'à ce que l'urne soit vide, en notant au fur et à mesure la couleur de la boule tirée: $R$ pour rouge et $V$ pour verte.
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		\begin{enumerate}
			\item Faire le lien entre le résultat obtenu et l'ensemble $E=\{ R, V \}$.
			
			\item Montrez que le nombre de ces $2n$-uplets est $\binom{2n}{n}$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item Considérons un jeu. On gagne $1\ \text{\euro}$ à chaque tirage d'une boule de couleur différente de la boule précédemment tirée; sinon on ne gagne rien. La partie est finie lorsque l'urne est vide.
		
		\begin{enumerate}
			\item Calculez la probabilité de gagner exactement $1\ \text{\euro}$ lors d'une partie.
			
			\item Calculer la probabilité de gagner $2\ \text{\euro}$ lors d'une partie.
			
			\item Soit $k$ un entier naturel tel que $2 \leqslant k \leqslant 2n$.
			
			Calculez, en fonction de $n$, la probabilité de gagner au $k$-ième tirage.
			
			Cette probabilité dépend-elle du rang $k$?
					
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		0ieme barabazo 2020 page 304 exo 102
	\end{notabene}
	
	\begin{enumerate}
		\item Un sac contient contient $5$ boules indiscernables sur lesquelles sont écrites les lettre $A$, $B$, $C$, $D$ et $E$.
		
		On tire une boule au hasard, on note la lettre, et on remet la boule dans l'urne. On répète trois fois cette action. On obtient ainsi un mot de trois lettres.
		
		À l'aides des coefficients binomiaux écrivez:
		
		\begin{enumerate}
			\item le nombre de mots que l'on peut obtenir ayant trois lettres différentes, sans tenir compte de l'ordre;
			
			\item le nombre de mots que l'on peut obtenir ayant deux lettres différentes et une lettre commune;
			
			\item le nombre de mots que l'on peut obtenir ayant trois lettres différentes.
			
		\end{enumerate}
		
		\item Dans une combinaison avec combinaison de $k$ objets pris parmi $n$ objets distincts, un même objet peut être sélectionné plusieurs fois. On veut montrer que ce nombre de combinaison est égale à $\binom{n+k-1}{k}$.
		
		On symbolise les $k$ objets par une ligne de $O$. Un répartition avec $n$ objets distincts consiste alors à mettre des barres de séparation ente les objets. Le nombre de $O$ entre deux barres signifie le nombre de fois qu'un même objet a été sélectionné.
		
		Par exemple avec $k=8$ et $n=5$: \[ OOO||OO|OO|O\] \[ O|OOO|O|OO|O\] \[ OO|O|OOO||OO\] Deux barres côte à côte signifie qu'il y a zéro objets d'un certain type.
		
		\begin{enumerate}
			\item Dans chacun des trois exemples ci-dessus, quel est le nombre total de symboles (barres et $O$) utilisés et quel est le nombre de barres?
			
			Quelle conjecture peut-on donc faire sur le nombre de combinaisons avec répétitions de huit objets parmi cinq?
			
			\item On admet que le problème se ramène donc au choix de $n-1$ objets parmi $n+k-1$.
			
			Justifiez l'égalité $\binom{n+k-1}{n-1}=\binom{n+k-1}{k}$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item Quatre amies se rendent dans un salon de thé où huit thés différents sont proposés. Combien de plateaux de quatre tasses de thés, différentes ou non, pourra leur amener le serveur?
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}{ - Formule de Leibniz}
	
	La fonction dérivée d'une fonction $f$ est notée $f'$. La dérivée de la fonction dérivée, notée $f''$ ou $f^{(2)}$, est appelée la \emph{\color{purple}dérivée seconde} ou \emph{\color{purple}dérivée d'ordre $2$}.
	
	Nous définirons plus généralement le \emph{\color{purple}fonction dérivée d'ordre $n$} ($n$ entier naturel) d'une fonction la fonction obtenue en dérivant $n$ fois la fonction $f$ et nous la noterons $\color{purple}f^{(n)}$.
	
	\medskip
	Soient $u$ et $v$ des fonctions indéfiniment dérivables.
	
	Déterminez la dérivée d'ordre $n$ de la fonction produit $uv$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		sup 1ieme ecg1 j'intègre méthode 2021 page 78
		
	\end{notabene}
	
	Montrez: \[ \forall n\in\mathbb{N}^*,\ \forall r \in \llbracket 1,n \rrbracket,\ \binom{n}{r} = \sum_{k=r}^n \binom{k-1}{r-1}. \]
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	Par récurrence sur $n$.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		sup 1ieme ecg1 j'intègre méthode 2021 page 93
		
	\end{notabene}
	
	Pour $n\in\mathbb{N}^*$, on note $\displaystyle P_n(x)=\prod_{k=1}^n \left( 1+ \frac{x}{k} \right)$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Que valent $P_n(0)$, $P_n(1)$ et $P_n(-n)$?
		
		\item Démontrez que pour tout réel non nul $x$, on a \[ P_n(x)=\frac{x+n}{x} P_n(x-1).\]
		
		\item Pour $p \in \mathbb{N}^*$, écrire $P_n(p)$ comme coefficient du binôme.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		sup 1ieme ecg1 j'intègre méthode 2021 page 90
		
	\end{notabene}
	
	Soit $(p,q) \in ]0,1[^2$ tel que $p+q=1$.
	
	Notons, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $A_n= \prod_{k=0}^{n} \exp \left( \binom{n}{k} p^kq^{n-k} \right)$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminez $\ln(A_n)$.
		
		\item Déduisez-en $A_n$ pour $n \in \mathbb{N}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\subsection{Épreuve et schéma de Bernoulli.}

\begin{notabene}
	Intro: de même que vous avez automatisé les modélisation de l'addition, de la multiplication, vous allez maintenant automatisé la modélisation d'une situation simple en probabilité.
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	Quelle est l'expérience aléatoire la plus simple? Le pile-ou-face. Comment, à partir de cette expérience construire d'autres expériences? En lançant plusieurs fois la pièce.
	
	L'objectif de cette leçon est d'être capable d'identifier une telle situation.
	
\end{lecon}

\subsubsection{Épreuve de Bernoulli.}

\begin{lecon}
	
	On appelle \emph{\color{purple}épreuve de Bernoulli} toute expérience aléatoire dont l'univers a un cardinal de deux. Autrement dit l'univers ne comporte que deux issues. Traditionnellement l'une des deux issues est appelée \emph{\color{purple}succès} et l'autre \emph{\color{purple}échec}. La probabilité, habituellement notée $p$, du succès, est appelée \emph{\color{purple}le paramètre} de l'épreuve de Bernoulli.
	
	Ainsi lancer une pièce est une épreuve de Bernoulli puisqu'elle n'a que deux issues: pile et face. On notera indifféremment l'une succès et l'autre échec.
	
\end{lecon}

\subsubsection{Schéma de Bernoulli.}

\begin{lecon}
	
	Un \emph{\color{purple}schéma de Bernoulli} est une expérience aléatoire formée de la répétition $n$ fois ($n\in\mathbb{N}^*$) d'une même épreuve de Bernoulli, les épreuves étant indépendantes. En notant $p$ la probabilité du succès dans l'une des épreuve, on dit que le schéma de Bernoulli est de \emph{\color{purple}paramètres} $n$ et $p$.
	
	Par exemple: lancer deux fois d'affilée une même pièce de monnaie parfaitement équilibrée est un schéma de Bernoulli de $n=2$ et $p=\frac{1}{2}$.
	
	\medskip
	L'univers pour un schéma de Bernoulli est le produit cartésien $\Omega= \{ P,F \}^n$ qui contient $2^n$ issues.
	
\end{lecon}

\subsubsection{Exercices.}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 11 page 258 du manuel Déclic 2015: identifier une épreuve de Bernoulli.
		
	\end{notabene}
	
	Dites si les expériences aléatoires suivantes sont des épreuves de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}
		\item Un stock contient $1\ \%$ de pièces défectueuses. On y prélève une pièce et on regarde sil elle présente un défaut.
		
		\item Selon l'INSEE, $45\ \%$ des familles françaises ont un seul enfant, $38\ \%$ en ont deux et $17\ \%$ en ont trois ou plus. On intérroge au hasard un élève et on lui demande le nombre d'enfants dans sa famille.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
			\item Épreuve: prélever une pièce.
			\item Succès $S$:\og la pièce est défectueuse\fg{}.
			\item Probabilité du succès: $p=\frac{1}{100}=0,01$.
		\end{enumerate}
		
		Il s'agit bien d'une épreuve de Bernoulli.
		
		\item 
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
			\item Épreuve: interroger une personne au hasard.
			\item Il y a plus de deux issues et donc pas de succès.
		\end{enumerate}
		
		Il ne s'agit pas d'une épreuve de Bernoulli.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 12 page 258 du manuel Déclic 2015: identifier schéma de Bernoulli.
		
	\end{notabene}
	
	Pour chacune des expériences aléatoires suivantes, dites si elle constitue un schéma de Bernoulli. Si oui donnez $n$ et $p$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Dans un stock de $20$ vis, dont $3$ sont trop longues, on prélève successivement $15$ vis, au hasard et sans remise. Pour chacune on regarde si elle est trop longue ou non.
		
		\item On considère une suite de $50$ lettres choisies de façon aléatoire. Pour chacune d'entre elles, on regarde si elle est une voyelle ou non.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item Il ne s'agit pas d'un schéma de Bernoulli car le tirage étant sans remise les différents tirages ne sont pas indépendants les uns des autres.
		
		\item {\color{PineGreen}\underline{Démontrons qu'il s'agit d'un schéma de Bernoulli.}}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item {\color{PineGreen}Épreuve de Bernoulli}
			\begin{itemize}
				\item Épreuve: choisir une lettre au hasard.
				\item Succès: \og La lettre est une voyelle.\fg{}
				\item $p=\frac{6}{26}$.
			\end{itemize}
			
			\item {\color{PineGreen}Schéma de Bernoulli.}
			
			Le choix de la lettre étant répété $n=50$ fois à l'identique et de façon indépendante nous pouvons affirmer que 
			
			{\color{PineGreen}\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|} \hline ces choix constituent un schéma de Bernoulli de paramètres $n=50$ et $p=\frac{6}{26}$.\\ \hline \end{tabularx}}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Une chaîne de magasins de bricolage commercialise des ponceuses \og elliptiques \fg{}.
	
	Statistiquement $8\ \%$ des ponceuses du stock sont défectueuses.
	
	On prélève au hasard $25$ ponceuses elliptiques dans le stock pour vérification. Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.
	
	Démontrez que cette situation est un schéma de Bernoulli dont vous préciserez les paramètres.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\objectif{Démontrons qu'il s'agit d'un schéma de Bernoulli.}
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item {\color{orange}Épreuve de Bernoulli}
		\begin{itemize}
			\item Épreuve: prélever une ponceuse.
			\item Succès: \og La ponceuse est défectueuse.\fg{}
			\item $p=\frac{8}{100}$.
		\end{itemize}
		
		\item {\color{orange}Schéma de Bernoulli.}
		
		Le choix de la ponceuse étant répété $n=25$ fois à l'identique et de façon indépendante nous pouvons affirmer que 
		
	\end{enumerate}
	
	\begin{conclusion}
		ces choix constituent un schéma de Bernoulli de paramètres $n=50$ et $p=\frac{6}{26}$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\subsection{Loi binomiale.}

\subsubsection{Loi de Bernoulli.}

\begin{lecon}
	
	Les résultats obtenus sont les lettres $S$ (succès) et $E$ (échec) ce qui n'est pas le plus pratique pour modéliser mathématiquement. C'est pourquoi nous allons associer une variable aléatoire aux épreuves de Bernoulli.
	
\end{lecon}

\begin{definition}
	
	Nous dirons q'une variable aléatoire $X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ suit une \emph{\color{purple}loi de Bernoulli de paramètre $p$}, si $X$ compte le nombre de succès lors d'une épreuve de Bernoulli de paramètres $p$.
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Si $X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p$ nous avons donc:
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{|c|c|c|}
				\hline
				$x$ & $0$ & $1$
				\\
				\hline
				$\mathbb{P}(X=x)$ & $1-p$ & $p$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsubsection{Moments d'une loi de Bernoulli.}

\begin{proposition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $p \in [0;1]$,
		
		\item $X$ une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre $p$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $\mathbb{E}(X)= p$.
		
		\item $\mathbb{V}(X)=p(1-p)$.
		
		\item $\sigma(X)=\sqrt{p(1-p)}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Si $n\in\mathbb{N}^*$ désigne le nombre de valeurs prisent par la variable aléatoire:
		
		\begin{align*}
			\mathbb{E}(X) &= \sum_{i=1}^n \mathbb{P}(X=x_i) x_i\\
			\intertext{Donc ici:}
			\mathbb{E}(X) &= \mathbb{P}(X=x_1) x_1 + \mathbb{P}(X=x_2) x_2 \\
			&= (1-p) \times 0 + p \times 1\\
			&= p
		\end{align*}
		
		\item {\color{orange}Cette démonstration n'utilise pas la définition de la variance vue en première mais une caractérisation.}
		
		Puisque
		
		\begin{align*}
			\mathbb{V} (X) &= \mathbb{E} \left[ \left(X-\mathbb{E}(X) \right)^2 \right]
		\end{align*}
		
		regardons la loi de probabilité de la variable aléatoire $Y=(X-\mathbb{E}(X))^2$.
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|c|c|}
				\hline
				$y_i$ & $p^2$ & $(1-p)^2$
				\\
				\hline
				$\mathbb{P} \left( Y=y_i \right)$ & $1-p$ & $p$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		Donc 
		
		\begin{align*}
			\mathbb{V} (X) &= (1-p) \times p^2+ p \times (1-p)^2\\
			&= p^2-p^3+p-2p^2+p^3\\
			&= p-p^2\\
			&= p(1-p)
		\end{align*}
		
		\item Trivial.
		
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\subsubsection{Variable aléatoire suivant une loi binomiale.}

\begin{definition}
	
	Nous dirons qu'une variable aléatoire $X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}$ suit une \emph{\color{purple}loi binomiale de paramètres $n$ et $p$}, et nous noterons $\color{purple}X \hookrightarrow \mathscr{B}(n,p)$, si $X$ compte le nombre de succès d'un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$.
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Par définition $X(\Omega)= \llbracket 0, n\rrbracket$ (en utilisant d'autres notations: $X \in \{ 0;1;\dots;n \}$).
		
		\item En particulier si $X$ suit une loi binomiale de paramètre $p \in [0;1]$ alors $X \hookrightarrow \mathbb{B}(1,p)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item L'exemple typique est celui de la variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de piles obtenus lors de la répétition de plusieurs piles ou face. Ainsi si on lance $10$ fois la pièce et que celle-ci est parfaitement équilibrée alors $X \hookrightarrow \mathbb{B}\left( 10; \frac{1}{2} \right)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsubsection{Calcul de probabilité pour une loi binomiale.}

\begin{lecon}
	
	Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres $n=3$ et $p=0,3$.
	
	La situation peut donc être représentée par l'arbre
	
	\begin{flushleft}
		\tikzstyle{noeud}=[rounded corners=3pt,fill=lightgray!35, text centered,text width=0.6cm]
		\tikzstyle{noeud1}=[rounded corners=3pt,fill=lightgray!35]
		\begin{tikzpicture}
			\node[noeud](E0)at(1,3.6){Issues};
			\node[noeud](F0)at(2,3.6){$X$};
			\node[noeud1](G0)at(3.8,3.6){Proba};
			\node[noeud](A1)at(0,2.8){$A$};
			\node[noeud](E1)at(1,2.8){$AAA$};
			\node[noeud](F1)at(2,2.8){$3$};
			\node[noeud1](G1)at(4,2.8){$(0,3)^3$};
			\node[noeud](A2)at(0,2){$\overline{A}$};
			\node[noeud](E2)at(1,2){$AA\overline{A}$};
			\node[noeud](F2)at(2,2){\color{blue}$2$};
			\node[noeud1](G2)at(4,2){$(0,3)^2\times 0,7$};
			\node[noeud](A3)at(0,1.2){$A$};
			\node[noeud](E3)at(1,1.2){$A\overline{A}A$};
			\node[noeud](F3)at(2,1.2){\color{blue}$2$};
			\node[noeud1](G3)at(4,1.2){$(0,3)^2\times 0,7$};
			\node[noeud](A4)at(0,0.4){$\overline{A}$};
			\node[noeud](E4)at(1,0.4){$A\overline{A}\overline{A}$};
			\node[noeud](F4)at(2,0.4){$1$};
			\node[noeud1](G4)at(4,0.4){$0,3\times (0,7)^2$};
			\node[noeud](A5)at(0,-0.4){$A$};
			\node[noeud](E5)at(1,-0.4){$\overline{A}AA$};
			\node[noeud](F5)at(2,-0.4){\color{blue}$2$};
			\node[noeud1](G5)at(4,-0.4){$(0,3)^2\times 0,7$};
			\node[noeud](A6)at(0,-1.2){$\overline{A}$};
			\node[noeud](E6)at(1,-1.2){$\overline{A}A\overline{A}$};
			\node[noeud](F6)at(2,-1.2){$1$};
			\node[noeud1](G6)at(4,-1.2){$0,3\times (0,7)^2$};	
			\node[noeud](A7)at(0,-2){$A$};
			\node[noeud](E7)at(1,-2){$\overline{A}\overline{A}A$};
			\node[noeud](F7)at(2,-2){$1$};
			\node[noeud1](G7)at(4,-2){$0,3\times (0,7)^2$};
			\node[noeud](A8)at(0,-2.8){$\overline{A}$};
			\node[noeud](E8)at(1,-2.8){$\overline{A}\overline{A}\overline{A}$};
			\node[noeud](F8)at(2,-2.8){$0$};	
			\node[noeud1](G8)at(4,-2.8){$(0,7)^3$};
			\node[noeud](B1)at(-2,2.4){$A$};
			\node[noeud](B2)at(-2,0.8){$\overline{A}$};	
			\node[noeud](B3)at(-2,-0.8){$A$};
			\node[noeud](B4)at(-2,-2.4){$\overline{A}$};	
			\draw (A1)--(B1)node[midway, above]{\color{purple}\footnotesize $0,3$};
			\draw[color=blue, very thick] (A2)--(B1)node[midway, below]{\color{purple}\footnotesize $0,7$};
			\draw[color=blue, very thick] (A3)--(B2)node[midway, above]{\color{purple}\footnotesize $0,3$};
			\draw (A4)--(B2)node[midway, below]{\color{purple}\footnotesize $0,7$};
			\draw[color=blue, very thick] (A5)--(B3)node[midway, above]{\color{purple}\footnotesize $0,3$};
			\draw (A6)--(B3)node[midway, below]{\color{purple}\footnotesize $0,7$};
			\draw (A7)--(B4)node[midway, above]{\color{purple}\footnotesize $0,3$};
			\draw (A8)--(B4)node[midway, below]{\color{purple}\footnotesize $0,7$};
			\node[noeud](C1)at(-4,1.6){$A$};
			\node[noeud](C2)at(-4,-1.6){$\overline{A}$};
			\draw[color=blue, very thick] (C1)--(B1)node[midway, above]{\color{purple}\footnotesize $0,3$};
			\draw[color=blue, very thick] (C1)--(B2)node[midway, below]{\color{purple}\footnotesize $0,7$};
			\draw[color=blue, very thick] (C2)--(B3)node[midway, above]{\color{purple}\footnotesize $0,3$};
			\draw (C2)--(B4)node[midway, below]{\color{purple}\footnotesize $0,7$};
			\node (D)at(-6,0){};
			\draw[color=blue, very thick] (C1)--(D)node[midway, above]{\color{purple}\footnotesize $0,3$};
			\draw[color=blue, very thick] (C2)--(D)node[midway, below]{\color{purple}\footnotesize $0,7$};
		\end{tikzpicture}
	\end{flushleft}
	
	Nous souhaitons calculer la probabilité d'obtenir 2 succès. Autrement dit nous cherchons $P(X=2)$.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item La probabilité d'un chemin comportant 2 succès est $0,3\times 0,3\times 0,7=0,3^2\times 0,7$
		\item Il y a $\binom{3}{2}=3$ chemins sur l'arbre comportant (exactement) 2 succès.
	\end{enumerate}
	
	Nous en déduisons $P(X=2)=3 \times 0,3^2\times 0,7=0,189$.
	
\end{lecon}

\begin{proposition}{}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $n\in \mathbb{N}$,
		
		\item $k\in \llbracket 0,n \rrbracket$,
		
		\item $p\in[0;1]$,
		
		\item $X\hookrightarrow \mathscr{B}(n,p)$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	\[ \color{purple}P(X=k)=\binom{n}{k} \times p^k\times (1-p)^{n-k} \]
	
\end{proposition}

\subsubsection{Calcul de probabilité ou de fonction de répartition avec la calculatrice.}

\begin{lecon}
	
	Supposons par exemple que $X\hookrightarrow \mathcal{B}(12;0,2)$.
	
	\medskip
	Pour calculer $P(X=3)$ on peut utiliser la fonction $\color{purple}binomFdp(n,p,k)$. Autrement dit:
	
	\framebox{2nde}, \framebox{var} (distrib), onglet (DISTRIB), choix $A:binomFdp$.
	
	\medskip
	Pour calculer $P(X\le 3)$ on peut utiliser la fonction $\color{purple}binomFRép(n,p,k)$. Autrement dit:
	
	\framebox{2nde}, \framebox{var} (distrib), onglet (DISTRIB), choix $B:binomFRép$.
	
\end{lecon}

\subsubsection{Moments d'une variable aléatoire suivant une loi binomiale.}

\begin{proposition}
	
	Soit $Y \hookrightarrow \mathscr{B}(n,p)$.
	
	\medskip
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $\mathbb{E}(Y)=np$.
		
		\item $\mathbb{V}(Y)=np(1-p)$.
		
		\item $\sigma(Y)=\sqrt{np(1-p)}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	La démonstration repose sur des propriétés de l'espérance et de la variance que nous n'avons pas étudiées que nous admettrons.
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Soit $X \hookrightarrow \mathscr{B}(1,p)$. Puisque $Y \hookrightarrow \mathscr{B}(n,p)$, $Y=X+X+\dots + X$. Ainsi
		
		\begin{align*}
			\mathbb{E}(Y) &= \mathbb{E}(X+X+...+X)
			\intertext{Donc, par linéarité de l'espérance:}
			\mathbb{E}(Y) &= \mathbb{E}(X) +\mathbb{E}(X) + \dots +\mathbb{E}(X)\\
			&= n\mathbb{E}(X)\\
			&= np
		\end{align*}
		
		\item 
		
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\subsubsection{Exercices.}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Repère 1ime hachette repères 2011.
		
	\end{notabene}
	
	Une entreprise fabrique des assiettes. On sait que $6\ \%$ des assiettes produites présentent un défaut. On choisit une assiette au hasard. Soit $X$ la variable aléatoire prenant la valeur $1$ si l'assiette ne présente pas de défaut et $0$ sinon.
	
	\begin{enumerate}
		\item Quelle loi suit $X$?
		
		\item Donnez le paramètre de cette loi.
		
		\item Calculez $\mathbb{E}(X)$, $\mathbb{V}(X)$ et $\sigma(X)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{enumerate}
		\item $X \hookrightarrow \mathscr{B}(1;0,94)$.
		\item $p=0,94$.
		\item $\mathbb{E}(X)=p=0,94$, $\mathbb{V}(X)=p(1-p)=0,94 \times 0,06=0,024$, $\sigma(X)=\sqrt{\mathbb{V}(X)}\approx 0,1549$.
	\end{enumerate}
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		Exercice 19 page 258 du manuel Déclic 2015: justifier une modélisation par une loi binomiale ou non.
	\end{notabene}
	
	Dans un stock de ballons de foot contenant $70\ \%$ de ballons bicolores, on prélève $12$ ballons au hasard, successivement et avec remise.
	
	$X$ donne le nombre de ballons bicolores obtenus.
	
	Justifiez que $X$ suit une loi binomiale.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{PineGreen}\underline{Démontrons que $X$ suit une loi binomiale.}}
	
	\medskip		
	\begin{enumerate}[*]
		\item {\color{PineGreen}Épreuve de Bernoulli}
		\begin{itemize}
			\item Épreuve: prélever un ballon
			\item Succès: \og Le ballon est bicolore.\fg{}
			\item $p=\frac{70}{100}$.
		\end{itemize}
		
		\item {\color{PineGreen}Schéma de Bernoulli.}
		
		Le choix du ballon étant répété $n=12$ fois à l'identique et de façon indépendante (avec remise)  nous pouvons affirmer qu'il s'agit d'un schéma de Bernoulli.
		
		\item {\color{PineGreen}Variable aléatoire.}
		
		La variable aléatoire $X$ compte le nombre de ballons bicolores obtenus donc le nombre de succès de notre schéma de Bernoulli.
		
		\item {\color{PineGreen}Conclusion.}
		
		{\color{PineGreen}\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|} \hline $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=12$ et $p=\frac{70}{100}$ \[ X \hookrightarrow \mathcal{B}\left( 12;\frac{70}{100} \right) \] \\ \hline \end{tabularx}}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercices 19 à 21 page 259 du manuel Déclic ESL 2015: reconnaitre des schémas
		
	\end{notabene}
	
	Dites si la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Si oui précisez-en les paramètres.
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Dans un supermarché, $20\ \%$ des clients du samedi ont un caddie inférieur à $100\ \text{\euro}$.
		
		On choisit au hasard $15$ clients un samedi. $X$ donne le nombre de clients dont le caddie est inférieur à $100\ \text{\euro}$.
		
		\item On lance cinq fois de suite une pièce bien équilibrée. $X$ donne le rang du $1\ier{}$ pile obtenu ($X$ prend la valeur $6$ si on a pas obtenu de pile sur les $5$ lancers).
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{enumerate}
		\item $X \hookrightarrow \mathscr{B}(15;0,2)$.
		\item Pas binomiale.
	\end{enumerate}
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		1ieme s hachette repères 2011
		
		exercice 75 page 250
		
	\end{notabene}
	
	Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres $n=4$ et $p=0,1$.
	
	Donnez une valeur approchée de $\mathbb{P}(X=0)$, $\mathbb{P}(X=1)$, $\mathbb{P}(X=2)$, $\mathbb{P}(X=3)$ et $\mathbb{P}(X=4)$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		1ieme s hachette repères 2011
		
		exercice 76 page 250
		
	\end{notabene}
	
	Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres $n=6$ et $p=\frac{3}{4}$.
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Donnez une valeur approchée de $\mathbb{P}(X=0)$, $\mathbb{P}(X=1)$ et $\mathbb{P}(X=2)$.
		
		\item Déduisez-en $\mathbb{P}(X\geqslant 3)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\mathbb{P}(X=0) = \frac{1}{4096}$, $\mathbb{P}(X=1) =\frac{9}{2048}$ $\mathbb{P}(X=2) =\frac{135}{4096}$.
		
		\item $\frac{1971}{2048}\approx 0,9624$
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		1ieme ES Exercice 53 page 264 du manuel Déclic 2015: démontrer qu'il y a une loi binomiale et effectuer des calculs de probabilité.
		
	\end{notabene}
	
	D'après l'INSEE, la proportion de Français de moins de $20$ ans est restée stable à $24,6\ \%$ entre 2012 et 2014. On suppose que cette proportion se maintient pendant quelques années.
	
	On interroge au hasard $12$ Français et on note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre d'entre eux qui sont âgés de moins de $20$ ans.
	
	\begin{enumerate}
		\item Justifiez que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
		
		\item Calculez les probabilités des événements suivants.
		
		\begin{enumerate}
			\item $10$ personnes interrogées ont moins de $20$ ans.
			
			\item Au plus $8$ personnes interrogées ont moins de $20$ ans.
			
			\item Au moins $4$ personnes interrogées ont moins de $20$ ans.
			
		\end{enumerate}
		
		\item Quel est le nombre le plus probable de personnes ayant moins de $20$ ans?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		1ieme ES Exercice 54 page 264 du manuel Déclic 2015: démontrer qu'il y a une loi binomiale et effectuer des calculs de probabilité.
		
	\end{notabene}
	
	$18\ \%$ des Français âgés de plus de $15$ ans ont fréquentés au moins une fois une bibliothèque en 2008.
	
	On suppose que cette proportion se maintient pendant les années qui suivent et on interroge au hasard $30$ Français âgés de plus de $15$ ans. On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre d'entre eux qui ont fréquenté une bibliothèque dans l'année.
	
	\begin{enumerate}
		\item Justifiez que $X$ suit une loi binomiale, dont on précisera les paramètres.
		
		\item Calculez la probabilité des événements suivants:
		
		\begin{tasks}(3)
			\task $\mathbb{P}(X=10)$,
			
			\task $\mathbb{P}(X\leqslant 5)$,
			
			\task $\mathbb{P}(X>8)$.
			
		\end{tasks}
		
		Traduisez chaque résultat par une phrase dans le contexte de l'exercice.
		
		\item Quel est le nombre le plus probable de personnes ayant fréquenté une bibliothèque dans l'année?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $X\hookrightarrow \mathscr{B}(30;0,18)$.
		
		\item 
		\begin{enumerate}
			\item $P(X=10) \approx 0,0203$. La probabilité que $10$ personnes parmi les $30$ interrogées aient fréquenté une bibliothèque dans l'année est de $0,0203$.
			\item $P(X\le 5) \approx 0,5395$.  La probabilité qu'au plus $5$ personnes parmi les $30$ interrogées aient fréquenté une bibliothèque dans l'année est de $0,5395$.
			\item $P(X>8)=1-P(X\le 7) \approx 0,1582$. La probabilité qu'au moins $7$ personnes parmi les $30$ interrogées aient fréquenté une bibliothèque dans l'année est de $0,1582$.
		\end{enumerate}
		
		\item Le résultat s'obtient avec le tableau de valeur de la calculatrice. Le nombre le plus probable est de $5$ personnes parmi les $30$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		1ieme ES Exercice 55 page 264 du manuel Déclic 2015: démontrer qu'il y a une loi binomiale et effectuer des calculs de probabilité.
		
	\end{notabene}
	
	Un fumeur est dit \og fumeur régulier\fg{} s'il fume au moins une cigarette par jour.
	
	En 2010, en France, la proportion de fumeurs réguliers âgés de $15$ à $19$ ans, était de $23,6\ \%$.
	
	On choisit au hasard, et de manière indépendante, quinze jeunes âgés de $15$ à $19$ ans.
	
	Soit $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de fumeurs réguliers parmi ces quinze jeunes.
	
	
	\begin{enumerate}
		\item Précisez la loi de probabilité de $X$.
		
		\item Déterminez les probabilités des événements suivants, en arrondissant à $0,001$ près.
		
		\begin{enumerate}
			\item Deux des jeunes interrogés sont des fumeurs réguliers.
			
			\item Aucun des jeunes interrogés n'est un fumeur régulier.
			
			\item Moins de cinq jeunes interrogés sont des fumeurs réguliers.
			
			\item Plus d'un jeune interrogé est un fumeur régulier.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		1ieme s hachette repères 2011
		
		exercice 81 page 251
		
	\end{notabene}
	
	Un fabricant vend des stylos par lot de $10$. Soit $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de stylos défectueux dans un lot. On admet que $X$ suit une loi binomiale de paramètres $10$ et $0,034$.
	
	On donnera les résultats à $10^{-3}$ près.
	
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité que le lot contienne au moins un stylo défectueux?
		
		\item Quelle est la probabilité que le lot contienne au moins deux stylos défectueux?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		1ieme s hachette repères 2011
		
		exercice 82 page 251
		
	\end{notabene}
	
	On lance simultanément deux dés à six faces parfaitement équilibrés.
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Quelle est la probabilité de faire un double $6$?
		
		\item On lance $10$ fois de suite cette paire de dés.
		
		Quelle est la probabilité de faire au moins trois double $6$ lors de ces $10$ parties? On donnera le résultat arrondi à $10^{-4}$ près.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Manuel Déclic 1 esl page 260 exercice 30: loi binomiale, probabilité maximale, espérance.
		
	\end{notabene}
	
	Une association organise une tombola et vend un très grand nombre de tickets à gratter? On suppose que deux tickets sur dix sont gagnants.
	
	Une personne achète au hasard vingt tickets.
	
	On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de tickets gagnants.
	
	\begin{enumerate}
		\item Donnez la loi de probabilité de $X$.
		
		\item Sans justification donnez la valeur de $k$ telle que $\mathbb{P}(X=k)$ soit maximale. Interprétez ce résultat.
		
		\item Calculez l'espérance de $X$. Interprétez.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Manuel Déclic 1 esl page 260 exercice 31: loi binomiale, probabilité, espérance.
		
	\end{notabene}
	
	Un basketteur s'entraîne à tirer des lancers francs. On suppose que, quel que soit le résultat des tirs précédents, la probabilité qu'il réussisse est égale à $0,8$. Il effectue une série de $30$ tirs. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de fois où il réussit son tir.
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminez la loi de probabilité de $X$.
		
		\item Calculez la probabilité que le basketteur
		
		\begin{enumerate}
			\item réussisse $18$ tir exactement,
			
			\item réussisse moins de $15$ tirs,
			
			\item réussisse au moins $20$ tirs.
		\end{enumerate}
		
		\item Déterminez le nombre moyen de tirs réussis.
		
	\end{enumerate}
	
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		1ieme s hachette repere 2011;
		87 page 252.
	\end{notabene}
	
	On joue à pile ou face cinq fois de suite. Soit $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de fois où on a obtenu face.
	
	\begin{enumerate}
		\item Quelle loi suit $X$? Donnez ses paramètres.
		
	\end{enumerate}
	Pour jouer à ce jeu, il faut payer $3\ \text{\euro}$. On gagne $1\ \text{\euro}$ à chaque fois qu'on obtient face lors d'un des cinq lancers.
	
	On note $Y$ la variable aléatoire représentant le gain (ou la perte) totale lors de ce jeu.
	
	\begin{enumerate}
		\setcounter{enumi}{1}
		\item Exprimez $Y$ en fonction de $X$.
		
		\item Déduisez-en $\mathbb{E}(Y)$.
		
		\item Ce jeu est-il financièrement intéressant?
		
		\item Quelle somme aurait-il fallu payer au départ pour que le jeu soit équitable?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{enumerate}
		\item $X \hookrightarrow \mathscr{B}(5,0,5)$.
		\item $Y=-3+X$.
		\item $\mathbb{E}(Y)=-3+ \mathbb{E}(X)=-3+np=-3+5 \times 0,5=-0,5$.
		\item $\mathbb{E}(Y)<0$ donc ce jeu est défavorable au joueur.
		\item $2,5$.
	\end{enumerate}
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		1ieme s hachette déclic 2011;
		45 page 358.
	\end{notabene}
	
	Un tireur à l'arc atteint sa cible neuf fois sur dix. Ce tireur participe à un concours primé.
	
	Il tire $5$ flèches sur la cible. Pour chaque flèche, s'il atteint la cible, il gagne $10\ \text{\euro}$ , sinon il perd $20\ \text{\euro}$. On suppose que les tirs sont indépendants.
	
	\begin{enumerate}
		\item On appelle $X$ le nombre de flèches ayant atteint la cible à l'issue des cinq tirs.
		
		\begin{enumerate}
			\item Montrer que $X$ suit une loi binomiale dont précisera les paramètres.
			
			\item Déterminez la probabilité d'atteindre au moins $2$ fois la cible.
			
		\end{enumerate}
		
		\item On appelle $Y$ la variable aléatoire égale au gain du joueur à l'issue des cinq tirs.
		
		\begin{enumerate}
			\item Quelles sont les valeurs prises par $Y$?
			
			\item Déterminez la loi de $Y$.
			
			\item Quel est le gain moyen (positif ou négatif) du tireur s'il participe un grand nombre de fois à ce concours? Est-ce intéressant pour lui?
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item $X \hookrightarrow \mathscr{B}(5;0,9)$.
			\item $\mathbb{P}(X\geqslant 2)= 1- \mathbb{P}(X\leqslant 1)=0,99954$
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item $Y \in \{ -100;-70;-40;-10;20;50 \}$.
			\item 
			
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
				\hline
				$y$ & $-100$ & $-70$ & $-40$ & $-10$ & $20$ & $50$
				\\
				\hline
				$\mathbb{P}(Y=y)$ & $10^{-5}$ & $4,5 \times 10^{-4}$ & $0,0081$ & $0,0729$ & $0,032805$ & $0,059049$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
			\item $\mathbb{E}(Y)=\mathbb{E}(10X-20(5-X)= \mathbb{E}(30X-100)=30 \mathbb{E}(X)-100$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{ - BAC}
	
	\begin{itemize}
		\item Centres étrangers groupe I sujet 1 13 mars 2023. Arbre, suite, binomiale.
		\item Polynésie sujet 2 14 mars 2023. Arbre, suite, binomiale.
	\end{itemize}
	
\end{exercice}



\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\draw (O) node {$\bullet$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\draw (I) node {$\bullet$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	\draw (J) node {$\bullet$};
	%Graduations
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Rectangle en coin.}

\begin{tikzpicture}
	\def\xangledroit{0};
	\def\yangledroit{0};
	\def\longueurangledroit{0.5};
	\draw[fill=green!30,rotate around={{20}:({\xangledroit},{\yangledroit})}] ({\xangledroit},{\yangledroit}) rectangle ({\xangledroit+\longueurangledroit},{\yangledroit+\longueurangledroit});
\end{tikzpicture}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}