%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/0ieme.html}{02 Suites.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour abrege
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}\exclure{culturegenerale}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene}

%Pour les exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour les correction d'exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{02 Suites.}

\begin{notabene}
	
	\color{red}20240828 Il faut changer les exercices qui utilisent à chaque fois des résultats sur les opérations et les limites avant que ces résultats aient été vus.
	
	20240912 Séparer en différents exercices les questions utilisant des techniques hors programme racines carrées, comparaison.
	
\end{notabene}

\subsection{Majorants et minorants.}

\subsubsection{Définitions}

\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite réelle,
		
		\item $M$ et $m$ deux réels.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous dirons que 
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est \emph{\color{purple}majorée} par $M$ si, quelque soit $n\in \mathbb{N}$, $u_n\leqslant M$;
		
		\item $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est \emph{\color{purple}minorée} par $m$ si, quelque soit $n\in \mathbb{N}$, $m\leqslant u_n$;
		
		\item $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est \emph{\color{purple}bornée} si elle est à la fois majorée et minorée.
		
	\end{enumerate}
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Un majorant n'est pas un maximum. Pas plus qu'un minorant n'est un minimum.
		
		Cependant un maximum est un majorant et un minimum un minorant.
		
		\item Ainsi une suite est bornée s'il est possible de trouver des nombres $m$ et $M$ tels que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $m\leqslant u_n \leqslant M$.
		
		\item Trouver un minorant et un majorant pour une suite c'est limiter les possibilités de valeurs des termes de la suite. Dans de nombreux cas il faut se contenter de cela.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Par une étude de la fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ sur $\mathbb{R}_+^*$ on obtient aisément: $0<\frac{1}{x} \leqslant 1$.
		
		Donc $\left( \frac{1}{n} \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$ est minorée par $0$, $-1$, $-234,5$ et majorée par $1$, $3$, $\np{20000}$. Donc elle est bornée.
		
		Remarquons également que cette suite a un maximum mais pas de minimum.
		
		\item $\left( \cos(n) \right)_{n\in\mathbb{N}}$ et $\left( \sin(n) \right)_{n\in\mathbb{N}}$ sont bornées puisque nous savons que les fonctions sinus et cosinus sont, par construction, bornées par $-1$ et $1$.
		
		\item La suite $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=\sqrt{1+u_n}$ est bornée: $0\leqslant u_n \leqslant 2$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
		Nous pouvons le conjecturer d'après la calculatrice ou graphiquement.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsubsection{Exercices.}


\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		repères page 34 exo 50 51, 52,
		
	\end{notabene}
	
	Déterminez si chacune des suites proposées est minorée, majorée ou bornée.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\displaystyle u_n= \frac{n+3}{2n+1}$;
		
		\task $\displaystyle u_n=\frac{n-1}{2n-3}$;
		
		\task $\displaystyle u_n=\frac{n+1}{n}$;
		
		\task $\displaystyle u_n=(-1)^n\times \frac{n^2}{n+1}$;
		
		\task $\displaystyle u_n=\sqrt{n^2+1}-n$;
		
		\task $\displaystyle u_n=\pi^n-3^n$;
		
		\task $\displaystyle u_n=\sqrt{n^2+n+1}-2n$;
		
		\task $\displaystyle u_n=\frac{1}{n} \sin \left( \frac{1}{n} \right)$, pour $n\in\mathbb{N}^*$;
		
		\task $\displaystyle u_n= \sin\left( 2^n\times \pi \right)$.
		
	\end{tasks}	
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}Dans tous les cas il faut calculer les premiers termes pour émettre une conjecture.
		
		Avec une formule explicite il est parfois possible de deviner l'allure de la courbe représentative sans faire d'étude approfondie.}
	
	\begin{tasks}
		\task Clairement minorée par $0$. $(u_n)$ décroissante et $u_0=3$ donc majorée par $3$.
		
		\task 
		
		\begin{enumerate}[*]
			
			\item En utilisant la forme canonique de l'homographie: $u_n=\frac{\frac{1}{2} (2n-3)}{2n-3} +\frac{\frac{3}{2}-1}{2n-3}=\frac{1}{2}+\frac{\frac{1}{4}}{n-\frac{3}{2}}$
			
			Le tableau de variation de $f:x \mapsto \frac{1}{2}+\frac{\frac{1}{3}}{x-\frac{3}{2}}$ est:
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
					\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8,  $f$ /1.6}
					{$-\infty$ ,$\frac{3}{2}$, $+\infty$}
					\tkzTabVar {+/ , -D+ / / , - /  / }
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			Nous voyons qui faut tenir compte de ce qui se passe avant $\frac{3}{2}$ et après $\frac{3}{2}$.
			
			Donc $u_n$ est inférieur ou égale au maximum de $u_0=\frac{1}{3}$ et $u_2=1$. Ainsi $(u_n)$ admet un majorant égale à $1$ qui est aussi un maximum.
			
			\item Si $n\geqslant 2$, clairement $u_n\geqslant 0$. Comme de plus $u_0=\frac{1}{3}$ et $u_1=0$ nous pouvons conclure $(u_n)$ admet un minorant égale à $0$ qui est atteint c'est donc in minimum.
			
		\end{enumerate}
		
		\task Là encore utilisons la forme canonique de l'homographie: $u_n=1+\frac{1}{n}$.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=3]
				\def\xY{-0.1};
				\def\yY{-0.1};
				\def\xZ{5.5};
				\def\yZ{2.1};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain={1/2.1}:5] plot(\x,{1/\x});
				\draw[red, thick][samples=100,domain={1/1.1}:5] plot(\x,{1+1/\x});
				\draw[blue] (4,0.5) node[fill=white] {$y=\frac{1}{x}$};
				\draw[red] (4,1.5) node[fill=white] {$y=1+\frac{1}{x}$};
				\foreach \u in {1,2,...,5} \draw [color=black] ({\u},{1+1/\u}) node {$\times$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		$(u_n)$ admet un maximum égale à $2$ car décroissante et est minorée (apparemment par $1$) mais clairement par $0$.
		
		\task Nous ne pouvons pas pour l'instant l'établir mais cette suite n'est pas bornée les termes de rangs pairs prennent des valeurs infiniment grandes et ceux de rangs impairs infiniment petites.
		
		\task 
		
		\begin{enumerate}[*]
			
			\item $\sqrt{n^2+1}-n=\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2}$ et puisque la fonction racine carrée est croissante: $\sqrt{n^2+1}-n\geqslant 0$. Autrement dit $(u_n)$ est minorée par $0$.
			
			\item En utilisant l'astuce de la quantité conjuguée:
			
			\begin{align*}
				u_n &= \frac{\left( \sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2} \right) \left( \sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2} \right)}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n}}\\
				&= \frac{1}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n}}
			\end{align*}
			
			Clairement $(u_n)$ est décroissante (puisque racine carré est croissante) donc $(u_n)$ est décroissante.
			
			$(u_n)$ admet un maximum qui est $u_0=1$.
			
		\end{enumerate}
		
		\task 		
		
		\begin{enumerate}[*]
			
			\item $u_n \geqslant 0$ car les fonctions puissances sont croissantes sur $\mathbb{R}_+$ et $\pi\geqslant 3$.
			
			\item $(u_n)$ n'est pas majorée.
			
		\end{enumerate}
		
		\task $(u_n)$ est majorée par $1$ qui est d'ailleurs unmmaximum. En effet:
		
		\begin{align*}
			n^2+n+1 &\leqslant n^2+2n+1\\
			\sqrt{n^2+n+1} & \leqslant \sqrt{(n+1)^2}\\
			\sqrt{n^2+n+1} -2n &\leqslant n+1-2n\\
			\sqrt{n^2+n+1}-2n &\leqslant -n+1
		\end{align*}
		
		Nous en déduisons également que $(u_n)$ ne sera pas minorée.
		
		\task Bornée par $-1$ et $1$ du fait du sinus.
		
		\task Bornée par $-1$ et $1$ du fait du sinus.
		
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		repères page 34 exo 53, 54, 56
		
	\end{notabene}
	
	Démontrez que les suites suivantes sont bornées.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\displaystyle u_n=10-2 \sin \left( \frac{1}{n} \right)$;
		
		\task $\displaystyle u_n=\frac{n}{n+2}$;
		
		\task $\displaystyle u_n= \frac{1}{n} -\frac{1}{\sqrt{n}}$ pour $n \geqslant 1$;
		
		\task $\displaystyle u_n=1+ \frac{2}{7}+ \left( \frac{2}{7} \right)^2+ \dots + \left( \frac{2}{7} \right)^n$;
		
		\task $\displaystyle u_n=25+5+1+\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2} + \dots + \frac{1}{5^n}$;
		
		\task $\displaystyle u_n=9+3+1+\dots + 3^{-n+2}$.
		
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}
		\task Puisque $-1 \leqslant \sin(x) \leqslant 1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$: \[ 10-2 \times 1 \leqslant 10-2 \sin\left( \frac{1}{n} \right) \leqslant 10-2 \times 1.\]
		
		Donc \[ 8 \leqslant u_n \leqslant 12. \]
		
		\task $0\leqslant u_n$ et, comme $n <n+2$, $\frac{n}{n+2}<1$ donc \[0\leqslant u_n<1. \]
		
		\task 
		
		\task Clairement $v_n \geqslant 0$.
		
		En notant $v_0=1$ et pour tout $n\in\mathbb{N}$, $v_{n+1}= \frac{2}{7} v_n$, nous remarquons que $u_n=\sum_{k=0}^n v_k$. Autrement dit c'est la somme des termes d'une suite géométrique. 
		
		Donc 
		
		\begin{align*}
			u_n &= 1 \times  \frac{1-\left( \frac{2}{7}\right)^{n+1}}{1-\frac{2}{7}}\\
			&= \frac{7}{5} \left[ 1 -\left( \frac{2}{7} \right)^{n+1} \right]
		\end{align*}
		
		De $0\leqslant \left( \frac{2}{7}\right)^n \leqslant \frac{2}{7}$, nous déduisons: $1 \geqslant 1-\left( \frac{2}{7} \right)^{n+1} \geqslant 0$.
		
		\task Comme la précédente question.
		
		\task Comme la précédente question.
		
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}
\begin{exercice}{}

\begin{notabene}
	
	repères page 34 exo 50 51, 52,
	
\end{notabene}

Déterminez si chacune des suites proposées est minorée, majorée ou bornée.

\begin{tasks}(2)
	\task $\displaystyle u_n= \frac{n+3}{2n+1}$;
	
	\task $\displaystyle u_n=\frac{n-1}{2n-3}$;
	
	\task $\displaystyle u_n=\frac{n+1}{n}$;
	
	\task $\displaystyle u_n=(-1)^n\times \frac{n^2}{n+1}$;
	
	\task $\displaystyle u_n=\sqrt{n^2+1}-n$;
	
	\task $\displaystyle u_n=\pi^n-3^n$;
	
	\task $\displaystyle u_n=\sqrt{n^2+n+1}-2n$;
	
	\task $\displaystyle u_n=\frac{1}{n} \sin \left( \frac{1}{n} \right)$, pour $n\in\mathbb{N}^*$;
	
	\task $\displaystyle u_n= \sin\left( 2^n\times \pi \right)$.
	
\end{tasks}	

\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}

{\color{orange}Dans tous les cas il faut calculer les premiers termes pour émettre une conjecture.
	
	Avec une formule explicite il est parfois possible de deviner l'allure de la courbe représentative sans faire d'étude approfondie.}

\begin{tasks}
	\task Clairement minorée par $0$. $(u_n)$ décroissante et $u_0=3$ donc majorée par $3$.
	
	\task 
	
	\begin{enumerate}[*]
		
		\item En utilisant la forme canonique de l'homographie: $u_n=\frac{\frac{1}{2} (2n-3)}{2n-3} +\frac{\frac{3}{2}-1}{2n-3}=\frac{1}{2}+\frac{\frac{1}{4}}{n-\frac{3}{2}}$
		
		Le tableau de variation de $f:x \mapsto \frac{1}{2}+\frac{\frac{1}{3}}{x-\frac{3}{2}}$ est:
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8,  $f$ /1.6}
				{$-\infty$ ,$\frac{3}{2}$, $+\infty$}
				\tkzTabVar {+/ , -D+ / / , - /  / }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		Nous voyons qui faut tenir compte de ce qui se passe avant $\frac{3}{2}$ et après $\frac{3}{2}$.
		
		Donc $u_n$ est inférieur ou égale au maximum de $u_0=\frac{1}{3}$ et $u_2=1$. Ainsi $(u_n)$ admet un majorant égale à $1$ qui est aussi un maximum.
		
		\item Si $n\geqslant 2$, clairement $u_n\geqslant 0$. Comme de plus $u_0=\frac{1}{3}$ et $u_1=0$ nous pouvons conclure $(u_n)$ admet un minorant égale à $0$ qui est atteint c'est donc in minimum.
		
	\end{enumerate}
	
	\task Là encore utilisons la forme canonique de l'homographie: $u_n=1+\frac{1}{n}$.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=3]
			\def\xY{-0.1};
			\def\yY{-0.1};
			\def\xZ{5.5};
			\def\yZ{2.1};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain={1/2.1}:5] plot(\x,{1/\x});
			\draw[red, thick][samples=100,domain={1/1.1}:5] plot(\x,{1+1/\x});
			\draw[blue] (4,0.5) node[fill=white] {$y=\frac{1}{x}$};
			\draw[red] (4,1.5) node[fill=white] {$y=1+\frac{1}{x}$};
			\foreach \u in {1,2,...,5} \draw [color=black] ({\u},{1+1/\u}) node {$\times$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	$(u_n)$ admet un maximum égale à $2$ car décroissante et est minorée (apparemment par $1$) mais clairement par $0$.
	
	\task Nous ne pouvons pas pour l'instant l'établir mais cette suite n'est pas bornée les termes de rangs pairs prennent des valeurs infiniment grandes et ceux de rangs impairs infiniment petites.
	
	\task 
	
	\begin{enumerate}[*]
		
		\item $\sqrt{n^2+1}-n=\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2}$ et puisque la fonction racine carrée est croissante: $\sqrt{n^2+1}-n\geqslant 0$. Autrement dit $(u_n)$ est minorée par $0$.
		
		\item En utilisant l'astuce de la quantité conjuguée:
		
		\begin{align*}
			u_n &= \frac{\left( \sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2} \right) \left( \sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2} \right)}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n}}\\
			&= \frac{1}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n}}
		\end{align*}
		
		Clairement $(u_n)$ est décroissante (puisque racine carré est croissante) donc $(u_n)$ est décroissante.
		
		$(u_n)$ admet un maximum qui est $u_0=1$.
		
	\end{enumerate}
	
	\task 		
	
	\begin{enumerate}[*]
		
		\item $u_n \geqslant 0$ car les fonctions puissances sont croissantes sur $\mathbb{R}_+$ et $\pi\geqslant 3$.
		
		\item $(u_n)$ n'est pas majorée.
		
	\end{enumerate}
	
	\task $(u_n)$ est majorée par $1$ qui est d'ailleurs unmmaximum. En effet:
	
	\begin{align*}
		n^2+n+1 &\leqslant n^2+2n+1\\
		\sqrt{n^2+n+1} & \leqslant \sqrt{(n+1)^2}\\
		\sqrt{n^2+n+1} -2n &\leqslant n+1-2n\\
		\sqrt{n^2+n+1}-2n &\leqslant -n+1
	\end{align*}
	
	Nous en déduisons également que $(u_n)$ ne sera pas minorée.
	
	\task Bornée par $-1$ et $1$ du fait du sinus.
	
	\task Bornée par $-1$ et $1$ du fait du sinus.
	
\end{tasks}

\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}

\begin{notabene}
	
	repères page 34 exo 53, 54, 56
	
\end{notabene}

Démontrez que les suites suivantes sont bornées.

\begin{tasks}(2)
	\task $\displaystyle u_n=10-2 \sin \left( \frac{1}{n} \right)$;
	
	\task $\displaystyle u_n=\frac{n}{n+2}$;
	
	\task $\displaystyle u_n= \frac{1}{n} -\frac{1}{\sqrt{n}}$ pour $n \geqslant 1$;
	
	\task $\displaystyle u_n=1+ \frac{2}{7}+ \left( \frac{2}{7} \right)^2+ \dots + \left( \frac{2}{7} \right)^n$;
	
	\task $\displaystyle u_n=25+5+1+\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2} + \dots + \frac{1}{5^n}$;
	
	\task $\displaystyle u_n=9+3+1+\dots + 3^{-n+2}$.
	
\end{tasks}

\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}

\begin{tasks}
	\task Puisque $-1 \leqslant \sin(x) \leqslant 1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$: \[ 10-2 \times 1 \leqslant 10-2 \sin\left( \frac{1}{n} \right) \leqslant 10-2 \times 1.\]
	
	Donc \[ 8 \leqslant u_n \leqslant 12. \]
	
	\task $0\leqslant u_n$ et, comme $n <n+2$, $\frac{n}{n+2}<1$ donc \[0\leqslant u_n<1. \]
	
	\task 
	
	\task Clairement $v_n \geqslant 0$.
	
	En notant $v_0=1$ et pour tout $n\in\mathbb{N}$, $v_{n+1}= \frac{2}{7} v_n$, nous remarquons que $u_n=\sum_{k=0}^n v_k$. Autrement dit c'est la somme des termes d'une suite géométrique. 
	
	Donc 
	
	\begin{align*}
		u_n &= 1 \times  \frac{1-\left( \frac{2}{7}\right)^{n+1}}{1-\frac{2}{7}}\\
		&= \frac{7}{5} \left[ 1 -\left( \frac{2}{7} \right)^{n+1} \right]
	\end{align*}
	
	De $0\leqslant \left( \frac{2}{7}\right)^n \leqslant \frac{2}{7}$, nous déduisons: $1 \geqslant 1-\left( \frac{2}{7} \right)^{n+1} \geqslant 0$.
	
	\task Comme la précédente question.
	
	\task Comme la précédente question.
	
\end{tasks}

\end{exercicecorrection}

\subsection{Limites infinies.}

\subsubsection{Définition des limites infinies.}

\begin{definition}
	
	Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de nombres réels.
	
	\medskip
	Nous dirons que $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ \emph{\color{purple}admet pour limite $+\infty$} si et seulement si: quelque soit $A\in \mathbb{R}$, $]A;+\infty[$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Quelque soit le majorant $A$ supposé de la suite, on se rend compte qu'il n'y a qu'un nombre fini de termes qui soient plus petits.
		
		\item Nous avons également la définition en $-\infty$.
		
		Nous dirons que $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ \emph{\color{purple}admet pour limite $-\infty$} si et seulement si: quelque soit $A\in \mathbb{R}$, $]-\infty,A[$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item \objectif{Démontrons que la suite définie par $u_n=n$ tend vers $+\infty$.}
		
		Soit $A \in\mathbb{R}$.
		
		Notons $N= \lfloor A\rfloor +1$.
		
		Si $n \geqslant N$ alors
		
		\begin{align*}
			n &\geqslant \lfloor A\rfloor +1\\
			&> A 
		\end{align*}
		
		Autrement dit $n \in ]A;+\infty[$.
		
		À partir du rang $N$ tous les termes de la suite sont dans  $]A,+\infty[$.
		
		\medskip
		Quelque soit le réel $A$ l'intervalle $]A,+\infty[$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
		
		Autrement dit:
		
		\begin{conclusion}
			
			$(n)_{n\in\mathbb{N}}$ tend vers $+\infty$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item La suite arithmétique définie par $u_n=2n-3$ tend vers $+\infty$.
		
		\item La suite arithmétique définie par $u_n=-3n-5$ tend vers $-\infty$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsubsection{Une condition nécessaire.}

\begin{proposition}{}
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Si $\lim_{n \to + \infty} u_n=+\infty$ alors $(u_n)$ n'est pas majorée.
		
		\item Si $\lim_{n \to + \infty} u_n=-\infty$ alors $(u_n)$ n'est pas minorée.
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\subsubsection{Une condition suffisante.}

\begin{proposition}{ - Limite et monotonie.}
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Toute suite croissante et non majorée tend vers $+\infty$.
		
		\item Toute suite décroissante et non minorée tend vers $-\infty$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\subsubsection{Des suites de référence.}

\begin{proposition}{ - Suites puissances.}
	
	Soit $\alpha\in\mathbb{N}^*$. 
	
	\[ \lim_{n\to +\infty} n^{\alpha} =+\infty. \]
	
\end{proposition}

\begin{proposition}{ - Suite racine carrée.}
	
	\[ \lim_{n \to + \infty} \sqrt{n} =+\infty. \]
	
\end{proposition}

\begin{proposition}{ - Suite exponentielle.}
	
	Si $q>1$ alors \[ \lim_{n \to + \infty} \mathrm{q}^{n} =+\infty. \]
	
	En particulier: \[ \lim_{n \to + \infty} \mathrm{e}^{n} =+\infty. \]
	
\end{proposition}

\subsubsection{Exercices.}

\begin{exercice}{}
	
	Déterminez ou conjecturez l'éventuelle limite infinie de $(u_n)$ dans les cas suivants (vous pourrez utiliser votre calculatrice).
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $u_n=\frac{1}{n}+\sqrt{n}$.
		\task $u_n=n^4$.
		\task $u_n=4^n$.
		\task $u_n=0,25^n$.
		\task $u_n=\left( -\frac{1}{10} \right)^n$.
		\task $u_n= (-3)^n$.
		\task $u_n=-5n^3+4n^2+n-4$.
		\task $u_n= n^6-4n^5-1000$.
		\task $u_n=-\sqrt{\frac{1}{n^2}}$.
		\task $u_n=\dfrac{\mathrm{e}^n}{n^3}$.
		\task $u_n=\dfrac{4n^2-3n+1}{-2n^2+n-5}$.
		\task $u_n=\dfrac{7n^2+n+1}{5n^6+n^3}$.
		\task $u_n= \mathrm{e}^{n^2}$.
		\task $u_n=\mathrm{e}^{-n^2}$.
		\task $u_n=(-1)^n$.
		\task $u_n=\sin\left( n\frac{\pi}{2} \right)$.
		\task $u_n=\sin\left( n\pi \right)+n^2$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\lim_{n \to +\infty} u_n= +\infty$.
		\task $\lim_{n \to +\infty} u_n=+\infty$.
		\task $\lim_{n \to +\infty} u_n=+\infty$.
		\task Pas de limite infinie, suite bornée.
		\task Suite bornée.
		\task Pas de limite infini.
		\task $\lim_{n \to +\infty} u_n=-\infty$.
		\task $\lim_{n \to +\infty} u_n=+\infty$.
		\task Suite bornée.
		\task $\lim_{n \to +\infty} u_n=+\infty$.
		\task Suite bornée.
		\task Suite bornée.
		\task $\lim_{n \to +\infty} u_n=+\infty$.
		\task Suite bornée.
		\task Suite bornée.
		\task Suite bornée.
		\task Suite bornée.
	\end{tasks}	
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Déterminez ou conjecturez l'éventuelle limite infinie de $(u_n)$ dans les cas suivants (vous pourrez utiliser votre calculatrice).
	
	\begin{tasks}(1)
		\task $u_0=1$ et: $\forall n\in \mathbb{N},\ u_{n+1}=u_n+2$.
		\task $u_0=3$ et: $\forall n\in \mathbb{N},\ u_{n+1}=\frac{1}{5}u_n$.
		\task $u_1=1$ et: $\forall n\in \mathbb{N},\ u_{n+1}=\frac{5}{3}u_n$.
		\task $u_1=1$ et: $\forall n\in \mathbb{N},\ u_{n+1}=-2u_n$.
		\task $u_0=4$ et: $\forall n\in \mathbb{N},\ u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+3$.
		\task $u_0=-12$ et: $\forall n\in \mathbb{N},\ u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+3$.
		\task $u_0=-3$ et: $\forall n\in \mathbb{N},\ u_{n+1}=\frac{7}{4}u_n-1$.
		\task $u_0=6$ et: $\forall n\in \mathbb{N},\ u_{n+1}=\frac{7}{4}u_n-1$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}(1)
		\task $\lim_{n \to +\infty} u_n=+\infty$.
		\task Suite bornée.
		\task $\lim_{n \to +\infty} u_n=+\infty$.
		\task Pas de limite infinie et pas bornée.
		\task Bornée.
		\task Bornée.
		\task $\lim_{n \to +\infty} u_n=-\infty$.
		\task $\lim_{n \to +\infty} u_n=+\infty$.
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}


\begin{exercice}{}
	
	Démontrez à partir de la définition les limites suivantes.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\displaystyle \left( n^2 \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$ tend vers $+\infty$.
		
		\task $\displaystyle \left( \sqrt{n} \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$ tend vers $+\infty$.
		
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\subsection{Limites finies.}

\subsubsection{Définition.}

\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite réelle,
		\item $\ell \in\mathbb{R}$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous dirons que \emph{\color{purple}$(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers $\ell$} si et seulement si, quelque soit l'intervalle ouvert contenant $\ell$, à partir d'un certain rang tous les termes de la suite sont dans cet intervalle.
	
	\medskip
	Si c'est le cas nous noterons: $\color{purple}\displaystyle \lim_{n\to +\infty} u_n=\ell$ et $\ell$ est appelé la limite de la suite.
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Toute suite stationnaire (constante à partir d'un certain rang) est convergente.
		
		\item Notons $(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ la suite définie par $u_n=\frac{1}{n}$ pour tout entier $n\in\mathbb{N}^*$.
		
		Nous avons déjà conjecturé en classe de première que cette suite converge vers $0$.
		
		Démontrons-le.
		
		\medskip
		\objectif{Démontrons que la suite $\left( \frac{1}{n} \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$ converge vers $0$.}
		
		Soient $a$ et $b$ des réels tels que $a<0<b$. Ainsi $I=]a,b[$ est un intervalle ouvert contenant $0$.
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item {\color{orange}Analyse.
				
				Concrètement cette phase est une phase de recherche. On cherche la valeur du rang à partir duquel les termes de la suite sont dans l'intervalle $I$ en faisant comme si on l'avait déjà trouvé.
				
				\medskip
				Supposons que nous ayons trouvé un nombre entier $N$ à partir duquel tous les termes de la suite sont dans $I$: pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, si $n\geqslant N$, alors $u_n\in I$. Autrement dit: \[ a<u_n<b.\] Donc: \[ \frac{1}{n} <b,\] \emph{i.e.}, la fonction inverse étant strictement décroissante sur $\mathbb{R}_+$: \[ n>\frac{1}{b}. \]
			}
			
			\item {\color{orange}Synthèse.}
			
			Soit $N= \left\lfloor \frac{1}{b}+1 \right\rfloor$.
			
			Si nous prenons $n$ plus grand que le rang $N$ alors:
			
			\begin{align*}
				n &\geqslant N\\
				n &\geqslant \left\lfloor \frac{1}{b}+1 \right\rfloor\\
				n &> \frac{1}{b}\\
				\intertext{Puisque la fonction inverse est strictement  décroissante sur $\mathbb{R}_+^*$:}
				\frac{1}{n} &< b
			\end{align*}
			
			Comme de plus $a<0< \frac{1}{n}$ nous avons bien: $a < \frac{1}{n} <b$. 
			
			Autrement dit: $\frac{1}{n} \in ]a,b[$.
			
			À partir du rang $N$ tous les termes de la suite sont dans  $]a,b[$.
			
		\end{enumerate}
		
		Quel que soit l'intervalle $I$ contenant $0$ il existe un rang $N$ à partir duquel tous les termes de la suite sont dans $I$.
		
		Autrement dit, par définition:
		
		\begin{conclusion}
			
			$\left( \frac{1}{n} \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$ converge vers $0$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		On note $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n}= 0$ ou $\frac{1}{n} \underset{n \to + \infty}{\longrightarrow} 0$ et $\ell$ est appelé la limite de la suite.
		
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{lecon}
	
	Nous ne le démontrerons pas mais il y a unicité de la limite d'une suite. Par conséquent démontrer que $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} u_n=\ell$ équivaut à démontrer que $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} |u_n-\ell|=0$.
	
	Nous pourrons donc dire lorsqu'il y a convergence que $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} u_n-\ell=0$.
	
\end{lecon}

\begin{lecon}
	
	\medskip
	Nous remarquons comme une conséquence directe de la définition que toute suite convergente est bornée. La réciproque n'est pas vraie comme le montre $((-1)^n)_{n\in\mathbb{N}}$.
	
\end{lecon}

\subsubsection{Suites de référence.}

\begin{proposition}{ - Inverse des limites infinies.}
	
	Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite réelle.
	
	\medskip
	Si $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n= \pm \infty$ alors $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{u_n}=0$.
	
\end{proposition}

\begin{corollaire}{ - Limites de référence.}
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $\displaystyle \forall \alpha \in \mathbb{N}^*,\ \lim_{n\to +\infty} \frac{1}{n^{\alpha}}=0$.
		
		\item $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}=0$.
		
		\item Si $|q|>1$ alors $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \frac{1}{q^{n}}=0$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{corollaire}

\begin{lecon}
	
	\medskip
	Le troisième point du corollaire peut aussi s'écrire: si $q\in]-1;1[$ (ou encore $|q|<1$) alors $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} q^n=0$.
	
\end{lecon}

\subsubsection{Exercices.}

\begin{exercice}{}
	
	Déterminez la limite des suites suivantes.
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $\left( \frac{1}{n^2} \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$.
		\task $\left( \frac{\sqrt{n}}{n} \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$.
		\task $\left( n^{12} \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$.
		\task $\left( \frac{1}{3^n} \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$.
		\task $\left( 3+ \frac{1}{n} \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$.
		\task $\left( \frac{1}{n^2}-4 \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$.
		\task $\left( \frac{1}{\pi^n} \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$.
		\task $\left( \sqrt{n} \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$.
		\task $\left( \frac{n^4}{n^7} \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$.
		\task $\left( \frac{n^2 \times n^{25}}{n^{-7} \times n^{26}} \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$.
		\task $\left( \mathrm{e}^{-n} \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$.
		\task $\left( \mathrm{e}^{4n} \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$.
		\task $\left( \frac{\mathrm{e}^{4n} \times \mathrm{e}^{-5n}}{\mathrm{e}^{-3n}} \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$.
		\task $\left( \frac{\mathrm{e}^{2n}}{\mathrm{e}^{4n} \times \mathrm{e}^{-2n}} \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$.
		\task $\left( \frac{\mathrm{e}^{-2n} + \mathrm{e}^{-3n}}{\mathrm{e}^{-2n}} \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$.
		\task $\left( \frac{2^n}{3^n} \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$.
		\task $\left( \left( \frac{1}{3} \right)^n \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$.
		\task $\left( \frac{\mathrm{e}^n}{\pi^n}+2 \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$.
		\task $\left( \frac{5^n}{2^n} \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}


\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		repères page 35 exo 58,
		
	\end{notabene}
	
	Considérons la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $u_0=\frac{2}{7}$ et $u_{n+1}=\frac{1}{3}u_n+ \frac{1}{2}$.
	
	\begin{enumerate}
		
		\item On considère le programme suivant où $M$ est un nombre dans $\left]0; \frac{3}{4} \right[$.
		
		\begin{center}
			\begin{minipage}{5cm}
				\lstset{emph={programme}, emphstyle=\color{red},
					emph={[2]M,u,n}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
				\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
					def programme(M):
					n=0
					u=2/7
					while u<M:
					n=n+1
					u=1/3*u+1/2
					return(n)
				\end{lstlisting}
			\end{minipage}
		\end{center}
		
		Quel est l'intérêt de cet algorithme?
		
		\item Testez ce programme avec différentes valeurs de $M$, de plus en plus proche de $\frac{3}{4}$. Que remarquez-vous?
		
		\item Complétez la conjecture suivante: \og $\frac{3}{4}$ semble le plus ... des majorants de la suite $(u_n)$\fg{}.
		
		\item Montrez que, pour tout entier naturel $n$: \[ \frac{3}{4}-u_n = \frac{13}{28 \times 3^n}.\]
		
		\item Pourquoi la conjecture précédente est-elle vraie?
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\subsection{Suites, limites et comparaisons.}

\subsubsection{Limites finies.}

\begin{proposition}{ - Théorème des gendarmes.}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$, $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $(w_n)_{n\in\mathbb{N}}$ des suites réelles,
		
		\item $\ell \in\mathbb{R}$.
		
	\end{enumerate}
	
	\[ \left\{ \begin{array}{l} \forall n\in \mathbb{N},\ u_n\leqslant v_n \leqslant w_n \\ \displaystyle \lim_{n\to + \infty} u_n =\lim_{n\to +\infty} w_n= \ell \end{array} \right. \Rightarrow  \left[ \lim_{n\to + \infty} v_n= \ell \right]. \]
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a< \ell <b$.
	
	Puisque $\lim_{n\to + \infty} u_n = \ell$, il existe un rang $N_1 \in \mathbb{N}$ à partir duquel $u_n \in ]a,b[$.
	
	De même il existe un rang $N_2 \in \mathbb{N}$ à partir duquel $w_n \in ]a,b[$.
	
	Donc à partir du rang $N=\max(N_1,N_2)$, $u_n \in ]a,b[$ et $v_n \in ]a,b[$.
	
	Puisque $u_n\leqslant v_n \leqslant w_n$, forcément $v_n \in ]a,b[$.
	
	Ainsi quel que soit l'intervalle ouvert $]a,b[$ contenant $\ell$, à partir d'un certain rang, cet intervalle contient tous les termes de la suite $(v_n)$.
	
	\begin{conclusion}
		
		$(v_n)$ converge vers $\ell$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{preuve}


\begin{proposition}{ - Passage à la limite dans des inégalités (et égalités).}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		
		\item $a,b \in\mathbb{R}$,
		
		\item $\ell \in\mathbb{R}$,
		\item $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite réelle qui converge vers $\ell$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $\displaystyle \left[ \forall n \in \mathbb{N},\ u_n\leqslant b \right] \Rightarrow  \left[ \ell \leqslant b \right]$.
		
		\item $\displaystyle \left[ \forall n\in \mathbb{N},\ u_n\geqslant a\right] \Rightarrow \left[ \ell \geqslant a\right]$.
		
		\item $\displaystyle \left[ \forall n \in \mathbb{N},\ a\leqslant u_n\leqslant b \right] \Rightarrow  \left[ a \leqslant \ell \leqslant b \right]$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{lecon}
	
	\medskip
	Le résultat n'est pas valable pour des inégalités strictes. Par exemple $0< \frac{1}{n}$ pour tout entier naturel non nul et pourtant $0 \not< \lim_{n\to +\infty} \frac{1}{n}$.
	
\end{lecon}

\subsubsection{Limites infinies.}

\begin{proposition}{}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ des suites réelles.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\forall n\in\mathbb{N},\ u_n\leqslant v_n \\ \displaystyle \lim_{n\to +\infty} u_n =+ \infty \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \lim_{n\to +\infty} v_n= +\infty \right]$.
		
		\item $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\forall n\in\mathbb{N},\ u_n\leqslant v_n \\ \displaystyle \lim_{n\to +\infty} v_n= - \infty \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \lim_{n\to +\infty} u_n= -\infty \right]$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	\begin{notabene}
		La preuve du (i) est au programme.
	\end{notabene}
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item {\color{orange}Nous devons démontrer que $(v_n)$ tend vers $+\infty$ avec deux hypothèses: $(u_n)$ tend vers $+\infty$ et $ u_n \leqslant v_n$ pour tout $n$. Nous allons établir que $(v_n)$ vérifient la définition d'une suite divergeant vers $+\infty$.}
		
		\medskip
		Soit $A \in\mathbb{R}_+^*$.
		
		\medskip
		\objectif{Démontrons que, à partir d'un certain rang, tous les termes de $(v_n)$ appartiennent à l'ouvert $]A;+\infty[$.}
		
		{\color{orange}Nous allons procéder en deux temps: trouver le rang $N$ à partir duquel ça fonctionnera puis montrer qu'effectivement à partir de ce rang tous les termes de $(v_n)$ sont dans l'intervalle. Le $N$ nous sera donné par $(u_n)$.}
		
		Puisque $(u_n)$ tend vers $+\infty$, il existe un rang $N$ pour lequel: \[ \forall n\geqslant N,\ A<u_n. \]
		
		Or, par hypothèse: \[ \forall n\in \mathbb{N},\ u_n\leqslant v_n, \] donc, par transitivité \[ \forall n\geqslant N,\ A<v_n. \]
		
		Autrement dit: $v_n \in ]A;+\infty[$.
		
		\begin{conclusion}
			
			$(v_n)$ tend vers $+\infty$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item Il suffit de considérer les suites $(-u_n)$ et $(-v_n)$ et d'appliquer le (i).
		
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\left( \sin(n) + \mathrm{e}^n \right)_{n\in\mathbb{N}}$ diverge vers $+\infty$.
		
		\item $\color{red}\varheartsuit$ La suite $\displaystyle \left( n! \right)_{n\in\mathbb{N}}$ diverge vers $+\infty$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsubsection{Exercices.}

\begin{exercice}{}
	
	
	Déterminez la limite de la suite $(u_n)$ sachant que pour tout entier naturel $n$ $4-0,9^n\leqslant u_n \leqslant 4+0,1^n$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		spé indicie 2020 exo 109 page 149
	\end{notabene}
	
	Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_0=0$ et $u_{n+1}=u_n^2+1$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrez que pour tout entier $n\geqslant 4$, $u_n\geqslant 2^n$.
		
		\item Déduisez-en la limite de $(u_n)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		\color{red}Déplacer comme exercice d'application juste après les résultats de comparaisons
	\end{notabene}
	
	\begin{notabene}
		Affinités. Exercice 149 et 150 page 168.
	\end{notabene}
	
	Déterminez si elles existent les limites des suites suivantes.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\displaystyle u_n=\frac{(-1)^n}{n}$;
		\task $\displaystyle u_n=\frac{\cos(n)}{n^2}$;
		\task $\displaystyle u_n= \frac{\sin(n)}{\sqrt{n}}$;
		\task $\displaystyle u_n=  \frac{1}{n}+3^n$;
		\task $\displaystyle u_n=\frac{\sin(n)}{n^3}$;
		\task $\displaystyle u_n = \frac{1}{6^n}$.
		\task $\displaystyle u_n = 0,5^n+\sqrt{n}$.
		\task $\displaystyle u_n = -n^3-2n^2$.
		\task $\displaystyle u_n = n^2+4n+1$.
		\task $\displaystyle u_n = 1+ \left( \frac{1}{6} \right)^n+n^3$.
		\task $\displaystyle u_n=n+(-1)^n+1$;		
		\task $\displaystyle u_n=n^2-\sin(n)+1$;	
		\task $\displaystyle u_n= \sin \left( \sqrt{\cos\left(n^2-n^n \right)} \right) -n-1$.
		\task $\displaystyle u_n = n!+\frac{1}{\sqrt{n}}$.
		\task $\displaystyle u_n = n!+\sqrt{n}$.
		\task $\displaystyle u_n = \left( \frac{99}{100} \right)^n \sin(n)$.
		\task $\displaystyle u_n = n^2+2n+(-1)^nn$.
		\task $\displaystyle u_n = 5-\frac{\sin(n^2)}{\sqrt{n}}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{tasks}(1)
		\task $-\frac{1}{n}\leqslant u_n \leqslant \frac{1}{n}$ donc $u_n \underset{n \to + \infty}{\longrightarrow}0$.
		\task $-\frac{1}{n^2} \leqslant u_n \leqslant \frac{1}{n^2}$ donc $u_n \underset{n \to + \infty}{\longrightarrow}0$.
		\task $-\frac{1}{ \sqrt{n}} \leqslant u_n \leqslant \frac{1}{\sqrt{n}}$ donc $u_n \underset{n \to + \infty}{\longrightarrow}0$.
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		repèrese 83 pag 37
		
	\end{notabene}
	
	Posons, pour tout $n\in\mathbb{N}$ avec $n \geqslant 2$: \[ u_n=1+ \frac{1}{n+(-1)^n}. \]
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrez que, pour tout entier $n$ tel que $n \geqslant 2$ on a: \[ \frac{1}{n+1} \leqslant u_n-1 \leqslant \frac{1}{n-1}. \]
		
		\item Déterminez les limites des suites de termes généraux: \[ \frac{1}{n+1} \ \text{et} \ \frac{1}{n-1}. \]
		
		\item Concluez quant à la limite de la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Démontrez que si $q\in]-1;1[$ alors $\displaystyle \lim_{n \to +\infty}q^n=0$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		Repères terminale 123 page 48
	\end{notabene}
	
	
	\begin{notabene}
		
		À faire pour proposer un algorithme avec liste et fonction append.
		
	\end{notabene}
	
	On considère la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par : \[ u_0=1 \ \text{et:}\ \forall n \in \mathbb{N},\ u_{n+1}=u_n+2n+3.\]
	
	\begin{enumerate}
		\item Écrivez un algorithme permettant de calculer les termes $u_0, \dots, u_n$, où $n$ est un entier saisi à la demande.
		
		\item Programmez le précédent algorithme, exécutez-le puis donnez les termes $u_1$ à $u_{10}$.
		
		\item Étudiez la monotonie de la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Démontrez que, pour tout entier naturel $n$, $u_n >n^2$.
			
			\item Quelle est la limite de la suite  $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$?
			
		\end{enumerate}
		
		\item Conjecturez une expression de $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ en fonction de $n$ nombre entier naturel, puis démontrez la propriété ainsi conjecturée.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item ~		
		
		\begin{center}
			\begin{minipage}{8cm}
				\lstset{emph={termessuite}, emphstyle=\color{red},
					emph={[2]u,i,n}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
def termessuite(n):
  u=[1]
  for i in range(1,n+1):
    u=u+[u[i-1]+2*(i-1)+3]
  return(u)
\end{lstlisting}
			\end{minipage}
		\end{center}
		
		\item $u_1=4$, $u_2=9$, $u_3=16$, $u_4=25$, $u_5=36$, $u_6=49$, $u_7=64$, $u_8=81$, $u_9=100$, $u_{10}=121$.
		
		\item Soit $n \in \mathbb{N}$.
		
		D'après la formule de récurrence: $u_{n+1}-u_n=2n+3>0$ donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$(u_n)$ est strictement croissante.
			
		\end{conclusion}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Par récurrence.
			
			{\color{orange}Remarquons que dans ce cas nous aurions du mal à définir une fonction $f$ telle que $u_{n+1}=u_n$.}
			
			Clairement: $n^2+2n+3>n^2$.
			
			\item $n^2 \underset{n \to + \infty}{\longrightarrow} +\infty$ et $u_n>n^2$ donc $u_n \underset{n \to + \infty}{\longrightarrow} +\infty$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item $u_n=(n+1)^2$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}


\subsection{Suites, opérations sur les limites.}

\subsubsection{Devinez.}

\begin{notabene}
	
	Des exemples mettant en évidence les formes indéterminées et les situation plus simples.
	
	Exemple: $\frac{1}{n} \times n$.
	
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	Conjecturez les limites des suites dont les termes généraux sont: $n^3+n^2$, $\frac{1}{1+0,5^n}$, $-n^7+n^2$, $\frac{n^3+n^2}{n^4+n}$, $\frac{n^3}{0,5^n}$.
	
\end{lecon}

\begin{lecon}
	
	\medskip
	La définition de la convergence permet d'établir la convergence de quelques suites de référence. Pour le reste nous ferons, ce que nous avions déjà fait pour les fonctions dérivées, à savoir obtenir de nouveaux résultat en combinant ceux déjà connus.
	
\end{lecon}

\subsubsection{Somme.}

\begin{lecon}
	
	On considère deux suites $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et on s'intéresse à la convergence de la suite somme $(u_n+v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ en fonction de celles de $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
			\hline
			\backslashbox{$v_n$}{$u_n$} & $\ell$ & $+\infty$ & $-\infty$ 
			\\
			\hline
			$m$ & $m+\ell$ & $+\infty$ & $-\infty$ 
			\\
			\hline
			$+\infty$ & $+\infty$ & $+\infty$ & ? 
			\\
			\hline
			$-\infty$ & $-\infty$ & ? & $-\infty$ 
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
	Les situations avec des "?" sont appelées des formes indéterminées. Nous ne pouvons pas déterminer si il y a ou non une limite. Il faudra faire des études plus approfondies.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $3$ est une suite constante (donc qui converge vers $3$) et $\left( \frac{1}{n} \right)_{n\in\mathbb{N}}$ est une suite qui converge vers $0$ donc $\left( 3 +\frac{1}{n} \right)_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers $3$.
		
		\item $\left( \frac{1}{n}\right)$ converge vers $0$ et $(\sqrt{n})$ tend vers  $+\infty$ donc $\left( \frac{1}{n} + \sqrt{n} \right)$ tend vers $+\infty$.
		
		\item $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} n^2=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \sqrt{n}=+\infty$ donc $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} n^2+\sqrt{n}=+\infty$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsubsection{Produit.}

\begin{lecon}
	
	On considère deux suites $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et on s'intéresse à la convergence de la suite produit $(u_n\times v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ en fonction de celles de $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
			\hline
			\backslashbox{$v_n$}{$u_n$} & $\ell>0$ & $\ell=0$ & $\ell<0$ & $+\infty$ & $-\infty$ 
			\\
			\hline
			$m>0$ & $m \ell$ & $0$ & $m\ell$ & $+\infty$ & $-\infty$ 
			\\
			\hline
			$m=0$ & $0$ & $0$ & $0$ & ? & ? 
			\\
			\hline
			$m<0$ & $m\ell$ & $0$ & $m\ell$ & $-\infty$ & $+\infty$ 
			\\
			\hline
			$+\infty$ & $+\infty$ & ? & $-\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$ 
			\\
			\hline
			$-\infty$ & $-\infty$ & ? & $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$ 
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $-2$ est une suite constante (donc qui converge vers $-2$ et $\left( n \right)_{n\in\mathbb{N}}$ est une suite qui diverge vers $+\infty$ donc $\left( -2 \times n \right)_{n\in\mathbb{N}}$ diverge vers $-\infty$.
		
		\item $\displaystyle \lim_{n\to +\infty}n^2=+\infty$ donc $\displaystyle \lim_{n\to +\infty}-1 \times n^2=-\infty$.
		
		\item $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} n^2=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \sqrt{n}=+\infty$ donc $\displaystyle \lim_{n\to +\infty}n^2\sqrt{n}=+\infty$.
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsubsection{Inverse.}

\begin{lecon}
	
	Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite dont les termes sont tous non nuls.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
			\hline
			$u_n$ & $+\infty$ &	$-\infty$ & $0^+$ & $0^-$ 
			\\
			\hline
			$\dfrac{1}{u_n}$ & $0^+$ & $0^-$ &$+\infty$ & $-\infty$
			\\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Nous pouvons, sachant que $n\underset{n \to + \infty} {\longrightarrow}+\infty$, retrouver que $\frac{1}{n} \underset{n \to + \infty} {\longrightarrow} 0$.
		
		\item $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} n^2+n=+\infty$ donc $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \frac{1}{n^2+n}=0$.
		
		\item Puisque $\displaystyle \lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n^3}+\frac{1}{n} \underset{n\to + \infty}{\longrightarrow}0$ et $\frac{1}{n^3}+\frac{1}{n}>0$: $\displaystyle \lim_{n \to +\infty}\frac{1}{\frac{1}{n^3}+\frac{1}{n}}=+\infty$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsubsection{Quotient.}

\begin{lecon}
	
	Les résultats concernant les suites obtenues comme quotient de deux autres suites découlent des résultats sur les produits et les inverses.
	
	\medskip
	
	On considère deux suites $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et on s'intéresse à la convergence de la suite produit $\left(\frac{u_n}{v_n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ en fonction de celles de $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
			\hline
			\backslashbox{$u_n$}{$v_n$} & $\ell>0$ & $\ell=0^+$ & $\ell=0^-$ & $\ell<0$ & $+\infty$ & $-\infty$ 
			\\
			\hline
			$m>0$ & $\frac{m}{ \ell}$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $\frac{m}{\ell}$ & $0$ & $0$ 
			\\
			\hline
			$m=0$ & $0$ & ? & ? & $0$ & $0$ & $0$ 
			\\
			\hline
			$m<0$ & $\frac{m}{\ell}$ & $-\infty$ & $+\infty$ & $\frac{m}{\ell}$ & $0$ & $0$ 
			\\
			\hline
			$+\infty$ & $+\infty$ &  $+\infty$ & $-\infty$ & $-\infty$ & ? & ? 
			\\
			\hline
			$-\infty$ & $-\infty$ &  $-\infty$ & $+\infty$ & $+\infty$ & ? & ? 
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
\end{lecon}

\subsubsection{Lever l'indétermination.}

\begin{lecon}
	
	Les règles sur les opérations se confrontent souvent à des situations de limite indéterminée.
	
	Pour cette année, le plus efficace est très souvent de factoriser par la plus grande puissance de $n$ apparaissant dans l'expression du terme général de la suite.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Si $u_n=n^3-n$ alors \emph{a priori} c'est une forme indéterminée. Factorisons par $n^3$: $u_n=n^3\left( 1-\frac{1}{n^2} \right)$. Avec cette expression il n'y a plus de forme indéterminée: $\lim_{n\to +\infty} u_n=+\infty$.
		
		\item $u_n=\frac{2n+1}{3n+7}$ correspond à une forme indéterminée, mais, en factorisant par  $n$ au numérateur et au dénominateur: $u_n=\frac{2+\frac{1}{n}}{3+\frac{7}{n}}$.
		
		Or $\lim_{n\to +\infty} 2 + \frac{1}{n}=2$ et $\lim_{n \to +\infty} 3+\frac{7}{n}=3$ donc $(u_n)$ converge et $\lim_{n\to + \infty} u_n=\frac{2}{3}$.
		
		\item $u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ est une forme indéterminée. Pour lever l'indétermination dans cette expression radicale on utilise les expressions conjuguées. $u_n=\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsubsection{Exercices.}

\begin{exercice}{}
	
	Déterminez les limites des suites suivantes.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\displaystyle u_n=n^2+n+\frac{1}{n}$.	
		\task $\displaystyle u_n=\sqrt{n} \left( n^2-\frac{1}{n^2} \right)$.		
		\task $\displaystyle u_n=\frac{4}{\sqrt{n}+n}$.	
		\task $\displaystyle u_n=n^3+n+\frac{1}{\sqrt{n}}$.		
		\task $\displaystyle u_n=5n^2+3n\sqrt{n}$.		
		\task $\displaystyle u_n=\sqrt{n} (2-n-2n^2)$.		
		\task $\displaystyle u_n= \frac{1}{n^2+n-1}$.		
		\task $\displaystyle u_n= n^2 \left( \frac{2}{n+1} -1 \right)$.		
		\task $\displaystyle u_n= \frac{3}{n} \left( \frac{3}{n^3}-5 \right)$.		
		\task $\displaystyle u_n = \frac{3}{1-2n}-\frac{2}{1-3n}$.		
		\task $\displaystyle u_n= 2-\frac{3}{6+\sqrt{n}}$.	
		\task $\displaystyle u_n= 2-n\sqrt{5n} + \frac{1}{n^2+1}$.
		\task $\displaystyle u_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
		\task $\displaystyle u_n= n(n-4)(1-\sqrt{n})$.		
		\task $\displaystyle u_n= -\mathrm{e}^{1/n^2}n^4$.
		\task $\displaystyle u_n= -\mathrm{e}^{1/n^2}n^{-4}$.		
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $+\infty$.
		\task $+\infty$.
		\task $0$.
		\task $+\infty$.
		\task $+\infty$.
		\task $-\infty$.
		\task $0$.
		\task $-\infty$.
		\task $0$.
		\task $0$.
		\task $2$.
		\task $-\infty$.
		\task $+\infty$.
		\task $-\infty$.
		\task $-\infty$.
		\task $0$.
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Identifier les formes indéterminées sans aucun calcul.
		
	\end{notabene}
	
	Identifier parmi les suites dont le terme général est donné ci-après, les situations conduisant à une forme indéterminée lors de l'étude de la convergence, sinon donnez la limite.
	
	{\color{orange}\emph{On peut schématiquement résumer les formes indéterminées par:} \[ (+\infty)-(+\infty),\quad (-\infty)-(-\infty),\quad 0 \times \infty,\quad \dfrac{\infty}{\infty}, \quad \frac{}{0^?}. \]}
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $\dfrac{1}{n}+ \dfrac{1}{2^n}$.
		\task $n^2 - 6^n$.
		\task $\sqrt{n^{-1}}+n!$.
		\task $2^{-n}+\sqrt{n}$.
		\task $n^{12}+\dfrac{1}{n^{100}}$.
		\task $\dfrac{1}{\sqrt{n}}+n!+1$.
		\task $n^23^n$.
		\task $\dfrac{n^2}{n^{12}}$.
		\task $\dfrac{n!}{2^n}$.
		\task $n^{-2}\left( \dfrac{5}{4} \right)^n$.
		\task $\dfrac{n^{-3}}{\sqrt{n}}$.
		\task $n^5 2^{-n}$.
		\task $n^{-3}+ 0,5^n\sqrt{n}$.
		\task $\dfrac{1}{n^4} \times \mathrm{e}^n+4$.
		\task $\dfrac{\sqrt{n}}{\mathrm{e}^n}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}
		\task $0$.
		\task Indéterminée.
		\task $+\infty$.
		\task $+\infty$.
		\task $+\infty$.
		\task $+\infty$.
		\task Indéterminée.
		\task Indéterminée.
		\task Indéterminée.
		\task Indéterminée.
		\task $0$.
		\task Indéterminée.
		\task Indéterminée.
		\task Indéterminée.
		\task Indéterminée.
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Trouver la limite avec opérations sur les suites de référence.
		
	\end{notabene}
	
	Déterminez, si possible la limite des suites dont le terme général est donné ci-dessous.
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $n^7+12$.
		\task $4^n-7$.
		\task $n^3+\dfrac{0,1^n}{\sqrt{n}}$.
		\task $\dfrac{1}{n}+4$.
		\task $n^{-4}+\sqrt{n}$.
		\task $\left( \dfrac{1}{2} \right)^n+2+ \dfrac{1}{n^2}$.
		\task $n!n^2+2-\dfrac{1}{n^2}$.
		\task $\dfrac{\sqrt{n}}{2+\mathrm{e}^{-n}}$.
		\task $\dfrac{n^4+1}{\left( \dfrac{1}{2} \right) ^n-4}$.
		\task $\dfrac{n\times 2^n}{3+\dfrac{1}{n}+ \dfrac{1}{n^2}}$.
		\task $n!-\left( 2-n^2 \right)$.
		\task $n^2 \left( n^3+\dfrac{3}{\sqrt{n}} +1 \right)$.
		\task $2n^3+5n^2+n-12$.
		\task $-5n^3-2n^2-12n-3$.
		\task $4n^2-n+1$.
		\task $\dfrac{n^3}{n^2}$.
		\task $n^2+3^n+4-\dfrac{1}{n}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}
		\task $+\infty$.
		\task $+\infty$.
		\task $+\infty$.
		\task $4$.
		\task $+\infty$.
		\task $2$.
		\task $+\infty$.
		\task $+\infty$.
		\task $-\infty$.
		\task $+\infty$.
		\task $+\infty$.
		\task $+\infty$.
		\task $+\infty$.
		\task $-\infty$.
		\task Indéterminée. $4n^2-n+1=n^2(4-\frac{1}{n}+ \frac{1}{n^2}$. $+\infty$.
		\task Indéterminée. $\frac{n^3}{n^2}=n$. $+\infty$.
		\task $+\infty$.
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Déterminez les limites en levant l'indétermination.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\displaystyle u_n=n^3-n+5$.		
		\task $\displaystyle u_n=n^4-n^2+1$.		
		\task $\displaystyle u_n= 3n\sqrt{n} -2n^3$.		
		\task $\displaystyle u_n=\frac{n-3}{n+1}$.		
		\task $\displaystyle u_n=\frac{n^2-\sqrt{n}}{n+3}$.		
		\task $\displaystyle u_n= \frac{n^2-n+4}{3n^2-2n+5}$.
		\task $\displaystyle u_n= \sqrt{n^3}- \sqrt{n^3+8}$.		
		\task $\displaystyle u_n=n\sqrt{n^2+3}-n^2$.	
		\task $\displaystyle u_n=n^2-3n$.		
		\task $\displaystyle u_n=4n^3-3n^2+2$.		
		\task $\displaystyle u_n=3n^4-3n^3-2n+1$.		
		\task $\displaystyle u_n=\frac{4n-1}{3n+1}$.	
		\task $\displaystyle u_n=\frac{n^2-1}{n^2+2}$.	
		\task $\displaystyle u_n=\frac{2n^2-n+1}{3n^2+n+1}$.		
		\task $\displaystyle u_n= \sqrt{n+4}-\sqrt{n}$.		
		\task $\displaystyle u_n=\sqrt{5n+4}-\sqrt{5n+2}$.		
		\task $\displaystyle u_n=\sqrt{4n^2+n+3}-2n$.	
		\task $\displaystyle u_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2+2}}$.		
		\task $\displaystyle u_n= n-\frac{n^2}{n+1}$.		
		\task $\displaystyle u_n=\frac{n-3}{2n+1} - \frac{n+3}{3n-1}$.		
		\task $\displaystyle u_n=\frac{n^2}{n+1}-\frac{n^2}{n+2}$.		
		\task $\displaystyle u_n=\frac{n+\sqrt{n}}{\sqrt{n^2+n+1}}$.		
		\task $\displaystyle u_n= \frac{\sqrt{n^2+1}-n}{n}$.
		\task $\displaystyle u_n=\sqrt{n-\sqrt{n}}-\sqrt{n}$.	
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $+\infty$.
		\task $+\infty$.
		\task $-\infty$.
		\task $1$.
		\task $+\infty$.
		\task $\frac{1}{3}$.
		\task $0$.
		\task $+\infty$.
		\task $+\infty$.
		\task $+\infty$.
		\task $+\infty$.
		\task $\frac{4}{3}$.
		\task $1$.
		\task $\frac{2}{3}$.
		\task $0$.
		\task $0$.
		\task $\frac{1}{4}$.
		\task $-\infty$.
		\task $1$.
		\task $\frac{1}{6}$.
		\task $1$.
		\task $1$. Problème limite sous racine carré.
		\task $0$.
		\task $-\frac{1}{2}$
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{itemize}
		\item \href{https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Etranger_EuropeJ1_21_mars_2023_DV.pdf}{Centres étrangers groupe 2 sujet 1 21 mars 2023}. Arbre probabiliste, suites, limites.
		
		\item Baccalauréat S Métropole 23 juin 2009 
	\end{itemize}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{~ épisode 1.}
	
	\begin{notabene}
		Amérique du nord 2022/05/19 exercice 1
	\end{notabene}
	
	
	Dans une région touristique, une société propose un service de location de vélos pour la journée.
	
	\smallskip
	
	La société dispose de deux points de location distincts, le point A et le point B. Les vélos peuvent être empruntés et restitués indifféremment dans l'un où l'autre des deux points de location.
	
	\smallskip
	
	On admettra que le nombre total de vélos est constant et que tous les matins, à l'ouverture du service, chaque vélo se trouve au point A ou au point B.
	
	\smallskip
	
	D'après une étude statistique :
	
	\smallskip
	
	\setlength\parindent{1cm}
	\begin{itemize}
		\item[$\bullet~~$] Si un vélo se trouve au point A un matin, la probabilité qu'il se trouve au point A le matin suivant est égale à $0,84$ ;
		\item[$\bullet~~$] Si un vélo se trouve au point B un matin la probabilité qu'il se trouve au point B le matin suivant est égale à $0,76$.
	\end{itemize}
	\setlength\parindent{0cm}
	
	À l'ouverture du service le premier matin, la société a disposé la moitié de ses vélos au point A, l'autre moitié au point B.
	
	\smallskip
	
	On considère un vélo de la société pris au hasard.
	
	\smallskip
	
	Pour tout entier naturel non nul $n$, on définit les évènements suivants :
	
	\setlength\parindent{1cm}
	\begin{itemize}
		\item[$\bullet~~$]$A_n$ : \og le vélo se trouve au point A le $n$-ième matin \fg{}
		\item[$\bullet~~$]$B_n$ : \og le vélo se trouve au point B le $n$-ième matin \fg.
	\end{itemize}
	\setlength\parindent{0cm}
	
	Pour tout entier naturel non nul $n$, on note $a_n$ la probabilité de l'évènement $A_n$ et $b_n$ la probabilité de l'évènement $B_n$. Ainsi $a_1 = 0,5$ et $b_1 =  0,5$.
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous qui modélise la situation pour les deux premiers matins :
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
				%Écarts entre entre racine et premier niveau
				\def\xA{2};
				%Nombre de nœuds du premiers niveau
				\def\noA{2};
				%Nombre de nœuds du deuxième niveau
				\def\noB{4};
				%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
				\def\noBe{2};
				%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
				\def\xB{2+\xA};
				\def\yB{1};
				%Racine
				\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
				%Pour ne pas écrire les mots above et below
				\def\posA{above};
				\def\posB{below};
				%Position des nœuds du premier niveau
				%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
				\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
					nA1/A1/1/$A_1$/$\dots$/\posA,
					nA2/A2/2/$B_1$/$\dots$/\posB
				}{
					\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
					\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
					\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
				};
				%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
				\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
					nA1/nB1/B1/1/$A_2$/$\dots$/\posA,
					nA1/nB2/B2/2/$B_2$/$\dots$/\posB,
					nA2/nB3/B3/3/$A_2$/$\dots$/\posA,
					nA2/nB4/B4/4/$B_2$/$\dots$/\posB
				}{
					\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
					\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
					\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
				};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\setcounter{Exercice}{\theExercice-1}
\begin{exercice}{ épisode 2.}
	
	\begin{enumerate}
		\setcounter{enumi}{1}
		\item
		\begin{enumerate}
			\item Calculer $a_2$.
			\item Le vélo se trouve au point A le deuxième matin. Calculer la probabilité qu'il se soit trouvé au point B le premier matin. La probabilité sera arrondie au millième.
		\end{enumerate}
		
		\item
		\begin{enumerate}
			\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous qui modélise la situation pour les $n$-ième et $n + 1$-ième  matins.
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
					%Écarts entre entre racine et premier niveau
					\def\xA{2};
					%Nombre de nœuds du premiers niveau
					\def\noA{2};
					%Nombre de nœuds du deuxième niveau
					\def\noB{4};
					%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
					\def\noBe{2};
					%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
					\def\xB{2+\xA};
					\def\yB{1};
					%Racine
					\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
					%Pour ne pas écrire les mots above et below
					\def\posA{above};
					\def\posB{below};
					%Position des nœuds du premier niveau
					%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
					\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
						nA1/A1/1/$A_n$/$a_n$/\posA,
						nA2/A2/2/$B_n$/$\dots$/\posB
					}{
						\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
						\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
						\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
					};
					%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
					\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
						nA1/nB1/B1/1/$A_{n+1}$/$\dots$/\posA,
						nA1/nB2/B2/2/$B_{n+1}$/$\dots$/\posB,
						nA2/nB3/B3/3/$A_{n+1}$/$\dots$/\posA,
						nA2/nB4/B4/4/$B_{n+1}$/$\dots$/\posB
					}{
						\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
						\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
						\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
					};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\item Justifier que pour tout entier naturel non nul $n$,\: $a_{n+1} = 0,6a_n + 0,24$.
		\end{enumerate}
		\item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul $n$, \: $a_n = 0,6 - 0,1 \times 0,6^{n - 1}$.
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(a_n\right)$ et interpréter cette limite dans le contexte de l'exercice. 
		\item Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $a_n \geqslant 0,599$ et interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\subsection{Suites, limite monotone.}

\begin{lecon}
	
	Les résultats vus dans cette leçon permettent de lever certaines indéterminations mais surtout de savoir si une suite converge ou pas, sans pour autant être forcément capable de trouver l'éventuelle limite. Un résultat souvent nécessaire pour les suites définies par récurrence.
	
\end{lecon}

\subsubsection{Limite finie.}

\begin{proposition}{ - Théorème de la limite monotone.}
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Toute suite réelle croissante et majorée est convergente.
		
		\item Toute suite réelle décroissante et minorée est convergente.
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Contrairement au théorème des gendarmes, celui-ci ne permet pas de connaître la limite mais uniquement son existence.
		
		\item L'utilisation de ce résultat se prolonge en général par une recherche d'encadrement de la limite par divers procédés notamment algorithmiques.
		
		\item En général la limite n'est pas le majorant ou le minorant.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}


\subsubsection{Limite infinie.}

\begin{proposition}{ - Théorème de la limite monotone.}
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Toute suite réelle croissante et non majorée a pour limite $+\infty$.
		
		\item Toute suite réelle décroissante et non minorée a pour limite $-\infty$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	\begin{notabene}
		La démonstration du (i) est au programme.
	\end{notabene}
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Soit $A\in \mathbb{R}_+^*$.
		
		\medskip
		\objectif{Démontrons que, à partir d'un certain rang, tous les termes de $(u_n)$ sont dans $]A,+\infty[$.}
		
		Puisque $(u_n)$ n'est pas majorée par $A$ il existe un rang $N\in\mathbb{N}$ pour lequel $u_N>A$.
		
		Et comme $(u_n)$ est croissante: \[ \forall n\geqslant N,\ u_n>A.\]
		
		Autrement dit à partir de ce rang $N$ tous les termes de la suite sont dans $]A,+\infty[$.
		
		\begin{conclusion}
			
			$(u_n)$ tend vers $+\infty$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item 
		
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\subsubsection{Passer à la limite dans une égalité.}

\begin{lecon}
	
	Nous avons vu qu'il est possible de passer à la limite dans une somme ou un produit: si $(u_n)$ converge vers $\ell$ et $(v_n)$ converge vers $m$ alors $(u_n+v_n)$ converge vers $\ell +m$ et $(u_n v_n)$ converge vers $\ell m$. Qu'en est-il pour la suite $(\sqrt{u_n})$, ou $\mathrm{e}^{u_n}$, ou, plus généralement, $(f(u_n))$?
	
	Nous verrons plus tard un résultat qui nous autorise à passer à la limite si la fonction $f$ n'est pas trop inhabituelle. Souvent $\lim_{n \to +\infty} f(u_n)= f (\lim_{n \to +\infty} u_n)$.
	
	Nous utiliserons souvent ce résultat pour les suites définies par récurrence car alors $(u_{n+1})$ et $(u_n)$ ont la même limite $\ell$: si $u_{n+1}=\sqrt{u_n+3}+1$ alors $\ell= \sqrt{\ell +3}+1$.
	
\end{lecon}

\subsubsection{Exercices.}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Virer rien à faire dans cette leçon.
		
	\end{notabene}
	
	\begin{notabene}
		Repères terminale 124 page 48
	\end{notabene}
	
	On considère la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ par: \[ u_0=8\ \text{et} \ u_{n+1}= \sqrt{u_n+12}. \]
	
	\begin{enumerate}
		\item Démontrez que, pour tout entier naturel $n$, $u_n \geqslant 4$.
		
		\item On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction $f$ définie sur $[-12;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{x+12}$.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=1]
				\def\xY{-12.9};
				\def\yY{0};
				\def\xZ{8.9};
				\def\yZ{5.9};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {-10, -5,5}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {2,4}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw[red, thick][samples=100,domain=-12:8.9] plot(\x,{sqrt(\x+12)});
				\draw[Green, thick][samples=100,domain=-0.25:5.9] plot(\x,{\x)});
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		Construisez les premiers de la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et conjecturez son comportement.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Démontrez que pour tout $n\in\mathbb{N}$: \[ u_{n+1}-4 \leqslant \frac{1}{4} (u_n-4). \]
			
			\item Déduisez-en, pour tout $n \in \mathbb{N}$: \[ u_n-4 \leqslant \frac{1}{4^{n-1}}. \]
			
		\end{enumerate}
		
		\item Déduisez-en que la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ admet une limite finie que l'on précisera.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice de passage à la alimite avec point fixe.
		
	\end{notabene}
	
	On considère la suite $u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par \[ u_0=8 \ \text{et} \ u_{n+1}=\frac{1}{2} u_n+2.\]
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Démontrez que $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est décroissante.
		
		\item Démontrez que $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est minorée par $4$.
		
		\item Démontrez que $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est convergente.
		
		\item En passant à la limite dans la formule de récurrence, démontrez que la limite $\ell$ de $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ ne peut être que $4$.
		
		\begin{notabene}
			Insister sur le fait que le passage à la  limite n'est possible que parce qu'il s'agit des opérations algébriques déjà vue. Pas valable a priori pour sin ou exp.
			
		\end{notabene}
		
		\item Concluez.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		140 page 162 de affinités.
		
	\end{notabene}
	
	Posons $u_0=0$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}=\sqrt{6+u_n}$.
	
	\emph{Nous admettrons (récurrence immédiate) que la suite est à termes positifs.}
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrez que $(u_n)$ est croissante.
		
		\item Montrez que $(u_n)$ est majorée par $3$.
		
		\item Déduisez-en que $(u_n)$ converge et montrez que $\displaystyle \lim_{n \to + \infty}u_n=3$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		Affinités. Exercice 145 page 166. Série de harmonique
	\end{notabene}
	
	Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Prouvez que $(u_n)$ est croissante.
		
		\item Montrez que pour tout $m \in \mathbb{N}$, $u_{2^m+1}-u_{2^m}\geqslant \frac{1}{2}$.
		
		\item Déduisez-en que $(u_n)$ n'est pas majorée. Concluez.
		
		\item Déterminez avec une machine un entier $N$ tel que $u_N>10$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		Repère 110 page 43.
	\end{notabene}
	
	On considère la suite $(v_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par: $v_0=2$ et, pour tout entier naturel $n$: \[ v_{n+1}= 1,4v_n-0,05v_n^2. \]
	
	\begin{enumerate}
		\item Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par: \[ f(x)=1,4x-0,05x^2. \]
		
		\begin{enumerate}
			\item Étudiez les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0;8]$.
			
			\item Représentez graphiquement la fonction $f$ dans un repère orthonormé $\left( O; \vec{i}, \vec{j} \right)$ avec le centimètre comme unité graphique, ainsi que les $10 $ premiers termes de la suite $(v_n)$.
			
			\item Conjecturez son comportement.
			
		\end{enumerate}
		
		\item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$: \[ 2 \leqslant v_n \leqslant v_{n+1} \leqslant 8. \]
		
		\item Déduisez-en que la suite $(u_n)$ admet une limite finie.
		
		\item Soit $x \in \mathbb{R}$. Montrez que \[ f(x)-8=-0,05(x-20)(x-8). \]
		
		\begin{enumerate}
			\item Pour tout entier naturel $n$: \[ 8-v_{n+1} \leqslant 0,9 \times (8-v_n). \]
			
			
			\item Déduisez-en que, pour tout entier naturel $n$: \[ 8-v_n \leqslant 6 \times 0,9^n. \]
			
			\item Concluez.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		Exercice bac avec théorème du pont fixe.
	\end{notabene}
	
	\begin{notabene}
		Bac 2022/05/11 métropole exercice 1 partie B
	\end{notabene}
	
	Le deuxième protocole consiste à injecter initialement au patient, par piqûre intraveineuse, une dose de $2$ mg de médicament puis à réinjecter toutes les heures une dose de $1,8$ mg.
	
	On suppose que le médicament se diffuse instantanément dans le sang et qu'il est ensuite
	progressivement éliminé.
	
	On estime que lorsqu'une heure s'est écoulée après une injection, la quantité de médicament dans le sang a diminué de 30\,\% par rapport à la quantité présente immédiatement après cette injection.
	
	On modélise cette situation à l'aide de la suite $\left(u_n\right)$ où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ désigne la quantité de médicament, exprimée en mg, présente dans le sang du patient immédiatement après l'injection de la $n$-ième heure. On a donc $u_0 = 2$.
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculer, selon cette modélisation, la quantité $u_1$, de médicament (en mg) présente dans le sang du patient immédiatement après l'injection de la première heure.
		\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 0,7u_n + 1,8$.
		\item 
		\begin{enumerate}
			\item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n \leqslant u_{n+1}  < 6$.
			\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. On note $\ell$ sa limite.
			\item Déterminer la valeur de $\ell$. Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
		\end{enumerate}	
		\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = 6 - u_n$.
		\begin{enumerate}
			\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,7$ dont on précisera le premier terme.
			\item Déterminer l'expression de $v_n$ en fonction de $n$, puis de $u_n$ en fonction de $n$.
			\item Avec ce protocole, on arrête les injections lorsque la quantité de médicament présente dans le sang du patient est supérieure ou égale à $5,5$ mg.
			
			Déterminer, en détaillant les calculs, le nombre d'injections réalisées en appliquant ce protocole.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		Repères terminale 114 page 45
	\end{notabene}
	
	Un démographe étudie l'évolution de la population d'un pays.
	
	Depuis 1969 (cette année-là, ce pays comptait $\np{44500000}$ habitants), il constate qu'en moyenne la population a un taux de natalité de $35$ pour mille et un taux de mortalité de $17$ pour mille.
	
	À ces variations, il faut ajouter $\np{25000}$ nouveaux arrivant dans ce pays et retirer $\np{9000}$ citoyens qui partent définitivement.
	
	On note $p_n$ la population de $1969+n$, exprimée en milliers d'habitants.
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminez $p_0$.
		
		\item Démontrez que pour tout entier naturel $n$: \[ p_{n+1}=1,018 p_n +16. \]
		
		\item Déterminez le réel $\ell$ tel que la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ par \[ u_n=p_n-l\] soit géométrique.
		
		\item Déduisez-en les expressions de $u_n$ et $p_n$ en fonction de $n$ entier naturel.
		
		\item Combien d'habitants peut-on prévoir en 2012?
		
		\item Au bout de combien d'années la population va-t-elle tripler, par rapport à celle de 1969?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $p_0=44500$.
		\item Pas des maths, de la modélisation $p_{n+1}=\left( 1+ \frac{35}{1000} -\frac{17}{1000} \right) \times p_n+25-9$.
		\item {\color{orange}Une astuce pour trouver $l$: c'est forcément un point fixe de la formule de récurrence.} $u_{n+1}=p_{n+1}-l=1,018p_n+16-l=1,018\left( p_n+ \frac{16-l}{1,018} \right)$ donc $\frac{16-l}{1,018}=-l \Leftrightarrow l=-\frac{16}{0,018}\Leftrightarrow l=-\frac{8000}{9}$.
		
		\item $u_n=u_0 \times 1,018^n= (44500+\frac{8000}{9}) \times 1,018^n$.
		
		$p_n=(44500+\frac{8000}{9}) \times 1,018^n- \frac{8000}{9}$.
		
		\item $u_{43}\approx 96858,23903$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		Repères terminale 116 page 46
	\end{notabene}
	
	On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par: \[ u_0=1\ \text{et} \ u_{n+1}=\frac{1}{3} u_n +n-2. \]
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculez $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Écrivez un algorithme qui, pour une valeur $M\in\mathbb{R}$ donnée, renvoie un entier $n$ pour lequel $u_n>M$.
			
			\item Programmez cet algorithme à l'aide d'une calculatrice, puis exécutez-le pour des valeurs de $M$ telles que $101$, $100$, $\np{1000}$.
			
			\item Déduisez-en une conjecture sur le comportement de la suite $(u_n)$ à l'infini.
			
		\end{enumerate}
		
		\item Démontrez que pour tout entier naturel $n$, si $n\geqslant 4$ alors: \[ u_n\geqslant 0. \]
		
		\item Démontrez que, pour tout entier naturel $n$, si $n \geqslant 5$ alors: \[ u_n\geqslant n-3. \]
		
		\item Déduisez-en la limite de la suite $(u_n)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{~ Partie A.}
	
	\begin{notabene}
		Repères terminale 117 page 46
	\end{notabene}
	
	On définit:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item la suite $(u_n)_{n\geqslant 0}$ par $u_0=13$ et, pour tout entier naturel $n$: \[ u_{n+1}=\frac{1}{5}u_n+\frac{4}{5}; \]
		
		\item la suite $(S_n)$ pour tout entier naturel $n$: \[ S_n= \sum_{k=0}^n u_k. \]
	\end{enumerate}
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrez par récurrence que, pour tout entier naturel $n$: \[ u_n=1+ \frac{12}{5^n}. \]
		
		Déduisez-en la limite de la suite $(u_n)$.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Déterminez le sens de variation de la suite $(S_n)$.
			
			\item Calculez $(S_n)$ en fonction de $n$.
			
			\item Déterminez la imite de la suite $(S_n)$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\setcounter{Exercice}{\theExercice-1}
\begin{exercice}{ ~ Partie B.}
	
	\begin{notabene}
		Repères terminale 117 page 46
	\end{notabene}
	
	Étant donnée une suite $(x_n)$, de nombres réels définie  pour tout entier naturel $n$, on considère la suite $(S_n)$ défine par: \[ S_n= \sum_{k=0}^n x_k. \]
	
	Indiquez pour chaque proposition suivante si elle est vraie ou fausse; justifiez dans chaque cas.
	
	Proposition 1: \og si la suite $(x_n)$ est convergente alors la suite $(S_n)$ l'est aussi.
	
	Proposition 2: les suites $(u_n)$ et $(S_n)$ ont le même sens de variation.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		Bac 2022/05/198 amérique du nord exercice  2.
	\end{notabene}
	
	Dans cet exercice, on considère la suite $\left(T_n\right)$ définie par :
	
	\[T_0 = 180 \text{ et, pour tout entier naturel } n, \: T_{n+1} = 0,955T_n + 0,9\]
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		\begin{enumerate}
			\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,\: $T_n \geqslant 20$.
			\item Vérifier que pour tout entier naturel $n$,\: $T_{n+1} -  T_n  = - 0,045\left(T_n - 20\right)$. En déduire le sens de variation de la suite $\left(T_n\right)$.
			\item Conclure de ce qui précède que la suite $\left(T_n\right)$ est convergente. Justifier.
		\end{enumerate}	
		\item Pour tout entier naturel $n$, on pose : $u_n =  T_n - 20$.
		\begin{enumerate}
			\item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
			\item En déduire que pour tout entier naturel $n$, \:$T_n =  20 + 160 \times  0,955^n$.
			\item Calculer la limite de la suite $\left(T_n\right)$.
			\item Résoudre l'inéquation $T_n \leqslant 120$ d'inconnue $n$ entier naturel.
		\end{enumerate}	
		\item Dans cette partie, on s'intéresse à l'évolution de la température au centre d'un gâteau après sa sortie du four. 
		
		On considère qu'à la sortie du four, la température au centre du gâteau est de $180 \degres$ C et celle de l'air ambiant de $20 \degres$ C.
		
		La loi de refroidissement de Newton permet de modéliser la température au centre du gâteau par la suite précédente $\left(T_n\right)$. Plus précisément, $T_n$ représente la température au centre du gâteau, exprimée en degré Celsius, n minutes après sa sortie du four.
		\begin{enumerate}
			\item Expliquer pourquoi la limite de la suite $\left(T_n\right)$ déterminée à la question 2. c. était prévisible dans le contexte de l'exercice.
			\item On considère la fonction Python ci-dessous:
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|l|}\hline
					def temp(x) :\\
					\quad T = 180\\
					\quad n = 0\\
					\quad while T $>$ x :\\
					\qquad T=0.955*T+0.9\\
					\qquad n=n+1\\
					\quad return n\\ \hline
				\end{tabular}
			\end{center}
			
			Donner le résultat obtenu en exécutant la commande temp(120).
			
			Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Hérédité: $x \mapsto 0,955+0,9$ est croissante.
			
			\item $T_{n+1}-T_n=-0,045 (T_n-20)\leqslant 0$ suite décroissante.
			
			\item Décroissante et minorée par $20$ donc convergente.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Raison $0,955$.
			
			\item 
			
			\item $\lim_{n \to +\infty} 0,955^n=0$ car $0,955 \in ]-1;1[$.
			
			\item $T_n \leqslant 120 \Leftrightarrow 0,955^n \leqslant \frac{120-20}{160} \Leftrightarrow n \geqslant \ln \left( \frac{120-20}{160} \right)$ ou à la calculatrice $11$. 
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item 
			\item Temps d'attente en minutes pour obtenir une température inférieure à $120\degres$.
			
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{~ épisode 1.}
	
	\begin{notabene}
		
		Virer cet exercice déjà déplacé dans leçon limite et opérations.
		
	\end{notabene}
	\begin{notabene}
		Amérique du nord 2022/05/19 exercice 1
	\end{notabene}
	
	
	Dans une région touristique, une société propose un service de location de vélos pour la journée.
	
	\smallskip
	
	La société dispose de deux points de location distinctes, le point A et le point B. Les vélos peuvent être empruntés et restitués indifféremment dans l'un où l'autre des deux points de location.
	
	\smallskip
	
	On admettra que le nombre total de vélos est constant et que tous les matins, à l'ouverture du service, chaque vélo se trouve au point A ou au point B.
	
	\smallskip
	
	D'après une étude statistique :
	
	\smallskip
	
	\setlength\parindent{1cm}
	\begin{itemize}
		\item[$\bullet~~$] Si un vélo se trouve au point A un matin, la probabilité qu'il se trouve au point A le matin suivant est égale à $0,84$ ;
		\item[$\bullet~~$] Si un vélo se trouve au point B un matin la probabilité qu'il se trouve au point B le matin suivant est égale à $0,76$.
	\end{itemize}
	\setlength\parindent{0cm}
	
	À l'ouverture du service le premier matin, la société a disposé la moitié de ses vélos au point A, l'autre moitié au point B.
	
	\smallskip
	
	On considère un vélo de la société pris au hasard.
	
	\smallskip
	
	Pour tout entier naturel non nul $n$, on définit les évènements suivants :
	
	\setlength\parindent{1cm}
	\begin{itemize}
		\item[$\bullet~~$]$A_n$ : \og le vélo se trouve au point A le $n$-ième matin \fg{}
		\item[$\bullet~~$]$B_n$ : \og le vélo se trouve au point B le $n$-ième matin \fg.
	\end{itemize}
	\setlength\parindent{0cm}
	
	Pour tout entier naturel non nul $n$, on note $a_n$ la probabilité de l'évènement $A_n$ et $b_n$ la probabilité de l'évènement $B_n$. Ainsi $a_1 = 0,5$ et $b_1 =  0,5$.
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous qui modélise la situation pour les deux premiers matins :
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
				%Écarts entre entre racine et premier niveau
				\def\xA{2};
				%Nombre de nœuds du premiers niveau
				\def\noA{2};
				%Nombre de nœuds du deuxième niveau
				\def\noB{4};
				%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
				\def\noBe{2};
				%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
				\def\xB{2+\xA};
				\def\yB{1};
				%Racine
				\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
				%Pour ne pas écrire les mots above et below
				\def\posA{above};
				\def\posB{below};
				%Position des nœuds du premier niveau
				%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
				\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
					nA1/A1/1/$A_1$/$\dots$/\posA,
					nA2/A2/2/$B_1$/$\dots$/\posB
				}{
					\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
					\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
					\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
				};
				%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
				\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
					nA1/nB1/B1/1/$A_2$/$\dots$/\posA,
					nA1/nB2/B2/2/$B_2$/$\dots$/\posB,
					nA2/nB3/B3/3/$A_2$/$\dots$/\posA,
					nA2/nB4/B4/4/$B_2$/$\dots$/\posB
				}{
					\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
					\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
					\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
				};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\setcounter{Exercice}{\theExercice-1}
\begin{exercice}{ épisode 2.}
	
	\begin{enumerate}
		\setcounter{enumi}{1}
		\item
		\begin{enumerate}
			\item Calculer $a_2$.
			\item Le vélo se trouve au point A le deuxième matin. Calculer la probabilité qu'il se soit trouvé au point B le premier matin. La probabilité sera arrondie au millième.
		\end{enumerate}
		
		\item
		\begin{enumerate}
			\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous qui modélise la situation pour les $n$-ième et $n + 1$-ième  matins.
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
					%Écarts entre entre racine et premier niveau
					\def\xA{2};
					%Nombre de nœuds du premiers niveau
					\def\noA{2};
					%Nombre de nœuds du deuxième niveau
					\def\noB{4};
					%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
					\def\noBe{2};
					%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
					\def\xB{2+\xA};
					\def\yB{1};
					%Racine
					\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
					%Pour ne pas écrire les mots above et below
					\def\posA{above};
					\def\posB{below};
					%Position des nœuds du premier niveau
					%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
					\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
						nA1/A1/1/$A_n$/$a_n$/\posA,
						nA2/A2/2/$B_n$/$\dots$/\posB
					}{
						\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
						\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
						\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
					};
					%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
					\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
						nA1/nB1/B1/1/$A_{n+1}$/$\dots$/\posA,
						nA1/nB2/B2/2/$B_{n+1}$/$\dots$/\posB,
						nA2/nB3/B3/3/$A_{n+1}$/$\dots$/\posA,
						nA2/nB4/B4/4/$B_{n+1}$/$\dots$/\posB
					}{
						\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
						\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
						\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
					};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\item Justifier que pour tout entier naturel non nul $n$,\: $a_{n+1} = 0,6a_n + 0,24$.
		\end{enumerate}
		\item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul $n$, \: $a_n = 0,6 - 0,1 \times 0,6^{n - 1}$.
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(a_n\right)$ et interpréter cette limite dans le contexte de l'exercice. 
		\item Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $a_n \geqslant 0,599$ et interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		Affinités. Exercice 142 page 164. Série de Riemann
		
		Problème de Bâle résolu en 1735 par Euler la limite est $\frac{\pi^2}{6}$.
		
	\end{notabene}
	
	Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par \[ u_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}. \]
	
	Prouvez que $(u_n)$ est croissante et majorée puis concluez.
	
	Pour établir la majoration on établira; pour tout entier $k>1$: \[ \frac{1}{k^2} \leqslant \frac{1}{k(k-1)} =\frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}. \]
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		Affinités. Exercice 143 page 164. Presque harmonique.
	\end{notabene}
	
	Montrez que la suite $(v_n)$ définie sur $\mathbb{N}^*$ par $\displaystyle v_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k}$ converge.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{{} Nombre d'Apéry}
	
	\begin{notabene}
		Repère 108 page 42
	\end{notabene}
	
	On pose pour tout entier supérieur ou égale à $1$: \[ u_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^3}= 1 + \frac{1}{2^3}+ \dots + \frac{1}{n^3}.\]
	
	\begin{enumerate}
		\item Justifiez que la suite $(u_n)$ est croissante.
		
		\item Montrez à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$: \[ u_n\leqslant 2-\frac{1}{n}.\]
		
		\item Qu'en conclure?
		
		\item Soit $\varepsilon>0$.
		
		Écrivez un algorithme qui renvoie une valeur approchée à $\varepsilon$ près de la limite de la suite $(u_n)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{itemize}
		\item Baccalauréat S Liban 28 mai 2013. Exercice 4.
		
		\item Baccalauréat S Polynésie 
		7 juin 2013. Exercice 4.
		
		\item Baccalauréat S Asie 18 juin 2013 Exercice4.
		
	\end{itemize}
	
\end{exercice}


\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\draw (O) node {$\bullet$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\draw (I) node {$\bullet$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	\draw (J) node {$\bullet$};
	%Graduations
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Rectangle en coin.}

\begin{tikzpicture}
	\def\xangledroit{0};
	\def\yangledroit{0};
	\def\longueurangledroit{0.5};
	\draw[fill=green!30,rotate around={{20}:({\xangledroit},{\yangledroit})}] ({\xangledroit},{\yangledroit}) rectangle ({\xangledroit+\longueurangledroit},{\yangledroit+\longueurangledroit});
\end{tikzpicture}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}