%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/0ieme.html}{48 Concentration, loi des grands nombres.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour abrege
\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}\exclure{culturegenerale}

%Pour cours intégrale
%\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{48 Concentration, loi des grands nombres.}

\subsection{Inégalités de concentration.}

\begin{lemme}{ - Inégalité de Markov.}
	
	Soit $X$ une variable aléatoire réelle positive.
	
	\medskip
	Pour tout $a>0$, \[ \mathbb{P}(X\geqslant a)\leqslant \frac{\mathbb{E}(X)}{a}. \]
	
\end{lemme}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Le nombre de pièces fabriquées dans une usine en une journée suit une variable aléatoire d'espérance $50$ et de variance $25$.
		
		Majorons la probabilité que la production dépasse $75$ pièces quotidiennes.
		
		$\mathbb{P}(X>75)=\leqslant \frac{50}{75}=\frac{2}{3}$.
		
		\item 
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{theoreme}{ - Inégalité de Bienaymé-Tchebychev.}
	
	Soit $X$ une variable aléatoire réelle finie. On note $\mu:=\mathbb{E}(X)$ et $V:=\mathbb{V}(X)$.
	
	\medskip
	Quel que soit $x \in \mathbb{R}$ \[ \mathbb{P}\left( |X-\mu |\geqslant x \right) \leqslant \frac{V}{x^2}. \]
	
\end{theoreme}

\begin{preuve}{}
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item Dans le cas fini. %bordas indice 2020
		
		Si $X(\Omega)=\{ x_1, \dots, x_n \}$ avec $n \in\mathbb{N}$ alors $A=\{ |X-\mu|>x\}$ est fini et on peut en noter $a_1$, ..., $a_k$ (avec $k \in \llbracket 1,n \rrbracket$) ou $A=\emptyset$. Dans ce dernier cas le résultat est évident.
		
		\begin{align*}
			\mathbb{V}(X) &= (x_1-\mu)^2\mathbb{P}(X=x_1)+ \dots + (x_n-\mu)^2\mathbb{P}(X=x_n)\\
			\intertext{et nous en déduisons successivement:}
			\mathbb{V}(X) &\geqslant (a_1-\mu)^2\mathbb{P}(X=a_1) + \dots + (a_k-\mu)^2 \mathbb{P}(X=a_k)\\
			\mathbb{V}(X)&\geqslant x^2\mathbb{P}(X=a_1)+ \dots +x^2\mathbb{P}(X=a_k)\\
			\mathbb{V}(X)&\geqslant x^2 \left[ \mathbb{P}(X=a_1)+ \dots + \mathbb{P}(X=a_k) \right]\\
			\mathbb{V}(X)&\geqslant x^2 \mathbb{P}(X \in A)\\
			\frac{\mathbb{V}(X)}{x^2} &\geqslant \mathbb{P}(A)
		\end{align*}
		
		\item En appliquant l'inégalité de Markov à la variable aléatoire $(X - \mathbb{E}(X))^2$ et $a=x^2$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item \begin{notabene}
			Représentation graphique de la fonction de probabilité avec la fonction
		\end{notabene}
		
		Loi binomiale $\mathscr{B}(4;0,5)$.
		
		\item Loi uniforme $\mathscr{U}(\llbracket 1,n \rrbracket)$.
		
		\item Pour $x=2\sigma$ on a $\mathbb{P}\left( |X-\mu |\geqslant 2\sigma \right) \leqslant \frac{V}{4\sigma^2}=\frac{1}{4}$. Autrement dit la probabilité pour qu'une variable aléatoire prenne une valeur de plus du double de son écart-type est inférieur à $0,25$.
		
		\item Le nombre de pièces fabriquées dans une usine en une journée suit une variable aléatoire d'espérance $50$ et de variance $25$.
		
		Majorons la probabilité que la production dépasse $74$ pièces quotidiennes.
		
		$\mathbb{P}(X>74)=\mathbb{P}(X-50>24)=\mathbb{P}(|X-50|\geqslant 25)\leqslant \frac{25}{25^2}=\frac{1}{25}$.
		
		\begin{notabene}
			
			On remarque que l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev est plus fine que celle de Markov. C'est pourquoi elle sera en général privilégiée.
			
		\end{notabene}
		
		\item On lance $800$ fois une pièce non truquée.
		
		Donnons une minoration de la probabilité que le nombre de piles obtenus soit compris entre $381$ et $419$.
		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(381\leqslant X \leqslant 419) &= \mathbb{P}(381-400 \leqslant X-400 \leqslant 419-400)\\
			&= \mathbb{P}( -19\leqslant X-400\leqslant 19)\\
			&= \mathbb{P}(|X-400|\leqslant 19)\\
			&= 1-\mathbb{P}(|X-400| > 20)
			\intertext{Or}
			\mathbb{P}(|X-400| \geqslant 20) &\leqslant \frac{800\times 0,5 \times 0,5}{20^2}\\
			&\leqslant \frac{1}{2}\\
			\intertext{donc}
			\mathbb{P}(381<X<419) &\geqslant 1-\frac{1}{2}
		\end{align*}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Nous retrouvons l'idée que les valeurs de la variable aléatoire s'éloigne d'environ $\sigma$ de l'espérance: $\mathbb{P}\left( |X-\mu |>x \right) \leqslant \left( \frac{\sigma}{x} \right)^2$
		
		\item $\mathbb{P}(|X-\mathbb{E}(X)|\geqslant x) =1-\mathbb{P}(\mathbb{E}(X)-x<X<\mathbb{E}(X)+x)$. L'intervalle $[\mathbb{E}(X)-x;\mathbb{E}(X)+x]$ est appelé un intervalle de fluctuation de $X$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{}
	\begin{notabene}
		0ieme bordas indice 2020 page 407 exo 5
	\end{notabene}
	
	On lance $\np{3600}$ fois une pièce non truquée. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de piles obtenus.
	
	\begin{enumerate}
		\item Écrivez l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev dans ce cas.
		
		\item Minorez la probabilité que le nombre d'apparition de piles soit strictement compris entre $\np{1600}$ et $\np{2000}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $X \hookrightarrow \mathscr{B}(3600;0,5)$ donc $\mu=3600 \times 0,5=1800$ et $V=np(1-p)=900$. $\forall x\in \mathbb{R},\ \mathbb{P}(|X-1800|\geqslant x)\leqslant \frac{np(1-p)}{x^2}$. $\forall x\in \mathbb{R},\ \mathbb{P}(|X-1800|\geqslant 1800)\leqslant \frac{900}{x^2}$.
		
		\item $\mathbb{P}(1600<X <2000)=\mathbb{P}(|X-1800|<200)=1-\mathbb{P}(|X-1800|\geqslant 200)$ or $\mathbb{P}(|X-1800|\geqslant 200) \leqslant \frac{900}{200^2}=0,0225$ donc $1-\mathbb{P}(|X-1800|\geqslant 200)\geqslant 1-0,0225=0,9775$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	\begin{notabene}
		0ieme bordas indice 2020 page 415 exo 70
	\end{notabene}
	
	On note $X$ le nombre d'avions atterrissant sur un aéroport sur le créneau horaire 14h-15h. On estime qe $\mathbb{E}(X)=16$ et $\mathbb{V}(X)=4$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Écrivez l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev relative à $X$.
		
		\item Déterminez une minoration de la probabilité qu'il arrive entre $12$ et $20$ avions sur cet aéroport entre 14h et 15h.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	\begin{notabene}
		0ieme bordas indice 2020 page 415 exo 71
	\end{notabene}
	
	On considère une variable aléatoire $X$ l'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Écrivez l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev relative à $X$.
		
		\item Déterminez les valeurs de $\sigma$ pour que nous ayons $\mathbb{P}\left( |X-\mu|<15 \right)\geqslant 0,96$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	\begin{notabene}
		0ieme bordas indice 2020 page 416 exo 73
	\end{notabene}
	
	Soit $X$ la variable aléatoire comptant le nombre d'objets produits par une entreprise. On sait que $\mathbb{E}(X)=50$ et $\mathbb{V}(X)=25$.
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Justifiez que $\mathbb{P}(X \geqslant 75) \leqslant \mathbb{P}\left( |X-50|\geqslant 25\right)$.
			
			\item Majorez la probabilité que la production du mois à venir dépasse $75$ objets.
			
		\end{enumerate}
		
		\item Minorez la probabilité que la production du mois à venir soit strictement comprise entre $40$ et $60$ matelas.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	\begin{notabene}
		0ieme bordas indice 2020 page 416 exo 74
		
		Problème résultat final pas intéressant du tout (si interprétation avec une variable aléatoire il faut y voir un échantillon?)
	\end{notabene}
	
	Un avion peut transporter $100$ passagers et leurs bagages. Sans les passagers, ni les bagages, mais avec l'équipage et le carburant il pèse $120$ tonnes. Les consignes de sécurité interdisent le décollage de l'appareil si le poids dépasse $129,42$ tonnes. Les $100$ places sont occupées.
	
	Le poids d'un voyageur suit une loi d'espérance $70\ \mathrm{kg}$ et d'écart-type $10\ \mathrm{kg}$. Le poids de ses bagages suit une loi d'espérance $20\ \mathrm{kg}$ et d'écart-type $10\ \mathrm{kg}$. Toutes ces variables sont supposées indépendantes.
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Calculez l'espérance du poids de l'avion au décollage.
			
			\item L'espérance calculée est-elle conforme aux normes de sécurité?
			
		\end{enumerate}
		
		\item Calculez l'écart-type du poids total de l'appareil.
		
		\item En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, trouvez un majorant de la probabilité pour que le poids réel de l'appareil au décollage dépasse $129,42$ tonnes.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{corollaire}{}
	
	Soit $M_n$ la variable aléatoire moyenne d'un échantillon de taille $n$ d'une variable aléatoire d'espérance $\mu$ et de variance $V$.
	
	Quel que soit $x$ réel, \[ \mathbb{P}\left( |M_n-\mu|\geqslant x \right) \leqslant \frac{V}{nx^2}.\]
	
\end{corollaire}

\begin{preuve}{}
	
	D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev:
	
	\begin{align*}
		\mathbb{P}(|M_n-\mathbb{E}(M_n) |>x) &\leqslant \frac{\mathbb{V}(M_n)}{x^2}\\
		\intertext{or $\mathbb{E}(M_n)=\mathbb{E}(X)=\mu$ et $\mathbb{V}(M_n)=\frac{\mathbb{V}(X)}{n}$ donc}
		\mathbb{P}(|M_n-\mu |\geqslant x) &\leqslant \frac{V}{nx^2}
	\end{align*}
	
\end{preuve}

\begin{exercice}{}
	\begin{notabene}
		0ieme bordas indice 2020 page 407 exo 6
	\end{notabene}
	
	On effectue $n$ tirages successifs avec remise d'une boule dans une urne contenant $2$ boules rouges et $3$ boules noires. Notons $X$ la variable aléatoire qui à un tirage associe $1$ si boule tirée est rouge et $0$ sinon. Notons encore $M_n$ la variable aléatoire moyenne d'un échantillon de taille $n$ de la variable aléatoire $X$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminez $\mathbb{E}(X)$ et $\mathbb{V}(X)$ puis donnez l'inégalité de concentration relative à $M_n$.
		
		\item À partir de quel nombre de tirages pouvons-nous garantir à plus de $95\ \%$ que la proportion de boules rouges obtenues restera strictement entre $0,35$ et $0,45$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		\item $\mathbb{P}\left( 0,35<M_n<0,45\right)=\mathbb{P}(-0,05< M_n-0,4<0,5)=\mathbb{P}(|M_n-0,4)<0,05)=1 - \mathbb{P}(|M_n-0,4|\geqslant 0,05)$. Donc $\mathbb{P}\left( 0,35<M_n<0,45\right) > 0,95 \Leftrightarrow \mathbb{P}(|M_n-0,4|\geqslant 0,05) < 0,05$ or $\mathbb{P}(|M_n-0,4|\geqslant 0,05)\leqslant \frac{0,24}{n0,05^2}$ donc il suffit que $\frac{0,24}{n0,05^2}< 0,05$ et donc que $n>1920$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	\begin{notabene}
		0ieme bordas indice 2020 page 411 exo 39
	\end{notabene}
	
	Une épreuve consiste à tirer au hasard $10$ jetons avec remise dans un sac contenant $40\ \%$ de jetons bleus. On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à cette série de tirages, associe le nombre de jetons bleus obtenus.
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Justifiez que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $10$ et $0,4$.
			
			\item Déterminez l'espérance de $X$.
			
			\item Montrez que la variance de $X$ est $2,4$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item Montrez en utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, que $\mathbb{P}(|X-4|\geqslant 2) \leqslant 0,6$.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Quel est l'événement contraire de l'événement $\{ |X-4|\geqslant 2\}$?
			
			\item Montrez que $\mathbb{P}(|X-4|<2)\geqslant 0,4$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	\begin{notabene}
		0ieme bordas indice 2020 page 416 exo 75
	\end{notabene}
	
	Soit $T$ la variable aléatoire qui à chaque enfant français de $1$ an associe sa taille en centimètre.
	
	Des statistiques permettent d'estimer que cette variable a pour espérance $50$ et pour écart-type $2$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminez l'espérance et l'écart-type de la variable aléatoire moyenne d'un échantillon de $T$ de taille $\np{10000}$.
		
		\item À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, majorez la probabilité que cette taille moyenne s'écarte de $50\ \mathrm{cm}$ d'au moins $0,1\ \mathrm{cm}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	\begin{notabene}
		0ieme bordas indice 2020 page 416 exo 80
	\end{notabene}
	
	
\end{exercice}

\subsection{Loi faible des grands nombres.}

\begin{corollaire}{ - Théorème de la loi faible des grands nombres.}
	
	Soit $M_n$ la variable aléatoire moyenne d'un échantillon de taille $n$ d'une variable aléatoire d'espérance $\mu$.
	
	\[ \lim_{n \to +\infty} \mathbb{P}\left( |M_n-\mu|\geqslant x \right) = 0.\]
	
\end{corollaire}

\begin{preuve}
	
	Soient $n \in \mathbb{N}$ et $x \in\mathbb{R}$.
	
	D'après l'inégalité de concentration:
	
	\begin{align*}
		0 &\leqslant \mathbb{P}(|M_n-\mu|\geqslant x) \leqslant \frac{V}{nx^2}
	\end{align*}
	
	nous concluons grâce au théorème des gendarmes.
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item La probabilité que la moyenne des valeurs d'un échantillon s'éloigne de l'espérance de la variable aléatoire diminue à mesure que l'échantillon croît.
		
		Cette décroissance est rapide puisque de l'ordre de $\frac{1}{x^2}$.
		
		\item Pour un pile-ou-face dont pile est le succès: $X \hookrightarrow \mathscr{B}(p)$ et la probabilité que le nombre moyen de pile s'éloigne de $p$ de n'importe quelle longueur $x$ tend vers $0$ lorsque la taille de l'échantillon augmente. On peut obtenir la précision (en probabilité) que l'on veut en augmentant la taille de l'échantillon.
		
		\item C'est un résultat très important puisqu'il fait la passerelle (que nous considérons souvent comme intuitive) entre les statistiques et les probabilités. 
		
		Si dans un sondage $20\ \%$ répondent oui, nous avons l'intuition que la probabilité de choisir au hasard une personne répondant oui est de $0,2$.
		
		Si je lance un grand nombre de fois une pièce et que j'obtient en moyenne presque $0,5$ je peux affirmer que la pièce est équilibrée.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsection{Exercices.}

\begin{exercice}{}
	\begin{notabene}
		0ieme bordas indice 2020 page 416 exo 78
	\end{notabene}
	
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	\begin{notabene}
		0ieme bordas indice 2020 page 417 exo 83
	\end{notabene}
	
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	\begin{notabene}
		0ieme bordas indice 2020 page 417 exo 85
	\end{notabene}
	
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	\begin{notabene}
		0ieme bordas indice 2020 page 417 exo 86
	\end{notabene}
	
	
\end{exercice}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\draw (O) node {$\bullet$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\draw (I) node {$\bullet$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	\draw (J) node {$\bullet$};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}