%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/0ieme.html}{45 Intégrales, propriétés.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour abrege
\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}\exclure{culturegenerale}

%Pour cours intégrale
%\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{exercicecorrection}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{45 Intégrales, propriétés.}

\begin{notabene}
	
	Séparer en deux cette leçon: propriétés et valeur moyenne.
	
\end{notabene}

\subsection{Les propriétés de l'intégrale.}

\begin{lecon}
	
	Par convention (et pour que ce soit cohérent avec la relation de Chasles ci-dessous), si $f$ est continue sur $[a,b]$, nous noterons: \[ \color{purple}\int_b^a  f(t) \ \mathrm{d}t := - \int_a^b  f(t) \ \mathrm{d}t . \]
	
	\medskip
	Les propriétés suivantes se conjecturent aisément par des considérations graphiques. Ce sont des propriétés indispensables pour des calculs d'aires. Si les intégrales de Riemann ne les avaient satisfaites nous aurions oublié ce procédé pour un autre.
	
\end{lecon}

\begin{proposition}{ - Propriétés de l'intégrale.}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $(a,b,c,\lambda)\in \mathbb{R}^4$,
		
		\item $f$ une fonction continue sur $[a,b]$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Si la surface est réduite à un segment l'aire est nulle: \[  \int_a^b 0 \ \mathrm{d}t = 0. \]
	
	{\color{purple}Relation de Chasles}: \[ \int_a^b f(t) \ \mathrm{d}t =\int_a^c  f(t) \ \mathrm{d}t +\int_c^b  f(t) \ \mathrm{d}t \]
	
	{\color{purple}Linéarité}: \[ \int_a^b \lambda f(t)+g(t) \ \mathrm{d}t= \lambda \int_a^b  f(t) \ \mathrm{d}t +\int_a^b g(t) \ \mathrm{d}t. \]
	
	{\color{purple}Croissance (et donc positivité)}, pour $a<b$: \[ f\leqslant g \Rightarrow \int_a^b f(t) \ \mathrm{d}t \leqslant \int_a^b  g(t) \ \mathrm{d}t. \]
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	Ces propriétés se démontrent en utilisant la construction de Riemann des intégrales. 
	
	Elles peuvent être démontrées en utilisant l'existence d'une primitive.
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item La croissance de l'intégrale signifie que l'on peut intégrer des inégalités ou des encadrements.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Soit $f: x \mapsto \left\{ \begin{array}{l} -2x+1 \text{ si }x<0\\ \mathrm{e}^x \text{ sinon}\end{array} \right.$.
		
		\begin{align*}
			\int_{-1}^1 f(t)\ \mathrm{d}t &= \int_{-1}^0 f(t)\ \mathrm{d}t + \int_0^{1} f(t)\ \mathrm{d}t\\
			&= \int_{-1}^0 -2t+1\ \mathrm{d}t + \int_0^1 \mathrm{e}^t \ \mathrm{d}t\\
			&= [-t^2+t]_{-1}^0+[\mathrm{e}^t]_0^1\\
			&= -2+\mathrm{e}-1\\
			&=\mathrm{e}-3
		\end{align*}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			I &= \int_1^4 \frac{1}{t}\ \mathrm{d}t + \int_4^{16} \frac{1}{t}\ \mathrm{dt} +\int_{16}^6 \frac{1}{t}\ \mathrm{d}t\\
			&= \int_1^6 \frac{1}{t}\ \mathrm{d}t \\
			&= \left[ \ln(t) \right]_1^6\\
			&= \ln(6)
		\end{align*}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			I &= \int_0^1 \left( \mathrm{e}^x+1\right)^2\ \mathrm{d}x\\
			&= \int_0^1 \left( \mathrm{e}^x\right)^2+2\mathrm{e}^x+1\ \mathrm{d}x\\
			&= \int_0^1 \mathrm{e}^{2x}\ \mathrm{d}x+2\int_0^1 \mathrm{e}^x\ \mathrm{d}x+\int_0^1 1\ \mathrm{d}x\\
			&= \left[ \frac{1}{2}\mathrm{e}^{2x} \right]_0^1+ 2[\mathrm{e}^x]_0^1+[x]_0^1\\
			&= \frac{1}{2}\mathrm{e}^2-\frac{1}{2}+2\mathrm{e}-2+1\\
			&= \frac{1}{2}\mathrm{e}^2+2\mathrm{e}-\frac{3}{2}
		\end{align*}
		
		\item Puisque $\frac{1}{x^2+1}>0$ pour tout $x\in\mathbb{R}$, $\int_0^1 \frac{1}{t^2+1}\ \mathrm{d}t>0$ mais $\int_1^0 \frac{1}{t^2+1}\ \mathrm{d}t<0$.
		
		\item Par convexité $\mathrm{e}^x\geqslant x$ donc $\int_{-1}^1 \mathrm{e}^x\ \mathrm{d}x \geqslant \int_{-1}^1 x \ \mathrm{d}x$.
		
		\item %encadrement après étude de la fonction et trouver max et min sur un intervalle donné
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		0ieme hatier variation 2020 page 386 exo 101 et 102
		
	\end{notabene}
	
	Écrivez chaque expression à l'aide d'une seule intégrale.
	
	\begin{tasks}
		\task $\displaystyle \int_{-4}^6 f(x)\ \mathrm{d}x +\int_{-5}^{-4} f(x)\ \mathrm{d}x +\int_6^{10} f(x)\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{10}^{14} g(t)\ \mathrm{d}t - \int_5^0 g(t)\ \mathrm{d}t +\int_5^{10} g(t)\ \mathrm{d}t$.
		\task $\displaystyle 3\int_1^2 g(x)\ \mathrm{d}x+5 \int_1^2 g(x) \ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle -4\int_3^5 f(x)\ \mathrm{d}x - 5 \int_5^3g(x)\ \mathrm{d}x$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		0ieme hatier variation 2020 page 385 exo 88
		
	\end{notabene}
	
	Soit $f$la fonction définie sur $]-1,+\infty$ par $f(x)=\frac{2x^2+x}{x+1}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Démontrez: $\forall x \in ]-1,+\infty[,\ f(x)=2x-1+\frac{1}{x+1}$.
		
		\item Calculez $I=\int_0^1 f(x)\ \mathrm{d}x$.
		
		\item Déterminez une valeur approchée de $I$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		0ieme hatier variation 2020 page 385 exo 89
		
	\end{notabene}
	
	On considère la fonction $f$ définie sur $]-1,+\infty[$ par $f(x)=\frac{4x+6}{(x+1)(x+2)(x+3)}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Démontrez que: $\forall x \in ]-1,+\infty[,\ f(x)= \frac{1}{x+1}+\frac{2}{x+2}-\frac{3}{x+3}$.
		
		\item Calculez $I=\int_0^2 f(x)\ \mathrm{d}x$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		0ieme hatier variation 2020 page 380 exo 38
		
	\end{notabene}
	
	$f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrez que: $\forall x \in [1;3],\ \frac{1}{10}\leqslant f(x) \leqslant \frac{1}{2}$.
		
		\item Déduisez-en que $\frac{1}{5} \leqslant \int_1^3f(x)\ \mathrm{d}x \leqslant 1$.
		
	\end{enumerate}

\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		0ieme hatier variation 2020 page 380 exo 39
		
	\end{notabene}
	
	$f$ est la fonction définie sur $[0,+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{1+x}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrez que: $\forall x \in [0;15],\ 1\leqslant f(x) \leqslant 4$.
		
		\item Déduisez-en un encadrement de $\int_0^{15} f(x)\ \mathrm{d}x$.
	
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		0ieme hatier variation 2020 page 380 exo 40
		
	\end{notabene}
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrez que: $\forall t \in [1,+\infty[,\ 0\leqslant \mathrm{e}^{-t^2}\leqslant \mathrm{e}^{-t}$.
		
		\item Déduisez-en que: $\forall x \in [1,+\infty[,\ 0\leqslant \int_1^x \mathrm{e}^{-t^2} \leqslant \mathrm{e}^{-1}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		0ieme hatier variation 2020 page 380 exo 41
		
	\end{notabene}
	
	\begin{notabene}
		Modifier meileur majoration $\mathrm{e}-1$.
	\end{notabene}
	
	Montrez que: $0\leqslant \int_0^1x \mathrm{e}^x \ \mathrm{d}x \leqslant \mathrm{e}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$0\leqslant x \leqslant 1 \Leftrightarrow 0 \leqslant x \mathrm{e}^x \leqslant \mathrm{e}^x$ puis en intégrant sur $[0;1]$: $0 \leqslant \int_0^1x \mathrm{e}^x \leqslant \left[ \mathrm{e}^x \right]_0^1$.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	On souhaite calculer l'intégrale $\displaystyle I=\int_0^1 \frac{1}{\mathrm{e}^t+1} \ \mathrm{d}t$. Posons $\displaystyle J=\int_0^1 \frac{\mathrm{e}^t}{\mathrm{e}^t+1}\ \mathrm{d}t$.
	
	Calculez $J$, puis $I+J$ et déduisez-en $I$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		ellipse affinités page 265
		
	\end{notabene}
	
	On pose, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $I_n=\int_0^1 \sin(t) \mathrm{e}^{-nt}\ \mathrm{d}t$.
	
	Montrez que $\lim_{n \to +\infty} I_n=0$.
	
\end{exercice}

\subsection{Valeur moyenne d'une fonction.}

\subsubsection{Inégalités de la moyenne.}

\begin{proposition}{}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $a$ et $b$ deux réels tels que $a<b$,
		
		\item $f$ une fonction continue sur $[a,b]$,
		
		\item $m$ et $M$ des réels.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Si $m \leqslant f(x) \leqslant M$ pour tout $x \in [a,b]$ alors \[ m(b-a) \leqslant \int_a^b f(t) \ \mathrm{d}t \leqslant M(b-a). \]
\end{proposition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Étude de $f:x \mapsto \mathrm{e}^{-x^2}$ sur $[-1;1]$. Puis encadrement de $\int_{-1}^1 \mathrm{e}^{-x^2}\ \mathrm{d}x$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		Repère maths 2012 page 186
		
	\end{notabene}
	
	Démontrez que $-2 \leqslant \int_1^3 \sin(x^2)\ \mathrm{d}x \leqslant 2$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		Repère maths 2012 page 173
		
		Pas adapté car utilise la croissance de l'intégrale. Avec les inégalités on a un résultat plus fin
	\end{notabene}
	
	Soit $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} t \sin(t)\ \mathrm{d}t$. Démontrez que $0\leqslant I \leqslant \frac{\pi^2}{4}$ sans calculer $I$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		Repère maths 2012 page 186
		
	\end{notabene}
	
	Soit $f$ la fonction définie sur $[-1;0]$ par \[ f(x)= \frac{3x+4}{(x+2)^2}. \]
	
	\begin{enumerate}
		\item Dressez le tableau de variation de $f$.
		
		\item Déduisez-en un encadrement de $f(x)$ sur $[-1;0]$.
		
		\item Montrez que \[ 1 \leqslant \int_{-1}^0  f(x)\ \mathrm{d}x  \leqslant \frac{9}{8}. \]
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $f'(x)= \frac{3(x+2)^2-(3x+4)2(x+2)}{(x+2)^4}=\frac{(x+2)\left[ 3x+6-6x-8\right]}{(x+2)^4}=\frac{(x+2)(-3x-2)}{(x+2)^4}$.
				
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
				{$-2$ ,$-\frac{2}{3}$, $0$}
				\tkzTabLine{,+,z,-,}%
				\tkzTabVar {-/ $1$ , + / $f\left( -\frac{2}{3} \right)$ , - / $1$ / }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
	
		$f\left( -\frac{2}{3} \right)=1,125=\frac{9}{8}$.
		
		\item $1 \leqslant f(x) \leqslant \frac{9}{8}$ pour tout $x \in [-1;0]$.
		
		\item En intégrant le précédent encadrement.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		%http://www.jybaudot.fr/Analyse/inegmoy.html
		
	\end{notabene}
	
	On considère la suite, définie pour tout entier $n\geqslant 3$ par: $u_n=\int_{n}^{n+1} \frac{\ln(t)}{t}\ \mathrm{d}t$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Étudiez la fonction $f:x \mapsto \frac{\ln(x)}{x}$.
		
		\item Déduisez-en un encadrement de $u_n$ pour chaque $n \geqslant 3$.
		
		\item Concluez quant à la convergence de $(u_n)_{n\geqslant 3}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $f'(x)=-\frac{1}{x^2}\ln(x)+\frac{1}{x}\times\frac{1}{x}=\frac{1-\ln(x)}{x^2}$
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
				{$0$ ,$\mathrm{e}$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{d,+,z,-,}%
				\tkzTabVar {-D-/  / $-\infty$ , + / $\mathrm{e}^{-1}$ , - / $0$ / }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item Pour $n \geqslant 3 \geqslant \mathrm{e}$: $\frac{\ln(n)}{n} \geqslant f(t) \geqslant \frac{\ln(n+1)}{n+1}$ pour tout $t\in [n,n+1]$.
		
		\item $\frac{\ln(n)}{n} \geqslant u_n \geqslant\frac{\ln(n+1)}{n+1}$. 
		
		\item $(u_n)$ converge vers $0$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}
\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		%http://www.jybaudot.fr/Analyse/inegmoy.html
		
	\end{notabene}
	
	\begin{enumerate}
		\item En considérant la fonction inverse justifiez que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$: $\frac{1}{n+1} \leqslant \ln(n+1)-\ln(n) \leqslant \frac{1}{n}$.
		
		\item Déduisez-en que, pour $n\in\mathbb{N}^*$: $\sum_{i=2}^{n+1} \frac{1}{i} \leqslant \ln(n+1) \leqslant \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i}$.
		
		\item Déduisez en la convergence ou la divergence de $\left( \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i} \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$. \emph{Cette suite de somme est appelée {\color{purple}la série harmonique}}.
		
		\item Proposez un algorithme en Python qui donne un encadrement de $\ln(n)$ pour $n$ un entier naturel non nul.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\forall x\in [n,n+1],\ \frac{1}{n}\geqslant \frac{1}{x} \geqslant \frac{1}{n+1}$ puis inégalités de la moyenne.
		
		\item En sommant les inégalités.
		
		\item Diverge vers $+\infty$ par comparaison.
		
		\item 
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{corollaire}{ - Inégalité de la moyenne (avec valeur absolue).}
	
	Si $|f(x)|\leqslant M$ alors $\left| \int_a^b f(t)\ \mathrm{d}t\right| \leqslant M(b-a)$.
	
\end{corollaire}

\subsubsection{Valeur moyenne d'une fonction.}

\begin{notabene}
	
	Interprétation géométrique de la valeur moyenne de la fonction : hauteur du rectangle qui aura la même aire que sous la courbe.
	
\end{notabene}

\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $a$ et $b$ des réels avec $a<b$,
		
		\item $f$ une fonction continue sur $[a,b]$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous appellerons \emph{\color{purple}valeur moyenne de $f$ sur $[a,b]$} le réel \[ \mu = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(t)\ \mathrm{d}t. \]
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Autrement dit $\mu$ est la réponse à la question: quelle serait la hauteur d'un rectangle dont un côté a une longueur de $b-a$ et dont l'aire égale celle $\int_a^b f(t)\ \mathrm{d}t$?
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Faire la courbe représentative en indiquant les unités sur les deux axes faire le lien avec l'interprétation géométrique de la valeur moyenne.
		
	\end{notabene}
	
	\begin{notabene}
		0ieme bordas indice 2020 page 337 exo 9
	\end{notabene}
	
	Lors d'une épidémie de grippe, le nombre de malades, $t$ jours après l'apparition des premiers cas, est modélisé par la fonction $f$ définie sur $[0;6]$ par $f(t)=6t^2-t^3$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculez la valeur moyenne $\mu$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0;6]$.
		
		\item Donnez une interprétation de ce résultat.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		0ieme bordas indice 2020 page 347 exo 119
	\end{notabene}
	
	Un mobile est étudié sur l'intervalle de temps $[0;20]$. le temps est exprimé en secondes. La vitesse du mobile en $\mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-1}$, est donné par: $v(t)=2t^2+3t$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculez la valeur moyenne de la fonction $v$ sur $[0;20]$.
		
		\item Que représente cette valeur moyenne?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		0ieme bordas indice 2020 page 347 exo 120
	\end{notabene}
	
	Les antibiotiques sont des molécules possédant la propriété de tuer des bactéries ou d'en limiter la progression.
	
	On note $f(t)$ la concentration dans le sang (en $\mathrm{mg}/\mathrm{L}$) en fonction du temps (en heures) d'un antibiotique administré en une seule dose à un animal, $t$ appartenant à l'intervalle $[0;24]$.
	
	On admet que pour $t$ dans cet intervalle \[ f(t)=\frac{50t}{t^2+4}. \]
	
	Calculez la concentration moyenne de l'antibiotique pendant les $10$ premières heures. Donnez la valeur exacte puis la valeur arrondie au millième.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$\int_0^{10} \frac{50t}{t^2+4}\ \mathrm{d}t= 50 \times \frac{1}{2}\times  \left[ \ln\left( t^2+4 \right) \right]_0^{10}=25 \times \left( \ln(10^2+4) - \ln(4) \right)\approx 81,45241345$.
	
\end{exercicecorrection}

\subsection{Exercices.}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		0ieme bordas indice 2020 page 337 exo 7
	\end{notabene}
	
	Soit $I_n=\int_0^1 x^n\mathrm{e}^{-x}\ \mathrm{d}x$ pour tout $n \in\mathbb{N}^*$. Pour $n\in\mathbb{N}^*$, on note $\mathscr{C}_n$ la courbe représentative de $f_n:x \mapsto x^n\mathrm{e}^{-x}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Conjecturez le sens de variation de $(I_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ puis démontrez-le.
		
		\item Montrez que, pour tout $n \in\mathbb{N}^*$, $0\leqslant I_n\leqslant \frac{1}{n+1}$ et déduisez-en la limite de $(I_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		0ieme bordas indice 2020 page 343 exo 76
	\end{notabene}
	
	\begin{enumerate}
		\item Démontrez que pour tout $x \in [0;1]$: $0\leqslant x \mathrm{e}^{-x} \leqslant x \mathrm{e}^{-x^2}$.
		
		\item Déduisez-en que $0\leqslant \int_0^1 x\mathrm{e}^{-x}\ \mathrm{d}x \leqslant \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{\mathrm{e}} \right)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		0ieme bordas indice 2020 page 344 exo 93
	\end{notabene}
	
	Pour $n$ un entier naturel non nul on pose: $I_n=\int_1^{\mathrm{e}} \left( \ln(x)\right)^n\ \mathrm{d}x$ et $J_n=\int_{\mathrm{e}}^{2\mathrm{e}} \left( \ln(x)\right)^n\ \mathrm{d}x$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Justifiez que la suite $(I_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ est décroissante.
		
		\item Quel est le sens de variation de la suite $(J_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		0ieme bordas indice 2020 page 344 exo 94
	\end{notabene}
	
	Soit, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n=\int0^1 \frac{x^n}{1+x} \ \mathrm{d}x$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculez $u_0$.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			
			\item Démontrez que pour tout entier naturel $n$: $u_{n+1}+ u_n=\frac{1}{n+1}$.
			
			\item Déduisez-en la valeur de $u_1$.
			
		 \end{enumerate}
	 	
	 	\item Démontrez que la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est décroissante.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		0ieme bordas indice 2020 page 344 exo 95
	\end{notabene}
	
	Soient $(I_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ et $(J_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ les suites définies par $I_n=\int_0^1 \frac{1}{1+x^n}\ \mathrm{d}x$ et $J_n=\int_0^1 \frac{x^n}{1+x^n}\ \mathrm{d}x$.
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Justifiez que pour tout $x\in[0;1]$: $\frac{1}{1+x^n} \leqslant 1$.
			
			\item Montrez que la suite $(I_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ est majorée par $1$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Montrez que, pour $n$ dans $\mathbb{N}^*$, $0\leqslant J_n \leqslant \frac{1}{n+1}$.
			
			\item Déduisez-en la limite de la suite $(J_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Calculez pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $I_n+J_n$.
			
			\item Déterminez la limite de la suite $(I_n)$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		0ieme barabzo 2020 page 267 exo 91
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\draw (O) node {$\bullet$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\draw (I) node {$\bullet$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	\draw (J) node {$\bullet$};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}