%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/0ieme.html}{44 Intégrale, théorème fondamental de l'analyse.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour abrege
\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}\exclure{culturegenerale}

%Pour cours intégrale
%\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{exercicecorrection}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{44 Intégrale, théorème fondamental de l'analyse.}


\begin{notabene}
	
	Faire un paragraphe sur le lien avec la mécanique avec les notations et l'analyse dimensionnelle qui est cohérente avec les résultats d'intégration.
	
\end{notabene}

\begin{notabene}
	
	Modifier l'intégrale est définie pour un fonction positive uniquement puis sa généralisation se fait grâce à la primitive : si $f$ n'est pas positive mais continue elle admet une primitive et alors l'intégrale est $F(x)-F(a)$.
	
\end{notabene}

\subsection{L'intégrale.}

\subsubsection{Aspect historique et géométrique.}

\begin{correction}
	
	Comme (presque) toujours en mathématiques les théorie prennent naissance dans la géométrie. Le calcul intégral est l'aboutissement (en lien avec les fonctions) des problèmes de mesure d'aire. 
	
	Les mesures d'aires étaient appelés problèmes de quadratures. Dans le monde sans unité internationale de l'antiquité grecque, tout est question de rapport, de comparaison. Mesurer une aire c'est être capable de se ramener à des figures de même aire mais plus simples (carré, rectangle). Nous ne faisons pas autre chose en utilisant des $\mathrm{cm}^2$: nous comparons les aires à des petits carrés de $1\ \mathrm{cm}$ de côté. De plus ces petits carrés sont partout grâce au quadrillage induit par un repère orthonormé.
	
	On peut imaginer un cheminement assez naturel. L'aire d'un rectangle est obtenue en le recouvrant de petits carrés son aire est alors le nombre de petits carrés. Ce dénombrement est simple: nombre de carrés unités sur la largeur multiplié par le nombre de carrés sur la longueur. L'aire d'un triangle est la moitié de l'aire d'un rectangle. L'aire d'un triangle quelconque est l'aire de deux triangles rectangles. L'aire d'un trapèze est l'aire de deux triangles et d'un rectangle. L'aire des lunules d'Hippocrate donnèrent aux Grecs bon espoir de pouvoir poursuivre cette démarche dans des cas de figures \og arrondies\fg{} comme le cercle ou la parabole. Mais le problème de la quadrature du cercle resta si longtemps irrésolu que l'expression passa dans le langage courant pour désigner un problème insoluble. Ce problème est en réalité résolu: il est impossible de recouvrir un cercle avec les procédés usuels des Grecs.
	
	Cependant il est un Grec, Archimède, qui trouva une parade. Recouvrir les figures par des figures dont on sait calculer l'aire certes, mais en nombre infini.
	
	\begin{notabene}
		
		Figure et animation de l'aire du cercle avec les deux suites adjacentes d'aire polygonales. 
		
	\end{notabene}
	
	Un célèbre palimpseste semble indiquer qu'Archimède alla encore plus loin: il recouvrit la surface sous une parabole par une infinité de figures dont l'aire devenait infiniment petite. Il avait inventer le calcul intégral. Cette découverte fut oubliée pendant deux mille ans jusqu'à ce que Leibnitz et Newton inventent une procédé similaire au $XVII\ieme{}$ siècle.
	
	Voyons l'idée d'Archimède.
	
	\begin{notabene}
		
		Faire figure plus animation.
		
	\end{notabene}
	
	On voit alors apparaître un encadrement de l'aire recherchée: \[ \sum_{k=0}^{n-1} f \left( \frac{k}{n} \right) \frac{1}{n} \leqslant \mathscr{A} \leqslant \sum_{k=1}^n f\left( \frac{k}{n} \right) \frac{1}{n}. \]
	
	Bien sûr plus $n$ est grand, plus l'encadrement se ressert et se rapproche de l'aire sous la courbe: idéalement lorsque $n$ devient infiniment grand nous devrions obtenir exactement l'aire sous la parabole.
	
	Dans le cas de la parabole on a donc: \[ \sum_{k=0}^{n-1} \left( \frac{k}{n} \right)^2 \frac{1}{n} \leqslant \mathscr{A} \leqslant \sum_{k=1}^n \left( \frac{k}{n} \right)^2 \frac{1}{n}. \]
	
	Donc: \[ \frac{1}{n^3} \sum_{k=0}^{n-1} k^2 \leqslant \mathscr{A} \leqslant \frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^n k^2.\]
	
	D'où: \[ \frac{(n-1)n(2n-1)}{6n^3} \leqslant \mathscr{A} \leqslant \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}. \]
	
	En passant à la limite, et d'après le théorème des gendarmes: $\mathscr{A}=\frac{1}{3}$.
	
	\medskip
	Ce procédé est le fondement théorique de ce calcul d'aire appelé intégrale de Riemann.
	
\end{correction}

\subsubsection{L'intégrale de Riemann pour calculer des aires.}

\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $a$ et $b$ des réels $a<b$,
		
		\item $f$ une fonction continue et positive sur $[a,b]$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	L'aire  de la surface délimitée par la courbe représentative de $f$, l'axe des abscisses et deux droites verticales d'équations $x=a$ et $x=b$, et notée $\color{purple} \displaystyle \int_a^b f(t)\ \mathrm{d}t$ est appelée \emph{\color{purple}intégrale de $f$ sur $[a;b]$}.
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item La notation est en fait un calque de la formule qui permet avant passage à la limite de calculer l'intégrale: $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} f\left( x_i \right) \Delta x_i$.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{|c|c|c|}
				\hline
				Discret. & Continu. & Interprétation.
				\\
				\hline
				$n$ & $t$ & 
				\\
				\hline
				&&\\
				$\dfrac{1}{n}$ & $\mathrm{d}t$ & Largeur d'un rectangle.
				\\
				&&\\
				\hline
				&&\\
				$f\left( \frac{k}{n} \right)$ & $f(t)$ & Longueur d'un rectangle.
				\\
				&&\\
				\hline
				&&\\
				$\Sigma$ & $\int$ & Somme.
				\\
				&&\\
				\hline
				&&\\
				$\displaystyle \sum_{k=0}^n f\left( \frac{k}{n} \right) \frac{1}{n}$ & $\displaystyle \int_0^1 f(t) \ \mathrm{d}t$ & Somme des aires des rectangles.
				\\
				&&\\
				\hline
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
		\item Géométriquement, visuellement, voyons ce que cela donne.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\def\xY{-0.5};
				\def\yY{-2.5};
				\def\xZ{6.5};
				\def\yZ{5};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=0.1cm,lightgray!60, very thin] (Y) grid (Z);
				\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
				\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:6] plot(\x,{0.25*\x*(\x-3)*(\x-5)});
				\draw[blue] (5.5,4) node[fill=white] {$\mathcal{C}_f$};
				\def\xA{1.5};
				\def\xB{5.5};
				\fill[color=purple , opacity=0.55] (\xA,0)
				-- (\xA, {0.25*\xA*(\xA-3)*(\xA-5)})
				-- plot [domain=\xA:\xB] (\x,{0.25*\x*(\x-3)*(\x-5)})
				-- (\xB, {0.25*\xB*(\xB-3)*(\xB-5)})
				-- (\xB,0) 
				-- cycle;
				\draw[dashed] (\xA,\yY)--(\xA,\yZ);
				\draw[dashed] (\xB,\yY)--(\xB,\yZ);
				\draw (\xA,0) node[below,fill=white]{$a$};
				\draw (\xB,0) node[below,fill=white]{$b$};
				\draw[purple] (4,1) node[fill=white] {$\displaystyle \int_a^b f(t)\ \mathrm{d}t$};
				\draw (1.5,4)--({\xA+0.5},0.5);
				\draw ({\xA+0.5},0.5) node{$\bullet$};
				\draw (1.5,4) node[fill=white] {Aire comptée positivement};
				\draw (1.5,-1.5)--({3+0.5},-0.5);
				\draw ({3+0.5},-0.5) node{$\bullet$};
				\draw (1.5,-1.5) node[fill=white] {Aire comptée négativement};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		Pour décrire en français la région du plan colorée ci-dessus nous dirons que c'est la surface comprise entre la courbe $\mathscr{C}_f$ représentative de $f$, l'axe des abscisses, la droite d'équation $x=a$ et la droite d'équation $x=b$.
		
		\item La notation $\mathrm{d}t$ dans la pratique permet simplement d'identifier la variable. Quelle est la variable dans l'expression $a(r-\alpha)^2+\beta$?
		
		\item $\mathrm{d}t$ qui est un infiniment petit correspond à la construction qui permet de définir l'intégrale (comme somme d'aires de rectangles de largeur $\mathrm{d}t$). Il est également présent dans les calculs de dérivés pour le taux d'accroissement entre infiniment petits \[ f'(t)=\frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t} \]
		
		\item Nous pouvons définir une nouvelle fonction en considérant $b$ comme une variable \[ \displaystyle x\mapsto \int_a^x f(t)\ \mathrm{d}t \] Nous verrons plus loin que cette fonction est une primitive de $f$.
		
		\item Le procéder de somme discrète avec passage à la limite ne fonctionne pas toujours. Il faut des fonctions suffisamment régulière (continue par exemple) pour pouvoir l'utiliser.
		
		Nous dirons qu'une fonction est \emph{\color{purple}intégrable} lorsque le calcul d'aire est "possible".
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item %$f$ fonction dont la courbe rprésentatives est un demi-cercle au-dessus de l'axe des abscisses.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{}
	
	On considère une fonction $f$ dont la courbe représentative est dessinée ci-dessous.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			%extremites du graphique
			\def\xcoinbasgauche{-1};
			\def\xcoinhautdroit{4};
			\def\ycoinbasgauche{-0.4};
			\def\ycoinhautdroit{3};
			%Les deux grilles
			\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
			%Les deux axes
			\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
			%repere orthonorme
			\coordinate (O) at ({0},{0});
			\draw (O) node[below left] {$O$};
			\draw (O) node {$\bullet$};
			\coordinate (I) at ({1},{0});
			\draw (I) node[below left] {$I$};
			\draw (I) node {$\bullet$};
			\coordinate (J) at ({0},{1});
			\draw (J) node[below left] {$J$};
			\draw (J) node {$\bullet$};
			%Ligne définie par des points
			\draw[orange, thick] plot coordinates {(-1,0)(1,2)(3,1)(4,3)};
			\draw [orange] (1.5,2.25) node {$\mathscr{C}_f$};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
	Déterminez 
	\begin{tasks}(2)
		\task $I_1= \int_{-1}^1 f(t)\ \mathrm{d}t$.
		\task $I_2= \int_{1}^2 f(t)\ \mathrm{d}t$.
		\task $I_3= \int_{2}^3 f(t)\ \mathrm{d}t$.
		\task $I_4= \int_{-1}^3 f(t)\ \mathrm{d}t$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		ellipses affinités page 258
		
	\end{notabene}
	
	Au moyen de considérations géométriques élémentaires, calculez:
	
	\begin{tasks}(2)		
		\task $\mathscr{A}_1=\int_2^3 m\ \mathrm{d}t$ avec $m>0$.
		\task $\mathscr{A}_2=\int_a^b m\ \mathrm{d}t$ avec $m>0$ et $a<b$.
		\task $\mathscr{A}_3=\int_1^2 t\ \mathrm{d}t$.	
		\task $\mathscr{A}_4=\int_{-1}^1 -x+1\ \mathrm{d}x$.
		\task $\mathscr{A}_5=\int_{2}^2 4x\ \mathrm{d}x$.
		\task $\mathscr{A}_6=\int_{-100}^{100} 0\ \mathrm{d}x$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		Modifier la borne sup d'intégration mettre 3 car sinon aire algébrique et pas encore vue à ce stade de la leçon
	\end{notabene}
	
	Soit $f$ la fonction affine par morceaux définie par \[ f(x)= \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{1}{2}x+1, \text{ si } x\leqslant 2 \\ \\ -2x+6 \text{ sinon.} \end{array} \right.\] Au moyen de considérations géométriques élémentaires, calculez l'aire $\mathscr{A}=\int_0^4 f(t)\ \mathrm{d}t$ de la surface délimitée par l'axe des abscisses, la courbe représentative de $f$ et les droites d'équations $x=0$ et $x=4$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{align*}
		\int_0^4 f(x)\ \mathrm{d}x &= \int_0^2 f(x)\ \mathrm{d}x+ \int_2^4 f(x) \ \mathrm{d}x\\
		&= \int_0^2 \frac{1}{2}x+1\ \mathrm{d}x + \int_2^4 -2x+6\ \mathrm{d}x\\
		&= 3+0\\
		&= 3
	\end{align*}
	
\end{exercicecorrection}

\subsection{Théorèmes fondamentaux de l'analyse.}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Soit $f:x \mapsto 3x$. Exprimez, en fonction de $t \in[0,+\infty[$, l'aire de la surface limitée par $\mathscr{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=t$. %Que peut-on conjecturer?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{theoreme}{ - Premier théorème fondamental de l'analyse.}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $a<b$ des réels,
		
		\item  $f$ une fonction continue et positive sur $[a;b]$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Si $F$ est la fonction définie sur $[a;b]$ par \[ \forall x \in [a;b],\ F(x) = \int_a^x f(t)\ \mathrm{d}t . \] alors \[ \forall x \in [a;b],\ F'(x)=f(x) \quad \text{et} \quad F(a)=0. \]
	
\end{theoreme}

\begin{preuve}
	
	Cette démonstration peut être passée en première lecture puisqu'elle nécessite la connaissance de propriétés de l'intégrale qui seront vues ultérieurement.
	
	\medskip
	Soit $x_0\in [a;b]$.
	
	\medskip
	\objectif{Démontrons que le nombre dérivé de $F$ en $x_0$ est $f(x_0)$ en supposant $f$ croissante.}
	
	Soit $h\in \mathbb{R}$ tel que $x_0+h\in  [a;b]$.
	
	\begin{align*}
		& \frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h} -f(x_0)\\
		&= \frac{1}{h} \left[ F(x_0+h)-F(x_0) \right] -f(x_0)\\
		&= \frac{1}{h} \left[ \int_a^{x_0+h} f(t) \ \mathrm{d}t - \int_a^{x_0} f(t) \ \mathrm{d}t \right] -\int_{x_0}^{x_0+h} \frac{f(x_0)}{(x_0+h)-x_0} \ \mathrm{d}t\\
		&= \frac{1}{h} \left[ \int_a^{x_0+h} f(t) \ \mathrm{d}t + \int_{x_0}^a f(t) \ \mathrm{d}t \right] -\frac{1}{h} \int_{x_0}^{x_0+h} f(x_0) \ \mathrm{d}t\\
		&= \frac{1}{h} \left( \int_{x_0}^{x_0+h} f(t) \ \mathrm{d}t -\int_{x_0}^{x_0+h} f(x_0) \ \mathrm{d}t \right) \\
		&= \frac{1}{h} \int_{x_0}^{x_0+h} f(t)-f(x_0) \ \mathrm{d}t 
	\end{align*}
	
	\medskip
	Supposons, par exemple, $h>0$.
	
	Pour tout $t \in [x_0; x_0+h]$, $f$ étant croissante: \[ f(x_0) \leqslant f(t) \leqslant f(x_0+h).\]
	
	Donc en intégrant sur $[x_0;x_0+h]$ et puisque l'intégrale est croissante: \[ 0 \leqslant \int_{x_0}^{x_0+h} f(t)-f(x_0) \ \mathrm{d}t \leqslant h\left[ f(x_0+h) - f(x_0) \right]. \]
	
	Puis, comme $h \ne 0$: \[ 0 \leqslant \int_{x_0}^{x_0+h} f(t)-f(x_0) \ \mathrm{d}t \leqslant f(x_0+h)-f(x_0). \]
	
	Or, $f$ étant continue, $f(x_0+h)-f(x_0) \underset{h \to 0}{\longrightarrow}  0$, donc, d'après le théorème des gendarmes \[ \int_{x_0}^{x_0+h} f(t)-f(x_0) \ \mathrm{d}t \underset{h \to 0}{\longrightarrow} 0.\]
	
	\begin{notabene}
		
		\medskip
		Une démonstration alternative ne nécessitant pas la croissance.
		
		Soit $M>0$.
		
		Puisque $f$ est continue en $x_0$, il est possible de trouver $h$ suffisamment petit pour que dès que $x\in [x_0-h; x_0+h]$, \[ -M \le f(t) - f(x_0) \le M \]
		
		Donc
		\begin{align*}
			\frac{1}{h} \int_{x_0}^{x_0+h} -M \ \mathrm{d}t \le \frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h} -f(x_0) \le \frac{1}{h} \int_{x_0}^{x_0+h} M \ \mathrm{d}t\\
			-M \le \frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h} -f(x_0) \le  M 
		\end{align*}
		
		Et puisque l'encadrement est vrai quelque soit $M$ choisi (même très petit) cela signifie que pour $h$ suffisamment petit $\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h} -f(x_0)$ l'est aussi: \[ \lim_{h\to 0} \frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h} -f(x_0)=0 \]
		
		Ainsi 
	\end{notabene}
	
	\begin{conclusion}
		
		$F$ est dérivable en $x_0$ et $F'(x_0)=f(x_0)$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item {\color{orange}Ainsi la fonction $F$ définie dans ce théorème est la primitive de $f$ qui s'annule en $a$}. Par conséquent la recherche de primitive peut se ramener à un calcul d'intégrale.
		
		\item Nous avons justifié l'existence d'une primitive pour une fonction continue positive (même sans être capable d'en donner une expression calculatoire).
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}


\begin{theoreme}{ - Second théorème fondamental de l'analyse, formule de Newton-Leibniz.}
	
	Soit $f$ une fonction continue et positive sur $[a;b]$ avec $a<b$ des réels et $F$ une primitive de $f$ sur $[a;b]$.
	
	\[ \int_a^b f(t)\ \mathrm{d}t =F(b)-F(a). \]
	
\end{theoreme}

\begin{preuve}
	
	Découle du précédent théorème en remarquant que $x\mapsto \int_a^x f(t)\ \mathrm{d}t$ est la primitive de $f$ qui s'annule en $a$ et en sachant que deux primitives diffèrent d'une constante.
	
\end{preuve}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\int_1^4 u^2\ \mathrm{d}u$.
		
		\item $\int_1^2 \frac{\mathrm{d}x}{x}$.
		
		\item $\int_{0}^{\pi/2} \cos(t)\ \mathrm{d}t$.
		
		\item $\int_0^{1,2} 2z \mathrm{e}^{z^2}\ \mathrm{d}z$.
		
		\item 
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Ce théorème ramène donc le calcul d'intégrale à des recherches de primitives. Par exemple
		\begin{align*}
			\int_0^1 \frac{1}{2t+1}\ \mathrm{d}t &= \left[ \frac{1}{2} \ln (t+1) \right]_0^1\\
			&= \frac{1}{2} \ln (3) -\frac{1}{2} \ln (1)\\
			&= \frac{1}{2} \ln (3)
		\end{align*}
		
		\item La quantité $F(b)-F(a)$ est souvent notée $\displaystyle \color{purple}\left[ F(t) \right]_a^b$.
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsection{Généralisation.}

\begin{definition}
	
	Soient:
	\begin{enumerate}[.]
		\item $a<b$ des réels,
		\item $f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ une application continue,
		\item $F$ une primitive de $f$ sur $[a,b]$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous appellerons \emph{\color{purple}intégrale de $f$ sur $[a,b]$} le nombre réel \[ \color{purple} \int_a^b f(x)\ \mathrm{d}x := F(b)-F(a). \]
	
\end{definition}


\begin{exercice}{}
	
	Démontrez que la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par $F(x)=(-2x-3)\mathrm{e}^{-x}$, est une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f$, définie par $f(x)=(2x+1)\mathrm{e}^{-x}$.
	
	Déduisez-en la valeur de l'intégrale $\displaystyle  \int_0^1 (2t+1)\mathrm{e}^{-t}\ \mathrm{d}t$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		0ieme hachette Barbazo 2020 page 259 exo 12, 14, 15, 17. page 262 exo 57, 58 page 263 exo 62
	\end{notabene}
	
	Calculez les intégrales suivantes.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\int_1^4 \frac{3}{x}\ \mathrm{d}x$.
		\task $\int_0^2 -4t^2+1\ \mathrm{d}t$.
		\task $\int_{-1}^1 (1+s)^2\ \mathrm{d}s$.
		\task $\int_0^{1/2} \mathrm{e}^{2y}\ \mathrm{d}y$.
		\task $\int_{4}^{9} \frac{1}{2\sqrt{t}}\ \mathrm{d}t$.
		\task $\int_{0}^{5} \frac{1}{u+2}\ \mathrm{d}u$.
		\task $\int_{1}^{2} \frac{-2}{x^3}\ \mathrm{d}x$.
		\task $\int_{\pi/4}^{\pi/2} \sin(y)\ \mathrm{d}y$.
		\task $\int_{0}^{2} -2t^3+4t^2-5t\ \mathrm{d}t$.
		\task $\int_{10}^{12} \frac{2u}{u^2-8}\ \mathrm{d}u$.
		\task $\int_{1}^{2} 6x(x^2+4)^3\ \mathrm{d}x$.
		\task $\int_{0}^{\pi/3} 3\sin\left( 3y+\frac{\pi}{2} \right)\ \mathrm{d}y$.
		\task $\int_{0}^{1} -3\mathrm{e}^{-3x}\ \mathrm{d}x$.
		\task $\int_{0}^{1/2} \pi \sin(\pi x)\ \mathrm{d}x$.
		\task $\int_{0}^{1} \frac{-1}{(1+y)^2}\ \mathrm{d}x$.
		\task $\int_{-1}^{1} 15t^{4}(t^5+2)^3\ \mathrm{d}t$.
		\task $\int_{4}^{25} \frac{5}{\sqrt{x}}+3x\ \mathrm{d}x$.
		\task $\int_{-2}^{3} \cos(\pi x)\ \mathrm{d}x$.
		\task $\int_{\pi/3}^{\pi/2} \frac{\cos(x)}{\sin(x)}\ \mathrm{d}x$.
		\task $\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{2t+1}}\ \mathrm{d}t$.
		\task $\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^{-x}+1}\ \mathrm{d}x$.
		\task $\int_{0}^{1} \frac{t^4}{(t^5+3)^3}\ \mathrm{d}t$.
		\task $\int_{1}^{2} \frac{1}{(1+x)^2}\ \mathrm{d}x$.
		\task $\int_{0}^{1} x^2\mathrm{e}^{x^3}\ \mathrm{d}x$.
		\task $\int_{1}^{2} \frac{3}{x^4}\ \mathrm{d}x$.
		\task $\int_{0}^{3} \frac{1}{2x+1}\ \mathrm{d}x$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}
		\task $3\ln(4)$.
		\task 
	\end{tasks}
\end{exercicecorrection}
\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		Repère 2012 page 203
	\end{notabene}
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\displaystyle \int_{0}^{1} -3x+2\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{2}^{3} \frac{1}{x^2}\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{1}^{\mathrm{e}} \frac{1}{x}\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin(x) \ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{-2}^{1} x^2+2x\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{-1}^{1} \mathrm{e}^{-2x}\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{2}{3x+2}\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{-1}^{1} t^2+2t-1\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{-\pi}^{\frac{\pi}{2}} \sin\left( \frac{u}{2} \right)\ \mathrm{d}u$.
		\task $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \cos\left( 3y \right)\ \mathrm{d}y$.
		\task $\displaystyle \int_{-2}^{-1} \frac{2}{z^3}\ \mathrm{d}z$.
		\task $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \cos\left( 2t \right) -\sin(t)\ \mathrm{d}t$.
		\task $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \sin\left( 3x\right) -4 \cos(x) \ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \cos\left( 3x+\frac{\pi}{2} \right)\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{-1}^{0} \mathrm{e}^{-2x+1}\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{5}{2x-3}\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{2x-3}{5}\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{3x}\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{0}^{1} \sqrt{\mathrm{e}^{x}}\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{-1}^{1} \mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{-x}\ \mathrm{d}x$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}(1)
		\task $\displaystyle \int_{0}^{1} -3x+2\ \mathrm{d}x= \left[ -\frac{3}{2}x^2+2x \right]_0^1=\frac{1}{2}$.
		\task $\displaystyle \int_{2}^{3} \frac{1}{x^2}\ \mathrm{d}x= \left[ -\frac{1}{x} \right]_2^3=\frac{1}{6}$.
		\task $\displaystyle \int_{1}^{\mathrm{e}} \frac{1}{x}\ \mathrm{d}x=\left[ \ln(x) \right]_1^{\mathrm{e}}=1$.
		\task $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin(x) \ \mathrm{d}x = \left[ -\cos(x) \right]_0^{\frac{\pi}{4}}=1-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
		\task $\displaystyle \int_{-2}^{1} x^2+2x\ \mathrm{d}x= \left[ \frac{1}{3} x^3+x^2 \right]_{-2}^1=\frac{4}{3}+8-4=\frac{16}{3}$.
		\task $\displaystyle \int_{-1}^{1} \mathrm{e}^{-2x}\ \mathrm{d}x = \left[ -\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-2x} \right]_{-1}^1= -\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-2}+\frac{1}{2} \mathrm{e}^{2}$.
		\task $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{2}{3x+2}\ \mathrm{d}x = \left[ \frac{2}{3} \ln(3x+2) \right]_0^1=\frac{2}{3} \left( \ln(5)- \ln(2) \right)$.
		\task $\displaystyle \int_{-1}^{1} t^2+2t-1\ \mathrm{d}x = \left[ \frac{1}{3} t^3+t^2-t \right]_{-1}^1=\frac{1}{3}-\frac{5}{3}=-\frac{4}{3}$.
		\task $\displaystyle \int_{-\pi}^{\frac{\pi}{2}} \sin\left( \frac{u}{2} \right)\ \mathrm{d}u= \left[ -2 \cos\left( \frac{u}{2} \right) \right]_{-\pi}^{\frac{\pi}{2}}=-2 \cos\left( \frac{\pi}{4} \right) +2\cos \left( -\frac{\pi}{2} \right)=-\sqrt{2}$.
		\task $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \cos\left( 3y \right)\ \mathrm{d}y = \left[ \frac{1}{3} \sin(3y) \right]_0^{\pi}=0$.
		\task $\displaystyle \int_{-2}^{-1} \frac{2}{z^3}\ \mathrm{d}z = \left[ -\frac{1}{z^2} \right]_{-2}^{-1}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$.
		\task $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \cos\left( 2t \right) -\sin(t)\ \mathrm{d}t= \left[ \frac{1}{2} \sin(2t) +\cos(t) \right]_0^{\pi} $.
		\task $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \sin\left( 3x\right) -4 \cos(x) \ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \cos\left( 3x+\frac{\pi}{2} \right)\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{-1}^{0} \mathrm{e}^{-2x+1}\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{5}{2x-3}\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{2x-3}{5}\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{3x}\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{0}^{1} \sqrt{\mathrm{e}^{x}}\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{-1}^{1} \mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{-x}\ \mathrm{d}x$.
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		ellipse affinités page 261
		
	\end{notabene}
	
	Calculez les intégrales.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\displaystyle \int_0^4 t-3\ \mathrm{d}t$.
		\task $\displaystyle \int_{-1}^2 t^2-4t+3\ \mathrm{d}t$.
		\task $\displaystyle \int_1^2 t^2+t-\frac{1}{t}\ \mathrm{d}t$.
		\task $\displaystyle \int_1^4 \frac{1}{2\sqrt{t}} - \frac{1}{t}\ \mathrm{d}t$.
		\task $\displaystyle \int_{\frac{\pi}{6} }^{\frac{\pi}{2}}\cos(t)\ \mathrm{d}t$.
		\task $\displaystyle \int_0^{\pi} \sin(2t)\ \mathrm{d}t$.
		\task $\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{(t+2)^3}\ \mathrm{d}t$.
		\task  $\displaystyle \int_0^1 5t \mathrm{e}^{t^2}\ \mathrm{d}t$.
		\task $\displaystyle \int_{\ln(a)}^{\ln(b)} \mathrm{e}^t\ \mathrm{d}t$ pour $0<a\leqslant b$.
		\task $\displaystyle \int_0^2 5\mathrm{e}^{3t}\ \mathrm{d}t$.
		\task $\displaystyle \int_1^9 \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{t}}$.
		\task $\displaystyle \int_0^3 \frac{\mathrm{d}u}{(2u+1)^2}$.
		\task $\displaystyle \int_0^4 \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{5-x}}$.
		\task $\displaystyle \int_0^1 (2x+1)(x^2+x+1)\ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_1^2 \frac{\mathrm{d}x}{3x+2}$.
		\task $\displaystyle \int_{-1}^1 \mathrm{e}^{3t-4} \mathrm{d}t$.
		\task $\displaystyle \int_0^1 \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{1+3t}}$.
		\task $\displaystyle \int_0^2 \frac{3x}{(x^2+1)^2} \ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_{-1}^2 \frac{t^3}{t^4+2} \ \mathrm{d}t$.
		\task $\displaystyle \int_0^1 (x-2)(x^2-4x+1)^2 \ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_0^1 x \mathrm{e}^{x^2-1} \ \mathrm{d}x$.
		\task $\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{1+\mathrm{e}^{-2t}} \ \mathrm{d}t$.
		\task $\displaystyle \int_1^{\mathrm{e}^2} \frac{\ln(t)}{t} \ \mathrm{d}t$.
		\task $\displaystyle \int_{\sqrt{\mathrm{e}}}^{\mathrm{e}} \frac{1}{t \ln(t)} \ \mathrm{d}t$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\subsection{Exercices.}


\begin{lecon}
	
	~
	\newpage
	~
	
\end{lecon}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\draw (O) node {$\bullet$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\draw (I) node {$\bullet$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	\draw (J) node {$\bullet$};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}